Multivariate Analysemethoden · Psychologie. y: Linear-kombination. 2D Beispiel Diskriminanzanalyse. Koeffizienten. von y. Das Auffinden der Koeffizienten b 1 und b 2 ist also identisch

Methoden derPsychologie

Multivariate Analysemethoden

Günter MeinhardtJohannes Gutenberg Universität Mainz


Vorlesung

Einführung Was sind multivariate Analysemethoden?

Verfahrensdarstellung in • Überblick • Grundprinzip• wichtigsten mathematischen Beziehungen• Anwendungsbeispielen• Durchführung mit Excel und Statistica

Übung/Tut Vermittlung von Hintergründen/Voraussetzungen • Grundlagen (Vektoren/Matrizen)• Wiederholung / Durcharbeiten der Beispiele• Aufgaben und Anwendungen auf verwandte

ProblemePrüfung

• Klausur zum Abschluss des Moduls gemeinsam mitTesttheorie


Literatur


a) b)

c) d)


Inhalte imSS 2019


Multivariate Distanz

Grundlagen

Vektoren / Matrizen

Eigenwertzerlegung


Inhalte imSS 2019


Multiple Regression

Verfahren

MDS

Faktorenanalyse

Diskrimimanzanalyse

Kanonische Korrelation

MultivariateKlassifikation

StatistischesEntscheiden


Einteilung


Latente Variable

• Faktorenanalyse• Diskriminanzanalyse• MDS• Strukturgleichungen• Kanonische Korrelation

Konkrete Variable

• Multiple/LogistischeRegression

• T2 / MANOVA• Conjoint Measurement• Kanonische Korrelation

Multivariate Analysemethoden


Mittelwertsprüfung bei mehreren Variablen

Beispiel

X1: GehaltX2: EntscheidungsfreiheitX3: Qualität der Kommunikation

ArbeitX4: EheX5: Freunde/BeziehungenX6: Sexualität

Privatsphäre

X7: LebensansprücheX8: Sinnhaftigkeit

PersonX9: HobbiesX10: Sport/Fitness

Aktivität

1 2 10, , ,x x x

Lebenszufriedenheit

Gesunde Herzinfarktpatienten

10 Variablen

2 Gruppen


Multivariate Mittelwertsvergleiche - Einzeltestungen

Teststrategie

Ausweg

Frage Unterscheiden sich Gesunde und Patienten im Variablen-komplex Lebenszufriedenheit?

Wir testen auf jeder der 10 Skalen den Gruppenunterschied mit einem t- Test. Wenn irgend einer der Tests signifikantwird, sehen wir die Gruppen als verschieden an.

Probleme 1. Multiples Testen: Dieselbe Hypothese wird 10 mal geprüft.2. Unterstellte Unabhängigkeit: Man behandelt die einzelnen

Skalen als unabhängig voneinander.3. Fehlendes Konstrukt: Lebenszufriendenheit wird nicht als

Variablenkomplex mit Binnenstruktur behandelt.4. Mangelnde Teststärke: Man nutzt nicht die Korrelations-

struktur der Variablen für einen leistungsfähigen Test.

Verwendung eines multivariaten Tests, der die Information aller 10 Variablen und ihrer Korrelationsstruktur in einestatistische Prüfgrösse einfliessen lässt.


Latente Variable

Verfahren Latente Variable

Multidimensionale Skalierung

Problem:

Positionierung von Messobjekten in einem latenten Raum (hier: Wahrnehmungsraum)

Möglichkeiten:

Faktorenanalyse MultidimensionaleSkalierung


LatenteVariable


Faktor / MDS

Demo - Beispiel mit Excel und Statistica


Multivariates Testen


Grundüberlegungen zum Unterschied des Testens mit einer AV und mehreren AVs

Grundprinzip und Beispiel anhand einer 2 Vars – 2 Groups Diskriminanzanalyse


Multivariate Mittelwertsvergleiche - Verfahren

MultivariatesTestkonstrukt

Variablen-komplex

Verfahren

1 2 10, , ,x x x

Multivariate Distanz(Mahalanobisdistanz)

Multivariate Quadratsummen(SSCP-Matrizen-Zerlegung)

Optimale Linearkombination(Linear Discriminant Function)

Hotelling‘s T2 MANOVA Diskriminanz-Analyse

Alle Verfahren entscheiden über den Gruppenunterschied imgesamten Variablenkomplex mit einem statistischen Test


Grundprinzip(2 Gruppen)

Multivariates Testen - Diskriminanzanalyse

1 2, , , mx x x

Für die m Variablen

finde eine Linearkombination zu einer neuen Variable

0 1 1 2 2 m my b b x b x b x

so dass diese die Gruppen c1 und c2 optimal trennt.

Das Optimierungskriterium für die Wahl der bj lautet

erklärte Variation maxnicht erklärte Variation

Between

Within

QSQS

= =

Die der bj sind so zu wählen, dass auf der neuen Variable y die Streuung zwischen den Gruppen zu der Streuung innerhalb der Gruppen ein maximales Verhältnis hat.

Kriterium derOptimierung


2D-Beispiel Man möchte trennen

anhand von

Anforderung

2D Beispiel Diskriminanzanalyse

Stechmückenc1

Blindmückenc2

Fühlerlängex1

2 Gruppen

2 Variablen Flügellängex2

• Maximale Gruppentrennung (Mittelwerte)• Minimale Klassifikationsfehler (Fall-Klassifikation)


0.00

0.20

0.40

0.60

0.80

1.00

1.20

1.40

0.00 0.10 0.20 0.30 0.40 0.50 0.60 0.70

(Fühlerlänge)

Blindmücke

Stechmücke

Variablenraum

• Klassifiziere anhand von Fühlerlänge (X1) und Flügellänge (X2)möglichst eindeutig in Stechmücke (c1) und Blindmücke (c2).

• In beiden Gruppen existiert eine Korrelation der Variablen Fühlerlänge (X1) und Flügellänge (X2).

Ausgangslage


x1

(Flügelänge)x2

Regression Stechmücke

Regression Blindmücke


Bestes Kriterium auf x1

Blindmücke

Stechmücke

• Klassifiziere anhand von Fühlerlänge (X1) und Flügellänge (X2)möglichst eindeutig in Stechmücke (c1) und Blindmücke (c2).

• Das geht mit einem Kriteriumswert auf jeder einzelnen Variable X1und X2 offenbar nicht.

Problem


x1

x2

Bestes Kriterium auf x2

Variablenraum


0.00

0.20

0.40

0.60

0.80

1.00

1.20

1.40

0.00 0.10 0.20 0.30 0.40 0.50 0.60 0.70

(Fühlerlänge)

Blindmücke

Stechmücke

Variablenraum


x1

(Flügelänge)x2

Kriteriumsfunktion

Lösung Eine lineare Kriteriumsfunktion teilt den Variablenraum in 2 Gebiete: Oberhalb Stechmücke (c1), unterhalb Blindmücke (c2).

Somit folgt die Klassifikationsfunktion

( ) 1 2 11 2

2 2 1

, wenn ,

, wenn c x ax b

g x xc x ax b

− >= − ≤

2 1x b ax= +

2 1x b ax= +


Einfache Lösung


Zuerst die Daten im Nullpunkt zentrieren und dann um den optimalen Winkel α drehen !

x1

1x′

2x′x2

α

α

Zentrierung&

Rotation !

Die Varianz zwischen den Gruppen wird auf der Achse x‘1maximiert, und x‘2 steht senkrecht x‘1. Eine Parallele zu x‘2 liefert das optimale Trennkriterium.


z-Standard


standardisiert

-3.00

-2.00

-1.00

0.00

1.00

2.00

3.00

-3.00 -2.00 -1.00 0.00 1.00 2.00 3.00

z1

z2


z-Standard


Diskriminanz-funktion

• Die neue x- Achse z1‘ ist die Diskriminanzfunktion y. Auf ihr läßtsich ein Kriterium zur optimalen Trennung beider Gruppen finden.

1 1 1 2 2z b z b z′ = +

• Da eine Drehoperation auf die Diskriminanzfunktion geführt hat, ist sie darstellbar als eine Linearkombination der alten Koordinaten:

-3.00

-2.00

-1.00

0.00

1.00

2.00

3.00

-3.00 -2.00 -1.00 0.00 1.00 2.00 3.00

z‘1

z‘2

Koordinaten rotiert um α = 46° (clockwise)


y: Linear-kombination


Koeffizientenvon y

Das Auffinden der Koeffizienten b1 und b2 ist also identisch mit dem Problem, den optimalen Drehwinkel α zu bestimmen. Hierfür braucht man ein Kriterium der gewünschten maximalen Trennung, und die Lösung des dahinter stehenden Maximierungsproblems.

y (Diskriminanzfunktion)

Kriterium y0

1 1

2 2

cos sinsin cos

z zz z

α αα α

′− = ′

1 2 1

1 2 2

cos sinsin cos

z z zz z z

α αα α

′− =′+ =

Da 1y z′= gilt

1 1 2 2y b z b z= +

mit 1 cosb α= und 2 sinb α= −

[Excel-Beispiel]


Rotation zury - Funktion



z1

z2

Klassifikation • Case-Classification durch einfachen Vergleich mit dem Kriterium y0.

• Prüfung des Gruppenunterschieds mit einem einfachen t - Test auf y.


Kriterium y0

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Multivariate Analysemethoden · Psychologie. y: Linear-kombination. 2D Beispiel Diskriminanzanalyse. Koeffizienten. von y. Das Auffinden der Koeffizienten b 1 und b 2 ist also identisch