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Konstruktion der ganzen Zahlen Z aus N
von Sebastian Müller
Motivation:
Gehen wir ersteinmal davon aus, wir wüssten, was Subtraktion bedeutet. Dann kann maneine ganze Zahl z, so wie man sie aus der Schule kennt, als Differenz zweier natürlicher Zahlenm und n darstellen:
z = m− n
Allerdings kann man ja zu m und n beliebige Werte dazu addieren, ohne dass sich die Differenzändert:
(m + a)− (n + a) = m− n
Damit kann man sagen, dass zwei Differenzen (m− n) und (m′ − n′) gleich sind, falls gilt:
m + n′ = m′ + n
Und damit haben wir diese “Äquivalenz” (wie sich herausstellen wird) auf Basis der bisherdefinierten Operationen auf N “definiert”.
Nun könnte man sich für die Addition überlegen:
(m1 − n1) + (m2 − n2) = (m1 + m2)− (n1 + n2)
sowie für die Multiplikation:
(m1 − n1) · (m2 − n2) = m1m2 −m1n2 − n1m2 + n1n2
= (m1m2 + n1n2)− (m1n2 + n1m2)
Konstruktion:
Nach obiger Motivation definiert man eine Äquivalenzrelation ∼ auf N0 × N0 (also ∼⊆(N0 × N0)2):1
(m, n) ∼(m′, n′
):⇔ m + n′ = m′ + n
Und damit definiert man (wie in der Übung besprochen):
Z := N20/∼
= {[(m, n)]∼ |m, n ∈ N}
1Die 0 nehme ich aus ästhetischen Gründen dazu. Dass es sich um eine Äquivalenzrelation handelt kann manals Übungsaufgabe machen. :)
1
Addition: Nun definiert man die Addition wie folgt: ∀[(a,b)]∼,[(c,d)]∼∈Z
[(a, b)]∼ + [(c, d)]∼ := [(a + c, b + d)]∼
Dies ist wohldefiniert, also unabhängig vom Repräsentanten:
Beweis: Seien (a, b) ∼ (a′, b′) , (c, d) ∼ (c′, d′) ∈ N20 beliebig. Es gilt:
(a + c) +(b′ + d′
)=
(a + b′
)+
(c + d′
)Vor.=
(a′ + b
)+
(c′ + d
)=
(a′ + c′
)+ (b + d)
⇔ (a + c, b + d) ∼(a′ + c′, b′ + d′
)⇔ [(a + c, b + d)]∼ =
[(a′ + c′, b′ + d′
)]∼
Damit ist die Addition wohldefiniert. �
Eigenschaften der Addition:
• Assoziativität: ∀[(a,b)]∼,[(c,d)]∼,[(e,f)]∼∈Z
([(a, b)]∼ + [(c, d)]∼) + [(e, f)]∼ = [((a + c) + e, (b + d) + f)]∼(N,+)= [(a + (c + e) , b + (d + f))]∼
= [(a, b)]∼ + ([(c, d)]∼ + [(e, f)]∼)
• Kommutativität: ∀[(a,b)]∼,[(c,d)]∼∈Z
[(a, b)]∼ + [(c, d)]∼ = [(a + c, b + d)]∼(N,+)= [(c + a, d + b)]∼
= [(c, d)]∼ + [(a, b)]∼
• Neutrales Element [(0, 0)]∼: ∀[(a,b)]∼∈Z
[(a, b)]∼ + [(0, 0)]∼ = [(a + 0, b + 0)]∼= [(a, b)]∼
• Inverse Elemente: ∀[(a,b)]∼∈Z
[(a, b)]∼ + [(b, a)]∼ = [(a + b, b + a)]∼= [(a + b, a + b)]∼
a + b = a + b
⇔ (0, 0) ∼ (a + b, a + b)⇔ [(a, b)]∼ + [(b, a)]∼ = [(0, 0)]∼
Damit gibt es auf Z, im Gegensatz zu N0, zu jedem Element ein Inverses und (Z, +) ist somiteine abelsche Gruppe.
2
Multiplikation Weiter definiert man die Multiplikation auf Z wie folgt:∀[(a,b)]∼,[(c,d)]∼∈Z
[(a, b)]∼ · [(c, d)]∼ := [(ac + bd, ad + bc)]∼Dies ist ebenfalls wohldefiniert, also unabhängig vom Repräsentanten:
Beweis: Seien (a, b) ∼ (a′, b′) , (c, d) ∼ (c′, d′) ∈ N20 beliebig. Es gilt:
(ac + bd) +(a′d′ + b′c′
)=
(a′c′ + b′d′
)+ (ad + bc)
⇔ (ac + bd) +(a′d′ + b′c′
)+
(b′c + a′d + bd′ + ac′
)=
(a′c′ + b′d′
)+ (ad + bc) +
(b′c + a′d + bd′ + ac′
)⇔
(a + b′
)c +
(a′ + b
)d +
(a′ + b
)d′ +
(a + b′
)c′ =
(a′c′ + b′d′
)+ (ad + bc) +
(b′c + a′d + bd′ + ac′
)Vor.⇐⇒
(a′ + b
)c +
(a + b′
)d +
(a + b′
)d′ +
(a′ + b
)c′ =
(a′c′ + b′d′
)+ (ad + bc) +
(b′c + a′d + bd′ + ac′
)⇔
(a′c′ + b′d′
)+ (ad + bc) +
(bc′ + ad′ + b′d + a′c
)=
(a′c′ + b′d′
)+ (ad + bc) +
(b′c + a′d + bd′ + ac′
)⇔
(bc′ + ad′ + b′d + a′c
)=
(b′c + a′d + bd′ + ac′
)⇔
(bc′ + ad′ + b′d + a′c
)+
(a′c′ + b′d′ + ad + bc
)=
(b′c + a′d + bd′ + ac′
)+
(a′c′ + b′d′ + ad + bc
)⇔
(a′ + b
)c′ +
(a + b′
)d′ +
(a + b′
)d +
(a′ + b
)c = b′
(c + d′
)+ a′
(c′ + d
)+ b
(c + d′
)+ a
(c′ + d
)Vor.⇐⇒
(a′ + b
)c′ +
(a + b′
)d′ +
(a′ + b
)d +
(a + b′
)c = b′
(c + d′
)+ a′
(c′ + d
)+ b
(c′ + d
)+ a
(c + d′
)⇔
(a′ + b
) (c′ + d
)+
(a + b′
) (c + d′
)=
(a′ + b
) (c′ + d
)+
(a + b′
) (c + d′
)⇔ 0 = 0
⇔ (ac + bd, ad + bc) ∼(a′c′ + b′d′, a′d′ + b′c′
)⇔ [(ac + bd, ad + bc)]∼ =
[(a′c′ + b′d′, a′d′ + b′c′
)]∼
Damit ist die Multiplikation wohldefiniert. �
Eigenschaften der Multiplikation:• Assoziativität: ∀[(a,b)]∼,[(c,d)]∼,[(e,f)]∼∈Z
([(a, b)]∼ · [(c, d)]∼) · [(e, f)]∼ = [((ac + bd) e + (ad + bc) f, (ac + bd) f + (ad + bc) e)]∼(N,·)= [(a (ce + df) + b (cf + de) , a (cf + de) + b (ce + df))]∼= [(a, b)]∼ · ([(c, d)]∼ · [(e, f)]∼)
• Kommutativität: ∀[(a,b)]∼,[(c,d)]∼∈Z
[(a, b)]∼ · [(c, d)]∼ = [(ac + bd, ad + bc)]∼(N,·)= [(ca + db, da + cb)]∼= [(c, d)]∼ · [(a, b)]∼
• Neutrales Element [(1, 0)]∼: ∀[(a,b)]∼∈Z
[(a, b)]∼ · [(1, 0)]∼ = [(a · 1 + b · 0, a · 0 + b · 1)]∼= [(a, b)]∼
Damit ist (Z, ·) ein abelscher Monoid.Damit (Z, +, ·) ein Ring wird fehlt nur noch das Distributivgesetz: ∀[(a,b)]∼,[(c,d)]∼,[(e,f)]∼∈Z
[(a, b)]∼ · ([(c, d)]∼ + [(e, f)]∼) = [(a, b)]∼ · [(c + e, d + f)]∼= [(a (c + e) + b (d + f) , a (d + f) + b (c + e))]∼= [((ac + bd) + (ae + bf) , (ad + bc) + (af + be))]∼= [(ac + bd, ad + bc)]∼ + [(ae + bf, af + be)]∼= [(a, b)]∼ · [(c, d)]∼ + [(a, b)]∼ · [(e, f)]∼
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Zu guter Letzt bettet man noch N in Z ein2:
N ↪→ Zn 7→ [(n, 0)]∼
Voila!
Z ist der kleinste Ring (bis auf Isomorphie) der N enthält. Einfacher Weise schreibt man Zwie gewohnt:
Z = N ∪ {0} ∪ −N= {. . . ,−2,−1, 0, 1, 2, . . .}
2Man kann einfach zeigen, dass die sich die Rechengesetze übertragen.
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