Jacobsonsche Ringe, Hilbertscher Nullstellensatz, Dimensionstheorie

Mathematisdm Zeitsdlrift, Band 54, Heft 4, S. 354--387 (1951).

Jacobsonsche Ringe, Hilbertscher Nullstellensatz, Dimen sionstheorie !).

Voll

Wolfgang Krull in Born,.

Unter dem Rad ika l r (a) eines Ideals a aus dem k o m m u t a t i v e n Ringe ~ mit E inhe i t se lement 2) ve r s t eh t man i iblieherweise den Durehsehni t t al ler P r imober idea le von a. Der von JAcoBso~ eingefi ihr te Begriff des t l ad ika l s eines beliebigen, nieht no twend ig k o m m u t a t i v e n R inges legt nun den G e d a n k e n nahe, aueh im kommuta t . iven Spezialfal l sys temat i seh f(ir jedes Ideal a neben r(a) ein zweites, Jacouso~sehes Radika l rj(a) zu bilden, und zwar hat man, wie leieht zu sehen, rj(a) gleieh dem Durehsehnit . t al ler maximalen Pr imober idea le m yon a zu setzen, d .h . lit ~ a, die ihrersei ts kein yon ~R selbst ve rseh iedenes eehtes OberideM besitzen. Ein Ring }R, bei dem r ( a ) - r~(a) ftir alle a wird, mSge kurz als .laco~soxscher Ring bezeiehnet werden a); offenbar ist {R sehon dann ,laco~so>'seh, wenn jedes Pr imidea l als Durehsehn i t t max ima le r Prim- ober ideale da rs te l lba r ist. Aus der Ta t saehe , dal3 {R in die Klasse der ,IacoBSONsehen Ringe geh6rt , lassen sigh keine t i e fe rgehenden Aussagen tiber die 8 t r u k t u r von ~R able i ten (vgl. wei ter unten). Dal~ gleiehwohl (lie neue Begri f fsbi ldung ke ineswegs wert los ist, zeigt alas folgende, sehr a l lgemeine und sehr e infaeh zu beweisende T h e o r e m :

Ist {Rein JAcoBso.~seher Ring, so ist es aueh jede endliehe Ring- e rwe i t e rung | = {R[a,, . . . , a,], und es stel l t a u g e r d e m bei j edem K 6 r p e r h o m o m o r p h i s m u s v%-* ~ v o n | das Bild ~o von {R einen Unter- #6rper yon R' dar , tiber dem ~ algebraisch ist.

Spezial is ier t man hier {R zu einem K6rper K, ~ = K [ x , , . . . , x,] zu e inem Po lynomr ing in endlieh vielen Unbes t immten fiber K, so er-

l) f}ber den lnhalt yon w 1 und w 2 habe ich Februar 1950 ein Kolleg und auf dem Internationalen Mathematikerkongrel~ in Cambridge vorgetragen (auf dem KongreB ohne Ausfiihrung der Beweise). Der Hauptteil der fibrigen Unter- suchungen (mit Ausnahme v o n w 3) entstand im Frfihjahr 1950; eine skizzenhafte ['!bersieht wird in den Beriehten des Internationalen Mathematikerkongresses er- sehcincn, inzwisetlen ist eine v611ig unabh~ngig von mir entstandene Arbeit yon Hcrrn (). GOT,DMAN ersehienen, in der im wesentliehcn der gleiche Stoff behandelt worden ist wic von mir bier in w 1 und w 2, ((JOLDMAN [2]), Vgl. hierzu die An- merkungen :% n), 1~).

~) l)i~ Exi~tenz des Einheitselements ist fiir dc~_! Haupttcil der durchgefiit~rten Untersuehungen wesentlieh; sic wird daher stets vorausgesetzt. Die angegebene Definition von r(a) ist aucl~ bei Ringen ohne Einheitselement brauchbar.

a) tterr GOI,Dr~IAN spricht von HILBERTsehen Ringen, well er das Wesen des ,HiLJmaTschen Nullstellensatzes" anders interpretiert als der Text, vgl. ~).

W. Krull: Jacobsonsd~e Ringe, ttilbertsdmr Nullstellensatz, Dimensionstheorie, 355

h/41t man fast umni t te lbar den HmBERTsehcn Null~tellens~tz im iiblichcn Sinne des Wor tes und zwar auf einem denkbar eilff~tehen m~d fiber- siehtliehen Wege. Unser Theorem kann daher mit Reeht als cer- ~dlgemeir~erter H~LBERTscher Nullstellensatz bezeiehnet werden. --- Zu wei te rgehenden Resul ta ten kommt man, wenn mm~ sich auf NoE'J'H~:~sclw Ringe (Ringe mit Maximalbedingung) besehr~inkt, well bier an cnt- scheidenden Punk ten (lie Theorie der Nom'HE~schen Stellel,'ir~ye, (Ring(; mit einem einzigen maximalen PrimideM) herangezogcn w(;rden ],:aim. Definiert man wie iiblich die (Maximal-)Dimension eines l ' r imidcals p als die um 1 vcrminder te Gliederzahl einer mSglichst langen mit p beginnenden Pr imober idealket te , und be t raeh te t man dcr Einfa(',hlJ(;il halber nur den - - prakt iseh allein wichtigen - - Fall, (tag allc Rinla'- primideale in diesem Sinne endliche Dimension habcn, s() zcigl. ,si('h: Dann und nur dann, wenn ;R ein JAcol~sOS'scher Ring ist, k:um [fir den Po lynomr ing ~ [x~, . . . , x~l iibel' dem N()ErHE~,sehen lntegrit~itsb(~rei('h ~,)~ eine Dimensionstheorie entwickel t werden, (tic (tie bekannte Dimensions- theorie der Polynomringe mit KSrI)erkoeffizienten in befr iedigender Weise veral lgemeiner t . Man erh~tlt insbesondere bei JAc,)l~so~schem ~3~ die fo lgenden Stttze:

Ist p, i rgendein Primideal aus {Rl,r,, . . . , x,~], und ist d die Dimensi~m yon p =-p~ Cl ~, so gilt fib" (lie Dimension d:~ von !0~ (lie IJng]eichung d -< (I, ~ dx -/- n, und es kann die Differenz dx - d genau wie im Fall(; der Po lynomr inge init KSrl)erkoefi izienten als ein Transz(,q~(l(_mzgrad im Sinne der KSrl)ertheorie gedeute t werden.

Auf der anderen Seite gewinnt man eine sehr einfache axiomatische Charak te rs ie rung der JAcouso>'schen Ringe mit l~laximalbedillgung, l tat insbesondere jedes Primideal eine endliche Dimension, so ergibt si('h kurz : Der NOJ~:THERsehe Integri tf i tsbereieh ist dann und nur dann JAcoBso>,seh, wenn jedes eindimensionale Primideal unendlich viele maximale Pr imober ideale besitzt. - - Die Eigensehaf t eines No(,'rmc({- sehen Ringes N, Jacouso~seh zu sein, hat also nur wenig mit dot Feb(- s t ruk tur yon ~ zu tun, die ihrerseits im wesentl ichen (lurch di(,, zwischen den hSher-dimensionalen Ringi)rimidealen bestehenden Beziehung('n eharakter i s ie r t wird. Diese Bemerkung maeht es verst~tndlich, dal3 der Versueh, die Dimensionstheorie yon {R I x , , . . . , x,,l iiber (lie bereits angegebenen Hauptsg tze hinaus zu versehgrfen, im weseHtliehen zu nega t iven Resul ta ten fiihrt. - - In einem Polynomring K[x , , . . . , x,, 1 mit KSrperkoef t iz ienten haben alle , ,gesehlossenen" Primoberidealk(; t ten po ( p, < . . . < p,~ mit festen Enden P0, P,~ (lie gleiche Gliederzahl. Ein beliebiger NOETZERseher Integr i t~tsbereieh fR mit dieser Eigensctmft mOge far den Augenbl ick kurz als NOE'I'HE*escher Normalring bezeiclmet werden. F rag t man nun, ob sO~[x,,. . . , x,l immer ein Normalr ing sein mu[,~, wenn ~ ein gleichzeitig NoE~E~r un(l J~co(~soNscher Normalr ing ist, so g'elingt es zwar auf GrmM der bereits entwickel ten I)imen,sionstheorie, dieses Problem auf eine Frage iiber Stel lenringe zuriickzu-

1.156 W. Krull:

ftihren, und so immerhin eine wesentliche Vereinfaehung zu erreiehen. Aber fiber diese Reduktion hinaus seheint zun~tchst kein Vordringen mSglich, weil man an einem Punkte angekommen ist, wo sieh die Grenzen des augenbliekliehen Standes der Theorie der Stellenringe zeigen. Indessen ist aueh dieses Resultat nieht ganz unwiehtig. Man erkennt, daft der Beweis der untersuehten Vermutung kaum einfaeher sein dfirfte, als der Beweis des (wahrscheinlieh falschen) Satzes, daft jeder NOETHERSehe Stellenring ein Normalring ist. Darfiber hinaus liefert die Analyse der auftretenden Sehwierigkeiten wertvolle Hinweise auf den Weg, der - - unter Berficksiehtigung eines fundamentalen yon J. S. Com,:~ ftir voltst#indige Ste!!enringe bewiesenen S t r u k t u r s a t z e s - bei der Weiterentwicklung der Theorie beliebiger Stellenringe am zweckm~tl~igsten einzuschlagen sein dfirfte.

Hinsichtlich der Anordnung des Stoffes und einiger bei der el'sten i2bersicht fibergangener Punkte sei noch bemerkt: Im ersten Tell (w 1 bis w 3) werden zun~tehst verh~tltnism~i~ig ausfiihrlich die n6tigen Grundbegriffe eingeffihrt (w 1). Anschliel~end wird im w 2 der bereits besproehene verallgemeinerte HmBERTsche Nullstellensatz behandelt und in einem wichtigen Punkte erg~tnzt: Die Vorausse~zung, dal~ | eine endIiche Ringerweiterung yon ~ ist, kann zwar nicht einfach weggelassen werden. Sie l~Bt sich aber wenigstens durch die schw~tchere Forderung ersetzen, daf~ zwischen ~ und | eine endliche Ringerweiterung | yon {R existiert, derart~ dab | yon | algebraiseh ganz abh~tngt. - - Zur Gewinnung eines weiteren Einblieks in die Eigenart der bei unend- lichen Ringerweiterungen auftauehenden Probleme wird in w 3 die Frage behandelt: Warm gilt der gewOhnliehe Hn~BEtn'sehe Nullstellen- satz ffir einen Polynomring K [x~, x~, .. .] in abz~tblbar unendlieh vielen Unbestimmten mit KSrperkoeffizienten? Die iiberrasehende Antwort lautet: Dann und nur dann, wenn K fiberabz~thlbar ist. Die ~ber- abz~thlbarkeit vereinfaeht n~tmlieh hier das arithmetisehe Problem in ~thnlieher Weise, wie man es bei den topologisehen R~umen yon der Vollstltndigkeit gewohnt ist. - - Im zweiten Tell (w 4 bis w 6) ist die Anordnung gerade umgekehrt wie in der vorl~tufigen Obersieht. Zuerst wird der grundlegende Satz bewiesen, daft in einem NOETHERsehen Stellenring jedes niehtmaximale Primideal als Durehsehnitt yon Bin_- dimensionalen Primidealen darstellbar ist, worauf dann leieht diejenigen Nm~:THEnsehen Stellenringe, die gleiehzeitig JAe0BS0~sehe Ringe sind, axiomatiseh eharakterisiert werden k(Jnnen (w 4). In w 5 wird vor allem dureh ein Gegenbeispiel gezeigt, daft die gewonnenen axiomatisehen Resultate sieh nieht wesentlieh verseh~trfen lassen. Aneh wird ein gleiehzeitig NOETHEaseher und JAC0BSONscher Oberring ~ eines K0rpers K konstruiert, ffir den fiber K der HmBEa,rsehe Nullstellensatz nieht gilt~).

4) Hier ist es wesentlich~ dal~ der HII, BERTsche Nullstellensatz im Sinnc des Textes rind nicht im Sinnc yon Herrn GOLD.~IAN interpretiert wird.

Jacobsonsche Ringe, Hilbertscher Nullstellensatz, Dimensionstheorie. 357

w 6 bringt dann die positiven Haupts~ttze der oben besprochenen Dimensionstheorie. Im Sehlul~teil (w 7 und w 8) wird zuerst die Frage, ob 9~ Ix,, . . . , x,] immer ein NOET~ERSeher Normalring sein mul~, wenn nicht nur ein NOET~Rseher Normalring, sondern auch JzcoBso~sch ist, auf eine ,,Zwisehenprimidealhypothese" ftir den Polynomring 6 Ix ] fiber einen No~wuERsehen Stellenring 6 zurtickgeftihr L u n d es werden Spezial- f~tlle diskutiert , in denen man bei dem reduzierten Problem zu positiven Aussagen kommt (w 7). w 8 behandelt dann absehliel~end allgemeine NOm'H~Rsche Stellenringe und gibt den oben angedeute ten Ausbliek. Hervorgehoben sei hier noeh die Diskussion einer mSgliehen Ver- sehgrfung des ffir die Theorie der Stellenringe grundlegenden (sehon in w 4 formulierten) , ,Hauptidealsatzes".

w

Grundbegriffe. Bei den Bet rachtungen yon w 1 bis w 3 5) werden ganz wenige Begriffe

und HilfssS.tze aus tier allgemeinen Idealtheorie benutzt , die der Einfach- heit halber hier kurz zusammengestel l t werden sollen. Wir betrachten ausseblieftlich kommuta t ive Ringe mit Einheitselement 16). Ein nullteilerfreier Ring heil~t Integrit~ttsbereich, unter einem Halb-Integritgts- bereieh verstehen wit einen Ring ohne eehte nilpotente Elemente. {R-~ | bezeiehne eine homomorphe Abbildung des Ringes {R auf den Ring 6 7). Zwei Homomorphismen {R-~ 6 , , {R ~ 6~ werden als gleich angesehen, wenn ein Isomorphismus 6~ +=~ 6~ existiert, derart , dal~ aus a - , ~,, bei ~R ~ 6 , stets a-~ ~2 bei {R-~ 62 folgt, falls a, ~ a.~ bei 6 , ~-~ 6~. Es entsprieht dann jedem Homomorphismus ~R-+ 6 umkehrbar eindeutig ein Ideal a aus {R, derarf, dal~ 6 zu {R/a isomorph wird, und dal~ {R-+ 6 nichts anderes ist als die Abbildung der Elemente aus {R auf die Restktassen modulo a. Definiert man welter das Primideal in iiblicher Weise, nennt man ein Ideal maximal, wenn es aul~er {R kein eehtes Oberideal besitzt, und versteht man unter einem Radikal ein Ideal, alas gleichzeitig mit a ~ ( r > 1) stets aueh a enth~lt, so ergibt sieh sofort :

bzw. p ist dann und nur dann Radikal bzw. Primideal~ wenn der zugeh6rige Homomorphismus ~ anf einem Halb-lntegrit~itsbereich

5) w 1 ist etwas ausfiihrlicher gehalten als an sich unbedingt nOtig, einerseits um die Bedeutung der eingefiihrten Begriffsbildungen Mar herauszuarbeiten, andererseits um zu zeigen, wie wenig Hilfsmittel aus der allgemeinen Idealtheorie zum vollen Beweis des ,,verallgemeinerten HILBERTschen Nullstellensatzes" yon w ~2 n~itig sind.

6) Wir sehreiben 1, aueh wenn ~ eine von 0 versehiedene Charakteristik be, sitzt,

~) Es mul,~ atso jedes a, E ~ Bild eines a,.E 9~ sein. Ist diese Bedingung nicht erffillt, so sprechen wir wie iiblich voi1 einem Kndon~orphismu,,~ von ~{ i,n |

:}58 W. Krull:

bzw. auf einen h~te.qritdtsbereieh abbildet , g in maximales Ideal m ist s tats ein Primideal . m i s t dann und nu t dann maximal, wenn ~ / m ein Karper wird, wenn also in einen Kgrperhomomorphismus yon definiert.

Au SStzen aus der a l lgemeinen Idea l theor ie benStigen wir iiber diese B e m e r k u n g hinaus nu t noch alas Lamina:

Es set S ei~ m.a. System aus ~J~, d .h . ein Sys tem, (las gleiehzeit ig mit a und b stets auch das Pro(tukt a .b enth~tlt, ct set ein zu S element/remdes Ideal. D a ~ gibt es stets ein maximales, zu S element- fremdes Oberhieal p yon a, alas seinerseits immer ein Primideal darstel l t . (Exis tenzbeueis bet einem abz~thlbaren Ring ~ du tch t r iviale Indukt ion , im niehtabz~ihlbaren Fall fast ebenso tr ivial mit Hilfe des ZoR~schen Laminas. Der P r imidea l eha rak te r yon p folgt sofort aus der Maximal- e igenschaf t ~).)

K o r o 11 a r e z u m L e m m ~t : a) Jedes Ideal a 4= ~Jr besitzt Primober- ideale rind zwar i~sbesomlere maximale l'Hmoberideale m. (Man w~thle t!iir S das aus dem einen Element 1 bes tehende System.) - - b) OehiSrt a zu Mlen Pr imober idea len yon a, so liegt s tets eine Potenz yon a in a. Oder anders ausgedr i i ck t : Ei~ Radikal ist stets gIeich dem Durch- sch~fitt sei~er Primoberideale. (Man w~thle fiir S das Sys tem aller Potenzen von a umt sehliel3e indirekt.)

Neben deln bisher benutz ten , in der k o m m u t a t i v e n Idea l theor ie iiblichen Radikalbegr i f f hat nun JACOBSt)X ffir beliebige Ringe einen neuen Radikalbegr i f f geschaffen, der im k o m m u t a t i v e n Fall zu der folgenden Deiinition ftihrt: Das JA('osso~vsche Ringradikal r* des kom- mtttative~ Ringes ~ mit Einheitseleme~t ist der Durchschnitt aller maximalen Ringprimideale9). Die Konzept i0n des JxcoBsoNschen Ring- radikals legt es wel ter nahe, ein beliebiges Ideal r* aus ~ dann und nu t dann als J~coBsos'sehes Radikal zu bezeichnen, wenn r* gleich dam Durchschni t t alter maximalen Pr imober idea le wird. Ein JAco~so~'- sches Radika l r":: stellt dann stets ein Rad ika l r im friiher benu tz ten Sinne des Wortes ( , ,Radikal" schleehtweg) dar, w~thrend leicht durch Beispiele gezeigt warden kann, daft) die U m k e h r u n g nicht immer r ichtig ist. Wir u e r d e n uns welter haupts~ichlich ffir Ringe interessieren, bet (lenen (lie Begriffe JA('OBSO~sches Radikal und Radikal schlechtv,eg g'leichwertig silnl, bet denen also ftir ein Ideal ~ dann und nur dann ?/l/r ein Halb-Integri t~t tsbereich wird, wenn r mit dem Durchschni t t aller maximale~ Primober idea le zusammenf~tllt. Solche Ringe sollen kurz als ,laco~soxsche Ringe bezeiehnet werden. Offenbar ist j eder l{estklassenr ing eines ,J.~coBso~sehen Ringes selbst Jaeoeso~seh. Auf (Irund des 1,1orollars b) zum L e m m a ergibt sieh wel ter :

~) Vgl. hi,,rzu etwa Km:~m [o-1. Nr. 3. u) Zm" l)(.tinilion (h,s .]ACOBSONS(']I('I| lladikMs vgl. (.qW:l JA(()~;S()N {1], (I()IAIMAN

[1]. sowi(: (h'n B('ri(.ht von M(:Co~' [11.

Jacobsonsche l~inge, Hilbertscher Nullstel]ensatz, Dimensionstheorie. 359

~R ist dann und nur dann ein JAcoBso/vscher Ring, wenn ]edes Prim- ideal gleich dem Durchschnitt seiner maximalen Primoberideale wird.

Um dieses Resultat in die Sprache der Homomorphismen zu t~ber- setzen, nennen wir im Anschlul~ an K. D6R~E x~ den Homomorphismus

-+ ~[a die Cberlagerung der (endlieh oder unendlieh vielen) Homo- morphismen ~R/a~, wenn a = I=1 a~, wenn also ffir jedes a ~ die Rest-

T

klasse, auf die a dureh ~-+ ~R/a abgebildet wird, den Durehschnitt aller der Restklassen darstellt, die abe i den H0momorphismen ~ :+ ~/a~ entspreehen. Beaehten wit dann noch, dag ein Ring dann und nnr dann in einen KSrper eingebettet werden kann, wenn er nullteilerfrei ist, dal~ also die homomorphen Abbildungen yon ~ auf Integritdits- bereiche niehts anderes sind als die K6rperendomorphis~en yon ~, so erhalten wit in der Terminologie der Homomorphismen die folgende, formal elegante Charakterisierung der JAeo~soNschen Ringe : ~R ist dann und nut dann ein g~eo~soNscher Ring, wenn ]eder KSrperendomorphismus yon als ~)berlagerung von Kgrperhomomorphismen dargestellt werden kann.

w

Oberringe. Der verallgemeinerte Hilbertsche Nullstellensatz.

Der Oberring 6 yon ~ wird als eine endliche Ringerweiternng yon ~R bezeiehnet, wenn 6 = . ~ [ a j , . . . , an] aus ~R durch Adjunktion yon endlich vielen Elementen entsteht, wenn also 6 ein homomorphes Bild des Polynomrings ~ [ u , , . . . , u,,] in endlich vielen Unbestimmten ~zi ist, bei dem keine zwei verschiedene Elemente aus ~ in diesell)e Klasse fallen. - - Ist 6 ein beliebiger Oberring yon ~, so definiert jeder Homomorphismus | ~- 6 , einen Homomorphismus ~ -+ ~ yon ,~)~ auf einen Unterring ~, yon ~. Wir wollen ~-~ ~1 als die Vereng~tng yon 6 -~ 6, auf ~ und 6 - * 6~ als eine Erweiterung yon ~ -~ ~, auf 6 bezeiehnen. Die gleiehe Terminologie bentitzen wir bei Endomorphismen. Offenbar ist der dureh das 6-Ideal as definierte Homomorphismus 6 - + ~ , dana und nur dann eine Erweiterung des dureh das ~-IdeaI a, deft- nierten Homomorphismus ~ , , wenn die Durchsehnittsgleiehnng a~'Cl~ ~-~R gilt. Ein KSrperendomorphismus 6 - ~ , , der eine Er- weiterung eines KOrperhomomorphismus 6 ~ ~, yon ~ darstellt, miio'e eine algebraische Erweiter~ng yon ~-> ~, genannt werden, wenn ~,. d.h. jedes Element aus ~1 (iber ~ algebraiseh ist. Aus der Tatsaeh(,, dal~ jeder fiber dem K6rper ~ algebraisehe, nullteilerfreie Oberring ~ von ~, selbst einen KSrper bildet, folgt sofort: Ist tier K6rper- endomorphismus 6 ~ ~, eine algebraische Erweiternn(.l des K6rper- homomorphismn.s ~R-> $~,, so ist 6 - ~ ~, selbst ein I(Srperho~J~o- #~orphismns. Ist 6 0 b e r r i n g eines KSrpers R, so ist jeder Homo- morphismus oder En(lom(>rl)hismus yon ~ eine Erweiterun~ des t)'ivialcn

) V g l . [)(')l~Gl,: [I ], ,'q. 2~45.

360 W. Krulh

t tomomorphismus von 9, der jedes a E ~ nur sich selbst zuordnet. In diesem Falle wollen wir einen K~irperendomorphismus | ~ ~1 yon eine Nullstelle des ~-Elementes a bzw. des | a nennen, wenn ~ - ~ | das EIement a bzw. jedes c Ea auf NulI abbildet. Hande l t es sich bei | 6 , um eine algebraische Erwei te rung des t r ivialen KSrper- homomorphismus von R, so wollen wir yon einer algebraischen Null- stelle yon a bzw. a reden.

Naeh unserer Definition entsprechen die Nullstellen des Ideals a aus dem Oberring | yon ~ umkehrba r eindeutig den Pr imober idealen yon a, und es ist eine algebraische Nullstelle yon a best immt einem maximalen Primoberideal zugeordnet . Anderersei ts b raucht keineswegs jedes maximale Primoberideal yon u eine algebraische Nullstelle zu erzeugen. Aus dem Korol lar b) zum Lemma yon w 1 folgt sofort der

N u l l s t e l l e n s a t z : Ist ]ede Nullstelle yon a auch Nullstelle yon a, so ist a~E a fiir hinreichend grofles r.

Wir wollen nun, in (?bereinstimmung mit der bei den Polynom- ringen fibliehen Terminologie, yon der Giilt igkeit des Hz• Nullstellensatzes (f[ir | fiber &) reden, falls der Nullstel lensatz auch dann noch richtig bleibt, wenn wir das Wor t ,,Nullstelle" dutch ,,algebraische Nullstelle" ersetzen11). Man e rkennt dann mtihelos:

Der H~LB~RTsche Nullstellensatz gilt [i~r | iiber ~ dann und nut dann, wenn | ein J~eoBsoivscher Ring ist, und wenn au/Jerdem ]eder K6rperhomomorphismus yon | eine algebraische Fortsetzung des identischen K6rperhomomorphismus yon ~ ist.

(Man beachte den Nullste]lensatz schlechthin, die Definition des JAcoBso~schen Ringes, sowie die Tatsache, dait die auf die Kiirper- homomorphismen beztigliehe Forde rung nichts anderes besagt~ als daft bei jedem maximalen | die einzige vorhandene Nullstelle algebraisch sein soll.) - - Es liegt je tz t gul~erst nahe, den Begriff des HU, BERTsehen Nullstel lensatzes auch dann einzuffihren~ wenn ~ nicht Oberring eines KOrpers ~ sondern eines ganz beliebigen kleineren Ringes ~ ist. Man wird einfach sagen:

Es gilt ffir ~ fiber ~R der verallgemeinerte HZ~BERTSehe Nullstellen- satz (in Zukunf t kurz v. H. N.), wenn a) ~ ein J AcoBso~scher Ring ist~ und wenn gleichzeitig b) jeder KSrperhomomorphismus yon G eine algebraische Erwei te rung eines K(irperhomomorphismus yon ~ darstell t . DaI~ die Einff ihrung des v. H. N. keineswegs eine bloi~e Spielerei darstellt~ zeigt das folgende Fundamenta l theorem:

1~) Auf den HILUEaTschen Nullstellensatz im Sinne yon Herrn GOLDMAN kommt man~ wenn man statt der algebraischen Nullstellen eines ~-Ideals a alle die Null- stellen von a auszeichnet, die durch KSrperhomomor19hismus yon ~ (also durch beliebige maximale | definiert werden. Im GoLI)Mh~schen Sinne gilt daher der HILUE~Tsche Nullstellensatz ffir | fiber ~ bereits dann, wenn ~ ein JaconsONscher Ring ist. Zu dieser Auffassung, die auch aus K~c~ [5] Anm. ~) her:tusg(qesen werden kann, vgl. noch Zn~SK~ [1].


S a t z 1. 1st ~ ein JACOBSONscher Ring , so gi l t [i~r ]ede endl iche R i n g e r w e i t e r u n g ~ ---- }It [a,, . . . , a~] der v. tt. N. i~ber ~ .

Zum Beweis von Satz 1, der fiir ~ R ~ , ~ - ~ - ~ [ x , ~ . . . , x ~ ] den gewShnl ichen H~LB~:uvschen Nul ls te l lensatz der Po lynomidea l theor ie liefert, sei zun~chst b e m e r k t : I s t | Oberr ing yon ~ , o~ i rgendein | a ~ a~[7~, und gilt ffir | iiber ~ der v . H . N . , so gilt der v. H. N. ersiehtl ich auch ftir | fiber ~/a~. Es genfigt also offenbar, Satz I fiir den Fall zu beweisen, dal~ $ ---- ~ Ix,, . . . , x , l den Po lynom- r ing in endlich vielen Unbes t immten x~ fiber ~ darstel l t . Wel te r zeigt eine t r iv ia le Indukt ion , daI~ der Satz 1 ffir | -~- ~tt[x,, . . . , x,] r icht ig ist, falls er for | ~ - ~ [ x ] gilt. Was schliel~lich den eigent l ichen Kern- punkt , dan Beweis fiir | = })l Ix] angeht , so k a n n im wesent l ichen auf GOLI).~IAI~ [1 1 verwiesen werdenV~).

Zur Frage , ob die Vorausse t zungen yon Satz 1 i rgendwie ab- geschwitcht werden k6nnen, bemerken wir zun~iehst : Is t ~ kein JaconsoN- seher Ring, so ist es auch N Ix] = | nicht. Bedeu te t n~imlieh pr ein nicht als Durehschn i t t yon max ima len }lt-Primidealen da r s t e l lba re s ~ -P r imideal, so kann wegen der Isomorphie der Res tk lassenr inge ~/p~ und | aueh das | p , . | + (x ) . | nieht als Durchsehni t t yon m a x i m a l e n | darges te l l t werden. E twas t iefer l iegt der an sich b e m e r k e n s w e r t e

S a t z 2. Is t j e d e r K d r p e r h o m o m o r p h i s m u s yon | = ~[x] eine E r w e i t e r u n g eines K O r p e r h o m o m o r p h i s m u s yon iR, so ist ~ ein Jaco~so~v- scher R ing .

Ein ku rze r Beweis yon Satz 2 wird spitter in griif~erem Zusammen- h a n g gegeben (Beweis yon Satz 14 a )@. Im fibrigen k a n n der Beweis aueh GOLDZA,* [2] e n t n o m m e n werden ~). - - Um einzusehen, dal3 die Forde rung , ~ solle eine endl iche Ringe rwe i t e rung yon ~ sein, bei

~) Zuniichst zeigt der Beweis von GOLDMAN [2], Satz 3, da$ jedes Primideal p~ aus 9t[x] Durehscbnitt von maximalen Primoberidealen ist. Bedeutet fern er n~ tin maximaies Primideal aus 91[x], und setzt man p----mzn 91, P~o = P. 91[x], so ist m~>p~o, well P~o das echte Primoberideal P~o + (x).91[x] hat. Es sei nun p ( x ) ~ c~x ~ + - . . + c o einPolynom niedrigsten Grades aus mx mitc~Ep. Dann existiert wegen des JAcoBso~schen Charakters von 91 ein maximales Primoberideal m ~ p mit c~Em. Die Uberlegungen yon GO~DMAN [1], Beweis yon Satz 3, zeigen welter mfihelos, dab m~ > mx fiir m" -~-- m. 91 Ix] + (p (z)). 91 [x]. Wegen de, r Maximal- eigensehaft yon mx folgt daraus sehlielSlich m~ ~-m~, p ~ m. D. h. also, es ist der durch m definierte K6rperhomomorphismus von 91[x] eine Fortsetzung des durch m bestimmten K6rperhomomorphismus von 91 und zwar wegen

p (x) = c~ x '~ + . . E m~, c,~ E m

eine algebraische. -- Die auf m~ beztiglichen ~Jberlegungen k0nnen im iibrigen auch aus GOLDMAN [2], Beweis von Satz 5, herausprltpariert werden; die gegebene Skizze diirfte aber das Nachlesen wesentlich erleichtern.

~a) Beweis yon Satz 5, erste H~lfte.

M~tl~ematische Zeitschrift. Bd. 54. 24

362 W. Krull:

Satz 1 nieht einfaeh weggelassen werden darf, w~thle man z. B. ffir }R den Ring }Ro der ganzen rat ionalen Zahlen und ffir | einmal den Ring aller ra t ionalen Zahlen mit ungeradem Nenner, das andere Mal den KSrper aller rat ionalen Zahlen. Dann ist 9t Bin JAcoBso,xseher Ring, abet es gilt in beiden F~llen far | fiber 91 nicht der v. H. N. Denn es ist im ersten Falle | kein JACOBSONSeher Ring, weil in | auger ( 0 ) n u t ein einziges weiteres Primideal, n~tmlieh (2) existiert . Im zweiten Falle dagegen ist | zwar JAeoBso~seh, aber es gibt einen KSrperhomomorphismus von | (n~tmlieh den identisehen), der nicht eine Erwei terung eines KOrperhomomorphismus yon 91 darstellt . - -

Trotz ihrer Trivialit~tt geben die soeben bet raehte ten Beispiele einen wiehtigen Hinweis: Will man ohne n~there Voraussetzungen fiber den JAeoBso.~sehen Ring 91 unendliehe Ringerwei terungen | zulassen, so muf~ man sieh, ansehaulieh ausgedriiekt , vor der Gefahr sehfitzen, dal3 beim iJbergang yon 91 zu | allzu viele Primideale ver- lorengehen. Denn es darf ja z. B. | weder ein Integr i ta tsbereieh mit nur endlieh vielen maximalen Primidealen noeh ein KOrper werden. Sueht man aber mSgliehst allgemeine und einfaeh zu eharakter is ierende Ringklassen | bei denen man ohne weitere Endl iehkei tsbedingung sieher ist, da6 die als notwendig e rkannten Voraussetzungen erffillt sind, so kommt man zwangsl~tufig und eindeutig auf die ganz ab- Mingigen Oberringe yon 91. (Dabei heigt | wie iiblieh, yon ~R ganz abh~tngig, wenn jedes a E | einer Gleiehung a ~ + Ct, a n - 1 + " " -~ an ~ 0 (ar C 91) genfigt.) In der Tat. ermSglieht die Einffihrung des Begriffes des ganz abh~tngigen Oberringes eine wiehtige Veral lgemeinerung yon Satz 2:

S a t z 3. Der v. H. N. gilt tier | iiber 91 ifnmer, wenn zwischen 91 und ~ eine endliche R ingerwe i t e rung ~* yon 91 so eingeschoben werden kann, dab ~ yon 91" ganz abhgngt.

Man sieht sofort, dag es geniigt, den Beweis yon Satz 3 far den Fall 91 - -91" zu fiihren; denn man kann ja im allgemeinen Fall auf Grund des bereits gewonnenen Satzes 1 sofort von 91 zu 91" fibergehen, so dab nur noeh der Sehlu[5 von 91" auf | fibrig bleibt. Ist aber | ein ganz abhgngiger Oberring von {It, so hat man f{ir die Durehffihrung des Beweises drei fundamenta le Primideals~ttze zur Verfiigung~*): a) Zu jedem 91-Primideal p~ gibt es in @ mindestens ein ,lartiber- liegendes, also der Durehsehnit tsgleiehung p , ,c lg l -= p~ genfigendes | p~. - - b) Zwei | die fiber demselben {R-Prim- ideal liegen, sind st, ets gegenseit ig prim. - - e) Sind q~ und :p~ 7 "~ q, zwei ~-Primideale, so gibt, es zu jedem fiber q,. l iegenden ~-Pr imideal q, mindestens Bin tiber p~ liegendes, q, umfassendes | ps. Aus Satz e) folgt, sofor t : Ist p, nieht maximal in 91, so ist aueh p, nieht maximal in | Es mug also jeder KSrperhomomorphismus yon | Er- wei terung eines KSrperhomomorphismus yon {R sein, und dal3 nut eine

~4) Vgl. Ki~ur, r, [31, w 1. Satz 3 finder sich in GOLD,~IAN [1] nicht.

Jacobsonsehe Hinge, Hilbertseher Nullstellensatz, Dimensionstheorie 363

a, lgebraisehe Erwe i t e rung in Be t raeh t kommt, ist klar , well gleiehzeitig mit | 9t stets aueh | yon 91/(a~ n 91) ganz abh~tngt. - - Es bleibt zu zeigen, da6 | ein JAcousoNseher Ring ist, dab also zu jedem | p, und zu jedem g f_ | ~ p, mindestens ein a nieht enthal tendes , maximales Pr imober idea l m, yon p, exist iert . Zum Beweis sehal ten wit zwisehen 91 und | den Ring % = 91[~] ein und setzen pt ~---p, n 3;. Da 37 eine endliehe Ringerwei te rung von 91 ist und a C % nieht zu pt gehSrt , gibt es in 3; ein maximales, pt aber nieht ez enthal tendes Pr imideal mr. Wegen p~ ~ p, n 3; und mt > lh exis t ier t wel ter in | ein p~ umfassendes der Gleiehung m, n 3; =- mt gent igendes Prim- ideal m,. Da der In tegr i tg t sbere ieh | ein ganz abh~tngiger Ober- ring des KOrpers 5g/mr ist, mul~ | ebenfalls ein K6rper sein, d. h. es ist m, in | maximal ; andererse i t s ist a kein E lement von m, wegen

g nh, m, n g = mr. Es besitzt also m, alle gewtinsehten Eigensehaf ten .

w

Polynome in abz~ihlbar unendl ich vielen Unbes t immten ~5).

In w 2 wurde an zwei e infaehen Beispielen k l a rgemaeh t , , dal3 der v. H. N. fill" eine unendl iehe Ringerwei te rung eines JAco~soxsehen Ringes nicht mehr zu gel ten braucht . Urn wei tere Einbl icke in die E igena r t der bei den unendl iehen Ringerwei te rungen au f t r e t enden Sehwierig- kei ten zu gewinnen, be t raeh ten wit einen Po lynomr ing ~ [x,, x,, ...] =- ~,o in abz~thlbar unendl ieh vielen Unbest immten x,, x.,, ... tiber einem beliebigen KSrper R~. Hier ergibt sich:

S a t z 4. a) Ist ~ endlich oder abzdhlbar, so gilt fiir ?~ der HILBERT- sche Nullstellensatz nicht. Es gibt in ~}o, nichtmaximale Primideale, die yon dem Durchschnitt ihrer maximalen Primoberideale verschiedea sind und ,7~aximale Primideale, dere~ Restklassenk6rper i~ber ~ eine** beliebig vorgesehriebenen Transzendenzgrad n (einschlie/31ich ~ := oo) besitzt, b) 1st dagegen ,~ iTberabziihlbar, so gilt fiir ~ der HILBERTSChe Nullstellensatz immer.

Zum Beweis yon a) hat man nun zu bedenken : Ist ~ endlich oder abz~thlbar, so gibt es abzi~hlbare nicht-JounAxsche Oberr inge von ~ 6 ) und abz~hlbare OberkSrper, die tiber ~ einen beliebig v0rgeschr iebenen Transzendenzgrad n haben. Alle diese Oberr inge und OberkSrper aber lassen sich als homomorphe Bilder yon ~o darstel len. - - Z u m Beweis yon b) zeigen wir zun~tchst: Ist $ iiberabz~thlbar, so li~l~t sich kein niehtMgebr~tiseher Oberk6rper ~ yon ~ als homonqorphes Bild von ~,~

~5) Die Untersuehungen v o n w 3 sind erst bei der endgtiltigen Ausarbeitung entstanden und zum Tell dureh D6RGa [1] angeregt.

1~) Z. B. der Ring Mler Polynomquotienten z (x) n (x) (z (x), n (x) E ~ Ix) ; ~ (x~ -I 0 (x)).

24 *

364 W. Krull:

darstellen. Ist n~tmlieh ~ tiber ~ nieht algebraiseh, so kann man zwisehen und ~ einen KSrper ~}'(... u . . . . ) z ~o einsehieben derart , dal3 ~0 fiber rein t ranszendent yon einem (nieht notwendig endliehen) Grade

n > 1, g aber fiber go algebraiseh ist. In ~o wiederum ist der Polynom- ring ~ [ . . . u~ . . . ] in den erzeugenden, untere inander algebraiseh un- abtdtngigen Transzendenten u~ ausgezeiehnet, und mit Hilfe des tiber

irreduziblen Polynoms p(u) aus ~ [... u . . . . ] erh~lt man fiberabz~hlbar viele diskrete Bewer tungen B~o yon ~o. Jeder Bewer tung B e entspreehen endlieh oder unendlieh viele, nieht notwendig diskrete Bewer tungen B o~ yon ~, und es gilt der Satz, daf~ jedes Element aus E nur fiir endlieh viele 9 in mindestens einer Bewertung B~ einen negat iven Wer t besitzt 17). Es sei nun irgendein Endomorphismus E yon ~,) in

gegeben, und zwar habe man xi-* ~i (& C ~); 9 i l , . . . , 9~z seien die Indizes 9, zu denen es mindestens ein a gibt, derart , dal~ der Wert yon ~ in B~o negat iv wird. Dann kann der Wert des Bildelements ~, eines p(x) C ~,~o~ nur dann in Bs~ negat iv ausfallen, wenn 9 der abz~thlbaren Menge ( . . .9~k . . .} ( i = 1 , 2 , . . . ; k = 1 , . . . , n~ ) angehSrt. Da aber tiberabz~hlbar viele Indizes 0 existieren, denen Bewertungen Beo yon ~ entspreehen, folgt aus unserer letzten Bemerkung, dal3 die Bildelemente /. der p(x) nieht den ganzen KOrper ~ ersehtipfen kOnnen, wir haben es also bei E best immt mit keinem Homomorphismus zu tun. Es ist damit gezeigt, dal~ jeder KSrperhomomorphismus yon ~ eine algebraische Erweiterung des identisehen KSrperhomomorphismus yon ~} sein mug. Es bleibt noeh zu beweisen, dal3 ~3~ ein JAcoBsosseher Ring ist. Dazu bilden wit mit einer neuen Unbest immten x den Ring ~o~+~ = s~3o,[x]. Da ~o+~ zu ~ . fiber ~ isomorph ist, mug jeder KSrper- homomorphismus H(o+l yon ~ + ~ eine algebraisehe Erwei terung des identisehen Homomorphismus yon ~ sein. Dann aber gilt ersiehtlieh das gleiehe ffir die Verengung Ho~ yon H~o+~ auf ~o . Es ist also gleiehzeitig mit Ho~+I stets aueh H,~ ein KSrperhomomorphismus (nieht nur -endomorphismus), und Satz 9. zeigt sofort, dal~ ~o tatsltehlieh ein JAco~soxseher Ring ist.

Offenbar l~tfat sieh ein Gegenstt iek zu Satz 4 far den allgemeinen Fall, (lag (lie Menge der Elemente des K/Srpers ~ und die Menge der ad jungier ten Unbest immten x beliebige M~tehtigkeiten besil~zen, mtihelos formulieren und beweisen. Doeh wtirde es sieh wohl nieht lohnen, darauf n~ther eiozugehen. Hingegen ziehen wir xus unseren allgeineinen Nul ls te l lenbetraehtungen und aus Satz 4 einige die LSsbarkeit yon unendtieh vielen s imultanen algebraisehen Gleiehungen betreffende

~7) Zur Konstruktion dieser Bewertungen vgl. z. B. W. K~U~.L, Beitr~ige zur Arichmetil< kommutativer Integrit~ttsbereiche. IV. Unendliehe algebraische Er- weit(:rut~gen e~dlieher diskreter ttauptordnungen~ Math. Zeitsehr. 42 (1937), S. 766--773. l)~.r ~egative Beweis fiir den algebrMsehen Charakter allerKSrper- homomorphismen yon S'~(x,,xu,...) bei iiberabziihlbarem ~' ist hier nur skizziert, well Sl)titer ))oeh ein zweit(:r, l)ositiver Beweis gegeben wird.


Folgerungen, die vor allem im Hinbliek auf K. DORG~I [1] von Interesse sein diirften. Es seien p~(x) unendlieh (nieht notwendig abz~Lhlbar unendlieh) viele Polynome aus ~<o = ~ [ x , , x2, . . . ] . Gefragt wird naeh den LSsungen des Gleiehungssystems

(5) p (x) = o.

S a t z 5. a) Das System (1) ist dann und nur dann in ~ frier irgend- einem OberkSrper yon ~ 16sbar, wenn jedes endliche Teilsystem eine i~ einem passenden algebraischen Oberk6rper yon ~ liegende L6sung besitzt. - - b) Ist ~ ftberabzdihlbar, so ist (1), wenn i~berhaupt, stets in einem algebraischen Oberk6rper yon ~ 15sbar. Ist dagegen ~ endlich oder abzdhlbar, so kann es vorkommen, da/3 zu (1) zwar in kei- nero algebraischen Oberkgrper yon ~, wohl aber in einem passenden Oberk6rper von positivem (eventuell unendlich gro/3en) Transzendenz- grad eine LSsung existiert.

Zun~ehst ist n~tmlieh die LSsung yon (1) gleiehwertig mit der Be- s t immung einer Nullstelle des Ideals a = - ( . . . p~(x) . . . ) aus ~o~. Eine solehe existiert dann und nur dann, wenn a =I= ~+, d. h. wenn (p~(x), . . . , p~(x)) # ~ ftir jedes Unterideal (p~(x) , . . . , p~,~(x)) von <1. Ist ferner (p~(x), . . . , p~,~(x))~ ~ , so ist das Gleiehungssystem

= p o(x) . . . . . p o (x)

in einem algebraischen OberkOrper yon ~ 15sbar, weil p~(x) C~ [x , ,~ . . , xN] ( i -~-1, . . . , m) bei hinreiehend grol3er Wahl von N, und well far ~ [ x , , . . . , xs] der H~I~B~:RTsehe Nullstellensatz gilt. Damit ist a) bereits bewiesen. Der Beweis yon b) ergibt sigh unmit te lbar dureh Anwendung yon Satz 4. (Man w~thle z. B. bei abz~hlbarem ~ die p~(x) von (1) so, daft (... p ~ ( x ) . . . ) = m ein maximales Primideal aus ~o wird, das ~o~ homomorph auf einen OberkSrper g yon ~ abbildet, der tiber S} einen beliebig vorgesehriebenen Transzendenzgrad besitzt.)

Die Bemerkung, dag (1) dann und nut dann 15sbar ist, wenn jedes endliehe Teilsystem 15sbar ist, finder sieh (als Nebenergebnis allge- meiner Untersuehungen) bereits bei D6xmE ~s). Hier kam es im wesentlichen auf die genaueren Aussagen fiber den LSsungskSrper ~, a n . - Es soll jetzt noeh ein zweiter, direkter Beweis ftir die Tatsaehe gegeben werden, daft bei tiberabz~thlbarem ~ jedes Ideal a =t = 0 aus ~o) mindestens eine algebraisehe Nullstelle besitzt. Dabei wird gleiehzeitig der innere Grund far die auf den ersten Bliek paradox erseheinende Vorzugsstel lung der fiberabz~thlbaren KOrper siehtbar werden. Ohne wesentliehe Einsehri tnkung der Allgemeinheit dtirfen wir ~ algebraisch abgeschlossen annehmen. Dann dient uns als Ausgangspunkt das fotgende, leieht beweisbare

as) Vgl. die Einteilung und die Sehlul~bemerkung yon D6RGE [1]. Die Unter- suehungen vonw 3 entstanden grSfttenteils aus dem Bestreben heraus, die Trag- weite der Aussage von Satz 18 a) genauer zu erfassen.

366 W. Krull',

L e m m a . 1st ~o ein beliebiger abz~ihlbarer U~terk6rper des i)ber- abzdihlbaren, algebraisch abgeschlossenen KOrpers ~, und bedeutet ~, einen beliebigen, abzdihlbaren OberkOrper yon ~'o, so gibt es in ~ stets einen zu ~, i~ber ~o isomorphen UnterkOrper ~, 1~).

Die A n w e n d u n g des L e m m a s auf unse r Problem wiederum erm6g- lieht der

H i l f s s a t z . In ~o besi tzt (bei beliebigem ~) ]edes Ideal a eine hOchstens abzdihlbare Basis (q, (x), q~(x), ...).

In der Tat , setzen wir ~3~ = ~ [ x , , . . . , xi], ai = a n ?~ (i = 1, 2, ...). Dann ha t jedes a~ eine endliehe Basis q , , q~, . . . , q~m~, und es ist klar , daf~ die abz~hlbar unendl ich vielen q~k (i = 1, 2 . . . . ; k = 1, . . . , m d z u s a m m e n g e n o m m e n eine Basis yon a bilden. - - Es sei nun (bei tiberabz~ihlbarem, a lgebra i seh abgesch lossenem ~) a =!= ~3~ ein lest gege- benes Idea l aus ~o~ mi t der abz~hlbaren Basis (q,(x), q~(x), .. .). Dann b rauehen wir nur zu zeigen, daf3 das Gle iehungssys tem

(2) q, (x) = (x) . . . . . . 0

mindes tens eine in ~ l iegende LOsung x~ = ~ (i = 1, 2 , . . . ) besitzt. Is t n~tmlich eine solche LSsung bekann t , so definiert die Zuordnung p(x)-+ p(~) eine h o m o m o r p h e Abbi ldung yon ~3,o auf ~, bei der a ( ~ ) ~ 0 ftir jedes a(x) E a. Um nun (2) in der gewfinschten Weise zu 16sen, bilden wir den kle ins ten, sieher hOchstens abz~hlbaren KOrper St'o, der alle Koeff iz ienten al ler q~(x:) enth~tlt und be t r aeh ten im Po lynomr ing ~3 ~''~ = ~t o Ix,, x~ ...] das Ideal a "~ ~n",~ o, , = a n -co, mit der Basis (q,(x), q~(x),...). W e g e n s ~ , gibt es zu a '~ mindes tens ein maximales Pr imober - ideal m ~~ und dami t e inen H o m o m o r p h i s m u s H "~ yon ~3~ ) auf einen, no twend ig abz~thlbaren OberkOrper St. yon ~o derar t , dal~ l~(x)-~ O, oder anders a u s g e d r a e k t , daf3 l~(~):= 0 (i = 1, 2, . . .) , falls z e ~ (k = 1, 2 , . . . ) . Naeh dem L e m m a d(irfen wit nun - - und das ist der en t sehe idende P u n k t - - ff~ als UnterkOrper yon ~ a n n e h m e n ; dann aber haben wir in Ges ta l t yon xi--= ~ (i = 1, 2 , . . . ) berei ts die g'e- wtinsehte L0s ung von (2) gefunden.

Um die T r a g w e i t e des gewonnenen Resu l ta t s he rauszuarbe i t en , denken wit uns eine woh lgeordne te Ke t te yon abz~hlbaren, a lgebra- iseh abgeseh lossenen KSrpern St'~ so gegeben, dal3 St'~ < ~.~, falls ~ < v~, und dal~ der Vere in igungskSrpe r 3} al ler ~,, tiberabz~thlbar wird. Setzen wir dann noeh ~,~ = St~ [x~, x, , . . .] , und r iehten wir unser A u g e n m e r k auf die m a x i m a l e n Pr imidea le m~; '~ tier ~3~ ~ und ihre zngeh0r_igen Homo- morph i smen H~ ~, so kOnnen wit fes ts te l len: Einersei ts fi ihren die H; ~ nieht aus der Ke t t e der ~}~ heraus insofern, als jeder H (w den Ring ~ ' O I ,

~o~," homolnorph auf einen Unte rkSrper eines passenden $t,.~ (r, > v,) abbildet . Andererse i t s ist die Ke t t e der ~ hinsiehtl ieh der A n w e n d u n g

"~) I)er Bcweis sttitzt sieh im wesentliehen auf die Bemerkung, dab man in s ein abzlthlbares System von tiber ~o unabh~tngigen Elementen a~, a~, ... so bestimmen kann. (tal.~ s tiber s az, ...) algebraiseh wird.


der H<~ ) often, d. h. es existiert zu jedem K5rperpaar R~, ~'~ (v~> L) ein H~ ~), der ~<~" auf J~.~ a b b i l d e t . - Gehen wir nun aber zur Grenze i~ber, indem wit den VereinigungskSrper ~ aller $7~ bilden, so schlie/3t sich die Kette. Die Homomorphismen Ho yon ~(o = ~[x , , x~, ...] ffihren nicht mehr fiber ~ hinaus, well (kurz gesagt) auf Grund des Lemmas und des Hilfssatzes die Bildung jedes H~ auf die Bildung eines passenden H~ ) reduziert werden kann. Man kommt also in unserem Falle yon arithmetisch unbefriedigenden S/~tzen (in den Ringen ~>) zu arithmetisch befriedigenden S/~tzen (ira Ringe ~ ) durch einen Grenzi~bergang, - - eine der modernen Algebra gel/~ufige Erscheinung. Das Reiz~olle in dem vorliegenden Beispiel ist uns die Tatsache, dag der n6tige Grenziibergang diesmal ]etzten Endes einfach in der Bil- dung der oberen Grenze aller Zahlen der zweiten Zahlklasse besteht.

w

Noethersche Ringe.

Im folgenden sollen die NOETHERschen Ringe (Ringe mit Maximal- bedingung), die gleichzeitig JAco~so~sche Ringe sind, genauer charak- terisiert werden. Dabei erhalten wir in Gestalt von Satz 6 ein Theo- rem, alas fiber den Zusammenhang, in dem es bewiesen wird, hinaus selbst~tndige Bedeutung besitzt. Unser Haup~hilfsmittel bei alien ?2ber- legungen ist die bekannte Dimensionstheorie tier Primideale eines NO~:THEaschen Ringes, deren Grunddefinitionen hier, vor allem auch mit Rficksicht auf spStere Anwendungen in w 5, etwas schi~rfer for- muliert werden sollen als gebr~tuchlich. Die Werte ,,unmittelbares Primideal", ,,unmittelbares Primoberideal", ,Zwisehenprimideal" haben bei uns den tiblichen Sinn. Das a enthaltende Primideal p heigt minimales Primoberideal yon a, wenn kein gleichfalls a enthaltendes echtes Primunterideal von p existiert. Andererseits wird ein Primideal p aus dem Integrit~ttsbereieh ~ in ~ minimal genannt, wenn p in ~ unmittelbares Primoberideal des Nullideals ist. Grundlegend ftir unsere Unter- suchungen ist der

H a u p t i d e a l s a t z . Bei einem N OETHE~schen lntegrit~it~bereieh ~ ist ]edes minimale Primoberideal p eines Hauptideals (a)--I-(0) in ~ minimal ~o).

Unter einer gesehlossenen Primidealkette mit dem Anfangsglied q und dem Endglied p yon der L~inge 1 verstehen wir eine Primober- idealkette q ~--- po ~ p, ~ ... ~ pl = p, die nicht dutch Einschaltung eines Zwischenglieds verl~tngert werden kann. Ftir N0m'HERsche Ringe gilt der fundamentale

L / ~ n g e n s a t z . Zu zwei beliebig vorgegebenen Primidealen q, p ~ q des NOETHERschen Ringes ~ gibt es stets gesehlossene Primidealketten

~)) Zum ttauptidealsatz und L'~ngensatz vgl. z. B. KRULL [4].

368 W. Krull:

mit dem Anfangsgl ied q und dem Endglied p. Die L~ingen aller dieser Ket ten sind beschr~inkt.

Wir definieren je tz t : Unter der p-Maximaldimension bzw. p-Mini- maldimension des Pr imunter ideals q yon p soll das Maximum bzw. Minimum der gesehlossenen, mit q beginnenden und mit p endigenden Pr imidealket ten vers tanden werden. Die Maximaldimension bzw. Mini- maldimension yon q sehleehtweg sei das Minimum bzw. die obere Grenze aller m-Maximal- bzw. m-Minimaldimensionen yon q (m beliebiges maximales Pr imoberideal yon q). Man beaehte, din3 bei der Maximaldimension aueh der , ,Weft" ec zum mindesten mSglieh ist, w~thrend die Minimaldimension wegen des L~tngensatzes immer endlieh ist. Bei einem Primideal, bei dem Maximal- und Minimaldimension zusammenfallen, spreehen wir yon der Dimension sehleehthin. In diesem Sinne sind die nul ldimensionalen Primideale, die Primideale yon der Maximal- und die yon der Minimaldimension 0 alle identiseh mit den maximalen Ringprimidealen. In ~hnlieher Weise Bind die Primideale yon der Maximaldimension 1 gleiehzeitig eindimensional sehleehthin und im iibrigen dadureh gekennzeiehnet , dag sie zwar eehte Prim- oberideale besitzen, aber nur solehe, die im Ringe maximal sind. Da- gegen kSnnen Primideale v o n d e r Minimaldimension 1 existieren, deren Maximaldimension grSf~er als 1 ist. ' - Ein Integri t~tsbereieh, in dem das Nullideal und damit jedes Primideal eine endliehe Maximaldimension besitzt, mSge kurz endlieh-dimensional genannt werden. So gut wie alle prakt iseh wiehtigen NOE~HEasehen Integrit~ttsbereiche sind endlieh- dimensional. Unter einem NoETnERschen Normalring wollen wir einen NoE'rnEL~sehen Integrit~,tsbereieh verstehen, in dem ]edes Primideal ei~e Dimension schlechthin besitzt. Wegen der Endl iehkei t der Minimal- dimensionen ist jeder Nor:~m,:asehe Normalr ing endlieh-dimensional. Seine Dimension m6ge gleieh der seines Nullideals gesetzt werden. - - Wir beweisen nun zun~ehst den

H i I f s s a t z . 1st p ein nichtminimales Primideal aus dem NOETHER- schen lntegritditsbereich ~, so ist stets (0) D~trchschnitt von in ,~ minimalen Primunteridealen yon p.

Es seien n~tmlieh q,, q~, . . . , qz endlieh viele in p enthal tene, in ininimale Primideale. Dann kann man wegen p ~ q~ (i = 1, . . . , l) naeh einer bekannten Kons t ruk t ion stets ein Element a finden, das zwar zu p, aber zu keinem q~ gehSrt. Naeh dem Haupt idealsa tz sind die endlieh vielen minimalen Primoberideale yon (a) alle in ,~ minimal. Mindestens eines yon ihnen, etwa q~+~, mu6 wegen ( a ) ~ p ein Unter- ideal v o n p s e i n , u n d w e g e n a g q i (i = 1 , . . . , l ) ist q~+~ yon q , , . . . , q z versehieden.

Es gibt also sieher unendlich viele, in p enthal tene, in ,~ minimale Primideale q,, % , . . . . W~tre ihr Durehsehni t t b yon (0) versehieden, w~oren alle q~ minimale Primoberideale yon b im Widersprueh zu der Tatsaehe, dal3 in dem NOETUERsehen Ringe ~ jedes Ideal nur endlieh

Jacobsonsehe Ringe, Hilbertseher Nullstellensatz, Dimensionstheorie. 369

viele minimale Primoberideale besitzt. Aus dem Hilfssatz und dem L~ngensatz zusammengenommen folgt leicht der ftir uns grundlegende

S a t z 6. In einem NOETHE~schen Ringe ~ ist jedes echte Prim- unterideal q eines beliebigen Primideals p Durchschni t t yon unmit te l - baren Primunteridealen yon p.

Da gleichzeitig mit q auch ~/q ein NOETnE~scher Ring ist, dilrfen wir beim Beweise q = (0) annehmen. Hat nun (0) die p Maximaldimen- sion 1, ist also (0) unmit telbares Pr imunter ideal von p, so ist Satz 6 richtig. Wir brauchen also nur noch die Gt~Itigkeit yon Satz 6 ftir ein Nullideal der p-Maximaldimension d~> 2 zu zeigen unter der Vor- aussetzung, dab der Satz ftir alle Primideale cl einer p--Maximaldimen- sion d ' ~ d - - 1 bereits bewiesen ist. Naeh dem Hilfssatz kann nun das betrachtete Nullideal als Durchsehnit t yon r ingminimalen und damit echten Primunter idealen q,, q~, . . . von p dargestel l t warden. Wegen (0) < qi ist wei~er bei jedem qi die p-Maximaldimension d~ h0eh- stens gleieh d - - 1 . Wir haben daher for jedes q~ naeh Indukt ionsan- nahme eine Durchsehni t tsdars te l lung q~ ~ on p ~ bei der die p s~ unmittelbare Pr imunter ideale yon p sind, und aus ( 0 ) ~ Q qi, q~ = ~ p~, (i ~ 1, 2, . . .) folgt sofort (0)~.~,p~o. - - Es sei noch hervorgehoben, dab aus unserem Beweis mtihelos die Tatsaehe entnommen werden kann, dab man bei der Durehsehni t tsdars te l lung yon q immer mit hSchstens abzdihlbar unendlich vielen unmit te lbaren Pr imunter idealen von p aus- kommt. - - Aus Satz 6 folgt sofort eine Reihe von Bedingungen da- ftir, dal~ ein NO~THE~scher Ring JAcoBsoNsch ist:

S a t z 7. a) Der NOETHEnsche Ring ~ ist dann und nu t dann 2A- COBS~Nsch, wenn ]edes Primideal yon der Minimaldimension 1 als Durchschnit t yon maximalen Primidealen darstellbar ist. - - b) ~ ist sicher ein dAeo~soivscher Ring, wenn ]edes Primideal v o n d e r Minimal- dimension 1 unendlich viele unmittelbare, ~axi ,~ale Pri~oberideale besitzt.

S a t z 8. Ein echter Integri tgtsbereich ~, bei dem [i~r ]eden echten Reslk lassenring die Minimalbedingung erfi~lll ist, ist dann und n u t dann ein JAcoBsoNscher Ring, wenn in ~ unendl ich viele Primideale existieren.

S a t z 9. Ein endlich-dimensionaler NOETHERseher Integrit~itsbereich ist dann und nu t dann JACOBSONsch, wenn ]edes eindimensionale

Primideal unendlich viele maximale Primoberideale hat. B e w e i s e . Satz 7a) ist selbstverst~ndlich~ da nach Satz 6 jedes nicht-

maximale Primideal in ~R als Durchschnit t yon Primidealen dargestel l t werden kann, die alle unmit te lbare Pr imunter ideale eines festen m~txi- m~len Primideats m sind und infolgedessen die Minimttldimension 1 besitzen. -- Unter der Voraussetzung yon Satz 7 b) existieren fiir jedes Primideal q aus ~ yon der Minimaldimension 1 im Restklassenring ~/q unendlich viele gleichzeitig r ingmaximale und ringminimMe Prim- ideale~ und es mu~ nach dem beim Hilfssatz durchgef(ihrten Schlusse der Durchschni t t aller dieser Primideale gleich dem Nullide~l werden.

370 W. Krull:

Es sind also in ~R alle Pr imideale q von der Minimaldimension 1 Durch- sehnit t yon maximalen Pr imidea len und man kann Satz 7 a) anwenden. - - Zum Beweise yon Satz 8 b rauch t man nur zu beachten~ daft ein In tegr i t~ tsbere ich der dort genann ten Art ein NOETHERsCher Integrit~ttsbereich ist, in dem des Nullideal die Dimension 1 hat~ so daft im Falle der Exis tenz yon unendlich vielen Pr imidealen auf Satz 7 b) zu- r t ickgegriffen werden kann. - - Satz 9 schlieftlich kann durch einen leichten Indukt ionssch lu6 gewonnen werden. Die Behauptung , bei der es allcin auf des ,dann" ankommt , ist nach Satz 8 richtig, wenn das Nullideal yon ~ die Maximaldimension 1 hat. Ha t nun des Nullideal in ~ eine Maximaldimension d ~ 2, so ist in ~ nach dam Hilfssatz (0) Durchschni t t yon minimalen Ringpr imidealen , und so bleibt daher nur zu zeigen, daft in ~ un te r der Vorausse tzung yon Satz 9 jedes Prim- ideal p =l= (0) Durchschni t t yon max imalen Pr imober idea len wird. Die Richt igkei t dieser Ta t sache darf abe t vorausg.esetzt werden, da ~/p einen NOETHEaschen Integrit~ttsbereich darstel l t , dessen Nullideal eine Maximaldimension d' ~ d -- 1 besi tz t 2~).

w

Drei Gegenbeispiele.

Im folgenden kons t ru ie ren wir zun~ehst einen NOETHERschen Nor- malting ~ der Dimension 2, der kein JACOBSONscher Ring ist, weil in ihm ein einziges Pr imideal p der Dimension 1 nur ein maximales Pr imoberideal m hat, w~thrend alle i ibrigen eindilnensionalen Pr imidea le unendlich viele maximale Pr imober idea le besitzen. Da tiberdies ~ ein Z. P. E.-Ring (Ring mit e indeut iger P r imfak to rze r l egung der Elemente) ist, also aueh im Sinne der Idea l theor ie eine denkba r einfaehe S t ruk tu r hat, zeigt uns der Modellring ~l, daft bei den endl ich-dimensionalen NOETHERSChen In tegr i t a t sbere ichen tiber Satz 9 v o n w 4 hinaus keine genauere axioma-tisehe Charak te r i s i e rung der JAeoBsoNschen Ringe mi)g- lich sein dtirfte. - - An zweiter Stelle bilden wir einen endlichdimen- sionalen, gleiehzeit ig NOZTH'ZRSChen und JAeoB8o~vschen Oberring ~' eines KOrpers ~, [iir den der HILBERTSChe Nullstellensatz ~dcht gilt4), well ein maximales Prifiaideal in ~t' existiert , das eine homomorphe Abbi ldung yon ~R' auf einen einfach t r anszenden ten OberkOrper von

bes t immt. - - Schlie~lich geben wit die ganzen Zahlen n, m, di (i ~ 1~ . . . , n; 0 ~ di ~ n -- 1) willktirlich vor und kons t ru ie ren einen bTOETRERschen Normal r ing ~ " der Dimension n~ in dem des JACOBSON- sche Ringrad ika l im Sinne yon w 1 der Durchschn i t t yon genau m

2~) Die Heranziehung yon Satz 4 aus GOLDMAN I2] wtirde den Beweis yon Satz 9 nicht wesentlich vereinfachen. Man beachte, da[~ Satz 7 und 9 ziemlich triviale Folgerungen aus dem (wegen der notwendigen Fundierung auf dem Haupt- idealsatz nicht trivalen) Satz 6 sind.

Jacobsonsche Ringe, Hilbertseher Nullstellensatz, Dimensionstheorie. 371

gegenseitig primen PrimideaJen )pi der Dimension di wird. Damit ist dann gezeigt: Es ist in einem NOE~HERschen Ringe ~ nicht mSglich, hinsichtlich des Ringradikals r Aussagen zu machen, die ~ber die triviale Bemerkung, ~ sei der Durchschnitt yon endlich vielen Prim- idealen, hinausgehen ~).

1. Konst rukt ion des Modellringes 3. Es sei ~ = ~[x, y] der Poly- nomring in zwei Unbestimmten x, y fiber einem abz~hlbaren, algebraisch abgesehlossenen K6rper K. Ein von p abhlingiges bzw. yon p freies Polynom p(x, y) aus ~ mSge normiert genannt werden, wenn der Koeffizient der h(iehsten, in p(x, y) wirklich auf t re tenden y- bzw. x-Potenz gleieh 1 ist. c , , c2 , c~ , . . , seien die irgendwie abgez~thlten, yon 0 versehiedenen Elemente aus K. Entsprechend sollen

{p, (x, y), q~ (x, y)}, {p,(x, y), q~(x, y)}, . . .

diejenigen irgendwie abgezi~hlten Paare normierter Poiynome aus bedeuten~ bei denen p~(x, y) fiber K irreduzibel und yon x verschieden, qi(x, y) dureh p~(x, y) unteilbar ist~3). Wir zeigen nun zun~ehst: Es kann eine unendliehe Doppelfolge

yon je einem linearen Polynom und einem maximalen Primideal aus (i ~ 1, 2 , . . . ) so bestimmt werden, da~ folgende Bedingungen er-

ffillt sind: 1. Ist (bei festen i fiir irgendein k) p i ( x , y ) - - l k ( x , y), so ist m~ ~ (x, y). 2. Ist pi(x, y)--1 = lk(X, y) ftir alle k, so ist

:l: o, p (x, y) c q,(x,

3. l(a~ ilk) 4- 0 ftir alle k. - - Unsere Doppelfolge {li(x, y)~ mi} genfigt offenbar den Bedingungen 1., 2., 3. fiir alle i, k, wenn jede Teilfolge {li(x~ y)~ m~} (i = l, . . . , n) ,,zul~ssig ist", d. h. den Bedingungen 1,2. ,3 . ftir alle i _<:_ n,.k ~ n geniigt. Zum Existenzbeweis hat man daher nur zu zeigen: Ist eine zul~ssige Teilfolge {//(x, y), m~} (i ~ 1, . . . , n) bereits bekannt (n ~ 0)~ so kann aus ihr durch Zufiigung eines passenden ln+l(X, y) und eines passenden m~+i wieder eine zulfissige Teilfolge gewonnen werden. Die Konst rukt ion yon/~+l(x , y) und m~+~ aber l~ti~t sich stets nach folgendem Schema durchfiihren: Ist p,~+~(x~ y) = lk(x, y) fib" irgendein k ~-n, so setze man m~+~ = (x, y). Ist dagegen

(x, ,d) --,: y) (k = L . - . ,

=2) Vgl. hierzu KI~ULL [5], Beispiel zu Beginn yon w und Anm. ~o) und ~9). Unser drittes Beispiel beantwortet geradezu ftir NOETHE~sehe Ringe die in ~9) auf- geworfene Frage. Die ,,systematische Konstruktionsmethode", auf die in ~o) hingewiesen wird, ist niehts anderes als die Bildung passender Quotientenringe von Polynomringen, mit deren Hilfe allc drei Beispiele unseres Paragraphen gewonnen werden.

~a) Man beachte, daI~ jedes feste~ normierte, irreduzible Polynom p(x)+x in der Reihe der pi(x) unendlieh oft vorkommt!

372 W. Krull:

so w~thle man a~+~, fl.+~ so, dal3

rn+l (X, if) = X'~n+l(X, y)" k]~l k(x, y)

fiir x ~ u~+l, Y-----fln+l nicht verschwindet , wohl aber

pn+l (t~n+l , ~,,+1) = 0

wird. Diese Bedingungen sind angesiehts der algebraisehen Abge- sehlossenheit von K sieher erffillbar, well unter unseren Voraussetzun- gen p~+,(x, y) zu rn+~ (x, y) faktor f remd ist. Naeh der Fes t legung yon Iltn-t-1 = (X--Un-~-l, Y--[~n-[-1) bestimme man sehlieglieh ~.+1 so, dal3 for 1.+1 (x, y) =- ~,+1 x + y + c~+1 die Ungleiehungen

ln+~ (x, y) =l= pk(x, y), l ,+ l (ak, fi,) 4= 0 (k z 1, . . . , n + 1)

gelten. Die MOglichkeit einer solchen Wahl yon ~n+l ergibt sich sofort aus der Bemerkung, dai3 stets entweder ak 4= 0 oder ak == flk ---- 0 -and damit ln+i(ak~ /~k) ~ Cnd-i -~ 0 ist.

Wir arbeiten jetzt weiter mit einer festen, unseren Forderungen 1., 2., 3. geni igenden Doppelfolge {li(x, y), mi}. Es sei S das kleinste mul t ip l ikat iv abgeschlossene System aus ,~, das 1 und die s~mtlichen Linearpolynome li(x, y) enth~lt. Ffir unseren Modellring ~ w~hlen wir dann den zu S geh6rigen Quotientenring yon ,~, also den Ring aller Polynomquot ien ten

a(x,y) (a(x, y) 6 ,~; re(x, y) 6 S). re(x, y)

Aus der bekannten Theorie der Quotientenringe ~a) ergibt sich dann zun~chst sofort :

ist ebenso wie ,~ ein NOETn~:Rscher Ring und ein Ring mit Z. P. E. (eindeutiger Pr imelementzer legung seiner Element@ Die Primideale yon

entsprechen umkehrbar eindeutig denjenigen Primidealen aus ,~, die kein re(x, y ) 6 S enthalten. Es gibt Mso in N ebenso wie in ,~ auger 0 nur Primideale der Form ( x - a , y - f l ) , die sicher nulldimen- sional sind und Primhauptideale, deren Dimension jedenfalls nicht gr01~er sein kann als die Dimension 1, die allen Pr imhaupt idealen von 3 zukommt. - - Aus der speziellen Konst rukt ion yon N folgt welter der fiir uns entscheidende

S a t z . Alle Primhauptideale aus ~tl sind total eindimensional, das Nullideal besitzt dementsprechend gleichzeitig die Maximal- und die Minimaldimension 2. Alle yon (x) verschiedenen Primhauptideale sind, ebenso wie das Nullideal, als Durchschnitte yon maximalen Ringprim- idealen darstellbar. Das Hauptideal (x) dagegen besitzt das einzige maximale Primoberideal (x, y).

~4) Zur Theorie der Quotientenringe vgl. hier und im folgenden KRULL [2], Nr. 7.

J'acobsonsche Ringe, Hilbertscher Nullstellensatz, Dimensionstheorie 373

Zum Beweis hat man nur zu beaehten: a) Es gibt in 91 unendlieh viele Primhauptideale. Sie entsprechen eindeutig umkehrbar dem Poly- nom x und denjenigen pi(x, y), die von allen l~(x, y) verschieden sind. Wegen der unendliehen Anzahl der Pr imhaupt ideale ist ihr D urehsehnit t gleieh dem Nullideal. b) Da lk(0, 0) = ck =4- 0 ftir alle k, ist (x, y) in 91 yon 91 selbst versehieden und damit ein maximales Primoberideal yon (x). In ,~ besitzt jedes yon (x, y) verschiedene maximale Primoberideal yon (x) die Gestalt (x, y - ck); wegen lk(x) E (x, y - - ck) wird in {R ftir alle k stets (x, y - c k ) ~ 91. Es ist also (x, y) in 91 das einzige maximale Primoberideal von (x). e) Es sei p ~ (p~o(x, y)) ein von (x) versehiedenes Pr imhaupt ideal aus 91, q(x, y) sei i rgendein nor- miertes dureh pio(X, y) in ,R untei lbares und damit nicht zu p gehSriges Polynom. Dann wird p~o(X, y ) = p~(x, y) . q(x, y) = q~(x, y) ftir ein passendes i, und man hat naeh Kons t ruk t ion yon ll;i = (x--a~, Y--rid sieher p~(x, y) C(x--a~, y- - fl,:), q~(x, y)-~ (x--o:i, y - - fli) in ,~. Wegen lk(x, y ) ~ ( x - - ~ , y--fl~) bleiben diese Beziehungen aber aueh f~ir gflltig, es wird also (x--o~i, Y--fli) in ~ Bin maximates Primoberideal von p = (p~o(X,y)), alas q(x ,y) nicht enthglt. In dem (in 91 gebildeten) Durehsehni t t b a l l e r maximalen Primoberid6ale yon p kann also kein nicht zu p gehSriges Polynom q(x, y) liegen, und daraus folgt sofort p ~ b. - - Der Nodellr ing 91 besitzt also tatsachl ieh alle Eigenschaften, die im Einlei tungsabsehni t t v o n w 4 angegeben werden.

2. Aus dem Ring 91 bilden wir weiter den Ring 91' aller Quotien-

ten o (x, y) y~ (p(x, y)E ~{). Dann ist 91' ebenso wie 91 ein N0~:THSRscher

Z. P. E.-Ring, dessen von (0) verschiedene Primideale entweder die Gestalt (x - -a , y--[~) oder die Gestalt (p(x,y)) besitzen. Weiter erh~tlt man offenbar alle Pr imhaupt ideale aus 91', wenn man ftir p(x, y) einerseits x, andererseits alle yon y und den s~tmtliehen b~(x, y) versehiedenen pc(x, y) einsetzt. Schliel~lieh ist (x) in 9t' maximal, well das einzige eehte Primoberideal , das (x) in 91 besag, n~tmlieh (x, y), in ~ ' verloren geht ((x, y) . 91' =- 91'). 91'/(x) wird also ein KSrper, und zw~r ist dieser KSrper ersiehtlieh zu ~(y) isomorph. Es bleibt daher nur noeh zu zeigen, dal3 9t' ein JAcos- so>'seher Ring ist, und dazu ist wegen Satz 9 aus w 3 blol~ naeh- zuweisen, dag jedes Pr imhaupt ideal (pi(x,y)) mit pc(x, y)=4 = y nieht nur in 91, sondern aueh in 91' unendlieh viele Primoberideale der Form ( x - a , y - ~ ) besitzt. Wgre aber diese Bedingung fiir ein best immtes p~,,(x, y)=[= y nieht erftillt, so mtil3ten in 91 fast alle maximalen P: 'imoberideale yon (p~o(X, y)) das Element y enthaIten, und daraus foIgte sofort der Widersprueh, dag in ~I der Durehsehni t t aller maximalen Primoberideale yon (p~,(x,y)) nieht gleieh (pi,(x,y)) sein kSnnte. - - ~.' ist also tats~tehlieh ein JacoBso~'seher Ring.

3. Es sei ~ ~ ~[x, , . . . , x~] der Polynomring in n Unbest immten tiber einem beliebigen t,:/)rper S{, Pi (i-----1, . . . , m) seien paarweise

374 W. Krull;

prime Primideale aus ~ yon den Dimensionen d,:, u n d e s werde r = p~ rl . . . rl pm gesetzt . S" sei das mult ipl ikat iv abgesehlossene Sys tem aller der p ( x ) E ~ , die in keinem einzigen maximalen Pr imober ideal yon ~ liegen, und es bedeute ~" = ~s,, den zu S" gehSrigen Quotienten- ring yon ,~. - - Dann ist zun~ehst (wie in den F~llen 1. und 2.) ~" ebenso wie ,~ ein NOETHEuseher Ring mit Z . P . E . Wel ter sieht man leieht: Die Primideale yon ~" entspreehen umkehrba r eindeutig denjenigen Primidealen yon ,~, die in mindestens einem maximalen Prim- ideal yon r enthal ten sind. Ist n~tmlieh das ~-Primideal p Unter ideal des maximalen Primoberideals m yon gt, so ist p zu S" e lementef remd und man hat p . ~" ~--- p" q= ~", p" N ,~ = p. Hat dagegen p m i t r kein maxima!es Pr imoberideal gemein, so wird p + r = ~, es gilt. also eine Gleiehung p(x, y) + r(x, y) = 1 (p(x, y) E p, r(x, y) C r), bei der p(x~ y) notwendig zu S" gehSrt, und es mug daher p . ~ t " = ~" sein.

Aus unserem letzten Resul ta t folgt insbesondere, dab jedes in N" maximale Primideal Erwei terungsideal eines in ~ maximalen Primideals ist, und daraus sehliel3t man miihelos, dal~ 9l" ebenso wie ,~ ein NOET,Ea- seher Normalring yon der Dimension n sein mug. Durehl~tuft sehliel3- lieh ~rt: mit var i ie rendem v alle maximalen Primoberideale yon

r" = P7 n . . . n p:, = r . ~ ' ( p ' / = p~. ~),

so durehl~tuft m, : m~' n ~ alle maximalen Primoberideale yon r u n d angesiehts des zwisehen N" und ~ bes tehenden Zusammenhanges er- h~tlt man unter Bert ieksieht igung des JACOaSOxsehen Charakters yon

sofort :

n ;.: = n [(m: n,q) . ~"] - - i n (m~; n ~)]. ~ " = i n m,] . ~ " = r . ~ " = r".

Es hat also aueh der Modellring ~" alle im Einle i tungsabsehni t t geforder ten Eigensehaften. Besonders bemerkenswer t ist die Tatsaehe, daf~ alle drei Modellringe aus dem denkbar e infaehsten Ringtypus , n~tmlieh dem Polynomring, dureh den e lementaren Prozef~ der Quo- t ientenr ingbi ldung gewonnen werden konnten.

w 6.

Polynomringe iiber Noetherschen Ringen (Dimensionstheorie).

Bei einem emllieh-dimensionalen NoE~a~Rsehen Ringe ,~R besagt naeh Satz 9 die Behauptung ,,gleichzeitig mit sJl ist stets aueh ~ [ x ] ein JAcoBso~seher Ring" genau so vie1 wie ,,hat in N jedes eindimensionale Pr imoberideal unendlieh viele Primoberideale, so gilt dan gleiehe far Nix]". An diese Fests te l lung anknt ipfend kann man allgemein f ragen: Welehe Aussagen lassen sich bei einem endlieh-dimensionalen No~nc.Rsehen Integri t l i tsbereich ~1t tiber die Primideale aus Nix] und ihre Beziehungen zu den Primidealen yon ~ maehen? Mit p, p' bezeiehnen wir Primideale aus ~. Unter px, p~:o, px l , . . . (p;, p;o, p ' ~ , . . .

Jacobsonsche Rir~ge, Hilbertscher Nullstellensatz, Dimensionstheorie. ,"375

usw.) verstehen wir Primideale aus ~[x], die fiber dem 91-Primideal p (p' usw.) liegen, deren Durchsehnit t mit ~ also gleieh p (p' usw.) wird. Es gilt dann zun~tchst ffir einen beliebigen Ausgangsring ~ :

S a t z 10. Das kleinste i~ber dem .~-Primideal p liegende PR[x]-Prim- ideal ist p~o = p" ~[x]. Au/3er p~o gibt es in 91[x] stets unendlich viele weitere i~ber p liegende Primideale p~. Die p~ sind paarweise prim und unmittelbare Primoberideale yon p~,o.

Der erste Teil von Satz 10 ist so gut wie selbstverstitndlich. Um die Richtigkeit des zweiten einzusehen, bedenke man zunlichst: Bei der Best immung der yon P~o verschiedenen fiber p l iegenden primideale p~ darf man die Untersuehung yon !}t, N[x] naeh tip, mfx]lp~o verlegen und dabei 9l[x]/pxo als einfaeh t ranszendente Ringerwei terung yon 92/0 dureh die Restklasse x + P~o auffassen. Da in ~iP dem Prim- ideal p das Nullideal entsprieht, haben wir also das Resul ta t : Die zweite H~tlfte yon Satz 10 braueht nur ffir p = (0) bewiesen zu werden. In diesem Falle abet gilt das seharfe, die Behauptung yon Satz 10 einsehliegende Theorem :

S a t z 1l. Es sei 91 ein lntegritgitsbereich mit dem QuotientenkSrper ~. Dann entsprechen die Primhauptideale (p~(x))-~ aus ~[x] durch die Zuordnung voz~ Verengungs- und Erweiterungsideal umkehrbar eindeutig den i~ber p ~ (0) liegenden Primidealen p~ aus ~ [x]eS).

Satz 11 folgt mfihelos aus der bereits in w 4 benutzten allgemeinen Theorie der Quotientenringe. Man beaehte, dal3 ,~[x] nichts anderes ist als der dureh das mult ipl ikat iv abgeschlossene System S a l l e r yon 0 versehiedenen ~bElemente definierte Quotientenring yon ~ Ix]. - Auf Satz 1 1 stfitzt sich das folgende Theorem, bei dem wir zum ersten Male die Voraussetzung benfitzen, dais }l~ ein Nom'm,:nseher Ring ist:

S a t z 12. Ist in dem NO~THERschen Ringe 9l das Primideal p' unmittelbares Pri~noberideal yon p, so kann in Nix] niemals p~o Ober- ideal eines yon p~o verschiedenen p~ sein.

Zum Beweise betrachten wir in }/~[x] neben p~ und p'o das echte Primoberideal p:~i' ~ pzo' 5 x. N ix] von p~o. Es sei unter der Annahme p.~o ~ p.~ das Primideal p;' irgendein echtes Zwischenprimideal zwischen pz und P'1, also p~< p;', < p~:l. Dann ist p ~ p " ( p ' , man hat also, da p' unmit te lbares Primoberideal yon p sein sollte, nur die beiden MOglieh- keiten p" ~ p u n d p " ---- p'. Wegen p~ :1= p~o ist p" --= p naeh Satz 10 ausgesehlossen. Es wird somit notwendig p " = - p ' und aus p ' < p ; 1 , px t I'~ ~ : p;1 17 ~ = p ' folgt, wiederum naeh Satz 10, sofort p;, = p~'o. Es ist also p;o das einzige eehte Zwisehenprimideal. Diese Folgerung widersprieht aber dem fundamentalen Satz 6 (bzw. bereits dem ,,Hilfs-

2~) Der offenbar yon der Maximatbedingung unabh~tngige Satz 11 ist u. a. aueh ffir den Beweis des verxllgemeinerten H1LB):nTsehen Nul]stellensatzes wesentlieh. Dementspreehend wird er aueh in GOI,D.~tAN [l] ohne ausdrfiekliehe Formu- lierung implizit benutzt.

376 W. Krull:

satz" yon w 4). Die Ausgangsannahme p , ~ p;o war also falseh. Mit Hilfe yon Satz 12 zeigen wir wei te r :

S a t z 13. Ist {R ein endlich-dimensionaler e6) No~rEi~scher Ring, p ein Primideal aus {R yon der Maximaldimension d, dann ist die Maxi- maldimension yon p~o genau gleich d + l, wiihrcnd liar die Maximal- dimension d~ eines von p~o verschiedenen p,1 immer die Ungleichung dl <~ d gilt.

Zum Beweise bemerken wir zun~tehst : Ist p ~ p' ~ p" ~ . . . ~ p(d) eine Pr imober ideMket te mit dem Anfangsgl ied p yon der L~tnge d, so stellt P~o ~ p'o ~ . . . c.. ~x0 <. ~ o ~- ~ ]" ~ Ix]) - - eine mit P~o beginnende Prim-. ober idea lke t t e von der L~tnge d + 1 dar. Ftir die MaximMdimension do yon p~o gilt daher sicher d k Ungleichung do~> d + 1 und es bleibt dement sp reehend nur zu zeigen, daft immer d o ~ d + l ~ d ~ < d sein muft. Ist nun d : 0 , so folgt aus Satz 10 sofort d o : l = - d + l , d~ : 0 ~ - d . Wir diirfen Mso den Beweis fiir ein festes d un te r der Vorausse tzung fiihren, daft for alle d ' < d die gewiinschten Ungleichun- gen gelten. Es sei je tz t zuerst in ~[x] eine Pr imober idea lke t te p~ ~ p~

p~ vorgelegt . Dann ist sieher p' ~ p und wir haben zwei Unterfal le zu un te r sehe iden : a) p~ ~ p~o. Hier haben wit, da die Maximaldimension d' yon p' hSehstens gleieh d - - 1 sein kann~ naeh Induk t ionsvorausse tzung fiir die Maximaldimension d~ yon p', die Ungleiehung d~ <~ d - - 1, woraus sieh unmi t te lbar d~ ~ d ergibt, b) p~' =P~o. Hier wissen wit naeh Satz 12, dal~ p' ein nicht unmit te lbares Pr imober ideal von p darstell t . Die Maxi- maldimension yon p' ist also hSehstens gleieh d - - 2 und die Anwendung der Induk t ionsvorausse t zung l iefert fiir die Maxima]dimension dd yon P~o die Beziehung d d ~ ( d - 2 ) + l = d - l , wit haben somit wieder d , ~ d . Damit ist die Ungleichung d ~ d gesichert . -- Ist anderersei ts e k e Pr imober idea lke t t e pzo~ p ' ~ p~ ~ . . . < p7 ) gegeben, so hat man wieder zwei MOgliehkeiten: a) p' = p, p" = p,1. Hier folgt aus da ~ d sofor t f ~ d + 1. b) p' ~ p . Hier l iefert die Anwendung der Indukt ions- vo rausse t zung in jedem Falle d ' ~ ( d - 1)+ 1 =- d ftir die Maximal- dimension d' yon p~, man hat also aueh dieses Mal f ~ d + I. Es muff somit do <~ d + 1 sein, und der Beweis yon Satz 13 ist abgesehlossen.

Man beaehte , daft bei unseren ~3berlegungen nieht yon der Maximal- bedingung, sondern nu t yon dem Inhal t des (allerdings mit Hilfe der Maximalbedingung gewonnenen) Satzes 12 Gebraueh gemaeht wurde. Satz 13 gilt also fi~r ]eden Ring {R, fi~r den Satz 12 richtig ist, unab-

2~) Die Endlichkeitsvoraussetzung wird hier und bei Satz 14 nur geinacht, um die Sonderbehandlung des triviMen FalIes, dal~ ~ gl {R = p unendliche Maximal- dimension hat, zu ersparen. Bei Satz 13 ist nattirlich im Sonderfall ftir p~, fiber- haupt nichts zu bewoisen, w~thrend sich fiir P~0 die MaximMdimension unendlich ergibt. Bei Satz 14 zeigt man leicht, dab unter der Annahme des JACOBSO~schen Charakters yon .~)t im SonderfMl p~ immer die Maximaldimension unendlich haben mu~.

Jacobsons&e Ringe, Hilbertscher Nullstellensatz, Dimensionstheorie. 377

h~ngig davon, ob ~ einen NOETHERsehen Ring darstel l t oder nicht. Auf der anderen Seite ist sofort zu sehen, dal~ Satz 12 bei unseren Sehltissen nicht entbehrt werden kann. Denn es mtiltte ja d ~ d + 1 werden, falls p ein maximales Primoberideal p' yon der Maximal- dimension d - 1 bes~ge, ftir das p~o D p~l wtirde. Behal ten wir die in Satz 13 eingef(ihrten Bezeichnungen bei, so k6nnen wir nunmehr erg~nzend zeigen :

S a t z 14. Es gilt dann und nur dann fiir ]edes Primideal pzl die Gleichung dl --- d, wenn ~ ein JACO~SO~scher Ring ist.

a) Es sei ~ kein JAeoBso~'seher Ring, p sei ein Primidea! aus ~ , derart , dal~ der Durchschnit t aller maximalen Primoberideale yon p ein nicht zu p gehSriges Element a enth~lt. Dann ist p~ = p~o+ (1 § ax). ~R [x] ein Primideal aus ~[x] , ftir das d~<d wird. Zum Beweis hat man nur zu beaehten :

co) Ist p~ irgendein Primoberideal yon p~l, so kann jedenfalls p' kein maximales Pr imober idea l yon p sein. Denn anderenfal ls h~ttten wir a C p', Px = ~'[x] ~7).

fl) Aus einer leichten Versch~trfung des beim Beweise yon Satz 13 unter a) durchgeft ihr ten Induktionsschlusses ergibt sich: Ist p=~p~

. . . ~ p~!) eine mit pzl beginnende Pr imober idealket te yon der genauen L~nge d, so mul~ unbedingt p(a~ ein maximales Primideal aus ~R darstellen. - - b) Es sei ~ ein JAco~so~'scher Ring. Dann geniigt es often- bar, zu zeigen: p~l besitzt stets ein Primoberideal P ' l , bei dem die Maximaldimension d ~ yon p' genau gleich d - - 1 ist. Augerdem darf man dabei (auf Grund derselben l)berlegungen, wie sie yore Satz 10 zu Satz 11 fiihrten) p ~ (0) annehmen. Wir zerlegen den Beweis in vier Schri t te: a) Ist p ~-(0) in ~R eindimensional, so besitzt p wegen de~ JaeoBso~schen Charakters yon ~ unendlieh viele nulldimensionale Primoberideale. Ist andererseits (0) yen einer Maximaldimension d > 1, so gibt es ein Primoberideal p" yon der Maximaldimension d - 2 und zwischen p und p" liegen naeh dem ,,Hilfssatz" yore w 4 unendlich viele Primideale p', die alle die Maximaldimension d - - 1 haben mfissen. In jedem Falle also ist die Anzahl der Primideale p' yon der Maximal- dimension d - - 1 in ~ unendlich groin, fl) Es sei p(x) = co x n + c l x n-1 + . . . + c ~ ein Polynom niedrigsten Grades aus pz~, ~ sei der Quotien- tenkSrper yon ~. Dann wird nach Satz 11 wegen p ~ (0) sieher p~l ~-- (1~ (x)). ~, und daraus schlie6t man miihelos : Zu jedem q(x)~ p~ gibt es ein r, derart , da[5 c ' .q(x) ~ (p(x)) in ~[x]. y) Wegen der fiir

giiltigen Maximalbedingung besitzt das Haupt ideal (co) in ~ nu t endlieh viele minimale Primoberideale. Angesichts von a) existiert daher in ~ ein Primideal p' von tier Maximaldimension d - - 1 , das Co nicht enthMt. Setzt man a~ ~ p,'o-I-(p(x)). ~R[x], so wird a ~ ~R-~-p' und in

*~) Hier haben wit in gr61tter Knapplmit einen Beweis von Satz 2; vgl. den dortigen Hinweis.

Mathcmatische Zcitschrift. Bd. 54. ~5

378 W. Kmll:

gleieher Weise erh/ilt man r ~ = p', wenn man unter c;: das hleal aller der c(x )C~[x] versteht, bei denen cS.c(x)Ea~ far hinreichend groSes r. Nach /~) haben wir p ~ < c ' , d) Da ~ lx] gleichzeitig mit ein Nom'n~J~seher Ring ist, hat c~ nur endlich viele minimale Primober- ideale. Fiir mindestens eines von diesen, etwa far p' l , mug pxl 91 ~ = ~3' werden, da sonst c' ein nieht zu p' gehSriges Element aus ~ enthie]te. p~ ist offenbar ein Ideal der yon uns gesuehten Art. - - Daft f~ir die Minimaldimension keine ~hnlieh befriedigenden Resultate erwartet werden d~irfen, wie sie ffir die Maximaldimension gewonnen werden, zeigt:

S a t z 15. Es kann vorkommen, da/3 die Minimaldimension yon p~ grO/3er ist als die Minbnaldimension yon p.

Es sei n~tmlieh z. B. ~ ein NoEwnEttseher Integrit~tsbereieh, in dem das Nullideal die Maximaldimension 2, die Minimaldimension 1 hat, und in deIn alle unmittelbaren Primoberideale yon (0) mit einer einzigen Ausnahme p* unendlieh viele maximale Primoberideale besitzen, w~hrend das Ausnahmeideal p* ein in ~ gleiehzeitig minimales und maximales Primhauptideal (~) darstellt. (Ein Ring dieses Typus wurde in w 5 unter 2. konstruiert .)

Bilden wit ffir irgendein Primideal p' =1 = (~) aus ~ - einsehlieNieh p' = (0) -- zun~ehst das Ideal c t ~ l ~ p ' . ~ [ x ] + ( l + ~ - x ) . ~ [ x l und dann das Ideal p~l aller der p(x), bei denen ~ . p ( x ) C ~.,:1 [tir hinreichend grol~es r, so ist p'~Cl~ = p' wegen ~ ~ p' u n d e s erweist sich p~ wegen der Linearit~t in x von 1 + ~x mtihelos als Primideal. Andererseits kann ein Ideal c~ =l= ~R[x] gleiehzeitig 1§ ~x und ~ enthalten. Auf Grund dieser Bemerkungen folgt leieht: Das fiber p = (0) liegende Primideal p~ hat die Minimatdimension 2. Ist n~tmlieh p" irgendein eehtes Primoberideal von p~l, so ist p; ersiehtlieh identiseh mit unserem ausgezeiehneten, Ober p' l iegenden Primideal p'~ und es gibt wegen der speziellen Natur yon ~ entweder ein p " D p oder ein yon (0) versehiedenes p " < p. Die Primidealket te pxl< p'l ist also hie gesehlossen, well aus ihr stets entweder eine Kette pz~ < p '~< p~ oder eine Kette p , . l < p ~ < p;1 gebildet werden kann. -- Aus der (beim Beweise nieht benutz ten)Vorausse tzung , jedes yon (~) versehiedene unmittelbare Primoberideal yon (0) sollte unendlieh viele maximale Primoberideale haben, folgt naeh Satz 9, dag der betraehtete Modell- ring .L&eouso~seh ist. Satz 15 bleibt also aueh dann riehtig, wenn wit uns auf JACOBSOXSChe Ringe besehr~tnken. Auf der anderen SeRe sieht man sofort:

1st ~ nicht Jaco~so~w'ch, so kazan die MinimaIdimension ,v(m p~ kleiner werden als die Minimaldimension yon p.

Man braueht mtr yon einem nicht-J.~eoBso~sehen Nom'nERsehen Normalring ~R auszugehen, wie er in w 5 unter 1. konstruier t wurde. Dann folgt der Beweis unserer Behauptung sofort aus Satz 14, da ja bei jedem Primideal aus ~ die Maximaldimension gleieh tier Minimal- dimension ist. Es bleibt noch die Frage fibrig, ob nieht etwa im Falle

Jacobsonsehe Ringe, Hilbertseher Nullstellensatz, Dimensionstheorie. 379

eines JA(:oBso~vschen R~nges ~ die Minimaldimension yon p~l niemals kleiner ausfal len kann als die MinimMdimension yon p. Leider stS/~t man bei dem Versueh, diese plausible Vermutung zu bewe~sen, auf unerwar te te Sehwierigkeiten, auf die (in einem Spezialfall) im n~tehsten Paragraphen n~ther e ingegangen werden soll. Zun~tehst sollen die in den S~ttzen 10--14 formulierten Ergebnisse zu Aussagen tiber den mit endlieh vielen Unbest immten x l , . . . , x,~ gebildeten Polynomring ~ t [ x l , . . . , x,] benutz t werden.

S a t z 16. Es sei ~ ein endlich-dimensionaler, gleichzeilig Nt)ETHER- scher und JACOBSoNscher Ring, d sei die Maximaldimension des ~- Primideals p. Dann ist d-+ ~ die Maximaldimensio~ des Primideals ~o ---- p" ~ I x , , . . . , x,] aus 9l [x~, . . . , x~]. Fib" die Maximaldi~ension d, eines iiber p liegenden, vo~ p::o verschiedenen Primideals pxl gilt die Ungleichu~g d + n- - 1 ~ d, => d, und zwar kommen innerhalb der angegebenen Grenzen alle 'zulgissigen Werte yon d wirklich vor. p~l hat da~n und nut dann die kleinstm6gliche Maximaldinwnsion d, =-d , n, en~ in p:.~ /i~r ]edes i ein n~o" yon x~ allein abhdngiges Polynom p(xi) mit nicht durchweg zu p gehSrigen Koeffiziente~ enthalten ist.

Der Beweis yon Satz 16 ergibt sich unter Beri ieksicht igung yon Satz 1 leicht aus einer n-maligen Anwendung yon Satz 14. Es diirfte geniigen, wenn wir auf die letzte Behauptung yon Satz 16 etwas genauer eingehen. Es werde ~ = 91o, ~ i ~ ~o[x~,. . .~ xi] ~ ~ - 1 [xi (i = 1 , . . . , n) ge se t z t . Soll nun p = pz~ Cl }R,~ die Maximaldimension d haben, so mug, wie aus Satz 14 zu entnehmen, ftir jedes i ~ 1 die Maximaldimension y o n pccl ]7 ~(~i genau gleieh d sein, und diese Bedingung wiederum ist naeh Satz 14 dann und nur dann erftillt,, wenn ftir jedes i > 1 d~s Primideal p ~ r l N i aus N~ ein Polynom q i ( x , , . . . , x~) =- c,~(x,,. . . , x~_~), x~ n + c~-1 (x , , . . . , X~-l) �9 x7'-' + . . . + co (x , , . . . , xi_~) enthi~lt, bei dem die Koeffizienten ck. nieht alle zu p~ Cl }tl~_~ gehOren. Aus dieter Bemerkung folgt sofort, daf~ die in Satz 16 angegebene Bedin- gung far die Maximaldimension d yon px~ hinreiehend ist; sie ist aber aueh notwendig. Denn fiir i ~---1 erhalten wir, dab in p~l im Falle der Maximaldimension d sieher ein yon x, allein abh~tngiges Polynom q,(x,)--~ p(x~) mit nieht durehweg zu p geh6rigen Koeffizien~en liegen mug. Da aber die Numerierung der x~ v611ig gleiehgiiltig ist, mug fiir jedes i ein p(xd der gewfinsehten Art in ~0xl enthal ten sein.

Bei einem beliebigen tiber V l iegenden Primideal p~ aus }It [ x , , . . . , x~] l~tl3t sieh offenbar dureh geeig'nete (nieht eindeutig bestimmte) Numerie- rung der xi erreiehen, dag f~ir ein gewisses s zwisehen 0 und ~ jedes allein yon x~ , . . . , x~ abh~tngige Polynom aus p.~ aussehliel~lieh zu p ge- hCirige Koeffizienten hat, w~thrend fiir jedes k > s in p~ ein Polynom p ( x , , . . . , x~, x~) auftr i t t , dessen Koeffizienten nieht alle in p liegen. Die Zahl s mSge als der 7l'ra~szendenzgrad yon p~ (fiber ~) bezeiehnet, werden. Setzen wir der Kiirze halber | ~--- ~ [ x , , . . . , x,], so ergibt sieh die Invar ianz des eingefiihrten 3 ' ranszendenzgrades sofort :ms:

380 W. Krulh

S a t z 17. Der Transzendenzgrad von px ist gleich dem Transzendenz- grad des Quotientenkgrpers yon | iiber dem Quotientenk6rper yon ~t/p.

Satz 17 i t t so gut wig selbstverst~tndlieh. Wir erhal ten je tz t tiber Satz 16 hinaus:

S a t z 18. Ist 9t ein endlich-dimensionaler, gleichzeitig N OETHERSCher ned JACOB~S'O.~scher Ring, pz ein i~ber dem, ~ -Pr imidea l p l iegendes Primideal aus ~R[x~,..., x~] und bedeutet d~ bzw. d die Maximal- dimension yon p~ bzw. p, s den Transzendenzgrad yon p~ iiber }It, so gi l t s tets die Gleiehung : d~ -~- d § s.

Zum Beweis b raucht man nur dig Variablen so zu numerieren, wie w i r e s bei der Einf t ihrung (let T ran t zendenzgrades ge tan hat ten, und zwischen | = N [ z , , . . . , x,~] und N den Ring ~ = ! ) l [x~ . . . , x~] einzu- sehieben. Dann wird p~13~ ~ - p . ~ ; , et ist also nach der ersten Be- haup tung yon Satz 16 sicher d + s die Maximaldimention yon p~ n ~, wtthrend dig Ietzte Behaup tung yon Satz 16 zeigt, daft die Maximal- dimension von pz gleich tier yon pxCI~ sein mult. Mit Satz 18 ist offenbar die bekann te Dimensiont theor ie der Po lynomr inge mit KSrper- koeff izienten auf den Fall ausgedehnt , daft der Koeff iz ientenbereich einen beliebigen endlieh-dimentionalen, gleichzeitig NO~:T~ERSehen und JAco~soNsehen Ring .~ dar t te l l t . Die [~beitragung darf als vOllig be- f r iedigend angesehen werden, solange wir die M6gliehkeit zulassen, daft bei den ~R-Primidealen Maximal- und Minimaldimension ausein- anderfal len. Anders liegen (lie Dinge, wenn wit uns auf NO~:THERschG Normalr inge ~ beschrttnken. Auf die hier au f t auehenden tchwier igen Fragen soll in w 7 e ingegangen werdeu.

w

Die Norlnalringh ypothese.

Der Po lynomr ing ~ [ x , , . . . , x,,] in n Unbest immten mit KOrper- koeff iz ienten ist ein NO~TH~RsGhGr Normalr ing im Sinne yon w 4~). Die Bemerkung und (lie E rgebn i t t e v(m w 6 fiihren auf dig folgende Normalr inghypothese :

Ist ~* ein Nol~:THFmscher Normalring, der .qleichzeitig einen .IAcoSs,a'- schen Ring darstellt , so ist ~t* stets auch ein Nom'HEnscher Normalring.

( ' rberrasehenderweite zeigt es sigh, daft die Theor ie der kommuta- t iven Ringe in ihrem augenbl iekl iehen Stand an tehe inend noch nieht

~s) Es sei daran erinnert, daJ.~ wit (ira wesentlichen zur Vereinfachung der l)iskussion) nur lntegritatsbereiche als Normalringe bezeiehnet batten. Erst im SehluBteil vonw 8 werd~n wit diese Beschr/inkung aufheben. - - Man beachte, dal~ das (nur der Kiirze halber benutzte) Wort ,,Normal-" hier einen anderen Sinn hat als in der arithmetischen Theorie algebraischer Mannigfaltigkeiten. Insbesondere braueht ein NoETnagscher Normalring im Sinne des Textes nieht ganz abgesehlossen Z~l sein.

Jacobsons&e Ringe, Hilbertscher Nullstellensatz, Dimensionstheorie. gS1

weit genug entwickel t ist, um tiber die Giilt igkeit der Normalr inghypothese zu entseheiden. Doeh gelingt wenigstens eine wesentl iehe Redukt ion der Frages te l lung und die Er ledigung gewisser SpezialfNle:

S a t z 19. Die Richt igkei t der Normalringhypothese ist gesichert, sobald die folgende Zwischenprimidealhypothese bewiesen ist:

Es sei | ein NOETHERscher Integrit~itsbereich mit einem einzige** mazimalen Primideal m, ~xl =1= (0) ein i~ber p ~ (0) liegendes Prim- ideal aus | m, ein i~.ber m liegendes Primoberideal yon ~,. Gibt es dan** in | ein minimales Primideal ~', derart, da/3 m~ z'war ein echtes, abet kein unmittelbares Primoberideal yon ~o = p" | ist, so exist iert stets ein echtes Zwischenprimideal zwischen p, ~tnd lllx.

Die Normalringhypothese ist gleichwertig mit der Zwischenprim- idealhypothese, wenn v~ir bei dieser zus~itzlich /ordern, dab ~ ein Normalring sein soll.

Der Bewcis von Satz 19 sttitzt sieh auf eine l~tngere Reihe von Einzel i iber legungen :

a) Die Normal r inghypothese ist evidenterweise riehtig, wenn wir zeigen kSnnen : Ist p" in ~* ix] unmit te lbares Pr imoberideal yon p,, so ist die Maximaldimension yon p; stets um genau eine Einheit kleiner als die Maximaldimension von V,. fl) Ist p ein Primideal aus ~R* yon der Dimen- sion d, so ist d + 1 naeh Satz 14 die Maximaldimension von p:~o ~--- 10. {R*[x]. Ist ferner p'~ ein unmit te lbares Pr imober ideal yon P,o, so ist entweder p' ~--- p und es hat p' = ~xl die Maximaldimension d. Oder abet es muft, wie mtihelos zu sehen~ p' ein unmit te lbares Pr imober ideal yon p sein, und px = p'0 werden; dann aber hat p' die Dimension d - - 1 und p" die Maximaldimension ( d - - 1 ) + 1 = d. Das gewonnene Resul- ta t zeigt, daft die unter a) formulier te Behaup tung nu t ffir p, = p,l 4 -p ,o bewiesen zu werden braueht . 7) Hat ~,1 die Maximaldimension d, also p = p,1 r l ~ * die Dimension d, so besitzt das Pr imober ideal ~': yon ~, retch Satz 14 in genau zwei Fgllen die Maximaldimension d - - 1 . Einersei ts dann, wenn p ' < p, N {R*[x] ein unmit te lbares Prim- oberideal yon p ist und somit wegen des Normaleharak te r s yon {R* die Dimension d - - 1 ha t ; in diesem ersten Falle ist stets p" =-- p~ =t: ~,o (vgl. Satz 11). Zweitens dann, wenn die Dimension yon p' gleich d - - 2 ist, wenn also wohl eine Ke t t e p < p " < p', abe t keine Ket te p < p" < p"' < p' exist iert , und wenn gleiehzeitig 1o" =- p'o wird. d') Aus y) folgt leieht: Hat !o,~ die Maximaldimension d, so hat i);~ > !o~,:~ dann und nu t dann eine Maximaldimension d" < d - - 2 , wenn ein tmmit te lbares Prim- oberideal p' von p existiert , derar t , daft )P;'.o zwar ein eehtes, aber kein unmit te lbares Pr imober ideal yon p ' .N*[x ] = p.'~o ist. Denn die notwendige und hinreiehende Bedingung ftir die Exis tenz eines p' der angegebenen Art ist offenbar die, daft en tweder eine Ket te ~0 < p ' < t0"' < P" vorhanden ist oder p" die Dimension d - - 2 besitzt und p~ yon ~).'~o versehieden i~t. e) Aus d') ergibt sieh: Die Normal r inghypothese ist gleiehwert ig mit tier Behaup tung : Ist p~s ein Pr imoberideal von p,~,

382 W. Krull:

und gibt es ein echtes Zwischenprimideal p' zwischen p und p"~ derart, tl dal~ p~o kein unmittelbares Priin~nterideal yon ~ ist, so existiert stets

ein echtes Zwischenprimideal zwischen p~l und p~. Beim Beweis dieser letzten Behauptung aber sind die folgenden Vereinfachungen InSglich:

X ~ Man kann zuerst yon ~*, ~* [x] zu }R*[~, ~* [ ]/p~o iibergehen; bedeutet

dann welter S das multip!ikativ abgeschlossene System aller nieht zu

~" = O"/p gehtirigen Eleinente aus K~, = ~,/p, so darf man ~* durch

den yon S bestimmten Quotientenring - * ~ (in dein bereits in w 5 benutzten Sinne) ersetzen. Damit koinint man dann uninittelbar auf die Zwischenprimidealhypothese in der in Satz 19 gew~thlten Fassung unter

der Zwischenvoraussetzung~ dal~ ~ = }lt~ ein No~:wH~:Rscher Norinalring ist.

Die Hauptbedeutung von Satz 19 liegt einerseits in der Erkenntnis~ daI3 an der kritischen Stelle des Beweises der Normalringhypothese tier Begriff des JACOBSOCSchen Ringes keine Rolle mehr spielt. Die Voraussetzung, ~* sei ein JAe0BSONscher Ring, ist bei der Norinalring- hypothese selbstverst~tndlich notwendig, es wird auch yon ihr bzw. yon dem auf ihr beruhenden Satz 14 bei dem ~bergang zu der Zwischenprimidealhypothese iminer wieder Gebraueh geinaeht. Diese ihrerseits aber ist ein rein ,lokales" Problem; die bei ihr als Koeffizien- tenbereiche auftretenden Ringe Init einein einzigen Inaxiinalen Prim- ideal (Stellenringe in der gebr~uchlichen Terminologie) repr~sentieren einen Ringtypus, der in gewisser Hinsicht dein der JACOBSO~'sehen Ringe gerade entgegengesetzt i s t . - Auf der anderen Seite zeigen sich erst bei der Zwischenprimidealhypothese klar die eigentlichen Schwierigkeiten der gestellten Aufgabe. Man erhalt zun~ichst positiv:

S a t z 20. Die Zwischenprimidealhypothese (in allgemeinster Fassung) ist sicher richtig, wenn das betrachtete Primideal ~Jxl ein Hauptideal darstellt.

Es sei p' eines der Priinideale, deren Existenz in unserer Hypothese X t gefordert ist, u n d e s werde ~ | ~[x] = | ]/~o gesetzt; q~l

sei das Ideal (p~l + p'o)/p~o aus ~ [x], entsprechend sei ~ ~--- m~/~o. Dann ist ~ < ~ es Inuf~ daher auch Inindestens ein Ininiinales Priin- oberideal ~1 vOn qxl Unterideal yon m--~ sein. Andererseits ist q~l in ~[x] ebenso wie p~ in | Hauptideal. Nach dein Hauptidealsatz v o n w 4 muff also jedes Ininimale Priinoberideal yon q~l in ~[~] minimal sein. m--,~ aber besitzt wegen der Wahl yon p' diese Eigensehaft bestimmt nicht, wit haben soinit m--~ D p~. Gehen wit nun zu | zurfick~ so entspricht Yp~ ein echtes Priinunterideal von r~, das wegen

, p z l + p ~ p~ ein echtes Priinoberideal yon p~ ist. - - Aus Satz 20 folgt insbesondere :

S a t z 21. Ist | ganz abgeschlossen und m~ ~-n~zo, so ist die Zwischenprimidealhypothese stets erfi~llt.

Jacobsonsche Ilinge, Hilbertscher Nullstellensatz, Dimensionstheorie. 383

Aus der Tatsaehe, daft der ganz abgeschlossene Ring | gleichzeitig ein Stellenring ist, folgt n~mlieh der Satz: Ist p~l kein Unterideal yon m~o, so muft pxl Hauptideal sein ~9). Man hat also entweder px <m~o < mzl = rex, oder es l~tftt sieh die Existenz eines echten Zwisehenprim- ideals p~ zwisehen p~ und mzl aus Satz 20 ersehlieften. Der Haupt- naehteil yon Satz 21 liegt in dem Umstand, daft er nur den Haupt- fall mx ---~ m~,> mzo erledigt, ffir m x = m~o aber keine Aussage liefert. Aufterdem hat man zu beaehten: Selbst wenn der in der Normalring- hypothese auftauehende Ring ~R* ganz abgesehlossen angenommen

wird, brauehen keineswegs die Ringe | ~ ~ , die den einzelnen Prim- idealen yon ~* entsprechen, alle ganz abgeschlossen zu sein. Die Anwendbarkeit von Satz 21 auf die Normalringhypothese ist also noch aus einem zweiten Grunde beschr~tnkt. Sueht man fiber Satz 20 hinaus auf direktem Wege zu einem allgemeinen Beweis der Zwischen- primidealhypothese vorzudringen, so ist der Weg ziemlich eindeutig vorgezeiehnet. Man hat wie beim Beweis yon Satz 20 yon einem Primideal p' mSgliehst grol~er Maximaldimension auszugehen, und zu zeigen, dag ms nicht minimales Primoberideal yon q~l ~ p~ + V~o sein kann. Dabei darf man noch, da unendlieh viel Primideale p' der gewfinschten Art existieren, eine Zusatzforderung yon der Art einer Ungleichung stellen, etwa die, dab der h6ehste Koeffizient eines Polynoms niedrigsten Grades aus p~ nieht in p' liegt. Im fibrigen ist man ganz darauf angewiesen, die Eigenart yon p~x auszunfitzen, die naeh Satz 11 darin besteht, daft eine Gleiehung p~l = (p(x)). ~ n | [x] gilt, falls ~ den QuotientenkSrper v o n | bedeutet. Diese Quasihaupt- idealeigensehaft kann aber in kel ler Weise die in Satz 20 angenommene Hauptidealeigenschaft ersetzen. Denn es ist-zwar sieher q~l ~ (p~l + P~o)] p~'0 gleiehzeitig mit p~l Hauptideal; aber im allgemeinen Fall braueht ffir ~ nieht einmal mehr der Satz zu gelten, daft q~l ein Polynom p(~) niedrigsten Grades enth~lt, derart, daft alle Polynome aus q~l fiber

dem QuotientenkSrper ~ yon ~ = | dutch ~(~) teilbar sind. Ganz allgemein 0berzeugt man sieh leieht, daft die Aussagen, die man fiber die mSglichen Basen von pz~ aus der Quasihauptidealeigensehaft ab- leiten kann, nieht ausreiehen, um irgendwelehe brauehbare Aussagen fiber das Verhalten dieser Basen bei Restklassenabbildung abzuleiten. Der Versueh eines ,,direkten" Beweises der Zwisehenprimidealhypothese erseheint also ziemlich aussiehtslos, und man wird naeh Theoremen allgemeinerer Art fragen (etwa im Sinne einer Verseh~trfung des Haupt- idealsatzes ffir beliebige NOETm,:Rsehe Stellenringe), auf die sicb ein Beweis grfinden liefte. Tats~tehlieh kommt man so auf interessante Probleme, die im Schluftparagraphen kurz besprochen werden sollen.

29) Vgl. W. KRCLL, Zur Arithmetik der endlichen diskreten Hauptordmmgen, J. f. Math. (1951), Satz 6.

3~4 W. Krull:

w

Schluflbemerkungen.

Nach der Art, wie der Beweis yon Satz 20 geffihrt wurdc, ist es unmit te lbar klar, daft die Richt igkei t der Zwischenpr imidealhypothese ge~ichert w~tre, wenn man fiber den Haupt idea lsa tz von w 4 hinaus die folgende Hypothese der minimalen Primideale beweisen kSnnte :

Sind ~ , ~.,_ zwei minimale Primideale aus dem nullteilerfreien NOZTHERSChen Stellenring | so ist ]edes minimale Primoberideal yon

= (p~ + p~)Ip~ minimales Primideal in ~ - - | Indessen lassen sich aus unserer Hypo these so wei tgehende Fo lge rungen ziehen, daft ihre Allgemeingt i l t igkei t sehr unwahrscheinl ich ist. Um das zu zeigen, beweisen wir zun~tchst:

S a t z 22. Gilt die Hypothese der minimalen Primideale /i~r den nullteilerfreien NOETHERschen Stellenring | und [iir jedes homomorphe

nullteilerfreie Bild ~ yon | so ist | ein NOZTHERscher NormalriJ~g. Die Behaup tung ist trivial, wenn in | das Nullideal die Maximal-

dimension 1 besitzt. Wit brauchen sie daher fiir den Fall einer be- l iebigen Maximaldimension d des Nullideals nur un te r der Indukt ionsvorausse tzung zu beweisen, daft ihre Richt igkei t ftir alle echten nul l te i lerfreien homomorphen Bilder yon | berei ts feststeht . D. h. also, wir dtirfen annehmem (]aft jedes Pr imideal V =l= (0) aus | einc Dimension d ' (< d) schlechtweg besitzt. Es sei nun p, ein beliebige~ umni t te lbares Pr imober ideal yon (0), p~ sei ein (sicher vorhandenes) unmit te lbares Primoberideal , dessen Dimension genau gleich d - 1 ist. Daml hat angesichts der Giil t igkeit unserer Hypothese ffir ~/r jedes unmi t te lbare Pr imober ideal p' von q - P,+O~ die Dimension d - 1 . p, besi tzt somit ein echtes Pr imober ideal der Dimellsion d - 2 mid damit seinerseits die Dimension d - - 1 . D. h. also: (0) hat (tie Dimen- sion d, well allc umni t te lbaren Pr imober idealc VOII (0) die Dimension d - 1 haben. - - Wie man sieht, verl i iuft der Bewcis yon Satz 22 ~'enau nach dem Vorbild des Beweises des JORDA~-H61,DERsEhell Satzes der Grui)l)entheorie, wobei die Hypothese der minimalen Primideale die Rolle des ,,zweitcn Isomorphiesatzes" i ibernimmt. - - Es f ragt sich n H n :

1st wirklich jeder nullteilerfreie Stellenring ell, Normalring? ich habc friihcr an diesc Vermutung geglaubt , bin abet jetzt - -

obwohl ich kein Gegenbeispiel kemle - - der Ansicht, dal5 die auf- geworfenc Fragc h6chstwahrscheinl ich zu verne inen isl. Ist diese Annahme richtig, so gilt angesichts von Satz 22 auch die t typo these (lr minimalen 1,rinf(lcah~ nicht allgemcin, l)ic Zwischenprimidealhyl)othcse yon w 7 (lageg'cn w~tre dutch eine solchc Erkenntn is noch nicht widerlegt. Denn bci ihr b rauch t man ja an der kr i t ischen ~telle nu t einc Aussagc iiber dic S t ruk tu r (:let' .Summc zweier spezieUcr minimaler

Jacobsonsche Ringe, Hilbertscher Nullstellensatz, Dimensionstheorie 385

Ringprimideale. Wohl aber dfirfte man s~gen, dal~ kein Orund v o f handen ist, die Allgemeingi i l t igkei t der Zwischenpr imidealhypothese auch nur als wahrscheinl ich zu bezeichnen. Es diirfte daher im Augen- 1)lick nicht ra tsam sein, die in w 6 angeschn i t t enen F rag en iiber das dort erreichte t Iaupte rgebnis - - (Xquivalenz von Norlnalr ing- und Zwischenprimidealhypothese) I hinaus wei ter zu verfolgen. Die dr ingendste Aufgabe ist, (wenn m/Sglich), die Kons t ruk t ion eines null- te i lerfreien No~zTnnRsehen Stellenringes, der nicht gleichzeit ig Normal- ring ist. Ein Weg, auf dem diese Aufgabe mtiglicherweise angegriffen werden k6nnte , soll hier kurz angedeu te t werden.

Wir wollen einen nicht no twendig nul l te i lerfreien NOETH~:~schen Ring 9l als Normalr ing bezeichnen, wenn jedes null tei lerfreie homomorphe Bihl yon 91 ein NonT~mscher Normalr ing in bisherigem Sinne ist, und wenn aul~erdem die minimMen Pr imober ideale des Nullideals in 91 alle dieselbe Dimension haben, hn fibrigen wurde der Begriff des vollstiindigen Nor:Tnsaschen Stellenring's als bekann t vorausgese tz t und ebenso die Tatsache, dal3 jeder No~Tm~:ascher Ste l lenr ing 91 eindeutig in einem kleinsten umfassenden vollst t tndigen Stellenring, seine vollstiindige Hiille ~, e ingebet te t werden kanna(~). Ftir vol!stt tndige NOETHEaSehe Stel lenr inge ha.t J. S. ConEx einen h m d a m e n t a l e n Struk- tursa tz bewiesen. Dieses S t ruk tu r t heo rem ges ta t t e t bei Dimensi.ons- fragen die Anwendung der Methoden, die ich urspri inglieh ffir Ringe yon ganzen algebraischen oder anMyt ischen Funk t ionen entwickel t hatte31), und man erh/tlt so ]eieht den Satz :

Ein vollstiindiger Nom'H~Rscher Stellenri'ng ~ ist dam~ ~,,ml ~ur da'nn ein Nom,~E~scher Normah'ing, ~rerm alle minimalel~ Primober- ideale des Nullideals ein u~d dieselbe Maximaldime~sion habena'-'). (Stat t y o n der M,~ximaldimension kiinnte man gleich kurz yon der Dimension reden ; (la n~mlich je(les homomorphe Bihl eines vollst~indigen No~:Tm,:Rsehen Stel lenr inges selbst wieder ein soleher Ring' ist,

folgt aus unserem Theorem sofort, (la.l~ in ~ :die minimalen Prim~ oberideale des Nulli(leals eine Dimension sehleehtweg l)esitzen.)

Ieh m6ehte nun ansehl iegend :m die Ergel)nisse yon Herrn CoB~-~" auf zwei wei terff ihrende Fragen hinweisen: 1. Gibt es mill tei lerfreie

ao) Vgl. Kn~q,L [1], COHEN [1}. Die an die ('.om,:NS('he Terminologi~ ("complete" local ring) ankniip%nde Bezt'i('hnungsweise ,vollstiindig~w" Stellonring diirfte zweckm/iI3iger sein his (lie urspriingliehe Kl,~ULLSCht~ ]),ezeichnuna'sw(ds(~ ,,])tq'f4,kter" Stollenring.

a~) Kmr[m [3], Nr. 4. Vgl, auch '~-'). ~z) I)er zitierte Satz ist im wesentlichen (tas Tlworem 19 yon Com~x 111,

S. 96. (VKI. insbeson(ler~' (lie Schlul.~b(qn~wkung zmn Beweis :aft S. 97, unmiltel- bar vor dora ,,Korollar".) - - l)~u fun(lament:de Struktursalz, der (lie Anwenthmg derMethoden v()n KRUr,L [3 i g'('stath.l, ist'!'hem'en! 16. S. 9(1 (vgl. v o r aH,:m auch Anm.~)).

386 W. Krulh

NOETHERsche Stel lenringe 9l, bei denen das Nullideal der vollst~tndigen

Hiille ~ , kurz gesagt , eine beliebig vo rgegebene S t ruk tu r bes i tz t? K a n n man insbesondere die Anzahl der minimalen Pr imober idea le des Nullideals

yon ~ und ihre Dimensionen willk/irlieh vo r seh re iben? - - N a e h ge- wissen bei den primi~ren Stel lenr ingen (Stel lenringen mit einem einzigen von (0) verseh iedenen Primideal) gemaeh ten E r f ah rungen halte ieh es ftir sehr wahrseheinl ieh, daft die au fgewor fene Frage , zum mindes ten ihr zweiter, prSzis gefaft ter Teil, zu be jahen istSS). - - 2. Spiegel t sieh e twa jede bei den P r imidea lke t t en yon ~ au f t r e t ende Unregel-

mgft igkeit in der S t ruk tu r des Nullideals yon ~ wider? Gilt insbesondere der Satz : ~ ist dann und nur dann ein No~:Tm,:aseher Normal- ring, wenn es ~ is t? 0 d e r kann man wenigs tens fes ts te l len: Haben

die minimalen Pr imober idea le yon ~ nicht alle Bin nnd dieselbe Dimension, so ist der Integrit 'Xtsbereieh 9l sieher kein N o r m a l r i n g ? - - Das hier gestel l te P rob lem ist insofern ke ineswegs e infaeh, als ein

Pr imideal p aus 91 beim Ubergang zu ~ (also bei Bildung des Er-

wei te rungs idea ls p . ~ ) ke ineswegs Pr imidea l zu bleiben b raueh t - - man denke nur an das Beispiel p = (0). Indessen hat man voraus - siehtlieh wenigs tens einen wieht igen Ankn~ipfungspnnkt zur Ver- ffigung, n~tmlieh die Bemerkung , dalt die Maximaldimension eines bel iebigen Ideals aus 91 s tets gleieh der des zugehOrigen , ,Leit ideals" istS4).

Wie sofort zu sehen, ist es durehaus mSglieh, dag die B e a n t w o r t u n g der gestel l ten F r a g e n das gesuehte Beispiel eines n ieh tnormalen , null- tei lerfreien No~:wHrmsehen Stel lenr inges l iefert a~). Dari iber hinaus dtirfte der angedeu t e t e Weg naeh meiner Ansieht bei wei tem der aussiehts-

ss) Zur Theorie der prim~iren, vollst~indigen NOETIiERsehen Stetlenringe vgl. KRULI~ [1]. Man sieht im primaren Fall leieht : Ist ~ die vollstgndige Halle eines primAren NOETHaRschen Integritgtsbereiehs ~R, so sind in ~t alle minimalen Prim- oberideale ~1, " ' , g,,, eindimensional, und es wird (0) = g l ~ " " ~q .... w0bei ql jeweils ein zu pi gehSriges Prim~irldeal bedeutet. Daraber hinaus gilt nun der Satz: ~l hat iiber ~ dann und nur dann eine endliche 1Vlodulbasis, wenn ~ = 6~ far jedes i, -- und ein yon J. A. AKIzUi.:I (Proc. lgath. Soc. Japan (3) 17, S. 827--336, 1935) angegebenes Beispiel zeigt, da~ keineswegs immer else endliche Modulbasis zu existieren braucht. Damit ist die (yon mir lange gehegte~ Vermutung widerlegt, es masse in der zu ~R gehSrigen Htille ~ das Nullideal stets tin Radikal sein, und diese Erfahruug ist es, die reich - - wenn auch vielleieht vom Standpunkt strenger Logik aus nieht ganz mit Reeht - - in der im Text ausgesproehenen Ansieht best~trkt.

s4) Zur Definition des Leitideals vgl. KRIJLL [4]. 's) Natgrlieh ist es durchaus m6glieh, dalt ein Beispiel der gewansehten Art

direkt~ ohne Umweg fiber die vollstgndige Hiille, gewonnen werden kann. Das in s3) erwghnte Beispiel von AKIZUKI ist ja aueh ohne Benutzung der vollst~tndigen Halle konstruiert.

Jacobsonsdm Binge, Hilbertsdmr Nullstellensatz, Dimensionstheorie. 387

reichste sein~ wenn man genauer die Grenzen festlegen will, bis zu denen die Theorie beliebiger nullteilerfreier NOETHEICscher Stellenringe der solcher Stellenringen parallel lguft, die aus einem Polynomring dutch Quotientenbildung abgeleitet sind, -- ein Problem~ dem ich pers6nlich in der allgemeinen Strukturtheorie Nom'aEascher Stellen- ringe einen zentralen Platz einrgumen m6chte.

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(Eingegangen am 8. Mai 1951.)

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Jacobsonsche Ringe, Hilbertscher Nullstellensatz, Dimensionstheorie