Kapitel 09 Zyklotron - Vorlesung Teilchenbeschleunigertulectures.web.cern.ch/TULECTURES/Folien/09_Zyklotron_MB.pdf · Kapitel 09: Zyklotron KP/MB Durch Umformen erhält man die Winkelgeschwindigkeit

Kapitel 09

Zyklotron

Kapitel 09: Zyklotron KP/MB

9.1. Zyklotron

Ein Teilchen der Ladung und der Geschwindigkeit , welches sich geradlinig senkrecht zur Richtung eines Magnetfeldes bewegt, erfährt die Kraft

Die Lorentzkraft in der Bahnebene kann mit der Zentripetalkraft angeschrieben werden als

qv

B

)( BvqFvvv

×=

rvmqvB2

z =


Durch Umformen erhält man die Winkelgeschwindigkeit

daraus folgt

Damit ergibt sich eine Beziehung zwischen der kinetischen Energie (klassisch), dem Magnetfeld und dem Radius:

mqB

rvω ==

mqBrv =

mrBqmvT /21

21 2222 ==


9.1.1 Funktionsweise1930 Lawrence und Edlefsen1931/1932 Lawrence und Livingston

die Winkelgeschwindigkeit (Umlaufzeit) hängt nur vom Magnetfeld und von Verhältnis der Ladung zu der Masse abWenn Masse m konstant (bei v<<c) und

mBq

rv==ω

Bq m

constB ~const~ω


Andererseits müssen das zu beschleunigende Teilchen und das elektrische Feld zueinander proportional sein,woraus folgt, dass die Frequenz der Hochspannung ebenfalls konstant bleibt (k...harmonische Zahl):

Beziehung der Synchronisation zwischen den Teilchen und dem Beschleunigungsfeld

Limit für maximal erreichbare Energie (m~m0)(klassisch)

15 MeV für Protonen25 MeV für Deuteronen50 MeV für α-Teilchen

Für die Beschleunigung von Elektronen eignet sich das Zyklotron nicht, da ihre Masse bereits bei 1 MeV verdreifacht ist (relativistische Massenzunahme, m0=0,5 MeV).

2πωkfe =


9.1.2 Vertikale Fokussierung

Wie bei der Diskussion des Betatrons bereits abgeleitet gilt:

Definition Feldindex:

n

oz

z

rr

BB

−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

0

rdBd

drdB

Brn zz

z lnln

−=−=


statisches MagnetfeldErfüllt immer die folgende Gleichung (folgend aus Maxwell rotB=0 im Vakuum):

Magnetfeld im klassischen Zyklotron; die Lorentzkraft wirkt ober-und unterhalb der Mittelebene fokussierend

drdB

dzdB zr =

S

N


In der mittleren Ebene ist die radiale Komponente . Für kleine Entfernungen , kann folgendermaßen angeschrieben werden (mit Feldindex):

Die vertikale Kraft , die auf ein Teilchen in der Entfernung von der mittleren Ebene wirkt, ergibt sich zu:

0=rB

z

rB

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅⋅−===

rznBz

drdBz

dzdB(z)B zzr

r

zF

z

2

2

dtzdmznBq

rznBvqBvqF z

zrz =⋅⋅⋅⋅−=

⋅⋅⋅⋅−=⋅⋅= ω


Wenn man berücksichtigt, dass , so erhält man für die vertikale Schwingungfolgende Gleichung:

Wenn der Feldindex n > 0, also positiv ist, hat die Gleichung die Lösung:

A, α Randbedingungen.Die Bedingung n > 0 impliziert, dass

daraus folgt, dass das Magnetfeld mit dem Radius abnehmen muss, wenn die vertikale Schwingung begrenzt sein soll.

mqBz=ω

022

2

=+ zndtzd ω

( )αω +⋅⋅= tnAz sin

0<drdBz


9.1.3 Radiale Fokussierung... , wenn das Teilchen in einem Abstand vom Zentrum, im Unterschied zum Radius , welcher der Bahn im Gleichgewicht entspricht, einer rücktreibenden Kraft ausgesetzt istWenn man annimmt, dass , muss die Lorentzkraft bei Radius schwächer sein, als bei . Auch die Zentrifugalkraft wird abnehmen. Das Verhältnis dieser beiden Kräfte bestimmt die radiale Stabilität.Wenn eine kleine Größe ist, ergibt sich:

r0r

0rr >

qvB

r

0qvB

0r

ρrr 0 =−

)r(rnrr)rρn(1r)

rρ(1rρ)(rr 0

1n0

n0

0

n0

n

0

n0

n0

n −−=−≅+=+= −−−−−−−−

1rρ

0

<<


Wenn man diesen Zusammenhang in einsetzt erhält man:

Die radiale Kraft produziert vom magnetischen Feldist dann:

mit

n

oz

z

rr

BB

−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

0

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= −

−−−−

0

0z0n

0

01n

0n

0z0

n

0z0z r

rrn1Br

)r(rnrrBrrBB

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−=

0z0r r

ρn1qvBF

0rr −=ρ


Wenn das Teilchen sich von der Gleichgewichtsbahn entfernt, wird es eine radiale Beschleunigung und eine Zentripetalbeschleunigung erfahren

Newtonsche Gleichung ergibt sich zu

Division durch :

2

2

dtrd

rvr /22 −=−ω

vrnqB

rv

dtrdm z ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

00

2

2

2

1 ρ

m

vrn

rv

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−=−

00

2

1 ρωρ&&0rr −=ρ


Da sehr klein ist, kann man

setzen und erhält

zu

Damit folgt:

Gleichung für kleine radiale Schwingungen

ρ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−≅

+=

+=

00

00

0 rρ1

r1

)rρ(1r

1ρr

1r1

0)1(20 =−+ ρωρ n&&

ρrvn

rvv

rρn1ωρ

rv

rvρ)

rρ(1

rvρ

rv

2

00

2

00

2

00

2

00

22

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−=−−=− &&&&ρ&&


Ähnlich wir bei der vertikalen Fokussierung, werden harmonische Schwingungen auftreten für .

Aus und

folgen die Kreisfrequenzen für vertikale und radiale Schwingungen

mit der Bedingung, dass .

In einem Zyklotron hat den Wert 0 im Zentrum, der mit dem Radius geradlinig zunimmt.Wenn dann ergibt sich

1<n

0)1(20 =−+ ρωρ n&&

0ωω nz = 0)1( ωω nr −=

10 << n

n

2,0=n21 2

1

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

=nn

z

r

ωω

0znωz 2 =+&&


9.1.4 SynchronisationTeilchen erreichen eine Phase, welche eine weitere Beschleunigung ermöglicht.Abschätzung: Beispiel: Zyklotron zur Beschleunigung von Deuteronen (20 MeV):

Die gesamte Abnahme des Feldes beträgt 3 %. durchschnittliche magnetische Feld, welches von den Teilchen wahrgenommen wird, ist um 1,5 % kleiner als im Zentrum. Die Massenzunahme bei voller Energie beträgt (100⋅T/E0) 20/1860 = 1,08 %. Das ergibt einen Durchschnitt von 0,54 %.

Die durchschnittliche Abnahme der Frequenz beträgt 1,5 + 0,54 = 2,04 % und die Phasenverschiebung in jedem Umlauf wird 2,04 × 360°/ 100 = 7,3° betragen (die gesamte Phasenverschiebung kann nur 90° sein). Daraus folgt, dass der gesamte Beschleunigungsprozess in 90°/7,3° = 12 Umläufengeschehen muss. Maximale Spannung zwischen Dees, bei mittlerer Phasenwinkel von 45°:

mΔ

( ) kVkVV 118045cos122

20000max =

°××=


9.1.5 Konstruktionsdetails eines Zyklotrons

Beispiel: zwei Zyklotrone mit der gleichen Energie von 20 MeV

Beschleunigung für ProtonenBeschleunigung von Deuteronen

Radius = ? (geg: Magnetfeld: 15.000 Gauß)

für 20 MeV Protonenfür 20 MeV Deuteronen.

mrBqmvT /21

21 2222 ==

( ) ( )cBm[eV]2T[eV]

qB2TmR

21

21

⋅⋅

==

0,44mR =

mR 61,0=

22 [m/s]q[C]/cm[eV]m[kg]q[C]T[eV]T[J] ⋅=⋅=


Wir wählen eine relative Zunahme (zum Zentrum) von 3% für das Magnetfeld.

Feld im Zentrum 15.450 GaußMassenzunahme2,14 % für Protonen (20/938)*1001,08 % für Deuteronen (20/1876)*100

Frequenzen Werte an den Stellen und betragen:

für Protonen

für Deuteronen

wobei Mc/s...Mega cycles/second

mqBfπ2

=

0=r Rr =

sMcfsMcf

r /4,22/6,230

==

sMcfsMcf

r /3,11/8,110

==


Spannungen zwischen den Dees(9 Umläufe):

300 kV für Protonenhalbe Wert, 150 kV, für Deuteronen

In der Praxis meist typische Werte400 kV für Protonen 200 kV für Deuteronen.

nur sehr wenige Zyklotrone für die alleinigeBeschleunigung von Protonen gebaut meist für Deuteronen + Protonen


9.2 Synchro-Zyklotron = Frequenz-moduliertes Zyklotron

Synchro-Zyklotron konventionelles Zyklotron, indem sich die Frequenz der Schwingungen abhängig von den Dees periodisch mit der Zeit ändern. Umlauffrequenz

Nimmt ab, wenn die Energie zunimmtRelativistischen Massenzunahme Magnetfeldabnahme mit dem Radius.

Wenn die Hochfrequenz konstant gehalten wird, kommt es zu einem Fehler in der Synchronisation.

mqBfππ

ω22

==


Vorgabe eines Frequenzprogramms für RF:Frequenz der Beschleunigungsspannung RF folgt

zu jedem Zeitpunkt dem idealem TeilchenDie alternierende Spannung zwischen den Dees ist dann gegeben durch

Wobei im Gegensatz zum Festfrequenzzyklotron die Winkelgeschwindigkeit des synchronen Teilchens sich während der Beschleunigung ändert.

Die Beschleunigungsphase wird durch den Sollenergiegewinn bei jeder Durchquerung des Beschleunigungsspaltes zwischen den Dees definiert. pro Umlauf zwei Spaltdurchquerungen

Energiegewinn pro Umlauf

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ϕ+= ∫

t

0ssmax (t)dtωsinVV(t)

sω

sϕ

sqV ϕsin2 max


9.2.1 Konstruktion eines typischen Synchro-Zyklotrons

Design eines Synchro-Zyklotrons zur Beschleunigung von Protonen auf 500 MeV Massenzunahme der Protonen ist 53,2 %Ruhemasse des Protons beträgt 938 MeV

relativistischen AnsatzMagnetfeld von 20.000 Gauss (= 2 Weber/m2)

maximaler Radius:

( ) ( ) mqcBEER 82,1

21031109381438

8

621222

120

2

=×××

−=

−=


Die Magnetfeldabnahme spielt beim Synchro-Zyklotronkeine so große Rolle wie beim Zyklotron (ca. 5 %)Das resultierende Feld im Zentrum kann daher einen Wert von 21.000 Gauss annehmenMit E0 = 938 MeV kann die Winkelgeschwindigkeit im Zentrum mit 20,1 × 107 rad/s abgeschätzt werden und die Frequenz im Zentrum beträgt 32,1 MHzMit einer Synchronisationsphase wird der

Energiegewinn pro Umlauf betragen. Die ganze Energie wird nach 500/0,015 = 33.440 Umläufen zu Verfügung stehen. Frequenzänderung (Abnahme) =10.6 MHz!

°= 30sϕ

keVqV s 15sin2 max =ϕ


Der Strahl eines Synchro-Zyklotrons erscheint in der Form von kurzen Paketen, getrennt durch die Zeitintervalle, in denen die Frequenz auf den Injektionswert gebracht wird bzw. ein neues Paket beschleunigt wird.

Die Abfallzeit und Anstiegszeit ist typischerweise einen Faktor 103,grösser als die Strahllänge was einem duty cycle (Tastverhältnis) von 0,1 % entspricht

Deshalb viel geringere Strahlleistung als das quasi-kontinuierliche Zyklotron.

Strahlcharakteristik Synchro-Zyklotrons


9.3 Das Isochron-ZyklotronBei einem konventionellen Zyklotron bewirkt die relativistische Massenzunahme und die radiale Abnahme des Magnetfeldes einen Verlust der Synchronität bzw. eine Energielimit von etwa 20 MeV für Protonen.Ausweg: Erhöhung des Magnetfelds nach außen proportional zu γ um rel. Energiegewinn (Massenzunahme) auszugleichen:

Zunahme des Magnetfelds widerspricht Kriterium um vertikale Stabilität zu erhalten (Feldindex n>0)Ist jedoch kompatibel mit radialer Stabilität (Feldindex n<1), d.h. Feld fällt schwächer als mit 1/r (Feldanstieg verstärkt Fokussierung).

konst.ωγ)B(r,B)m(

qBω ss =⇒→⇒γ

=


Vertikale StabilitätsbedingungDurch die Krümmung der Magnetfeldlinien nach außen wird eine rücktreibende Kraft in z-Richtung zu z = z0 erzeugt. Die Stabilität im Zyklotron wird dann durch mit gewährleistet.nRrB −∝)( 0>n


9.3 Das Isochron-ZyklotronAusweg: Konstruktion des Magneten aus mehreren Sektoren

Wechsel zwischen Hoch- und Niedrigfeldsektoren:1. Sektor erhöht das Feld „Hill“2. Sektor reduziert das Feld „Valley“

Teilchenbahn ist nicht mehr ein Kreis, sondern nimmt die Form einer polygonen Kurve an

An Übergängen zwischen Sektoren ergeben sich zusätzliche azimuthale Feldkomponenten die für die vertikale Fokussierung benützt werden.

Das Festfrequenz-Zyklotron war die erste Anwendung des „Alternating-Gradient“ Prinzips zur Fokussierung(Thomas, 1938).


Kraftfeld zwischen „Hills“ und „Valleys“

Die azimuthale Komponente des Feldes Bθ (in Richtung der Teilchenbahn) oberhalb und unterhalb der Mittelebene und die radiale Geschwindigkeit vr verursachen die fokussierende Kraft.„Normales“ Zyklotron: keine azimuthale Feldekomponente!

B

B B

F

FF


Teilchenbahn eines in azimuthaler Richtung variierenden Feldes eines Zyklotrons

Die radiale Komponente der Geschwindigkeit vrist an der Grenze zwischen Hills und Valleys dargestellt


Teilchen haben eine von null verschiedene radiale Komponente der Geschwindigkeit . Die Valleys und Hills haben eine von null verschiedene azimuthale MagnetfeldkomponenteBewirkt eine vertikale fokussierende Kraft für Teilchen außerhalb der mittleren Ebene.Bedingung für Synchronisation (Mittelung über einen Umlauf) lautet:

rv

θB

zF

( ) constmqB

γmBq

β1mBq

mBq

rvω

0

0

0

212

0

===−===

Zusammenfasssung Synchro-Zyklotron


Das Symbol bedeutet eine Mittelung über einen Umlauf und der Index beschreibt ein Teilchen bzw. ein Feld im Zentrum der Maschine. Mittlere Feld:

Es ist üblich den Feldindex in diesen Maschinen folgendermaßen zu definieren:

0

21

2

00 crω

1BγBB

−

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−==

rdBd

Br

k =


Mit

ergibt dies nach Differentiation und dem Einsetzen von: den Feldindex als Funktion der Teilchenenergie:

Für die Analyse von Betatron-Schwingungen in einem FFAG-Zyklotron (fixed-field alternating gradientcyclotron) werden vielfach Simulationsprogramme eingesetzt.

ωrv =

22

2

2 )(ββ1β

1rωc

1k γ=−

=

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

21

2

00 crω

1BγBB

−

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−==


Am PSI, in Hamburg, in Jülich und in Karlsruhe

Protonenenergie: 17 - 38 MeVProtonenstrom: 100 nA – 25 µA


Bonn http://www.zyklotron.iskp.uni-bonn.de/zyklo/ Comic


BSP: Bonner Isochron-Zyklotron

1968 bis 1970 durch die AEG-Beschleunigerbau, Grosswelzheim als dritte Maschine dieser Art nach Karlsruhe und Jülich gebaut.Um Kosten einzusparen, wurde das Magneteisen (ca250t) des seit Mitte der 50er Jahre betriebenen Synchro-Zyklotrons nach Bearbeitung weiterverwendetAm 20. 12. 1968 lieferte der Beschleuniger den ersten internen Deuteronen-Strahl Die wichtigsten Arbeiten am Strahlführungssystem waren Ende 1973 abgeschlossen


Physik / Technik

Magnet:Masse Magneteisen ca. 250 tPoldurchmesser 2000 mmAnzahl Bergsektoren 3Luftspalt (Bergsektor / Talsektor) 84 / 240 mmFreier Luftspalt 48 mmAnzahl Magnetspulen 2Magneterregung max. 430 A / max. 38 kWAnzahl Korrekturspulen 21 PaarKorrekturspulenerregung ±30 A / max. 6 kW


Beschleunigungskammer:Material V2A-Stahl / AluminiumÖldiffusionspumpe 12.000 l/sErreichbarer Kammerdruck 2 x 10-6 mbar

Ionenquellen:Electron-Cyclotron-Resonance (ECR) Protonen bis SauerstoffECR für polarisierte Ionen Protonen, DeuteronenEinschuss-Energie 0.004 - 0.008 MeVInjektions-Radius 37 mmEinfangrate 30 %


Hochfrequenzgenerator:Anzahl HF-Sektoren (Dees) 3Anzahl Beschleunigungsspalte 6Durchstimmbarer Frequenzbereich 20,0 - 29,8 MHzHF-Spannung max. 40 kVHF-Leistung max. 50 kW

Extraktion:Extraktions-Radius 900 mmElektrische Feldstärke im Deflektor (Septum) 80 - 100 kV/cm


Strahleigenschaften:Energiebereich 7 - 14 MeV pro NukleonStrahlintensität intern / extern max. 15 / 10 µAEnergiegewinn pro Umlauf (6 Beschleunigungsspalte) ca. 240 keVAnzahl der Umläufe ca. 120Bahnabstand (bei r = 900 mm) 3 mmZeitlicher Abstand der Teilchenpulks (Emin / Emax) 50 / 33,6 nsecZeitliche Breite des Teilchenpulks (Emin / Emax) 0,75-6 / 0,5-4 nsecGeschwindigkeit der Teilchenpulks ~50 000 km/sec (~17%c)Energieunschärfe des extrahierten Strahles (ΔE / E) 4 ‰Energieauflösung am Target nach zwei 90°-Magneten bis 1:10000


Beschleunigte Ionen am Bonner Isochron-Zyklotron

Ion Ion Ladung/Masse(e/m)

Energie[MeV]

Externer Strom [μA]

Besonderheiten

p 1H1+ 1 17-14 10 auch polarisiert

H2+ (1H2)1+ ½ 14-28 5

d2 H1+ ½ 14-28 5 auch polarisiert3Helium 3He2+ 2/3 21-42 3

α 4 He2+ ½ 28-56 3

Stickstoff 14N5+ 0.36 94-110 0.2

Kohlenstoff 12C4+ 1/3 81-84 0.2

0.38 107-140Sauerstoff 16O6+ 0.2


Erzeugte Aktivierungen am Hochstromplatz

Isotop Halbwertszeit Reaktion Zweck11C 20 m 14N(p,α )11C Medizin (PET)

74As 17.8 d 74Ge(p,n)74As Positronenquelle für Festkörperphysik

77Br 56 h 75As(α ,2n)77 Br Ionenimplantation in Halbleiter

111In 2.7 d 109Ag(α ,2n) 111In

103Pd 17 d 103Ru(p,n) 103Pd


Kernphysikalische Experimente am externen Strahl

Reaktion Zweck

2H(d,n)3He Neutronenstrahl für Nukleon-Nukleon-Wechselwirkung(unpolarisierte und polarisierte Deuteronen als einlaufende Teilchen)

(α ,xn)-(12C,xn)-(16O,xn)-Reaktionen

Kernspektroskopie, Lebensdauermessungen etc. an diversen stabilen und radioaktiven Kernen


TRIUMF – Weltgrößtes Zyklotron

protons to energies up to 520 MeVAt maximum energy the protons are travelling at 75% the speed of light, fast enough to take you from the earth to the moon in 2 s.


TRIUMF FACTSConstruction: 1968-1974Maximum beam energy: 520 MeVOn-site personnel: About 350 employees. Up to 200 visiting scientistsTotal magnet weight: 4000 tMagnet diameter: 18 m Magnetic field: up to 6 kilogaussCurrent required by magnet: about 18.500 AElectric field frequency: 23 MHzMaximum spiral turns by particles: 1500 (particles travel up to 45 km - duringacceleration)Time required for acceleration: 326 µs (i.e. 1/3000 sec)Number of particles accelerated: 6x1014/sBeam power 50 kW

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