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Kongruenzen zwischen Koeffizienten
trigonometrischer Reihen
und Klassenzahlen quadratiseh imagin~irer K~rper
yon M. GUT und M. ST~NZI (Ztirich)
Prof. ROLF NEVANLINNA gewidmet
Inhaltsangabe und Bezeichnungen
Beziehungen yon der im Titel erw~hnten Art finden sich schon bei Cauchy [2] und in einer Arbeit yon AdolfHurwitz [5].
Es sei d < - 4 die Diskriminante eines quadratisch imaginfiren K6rpers mit der Klassenzahl h(d)=h. Es sei ferner p eine ungerade Primzahl und d=-rap, wo die nattirliche Zahl m auch gleich 1 sein daft. Dann zeigen wit in der vorliegenden Arbeit, dass wenn man die yon Ankeny, Artin und Chowla [1] eingeffihrten trigonometrischen Reihen
1 X(t)e r~ = C ( ( - 1)r n) n i (1) e mx- 1 t = l n = - I
benutzt, sich das im Vergleich zu den S/itzen in der Arbeit yon AdolfHurwitz [5] iiber- raschend einfache Resultat
- h - C ( ( - 1)(P+l)/2m ; (p - 1)/2) (mo0. p) (2)
ergibt. Dabei bedeutet X(n) f/Jr jede nattirliche Zahl n den Charakter mod. m:
((-1)('+1)/2m) sodass ( ! ) - - X ( n ) ( ! - 1 ) ( P - " / 2 P ) = x (n)(~). X ( n ) = . ,
(3) Wir bemerken noch, dass wenn m # I ist , auf der linken Seite der Formel (1) die Sum- mation fiber t auch nur yon Ib i s m - 1 erstreckt werden kann und auf der rechten Seite die Summation fiber n nur yon 0 bis 09.
Ausgehend von der Klassenzahlformel
lal-t
n = l
geben wir im folgenden den Beweis durch sukzessive Betrachtung folgender F~lle:
2 8 8 M. GUT UND M. STUNZI
1. Haupffall d - 0 (mod. 4), d:~ - 4
In diesem Falle ist in d = -rap die natiirliche Zahl m durch 4 teilbar. Wir zeigen zuerst, dass wenn die Argumente natiirliche Zahlen sind
X(n) = - X(n + m/2). (1.1)
Zum Beweise betrachten wir die beiden Unterfiille:
1. UN~RrALL: d=4D, wo D - 3 (mod. 4), d # - 4
Setzt man in d = -mp die nattirliche Zahl m = 4 m ' , so is tm' eine quadratfreie und d
zu p teilerfremde natiirliche Zahl. Da - = - m ' p =3 (mod. 4) ist, ist m'p = 1 (mod. 4), also 4
m ' = ( - 1) (v-1)/2 (mod. 4).
Ist ne ine ungerade natiirliche Zahl, so ist erstens
,.> _ (,- (,-
Da der Z~ihler im letzten Ausdruck - - 1 (mod. 4) und der Nenner posit ivist , folgt naeh dem allgemeinen quadratischen Reziprozit/itsgesetz
x(.)= 2 (-1)<"-'>/2"
Zweitens wird analog, da m' ungerade ist
X(n+m/2)=X(n+ 2m'):(!-n+~m,1)(P+')/2m~} ' k ( ! -n+ 2m' }l)(P+--')i2m'~
o
Mithin gilt die Gleichung (1.1) ftir ungerade nattirliche Zahlen n. Sie gilt aber auch far gerade nattirliche Zahlen, denn dann verschwinden beide Seiten der Gleichung.
2. UNTERFALL : d = 4 D, WO D - 2 (mod. 4)
Setzt man in d = -rap die natiirliche Zahl m = 8 m', so ist m' eine quadratfreie und zu p teilerfremde ungerade nattirliche Zahl.
Ist ne ine ungerade natiirliche Zahl, so ist erstens
Kongruenzen zwischen Koeifizienten und Klassenzahlen 289
D a n positivist, folgt nach dem allgemeinen quadratischen Reziprozit~itsgesetz:
n2, n1 +1 n ml/ , X(n)=(-1)~-.(-1) z " 2 . ( _ 1 ) 2 z ~ , ) .
Zweitens wird
((-1)~P+"/Zm'~=((-1)"+')/27m"~ X(n+m/2)=X(n+4m')=\ n+~m' J n44~m' J
- 1 ,~(p+ 1)/2 mt
-(n-t-2~lm')(nq--4-m;] (n+4m')
= ( - 1 ) s .......... . ( - 1 ) 2 ~ . ( - 1 ) ~ " ~ - ~ 'rn" )
Reduziert man die Exponenten mod. 2, so folgt, da nm' ungerade ist
X n + = ( - 1 ) s - ( - 1 ) " " ' . ( - I f 2 - " 2 . ( - 1 ) - 2 - "\m'J
= - ( - 1 ) s - . ( - 1 ) 2-' 2 - . ( - 1 ) ~ " z ~m' )
Folglich gilt (1.1) fiir ungerade natiirliche Zahlen n; wie schon beim 1. Unterfall gilt sie aber auch fiir gerade natiirliche Zahlen n, denn dann verschwinden beide Seiten der Gleichung.
Im folgenden brauchen wir diese Fallunterscheidung nicht mehr, d.h. es sei von nun an nur vorausgesetzt, dass d = 0 (mod. 4), d < - 4 ist.
Da p ungerade und X(n) fiir positive n ein Charakter mod. mist , folgt aus (1.1):
X(n) =-X(n +mp/2). (1.2)
Fiir die Klassenzahl h =h(d) ergibt sich mithin
- h I d t =
also da rap~2 gerade ist
] d l - I m p - I
X X n = l n = l
m p / 2 - 1
Z n = l
r a p - 1
n * = m p / 2 + l
2 9 0 M. GUT UND M. STUNZ!
Setzt man in der 2. Summe n*=n+mp/2, so folgt aus (1.2):
m p / 2 - I m p / 2 - 1
-hmp= ~ nX(n)(~)- ~ (n+mp/2)X(n)(~)= n = l n = l
m p~ 2 -- 1
mp - .
2 n = l
Daher wird
2 h =
m p~ 2 - 1
X n = l
Modulo p wird mithin
(1.3)
r a p ~ 2 - 1 m p / 2 - 1
2 ( ~ ) h = ~ X(n) ( ~ ) = ~. X (n)(2n) 'p-l)/2 n = l n = l
also 2 ( ~ ) h mod. p kongruent dem Koeffizienten yon
x ( p - 1)/2 m p/2~.~-- 1
in ) , X(n) e x p 2 n x . 1 /...d
2 n = l
(mod. p), (1.4)
(1.5)
Die zuletzt aufgeftihrte Summe und auch jede Summe, fiir welche f~rjede feste Potenz von x bis zur (p- 1)-ten Potenz inklusive der Koeffizient mod.p kongruent ist dem Koeffi- zienten der gleichen festen Potenz von x in dieser Summe, wollen wir mit S(x) bezeichnen. Wir fassen in S(x) die Glieder zusammen, die modulo m kongruenten Werten von n entsprechen:
r a p ~ 2 - - 1 m - 1
S(x) = ~,, X(n) exp 2nx = ~, X(t)~, exp 2(t + km)x. (1.6) n = l t = l k
Fiir .den Exponenten 2(t+km)x gilt:
also
oder
O< t + km< rap~2,
0 < t/m + k < p/2
- t / m < k < p / 2 - t / m = ( p - 1)/2 + (1 /2 - t / m ) .
(1.7)
Kongruenzen zwischen Koeffizienten und Klassenzahlen 291
Mithin durchlauft k die Werte
Es ist also
k = O, 1, 2 . . . . . (p - 3)/2, (p - 1)/2 k = O, 1, 2 . . . . , (p - 3)/2
ffir t < m/2 fiir t > m/2 I (1.8)
m / 2 - x
S ( x ) =
mithin
Z X(t)[-exp 2tx + exp (2 t + 2m)x + . . . + exp (2 t + ( p - 1 )m)x ] + t = l
m--1
+ E X (t) [exp 2 t x + exp (2 t + 2 m) x + . . . + exp (2 t + (p - 3) m) x ] , t = m / 2 + 1
m / 2 - 1
S(x) = ~ X(t) (exp 2tx) (exp (p + l ) m x ) - 1 (exp 2 m x) - 1 +
t = l
+
m - 1
X (t) (exp 2 t x)
t = m / 2 + l
(exp ( p - 1 ) m x ) - 1
(exp 2 m x) - 1
Nehmen wir die Exponenten sinngem~iss nach (1.5) mod. p, so folgt:
m / 2 - 1
(exp m x ) - 1 S (x) = X (t) (exp 2 t x) (exp 2 m x) - 1 +
t = l
m - 1
+ ~ X (t*) (exp 2 t* x) (exp - rn x) - 1
(exp 2 rn x) - 1
(exp m x ) - 1 S (x) = X (t) (exp 2 t x) (exp 2 m x) - 1 -
t = l m / 2 - 1
Mithin ist
1 - exp m x X (t) (exp 2 t x) (exp 2 m x) - 1"
t = l
m / 2 - 1
S ( x ) = 2
t = l
X (t) (exp 2 t x) (exp m x) - 1
(exp 2 m x) - 1"
(1.1): m / 2 - 1
t * = m / 2 + 1
Setzt man in der 2. Summe t*= t + m/2, so erh~ilt man unter Beriicksichtigung yon
292 M. GUT UND M. STONZI
Da X(n) fiir positive n ein Charakter mod. mist , folgt:
m / 2 - 1 m / 2 -- 1
2 oxp2, Z S ( x ) = - 2 X ( t ) ( e x p 2 m x ) _ l + 2 t = l ;*=1
x (t* + m) exp (2 t* + m)x
( e x p 2 m x ) - i
Setzt man t*+ m/2 = t so ergibt sich vermSge (1.1):
m ] 2 -- 1
S ( x ) = - 2
t = l
also gemgss (1):
exp 2tx 2 S (x) = - 2 X (t) (exp 2 m x) - 1
t = l n = - - I
m - 1
. . exp 2tx - 2 X (t) (exp 2 m x) - 1
t = m / 2 + 1
X (t) exp 2 t x (exp 2 m x ) - 1'
2" xn c((- 1)<~+1)/2m; .) ,,!
Aus den Formeln (1.4) und (1.5) folgt:
2 (~) h - - 2.2fP-1)/2C ((-1)tp+I)/2m ; P~2 l)
und daher die zu beweisende Kongruenz (2):
(mod. p)
-h-C((-1)tp+l)/2m;P-~-2 1 ) (mod. p).
Bemerkung: Fiir jede nicht negative ganze Zahl n ist C ( - 4 ; n)= -E,/2, wo E, die n-te Eulersche Zahl ist.
2. Hauptfail d = l (rood. 4), d # - 3 . Erster Teii
Aus (4) folgt:
- h Id l =
(ldl- 1)/2 tal-1
n = 1 n*=(ldl + 1)/2
Setzt man in der 2. Summe n * = l d f - n , so folgt, da gem/iss Hecke [4], Satz 137, pg. 187 far natiJrliche Zahlen n und m
(~) = ( d ) sign d, falls n - - m (mod. Idl), (2.1)
Kongruenzen zwischen Koeffizienten und Klassenzahlen 293
dass q:lal- 1)/2 (Idl - 1)/2
-~,',:~ Z , ( !) ' Z (!) (~, n = l n = l
Anderseits folgt aus (4), falls man je die Summanden gleicher Parit/it zusammen- fasst:
( Id l - 1)/2 Id l -2
X (')_.. Z,'(~.) - h l d l = 2 n ~ +
n = 1 n*= 1 n*--=l (rood. 2)
Setzt man in der 2. Summe n * = l d l - n ' und hernach n'=2n, so folgt: ( l a l - 1)/2 ( I d l - 1)12
n = l n = l
Multipliziert man beide Seiten dieser Gleichungmit (~) , so ergibt sich
( l a l - 1)/2 ( I d l - 1)/2
- h l d l ( ~ ) = 4 ~ n ( ! ) - I d , ~ ( ! ) . (2.3)
n = l
Gem~iss Formel (3) folgt aus (2.4): (rap- 1)/2
E ~-~0]- ~ ~'~0 n = l
i e ~ , = ~i~ Se~ten ~ies~r O,eic~un, mit 0 ~o ~o,,t
(rap- 1)/2
~(~) •=1
(2.4)
(2.5)
(2.6)
n = 1 n = l
Multipliziert man beide Seiten von (2.2) mit - 2 und addiert zum Ergebnis Seite ftir Seite die Gleichung (2.3), teilt ferner beide Seiten des Resultates durch ldl, so erh/ilt man schliesslich:
( [ d l - 1)/2
294 M. GUT UND M. ST UNZI
Modulo p gilt mithin: (rap-t)~2
n = l
X (n)(2 n) (p-1)/2 (mod. p)
also h I2 (~) - X (2)] mod. p kongruent dem Koeffizienten von (rap- 1)/2
x (P-1) / 2
((p _ 1//2 ) ! in X (n) exp 2 n x
n = l
(2.7)
(2.8)
Wiederholt man mutatis mutandis die Oberlegungen, die auf die Relation (1.5) folgen, so ergibt sich
(mp- 1)/2
S(x )= E X(n) exp 2nx= X(t)Eexp 2(t + km)x. (2.9) n = l t = l k
FiJr den Exponenten 2 (t + k m) x gilt
0 < t + km < rap~2.
Diese Ungleichungen sind abet die gleichen wie (1.7). Mithin gelten fiir k auch die Ungleichungen (1.8). Es ist also
s(x) = ( m - 1)/2
X(t)[exp 2tx + exp (2t + 2m)x + . . . + exp (2t + ( p - 1)m)x] + t = l
+ ~ X( t )[exp2tx+exp(2t+2m)x+. . .+exp(2t+(p-3)m)x] . t = (m+ 1) /2
Dabei hat es natiirlich hier und in folgenden analogen Summationen die Meinung dass wenn m = 1 ist, der erste der beiden Summanden der rechten Seite identisch ver- schwindet. Es folgt:
( m - 1) /2
S(x)= ~ X(t)(exp 2tx) (exp(p+ 1)mx)- 1 �9 (exp 2 m~x) -- i + t = l
+ X(t)(exp 2tx) (exp (p - 1)rex) - 1 (exp2m - i
t=(m+ l )/2
Kongruenzen zwischen Koeffizienten und Klassenzahlen 295
Nehmen wir die Exponenten sinngem~iss nach (2.8) mod. p, so folgt :
( m - 1)/2
(exp m x ) - 1 S ( x ) = X( t ) (exp 2 t x ) ( e x p E m x ) - 1 +
t = l
Mithin ist
fiir m = l :
+ ~ X (t) (exp 2 t x) t = ( m + l ) / 2
(exp ( - m x)) - 1
(exp 2 m x) - 1
(exp - x) - 1 S (x) = (exp 2 x) (2.10)
( e x p 2 x ) - 1"
fiir re>l:
m - 1 ( m - 1 )/2
exp 2 t x ~ e x p m x S (x) = - X (t) (exp 2 m x) - 1 + X (t) (exp 2 t x) (exp 2 m x) - 1 +
t = l t = l , , -1 (2.11)
exp ( - m x) + X (t) (exp 2 t x) (exp 2 m x) - 1
t = ( m + 1)/2
Wir fiihren zuerst den Beweis zu Ende fiJr den Fall, dass m = 1 ist. Gem~iss (2.10) wird
S(x) = exp x - exp 2 x (exp x)(1 + exp x) - 2 exp 2 x
(exp 2 x) -- -1 = (exp 2 x) - 1
exp x exp 2 x
= (exp x ) - 1 - 2 (exp 2 x ) - 1"
Wenn m = 1, also d = - p ist, ist p = 3 (mod. 4) und nach Voraussetzung de: - 3 , also
p :~ 3. FiJr m = 1 gibt die Formel (1) daher
x" (2x)" S(x) = C(1 ;n ) n~ - 2 C(1 ;n) - - n !
n = - - I n = - - I
Gem~iss (3) ist X ( 2 ) = ( � 8 9 1 und daher gem~iss (2.8)
hE2( ) 1] c/1; p 1,,2, modp,
2 9 6 M. GUT LrND M.$TONZI
also
- h I2 ( ~ ) - 1 1 - I2 ( ~ ) - 1 ] C(1;(p-1) /2) (mod.p).
Da die eckige Klammer zu p teilerfremd ist, ergibt sich
- h - C(1;(p - 1)/2) (mod.p) , womit (2) bewiesen ist. Bemerkung: Fiir jede natiirliche Zahl n ist C(l ; n - 1)=B,/n, wo B, die n-te Bernoulli- sche Zahl ist. In der Folge sei also immer m > 1. Gemiiss (2.11) ist dann
m-- 1 (m - 1 )/2
exp 2 t x S(x) = - 2 X(t) (exp 2 m x ) - 1 +
t = l t = l
m--1
+2
(exp m x ) + 1 X(t) (exp 2tx) +
(exp 2 m x) - 1
X (t) (exp 2 t x) ( e x p - mx) + 1
(exp 2 rn x) - 1 " t=(m+ l ) /2
Da das Quadrat yon X(2) gleich 1 und fiJr positive Argumente X(2 t)= X(2 t - m ) ist, folgt:
m-- I
S(x) = - 2 x ( t )
t = l
( m - 1)/2
exp 2 t x (exp 2 m x) 1 + X (2) X (2 t*) exp (2 t* x)
- (exp m x ) - 1 + t*= 1
m - 1
exp (2 t* - m) x + X ( 2 ) X ( 2 t * - m ) ( e x p m x ) - I
t*=(m+ I ) / 2
Setzt man in der vorletzten Summe 2 t * = t und in der letzten Summe 2 t * - m = t, so ergibt rich
m--1
_ . . exp 2tx S ( x ) = - 2 xt0"(exp i -I
t = !
m - 1
-~ . . exp 2 tx s(x)=- 2 tt) 1
t = l
also
m - 1
exp t x + X (2) X (t) (exp m x) - 1 +
t = 2 t-z-- 0 (rood. 2)
m--2
. exp t x + X(2) X(t) (exp r e x ) - 1'
t = l t-= 1 (rood. 2)
m - 1
exp t x + X (21 X (t) (exp m x) - 1'
t in1
Kongruenzen zwischen Koeffizienten und Klassenzahlen 297
Nach Formel (1) ergibt sich, da X ( m ) = 0 ist
s(~) = - 2 c ( ( - O<~+"/~m ; .) (2~)" x(2) c ( ( - 0 , . + , / ~ ; ~) x .
n = - - I n = - i
Dahe r ist gemass der Formel (2.8):
h[2(:)- X(2)l-[X(2)- 2(~)lC((-1)<'+')/Zm;(p- l)/2 ) ( m o d . p ) .
FiJr den Fall, dass die eckige K l a m m e r zu p teilerfremd ist, wird
- h - C ( ( - 1)<"+1)/2m ; (p - 1)/2) (mod. p ) ,
womi t (2) bewiesen ist. Die eckige K l a m m e r ist aber genau dann und nur dann zu p teilerfremd, wenn p = 3
gleichzeitig X ( 2 ) = ( ~ ) = ( + ) = - I oder wenn p4 :3 und ist. N r /
Es ist also (2) nur noch zu beweisen ftir den Fall, dass p = 3 und gleichzeitig X(2) = 1,
also ( _ a ] = - 1 ist. Dies sei in der Folge immer angenommen. \2/
2. Hauptfall d - 1 (mod. 4), d# - 3 . Zweiter Teil
D a d= - 3 m - 1 (rood. 4) ist, ist m - 1 (rood. 4) und wegen X(2) = 1 sogar m = l
(rood. 8). Ferner ist X(n)jetzt gleich ~ , folglich X(n)= X(m-n), falls beide Argu-
mente natiirliche Zahlen sind. Endlich ist m - 1 (rood. 3) oder m - 2 (rood. 3) und m r 1. Wir setzen zur Abki i rzung
(m- 1 )/2
m - - I
2 (9 D= x(.*) T ' n*=(m+l)/2 ( 3 ra- - 1 ) [ 2
n * = m + 1
D a n n ist also nach Formel (2.5)
(3.1)
3h = A + D + G. (3.2)
2 9 8 M. GUT UND M. STf]NZI
Aus dieser Gleichung gewinnen war in drei Schritten eine Gleichung, in der h selbst durch eine Summe von ganzen Zahlen ausgedrtickt ward.
War setzen in A den Summationsbuchstaben n* =n, in D den Summationsbuchstaben n* = m - n
und in G den Summationsbuchstaben n* = m + n.
Es ward, w e a l - 1 = ( ~ 1) ist: \ /
( m - 1) /2
n = l
Da die geschweifte Klammer fiir jeden Wert von n immer verschwindet, ist A + G = D, also gem/ass (3.2):
War zeigen nun, dass
ist. Ist erstens m = 1 (mod. 3), so ist
( m - 5) /2
A= n*= I
O = 3 hi2. (3.3)
A = 0 (3.4)
( m - 3) /2
x ( : ) - Z x ( : ) . n * = 2
n* ~ 1 (mod. 3) n* ~ 2 (rood. 3 )
Da X(2)= 1 ist, folgt ( m - 5 ) /2 (m - 3) /2
A = E X(4 n*) - Z X(2 n*). n * = l n * = 2
n*~ 1 (rood. 3) n*=- 2 (rood. 3)
Es ward mithin, falls man in der ersten Summe 4 n * = n setzt und in der zweiten Summe
2 n * = n : 2 m - 1 0 m - 3
A= Z x ( . ) - Z x(.). n=4. r l = 4
n--=4 (rood. 12) n--=4 (rood. 6)
Unterteilt man jede der beiden Summen in zwei Summanden, so folgt:
m - 9 2 m - l O m - 9 m - 3
A= E x(n)+ Z x(n)- Z X(n)- Z x( : ) . n = 4 n = m + 3 n = 4 n*= 10
n-=4 (rood. 12) n ~ 4 (mod. 12) n-~4 (rood, 12) n*~ 10 (rood. 12)
Die Summe des ersten und dritten Summanden verschwindet. Ebenso verschwindet die Summe des zweiten und vierten Summanden, wie man sofort sieht, wenn man in der letzten Summe n* = 2 m - n setzt.
Ist zweitens m = 2 (mod. 3), also
( m - 3)12 ( m - l ) / 2
A = • X(n*) - • X(n*) , n*= l n*= 2
n*=- 1 (rood. 3) n*~. 2 (rood. 3)
Kongruenzen zwischen Koeffizienten und Klassenzahlen 299
so folgt analog:
also
( m - 3)/2 ( m - 1)/2
A = ~" X (2 n ' l - E X (4 n*), n*= 1 n*=2
n *= _ 1 (rood. 3) n*=-2 (rood. 3)
A = m - 3 2 m - 2
Z x(n) - E x(n). n = 2 n = 8
n=-2(mod, 6) n-= 8 (mod. 12)
Unterteilt man wieder jeden der beiden Summanden, so ergibt sich:
m - 3 m - 9 m - 9 2 m - 2
A = E X (n) + E X (n) - E X (n) - Z X (n*). n = 2 n = 8 n = 8 n * = m + 3
n-.=2 (rood. 12) n_=8 (mod. 12) n_--8 (mod. 12) n*~8 (rood. 12)
Die Summe des zweiten und dritten Summanden verschwindet. Ebenso verschwindet die Summe des ersten und vierten Summanden, wie man sofort sieht, wenn man in der
letzten Summe wieder n* = 2 m - n setzt. Damit ist (3.4) bewiesen. Geht man aus yon den beiden Formeln (3.3) und (3.4) und setzt man in der zweiten
der Formeln (3.1) den Summationsbuchstaben n * = r n - n , beachtet schliesslich noch, d a s s Z(m_-i 1)[2 X(n) = 0 ist, so erh~ilt man
Ist daher
so ergibt sich
und mithin
3h/2 = D = D + A =
( m - 1 )/2
Z n = l
p = l , wenn m - 1 (mod. 3)t
/~ = 2, wenn m = 2 (mod. 3)t
( m - 3)/2
3 h/2 = - 3 X (3) ~ X (n) n = 3 - g
n--- - m (rood. 3)
(m - 3)[2
hi2 = - X(3 ) Z X ( n * ) . n * = 3 - ~
n*=~ - m (mod, 3)
(3.5)
Zum Schlusse befreien wir uns noch yon der Kongruenzvorschrif t tiber den Summan-
den. Beachtet man, dass X ( n * ) = X ( n * + m ) ist, setzt man n * + m = n ' und hierauf
3 0 0 M. GIIT LIND M. STUNZI
n' = 3 n, so erh/ilt man ( m - 3 ) / 2 (3 m - 3 ) / 2
h/2 = - X (3) Z X (n* + m) = - X (3) y ' X (n') = n*= 3 - - l t n" = 3 + m - #
n * - = - m (mod. 3) n '=-0 (mod. 3)
( m - 1)/2
= - X(3) E X(3n) , n= 1 + ( m - / ~ ) / 3
also ( m - 1)/2
hi2 = - Z X(n) . n = l + ( m - # ) / 3
Addiert man Seite fur Seite die Gleichung:
( m - # ) / 3 ( m - 1)/2
o= Z x(.) + Z n = 1 n= 1 + ( m - # ) / 3
so ergibt sich ( m - # ) / 3
h = 2 ~ X(n) . (3.6) n = l
Die Gleichung (3.6) gibt also den genauen Wert fiir h und ist natiirlich wertvoller als die Kongruenz (2), die wir jetzt zum Schluss noch beweisen werden.
Es sei, vgl. (1)
x. 1 X(t) exp tx = C(m" n) n!
f (x) = (exp m x) - 1 ' --" t = l n=O
D a f ( - x ) = - f (x), m i th in f (x) eine ungerade Funktion ist, ist C(m; 0)= 0. Folglich wird
m-- I
~' X (t) exp t x C(m; 1)= lim f(x__))= lira ,=i
x-.o x x-.o x((exp rex)-- 1)'
Da Z/ihler und Nenner fiir x = 0 verschwinden, wird
m - 1
tX( t ) exp tx t = l
C(m; 1) = ~-.olim (1 + mx)(exp r e x ) - 1"
Hier verschwinden fiir x = 0 nochmals sowohl der Z~ihler wie der Nenner. Daher wird
m - 1
t 2 X (t) exp t x C(m; 1 ) = lira t=l
~--o(2m + x m 2) exp rex '
d.h.
m - I
Weil ~ X (t) = 0 ist, ist t = l
Mithin wird modulo 3:
Kongruenzen zwischen Koeffizienten und Klassenzahlen
m--1
C(m; 1) = ~ t2X(t). I '=1
m - !
1 X C(m; 1) =
t = l
{t ~ - a} x ( t ) .
301
(3.7)
C(m; 1) - . . . . . . . X(t) (mod. 3). 2m
t = 3 t--z0 (rood. 3)
Setzt man , : 3 n u.a ~eac~et ~as~ ~ - ( ~ ) ~ 3, ~t. so ergi~t sich
(m- -~ ) /3
COn; 1 ) - ~ X(n) (mod. 3) (3.8) n = l
Aus (3.6) und (3.8) folgt: - h - C ( m ; 1) (rood. 3). (3.9)
Die Kongruenz (3.9) ist aber wegen p = 3 und ( p - 1 ) / 2 = l die zu beweisende Kon- gruenz (2).
Bemerkung Da h:> 1 ist, so ist klar, dass wenn h <p ist, der kleinste ganzzahlige positive Rest
p+l n 1\ m o d . p v o n - C ( - 1 ) - T m ; ~ ) gleich der Klassenzahl h=h(d)selbst ist.
Nun gelten jedenfalls folgende beiden Siitze, vgl. Gut [3]: Es liege ein imagingr quadratischer ZahlkiSrper mit der Diskriminanten d vor, so
dass flit ganzrationalzahliges quadratfreies D: entweder d = D, D - 1 (mod. 4) oder d=4D, D-2,3 (mod. 4).
Ist k der K6rper der rationalen Zahlen, so ist also der K6rper mit der Diskriminanten
dde r KiSrper k ( x / ~ .
HAUPTSATZ. Ftir die Klassenzahl h des K~Srpers k(,fD}, wo d < - 4 ist, gilt die Ungleichung
h < Id[/4.
302 M. GUT UND M. STf3NZI
ZUSATZ. W e n n d = 4 D , D - 2 , 3 (rood. 4) ist, gilt sogar die Ungle ichung
h < Idl/12 = IDI/3,
falls man, abgesehen von dem sowieso ausgeschlossenen Fall d = - 4 , die Kt~rper mit
den Diskr iminan ten d = - 8 , d = - 2 0 und d = - 2 4 ausschliesst.
Fiir alle Diskr iminan ten d < - 4 ist also insbesondere der kleinste ganzzahlige
positive Rest mod. p yon - C(- ( - D~2)-m " * p - 1"~ fiJrjede ungerade Primzahl p immer " ' 2 J \
die Klassenzahl selbst, wenn d = l (mod. 4) und m = l oder m = 3 ist, bezw., wenn
d - 0 (mod. 4) und m < 12 ist.
LITERATURVERZEICHNIS
[1] N. C. ANKENY, E. ARTIN UND S. CHOWLA, The class-number of real quadratic number fields, Ann. Math. 56 (1952), 479-493.
[2] A. L. CAUCHY, M6moire sur la th6orie des hombres. M6moires de l'Acad6mie royale des sciences de l'Institut de France, t. 17 (1840). Oeuvres, (I), 3, 5-452.
[3] M. GOT, Abscbhtzungen fiir die Klassenzahlen der quadratischen K6rper. Acta Arithmetica VIII (1963), 113-122.
[4] E. HECKE, Vorlesungen iiber die Theorie der algebraischen Zahlen, Leipzig 1923. [5] A. HURWITZ, Ueber die Anzahl der Klassen bin~irer quadratischer Formen von negativer Deter-
minante. Math. Werke Bd. II S. 208 und Acta Mathematica Bd. 19 (1895), 351 und 20 (1897), 312.
Eingegangen den 7. Mai 1966
Zusatz bei der Korrektur:
Wie ich nachtr~glich von den Herren A. A. KISELEV und J. Sch. SLAVUTSKY erfahren habe, enth~ilt eine 1964 in Leningrad erschienene von ihnen verfasste Arbeit (Trudy (~etvertogo Vsesojuznogo Matemati~eskogo Sezda, 3.-12. Juli 1961, Bd. II, S. 105-112, Leningrad 1964) nicht nur die Formel (2), sondern fiirh auch Kongruenzen modulo einer Potenz von p fiJr gewisse Koeffizienten von gr6sse- rein als dem Index (p-1)/2 der Reihe auf der rechten Seite von (1). Ihr Resultat ist natiirlich mit anderen Mitteln als dem bier benutzten Eulerschen Kriterium gewonnen worden. [M.G. ]
