Integralbeziehungen zwischen Mathieuschen Funktionen. Von JOSEF MEIXNER in Aachen.

(Eingegangen am 20.2.1951.)

1. Einleitung. Man kennt keine Integraldarstellungen der Mathieuschen Funktionen durch

elernentare Funktionen, dagegen ist eine grol3e Zahl von Integraldarstellungen bekannt, die im Integranden eine Mathieusche Funktion enthalten. Sie stellen somit Integralbeziehungen zwischen Mathieuschen Funktionen dar.

Integralbeziehungen mit festen Integrationsgrenzen kann man in grol3er Zahl angeben; auf Grund eines allgemeinen Theorems von SIEGER') laat sich vielen Losungen der zweidimensionalen Wellengleichung eine solche Integralbeziehung zuordnen. Eine Integralbeziehung dieser Art, welche einen willkiirlichen Para- met2r enthalt, geben wir im 3, Abschnitt an.

Integralbeziehungen mit veriinderlichen Grenzen lassen sich in bekannter Weise aus der Mathieuschen Differentialgleichung als Volterrasche Integral- gleichungen herleiten. Einen neuen Typ von Integralbeziehungen mit veriinder- lichen Grenzen hat kiirzlich SIPS~) angegeben. Wir werden sie im 4. Abschnitt in mehrfacher Hinsicht verallgemeinern.

SchlieBlich geben wir noch einige Integralbeziehungen an, die im Integranden Produkte von zwei Mathieuschen Funktionen enthalten. Dieser Typ ist zum erstenma1 von WHITTAKER3) behandelt worden.

2. Bezeichnungen und einige Eigenschaften der Mathieuschen Funktionen. Die 2 n-periodischen Losungen der Mathieuschen Differentialgleichung

dly (1)

bezeichnet man mit ce,(z), se,+,(z) (m = 0, 1, 2 , . . .). Zu jeder dieser Losungen gehort ein bestinimter Wert A = a, bzw. b,+l, der noch, ebenso wie die Losungen selbst, von h abhangt. Als zweite Losung der Mathieuschen Differentialgleichung zu den A-Werten a, bzw. b,+l fiihrt man die Fhnktionen fern@), (2 ) mit den Eigenschaften (2) fe,(z) = -fe,(-z), ge,+i(z) = ge,+i(-z) (m = 0 2 1 , 2 , . - -1 ein.

dZL + ( A - 2h2cos22) y = 0

l) B. SIEGER, Ann. Physik, IV. F. 21, 626 (190s). *) R. SIPS, Bull. SOC. Sci. Liege 18, 498-515 (1949).

E. T. WHITTAKER, J. London math. SOC. 4, 88-96 (1929).

372 Meixner, Integralbeziehungen zwischen Mathieuschen Funktionen.

Eine andere Einteilung der Lijsungen der Mathieuschen Differentialgleichung beruht auf ihrem asymptotischen Verhalten. Wir definieren sie in folgender Weise :

M C $ ( - i Z ) - 8$(2hCos%), (3) Msg+l(-i%) N g ( 2 h c o s z )

fur S(z) >> 1 und --n < arg2h C O ~ Z < n. ist fur j = 1, 2, 3, 4 der Wihe nach die Besselsche, Neumannsche, erste und zweite Hankelsche Funktion. Die Funktionen Mcg bzw. Msg+, gehoren zu den A-Werten a,,, bzw. b,+l.

1st A von den a, und b,+l verschieden, 80 gibt es zu jedem A ( = A;) einen nicht ganzen charakteristischen Exponenten v und zwei Usungen me*,, (z) der Mathieuschen Differentialgleichung mit der Eigenschaft

(4) me, (z + n) = eZyn me,, (z) = me-, (-2) . Sie lassen sich nach Exponentialfunktionen entwickeln :

(5)

Der Koeffizienteneatz cZr ist bis auf einen willkiirlichen, aber im folgenden nicht wesentlichen Faktor bestimmt. Den Lasungen (3) stellen wir in diesem Fall die Liisungen vom asymptotischen Verhalten

(6) NF3 (4%) - 3!' (2 h COB 2 ) (3 (z) >> 1 , --n < arg 2 h cosz < n , j = 1 , 2 , 3 ,4)

gegeiiiiber .

Sei 3. Integralbeziehungen mit festen Grenzen.

coe(z+y)-cosa COB (z - y) - cosa (7)

und (8) (argh[cos(x f y) - COSCW]~ < z fur 0 5 7 5 2 n .

Das bedeutet fur groBe positive 3(s)

(9) Iargh cossl < x .

Dann gilt mit einer beliebigen ganzen Zahl 8

u = 2hI/[cos(s + y) - cosa][cos(z - y) - cosa] , u =

Durch analytische Fortsetzung liiBt sich diese Beziehung uber den in (8) angegebe- nen Bereich hinaus enveitern. 0

Zum Beweis ist zunliuhat zu zeigen, daB tier ,,Kern" V+8

(11)

der partiellen Differentialgleichung

K ( s , Y) = S!%, (u) ~7

Meixner, Integralbeziehungen zwischen Mathieuschen Funktionen. 373

genugt. Dann wende man den Operator + (A - 2h2 cos2x) auf die linke Seite von (10) an, beniitze (12) und integriere zweimal partiell. Die Beitriige von den Grenzen verschwinden wegen (4). Der Integrand des entstehenden Integrals verschwindet, da me, (y) der Differentialgleichung (1) geniigt. Das Integral auf der linken Seite von (10) ist daher eine Losung der Mathieuschen Differential- gleichung und somit als lineare Kombination der Funktionen (6) darstellbar. Sei zuniichst j = 3 , S(-iz) >> 1 und largh coszl < z. Dann ist

at

U - 2h(cOSZ - COSLX COSY) + O(lCOSZI- ')

und ? + 8

8 ( 3 ) (u) VT i - 8 H!1)(2h ~ 0 s ~ ) ~ - ? i h c O S ~ C O S ~ - i ( , f 8 ) U (13) V + 8

Einsetzen dieses Ausdrucks und der Reihenentwicklung (5) liefert nach hier er- laubter gliedweiser Integration

W

H:"(2hcosz) 2 ( - l ) 'c , ,~~, ,~8(2hcosa) . ?=--a,

Dieser asymptotische Ausdruck gilt uber den kritischen Strahl argh cosx = 0 hinweg ; die durch ihn dargestellte Mathieusche Funktion ist daher eindeutig bestinimt und nach (6) mit der rechten Seite von (10) fur j = 3 identisch. Fur j = 4 verliiuft der Beweis ebenso, und fur j = 1 , 2 ergibt sich (10) unter An- wendung der Beziehungen

JfI3.4' = M;" f i J f i 2 ) .

Durch Grenzubergang zu ganzen v ergeben sich hieraus die Beziehungen

3 i 4 Meixner, Integralbeziehungen zwischen Mathieuschen Funktionen.

Auf die verschiedenen einfachen Spezialfalle gehen wir nicht ein, enviihnen

vielmehr einerseits, daB fur a = 2 und ungerade s die unendlichen Reihen in (10) und (14) verschwinden, wiihrend sie sich fur a = und gerade s auf hochstens

ein Glied reduzieren. Andererseits lassen sich die unendlichen Reihen in (14) fur s = 0 mittels Mathieuscher Funktionen des Arguments a ausdrucken. Auch sei auf den Zusammenhang dieser Integrale (10) und (14) mit den an anderer Stellel) angegebenen Reihenentwicklungen von Produkten zweier Mathieuscher Funk- tionen nur hingewiesen.

R

2

4. Integralbeziehungen mit veriinderlichen Grenzen. Wir betracht,eil nun das Integral

in welcheni u und v die in (7) angegebene Bedeutung haben, s eine ganze nicht negative Zahl und me (y) irgendeine Loshng der Mathieuschen Differential- gleichung (1) ist. Der Integrand dieses Integrals ist fur alle endlichen z, y , a reguliir.

Fur yS(z, a) laBt sich auf ahnliche Weise wie oben mit Hilfe von (12) zeigen, daB

(1 6) d~ Y + (A-2 h2 cos 22) Y = - __ me (zf a) sin (2z+ a) [cos (2z+ a ) - c o ~ a ] ~ - ~ dJ 4hr

r ( s )

ist. Im Falle s = 0 verschwindet die rechte Seite, und Yo(., a) ist eine Mathieu- sche Funktion vom Argument z zu denselben Werten von A und h2 wie die Funk- tion me@). Aus (15) folgt Yo(O,a) = 0, aY0(z,a)/az = 2me(a) fur z = 0. Somit wird

wenn Y der charakteristische Exponent zum Parameterpaar A , h2 ist. Im Fitlle s = 1 lafit sich leicht ein partikulares Integral von (16) angeben;

es lautet me(x+a) /hs ina . Da ferner q ( 0 , a) sowie die Ableitungvon Yl(z,a) nach z fur x = 0 verschwinden und die homogene Differentialgleichung zu (16) die Losungen meiY (2) besitzt, so laBt sich Y , ( z , a) berechnen.

Wir bemerken nun, da13

l) J. MEIXNER, Math. Nachr., Berlin 3, 14-19 (1949).

Meirner, Integralbeziehungen zwischen Mathieuschen Funktionen. 375

ist, und geben statt 7 (x, a) die beiden folgenden Integrale an:

h sina J~ (u) (v4 - v!) nie(y)dy=me (x+a)-me(s)-me(-x)+nie(a-x)

- [me (a) - me 0 1 me, (4 + me-, (z) me, (0)

(19) a - 2 / Auch fiir s = 2 kann man ein partikulares Integral von (16) angeben und

findet nach einiger Rechiiung

I a + , r

1 c c s ( 2 z + a ) cosa 1 1 + h’sin’a me’(a-z)- -- + =J me(& + z) + h”sin~a me’(a+x) I [ sina mey ( 5 ) + me-, ( x ) cosa 1 1 I I + nie,(O) {G [ 1 + -1 me (4 - h”sin”a me’(&)}.

Aurh fur s > 2 kann man ein partikuliires Integral von (16) finden, indem man es nls lineare Kombination Ton me(z + a) und me’(z + LY) mit geeigneten Poly- nonien in s inz und cosx als Koeffizienten ansetzt.

Die Beziehungen (17) bis (21) lassen sich einfach auf den Fall, in welchem A ein 2 z-periodischer Eigenwert ist, spezialisieren. Dazu ersetze man mit be- liebigen konstanten A , B und fur m = 0. 1 , 2 , . . .

Die Beziehungen (17) bjs (21) finden sich bei Sips1) fur einige Spezialfiille. Unsere Ergebnisse sind in mehrfacher Hinsicht allgemeiner als jene von Sips :

Sie enthalten einen willkiirlichen Parameter a , wahrend bei Sips a = - und in einem Fall a = 0 ist; der Index Y ist bei uns willkiirlich, bei Sips ganz; die

7c

2

l ) Siehe Fuhote 2 S. 371.

376 Meixner, Integralbeziehungen zwischen Mathieuschen Funktionen.

Mathieusche Funktion me(y) ist eine willkiirliche Liisung der Mathieuschen Differentialgleichung, wiihrend Sips nur die Falle me(y) = ce,(y) bzw. = se,(y) betrachtet; und schlieBlich ist der Weg gezeigt, wie man die Ergebnisse auf s > 2 erweitern kann.

6. Integrale uber Produkte zweier Mathieuseher Funktionen. Sei Y(q) eine hinreichend oft differenzierbare 2 z-periodische Funktion,

14oit[ > 1 und %(t) > 0. Die Differentiation der Funktion

nach und partielle Integration nach q fiihrt auf

2n

(23)

Auf dieselbe Weise erhiilt man

Wahlt man speziell

(26) Y(V) = me-, (7) mev+2p+1 (4 (P g - 3 ,

so ist nach (4) !P(q + 2n) = !P(q), erfiillt also die oben genannten Voraussetzun- gen. Aus der Mathieuschen Differentialgleichung (1) folgt, daB Y(q) der Diffe- rentialgleichung fur ein Produkt zweier Mathieuscher Funktionen mit den A-Wer- ten aV und av+2p+l

Y””(q) + 2[Av + Av+2p+l - 4h2 C O S ~ ~ ] !P”(q) + 24h2 sin2q ?P’(q) + [ M Y - Av+2p+1)2 + 16h2 cos2ql Y(rl) = 0 (27)

geniigt. Man iiberzeugt sich leicht, daB dann # ( 5 ) einer Differentialgleichung geniigt, die aus (27) hervorgeht, indem man q durch &it ersetzt. O(5) l&Bt sich daher als Summe von Produkten je zweier Mathieuscher Funktionen mit den A-Werten A, und darstellen. Da a(&) = 0 ( I G D f E l - ’ ) fur groBe positive %(t) und da ferner #(t) die Periode 2ni besitzt, so kommt nur die Kombination

(28) 0 (8 = 4 , p {X3’ (8 W 7 2 P + l ( E ) - E4) (0 M29:2,+1(5))

in Betracht. Die Konstante Av,p berechnet sich, indem man in (28) die asympto- tische Darstellung (6) fur groBe positive %([) einsetzt, (22) fur ebensolche 6

Meixner, Integralbeziehungen zwischen Mathieuschen Funktionen. 377

auswertet und vergleicht. Damit wird

(29) = 1’ iep-l j:osq me-”(q) me,+2p+l(q) dq. 0

Der Wert dieses Integrals la& sich durch Einsetzen der Reihenentwicklung (5)

Die weitere Beziehung auf die c:: und c:,+’~+’) zuriickfiihren.

‘2n

- - 4 , p { J f : 3 ) t ( 6 ) Jf%p+1(6) - JC4”(q) Jf::2p+l(t)}

IiiBt sich auf die vorhergehende zuriickfiihren. Zuniichst folgt aus (30)

Nun ist aber mit der Bedeutung (26) von y/

2(me’_, me,+2p+l)’ = Ytt + ( A y + B p + l - A,) Y,

wie durch Einsetzen von (26) und Beriicksichtigung von (1) folgt. Daher wird

a 8 2 - = @” + ( A , - A,+?,+,) 0. (32) d t

Es ist mit Hilfe von (31) und (1) leicht festzustellen, daB die in (30) definierte Funktion E ( t ) diese Gleichung erfiillt. Eine zunachst willkiirliche Konstante in E(6) verschwindet, wie man aus dem asymptotischen Verhalten der beiden Gleichungsseiten in (30) herausliest.

Auf die Integrale (22) mit !P aus (26) und (30) wird man durch folgende heuristische Betrachtung gefiihrt. Die Funktion My) (6) me-, (q) ist eine Losung der zweidimensionalen Wellengleichung, wenn man E , q a19 ebene elliptische Koordinaten deutet. Dasselbe gilt fur ihren Differentialquotienten nach einer cartesischen Koordinate. Fur letzteren kann man eine Entwicklung nach den Wellenfunktionen M!i2p+l (6) me--v-zp-l (q) ansetzen. So ergibt sich nach ein- facher Rechnung

1 a 16in6 - cosq g - oft- sinq - ”1 M L ~ ) ( [ ) me-, (q) (33) C O I L 5 - cosiq 371

= P , , p J & + 1 ( t ) me-,-zp-dq)*

Wegen der Orthogonalitatseigenschaften der me-r-2p-l (q) folgt nun aus (33) unter T’erwendung der oben eingefuhrten Bezeichnungen 0 (6) E(E)

m 1 W ‘ ( E ) @(t)--Mtf’(t) S(E) = 4 . p J f % p + d t ) 1 me-”-2p-l(q) n%+?p+l(q) d q

0 (34) ( j = 1 , 2 , 3 , 4 ) . Math. Nachr. 1951. Bd. 5. H. 6. 26

378 Meixner, Integralbeziehungen zmischen Mathieuschen Funktionen.

Beziehungen dieser Art hat bereits Whittakerl) aufgestellt und sie als Re- kursionsformeln bezeichnet ; tatsachlich aind sie aber keine solchen, sondern Identitaten. Man erkennt dies, wenn man fur @ ( E ) und E (6) die oben gefundenen Ausdriicke einsetzt und beachtet, daR die Wronskische Determinante von Ma’

und M!? den Wert -; besitzt. Gleichzeitig ergibt sich dnmit 4 i

Whittaker hat die Tatsache, daR es sich bei (34) nicht urn Itekursionsforinelri, sondern urn Identitaten hnndelt, nicht bemerkt, obwohl er sie im Grenzfall der Besselschen Funktionen benutzt. ifbrigens sind unsere Ergebnisse nicht nur voll- stiindiger sls jene voii Whittaker, da bei ihm gewisse Konstanten nicht explizit berechnet sind, sondern auch allgemeiner, d s sich Whittaker auf die Bn-perio- dischen Ldsungen der Mathieuschen Differentialgleichung, d. h. auf ganze v und weiter auf p = 0 bzw. p = - 1 beschrankt, wahrend bei uns v beliebig und p be- liebig ganz ist. Die Beweisfiihrung von Whittaker ist iiberdies erheblich schwer- fdliger.

Die Grenzfalle ganzer v f6r die beiden Integrale (22) mit (26) und (30) ergeben sieh, indem man iiberall me-, und mev+,p+l durch ce, und ce,+rp+l bzw. se, und se,,+gp+l ersetzt.

I ) Siehe FuBnote 3, S. 371.