298 ARCH. MATH.

Inhaltsmessung im R~ konstanter Kriimmung

Von JOHAnnES B 6 ~ in Jena ~)

1. Einleitung. Zur Inhaltsbestimmung yon mehrdimensionalen Polyedern in R~u- men konstanter Kriimmung unterteflen wir diese Polyeder zun~ichst in Simplexe. Letztere zerlegen wir dann ftir die weiteren Untersuchungen durch wiederholte Lot- konstruktionen in ganz spezielle Simplexe, die wir wie SCHL~LI [14] 2) Orthoscheme nennen wollen. Bei der Inhaltsbestimmung yon Orthoschemen in R~umen konstanter Krfimmung ha~ COXF.T~.R [3] im Jahre I935, an LOBATSCHEFSKY [10] und SCHI~FLI [14] ankniipfend, den dreidimensionalen Fall in sehr befriedigender Weise erledigt. 1954 hat dann P. M~_~ER [12] fiir das Fdnfdimensionale asymptotische Orthoschem in einem Raume konstanter negativer Kriimmung einen Weg zur Inhaltsberechnung angegeben. Leider l~Bt sich dieser Weg, wie ~ULLER festgestellt hat, nicht bei Ortlio- schemen hSherer Dimensionen beschreiten. Hier so]] nun eine Methode zur Inhalts~ bestimmung eines f'finfdimensionalen Orthoschems in einem Raume konstanter (posi- river oder negativer) Kriimmung besprochen werden, die Ftir den Zugang zu Ortho- schem-Inhalten in hSheren Dimensionen unentbehrlich erscheint und eine vergleichs- weise iibersichtliehe Inhaltsformel liefert. Diese 1VIethode ist eine sinnvolle Ver- allgemeinerung des Cox~.T~Rschen Vorgehens.

2. Das 0rthosehem S(n) in einem Raume konstanter Kriimmung. Betrachten wir das 0rthoschem S(~) der Dimension n - 1 in einem (n ~ 1)-dimensionalen Raume konstanter Kriimmung k0. Diese normieren wit auf/Co ---- ~= 1, wenn sie yon l~ull ver- schieden ist (also bei slahgrischer bzw. hyperbolischer Metrik). Den euklidischen Sonder- fall mit der Krtimmung Null behandeln wir hier nicht, da fiir diesen der Orthoschem- Inhalt ohne weiteres in Gestalt einer Determinante angegeben werden kann. n be- zeichnet die Anzahl der Ecken sowie die der (n ~ 2)-dimensionalen W~nde. Diese

als die Dimensionszahl. Von den (2) Winkeln zwisehen Anzahl ~ t stets u m eins grSl3er

diesen W~nclen kSnnen bei einem Orthoschem nur n - 1 yon einem rechten Winkel verschieden sein. Diese nennen wir die (~esentlichen) Keilwinkel des Orbhoschems und bezeichnen sie in ganz bestimmter Reihenfolge [2] mit ~1, ~2 . . . . . ~n-1 (etwa 0 ~ ~- ~ ~). Die Ecken und damit gleichzeitig die ihnen jeweils gegeniiberliegenden W~nde sind derart yon 1 bis n zu numerieren, dal3 ~1 der Winkel zwischen den beiden Ws u n d j ~- 1 ist. Die n ~ 1 Keilwinkel charakterisieren das vorgelegte Ortho- schem vollst~ndig. Demzufolge kSnnen wir den Inhalt des Orthoschems S(n) als eine Funktion der Keilwinkel S( ~} (cr 0r . . . . . ~r auffassen.

l) Ausarbeitung eines Vortrages, anl~l~lich der DMV-Tagung 1959 in Miinster gehalten. 2) Ziffem in eckigen Klammern verweisen auf das Literaturverzeichnis am Ende der Arbeit.

Vol. XI, 1960 Inhaltsmessung im R5 konstanter Kriimmung 299

Bei der Inhaltsbestimmung der S(n) haben wir die zwei wesentlich versehiedenen F~lle der geraden bzw. ungeraden n zu unterscheiden. Ftir ungerade n = 2m ~ 1 hat SCttLA.FLI [14] eine bereits fiir Simplexe giiltige Reduktionsformel bei positiver Kriim- mung angegeben, die den Inhalt yon S(2ra+l) auf Inhalte yon S(2t) m i t t ~ m zuriick- fiihrt, Interpretiert man den Orthoschem-Inhalt in geeigneter Weise ([2], [13]), dann gilt diese Reduktionsformel auch bei negativer Kriimmung. Folglich geniigt es ftir unsere Zweeke, den Fall der geraden n ~- 2 m zu betrachten.

Zur Integration yon S{ ~m) wollen wir SCFm~LIS Di~erential]ormel [14] benutzen, die auch bereits fiir Simplexe Giiltigkeit hat. S c H n i ~ i hat diese Formel wieder nur bei positiver Kriimmung behandelt, H. K~.S~R [7] und auch schon SFo~zi [16] haben gezeigt, dal3 diese Differentialformel - - unter den gleichen Bedingungen wie bei der Sc~mX~Ischen Reduktionsformel - - auch bei negativer Kriimmung ihre Richtig- keit beh~lt. Sie lautet fiir S(2m) (~1, ~2 . . . . . ~2m-i)

2 m - 1

(2.1) dS(2m) 1 ~,, Sj(2m-2)dor m > 1. - - 2 m - - 2 j=l

Sj(2m-2) bezeichnet den Inhalt eLues (2m - - 3)-dimensionalen Tefl-Orthoschems, das sich als Durchschnitt der beiden WSnde j und j ~- 1 ergibt. Es gehSrt, wie wir sagen wollen, z u m Winkel ~4 (als Scheitel). ~iir die Integration yon dS(2m) wird man zu- n~chst geneigt sein, die Keilwinkel 71~ ( k = 1, 2 . . . . . 2 m - - 3 ) der Koeffizienten $1(2m-2) in Abh~ngigkeit yon den Keflwinkelu ~1, ~2 . . . . . ~m-1 anzugeben. Dieses ist zwar grunds~tzlich m6glich, ergibt aber so komplizierte Koeffizienten Si(2m-2), dab clue explizite Integration auf diesem Wege nicht gelingen wird. Es muB darum nach einer neuen Idee gesucht werden.

Otme Beschr~nkung der Allgemeinheit k6nnen wir fiir alle unsere weiteren Unter- suchungen armehmen

(2.2) (> < ~S < -~- (j----1 . . . . . 2 m - - l ) ;

denn falls f'tir irgendein k (1 _< k _< 2m - - 1) gilt -~ < ~k < ~, dann l~$t sich der

Inhalt des in Rede stehenden Orthoschems im wesentlichen auf den eines Orthoschems mit der Eigenschaft (2.2) reduzieren, ngmlich

(2.3) S (2m) (~1 . . . . . :r . . . . . ~2m-~) =

- - ( - -1)~ �9 S(2~) ( ~ . . . . . ~ - - ~ . . . . . ~2m-~) § O* (~(2~-~)) ,

wobei O* (S(2m-2)) Zusatzglieder yore Charakter der Inhal~sfunktionen eLues Ortho- 7g

schems S (2m-2) bedeutet. Die Ffille a~ ~- 0, ~- oder g sind yon vornhereLu in unserem

Zusammenhang trivial. Bei ~z = 0 ist der Orthoschem-Inhalt gleichfalls Null, und bei ~ = ~ reduziert sich, etwa auf Grund yon (2.3), der Orthoschem-Inhalt auf In-

haltsfunktionen niedrigerer Ordnung. Letzteres ist auch fiir a~-----~ de r Fall (vgl.

[14]). Formel (2.3) l ~ t sich z. B. dutch vollst~ndige Induktion nach m beweisen: Fiir m ----2 ist (2.3) nach SCH~_~VLI [15] (S. 157) richtig. ~'iir die folgenden Schliisse sind die ~ormeln (3.29) yon [2] heranzuziehen.

300 J. BOHM ARCH. MATH.

3. COXETERS Integrationsmethode fiir den Fall rt = 4. Eine ausfiihrliche Analyse der Methode COXETEI~s [3] zur Integrat ion yon dS(4) wird es uns erm6glichen, eine Verallgemeinerung des CoxETEP~schen Gedankens zu fiuden.

Ffir das Differential des Orthoschem-Inhalts S(4) (r162 :r ~3) gilt gem/~13 der SCn'LXF- L~schen Differentialformel

1 (3.1) dS(4) = -2- (al d~l + a z d ~ + a3d~3) �9

a 1 ( j ---- 1, 2, 3) sind die Tetraederkanten, die jeweils zu den Keflwinkeln ~ geh6ren (vgl. Abb. 1 a)). Die explizite Angabe des In- halts yon S(4) k6nnen wit jedoch, wie bereits gesagt, nicht erreichen, wenn wit in (3.1) die Kanten lediglich als Funktionen der Keilwinkel ~t aufschreiben wiirden. Unseren Bemiihungen kommt nun die Feststellung W. 1KA~Rs [11] zu ttilfe, dab die Produkte tg a 1 cotg ~j- ftir j = 1, 2, 3 m~t

(3.2) ~j = 2--- ~j f i i r j ungerade.

[ ~s ftir j gerade

! 3

Abb. 1.

einen fiir das betreffende Orthosehem S(4) charakteristischen konstanten Wert an- nehmen. Wir woden ffir j ----- 1, 2, 3

(3.3) tg ar .co tg ~s - - i tg U (4)

mit

(3.4) 0 < Re (u(4~) ~ ~-

setzen. Dabei soil bier die Gr613e u(4) wegen ihrer Invarianz bei Anwendung yon Per- mutationen auf die Indizes in (3.3) d ie Invariante des Orthoschems 8(47 genarmt werden. Es folgt aus der Definition (3.3) auch

cos 2 ~ s - - cos s ~ i cos2 ~3 (3.3 a) tg~ u(4)= sin 2 al sins ~a oder

(cos 2 u(4) - sins ~2) cos ~'u(4) (3.3b) (cos2 u(4~ - sins ~1) (cos 2 u(4~ - sin2 ~3) = 1.

Je tz t lassen sich sofort die Kanten aj in einfacher Weise als Funktionen yon ~1 und u(a) angeben. Somit erhalten wir schlieBlich

8 cos(u(4) + ~i) d=-

(3 .1 a) 4 i dS(4) = dS(4) (~1, ~ , ~3) = Z (--1)J log cos(u(4) ---- ~--~ ~ "

Denken wir uns hier in der rechten Seite die Invariante u(4) als vierte unabh~ngige

3) In den Abbfldungen bezeichnen Winkelsymbole, die mit einem Punkt versehen sind, rechte Winkel.

Vol. XI, 1960 Inhahsmessung im R5 konstanter Kriimmung 301

(3.1b)

mit

Variable, dann sind dort t ro tzdem noeh die Integrabil i t~tsbedingungen beziiglieh der :9 erfiillt. Folglich kSnnen wir je tz t schreiben

dS (4) (0:1, ~2, 0:3, ,~(4)) = 3

COS(U (4) -~ ~.t) d ~ + U(4) (0:1, 0:2, 0:3, u(4)) du(4) ---- ~ ( - - 1)~ log cos (u(4) - - a~)

(3.5) dS(4) (0~1, 0:2, ~3) = dS(4) (0:1, 0:2, 0:3, u(4) (~1, 0~2, 0:3) )

und einer noeh n~her anzugebenden Funk t ion

(3.5 a) U(4) - - 0S(4) ~U(4) '

die der Bedingung

(3.5b) U(4) (0:1, 0:2, 0:3, U(4) (0:1, ~2, ~3) ) ~ 04)

wegen (3.1a) U. (3.5) geniigen muB. U(4) best immen wir aus den Integrabili t~ts- bedingungen

(3.6) 02~(4) (~l,~j ~2,~(4)~3, ~(4)) ~-~ 028(4) (~I,0u( 4)~s'~]ct3, ~t(4)) __-- "~U(4) (~1,~2, ~3, u(4)) ( j ~ 1, 2, 3) .

Wir erhal ten etwa fiir j = 1

~' @,~/(4) @ [" , COS (U (4) + q.1) 1 __ 2 Sin ~-1 COS ~1 OV (4) (3.7) ~(4) Oal - - ~ - L - l O g 0OS(U (4) - - ~l)J - - C~2~--~-'~-~111-2-~1 - - ~ 1 "

Daraus folg~

(3.8a) f 2 s i n ~ c o s ~ __, U(4) (0:1, 0:2, 0:3, u(4)) = c o s - ~ - ~ u ( ~ ~ d 0 : l =

0

=--log I cos~ u(4) -- sin2 ~I § (~, ~3, u(4)).

Fiir j ----- 2 bzw. j 3 ergibt sich in gleicher Weise

(3.8 b) U (4) = log { cos 2 u(4) __ sin2 ~ ] q_ [~. (al, acs, u ( 4 ) ) ,

(3.8 c) U(4) = - - log f cos~ q~(4) _ _ sin S ~s I -k ]3 (:r 0:2, U(4)) ,

so dab wir schlieBlich schreiben kSnnen

(cos 2 u (4) -- sin s ~s) �9 /(u (4)) (3.8 d) U(4) ---- log (eos~ u(4)- sin2 ~1) (cos2 u(4) - s in s ~s),"

Wegen cler Forderung (3.5b) und auf Grund yon Formel (3.3b) miissen wir

(3.9) /(u(a)) = cos2u(4)

ws Die Einfi ihrung der vier ten Variablen u(4) kann als ein E inbe t ten des (~1, 0:2, as, z)-Raumes in einen (~1, =2, ~s, u(4), z)-Raum gedeutet werden, wobei

4) Das Zeichen ,, =" ist hier stets im Sinne von ,.identisch in allen Keilwinkeln =j" zu verstehen.

302 J. BiJHM ARCH. MATH.

z = ~(4)(:cl, :c2, a3) als Schnit t zwisehen den beiden Hyperf l~chen

Z ~--- S ( 4 ) (0:1, :C2, :C3, U(4) ) u n d u(4) = u ( 4 ) (~q, :c2, :ca) 2

entsteht . Bei der Bes t immung yon S(4) beriicksichtigen wir, daI3 bereits gilt

2 u(4)

(3.10) S (a) ----- f Y (4) (:r :cu, :ca, t) dt. 0

U m (3.10) zu beweisen, nehmen wit dor t als untere In tegra t ionsgrenze zunaehst U(o 4) an u n d differenzieren reehte und linke Seite naeh 5j (j -~ 1, 2, 3) und beachten (3.53) :

2 u(4) u(4) 2 . . , 2

S (4~(31, ae, ~ , u(4)) = ~ f U(4) dt f OeS t~j - aS (4) (~1, ~2, ~s, t) u(o = j - .'o""

U(04)

D a m i t (3.11) widerspruchsfrei ist, m u g u (0 4) ffir j = 1, 2, 3 die Eigensehaf t haben

(3.12) aS (4) (:~1, ~2, ~s, u")) = c~176176 + ~J) - - 0 a~j ( - - 1)~ l~ cos(u(o4) -- ~j) "

Dies ist f'tir cos(u (4) -~ ~i)----c~ (a) - - ~ J ) der Fall, und das he is t wegen (3.4) U(o a) = 0, was zu beweisen war.

Die In tegra t ion in (3.10) gelingt j e tz t mi t Hilfe der t ranszendenten Funk t ion z

(3.13) A 2 ( z ) = - - f logeos tdt ([3], [10], [11]). 0

Bei dieser Funk t ion ( - - ~ < I m (log cost) ==_ g) kSnnen wir uns hier auf den

Streffen - - ~- < Re (z) =< -~ beschranken, d a m unseren Formeln nur so lcheArgument e

auf t re ten werden. A2 (z) l~gt sich im wesentl ichen durch den AB~sLschen Dilogarithmus

(3.14) L~ ($) = __ --/log (lt - t) dt ([1], [6])

0

ausdrticken, e twa fiir - - ~- < Re (z) =< y

i -2 i [ 2 ~2 ~ , (3.15) A2(z) -~Le ( - - e ~z) + z l o g 2 _-- - - ~ - [ z - - - ~ - { ] ([3] , [ 1 1 ] ) .

So,nit erhal ten wir nun aus (3.10) uC4)

f (cos ~ t -- sin s ~ ) cos~ t (3.16) ~(4i (:c~, ~ , ~s, u (4)) -~ log (cos~ t -- sis2 ~)(cos 2 t -- sins ~ ) dt -~

0 U(4)

cos(t + ~ ) cos(t -- ~ ) cos(t + ~ ) cos (t -- ~) dt = - - log cos(t + ~ ) cos (t -- ~ ) cos~ t E

0

_ { A2 (u(4~ + ~ q ) - A2(u(~) + ~2) § A2 (u(~) + ~ ) + 2 A2 (u(~)). - - A 2 (u(~) - - ~ ) - - A 2 (U(~) - - ~ ) + A ~ (u(~) - - ~ )

Die untere In tegra t ionsgrenze gibt keinen Bei t rag in (3.16); denn Asiz) ist e ine 'un- gerade Funkt ion , und infolgedessen heben sieh f'tir u(a) ~ 0 immer jeweils zwei

Vol. XI, 1960 Inhaltsmessung im R~ konstanter Kriimmung 303

Summanden A2 gegenseitig aus Fiir den Orthosehem.Inhalt S(4) (~1, ~., ~3) ergibt sieh wegen (3.1 a) und (3.5)

(3.17) S (4) (~ , ~2, ~3) = S (4) (~, ~ , ~3, u (4) (~, ~ , ~3)).

S (4) (~ , ~2, ua) mit 0 < ai < -ff ist genau dann realisierbar, wenn

(3.18a) i tg u(4) > 0 (d. h. tg 2 u(4) < 0) (ko = + 1)

oder

(3.18b) { tgu`a, > 0 ~ --< a~, ~(d 'h" tg2u(4) > 0) } S ~u (]co = - - 1) .

4. Integration im F a l l e , = 6. Wir werden nun sehen, dab die einzelnen Sehritte des vorigen Absehnitts auch bei der Bestimmung yon S(6) (~, as, ~r ~4, ~5) (vgl. Abb.2) im wesentliehen dieselben bleiben.

Auf Grund der S c ~ x _ ~ s c h e n Differentiafformel k6nnen wir sehreiben

(4.1 a)

oder

(4.1b)

5 x_~2 ,r

d S (6) (~1 . . . . . ~5) = 4 ]=X=l~7 (~t l , 712, 7t3) d~l

Abb. 2.

5 1 6 i d S (6) = dS (6) (~1 . . . . . ~5) ---- ~ S}4) ($I1, 7Je, ?t3) de~'.

i=1

Die Keflwinkel ~t~ (J ---- 1 . . . . . 5; ]r : 1, 2, 3) der 0rthoscheme S} a) stellen wir jetzt f'tir un- sere Zweeke als Funktionen der Keilwinkel ~r (r ~ 1 . . . . . 5) and der Gr6Ben v(k 4) (k : 1, 2, 3) dar. Die v(k 4) sind jeweils die Invarianten der Orthoscheme S(4) (~k, ~+1, a~+~) mit

(4.2 a) tg~ v(~ 4) = eos~ ~+~ -- sin~ ~ sin~ ~+~ 00S20~k C08~ ~k+2

(vgl. (3.3 a) )

oder (sin2~g_sina~+l)(sin~Bk I-F~--I) ~)

(4.2b) (sin2 ~k - sins ~) (sin~ ~ - - sin2 ~k+2) f'ttr

= 1 (vgl. (3.3b))

( (4.3a) v ~ = y - - v k , wennkungerade 0--<l~e(v(k~))~ . �9 vk, wenn k gerade - -

Bei k ~ j ~ k -k 2 k6nnen wit n~mlieh 7~k als diejenige Tetraederkante yon S(4)(~, ~+1, ~+2) deuten, die zu dem Keflwinkel ~1 geh6rt. Sonst F~llt TJ~ mit einem Keilwinkel r162 yon S(6) (~1 . . . . . ~5) zusammen (vgl. [2] S. 47s Fiir

304 J. BSH~ ARCH. MATH.

(4,3 b)

gilt da rum

Ylk ---- -~ - - ?~.~, wenn k ungerade

~'ylc, wenn k gerade

[" tg ~+2 fiir j < k,

(4.4) t g y j k = / ( - - 1 ) ~ i . t g ~ c o t g ~ j ftir k < : j < = k - - k 2 , tg ~ fiir j > k q- 2 .

Die Invar ian ten der Orthoscheme S} 4) seien u} ~). ~ diese stellen wir lest, dab die Produkte tg u} 4) cotg ~1 f'tir j ---- 1, . . . . 5 bei einem vorgelegten Orthoschem S(6) einen kons tanten Wer t haben (vgl. [2] S. 42). Wir setzen in Analogie zu (3.3)

< Re(u(6)) ~ 0 ( j ----- 1 . . . . 5) (4.5) t g u ~ ) c o t g ~ j = i tgu(6) mit - - ~ - = _ ,

und nennen u(e) die Invariante des Orthoschems S(e). Aus (4.5) und der (3.3a) ent- sprechenden Formel fiir u~ ~) folgt

(4.6) tg 2 u (6)" s in2 ~i si n2 ~3 sin 2 ~5 =

= cos2 ~1 cos2 ~ cos2 ~5 - - cos2 ~1 cos2 ~4 - - cos2 ~2 cos2 ~5 + cos2 ~2 cos ~" ~4.

Nun fiihren wir in (4.1 b) als weitere Variable V(4) / - k t~k, ~+1, :r un4 u(6) (~1, :r as, :r :r

zufolge (4.4) bzw. (4.5) ein (vgl. auch (3.5)): 5

(4.1 c) j=l 5

Die Integrabil i t~tsbedingungen beziiglich der gl bleiben hier auch dann noch erftiilt, wenn wir v(~ a), (4) (a) v~ , v s und u(6) als unabhs Variable ansehen; denn es gilt

(4.7) 0~ 4, 0~(2, 0 f'tir 0 < [ j - - k I < 3 , - - - - 1 + i tg u(6) ~g ~ tg ~

~ (--1)~+~log 1 _ i t g u ( 6 ) t g ~ t g ~ f'tir3 <= I j - - k l ~ 4 .

Darum k6nnen wir schreiben

2 (4.1 d) dS(O ( ~ . . . . . ~5) = dS (6) (:r . . . . . ~5, v (4), v(~ 4), v(3 4), u (6)) =

5 2 3

~=1 k = l

o (~) ~,(~) v~ 4), u(6) sind mi t Koeffizienten V(~ 4) und U(6), die Funkt ionen yon :q . . . . , :r ~ , ~.~ , und ftir die bei Beriicksichtigung der Bindungen (4.2 b) und (4.6) gilt

(4.8a) V~ (4) - 0,

(4.8b) U(6) -= 0.

Die Funkt ionen V(~ 4) und U(s) best immen wir aus den Integrabil i t~tsbedingungen

Vol. XI, 1950 Inhaltsmessung im R~ konstanter Kriimmung 305

ftir (4.1d). Auf analoge Weise ha t ten wir uns bereits U(4) in (3.6)--(3.9) versc hafft. Hier erhalten wir schlieBlich

�9 ~ ( - - 1'~ i , (sins ~+1 -- sin2 ~4)) f~(v(14), v(4), v~4~, u(e)) ~ log cos(u(6) + (4.9) V(~ ~) , - og _ . j ( 2 (sine ~ - sin2 ~ )) (sine ~+2 -- sin~ ~(4)) cos (u(6) - ~(k4)),

wobei die bei der In tegra t ion auf t re tenden zun~chst willkiirlichen F u n k t i o n e n / ~ wegen (4.8u) gem~fl (4.2b) als '

1 + ( - 1 ) ~ (4.10) iv()) v(~) ,,(~) ~,(6)~

gew/thlt werden miissen. U m (4.9) zu verifizieren, differenzieren wir dort partiell nach ~t. Es ergibt sich

[ _ _ i sin ~j cos : j . cos(u(e) + ~(~'>) _ _ a~ ( 4 ) ) s i n z 5j -- sin e ~4i log cos (u(8) - - ~(~ f'firj ----/r b ~- 1, k ~- 2, 0V~ 4)

(4.11) a~j -- Or9 ) - ~0 F f i r j * k , k + l , k + 2 .

Auf dieselbe Weise bereehnen wir

{2 • ) i ((sin 2 u 16) -- cos 2 ~r) (sin e u (6~ -- cos e ~,) U(6) ----2- ( - - 1)r+sL2 \ sin~ u(S)(sin2 u( ~} -- 1) ~-

3 k + 2 5

~_~ /sin 2 u(e) 1 -- (-- 1)~\ (sin ~ u(6) -- 1~ [ sin z u(6) r~' /

~=: \ Sin u( ~ -- cos~*~ ]

Zum Beweise yon (4.12) zeigen wir zun~chst, dal] die Integrabi l i t~tsbedingungen

0U(~ 0S(r ) _~ (~ l ) t l 0g ( s in2u(6 ) s ine~s in2~ t ~_ cos2u(~)cos2~cos2~ ) _~

(1__t_5)

. . . . . . . . cos 2 ~ _ cos ~ ~4) (4.13a) + ~ ~. ( ~ ) ~ - ~ m g s - ~ u - ~ ; - : - _ ~ ~

k ~ ' - - 2 (1 _~k_~ 3)

~ sin ~ cos ~ A- ( - - 1)t log cos~ ~1 -? log cos2 u(S) cos-~ - - s--~u(~) '

erfiillt sind. SchlieBlich miissen wir noch (4.8 b) nachweisen, d. h.

V(S) (~1 . . . . . ~ , v(~ ~) (~:, ~2, ~3), v(~ ~) (~2, ~3, ~4), v(~ ~) (~a, ~ , ~5), u(S)(~1 . . . . , ~ ) ) = (4.14) - - ~(s) ( ~ . . . . . ~5) �9

h~ngt yon den Variablen ~ . . . . . . :r gar nicht ab, sondern ist gleich einer Kons tan ten ,

Archly der Mathematik XI 21

3 0 6 J. BSm~ ARCH. ~ A ~ .

die sich ]tier obendrein als Null ergibt. Zu diesem Zwecke zeigen wir zungchst, dal3 die aS(o)

pa~iellen Ableitungen ~ verschwmden :

8 a~7(s) au(6) ~ au(~) ~v(~ 4) au(e) au(~)

a~j - - a~s + / - ~ av(~ 4) aas + au(6) a ~ - k=l (4.15) . 8

= auJ l) Ou(6) -]- z.~ au(6) ao:y -{'- O(sin2u(e)) au(6) ao:j k=l

Infolge der Bindungen (4.2b) und (4.6) gilt wegen (3.5a u. b) bzw. (4.13b)

aS~43 a r(**~ (4.16a, b) au~4) - 0 bzw. 0u(0) -- 0.

aU(6) Zur Bereehnung yon a(sin2 u(6) ) d~erei1zieren wi r (4.12) Sllmmandenweise p~rt iel l nach

sin2?~(6). I ) ie dabei sioh ergebenden logarithInezlfreien l?~ktoreI1 e~-les ]eden Sum]]~an. den zerlegen w i t in 1)~rtialbr~ohe der ~estal t

I I 1 I (4.17) S ~ 2 ~ ( 6 ) __ COS2~j ' Sm2U(6 ) - -COS2~ ( 4 ) ' Sm2U ( 6 ) i 1 ' s{n2ur

und addieren jewe~ die entsprechenden GHeder

5 3

(4.18) aU(~) ~ log A s ~'~ log B, log C log D

i = 1 .

A i . . . . . D sind Funktionen yon ~q . . . . . ~5, v(~ ~), v(~ ), v (~) und u(6). Wegen der (3.3b) entsprechenden Gleichungen f '~ die Invananten u~. ~) yon S} ~) bzw. f '~ die Invarianten v(~ ~) yon S(4) (~ , ~+z, ~r ~ l t bei Berficksichti~ng yon

u~ 4) = u~')(~x, . . . , ~ , v~'), v<~ 4), v~ 4)) (vgl. (4.2b) u. (4.4))

(4.19) A j - / ~ = C - - - D - 1

und somit " au(e)

(4.16c) a(sin2 u(6)) - 0,

was insgesamt zur Yolge hat aO(6)

(4.16d) a~S" ' ---- O.

Nun brauchen wir nur noch in (4.12) spezielle Werte ffir die ~j einzusetzen, z. B.

3 1 (4.20) cos2~l = eos2~s = c0s2~5 =-~-, cos2~.~ = c0s2~4 = -~-,

umbei Beachtung der Tatsache, dab jetzt die v(~ 4) und u(s) Funktionen dieser ~ sind, (4.8b) zu folgern und um zusammen mit den friiheren Uberlegungen daraus auf die Richtigkeit Ton (4.12) zu schlie•en.

Jetzt iiberlegen wir uns noch, welche Bereiche des (~1 . . . . . ~5)-Raumes einerseits bei positiver und andererseits bei negativer Kriimmung fiir uns in Frage kommen. Im

Vol. XI, 1960 Inhaltsmessung im Rz konstanter Kriimmung 307

Falle/Co = + 1 ist ein Orthoschem S(6) (G~ 1 . . . . . ~5) mit 0 < mi < -2- genau f'tir

tgu(6) < 0 (d. h. tg2u(s) > 0), (4.21a)

cos 2 ~ < cos 2 ~1 cos 2 ~a, cos 2 ~4 < cos 2 ~3 cos 2 ~5

realisierbar. (4.21a) hat zur Folge, da$ alle Argumente der Yunktionen L2 in Glei- chung (4.12) reell sind und i n n e r h a l b - oo und + 1 liegen.

Im Falle k0 = - -1 ist S(6) mit 0 < :9" < ~" genau bei

(4121b) f itgu(6) > 0 (d. h. tg2u(6) < 0),

[ cos 2 ~1 > cos 2 ~2 sin ~ ~4 cos 2 ~5 ~-- cos 2 ~4 sin2 ~2 ~ " COS2 ~3 - - COS2 ~4 ~ - - CO82 ~3 - - cos2 ~2

realisierbar (entspricht (3.18 b) ). Wenn in elner der letzten beiden Ungleichheiten das Gleichheitszeichen gilt, dann liegt ein asymptotische~ Orthoschem vor (Ecke 6 bzw. Ecl~e 1 im Unendlichen) und umgekehrt, tVlit (4.21b) treten auch Argumente der l~unktionen L2 in (4.12)~uf, die grSSer als eins sind und die wit gem~B der EvLv.~schen Relation [5]

T [ 1 ~ ~r2 1 2 (4.22) L2(x)+.~2~-~) - ~ - - - ~ l o g x - - i g l o g x (x > 1)(vgl. auch[9]S.4f.)

auf Argumente kleiner als eins reduzieren k5nnen. Insgesamt heben sich dann jedoch U(6) wleder auf. - die imagins Beitr~ge der einzelnen Summanden yon

Auch f'or S(6) ergibt sich analog wie fOr S(4), dal3 zu seiner Bestimmung die In- tegration yon U(O geniigt, wenn wir als untere Int~grationsgrenze Null w~hlen:

u(6)

(4.23) / . . . . . v ( I , t)dr; 0

denn partielle Differentiation yon (4.23) nach m~. gibt

r U(6) 2 U(6) 2

0 0 0

weft aus u(6) = 0 auf Grund yon (4.5) folg% u~ ~) = 0 und somit nach (3.16)

(4.25a) S~ 4) (?~1, 7i~, ?~a, 0) = 0.

In gleicher Weise gilt auch U(6)

~v(~, -- ---- ~ dt = Vi *) = V i *) (:~ . . . . . ~r vl *), vl *), v(~ *), u(6)), 0

da aus (4.9) zusammen mit (4.10) fiir u(6) ---- 0 gleichfaUs folgt

(4.25 b) Vl ') (~x . . . . . ~ , vi a), vl '), v(~ ~), 0) = 0.

21"

3 0 8 J. BSHM ARCH. MATH.

Mit Formel (4.23) haben wit im wesentlichen unser Problem gelSst ; denn der geuriinschte Orthoschem-Inhalt liiflt sich zu/olge (4.1b) und (4.14) a/s

uC6)

(4.26) S (6i (ez . . . . . ~5) = - - ~ = "~ T U(6) dt 0

angeben. Inwieweit sieh UI 6) noeh dureh Anwendung der . ~ L s e h e n [1] oder der E~rs,~sehen [5] Ftmktionalgleiehungen ffir den Dilogarithmus (vgl. aueh [9] S. 1 ft.) auf Produkte yon je zwei Logarithmen red~ieren 1/iBt, wollen wit hier nieht welter untersuehen, da dies fiir die Integration yon U(6) ohne Belang ist und zumal auch unsere Formel (4.12) eine vergleiehsweise iibersichtliehe Gestalt besitzt. Wir k5nnen uns aber durch Anwendung der erw~hnten Funktionalgleiehungen iiberlegen, dab wir fiber die kritisehen Stellen hinwegintegrieren diirfen, in denen l~enner der Argumente def. Funktionen L2 in (4.12) verschwinden.

Es ist nun absehlieBend noch ein kurzes Studium der Funktion S(6) am Platze, Um elne zuerst yon DEIr~ [4] aufgewoffene Frage nach der Art der Funktionen S(6) zu beantworten. Wir werden zeigen, daft als neuer Funktionstylo bei S(6) lediglich die Funlction des Trilogarithmus

(427) 3(z) = f 0

mit 0 ~ arg (z - - 1) ~ 2 re als Hauptblatt hinzulcommt. AUerdings ist eine explizite Darstellung yon S(~) dutch Funktionen L3 reeht umst~ndlich und uniibersiehtlieh, so dab wir uns darauf besehr~nken wollen, naehzuweisen, dab die Summanden der Funktion 32 �9 S(6) Stammfunktionen

(4.28a) Fz = / L 2 {sins t -- a_!i ~ dr, \sins t a2/

= f L2 ( (~inS t - b~) (~inS t - bs) ~ (4.28b) F~ 7m~-t~-sm~7 = ~ ] dt

besitzen, die im wesentliehen dureh Summen yon Trilogarithmusfunktionen dar- gestelIt werden kSnnen. Zum Beweise substituieren wir zun~ehst tg t ~- q

= f L2 [qs(1 - - dq ) (4.29 a) F1 \~s (1 - as) - a s / 1 ~, q2 '

' l + q S .

Darauf integrieren wir (4.29a) bzw. (4.29b) partiell und erhalten nach einer Partial- bruchzerlegung der nichtlogarithmisehen Faktoren Summen yon 28 bzw. 50 In- tegralen cler Gestalt

f log(a -~ bq)log(c ~- eq) Konstanten), (4.30) j ] - ~ dq (a,b, . ,g :

die sieh naeh K u ~ . R [8] (vgl. aueh [9] S. 136ff.) neben dilogarithmischen Funktio- nen auf jeweils hSchstens vier Ls-Funktionen als Summanden umrechnen lassen.

Vol. XI, 1960 Inhahsmessung im R5 konstanter Kriimmung 309

Dami~ h a b e n w i r den Fall 2 m = 6 erledigt. Die BehancUung der F~lle 2 m > 6 w i r d sich voraussichtl ich in analoger Weise durchfiihren lassen und soil bald n~her mit- geteilt werden.

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Eingegangen am l3. 3.1960