Archiv far Elektrotechnik 65 (1982) 87--92 A r c h i v f t i r E l e k t r o t e c h n i k

�9 Springer-Verlag 1982

Kraftwirkung eines Wanderstrombelages auf eine Folge leitender Zylinder im Luftspalt

L. H a n n a k a m u n d R. Orglmeister, Berl in

Ubersicht : Im Spaltraum zwischen zwei nicht leitenden hoch- permeablen I-Ialbrgumen bewegt sich mit konstanter Ge- schwindigkeit eine /i.quidistante Folge langer leitender iRecht- eckzylinder senkrecht zu ihrer Achse. An der Berandung des einen Halbraumes pflanzt sich in gleicher Richtung ein axial gerichteter Strombelag sinusf6rmiger Verteilung mit konstan- ter Relativgeschwindigkeit fort. Es wird unter Zuhilfenahme komplexer Eigenwerte das Feld des bewegten Systems und die Schubkraft in Ausbreitungsrichtung bestimmt. Diagramme zeigen den Verlauf der ersten Eigenwerte in Abh/ingigkeit yon der Leiterbreite, die beidell ersten Eigenfunktiouen, die Ver- teilung der Verlustleistungsdichte sowie die Anderung der Schubkraft mit der Relativgeschwindigkeit.

Force Due to Travel l ing Surface Current on a Series of Conducting Cylinders in Air Gap

Contents: A series of conducting rectangular cylinders equi- distantly located between two hig h permeable non-conducting semi-infinite spaces moves perpendicular to its axis with constant velocity ill the air-gap formed by the two spaces. On the boundary-surface of one semi-infinite space, an axially oriented surface-current with sinusoidal distribution is moving in the same direction as tile series of cylinders with a constant velocity. Using complex eigenvalues, tile field of the described moving system and the force of propulsion in the direction of propagation are determined. Diagrammes showing the depen- dence of eigenvalues on the width of the conductors, the graphs of the first two eigen-functions, the distribution of the density of power-loss and the propulsion force as a function of relative velocity are also given in this investigation.

1 P r o b l e m s t e l l u n g

Zwischen den n ich t le i t enden hochpermeablen Halb- r~tumen y ~ 0 u n d y ~ h des Brides I ist eine Folge l e i t ender Zyl inder der 13reiten 2a u n d der H6hen h angeordne t , deren Achsen parallel zur z-Achse ver- laufeI1 u n d die gleichen Abst~tnde 2c aufweisen. Die Zy l inde r der Leitf~ihigkeit ~ 4 - 0 ul ld der Perme- abi l i tg t # = #0 werden mi t kons t an t e r Geschwindig- kei t v in posi t iver x -Rich tung bewegt. In der Ebene

y = h ist ein z-gerichteter Wander s t rombe lag an- gebracht , der sich mi t kons t an t e r Geschwindigkei t w in posi t iver x -R ich tung bewegt u n d zum Ze i t punk t t = 0 die Vertei lung K0cos (nx/2c) aufweist. Zu bes t immen sind die in den le i tenden Zy l inde rn indu- zierten Wirbels t r6me und die auf e inen Zyl inder ans- getibte Kraf t .

2 A u f s t e l l u n g der P o t e n t i a l a n s i i t z e

Die analyt ische B e t r a c h t ung wird in dem Koordina- t ensys tem (~,y, z) vorgenommen, das in der Fo rm x = v / + ~ mi t den le i tenden Zy l inde rn mi tbewegt wird, an t die somit nach E in f i ih rung der Rela t iv- geschwindigkei t u = w - v der erregende Wander - belag

[ 1 I ( w t - x ) = K o c o s 7~ K o cos

in Fo rm der folgenden beiden ruhenden Wechsel- s t rombelgge K s u n d K# der Kreisf requenz co = azu/2c einwirkt :

K,(~, t) cos (n~) cos (~ot) . (t) K#(~, t) --= K~ sin ~-c sin

Y Yl

x=0 :0 x,~

Bild 1. Die betrachtete Folge bewegter leitender Rechteck- zylinder mit dem erregenden Wanderstrombelag

OOO3-9o~9i82/OO65/0087/S t .20

88 Archiv ffIr Elektrotechnik 65 (1982)

Yi17 /a,~/oy=l~&

o / o ~ 7 a i ] ,4~/8y=0

Y h

A~=0.

b ~A

a,4~lOy=#l(~ /

a c

~lOy=o

Bild 2 a und b. Das ruhende ~.- und fi-System mit Angabe der Randbedingungen an den ~erandungen

Die Erregung des a-Systems ist zur Ebene ~ -- 0 symmetrisch, wghrend das /~-System eine zur ge- nannten Ebene schiefsymmetrische Erregung auf- weist. Die gleiehen Symmetrieeigenschaften mul3 das feldbeschreibende z-gerichtete quellenfreie Vektor- potent ial A = A(~,y, t) aufweisen, dessen Wirbet die x-Komponente #H, = OA/~y und die y -Kompo- nente #H, = - -~A/Sx der Indukt ion angeben. Damit mfissen die Vektorpotentiale A~ und Ar der beiden Systeme die in 13ild 2 angegebenen Randbedingungen erftillen. Weiterhin miissen sie im leitenden Gebiet 0 ~-~ <= a der Skingleichung AA = a/~ ~A/~t und im Luf t raum a < ~ ~ c der Laplace-Gleichung AA -- 0 gentigen.

Zwecks einer iibersichtlichen Darstellung der Ansgtze ftir die Potentiale A ~ und A ~ werden zun~tehst mit der komplexen Skinkonstanten k der Eigenschaft k ~ = jo)~# die Funktionen

%(~, ~) = cos (p~) sin q,,(c -- ~) mit q'~ = fl~ q- k~

(2) definiert, deren komplexe Eigenwer{e p~ und r,, durch Aufl6sung der folgenden beiden Eigenwertgleichun- gen aus den Abmessungen (a, b) und aus der Skin- konstanten k bes t immt werden:

f~(p,~) = --p,, ta~ (p,,a) tan (q,~b) + q,~ = O, (3)

f~(r,,) - - r,, - - s,, tan (r~a) tan (s~b) = 0 .

Die Funktionen (2) mit den durch (3) festgelegten komplexen Eigenwerten bilden die Eigenfunktionen

= ~,,(r 4 w~(r a) q)~(r %,(a, r und ~ ( r : - ~o~(a, r

0 ~ r ~ a (4) ftir

a < r

die an der Stelle r -- a stetig sind und wegen der Eigenwertgleiehungen (3) auch stetige Ableitungen aufweisen. Mit ihnen werden mit den zun/ichst un- bekannten komplexen Konstanten C~ und D,~ die

Potentialansatze

//~ oo c~q~,,(~) cosh(q,~y~eJO~t Ar (r y ' ~) = Re,~=~s --jD.}P.,(r (s)

fo]gender Eigenschaften aufgestellt :

1) sie erfiillten im Gebiet 0 ~ ~ ~ a der leitenden Rechteekzylinder die Skingleiehung und im Luft-- raum a ~. ~ ~ c die Laplace-Gleiehung,

2) sie weisen in der Ebene ~ = a einen stetigen Verlauf und eine stetige ~-Ableitung auf, wodurch die Stetigkeit beider Komponenten der magnetischen Feldst~irke in dieser Ebene garantiert ist,

3) sie erfiillen die in Bild 2 aufgeftihrten Rand- bedingungen ill den Ebenen ~ = 0, ~ = c und y = 0.

3 B e s t i m m u n g des m a g n e t i s c h e n Fe ldes

Die unbekannten Kortstanten C~ mid D~ der Poten- tialansS.tze (5) werden aus den irt Bild 2 angegebenen Randbedingungen in der Ebene y = h best immt, die mit den Ans~ttzen (5) zu den Forderungen

,~=1 D~s~ga~(~) sinh h = (6) _ _ \s,~ #~176 sin 7c

ffihren. Da die komplexen Eigenfunktionen (4) auf- grund der Eigenwertgleichungen (3) die Ortho- gonalit/itsrelationen

de = ~ ~o~(r a) ~o,,(r a) a W,,.(r a) W~(r a) f ~(~) ~(~) %(r ~(~)

0

d~ + 0

r

+ C %,(a, ~) ~%(a, ~) d~- - - 0 o v,,,(< r w~(a, r g

ftir m q= n erffillen und ftir m = n die Normen

; g a / 2

0 0 6

~ ~(~' r < (7) t~

ergeben, erh/ilt man durch Integrat ion der mit den Eigenfunktionen (4) multiptizierten Forderungen von

= 0 his ~ ~ c fiir die gesuchten Konstanten C~ und D~ die Bestimmungsgleichmlgen

D~,s,,M,~ sinh s . h = #oKo ~ ( ~ ) sin ~-c d~ -- 0

v

= # ~ 1 7 6 sin ~ d~q-#o~o3~o~( / 'a ,~ ) s in ~-c d~_ . o ~ (8)

L. Hannakam und R. Orglmeister: KrMtwirkung eines Wanderstrombelages auf icitende Zylinder im LuftspMt 89

Die Auswertung der Integrationen in (7) ergibt mit den Abktirzungen

fl 1 sin e f~ (~' fl) = 4fi cos 2 o~ (2fl -~ sin eft)

ftir die beiden Normen N,~ und M~, die Ausdrticke

.N. -- k(q.b, p.a) + f~(p.a, q,~b) (9)

M,~ = f~(s,,b, r~a) 4-, fx(rna, sub ) .

In gleicher Weise liefert die Auswertung der Integrationen in (8) mit den Funktionen

g~ g,,

(o~) = • (~)~- (~/2i)~"

[ sin (ea) C~ (aa)C~ , �9 (~a)cos sin 7c -- 2c sin cos \~-c/j

(~o)

g~ -~

�9 (eb) sin(C&)sin 7 -- ~-~ cos ) cos ~-~

ftir die Konstanten C~ und D. der Potentialans/itze (5) die nachstehend angegebenen Beziehungen, so dab mit den nunmehr bekannten Vektorpotentialen nach dem Induktionsgesetz anch die gesuchten Strom- dichten G = --joozA bekannt sind:

sin (qnb) gt(pna) + cos (pna) ga(qnb) C n - ['t~176 qnaNn sinh (qn h) '

( t l ) cos (snb) g2(rna) + sin (rna) g4(snb)

Dn -- tt~176 s~aM n sinh (s~h)

4 Die Kraftwirkung

Die hier interessierende, auf einen leitenden Zylinder der Breite 2a wirkende Schubkraft wird dureh Inte- gration der in positiver x-Richtung weisenden Kom- ponenten T. der lV[axwellschen Spannungen er- mittelt , wobei nur die F1/iche y = h einen Beitrag zur Schubkraft liefert. Drfickt man die auf der genannten Fl~tche auftretende Komponente H.(~, h, t) der ma- gnetischen Feldst/irke durch den Strombelag K(~, l) aus, so erh~tlt man die Maxwellsche Spannung

Tx(~, h, t) = t~oHy(~, h, t) K(~, t) .

Der gleiche Ausdruck resultiert auch aus der auf den vorgegebenen Strombelag wirkenden Strom- kraitdiehte.

Das Einsetzen der Gr6gen der beiden Systeme und /5 und die Integration tiber den Bereich --c ~ _<__ +c liefert zunS.chst ftir die Schubkraft auf

einen leitenden Zylinder den Ausdruck

g

F, = P,o f (HypK~ -~- .Hy~K~ ~ HyJg , + ttyaKa) de . - - c

Stellt man allgemein eine harmonische Zeitfunktion durch die Beziehung P(r, t) = Re {P(r) e j-t} mit der komplexen Amplitude P(r) dar und kennzeichnet man durch einen tibergesetzten Stern (*) den konju- gierten Wert einer komplexen Gr6Be, so erf/ihrt nach Berticksichtigung der Symmetrieeigenschaften des Integraaden der teitende Zylinder pro axialer L~ingen- einheit im zeitlichen Mittel die x-gerichtete Kraft

F.~ Re .~ ~0[H,,(~, l,) K~(~) + H,~(~, 1,) K~(~)] d~. 0

(12) Die auftretenden Feldstgrkekomponenten findet mail durch Wirbelbildung der Vektorpotentiale (5) und bringt damit das Integral auf die Form

6

] + jD,, ~ ~tr cosh (s.h)j de =--

q _ f ( dr,(a, r * d~o.(r a) /~(~)) d~ ] ,c. d~ N~(r 0 ~ a

deren Auswertung nach Umfonnung die folgende Beziehung Itir die Schubkraft pro axialer Lgngen- einheit liefert :

F - Re jK o cosh (s~h) [r,~ cos (s,~b) gl(r,~a) +

. s,~ sin (r~,a) ga(s,,b)~ + C,~ cosh (q,fi) �9 "t

�9 [p~ sin (q,,b) g2(p,,a) + q. cos (p.a) g4(q,~b)]}. J

(13)

5 Prakt isches Beispiel

Die numerische Auswertung wird ftir einen halben Abstand yon c = 10 em zwischen zwei aufeinander folgenden leitenden Zylindern bei Variation aller anderen Abmessungen vorgenommen. Dabei wird betriebswarmes Kupfer mit einer Eindringtiefe yon d (2/o)~#) 1/2 = t c m bei einer Frequenz yon 50 Hz als Leitermaterial verwendet. Eine tibersichtliche Darstellung der Ergebnisse erm6glicht die der Re-

90 Archiv f~r Elektrotechnik 65 (t982)

0,1 O.Z 0.3 0,4 0,40 0,45 0.50 0,55 0,76 0,80 o ~/i:.0~0,9 1 %:~d-o91

08N 0,as ' / / ~&~

o3 , ! 0,Z o,75 / to<l; ; o,~s 'o4s

010 . . . . . . . . . . . . 008 i

.~~ ' =' 10.6 "'7 I~

o,15 o,1~ - oT , 0

~ 0 , 5 I ' ' 0.1

0,16 . . . . . . . . . 33

0.51a I I 025 b : / 0,20-c

0,84

~

1,090 1,115 "o/c =1',0

0.9~ I

0,85

o,o~ 7<0 I O. ,8

~ 0 , 6

0,0~ ,0,55

0,4~0,35

~,075 0,3

0,10[ 0.1 _

0

d 0,125

Bild 3 a - - d . Die komplexen Eigenwerte pn als Funktiort der bezogenen Leiterbreite a/c bei einer Universa lkonstanten der Gr613e)~ = 10 I~lr die Ordnung ~r yon a i ; b 2; d 3; und e 4

lativgeschwindigkeit u proportionale Universalkon- stante

(2ct~ l~ 2cu 2 = 2 \ ~ a ] = ~ - "

Die zur praktischen Feldberechnung notwendigen komplexen Eigenwerte p,,, q,~ bzw. r~, s~ werden aus den Eigenwertgleichungen (3) nach dem Newtonschen Verfahren wie folgt i terativ bestimmt:

f~(Pn) mit f ' d f. + 1 = Pn, r f;fPn) == dp~"

Die Iteration wird mit den Anfangswerten p~,o bzw. r,,0 gestartet, die sich aus den Eigenwert- gleichungen ftir den Fall verschwindender Skin- konstante k ergeben. Der Verlauf der ersten Eigen- werte in Abh~tngigkeit yon der bezogenen halben Leiterbreite a/c bei einer Relativgeschwindigkeit von 2,45 m/s, was dem Weft 2 = 10 der Universatkon- stante entspricht, ist in Bild 3 graphisch dargestellt. Die Anzahl der dabei in der komplexen Ebene auf- tretenden Schleifen w~ichst mit der Ordnungszahl n der Eigenwerte, w~ihrend sich ihre Gr6Be vermin- deft.

Wie der Verlauf der beiden Eigenfunktionen ~bn(~ ) und }P~(~') nach (4) in BUd 4 zeigt, sind mit obigen Eigenwerten die Randbedingungen in den Ebenen

= 0, a, c erftillt. Mit den nunmehr bestimmten komplexen Eigen-

werten kann auf einfache Weise aus dem Vektor- potential die Verteilung der Verlnstleistung tiber den Leiterquerschnitt errechnet werden. Ftir den zeit-

lichen Mittelwert der Verlustleistungsdichte gilt die Beziehung

P=2-~ ~ A(~, y) . (t4)

BUd 5 veranschaulicht den Verlauf der auf den Wert

P0= 7 -4~-~ K0

bezogenen Verlustleistungsdichte bei drei verschie- denen Relativgeschwindigkeitert mit der Zunahme der Stromverddingung bei schrtellerer zeitlicher Feld- ~nderung.

Bild 6 zeigt for das beschriebene Beispiel den Verlauf der auf F 0 = O,lCtZoK ~ bezogenen Schubkraft pro axialer Lg.ngeneinheit in AbhS.r@gkeit vort der UniversMkollstanten )~ mit der bezogenen Leiter- breite a/c als Parameter. Mit wachsellder Breite des Leiters gehen die Kurven nach Gleichung (13) in den Grenzfall a = c verschwindenden Luftspaltes tiber, ftir den die Schubkraft durch die Beziehung

~cosh (qh) F* = ~~176 2 Im [~s~hnh (~) /

mit dem komplexen Wert

gegeben ist. Somit wird die Richtigkeit der durch- gefiahrten Rechnung bestS.tigt.

L. Hannakanl und R. Orglmeister: Kraftwirkung eines "vVandersLrombelages auf leitende Zylinder im Luftspalt

50 �84

40

30.

20

lO-

l ~ -10

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g 40

-30-

40-

-50-

-60-

a -70

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Bild 4. Die Eigenfunktionen ~bl, 2 und g*l, g der beiden ruhenden Systeme ft~r die bezogene Leiterbreite c~/c = 0,5 und Eindring- tiefe dlc = 0,1

6 Z u s a m m e n f a s s u n g

N a c h der e i n l e i t e n d e n D e f i n i t i o n des v o r l i e g e n d e n R a n d w e r t p r o b l e m s w e r d e n die Po ten t i a l ans~ i t ze f(ir d e n Spa l t - n n d L e i t e r r a u m aufges te l l t . D u r c h Auf - t e i l u n g des W a n d e r s t r o m b e t a g e s in zwei r n h e n d e Wechse ls t rombel~tge w i rd das b eweg t e S y s t e m auI zwei r u h e n d e zur t ickgef t ihr t . Z u r E r m i t t l u n g der in d e n P o t e n t i a l a n s / i t z e n a u f t r e t e n d e n k o m p l e x e n E i - g e n w e r t e w i rd das N e w t o n ' s c h e V e r f a h r e n v e r w e n d e t . E i n ]gild v e r a n s c h a u l i c h t d e n Ver lau f der e r s t en v ie r

14

12

10

~ 6

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'2 ) 30 [

~720 i ! hol F I

-o,s -0,4 -0,3 4,2 -o,1 o o,1 o,z 0,3 ok o,s

B i l d 5a- -c . Verteilung der Verlustleistungsdichte fi~r eine Anordnung der Abmessungen h = 0,2c und a = 0,5c bei fol- genden Werten der Universalkonstanten a v~ = 2; b 2 ~ 10; c ), = 81,o6

F 7 ~ J

] o,6

u~ / X / / / / V / :o .3~ ~ I / / / / / / V / /o. 2>

0 ~----- j 0.I 025 0,5 1,0 2.5 10 25

Bild 6. Abh/ingigkeit der bezogenen Schubkraft Fx/F o von der Universalkonstanten ,~ mit dem Verh~llnis a/c als Para- meter fiir eine Anordnung der Luftspalth6he h = 0,2c

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Eigenwerte in Abh~ngigkeit vonder Leiterbreite. Mit den gefundenen Eigenwerten werdei1 auf einfache Weise die ersten Eigenfunktionen der beiden ruher~- den Systeme sowie die Verteilung der Verlust- leistungsdichte des bewegten Systems errechnet und graphisch dargestellt. Als Endergebnis des ebenen Problems findet sich die gesuchte Schubkraft in Form einer gut konvergenten komplexen Einfach- summe. Die Abh~tngigkeit der Schubkraft von der Relativgeschwindigkeit wird numerisch ausgewertet

Archiv fiir Elektrotechnik 65 (t982)

und abschliel~end in einem Bild gezeigt, wobei die bezogene Leiterbreite als Parameter dient.

Eingegangen am 1. September 1981

Professor Dr.-Ing. habil. L. Hannakam

Dipl.-Ing. R. Orglmeister

Ins t i tu t fQr Theoretische Elektrotechnik der Technischen Universitiit Berlin Einsteinufer 25 D- t000 Berlin 10