Kapitel 7 Kosten...Prof. Martin Kocher Mikro 1-7 (SS 2009) 3 Betrachten wir den Fall einer Produktionsfunktion mit zwei Input-Gütern. Der Preis für Inputgut 1 sei w 1, der für Inputgut

Kapitel 7

Kosten

Vor- und Nachbereitung:● Varian, Chapters 20 und 21● Frank, Chapter 10 (mit Appendix)● Übungsblatt 8

© Klaus M. Schmidt, 2008

Prof. Martin Kocher Mikro 1-7 (SS 2009) 2

7.1 KostenminimierungBisher haben wir uns nur mit den Handlungsmöglichkeiten des Unternehmens beschäftigt, aber noch nichts über seine Ziele gesagt.

In einer kapitalistischen Gesellschaft verfolgen private Unternehmen normalerweise das Ziel der Gewinnmaximierung. Ein wichtiges Instrument zur Gewinnmaximierung ist die Wahl der optimalen Outputmenge. Diese hängt aber von der Marktform ab, in der das Unternehmen operiert (vollkommene Konkurrenz, Monopol, Oligopol). Darum werden wir uns mit der Gewinnmaximierung erst beschäftigen, wenn wir die verschiedenen Marktformen diskutieren.

Ein gewinnmaximierendes Unternehmen wird aber in jeder Marktform versuchen, seine Kosten zu minimieren, d.h., die gewünschte Outputmenge zu möglichst niedrigen Kosten zu produzieren. Kostenminimierung ist also eine notwendige Bedingung für Gewinnmaximierung.

(Aber keine hinreichende Bedingung. Warum nicht? )


Betrachten wir den Fall einer Produktionsfunktion mit zwei Input-Gütern. Der Preis für Inputgut 1 sei w1, der für Inputgut 2 sei w2. Angenommen, die vorgegebene Outputmenge y soll zu minimalen Kosten produziert werden. Das Kostenminierungsproblem lautet:

unter der Nebenbedingung:

Wenn wir eine konkrete Produktionsfunktion gegeben haben, können wir dieses Problem mit dem Lagrange-Ansatz oder durch das Substitutionsverfahren lösen.

Wir wollen das Problem jedoch zunächst graphisch betrachten. Dazu benötigen wir das Konzept der Isokostenkurve:

1 21 1 2 2,

minx x

w x w x+

1 2( , )f x x y=


Abb. 7.1: Kostenminimale Inputkombination

2x

1x*1x

*2x


Beachten Sie:

1. Das Kostenminimierungsproblem des Unternehmens hat eine gewisse Ähnlichkeit mit dem Nutzenmaximierungsproblem des Konsumenten. Bei der Konsumentenentscheidung ist die Budgetgerade gegeben und die höchste erreichbare Indifferenzkurve wird gesucht. Beim Kostenminimierungsproblem ist die Isoquante gegeben und die niedrigste erreichbare Isokostengerade wird gesucht.

2. Wenn die Steigung der Isokostengerade überall größer (oder kleiner) als die Steigung der Isoquante ist, kann es auch eine Randlösung geben.

3. Wenn beide Inputfaktoren verwendet werden (innere Lösung), dann muss die niedrigste erreichbare Isokostengerade die Isoquantegerade tangieren.


4. Also muss bei einer inneren Lösung gelten, dass

Das heißt: der Betrag der Grenzrate der technischen Substitution muss gleich dem Faktorpreisverhältnis sein.

Angenommen w1/w2=2 und |GRTS|=1. – Wenn das Unternehmen eine Einheit weniger von Input 1

verwendet, kann es bei gleichen Kosten 2 zusätzliche Einheiten von Input 2 kaufen.

– Da der Betrag der GRTS aber gleich 1 ist, benötigt sie nur eine Einheit von Input 2 um die ausgefallene Einheit von Input 1 zu ersetzen. Die zweite Einheit kann sie sparen.

– Also hatte das Unternehmen an diesem Punkt die Kosten nicht minimiert.

* *1 1 1 2

* *2 2 1 2

( , )( , )

w GP x xGRTSw GP x x

− = = −


7.2 Anwendungsbeispiel: MindestlöhneIn Frankreich hat die Regierung 1997 auf Druck der Gewerkschaften den gesetzlichen Mindestlohn deutlich erhöht. Die Gewerkschafts-mitglieder sind typischerweise qualifizierte (und ältere) Arbeitnehmer, die weit mehr als den Mindestlohn verdienen. Der Mindestlohn betrifft vor allem die ungelernten (und jungen) Arbeiter, die überwiegend nicht gewerkschaftlich organisiert sind.

Welche Auswirkung hat die Erhöhung des Mindestlohns auf die ungelernten und auf die qualifizierten Arbeitnehmer?

Einfaches Modell: Stellen wir uns vor, es gibt nur zwei Arten von Arbeit, ungelernte und qualifizierte. In der Ausgangssituation sei der Preis für eine Stunde ungelernte Arbeit w1, der für gelernte w2. Jedes Unternehmen wird in Abhängigkeit von diesen Preisen und vom zu produzierenden Output y entscheiden, wie viel ungelernte und wie viel qualifizierte Arbeit es als Inputs einsetzen will.


Abb. 7.2: Auswirkung einer Erhöhung des Mindestlohns

2x

1x

Nehmen wir jetzt an, dass der Lohn für ungelernte Arbeit wegen der Erhöhung des Mindestlohnes auf w1‘>w1 steigt, während w2 zunächst unverändert bleibt. Die graphische Analyse zeigt, dass die Unternehmendaraufhin die relativ teurer gewordene ungelernte Arbeit durch die relativ billiger gewordene qualifizierte Arbeit substituieren werden.


Fazit:● Die Nachfrage nach ungelernter Arbeit fällt. ● Die Nachfrage nach qualifizierter Arbeit steigt. ● (Tendenziell wird auch der Preis für qualifizierte Arbeit ansteigen.)

Welche Wohlfahrtseffekte hat die Erhöhung des Mindestlohnes? ● Den ungelernten Arbeitern, die einen Arbeitsplatz haben und

behalten, geht es besser. ● Den ungelernten Arbeitern, die keinen Arbeitsplatz haben oder

ihren Arbeitsplatz verlieren, geht es schlechter. (Die Jugendarbeitslosigkeit in Frankreich liegt bei über 25%.)

● Den qualifizierten Arbeitern geht es eindeutig besser: ihre Arbeitslosenquote sinkt und ihr Lohn steigt.


Lohnuntergrenzen in Deutschland

In Deutschland gibt es in einigen, aber nicht in allen Branchen gesetzlichen Mindestlöhne (wie funktioniert das? ). In der Praxis wirkt jedoch auch die Sozialhilfe (Hartz IV) wie eine faktische Lohnuntergrenze: ● Sozialhilfe wird nur unter der Bedingung gezahlt, dass der

Sozialhilfeempfänger nicht arbeitet.● Wenn der Sozialhilfeempfänger eigenes Einkommen bezieht, wird

ihm das (fast) vollständig von der Sozialhilfe abgezogen. Die “Transferentzugsrate” ist (fast) 100%.

● Darum muss ein Arbeitgeber einen Lohn zahlen, der mindestens so hoch ist wie die Sozialhilfe.

● Außerdem muss er den Arbeitnehmer für sein “Arbeitsleid” und die entgangene Freizeit (Schwarzarbeit? ) entschädigen.

● Das schafft eine faktische Lohnuntergrenze für die unterste Lohngruppe und führt zu einer sehr hohen Arbeitslosigkeit bei den gering qualifizierten Arbeitnehmern.




7.3 Analytische Lösung des Kostenminimierungsproblems

Wir betrachten erneut das Kostenminimierungsproblem des Unternehmens:


Dieses Minimierungsproblem ist äquivalent zu dem folgenden Maximierungsproblem:


Dieses Problem können wir ganz analog zum Nutzenmaximierungs-problem des Konsumenten mit Hilfe des Lagrange-Verfahrens oder des Substitutionsverfahrens lösen.

1 21 1 2 2,

minx x

w x w x+

1( , )f x x y=1 2

1 1 2 2,max ( )x x

w x w x− +

1( , )f x x y=


Beispiel: Cobb-Douglas-Produktionsfunktion


Die Lagrangefunktion lautet:

Bedingungen erster Ordnung:

1 21 1 2 2,

max ( )x x

w x w x− +1

1 2a aAx x y− =

( )11 1 2 2 1 2

a aL w x w x y Ax xλ −= − − − −

1 11 1 2

1

0a aL w aAx xx

λ − −∂= − + =

∂

2 1 22

(1 ) 0a aL w a Ax xx

λ −∂= − + − =

∂

11 2 0a aL y Ax x

λ−∂

= − + =∂


Aus den ersten beiden Gleichungen folgt:

Aus der dritten Gleichung folgt:

Durch Einsetzen und nach einigen Umformungen ergibt sich:

Jeder sollte das selbst ausrechnen können!

Machen Sie die Probe und zeigen Sie, dass erfüllt ist.

Lösen Sie schließlich nach λ auf und zeigen Sie:

Was ist die Interpretation des Lagrange-Parameters?

21 2

11wax x

a w=

−

111 112 1

aa aax y A x

− −− −−=

1

2 21 2

1 1

und 1 1

a ay yw wa ax xA a w A a w

− −⎛ ⎞ ⎛ ⎞

= =⎜ ⎟ ⎜ ⎟− −⎝ ⎠ ⎝ ⎠

11 2a aAx x y− =

1 1 11 2 (1 )a a a aA w w a aλ − − − −= −


7.3 Die KostenfunktionFür gegebenes y und gegebene Faktorpreise w1 und w2 ergeben sich aus der Lösung des Kostenminimierungsproblems die optimalen Inputmengen

Diese Funktionen werden auch bedingte Faktornachfragefunktionengenannt: Sie geben an, wie viel das Unternehmen in Abhängigkeit von den Faktorpreisen von den Inputfaktoren 1 und 2 nachfragt unter der Bedingung, dass es genau y Einheiten des Outputgutes produzierenwill.

Die Kosten sind einfach K= w1 x1 +w2 x2. Wenn wir für x1 und x2 die kostenminimale Inputkombination, d.h., die bedingten Faktor-nachfragefunktionen, einsetzen, erhalten wir die Kostenfunktion:

* *1 1 1 2

* *2 2 1 2

( , , )

( , , )

x x w w y

x x w w y

=

=

* *1 2 1 1 1 2 2 2 1 2( , , ) ( , , ) ( , , )K w w y w x w w y w x w w y= +


Beachten Sie: In manchen Fällen ist es unmöglich oder zumindest sehr umständlich, das Kostenminimierungsproblem mit Hilfe des Lagrange- oder Substitutionsverfahrens zu lösen. In diesen Fällen findet man die Lösung aber oft sehr schnell mit etwas Nachdenken.

Beispiele:

1. Limitationale Produktionsfunktion:

Um y Einheiten des Outputgutes zu produzieren müssen immer (d.h. unabhängig von den Inputpreisen) y Einheiten von Input 1 und yEinheiten von Input 2 eingesetzt werden. Also ist die Kostenfunktion

2. Perfekte Substitute:

Hier wird nur derjenige Inputfaktor verwendet, der billiger ist. Also ist die Kostenfunktion

1 2 1 2 1 2( , , ) ( )K w w y w y w y y w w= + = +

{ }1 2 1 2( , ) min ,f x x x x=

1 2 1 2( , )f x x x x= +

{ }1 2 1 2( , , ) min ,K w w y w w y=


3. Multiplikative Produktionsfunktion:

Zeigen Sie: Die Kostenfunktion ist

1 1 2( , )f x x x x= ⋅

0,5 0,5 0,51 2 1 2( , , ) 2K w w y w w y=


7.4 Langfristige und kurzfristige Kostenminimierung

Bisher hatten wir angenommen, dass das Unternehmen alle Inputfaktoren beliebig variieren kann, um ein Kostenminimum zu erreichen. Langfristig ist das möglich. Kurzfristig sind jedoch einige Inputfaktoren fixiert und lassen sich nicht verändern.

Angenommen die Menge des Inputfaktors 2 ist auf x2 fixiert. Dann lautet das kurzfristige Kostenminimierungsproblem:

unter den Nebenbedingungen:

Die Lösung dieses Problems ist die kurzfristige bedingte Faktornachfragefunktion

1 21 1 2 2,

minx x

w x w x+

21 2 2( , ) und xf x x y x= =

* *21 1 1 2( , , , )x x w w x y=


Daraus ergibt sich für die kurzfristige Kostenfunktion:

Beachten Sie, dass die kurzfristige Kostenfunktion auch von x2 , der Menge des fixierten Faktors, abhängt.

*2 2 21 2 1 1 1 2 2( , , , ) ( , , , )K w w x y w x w w x y w x= +


7.5 Kurzfristige Kostenkurven

In den nächsten Kapiteln interessieren wir uns für die Veränderung der Kosten, wenn sich die zu produzierende Outputmenge y verändert. Wir nehmen an, dass die Faktorpreise konstant sind. Darum können wir die Kostenfunktion vereinfachend schreiben als K(y), wobei der Bezug zu w1, w2 und x2 weggelassen wird.

Kurzfristig sind die Einsatzmengen bestimmter Produktionsfaktoren fix. Deren Kosten sind deshalb unabhängig von der Produktionsmenge und fallen selbst dann an, wenn y=0 produziert wird. Diese Kosten werden als Fixkosten bezeichnet und sind definiert durch

FK = K(0)

Alle anderen Kosten variieren mit der Outputmenge und werden deshalb variable Kosten, VK(y), genannt. Es gilt:

K(y) = FK+VK(y)


Die Durchschnittskosten sind die Kosten pro Produktionseinheit (Stückkosten), die wir wie folgt zerlegen können:

Beachten Sie, dass die durchschnittlichen Fixkosten (DFK) von y abhängen und mit der Produktionsmenge fallen.

Da einige Produktionsfaktoren fix sind, werden die durchschnittlichen variablen Kosten (DVK) typischerweise ab einem bestimmten Punkt mit y ansteigen. Das folgt aus dem Gesetz vom abnehmenden Grenzprodukt. (Warum? )

Für geringe Produktionsmengen können die DVK mit y fallen (müssen aber nicht). Daraus ergibt sich der typische U-förmige Verlauf der (gesamten) Durchschnittskosten:

( )( ) ( ) ( ) FK VK yDK y DFK y DVK yy y

= + = +


Abb. 7.3: Kurzfristige Durchschnittskostenverläufe

DKDFKDVK

y


Die Grenzkosten GK(y) geben die Kosten einer zusätzlichen Outputeinheit an. Wenn die Stückzahlen nur diskret verändert werden können, gilt:

GK(y) = K(y)-K(y-1) .

Wenn der Output kontinuierlich verändert werden kann, misst man die Grenzkosten durch die Ableitung der Kostenfunktion nach y:

Beachten Sie: Die variablen Kosten sind gleich der Fläche unter der Grenzkostenkurve:

Übung: Berechnen Sie DK, GK, VK, FK, DVK und DFK für die Kostenfunktion K(y)=3y2+y+5. Zeigen Sie, dass die VK gleich der Fläche unter den GK sind.

( )( ) '( ) dK yGK y K Ydy

= =

0

( ) ( ) ( ) (0) '( )y

VK y K y FK K y K K y dy= − = − = ∫

Prof. Martin Kocher Mikro 1-7 (SS 2009) 25Abb. 7.4: GK-, DK-, und DVK-Kurven

GKDKDVK

y

Satz: Wenn die Grenzkostenkurve die Durchschnittskostenkurve schneidet, dann geschieht das im Minimum der Durchschnitts-kostenkurve. Dasselbe gilt für die Kurve der durchschnittlichen variablen Kosten.


Beachten Sie:● Wenn die GK einer zusätzlichen Einheit niedriger sind als die DK

(DVK) der bisherigen Einheiten, dann werden die DK (DVK) gesenkt, die DK-Kurve (DVK-Kurve) fällt also.

● Wenn die GK einer zusätzlichen Einheit höher sind als die DK (DVK) der bisherigen Einheiten, dann werden die DK (DVK) erhöht, die DK-Kurve (DVK-Kurve) steigt also.

● Also muss die DK-Kurve (DVK-Kurve) ein Minimum annehmen, wenn die GK genau gleich den DK (DVK) sind.

● Wenn die Grenzkosten konstant sind oder sogar fallen, gibt es keinen Schnittpunkt zwischen der GK und der DK-Kurve.


7.6 Der Zusammenhang von kurz- und langfristigen Durchschnittskostenkurven

Kurzfristig ist wenigstens ein Produktionsfaktor fix. Wie lange die “kurze Frist” währt, hängt davon ab, wie lange es dauert, diesen Faktor zu verändern: ● Wenn der fixe Faktor die Anzahl der Produktionsstätten ist und

wenn es zwei Jahre dauert, eine neue Produktionsstätte zu errichten, dann dauert die kurze Frist zwei Jahre.

● Wenn der fixe Faktor die Angestellten sind und wenn es drei Monate dauert, einen Angestellten zu entlassen oder neu einzustellen, dann ist die kurze Frist drei Monate.

Die Menge des fixen Faktors sei x2. Die kurzfristigen Durchschnittskosten hängen implizit von x2 ab:

2( , )k kDK DK y x=


Langfristig kann x2 optimal an die gewünschte Outputmenge angepasst werden. Der kostenminimale Einsatz von Inputgut 2 sei x2*(y). Also gilt langfristig:

Beachten Sie:

1. Die kurzfristigen Durchschnittskosten müssen immer wenigstens so hoch sein wie die langfristigen Durchschnittskosten, denn

2. Die kurzfristige und die langfristige Durchschnittskostenkurve haben genau einen Punkt gemeinsam: Sei y(x2) diejenige Outputmenge, bei der der Faktoreinsatz gerade optimal ist, d.h., x2=x2*(y(x2)). Also gilt:

*2( ) ( , ( ))l kDK y DK y x y=

*2 2( , ) ( , ( )) ( )k k lDK y x DK y x y DK y≥ =

*2 2 22( ( )) ( , ( ( )) ( , )l k kDK y x DK y x y x DK y x= =


Abb. 7.5: Kurz- und langfristige DK-Kurven

k

l

DKDK

y

3. Betrachten Sie verschiedene kurzfristige DK-Kurven für unterschiedliche Werte von x2. Aus 1. und 2. folgt, dass die langfristige Durchschnitts-kostenkurve die untere Umhüllende aller kurzfristigen Durchschnitts-kostenkurven ist.


Es ist auch leicht einzusehen, dass die kurzfristige Grenzkostenkurve steiler verlaufen muss als die langfristige Grenzkostenkurve. Begründung: ● Kurzfristig können bei einer Erhöhung des Outputs einige

Produktionsfaktoren nicht angepasst werden, z.B. die Größe einer Fabrikhalle. Darum müssen die kurzfristigen Kosten stärker steigen als dies langfristig der Fall wäre, wenn diese Faktoren kostenminimierend angepasst werden können.

● Bei einer Verringerung des Outputs kann man kurzfristig weniger einsparen als langfristig. Zum Beispiel kann langfristig (nicht aber kurzfristig) auch die Größe der Fabrikhalle reduziert werden. Das bedeutet, dass die kurzfristige GK-Kurve bei einer Verringerung von y unterhalb der langfristigen GK-Kurve liegen muss.


Abb. 7.6: Kurz- und langfristige GK-Kurven

l

l

GKDK

y


7.7 Durchschnittskostenverläufe und Industriestruktur

Der Verlauf der langfristigen Durchschnittskostenkurve hat einenwichtigen Einfluss auf die Anzahl der Unternehmen in einem Markt.

1. Angenommen, die langfristigen DK fallen für alle Werte von y. Dann liegt ein “natürliches Monopol” vor, denn:

– Die Durchschnittskosten werden minimiert, wenn die gesamte Produktion von einem Unternehmen ausgeführt wird.

– Mehrere Unternehmen könnten im Markt gar nicht bestehen. Jeder würde seinen Preis senken, um seine Produktion weiter auszudehnen und dadurch einen Kostenvorteil vor der Konkurrenz zu erlangen. “Ruinöser” Wettbewerb.

Natürliche Monopole sind jedoch sehr selten. Die meisten Monopole sind politisch geschaffen worden (z.B. durch Handelsbeschrän-kungen, etc.). Ein Stahlwerk ist z.B. ein natürliches Monopol im Saarland, aber nicht in Deutschland und erst recht nicht in der EU.


2. Angenommen, die langfristigen DK erreichen ihr Minimum bei einerProduktionsmenge, mit der ein signifikanter Teil des Marktes bedient werden kann. Dann wird sich auf dem Markt ein “Oligopol”mit wenigen großen Anbietern einstellen. Das ist in vielen Industrien der Regelfall.

3. Angenommen, die langfristigen DK erreichen ihr Minimum bei einerProduktionsmenge , die sehr klein im Verhältnis zum Umfang des Marktes ist. Dann werden viele Unternehmen auf dem Markt miteinander konkurrieren.


Abb. 7.7: Langfristige DK und Industriestruktur 1

lDK

y



lDK

y



lDK

y


7.8 Fixe, quasi-fixe und versenkte KostenFixe Kosten sind alle Kosten, die dadurch entstehen, dass einige Inputfaktoren kurzfristig nicht variiert werden können. Sie fallen unabhängig davon an, wie viel produziert wird. Beachten Sie: Langfristig kann es keine fixen Kosten geben, da langfristig alle Inputfaktoren veränderbar sind.Quasi-fixe Kosten sind Kosten, die dadurch entstehen, dass überhaupt etwas produziert wird. Beispiel: Ein Stahlofen muss eine bestimmte Mindestgröße haben. Wenn man auch nur eine Tonne Stahl produzieren will, braucht man gleich einen ganzen Stahlofen. Quasi-fixe Kosten gibt es auch in der langen Frist.Versenkte Kosten sind Kosten, die unabhängig von der Outputmenge sind und die bei der Einstellung der Produktion nicht durch Verkauf (der Inputs) zurückgeholt werden können. Beispiel: Die F&E Ausgaben zur Entwicklung eines Medikaments lassen sich nicht zurückholen, selbst wenn das Medikament später nicht zugelassen und nicht produziert wird. Versenkte Kosten können gleichzeitig fixe und/oder quasi-fixeKosten sein, müssen aber nicht.


Beispiele:

1. Ein VWL-Student möchte Unternehmensberater werden. Sind die Ausbildungskosten fixe Kosten, quasi-fixe Kosten und/oder versenkte Kosten?

2. Ein Busunternehmer hat einen Bus, der Anschaffungskosten von €50.000 hat. Der Wiederverkaufswert des Buses liegt bei € 30.000. Weiterhin verursacht der Busbetrieb Kosten für Versicherung, Steuer und Benzin. Welche dieser Kosten sind fixe, quasi-fixeund/oder versenkte Kosten?

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