Kapitel 3

B t B tBewegte Bezugssysteme

1

Gegeneinander bewegte Bezugssysteme

di i di i

z´Koordinatensystem K mit Ursprung O Koordinatensystem K´ mit Ursprung O´

Verbindung OO´:P betrachtet von K´ aus 21)( RtutatR

rrrr++=

z P

Verbindung OO :P betrachtet von K aus 02

)( RtutatR ++=

y´y

P

y

r(t) r´(t)y´yP

R(t)

y0

O´

y P

x´

x´

R(t)O

x P

xx0 xP

2

Bewegungen, beobachtet aus relativ zueinander bewegten Bezugssystemen :

Koordinatensystem ruhend Koordinatensystem bewegt, du/dt =0

z.b. waagerechter Wurf mit v0 = u

A f b di ( ) ( )hruv 00;00 rrAnfangsbedingungen : ( ) ( )hruv ,0,0;0,0, ==Kräfte sind identisch, aber : Form der Bahn ist unterschiedlich !

3

Galilei-Transformationdie beiden Koordinatensysteme seien nicht gegeneinander beschleunigt (bzw. y g g g (erfahren die gleiche Beschleunigung) : Galilei-Transformation

)(trr und : turtrrrr

−=)('

& &&

es sei :

aus : vtr rr =)( uvurvtrrrrrrr

−=−== ')('r&r )( r&r&rr&r ''aus : atv rr =)( auvav rrrrr =−== ''

keine Relativ-Beschleunigungkeine Relativ Beschleunigung zwischen den Systemen du/dt = 0

'FFrr

=aarr

='aus :

d.h. die in den beiden Systemen beobachteten Kräfte sind gleichAnmerkung : diese Aussage gilt nur für u

Beschleunigte Bezugssysteme : Scheinkräfte

Beispiel (1) : wir betrachten einen Passagier in einem startenden FlugzeugBeschleunigung des Flugzeugs durch Kraft F

yF

x

der Passagier habe keinerlei Verbindung zur Außenwelt (Fenster geschlossen, etc.);obwohl für den Passagier keine Kraft F erkennbar ist wird er in den Sitz gepresstobwohl für den Passagier keine Kraft F erkennbar ist, wird er in den Sitz gepresst

der Passagier registriert eine Scheinkraft

5

Beispiel (2) : wir betrachten Person beim freien Fall oder beim Fall mit einem Aufzug

'ar

K´

araar

K

(a) (b)

(a) Brad beobachtet seinen Fall im Bezugssystem K und schließt auf eine Beschleunigung; (b)B d b fi d t i h i b hl f ll d F h t hl d b b ht t i b hl i tBrad befindet sich im abgeschlossenen, fallenden Fahrstuhl und beobachtet im beschleunigtenBezugssystem K‘; relativ zum System K‘ bemerkt Brad keine Beschleunigung scheinbareSchwerelosigkeit Brad schließt auf eine Scheinkraft F, die die Gewichtskraft FG kompensiert 6

Gleichförmig gegeneinander beschleunigte Bezugssysteme► Beschleunigung des Bezugssystems führt zur Beobachtung

K´(t ) K´(t ) K´(t ) K´(t )

g g g y geiner (Schein-) Kraft beim mit-beschleunigten Beobachter

KK (t1) K (t2) K (t3) K (t4)

z´ z´

´( )

zz

x´(t1)

xK

O O´x x´

x´(t2) x´(t3) x´(t4)

1 200 2

1))('( tatuxtOx ++=

das Koord.sys. K‘ (blau) sei im Bezug auf das ursprüngliche Koord.sys. K (rot) in x-Richtung beschleunigt;betrachte ein ruhendes Objekt (rotes Rechteck) in den beiden Koordinatensystemen im roten System ruhtdas Objekt; im blauen Koord.sys. bewegt sich das Objekt beschleunigt mit a vom Ursprung O‘ weg 7

Scheinkräfte in einem rotierenden Bezugssystem

betrachte Scheinkräfte bei der Kreisbe eg ng :betrachte Scheinkräfte bei der Kreisbewegung :

)(tvr )(tarbeschleunigte Bewegung,

da v = const, aber : .)( consttv ≠r

(Richtungsänderung)

0)()( ≠= tvta &rr

)( tta Δ+r

Zentripetalbeschleunigung : ra rr 2ω)( ttv Δ+r

Zentripetalbeschleunigung : ra ω−=

Zentripetalkraft : rmamF rrr

2ω−==e pe : rmamF ω

8

betrachte rotierende Masse an einer festen Schnur :

FZP äußert sich als Spannkraft der Schnur

vom ruhenden Beobachter (von außen) betrachtet :

ωr

vom ruhenden Beobachter (von außen) betrachtet :Masse m bewegt sich auf Kreisbahn

beschleunigte Bewegung

r

g g g

vom mit-beschleunigten Beobachter

m

ZPF(sitzend auf Masse m) betrachtet :Masse m scheinbar in Ruhe

m0=∑

iiFr

i

0=+ FFrr

D b t B b ht di Z t if lk ft0=+ ZFZP FF Der bewegte Beobachter muss die Zentrifugalkraftals Scheinkraft einführen, weil er die Bewegungseines Bezugssystems nicht berücksichtigt

Zentrifugalkraftseines Bezugssystems nicht berücksichtigt.

9

Zentrifugalkraft & Zentripetalkraft

Masse m auf Kreisbahn wird mit zum Zentrum hin beschleunigtra rr 2ω−=Masse m auf Kreisbahn wird mit zum Zentrum hin beschleunigtMasse m muss Zentripetalkraft erfahren, um auf Kreisbahn zu bleiben

raZP ω=

2

rvmrmFZP

22 −=−= ω

ZentripetalkraftZentripetalkraft z.B. durch Federkraft

FZPFZF

ZP

r

10

wenn für eine tatsächlich an der Masse m wirkende Kraft (z.B. eineFederkraft) gilt : F < mv2/r dann wird die Masse m durch die Zentrifugalkraftnach außen beschleunigt (dr/dt > 0); wenn F < mv2/r , bewegt sich Masse mnach innen (dr/dt < 0)

der Radius r der Kreisbahn stellt sich dann so ein, dass gilt :

2

rvmrmFF ZFZP

22 === ω

erst dann ist dr/dt = 0

11

Effekt der Zentrifugalkraft bei Satellitenbahnen

physikalische Ursache der Zentripetalkraft m

R

physikalische Ursache der Zentripetalkraft(welche Kraft hält den Satelliten an der Erde ?)

vR

RE

Gravitation

Mmv2ME

rRMmGr

RvmF EZP ˆˆ 2−=−=

r

Zentrifugalkraft : rRvmFZF ˆ

2

=r

R

Bahnradius stellt sich (bei geg. Geschwindigkeit v) so ein, dass : ZPZF FF =( g g g ) , ZPZF

2

2 MmGvm E=2

MGR E=2RR 2vGR

d.h. R sinkt mit wachsendem v; je kleiner v, umso weiter ist die stabile Bahn des Satelliten vond E d tf t di i t kl d j kl i kl i i t di h ß t ib dder Erde entfernt; dies ist klar, denn : je kleiner v, umso kleiner ist die nach außen treibendeZentrifugalkraft – und umso kleiner die zur Kompensation benötigte Zentripetalkraft =Gravitationskraft; diese Kraft ist umso kleiner, je größer der Abstand zur Erde ist 12

Frage : Welche Geschwindigkeit ist in der Nähe der Erdoberfläche nötig für eine stabile Umlaufbahn ?

ZPZF FF = 22

E

E

E RMmG

Rvm =

EE

MmG Ein der Nähe der Erdoberfläche gilt : gmRMmG

E

E =2

gRv

E

=2

ERgv = erste kosmische Fl ht h i di k itE Fluchtgeschwindigkeit

d h fü 2 R ib bil S lli b hd.h. für v2 > gRE gibt es stabile Satellitenbahnen

13

Anmerkung : Schwerelosigkeit im Spacelab/Raumstationv spacelab

Beobachter von außen (z B auf dem Mond) sieht :

R

Beobachter von außen (z.B. auf dem Mond) sieht :Bewegung des Spacelab durch Gravitation verursacht

parallele Beschleunigung des Spacelab und der

REAstronauten darin durch Gravitation

mit-bewegter Beobachter im Spacelab sieht :MEkeinerlei Kräfte, die zur Beschleunigung relativ

zum Bezugssystem des Spacelab führen Schwerelosigkeit im SpacelabSchwerelosigkeit im Spacelab

Der deutsche Astronaut Hans Schlegel schwebtim Februar 2008 während seines Aufenthalts anim Februar 2008 während seines Aufenthalts anBord der Internationalen Raumstation ISSdurch das Weltraumlabor "Columbus".

14

vergleiche : Schwerelosigkeit auf Wurfparabel/Parabelflug

Beobachter von außen sieht :Beobachter von außen sieht :Bewegung des Flugzeugs auf Parabelflug wird durch Gravitation verursacht

parallele Beschleunigung des Flugzeugs und der Passagiere durch Gravitation

mit-bewegter Beobachter im Flugzeug sieht :keine Kräfte, die zur Beschleunigung relativ zum Bezugssystem des Flugzeugs führen

Schwerelosigkeit im Flugzeug beim Parabelflug

h l “„schwerelos“(0 g)

Anflugphase Rückkehrphasegp p

15

a (r ω) = 0

Zentrifugalkraft & Gravitation

r aZF(r, ω)gPol

aZF,Pol(r, ω) = 0

rg

aZF( , ω)

REgeffgÄq aZF Äq (r, ω)gÄq ZF,Äq.( , )

Konsequenzen der Zentrifugalkraft für die Gravitationsbeschleunigung g der Erde : Die Zentrifugal-beschleunigung aZF wirkt zusätzlich zur Gravitationsbeschleunigung g Änderung der effektivenG i i d h di Z if l B hl i d P l B d/ d Ri h FGravitation durch die Zentrifugal-Beschleunigung; an den Polen : Betrag und/oder Richtung von FGwerden nicht beeinflußt; am Äquator : FZF anti-parallel zu FG, Richtung wird nicht beeinflußt;dazwischen (z.B. in Darmstadt) : Richtung und Betrag von FG werden beeinflußt 16

Abschätzung des Effekts der Zentrifugalkraft auf Gravitationsbeschleunigung :22 ⎞⎛ π2 2 R

TRa EE

ÄquatorZF ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛==πω

26

2

034.0...1037.6606024

2smm

s==⋅⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

π606024 ss ⎟⎠⎜⎝ ⋅⋅

vgl. mit Gravitationsbeschleunigung g = 9.81 m/s2g g g g

der Effekt beträgt am Äquator lediglich ca. +0.3 %

in Darmstadt (geograph. Breite ca. 50°) ( ) 2025.050cos smaa ÄquatorZF

DAZF =°=

an den Polen 0=PolZFa

Ädie Gravitationsbeschleunigung am Äquator ist wg. der Zentrifugalbeschleunigung(und wg. der Erdabplattung an den Polen) etwas geringer als an den Polen; zusätzlicherEffekt : inhomogene Dichteverteilung des ErdinnerenEffekt : inhomogene Dichteverteilung des Erdinneren

17

Anwendung der Zentrifugalkraft : Massentrennung durch Zentrifugen► Zentrifugalkraft ist massenabhängig (dichtenabhängig)g g g ( g g)

räumliche Trennung von Materialien unterschiedlicher Dichten wird möglich

ωRmFZF2ω=

ρ1ρ2ρ3

RdVdFZF2ωρ=

Kraft auf Volumenelement dV :

RdVdFZF ωρ

für Massen verschiedener Dichten :

RdVdFZF2

1)1( ωρ=

RdVdFZF2

2)2( ωρ=

wenn ρ > ρ dann erfährt ρ größere Kraft und wird weiter nach außen gedrängtwenn ρ1 > ρ2 dann erfährt ρ1 größere Kraft und wird weiter nach außen gedrängtTrennung von unterschiedlichen Dichten in gemischten Materialien

18

Zentrifuge im medizinischen Labor, z.B. zur Trennung von Bestandteilen des Blutes (Blutplättchen, weißeBlutkörperchen, rote Blutkörperchen, Blutflüssigkeit (Plasma)); im Reagenzglas sind nach Behandlung mitder Zentrifuge die Blutbestandteile deutlich getrennt sichtbar 19

Gas-Zentrifugen zur Anreicherung von Uran-Isotopen(Nuklear-Material) durch Trennung von Gas aus 238UF6 und235UF d G i d d h di Z if235UF6; das Gas wird von unten durch die Zentrifugegeleitet; das schwerere Gas 238UF6 (dunkelblau im Schemarechts) wird stärker nach außen gedrängt und kann angeeigneter Stelle entnommen werdengeeigneter Stelle entnommen werden

20

Weitere Scheinkraft im rotierenden Bezugssystem : Coriolis-Kraftbetrachte eine gradlinig rollende Kugel auf drehender Scheibe :betrachte eine gradlinig rollende Kugel auf drehender Scheibe :

P1P2Kugel startet im Ursprung mit grader, unbeschleun-igter Bewegung; ohne die Drehung der Scheibe würde

ω

igter Bewegung; ohne die Drehung der Scheibe würdeder Beobachter in der Mitte nach Δt den AuftreffpunktP1 erwarten; wegen Drehung (auch der Blickrichtungdes Beobachters) scheint die Kugel bei P aufzutreffen

O

des Beobachters) scheint die Kugel bei P2 aufzutreffen

Beobachter auf Drehtisch sieht Differenz Δs = [P2;P1] und schließt auf Wirken einer Scheinkraft

es gilt (Drehung) : rtrs Δ=⋅Δ=Δ ωϕ

wir nennen r = Δr : rts ΔΔ=Δ ω

anderseits gilt (Ablenkung von der gradlinigen 1anderseits gilt (Ablenkung von der gradlinigen Bahn durch Beschleunigung mit Scheinkraft) : ( )

2

21 ts c Δ=Δ α

vtr

c ωωα 22 =ΔΔ

= dargestellt vcrrr

×−= ωα 2

Coriolis- Beschleunigungmit Richtungen : vmFc

rrr×−= ω2

21

Anmerkung : Richtungsbeziehungen bei der Coriolis-Kraft

offensichtlich wirkt die Coriolis Beschleunigungω

offensichtlich wirkt die Coriolis-Beschleunigungsenkrecht zur ursprünglichen Geschwindigkeit vund senkrecht zur Drehung/Drehachse mit ω

v

vo

g

vrrr×−= ωα 2

aC

v

vmF

v

c

crrr

×−= ω

ωα

2

2

C

ω

ω × vv

22

aC

Anmerkung : Richtungsbeziehungen bei der Zentrifugal-Kraft

offensichtlich wirkt die Zentrifugal Beschleunigungω

offensichtlich wirkt die Zentrifugal-Beschleunigungsenkrecht zur Drehung/Drehachse mit ω undparallel zum Ortsvektor r; ausserdem ist die Kraftpproportional zu ω2

aZFr ωωα

r

rrrr××= rZF

ωωrrrr

××= rmFZF

ω

aZF r

r × ω

23

r × ω

Ein Schlitten fährt geradlinig auf einer Schiene mit konstanter Geschwindigkeit v und markiert dabei miteinem Stift seine Bahn auf einer darunter rotierenden Scheibe. Die markierte Bahn erscheint gekrümmt,wobei die Kurvenform von der Geschwindigkeit v von der Winkelgeschwindigkeit ω der Scheibe und vomwobei die Kurvenform von der Geschwindigkeit v, von der Winkelgeschwindigkeit ω der Scheibe und vomAbstand r des Schlittens vom Zentrum M der Scheibe abhängt. Ein Beobachter auf dem Drehtisch erwartetzunächst eine gradlinige Bewegung des Schlittens (wie sie ein Beobachter außerhalb des Drehtisches auchsieht). Tatsächlich aber misst er in seinem System eine gekrümmte Bahn. Folglich wirkt eine Beschleunigungsieht). Tatsächlich aber misst er in seinem System eine gekrümmte Bahn. Folglich wirkt eine Beschleunigungauf den Schlitten. Der Beobachter muss Coriolis- und Zentrifugalbeschleunigungen einführen, um dieMessungen in seinem rotierenden System zu erklären.

24

(links) Eine mit Streusand gefüllte Kugel hängt an einem Faden mit festem Aufhängepunkt und schwingt ineiner raumfesten x-z-Ebene unter dem Einfluss der Schwerkraft. Unter diesem Pendel befindet sich einDrehtisch in der x-y-Ebene, der sich mit ω um die z-Achse dreht. Wenn man den Sand aus einer kleinenÖffnung der Hohlkugel austreten lässt, zeichnet er für ω = 0 eine gerade Linie auf den Drehtisch, für ω ≠ 0jedoch gekrümmte rosettenartige Bahnen, deren Krümmung vom Verhältnis Schwingungsdauer T1 zuUmdrehungszeit T2 abhängt . Ein Beobachter auf dem Drehtisch erwartet zunächst eine gradlinige Bahn (wie

25

sie ein Beobachter außerhalb des Drehtisches auch sieht), beobachtet aber eine Krümmung der Bahnkurve.Er kann sich dies nur durch Scheinkräfte erklären. (rechts) Auch ein Foucault‘sches Pendel beschreibt diediskutierte Bahn (siehe z.B. http://de.wikipedia.org/wiki/Foucaultsches_Pendel)

Foucault‘sches Pendeldie Erde stellt ein rotierendes System dar ein Pendel, das gradlinig schwingt,y , g g g ,scheint im rotierenden System der Erde eine gekrümmte Bahn zu verfolgen(siehe vorherige Folie) Beobachtung der scheinbaren Krümmung/Drehung derPendelebene lässt sich auf Erddrehung zurück schließen

Die Pendel-Ebene ändert sich nicht im Raum - aber derErdboden dreht sich darunter scheinbare Drehung der

26

gPendel-Ebene im rotierenden Bezugssystem Foucault‘sches Pendel an der

Univ. Köln (von oben gesehen)

27Foucault, Masse des Original-Pendels, Foucault‘s „Labor“ im Pariser Pantheon (1851)

ωDie Erde als rotierendes Bezugssystem

ω

ωSωω

ωt

ωt ωS

Betrachte Ebene parallel zur Oberfläche (z.B. Näherung für Hörsaal-Fläche); vektorielle Zerlegung derWinkelgeschwindigkeit liefert Komponenten senkrecht und tangential zur Ebene; ωS beschreibt die Drehungder Oberfläche um Achse vom Erdmittelpunkt zum Mittelpunkt der Ebene verantwortlich für Coriolis-Kraft; ωt beschreibt die Drehung der Oberfläche um die Achse senkrecht zu ω verantwortlich fürZentrifugal-Kraft; am Nordpol ist ωt =0 FZF = 0; am Äquator ist ωS =0 FC = 0 28

Beispiel : Luftströmungen in der Erd-Atmosphärein der Erdatmosphäre sollte die Luft gradlinig von einem Hochdruck zu einem Tiefdruckgebietin der Erdatmosphäre sollte die Luft gradlinig von einem Hochdruck zu einem Tiefdruckgebietströmen; da die Erde aber ein rotierendes Bezugssystem darstellt, wirkt die Coriolis-Kraft auf dieLuftströmung gekrümmte Bahnkurve, sichtbar durch Wolkenbildung um Tiefdruckgebiet

vr

Car

T

Ca

Anmerkung : Richtung der Coriolis-Beschleunigung (d h Drehrichtung der Wolken) ist auf Süd-

29

Anmerkung : Richtung der Coriolis Beschleunigung (d.h. Drehrichtung der Wolken) ist auf SüdHalbkugel umgekehrt zur Nord-Halbkugel

Abschätzung des Coriolis-Effekts :

Wind mit v = 20 km/h = 5 m/s

16102Nordpol −π 161086400

m

ss

Nordpol ≈=ω

2001.02 smvaC ≈= ω

wir beobachten Δt = 1 min lang:wir beobachten Δt = 1 min. lang:

mtvs 300... ==Δ=

Ablenkung :

1 ( ) mtas C 2...21 2 ≈=Δ=Δ

Wolkenbildung bei einem extremen Tiefdruckgebiet(Hurrikan) auf der Nord-Halbkugel

d.h. auf einer Strecke von 300 m wird dieLuft um 2 m zur Seite abgelenkt; beistarken Strömungen mit v > 100 km/h ist

30

( ) f g starken Strömungen mit v 100 km/h istder Effekt sehr deutlich

Mathematische Herleitung von Coriolis- und Zentrifugalkraft

betrachte Punkt A vom ruhenden und vom rotierenden Bezugssystem aus :

ruhendes System K :

( ) ( ) ( ) zyx etzetyetxtr ˆˆˆ)( ++=r

( ) ( ) ( ) ( )&( ) ( ) ( ) ( ) zyx etzetyetxtr ˆˆˆ &&&r

++=

Anmerkung : die Einheitsvektoren liegen fest in K und sind in K nicht zeitabhängig

rotierendes System K‘ : ( ) ( ) ( ) )('ˆ''ˆ''ˆ')(' tretzetyetxtr rr =++=rotierendes System K : ( ) ( ) ( ) )()( tretzetyetxtr zyx ++

( ) ( ) ( ) )('ˆ''ˆ''ˆ')(' tretzetyetxtr zyx &r

&&&&r

=++=

31

( ) ( ) ( ) )()( y zyxAnmerkung : die Einheitsvektoren liegen fest in K‘ und sind in K‘ nicht zeitabhängig

Geschwindigkeiten, gesehen vom ruhenden System K aus, aber ausgedrückt inden Koordinaten des Systems K‘ (z.B. Beobachter im Weltall (K) beobachtetLuftströmung auf der Erdoberfläche (K‘) und beschreibt die Bewegung relativ zumrotierenden Bezugssystem der Erdoberfläche) :

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )tetztetytetxzyxv zyx 'ˆ''ˆ''ˆ'',',' &&&r

++= 'vr

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )tetztetytetx zyx 'ˆ''ˆ''ˆ' &&& +++ ur

Anmerkungen : die Einheitsvektoren von K‘ sind im System K zeitabhängig (rotieren);u ist die beschleunigte Relativ-Geschwindigkeit von K und K‘

die Endpunkte der Vektoren ei machen eine Drehung um den Ursprung O = O‘mit der konstanten Winkelgeschwindigkeit ω; für die Geschwindigkeit dermit der konstanten Winkelgeschwindigkeit ω; für die Geschwindigkeit derDrehung gilt daher :

ii ee 'ˆ'ˆ ×=ωr&r

dtrdv r

rr

r×== ωmit : mit : i = x,y,z

32

dt

( ) ( ) ( )zyx ezeyexu 'ˆ''ˆ''ˆ' ×+×+×= ωωω rrrr

( )ezeyexu 'ˆ''ˆ''ˆ' ++×=ωvr ( )zyx ezeyexu ++×ω

rru rvrvr ×=×= ωω ' rru ×=×= ωω

damit folgt für die Geschwindigkeit : rvuvvrrrrrr

×+=+= ω''damit folgt für die Geschwindigkeit : rvuvv ×++ ω

( )d &&Beschleunigung : ( ) rvrvdtda &r

r&rrrrr ×+=×+= ωω ''

Anmerkung : ω = constAnmerkung : ω = const.

'ˆ''ˆ''ˆ''ˆ''ˆ''ˆ'' &&&&&&&rmit : zyxzyx ezeyexezeyexv 'ˆ''ˆ''ˆ''ˆ''ˆ''ˆ'' &&&&&&&&&r

+++++=

'ar 'vrr ×ω33

a v×ωAnmerkung : Herleitungen analog wie oben für v‘=dr‘/dt

Beschleunigung : vvarvarrrrr&rr&rr ×+×+=×+= ωωω '''

mit : rvvrrrr

×+= ω'

( )( )

rvvaa rrrrrrrr×+×+×+= ωωω '''

( )( )rva

rvvarrrrrr

rrrrrrrr

××+×+=××+×+×+=

ωωωωωωω

'2''''( )

f lö t h ‘ ( )rrrrrrr '2'aufgelöst nach a‘ : ( )rvaa ××−×−= ωωω '2'

drrrrrrr

+'2'oder : ωωω ××+×−= rvaa '2'

ZentrifugalCoriolis

34

Lorentz-Transformation & Spezielle Relativitätstheorievgl Galilei-Transformation in gegeneinander mit konstanter Geschwindigkeitvgl. Galilei-Transformation in gegeneinander mit konstanter Geschwindigkeit bewegten Bezugssystemen (Inertialsystemen) :

turtr rrr −=)('rrr

Anmerkung : neben Orts-Koordinaten wird auchdie Zeit-Koordinate betrachtet Zeit ist in beidenBezugssystemen gleich (und läuft damit auch

'FFrr

uvv rrr −='rr'

Bezugssystemen gleich (und läuft damit auchgleich schnell)

'FF =aa ='

tt ' tt ='

uvv rrr += 'd.h. wenn die Relativgeschwindigkeit der Bezugssysteme in derNähe der Lichtgeschwindigkeit c wäre, könnte die gemesseneRelativgeschwindigkeit v im Prinzip (v‘ + c) > c werdenRelativgeschwindigkeit v im Prinzip (v + c) > c werden

aber : experimentell zeigte sich (Michelson & Morley, 1881),

35

daß die Lichtgeschwindigkeit c in allen Inertialsystemen konstant ist!die Galilei-Transformation ist bei v → c nicht mehr korrekt

Relativ einfaches Experiment zur Messung der Konstanz der Lichtgeschwindigkeit : die Messungder Lichtgeschwindigkeit c für Licht eines Sternes, auf den die Erde sich auf ihrer Bahn um dieg g f S , f fSonne mit u = 30 km/s zubewegt, ergibt exakt denselben Wert wie ein halbes Jahr später, wenndie Erde sich von ihm mit u = 30 km/s wegbewegt. Nach diesen immer wieder bestätigtenexperimentellen Ergebnissen müssen wir schließen : Die Lichtgeschwindigkeit ist in allen

36

experimentellen Ergebnissen müssen wir schließen : Die Lichtgeschwindigkeit ist in allenInertialsystemen gleich, unabhängig von deren Relativgeschwindigkeit zur Lichtquelle.

Gleichzeitigkeit

Wir betrachten zwei Systeme S und S‘ in denen von den Punkten A und B, bzw. A und B Lichtblitze gefeuertwerden (a) Keine Relativbewegung S S‘ Die Beobachter O und O‘ messen die Ankunftszeit der Lichtblitzewerden. (a) Keine Relativbewegung S, S . Die Beobachter O und O messen die Ankunftszeit der Lichtblitzein O bzw. O und schließen daraus, ob die Ereignisse in A und B gleichzeitig stattfanden (dann kommen dieLichtblitze auch gleichzeitig in O bzw. O" an), oder ob die Lichtblitze zu verschiedenen Zeiten ausgesandtwurden Beide Beobachter kommen zu gleichen Ergebnissen (b) Relativbewegung S S‘ Wir nehmen an dasswurden. Beide Beobachter kommen zu gleichen Ergebnissen. (b) Relativbewegung S, S . Wir nehmen an, dasswieder, vom Standpunkt des Beobachters O aus gesehen, zur Zeit t = 0 gleichzeitig zwei Blitze von A und B,bzw. A und B ausgesandt werden. Der ruhende Beobachter misst dann die Signale von A und B bzw. A‘ und B‘in O. Während der Lichtlaufzeit Δt der Signale von A nach O, bzw, von B nach O hat sich aber O‘ um die

37

in O. Wäh end de ichtlauf eit t de Signale von nach O, b w, von nach O hat sich abe O um dieStrecke Δx = cΔt nach rechts bewegt. Die Signale von B bzw. B‘ kommen deshalb in O‘ früher an als die vonA bzw. A‘. Daraus schließt O‘, dass das Ereignis in B bzw. B‘ früher stattgefunden hat als in A, A‘.

betrachte Intertialsysteme S, S‘, die sich mit Relativgeschwindigkeit vx bewegen:

Ein kurzer Lichtblitz wird zur Zeit t = t‘ =0 von O = O‘ ausgesandt. Beobachter in O und O‘ messen die Zeiten t, t‘, bis das Licht den Raumpunkt A erreicht hat :

tcr = 22222 tczyx =++mit : c = c‘

38'' tcr = 22222 ''''' tczyx =++und :

mit : c c

das System S‘ (bzw. der Ursprung O‘) bewegt sich mit v

tvOx =)'( tvOx =)(alle Werte von x‘ sind auf O‘ bezogen Koordinate x‘ eines beliebigen Punktes imSystem S‘, ausgedrückt in Koordinaten des Systems S muss von (x −vt) abhängen.

Ansatz : ( )vtxkx −=' mit Konstante kAnsatz : ( )vtxkx = mit Konstante k

Obwohl die Uhren der beiden Beobachter zum selben Zeitpunkt gestartet wurdenObwohl die Uhren der beiden Beobachter zum selben Zeitpunkt gestartet wurden,können durch die Relativbewegung auch die gemessenen Zeiten variieren

( )b'Ansatz : ( )bxtat −=' mit Konstanten a,bAnmerkung : äquivalenter Ansatz wie für Ort xAnmerkung : äquivalenter Ansatz wie für Ort x

Einsetzen der Ausdrücke für x‘ und t‘ in die Gleichung für r‘ liefert :

( ) ( )2222222 bxtaczyvtxk −=++− mit : y = y‘ ; z = z‘39

( ) ( )

Umformung ergibt : ( ) ( ) 2222222222 2 zyxtcbavkxcabk ++−−−( ) ( )

222

222 tcvka ⎟⎟

⎞⎜⎜⎛

−= 2 tccka ⎟⎟

⎠⎜⎜⎝

der Ausdruck mit x,y,z, muss für alle Orte und Zeiten übereinstimmen mit :

22222 tczyx =++

( ) 1( )( ) 0

1222

2222 =−

bkcabk

2

1

1v

ka ==( ) 0

2

222

⎟⎞

⎜⎛

=−

v

cbavk 21 c−

1222 =⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

cvka

2cvb =

40

c

Einsetzen der ermittelten Konstanten a,b,k in die Ansätze für x‘und t‘ liefert :

v2

';'x

cvt

tvtxx−

=−

=

2

2

2

2

1;

1cv

t

cv

x−−

cc

1

oder mit :21

2

2

1−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

vγ 2 ⎟⎠

⎜⎝ c

γ

( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=−= xvttvtxx 2';' γγ ( ) ⎠⎝ c2

; γγ

41

Lorentz-Transformationen

für Relativ-Geschwindigkeiten v

Konsequenzen der konstanten Lichtgeschwindigkeit : Zeit-Dilatation

betrachte eine Licht-Uhr : Die Lichtuhr besteht aus zwei Spiegeln, derenAbstand je eine halbe Lichtsekunde entfernt ist. Ein Licht-Puls wird am unterenSpiegel losgeschickt. Wenn er wieder zurückkehrt ist eine Sekunde vergangendurch Zählen der Impulse bei der Rückkehr hat man eine Uhr gebaut.

Di Li ht h fäh t i i it d ß G h i di k it b t Z

hDie Lichtuhr fährt nun in einem mit der großen Geschwindigkeit v bewegten Zug.Sie wird einerseits beobachtet vom im Zug befindlichen bewegten Beobachter undandrerseits vom außerhalb des Zugs befindlichen ruhenden Beobachter. Für denBeobachter im Zug hat sich nichts geändert Für den Beobachter außerhalbBeobachter im Zug hat sich nichts geändert. Für den Beobachter außerhalbscheint sich der Weg, den das Licht zurücklegt, geändert zu haben (siehe unten).

t = 1

v

t = 1

Lichtweg für ruhenden Beobachter :Lichtweg für ruhenden Beobachter :222 shL Δ+=L h

Δs

43http://leifi.physik.uni-muenchen.de/web_ph12/grundwissen/07zeitdilatation/zeitdilatation.htm

vt = 0 t = 2 v

da die Lichtgeschwindigkeit in beiden Bezugssystemen gleich ist, muss gelten :

tvstcLtch =Δ== ;; RRB tvstcLtch =Δ== ;;mit den Zeiten tB, tR im ruhenden bzw. bewegten BezugssystemB R

Einsetzen in L2 = h2 + Δs2 liefert : 222222 RBR tvtctc += RBR

1tnach Umstellen folgt : γ==

2

1

1vt

t

B

RZeit-

Dilatation− 21 cDilatation

d.h. der bewegte Beobachter erfährt die Zeit um den Faktor γ modifiziert

für v

synchronisiert man zwei Atom-Uhren, nimmt dann eine der beiden Uhren in einem schnellen

Beispiel : (1) Hafele/Keating-Experiment (1971)synchronisiert man zwei Atom Uhren, nimmt dann eine der beiden Uhren in einem schnellenFlugzeug (Concorde) mit zu einer Erdumrundung, so stellt man fest, dass diese nachgeht um einekleine Zeitspanne; die bewegte Uhr geht langsamer (Zeit erscheint verkürzt)

gemessene Zeitdifferenz lag in der Größenordnung von einigen 10 ns = 10-8 sbei einer Gesamtflugdauer von einigen 10 Std. (pro Umrundung)h h M i k it it A flö Δt/t 10 13 öti !hohe Messgenauigkeit mit Auflösung von Δt/t = 10-13 nötig !

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Beispiel : (2) Zerfall von schnellen instabilen Elementarteilchen mit v → c

Konzept : instabile Elementarteilchen zerfallen innerhalb einer bekannten typischenKonzept : instabile Elementarteilchen zerfallen innerhalb einer bekannten typischenZerfallszeit (gemessen an ruhenden Teilchen); im Bezugssystem eines schnellen,instabilen Elementarteilchens (z.B. eines Myons) läuft die Zeit langsamer wenigerZerfallsprozesse die Lebensdauer des Teilchens scheint verlängert

Experiment : Durch die Höhenstrahlung (schnelle Protonen und Elektronen aus demWeltall) werden in der oberen Erdatmosphäre bei Stößen mit den Atomkernen derLuftmoleküle Myonen erzeugt, die fast Lichtgeschwindigkeit haben

ruhende Myonen (in Ruhe) zerfallen innerhalb einer Halbwertszeit von τ = 5 µs in ein Elektron und zwei Neutrinos :

µee ννμ ++→−−

im Experiment wird der Zerfall von schnellen Myonen aus Höhe in derErdatmosphäre beobachtet; man findet eine wesentlich höhere Lebensdauer vonErdatmosphäre beobachtet; man findet eine wesentlich höhere Lebensdauer vonca. τ ‘ = 45 µs aus γ = τ‘/τ = 9 folgt die Geschwindigkeit v = 0.994 c

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Beispiel : (3) Das Zwillings-Paradoxon

Zwilling 1 bleibt auf der Erde,Zwilling 2 fliegt mit v = 0,8 c nach Alpha Centauri (4 Lichtjahre) und zurück !Reisedauer von Zwilling 1 : 10 JahreReisedauer von Zwilling 2 : 6 Jahre

Zwilling 2 wäre jünger als Zwilling 1

b Si ht Z illi 2 b taber : aus Sicht von Zwilling 2 bewegt sich Zwilling 1 mit v = 0,8 c;

Z illi 1 ä jü l Z illi 2Zwilling 1 wäre jünger als Zwilling 2

ParadoxonParadoxon

Auflösung : Die Situation ist nicht symmetrisch (Beschleunigung bei

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f g y ( g gBewegungsumkehr bzw. Wechsel des Inertialsystems durch Zwilling 2) manmuss die Situation aus der Sicht von Zwillings (ruhend) betrachten

Längenkontraktion

LR

Bv

betrachte einen bewegten Beobachter, der an einer Strecke L vorbeifährt :(1) wie bereits diskutiert, erscheint die Zeit für den bewegten Beobachter umden Faktor γ verkürzt gegenüber der Zeit eines ruhenden Beobachters(2) jede Längenmessung kann zurückgeführt werden auf eine Zeitmessung

z.B. die Laufzeit t eines Lichtpulses über die Länge L(die Beobachter können z.B. messen, wie lange es dauert,bis ein Lichtpuls vom Anfang zum Endpunkt der Strecke L läuft)

tcL =bis ein Lichtpuls vom Anfang zum Endpunkt der Strecke L läuft)da die Zeit für den bewegten Beobachter um den Faktor γ verkürzt ist,erscheint auch die gemessene Länge um den Faktor γ verkürzt

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erscheint auch die gemessene Länge um den Faktor γ verkürzt