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Kapitel IV. Matrizen

Inhalt:

• Matrizen als eigenständige mathematische Objekte• Zusammenhang zwischen Matrizen und linearen Abbildungen • Produkt von Matrizen• Inverse Matrix• Basiswechsel

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§18 Der Vektorraum der Matrizen

Im folgenden ist K stets ein Körper und V, W, ... sind Vektorräume über K .

(18.1) Notation: n bezeichne im folgenden den durch n aus N bestimmten Abschnitt der natürlichen Zahlen, also die Menge

Das „fett n“ wird dabei auch normal geschrieben. Also:

Matrizen lassen sich einführen als Hilfsmittel zur Beschreibung von linearen Abbildungen und auch als solche untersuchen (vgl. § 19).

Wir wollen Matrizen zunächst als eigenständige mathematische Objekte verstehen.

}n1m,1,,:),{(nm Nnm

Wichtig, wie an vielen Stellen in Mathematik und Physik, sind dazu die Indizes und Doppelindizes:

n := {1, 2, ... , n}

n = {1, 2, ... , n} und

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Kapitel IV, §18

Eine solche Matrix A ist also durch die Werte

vollständig bestimmt.

In der Regel in einem „Rechteckschema“:

(18.2) Definition: Eine (m,n)-Matrix A (mit Koeffizienten aus K) ist eine Abbildung .Knm:A

n)A(m,...A(m,1).

...A(2,1)

n)A(1,...A(1,2)A(1,1)

An diese Notation werden wir uns halten. (Eine Vertauschung von n und m wäre auch denkbar, eine Aneinanderreihung der Werte in einer Zeile oder in einer Spalte wäre ebenfalls korrekt, - aber unüblich.)

,nm),(,K),(A

Bemerkung: Diese Werte – und damit die Matrix A – können auf verschiedene Wiese notiert werden.

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Kapitel IV, §18

Die Schreibweise der Koeffizienten A(i,j) ist beliebig. Ziemlich verbreitet ist es, die A(i,j) mit kleinem Buchstaben und tiefgestellten Indizes zu schreiben, zumindestens in der Mathematik:Also statt A(i,j) : aij . Je nach Anwendung sind aber auch ai

j , aij oder ai

j gebräuchlich.

Addition: Für A und B aus Kmxn ist

), A(für A bzw. j) A(i,für A

ij

Skalarmultiplikation: Für A aus Kmxn und t aus K ist

Unsere Konvention (Physikernotation in Falle von Koordinaten eines Konfigurationsraumes) in Abweichung von Kap. I - III:

(18.3) Bemerkungen: Die Menge aller (m,n)-Matrizen ist Kmxn ; sie besitzt daher in natürlicher Weise die Struktur eines K-Vektorraums.

.BA )BA(

.)A(t )tA(

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Kapitel IV, §18

Definiert (sukzessives Durchzählen der Reihen).

(18.4) Lemma: Für natürliche Zahlen genau mn Elemente.

nmhatnundm NN

mnnm:f

(18.5) Folgerung: Der Vektorraum Kmxn der (m,n)-Matrizen hat die Dimension mn . Er ist isomorph zu Kmn und auch zu (Km)n und (Kn)m.

Die Standardbasis von Kmxn ist {Eji : i aus m und j aus n} , wobei

.:)E(

i

jji

Eji ist die folgende Matrix: In der Zeile i lauter Nullen außer einer 1 in

Position j (Spalte j); ansonsten nur Nullen.Anders ausgedrückt: Alle Spalten sind 0 außer der j-ten Spalte. Diese ist der i-te Standardeinheitsvektor von Km .

Durch f(i,j) := (j - 1)n + i , , wird eine Bijektionnm)j,i(

Es gilt für A aus Kmxn :

m

1

n

1

EAEAA