Lineare Algebra 2 SS2012 Ubungsblatt 1 - IG Mathe · 2012. 8. 2. · Lineare Algebra 2 SS2012 Ubungsblatt №4 Ubung 17. Die Zahlen 46189, 32604, 2431, 40755, 43758 sind durch 13

Lineare Algebra 2 SS2012 Ubungsblatt №1

Ubung 1.Seien A1, A2, . . . , Ak quadratische n× n-Matrizen uber einem Korper K. Zeige, daß dasProdukt A1A2 . . . Ak invertierbar ist genau dann, wenn alle Ai invertierbar sind.

Ubung 2.Bestimme die LR-Zerlegung der Matrix

A =

3 2 1 0−3 −4 0 −1−6 −6 −2 13 0 3 −2

.

Ubung 3.Sei

A =

0 2 −1 −1−9 3 −6 33 −1 2 03 −1 −1 2

.

Bestimme eine Permutationsmatrix P und Dreiecksmatrizen L, R sodaß P · A = L ·R.

Ubung 4.(a) Sei A eine invertierbare n×n-Matrix uber einem Korper K und u, v Spaltenvektoren

(d.h. n×1-Matrizen), sodaß gilt σ = 1+vtA−1u 6= 0. Zeige, daß (A+uvt) invertierbarist und daß

(A+ uvt)−1 = A−1 − 1

σA−1uvtA−1.

(b) Wende die Formel an, um die Inversen der Matrizen

A1 =

2 3 0 13 5 0 00 0 2 30 0 3 5

und A2 =

2 3 0 13 5 0 00 0 2 31 0 3 5

zu bestimmen.

Ubung 5.(a) Zeige, daß die n× n oberen Dreiecksmatrizen, das sind die Matrizen der Gestalt

∗ ∗ ∗ . . . ∗∗ ∗ . . . ∗∗ . . . ∗

. . ....∗

,

eine Teilalgebra der n× n-Matrizen bilden.(b) Zeige, daß eine obere Dreiecksmatrix genau dann invertierbar ist, wenn alle Haupt-

diagonaleintrage von 0 verschieden sind und daß dann die Inverse wieder eine Drei-ecksmatrix ist.

(c) Sei A eine obere Dreiecksmatrix mit ganzzahligen Eintragen und es geltedaruberhinaus, daß die Hauptdiagonaleintrage alle gleich 1 sind. Zeige, daß auch dieInverse lauter ganzzahlige Eintrage hat.

1

Ubung 6.Sei K ein Korper und A ∈ Kp×m, B ∈ Kn×q zwei gegebene Matrizen. Zeige:

(a) die Abbildungf : Km×n → Kp×q

X 7→ A ·X ·Bist linear.

(b) f ist invertierbar genau dann, wenn p = m, q = n und sowohl A als auch B invertierbarist.

Ubung 7.Gegeben sei die Permutation

σ =

(1 2 3 4 5 6 7 85 8 4 1 3 6 2 7

)(a) Bestimme die Faktorisierung von σ in ein Produkt durchschnittsfremder Zyklen.(b) Zerlege σ in ein Produkt von Transpositionen

σ = τkrlrτkr−1lr−1 · · · τk1l1mit 2 ≤ k1 < k2 < · · · < kr ≤ n und li < ki.

(c) Bestimme die Fehlstande von σ sowie signσ.(d) Bestimme die Hintereinanderausfuhrung σ2 von σ mit sich selbst und davon die Zy-

klenfaktorisierung.

Lineare Algebra 2 SS2012 Ubungsblatt �2

Ubung 8.Zeige, daß fur invertierbare n× n-Matrizen A, B, C, D gilt: Wenn (A− BD−1C) inver-tierbar ist, dann ist auch (D − CA−1B) invertierbar und es ist

A−1B(D − CA−1B)−1 = (A−BD−1C)−1BD−1.

Ubung 9.Seien

p(x) = x7 − x5 + x4 − x3 + x− 1

q(x) = x8 − x5 − x4 + x3 − 2x2 + 2x− 2.

Bestimme ggT(p(x), q(x)) mit dem euklidischen Algorithmus uber Q[x] sowie Polynomea(x) und b(x), sodaß a(x)p(x) + b(x)q(x) = ggT(p(x), q(x)).

Ubung 10.Seien p(x) und q(x) nichtverschwindende Polynome vom Grad m und n uber einem KorperK. Zeige:

(a) ggT(p(x), q(x)) = 1 genau dann, wenn es Polynome a(x) und b(x) gibt mit der Eigen-schaft, daß a(x)p(x) + b(x)q(x) = 1.

(b) ggT(p(x), q(x)) ist nichttrivial genau dann, wenn es Polynome A(x) und B(x) mitdegA(x) < n und degB(x) < m, sodaß A(x)p(x) +B(x)q(x) = 0.

(c) Seien p(x) = p0+p1x+· · ·+pmxm und q(x) = q0+q1x+· · ·+qnxn Polynome vom Gradm und n mit pm, qn 6= 0. Zeige, daß p(x) und q(x) einen nichttrivialen gemeinsamenTeiler haben haben genau dann, wenn die (m+ n)× (m+ n)-Matrix

S(p, q) =

pm 0 · · · 0 qn 0 · · · 0

pm−1 pm. . .

... qn−1 qn. . .

...... pm−1

. . . 0... qn−1

. . . 0

p0

.... . . pm q0

.... . . qn

0 p0

. . . pm−1 0 q0. . . qn−1

......

. . ....

......

. . ....

0 0 · · · p0 0 0 · · · q0

︸︷︷︸

n

︸︷︷︸m

nichttrivialen Kern hat.

Ubung 11.Eine Matrix P ∈ Rn×n heißt Permutationsmatrix, wenn jede Zeile und jede Spalte ge-nau eine Eins und sonst Nullen enthalt. Πn bezeichne die Menge der Permutations-matrizen. Sei Sn die symmetrische Gruppe der Ordnung n und fur σ ∈ Sn bezeichnePσ = (δi,σ(j))i,j=1,...,n die entsprechende Permutationsmatrix. Zeige:

(a) Die Abbildung π : Sn → Πn, σ 7→ Pσ ist eine Bijektion.(b) Pρ · Pσ = Pρ◦σ(c) P−1

σ = Pσ−1 = P tσ

Ubung 12.Eine n× n-Matrix A mit nichtnegativen Eintragen heißt doppelt stochastisch, wenn jedeZeilensumme und jede Spaltensumme Eins ergibt, z.B. die Permutationsmatrizen aus dervorhergehenden Aufgabe. Zeige:

(a) Eine Konvexkombination doppelt stochastischer Matrizen ist doppelt stochastisch;d.h., wenn A1, A2, . . . , Am doppelt stochastische Matrizen sind und λ1, λ2, . . . , λm ≥ 0mit λ1 + λ2 + · · · + λm = 1, dann ist auch die Matrix λ1A1 + λ2A2 + · · · + λmAmdoppelt stochastisch.

(b) Eine Permutationsmatrix kann nicht als nichttriviale Konvexkombination verschie-dener doppelt stochastischer Matrizen dargestellt werden, d.h., wenn Pσ =

∑λiAi,

dann muß fur die nichtverschwindenden Koeffizienten λi gelten, daß Ai = Pσ.


Ubung 13.Berechne die Determinante ∣∣∣∣∣∣

1 2 33 2 10 −1 −1

∣∣∣∣∣∣mit drei verschiedenen Methoden.

Ubung 14.Bestimme die Determinante ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

−10 4 3 2 13 −10 4 1 22 1 −10 4 31 3 2 −10 44 2 1 3 −10

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣Ubung 15.Im folgenden bezeichnen Pi = (xi, yi) voneinander verschiedene Punkte im R2.

(a) Zeige, daß diejenige Gerade g, die durch die Punkte P1 und P2 verlauft, durch dieGleichung

g =

{(x, y) ∈ R2 :

∣∣∣∣∣∣1 x1 y11 x2 y21 x y

∣∣∣∣∣∣ = 0

}beschrieben werden kann.

(b) Zeige, daß derjenige Kreis k, der durch die Punkte P1, P2 und P3 verlauft, durch dieGleichung

k =

{(x, y) ∈ R2 :

∣∣∣∣∣∣∣∣1 x1 y1 x21 + y211 x2 y2 x22 + y221 x3 y3 x23 + y231 x y x2 + y2

∣∣∣∣∣∣∣∣ = 0

}beschrieben werden kann. Was erhalt man, wenn die Punkte auf einer Geraden liegen?

(c) Bestimme den Mittelpunkt des Kreises, der durch die Punkte (−4, 1), (−2,−3), (4, 5)verlauft.

Ubung 16.Bestimme die Determinanten

(a)

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∗ ∗ ∗ an

∗ ∗ . ..

0

∗ a2 0...

a1 0 . . . 0

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣, (b)

∣∣∣∣∣∣∣∣∗ ∗ a b∗ ∗ c de f 0 0g h 0 0

∣∣∣∣∣∣∣∣


Ubung 17.Die Zahlen 46189, 32604, 2431, 40755, 43758 sind durch 13 teilbar. Zeige, daß auch dieDeterminante ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

4 6 1 8 93 2 6 0 40 2 4 3 14 0 7 5 54 3 7 5 8

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣durch 13 teilbar ist.

Ubung 18.Seien A, B, C und D ∈ Kn×n. Zeige die folgenden Identitaten fur Blockmatrizen:

(a) det

(A BB A

)= det(A+B) det(A−B) (b) det

(A BC D

)= detA det(D−CA−1B)

wobei in (b) vorausgesetzt wird, dass A invertierbar ist.

Ubung 19.Berechne die Determinante ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

a 0 0 0 0 b0 a 0 0 b 00 0 a b 0 00 0 c d 0 00 c 0 0 d 0c 0 0 0 0 d

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣Ubung 20.Sei K ein Korper und a1, a2, . . . , an ∈ K. Zeige, daß∣∣∣∣∣∣∣∣∣

1 a1 a21 . . . an−11

1 a2 a22 . . . an−12...

......

. . ....

1 an a2n . . . an−1n

∣∣∣∣∣∣∣∣∣ =∏i<j

(aj − ai)

Ubung 21.Seien p(x) und q(x) die Polynome aus Aufgabe 10 und seien α1,α2,. . . ,αm und β1, β2,. . . ,βndie Nullstellen von p und q, wobei wir annehmen, dass es sich dabei um m+ n paarweiseverschiedene Elemente von K handelt. Zeige durch Multiplikation der Matrix S(p, q) ausAufgabe 10 mit einer geeigneten (m+ n)× (m+ n)-Matrix der Gestalt

xm+n−11 xm+n−2

1 · · · 1xm+n−12 xm+n−2

2 · · · 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .xm+n−1m+n xm+n−2

m+n · · · 1

(ahnlich wie in Aufgabe 20), daß

detS(p, q) =

∏i p(βi)

∏j q(αj)∏

i,j(βi − αj)= pnmq

mn

∏i,j

(αi − βj)

Ubung 22.Lose das Gleichungssystem

−7x1 + 11 x2 − 3x3 = 14x1 − 8x2 + 3 x3 = 02x1 − 3x2 + x3 = 2

mit Hilfe der Cramerschen Regel.

Ubung 23.Bestimme mit moglichst wenig Aufwand die Koeffizienten von x3 und x4 in der Determi-nante ∣∣∣∣∣∣∣∣

5x 1 2 3x x 1 21 2 x 3x 1 2 2x

∣∣∣∣∣∣∣∣


Ubung 24.Bestimme die Eigenwerte und Eigenvektoren der Matrix 1 −6 2

−2 −5 6−1 −6 5

uber R und C.

Ubung 25.Sei

A =

8 15 −368 21 −465 12 −27

Bestimme die Eigenwerte und stelle fest, ob A diagonalisierbar ist, und zwar uber denKorpern

(a) Q, (b) R, (c) C, (d) Z11, (e) Z17.

Ubung 26.Bestimme die Eigenwerte und Vielfachheiten der reellen 100× 100-Matrix

1 1 . . . 12 2 . . . 24 4 . . . 4...

.... . .

...299 299 . . . 299

.

Ist die Matrix diagonalisierbar? Wenn ja, gib jeweils eine Basis von Links- und Rechtsei-genvektoren an.

Ubung 27.Bestimme Eigenwerte und Eigenvektoren der reellen n× n-Matrix

0 1 1 . . . 11 0 1 . . . 11 1 0 . . . 1...

......

. . ....

1 1 1 . . . 0

Ubung 28.Sei A eine regulare Matrix. Zeige, daß die Eigenwerte von A−1 gegeben sind durch

spec(A−1) = {1/λ : λ ∈ specA}

Ubung 29.Sei K ein Korper und A ∈ Km×n, B ∈ Kn×m. Zeige:

(a) AB und BA besitzen die gleichen Eigenwerte (mit der moglichen Ausname von 0).(b) Wenn daruberhinaus m = n ist, dann stimmen auch die charakteristischen Polynome

uberein. (Fur den Beweis darf angenommen werden, daß zumindest eine der beidenMatrizen invertierbar ist).

Ubung 30.Sei A eine reelle n×n-Matrix mit der Eigenschaft, daß A2 = −I. Bestimme die Eigenwertevon A und zeige, daß n gerade ist.

Ubung 31.Sei V ein endlichdimensionaler Vektorraum und f, g : V → V linear mit f ◦ g = g ◦ f .Zeige: Ist λ ein Eigenwert von f und Eλ der zugehorige Eigenraum, dann ist g(Eλ) ⊆ Eλ.


Ubung 32.Sei K = Z7 und

A =

5 5 33 0 34 2 6

Bestimme eine Matrix M ∈ K3×3 sodaß M−1AM eine Diagonalmatrix ist.

Ubung 33.Die Exponentialfunktion einer reellen oder komplexen Matrix ist definiert durch expA =∑∞

n=0An

n!. Berechne expA fur die Matrix

A =

(0 −αα 0

)mit α ∈ R.

Ubung 34.Bestimme alle Eigenwerte und Eigenvektoren der linearen Abbildung

S : C∞ → C∞

(z1, z2, . . . ) 7→ (z2, z3, . . . )

Ubung 35.Sei A eine n× n-Matrix uber einem Korper K, v ein Links- und w ein Rechtseigenvektorzu verschiedenen Eigenwerten λ und µ, d.h.†

vtA = λvt Aw = µw.

Zeige, daß vtw = 0.

Ubung 36.(a) Sei V ein Vektorraum und f : V → V eine lineare Abbildung, sodaß jeder Vektor

v ∈ V ein Eigenvektor ist. Zeige, daß f ein Vielfaches der identischen Abbildung ist.(b) Sei A eine n × n-Matrix, sodaß jeder (n − 1)-dimensionale Unterraum invariant ist.

Zeige, daß A ein Vielfaches der Einheitsmatrix ist.Hinweis: Gegenteil annehmen und (a) benutzen.

Ubung 37.Sei A eine n × n-Matrix uber einem Korper K. Zeige, daß folgende Aussagen aquivalentsind:

(i) A besitzt Rang 1(ii) Der Eigenwert 0 hat geometrische Vielfachheit n− 1(iii) Es gibt Vektoren v, w ∈ Kn \ {0} sodaß† A = vwt.

Wieviele weitere Eigenwerte gibt es? Wie sehen ggf. die zugehorigen Eigenvektoren aus?

Ubung 38.SeiA eine diagonalisierbare n×n-Matrix uber einem Korper K mit (Rechts-)Eigenvektorenv1, v2, . . . , vn. Zeige, daß A auch n Linkseigenvektoren besitzt.

† Hier werden Spaltenvektoren als n× 1-Matrizen aufgefaßt


Ubung 39.Sei A ∈ Kn×n eine diagonalisierbare Matrix. Zeige, daß es Matrizen E1, E2, . . . , En vomRang 1 gibt, sodaß

A = λ1E1 + λ2E2 + · · ·+ λnEnwobei λ1, λ2, . . . , λn die Eigenwerte von A sind und daß daruberhinaus fur alle k ∈ N gilt

Ak = λk1E1 + λk2E2 + · · ·+ λknEn.

Bestimme diese Matrizen fur die Matrix A aus Beispiel 32.

YYY

Im Rest dieses Ubungsblatts sei der Einfachheit halber ebenfalls angenommen, daß A einediagonalisierbare Matrix uber einem Korper K ist.

Ubung 40.(a) Sei χA(x) das charakteristische Polynom. Zeige, daß χA(A) = 0 (Nullmatrix).(b) Sei p(x) ein Polynom und λ ein Eigenwert von A. Zeige, daß p(λ) ein Eigenwert von

p(A) ist.

Ubung 41.(a) Sei

Ann(A) = {p(x) = a0 + a1x+ · · ·+ an−1xn−1 + xn : p(A) = 0}

die Menge aller Polynome mit fuhrendem Koeffizienten 1, sodaß nach Einsetzen vonA die Nullmatrix herauskommt. Zeige, daß es in Ann(A) ein eindeutiges PolynommA(x) mit minimalem Grad gibt, das alle anderen Polynome in Ann(A) teilt.

Hinweis: Divisionsalgorithmus.(b) Zeige, daß die Nullstellen des in Teil (a) gefundenen Polynomes mA(x) genau die

Eigenwerte von A sind.(c) Gib ein Beispiel einer Matrix A, fur die mA(x) 6= χA(x).

Ubung 42.Zeige, daß im Fall, daß A invertierbar ist, die inverse Matrix als Polynom

A−1 = b0 + b1A+ · · ·+ bmAm

geschrieben werden kann.


Ubung 43.Eine Matrix A ∈ R10×10 erfulle die folgenden Gleichungen:

dim ker(A− I)1 = 2 dim ker(A− I)2 = 4

dim ker(A− I)3 = 5 dim ker(A− I)4 = 6

dim ker(A− 2I)1 = 2 dim ker(A− 2I)2 = 3

dim ker(A− 2I)3 = 4

Wie lautet die Jordansche Normalform von A?

Ubung 44.(a) Berechne die Jordansche Normalform der folgenden Matrix:

A :=

2 1 1 0 10 2 0 0 −10 0 2 0 10 0 1 2 00 0 0 0 2

(b) Finde eine regulare Matrix M ∈ R5×5, sodass M−1AM die Jordansche Normalform

von A ist.

Ubung 45.(a) Sei A ∈ Cn×n beliebig. Zeige, dass es eine diagonalisierbare Matrix D und eine nilpo-

tente Matrix N gibt mit A = D +N und DN = ND.(b) Zeige, daß expA = expD · expN(c) Stelle die Matrix A aus Aufgabe 44 als Summe von entsprechenden Matrizen dar.(d) Berechne expA fur die Matrix A aus Aufgabe 44.

Ubung 46.(a) Seien A,B ∈ Cn×n beliebig. Zeige, dass A und B genau dann ahnlich sind (d. h. es

gibt eine regulare Matrix M ∈ Cn×n mit B = M−1AM), wenn sie dieselbe JordanscheNormalform haben.

(b) Zeige unter Verwendung von a), dass jede Matrix A ∈ Cn×n zu ihrer transponiertenMatrix At ∈ Cn×n ahnlich ist.

Ubung 47.Zeige, daß das charakteristische Polynom der Matrix

A =

a1 a2 . . . am−1 am1 0 . . . 0 00 1 . . . 0 0...

. . ....

0 . . . 1 0

gegeben ist durch

χA(x) = (−1)m(xm − a1xm−1 − a2xm−2 − · · · − am−1x− am).

Ubung 48.Lose die lineare Rekursion

xn+4 = 24xn+3 − 210xn+2 + 800xn+1 − 1125xn

fur n ≥ 0 und die Anfangswerte x0 = 2, x1 = 9, x2 = 106, x3 = 1229.


Ubung 49.(a) Sei A eine quadratische Matrix uber C und

A =

(A I0 A

)die mit der entsprechenden Null- und Einheitsmatrix erganzte Blockmatrix. Zeige,daß fur ein beliebiges Polynom p(x) gilt

p(A) =

(p(A) p′(A)

0 p(A)

),

wobei p′(x) die Ableitung bezeichnet.(b) Sei mA(x) =

∏(x − λi)

ki das Minimalpolynom der Matrix A (siehe Aufgabe 41).Zeige, daß das Minimalpolynom der oben definierten Blockmatrix A gegeben ist durchmA(x) =

∏(x− λi)ki+1.

Hinweis: Es darf die Tatsache verwendet werden, daß x0 Nullstelle der Vielfachheitm eines Polynoms p(x) ist genau dann, wenn fur die Ableitungen an der Stelle x0 gilt

p(k)(x0)

{= 0 ∀0 ≤ k < m

6= 0 k = m

Ubung 50.Eine quadratische Form auf einem endlichdimensionalen reellen Vektorraum mit gegebe-ner Basis ist eine Funktion Q : V → R, die bezuglich dieser Basis als homogenes quadra-tisches Polynom p(x1, x2, . . . , xn) in den Koordinaten darstellbar ist. Homogen heißt, daßnur Terme der Ordnung 2 vorkommen, d.h., p(λx1, λx2, . . . , λxn) = λ2p(x1, x2, . . . , xn).

(a) Zeige, daß diese Definition nicht von der Wahl der Basis abhangt, d.h., daß einequadratische Form bezuglich einer gewahlten Basis auch bezuglich jeder beliebigenanderen Basis als homogenes quadratisches Polynom darstellbar ist. Wie sieht dasentsprechende Polynom nach der Basistransformation aus?

(b) Sei B(x, y) eine Bilinearform auf V . Zeige, daß Q(x) = B(x, x) eine quadratischeForm ist.

(c) Sei Q(x) eine quadratische Form. Zeige, daß F (x, y) = (Q(x+y)−Q(x)−Q(y))/2 einesymmetrische Bilinearform definiert. Was erhalt man, wenn man diese Konstruktionauf die quadratische Form aus Teil (b) anwendet?

Ubung 51.Sei V der Vektorraum der symmetrischen reellen 2× 2-Matrizen. Zeige, daß det : V → Reine quadratische Form ist und bestimme die zugehorige symmetrische Bilinearform ausAufgabe 50c, inklusive der Matrix derselben bezuglich der Basis(

1 00 0

),

(0 00 1

),

(0 11 0

)

Ubung 52.Sei T die Drehung mit Matrixdarstellung

T =

(0 −11 0

).

(a) Bestimme alle symmetrischen Bilinearformen 〈x, y〉 auf R2, sodaß fur alle x ∈ R2 gilt,daß 〈x, Tx〉 = 0.

(b) Bestimme alle Sesquilinearformen 〈x, y〉 auf C2, sodaß fur alle x ∈ C2 gilt, daß〈x, Tx〉 = 0.

Ubung 53.Zeige, daß fur beliebiges fixiertes k ∈ N die Abbildung

Bk(x, y) =n∑

i,j=0

xiyji+ j + k

eine positiv definite Bilinearform auf Rn+1 = {(x0, x1, . . . , xn) : xi ∈ R} darstellt.Hinweis: Um Positivitat zu zeigen, ist es vorteilhaft, die Vektoren zunachst als geeignetePolynome zu interpretieren und letztere miteinander zu multiplizieren.

Ubung 54.Sei V ein Vektorraum mit innerem Produkt 〈., .〉. Zeige, daß eine Familie von Vektorenv1, v2, . . . , vn ∈ V linear unabhangig ist genau dann, wenn die Matrix

(〈vi, vj〉)i,j=1,...,n =

〈v1, v1〉〈v1, v2〉 . . . 〈v1, vn〉〈v2, v1〉〈v2, v2〉 . . . 〈v2, vn〉

......

〈vn, v1〉〈vn, v2〉 . . . 〈vn, vn〉

vollen Rang besitzt.


Ubung 55.Sei V ein Vektorraum mit Skalarprodukt. Beweise die folgenden Aussagen:

(a) A ⊆ B =⇒ B⊥ ⊆ A⊥.(b) A ⊆ (A⊥)⊥.(c) A⊥ = ((A⊥)⊥)⊥

Ubung 56.Sei V ein endlichdimensionaler Vektorraum uber R mit gegebener Basis B ={b1, b2, . . . , bn} und F : V × V → R eine Bilinearform. Sei

R = {v ∈ V : F (u, v) = 0∀u ∈ V }Zeige, daß R = {0} genau dann, wenn die Matrix A = (F (bi, bj))i,j=1,2,...,n invertierbar ist.

Ubung 57.Sei

Tr(A) =n∑i=1

aii

die Spur einer reellen oder komplexen n× n-Matrix A. Zeige:

(a) Tr : Kn×n → K ist linear und fur A ∈ Kn×m, A ∈ Km×n gilt Tr(AB) = Tr(BA), aberim Allgemeinen nicht Tr(ABC) = Tr(ACB).

(b) Fur n× n-Matrizen A, B mit B invertierbar gilt Tr(B−1AB) = Tr(A).(c) Zeige, daß es keine Matrizen A und B gibt, sodaß AB −BA = I.(d) Finde eine reelle Matrix A, sodaß Tr(A2) < 0.(e) Sei K = R. Zeige daß 〈A,B〉 = Tr(BtA) ein positiv definites Skalarprodukt auf dem

Raum der Matrizen definiert.(f) Sei S = {A ∈ Rn×n : A = At} der Unterraum der symmetrischen Matrizen. Bestimme

S⊥ bezuglich des Skalarprodukts aus (e), d.h., den Unterraum {B ∈ Rn×n : Tr(AB) =0 ∀A ∈ S}.

Ubung 58.Sei V ein n-dimensionaler Vektorraum uber R und U,W ⊆ V zwei m-dimensionale Un-terraume. Zeige: Wenn es u ∈ U \ {0} gibt mit u ⊥ W , dann gibt es w ∈ W \ {0} mitw ⊥ U .

Ubung 59.Bestimme eine Orthonormalbasis des R4 bezuglich des Skalarprodukts

〈x, y〉 = xtAy

wobei

A =

1 0 1 00 1 0 21 0 2 00 2 0 5

durch Anwendung des Gram-Schmidt-Verfahrens auf die kanonische Basis.


Ubung 60.Bestimme die Projektion des Vektors (1,−1, 1,−1) auf den durch die Gleichungen

x1 − x2 + x3 − x4 = 0

x1 + x3 + x4 = 0

gegebenen Unterraum des R4.

Ubung 61.(a) Bestimme eine Orthonormalbasis des von den Polynomen {1, x, x2, x3} aufgespannten

Unterraums W ⊆ R[x] bezuglich des Skalarprodukts

〈p(x), q(x)〉 =

∫ 1

0

p(x) q(x) dx

(b) Bestimme die Matrix der Orthogonalprojektion P : W → W auf den UnterraumW0 = {p(x) ∈ W : p(x) = p(1− x)} bezuglich der Basis {1, x, x2, x3}.

Ubung 62.Sei f(x) ≥ 0 eine stetige Funktion auf [0, 1], die nicht uberall verschwindet.

(a) Zeige, daß auf dem Vektorraum R[x] der reellen Polynome durch

〈p, q〉 =

∫ 1

0

f(x)p(x)q(x) dx

ein positiv definites Skalarprodukt erklart wird.(b) Sei pn(x) eine Folge von Polynomen der Gestalt

pn(x) = xn + an,n−1xn−1 + · · ·+ an,1x+ an,0

mit der Eigenschaft, daß 〈pm, pn〉 = 0 fur m 6= n. Zeige, daß es Zahlen αn, βn gibtsodaß

xpn(x) = pn+1(x) + αnpn(x) + βnpn−1(x)

(c) Zeige, daß dabei βn > 0 sein muß.

Ubung 63.Sei V ein euklidischer Vektorraum und w ∈ V ein Einheitsvektor. Wir definieren

Sw : V → V

v 7→ v − 2〈v, w〉w(a) Zeige, daß Sw eine lineare isometrische Abbildung ist.(b) Zeige, daß Sw ◦ Sw = idV und Sw orthogonal ist.(c) Zeige, daß ∀v ∈ span{w} gilt Sw(v) = −v und ∀v ∈ w⊥ hingegen Sw(v) = v. Wie

kann man Sw geometrisch interpretieren?

Ubung 64.Sei V = R2 und f : V → V die lineare Abbildung mit Matrixdarstellung A = ( 1 −1

2 1 )Bestimme die zu f adjungierte Abbildung bezuglich des inneren Produkts 〈u, v〉 = utMvwobei M = ( 5 2

2 1 ).


Ubung 65.Sei V = R[x] mit dem Skalarprodukt 〈f, g〉 =

∫ 1

0f(x) g(x) dx und D : V → V , D(f) = f ′

die Ableitung.

(a) Bestimme die adjungierte Abbildung der Einschrankung D|W auf den UnterraumW = {f ∈ V : f(0) = f(1) = 0}.

(b) Zeige, daß es kein Polynom g ∈ V gibt sodaß 〈g, f〉 = f(0) fur alle f ∈ V .(c) Zeige, daß D : V → V keine adjungierte Abbildung besitzt.(d) Bestimme die zu D adjungierte Abbildung auf dem Unterraum R[x]1 der Polynome

vom Grad ≤ 1.

Ubung 66.Sei

A =

7 4 −44 1 8−4 8 1

Bestimme eine unitare Matrix U , sodaß U∗AU diagonal ist.

Ubung 67.Zeige: Eine komplexe Matrix A ist normal genau dann, wenn ReA = A+A∗

2und ImA =

A−A∗

2imiteinander kommutieren.

Ubung 68.Zeige oder widerlege: Eine Matrix ist unitar genau dann, wenn sie normal ist und alleEigenwerte Betrag 1 haben.

Ubung 69.Sei A ∈ Rm×m, B ∈ Rm×n, D ∈ Rn×n. Zeige, daß die Blockmatrix(

A B0 D

)normal ist genau dann, wenn B = 0 und sowohl A als auch D normal sind.

Ubung 70.Zeige, daß eine komplexe Matrix A normal ist genau dann, wenn ein Polynom p(x) exi-stiert, sodaß p(A) = A∗ ist.Hinweis: Interpolation.

Ubung 71.Zeige, daß eine komplexe Matrix A normal ist genau dann, wenn es eine unitare MatrixU gibt sodaß A∗ = AU .


Ubung 72.Sei A eine selbstadjungierte positiv semidefinite Matrix. Zeige, daß maxi,j |aij| = maxi aii.

Ubung 73.(a) Zeige: Eine Matrix A ∈ Cn×n ist genau dann positiv semidefinit, wenn es Spaltenvek-

toren x1, x2, . . . , xm ∈ Cn×1 gibt, sodaß

A =m∑i=1

xix∗i

(b) Seien A,B ∈ Cn×n positiv semidefinit. Zeige, daß die Matrix

A ◦B := (aijbij)ni,j=1

ebenfalls positiv semidefinit ist. Hinweis: Teil (a) kann hilfreich sein.

Ubung 74.Sei A eine positiv definite Matrix. Zeige, daß es eine positiv definite Matrix B gibt sodaßB2 = A.

Ubung 75.Sei B ∈ Rm×n. Zeige, daß die Blockmatrix(

Im BBt In

)genau dann positiv definit ist, wenn die Eigenwerte von BtB kleiner als 1 sind.

Ubung 76.Bestimme die Choleskyzerlegung der Matrix1 3 0

3 13 20 2 5

.

Ubung 77.Bestimme die kleinsten Konstanten Cpq(n), p, q ∈ {1, 2,∞}, sodaß fur alle x ∈ Rn gilt

‖x‖p ≤ Cpq(n) ‖x‖q ,wobei

‖x‖1 =n∑i=1

|xi| ‖x‖2 =

( n∑i=1

|xi|2)1/2

‖x‖∞ = maxi|xi|

Ubung 78.Sei ‖A‖F = Tr(AtA)1/2 die vom Skalarprodukt aus Aufgabe 57 (e) induzierte Norm auf

Rn×n und ‖A‖ die Spektralnorm (√λmax(AtA)).

(a) Zeige, daß fur eine beliebige Matrix A gilt ‖A‖ ≤ ‖A‖F ≤√n ‖A‖ .

(b) Zeige, daß fur eine beliebige Matrix A und eine beliebige symmetrische Matrix S gilt∥∥∥∥A− A+ At

2

∥∥∥∥ ≤ ‖A− S‖ .(c) Sei A invertierbar. Zeige, daß fur die Eigenwerte von A gilt∥∥A−1∥∥−1 ≤ |λ| ≤ ‖A‖ .


Ubung 79.Bestimme den Typ und die Normalform der Quadrik

x21 + 8 x1 x2 + 8 x1 x3 + 4 x1 + 7 x22 − 4 x2 x3 − 38 x2 − 2 x23 − 20 x3 − 6 = 0

sowie die Transformation (Drehung + Translation), die sie in die Normalform uberfuhrt.

Ubung 80.Sei K der Drehkegel im R3, der durch Rotation der Geraden y = 2x um die x-Achseentsteht. Bestimme den Typ des Kegelschnitts, der durch Schnitt dieses Kegels mit derEbene x+ y + z = 3 entsteht.Hinweis: Ebene mit einer Orthogonalbasis parametrisieren.

Ubung 81.Zeige, daß eine nichtnegative n × n-Matrix genau dann irreduzibel ist, wenn der gerich-tete Graph G = (V,E) mit V = {1, 2, . . . , n} und E = {[i, j] : aij > 0} stark zusam-menhangend ist.

Ubung 82.(a) Sei A strikt nichtnegativ, d.h., alle aij > 0. Zeige, daß die Inverse von A nicht nicht-

negativ sein kann.(b) Sei A eine nichtnegative stochastische Matrix mit nichtnegativer Inverser. Zeige, daß

A eine Permutationsmatrix sein muß.

Ubung 83.Welche der folgenden Matrizen sind irreduzibel/primitiv?

(a) A1 =

0 1 0 00 0 1 00 0 0 11 0 0 0

(b) A2 =

0 0 0 2 00 0 0 0 12 0 0 0 31 0 1 0 00 1 0 0 0

(c) A3 =

0 0 0 10 0 1 02 0 0 10 1 0 0

(d) A4 =

0 0 1 10 0 0 10 1 0 02 0 0 0

Bestimme die zugehorigen Graphen und soweit moglich auch die Eigenwerte.

Ubung 84.Sei A eine irreduzible nichtnegative n× n-Matrix. Zeige:

(a) A ist primitiv, wenn zumindest einer der Diagonaleintrage nicht null ist.(b) Die Umkehrung gilt fur n = 2, aber nicht fur n ≥ 3.

Tutorium Lineare Algebra 2

Stefan RosenbergerErste Einheit

5. Marz 2012

Beispiel 3

Zuerst wollen wir uns den Beweis aus der VO genauer ansehen: Aus dem Gauss-Algorithmus erhaltenwir fur eine n× n - Matrix eine Folge von Dreiecks-Matrizen und Permutations-Matrizen, sodass es eineobere Dreiecksmatrix R gibt mit der Darstellung:

R = Fr(Tr,irFr−1)(Tr−1,ir−1Fr−2) . . . (F1T1,i1)A

Wenn wir uns diese Zerlegung etwas genauer ansehen erhalten wir, da Ti,kTi,k = id gilt folgt

Fr(Tr,irFr−1)(Tr−1,ir−1Fr−2) . . . (F1T1,i1) = Fr(Tr,irFr−1Tr,ir )Tr,ir (Tr−1,ir−1

Fr−2) . . . (F1T1,i1)

= FrF′r−1(Tr,irTr−1,ir−1

Fr−2Tr−1,ir−1Tr,ir )(Tr,irTr−1,ir−1

. . . (F1T1,i1)

= FrF′r−1F

′r−2 . . . F

′1(Tr,irTr−1,ir−1

. . . T1,i1).

Somit erhalten wir eine Darstellung:

R = LPA ⇐⇒ L−1R = PA ⇐⇒ PTL−1R = A

(Bemerkung: Offensichtlich gilt: (P1P2 . . . Pn)−1 = (P1P2 . . . Pn)T ).

Nun betrachten wir folgendes Beispiel: Bestimme eine Permutations-Matrix P und DreiecksmatrizenL,R sodass

PA = P

0 12 0 −83 1 −3 512 4 4 46 5 3 −10

= LR

Wir konnen nun zwei Varianten anwenden um das Problem zu losen:

1. Wir berechnen Schrittweise die Permutations- und Frobenius-Matrizen bis wir eine obere Dreiecks-matrix erhalten. Danach berechnen wir jeweils die Permutierten Frubenius-Matrizen (TLT = L′),invertieren das Produkt dieser und erhalten PA = LR. Dies ist im Prinzip gleich wie in Beispiel 2.

2. Die zweite Moglichkeit ist es sich zu uberlegen wie der Algorithmus genau aussieht:Wenn man in jeden Schritt eine Umformung macht, so bekommt man fur A eine Folge von Dar-stellungen (wobei Ri keine oberen Dreiecksmatrizen sind, erst fur i = r):

A = [P0|L0|R0]

A = [P1|L1|R1]

...

A = [Pr|Lr|Rr]

Man kann sich leicht uberlegen (VO Lineare Algebra 1) wie die Matrizen Li aussehen mussen (Ein-trage sind die additiv inversen Eintrage der Frobeniusmatrizen, und das Pi durch vertauschen der

1

Spalten entsteht. Jetzt wollen wir diese Beobachtung praktisch umsetzen:

Dazu fassen wir die drei Matrizen in eine Große zusammen. Die erste Matrix steht fur die Per-mutationsmatrix in der die Spalten vertauscht werden. Die zweite Matrix steht fur das inverseProdukt der Frobeniusmatrizen. Die dritte Matrix ist die durch Gauß veranderte Matrix A:

[P0|L0|R0] =

1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 1

∣∣∣∣∣∣∣∣1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 1

∣∣∣∣∣∣∣∣0 12 0 −83 1 −3 5

12 4 4 46 5 3 −10

Zuerst wird die dritte Zeile mit der Ersten vertauscht, fur unser P bedeutet das, dass die dritteSpalte und die 1. Spalte tauschen:

[P1|L0|R0] =

0 0 1 00 1 0 01 0 0 00 0 0 1

∣∣∣∣∣∣∣∣1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 1

∣∣∣∣∣∣∣∣12 4 4 43 1 −3 50 12 0 −86 5 3 −10

−1/4 · 1.Zeilebleibt gleich−1/2 · 1.Zeile

Damit erhalten wir (wobei bei der mittleren Matrix die additiv inversen Eintrage des Algorithmusgeschrieben wird) :

[P1|L1|R1] =

0 0 1 00 1 0 01 0 0 00 0 0 1

∣∣∣∣∣∣∣∣1 0 0 0

1/4 1 0 00 0 1 0

1/2 0 0 1

∣∣∣∣∣∣∣∣12 4 4 40 0 −4 40 12 0 −80 3 1 −12

Nun wird die 3. mit der 2. Zeile vertausch (bei P tauschen wir wieder die Spalten):

[P2|L1|R1] =

0 1 0 00 0 1 01 0 0 00 0 0 1

∣∣∣∣∣∣∣∣1 0 0 00 1 0 0

1/4 0 1 01/2 0 0 1

∣∣∣∣∣∣∣∣12 4 4 40 12 0 −80 0 −4 40 3 1 −12

−1/4 · 2.Zeile

Damit erhalten wir:

[P2|L2|R2] =

0 1 0 00 0 1 01 0 0 00 0 0 1

∣∣∣∣∣∣∣∣1 0 0 00 1 0 0

1/4 0 1 01/2

1/4 0 1

∣∣∣∣∣∣∣∣12 4 4 40 12 0 −80 0 −4 40 0 1 −10

+1/4 · 3.Zeile

Nun brauchen wir keine Zeilen zu vertauschen, P bleibt also gleich:

[P3|L3|R3] =

0 1 0 00 0 1 01 0 0 00 0 0 1

∣∣∣∣∣∣∣∣1 0 0 00 1 0 0

1/4 0 1 01/2

1/4 -1/4 1

∣∣∣∣∣∣∣∣12 4 4 40 12 0 −80 0 −4 40 0 0 −9

Und schließlich folgt:

A = P3L3R3 ⇐⇒ PT3 A = L3R3

Es leicht zu uberprufen ob man einen Fehler gemacht hat, denn nach jedem Schritt muss gelten

A = PiLiRi

2

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Lineare Algebra 2 SS2012 Ubungsblatt 1 - IG Mathe · 2012. 8. 2. · Lineare Algebra 2 SS2012 Ubungsblatt №4 Ubung 17. Die Zahlen 46189, 32604, 2431, 40755, 43758 sind durch 13