Kommunizieren und

Argumentieren, zwei Kompetenzen

der Bildungsstandards

Brigitte Dedekind, IPN

Frage :

Wie können wir Lehrende die

Kommunikations- und

Argumentationskompetenz der

Lernenden ansprechen und

erweitern?

Brigitte Dedekind, IPN

Was wollen wir erreichen?

• beide Kompetenzen durch Beschreibungen

differenziert sehen und den Unterschied

herausarbeiten

Brigitte Dedekind, IPN

• anhand von Aufgabenbeispielen

einen Katalog von Fragen, Impulsen,

Anregungen zusammenstellen, die Lernende

zur Kommunikation und Argumentation

herausfordern.

– Mathematikunterricht- Didaktische Aspekte

– Aufgabenbeispiel 0 mit Verschriftlichung

– Beschreibung der Kompetenzen

„Kommunizieren“/“Argumentieren“

– Sprache im Mathematikunterricht – Erweiterung der Verschriftlichung (Aufg. 0)

– Mathematik im Dialog mit der Sache Aufgabenbeispiele 1 – 5

Zusammenstellung der Ergebnisse

Das haben wir vor:

Brigitte Dedekind, IPN

Das Bild über Mathematik des Lerners wird durch

den Mathematikunterricht und durch den

Mathematik-Lernprozess (auch die damit

verbundenen Emotionen und Haltungen)

gebildet.

Das Bild über einen Wissensbereich nennt man

Beliefs.

Entscheidend für die Vermittlung eines

angemessenen Bildes über Mathematik und

deren Nützlichkeit sind die Beliefs der

Lehrenden.

Brigitte Dedekind, IPN

Lernprozess

ES

ICH

WIR

Sachinhalt

DU

Gesammelte Erfahrungen (u.a. die

mathematische Grundvorstellungen/

individuelle Begriffsbildungen) und

persönliche Ressourcen des Lerners

(Geist, Wissen, Urteilskraft,

Verantwortlichkeit) kommen zum Einsatz.

(„Wie soll ICH das machen?“)

Sprache: Singuläre oder

Umgangssprache

In der kommunikativen Phase findet der

Austausch mit gleichgesinnten Lernern

statt. Es wird über Mathematik

gesprochen und die singuläre Sprache

verändert sich: Lernende bedienen sich

dabei immer mehr der mathematischen

Fachsprache (Darstellungen und

Formeln) („Warum machst DU es

anders?“) .

Die Sprache ist fachspezifisch,

ökonomisch und effizient. Sie erfolgt

dann, wenn gesichertes Wissen

vorliegt und in der Rückschau

reflektiert wird („Wie macht man das

eigentlich, oder wie wollen WIR das

handhaben?“)

.

„Lernen heißt einen Dialog

zwischen der singulären

Welt eines einzelnen und

der regulären Welt des

Schulfaches zu führen“

(Gallin/Ruf 1998, S. 27).

„Die allgemeinen mathematischen Kompetenzen

(Kommunizieren, Argumentieren, Problemlösen,

Modellieren, Darstellen)

zeigen sich in der lebendigen Auseinandersetzung mit der

reinen und angewandten Mathematik.

Sie werden in der tätigen Auseinandersetzung erworben.

Bildungsstandards

Brigitte Dedekind, IPN

Kompetenzen sind kognitiv verankerte Fähigkeiten zur

Bewältigung bestimmter Anforderungen. Sie umfassen neben

Kenntnissen, Fertigkeiten und Fähigkeiten auch Aspekte der

Selbstregulation (u.a. Anstrengungsbereitschaft/Selbstreflexion).

Aufgabe 0

Brigitte Dedekind, IPN

Ich sehe 5 - 2 Ich sehe auch 15 - 2

Einzelarbeit (ICH – Phase):

Ihre Aufgabe ist es, zunächst einmal selbst zu überlegen,

welche der beiden Kompetenzen durch den Stimulus

angesprochen werden und in welcher Form.

Verschriftlichen Sie Ihre Gedanken.

• Zusammenarbeit in der Gruppe (WIR - Phase)

unter folgenden Aspekten:

– Tauschen Sie Ihre Gedanken über die

Unterschiede der beiden Kompetenzen

Kommunikation und Argumentation aus und

verschriftlichen Sie Ihre Beiträge.

– Verschriftlichen Sie Ihre Gedanken (Plakat).

Aufgabe 0

Brigitte Dedekind, IPN

Kommunizieren bedeutet,

• eigene Vorgehensweisen beschreiben,

Lösungswege anderer verstehen und

gemeinsam darüber reflektieren (K1),

• mathematische Fachbegriffe und Zeichen

sachgerecht verwenden (K2),

• Aufgaben gemeinsam bearbeiten, dabei

Verabredungen treffen und einhalten (K3).

Kommunizieren (Bildungsstandards)

Brigitte Dedekind, IPN

Wissen wird stets vom jeweiligen Lernenden aktiv

konstruiert, das heißt auch im sozial-interaktiven

bzw. sozial-kommunikativen Austausch.

Die Auseinandersetzung mit anderen (mehrstimmiger

Dialog) als kooperatives Lernen ist eine

Voraussetzung des individuellen Lernens, weil

dialogische Denkweisen vom Lernenden verinnerlicht

werden.

Dafür müssen gewisse soziale Regularien bestehen,

die einen kommunikativen Austausch zulassen.

Kommunikation

Brigitte Dedekind, IPN

Nonverbale Verständigung (z.B. Gesten, Zeichen)

mündliche und schriftliche Versprachlichung

mithilfe von Worten

unterstützt durch

• handlungsorientierte Arbeitsmittel ( z.B. Steckwürfel,

Rechenschieber, Zentimeterband)

• graphische Darstellungen (z.B. Tabellen,

Diagramme, Skizzen,

• Symbolsprache

Kommunikationsformen

Brigitte Dedekind, IPN

• Regularien zum Gedankenaustausch (z.B. Lautstärke,

Redezeit, Rederegeln)

• didaktische Rahmung zum Erwerb der

Kommunikationsfähigkeit (Rechenkonferenz, Präsentationen,

Lerntagebuch, Wortspeicherübungen)

• mathematisch, gehaltvolle, komplexe Lernumgebungen, durch

die Kommunikationsbedarf und –gelegenheiten gegeben sind

• Fragestellungen, Impulse und Anregungen, die gezielt die

Kommunikation herausfordern

Voraussetzungen zum Kommunizieren

Brigitte Dedekind, IPN

• das „Entschlüssen“ des Aufgabenstimulus (sich unbekannten Ausdrücken

nähern, den Inhalt mit eigenen Worten beschreiben, das Realmodell

entwickeln und darstellen)

• Das Aushandeln von Vorstellungen und Abmachungen

• das Beschreiben der Vorgehensweise (Bearbeitungsstrategien,

Darstellungsformen) des eigenen Lösungsprozesses (Verschriftlichen,

das Führen eines Lerntagebuches)

• mathematische Fachbegriffe und Zeichen sachgerecht verwenden,

• der kommunikative Austausch in der DU - Phase des

Lösungsprozesses (gegenseitige Darstellen des Lösungsweges)

• das Aufspüren und Beschreiben von Entdeckungen

• das Herausarbeiten und Verallgemeinern von implizit benutzter

Methoden und Strategien

• das Präsentieren ( WIR – Phase) des eigenen Lösungsweges als

Diskussionsgrundlage

• _________________________________________________________

_________________________________________________________

________

Kommunikationsanlässe bieten

Brigitte Dedekind, IPN

Argumentieren

• mathematische Aussagen hinterfragen und

auf Korrektheit prüfen (A1),

• mathematische Zusammenhänge erkennen

und Vermutungen entwickeln (A2),

• Begründungen suchen und nachvollziehen

(A3).

Argumentation (Bildungsstandards)

Brigitte Dedekind, IPN

Hat sich der Lerner ein Bild von einer Sache gemacht,

einen Lösungsweg gefunden, muss er zunächst

selbst davon überzeugt sein.

Überzeugung kann er folgendermaßen erreichen:

Dann gelte es, jemanden überzeugen zu wollen, der ihm

wohlgesonnen ist.

Dann gelte es, einen Kritiker überzeugen zu wollen, was

bedeutet, dass man seine Argumente wohlüberlegt vorbringen

muss.

Der Lernende selbst trägt also die Pro- und Contra-

Argumente in sich und führt den Dialog in seinem

Inneren.

Argumentation

Brigitte Dedekind, IPN

Als Argumentation gelten jene (interaktiven) Methoden, mit

denen ein Kind z.B. versucht, seine Aussage zu sichern und

sich selbst oder anderen gegenüber zu vertreten

Argumentation kann somit auch als Lernziel…

ein Schutz vor Fehlern sein

Lernende zu neuen mathematischen Strukturen führen

Argumentieren ist die Angabe von Aspekten, die für oder gegen

eine bestimmte Sichtweise oder Entscheidung sprechen.

Es beinhaltet das Begründen, Überprüfen, Widerlegen von

mathematischen Sachverhalten in vielfältiger Weise

(Gercken,2009).

Das Argumentieren ist als Vorstufe für abstrakte, formale

Beweisführung zu sehen.

Argumentation

Brigitte Dedekind, IPN

• mündliche und schriftliche Versprachlichung

mithilfe von Worten

• handlungsorientierte Arbeitsmittel ( z.B.

Plättchen, Steckwürfel, Rechenschieber,

Zahlenstrahl)

• graphische Darstellungen (z.B. Zeichnungen,

Tabellen, Diagramme, Skizzen,

• Symbolsprache

Argumentationsformen

Brigitte Dedekind, IPN

Unter einer Argumentation wird ein Kommunikationsprozess

verstanden, indem die Beteiligten einen mathematischen

oder auch außermathematischen Begründungsbedarf, dann

im Sinne eines verständigungsorientierten Handelns,

explizit anzeigen, diskutieren und zu befriedigen suchen.

Dass Kinder miteinander über Mathematik sprechen, ist noch

kein Garant für die Argumentationsfähigkeit. Entscheidend

ist, wie miteinander geredet wird: Es reicht nicht aus, eine

Meinung zu haben, sie verständlich darzulegen und sie

einzubringen (Positions- oder Kommunikationskultur). Es

geht um einen dialogischen Forschungsprozess (im

Sinne von Krummheuer).

Abgrenzung zwischen den Kompetenzen

„Kommunizieren“ und „Argumentieren“

Brigitte Dedekind, IPN

Abgrenzung zwischen den Kompetenzen

„Kommunizieren“ und „Argumentieren“

Brigitte Dedekind, IPN

Bei der Argumentation geht es um eine Folge von Äußerungen,

durch welche die Gültigkeit einer anderen Äußerung gestützt

wird.

Eine zu begründende Aussage wird aus einer unbezweifelten

Aussage („Datum“) erschlossen z. B.: Pluspäckchen rechnen

mit ausgewählten (nur geraden) Zahlen, Was entdeckt ihr? Alle

Zahlen sind gerade (Kommunikation).

Aus den „Daten“ wird eine „Konklusion“ abgeleitet, z. B.: Ich

erhalte immer als Summe eine gerade Zahl .(Kommunikation

mit möglichem Argumentationspotential).

Abgrenzung zwischen den Kompetenzen

„Kommunizieren“ und „Argumentieren“

Jetzt müssen Begründungen (Garant) folgen, warum der

Schluss zulässig ist. Frage danach: z. B.: Worauf führst Du

das zurück? (Argumentation)

Sprachliche Ebene: Die Summe zweier gerader Zahlen

lässt sich stets durch zwei teilen.

Darstellende Ebene: Gerade Anzahl wird als Doppelreihe

mit Plättchen oder Steckern gelegt und dann halbiert.

Zeichnerische Ebene: Kästchen werden als Doppelreihe

ausgemalt und durch eine Linie wird das Halbieren

angedeutet.

Symbolische Ebene: 2n + 2m = 2 ● (n + m)

• das Hinterfragen von Lösungswegen,

Entdeckungen, Vermutungen, Begründungen

• Argumentationsanlässe schafft man durch

selbsttätiges Erweitern oder auch vorgegebenes

Ausgestalten der Aufgabe mit Variationen .. – „wackeln“ (geringfügige Veränderungen, z.B. Ziffer austauschen)

– „ersetzen“ (analogisieren: plus, minus, mal, geteilt)

– „ hinzufügen“ (Spezialisieren), „wegnehmen“ ( von Bedingungen)

– „vergleichen“ (in Beziehung setzen von Vorgehensweisen, Transfer

bilden)

– „Blick wechseln“ (z.B. Kann man jede Zahl als Summe nehmen?

– „Behauptungen“ formulieren z.B. Ich behaupte, dass………/ Silke

behauptet:…und Hannes behauptet zum gleichen Thema etwas

anderes

• das Nachdenken über den Sinn der jeweiligen Aufgabe bzw.

über den Lernerfolg

Argumentationsanlässe bieten:

Brigitte Dedekind, IPN

• Zusammenarbeit in der Gruppe (WIR - Phase)

unter folgenden Aspekten :

– Welche Gedanken über die Unterschiede der

beiden Kompetenzen Kommunikation und

Argumentation möchten Sie noch ergänzen?

– Vervollständigen Sie Ihre Ausführungen.

Aufgabe 0

Brigitte Dedekind, IPN

Sprachen im Mathematikunterricht – Umgangssprache: informeller Sprachgebrauch der

Lernenden, ihre Sprachgewohnheiten und –vorerfahrungen

– Fachsprache: Fachtermini und Sprachduktus

– (Symbole und Diagramme: formalisierte und abstrakte

Darstellungen (Tabellen, Baumdiagramme, Symbole)

Funktionen der Sprache

kognitive Funktion: Gewinn von Einsichten

kommunikative Funktion : als Instrument der

Verständigung zwischen Lernenden untereinander und

Lehrkraft und Lernenden

beide Funktionen sind nicht unabhängig voneinander zu

sehen, sie greifen ineinander

Durch die Formulierung von sachbezogenen

mathematischen Fragen – die für den Lernenden

zugleich fassbar und durch eine „Prise“ Fremdheit

herausfordernd sein sollten – kommt es zur

Auseinandersetzung der singulären Welt

(Umgangssprache) des Lernenden mit der regulären

Welt (Fachsprache) des Unterrichtsstoffes.

Der Gebrauch der Fachsprache ist nicht zwingend. Ihr

Gebrauch ist eine natürliche Folge des Verstehens

und nicht umgekehrt (Krauthausen, 2007).

Fortsetzung in der Gruppenarbeit:

Formulieren Sie Aufforderungen zum

Kommunizieren und Argumentieren für das

Aufgabenbeispiel.

Entwickeln Sie zu Variationen weitere

Fragen, Impulse, Anregungen zum

Kommunizieren und Argumentieren.

Mathematik im Dialog mit der Sache

Brigitte Dedekind, IPN

Stimulus (aus dem Katalog der inhaltsbezogenen

mathematischer Kompetenzen (u.a. Aufgabe/

Text/ Darstellung)

Technische

Grundfertigkeiten

Problemstellung (außer- oder innermathematisch

mit oder ohne Fragestellung)

Lerner versucht sich mit der Sache

auseinander zu setzen, Unbekanntes

aufzudecken, einen Lösungsansatz zu finden

(Verschriftlichung durch Sprache oder

Darstellungen)

Richtigkeit wird

überprüft (Ergebnisse

verglichen, Einsatz von

mathematischen

Werkzeugen kontrolliert)

Lösungsansatz wird in Kommunikation mit

dem Partner besprochen, angenommen,

revidiert, erweitert ( Sprache, Material,

Zeichnungen, Symbole) dabei wird

argumentiert (Warum ist der Ansatz, die

Darstellung besser?)

Fertige Lösungen werden im

Klassenverbund präsentiert

(Kommunikation) und

diskutiert (Argumentation).

• Sie erhalten pro Tischgruppe ein Aufgabenblatt (und

Arbeitsmittel).

• Ziel aller Ihrer Bemühungen ist es, Fragen, Impulse,

Anregungen und Veränderungen zu der Aufgabe zu

ersinnen, die die prozessbezogenen Kompetenzen -

insbesondere Kommunikation und Argumentation –

herausfordern.

– Beschäftigen Sie sich zunächst selbst mit der Aufgabe. Notieren

Sie Aufforderungen zum Kommunizieren und Argumentieren.

– Tauschen Sie sich in der Gruppe aus und notieren Sie

verwertbare Formulierungen auf den Karten.

– Wie könnte die Aufgabe variiert werden? Zeichnen oder schreiben

Sie die Variationen auf und notieren Sie die entsprechenden

Fragen, Impulse, Anregungen und Veränderungen auf den

Karten.

Aufgabe:

Brigitte Dedekind, IPN

Aufgabe 1 Zahlendrillinge im

Kalenderblatt

Brigitte Dedekind, IPN

Drei nebeneinander liegende oder untereinanderliegende Zahlen (wie die in

den rot oder grün gekennzeichneten Feldern) nennen wir ein Zahlendrilling.

Ihr könnt viele Drillinge finden, sowohl waagerecht als auch senkrecht

liegende.

Welche Entdeckungen macht ihr?

Zwei Kinder arbeiten zusammen:

• ein Kind erhält die Ziffernkarten 3, 4, 7

• das andere Kind die Ziffernkarten 2, 5, 8

• Jedes Kind hat seine eigenen Ziffernkarten. Sie

dürfen sie nicht untereinander tauschen.

Sucht die Summe, deren Differenz zu Tausend so

klein wie möglich ist.

Aufgabe 2

Brigitte Dedekind, IPN

Aus allen 24 Holzwürfeln sollen

verschiedene nicht deckungsgleiche

Quader gebaut werden.

Findet möglichst viele.

Aufgabe 3

Brigitte Dedekind, IPN

Die Klasse 4a mit ihren 23 Schülerinnen und

Schülern möchte zusammen mit ihrer

Klassenlehrerin am letzten Tag vor den Ferien

ein gesundes Frühstück genießen. Planung und

Organisation liegt in den Händen der Kinder.

• Was ist zu tun?

Aufgabe 4

Brigitte Dedekind, IPN

Drei Schüler werfen mit Murmeln und haben

vereinbart, dass derjenige, dessen fünf Murmeln

am wenigsten weit auseinander liegen,

gewonnen hat. Immer wieder streiten sie sich

darüber, wer nun gewonnen hat.

Aufgabe 5

Brigitte Dedekind, IPN

.

.

.

Entscheidet mit euerm Maß, wer gewonnen hat.

aus: Büchter/ Leuders 2005

Wie kann das Problem gelöst werden?

aus: Büchter/ Leuders 2005

Aufgabe 6

• Hier siehst du ein Wurfergebnis von jedem der drei

Schüler.

Aufgabe 5

Brigitte Dedekind, IPN

.

.

.

Wie kann man den Grad, wie stark die Murmeln streuen, messen oder

berechnen?

Entscheidet mit euerm Maß, wer gewonnen hat.

aus: Büchter/ Leuders 2005

Was muss passieren, damit Kinder miteinander

kommunizieren und argumentieren?

Kinder müssen lernen, über sozial-kommunikative und

sprachliche Fähigkeiten zu verfügen.

Wie erreicht man das ?

Anregende Lerngelegenheiten durch Aufgaben schaffen, die

Lernfreude, fachbezogenes Selbstvertrauen und eine positive

Einstellung neuen Anforderungen gegenüber fördern,

Zusammenarbeit der Kinder mit einander in Klassengespräche

oder Rechenkonferenzen anregen: Wortspeicherübungen nach

Selter (PIK AS), Lerntagebuch, Präsentation,

Vermittlung von Heurismen: (Strategien, Prinzipien,

Darstellungen)

Was muss passieren, damit Kinder miteinander

kommunizieren und argumentieren?

Lehrkräfte müssen in der Lage sein,…

• anregende Gespräche durch herausfordernde Impulse, Fragen

und Aufgabenstellungen zu initiieren.

• Zurückhaltung in Wertung und Intervention, auch mimischer

Art, zu üben.

• für ein angstfreies, ermutigendes Gesprächsklima zu sorgen.

• frei von Erwartungshaltungen zu agieren.

• genügend Zeit den Lernenden zum Überlegen und Entwickeln

von Ideen zur Verfügung stellen.

Für die anregenden Aufgaben gilt, dass sie… • Forscheraufträge enthalten.

• multiple individuelle Lösungsmöglichkeiten erlauben.

• Kinder herausfordern, auf Lernerfahrungen,- Denk- und Lerngewohnheiten -

zurückzugreifen, damit sich Lernstrategien begründen.

• in ihrer Problemstellung unter- oder überbestimmt sind, d.h. bestimmte

Angaben von den Lernenden bei der Bearbeitung selbst generiert bzw. im

Falle zu vieler Angaben ausgewählt werden müssen.

• mehrschrittige und mehrstufige Lösungsprozesse verlangen.

• auf lebensweltliche Kontexte und Materialien verweisen.

• Übersetzungsprozesse erfordern (zwischen Kontexten und Mathematik).

• zur Entwicklung mathematischer Modelle anregen,

• Phasen des Modellierungsprozesses ermöglichen und eigene Aktivitäten

des Vereinfachens/der Problemreduktion und des Interpretierens/ des

Rückbezugs auf den Realkontext herausfordern.

• die bewusste Anwendung von Metawissen fordern.

Brigitte Dedekind, IPN

• KMK (Hg., 2005) Bildungsstandards im Fach Mathematik für den Primarbereich).Beschluss vom

15.10.2004. München.

• http://www.kmk.org/fileadmin/veroeffentlichungen_beschluesse/2004/2004_10_15-Bildungsstandards-

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• Gercken, M. (2009). Kompetenzorientierte Aufgaben, Kompetenzbereiche Kommunizieren, Argumentieren .

10.07.2012: http://lehrerfortbildung-

bw.de/faecher/mathematik/gym/fb1/modul9/aufgaben/komp_loes/komp_aufgaben_problemloesen.pdf

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• Krauthausen, G. & Scherer, P. (2007). Einführung in die Mathematikdidaktik. München: Spektrum. 3. Aufl.

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• Lersch, R. (2012). Kompetenzorientiertes Lernen ermöglichen. In: Lernende Schule , 58/2012, Frieserich-

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• Maaß,K. (2006). Bedeutungsdimensionen nützlichkeitsorientierter Beliefs. In: mathemativa didactica 29

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• Schupp, H. (2002). Thema mit Variationen. Aufgabenvariationen im Mathematikunterricht, Hildesheim und

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• Winter, H. (1987). Mathematik entdecken. Neue Ansätze für den Unterricht in Grundschule,

Frankfurt/Main: Scriptor.

Literatur:

Brigitte Dedekind, IPN