Stochastik Vorlesung in vier Teilen im Rahmen von Mathematik für alle, Leuphanasemester Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, 2015

Stochastik

Vorlesung in vier Teilen im Rahmen von Mathematik für alle, Leuphanasemester

Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, 2015 http://www.mathematik-sehen-und-verstehen.de

Folie 1

Laplace-Würfel ?

Bei welchen Zufallsgeräten sind alle Elementar-Ereignisse gleichwahrscheinlich?


Folie 2

Laplacian dices?

In what cases are elementary results equiprobable?

Laplace-WürfelDie Elementar-Ereignisse sind

gleichwahrscheinlich.


Folie 3

For Laplacian dices elementary resuts are equiprobable.

Ereignis = eine Menge von Elementar-Ereignissen

A={5,6} B=„ich würfele ein Primzahl“

An event is a set of elementary results.

Laplacian dices

I roll a prime number

Laplace-GesetzSind alle Elementar-Ereignisse gleich-wahrscheinlich,

dann ist die Wahrscheinlichkeit eines zusammengesetzten Ereignisses E :


( ) for E good casespossiblecases

Zahl der für E günstigen FälleP EZahl dermöglichen Fälle

Die Wahrscheinlichkeit,

dass E eintritt

Folie 4

P=Wahrscheinlichkeit, probabitity

2 1( ) ({1,2}) 0.33... 33%6 3

P A P beim Kubus-Würfel:

Laplcian law

with a cube dice

Geometrische Wahrscheinlichkeit als Zurückführung auf das Laplace-Gesetz


Folie 5

90 1( ) 0.25... 25%360 4

P rot

Wenn jede Zeigerstellung die gleiche Wahrscheinlichkeit hat, dann gilt:

120 1( ) 0.33... 33%360 3

P grün

360 90 120 150 5( ) 0.4166... 42%

360 360 12P blau

each needle positionhas the same probability

Geometric probability as affiliation of the Laplacian law

Wahrscheinlichkeitsbegriff ???


Und hier ??????

Folie 7

Suhle,Seite, Haxe,SchnauzeAstragali, römische Würfel dices of the romans

Die relative Häufigkeit bei einer langen Wurfserieist wahrscheinlich die Wahrscheinlichkeit!?!?!?!?!?!?

What can we do here?

What shall bethe concept of probability?

Wahrscheinlichkeitsbegriff ???


Und hier ??????

Folie 8

Die relative Häufigkeit bei einer langen Wurfserieist wahrscheinlich die Wahrscheinlichkeit!?!?!?!?!?!?

?Zirkuläre Begriffsbildung

Circular concepts does‘nt work!

What can we do here?

The relative frequency probably goes to the probability?


Folie 9

Zufallswege, random walks

Wir sehen uns an, wie sich die relative Häufigkeit bei langen Wurfserien verhält.

n

1

( )

numberof caseamong n rolls

Zahl der Einsenh nunter n Würfen

theoretischer Wert 16 16,6...%

grün=+/- 0.5%-Streifen rot=1-sigma-Streifen stripes

Zufallswege, random walks


Empirisches Gesetz der großen Zahl:Die relative Häufigkeit stabilisiert sich.

Folie 10

Abb. 10.6Abb. 20(-)

Weitere Fälle interaktiv oder auf dieser pdf-Seite

Empirisches Gesetz der großen Zahl

Es wird für immer größere n immer unwahrscheinlicher, das ein vorgegebener Streifen wieder verlassen wird.

law of large numbers

For growing up n it become less probable that the observed relative frequency leave a given stripe.

relative frequency become stable

Plan Stochastik


Kapitel 10

Stochastik 2• Hypothesentest bei Bernoulliversuchen auf der Grundlage der Binomialverteilung,• Signifikanz, • n-sigma-Grenzen und ihre Bedeutung• Schätzen, Konfidenzintervalle.

Stochastik 3• Normalverteilung,• Standardabweichung, Messwerte,• Wurzel(n)-Gesetz• Hypothesentest bei Messwerten,• Irrtumswahrscheinlichkeit, P-Wert. Folie 11

Stochastik 1• Zufallswege,• Fundierung des Wahrscheinlichkeitsbegriffes,• Zufallsgröße, deren • Verteilung und Erwartungswert,• Binomialverteilung und ihre Kenngrößen.

Stochastik 4• Überblick über Vorgehensweisen der Stochastik:• Elemente der beschreibenden Statistik,• Regression, Korrelation• Weitere Verteilungen, • Empirisches Forschen

Axiomezur Grundlegung einer Theorie


Forderungen an ein Axiomensystem:1.effizient2.widerspruchsfrei consistant 3.valide

so wenige Axiome wie möglich

passend zu dem Gebiet, für das es entworfen wird

Euklid: Axiome der Geometrie vor 2300 JahrenNewtonsche Axiome der Mechanik, um 1680 Axiome der Algebra, 19. Jh.

Folie 12

foundation

Wahrscheinlichkeitstheorie


Axiome von Kolmogorow 1933

1. ( ) 0 2. ( ) 1P A P 3.( ) ( ) ( )

A BP A B P A P B

Folie 13

theory of probability

Ereignisraumsample space

Elementarereignisseelementary events


3 rote und 2 grüne Socken in der Schubladezweimal hineingreifen ohne zurückzulegen

Mit welcher Wahrscheinlichkeit habe ich verschiedenfarbigeSocken an? P(different colors)?

Folie 14

urn model, pullingwithout putting back

Mehrstufige Zufallsversuchemulti-level random experiments

Mehrstufige Zufallsversuche


3 rote und 5 grüne Socken in der Schubladezweimal hineingreifen ohne zurückzulegen

Mit welcher Wahrscheinlichkeit habe ich verschiedenfarbigeSocken an? P(different colors)?

Baumdiagramm

als Sparbaumkurze Strecken=Ästevom Start bis unten=Pfade

Folie 15

branches

pathes

eco-tree

multi-level random experiments


Mit welcher Wahrscheinlichkeit habe ich verschiedenfarbige Socken an?

Die Äste werden mit Wahrscheinlichkeiten beschriftet.

Pfadregeln:Die W. eines Pfades ist das Produkt der Ast-Wahrscheinlichkeiten.

Tragen mehrere Pfade zu einem Ereignis bei, sind die Pfad-Wahrscheinlichkeiten zu addieren.

Von einen Knoten abgehende Äste habenimmer zusammen Wahrscheinlichkeit 1.

Folie 16

Mehrstufige Zufallsversuche

path-laws

multi-level random experiments

Oft braucht man nur Teile des Baumes,man nimmt einen Sparbaum (eco-tree)

Wahrscheinlichkeits-Verteilung probabitity distribution


Es wird angegeben, wie die Gesamtwahrscheinlichkeit 1bei dem Zufallsexperiment auf die Ausgänge

verteilt ist.

Folie 17

Abb.10.9

outcomes

Gleichverteilung rectangular (equal) distribution


15016

n

p

Erwartungswert Folie 18

1150 256

n p expectation value

Baumdiagramm und Verteilung


Folie 19

tree diagramm and distibution

Baumdiagramm und Verteilung


Folie 20

Zufallsgröße, Erwartungswert und Verteilungrandom variable, expectation value and distibution


Eine Zufallsgröße ist eine Größe, deren Wert vom Zufall abhängt.„Größe“ im Sinne der Physik: reelle Zahl, ggf. mit einer „Einheit“

Jedem Ereignis wirdein Wert der Zufalls-größe zugeordnet.

Die für das Ereignis gültige Wahrscheinlichkeit

wird als W. für diesen Wertgenommen.

Folie 21

like „dimension“ in physics: real number, if need so with an unit

The event E is a set of elementary outcomes. k is the value which is related to E.The the probability of k ist defined as the probability of the event E.

Krüge für den Handwerkermarkt


Entstehung von Formfehlern und Glasurfehlern als zweistufiger Zufallsversuch.

Merkmale: 1. und 2.Wahl, AusschussZufallsgröße: X= Einnahme in €

Verteilung | X mal P

( )iP X XListeErwartungswert E(X)= 1 ( )n

i ii X P X X

Folie 22

failours in form and glazeas a 2-level random

experiment1. and 2. selection

and waste

Multipliziere die Liste der Werte von X mit der Liste der Wahrscheinlichkeitenund bilde die Summe der neuen Spalte.Multiply the X-values with the probabilities in a new column and add all.

crocks for the craftsmen market

Jakob I. Bernoulli, etwa 1700


Folie 23

Bernoulli-Versuch, Bernoulli-Kette


Jakob I. Bernoulli, 1655-1705 BaselBernoulliversuch: 1. klare Ja/Nein Entscheidung

2. Wahrscheinlichkeit für Ja ist pBernoulli-Kette: n Bernoulliversuche mit konstantem pZufallsgröße : X = Zahl der „ja“ in der Kette

Folie 24

processtrial, experiment

random variablecounts the number ofsuccesses under n

yes/no

Bernoulli-Kette führt zur Binomialverteilung


Folie 25

Galton Brettbritischer Naturforscher Sir Francis Galton (1822-1911)

Die Zufallsgröße X einer Bernoullikette der Länge n ist binomialverteilt, binomially distributed

Binomial-Verteilung, Binomial distibution


( ) (1 )k n knP X k p p

k

Taschenrechner Binom Pdf Pdf(binomial distribution (10,0.3),2)

(n , p),k) Folie 26

Die Zufallsgröße X einer Bernoullikette der Länge n ist binomialverteilt

Binomial-Verteilung


( ) (1 )k n knP X k p p

k

Folie 27

The binomial distribution is used to model the number of successes in a sample of size n drawn with replacement from a population of size N. It must be n<<N

Binomial-Koeffizienten


2 2 2( ) 2a b a ab b

3 3 2 2 3( ) 3 3a b a a b ab b 4 4 3 2 2 3 4( ) 4 6 4a b a a b a b ab b

Höhere Binomische Formeln

Folie 30

binomial coefficient

( 1)...( 1)1 2 3 ( 1)

n n n n kk k k

Schreibe unten das Produkt bis k und oben genauso viele Faktoren



Taschenrechner nCr(n,k)

binomial coefficient Folie 31


www.wolframalpha.com



Taschenrechner nCr(n,k)

binomial coefficient Folie 32


www.wolframalpha.com

Binomial-Verteilung


( ) (1 )k n knP X k p p

k


(n , p),k) Folie 33

Die Zufallsgröße X einer Bernoullikette der Länge n ist binomialverteilt

Binomial-Verteilung


( ) (1 )k n knP X k p p

k


(n , p),k) Folie 34

Die Zufallsgröße X einer Bernoullikette der Länge n ist

binomialverteilt

Parameter der Binomial-Verteilung


( ) (1 )k n knP X k p p

k

Folie 35

The binomial distribution is used to model the number X of successes in a sample of size n drawn with replacement from a population of size N.The probabiltiy of one single success is p. The parameters are n and p.

The random variable X is binomial distibuted.

Parameter n und p

Kenngrößen measures der Binomial-Verteilung


( ) (1 )k n knP X k p p

k

Folie 36

Fläche für den Balken k.Area of the bar with number k.

Erwartungswertexpectation value

n p

dort steht der höchste Balken

it is the position of the highest bar

2 n p q

n p q

Varianz

Standardabweichung

variancestandard deviation

sigma

Binomial- und Normalverteilungbinomial and normal distibution


1-sigma-Abstandliegt bei den Wendepunkten

Ergebnisse außerhalb des 2-sigma-Bereichs heißen „ungewöhnlich“,sie treten mit 5% W. auf.

sehr ungewöhnlich

Beim Testen: signifikant auf dem 5% Niveau // hochsignifikantFolie 37

The inflection points define the 1-sigma-distance

Results outside of the 2-sigma-region are called „abnormal“, their probability is 5%.

eminent abnormal

C:\Users\User\masuv\10stochastik\normalverteilung-binomi.ggb

Fixe Überlegungen quick thinking

Folie 38



Folie 39



Folie 40



Folie 41


Kenngrößen der Binomialverteilung


Erwartungswert

( )E X n p

der Zufallsgröße X = Anz. der „ja“in der Kette n, p

Klein Fritzchen-

Wert

Oh je!

Folie 42

Kenngrößen der Binomialverteilung


Varianz = Erwartungswert die Abweichungsquadrate

Standard-abweichung

vom Mittelwert 2k 2( ) ( )Var P X k k noch

schlimmer!

2( ) (1 )

(1 )

Var X np p

n p p

Folie 43

Seminarplan Stochastik 1


www.mathematik-sehen-und-verstehen.de

W.-Rechner

Folie 44

Das war Stochastik 1• Zufallswege,• Fundierung des Wahrscheinlichkeitsbegriffes,• Zufallsgröße, deren • Verteilung und Erwartungswert,• Binomialverteilung und ihre Kenngrößen.

C:\Users\User\masuv\10stochastik\Binomialverteilung_pur_ggb.ggb

C:\Users\User\masuv\10stochastik\wahrscheinlichkeitsrechner_ggb.ggb

Beurteilende Statistik inferential statistics


Schluss von einer Stichprobe auf die Grundgesamtheit

Testen:Hypothesentesthypothesis testing

Schätzen:Konfidenzintervallestimationconfidence interval

zwei Handlungs-Typen there are two types to handle it

Folie 45

schließende Statistikinferentielle Statistik

Die Aufgabe ist:The issue is:

statistical inference from the sample to the population

Wir wollen die Hypothese H1 durch eine Stichprobe statistisch stützenBisher galt (unsere Geger meinen) H0

Beurteilende Statistik inferential statistics


Schluss von einer Stichprobe auf die Grundgesamtheit

Testen:Hypothesentesthypothesis testing

Schätzen:Konfidenzintervallestimationconfidence interval

zwei Handlungs-Typen there are two types to handle it

Folie 46

schließende Statistikinferentielle Statistik

Die Aufgabe ist:The issue is:

statistical inference from the sample to the population

Ziel: Forschungshypothese H1durch Stichprobe stützen.Intention: the sample shall support H1

Wir haben noch kein Wissen.Die Stichprobe soll Auskunft geben.We are nescient, the sample shall inform us

Forderungen an die Stichprobedemands on the sample


Generelle Voraussetzung: General conditionDie Stichprobe muss „repräsentativ“ sein. Am besten man verwirklicht : Jedes Element der Grundgesamtheit muss dieselbe Chance haben, in die Stichprobe zu kommen, wie jedes andere.

The sample has to be representativ. The best way to do this is:Any element of the population must have the same chance to come into the sample.

Folie 47

Es gibt verschiedene Wege, zu repräsentativen Stichproben zu kommen und die werden in speziellen Büchern oder dickem Statistik-Büchern vorgestellt. Andreas Quatember ISBN 978-3-642-39605-2 ISBN 978-3-642-39606-9 (eBook) (verständlich)

Hypothesentest hypothesis testing


Man hat eine Vermutung, die wird zur „Forschungshypothese“ H1.

Das logische Gegenteil wird zur „Nullhypothese“H0.

1 : 0.3H p

0 : 0.3H p

Folie 48

Experiment: Biolix put a lot of cardboard pices on the ground :30% round and 70% triangels

The scientists observed that newly hatched chicks soon start picking only round grains ra-ther than angular ones. They assume this behavior is hereditary, research hypothesis H1.

Die Nullhypothese kann man niemals beweisen oder unterstützen oder (nach dem Test) für wahr halten. Sie bildet die stets die Rechengrundlage.

The null hypothesis H0 must be the logical contrary of H1. Ist is never possible to proof or support H0. All computation will based on H0.

deutsch in meinem Buch 10.7.1

Hypothesentest hypothesis testing


0 : 0.3H p

Signifikanztest: Das Versuchsergebnis legt das „kritische Gebiet“ fest.

Dieser Versuch zeigt kein signifikantes Egebnis. 5% ?

Nein, keine Aussage möglich!!!No conclusion ist possible!!!

Folie 49

Bernoulli trial rund/ eckig round or trianglemehr Attrappen als im Bild, more dummies then the picture shows

konstant0.3p Biolix watched one just sliped chick. It picked 5 times, among that 3 round forms.

He prepared the demonstration for the scientists.

citical region

not significant

Hypothesentest als Signifikanztest

Die Aussagekraft steigt –bei gleichen Verhältnissen- mit dem Stichprobenumfang n.

W.-Rechner


Hier ist es ein einseitiger Test, weil man vorher wusste, dass eher mehr runde Körner gepickt werden. Folie 50

6 310 5

kn

12 320 5

kn

Biolix zuerst 35

significant high significant

the same ratio but more power

The knowlege at the begin give the permissionfor the one-sided test.



Sprechweisen beim HypothesentestHow to speak in hypothesis testing

1. Bei n=10 haben die Küken signifikant ( ) mehr runde Körner gepickt als zu erwarten war.

2. Bei n=20 haben die Küken hochsignifikant( ) mehr runde Körner gepickt als zu erwarten war.

3. Wir nehmen daher unsere Forschungshypothese an: „Küken haben eine angeborene Vorliebe für runde Körner“ (Signifikanzniveau unter 5%)

5%

1%

W.-Rechner


Folie 51

1. By n=10 the chicks picked significantly more round grains than we expected.

2. By n=20 the chicks picked high significantly (alpha < 1%) more ….

3. We accept our research hypothesis: „Chicks have a hereditary preferenz forround grains.“ (level of significance less than 5%)



4. Mit einer Irrtumswahrscheinlichkeit von weniger als behaupten wir, dass Küken eine genetische Prägung auf runde Körner haben.

Hypothesentest

5. Wir konnten die Hypothese, Küken lernten erst allmählich, dass nur runde Körner essbar sind, auf einem Signifikanzniveau von unter 5% ablehnen.

5%

W.-Rechner


Weitere Redeweisen:

More modes of speaking:

Hypothesen gelten ganz oder gar nicht, sie haben keinerlei Wahrscheinlichkeit.

Folie 52

4. With an error probability of less than 5% we suggest that Chicks have a genetic imprinting for round grains.

5. We could disclaim the hypothesis that chicks are learning day by day that onlyround grains are eatable with a 5%-level of significance.

english sentence follows next


Hypothesentest

6. Die Hypothese, dass das Picken auf runde Körner angeboren ist, gilt mit 95%Wahrscheinlichkeit.7. Nur 5% der Küken müssen das Picken auf runde Körner erst lernen.8. 95% des Pickverhaltens kann man mit der Genetik erklären.

W.-Rechner


Falsche Redeweisen:

Folie 53

6. The hypothesis that picking round grains is hereditary is valid with a probability of 95%.7. Only 5% of the chicks have to lern to pink better round grains.8. 95% of the picking-behavior can be explained with genetics.

Wrong modes of speaking:

Correct is: No hypothesis has any probability. A hypothesis is total correct or total incorrect.


Hypothesentest durchführen -1-


• Entscheide, welche Verteilung zu deinem Experiment passt.• Entscheide, ob es ein einseitiger oder zweiseitiger Test sein soll. Für „einseitig“ muss man vor der Durchführung Gründe für eine Richtung nennen • Nimm als Forschungshypothese Hypothese H1 die Behauptung, die

du mit dem Versuch absichern möchtest.• Die Nullhypothese H0 ist das logische Gegenteil.• Alle Rechnungen erfolgen mit den Parametern von H0. Diese sind die Basis für deine potentiellen Gegner.• Nun gibt es zwei Wege weiterzumachen:

Folie 54

Erstens: Das Signifikanzniveau ergibt sich aus dem Test. Du kennst das Gesetz alpha<=5%.

Zweitens: : Das Signifikanzniveau wird vorgegeben. Du nimmst den Verlust wichtiger Information in Kauf.

Der erste Weg reagiert darauf, dass es heute einfach ist, die Werte von zu berechnen. Z.B. ist beim links-einseitigen Test:

( )P X k

Der zweite Weg ist der ältere. Man wähltdas Niveau aus einer Liste aus.Z.B. gehört zu den 2-sigma-Grenzen das Niveau zweiseitig.

( )P X k 5%

Hypothesentest durchführen -2-


Erstens: „Signifikanztest“:

Die Befürworter des zweiten Weges befürchten, man könnte das berechnete nehmen, auch wenn es größer als 5% ist. Aber das tut man nicht!!

Folie 55

• Führe die Schritte der vorigen Seite durch..• Führe den statistischen Versuch durch, das Ergebnis sei k.• k (inklusive) bildet die Grenze des kritischen Gebietes. Das ist der Teil der x-Achse mit den Ergebnissen, die für die Hypothese H1

noch besser sind als k.• Berechne auf der Basis von H0 • Für ist nichts entschieden. Das Ergebnis k ist verträglich mit H0, du weißt nicht, ob H0 gilt oder nicht, du weißt nicht, ob H1 gilt oder nicht, .• Für kannst du H1 annehmen und H0 verwerfen. Das Ergebnis k ist signifikant auf dem Niveau . Darüberhinaus ist die Wahrschein- lichkeit für den Fehler 1. Art, also H1 anzunehmen, obwohl H0 gilt.

( )P X kritischem Gebiet 5%

5%

Zweitens: Das kritische Gebiet folgt bei diesem Weg aus der Vorgabe von . Aber in einem zweiten Schritt wird bei diesem Weg der (genauere) Wert aus dem ersten Weg berechnet und man nennt ihn den P-Wert oder p-Wert.(Aus didaktischem Grund ist dieses ungeschickt, da p oft eine ganz andere Bedeutung hat.)

How to do Hypothesis testing -1-


• Decide which type of distribution suits your experiment.• Decide, whether you take a one or a two sided test? For choosing „one

sided“ you would need reasons before you do the test.• Take as reseach hypothesis H1 the assumption you wish to proove.• The null hypothesis H0 is the logical contrary.• Any computation works on the values of H0. That is the basis for your

potential opponents.• There are two ways to proceed now:

Folie 56

First: level of significance is result of testing. You accept the law alpha<=5%

Second: level of significance alpha is predefined. You accept that important information is lost.

The first way is a modern approach, where the values of are easy to compute.I.e. for a left sided test is ( )P X k

The second way is the former type.You choose the level out of a list.I.e. with the 2-sigma-bounds you have level two sided.( )P X k 5%

How to do Hypothesis testing -2-


First way: „significance testing“:

The promotors of the second way are afraid, that one could take the computed without respecting the less 5%-law. But this fear for good scientists is unrealistic.

Folie 57

• Do the steps on the previous page.• Do the experiment. The result shall be k.• k (incusive) is the bound of the critical region. This is the part of the x-axis, where the results are which are better than k for the

hypothesis H1.• Compute with the values of H0 • If nothing is decided. The result k is compatible with H0, you don‘t know if H0 is valid or not, you don‘t know if H1 is valid ar not.• If you can accept H1 and reject H0. The result k is significant on level . Furthermore is the probability for the error of the 1. kind, that is the error to accept H1 while H0 is correct.

( )P X critical region 5%

5%

Second way: The citical region comes here from the chosen . But in a second step the value from the first way will be computed und is called P-value or p-value. (For didactical reasons it is no so good, because has an other meaning).

Konfidenzintervalle intervals of confidence


Konfidenz

Folie 58


Die Grenzen des Konfidenzintervalles sind die Erwartungswerte der Verteilungen, mit denen die Zählung gerade noch verträglich auf dem Niveau ist.

1

Folie 60

n=40 k=12

english follows



The bounds of the confidence interval are the expectation values of the distibutions which are just compatible with the data on the level .

Folie 61

1

approx minimumexact miniumdata….

2 1 Wir nehmen z=2 fürNiveau 95%.Genauer wäre z=1.96.Der Unterschied ist unerheblich.



Folie 62


Beobachtung:observation:

k=23 von 184 Feldern mit Kohl haben den Schädlingk=23 of 184 fields with cabbage have the pest

Punktschätzungpoint estimation

23 1184 8 0.125 12.5%h

relative Häufigkeit, relative frequency

Es passt die Binomialverteilung n=184, p=hThe binomial distibution suits. yes/no pest/not pest

Konfindezintervall näherungsweise auf dem 95%-Niveau= Verträglichkeitsbereich für die Punktschätzung

Confidence interval approximative at the 95%-level = compatibility region of the point estimation

Wir erwarten zwischen 7,6% und 17,4% Felder mit Schädlingen. We expect …… fields with pest.


Folie 63


Eine Startwochengruppe kann man Zufallsauswahl der Erstis betrachten.25 von 30 Erstis fahren Weihnachten zu den Eltern.Geben Sie ein 95%-Konfidenzintervall an, für den Anteil der Erstis insgesamt,die Weihnachten zu den Eltern fahren.

One group of the starting week can be considered as random selection. 25 of 30 Erstis travel at christmas to the parents.Give the 95%-confidence interval, for the ratio of all Erstis which travel at christmas to the parents.


Folie 64


Eine Startwochengruppe kann man Zufallsauswahl der Erstis betrachten.25 von 30 Erstis fahren Weihnachten zu den Eltern.Geben Sie ein 95%-Konfidenzintervall an, für den Anteil der Erstis insgeamt,die Weihnachten zu den Eltern fahren.

One group of the starting week can be considered as random selction.25 of 30 Erstis travel at christmas to the parents.Give the 95%-confidence interval for the ratio of all Erstis which travel at christmas to the parents.

Unsere kleine Umfrage hat ergeben, dass zwischen 73% und 97% unsere Erstis Weihnachten zu den Eltern fahren.Die Wahrscheinlich für die Richtigkeit dieserAussage ist etwa 95%.

Our result says: between 73% and 97% travel at christmas to the Parents.

Seminarplan Stochastik 2


Folie 65

Das war Stochastik 2• n-sigma-Grenzen und ihre Bedeutung • Hypothesentest bei Bernoulliversuchen auf der Grundlage derBinomialverteilung,• Signifikanz, • Schätzen, Konfidenzintervalle.

Folien sind kein Lesebuch!Sides don‘t be a book for reading it!Ohne Lesen kein Studium!No studies without reading!

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Stochastik Vorlesung in vier Teilen im Rahmen von Mathematik für alle, Leuphanasemester Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, 2015