Kreisfunktionen - members.a1.netmembers.a1.net/abn.tgm/ama/kreisfunktionen.pdf · Kreisfunktionen 2 TGM Angewandte Mathematik WK Inaltsverzeichnis Kreisfunktionen 1 1 Kreisfunkti

Kreisfunktionen 1

TGM Angewandte Mathematik WK

KREISFUNKTIONEN

1 0.5 0 0.5 11

0.5

0

0.5

1

sin 5x( )

cos 3x( )

Kreisfunktionen 2


Inaltsverzeichnis

Kreisfunktionen 1

1 Kreisfunktionen 4

1.1 Definitionen im rechtwinkeligen Dreieck 4

1.2 Zusammenhang zwischen sinα und cosα 4

1.3 Die Winkelfunktionen am Einheitskreis 4

1.4 Wissenswerte Kreisfunktionswerte: 5

1.5 Definitionen der Kreisfunktionen für beliebige Winkel 5

1.6 Reduktionsformeln 5

1.7 Sinus – und Kosinussatz 6

1.8 Summensätze 6

1.9 Produktformeln 6

1.10 Potenzen von Kreisfunktionswerten 6

1.11 Das Radiantmaß 7

1.12 Die Periodizität der Kreisfunktionen 7

1.13 Die Graphen der Kreisfunktionen 8

1.14 Die Arcusfunktionen 9

2 Die allgemeine Sinusfunktion 12

2.1 x → A⋅sin x 12

2.2 x → sin (b⋅x) 13

2.3 x → sin (x + c) 14

2.4 x → sin(b⋅x + c) 15

2.5 x → d + sin x 16

2.6 Zusammenfassung 17

3 Harmonische Schwingungen 18

3.1 Das Federpedel 18

3.2 Periodendauer T, Frequenz f und Kreisfrequenz ω 19

3.3 Beispiele 20

Kreisfunktionen 3


4 Zeigerdiagramme 21

5 Addition frequenzgleicher Sinusfunktionen 23

5.1 Beispiel 23

5.2 Allgemeine Herleitung 24

5.3 Aufgaben 28

6 Addition zweier frequenzungleicher Sinusfunktionen 29

6.1 Beispiel 29

6.2 Allgemeine Betrachtung 30

6.3 Aufgaben 31

6.4 Addition zweier frequenzähnlicher Sinusfunktionen (Schwebung) 31

6.5 Lissajous Figuren 33

7 Multiplikation zweier frequenzgleicher Sinusfunktionen 36

7.1 Erklärung 36

7.2 Anwendung: Die Leistung im Wechselstromkreis 38

7.3 Drei Extremfälle 40

8 Wiederholungsfragen 44

Kreisfunktionen 4


1 Kreisfunktionen

1.1 Definitionen im rechtwinkeligen Dreieck

90γ = °

Bezüglich α ist a die Gegenkathete GK , b die Ankathete AK und c die Hypotenuse H . Die Kreisfunktionen werden definiert durch:

GKsin

HAK

cosH

α =

α =

GK sintan

AK cosAK cos

ctgGK sin

αα = =

αα

α = =α

1.2 Zusammenhang zwischen sinα und cosα

In jedem rechtwinkeligen Dreieck gilt der Pythagoräische Lehrsatz: a2 + b2 = c2 Wir formen um und erhalten:

2 2

2 2

2 2

a b1

c c

a b1

c c

+ =

+ =

( ) ( )2 2sin cos 1α + α =

2 2sin cos 1α + α =

1.3 Die Winkelfunktionen am Einheitskreis

( )P P Px y/

α1

y

x

1

sin α

cosα

b

c

a

β

γ

α

Kreisfunktionen 5


Am Einheitskreis ist die Maßzahl der x-Koordinate gleich dem Kosinus des Winkels α, da xPcos

1α = ist.

Am Einheitskreis ist die Maßzahl der y-Koordinate gleich dem Sinus des Winkels α, da yP

sin1

α = ist.

1.4 Wissenswerte Kreisfunktionswerte:

α sinα cosα tanα

0° 0 1 0

30° 1

2 3

2

1

3

45° 1

2

1

2 1

60° 3

2

1

2 3

90° 1 0 nicht definiert

1.5 Definitionen der Kreisfunktionen für beliebige

Winkel

Wir können nun die obige Überlegung zur Definition der Winkelfunktionen für beliebige Winkel heranziehen und definieren nun: die Maßzahl der x-Koordinate des Punktes P als Kosinuswert des Winkels α: cos α ,

xPcos

1α =

und die Maßzahl der y-Koordinate des Punktes P als Sinuswert des Winkels α: sin α

yPsin

1α =

1.6 Reduktionsformeln

Die Berechnung jedes Kreisfunktionswertes lässt sich auf die Berechnung eines Kreisfunktionswertes eines Winkels zwischen 0 und π/2 zurückführen. Dazu dienen die folgenden Reduktionsformeln. Diese lassen sich sofort durch eine Zeichnung am Einheitskreis verifizeren. sin(–α) = – sin α sin(π–α) = sin α sin(π+α) = sin α cos(–α) = sin α cos(π–α) = – cos α cos(π+α) = – cos α

Kreisfunktionen 6


sin cos2

cos sin2

π − α = α

π − α = α

sin cos2

cos sin2

π + α = α

π + α = − α

u.s.w.

1.7 Sinus – und Kosinussatz

Sie dienen zu Berechnungen in schiefwinkeligen Dreiecken:

Kosinussatz:

2 2 2

2 2 2

2 2 2

c a b 2 a b cos

a b c 2 b c cos

b a c 2 a c cos

= + − ⋅ γ

= + − ⋅ α

= + − ⋅ β

Sinussatz:

a b c

sin sin sin= =

α β γ

1.8 Summensätze

1. Summensatz: 2. Summensatz:

( )( )( )( )

sin sin cos cos sin

sin sin cos cos sin

cos cos cos sin sin

cos cos cos sin sin

α + β = α ⋅ β + α ⋅ β

α − β = α ⋅ β − α ⋅ β

α + β = α ⋅ β − α ⋅ β

α − β = α ⋅ β + α ⋅ β

sin sin 2sin cos2 2

sin sin 2 cos sin2 2

cos cos 2cos cos2 2

cos cos 2sin sin2 2

α + β α − βα + β = ⋅

α + β α − βα − β = ⋅

α + β α − βα + β = ⋅

α + β α − βα − β = − ⋅

1.9 Produktformeln

( ) ( )( ) ( )( ) ( )

12

12

12

sin sin cos cos

sin cos sin sin

cos cos cos cos

α ⋅ β = α − β − α + β α ⋅ β = α − β − α + β α ⋅ β = α − β + α + β

1.10 Potenzen von Kreisfunktionswerten

( )( )( )

2 12

3 14

4 18

sin 1 cos 2

sin 3sin sin 3

sin cos 4 4 cos 2 3

α = − α

α = α − α

α = α − α +

( )( )( )

2 12

3 14

4 18

cos 1 cos 2

cos cos 3 3cos

cos cos 4 4cos 2 3

α = + α

α = α + α

α = α + α +

Kreisfunktionen 7


1.11 Das Radiantmaß

Ein Winkel ließe sich auch dann eindeutig zeichen, wenn man diesen Winkel als den Zentriwinkel eines Kreissektors betrachtet und den Radius r und die zugehörige Bogenlänge angibt. Das Verhältnis der Bogenlänge b zum Radius r ist jedenfalls von der konkreten Wahl des Radius r unabhängig ( Alle Kreise sind einander ähnlich ):

2 r360b r

r r 180 r 180

⋅ ⋅π° ⋅ α ⋅ π ⋅ α π

= = = ⋅ α° ⋅ °

( r kürzt sich weg!)

Dieses Verhältnis ist also nur vom Winkel α abhängig. Es kann daher als Maß für den Winkel dienen. Man nennt dieses Maß das Radiantmaß eines Winkels. Im Radiantmaß wird ein Winkel durch das Verhältnis von Bogenläge b zum Radius r eines Kreissektors definiert.

b:

r 180

πα = = ⋅ α

°)

[ ] 1 radα =)

Die Einheit des Winkels im Bogenmaß ist 1 Radiant = 1 rad. Für den vollen Winkel 360° gilt:

360 2 rad180

πα = ⋅ ° = π

°)

Man merkt sich: 2π rad = 360° Alles andere folgt daraus. Bei 1 rad = 57,3° ist immer b = r.Das Bogenzeichen über dem Buchstaben für den Winkel wird meist nicht geschrieben. Ob es sich bei einem gegebenen Winkel um einen Winkel im Gradmaß oder im Radiantmaß handelt, ist aus der Einheit erkennbar. Bei der obigen Definition wird deutlich, dass es sich bei einem Winkel um eine dimensions-lose Größe handelt, da der Winkel ja als Verhältnis zweier Längen definiert wird. Damit man aber weiß, dass es sich bei einer konkreten Angabe um einen Winkel im Gradmaß handelt, wird wie üblich ( TR Bezeichnung: deg ) das Gradzeichen „° “ verwendt. Für einen Winkel im Radiantmaß wird (eventuell) „rad“ als sogenannte Hilfseinheit zugefügt. Diese Angabe ist jedoch nicht zwingend. Bei der Angabe eines Winkels im Gradmaß ist daher das Gradzeichen unerlässlich, da der Winkel sonst als Winkel im Radiantmaß aufgefasst wird.

1.12 Die Periodizität der Kreisfunktionen

Wie man sofort am Einheitskreis nachvollziehen kann, gilt:

( ) ( )sin sin k 360 sin k 2α = α + ⋅ ° = α + ⋅ π für k∈∈ Z

( ) ( )cos cos k 360 cos k 2α = α + ⋅ ° = α + ⋅ π für k ∈∈ Z

( ) ( )tan tan k 180 tan kα = α + ⋅ ° = α + ⋅ π für k ∈∈ Z

Man sagt: Die Sinusfunktion und die Kosinusfunktion sind mit 360° bzw. 2π periodisch, die Tangensfunktion ist mit 180° bzw. mit π periodisch.

Kreisfunktionen 8


1.13 Die Graphen der Kreisfunktionen

Bei den Kreisfunktionen wird stets einem Winkel ein ( einheitenloser! ) Funktionswert zugeordnet: α → f(α) Üblicherweise wird das Argument einer Funktion in der Mathematik mit x bezeichnet. Wir folgen dieser Konvention und schreiben daher: x → f(x)

x hat also die Bedeutung des Drehwinkels. Man erhält die Graphen der Kreisfunktionen, indem man den jeweiligen Kreisfunktionswert f(x) über dem Drehwinkel x in einem einem x–y Diagramm aufträgt.

f x( ) sin x( ):=

4 2 0 2 4 6 8 10

1

1

Die Sinuskurve

f x( )

x

f x( ) cos x( ):=

4 2 0 2 4 6 8 10

1

1

Die Kosinuskurve

f x( )

x

Kreisfunktionen 9


f x( ) tan x( ):=

4 2 0 2 4 6 8 10

4

2

2

4

Die Tangenskurve

f x( )

x

1.14 Die Arcusfunktionen

1.14.1 Erklärung

Die Arcusfunktionen sind die Umkehrfunktionen der Kreisfunktionen. Wie jeden Graphen einer Umkehrfunktion erhält man auch die Graphen der Arcusfunktionen durch Spiegelung der entsprechenden Kreisfunktion an der ersten Mediane. Da sich der Graph einer Funktion jedoch nie überschneiden darf, d.h. zu einem konkreten x – Wert darf es ja stets nur einen einzigen y – Wert geben, sind die Kreisfunktionen nur in einem streng monotonen Abschnitt umkehrbar. Man wählt stets die am nächsten bei x = 0 gelegenen streng monotonen Abschnitte.

1.14.2 Die Graphen der Arcusfunktionen

Zu den Graphen der Arcusfunktionen sind noch jeweils die Definitionsmenge D und die Wertemenge W angegeben.

Kreisfunktionen 10


Die Arcussinuskurve

1 0 1

2

1

1

2

asin x( )

x

Die Arcuskosinuskurve

1 0 1

1

2

3

4

acos x( )

x D = [ –1,1 ] W = [ –π/2, π/2 ] D = [ –1,1 ] W = [ 0, π ]

Die Arcustangenskurve

10 5 0 5 10

2

1

1

2

atan x( )

x D = [ –∞,∞ ] W = [ –π/2, π/2 ]

Es gilt:xlim tan x

2→+ ∞

π=

und xlim tan x

2→− ∞

π= −

Übungsaufgabe: Erklären Sie den folgenden bemerkenswerten Zusammenhang mittels einer Zeichnung am Einheitskreis:

1arctan x arctan

x 2

π+ =

Kreisfunktionen 11


Kreisfunktionen 12


2 Die allgemeine Sinusfunktion

Einer der elementarsten Bewegungsvorgänge in der Natur ist der einer Schwingungs-bewegung. Er tritt überall dort auf, wo bewegliche Teile mit einer Kraft an ihre Ruhelage gebunden sind, die einer möglichen Auslenkung proportional ist. Das einfachste Beispiel hierzu ist das Federpendel. Im Idealfall führt ein Federpendel eine „harmonische Schwingung“ aus. Eine harmonische Schwingung wird mittels einer Sinusfunktion beschrieben. Es gilt aber noch viel mehr. Es lassen sich nämlich auch sehr komplizierte Schwingungsvorgänge durch eine Überlagerung, d.h. Addition, von einfachen harmonischen Schwingungen darstellen. Diese harmonischen Schwingungen sind daher so etwas wie Grundbausteine im Bereich der Schwingungslehre. Schwingungen treten mit unterschiedlichen Amplituden (das ist die maximale Auslenkung aus der Ruhelage), mit unterschiedlichen Frequenzen und unterschiedlichen Anfangswerten auf. Wir müssen uns daher überlegen, wie wir die Sinusfunktion zur Beschreibung dieser unterschiedlichsten Schwingungsvorgänge zu modifizieren haben. Wir wollen uns nun schrittweise überlegen, wie wir die reine Sinusfunktion verändern können, um sie einem konkreten Schwingungsvorgang anzupassen.

2.1 x → A⋅sin x

2.1.1 Erklärung

Die Multiplikation jedes Sinuswerts mit einer konstanten Zahl A bewirkt: für A > 1 eine Streckung in y – Richtung, für 0 < A < 1 eine Stauchung in y – Richtung, für A < 0 zusätzlich eine Spiegelung an der x – Achse. Eine Multiplikation von sin x mit einer Konstanten A bewirkt eine Veränderung der maximalen Höhe einer Sinuskurve von sin x. Man nennt A die Amplitude. Sie gibt die „Höhe“ der Sinuskurve an. Beachte: Hier wird die Multiplikation mit einer Konstanten nach dem Ausführen der Sinusfunktion durchgeführt.

x → sin (x) → A⋅sin (x)

Kreisfunktionen 13


2.1.2 MATHCAD:

f1 x( ) sin x( ):=

f2 x( ) 2 sin x( ):=

f3 x( ) 1.5− sin x( ):=

4 2 0 2 4 6 8 10

2

1

1

2

f1 x( )

f2 x( )

f3 x( )

x

2.1.3 Aufgabe

Wie groß ist die Amplitude einer Sinusfunktion der Form y(x) = A⋅sinx , wenn y(2) = 5cm ist? ( Lösung: A = 5,50 cm )

2.2 x → sin (b⋅x)

2.2.1 Erklärung

Der Faktor b bei dem Argument x bewirkt eine Veränderung der Periodenlänge. Um auf die geänderte Periodenlänge dieser Funktion zu kommen, überlegen wir: Bei welchem x0–Wert beträgt das Argument der Sinusfunktion 2π ?

0b x 2⋅ = π ⇒ 0

2x

b

π=

Diesen x0–Wert bezeichnet man als „primitive Periode p“. Es gilt also:

Die Funktion f(x) = sin (b⋅x) besitzt die primitive Periode 2

pb

π=

Es kommt daher für b > 0 zu einer Stauchung und für 0 < b < 1 zu einer Streckung der sin x – Kurve in x–Richtung. Beachte: Hier wird die Multiplikation mit einer Konstanten mit dem Argument x vor dem Ausführen der Sinusfunktion durchgeführt.

x → b⋅x → sin (b⋅x)

Kreisfunktionen 14


2.2.2 MATHCAD:

f1 x( ) sin x( ):=

f2 x( ) sin 2x( ):=

f3 x( ) sin 0.4x( ):=

4 2 0 2 4 6 8 10

1

0.5

0.5

1

f1 x( )

f2 x( )

f3 x( )

x

2.2.3 Aufgaben

a) Wie lautet die Beschreibung einer Sinusfunktion, deren Periodenlänge p = 10 beträgt? b) Wie lautet die Beschreibung einer Kosinusfunktion, deren Periodenlänge p = 0,2

beträgt?

2.3 x → sin (x + c)

2.3.1 Erklärung

Eine additive Konstante nach der Eingabe des x–Wertes bewirkt eine Verschiebung der sin x – Kurve in x–Richtung. Um zu erkennen, in welche Richtung die sin x – Kurve verschoben wird, überlegen wir: Bei welchem x0–Wert ist das Argument der Sinusfunktion erstmalig Null, m.a.W. wo liegt die „erste Nullstelle“ dieser Funktion?

0x c 0+ = ⇒ 0x c= −

Es kommt also für c > 0 zu einer Verschiebung in – x Richtung, d.h. nach links und für für c < 0 zu einer Verschiebung in + x Richtung, d.h. nach rechts. Die Funktion f(x) = sin (x + c) besitzt bei x = 0 den Wert sin c ( Abschnitt auf der y–Achse bei x = 0 ) und ihre erste Nullstelle liegt bei 0x c= − . Damit kann die Sinusfunktion einem

möglichen Anfangswert ungleich Null angepasst werden. Beachte: Hier wird die Addition einer Konstanten c zum Argument x vor dem Ausführen der Sinusfunktion durchgeführt.

Kreisfunktionen 15


x → x + c → sin ( x + c )

Spezialfälle: sin ( x + 2

π ) = cos x sin (x – π) = – sin x

Genauso bewirkt eine additive Konstante c bei cos(x + c) natürlich eine Verschiebung der cosx – Kurve.

2.3.2 MATHCAD:

f1 x( ) sin x( ):=

f2 x( ) sin xπ

4+

:=

f3 x( ) sin xπ

3−

:=

4 2 0 2 4 6 8 10

1

1

f1 x( )

f2 x( )

f3 x( )

x

2.3.3 Aufgaben

a) Beschreiben Sie sin(x+30°) durch eine Kosinusfunktion. b) Stellen Sie die Funktionen f1(x) = x² , f2(x) = (x–3)² , f3(x) = (x+2)² in einem

Diagramm dar. Was ist daraus zu erkennen?

2.4 x → sin(b⋅x + c)

2.4.1 Erklärung

Diese Funktion stellt eine Kombination der beiden zuletzt betrachteten Fälle dar. Es bleibt: Die Periodenlänge p beträgt p = 2 π / b. Die Verschiebung in x–Richtung beträgt

allerdings c

b− Einheiten.

Kreisfunktionen 16


2.4.2 MATHCAD:

f x( ) sin 2xπ3

+

:=

4 2 0 2 4 6 8 10

1

1

f x( )

x

2.4.3 Aufgaben

Stellen Sie die folgenden Funktionen mit MATHCAD dar: a) f(x) = 4⋅sin(2x–π/2) b) g(x) = 35⋅sin(3x+90°)

2.5 x → d + sin x

2.5.1 Erklärung

Die Addition einer Konstanten zum sin x – Wert bewirkt eine Verschiebung der sin x–Kurve in y–Richtung. Es kommt dabei für d > 0 zu einer Anhebung und für d < 0 zu einer Absenkung der sin x–Kurve. Damit kann beispielsweise die Überlagerung einer Gleichspannung zu einer Wechselspannung beschrieben werden. Beachte: Die Addition wird nach dem Ausführen der Sinusfunktion durchgeführt.

x → sin x → d + sin x

Kreisfunktionen 17


2.5.2 MATHCAD:

f1 x( ) 1 sin x( )+:=

f2 x( ) 2 sin x( )+:=

f3 x( ) 3 sin x( )+:=

f4 x( ) 2− sin x( )+:=

5 0 5 10

4

2

2

4

f1 x( )

f2 x( )

f3 x( )

f4 x( )

x

2.5.3 Aufgaben

Stellen Sie die folgenden Funktionen mit MATHCAD dar: a) f(x) = 4+5sin(2x) b) g(x) = 5–7cos(4x)

2.6 Zusammenfassung

Mit der verallgemeinerten Sinusfunktion der Form

( )x d A sin b x c→ + ⋅ ⋅ +

können wir nun sinusförmige Vorgänge beliebiger Periodenlänge, Amplitude und Verschiebungen beschreiben.

2.6.1 Aufgaben

Stellen Sie die folgenden Funktionen mit MATHCAD dar: a) f(x) = 6 – 7⋅sin(2x+60°) b) g(x) = –5+8⋅cos(3x+90°)

Kreisfunktionen 18


3 Harmonische Schwingungen

Wie bereits im vorherigen Punkt erwähnt, spielen harmonische Schwingungen eine fundamentale Rolle als Grundbausteine zeitlich periodischer Vorgänge. Es besteht zwischen der Kreisbewegung und der harmonischen Schwingung eine ganz enge Beziehung. Wir wollen uns nun die wichtigsten Begriffe anhand des einfachsten Beispiels entwickeln:

3.1 Das Federpedel

Projeziert man die Kreisbewegung eines sich mit konstanter Winkelgeschwindigkeit ω rotierenden Punktes auf eine Leinwand, so lässt sich diese projezierte Bewegung stets mit der Auf– und Abbewegung eines Federpendels synchronisieren.

Zu jeder harmonischen Schwingung gibt es eine gedachte Kreisbewegung. Unter der Winkelgeschwindigkeit ω versteht man bei einer gleichförmigen Rotation das Verhältnis von überstrichenem Winkel ϕ zu der dafür benötigten Zeit t.

t

ϕω = ϕ = ω⋅t

Bei jeder gleichförmigen Rotation ist ω konstant und damit ist der Drehwinkel ϕ der Zeit t direkt proportional. Man beachte, dass ω stets in Radiant pro Sekunde und der Drehwinkel ϕ = ω⋅t in Radiant angegeben werden.Wir geben die momentane Auslenkung aus der Ruhe-lage des Federpendels ( die Elongation ) y nun in Abhängigkeit der Zeit t folgendermaßen an:

( ) ( )0y t r sin t= ⋅ ω + ϕ

Der konstante Winkel ϕ0 dient dazu, den Startwert, d.h. die Auslenkung bei t = 0s, einer gegebenen Situation anzupassen. Man nennt ihn die Anfangsphase. Die Winkel-geschwindigkeit ω bei einer harmonischen Schwingung ist also die Winkelgeschwindigkeit der ( gedachten ) Kreisbewegung. Die Amplitudenbezeichnung r erinnert schon vom Buchstaben her an einen Radius.

Kreisfunktionen 19


3.2 Periodendauer T, Frequenz f und Kreisfrequenz ω

Unter der Periodendauer T versteht man jene kleinste Zeitdauer, nach der sich das Pendel wieder in seinem Ausgangszustand befindet, oder allgemeiner die kleinste Zeitdauer T, nach der sich ein periodischer Vorgang wiederholt. In dieser Zeitdauer T hat die (gedachte) Kreisbewegung eine volle Umdrehung durchgeführt, d.h. einen Winkel von 2π rad überstrichen. Es gilt daher:

2π = ω⋅T oder 2

T

πω =

Wenn nun T die Anzahl der Sekunden angibt, in der ein periodischer Vorgang absolviert wird, so gibt 1/T die Anzahl der periodischen Vorgänge in einer Sekunde an. Aus T = 0,1s folgt beispielsweise, dass in einer Sekunde 1/0,1 = 10 periodische Vorgänge stattfinden. Die Anzahl der periodischen Vorgänge pro Sekunde nennt man allgemein die Frequenz f. Sie wird als Kehrwert der Periodendauer T definiert:

1f :

T=

Die Einheit der Frequenz f ist daher 1s–1. Man gibt ihr jedoch wegen ihrer großen Bedeutung einen eigenen Namen, nämlich 1 Hertz = 1Hz , benannt nach den Physiker Heinrich Hertz.

[ f ] = 1 Hz

Für die Winkelgeschwindigkeit ω gilt dann:

12 2 f

Tω = π ⋅ = π ⋅

Die Frequenz f und die Winkelgeschwindigkeit ω sind also über den dimensionslosen Faktor 2π miteinander verknüpft. ( Radiant ist eine sogenannte Hilfseinheit, damit man weiß, dass es sich um einen Winkel handelt. ) ω wird daher auch Kreisfrequenz genannt. Damit man die beiden Größen ω und f aber bei einer numerischen Angabe unterscheiden kann, ist es von entscheidender Bedeutung einer Kreisfrequenz ω stets die Einheit s–1 und einer Frequenz f die Einheit Hz zu geben.

Das Weg–Zeit Diagramm einer harmonische Schwingung ist eine Sinuskurve.

Kreisfunktionen 20


3.3 Beispiele

3.3.1

Wie lautet die Funktionsgleichung einer harmonischen Schwingung mit der Amplitude von 5cm , einer Periodendauer von 3s und einer Auslenkung von 2cm zum Zeitpunkt t = 0s ? Wie groß ist dann die momentane Auslenkung bei t = 1,2s? Lösung: ( ) ( ) ( )2 2

3 3y t 5 sin t 0, 412 5 sin t 23,6π π= ⋅ ⋅ + = ⋅ ⋅ + °

( )y 1, 2 1, 07cm=

MATHCAD:

y t( ) 5 sin2π

3t⋅ 0.412+

⋅:= tA 2−:= tE 4:= t tA tA 0.01+, tE..:=

2 1 0 1 2 3 4

5

5

y t( )

ty 1.2( ) 1.073=

Kreisfunktionen 21


4 Zeigerdiagramme Es liegt nahe, Sinusgrößen x als Zeitfunktionen x = f(t) darzustellen und die Zeitwerte x als Sinuslinien über der Zeit t aufzutragen. Dies ist aber ein ziemlich aufwendiges Verfahren, insbesondere wenn mehrere Größen nebeneinander betrachtet oder z. B. addiert werden sollen. Es soll daher gezeigt werden, wie man solche sinusförmig zeitabhängigen Größen symbolisch darstellen kann.

Zusammenhang zwischen Zeigerdiagramm (a) und Zeitdiagramm (b). Z Zeitlinie

Wir führen einen Zeiger (Einfachpfeil) ein. Er wird an seiner Spitze mit dem unterstrichenen Formelzeichen des

Scheitelwerts der Sinusgröße (also z. B. bei der Spannung mit u ) bezeichnet, und seine Länge entspricht diesem Scheitelwert. Das Unterstreichen soll darauf hinweisen, dass dieses Formelzeichen nicht nur die physikalische Größe, sondern auch die Zeigereigenschaften symbolisieren soll.

Dreht sich nun der Spannungszeiger u im mathematisch positiven Sinn (d.h. also entgegengesetzt wie ein

Uhrzeiger) mit der Winkelgeschwindigkeit ω, so stellen die Projektionen der Zeigerspitze auf die ruhende Zeitlinie Z die Zeitwerte u = u sin (ω t) dar, wie das für 12 Zeigerstellungen und die zugehörigen Zeitwerte im Bild gezeigt ist. Eine im Zeitdiagramm dargestellte Sinuslinie lässt sich somit als Projektion eines gleichmäßig drehenden Zeigers auf eine stillstehende Zeitlinie deuten. Die Winkelgeschwindigkeit ω des Zeigers ist gleich der Kreisfrequenz ω = 2πf der betrachteten Schwingung. Ebenso wie die Sinusschwingung einer physikalischen Größe ist auch ihr Zeiger durch 4 Kennwerte eindeutig festgelegt: 1. Die Art (Qualität) der Sinusgröße wird durch das an der Zeigerspitze stehende Formelzeichen angegeben. Der Unterstrich symbolisiert hierbei den Zeigercharakter der Größe. 2. Der Betrag der Sinusgröße wird durch die Länge des Zeigers ausgedrückt. Hierfür benötigt man einen Maßstab (z.B. 1cm = 20V oder 1 cm = 5 A usw.), den man zweckmäßig gesondert in das Zeigerdiagramm einträgt. 3. Es können sich zwei gleichfrequente Sinusgrößen meist noch durch die Phasenlage unterscheiden. Sie wird im Zeigerdiagramm durch den Phasenwinkel ϕ zwischen den Zeigern berücksichtigt. Die Zuordnung zu den Zeitpunkten 1 und 2 ist leicht zu erkennen. 4. Die Frequenz f der Sinusschwingung bestimmt die Winkelgeschwindigkeit ω der drehenden Zeiger. Zeigerdiagramme können daher, wenn der Phasenwinkel ϕ auch beim Drehen erhalten bleiben soll, nur gleichfrequente Vorgänge wiedergeben. Da nur feststehende Zeiger gezeichnet werden können, sind die Zeigerdiagramme Momentaufnahmen der drehenden Zeiger. Die Vorstellung eines drehenden Zeigers ist für die Entwicklung des Zeitdiagramms aus dem Zeigerdiagramm nützlich, für die Bestimmung des Zeitwerts ist sie sogar nötig. Für alle anderen Aufgaben kann man die stetige

Kreisfunktionen 22


Drehung mit der Winkelgeschwindigkeit ω aber vernachlässigen. Man darf also von einem in der Bildebene feststehenden Zeiger ausgehen. Da bei Sinusgrößen außerdem das Verhältnis von Scheitelwert zu Effektivwert durch den konstanten Scheitelfaktor ξ = 2 bestimmt wird, man in der praktischen Sinusstromtechnik aber überwiegend mit dem Effektivwert arbeitet, darf man schließlich auch die Länge des Zeigers nach diesem Effektivwert festlegen. Das folgende Bild stellt die Beziehung zwischen dem sinusförmigen Strom und der sinusförmigen Spannung an einem Wechselstromwiderstand Z dar. Hier kommt es i.a. zu einer Phasen-verschiebung ϕ, die man im Zeigerdiagramm leicht einzeichnen kann.

Zweipol Z mit Zählpfeilen u, i (a) im Verbraucher-Zählpfeil-System (VZS) und zugehöriges Zeigerdiagramm (b)

Eine Sinusfunktion y(t) = r⋅sin( ωt + ϕ0 ) kann also symbolisch durch einen mit der konstanten Winkelgeschwindigkeit ω rotierenden Zeiger y dargestellt werden. Üblicherweise wird dieser Zeiger zum Zeitpunkt t = 0 s gezeichnet. Damit schließt er genau den „Nullphasenwinkel ϕ0“ mit der horizontalen Achse ein.

0

0

r cos( t )y(t)

r sin( t )

⋅ ω + ϕ = ⋅ ω + ϕ

� y(t) = r⋅sin( ωt + ϕ0 )

Der zeitliche Momentanwert y(t) könnte dann stets als y–Koordinate des Zeigers y abgelesen werden. Der große Vorteil dieser Beschreibungsart wird sich bei der Überlagerung, d.h. Addition, frequenzgleicher Sinusfunktionen zeigen.

4.1.1 Aufgaben

Stellen Sie die folgenden Funktionen Sinusfunktionen durch ihren symbolischen Zeiger dar und geben Sie die Zeiger auch die vektorielle Form an. (Maßstab angeben!)

a) y(t) = 3⋅sin(ωt–32°) b) y(t) = 4⋅cos(ωt) c) x(t) = 2⋅sin(ωt+125°) d) u(t) = 45⋅cos(ωt – π/6) mV e) i(t) = 63⋅cos(ωt + π/4) mA

ω y r

ϕ0

Kreisfunktionen 23


5 Addition frequenzgleicher Sinusfunktionen

Man spricht allgemein bei der Addition zeitabhängiger Größen von einer Überlagerung. In der Wechselstromtechnik tritt sehr oft der Fall ein, dass Wechselspannungen gleicher Frequenz addiert, d.h. überlagert werden.

Addition von zwei Sinusspannungen UI +U2=Ug im Zeigerdiagramm mit Effektivwerten (a), mit

Scheitelwerten (b) und im Zeigerdiagramm (c)

5.1 Beispiel

Wir wollen uns zuerst ein konkretes Beispiel mit MATHCAD anschauen:

Addition frequenzgleicher Sinusfunktionen

T 4s:= ω2 π⋅

T:= ω 1.571 Hz=

f1 t( ) 3 sin ω t⋅ 0.83−( )⋅:=

f2 t( ) 5 sin ω t⋅ 1.3+( )⋅:=

fg t( ) f1 t( ) f2 t( )+:=

t 0 0.1, 12..:=

0 2 4 6 8 10 12

5

5

f1 t( )

f2 t( )

fg t( )

t Wir sehen, dass die Summenfunktion hier wieder eine Sinusfunktion mit der selben Periodendauer darstellt. Dass dieses Ergebnis kein Zufall ist, zeigt die folgende allgemeine Herleitung.

Kreisfunktionen 24


5.2 Allgemeine Herleitung

Wir addieren die beiden Sinusfunktionen: ( ) ( )( ) ( )

1 1 1

2 2 2

f t r sin t

f t r sin t

= ⋅ ω + ϕ

= ⋅ ω + ϕ

Es gilt: Die Addition zweier frequenzgleicher Sinusfunktionen ergibt wieder eine Sinusfunktion mit derselben Frequenz.

Begründung: Der Addition der Momentanwerte f1 (t) und f2(t) entspricht im Zeigerdiagramm einfach die Zeigeraddition von 1f und 2f . Im Zeigerdiagramm rotieren die beiden Zeiger

1f und 2f mit derselben konstanten Winkelgeschwindigkeit ω . Der von den beiden Zeigern

eingeschlossene Winkel 1 2ϕ = ϕ − ϕ ändert sich also nicht. Dadurch besitzt der Summen-zeiger eine konstante Länge und rotiert ebenfalls mit derselben konstanten Winkel-geschwindigkeit ω. Das sind aber genau die Bedingungen dafür, dass eine Sinusfunktion dargestellt wird.

Ansatz: ( ) ( ) ( ) ( )1 2f t f t f t r sin t= + = ⋅ ω + ϕ

Wir haben nun die Amplitude r und den Nullphasenwinkel ϕ, aus r1, r2, ϕ1 und ϕ2 zu berechnen. Dazu wechseln wir in die vektorielle Beschreibung der Zeiger:

1 11

1 1

r cosf

r sin

⋅ ϕ = ⋅ ϕ

2 22

2 2

r cosf

r sin

⋅ ϕ = ⋅ ϕ

und rechnen

x1 1 2 2 1 1 2 21 2

y1 1 2 2 1 1 2 2

fr cos r cos r cos r cosf f f

fr sin r sin r sin r sin

⋅ ϕ ⋅ ϕ ⋅ ϕ + ⋅ ϕ = + = + = = ⋅ ϕ ⋅ ϕ ⋅ ϕ + ⋅ ϕ

Von diesem Summenzeiger müssen wir nun den Betrag r und den Winkel ϕ berechnen.

a) Der Betrag r des Summenzeigers x

y

ff

f

=

Dieser errechnet sich aus: 2 2x yr f f= +

Setzen wir nun für fx und fy ein, so erhalten wir:

Kreisfunktionen 25


( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

2 2

1 1 2 2 1 1 2 2

2 2 2 2

1 1 1 2 1 2 2 2 1 1 1 2 1 2 2 2

r r cos r cos r sin r sin

r cos 2r r cos cos r cos r sin 2r r sin sin r sin

= ϕ + ϕ + ϕ + ϕ =

= ϕ + ϕ ϕ + ϕ + ϕ + ϕ ϕ + ϕ =

( )

( ) ( ) ( )

2 2 2 2 2 22 21 1 2 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2

2 2 2 22 21 1 1 2 2 2 1 2 1 2

r cos r cos r sin r sin 2r r sin sin cos cos

r sin cos r sin cos 2r r cos

= ϕ + ϕ + ϕ + ϕ + ϕ ϕ + ϕ ϕ =

= ϕ + ϕ + ϕ + ϕ + ϕ − ϕ

( )2 21 2 1 2 1 2r r r 2r r cos= + + ϕ − ϕ

b) Der Winkel ϕ des Summenzeigers berechnet sich aus dem Zusammenhang:

y 1 1 2 2

x 1 1 2 2

f r sin r sintan

f r cos r cos

⋅ ϕ + ⋅ ϕϕ = =

⋅ ϕ + ⋅ ϕ

1 1 2 2

1 1 2 2

r sin r sinarctan

r cos r cos

⋅ ϕ + ⋅ ϕϕ = ⋅ ϕ + ⋅ ϕ

Wie man im Konkreten rechnet, zeigen die folgenden Beispiele.

> Berechnen Sie die Summenfunktion von ( ) ( )1f t 63 sin t 73= ⋅ ω + ° und

( ) ( )2f t 35 sin t 24= ⋅ ω + ° .

Lösung:

Wir wechseln in die Zeigerschreibweise:

1x1

1y

f 63 cos 73 18, 419f

f 63 sin 73 60, 247

⋅ ° = = = ⋅ °

2x2

2y

f 35 cos 24 31,974f

f 35 sin 24 14, 236

⋅ ° = = = ⋅ °

Nun addieren wir:

1 2

18, 419 31, 974 50,393f f

60, 247 14, 236 74, 483

+ = + =

Jetzt wird der Betrag und der Winkel diese Summenzeigers berechnet:

2 2r 50, 393 74, 483 89,939= + =

Kreisfunktionen 26


74, 483

arctan 55, 950, 393

ϕ = = °

Damit lautet die Summenfunktion ( ) ( )f t 89, 9 sin t 56= ⋅ ω + °

Wir hätten natürlich auch einfach in die allgemeinen Formeln einsetzen können:

( ) ( )2 2 2 21 2 1 2 1 2

1 1 2 2

1 1 2 2

r r r 2r r cos 63 35 2 63 53 cos 73 24 89, 9

r sin r sin 63 sin 73 35 sin 24arctan arctan 55,9

r cos r cos 63 cos 73 35 cos 24

= + + ϕ − ϕ = + + ⋅ ⋅ ⋅ ° − ° =

⋅ ϕ + ⋅ ϕ ⋅ ° + ⋅ ° ϕ = = = ° ⋅ ϕ + ⋅ ϕ ⋅ ° + ⋅ °

MATHCAD: Bemerkung: Da die Funktionen in Abhängigkeit der Zeit dargestellt werden, muss für ω bzw. für T ein konkreter Wert gewählt werden. Wählen wir für T = 2π Sekunden, so stimmt der Winkel ωt immer mit dem momentanen Zeitwert t numerisch überein. Wir können dadurch z.B. den Nullphasenwinkel der Summenfunktion, allerdings in Radiant, ablesen. Der Faktor π/180° dient zur Umrechnung von Grad in Radiant.

T 2π:= ω2π

T:=

tA 2−:= tE 10:=

t tA tA 0.01+, tE..:=

f1 t( ) 63 sin ω t⋅ 73π

180⋅+

⋅:= f2 t( ) 35 sin ω t⋅ 24π

180⋅+

⋅:=

f3 t( ) f1 t( ) f2 t( )+:=

2 0 2 4 6 8 10

100

50

50

100

f1 t( )

f2 t( )

f3 t( )

t

Kreisfunktionen 27


> Stellen Sie ( ) ( ) ( )f t 5 cos t 35 4 sin t 14= ⋅ ω − ° − ⋅ ω − ° in der Form

( ) ( )f t r sin t= ⋅ ω + ϕ dar.

Lösung:

Aus dem Zeigerdiagramm kann man leicht ablesen, dass ( ) ( ) ( )1f t 5 cos t 35 5 sin t 55= ⋅ ω − ° = ⋅ ω + ° und

( ) ( ) ( )2f t 4 sin t 14 4 sin t 166= − ⋅ ω − ° = ⋅ ω + ° gilt.

Die Zeigerschreibweise dieser beiden Sinusfunktionen lautet :

1x1

1y

f 5 cos55 2,868f

f 5 sin 55 4, 096

⋅ ° = = = ⋅ °

2x2

2y

f 4 cos166 3,881f

f 4 sin166 0, 968

⋅ ° − = = = ⋅ °

Nun addieren wir 1 2

2,868 3,881 1, 013f f

4, 096 0, 968 5, 064

− − + = + =

Jetzt wird der Betrag und der Winkel diese Summenzeigers berechnet:

( ) ( )2 2r 1,013 5,064 5,164= − + =

5,064

arctan 78,9 180 101,11,013

ϕ = = − ° + ° = °−

( Der Zeiger liegt im 2. Quadranten, daher + 180°)

Damit lautet die Summenfunktion ( ) ( )f t 5,16 sin t 101= ⋅ ω + °

Auch hier hätte ein Einsetzen in die allgemeine Formel zum selben Ergebnis geführt. MATHCAD:

T 2 π⋅:= ω2 π⋅

T:= tA 2−:= tE 10:= ∆ 0.01:= t tA tA ∆+, tE..:=

f1 t( ) 5 cos ω t⋅ 35 Grad⋅−( )⋅:= f2 t( ) 4− sin ω t⋅ 14 Grad⋅−( )⋅:= fg t( ) f1 t( ) f2 t( )+:=

2 0 2 4 6 8 10

10

5

5

10

f1 t( )

f2 t( )

fg t( )

t

Kreisfunktionen 28


5.3 Aufgaben

Berechnen Sie unter Verwendung des Zeigerdiagramms die Summenfunktion und stellen Sie die einzelnen Funktionen, sowie die Summenfunktion mit Mathcad dar. Überprüfen Sie die rechnerischen Ergebnisse mittels „Koordinaten ablesen“.

1. Beispiel:

( )

( )

1

2

f t 5 sin t4

f t 4 sin t6

π = ⋅ ω −

π = ⋅ ω +

Lösung: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2f t f t f t 7,17 sin t 0, 2126 7,17 sin t 12, 37= + = ⋅ ω − = ⋅ ω − °

2. Beispiel:

( ) ( )( ) ( )

1

2

i t 2, 7 sin t 53

i t 1, 3 sin t 21

= ⋅ ω + °

= ⋅ ω − °

Lösung: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )g 1 2i t i t i t 3, 26 sin t 0,54 3, 26 sin t 30,8= + = ⋅ ω + = ⋅ ω + °

3. Beispiel:

( )

( )

1

2

u t 2 sin t6

u t 8 cos t6

π = ⋅ ω −

π = ⋅ ω −

( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2u t u t u t 8, 24 sin t 0,80 8, 24 sin t 46= + = ⋅ ω + = ⋅ ω + °

4. Beispiel:

( ) ( )( ) ( )

1

2

i t 3 cos t 17

i t 5 sin t 142

= ⋅ ω − °

= − ⋅ ω + °

Lösung: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2i t i t i t 6, 69 sin t 2,047 6,69 sin t 117, 3= + = ⋅ ω + = ⋅ ω + °

Kreisfunktionen 29


6 Addition zweier frequenzungleicher

Sinusfunktionen

6.1 Beispiel

Ohne auf das Wesentliche zu verzichten, wollen wir folgende Vereinfachungen treffen:

1 2 0ϕ = ϕ = . Beide Zeiger starten also aus der „Nullposition“.

Wir wählen: ( ) ( )( ) ( )

1

2

f t 0,8 sin 24 t

f t 1,5 sin 18 t

= ⋅ ⋅

= ⋅ ⋅

D.h.: ω1= 24 s–1 und ω2= 18 s–1 Die graphische Darstellung erfolgt mittels MATHCAD:

f1 t( ) 0.8 sin 24 t⋅( ):= t 0 0.01, 2..:=

f2 t( ) 1.5 sin 18 t⋅( ):=

0 0.5 1 1.5 2

1

1

f1 t( )

f2 t( )

t

0 0.5 1 1.5 2

4

2

2

4

f1 t( ) f2 t( )+

t Wie wir erkennen, erhalten wir hier ein periodisches nichtsinusförmiges Signal.

Kreisfunktionen 30


6.2 Allgemeine Betrachtung

Wir wollen die Summenfunktion zweier Sinusfunktionen ungleicher Frequenz bilden:

( ) ( )( ) ( )

1 1 1 1

2 2 2 2

f t r sin t

f t r sin t

= ⋅ ω + ϕ

= ⋅ ω + ϕ wobei 1 2ω ≠ ω gelten soll.

Bei der Überlagerung zweier Sinusfunktionen ungleicher Frequenz rotieren im Zeiger-diagramm die beiden Zeiger f1 und f2 mit unterschiedlicher Winkelgeschwindigkeit. Es ändert sich damit der von den beiden Zeigern eingeschlossene Winkel ständig. Der Summenzeiger besitzt keine konstante Länge mehr und kann damit keinesfalls eine Sinusfunktion darstellen. Es wird jedoch i.a. eine Zeitdauer T geben, nach der sich die beiden Zeiger genau wieder in der Position befinden, in der sie zum Zeitpunkt t = 0s waren. Wir erwarten daher eine nichtsinusförmige mit T periodische Funktion als Summenfunktion. Es zeigt sich, dass die Überlagerung dieser beiden Funktionen zwar keine Sinusfunktion, sehr wohl aber eine periodische Funktion darstellt. Wie können wir uns die Periodendauer T dieser Summenfunktion aus den Periodendaueren T1 und T2 berechnen? Nach einer Periodendauer T der Summenfunktion müssen sich die beiden Zeiger f1 und f2 in genau der selben Position wie zum Zeitpunkt t = 0s befinden. Die Periodendauer T muss ein ganzzahliges Vielfaches von T1 und ein ganzzahliges Vielfaches von T2 enthalten. Wir suchen nun die zwei kleinsten natürlichen Zahlen n und m, sodass gilt:

T = n ⋅ T1 = m ⋅ T2

1 2

2 2n m

π π⋅ = ⋅

ω ω

1 2

n m=

ω ω

1

2

n

m

ω=

ω

In unserm einführenden Beispiel bedeutet das:

24 n

18 m= Dieser Bruch kann durch ggT(24,18) = 6 gekürzt werden.

n 4

m 3=

Damit stehen die kleinsten Werte für n und m fest: n = 4 und m = 3. Man beachte, es war

4 = ω1/ ggT(ω1, ω2) und 3 = ω2/ ggT(ω1, ω2) . Die Periodendauer des Summensignals beträgt daher:

1

2T 4 T 4 s 1.047 s

24 3

π π= ⋅ = ⋅ = = oder 2

2T 3 T 3 s 1.047 s

18 3

π π= ⋅ = ⋅ = =

Kreisfunktionen 31


In einer vollen Periode des Summensignals sind also 4 ganze Perioden von f1(t) und 3 ganze Perioden von f2(t) enthalten. Es gilt allgemein: Die Summenfunktion zweier Sinusfunktionen ungleicher Frequenz, deren Frequenzverhältnis jedoch rational ist, d.h. ω1/ω2 ∈ Q , ergibt wieder eine periodische Funktion, jedoch keine Sinusfunktion mehr. Für die Periodendauer T dieser Summenfunktion gilt:

( ) ( )1 2

1 21 2 1 2

T T TggT , ggT ,

ω ω= ⋅ = ⋅

ω ω ω ω

Wir vereinfachen und erhalten:

( )1 2

2T

ggT ,

π=

ω ω

6.3 Aufgaben

6.3.1

Berechnen Sie die Periodendauer der Summenfunktion:

( ) ( )( ) ( )

1

2

f t 1, 2 sin 30 t

f t 1,5 sin 42 t

= ⋅ ⋅

= ⋅ ⋅

und stellen Sie die Einzelfunktionen, sowie die Summenfunktion graphisch dar.

6.3.2

Stellen Sie die Einzelfunktionen, sowie die Summenfunktion graphisch dar:

( ) ( )( ) ( )

1

2

f t 2 sin t

f t 3 sin 2 t

= ⋅ π ⋅

= ⋅ ⋅

Können Sie hier eine Periodendauer ablesen oder berechnen?

6.4 Addition zweier frequenzähnlicher Sinusfunktionen

(Schwebung)

Wir wollen nun die Summenfunktion zweier Sinusfunktionen bilden:

( ) ( )( ) ( )

1 1 1 1

2 2 2 2

f t r sin t

f t r sin t

= ⋅ ω + ϕ

= ⋅ ω + ϕ wobei 1 2ω ≈ ω gelten soll.

Ohne auf das Wesentliche zu verzichten, wollen wir folgende Vereinfachungen treffen:

1 2r r= und 1 2 0ϕ = ϕ = Damit wird:

Kreisfunktionen 32


( )( )

1 1

2 2

f t r sin t

f t r sin t

= ⋅ ω

= ⋅ ω

Unter Verwendung des 1. Summensatzes können wir die Summenfunktion f(t) = f1(t) + f2(t) in ein Produkt zerlegen:

( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 2 1 2

1 2 1 2

1 2 1 2

f t f t f t r sin t r sin t r sin t sin t

r 2 sin t cos t2 2

2r cos t sin t2 2

= + = ⋅ ω + ⋅ ω = ⋅ ω + ω =

ω + ω ω − ω= ⋅ ⋅ ⋅ =

ω − ω ω + ω= ⋅ ⋅

Nun zur Interpretation des Endausdrucks: Anhand eines konkreten Beispiel werden die Zusammenhänge vielleicht am deutlichsten: Wählen wir nun: 1 1

1 2110 s 100 s− −ω = ω = ( 1 2ω ≈ ω ) D.h.: ( ) ( ) ( ) ( )1 2f t r sin 110t f t r sin 100t= ⋅ = ⋅

Die Kreisfrequenz des Sinusterms im hergeleiteten Produktterm beträgt dann:

11 2 105s2

−ω + ω=

Diese Kreisfrequenz stellt also genau das arithmetische Mittel von ω1 und ω2 dar. Daraus lässt sich eine Periodendauer T berechnen:

2 22 f T

T

π πω = π ⋅ = ⇒ =

ω Eingesetzt:

2T s 0, 0598s 59, 4 ms

105

π= = =

Der Term Sinusterm ist also mit einer Periodendauer von 59,4 ms periodisch. Nun zum Kosinusterm:

Seine Kreisfrequenz beträgt: 11 2 5 s2

−ω − ω=

Die Periodendauer T beträgt hier: 2

T s 1, 26 s5

π= =

Der Term Kosinusterm ist also mit einer Periodendauer von 1,26 s periodisch. Die Periodendauer dieses Terms ist also 21 mal so groß wie die des Sinusterms. Der Kosinusterm ändert sich also hier wesentlich langsamer als der Sinusterm. Wir können daher den gesamten Faktor vor dem Sinusterm als " veränderliche Amplitude" interpretieren.

Kreisfunktionen 33


( ) 1 2 1 2

veränderliche GrundschwingungAmplitude

f t 2r cos t sin t2 2

ω − ω ω + ω = ⋅ ⋅ 144424443 1442443

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2

2

2

t

f(t)

Hier wird die Überlagerung der beiden oben angegebenen Funktionen für r1 = r2 = 1 gezeigt. Dieser Effekt wird als Schwebung bezeichnet. Er tritt stets bei der Überlagerung frequenz-ähnlicher Sinusfunktionen auf. Die veränderliche Amplitude tritt bei Schallwellen als Lautstärkeschwankung in Erscheinung. Die Frequenz dieser Lautstärkeschwankung ist ein Maß dafür, wie weit ω1 und ω2 voneinander entfernt sind. Der Schwebungseffekt kann z.B. zum Stimmen von Saiteninstrumenten verwendet werden. Für den Fall, dass ω1 und ω2 gleich sind, wird das Argument des Kosinusterms gleich Null. Da nun cos 0 = 1 ist, erhält die Grundschwingung nun wirklich eine konstante Amplitude, nämlich 2r. Akustisch interpretiert bedeutet das, dass es zu keiner Lautstärkeschwankung mehr kommt. Dieser Effekt wird beispielsweise beim Stimmen einer Gitarre verwendet.

6.5 Lissajous Figuren

6.5.1 Erklärung

Stellen wir uns vor, dass sich ein Punkt sowohl in der x als auch in der y–Richtung harmonisch um den Ursprung bewegt, d.h. es soll für die momentanen Koordinaten folgendes gelten:

x(t) = x0⋅sin(ωxt+ϕ0x) y(t) = y0⋅sin(ωyt+ϕ0y)

Wird die Überlagerung dieser zwei Sinusschwingungen in einem x–y Diagramm dargestellt, so entstehen unter bestimmten Umständen sehr ansehnliche Kurven. Diese Figuren lassen sich mit einem Zweikanaloszillographen leicht erzeugen, indem man sowohl die x–Ablenkung als auch die y–Ablenkung mit jeweils einem Frequenzgenerator ansteuert ( X–Y Betrieb). Ist das Verhältnis der Kreisfrequenzen ωx / ωy eine rationale Zahl, d.h. eine Bruchzahl mit ganzzahligem Zähler und ganzzahligem Nenner, so entsteht eine geschlossenen Kurve. Diese Lissajous Figuren können z.B. zu einem sehr genauen Frequenzabgleich verwendet werden.

Kreisfunktionen 34


6.5.2 MATHCAD

Tx 40:= Ty 20:=

ωx2π

Tx:= ωy

2π

Ty:= t 0 01, 100..:=

φ0x 0:= φ0y 0:=

1 0 11

0

1

sin ωy t⋅ φ0y+( )

sin ωx t⋅ φ0x+( )

Tx 60:= Ty 90:=

ωx2π

Tx:= ωy

2π

Ty:= t 0 1, 1000..:=

φ0x 0:= φ0y 0:=

1 0 11

0

1



Tx 80:= Ty 90:=

ωx2π

Tx:= ωy

2π

Ty:= t 0 1, 1000..:=

φ0x 0:= φ0y 0:=

1 0 11

0

1



Kreisfunktionen 35


6.5.3 Aufgaben

a) Wann entsteht als Lissajous Figur nur eine Gerade? b) Wann entsteht als Lissajous Figur genau ein Kreis? c) Stellen Sie vier Lissajous Figuren für ωx/ωy = 3dar:

x(t) = 4⋅sin(ωxt) y(t) = 5⋅sin(ωyt+ϕ0y) Wählen Sie ϕ0y= 0°,ϕ0y= 30°,ϕ0y= 60°,ϕ0y= 90°

d) Experimentieren Sie mit MATHCAD und erzeugen Sie einige Lissajous Figuren.

Kreisfunktionen 36


7 Multiplikation zweier frequenzgleicher

Sinusfunktionen

7.1 Erklärung

Der allgemeinste Fall wäre die Multiplikation der Funktionen: ( ) ( )( ) ( )

1 1 1

2 2 2

f t r sin t

f t r sin t

= ⋅ ω + ϕ

= ⋅ ω + ϕ

Ohne auf das Wesentliche zu verzichten, wollen wir folgende Vereinfachung treffen: Wir wählen ϕ1 = 0, damit kann einfacher ϕ2= ϕ genannt werden.

( )( ) ( )

1 1

2 2

f t r sin t

f t r sin t

= ⋅ ω

= ⋅ ω + ϕ

Bilden wir nun die Produktfunktion: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 2 1 2f t f t f t r sin t r sin t r r sin t sin t= ⋅ = ⋅ ω ⋅ ⋅ ω + ϕ = ⋅ ⋅ ω ⋅ ω + ϕ

Hier tritt also das Produkt zweier Sinusterme auf. Entweder man leitet sich eine Formel aus dem 2. Summensatz her oder entnimmt sie einer Formelsammlung:

( ) ( )1sin sin cos cos

2α ⋅ β = α − β − α + β

Damit gilt mit: tα = ω + ϕ und tβ = ω und 2 t⇒ α − β = ϕ α + β = ω + ϕ :

( ) ( )

( ) ( )

( )

1 2

1 2

1 2

f t r r sin t sin t

1r r cos t t cos t t

2

r rcos cos 2 t

2

= ⋅ ⋅ ω + ϕ ⋅ ω =

= ⋅ ⋅ ω + ϕ − ω − ω + ϕ + ω =

⋅= ϕ − ω + ϕ

Nun zur Diskussion des Ergebnisses:

( )cos 2 t− ω + ϕ stellt eine phasenverschobene Kosinusfunktion mit der doppelten Kreis-

frequenz dar. cos ϕ ist ein zeitunabhängiger additiver Term. Die Summe der beiden in der eckigen Klammer stehenden Funktionen stellt also eine phasenverschobene Sinuskurve mit der doppelten Frequenz dar, die noch zusätzlich um cos ϕ in Ordinatenrichtung angehoben

ist. Diese Anhebung kann maximal den Welt 1 annehmen, nämlich genau dann, wenn ϕ = 0° beträgt. Sie entfällt gänzlich, wenn 90ϕ = ± ° beträgt.

Der Faktor 1 2r r

2

⋅ stellt einen Streckungsfaktor in Ordinatenrichtung dar.

Kreisfunktionen 37


Wir wollen unter dem arithmetischen Mittelwert einer periodischen Funktion stets den arithmetischen Mittelwert über eine Periodendauer verstehen. Dieser wird hier durch den

Ausdruck 1 2r rf cos

2

⋅= ⋅ ϕ gegeben.

Beispiel:

( )( ) ( )

1

2

f t 2 sin t

f t 3 sin t 42

= ⋅ ω

= ⋅ ω + °

Wie groß ist der zeitliche Mittelwert der Produktfunktion?

( ) ( )

( )

( )

f t 2 sin t 3 sin t 42

2 3cos 42 cos 2 t 42

2

2, 23 3 cos 2 t 42

= ⋅ ω ⋅ ⋅ ω + ° =

⋅= ° − ω + ° =

= − ⋅ ω + °

Es handelt sich hier also um eine phasenverschobene Kosinuskurve der Amplitude 3 mit der doppelten Frequenz, die um 2,23 Einheiten angehoben ist. Der zeitliche Mittelwert (arithmetische Mittelwert) beträgt 2,23. MATHCAD:

T 2 π⋅:= ω2π

T:= tA 2−:= tE 10:= t tA tA 0.01+, tE..:=

f1 t( ) 2 sin ω t⋅( )⋅:=

f2 t( ) 3 sin ω t⋅ 42 Grad⋅+( )⋅:=

f3 t( ) f1 t( ) f2 t( )⋅:=

2 0 2 4 6 8 10

4

2

2

4

6

f1 t( )

f2 t( )

f3 t( )

23⋅2

cos 42Grad( )⋅

t

Kreisfunktionen 38


7.2 Anwendung: Die Leistung im Wechselstromkreis

7.2.1 Die Momentanleistung p(t) und die Wirkleistung P

Der Momentanwert der Wechselstromleistung p(t) errechnet sich einfach aus dem Produkt des Momentanwerts der Spannung u(t) und dem des Stroms i(t): p(t) = u(t) ⋅ i(t)

Nun treibt eine sinusförmige Spannung ( ) ( )Uû t U sin t= ⋅ ω + ϕ durch ein passives

Bauelement einen sinusförmigen Strom ( ) ( )Iî t I sin t= ⋅ ω + ϕ derselben Frequenz. Im

Allgemeinen wird sich jedoch zwischen u(t) und i(t) auch eine Phasenverschiebung, die zwischen – 90° und + 90° liegen kann, einstellen. Wir werden sehen, wie gerade diese Phasenverschiebung den Mittelwert der Wechselstromleistung p(t) entscheidend beeinflusst. Bei den folgenden Überlegungen wollen wir den Strom als Bezugsgröße wählen, d.h. die Sinusfunktion, die den Stromverlauf beschreibt, soll ohne Phasenverschiebung erscheinen.

Annahme: I als Bezugsgröße ⇔ I 0ϕ = ⇔ ( ) î t I sin t= ⋅ ω

Damit können wir ohne Verwechslungsgefahr ( ) ( )û t U sin t= ⋅ ω + ϕ schreiben.

Z steht hier für einen beliebigen Wechselstromwiderstand. Nun berechnen wir die Momentanleistung:

( ) ( ) ( )

( ) ( )

p t u t i t

ˆ ˆ ˆ Û sin t I sin t U I sin t sin t

= ⋅ =

= ⋅ ω + ϕ ⋅ ⋅ ω = ⋅ ⋅ ω + ϕ ⋅ ω = ⊗

Die Anwendung der trigonometrischen Formel:

( ) ( )1sin sin cos cos

2α ⋅ β = α − β − α + β

liefert in unserem Fall : tα = ω + ϕ und tβ = ω und 2 t⇒ α − β = ϕ α + β = ω + ϕ

ϕ

U

I

Zeigerdiagramm:

Z

i(t)u(t)

Kreisfunktionen 39


( )

( )

ˆ Û Icos cos 2 t

2

ˆ ˆ ˆ Û I U Icos cos 2 t

2 2

⋅⊗ = ⋅ ϕ − ω + ϕ =

⋅ ⋅= ⋅ ϕ − ⋅ ω + ϕ

Der erste Summand ist zeitunabhängig und stellt den arithmetischen Mittelwert der Momentanleistung über eine Periode dar.

( )ˆ Û I

p t cos P2

⋅= ⋅ ϕ =

Man nennt den zeitlichen Mittelwert der Momentanleistung die „Wirkleistung P". Teilt man den Faktor 1/2 auf beide Scheitelwerte „gerecht“ auf, so erhält man:

ˆ ˆ ˆ Û I U I

2 2 2

⋅= ⋅

Das Verhältnis von Scheitelwert zu 2 stellt bei sinusförmige Größen den Effektivwert dar.

Effektivwert sinusförmiger GrößenScheitelwert

2=

Wir schreiben daher: eff eff

ˆ ˆ ˆ Û I U IU I

2 2 2

⋅= ⋅ = ⋅

(Eine genaue Definition des Effektivwertes erfolgt später bei der Anwendung der Integralrechnung.)

eff effP U I cos= ⋅ ⋅ ϕ

Wir sehen also, dass der Faktor cos ϕ die Wirkleistung P bestimmt. Man nennt cos ϕ daher auch „Wirkleistungsfaktor" . Oft schreibt man statt der Indexschreibweise Ueff einfach U . Dann darf beim Scheitelwert das Scheitelwertzeichen jedoch nicht weggelassen werden. In dieser Form lautet dann die Formel für die Momentanleistung:

( ) ( )p t U I cos U I cos 2 t= ⋅ ⋅ ϕ − ⋅ ⋅ ω − ϕ

Diese Zerlegung zeigt deutlich, wie sich die Momentanleistung p(t) als die Summe eines zeitunabhängigen Terms U⋅I⋅cosϕ und eines zeitabhängigen Terms U⋅I⋅cos(ωt) darstellen lässt. Die Wirkleistung wird durch den ersten Summanden gegeben: P U I cos= ⋅ ⋅ ϕ

Kreisfunktionen 40


7.3 Drei Extremfälle

1. 0ϕ = ° Hier sind Strom und Spannung "in Phase". Dieser einfachste Fall tritt ein, wenn die Spannung u(t) an einen rein Ohmschen Widerstand gelegt wird

Wir erhalten: ( ) ( )ˆ û t U sin t i t I sin t= ⋅ ω = ⋅ ω

(Man kann natürlich auch einfach in die hergeleitete allgemeine Formel für p(t) für ϕ = 0° einsetzen )

( ) { ( )1

p t U I cos 0 cos 2 t p t P U I=

= ⋅ ⋅ ° − ω ⇒ = = ⋅

In diesem Fall kommt es zu einer maximalen Anhebung der – cos 2ωt Funktion um eine Einheit. Der Wirkleistungsfaktor cos ϕ = cos 0° = 1 nimmt hier seinen maximalen Wert an. Die Wirkleistung beträgt also: P U I= ⋅ Die Effektivwerte Ueff = U und Ieff = I können daher auch folgendermaßen interpretiert werden: Sie sind jenen Gleichspannungs– bzw. Gleichstromwerten gleich, die dieselbe Wirk-leistung an einem Ohmschen Widerstand hervorrufen wie die sinusförmigen Größen u(t) und i(t) . MATHCAD:

U

I

Zeigerdiagramm:

R

i(t)u(t)

Kreisfunktionen 41


Die Leistung im Ohmschen Widerstand

T 2π:= ω2π

T:= I 0.5:= U 2:=

tA 2−:= tE 10:= t tA tA 0.01+, tE..:=

i t( ) I sin ω t⋅( )⋅:= u t( ) U sin ω t⋅( )⋅:= p t( ) i t( ) u t( )⋅:=

2 0 2 4 6 8 10

2

2

i t( )

u t( )

p t( )

U I⋅2

t

2. 902

πϕ = ° =

Dieser Fall tritt ein, wenn die Spannung u(t) an eine ideale Spule ( Induktivität ) gelegt wird. Hier eilt die Spannung dem Strom um 90° vor.

( ) ( ) ( )ˆ î t I sin t u t U sin t 90= ⋅ ω = ⋅ ω + °

Wir erhalten: ( ) ( ) ( ) ( )ˆ ˆp t u t i t U sin t 90 I sin t= ⋅ = ⋅ ω + ° ⋅ ⋅ ω =

1ˆ ˆ ˆ Û I cos t sin t I U sin 2 t2

ˆ Û Isin 2 t

2U I sin 2 t

= ⋅ ⋅ ω ⋅ ω = ⋅ ⋅ ⋅ ω =

⋅= ⋅ ω =

= ⋅ ⋅ ω

Die Momentanleistung p(t) ändert sich sinusförmig mit der doppelten Kreisfrequenz. Ihr zeitlicher Mittelwert beträgt Null.

L

i(t)u(t)

U

I

Zeigerdiagramm:

Kreisfunktionen 42


Dieses Ergebnis erhält man selbstverständlich auch, wenn man in die allgemeine Formel für p(t) für ϕ, den Wert 90° einsetzt.

( ) ( ) ( )0

p t U I cos 90 cos 2 t 90 p t P 0=

= ⋅ ⋅ ° − ω + ° ⇒ = =

123

In diesem Fall kommt es zu gar keiner Anhebung der – cos ( 2ωt+90°) = sin2ωt Funktion. Der Wirkleistungsfaktor beträgt hier cos ϕ = cos 90° = 0 . Er nimmt hier seinen minimalen Wert an. Die Wirkleistung beträgt also: P 0= Ergebnis: An einer idealen Spule wird keine Wirkleistung umgesetzt. MATHCAD:

Die Leistung in einer Spule

T 2π:= ω2πT

:= I 0.5:= U 2:=

φ 90 Grad⋅:= tA 2−:= tE 10:= t tA tA 0.01+, tE..:=

i t( ) I sin ω t⋅( )⋅:= u t( ) U sin ω t⋅ φ+( )⋅:= p t( ) i t( ) u t( )⋅:=

2 0 2 4 6 8 10

2

2

i t( )

u t( )

p t( )

UI⋅

2cos φ( )⋅

t

3. 902

πϕ = − ° = −

Dieser Fall tritt ein, wenn die Spannung u(t) an einen idealen Kondensator ( Kapazität ) gelegt wird.

( ) ( ) ( )ˆ û t U sin t 90 i t I sin t= ⋅ ω − ° = ⋅ ω

U

I Zeigerdiagramm:

C

i(t)u(t)

Kreisfunktionen 43


Hier eilt die Spannung dem Strom um 90° nach.Wir erhalten:

( ) ( ) ( ) ( )

( )

ˆ ˆp t u t i t U sin t 90 I sin t

ˆ Û cos t I sin t

= ⋅ = ⋅ ω − ° ⋅ ⋅ ω =

= ⋅ − ω ⋅ ⋅ ω =

ˆ Û I sin t cos t

1ˆ Û I sin 2 t2

ˆ Û Isin 2 t

2U I sin 2 t

= − ⋅ ⋅ ω ⋅ ω =

= − ⋅ ⋅ ω =

⋅= − ⋅ ω =

= − ⋅ ⋅ ω

Wir erhalten also bis auf das Vorzeichen dasselbe Ergebnis wie im 2. Fall. Die Momentanleistung p(t) ändert sich sinusförmig mit der doppelten Kreisfrequenz und ihr zeitlicher Mittelwert beträgt Null. Auch dieses Ergebnis erhält man, wenn man in die allgemeine Formel für p(t) für ϕ den Wert –90° einsetzt.

( ) ( ) ( ) ( )0

p t U I cos 90 cos 2 t 90 p t P 0=

= ⋅ ⋅ − ° − ω − ° ⇒ = = 14243

Anhebung der – ωt 90°) = – ωt ϕ = cos ( 90°) = 0 . Er nimmt auch hier

seinen minimalen Wert an. Die Wirkleistung beträgt wieder: P 0

Ergebnis: t wird keine Wirkleistung umgesetzt.

MATHCAD: Die Leistung in einem Kondensator

T 2π:= ω2π

T:= I 0.5:= U 2:=

φ 90− Grad⋅:= tA 2−:= tE 10:= t tA tA 0.01+, tE..:=

i t( ) I sin ω t⋅( )⋅:= u t( ) U sin ω t⋅ φ+( )⋅:= p t( ) i t( ) u t( )⋅:=

2 0 2 4 6 8 10

2

2

i t( )

u t( )

p t( )

UI⋅

2cos φ( )⋅

t

Kreisfunktionen 44


8 Wiederholungsfragen

1. Was entsteht bei der Überlagerung ( Addition ) zweier frequenzgleicher Sinusfunktionen? 2. Was entsteht bei der Überlagerung ( Addition ) zweier frequenzungleicher

Sinusfunktionen, deren Kreisfrequenzen in einem Verhältnis ganzer Zahlen stehen? 3. Welche Periodendauer besitzt das Summensignal 4sin( 4t) + cos (5t) ? 4. Was versteht man unter einer Schwebung? 5. Wie groß ist die Schebungsfrequenz des Signals f(t) = sin(πt) + sin(3t) ? Ist dieses Signal

wirklich ein periodisches Signal? 6. Wodurch entsteht eine Lissajous Figur? 7. Was entsteht bei der Multiplikation zweier frequenzgleicher Sinusfunktionen? Wieso ist

gerade dieser Fall elektrotechnisch so interessant? 8. Berechnen Sie die Periodendauer des folgenden Signals und verwandeln Sie das Signal in

Produktform um: f(t) = sin 500t + sin 510t Lassen Sie sich den Kurvenverlauf mit MATHCAD und beschriften Sie all jene Details, die sich aus der Produktform ablesen lassen.

9. Berechnen Sie die Periodendauer des folgenden Signals und verwandeln Sie das Signal in Produktform um: f(t) = sin 480t + sin 500t Lassen Sie sich den Kurvenverlauf mit MATHCAD aufzeichnen und beschriften Sie all jene Details, die sich aus der Produktform ablesen lassen. (6P)

10. Stellen Sie f(t) = 5sin(ωt–33°) + 7cos(ωt–18°) in der Form f(t) = Asin(ωt+ϕ) dar.

11. Stellen Sie f(t) = 5cos(ωt+33°) + 7sin(ωt–23°) in der Form f(t) = Asin(ωt+ϕ) dar.

12. Lösen Sie die goniometrische Gleichung für G = [ 0, 360°]: 4sin x – 3cos x = 3 Führen Sie für jede berechnete Lösung die Probe durch, denn nicht alle berechneten Lösungen sind wirklich Lösung der gegebenen Gleichung.

13. Lösen Sie die goniometrische Gleichung für G = [ 0, 360°]: 5sin x – 2cos x = 2 Führen Sie für jede berechnete Lösung die Probe durch, denn nicht alle berechneten Lösungen sind wirklich Lösung der gegebenen Gleichung.

Kreisfunktionen 45


1. Welche Funktionen werden hier dargestellt:

f(x) = ?

0 5 10

1

2

3

4

5

6

f x( )

x 2.

Welche Funktionen werden hier dargestellt:

f(x) = ?

0 10

5

3

2

f x)

x

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