- 108 -
6 Integralverfahren 6.1 Umlaufintegralmethode Prinzipiell existieren 4 Typen von mathematischen Modellen für die Feldberechnung: 1. Aufstellung von pDGL´n + RB und/oder AB FDM
2. Minimierung der Feldenergie Variationsaufgabe FEM 3. Aufstellung von IGL´n für Feldquellen IGM Hier: 4. Ableitung von Beziehungen zwischen Integralen der Feldgrößen mittels
Integralsätzen + RB und/oder AB UIM (Gaußscher Satz bzw. Induktionsgesetz in Integralform)
Bezeichnungen: - Approximation der Feldgleichungen in Integralform - Methode nach REICHERT
- Umlaufintegralmethode (UIM) Klassifizierung der Methode: nach Lösungsansatz: Integralverfahren nach Art der Approximation: FDM FEM
Darstellung beider Varianten der näherungsweisen Lösung der Integralform der Feldgleichungen am Beispiel der Magnetfeldberechnung:
Quasistationäres Magnetfeld
rot H J
rot B H A
1
rot rot
A J E
rott
B
E
0rott
A
E t
A
E
1
w erot rott
AA J J
w t
A
J - Wirbelstromdichte
e J - Erregerstromdichte (eingeprägte Stromdichte)
- 109 -
Differentialgleichungssystem:
1
erot rott
AA J
Satz von Stokes
1
e
S
rott
A
Adl J dS
sinnvolle Vereinfachung: S = ebene Fläche = Randkurve von S
planparalleler Fall: ( , )J x y zJ e , J dS
( , )A x y zA e
A A
roty x
x yB A e e
1
S
A A AJ
y x t
x y z ze e dl e e dS
rotationssymmetrischer Fall: ( , )J r z αJ e ( , )A r z αA e
1 r AA
z r r
r zB e e
1 1
S
r AA AJ
z r r t
r z α αe e dl e e dS
Vorteil der Einführung des Vektorpotentials im 2D – Fall: Vektorpotential hat nur eine Komponente „skalares Potential“ verschiedene Möglichkeiten zur Berechnung der Integrale!
- 110 -
Rand- und Grenzbedingungen, Zeitabhängigkeit Erfassung von Grenzflächen FDM: Unterscheidung zwischen Punkten in homogenen Feldbereichen
und auf Grenzflächen nötig (wegen Taylorreihenentwicklung!) hier: - unproblematisch, da stets gleiche Approximation der Integrale
- gilt sowohl für Grenzflächen zwischen verschiedenen Materialien als auch für Grenze zwischen Leiter – Nichtleiter
Voraussetzung: Diskretisierung derart, dass Eigenschaften je Element konstant sind! Erfassung der Randbedingungen 1. Art: A = konst. bzw. allgemein 0rot dl B dl A (Rand = Feldlinie)
2. Art: 0n
A
Symmetriebedingung für A
0rot n B n A ( B auf Rand) Verfahrensweise wie bei FDM ! Behandlung der Zeitabhängigkeit Zeitableitung des Vektorpotentials wird durch die Potentialwerte zweier aufeinanderfolgender diskreter Zeitpunkte angenähert (Differenzenquotienten)
k,j,i1k,j,ik,j,i
AAt
1
t
A
Ansatzverfahren für unregelmäßige Gitternetze Ausgangspunkt: Integraldarstellung für quasistationäres Feld, Rotationssymmetrie
(Berücksichtigung bewegter Teile!) 1
( )S
rot rott
e
AA dl v A J dS
Rotationssymmetrie: ( , )J r z αJ e ( , )A r z αA e ( )v z zv e
1 1
S
r AA
z r r
r z W i ee e dl J J J dS
- 111 -
Räumliche Diskretisierung linearer Ansatz für A* = r A :
*
* *
1 ( )
1
1
A a br cz
A r Arot
z r r
A A
r z r
c br
r z
r z
r z
B A e e
B e e
B e e
Koeffizienten werden für jedes aus den Knotenpotentialen ermittelt analog zu FEM ! ( )J dS
3j j j
j jj j
c bJ
r r
r ze e dl
Summation über alle j Dreiecke, die am Knoten i anliegen! Zeitdiskretisierung
*alt
***
AAt
1
t
A
t
A
)0t(A
Wirbelstromterm:
altA A
dSt t
A
dS
*
alt
AdS A dS
t r
alt
a c zb dS A dS
t r r
- 112 -
Berücksichtigung der Randbedingungen: RB 1. Art: A = 0 bei allen abgeschlossenen Feldgebieten (Außenraum feldfrei) kein Beitrag zur rechten Seite der Integraldarstellung inhomomogen: A 0 bei nicht abgeschlossenen Feldgebieten
zusätzlicher Beitrag zum Umlaufintegral wird von der rechten Seite subtrahiert
RB 2. Art: Berücksichtigung von Symmetrien in Rotationssymmetrie möglich:
)z(f
0
r
A auf Fläche r = konst.
)r(f
0
z
A auf Fläche z = konst.
Beispiel: 0z
A
erfordert Berechnung eines speziellen Umlaufintegrals
1
8
1 1P
P
A AI
r z r r ze e dl dr rdl e
0drz
A
r
11I
analog für P7 P8
Rest wie oben !
inhom. RB: )r(fz
A
f(r) in Integral I einsetzen und zum Umlaufintegral
addieren! Gesamtgleichungssystem: - Ordnung = Zahl innerer Punkte + Randpunkte 2. Art
- Struktur des GS wie bei FDM oder FEM
- 113 -
6.2 Finite – Integrations – Technik (FIT) FDTD versus FIT FDTD = Finite Differenzen im Zeitbereich / Finite-Difference Time-Domain FIT = Finite Integrationstechnik / Finite Integration Technique
Diskrete Gittergleichungen in lokaler und globaler Matrixform
- 114 -
Dual-orthogonales Gittersystem im Raum
Definition der Materialzellen
Globale Gitternummerierung
- 115 -
Ableitung der diskreten Gittergleichungen ( 3D-FIT )
- 116 -
- 117 -
- 118 -
Zusammenfassung aller Integrationszellen:
- 119 -
3D-FIT-Algorithmus – Flussdiagramm für die Wirbelgleichungen
Maxwellsche Gleichungen in Integralform FIT - Maxwellsche Gittergleichungen
- 120 -
6.3 Ersatzladungsverfahren
Bezeichnungen: Charge Simulation Method (CSM) Surface Charge Simulation Method (SCSM) Equivalent Electrode Method (EEM) Point Matching Method
Kollokationsmethode
entwickelt von Steinbigler, TU München, 1969 Das Überlagerungsprinzip reale Elektrodenanordnung elektrisches Feld durch Oberflächenladungen auf den
Elektroden erzeugt ortsabhängige Ladungsdichte auf Elektrodenoberfläche Se
Potential im beliebigen Feldpunkt:
1 ( )́
( ) ´4
eS
rr dS
r r´
Genaue Ladungsverteilung i.a. unbekannt, Integration meist nur numerisch möglich, sehr aufwendig ( Momenten-Methode )
Näherungsmodell:
Oberflächenladungen werden durch eine endliche Zahl diskreter Ladungen im Inneren der Elektrode ersetzt!
Lage der Ladungen im Inneren im Prinzip frei wählbar
Ladungsbeträge werden mit Hilfe der RB ermittelt, die in diskreten Punkten (=Konturpunkte) auf der Elektrodenoberfläche erfüllt werden
Potential im Aufpunkt = der Potentiale der Ersatzladungen
1
( )N
i ii
r Q p
Terminologie der Behandlung von Mehrelektrodensystemen entlehnt Potentialkoeffizienten
analog für Feldstärke:
1
( )N
i ii
r Q f
E
Potential- und Feldstärkekoeffizienten sind nur vom Ladungstyp und der geometrischen Lage der Ladung (Abstand Quellpunkt – Aufpunkt) abhängig!
Symmetrieerfassung: Spiegelladungen
is0ii pkpp pi0, fi0 - Koeffizienten der Originalladung pis, fis - Koeffizienten der Spiegelladung
is0ii fkff k - Spiegelkonstante
- 121 -
-1 - Spiegelung an geerdeter Platte k = 0 - keine Spiegelung
+1 - vorzeichengleiche „Spiegelung“ an der Ebene (2 gleiche Elektroden auf gleichem Potential)
gute Nachbildung erfordert: - sinnvolle Ladungsanordnung - problemangepasste Ladungstypen Ladungstypen translatorische Anordnungen ( planparalleles Feld )
a) lange Linienladung
´( ) ln
2
Qr
r r´ , l
Q´Q
pi, fi - folgen aus Art der notwendigen Spiegelung
b) lange Flächenladung langer geladener Streifen mit konstanter Flächenladungsdichte
x
y´yarctanx2y´yxlny´y
4
1P 02
02
0
x
y´yarctanx2y´yxlny´y n2
n2
n
x
y´yarctanx2y´yxlnyy 02
02
0
x
y´yarctanx2y´yxlnyy n2
n2
n
- 122 -
x
y´yarctan
x
y´yarctan
x
y´yarctan
x
y´yarctan
4
2f n0n0
x
2
022
02
2n
22n
2
yy´yxy´yx
y´yxy´yxln
4
1f
rotationssymmetrische Anordnungen
a) Punktladung b) endlich lange Linienladung c) (einseitig) lange Linienladung d) Ringladung Spiegelung nur an r – Achse sinnvoll, d.h. Ladungen müssen auf der
Rotationsachse liegen!
Ladungsermittlung - Lage der Ersatzladungen wird vorgegeben
- Größenbestimmung durch Einsetzen der Konturpunkte kr
1
( ) ( )N
k k i ki
r U Q p r
, N,....,2,1k
lineares Gleichungssystem aufstellen Lösung: - in Konturpunkten exakt - zwischen Konturpunkten näherungsweise richtig (Stetigkeit des Potentials !) Behandlung freier Potentiale
Potentiale auf einer (oder mehreren) Elektroden eines Mehrelektrodensystems ist nicht bekannt!
„freies“ Potential als weitere Unbekannte in GS aufnehmen: zusätzliche Bestimmungsgleichung Ersatzladungen dieser Elektrode = 0 ( ungeladene Elektrode )
Ersatzladungen dieser Elektrode = Q0 weitere Feldberechnung nötig
- 123 -
Dielektrische Grenzschichten
entsprechen physikalisch betrachtet einer Flächenladung
Einführung bereichsweise gültiger Ladungen, d.h. Zuordnung eines Ladungspaares zu jedem Grenzschichtkonturpunkt
analog zur Spiegelung: QI gelte für Berechnung in Gebiet 2 und umgekehrt Kontrolle der numerischen Approximation a) an Elektroden
Bestimmung von: - Potential
- Tangentialfeldstärke (bzw. E - Winkel) - Elektrodenkrümmung Elektrodenkrümmung ist ein besonders empfindlicher Indikator!
H2n
E
E
1
H = Krümmung der Elektrode
E = Feldstärke
2H1H r
1
r
11H rH1, rH2 – Hauptkrümmungsradien der Elektroden
2 2
32
y yx xx x y y
E EE EE E E E
x x y yH
E
b) Dielektrische Grenzschichten
Kriterien: - Sprung der Normalfeldstärke - Stetigkeit von Potential und Tangentialfeldstärke Nur relative Aussagen zu den Werten in beiden Medien möglich!
c) Verbesserung der Nachbildungsgüte
- Einführung zusätzlicher Ladungssysteme zur Kompensation der Abweichungen
- numerische Optimierung der Ladungsorte und ~ beträge, ist zu aufwendig!
- 124 -
6.4 Mehrfach–MultiPol–Methode (MMP)
Weiterentwicklung und Verschmelzung von „Point – Matching“ – Technik und Ersatzladungsverfahren
Semi–analytisches Verfahren: Feldgleichungen werden gebietsweise analytisch durch Reihenentwicklung gelöst (sogenannte MMP–Ansätze)
numerisch wird nur auf Gebietsrändern gearbeitet stark verringerter Diskretisierungsaufwand relativ kleine, dichtbesetzte Matrizen
Basis: Linearität der Feldgleichungen, daher für nichtlineare Materialien nicht geeignet!
vielseitig einsetzbar für statische und dynamische Probleme; bisher angewendet auf 2D- und 3D-Probleme aus:
- Elektrostatik - Magnetostatik - Elektrodynamik (Mikrostreifenleiter, Hohlleiter, optische Fasern,
Nah- u. Fernfeldberechnung von Streukörpern, usw.)
entwickelt von Christian Hafner, ETH Zürich
Literatur: Chr. Hafner/L. Bomholt: The 3D Elektrodynamic Wave Simulator 3D MMP Software and Usere´s Guide. John Wiley & Sons, Chichester, 1993
Mathematisches Modell
in Physik und Elektrodynamik besonders häufig vorzufinden
Helmholtz- und Laplace – Gleichung, die folgen aus: - Separation der Zeitabhängigkeit aus der Wellengleichung, - Diffusionsgleichung, - Schwingungsgleichung, - Schrödinger–Gleichung
skalare, homogene Helmholtz – Gleichung 2 0k F in G (I)
Laplace – Gleichung als Spezialfall (k = 0) 0F in G (II) und ihre 2D – Formen 2 0T k F in G (III)
und 0FT in G (IV) Ziel der analytischen Lösung Suche nach einer vollständigen Orthogonalbasis, d.h. nach (meist abzählbar vielen) Lösungen Fk einer dieser Gleichungen, so dass jede Lösung F nach
kk1k
FAF
in G
entwickelt werden kann.
- 125 -
aber:
kF sind von Feldgleichungstyp und Form von G abhängig
d.h. Aufgabe muss für jedes Problem neu gelöst werden numerisch ineffizient!
Summation bis ist numerisch nicht ausführbar! Ausweg: Auswahl einer „Approximationsbasis“
kk
K
1k
0 FAFF
in G
Vorteil: - wesentlich einfacher - Angebot möglicher Basisfunktionen stark erweitert Anforderungen an kF :
kF sollen „billig“ zu berechnen sein
wenige kF sollen ausreichen, um die gesuchte (nicht jede!) Lösung genügend genau zu approximieren.
besonders interessant: Funktionen, die in einem Punkt des Raumes einen Pol aufweisen z.B. für (I):
nsincosPrkHr
1 nm
)1(
2
1m
,
ncoscosPrkHr
1 nm
)1(
2
1m
(V)
für (II): nsincosPr n
mm , ncoscosPr n
mm (VI)
für (III): nsinrkH )1(
n , ncosrkH )1(n (VII)
für (IV):
rln , nsinr n, ncosr n
(VIII)
außer ln r wirken alle Funktionen nur lokal, d.h. sie verschwinden für r vom Pol
sind Basis der MMP – Methode : „Multipole“ - wegen Pol bei r = 0; n = 0 „Monopol“
Ersatzladungsverfahren: Spezialfall der MMP für m = n = 0, verwendet nur Monopole (Punkt- / Linienladung)
MMP–Ansatz: Überlagerung mehrerer Multipole in einem Ansatz
Problem: - Wahl der Pole - Wahl der Ordnungen n und m
Vorteil der MMP–Ansätze: + erhöhte Flexibilität
- mehr Multipole als nötig ansetzen - Pole bestimmter Ordnungen können weggelassen werden + Approximation bestimmter Lösungen ist möglich
- 126 -
Auswahl der MMP–Ansätze Regeln: (analog zum Ersatzladungsverfahren) 1. Nahe beieinander liegende Multipole beschreiben „ähnliche“ Feldfunktionen und führen
damit zu numerischen Abhängigkeiten und schlecht-konditionierten Matrizen 2. Da Multipole lokal wirken, beeinflusst ein Multipol hauptsächlich den Teil der
Grenzfläche, der in seiner Nähe liegt. 3. Dicht an der Grenze lokalisierte Multipole führen zu starken Schwankungen der
Feldfunktion auf dem Rand, sehr weit entfernte Pole liefern nahezu konstante Feldfunktionen auf dem Rand.
Praktisch brauchbarer Ansatz: Zeichnen von Kreisen mit den Mittelpunkten Ol außerhalb des Lösungsgebietes G, die den Rand G stückweise approximieren und anordnen je eines Multipols in den Punkten Ol. Dabei muss jeder Punkt Ol außerhalb der übrigen Kreise liegen und die Ordnung n geeignet gewählt werden. Beispiel: Geometrische Konstruktion für ein ebenes Gebiet G
Mathematische Basis: Abtasttheorem: Zusammenhang zwischen Dichte der Abtastwerte und maximal
erfassbare Frequenz des Fourier-Spektrums kreisförmige Berandung G Zylinderfunktion = konst auf G, wenn O(r = 0) in
Kreismitte liegt (VII) sind Fourier-Reihen Daraus folgt der Zusammenhang der „Matching“ – Punktdichte (bzw. der Winkel de
zwischen benachbarten „Matching“ – Punkten Pl, Pl+1) und der maximalen Winkelfrequenz kmax der Funktion sin und cos und damit der maximal zulässigen Ordnung der Zylinderfunktion.
1k2
2dd
maxmaxe
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Übertragung auf beliebiges Feldgebiet mit beliebiger Punktverteilung auf G als Empfehlung: Sehwinkel de zwischen benachbarten Punkten Pl und Pl+1 , den der Beobachter von Ol aus sieht, sollte stets kleiner sein als
2/(2klmax +1), wenn klmax die höchste Ordnung des betreffenden Multipols ist.
Damit ist die höchste zulässige Ordnung eines Multipols festgelegt. Es muss gelten:
2
1
dk
maxlmaxl
Empirische Richtlinien:
1. Abstände ll G
llG
ll PQPO
2. l nicht zu klein wählen,
3l
nicht mehr alle (ganzzahligen) Ordnungen n in Ol ansetzen.
3. dlmax / dlmin darf nicht zu groß werden
obere Schranke: dlmax / dlmin = 2
2l
für gerades Stück G
4. Sehwinkelbedingung (siehe oben) legt maximale Multipolordnung fest 5. Abstand Dlmin > dlmax
- 128 -
Numerische Realisierung
Numerische Ausführung der MMP erfordert Überlegungen zur Fehlerminimierung: 1. Aufstellung überbestimmter Gleichungssysteme (mehr Matching – Punkte als nötig verwenden)
praktische Regel: 4...2MeUnbekanntAnzahl
Nn Gleichunge Anzahl
2. Minimierung des Fehlers im integralen Sinne über Gij durch Wichten der
einzelnen Gleichungen in den Pl. Gewichtet werden können:
a) alle Gleichungen in Pl mit ld bzw. lF (im 3D–Fall)
(dl = Mittelwert der Abstände zweier benachbarter Pl) (Fl = Mittelwert der Flächen)
b) alle Stetigkeitsbedingungen für , , ,E D H B
entweder mit: 41ij , 4
1
ij , 41ij , 4
1
ij
oder mit: 1, ij
1
, WjWi ZZ , ij
WjWi ZZ
c) jede Gleichung (nach Wunsch) separat mit einem Gewicht, das vom Anwender
angegeben werden kann.
Erweiterungsmöglichkeiten:
- Kopplung mit anderen Verfahren (z.B. mit Ersatzladungsverfahren, FEM, o.a. ) - Ziel ist die Vermeidung aufwendiger numerischer Integrationen, - Erfassung inhomogener Medien und komplizierter Geometrie
Vorteile:
- geringer Diskretisierungsaufwand - weniger Eingabedaten - einfache Kontrolle des Resultats möglich - Ausschnittsanalyse von Feldbildern ist einfach, keine Neuberechnungen - Parameteränderung nur lokal nötig, unproblematisch - Nahfeldberechnungen