Information · bildlich-abstrakt dargestellt wird. 2.2 Rahmen- und Lernbedingungen „Den Kindern altersadäquate Sachsituationen anbieten – wenn möglich von echten statt von konstru-ierten

Themenheft Mathematik „Modellieren“ Volksschule Grundstufe I + II

Bildungsstandards –für höchste Qualitätan Österreichs Schulen

Info

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Themenheft Mathematik „Modellieren“

Volksschule Grundstufe I + II

Impressum

Herausgeber:Bundesinstitut für Bildungsforschung, Innovation & Entwicklungdes österreichischen SchulwesensStella-Klein-Löw-Weg 15 / Rund Vier B, 2. OG1020 Wien

in Kooperation mit demBundesministerium für Unterricht, Kunst und KulturAbt. I/1Minoritenplatz 51014 Wien

Themenheft Mathematik „Modellieren“. Volksschule Grundstufe I + IIBIFIE (Hrsg.), Graz: Leykam, 2012ISBN 978-3-7011-7801-8

Einbandgestaltung: Die Fliegenden Fische, Salzburg& Andreas Kamenik, BIFIE I Zentrales Management & ServicesLayout & Satz: Andreas Kamenik, BIFIE I Zentrales Management & Services,Ulrike L. Gamsjäger, Nadine Landsrath, BIFIE Wien I Zentrum für Innovation & QualitätsentwicklungRedaktion & Lektorat: Alexander Ruprecht, Stefan Terler & Brigitte Zöchlinger,BIFIE Wien I Zentrum für Innovation & QualitätsentwicklungDruck: Druckerei Theiss GmbH, 9431 St. Stefan i. L.Vertrieb an den Buchhandel: Leykam Buchverlagsgesellschaft m.b.H. Nfg. & Co.KG

Die angebotenen Texte und Beispiele zur Umsetzung im Unterricht können an österreichi-schen Schulen und an Pädagogischen Hochschulen in den Bereichen der Aus-, Fort- und Weiterbildung von Lehrerinnen und Lehrern in dem für die jeweilige Lehrveranstaltung erfor-derlichen Umfang von der Website des BIFIE (https://www.bifie.at) heruntergeladen, kopiert und verbreitet werden.

Autorinnen und Autoren:Maria FastAndrea GerberMaria KothRudolf LangerChristina MeließnigFranz NöstererFranz PlatzgummerCorinna Straka

Koordination: Brigitta ScheiberBrigitte Zöchlinger

Inhalt

3 Vorwort

5 1 ModellierenimMathematikunterrichtderGrundschule

7 2 ModellierenalsKompetenzbereichderBildungsstandardsfürMathematik,4.Schulstufe

8 2.1 Einige Begriffsdefinitionen zum Kompetenzbereich Modellieren 9 2.2 Rahmen- und Lernbedingungen 9 2.3 Der Modellierungsprozess 11 2.4 Der Modellierungsprozess, an einem Beispiel veranschaulicht 16 2.5 Erfinden von Rechengeschichten (zu Termen Sachaufgaben erstellen) 17 2.6 Querverbindungen zwischen allgemeinen und inhaltlichen Kompetenzen

21 3 Unterrichtskultur,diedasModellierenfördert

21 3.1 Aufgabentypen gezielt einsetzen 26 3.2 Informationen entnehmen 26 3.3 Problemorientiertes Vorgehen 27 3.4 Reflektieren über Lösungswege 27 3.5 Fächerübergreifende Lernfelder einbeziehen 32 3.6 Schülerleistungen bei Modellierungsaufgaben erfassen und analysieren 37 3.7 Modellieren mithilfe des Schulbuchs

38 4 MöglichkeitenzurUmsetzungimUnterricht

38 4.1 Bearbeitungshilfen 56 4.2 Weiterführende Beispiele

65 5 Literaturverzeichnis

67 6 KommentierteLiteraturempfehlungen

72 Anhang

72 Bildungsstandards für Mathematik, 4. Schulstufe 75 Rechtliche Grundlagen

3

Vorwort

Das vorliegende Themenheft Mathematik zum allgemeinen Kompetenzbereich Modellieren ist das zweite einer Reihe von Themenheften, die ergänzend zum Praxishandbuch „Mathe-matik“ 4. Schulstufe vom Bundesinstitut für Bildungsforschung, Innovation & Entwicklung des österreichischen Schulwesens in Kooperation mit dem Bundesministerium für Unterricht, Kunst und Kultur herausgegeben werden.

Der allgemeine Kompetenzbereich Modellieren eröffnet den Schülerinnen und Schülern die Möglichkeit, mithilfe der Mathematik die Umwelt zu erschließen. Durch den schrittweisen Aufbau dieser Kompetenz erwerben Kinder die Fähigkeit, die Realität mit der Mathematik zu verbinden und in Situationen des Alltags den Bezug zur Mathematik herzustellen. Dieses Themenheft befasst sich gezielt mit dieser Handlungskompetenz und bietet Lehrerinnen und Lehrern somit eine fokussierte Unterstützung auf dem Weg zum kompetenzorientierten Ma-thematikunterricht in der Volksschule.

Das Heft beinhaltet fachdidaktische Texte, in der Praxis erprobte Unterrichtsbeispiele und zahlreiche Übungsangebote, um Modellierungskompetenzen der Kinder zu stärken. Diese Kombination von methodischen Anregungen und konkreten Hilfestellungen soll Lehrerinnen und Lehrern die Vorbereitung und Gestaltung des Unterrichts auf der Grundstufe I und der Grundstufe II erleichtern.

Wir hoffen, Sie mit dieser Publikation bei Ihrer anspruchsvollen Aufgabe unterstützen zu kön-nen, Ihren Schülerinnen und Schülern jene Kompetenzen zu vermitteln, die für deren weiteren Bildungsweg entscheidend sind.

LSI Mag. Gabriele Friedl-LucyshynLeiterin des BIFIE Wien I Zentrum für Innovation & Qualitätsentwicklung

Themenheft Mathematik „Modellieren“, Volksschule Grundstufe I + II 5

„Wer zur Quelle gehen kann, der gehe nicht zum Wassertopf.“ (Leonardo da Vinci)

Volksschulkinder lernen Mathematik unter anderem als ein Mittel kennen, mit dem die Umwelt erfasst und beschrieben werden kann. Vergleichen, Zählen, Rechnen, Messen und Zeichnen helfen, die Welt zu strukturieren und sich mit den Phänomenen unserer Umwelt vertiefend auseinanderzusetzen (BIFIE & BMUKK, 2011, S. 6). Die Fähigkeit, mithilfe von Mathematik die Umwelt zu erschließen, wird in den Bildungsstandards im Kompetenzbereich Modellieren gefordert. Kompetenz im Modellieren bedeutet, mathematische Modelle von realen Situa-tionen zu bilden, diese mathematisch weiterzuführen und bezogen auf die Wirklichkeit zu interpretieren.

Lernen mit Bezug zur Wirklichkeit findet im Mathematikunterricht der Volksschule schon seit jeher vor allem in Form des Sachrechnens, d. h. in anwendungsorientierten Aufgaben, statt, und bietet die Möglichkeit, Erfahrungen aus der Lebenswelt des Kindes aufzugreifen. Sehr oft erschöpft sich der Bezug zur Wirklichkeit nur im Lösen von lehrgangsorientierten, inhaltlich wenig interessanten Aufgaben (Dröge, 1991). Sie sind im traditionellen Sachrechnen, meist als Textaufgaben, präsent. Im vorliegenden Heft wird nicht in Frage gestellt, dass auch tra-ditionelle Sachrechnungen im Mathematikunterricht ihren Platz haben sollen. Eine fast aus-schließlich von solchen Aufgaben dominierte Sachrechenpraxis entspricht jedoch nicht den Anforderungen der Bildungsstandards.

Welche Aufgaben sind geeignet, damit Kinder Kompetenzen im Modellieren erwerben? Kin-der treffen in ihrem Alltag auf unzählige Situationen mit einem Bezug zur Mathematik. Wo überall versteckt sich Mathematik? Die folgenden Bilder zeigen Situationen, die im Unterricht aufgegriffen werden können.

Abb. 1: Mathematik im Alltag

1 Modellieren im Mathematikunterricht der Grundschule

Beitrag der Mathematik zur Bildung

Sachrechnen und Modellieren

Mathematik im Alltag

6 Themenheft Mathematik „Modellieren“, Volksschule Grundstufe I + II

Das Ziel im Unterricht ist, den Fokus mittels „mathematischer Brille“ so zu schärfen, dass entsprechende Situationen als mathematikhaltig erkannt werden. Solche realitätsbezogenen Aufgaben erweitern den Blick der Kinder. Diese werden neugierig, lassen sich auf die Sache ein und können Mathematik über die Wirklichkeit erleben bzw. verstehen. Damit wird die Mathematik auch mit anderen Lernbereichen der Grundschule stärker verzahnt.

Unter Modellieren werden alle Prozesse verstanden, die zu Lösungen führen und in einem realitätsnahen Unterricht stattfinden. Modellieren verlangt daher immer einen direkten Rea-litätsbezug. Die Verknüpfung von Realität und Mathematik im Modellierungsprozess veran-schaulicht die folgende Grafik:

Abb. 2: Modellierungsprozess

Wie Kinder Mathematik erleben, hängt nicht vordergründig von den ausgewählten Inhalten ab, sondern von der Art und Weise, wie diese den Kindern nähergebracht werden. Entschei-dend für das Entwickeln von Einstellungen zum Modellieren auf Seiten des Kindes wird auch sein, wie Lehrer/innen ihren Unterricht gestalten:

� Ermöglichen sie eine motivierende Auseinandersetzung mit dem Thema? � Wird auf die Erfahrung der Kinder Rücksicht genommen? � Werden verschiedene Lösungsroutinen angeregt und zugelassen? � Wird der Prozess des Lösens in den Mittelpunkt gerückt? � Muss das Ergebnis immer richtig sein? � Dürfen Fehler gemacht werden? � Wie wird mit Fehlern umgegangen? � …

Dem Zitat von Leonardo da Vinci folgend, soll die Umwelt nicht in reduzierter Form, als „Wasser topf“, sondern als „Quelle“ genützt werden.

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Situations-modell

Sachproblem Lösung

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MathematisierenAbstrahierenIdealisieren

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REALITÄT

MATHEMATIK

Modellieren in den Bildungsstandards

Gestaltung des Unterrichts


2 Modellieren als Kompetenzbereich der Bildungsstandards für Mathematik, 4. Schulstufe

Modellieren wird in den Bildungsstandards als eigener Kompetenzbereich innerhalb der all-gemeinen mathematischen Kompetenzen genannt. Diese Kompetenzen betonen wichtige Aspekte des Mathematikunterrichts, die bisher wenig berücksichtigt worden sind.

„Allgemeine mathematische Kompetenzen zeigen sich in der lebendigen Auseinandersetzung mit der Mathematik. Es handelt sich um prozessbezogene Kompetenzen, die Schüler/innen in der Auseinandersetzung mit mathematischen Inhalten erwerben. Die angeführten Kom-petenzen beschreiben Handlungen, die für die Bearbeitung und Nutzung der inhaltlichen Teilbereiche notwendig sind.“ (BIFIE & BMUKK, 2011, S. 8)

Abb. 3: Kompetenzbereiche (BIFIE & BMUKK, 2011, S. 7)

In der Verordnung über Bildungsstandards im Schulwesen lautet der Text zum Kompetenz-bereich Modellieren:

Eine Sachsituation in ein mathematisches Modell (Terme und Gleichungen) übertragen, dieses lösen und auf die Ausgangssituation beziehenKompetenzen:Die Schülerinnen und Schüler können

� aus Sachsituationen relevante Informationen entnehmen, � passende Lösungswege finden, � die Ergebnisse interpretieren und sie überprüfen.

Ein mathematisches Modell in eine Sachsituation übertragenKompetenz:Die Schülerinnen und Schüler können

� zu Termen und Gleichungen Sachaufgaben erstellen.

allgemeine mathematische Kompetenzen

Operieren Kommunizieren

Modellieren Problemlösen

Arbeiten mit Ebene und Raum

Arbeiten mit Zahlen

Arbeiten mit Operationen Arbeiten mit Größen

Kompetenzbereiche

Allgemeine mathematischeKompetenzen

Inhaltliche mathematischeKompetenzen

Auszug aus BGBl. II Nr. 1/2009


2.1 EinigeBegriffsdefinitionenzumKompetenz-bereichModellieren

Sachproblem

Ein Sachproblem bezieht sich stets auf die reale Welt. Es kann sich dabei um eine reale Situ-ation handeln, Sachprobleme können aber auch durch ein Bild oder einen Text aus der Welt des Kindes repräsentiert werden.

Situationsmodell

Das Situationsmodell stellt die Sichtweise des Kindes dar und beschreibt, wie das Sachpro-blem aufgefasst wurde. Dabei kann auf bekannte Strukturen, z. B. die Struktur Preis – gege-benes Geld – Rückgeld, zurückgegriffen oder es müssen neue Strukturen gebildet werden.


Modelle bilden einen bestimmten Teil der Realität abstrakt ab. Sie reduzieren die Komplexität und abstrahieren vom Konkreten. Das mathematische Modell ist ein Bestandteil der allgemei-nen mathematischen Kompetenz Modellieren. Es kann unterschiedliche Formen annehmen: Zahlen, Rechenausdrücke, Zahlenfolgen, Graphen, geometrische Figuren, Algorithmen …

Modellieren

Unter Modellieren versteht man, eine Sachsituation in ein mathematisches Modell zu übertra-gen. Dazu ist es erforderlich, den mathematischen Stellenwert eines Problems zu erkennen, die benötigten Daten zu sichten und einen geeigneten Lösungsweg zu finden. Das Ergebnis ist im Hinblick auf die Sachsituation zu interpretieren und auf seine Gültigkeit zu überprüfen.

Abstrahieren

Abstrahieren meint einen Vorgang des Weglassens von nicht bedeutsamen Einzelheiten, um etwas Allgemeineres zu fokussieren.

Mathematisieren

Mathematisieren bezeichnet die Fähigkeit, Zusammenhänge und Gesetzmäßigkeiten zu er-fassen und das mathematisch Relevante herauszulösen, z. B.: eine Situation algebraisch beschreiben; bei Sachaufgaben erkennen, wie man rechnen muss usw.

Interpretieren

Unter Interpretieren versteht man, aus mathematischen Darstellungen Zusammenhänge und Sachverhalte zu erkennen und zu deuten. Dies tritt in der Grundschulmathematik beson-ders beim Lösen von Sachproblemen auf. Das Ergebnis, welches das Kind errechnet oder geometrisch dargestellt hat, wird mit der ursprünglichen Fragestellung in Zusammenhang gebracht und gedeutet.


Validieren

Validieren heißt auf Gültigkeit überprüfen. Beim Lösen von Sachproblemen gilt es, die erhal-tenen Ergebnisse (Lösungen) an der Ausgangssituation zu messen und auf ihre Plausibilität zu überprüfen.

Rechengeschichte

Eine Rechengeschichte ist eine sprachlich gestaltete Sachaufgabe, die in eine erzählte Ge-schichte eingekleidet ist.

Situationsskizze

Eine Situationsskizze ist eine grafische Darstellung, bei der eine Sachsituation, z. B. ein Text, bildlich-abstrakt dargestellt wird.

2.2 Rahmen-undLernbedingungen

„Den Kindern

� altersadäquate Sachsituationen anbieten – wenn möglich von echten statt von konstru-ierten Sachsituationen ausgehen,

� Zeit geben, sachbezogene Fragen zu stellen, � die Möglichkeit geben, eigene Sichtweisen und Lösungswege zu entwickeln, � in verschiedenen Darstellungsebenen Operationsstrukturen anbieten, um die Grundvor-

stellungen von Rechenoperationen zu sichern, � den Vergleich der Ergebnisse mit den zuvor durchgeführten Überschlagsrechnungen als

Vorteil aufzeigen, � nachhaltig bewusst machen, dass sie die Ergebnisse in Bezug auf ihre Gültigkeit zur

Sachsituation hin überprüfen sollen, � Gelegenheiten eröffnen, ihren individuellen Lösungsweg schriftlich festzuhalten, � bei Problemen passende Bearbeitungshilfen anbieten, die den Prozess des Sachrech-

nens unterstützen.

Während des gesamten Prozessablaufes sollen die Kinder aufgefordert werden, ihre Lö-sungsstrategien zu verbalisieren. Diese sprachliche Auseinandersetzung schafft Klarheit.

Divergente Denkweisen werden z. B. in Strategiekonferenzen bewusst gemacht.“ (BIFIE & BMUKK, 2011, S. 10)

2.3 DerModellierungsprozess

Beim Modellieren stehen Schüler/innen vor der Situation, Mathematik auf eine konkrete Auf-gabenstellung der Erfahrungsumwelt anzuwenden.

Die Fähigkeit des Modellierens ist ein individueller, zyklischer Konstruktionsprozess, der von den Schülerinnen und Schülern weitgehend autonom in der Auseinandersetzung mit Sach-problemen zu leisten ist. Die folgende Grafik veranschaulicht den Ablauf des zyklischen Kon-struktionsprozesses, der unter Umständen mehrmals durchlaufen werden muss:


Abb. 4: Modellierungsprozess

IndividuellesKonstruieren,Abstrahieren

Ausgehend von einem fiktiven oder realen Sachproblem wird mithilfe eigener Erfahrungen bzw. entsprechender Denkstrategien das Problem erfasst. Dieses konstruiert jede Schülerin bzw. jeder Schüler für sich selbst neu, es entsteht ein Situationsmodell (individuelles Konstru-ieren). Dabei kann auf unwichtige Details verzichtet werden (Abstrahieren).

Mathematisieren,Abstrahieren,Idealisieren

Darunter versteht man eine mathematische Interpretation des konstruierten Situations-modells. Das Situationsmodell wird durch Weglassen von nicht strukturbildenden Merkma-len (Abstrahieren) bzw. durch Hinzufügen oder Annehmen von Merkmalen (Idealisieren) in ein mathematisches Modell übergeführt. Dabei wird mathematisch Relevantes herausgelöst (Mathematisieren), z. B. durch Messen, Zählen, Schätzen, Finden der passenden Rechen-operation, Finden von möglichen Lösungswegen ... Bei eingekleideten Aufgaben ist das Modell bereits in der Aufgabenstellung vorgegeben. Bei Textaufgaben gibt es die Möglichkeit, die Aufgabe entweder durch ein den Schülerinnen und Schülern bekanntes Modell zu lösen oder eine neue Lösungsstrategie zu finden.

Verarbeiten,Rechnen,Konstruieren

Im mathematischen Modell wird das Sachproblem mithilfe mathematischer Zeichen festge-halten. Die Darstellung kann in Form einer Gleichung („Rechensätzchen“), eines Rechenplans oder einer Grafik bzw. durch individuelles Dokumentieren der Rechenschritte erfolgen.

Mittels mathematischer Verfahren (schriftliches Rechnen, Kopfrechnen, Konstruktion …) wird eine Lösung des mathematischen Modells erarbeitet. Die Lösung ist das Ergebnis dieser mathematischen Transformation.

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nSituations-modell

Sachproblem Lösung



InterpretierenValidieren

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REALITÄT

MATHEMATIK


Interpretieren,Validieren

Die aus dem Verarbeiten gewonnenen Ergebnisse werden mit der realen Situation in Zusam-menhang gebracht (z. B. passende Antwort, genaue Zeichnung …) und auf ihre Plausibilität überprüft. Weiters soll ein Rückblick auf den gewählten Lösungsweg dahingehend erfolgen, ob dieser zielführend war (z. B. Verbalisieren, Argumentieren des Lösungswegs …).

Während des gesamten Prozessablaufs sollen die Kinder aufgefordert werden, ihre Lösungs-strategien zu verbalisieren. Diese sprachliche Auseinandersetzung schafft Klarheit. Divergente Denkweisen werden z. B. in Strategiekonferenzen bewusst gemacht.

2.4 DerModellierungsprozess,aneinemBeispielveranschaulicht

Monika bastelt für den Muttertag ein Schlüsselbrett. Ihr Brett ist 60 cm lang. Sie will zum Aufhängen der Schlüssel 5 Nägel darauf befes-tigen.

Die Abstände vom Rand zum Nagel und zwischen den Nägeln sollen gleich groß sein.

Abb. 5: Schlüsselbrett

Nur wenige Kinder der 3. Schulstufe konnten das Beispiel ohne Situationsmodell richtig lösen.Kinder, die ohne viel nachzudenken schnell rechneten, kamen zu folgendem Ergebnis:

Abb. 6: Schlüsselbrett – Ergebnis 1

Daraufhin wurde mit der Gruppe von Kindern, die diese Lösung gefunden hatte, das folgende Gespräch geführt:

Lehrerin: Erklärt mir, wie ihr zu diesem Ergebnis gekommen seid.Alexander: Naja, es steht ja 60 cm und da müssen fünf Nägel drauf.Lehrerin: Zeichnet das einmal auf.Lukas: Können wir das auch im Werkraum basteln?Lehrerin: Wer will, zeichnet es, und wer will, kann es im Werkraum basteln.

Aufgabenstellung

Erstzugang

gelenktes Unterrichts-gespräch


Nun zeichneten einige Kinder das Schlüsselbrett und einige sägten und hämmerten im Werk-raum.

Abb. 8: Schlüsselbrett – Werkraum 1

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Situations-modell

Sachproblem

Teil des Modellierungs-prozesses

Abb. 7: Vom Sachproblem zum

Situationsmodell


Abb. 9: Schlüsselbrett – Zeichnung


Abb. 11: Vom Situationsmodell zum mathematischen Modell

Situations-modell





Lösung


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Abb. 14: Vom mathematischen

Modell zur Lösung





Ein Kind hatte trotzdem noch eine falsche Lösung:


Mit diesem Kind wurde folgendes Validierungsgespräch durchgeführt:

Lehrerin: Lies bitte deine Antwort noch einmal.Lena: Die Abstände sind 10 m lang.Lehrerin: Kann das sein?Lena: Oh, ein 10 m langes Schlüsselbrett ist vielleicht doch etwas zu groß.Lehrerin: Aber du hast ja geschrieben, dass die Abstände 10 m lang sind, dann wäre ja das

Schlüsselbrett noch viel länger. Weißt du, wie lange es dann wäre?Lena: Ja, 6 mal 10 m ist gleich 60 m – äh, es sind ja cm angegeben. Ich verbessere die

Antwort.

Abb. 16: Von der Lösung zum Sachproblem


Sachproblem LösungInterpretieren

Validieren


Validierungsgespräch


2.5 ErfindenvonRechengeschichten(zuTermenSachaufgabenerstellen)

Beim Modellieren ist auch die Umkehrung des Prozesses, nämlich das Übertragen des „ma-thematischen Modells in eine Sachsituation“, von Bedeutung. Die Schüler/innen sollen zu vorgegebenen Rechnungen Sachaufgaben selbst schreiben, eventuell grafisch darstellen.

Abb. 18: Erfinden von Rechengeschichten 1 (Sophie, 1. Schulstufe)

Abb. 19: Erfinden von Rechengeschichten 2 (Usaid, Constantino, Leposava, Daria, 2. Schulstufe)


2.6 QuerverbindungenzwischenallgemeinenundinhaltlichenKompetenzen

Mathematische Kompetenzen im Rahmen der Bildungsstandards beinhalten zwei Komponenten:

� allgemeine mathematische Kompetenzen (AK) � inhaltliche mathematische Kompetenzen (IK)

Allgemeine mathematische Kompetenzen beziehen sich auf Mathematik als Tätigkeit und sind prozessorientiert. Inhaltliche mathematische Kompetenzen spiegeln die spezifischen Gegenstandsbereiche und Sachverhalte der Mathematik wider. Beide Komponenten sind untrennbar miteinander verbunden, weil für die Lösung einer mathematischen Aufgabenstel-lung beide Komponenten benötigt werden (vgl. BIFIE & BMUKK, 2011, S. 7).

Abb. 20: Knoten AK 1 / IK 1, IK 2, IK 3, IK 4

Der allgemeine mathematische Kompetenzbereich Modellieren kann mit allen inhaltlichen mathematischen Kompetenzen verknüpft werden.

Modellieren–ArbeitenmitZahlen

Modellierungsaufgaben in dieser Verknüpfung fördern den Erwerb der Kompetenz, die Dar-stellung von Zahlen und Beziehungen zwischen den Zahlen zu erkennen, anzuwenden und zu verbalisieren.

Abb. 21: Knoten AK 1 / IK 1

IK 4

IK 3

IK 2

IK 1AK 1

AK 2

AK 4AK 3 AK 1: Modellieren

AK 2: Operieren

AK 4: Problemlösen

AK 3: Kommunizieren

IK 4: Arbeiten mit Ebene und Raum

IK 3: Arbeiten mit Größen

IK 2: Arbeiten mit Operationen

IK 1: Arbeiten mit Zahlen

Modellieren in Kombination mit allen inhaltlichen mathematischen Kompe-tenzen

IK 1: Arbeiten mit ZahlenAK 1: Modellieren


Beispiel:

Die Eintrittskarten für eine Ausstellung sind fortlaufend nummeriert. Jede 50 000ste Be-su cherin/jeder 50 000ste Besucher erhält ein Geschenk. Heute erhielt der 150 000ste Besucher ein Geschenk. Welche Nummer muss die Eintrittskarte der Besucherin/des Besuchers haben, die/der das nächste Geschenk erhält?

Modellieren–ArbeitenmitOperationen

Der Erwerb der Kompetenz, Operationen und ihre Zusammenhänge zu verstehen und münd-liches und schriftliches Rechnen sicher zu beherrschen, wird in Kombination mit Modellie-rungsaufgaben gefördert.

Beispiel:

In einer Schachtel befinden sich 55 Zündhölzer. Wie viele Zündhölzer befinden sich in 5 Schachteln?

Modellieren–ArbeitenmitGrößen

Diese Kombination behandelt die Kompetenz, brauchbare Vorstellungen von Größen zu be-sitzen, geeignete Maßeinheiten zum Messen zu verwenden bzw. mit Größen zu rechnen.

AK 1: Modellieren


AK 1: Modellieren





Beispiel:

Die Verkäuferin schneidet von einem 12 m langen Stoffballen zuerst 3 m 90 cm, dann 2 m 80 cm und zuletzt 1 m 5 cm ab. Auf das Etikett des Ballens schreibt sie: „Rest 4 m 25 cm“.

Modellieren–ArbeitenmitEbeneundRaum

In diesen Modellierungsaufgaben geht es um die Kompetenz, räumliches Vorstellungsvermö-gen zu nutzen, geometrische Figuren zu erkennen, mit geometrischen Figuren zu operieren und Beziehungen zwischen den Figuren herzustellen bzw. diese zu vermessen.

Beispiel:

Um einen rechteckigen Sportplatz (l = 60 m, b = 40 m) ist eine Laufbahn angelegt. Max läuft 3-mal um den Sportplatz. Ist er mehr als 500 m gelaufen?

In vielen Aufgabenstellungen sind allerdings mehrere sowohl allgemeine als auch inhaltliche mathematische Kompetenzen enthalten.

Abb. 25: Verknüpfung mehrerer Kompetenzbereiche

AK 1: Modellieren

AK 4: ProblemlösenAK 3: Kommunizieren



AK 1: Modellieren

IK 4: Arbeiten mit Ebene und Raum



Beispiel:

Julia bastelt ein Mobile. Sie verwendet Sterne und 3 Ringe. Ein Ring wiegt 20 g, ein Stern 15 g. Wie viele Sterne kann sie verwenden, damit das Mobile im Gleichgewicht ist? Beschreibe, wie Julia vorgeht.


3.1 Aufgabentypengezielteinsetzen

In der didaktischen Literatur und in Schulbüchern findet sich eine Vielzahl an Sachauf gaben. Um eine bessere Übersicht zu erhalten, werden sie verschiedenen Kategorien zugeteilt. Je nach Themenschwerpunkt verwenden die Autorinnen und Autoren eigene Begriffe für diese Aufgabentypen, z. B. Sachaufgaben, Textaufgaben, Problemaufgaben, Bildaufgaben, Sach-probleme, Knobelaufgaben, Kapitänsaufgaben, Projekte, Fermi-Aufgaben (vgl. Franke & Ru-wisch, 2010).

Eine mögliche Einteilung von Aufgaben ist hier dargestellt. Diese Übersicht kann als Ideen-börse für die Planung des Unterrichts dienen.

Abb. 26: Aufgabentypen

Der Einsatz verschiedener Präsentationsformen kann helfen,

� das Sachproblem in den Vordergrund zu rücken, � Schwierigkeiten beim Textverstehen zu verringern, � den Unterricht abwechslungsreicher zu gestalten.

In welcher Form die oben genannten Aufgaben den Kindern präsentiert werden, hängt vor-rangig von den Lernzielen ab, die erreicht werden sollen. Wenn dem angepeilten Ziel adäqua-te Aufgaben beigestellt werden, wird das Erreichen des Ziels leichter möglich sein.

3 Unterrichtskultur, die das Modellieren fördert

Bildaufgaben

Tabellen

Diagramme

Textaufgaben

Sachtexte

Rechengeschichten

Erfahrungs- und Lernbereichedes Sachunterrichts

Lebenswelt der KinderAlltagsbezug

Aufgabentypen

Präsentationsformen Inhaltlicher Kontext

Grafiken

Bild-Text-AufgabenTechnisches und Textiles Werken

Bewegung und Sport

...

Einteilung von Aufgaben-typen

Hilfen durch Präsentations-formen


„Präsentationsform, Inhalt und Situationskontext der Aufgabe beeinflussen das Lösungsver-halten der Schülerinnen und Schüler. Dies äußert sich

� in der Zeit, die zur Aufgabenbearbeitung benötigt wird, � in der Handlungsebene, auf der das Lösen erfolgt, � in den mathematischen Mitteln, die zum Lösen benutzt werden, � in der Motivation für das Bearbeiten der Aufgabe, � im Interesse der Kinder an der Sache bzw. an der Mathematik, � in der Offenheit hinsichtlich der Problemstellung, der Lösungswege und der Lösungs-

möglichkeiten.“ (Franke & Ruwisch, 2010, S. 62)

Im Anschluss folgen einige Beispiele zu den oben genannten Präsentationsformen.

Bildaufgabe

Besonders im Anfangsunterricht werden häufig Bildaufgaben eingesetzt, deren Interpretation anfänglich mit den Kindern gemeinsam erarbeitet werden muss.

Abb. 27: Bildaufgabe Grundstufe I

Abb. 28: Bildaufgabe Grundstufe II


Bild-Text-Aufgabe

Im Bild können Informationen gefunden werden, die für die Lösung des im Text gestellten Problems notwendig sind. Als Bild können auch Fotos, Preistafeln, Preistabellen, Dia gramme, Pläne usw. angeboten werden.

Abb. 29: Wohnungsplan

Das ist der Plan der Wohnung von Familie Beier. Wie groß ist die gesamte Wohnung samt Balkon?

Die Fußböden sollen erneuert werden. Im Wohnzimmer wird ein Parkettboden verlegt. 1 m2 Parkettboden kostet 63 €.

Die Böden von Vorraum, Küche, Bad und WC sollen neu verfliest werden. 1 m2 Flie-sen kostet 47 €.

Im Kinderzimmer und im Schlafzimmer soll ein neuer Teppichboden verlegt werden. 1 m2 Teppichboden kostet 38 €.

Balkon4 m2

Küche6 m2

Wohnzimmer20 m2

Bad5 m2

WC2 m2

Vorraum12 m2

Kinderzimmer17 m2

Schlafzimmer17 m2


Textaufgabe

In Texte eingekleidete Sachsituationen, die eindeutig bearbeitbar sind und meist mit passen-den Zahlen genau eine Lösung beinhalten, werden als Textaufgaben bezeichnet. Ein Zusam-menhang mit dem Alltag ist oftmals nicht gegeben.

Die Kinder der 4a gehen in den Tierpark. Ein Schülerticket kostet 2 € 50 c. Für 24 Kinder nimmt die Lehrerin eine Gruppenkarte um 52 € 80 c. Wie viel € und c muss nun jedes Kind bezahlen?

Abb. 30: Zoobesuch (Marwan, 4. Schulstufe)

Sachtext

Hier ist die Information zu einer bestimmten Sache gefragt. Zusätzlich wird auch das Sach-wissen erweitert.

Der Kakaobaum wird in der Natur bis zu 15 m hoch. Auf der Plantage wird er auf 4 m gestutzt.

Eine Kakaofrucht ist 15 bis 25 cm lang und 7 bis 10 cm dick. Pro Jahr trägt ein Baum ungefähr 20 bis 30 Früchte, in ganz guten Jahren bis zu 50 Früchte.

In dem weißen Fruchtmus sind ungefähr 30 bis 60 mandelförmige Kakaobohnen. Sie sind in Fünferreihen angeordnet. Zwei Bohnen wiegen ungefähr 3 g. Ein Kakaobaum bringt in einem Jahr ungefähr 1 500 g Kakao.

Für eine Tafel Vollmilch-Schokolade (100 g) benötigt man ungefähr 45 g Kakao.

Aufgabenstellung: – Schreib Fragen auf, die dich interessieren.– Schreib Fragen auf, zu deren Beantwortung du rechnen musst.


Rechengeschichten

In Rechengeschichten werden interessante Ereignisse mit mathematischem Gehalt aus der Lebenswelt der Kinder anschaulich geschildert. Sie können von Kindern verfasst oder von der Lehrperson vorgegeben werden.

Zeichne ein Aquarium mit Fischen. Schreib eine Rechengeschichte dazu.

Abb. 32: Fische (Birgül, 1. Schulstufe)

Abb. 31: Von der Kakaofrucht zur Schokolade


3.2 Informationenentnehmen

Um Modellierungsaufgaben bearbeiten zu können, ist es notwendig, dass die Schüler/innen wichtige Arbeitstechniken des Entnehmens von Informationen aus Bildern, Grafiken, Texten, Tabellen und Diagrammen bewusst anwenden können. Das Ziel ist, relevante Informationen aus vorgegebenen Quellen entnehmen zu können.

Folgende Arbeitstechniken und Lesestrategien sind besonders zu vermitteln:

� das Vorwissen aktivieren � Vermutungen anstellen � bildhafte Darstellungen verbalisieren � Fragen stellen � über den Sachverhalt kommunizieren � notwendige Informationen kennzeichnen � Informationen strukturieren � Notizen zu einem Text anfertigen � bestimmte Textabschnitte bewusst mehrmals lesen � wichtige, nicht verstandene Textstellen kennzeichnen und/oder mit Randbemerkungen

versehen � überprüfen, ob die gestellten Fragen geklärt sind

3.3 ProblemorientiertesVorgehen

Modellieren bzw. Sachrechnen ist ein komplexer Prozess, der erst durch sukzessives Hinter-einander, aber auch gleichzeitiges Ineinander von Denk- und Lösungsprozessen gelingt. So-mit stellt sich die Frage, wie diese komplexen Modellierungs- bzw. Sachrechenkompetenzen unterstützt bzw. aufgebaut und gefördert werden können.

Sachrechnen kann nicht durch Nachvollziehen von Musterlösungen oder Einüben von Schrittfolgen gelernt werden. Es geht hier nicht um algorithmisch festgelegte Schritte, die nacheinander abzuarbeiten sind. Erst durch beständiges und gezieltes Üben zum Finden von Rechenoperationen zu problemorientierten Sachsituationen kann Kompetenz im Sachrech-nen erworben werden.

Den Schülerinnen und Schülern muss die Möglichkeit geboten werden, heuristische Vorge-hensweisen gezielt einzusetzen und zu üben. Das Nachspielen bzw. Zeichnen von Sach-situationen, das Anlegen von Tabellen oder z. B. auch das gedankliche Erschließen einer ähnlichen, schon einmal bearbeiteten Aufgabe, die auf die neue Aufgabenstellung übertragen wird, unterstützen das Finden des passenden mathematischen Modells, meist in Form einer Rechenoperation.

Darüber hinaus ist es für den Kompetenzerwerb wichtig, selbstständig den Weg vom Si-tuationsmodell zum mathematischen Modell durchzuführen. Aus diesem Grund sollte dem selbstständigen Finden des Lösungswegs im Unterricht eine zentrale Stellung eingeräumt werden. Wird die Art der Rechenoperation im Unterrichtsgespräch vorweg durch die Lehr-kraft oder durch ein einzelnes Kind geklärt, so erwerben die Schüler/innen, wenn sie an-schließend allein die Rechnung rechnen, keine Modellierungskompetenzen, sondern besten-falls Rechenkompetenzen.

Individuell gestaltete Notizen, Zeichnungen, Skizzen, Lösungsversuche usw. sollen den eigen ständigen Prozess des Modellbildens unterstützen. Diese Aufzeichnungen dokumen-tieren den durchgeführten Lösungsweg auf nachvollziehbare Weise.

selbstständiges Finden des Lösungswegs


3.4 ReflektierenüberLösungswege

Mit der Lösung des Problems sollte der Modellierungsprozess nicht als abgeschlossen be-trachtet werden. Das Erörtern der Lösungswege und Strategien, um neue Sachaufgaben zukünftig besser bewältigen zu können, ist wichtiger als das bloße Abgleichen numerischer Ergebnisse. Eine Rückschau auf verschiedene Phasen des Modellierungsprozesses, z. B. in einer Strategiekonferenz (vgl. BIFIE & BMUKK, 2010, S. 12), kann den Kindern helfen, sich der eigenen Vorgehensweise und jener der anderen bewusst zu werden. Dabei können sie ihre eigene Modellierungskompetenz verbessern. Weiters ist dies ein Anlass, die Lösungs-prozesse der Schüler/innen zu würdigen.

In Strategiekonferenzen können Denkwege diskutiert und bewertet werden. Um Strategie-konferenzen mit Grundschulkindern durchführen zu können, erscheint es sinnvoll, konkrete Impulse oder Fragen vorzugeben (vgl. Schipper, Dröge & Ebeling, 2000, S. 240).

� Bestandsaufnahme: Welche Zahlen und Wörter in der Aufgabe sind wichtig? Warum? � Versprachlichung des Lösungswegs: Beschreibt euren Lösungsweg. � Beurteilung von Lösungsgedanken: Welche Idee hat euch besonders weitergebracht? � Veranschaulichung/Skizze: Habt ihr eine Skizze oder eine Tabelle angefertigt? � Transfer: Habt ihr schon einmal eine ähnliche Aufgabe gelöst? � Reflexion der Lösung: Wie habt ihr eure Lösung kontrolliert? � Schwierigkeitsanalyse: Was ist euch leicht gefallen? Was war besonders schwierig?

3.5 FächerübergreifendeLernfeldereinbeziehen

Im Bereich der Grundschule werden die meisten Unterrichtsgegenstände von derselben Lehrperson unterrichtet. Dadurch ist es leichter möglich, fächerübergreifend zu arbeiten. Be-sonders gut ist dies im projektorientierten Unterricht bzw. im Projektunterricht umsetzbar.

Das folgende Beispiel soll die Verbindung mehrerer Unterrichtsgegenstände verdeutlichen:

In der 4. Schulstufe wurde in der Volksschule Hollersbach im Pinzgau ein Projekt mit freier Themenfindung durchgeführt. Die Kinder wählten das Thema Fußball.

Es bildeten sich Gruppen, die zu verschiedenen The-men eigenständig arbeite-ten.

Für den Unterrichtsgegen-stand Mathematik gab es vom Klassenlehrer den Auf-trag, Sachaufgaben zum Thema Fußball zu erstellen bzw. vom Lehrer gestellte Sachaufgaben zu lösen. Die Ergebnisse wurden den El-tern und den anderen Klas-sen präsentiert.

Am spannendsten war zu Beginn, Daten zu erheben.Abb. 33: Fußballplatz 1

Rückschau auf den Modellierungsprozess


Dazu gingen die Kinder auf den Fußballplatz, um diesen und ein Tor abzumessen. Zu-vor mussten die Längen geschätzt werden. Den Kindern machte es Spaß, zu schät-zen, wie weit sie einen Fußball mit dem Fuß schießen können, und danach nachzu-messen, wie weit es wirklich war.

Abb. 34: Fußballplatz 2

In der Klasse wurden dann ein Fußballplatz und ein Tor gezeichnet und die Maße eingetragen.

Abb. 36: Zeichnung

Fußballplatz

reale Situationen

Abb. 37: Zeichnung

Fußballtor

Bilden von Modellen

Abb. 35: Fußballplatz 3


Abb. 38: Sachaufgabe Fußballplatz 1



In Kleingruppen wurden Sachaufgaben erstellt. Diese wurden anderen Gruppen zur Bearbeitung gegeben.

Beispiele:


Sieben Minuten vor Schluss schießt die Gastmannschaft den Ausgleich.

In welcher Spielminute ist das?

Flächeninhalt

Ebenso sind diese Varianten möglich: 64 · 100 m² (Anwendung des Kommutativgesetzes) oder 64 m² · 100 (die kürzere Seite wird als Reihe gedacht).

SchätzungenMessungen

Umfang





Bei einem Fußballspiel sind zwei Mannschaften mit je elf Spielern und ein Schiedsrichter auf dem Platz.

Wie viele Personen sind auf dem Platz?

Der Eintritt ins Salzburger Fußballstadion kostet 26 € für Erwachsene. Kinder bezahlen die Hälfte.

Wie viel bezahlt Papa für sich und seine zwei Kinder?

Im Salzburger Stadion haben 30 000 Zuschauer Platz. Es wurden schon 19 133 Karten verkauft.

Wie viele Karten können noch verkauft werden?




Ein Fußballspiel dauert 2 mal 45 Minuten.

Wie lange dauert ein Fußballspiel?

Bei einem Turnier spielen fünf Mannschaften. Jede Mannschaft spielt gegen jede andere.

Wie viele Spiele sind das?

Es gibt drei Minuten Nachspielzeit.

Wie lange dauert das Fußballspiel insgesamt?




3.6 SchülerleistungenbeiModellierungsaufgabenerfassenundanalysieren

Um die Leistung eines Kindes beim Modellieren möglichst transparent und objektiv erfassen zu können, werden im Folgenden Fragen zu Teilkompetenzen (Maaß, 2004, Maaß, 2009, Maaß, 2010) angeführt und anhand von zwei Beispielen erläutert.

Seit 1930 wird die Fußballweltmeisterschaft alle vier Jahre ausgetragen. Zweimal fiel sie allerdings aus.

Wie viele Fußballwelt-meisterschaften gab es bis jetzt?

In der 59. Minute schießt Hollersbach das erste Tor.

Wie lange dauert das Spiel danach noch?


Problembewusstsein entwickeln � Kann das Kind die Informationen ordnen und den zentralen Punkt, das auftretende

Problem, erfassen?

Bilden des Modells � Kann das Kind die relevanten Angaben aus dem Sachzusammenhang (Text) heraus-

filtern, um ein mathematisches Modell (eine Rechnung) zu bilden? � Kann das Kind analytisch sinnvolle Annahmen, ausgehend von der Sachsituation, tref-

fen, um das mathematische Modell (Rechenoperation und die benötigten Größen) zu präzisieren?

Nutzen von Mathematik � Kann das Kind die relevanten Größen und Beziehungen richtig mathematisieren? � Werden mathematisches Wissen und heuristische Strategien zur Lösung des Pro-

blems richtig angewendet (z. B. Skizzen, Anlegen von Tabellen …)? � Verwendet das Kind geeignete Rechenoperationen? � Werden die Rechnungen mathematisch korrekt notiert (z. B. Gebrauch der Maßeinhei-

ten)? � Ist das Ergebnis mathematisch korrekt (z. B. Gebrauch der Maßeinheiten, richtige Zahl

bei der Lösung)?

Erklären des Ergebnisses � Kann das Kind die mathematische Lösung auf die Realität beziehen (also interpretie-

ren)? � Ist diese Interpretation korrekt? � Überlegt das Kind, ob das Ergebnis sinnvoll ist, indem es z. B. Vergleichswerte mit

einbezieht?

Dokumentation des Vorgehens � Wie kann das Kind die einzelnen Schritte des Vorgehens beschreiben und erläutern?

Beispiel1:Goldmünzen

Tom und Huck entdecken einen vergrabenen Schatz, zwei Beutel Goldmünzen.Sie zählen die Münzen. In einem Beutel sind 34 Münzen, in dem anderen sind 52 Münzen.Sie wollen die Beute unter sich gerecht teilen. Wie viele Münzen müssen sie aus dem volleren Beutel herausnehmen und in den anderen füllen, damit in beiden Beuteln gleich viele Münzen sind?(Rasch, 2003, S. 34)

Abb. 49: Goldmünzen (Jakob, 2. Schulstufe)

Fragen zu Teilkompetenzen



Problem, erfassen?

Jakob erkennt, dass Tom und Huck gleich viele Taler haben sollen. Er entnimmt die ziel-führenden Informationen und setzt sich z. B. nicht damit auseinander, wie der Schatz aus-gegraben wird.

Bilden des Modells � Kann das Kind die relevanten Angaben aus dem Sachzusammenhang (Text) heraus-

filtern, um ein mathematisches Modell (eine Rechnung) zu bilden?

Jakob setzt die relevanten Informationen „34 Münzen“, „52 Münzen“, „gerecht teilen“ ein.

� Kann das Kind analytisch sinnvolle Annahmen, ausgehend von der Sachsituation, tref-fen, um das mathematische Modell (Rechenoperation und die benötigten Größen) zu präzisieren?

Jakob nimmt an, dass � die Münzen (gleiche Kategorie) zusammengegeben werden (erkennbar durch die Addi-

tion), � jeder gleich viel erhält (erkennbar durch die Division) und � umgefüllt werden muss (erkennbar durch das Anschreiben von +/–10; –/+1).

Nutzen von Mathematik � Kann das Kind die relevanten Größen und Beziehungen richtig mathematisieren?

Jakob verwendet die passenden Zahlen und die adäquaten Rechenoperationen.

� Werden mathematisches Wissen und heuristische Strategien zur Lösung des Pro-blems richtig angewendet (z. B. Skizzen, Anlegen von Tabellen …)?

Jakob skizziert zwei Beutel, welche er mit „52“ bzw. „34“ beschriftet, und notiert zusätz-lich „+/– 10; –/+ 1“, schreibt aber z. B. nirgends „9“ auf. Inwieweit das Aufzeichnen der Taler in 16 Fünferreihen und einer Sechserreihe zur Lösung beigetragen hat, ist nicht nachvollziehbar. Möglichkeit: Nachfragen!

� Verwendet das Kind geeignete Rechenoperationen?

Jakob bildet die Gesamtsumme (Addition). Er hat die geeignete Operation erkannt und auch grafisch und verbal kommuniziert. – Jakob halbiert die Gesamtsumme (Division). Er hat die geeignete Operation erkannt und auch grafisch und verbal kommuniziert.

� Werden die Rechnungen mathematisch korrekt notiert (z. B. Gebrauch der Maßein-heiten)?

Jakob schreibt Addition und Division richtig an. Zusätzlich notiert Jakob in der Situati-onsskizze +10 – 1 bzw. –10 + 1, um von den Ausgangszahlen 52 bzw. 34 genau 43 zu erreichen.

� Ist das Ergebnis mathematisch korrekt (z. B. Gebrauch der Maßeinheiten, richtige Zahl bei der Lösung)?

Jakob notiert 43 als Ergebnis der Rechnung.

Analyse Beispiel 1Jakob (2. Schulstufe)



ren)?

Jakob zeichnet gleich große Beutel, die er jeweils mit „43“ beschriftet. 9, die gefragte An-zahl der Münzen, die vom Beutel mit den 52 Goldmünzen in den Beutel mit 34 Goldmün-zen umgefüllt werden sollen, fehlt.

� Ist diese Interpretation korrekt?

Das Ergebnis „9“ ist implizit aus +10 – 1 bzw. –10 + 1 herauszulesen.

� Überlegt das Kind, ob das Ergebnis sinnvoll ist, indem es z. B. Vergleichswerte mit einbezieht?

Den schriftlichen Aufzeichnungen kann dies nicht entnommen werden.


Jakob verschriftlicht sein Vorgehen und verwendet auch Situationsskizzen, die ebenfalls das Vorgehen erläutern.

Fazit:Jakob schreibt die beiden erwarteten Rechnungen Addition und Division auf, die Frage nach der Anzahl, die umgefüllt werden soll, beantwortet er mit einer Situationsskizze, in die er +10 – 1 bzw. –10 + 1 den jeweiligen Zahlen zuordnet.

Beispiel2:Muttertagsüberraschung

� 2 Packungen Spaghetti � 1 kg frische Tomaten � 1 kg Zwiebeln � Parmesankäse � Faschiertes

Beim Fleischer Fink kaufen sie Faschiertes um 5,00 € ein. Danach gehen sie in den Großmarkt und kaufen die noch fehlenden Zuta-ten. Die gesamten Kosten teilen sie sich. Wie viel muss jedes Kind bezahlen?

Abb. 50: Großmarkt

Die drei Kinder der Familie Koch, Jasmin, Timo und Elias, wollen als Überraschung am Muttertag das Mittagessen kochen. Sie entscheiden sich dafür, Spaghetti bolognese selbst zu machen. Folgende Zutaten fehlen ihnen noch:



Problem, erfassen?

Anna kennzeichnet durch Einkreisen die benötigten Lebensmittel. Der Preis für das Faschierte wird dem Text entnommen.

Bilden des Modells � Kann das Kind die relevanten Angaben aus dem Sachzusammenhang (Text) herausfil-

tern, um ein mathematisches Modell (eine Rechnung) zu bilden? � Kann das Kind analytisch sinnvolle Annahmen, ausgehend von der Sachsituation, tref-

fen, um das mathematische Modell (Rechenoperation und die benötigten Größen) zu präzisieren?

Ziel 1 der Aufgabe wird erkannt (Gesamtkosten). Ziel 2 der Aufgabe wird erkannt (Preis pro Person). Statt zwei Packungen wird nur eine Packung Spaghetti „gekauft“.

Nutzen von Mathematik � Kann das Kind die relevanten Größen und Beziehungen richtig mathematisieren? � Werden mathematisches Wissen und heuristische Strategien zur Lösung des Pro-

blems richtig angewendet (z. B. Skizzen, Anlegen von Tabellen …)? � Verwendet das Kind geeignete Rechenoperationen? � Werden die Rechnungen mathematisch korrekt notiert (z. B. Gebrauch der Maßeinhei-

ten)? � Ist das Ergebnis mathematisch korrekt (z. B. Gebrauch der Maßeinheiten, richtige Zahl

bei der Lösung)?

Anna wählt die notwendigen Rechenoperationen (Addition/Division) richtig aus. Anna führt beide Rechenoperationen korrekt durch. Allerdings ist bei der Addition das Ergeb-nis falsch, weil der Betrag in „Cent“ angegeben wird, der jedoch der Maßeinheit „Euro“ entspricht. Für das Weiterrechnen (Division) verwendet Anna die korrekte Größe, nämlich den Cent-Betrag ohne Komma.


ren)? � Ist diese Interpretation korrekt? � Überlegt das Kind, ob das Ergebnis sinnvoll ist, indem es z. B. Vergleichswerte mit

einbezieht?

Anna interpretiert den Quotienten als geforderten Betrag in der Antwort, deutet jedoch nicht den im Rest verbliebenen 1 Cent. Wer bezahlt ihn? Wie wird damit umgegangen? Anna interpretiert auf einer formalen Ebene, nämlich „Antwort schreiben“, und bezieht das erhaltene mathematische Ergebnis vermutlich wenig auf die eigentliche Sachsituati-on, nämlich den Geldbetrag zusammenzulegen, um Nahrungsmittel einkaufen zu können.

Analyse Beispiel 2Anna (4. Schulstufe)

Abb. 51: Großmarkt – Lösung (Anna, 4. Schulstufe)



Das Vorgehen ist aus der Notation ersichtlich bzw. nachvollziehbar.

Fazit: Aus der Analyse ergeben sich Ansätze für mögliche Hilfestellungen:

� Entnehmen relevanter Informationen aus der Sachsituation, um das mathematische Mo-dell zu bilden (Anlass: „2 Packungen Spaghetti“)

� Umgang mit dezimalen Geldbeträgen (Anlass: „16,60 c“ … „1660 c“) � Interpretieren der mathematischen Lösung (Anlass: „553 c, 1 R“)

3.7 ModellierenmithilfedesSchulbuchs

Schulbücher unterstützen die Unterrichtstätigkeit und gestalten damit „indirekt“ den Un-terricht mit. Sie sind jedoch nicht als Pflichtprogramm, welches von jeder Schülerin/jedem Schüler Seite für Seite ausgefüllt bzw. abgearbeitet werden muss, zu sehen.

Manche Aspekte des Modellierens, wie z. B. den Bezug zur Realität, kann ein Schulbuch nur bedingt erfüllen. Wesentlich ist die Lehrkraft als planende und gestaltende Expertin, welche be-wusst und überlegt mit dem Schulbuch umgeht und dieses gezielt im Unterricht einsetzt. Dabei werden auch andere Medien miteinbezogen, um Authentizität im Sachrechnen zu erlangen. Ein gelingender Unterricht hängt nicht allein vom Schulbuch ab, dieses dient als Hilfsmittel bzw. als Unterstützung. Es geht vielmehr darum, unter welchen Leitlinien Unterricht statt-findet und was die Lehrkraft an persönlichen Kompetenzen und didaktisch-methodischen Fähigkeiten in den Unterricht einbringt (vgl. dazu auch Glatfeld, 1981, S. 7).

Einsatz des Schulbuchs


4 Möglichkeiten zur Umsetzung im Unterricht

4.1 Bearbeitungshilfen

Damit Schüler/innen Sachaufgaben selbstständig lösen können, sind mehrere Teilkompeten-zen des Bereichs Modellieren erforderlich. So erscheint es sinnvoll, den Modellierungspro-zess im Unterricht nicht immer vollständig vom Sachproblem bis zum Validieren durchzufüh-ren, sondern Teilaspekte auch isoliert zu bearbeiten. Das Zerlegen in Teilaufgaben erleichtert dem Kind den Einblick in den Sachzusammenhang und in die Verlaufsstruktur. Damit wird die Sachaufgabe besser überschaubar. Bearbeitungshilfen helfen dem Kind, Modellvorstellun-gen zu gewinnen, die es beim Lösen ähnlicher Aufgaben unterstützen können.

Im Folgenden werden Anregungen/Impulse für Unterrichtsaktivitäten angeführt. Diese sollen über das Bearbeiten von Übungen die Modellierungskompetenz der Kinder stärken. Bearbei-tungshilfen können entweder als einzelne Übungen oder auch als gezielte, auf eine bestimm-te Sachaufgabe adaptierte Übungen in einem vollständigen Modellierungsprozess eingesetzt werden.

Gemeinsamkeiten/Unterschiede verschiedener Sachaufgaben herausfinden

Erfinden von strukturgleichen Aufgaben

Daten erheben (z. B. Zählen, Messen)

Skizzen/Diagramme anfertigen (Verständnis des mathematischen Modells)

Tabellen erstellen

Passende Rechenoperationen finden

Sachaufgaben und Rechnungen einander zuordnen

Lösungswege vergleichen/hinterfragen

Lösung auf Situation zurückführen bzw. hinterfragen

Antworten auf Fragen beziehen (z. B. Plausibilität, sprachlicher Kontext)

Texte erschließen und wiedergeben

Bilder deuten, Grafiken interpretieren

Textstellen markieren/wegstreichen

Fragen zur Sachaufgabe stellen

Sachverhalte szenisch darstellen

Sachverhalte zeichnerisch darstellen

Fehlende Angaben im Text sinnvoll ergänzen

z. B. Ergebnis schätzen

z. B. Überschlagsrechnung durchführen/vergleichen

z. B. Rechenoperationen durchführen, allenfalls mit Probe

Situationsmodell Mathematisches Modell

Sachproblem Lösung

BEARBEITUNGSHILFEN

4.1.2

4.1.4

4.1.14.1.3

...

...

...

...

Abb. 52: Bearbeitungshilfen


4.1.1VomSachproblemzumSituationsmodell

Wenn Kindern Aufgaben unklar sind, führt das zu fehlerhaften oder sinnlosen Lösungen oder zum Abbruch der Anstrengungen. Daher sind falsche oder fehlende Lösungen manchmal auch ein Zeichen dafür, dass Texte oder Sachzusammenhänge nicht verstanden worden sind.

Sprachbezogene Vorabklärungen zur Aufgabenstellung sind besonders für Schüler/innen wichtig, deren Sprachkenntnisse noch wenig ausgebaut sind. Darüber hinaus unterstützen diese Klärungen das Verständnis, was mit den verwendeten Begriffen genau gemeint ist und welche Sachzusammenhänge vorhanden sind.

Texteerschließenundwiedergeben

In der Grundstufe I sollte die Lehrerin/der Lehrer den Text vorlesen, die Kinder lesen mit und lesen dann nochmals den Text allein. Danach wird der Text verdeckt und die Kinder geben den Sachverhalt mit eigenen Worten wieder. Unbekannte Wörter werden geklärt.

Mit zunehmender Lesekompetenz sollen z. B. unbekannte Wörter mithilfe von Wörterbü-chern, Wörterlisten und Lexika möglichst selbstständig erschlossen werden. Falls erforder-lich, können Mitschüler/innen oder die Lehrperson um Klärung gebeten werden.

Für den Unterricht ist es wesentlich, den Kindern Zeit für sachbezogene Fragen zu geben.

Beispiel:

Die Kinder der 3. Schulstufe sollten die folgende Aufgabe lösen:

Pia hat einen Laptop und dazu einen Drucker bekommen. Der Drucker kostete 120 €, der Laptop war viermal teurer als der Drucker.Wie viel kosteten der Laptop und der Drucker zusammen?

René arbeitete nach dem Lesen der Aufgabenstellung nicht weiter. Daraufhin führte der Leh-rer das folgende Gespräch:

René: Ich weiß nicht, was ein Laptop ist.Lehrer: Das ist ein kleiner, tragbarer Computer.René: Und warum heißt der Laptop?Lehrer: Das ist ein englisches Wort und bedeutet „auf dem Schoß“. Du kannst einen Laptop

also auch auf den Schoß legen.René: Das hab’ ich schon einmal im Zug gesehen, da hat ein Mann so einen auf seinem

Schoß gehabt und hat getippt.Lehrer: Verstehst du die Aufgabe jetzt?René: Ja.Lehrer: Kannst du mir die Aufgabe jetzt noch einmal mit eigenen Worten erzählen?René: Darf ich sie mir noch einmal durchlesen?Lehrer: Ja.Nach dem nochmaligen Lesen:René: Die Pia hat so einen Laptop und einen Drucker bekommen. Ich weiß, dass der Dru-

cker 120 € gekostet hat, und es steht auch, dass der Laptop viermal so viel gekostet hat. Und dann soll ich mir ausrechnen, wie viel alles zusammen gekostet hat.

Lehrer: Sehr gut. Kannst du das jetzt selbst ausrechnen?

Siehe Abb. 7.


René: Ja.René rechnete nun eigenständig weiter.

Bilderdeuten,Grafikeninterpretieren

Sachverhalte, die in Bildern, Grafiken, Tabellen oder Diagrammen dargestellt sind, sollen ver-balisiert werden, damit eine gemeinsame Grundlage für das Bilden des mathematischen Modells geschaffen wird.

Abb. 53: Spielzeugautos 1

Abb. 54: Spielzeugautos 2


Textstellenmarkieren

Mithilfe des Markierens („Lesen mit dem Stift“) soll Wichtiges von Unwichtigem unterschieden werden. Richtige oder wichtige Aussagen werden im Text markiert. Unwichtige Aussagen können gestrichen werden.

Beispiel:

Markiere alle Textstellen, die du für die Rechnung wirklich brauchst.

Nach der Schule gehen Lilli und Willi zum Eissalon. Willi kauft einen Becher Eis mit 2 Kugeln seiner Lieblingssorte Schokolade, Lilli einen Becher mit 3 Kugeln. Sie über-legt lange und wählt dann Vanille, Banane und Haselnuss. Willi hat einen 5-€-Schein dabei und lädt Lilli großzügig ein. Eine Kugel Eis kostet in diesem Jahr schon 90 c, im Vorjahr musste man nur 80 c dafür bezahlen.Wie viel muss Willi insgesamt bezahlen?

Textstellenwegstreichen

Streiche alle Sätze durch, die du nicht zum Rechnen brauchst.

Vor kurzem haben Lillis Eltern das Badezimmer renovieren lassen. Die Renovierung hat 2 Wochen gedauert und insgesamt 8 500 € gekostet. Seither badet Lilli sehr ger-ne in der neuen Badewanne. Am liebsten planscht sie 20 Minuten lang in der schönen hellblauen Wanne. Dabei spielt sie auch gerne mit den 3 knallgelben Gummienten, die ihr Tante Anni geschenkt hat. Tante Anni ist um 10 Jahre älter als Lillis Mutter. Für ein Wannenbad benötigt Lilli ca. 120 Liter Wasser. Das Badezimmer ist 8 m² groß. Alle Wände sind bis zu einer Höhe von 2 m 20 cm mit hellblauen Fliesen gekachelt. Neben der Badewanne befindet sich eine Dusche. Manchmal duscht Lilli auch. Dann duscht sie ungefähr 6 Minuten lang. Dabei verbraucht sie ca. 65 Liter Wasser. Wie viel Liter Wasser könnte Lilli in einem Monat einsparen, wenn sie 20 Wannenbä-der durch 20-mal Duschen ersetzt?

FragenzurSachaufgabestellen

Unterschiedliche Fragen (setzt Rechnung voraus / Beantwortung unmittelbar möglich / Be-antwortung nicht möglich) werden gestellt. Nach und nach entwickeln die Schüler/innen eigene Fragen zum Text.

Benedikt kauft 3 Schokoriegel um jeweils 39 c und 1 kg Äpfel. Er bezahlt mit einem 5-€-Schein und erhält 2 € 30 c zurück.

Welche der folgenden Fragen kannst du beantworten?


Abb. 55: Schokoriegel und Äpfel

Heute treffen Martin, Lukas und Leo einander um 15:00 Uhr zum Fußballtraining. Das Training dauert 90 Minuten. Zu Beginn des Trainings läuft jeder 3 Runden um den Sportplatz. Der Fußballplatz ist 105 m lang und 70 m breit. Kevin kommt um 10 Minuten zu spät und muss daher als Strafe um eine Runde mehr laufen.

Welche der folgenden Fragen kannst du beantworten?

Abb. 56: Fußballtraining

Sachverhalteszenischdarstellen

Bei Sachsituationen mit Tieren, Pflanzen oder Gegenständen bzw. mit Aktivitäten von Men-schen eignet sich eine szenische Umsetzung, besonders auf der Grundstufe I, mittels eines Rollenspiels. Durch die spielerische Darstellung des Sachverhalts wird die Sachstruktur kla-rer, das Finden der Rechenoperation fällt leichter.


Im Bus

Es wird eine „Busfahrt“ mit einem Linienbus nachgespielt. Die Schüler/innen werden in zwei Gruppen geteilt. An jeder Station steigen Fahrgäste zuerst aus und dann ein (zuerst minus, dann plus).

Die Gruppen spielen einander IHRE Busfahrt wortlos vor. Die jeweils andere Gruppe notiert die Anzahl der aus- und einsteigenden Fahrgäste und die zugehörige Rech-nung.

Abb. 57: Busspiel


SachverhaltemitMaterialdarstellen

Mithilfe von Materialien (Gegenstände, Rechengeld ...) wird der Sachverhalt verdeutlicht. Die Kinder verbalisieren das Gesehene.

Auf jedem Stellplatz haben 2 Autos Platz.Wie viele Autos können auf 4 solchen Stellplätzen parken?

Abb. 58: Autos parken

Sachverhaltezeichnerischdarstellen

Skizzen/Zeichnungen sind erforderlich, wenn die Sachsituation die Vorstellungskraft des Kin-des übersteigt. Sie sollen als Unterstützung nur dann angefertigt werden, wenn sie auch wirklich zum Verständnis des Sachverhalts beitragen. Die Schüler/innen sollen ein Gefühl dafür bekommen, wann eine Zeichnung für sie hilfreich und zielführend ist (Radatz, Schipper, Dröge & Ebeling, 1999, S. 262–263).


Abb. 59: Auf dem Spielplatz (1. Schulstufe)

FehlendeAngabenimTextsinnvollergänzen

Um fehlende Angaben einsetzen zu können, ist es notwendig, den Text und damit auch den Sachzusammenhang zu verstehen und gesicherte Vorstellungen von einzelnen Größenbe-reichen zu besitzen (z. B. Preis eines Fahrrads, Körpergröße eines zehnjährigen Kindes …).

Ergänze passende Zahlen.

Abb. 60: Zahlen ergänzen (André, 3. Schulstufe)


Abb. 61: Irenes Schwimmkurs (Tom, 3. Schulstufe)

4.1.2VomSituationsmodellzummathematischenModell

Gemeinsamkeiten/UnterschiedeverschiedenerSachaufgabenherausfinden

Schüler/innen entnehmen einem Text oftmals nur die Zahlen und verknüpfen diese nach subjektiven Kriterien, wie z. B. „Wenn eine große Zahl und eine kleine Zahl vorkommen, dann muss ich dividieren“ … Solche Kinder durchdringen kaum die mathematische Struktur, die der Sachsituation zugrunde liegt.

Durch das bewusste Vergleichen verschiedener Texte sollen die Schüler/innen erkennen und verbalisieren, welche Passagen wesentlich und welche unwichtig für die mathematische Struktur der Sachaufgabe sind.

Siehe Abb. 11.


Abb. 62: Vergleichen von Texten

ErfindenvonstrukturgleichenAufgaben

Ausgehend von der zuvor angeführten Aufgabenstellung können weitere Sachaufgaben nach Anleitung geschrieben werden:

� Erfinden einer Aufgabe, welche die gleiche mathematische Struktur beinhaltet, z. B.: Schreib einen Text / eine Geschichte, in der dividiert wird. Schreib einen Text / eine Geschichte, in der zuerst addiert und dann multipliziert wird.

� Erfinden einer Aufgabe, welche die gleiche Rechnung beinhaltet, z. B.: Erzähle Rechengeschichten zu 10 – 4.Schreib eine Rechengeschichte zu 24 : 6.

Lisa hat 129 €, Lena hat 57 €. Um wie viel € hat Lisa mehr als Lena?

Erfinde eine ähnliche Aufgabe mit der gleichen Rechenoperation.

Abb. 63: Strukturgleiche Aufgabe (Dorian, 3. Schulstufe)

Datenerheben(z.B.Zählen,Messen)

Besonders bei offenen Aufgaben ist es oft notwendig, Methoden zu kennen, wie Daten er-hoben werden können. Manchmal kann auf schon vorhandenes Zahlenmaterial, wie z. B. Tabellen, Statistiken oder Bilder aus Büchern bzw. elektronischen Quellen, zurückgegriffen werden. Authentische Situationen erfordern des Öfteren aber auch, dass Daten durch Zäh-len, Messen oder Schätzen selbst erhoben werden.


Die Daten werden erfasst, geordnet und eventuell grafisch dargestellt. Dies ist eine Möglich-keit, dass das Kind, besonders auf der Grundstufe I, den Transfer von der Wirklichkeit in die Welt der Mathematik noch bewusster erlebt.

Welche Haustiere habt ihr?

Abb. 64: Haustiere (1. Schulstufe)

Meine Zeit zum Spielen am Montag

Abb. 65: Spielzeit (Marcel, 4. Schulstufe)


Skizzen/Diagrammeanfertigen

Skizzen helfen, die mathematische Struktur zu erkennen. Meist stellt die Skizze im Modellie-rungsprozess ein Situationsmodell dar und kann das Finden des Lösungsplans erleichtern.

Abb. 66: Preise vergleichen (Anja, 4. Schulstufe)

Martin ist 1 m 43 cm groß. Seine ältere Schwester ist um 15 cm größer als Martin, aber um 11 cm kleiner als die Mutter. Der Vater ist um 9 cm größer als die Mutter.

Abb. 67: Größenvergleiche (Niklas, 4. Schulstufe)


Tabellenerstellen

Tabellen dienen dem übersichtlichen Darstellen der Daten aus einem Sachkontext. Sie bilden grundsätzlich eine Brücke zwischen Situationsmodell und mathematischem Modell. Manch-mal kann sogar die Lösung unmittelbar aus der Tabelle abgelesen werden.

Tabellen ermöglichen die Lösungsfindung und -darstellung, indem die Rechnung bzw. das Ergebnis bei entsprechender Anordnung ohne nochmaliges Aufschreiben direkt in die Tabelle eingetragen wird.

Im folgenden Beispiel kann die Lösung durch systematisches Probieren gefunden werden:

Markus ist 10 Jahre alt, sein Bruder Willi 14 Jahre und ihre kleine Schwester Rosi 4 Jahre. In wie vielen Jahren werden die drei Geschwister zusammen 100 Jahre alt sein?

Tipp: Die Tabelle hilft dir beim Finden der Lösung!

Abb. 68: Altersangaben (Christina, 4. Schulstufe)

Tabellen helfen auch im Umgang mit proportionalen Zuordnungen, wie z. B. beim Zusammen-hang– zwischen Stückzahl und Größe z. B. Stückzahl à Gewicht (kg), Stück zahl à Preis (€)– zwischen zwei Größen z. B. Gewicht (kg) à Preis (€), Länge (m) à Preis (€)

Die Beziehung zwischen zwei Größen wird durch die tabellarische Auflistung gut sichtbar. Die Kinder tragen Anzahlen bzw. Größenangaben ein und sehen dadurch, was gegeben ist und ob noch etwas fehlt. Weiters helfen Tabellen durch das geordnete Anschreiben und die dadurch sichtbare Struktur, Rechenoperationen abzuleiten (vgl. Franke & Ruwisch, 2010, S. 107).


Im folgenden Beispiel können die Kosten für 15 Kornweckerl auch ermittelt werden, indem die Kinder die Preise für 5 und 10 Kornweckerl addieren. Aus der Tabelle kann direkt abgelesen werden, wie viele Kornweckerl mit einem bestimmten Betrag gekauft werden können.

Abb. 69: Kornweckerl (Christoph, 4. Schulstufe)

PassendeRechenoperationenfinden

Im folgenden Beispiel kann die Wahl der Rechenoperation verbal begründet, eventuell sogar verschriftlicht werden.

Abb. 70: Wie musst du rechnen? (Hannes, 2. Schulstufe)


erst dann

Alex hat 4 Packungen mit jeweils 6 Kaugummis gekauft.Er will die Kaugummis an seine 3 Freunde verteilen.

Was musst du rechnen?

Abb. 71: Kaugummis (Christoph, 3. Schulstufe)

SachaufgabenundRechnungeneinanderzuordnen

Abb. 72: Eintrittskosten fürs Schwimmbad (Julian, 2. Schulstufe)

Abb. 73: Rechengeschichten (Alois, 3. Schulstufe)


4.1.3VommathematischenModellzurLösung

Wenn die Schüler/innen das mathematische Modell, meist in Form einer Rechnung, fixiert haben und ihnen bewusst ist, auf welchem Weg sie die Lösung erhalten können, führen sie die entsprechenden mathematischen Tätigkeiten (z. B. mündliches Rechnen, schriftliche Rechenverfahren, überschlagendes Rechnen, Vergleichen, Schätzen, Erstellen von geome-trischen Zeichnungen) durch. Das Erläutern dieser mathematischen Tätigkeiten würde den Rahmen dieses Themenhefts überschreiten.

4.1.4VonderLösungzumSachproblem

LösungenaufdieSituationzurückführenbzw.hinterfragen

Ziel der Überprüfung der Lösung (Plausibilitätsprüfung) ist, Fehler bei der Modellbildung bzw. beim Rechnen aufzudecken, besonders dann, wenn das errechnete Ergebnis zu stark vom erwarteten Größenbereich abweicht.

Mehrere Antworten oder Aussagen können zur Auswahl gestellt werden. Die Kinder sind aufgefordert, ihre Auswahl zu diskutieren und zu begründen. Diese Argumentationen ermög-lichen der Lehrperson Rückschlüsse, ob die Kinder die Sachsituation, die vorgenommene Mathematisierung (Modellbildung) und die gewählte Rechenoperation verstanden haben.

Manchmal kannst du sofort erkennen, ob eine Aufgabe falsch gelöst wurde, z. B. wenn ein Zimmer 50 m (statt 5 m) lang ist.

Überprüfe folgende Angabe:

GeburtsanzeigeWir freuen uns über unseren kleinen Sohn Lukas, der am 26. Februar 2011 geboren wurde. Er war bei der Geburt 2 kg 95 dag schwer. Nach drei Monaten wiegt er jetzt 5 kg 70 dag.

Ist das möglich?Kreuze an, welche Antwort ungefähr stimmen kann. Begründe deine Entscheidung.

o Er hat 8 kg 65 dag zugenommen. ý Er hat 2 kg 75 dag zugenommen.

Abb. 74: Schlussfolgerung (Susanna, 3. Schulstufe)

Siehe Abb. 14.

Siehe Abb. 16.


Abb. 75: Plausibilitätsprüfung

Wie viele Beine haben 5 solche Sessel?

Laura zählt die Beine und sagt: „Ich habe 17 Beine gezählt.“ Haben diese Sessel wirklich 17 Beine?

Abb. 76: Fünf Sessel Abb. 77: Ein Sessel


Lösungswegevergleichen/hinterfragen

Moritz bezahlt für 12 Krapfen 8 € 28 c. Wie viel kosten 8 Krapfen? Vergleiche die Lösungswege. Wie haben die Kinder gerechnet?

Abb. 78: Lösungswege vergleichen (Sina, 4. Schulstufe)


Abb. 79: Lösungswege hinterfragen (Julia, 4. Schulstufe)

4.2 WeiterführendeBeispiele

Wie schon in Abschnitt 1 erwähnt, sollte im Mathematikunterricht die Verbindung zwischen Mathematik und Realität hergestellt werden. Genauso förderlich ist es auch, einen Bezug zu den anderen Unterrichtsgegenständen zu schaffen. So bieten sich Verknüpfungen zu un-terschiedlichen Sachthemen an. Beispiele aus dem Schulleben erweisen sich als günstig, weil alle Kinder einer Klasse die gleichen Vorinformationen haben. Sich daraus ergebende Sachsituationen können mathematisiert werden. Dabei soll den Kindern Freiraum zu eigen-ständigem Vorgehen ermöglicht werden.

4.2.1AufgabenstellungauseinemWasserprojekt

Beim Wasserprojekt haben wir erfahren, dass eine Person in Österreich ca. 4 050 Liter Wasser in einem Monat verbraucht. Naneh aus Ghana hat nur den fünften Teil davon zur Verfügung.Wie viele Monate würde Naneh mit dem Monatsverbrauch einer Person in Österreich auskommen?


Lösungen von Kindern:

Abb. 80: Wasserverbrauch (Doris, 4. Schulstufe)

Abb. 81: Wasserverbrauch (Nikolaus, 4. Schulstufe)

Aktuelle Themen, die den Kindern aus den Nachrichten bekannt sind, sollen miteinbezogen werden. Auch diverse Kinderzeitschriften bieten Anregungen.

Ebenso lassen sich historische Themen mathematisieren, die im Zusammenhang mit Erleb-nissen bei Lehrausgängen stehen.


4.2.2AufgabenstellungzumThemaRitter und Burgen

Im Anschluss an einen Lehrausgang auf eine Burg finden die Kinder selbst Aufgaben zum Thema. Nach der intensiven Beschäftigung mit dem Thema Ritter und Burgen formulierten die Schüler/innen folgendes Beispiel:

Auf der Burg Dürnstein wird die Hochzeit des Ritters Hademar von Kuenring mit Gertrude vorbereitet. Dafür lässt der Burgherr seine 29 Knechte und 12 Mägde neu einkleiden. Der Stoff für eine Hose kostet 152 Kupfermünzen, für ein Hemd 68 Kup-fermünzen und für ein Kleid für eine Magd 134 Kupfermünzen.Wie viel muss der Burgherr bezahlen?

Abb. 82: Hochzeitskleidung (Melissa, 4. Schulstufe)

Abb. 83: Hochzeitskleidung (Burak, 4. Schulstufe)

Jedem dieser Themen sollen Gespräche oder (Klein-)Projekte vorausgehen, damit Sachver-halte ausreichend geklärt sind und mit dem Mathematisieren begonnen werden kann.

4.2.3DasBusspiel

Dieses Spiel eignet sich, um Sachverhalte szenisch darzustellen und passende Rechenope-rationen zu finden.

� Den Kindern wird erklärt, wie das Busspiel abläuft. � Es wird eine „Busfahrt“ mit einem Linienbus nachgespielt. Dabei werden maximal fünf

Haltestellen angefahren. � Die Schüler/innen werden in zwei Gruppen (Fahrgäste und Beobachter/innen) geteilt.

Jede Gruppe setzt sich einmal aus Fahrgästen und einmal aus Beobachtenden zusam-men. Im Vorfeld wird überlegt und notiert, wie viele Fahrgäste an den einzelnen Haltestel-len aus- und einsteigen. Dabei darf nicht vergessen werden, dass bereits Fahrgäste im Bus sind.

� Wichtig: An jeder Station steigen Fahrgäste zuerst aus und dann ein (zuerst minus, dann plus).

Dieses Schülerbeispiel ist im Kontext der Gegenwart entstanden, auf historisches Vorwissen konnte nicht zurückgegriffen werden.


Im folgenden Beispiel sind im Bus zu Beginn 22 Fahrgäste und es werden fünf Halte-stellen angefahren. An jeder Station steigen Fahrgäste aus und ein.

Abb. 84: Fahrgäste

Abb. 85: Dokument eines Beobachters


4.2.4MeinSchulweg

Die Kinder werden gefragt, auf welche Art sie derzeit zur Schule kommen.

Jedes Kind nimmt einen färbigen Stein aus der Kiste, aus dem Korb usw., wobei jede Farbe repräsentiert, auf welche Art die Kinder zur Schule kommen.

Es gibt drei Möglichkeiten:

� mit dem Auto (der Eltern) = gelb � zu Fuß / mit dem Rad / mit dem Roller = grün � mit dem Bus / mit der Straßenbahn = rot

Abb. 86: Schulweg – Möglichkeiten

Nun ordnet jedes Kind seinen Stein dem passenden Symbol (Auto, Mensch oder Bus) zu.

Abb. 87: Schulweg – Zuordnung

Frage der Lehrkraft: Kann man anhand dieser Darstellung auf einen Blick erkennen, ob mehr Kinder mit dem Bus als mit dem Auto kommen?


Die Kinder kommen sehr bald selbst auf die Idee, die Steine aufeinander zu türmen.

Abb. 88: Schulweg – Säulen

Anhand der nunmehr entstandenen „Säulen“ können erste Ergebnisse und Interpretationen zustande kommen.

Die Schüler/innen sollen die entsprechenden Säulen als Diagramm in ihr eigenes Mathema-tikheft übertragen.

Abb. 89: Schulweg – Säulendiagramm

(Lilia, 1. Schulstufe)

Mit dem Eintragen der Zahlen sind noch weitere Analysen möglich.

� Um wie viel mehr Kinder kommen mit dem Auto als mit dem Bus? � Um wie viel mehr Kinder kommen zu Fuß als mit dem Bus? � Kommen insgesamt mehr Kinder mit dem Auto als zu Fuß und mit dem Bus? � …


4.2.5AufgabenstellungnachFermi

Die nach dem Physiker Enrico Fermi (1901–1954) benannten Aufgaben scheinen zunächst nahezu unlösbar, weil kaum Informationen angegeben sind, vor allem fehlen konkrete Zah-lenangaben. Es steht nicht das Rechnen im Mittelpunkt, sondern das Mathematisieren – das Finden eines eigenen Lösungswegs.

Fermis wohl bekannteste Frage lautet: „Wie viele Klavierstimmer gibt es in Chicago?“ Spaltet man aber die Frage in kleinere Problemstellungen auf und überlegt sich einige plausible Erklä-rungen und Annahmen, ist es durchaus möglich, zu einer angenäherten Lösung zu gelangen.

Beispiel:

Chicago hat etwa drei Millionen Einwohner/innen, eine Durchschnittsfamilie besteht aus vier Personen und ein Drittel aller Familien besitzt ein Klavier.

Also gibt es 250 000 Klaviere in der Stadt. Wenn jedes Klavier angenommen alle zehn Jahre gestimmt wird, ergibt das 250 000 : 10 = 25 000 Stimmungen im Jahr. Wenn nun jeder Klavierstimmer pro Tag zehn Klaviere stimmt, dann kommt er an ungefähr 250 Arbeitstagen im Jahr auf 1 000 Stimmungen. Ergo muss es ca. 25 Klavierstim-mer in der Stadt geben.

Selbstverständlich ist die Antwort nicht genau, es könnten genauso gut weniger oder viel mehr Klavierstimmer sein. Wichtig ist hier jedoch die Erkenntnis, dass man auf unterschiedlichsten Wegen zu Annäherungen an die Lösung kommt, die durchaus „im richtigen Bereich“ liegen.

Eine mögliche Auswahl an Fermi-Fragen, vor allem für die Grundstufe II:

� Wie viele Autos stehen in einem 3 km langen Stau? � Wie viele Wassertropfen sind in 1 Liter Wasser enthalten? � Wie viele Liter Wasser verbraucht ein Mensch in der Woche? � Wie viele Stunden schläfst du in der Woche, im Monat, im Jahr? � Wie hoch wäre der „Turm“, der entstünde, wenn sich alle Kinder der Klasse (alle Leh-

rer/innen der Schule) aufeinanderstellen würden?

Wie viele Meter Spaghetti isst du mit einer Portion? (4. Schulstufe)

Zu Beginn wurde die gesamte Klasse mit der Fragestellung konfrontiert und sollte Schät-zungen abgeben. Diese Schätzungen lagen im Schnitt zwischen 30 und 50 m Spaghetti pro Portion. Die Kinder wurden in Gruppen zu je drei bis vier Kindern eingeteilt. Auch Partner- oder Einzelarbeit war möglich. Ungefähr 40 Minuten lang arbeiteten die Schüler/innen an der Problemstellung, wobei sie auf Packpapierbögen alle Überlegungen, Schätzungen, Skizzen und Rechnungen festhielten. Im Anschluss daran (nach einer kurzen Pause) präsentierten die einzelnen Gruppen ihre Ergebnisse.


Die Kinder der ersten Gruppe kamen zu dem Ergebnis, dass eine Spaghettinudel ca. 32 cm lang sei und pro Portion ungefähr 40 Nudeln gegessen werden. Sie waren aber mit ihrem Ergebnis von 12 m 80 cm Spaghetti pro Portion nicht zufrieden, weil es ihnen zu wenig vorkam. Trotzdem rechneten sie mit dem Ergebnis weiter und überlegten: Wie viele Meter Spaghetti essen wir drei zusammen?

Abb. 90: Wie viele Meter Spaghetti isst du mit einem Teller?

Gruppe 2 bestand aus zwei Kindern. Die Buben legten zwei kleine Geodreiecke aneinander und erhielten eine Länge von 44 cm. Das erschien ihnen zu lang für eine einzige Spaghettinu-del. Daher nahmen sie die Hälfte, also 22 cm. Nun errechneten sie eine Anzahl von 44 Nudeln pro Portion und kamen auf eine Gesamtlänge von 9 m 69 cm.

Gruppe 3 nahm für die Länge einer Spaghettinudel 25 cm an und schätzte pro Portion 60 Spaghettinudeln.Dies brachte ein Ergebnis von 15 m Spaghetti pro Portion.

Diese Gruppe maß anschließend in Schritten diverse Räumlichkeiten im Schulhaus ab, um sich die Länge vorstellen zu können.

Dabei stellten die Kinder fest, dass ein Kind für ca. 15 m:

� den Gang von Klasse zu Klasse einmal entlanggehen muss � das eigene Klassenzimmer längs ca. zweimal abschreiten muss � die Stiegen ins Erdgeschoss einmal hinuntergehen kann

Gruppe 4 nahm das „Handmaß“, markierte zwei Punkte und maß mit dem Geodreieck dabei eine Spaghettilänge von 30 cm 5 mm. Die drei Buben nahmen pro Portion eine Menge von 70 Spaghettinudeln an. Nach ihrer Rechnung ergab eine Portion Spaghetti eine Länge von 21 m 35 cm.

Ein Mädchen arbeitete nach Differenzen in der Gruppe alleine weiter. Sie nahm als Länge für eine Spaghettinudel 32 cm und schätzte 45 Nudeln pro Portion. Nach ihrer Rechnung ergab das eine Gesamtlänge von 14 m 40 cm.


Auffallend war, dass es einzelnen Kindern offensichtlich schwerfiel, mit geschätzten Zahlen zu rechnen, und sie dadurch zu unterschiedlichen Ergebnissen gelangten. Während der Arbeits-phase tauchte die Frage immer wieder auf: Ist das so richtig?

Zum Abschluss wurden die Ergebnisse (zwischen 10 m und 21 m) noch mit den Schätzun-gen zu Beginn (30 m bis 50 m) verglichen. Die Kinder erkannten, dass die Schätzungen von den Ergebnissen abwichen. Sie einigten sich auf eine ungefähre Länge von 13 m pro Portion.


Literaturverzeichnis

BIFIE (Hrsg.) (2011). Bildungsstandards in Österreich. Überprüfung und Rückmeldung. 2., ak-tualisierte Auflage. Salzburg. Verfügbar unter https://www.bifie.at/node/560 [15.11.2011].

BIFIE & BMUKK (Hrsg.) (2010). Themenheft Mathematik „Kommunizieren“. Volksschule Grundstufe I + II. Graz: Leykam. Verfügbar unter https://www.bifie.at/node/316 [7.12.2011].

BIFIE & BMUKK (Hrsg.) (2011). Praxishandbuch für „Mathematik“ 4. Schulstufe. 2., durchge-sehene und erweiterte Auflage. Graz: Leykam. Verfügbar unter https://www.bifie.at/node/370 [15.11.2011].

Bongartz, T. & Verboom, L. (Hrsg.) (2007). Fundgrube Sachrechnen. Unterrichtsideen, Bei-spiele und methodische Anregungen für das 1. bis 4. Schuljahr. Berlin: Cornelsen Scriptor.

Dröge, R. (1991). Kinder schreiben Sachaufgaben selbst. Sachrechenunterricht an Situatio-nen orientiert. In Die Grundschulzeitschrift 42. S. 14–15.

Erichson, C. (2004). Den Eiffelturm erklimmen. Natürliche Differenzierung beim textbezoge-nen Sachrechnen. In Die Grundschulzeitschrift 171. S. 10–17.

Franke, M. & Ruwisch, S. (2010). Didaktik des Sachrechnens in der Grundschule. 2. Auflage. Heidelberg: Spektrum Akademischer Verlag.

Glatfeld, M. (Hrsg.) (1981). Das Schulbuch im Mathematikunterricht. Braunschweig: Vieweg.

Maaß, K. (2004). Mathematisches Modellieren im Unterricht. Ergebnisse einer empirischen Studie. Hildesheim: Franzbecker.

Maaß, K. (2009). Mathematikunterricht weiterentwickeln. Aufgaben zum mathematischen Modellieren. Erfahrungen aus der Praxis. Für die Klassen 1 bis 4. Berlin: Cornelsen Scriptor.

Maaß, K. (2010). Schülerleistungen beim Bearbeiten von Sachtexten. In Grundschule Mathe-matik 24. S. 36–40.

Radatz, H., Schipper, W., Dröge, R. & Ebeling, A. (1999). Handbuch für den Mathematik-unterricht 3. Schuljahr. Hannover: Schroedel.

Rasch, R. (2001). Zur Arbeit mit problemhaltigen Textaufgaben im Mathematikunterricht der Grundschule. Eine Studie zu Herangehensweisen von Grundschulkindern an anspruchsvolle Textaufgaben und Schlussfolgerungen für die Unterrichtsgestaltung, die entsprechende Lö-sungsfähigkeiten fördert. Hildesheim: Franzbecker.

Rasch, R. (2003). 42 Denk- und Sachaufgaben. Wie Kinder mathematische Aufgaben lösen und diskutieren. Seelze: Kallmeyer.

Schipper, W., Dröge, R. & Ebeling, A. (2000). Handbuch für den Mathematikunterricht. 4. Schuljahr. Hannover: Schroedel.

Walther, G., van den Heuvel-Panhuizen, M., Granzer, D. et al. (Hrsg.) (2007). Bildungsstan-dards für die Grundschule: Mathematik konkret. Berlin: Cornelsen Scriptor.

Winter, H. (1992). Aufgaben, Probleme, Kontexte – zur grundsätzlichen Problematik des Sachrechnens in der Grundschule. In Sachunterricht und Mathematik in der Primarstufe 20 (8). S. 350, 363–369.


Winter, H. (1992). Sachrechnen in der Grundschule. Problematik des Sachrechnens – Funkti-onen des Sachrechnens – Unterrichtsprojekte. Frankfurt am Main: Cornelsen Scriptor.

Winter, H. (1995). Mathematikunterricht und Allgemeinbildung. In Mitteilungen der Gesell-schaft für Didaktik der Mathematik 61. S. 37–46.

Winter, H. (2003). „Gute Aufgaben“ für das Sachrechnen. In Baum, M. & Wielpütz, H. (Hrsg.). Mathematik in der Grundschule. Ein Arbeitsbuch. Seelze: Kallmeyer. S. 177–183.


1 Bücher

Franke, M. & Ruwisch, S. (2010). Didaktik des Sachrechnens in der Grundschule. 2. Auflage. Heidelberg: Spektrum Akademischer Verlag.

Das Buch stellt zunächst die Vielschichtigkeit möglicher Sachaufgaben vor. Auch das Lösen von Sachaufgaben als Modellierungsprozess wird beschrieben. Anregungen zur Unterrichtsarbeit erhält die Leserin/der Leser anhand von Gestaltungsprinzipien, die durch zahlreiche Beispiele und mithilfe von Schülerdokumenten konkretisiert werden. Der Behandlung von Größen wird das abschließende Kapitel gewidmet.

Maaß, K. (2009). Mathematikunterricht weiterentwickeln. Aufgaben zum mathematischen Mo dellieren. Erfahrungen aus der Praxis. Für die Klassen 1 bis 4. Berlin: Cornelsen Scriptor.

Der Umgang mit realitätsbezogenen Aufgaben ist das zentrale Thema des allgemeinen mathematischen Kompetenzbereichs Modellieren. In diesem Buch wird der Modellie-rungsprozess beschrieben. Zusätzlich werden Hilfestellungen zur Bearbeitung angeboten und es wird ein konstruktiver Umgang mit Fehlern gezeigt. Zu einer Vielzahl realistischer Modellierungsaufgaben, die von Lehrerinnen und Lehrern gestaltet und beschrieben wur-den, gibt es Lösungen und didaktische Hinweise. Ausgewählte Unterrichtseinheiten wer-den ausführlich dargestellt.

Bongartz, T. & Verboom, L. (Hrsg.) (2007). Fundgrube Sachrechnen. Unterrichtsideen, Bei-spiele und methodische Anregungen für das 1. bis 4. Schuljahr. Berlin: Cornelsen Scriptor.

Die praxisorientierten Materialien für das 1. bis 4. Schuljahr helfen Kindern, Alltagssituati-onen mit mathematischen Mitteln selbst zu klären. Sie lernen etwa, die Grundrechenarten auf dem Flohmarkt oder beim Kinobesuch anzuwenden. Hervorzuheben sind die zahl-reichen Bearbeitungshilfen, um Sachaufgaben zu lösen bzw. den Modellierungsprozess zu verstehen.

Radatz, H., Schipper, W., Dröge, R. & Ebeling, A. (1996). Handbuch für den Mathematik-unterricht 1. Schuljahr. Hannover: Schroedel. Radatz, H., Schipper, W., Dröge, R. & Ebeling, A. (1998). Handbuch für den Mathematik-unterricht 2. Schuljahr. Hannover: Schroedel. Radatz, H., Schipper, W., Dröge, R. & Ebeling, A. (1999). Handbuch für den Mathematik-unterricht 3. Schuljahr. Hannover: Schroedel. Schipper, W., Dröge, R. & Ebeling, A. (2000). Handbuch für den Mathematikunterricht 4. Schuljahr. Hannover: Schroedel.

Die Handbuchreihe bietet zahlreiche Anregungen, Hilfen, Übungen und Kopiervorlagen zu allen inhaltlichen Themen des Mathematikunterrichts von der 1. bis zur 4. Schulstu-fe. Sie ist ein willkommenes Nachschlagewerk für die alltägliche Unterrichtspraxis. Den Kern jedes Handbuchs bilden die theoretischen Hintergrundinformationen und ausführ-lichen Praxisanregungen zu den drei zentralen Inhaltsbereichen Arithmetik, Geometrie und Sachrechnen/Größen. Jeder Band wird ergänzt durch zahlreiche Kopiervorlagen und eine (bundesdeutsche) Lehrstoffübersicht.

Kommentierte Literaturempfehlungen


Schipper, W. (2009). Handbuch für den Mathematikunterricht an Grundschulen. Braun-schweig: Schroedel.

Das Buch ist eine Fundgrube für Ideen und Denkansätze zur Gestaltung des Mathema-tikunterrichts von der 1. bis zur 4. Schulstufe. Im ersten Teil werden allgemeine Ziele, Modelle und Prinzipien des Mathematikunterrichts knapp diskutiert, außerdem wird ein kurzer Überblick über die Geschichte des Mathematikunterrichts gegeben. Der zwei-te und umfassendste Teil des Buches erläutert die Unterrichtsinhalte von der 1. bis zur 4. Schulstufe. Neben einer Begriffsbestimmung und Hinweisen zur methodischen Vor-gangsweise enthält jeder Abschnitt Vorschläge zur Aufarbeitung im Unterricht. Der dritte Teil behandelt oft diskutierte Themen, wie z. B. Spielen und Üben im Mathematikunter-richt oder Lernschwierigkeiten.

Walther, G., van den Heuvel-Panhuizen, M., Granzer, D. et al. (Hrsg.) (2007). Bildungsstan-dards für die Grundschule: Mathematik konkret. Berlin: Cornelsen Scriptor.

Dieses Buch bezieht sich auf die Bildungsstandards für die Grundschule der Bundes-republik Deutschland, die sich von den österreichischen unterscheiden. Das Buch prä-sentiert ein breites Spektrum an Aufgaben und Anregungen für die Umsetzung dieser Standards im Unterricht und in der Fortbildung. Die Aufgaben wurden von Lehrpersonen im Unterricht erprobt. Die Begleit-CD enthält sämtliche Aufgaben, exemplarische Schü-lerlösungen und weitere Unterrichtsbeispiele.

Goldfluss, K. J., Rosenberg, M. & Russell, M. (2007). Fördermaterial Sachaufgaben verste-hen. Kompetenzstufe 1. Klasse 3/4. Mülheim an der Ruhr: Verlag an der Ruhr. Goldfluss, K. J., Rosenberg, M. & Russell, M. (2007). Fördermaterial Sachaufgaben verste-hen. Kompetenzstufe 2. Klasse 3/4. Mülheim an der Ruhr: Verlag an der Ruhr.

Ziel dieser beiden Bände ist es, Kindern flexible Strategien beim Lösen von Sachaufga-ben, insbesondere von Aufgaben mit Problemcharakter, anzubieten. Es werden in jedem Band ca. zehn konkrete Lösungsverfahren/Strategien präsentiert. Zu jeder Strategie wer-den Vorschläge zur gemeinsamen Erarbeitung angeboten. Aufgabenkarten helfen beim Üben bestimmter Strategien. Tippkarten, die Impulse und Fragen enthalten, können die Kinder vor, während oder nach der Arbeit benutzen, um zu Lösungen zu gelangen bzw. um sie zu überprüfen. Abschließend werden auch Beispielstrategien mit Lösungen vor-gestellt.

Kaufmann, S. & Röttger, A. (2007). Sachrechenbox 1/2. Braunschweig: Westermann. Kaufmann, S. & Röttger, A. (2008). Sachrechenbox 3/4. Braunschweig: Westermann.

Jede dieser beiden Aufgabenkarteien enthält 92 Aufgabenkarten zum Sachrechnen (für das 1./2. Schuljahr bzw. für das 3./4. Schuljahr). Die Lösungen der einzelnen Aufgaben befinden sich auf den Kartenrückseiten. Mithilfe dieser Aufgabenkarten können gezielt Teilfähigkeiten geübt werden, die für das Sachrechnen unerlässlich sind: Textverständnis, Modellbildung, Berechnung, Interpretation, Plausibilitätsprüfung, Erfinden eigener Sach-aufgaben.


Caron, J.-L. (2007). Fit für Mathe im Alltag. Kopiervorlagen für die 3. und 4. Klasse. Donau-wörth: Auer.

Das Buch kann als Sachrechenkurs für das 3. und 4. Schuljahr angesehen werden: In 31 Arbeitseinheiten kann das sinnerfassende Lesen von Texten, Tabellen und Grafiken, das Filtern von Informationen, das Interpretieren von Ergebnissen und auch das Schrei-ben eigener Textaufgaben geübt werden.

Erichson, C. (2003). Von Giganten, Medaillen und einem regen Wurm. Ideen zum Rechnen. Arbeitsheft. Stuttgart: Verlag für pädagogische Medien.

Die Autorin bietet Aufgabenstellungen für offenes Sachrechnen an. Die Ausgabe beinhal-tet neben Sachtexten und Aufgabenstellungen ein Rechenlexikon, ein Arbeitsheft (Ideen zum Rechnen) und „Lösungen und Tipps“.

Erichson, C. (2010). Geschichten, mit denen man rechnen kann: Textbezogenes Sachrech-nen für die Grundschule. Arbeitsheft. Schwerpunkt Klasse 3. Stuttgart: Klett.

Auch hier handelt es sich um Aufgabenstellungen für offenes Sachrechnen. Authentische Sachtexte sollen Kinder neugierig machen und zum Mathematisieren anregen.

Ruwisch, S. (2009). Fragenbox Mathematik Klasse 3–4: Kann das stimmen? Lernkarten mit Lehrerkommentar und CD-ROM. Stuttgart: Klett.

Diese Fragenbox leitet Kinder an, vorgegebene Aussagen mithilfe von Vergleichen, Schät-zungen oder auch Rechnungen auf ihre Plausibilität hin zu überprüfen.

Büchter, A., Herget, W., Leuders, T. et al. (2007). Die Fermi-Box. Aufgabenkartei inkl. Lehrer-kommentar. Stuttgart: Klett.

Fermi-Aufgaben bieten realitätsbezogene, offene Fragen, die auf den ersten Blick un-lösbar erscheinen. Durch plausible Annahmen kann man sich aber schrittweise einer möglichen Lösung annähern. Die vorliegende Sammlung mit 80 Karteikarten und einem ausführlichen Lehrerkommentar ist ab der 4. Schulstufe einsetzbar.

Rasch, R. (2003). 42 Denk- und Sachaufgaben. Wie Kinder mathematische Aufgaben lösen und diskutieren. Seelze: Kallmeyer.

Das Buch stellt Aufgaben vor und umreißt kurz deren Struktur und didaktischen Gehalt. Anschließend wird beschrieben, welche unterschiedlichen Lösungsstrategien die Kin-der entwickelt haben. Die gefundenen Lösungen werden anhand von Rechnungen und Zeichnungen dokumentiert. Dieses Buch bietet Einblicke in das mathematische Denken und in Arbeiten von Kindern und stellt zugleich Lehrerinnen und Lehrern einen Aufga-benfundus bereit, der bei Schülerinnen und Schülern das Entwickeln von eigenständigen Lösungsstrategien fördert.


2 FachdidaktischeZeitschriften

Beim Sachrechnen ist die Aktualität der betrachteten inhaltlichen Kontexte von großer Be-deutung. Regelmäßig erscheinende Zeitschriften können dieser Anforderung viel leichter Rechnung tragen als Bücher. Jede österreichische Pädagogische Hochschule hat eine Aus-wahl an Fachzeitschriften abonniert. Die Zeitschriftenhefte des letzten Jahres liegen oft griff-bereit im Lesesaal der Bibliothek auf.

Tipps: � Sehen Sie die aktuellen Zeitschriftenhefte in regelmäßigen Abständen im Lesesaal einer

PH-Bibliothek durch. Die Inhaltsverzeichnisse der einzelnen Zeitschriften können Sie vor-weg auch im Internet auf der jeweiligen Verlagswebsite nachschlagen.

� Themenrelevante Zeitschriftenartikel sind auf folgender Website recherchierbar: Fachportal Pädagogik (Literaturdatenbank), http://www.fachportal-paedagogik.de/fis_bildung/fis_form.html

Grundschule MathematikFriedrich Verlag, vier Hefte pro Jahr, http://www.friedrich-verlag.de/

Jedes Heft hat einen thematischen Schwerpunkt und wird durch ein Materialpaket und eine CD-ROM mit Kopiervorlagen ergänzt. Beiträge zum Sachrechnen findet man insbesondere in den folgenden Heften:

� Heft 13 (2007): Größen: Zeit � Heft 16 (2008): Sachrechnen: Rechengeschichten � Heft 19 (2008): Größen und Sachrechnen: Gewichte � Heft 24 (2010): Sachtexte � Heft 28 (2011): Größen und Sachrechnen: Geld

Grundschulunterricht MathematikOldenbourg Verlag, vier Hefte pro Jahr, http://www.grundschulunterricht.de/

Beiträge zum Sachrechnen:

� Heft 2/2009: Projekte im Mathematikunterricht � Heft 4/2009: Sachrechnen

Die GrundschulzeitschriftFriedrich Verlag, zehn Hefte pro Jahr, http://www.friedrich-verlag.de/

Jedes Heft hat einen thematischen Schwerpunkt.

Die Grundschule Westermann Verlag, elf Hefte pro Jahr, http://www.die-grundschule.de/

Pro Heft werden Unterrichtseinheiten und Materialien zu allen Lernbereichen mit zwei thema-tischen Schwerpunkten angeboten.


Praxis GrundschuleWestermann Verlag, sechs Hefte pro Jahr, http://www.praxisgrundschule.de/

Jedes Heft enthält Kopiervorlagen für den Einsatz im Unterricht, ergänzt durch didaktische Kurzkommentare und methodische Anregungen.

Grundschulmagazin

Oldenbourg Verlag, sechs Hefte pro Jahr, http://www.grundschulmagazin.de/

Diese Zeitschrift enthält pädagogische und methodisch-didaktische Basisartikel und auch Praxisbeiträge für die Unterrichtsgestaltung. Jedes Heft hat einen thematischen Schwer-punkt.

Sache – Wort – Zahl Aulis Verlag Deubner, acht Hefte pro Jahr, http://www.aulis.de/zeitschriften/swz

Jedes Heft hat einen thematischen Schwerpunkt. Dazu findet man einen Basisartikel und konkrete Unterrichtsbeispiele.


Anhang

Allgemeine mathematische Kompetenzen (AK)

Kompetenzbereich: Modellieren (AK 1)

1.1 Eine Sachsituation in ein mathematisches Modell (Terme und Gleichungen) übertragen, dieses lösen und auf die Ausgangssituation beziehen

Kompetenzen:Die Schülerinnen und Schüler können�� aus Sachsituationen relevante Informationen entneh-

men,�� passende Lösungswege finden,�� die Ergebnisse interpretieren und sie überprüfen.

1.2 Ein mathematisches Modell in eine Sachsituation übertragen

Kompetenz:Die Schülerinnen und Schüler können�� zu Termen und Gleichungen Sachaufgaben erstellen.

Kompetenzbereich: Operieren (AK 2)

2.1 Mathematische Abläufe durchführenKompetenzen:Die Schülerinnen und Schüler können�� Zahlen, Größen und geometrische Figuren strukturieren,�� arithmetische Operationen und Verfahren durchführen,�� geometrische Konstruktionen durchführen.

2.2 Mit Tabellen und Grafiken arbeitenKompetenzen:Die Schülerinnen und Schüler können�� Tabellen und Grafiken erstellen,�� Informationen aus Tabellen und Grafiken entnehmen.

Kompetenzbereich: Kommunizieren (AK 3)

3.1 Mathematische Sachverhalte verbalisieren und begründen

Kompetenzen:Die Schülerinnen und Schüler können�� mathematische Begriffe und Zeichen sachgerecht in

Wort und Schrift benützen,

�� ihre Vorgangsweisen beschreiben und protokollieren,�� Lösungswege vergleichen und ihre Aussagen und Hand-

lungsweisen begründen.

3.2 Mathematische Sachverhalte in unterschiedlichen Repräsentationsformen darstellen

Kompetenzen:Die Schülerinnen und Schüler können�� ihre Vorgangsweisen in geeigneten Repräsentations-

formen festhalten,�� Zeichnungen und Diagramme erstellen.

Kompetenzbereich: Problemlösen (AK 4)

4.1 Mathematisch relevante Fragen stellenKompetenz:Die Schülerinnen und Schüler können�� ein innermathematisches Problem erkennen und dazu

relevante Fragen stellen.

4.2 Lösungsstrategien (er)finden und nutzenKompetenzen:Die Schülerinnen und Schüler können�� geeignete Lösungsaktivitäten wie Vermuten, Probieren,

Anlegen von Tabellen oder Erstellen von Skizzen anwenden,

�� zielführende Denkstrategien wie systematisches Probieren oder Nutzen von Analogien einsetzen.

Inhaltliche mathematische Kompetenzen (IK)

Kompetenzbereich: Arbeiten mit Zahlen (IK 1)

1.1 Zahldarstellungen und -beziehungen verstehenKompetenzen:Die Schülerinnen und Schüler können�� Zahlen im Zahlenraum 100 000 lesen und darstellen,�� sich im Zahlenraum 100 000 orientieren, Zahlen

vergleichen und diese in Relation setzen,�� arithmetische Muster erkennen, beschreiben und

fortsetzen.

Bildungsstandards für Mathematik, 4. Schulstufe


1.2 Zahlen runden und Anzahlen schätzenKompetenzen:Die Schülerinnen und Schüler können�� Zahlen auf volle Zehner, Hunderter, … Zehntausender

runden,�� Anzahlen schätzen.

1.3 Das Wesen der Bruchzahl verstehenKompetenzen:Die Schülerinnen und Schüler können�� Bruchzahlen darstellen,�� Bruchzahlen vergleichen, ordnen und zerlegen,�� Bruchzahlen im Zusammenhang mit Größen benützen.

Kompetenzbereich: Arbeiten mit Operationen (IK 2)

2.1 Die vier Grundrechnungsarten und ihre Zusammen-hänge verstehen

Kompetenzen:Die Schülerinnen und Schüler�� verfügen über Einsicht in das Wesen von Rechenopera-

tionen,�� können die Zusammenhänge zwischen den Grundrech-

nungsarten erklären,�� können Umkehroperationen verwenden, auch zur

sinnvollen Überprüfung des Ergebnisses,�� können Tausch-, Nachbar- und Analogieaufgaben

verwenden.

2.2 Mündliches Rechnen sicher beherrschenKompetenzen:Die Schülerinnen und Schüler�� beherrschen sicher und schnell additive Grundaufgaben

im Zahlenraum 20,�� beherrschen sicher und schnell multiplikative Grundauf-

gaben im Zahlenraum 100,�� können nicht automatisierte Rechenoperationen in

Teilschritten durchführen,�� können einfache Gleichungen mit Platzhaltern lösen,�� können Ergebnisschätzungen mit Hilfe von Über-

schlagsrechnungen durchführen.

2.3 Schriftliche Rechenverfahren beherrschenKompetenzen:Die Schülerinnen und Schüler�� verstehen die Algorithmen der schriftlichen Rechenver-

fahren,

�� können die Algorithmen der schriftlichen Verfahren für Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division durchführen,

�� können die Lösung mit Hilfe einer Probe überprüfen.

Kompetenzbereich: Arbeiten mit Größen (IK 3)

3.1 Größenvorstellungen besitzen und Einheiten kennenKompetenzen:Die Schülerinnen und Schüler�� kennen genormte Maßeinheiten und können diese den

Größenbereichen zuordnen,�� können geeignete Repräsentanten zu Maßeinheiten

angeben,�� können Größen in unterschiedlichen Schreibweisen

darstellen.

3.2 Größen messen und schätzenKompetenzen:Die Schülerinnen und Schüler�� beherrschen den Grundvorgang des Messens,�� können mit geeigneten Maßeinheiten messen,�� können Größen schätzen und ihre Vorgangsweise

begründen.

3.3 Mit Größen operierenKompetenzen:Die Schülerinnen und Schüler können�� Größen miteinander vergleichen,�� mit Größen rechnen.

Kompetenzbereich: Arbeiten mit Ebene und Raum (IK 4)

4.1 Geometrische Figuren erkennen, benennen und darstellen

Kompetenzen:Die Schülerinnen und Schüler können�� geometrische Körper und Flächen benennen,�� die Eigenschaften geometrischer Figuren beschreiben,�� Modelle von geometrischen Körpern herstellen,�� geometrische Figuren zeichnen oder konstruieren.


4.2 Beziehungen bei geometrischen Figuren erkennenKompetenzen:Die Schülerinnen und Schüler können�� Lagebeziehungen zwischen Objekten im Raum und in

der Ebene beschreiben und nutzen,�� vorgegebene geometrische Muster erkennen, selbst

entwickeln oder fortsetzen,�� den Zusammenhang zwischen Plan und Wirklichkeit

herstellen.

4.3 Mit geometrischen Figuren operierenKompetenzen:Die Schülerinnen und Schüler können�� geometrische Figuren zerlegen und sie wieder zusam-

mensetzen,�� Netze den entsprechenden Körpern zuordnen und

umgekehrt.

4.4 Umfang und Flächeninhalt ermittelnKompetenzen:Die Schülerinnen und Schüler können�� den Umfang einer geometrischen Figur mittels Einheits-

längen messen,�� den Umfang von Rechteck und Quadrat berechnen,�� den Flächeninhalt einer geometrischen Figur mittels

Einheitsflächen messen,�� den Flächeninhalt von Rechteck und Quadrat berech-

nen.


Rechtliche Grundlagen

Siehe dazu:

BGBI. I Nr. 117/2008BGBI. II Nr. 1/2009


Notizen


www.bifie.at

Leykam [email protected]

ISBN 978-3-7011-7801-8

Documents

Information · bildlich-abstrakt dargestellt wird. 2.2 Rahmen- und Lernbedingungen „Den Kindern altersadäquate Sachsituationen anbieten – wenn möglich von echten statt von konstru-ierten