- 108 -

6 Integralverfahren 6.1 Umlaufintegralmethode Prinzipiell existieren 4 Typen von mathematischen Modellen für die Feldberechnung: 1. Aufstellung von pDGL´n + RB und/oder AB FDM

2. Minimierung der Feldenergie Variationsaufgabe FEM 3. Aufstellung von IGL´n für Feldquellen IGM Hier: 4. Ableitung von Beziehungen zwischen Integralen der Feldgrößen mittels

Integralsätzen + RB und/oder AB UIM (Gaußscher Satz bzw. Induktionsgesetz in Integralform)

Bezeichnungen: - Approximation der Feldgleichungen in Integralform - Methode nach REICHERT

- Umlaufintegralmethode (UIM) Klassifizierung der Methode: nach Lösungsansatz: Integralverfahren nach Art der Approximation: FDM FEM

Darstellung beider Varianten der näherungsweisen Lösung der Integralform der Feldgleichungen am Beispiel der Magnetfeldberechnung:

Quasistationäres Magnetfeld

rot H J

rot B H A

1

rot rot

A J E

rott

B

E

0rott

A

E t

A

E

1

w erot rott

AA J J

w t

A

J - Wirbelstromdichte

e J - Erregerstromdichte (eingeprägte Stromdichte)

- 109 -

Differentialgleichungssystem:

1

erot rott

AA J

Satz von Stokes

1

e

S

rott

A

Adl J dS

sinnvolle Vereinfachung: S = ebene Fläche = Randkurve von S

planparalleler Fall: ( , )J x y zJ e , J dS

( , )A x y zA e

A A

roty x

x yB A e e

1

S

A A AJ

y x t

x y z ze e dl e e dS

rotationssymmetrischer Fall: ( , )J r z αJ e ( , )A r z αA e

1 r AA

z r r

r zB e e

1 1

S

r AA AJ

z r r t

r z α αe e dl e e dS

Vorteil der Einführung des Vektorpotentials im 2D – Fall: Vektorpotential hat nur eine Komponente „skalares Potential“ verschiedene Möglichkeiten zur Berechnung der Integrale!

- 110 -

Rand- und Grenzbedingungen, Zeitabhängigkeit Erfassung von Grenzflächen FDM: Unterscheidung zwischen Punkten in homogenen Feldbereichen

und auf Grenzflächen nötig (wegen Taylorreihenentwicklung!) hier: - unproblematisch, da stets gleiche Approximation der Integrale

- gilt sowohl für Grenzflächen zwischen verschiedenen Materialien als auch für Grenze zwischen Leiter – Nichtleiter

Voraussetzung: Diskretisierung derart, dass Eigenschaften je Element konstant sind! Erfassung der Randbedingungen 1. Art: A = konst. bzw. allgemein 0rot dl B dl A (Rand = Feldlinie)

2. Art: 0n

A

Symmetriebedingung für A

0rot n B n A ( B auf Rand) Verfahrensweise wie bei FDM ! Behandlung der Zeitabhängigkeit Zeitableitung des Vektorpotentials wird durch die Potentialwerte zweier aufeinanderfolgender diskreter Zeitpunkte angenähert (Differenzenquotienten)

k,j,i1k,j,ik,j,i

AAt

1

t

A

Ansatzverfahren für unregelmäßige Gitternetze Ausgangspunkt: Integraldarstellung für quasistationäres Feld, Rotationssymmetrie

(Berücksichtigung bewegter Teile!) 1

( )S

rot rott

e

AA dl v A J dS

Rotationssymmetrie: ( , )J r z αJ e ( , )A r z αA e ( )v z zv e

1 1

S

r AA

z r r

r z W i ee e dl J J J dS

- 111 -

Räumliche Diskretisierung linearer Ansatz für A* = r A :

*

* *

1 ( )

1

1

A a br cz

A r Arot

z r r

A A

r z r

c br

r z

r z

r z

B A e e

B e e

B e e

Koeffizienten werden für jedes aus den Knotenpotentialen ermittelt analog zu FEM ! ( )J dS

3j j j

j jj j

c bJ

r r

r ze e dl

Summation über alle j Dreiecke, die am Knoten i anliegen! Zeitdiskretisierung

*alt

***

AAt

1

t

A

t

A

)0t(A

Wirbelstromterm:

altA A

dSt t

A

dS

*

alt

AdS A dS

t r

alt

a c zb dS A dS

t r r

- 112 -

Berücksichtigung der Randbedingungen: RB 1. Art: A = 0 bei allen abgeschlossenen Feldgebieten (Außenraum feldfrei) kein Beitrag zur rechten Seite der Integraldarstellung inhomomogen: A 0 bei nicht abgeschlossenen Feldgebieten

zusätzlicher Beitrag zum Umlaufintegral wird von der rechten Seite subtrahiert

RB 2. Art: Berücksichtigung von Symmetrien in Rotationssymmetrie möglich:

)z(f

0

r

A auf Fläche r = konst.

)r(f

0

z

A auf Fläche z = konst.

Beispiel: 0z

A

erfordert Berechnung eines speziellen Umlaufintegrals

1

8

1 1P

P

A AI

r z r r ze e dl dr rdl e

0drz

A

r

11I

analog für P7 P8

Rest wie oben !

inhom. RB: )r(fz

A

f(r) in Integral I einsetzen und zum Umlaufintegral

addieren! Gesamtgleichungssystem: - Ordnung = Zahl innerer Punkte + Randpunkte 2. Art

- Struktur des GS wie bei FDM oder FEM

- 113 -

6.2 Finite – Integrations – Technik (FIT) FDTD versus FIT FDTD = Finite Differenzen im Zeitbereich / Finite-Difference Time-Domain FIT = Finite Integrationstechnik / Finite Integration Technique

Diskrete Gittergleichungen in lokaler und globaler Matrixform

- 114 -

Dual-orthogonales Gittersystem im Raum

Definition der Materialzellen

Globale Gitternummerierung

- 115 -

Ableitung der diskreten Gittergleichungen ( 3D-FIT )

- 116 -

- 117 -

- 118 -

Zusammenfassung aller Integrationszellen:

- 119 -

3D-FIT-Algorithmus – Flussdiagramm für die Wirbelgleichungen

Maxwellsche Gleichungen in Integralform FIT - Maxwellsche Gittergleichungen

- 120 -

6.3 Ersatzladungsverfahren

Bezeichnungen: Charge Simulation Method (CSM) Surface Charge Simulation Method (SCSM) Equivalent Electrode Method (EEM) Point Matching Method

Kollokationsmethode

entwickelt von Steinbigler, TU München, 1969 Das Überlagerungsprinzip reale Elektrodenanordnung elektrisches Feld durch Oberflächenladungen auf den

Elektroden erzeugt ortsabhängige Ladungsdichte auf Elektrodenoberfläche Se

Potential im beliebigen Feldpunkt:

1 ( )́

( ) ´4

eS

rr dS

r r´

Genaue Ladungsverteilung i.a. unbekannt, Integration meist nur numerisch möglich, sehr aufwendig ( Momenten-Methode )

Näherungsmodell:

Oberflächenladungen werden durch eine endliche Zahl diskreter Ladungen im Inneren der Elektrode ersetzt!

Lage der Ladungen im Inneren im Prinzip frei wählbar

Ladungsbeträge werden mit Hilfe der RB ermittelt, die in diskreten Punkten (=Konturpunkte) auf der Elektrodenoberfläche erfüllt werden

Potential im Aufpunkt = der Potentiale der Ersatzladungen

1

( )N

i ii

r Q p

Terminologie der Behandlung von Mehrelektrodensystemen entlehnt Potentialkoeffizienten

analog für Feldstärke:

1

( )N

i ii

r Q f

E

Potential- und Feldstärkekoeffizienten sind nur vom Ladungstyp und der geometrischen Lage der Ladung (Abstand Quellpunkt – Aufpunkt) abhängig!

Symmetrieerfassung: Spiegelladungen

is0ii pkpp pi0, fi0 - Koeffizienten der Originalladung pis, fis - Koeffizienten der Spiegelladung

is0ii fkff k - Spiegelkonstante

- 121 -

-1 - Spiegelung an geerdeter Platte k = 0 - keine Spiegelung

+1 - vorzeichengleiche „Spiegelung“ an der Ebene (2 gleiche Elektroden auf gleichem Potential)

gute Nachbildung erfordert: - sinnvolle Ladungsanordnung - problemangepasste Ladungstypen Ladungstypen translatorische Anordnungen ( planparalleles Feld )

a) lange Linienladung

´( ) ln

2

Qr

r r´ , l

Q´Q

pi, fi - folgen aus Art der notwendigen Spiegelung

b) lange Flächenladung langer geladener Streifen mit konstanter Flächenladungsdichte

x

y´yarctanx2y´yxlny´y

4

1P 02

02

0

x

y´yarctanx2y´yxlny´y n2

n2

n

x

y´yarctanx2y´yxlnyy 02

02

0

x

y´yarctanx2y´yxlnyy n2

n2

n

- 122 -

x

y´yarctan

x

y´yarctan

x

y´yarctan

x

y´yarctan

4

2f n0n0

x

2

022

02

2n

22n

2

yy´yxy´yx

y´yxy´yxln

4

1f

rotationssymmetrische Anordnungen

a) Punktladung b) endlich lange Linienladung c) (einseitig) lange Linienladung d) Ringladung Spiegelung nur an r – Achse sinnvoll, d.h. Ladungen müssen auf der

Rotationsachse liegen!

Ladungsermittlung - Lage der Ersatzladungen wird vorgegeben

- Größenbestimmung durch Einsetzen der Konturpunkte kr

1

( ) ( )N

k k i ki

r U Q p r

, N,....,2,1k

lineares Gleichungssystem aufstellen Lösung: - in Konturpunkten exakt - zwischen Konturpunkten näherungsweise richtig (Stetigkeit des Potentials !) Behandlung freier Potentiale

Potentiale auf einer (oder mehreren) Elektroden eines Mehrelektrodensystems ist nicht bekannt!

„freies“ Potential als weitere Unbekannte in GS aufnehmen: zusätzliche Bestimmungsgleichung Ersatzladungen dieser Elektrode = 0 ( ungeladene Elektrode )

Ersatzladungen dieser Elektrode = Q0 weitere Feldberechnung nötig

- 123 -

Dielektrische Grenzschichten

entsprechen physikalisch betrachtet einer Flächenladung

Einführung bereichsweise gültiger Ladungen, d.h. Zuordnung eines Ladungspaares zu jedem Grenzschichtkonturpunkt

analog zur Spiegelung: QI gelte für Berechnung in Gebiet 2 und umgekehrt Kontrolle der numerischen Approximation a) an Elektroden

Bestimmung von: - Potential

- Tangentialfeldstärke (bzw. E - Winkel) - Elektrodenkrümmung Elektrodenkrümmung ist ein besonders empfindlicher Indikator!

H2n

E

E

1

H = Krümmung der Elektrode

E = Feldstärke

2H1H r

1

r

11H rH1, rH2 – Hauptkrümmungsradien der Elektroden

2 2

32

y yx xx x y y

E EE EE E E E

x x y yH

E

b) Dielektrische Grenzschichten

Kriterien: - Sprung der Normalfeldstärke - Stetigkeit von Potential und Tangentialfeldstärke Nur relative Aussagen zu den Werten in beiden Medien möglich!

c) Verbesserung der Nachbildungsgüte

- Einführung zusätzlicher Ladungssysteme zur Kompensation der Abweichungen

- numerische Optimierung der Ladungsorte und ~ beträge, ist zu aufwendig!

- 124 -

6.4 Mehrfach–MultiPol–Methode (MMP)

Weiterentwicklung und Verschmelzung von „Point – Matching“ – Technik und Ersatzladungsverfahren

Semi–analytisches Verfahren: Feldgleichungen werden gebietsweise analytisch durch Reihenentwicklung gelöst (sogenannte MMP–Ansätze)

numerisch wird nur auf Gebietsrändern gearbeitet stark verringerter Diskretisierungsaufwand relativ kleine, dichtbesetzte Matrizen

Basis: Linearität der Feldgleichungen, daher für nichtlineare Materialien nicht geeignet!

vielseitig einsetzbar für statische und dynamische Probleme; bisher angewendet auf 2D- und 3D-Probleme aus:

- Elektrostatik - Magnetostatik - Elektrodynamik (Mikrostreifenleiter, Hohlleiter, optische Fasern,

Nah- u. Fernfeldberechnung von Streukörpern, usw.)

entwickelt von Christian Hafner, ETH Zürich

Literatur: Chr. Hafner/L. Bomholt: The 3D Elektrodynamic Wave Simulator 3D MMP Software and Usere´s Guide. John Wiley & Sons, Chichester, 1993

Mathematisches Modell

in Physik und Elektrodynamik besonders häufig vorzufinden

Helmholtz- und Laplace – Gleichung, die folgen aus: - Separation der Zeitabhängigkeit aus der Wellengleichung, - Diffusionsgleichung, - Schwingungsgleichung, - Schrödinger–Gleichung

skalare, homogene Helmholtz – Gleichung 2 0k F in G (I)

Laplace – Gleichung als Spezialfall (k = 0) 0F in G (II) und ihre 2D – Formen 2 0T k F in G (III)

und 0FT in G (IV) Ziel der analytischen Lösung Suche nach einer vollständigen Orthogonalbasis, d.h. nach (meist abzählbar vielen) Lösungen Fk einer dieser Gleichungen, so dass jede Lösung F nach

kk1k

FAF

in G

entwickelt werden kann.

- 125 -

aber:

kF sind von Feldgleichungstyp und Form von G abhängig

d.h. Aufgabe muss für jedes Problem neu gelöst werden numerisch ineffizient!

Summation bis ist numerisch nicht ausführbar! Ausweg: Auswahl einer „Approximationsbasis“

kk

K

1k

0 FAFF

in G

Vorteil: - wesentlich einfacher - Angebot möglicher Basisfunktionen stark erweitert Anforderungen an kF :

kF sollen „billig“ zu berechnen sein

wenige kF sollen ausreichen, um die gesuchte (nicht jede!) Lösung genügend genau zu approximieren.

besonders interessant: Funktionen, die in einem Punkt des Raumes einen Pol aufweisen z.B. für (I):

nsincosPrkHr

1 nm

)1(

2

1m

,

ncoscosPrkHr

1 nm

)1(

2

1m

(V)

für (II): nsincosPr n

mm , ncoscosPr n

mm (VI)

für (III): nsinrkH )1(

n , ncosrkH )1(n (VII)

für (IV):

rln , nsinr n, ncosr n

(VIII)

außer ln r wirken alle Funktionen nur lokal, d.h. sie verschwinden für r vom Pol

sind Basis der MMP – Methode : „Multipole“ - wegen Pol bei r = 0; n = 0 „Monopol“

Ersatzladungsverfahren: Spezialfall der MMP für m = n = 0, verwendet nur Monopole (Punkt- / Linienladung)

MMP–Ansatz: Überlagerung mehrerer Multipole in einem Ansatz

Problem: - Wahl der Pole - Wahl der Ordnungen n und m

Vorteil der MMP–Ansätze: + erhöhte Flexibilität

- mehr Multipole als nötig ansetzen - Pole bestimmter Ordnungen können weggelassen werden + Approximation bestimmter Lösungen ist möglich

- 126 -

Auswahl der MMP–Ansätze Regeln: (analog zum Ersatzladungsverfahren) 1. Nahe beieinander liegende Multipole beschreiben „ähnliche“ Feldfunktionen und führen

damit zu numerischen Abhängigkeiten und schlecht-konditionierten Matrizen 2. Da Multipole lokal wirken, beeinflusst ein Multipol hauptsächlich den Teil der

Grenzfläche, der in seiner Nähe liegt. 3. Dicht an der Grenze lokalisierte Multipole führen zu starken Schwankungen der

Feldfunktion auf dem Rand, sehr weit entfernte Pole liefern nahezu konstante Feldfunktionen auf dem Rand.

Praktisch brauchbarer Ansatz: Zeichnen von Kreisen mit den Mittelpunkten Ol außerhalb des Lösungsgebietes G, die den Rand G stückweise approximieren und anordnen je eines Multipols in den Punkten Ol. Dabei muss jeder Punkt Ol außerhalb der übrigen Kreise liegen und die Ordnung n geeignet gewählt werden. Beispiel: Geometrische Konstruktion für ein ebenes Gebiet G

Mathematische Basis: Abtasttheorem: Zusammenhang zwischen Dichte der Abtastwerte und maximal

erfassbare Frequenz des Fourier-Spektrums kreisförmige Berandung G Zylinderfunktion = konst auf G, wenn O(r = 0) in

Kreismitte liegt (VII) sind Fourier-Reihen Daraus folgt der Zusammenhang der „Matching“ – Punktdichte (bzw. der Winkel de

zwischen benachbarten „Matching“ – Punkten Pl, Pl+1) und der maximalen Winkelfrequenz kmax der Funktion sin und cos und damit der maximal zulässigen Ordnung der Zylinderfunktion.

1k2

2dd

maxmaxe

- 127 -

Übertragung auf beliebiges Feldgebiet mit beliebiger Punktverteilung auf G als Empfehlung: Sehwinkel de zwischen benachbarten Punkten Pl und Pl+1 , den der Beobachter von Ol aus sieht, sollte stets kleiner sein als

2/(2klmax +1), wenn klmax die höchste Ordnung des betreffenden Multipols ist.

Damit ist die höchste zulässige Ordnung eines Multipols festgelegt. Es muss gelten:

2

1

dk

maxlmaxl

Empirische Richtlinien:

1. Abstände ll G

llG

ll PQPO

2. l nicht zu klein wählen,

3l

nicht mehr alle (ganzzahligen) Ordnungen n in Ol ansetzen.

3. dlmax / dlmin darf nicht zu groß werden

obere Schranke: dlmax / dlmin = 2

2l

für gerades Stück G

4. Sehwinkelbedingung (siehe oben) legt maximale Multipolordnung fest 5. Abstand Dlmin > dlmax

- 128 -

Numerische Realisierung

Numerische Ausführung der MMP erfordert Überlegungen zur Fehlerminimierung: 1. Aufstellung überbestimmter Gleichungssysteme (mehr Matching – Punkte als nötig verwenden)

praktische Regel: 4...2MeUnbekanntAnzahl

Nn Gleichunge Anzahl

2. Minimierung des Fehlers im integralen Sinne über Gij durch Wichten der

einzelnen Gleichungen in den Pl. Gewichtet werden können:

a) alle Gleichungen in Pl mit ld bzw. lF (im 3D–Fall)

(dl = Mittelwert der Abstände zweier benachbarter Pl) (Fl = Mittelwert der Flächen)

b) alle Stetigkeitsbedingungen für , , ,E D H B

entweder mit: 41ij , 4

1

ij , 41ij , 4

1

ij

oder mit: 1, ij

1

, WjWi ZZ , ij

WjWi ZZ

c) jede Gleichung (nach Wunsch) separat mit einem Gewicht, das vom Anwender

angegeben werden kann.

Erweiterungsmöglichkeiten:

- Kopplung mit anderen Verfahren (z.B. mit Ersatzladungsverfahren, FEM, o.a. ) - Ziel ist die Vermeidung aufwendiger numerischer Integrationen, - Erfassung inhomogener Medien und komplizierter Geometrie

Vorteile:

- geringer Diskretisierungsaufwand - weniger Eingabedaten - einfache Kontrolle des Resultats möglich - Ausschnittsanalyse von Feldbildern ist einfach, keine Neuberechnungen - Parameteränderung nur lokal nötig, unproblematisch - Nahfeldberechnungen