Kreisumfang und Kreis- und Parabelflächenapproximationnach Archimedes

Referat im Seminar Didaktik der Analysis am 15.11.2016Elisabeth Löffler und Lorenz Fischer

Archimedes von Syrakus (287 v. Chr. - 212 v. Chr.)Archimedes gilt als der bedeutendste Mathematiker und Physiker desAltertums. Seine Schriften, die durch arabische Wissenschaftler auch inEuropa wieder bekannt wurden, gaben Anregungen für Kepler, Newton,Leibniz und viele andere.Während des 2. Punischen Krieges kam er gewaltsam ums Leben. 'Noli turbare circulos meos' ("Störe meine Kreise nicht") sollen seineletzten Worte gewesen sein.Ob Archimedes das Prinzip des Auftriebs tatsächlich beim Baden entdeckt hat, wie die Legende berichtet, mag dahingestellt sein; sein 'Heureka' ("Ich habe es gefunden") wird seitdem als geflügeltes Wort verwendet, wenn ein schwieriges Problem gelöst ist.

Kreisumfang / Näherung der Zahl πArchimedes berechnete Pi durch Ein- und Umbeschreibung des Einheitskreises durch n-Ecke.

Mit n=96 kam er auf folgende Näherung:

3+1071

≤π≤3+1070

KreisflächeEin rechtwinkliges Dreieck mit den Kathetenlängen U und r besitzt den gleichen Flächeninhalt wie ein Kreis mit Umfang U und Radius r.

--> A=12U⋅r

Flächenberechnung eines ParabelsegmentsDer Inhalt eines Parabelsegments ist um ein Drittel größer als einDreieck, welches mit ihm gleiche Grundlinie und Höhe hat.

Berechnung des Kugelvolumens

mechanische Methode Exhaustion Cavalieri

Didaktik

Herleitung der Zahl π

• Fahrrad/Hochrad: Verhältnis von Durchmesser und zurückgelegter Strecke > Bezug Funktion Tachometer

• Experiment: (handlungsorientiert, induktiv)SuS messen mit einer Schnur den Umfang und den Durchmesser verschiedener runder Gegenstände und berechnen das Verhältnis u/d. > Durchschnitt aller Werte ~ 3,14...= π

Umfang Kreis

• Einführung mit Berechnung von π:

• Bezug zur Approximation von Archimedes mit Hilfe von ein- und umbeschriebenen Polygonen eines Kreises

Flächeninhalt Kreis

• Kästchen auszählen: bewusste Unterscheidung von Umfang und Flächeninhalt• Monte-Carlo-Methode: handlungsorientiert

Experiment: Nudeln werden gleichmäßig in einem quadratischenKarton mit gezeichnetem Kreis oder Viertelkreis verteilt. Verhältnis derNudeln im Kreis zur Gesamtanzahl der Nudeln ist gleich demVerhältnis der Flächeninhalte von Kreis und Quadrat.

Oberflächeninhalt und Volumen Kreiszylinder und Kreiskegel

• Berechnung analog zur allgemeinen Formel für ein Prisma bzw. Pyramide• Volumina vergleichen mittels Umschüttmethode:

Modelle für Kreiszylinder und Kreiskegel können gestellt oder selbst aus Papier hergestellt werden. Anschließend Sand oder Reis zwischen Modellen umschütten.

Volumen einer Kugel• Volumenformel kann induktiv und experimentell hergeleitet

werden• Prinzip von Cavalieri: Veranschaulichung mit zwei Stapeln

von Bierdeckeln