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1
Induktion1. Induktion Phänomenologie
2. Induktion in einem zeitlich veränderlichen Magnetfeld:
i. Induktionsgesetz ii. Lenzsche Regeliii. Wirbelströme
3. Induktivität einer Leiteranordnung:i. Gegeninduktivitätii. Selbstinduktivitätiii. Schalten von Strömen bei Induktivitäten
4. Anwendungen
5. Maxwellscher Verschiebungsstrom
Induktion Grundversuche
Ausschlag hängt ab:Geschwindigkeit der ÄnderungStärke des MagnetfeldesAnzahl der WindungenVorzeichen bzw. Richtung der Änderung
2
Induktion mit Elektromagneten
Zeitlich konstantes Magnetfeld Spule von Gleichstrom durchflossen
Spannung wird in zweiter Spule induziert, wenn:Spule bewegt wirdSpule gedreht wirdMagnetfeld ein bzw. aus geschalten wird
U
)(tU
Was wird induziert Strom oder Spannung?
Erzeugt der Induktionsvorgang einen
a) Stromstoß Q = ∫ I dt
b) Spannungsstoß Φ = ∫ U dt
Falls
a) Strom unabhängig von Widerstand R
b) Strom abhängig von Widerstand R
RAUind
Es trifft b zu ⇒ Spannung wird induziert
3
Magnetischer Fluss ΦMagnetischer Fluss Φ ist ein Maß für die Anzahl der Feldlinien, die eineFläche A durchsetzen
ABABBA n==Φ )cos(
∫=A
AdBΦ:
[Φ] = [A] [B] = m2 Vs/m2 = Vs = Wb (Weber)
In einem homogenen Magnetfeld gilt
ABrr
=Φ
BA
BA
Steht das Magnetfeld nicht senkrecht auf die Fläche A, spielt für denBetrag des Flusses nur die Normalkomponente von B eine Rolle
Faradaysches Induktionsgesetz
M. Farady1791-1867
Ein Magnetfeld induziert in einer Leiterschleife eine Spannung Uind, wenn 1. das von der Leiterschleife umschlossene Magnetfeld B sich verändert, 2. die Fläche A der Leiterschleife, die von dem Magnetfeld durchsetzt wird, sich verändert.
Faraday'sches Induktionsgesetz: Die in einer Leiterschleife induzierte Spannung Uind ist gleich der zeitlichen Änderung des magnetischen Flusses durch die Leiterschleife .
dtdNUindΦ
−=
N Anzahl der Leiterschleifen bzw. Windungszahl der Spule
4
Wie macht man Flussänderung?
12
3
4
L
j
3
4
L
ϕ
Br
ωrttωABdtdU
ABAdB
ind ωϕω
ϕ
=⋅⋅+=Φ
−=
⋅⋅=⋅=Φ ∫sin
cosvr
1. Flussänderung durch Änderung des Magnetfeldes
2. Flussänderung durch Änderung der Fläche
i) Änderung eines Spulenstromes ii) Änderung von Abstand oder Orientierung eines zeitlich
konstanten Magnetfeldes
Leiterschleife bzw. Spule mit Fläche A in homogenen Magnetfeld B gedreht
Induktionsspannung durch Bewegung
Induzierte Spannung Uind = - dΦ/dt= - (B dA/dt + A dB/dt)Leiter bewegt sich mit konstanter Geschwindigkeit in x-Richtung⇒ Fläche A ändert sichA1 = ℓ x → A2 = ℓ (x + dx) mit dx = vx dt und N Windungen
= 0, weil B = konst
Uind = -N B dA/dt = -N B ℓ vx
In Leiter wird Spannung induziert, auch wenn er sich mit konstanter Geschwindigkeit im Magnetfeld bewegt
5
Bewegter Leiter im Magnetfeld
Kräftegleichgewichtelektrische Kraft = Lorentzkraft
Uind
Fmagn
BvlU
vBlUE
vBEqvBqE
ind =
=∝
==
Das heißt: ein bewegter Beobachter (Elektron) sieht beim Flug durch ein Magnetfeld ein elektrisches Feld. Aber der ruhende Beobachter im
Labor nicht!
Gerader Leiter wird im Magnetgeld bewegt: Lorentzkraft auf ElektronenLadungstrennungElektrisches Feld
Ein zeitlich veränderliches B-Feld ist umgeben von einem elektrischen Wirbelfeld
WirbelfeldElektrostatik
+ -
Feldlinien gehen von + nach -Quellenfeld
E
∫ = 0sdErr
0≠Φ
−==∫ dtdNUsdE ind
rr
ds
Integral längs geschlossenen Weges
Potenzial: keine Arbeit wenngeschlossene Kurve, Potenzialdifferenz U = 0 wegen (W=eU)
Magnet
E
Feldlinien sind geschlossen:Wirbelfeld
Integral längs geschlossenen Weges
v
Induktion
Uind
Potenzial keine richtige Beschreibung mehrPotenzialdifferenz ≠ 0 nachvollständigem Umlauf
6
Wirbelfeld
Magnet
E
v
A
A
Strom fließt wenn:Stromkreis geschlossenSpannungsquelle vorhanden
Strom fließt wenn:Stromkreis geschlossenStromkreis von zeitlich veränderlichem Fluss Φ durchsetzt wird„keine Spannungsquelle“ notwendig
Differenzielles Induktionsgesetz
dtBdErot
AdBdtdAdErot
AdBdtdsdE
dtdUind
rr
rrrr
rrrr
−=
−=
−=
Φ−=
∫∫
∫∫
Einsetzen der Definitionen
Stokescher Integralsatz
0=Erotr
Gilt nur in der Elektrostatik
Gilt immer
7
Elektrisches Wirbelfeld
( )tBrE
r
0>Φdtd
Er
0<Φdtd
Das elektrische Feld, das Uind erzeugt existiert unabhängig von der Leiterschleife!
( )tBr
Ein zeitlich veränderliches B-Feld ist umgeben von einem elektrischen Wirbelfeld
Lenzsche RegelLeiterschleife Fläche AÄnderung des Flusses Φ(t) = B(t) ASpannung wird induziert: Uind = -dΦ/dtStrom fließt in Leiterschleife Iind= Uind/R
Induzierter Strom Iind
Induziertes Magnetfeld Binddurch Iind erzeugt
Der in einer Schleife induzierte Strom erzeugt selbst einen magnetischen Fluss, der so gerichtet ist, dass er der Änderung
des ursprünglichen Flusses entgegenwirkt: Lenz‘sche Regel
( )tBr
Heinrich Friedrich Emil Lenz
( 1804-1865 )
8
Spule
Thomsonscher Ring
Alu RingStrom im RingI = Uind /R
Strom in Spule
Gegensinnig fließende Ströme stoßen einander ab
Magnetfeld ein Spannung in Ring induziertStromrichtung entsprechend Lenzscher Regel
Bspule
Geschlitzter Ring: kein Strom Ring wird nicht beschleunigt
Waltenhofen‘sches Pendel
Massive Kupferplatte Magnetfeld ein: starke BremswirkungGeschlitzte Kupferplatte, Magnetfeld ein: schwache Bremswirkung
KupferplatteKupferplatte
Kupferplattegeschlitzt
Adalbert vonWaltenhofen
( 1828 - 1914 )
9
Waltenhofensches PendelModell für BremswirkungRing tritt in Magnetfeld mit v ein⇒ Kraft auf Ladungsträger Bewegung mit v⇒ Stromfluss I (techn. Stromrichtung)⇒ Kraft F* auf stromdurchflossenen Leiter
F* = L I B entgegen der Bewegungsrichtung⇒ Bremswirkung Wirbelstrombremse
Ring ganz im Magnetfeld: keine Kraftwirkung
Ring verlässt Magnetfeld mit vbremsende Wirkung (siehe oben)
Waltenhofensches Pendel
Bremswirkung durch Wirbelstrom Schlitze verhindern Ausbildung von Wirbelstrom schwache (keine) Bremswirkung
Beim Eintauchen der Platte in Magnetfeld bilden sich Wirbelströme
Wirbelströme: Verschleissfreie Bremse (ICE)Verluste (Stromwärme) in Transformatoren (Lamellierung)
10
Induktivität einer Leiteranordnung
U1(t)
Leiterschleife 1
Leiterschleife 2
I1(t)
Experiment: In Leiterschleife 1 fließt ein zeitlich veränderlicher Strom
Zeitlich veränderliches Magnetfeld induziert Spannung in Schleife 2Wie groß ist die induzierte Spannung U2?
U2 = Uind
InduktivitätSpule 1 erzeugt ein Magnetfeld mit der Flussdichte B1:
dttIdLtU
dttdNtU
)()(
)()(
1122
222
−=
Φ−=
( )tItB 11 )( ∝
Magnetfeld erzeugt in Spule 2 einen Fluss Φ2(t)
Es fehlt genaue Kenntnis über die Überlappung, aber es giltΦ2 proportional zu I1 : Φ2 = L12 I1
L12 Gegeninduktivität Maß für die Felddurchsetzung von Spule 2 [L] = Vs/A = 1 H (= 1 Henry)
Ändert sich Strom in Spule 1, ändert sich Φ in Spule 2 und es wird dort eine Spannung induziert:
Induzierte Spannung U2 proportional zu Änderung von Strom I1Einfach messbare Größen, Information über Geometrie usw stecken in L12
11
Berechnung der Gegeninduktivität
I1
ds1
r12
Schleife 2Schleife 1
Strom in Schleife 1 verursacht Magnetfeld bzw. Vektorpotenzial Aan Stelle r2 (Berechnung mit Biot-Savart)
r1 r2
Magnetfeld führt zu Fluss ( ) ∫∫∫ ===Φ2
2sFF
m AdsdFArotBdF
( ) ∫=1 12
1102 4 s r
sdIrArv
πµ
s1
∫ ∫
∫ ∫
==
==Φ
1 2
1 2
12
122112
11212
1210
4
s s
s sm
rsdsdLL
ILrsdsdI
rr
rr
πµ
dF
s2
Selbstinduktion
Was passiert wenn sich der Strom in einer Spule ändert?
Uind(t)
I(t)
Es ändert sich das Magnetfeld und somit auch der FlussFlussänderung bedeutet induzierte Spannung Uind
Wie hängen Uind(t) und I(t) zusammen?
12
Selbstinduktion
dtdILU
LIdtdNU
ind
ind
−=
=Φ
Φ−=
Ändert sich Φ, so wird in einer Spule eine Spannung induziert
Fluss proportional zu StromL Selbstinduktionskoeffizient
Die Selbstinduktivität (oder Induktivität) L bewirkt infolge der Lenz‘schen Regel eine Hemmung der Veränderung des Stromes(Der Strom durch eine Spule ist stetig, er springt nicht)
Schaltzeichen von Spulen Induktivitäten
[L] = Vs/A = 1Ωs =1 H (= 1 Henry)
Mechanisches Analogon
Masse m
Kraft F
Geschwindigkeit v
m MasseF Kraftv GeschwindigkeitF = m dv/dt
mv Impuls½ mv2 kinetische Energie
LU0
S
I
L InduktivitätU PotenzialdifferenzI StromU = L dI/dt
LI Impuls (??)½ LI2 Energie (???)
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Induktivität einer Zylinderspule
Strom I
Windungszahl N
Länge l
Querschnittsfläche A
l
l
ANI
NI
L
N
BA
INB
20
0
durchsetzt von werden WindungenN Alle sGesamtflus zu alproportion L
µ
µ
=Φ
=Ψ
=
Φ=Ψ⇒ΦΨ
=Φ⇒
=
Induktivität einer Spule
Selbstinduktivität einer Doppelleitung
2r0
l
d
I1 I2
Zwei parallele Leiter Hin- und Rückleitung
Ströme gleich groß und antiparallelWie groß ist L?
1. Berechnung des Magnetfeldes außerhalb und innerhalb des Drahtes aufgrund der beiden Ströme
2. Magnetischer Fluss durch Doppelleitung durch Fläche l 2r0 (Beiträge B von anderen Draht, B im Draht B außerhalb Draht)
3. L = Fluss durch Strom
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −+=
0
00 ln21
rrdL
πµ l
( )π
µ2
2 00min
l=== rdLLWann ist Induktivität minimal? Lösung d = 2 r0
14
Strom-Spannungsverlauf bei L
I(t)
U0(t) t
t1Induktivität setzt sich Stromänderung entgegen
LU0
S
I
Uind
( )
( )
( ) .:
:0
1
:elMaschenreg
10
1
001
2
1
0
konsttL
UtItt
tL
UtIUUtt
UdtL
tI
dtdILUU
t
t
ind
==<
=⇒=<<
=⇒
=−=
∫
0
Spannung U0 t = 0 angelegtt = t1: Spannung abgeklemmt
?
Einschalten einer Induktivität
Einschalten
+
10 Ohm
1000 Wdg36 mH
RRG1
RG2
Induktivität L = 36mH
Schalter geschlossen:Welche Glühlampe leuchtetbzw. wie ist die zeitliche Reihenfolge?
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Einschalten einer Induktivität
t < 0 Schalter offen Stromkreis offen kein Strom fließt
t= 0 Schalter geschlossen
1. MascheOhmscher WiderstandIR = U0 / (R+RG1) Strom fließt sofort⇒ Glühlampe leuchtet
2. Masche U0 = IL RG2 - Uind = IL RG2 + L dIL/dtLösung der DGIL(t) = I0 (1 - exp(-t/τ)) mit I0 = U0/RG2 und τ = L/R⇒ Strom steigt langsam
Glühlampe beginnt verzögert zu leuchten
0 t/τ
I/I0
0
1
1 2 3
0.63( )( )τ/exp10 tIIL −−=
IR
Ausschalten einer Induktivität
+
Ausschalten
1000 Wdg36 mH
Spannung einGlühlampen leuchten
Spannung ausGlühlampen leuchten zuerst hellerund dann noch eine gewisse Zeit nachR = RG1 + RG2
I
L
U0
16
Ausschalten einer Induktivitätt < 0eingeschwungener ZustandStrom durch Glühlampen I = U0/R
t= 0 Schalter wird geöffnetI(t<0) = U0/R
Maschenregel für t>0
0 = I R - Uind = I R + L dI/dt
Ansatz I = I0 exp(- t/τ) mit τ = L/R
Nach Öffnen des Schalters Lampen leuchten heller⇒ kurzfristig muss ein höherer Strom fließen d.h. I0 ≠ I(t<0)
I0
Strom springt?
Stromüberhöhung hängt von genauem Verlauf des Schaltvorgangs ab
Energie des magnetischen FeldesWieviel Energie wird im Magnetfeld gespeichert?
Ausschalten der Induktivität:Strom fließt weiter, obwohl Spannungsquelle abgetrenntEnergie die im Verbraucher (Glühlampen) umgesetzt wirdmuss aus Magnetfeld kommen
∫∫∞∞
==0
2
0
dtRIIUdtWmagn
LIdtRtIWmagn20
0
20 2
1)/2exp( =−= ∫∞
τ
Die im Magnetfeld gespeicherte Energie = 1/2 L I2wobei I ein stationär fließender Strom ist
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Energiedichte Magnetfeld
INBVNLBV
Ww
ILdtRtIW
magnmagn
magn
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛===
== ∫∞
ll0
2
00
2
20
0
2
21
21)(
µµµ
Energiedichte wmagn = Energie pro Volumen
Vergleich E-Feld
20
2
2121
Ew
CUW
el
el
ε=
=
Typische Werte
l
l
l
1.010
VolW Energie chemische
1.010
VolW Energie t.elektrosta
1.0400
VolW Energie magn.
5chem
3el
m
J
J
J
≈
≈
≈
−