KAPITEL 4. GLEICHGEWICHT V - duepublico.uni-duisburg … · x [m] z 0 2 7,5 0 3 15 2 4 0 8 5 15 8 Abbildung 4.5: Rahmen in der Eb ene mit V erkn upfungstafel. 4.2. GLEICHGEWICHTSBEDINGUNGEN

Kapitel 4

Gleichgewicht von

Stabwerken

Durch die Festlegung auf die grundlegenden Elementtypen und die kno-tenzentrierten Koordinatensysteme ist der Weg zur Formulierung derGleichgewichtsbedingungen vorgezeichnet. Wir betrachten nur Stab-werke, die aus den in Kapitel 3 festgelegten Elementtypen aufgebautsind und nehmen an, da� die Elementsgleichgewichtsbedingungen

(ai)TF i = Si (4.1)

in den knotenzentrierten Koordinatensystemen des linken und rechtenKnotens (Element i) bekannt sind. Das Prinzip der Berechnung l�a�tsich damit einfach darstellen.

4.1 Grundlagen

Eine wesentliche Grundlage ist das Schnittprinzip: Wir denken uns dieeinzelnen Elemente des Stabwerks herausgeschnitten. F�ur die Wechsel-wirkung zwischen Element und Knoten gilt das Gegenwirkungsprinzip:

1

2 KAPITEL 4. GLEICHGEWICHT VON STABWERKEN

actio = reactio; die Stabendkr�afte in einem durch einen Schnitt freige-legten Stabende sind den auf den Knoten wirkenden Kr�aften entgegen-gerichtet und dem Betrage nach gleich gro� (Abbildung 4.1)

Abbildung 4.1: Erl�auterung zum Schnittprinzip

F�ur ein Tragwerk gelten zusammengefa�t folgende Gleichgewichtsaus-sagen:

Satz 4.1: ein Stabwerk ist nur dann im Gleichgewicht, wenn

� die Lasten mit den Lagerreaktion im Gleichgewicht sind,

� jedes Stabelement im Gleichgewicht ist,

� an allen Knoten, die man sich durch Knotenschnitte freigelegtdenkt, Gleichgewicht zwischen den Knotenlasten und den Kno-tenkr�aften herrscht.

Die Knotenkr�afte im Knoten i sind die Summe der Stabendkr�afte (re-actio) aller am Knoten i angeschlossenen Stabelemente.

4.2. GLEICHGEWICHTSBEDINGUNGEN 3

4.2 Gleichgewichtsbedingungen

Mit Bezug auf die Randbedingungen bezeichnen wir ein Stabwerk alsunverschieblich, wenn alle Starrk�orperverschiebungen verhindert sind:in einem ebenen Stabwerk gibt es drei unabh�angige Starrk�orperver-schiebungen, zwei Translationen in der Ebene und eine Rotation in derEbene; mindestens diese Starrk�orperverschiebungen m�ussen in einemunverschieblichen ebenen Stabwerk vorgegeben sein. In einem unver-schieblichen r�aumlichen Stabwerk m�ussen mindestens drei linear un-abh�angige Translationen und drei linear unabh�angige Rotationen vor-gegeben sein.F�ur die Formulierung der Gleichgewichtsbedingungen nehmen wir an,da� die vorgegebenen Verschiebungen bzw. Verdrehungen Null sind;vorgegebene Lagerverschiebungen ungleichNull werden an sp�aterer Stel-le ausf�uhrlich behandelt.

Die �Uberpr�ufung, ob durch die vorgegebenen Lagerungsbedingungentats�achlich alle Starrk�orperverschiebungen verhindert werden, ist imallgemeinen nur durch die �Uberpr�ufung der linearen Unabh�angigkeitder Gleichgewichtsbedingungen m�oglich; wir zeigen deshalb zun�achst,wie diese Gleichgewichtsbedingungen aufgestellt werden.

Die Gleichgewichtsbedingungen in den durch Knotenschnitte freigeleg-ten Knoten werden im globalen oder einem lokalen knotenbezogenenKoordinatensystem aufgestellt. Alle Knoten eines Stabwerkes k�onnendurch �au�ere Kr�afte beansprucht werden

� die inneren Knoten durch die Belastung,

� die Randknoten durch die Lagerreaktionen.

Lagerreaktionen werden also zu den �au�eren Kr�aften gez�ahlt (Abbil-dung 4.2).

De�nition 4.1: Lagerreaktionen im Knoten i sind positiv in Richtungder positiven Achsen des Koordinatensystems im Knoten i.


Abbildung 4.2: Positive Lagerreaktionen unverschieblicher Lager

Lagerreaktionen sind damit unbekannte �au�ere Kr�afte, die in den Kno-ten in Richtung der Verschiebungskomponenten auftreten, welche vor-gegeben sind.

In Richtung der freien Verschiebungskomponenten k�onnen Knotenla-sten vorgegeben werden.

Zur Aufstellung der Gleichgewichtsbedingungen numerieren wir alle inden Knoten angreifenden Kr�afte und Momente; der Kopfzeiger kenn-zeichnet die Knotenummer, der Fu�zeiger die Belastungskomponente,die Lasten werden mit R bezeichnet, die Lagerreaktion mit ~R. Die An-zahl der Belastungskomponenten im Knoten k sei dk. F�ur das Stabwerkk�onnen somit

n0 =pX

k=1

dk (4.2)


Gleichgewichtsbedingungen aufgestellt werden.

Abbildung 4.3: Gleichgewicht am Knoten

F�ur den Knoten k eines Rahmens (Abbildung 4.3) erh�alt man die fol-genden Gleichgewichtsbedingungen:

Gleichgewicht:

sh1 + si1 + sj1 = Rk1

sh2 + si2 + sj2 = Rk2

sh3 + si3 + 0 = Rk3

Der Knotennumerierung folgend werden alle Komponenten der Kno-tenlasten in einem Knotenlastenvektor R0 zusammengefa�t:

Der Elementnumerierung folgend werden alle Komponenten der Stab-endkr�afte in einem Stabendkraftvektor S zusammengefa�t; f�ur q Ele-

R0 =

266664R1

R2

...~Rn0

377775

�innere Knoten

�Lager

(4.3)


mente erh�alt man:

S =

266666664

S1

S2

S3

...Sm0

377777775�

266664S1

S2

...Sq

377775 (4.4)

mit m0 =qX

i=1

d0i: (4.5)

Die Gleichgewichtsbedingungen des Gesamtsystems ergeben sich damitzu

C0S = R0 (4.6)

mit C 0

n0�m0 .

Die Komponenten von C 0 erh�alt man zeilenweise wie folgt:

C 0

ij = 1, wenn Sj einen Beitrag zu dem Gleichgewicht inRichtung von R0

i leistetC 0

ij = 0, wenn Sj am Gleichgewicht in Richtung von R0

i

nicht beteiligt ist

C0 ist eine (0; 1)-Matrix; wir bezeichnen sie als Verkn�upfungs- oderInzidenzmatrix des Stabwerkes. Die systematische Besetzung von C0

erfolgt ausgehend von der Verkn�upfungstafel (Kapitel 2).

Gleichung (4.6) ist in Abbildung 4.4 symbolisch dargestellt.


(innere Knoten)

(Lager)

1...

1 . . .

n'

m'

S0m0�1

R0

n0�1

Knotenlasten

Lagerreaktionen

C 0

n0�m0

Abbildung 4.4: Vollst�andige Gleichgewichtsbedingungen

In Reihenfolge der Elementnumerierung wird der Vektor der linear un-abh�angigen Stabendkr�afte eingef�uhrt:

F =

266666664

F1

F2

F3

...Fm

377777775�

266664F 1

F 2

...F q

377775 (4.7)

Analog zu (3.14) gilt f�ur das Gesamttragwerk mit diagf(ai)Tg als Hy-perdiagonalmatrix (Anhang A1)

S = diagf(ai)TgF: (4.8)

Durch Einsetzen in (4.6) erh�alt man

C 0diagf(ai)TgF = R0: (4.9)

Zur Abk�urzung der Schreibweise setzen wir

(a0)T = C 0diagf(ai)Tg: (4.10)


und erhalten damit f�ur (4.6)

(a0)TF = R0: (4.11)

Es ist dies die vollst�andige Gleichgewichtsbedingung des Gesamttrag-werkes.

Zur n�aheren Erl�auterung wird dieses Gleichungssystem f�ur das in Ab-bildung 4.5 dargestellte Stabtragwerk aufgestellt.

Element Knotenl r

i1 1 4i2 1 2i3 2 3i4 1 3i5 3 5

Knoten Koordinatenx [m] z

1 0 22 7,5 03 15 24 0 85 15 8

Abbildung 4.5: Rahmen in der Ebene mit Verkn�upfungstafel


Beispiel 4.1:

Vollst�andige Gleichgewichtsbedingungen nach (4.4):

R0 = C 0 S

Die Elementgleichgewichtsmatrizen (ai)T werden dem Elementkatalog(Anhang A3) entnommen. Im Elementkatalog stehen zwei ebene Stab-elemente zur Auswahl. Wir w�ahlen das Stabelement Typ b und erhaltenmit

cos� = (xr � xl)=li und sin� = (zr � zl)=li


die folgenden Elementgleichgewichtsmatrizen

(ai)T =

2666666664

� cos� sin� 0� sin� � cos� 00 l �1cos� � sin� 0sin� cos� 00 0 1

3777777775

Element li [m] cos� sin�i1 6 0 1i2 7,76 0,966 -0,258i3 7,76 0,966 0,258i4 15 1 0i5 6 0 1

(a1)T = (a5)T =

2666666666664

0 1 0�1 0 00 6 �1: : : : : : : : : : : :0 �1 01 0 00 0 1

3777777777775

(a2)T =

2666666666664

�0; 966 �0; 258 00; 258 �0; 966 00 7; 76 �1

: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :0; 966 0; 258 0�0; 258 0; 966 0

0 0 1

3777777777775

(a3)T =

2666666666664

�0; 966 0; 258 0�0; 258 �0; 966 0

0 7; 76 �1: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :0; 966 �0; 258 00; 258 0; 966 00 0 1

3777777777775

(a4)T =

2666666666664

�1 0 00 �1 00 15 �1: : : : : : : : : : : :1 0 00 1 00 0 1

3777777777775


Damit ergibt sich als Gleichgewichtsbedingung f�ur das Gesamtsystem:

0

0

-1

h1 h2 h3 h4 h5

R1

1

R1

2

R1

3

R2

1

R2

2

R2

3

R3

1

R3

2

R3

3eR4

1eR4

2eR4

3eR5

1eR5

2eR5

3

1

2

3

4

5

1 0 -0,966 -0,258 0 -1 0 0

-1 0 0,258 -0,966 0

0 6 0 7,76 -1

0,966 0,258 0

-0,258 0,966 0

0 0 1

0,966

0,966

-0,258 0 1 0 0

0,258 0 0 1 0

0 0 1 0 0 1

0 1 0

-1 0 0

0 6 -1

0 -1 0

1 0 0

0 0 1

0 -1 0

1 0 0

0 0 1

F 1

1

F 1

2

F 1

3

F 2

1

F 2

2

F 2

3

F 3

1

F 3

2

F 3

3

F 4

1

F 4

2

F 4

3

F 5

1

F 5

2

F 5

3

0 0

0

-1

15 -1

-0,966 0,258 0

0-0,258 -0,966

0 7,76 -1

F�ur den Aufbau der Gleichgewichtsmatrix entsprechend (4.11) ist esnicht erforderlich, die Multiplikation (4.10) durchzuf�uhren. Auch (a0)T

kann wie C 0 direkt mit der Verkn�upfungstafel aufgebaut werden. EinElement in der i-ten Zeile und j-ten Spalte der Gleichgewichtsmatrix(a0)T ist nur dann verschieden von Null, wenn Fj einen Beitrag zumGleichgewicht in Richtung von R0

i leistet. In der Gleichgewichtsmatrixsteht der Beitrag als Element der betre�enden Gleichgewichtsmatrixdes Elementes. Bisher wurde der Ein u� der Lagerung auf das Gleich-

gewicht nicht ber�ucksichtigt. Zwischen den Lagerreaktionen ~Rkund den

Knotenlasten an inneren Knoten Rk besteht jedoch ein wesentlicher Un-terschied: Die Knotenlasten Rk sind bekannt, und die Lagerreaktionen~Rksind unbekannt. Das bedeutet, da� die Gleichungen mit den Lager-

reaktionen im Lastvektor R0 keine Bestimmungsgleichungen f�ur F sind.Die Anzahl der Lagerreaktionen wird mit nr bezeichnet.

Die letzten nr Zeilen von (a0)T , die das Gleichgewicht der Lagerpunk-te beschreiben, k�onnen nicht zur Bestimmung der linear unabh�angigenStabendkr�afte F verwendet werden, da die Lagerreaktionen unbekanntsind. Das Gleichgewicht des Gesamtsystems ist allein durch die Gleich-gewichtsbedingungen der inneren Knoten bestimmt.


Die Anzahl der Knotenlasten Rki wird mit n bezeichnet:

n = n0 � nr:

F�ur Tragwerke mit unverschieblichen Lagern ist die Matrix der erstenn Zeilen von (a0)T die Gleichgewichtsmatrix aT (Abbildung 4.6). DieGleichgewichtsbedingungen eines Tragwerkes lauten damit

aT F = R (4.12)

Eine andere M�oglichkeit zur Ber�ucksichtigung der Lagerreaktionen be-steht darin, da� man die unbekannten Stabendkr�afte F mit den unbe-kannten Lagerreaktionen in einem Vektor zusammenfa�t. Dieser Wegwird in der Literatur (/66/, /47/) verschiedentlich angegeben. Da er je-doch eine gr�o�ere Gleichgewichtsmatrix als der hier beschriebene Wegerfordert, wird er nicht weiter verfolgt.

Abbildung 4.6: Gleichgewichtsbedingungen des Tragwerkes

Dem Streichen von Gleichgewichtsbedingungen f�ur die unbekannten La-gerreaktionen entspricht eine Linksmultiplikation von (4.8) mit einerunvollst�andigen Einheitsmatrix I, man erh�alt

I(a0)TF = aTF

mit R = IR0 ; In�n0 ; n0 > n

und Iij = 0 f�ur alle i 6= j

= 1 f�ur alle i = j.


Die letzten n0 � n Spalten von I sind Null.

Bei beliebiger Numerierung der Gleichgewichtsgleichungen an Lager-punkten m�ussen Zwischenzeilen in (a0)T gestrichen werden; jede Zwi-schenspalte mit Nullwerten in einer unvollst�andigen Einheitsmatrix be-wirkt die Streichung der entsprechenden Zeilen vor (a0)T , z. B. werdendurch Linksmultiplikation einer allgemeinenMatrix (a0)Tq�m mit der Ma-trix

I6�9 =

2666666664

11 0

11 0

11 0

3777777775

1 2 3 4 5 6 7 8 9" " "

die Zeilen 3, 6 und 9 gestrichen und man erh�alt

I(a0)T = aT6�m

Wir zeigen dies f�ur den durch ein schiefes Gleitlager (Abbildung 4.7)modi�zierten Rahmen nach (Abbildung 4.5) :

Abbildung 4.7: Rahmen mit schiefem Gleitlager im Knoten 5


Beispiel 4.2: Schiefes Gleitlager

Zun�achst wird die Elementgleichgewichtsmatrix auf das knotenzentrier-te Koordinatensystem imKnoten 5 (Abbildung 4.7) transformiert; durch

LD(a5)T = (~a5)T

mit

LD =

2666666664

1 0 0 0 0 00 1 0 0 0 00 0 1 0 0 00 0 0 0; 7071 �0; 7071 00 0 0 0; 7071 0; 7071 00 0 0 0 0 1

3777777775

erh�alt man

(~a5)T =

2666666666664

0 1 0�1 0 00 6 �1

: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :�0; 7071 �0; 7071 00; 7071 �0; 7071 0

0 0 1

3777777777775

Da im Knoten 5 nur in ~z-Richtung eine Au agerreaktion m�oglich ist,ergibt sich der Vektor der �au�eren Kr�afte zu

(R)0T =hR1

1R12R

13; R2

1R22R

23; R3

1R32R

33; ~R4

1~R42~R43; R5

1~R52R

53

i

(a0)T und F bleiben unver�andert.

4.3. GELENKE UND GELENKKNOTEN 15

4.3 Gelenke und Gelenkknoten

Bisher wurde davon ausgegangen, da� die St�abe eines Stabtragwerkesimmer biegesteif miteinander verbunden sind. In Kapitel 2 wurden je-doch auch Stabtragwerke mit Gelenken eingef�uhrt.

Wir unterscheiden zwei Arten von Gelenken (vgl. Abbildung 4.8):

(a) Stabgelenke sind spezielle Stabelemente mit einer oder meh-reren zus�atzlichen Kr�aftebedingungen im Innern des Stabele-mentes, z. B. werden die Biegemomente, Querkr�afte oder Nor-malkr�afte zu Null vorgegeben (bei ne Komponenten von F i

k�onnen h�ochstens ne � 1 innere Kr�afte zu Null vorgegebenwerden),

(b) Knotengelenke sind durch zus�atzliche Kr�aftebedingungen beimehr als zwei St�aben in einem Knotenpunkt gekennzeichnet.

Abbildung 4.8: Ausf�uhrungsformen allgemeiner Gelenkknoten bei ebe-nen Stabtragwerken

Die Erfassung von Stabgelenken erfolgt durch spezielle Stabelementemit Gelenken im Innern. Die zus�atzlichen Kr�aftebedingungen werdenin den entsprechenden Elementmatrizen erfa�t. Dies wird am Beispieleines ebenen Stabelementes am nachfolgenden Beispiel gezeigt:

Beispiel 4.3: Ebenes Stabelement mit Querkraftgelenk

Ausgegangen wird von einem ebenen Stabelement mit einemQuerkraft-gelenk an beliebiger Position innerhalb des Elementes. Eine statisch be-stimmte Lagerung und die zugeh�origen linear unabh�angigen Stabend-kr�afte F i sind in Abbildung 4.9 dargestellt.


Abbildung 4.9: M�ogliche Lagerung und linear abh�angige Stabendkr�aftef�ur ein ebenes Stabelement mit Querkraftgelenk

Die Kr�aftetransformationsmatrix T i und die Gleichgewichtsmatrix (ai)T

ergeben sich somit zu:

T i =

2666666664

�1 00 00 �11 00 00 1

3777777775

(ai)T =

2666666664

c 00 00 �1�c 00 00 1

3777777775

(4.13)

mit

c = cos� = (xr � xl)=l: (4.14)

Durch jede Gelenkbedingung entf�allt genau eine linear unabh�angigeStabendkraft und die Anzahl der Spalten von (a0)T verringert sich umeins. Die Aufstellung der Gesamtgleichgewichtsbedingungen erfolgt inunver�anderter Form wie im Abschnitt 4.2 beschrieben.

Die Erfassung von Knotengelenken ist komplizierter und kann nur durchdie Einf�uhrung von mehreren Knoten am Gelenk mit Kopplung vonFreiheitsgraden erfolgen. F�ur das Knotengelenk nach Abbildung 4.10wurden z. B. zwei Knoten k und l mit einem knotenzentrierten Koor-dinatensystem eingef�uhrt.

In Richtung von ~x werden f�ur jeden der Knoten k und l gesonderteGleichgewichtsbedingungen aufgestellt, in ~z-Richtung und f�ur die Ro-tation der Zeichenebene wird jeweils nur eine Gleichgewichtsbedingung


Abbildung 4.10: Koordinatensystem zur Erfassung von Knotengelenken

formuliert; dies entspricht einer Kopplung der entsprechenden Freiheits-grade. Die Elemente 1 und 2 sind dadurch biegesteif in k angeschlossen,Element 3 ist mit einem Momentengelenk angeschlossen und die Ele-mente 4 und 5 sind biegesteif in l angeschlossen. Die Gleichgewichts-bedingungen in ~x-Richtung werden in Knoten k und l jeweils getrenntformuliert.

Beispiel 4.4: Knotengelenk

F�ur das in Abbildung 4.11 dargestellte System werden die Element-gleichgewichtsmatrizen (ai)T und die Gesamtgleichgewichtsmatrix (a0)T

aufgestellt.

Die Elemente i1, i2, i4 und i5 werden als ebene Stabelemente vomTyp a gew�ahlt. Das Momentengelenk in Knoten 3l wird dem Elementi3 zugeordnet.

F�ur das Element i3 wurde abweichend von Kapitel 2.2 der Knoten 6als linker Knoten gew�ahlt.

Die Elementgleichgewichtsmatrizen k�onnen dem Anhang A3 entnom-men werden. F�ur die Winkel der Koordinatentransformation ersetzt amKnoten 3 das Knotenkoordinatensystem (Abbildung 4.10) das globaleKoordinatensystem.


Abbildung 4.11: System mit Querkraftgelenk

Knoten Koordinaten

x z1 10 02 0 33 5 34 10 35 0 66 5 6

linker Knoten rechter Knoten

Element Knoten li [m] cos� sin� cos� sin�l r

i1 2 3 5 1 0 0,514 -0,857i2 3 5 5,831 0 1 -0,857 0,514i3 6 3 3 0 -1 -0,857 -0,514i4 3 4 5 0,514 -0,857 1 0i5 1 3 5,831 - 0,857 0,514 0 1

(a1)T

266666664

�1 0 00 �0; 2 �0; 20 1 0

0; 514 0; 171 0; 171�0; 857 0; 103 0; 103

0 0 1

377777775; (a2)T

266666664

0 0; 171 0; 171�1 0 00 1 0

�0; 857 �0; 088 �0; 0880; 514 �0; 147 �0; 1470 0 1

377777775


(a3)T =

266666664

0 �0; 3331 00 1

�0; 857 0; 171�0; 514 �0; 286

0 0

377777775; (a4)T =

266666664

�0; 514 �0; 171 �0; 1710; 857 �0; 103 �0; 1030 1 0

1 0 00 0; 2 0; 20 0 1

377777775

(a5)T =

266666664

0; 857 0; 088 0; 088�0; 514 0; 147 0; 147

0 1 0

0 �0; 171 �0; 1711 0 00 0 1

377777775

a0T=

2666666666666666666666664

0; 857 0; 088 0; 088

0 0 0 0 �0; 514 0; 147 0; 147

0 1 0

�1 0 0

0 �0; 2 �0; 2 0 0 0 0

0 1 0

0; 514 0; 171 0; 171 0 0; 171 0; 171 �0; 857 0; 171 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 �0; 514 �0; 171 �0; 171 0 �0; 171 �0; 171

�0; 857 0; 103 0; 103 �1 0 0 �0; 514 �0; 286 0; 857 �0; 103 �0; 103 1 0 0

0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1

1 0 0

0 0 0 0 0; 2 0; 2 0

0 0 1

0 �0; 857 �0; 088 �0; 088

0; 514 �0; 147 �0; 147 0 0 0

0 0 1

0 �0; 333

0 0 1 0 0 0

0 1

3777777777777777777777775

1

2

3

4

5

6

i1 i2 i3 i4 i5


Der zugeh�orige Vektor der �au�eren Kr�afte R0 lautet:

(R0)T =

�~R11~R12~R13

... ~R21~R22R

23

... R3l1 R

3r1 R3

2R33

... R41~R42R

43

... ~R51~R52~R53

... ~R61~R62~R63

�

4.4 Redundanz eines Stabwerkes

Aus der Mechanik /39/ sind der Begri� der Redundanz (statischenUnbestimmtheit) und Abz�ahlkriterien zur Feststellung der Redundanzbekannt. Die Redundanz eines Tragwerkes ergibt sich direkt aus derOrdnung n�m der Gleichgewichtsmatrix aT (Abbildung 4.6). Es gilt:

Satz 4.3: Ein Tragwerk ist statisch bestimmt, wenn n = m und aT nichtsingul�ar ist; ein Tragwerk ist statisch unbestimmt, wenn n < m ist; einTragwerk ist kinematisch verschieblich, wenn n > m ist.

F�ur n = m, d. h. wenn das Tragwerk statisch bestimmt ist, k�onnen wirdas Gleichungssystem aTF = R l�osen. Die Stabendkr�afte und damitdie Schnittgr�o�en k�onnen allein mit den Gleichgewichtsbedingungenberechnet werden.

In der Literatur �ndet man oft eine Unterscheidung in �au�erliche undinnerliche statische Bestimmtheit. Ein Tragwerk ist �au�erlich statischbestimmt, wenn die Lagerreaktionen alleine mit den 3 (6) Gleichge-wichtsbedingungen der Ebene (des Raumes) berechnet werden k�onnen.Der Begri� der inneren statischen Bestimmtheit eines statisch unbe-stimmtenTragwerkes sagt aus, da� eine statisch unbestimmte Lagerungvorliegt. Oft �ndet man auch den Begri� der Wertigkeit eines Lagers.Unter Wertigkeit eines Lagers versteht man die Anzahl der durch dasLager behinderten Verschiebungen.

4.5. SCHNITTGR �O�EN 21

4.5 Schnittgr�o�en statisch bestimmter Stab-

werke

Bei statisch bestimmten Stabwerken ist die GleichgewichtsmatrixaT quadratisch und nicht singul�ar, d. h. es existiert die Inverse (aT )�1.Die linear unabh�angigen Stabendkr�afte F k�onnen mit dem Gau�'schenAlgorithmus (siehe Anhang A 2.1) berechnet werden.

Sind die linear unabh�angigen Stabendkr�afte F aus der L�osung des linea-ren Gleichungssystems (Abbildung 4.6) bekannt, k�onnen die Vektoren

der Stabendkr�afte Siin lokalen Koordinaten elementweise mit (3.5) be-

rechnet werden. Die Schnittgr�o�en ergeben sich aus den Stabendkr�aftendurch :

Satz 4.2: Die Schnittgr�o�en am rechten Stabende (r) sind die Stab-endkr�afte am rechten Stabende; die Schnittgr�o�en am linken Stabende(l) sind die negativen Stabendkr�afte am linken Stabende (vgl. De�nition3.2).

Bei Fachwerken ist die Ermittlung der Schnittgr�o�en einfacher. Mit(3.2) ergibt sich, da� die Normalkraft N in jedem Stab mit der line-ar unabh�angigen Stabendkraft identisch ist. Die Transformation nach(3.3) ist somit �uber �ussig.

Bei ebenen Stabtragwerken stellt man die Schnittgr�o�en graphisch durchdie sogenannten Zustandslinien dar. Da wir vorl�au�g nur unbelasteteElemente betrachten, sind die NormalkraftN und die QuerkraftQ in je-dem Element konstant, und das BiegemomentM ist linear ver�anderlich.Einen �Uberblick �uber die erforderlichen Einzelschritte gibt die folgende


Zusammenfassung der Berechnung der Schnittgr�o�en statisch bestimm-ter Stabwerke

1. Numerierung der Knoten und Elemente;

2. Aufstellen der Koordinaten- und Verkn�upfungstafel;

3. Aufstellen der Elementtypen entsprechend Anhang A 3;

4. Zusammenstellung der Gleichgewichtsmatrizen (ai)T ;

5. Zusammenbau der Gleichgewichtsmatrizen der Elemente zur Gleichge-wichtsmatrix aT unter Ber�ucksichtigung der Randbedingun-

gen;

6. L�osung des Gleichungssystemes aTF = R;

7. Berechnung von Si= T iF i;

8. Umkehr der Vorzeichen am linken Stabende, bei ebenen Stabtrag-werken graphische Darstellung der Schnittgr�o�en.

An einem Beispiel soll nun die Ermittlung der Zustandslinien eineseinfachen Rahmens gezeigt werden.


Beispiel 4.5: Zustandslinien

Abbildung 4.12: Rahmen

KoordinatentafelKnoten x z

1 0 42 0 03 6 04 10 05 10 4

Verkn�upfungstafel

Element Knoten li[m] cos� sin�l z

i1 1 2 4 0 -1i2 2 3 6 1 0i3 3 4 4 1 0i4 4 5 4 0 1

mit cos� = (xr � xl)=lisin� = (zr � zl)=li


Elementgleichgewichtsmatrizen (f�ur die Elemente i1 , i3 und i4 wirdStabelement Typ-b gew�ahlt):

(a1)T =

2666666666664

0 �1 01 0 00 4 �1

: : : : : : : : : : : :0 1 0

�1 0 00 0 1

3777777777775

(a2)T =

2666666666664

�1 00 �0; 50 1: : : : : : : : :1 00 0; 50 2

3777777777775

(a3)T =

2666666666664

�1 0 00 �1 00 4 �1

: : : : : : : : : : : :1 0 00 1 00 0 1

3777777777775

(a4)T =

2666666666664

0 1 0�1 0 00 4 �1

: : : : : : : : : : : :0 �1 01 0 00 0 1

3777777777775

Gleichgewichtsbedingungen des gesamten Tragwerks

2

3

4

5

266666666666666666664

13�2

06; 50

032

00

377777777777777777775

=

266666666666666666664

0 1 0 �1 0�1 0 0 0 �0; 5 0 00 0 1 0 1

1 0 �1 0 00 0 0; 5 0 �1 0 0

0 2 0 4 �1

1 0 0 0 1 00 0 0 1 0 �1 0 0

0 0 1 0 4 �1

0 �1 00 0 0 0 0 1

377777777777777777775

266666666666666666664

F 11

F 12

F 13

F 21

F 22

F 31

F 32

F 33

F 41

F 42

F 43

377777777777777777775

Element:i1 i2 i3 i4


F�ur die L�osung des Gleichungssystems verwenden wir das Matrizenin-terpretationssystem SMIS /37/. Die Eingabe ist im folgenden zusam-mengestellt:

LOAD F1 = AT N1 = 11 N2 = 11...

Es folgen zeilenweise die Elemente der Matrix aT .

LOAD F1 = R N1 = 11 N2 = 1...

Es folgen die Elemente des Vektors R.

SOLVE F1 = AT F2 = RPRINT F1 = R

Es werden die linear unabh�angigen Stabendkr�afte ausgegeben:

FT = [�6; 5 1 � 9 j 0 7 j 0 � 3 2 j � 6 0 0]:

Kr�aftetransformationsmatrizen

T 1 =

2666666666664

�1 0 00 �1 00 4 �1

: : : : : : : : : : : :1 0 00 1 00 0 1

3777777777775

T 2 =

2666666666664

�1 00 �0; 50 1: : : : : : : : :1 00 0; 50 2

3777777777775

T 3 =

2666666666664

�1 0 00 �1 00 4 �1

: : : : : : : : : : : :1 0 00 1 00 0 1

3777777777775

T 4 =

2666666666664

�1 0 00 �1 00 4 �1

: : : : : : : : : : : :1 0 00 1 00 0 1

3777777777775


Stabendkr�afte

S1

=

26666664

6; 5

�1

13

�6; 5

1

�9

37777775=

2666666664

S1

1

S1

2

S1

3

S1

4

S1

5

S1

6

3777777775

S2

=

26666664

0

�3; 5

7

0

3; 5

14

37777775=

2666666664

S2

1

S2

2

S2

3

S2

4

S2

5

S2

6

3777777775

S3

=

26666664

0

3

14

0

�3

2

37777775=

2666666664

S3

1

S3

2

S3

3

S3

4

S3

5

S3

6

3777777775

S4

=

26666664

6

0

0

�6

0

0

37777775=

2666666664

S4

1

S4

2

S4

3

S4

4

S4

5

S4

6

3777777775

Schnittgr�o�en am linken und rechten Stabenende (Dimension [kN, kNm])

Elementi12

666666664

Nl

Ql

Ml

Nr

Qr

Mr

3777777775=

2666666664

�6; 51

�13�6; 51�9

3777777775

i22666666664

Nl

Ql

Ml

Nr

Qr

Mr

3777777775=

2666666664

03; 5�703; 514

3777777775

i32666666664

Nl

Ql

Ml

Nr

Qr

Mr

3777777775=

2666666664

0�3140�32

3777777775

i42666666664

Nl

Ql

Ml

Nr

Qr

Mr

3777777775=

2666666664

�600�600

3777777775

Die Zustandslinien sind in Abbildung 4.13 graphisch dargestellt.

Abbildung 4.13: Zustandslinien


Aufgaben

1. Stellen Sie f�ur die in Aufgabe 2.1 und 2.2 dargestellten Systemedie Gleichgewichtsmatrix aT auf. Der Grad der statischen Un-bestimmtheit ist jeweils anzugeben. F�ur die statisch bestimmtenSysteme sind die Schnittgr�o�en zu ermitteln.

2. Stellen Sie f�ur die abgebildeten Stabtragwerke die Gleichgewichts-matrix auf.

Verwenden Sie f�ur Aufgabe (a) einmal Stabelement Typ-a undeinmal Typ-b. Berechnen Sie f�ur das in Aufgabe (b) dargestellteStabwerk die Schnittgr�o�en.


3. Stellen Sie f�ur den abgebildeten Kragarm die Gleichgewichtsma-trix auf. Die Elemente sollen einmal Tr�agerrost- und einmal r�aum-liche Stabelemente sein. Wie darf der Kragarm belastet werden,damit er wie ein Tr�agerrost berechnet werden kann?

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KAPITEL 4. GLEICHGEWICHT V - duepublico.uni-duisburg … · x [m] z 0 2 7,5 0 3 15 2 4 0 8 5 15 8 Abbildung 4.5: Rahmen in der Eb ene mit V erkn upfungstafel. 4.2. GLEICHGEWICHTSBEDINGUNGEN