TECHNISCHE MECHANIK 3(1982)Heft1

Manuskripteingang: 3. 9. 198-1

Die Berechnung beliebiger. physikalisch nichtlinearer Sdialen

mittels finiter Streifenelemente

D. Weber

1. Einleitung

Im folgenden Beitrag wird eine Übersicht über die physi-

kalischen Grundlagen und angewandten mathematischen

Methoden des Programmes EPSCHA (Elastisch-plastische

Berechnung beliebiger Schalen) gegeben, wobei jedoch

auf das verwendete Deformationsgesetz nicht näher ein-

gegangen wird Dieses wurde bereits in [2] ausführlich

dargestellt Unter dem Begriff „beliebige Schalen” sollen

dabei offene Schalen mit 4- Rinde bzw. geschlossene

Schalen mit 2 Rändern gemeint sein, die keine weiteren

Ausschnitte enthalten und deren Schalenmittelfläche

(SMF) sich somit durch eine nicht singuläre Vektor-

funktion

o

P’ 13(x1 , x2) m“

2,

r = 2 2. a;

auf ein viereckiges Gebiet abbilden läfit

ir'k : kartesische Koordinaten, k = l, 2, 3

x1 ‚ x2: Gaußsche Koordinaten zur Beschreibung der

SMF

Im Elementkatalog des Programms sind bisher 6 Flä-

chentypen enthalten, für die alle geometiimhen Größen

exakt berechnet werden. Dieser Katalog kann leicht

durch die Aufnahme weiterer Flächentypen ergänzt

werden.

Die Rechnung erfolgt mit normierten Gaußschen Koor-

dinaten, die Schalendicke kann sich bilinear mit den

Flächenkoordinaten ändern.

2. Die Verwendung orthogonaler Kraft- und Ver-

schiebungsgrößen

Zur Ermittlung der Schalenschnittgrößen wurde ein

orthogonales Basissystem zugrunde gelegt, obwohl die

Beschreibung der Schalengeometrie mit krummlinigen

und schiefwinkligen Flächenkoordinaten erfolgen kann.

Das hat die Vorteile, dafs das Deformationsgesetz in

orthogonalen Tensorkomponenten verwendet werden

kann und Normal- und Schubspannungen voneinander

von vornherein getrennt sind. Natürlich muß dabei in

Kauf genommen werden, da6 die Flächenkoordinaten

x1 und x2 nicht mehr gleichberechtigt behandelt wer-

den können und die bequeme Schreibweise bei der Be-

handlung der Theorie verloren geht. Da die unterschied-

liche Behandlung der Koordinatenrichtungen wegen des

angewendeten Rechenverfahrens (Ansätze in xz-Rich-

tung, Integration in xl-Richtung) sowieso unumgänglich

ist, bringt das für den Rechenablauf keine Nachteile.

In Bild 1 ist das verwendete Grundsystem dargestellt

s: 5"n

\/a11

ä

3’: a2

—+ ->

n = en x et

Bild l

—) -) . .

a1 , a2: kovanantes Basrssystem (Tangenten-

vektoren) i. a. nicht orthogonal, keine

Einheitsvektoren

5’ 1 kontravarianter Basisvektor 3’1 , ortho-

gonal zu 32 , i. a. kein Einheitsvektor

ii: Normalenvektor zur SMF (Einheits-

vektor)

3;: Einheitsvektor normal zum Schnitt

x1 = const. „

3;: Einheitsvektor in x2-Richtung

al l, 3112, a22: Metrikkoeffizienten

_ 2 11 _ 3'22

a ‘ 311322—312’ a ‘3—

Mit der Einführung der Einheitsvektoren 3;, a; ist es

möglich, den Verschiebungsvektor Vund den Verdreh-

vektorö> entsprechend Bild 2 in orthogonalen physika-

lischen Komponenten in „ko-kontravarianter” Schreib-

weise darzustellen

3 — v (1)

Z5 = we " (2)

Bild2

Benutzt man zur Diskretisierung des Schalenkontinuums

in x1 -Richtung eine Abschnittseinteilung entsprechend

dem Ubertragungsmatrizenverfahren (Linie x2 = const.)

und in x2-Richtung Ansatzfunktionen für vn, Vt, w, (P,

71

so ergibt sich als Teilelement ein finites Streifenelement

mit den Abmessungen x1 % x1 + Axl, x2 = O {— x2 = 1,

wie es im Bild 3 gezeigt wird

Bild 3

An d‘en Rändern x2 = const. werden auch entsprechen-

de orthogonale Verschiebungsgrößen definiert, die sich

durch folgende Lineartransformationen

812 + a

= — ————— v 1/ vn F—"‘ n t

1'11 a22 . a11 “22

t vn + vt

8|11 a22 w‘11 a22

<)

d)

ll

_i ¢+ a

“11322

S) l

v“11 “22 w

ergeben, so dafi die Randbedinglmgen einfach zu formu-

lieren sind.

3. Ableitung der Kanonischen Differential-

gleichungen aus dem Prinzip vom Minimum

der potentiellen Energie

3.1. Physikalüche Grundlagen

Ausgehend von dem im 2. Abschnitt dargestellten

Grundsystem und den Gleichungen (l) und (2) kann

der Verschiebungsvektor für den Schalenraum wie folgt

geschrieben werden:

l? = (vn—zw)e;+(vt—zill)?t+wfi (3)

mit

z = x3

Nimmt man an, da5 alle Punkte einer Normalen zur

Schalenmittelfläche der undeformierten Schale auch

nach der Verformung auf einer Normalen zur Schalen-

mittelfläche liegen (analog zur Kirchhoffschen Hypo-

these bei Platten) ergibt sich fiir (p und 11/

l

bll b_ 2

W " —V +-———v +Va11w +all n [I t ’1

all 322

a12 r (4)

+ W,

81.1 2

72

1

w,

V"‘22 2

_ 2 22|1] — Vn + a vt +

\/all a22 22

(5)

Dabei sind bll, bi, b22 Komponenten des Krümmungsf

tensors und a12 ist wiederum ein Metrikkoeffizient (es

gilt a12 = 0, wenn x1, x2 orthogonal).

Desweiteren Soll

Desweiteren soll ",a" die partielle Ableitung der ent-

sprechenden Größe nach xa bedeuten.

Gl. (4) wird dabei später als Zwangsbedingung benutzt,

da in ihr die Ableitung w,1 vorkommt. GI. (5) dient als

Eliminationsgleichung für ll! im Verlauf der weiteren

Rechnung.

Da die Schalenberechnung nur für kleine Verformungen

erfolgen soll, wird der Green’sche Verzerrungstensor der

Form

1 -> —-> —) a

eaß = gewann.) «5:12 <6>verwendet.

Dabei sind a], g; kovariante Basisvektoren des Schalen-

raumes. Mit Hilfe der Einheitsvektoren e,“ und?t gelingt

es, die physikalischen Komponenten des Verzerrungs-

tensors in n- bzw. t-Richtung zu bestimmen.

Man erhält

= mung; aß

en = (5:353:216: 35% (7)

e... =äl<ääa>ga<äzäß>sß+

+<ääsauääßäß1

Die Vektoren g)“, Ea erhält man aus Ex, a3 durch Herauf-

ziehen der Indizes mit Hilfe der Metrikkoeffizienten.

Macht man für in: einen Ansatz in orthogonalen Kom-

ponenten der Form

—> _ —> -> —>

u,ß — dnßen + dtßet + dßn, (8)

so ergibt sich nach dessen Einsetzen in die Formeln (7)

enn — (Eh dnß

«stt (5:35) dt <9)

1 —>—> —>

ent : §[(etgfi)dnfl+(en§6)

Die Größen dnß, dtß, dB ergeben sich aus Differentiation

von (3) und Koeffizientenvergleich zu

1 1

d _ F2:3 bßnß — Vnß—zwßi' (vt—zlß)— ‚ w

’ a11322 all

1F b2B ‚B2

dtß = Vt‚ß‘z"’‚ß‘T—*(Vn M— ——— Wa 322

b1 bß 52

d — w + __ (v z:.p)+ (v —le/)ß ß

Jan n ‘/"=‘22 t

Die ersten beiden Gleichungen von (10) kann man in

von z unabhängige bzw. von z linear abhängige Glieder

zerlegen

dnß z dnßo + Z dnßl

(11)dtß = dtßo + Z dtßl

Die letzte Gleichung von (10) wird für die weitere Be-

rechnung nicht benötigt.

Für ß = 1,2 ergibt sich für dnßo, dnm, dtßo und dtßl

folgender ausgeschriebener Formelapparat, wobei schon

III mittels (5) eliminiert wurde:

1 1l"

dlo‘v1+—21v— ___bl w 7

n n’ E t \/a11

1 1I‘ b

d * v +——-—22 v — 2 wn20 n,2 3 t

1

duo _ 1 ‘r‘é‘l' V but, - n —

\/322

1P b

dtzo ' Vt,2‘:2£"n‘ 22 W

a \/ a22

1 1

I‘ b 1

dnll ——lp’1 — 21< 2 n+£vt + — w’2)

a 3 a22 a22

d ——so —n21 ’2 n Vt “’12)

a a 8.22 l 822

1b b 1

dtll ' ‘33an ‘322 Vt,1 “ — “,12

22 x/322

1b 12 22

~ (r) vn <—) vt—< —) w‚2,1 2 ,1 \/a22 ,1

+ -—_21 va

1b b 1

d ‘ ——_2_ v _i2.v —

t21 — n,2 h2 — w’22a 322

<10) 1

1b b l

—' vn _ Vt _(r W92

a ,2 a22 ‚2 x/a22 ,2

1

+ .1112. so

'5 (12)

Dabei wurde aTals Abkürzung für \/a1 l 322 benutzt. Die

Christoffelsymbole I"; und Fäg sind geometrische

Größen und werden ebenso wie die Krümmungen vom

Programm exakt berechnet.

Die in (7) vorkommenden Produkte aus den Basisvekto-

ren der SMF mit denen des Schalem-aumes—g)‘3 der Form

5’135 = 515 und Z2 g’ß = 55

ergeben die zugehörigen Komponenten des Schalenten-

sors. Sie stellen die Verbindung zwischen den Größen

der SMF und des Schalenraumes her. Sie berechnen sich

aus

s1 ß : V3 [am — 411151); 415)]

g

(13)

s: 162 1—111mit

fl: 1_zbg+22(b}bä—bäbä) (14)

In den obigen Gleichungen ist 83 ein Kroneckersymbol,

b2 die doppelte mittlere Krümmung und der Klammer-

inhalt in (14) die Gaußsche Krümmung.

Für ß = 1,2 ergeben sich demnach 4 Schalentensorkom-

ponenten und in Verbindung mit V a1 1 und \/a22 die

4 Ausdrücke

511 SI 812

F = F = 2 F = _1 v 2 1 3 1

a11 G22 Jan

2 (15)

F = S2

a22

Die Abhängigkeit der Verzerrungen von der Schalen-

raumkoordinate z ist demzufolge nur in den Ausdrücken

(15) und durch das lineare Glied in (ll) vorhanden. Bei

der Berechnung der spezifischen inneren Energie (pro

Einheit der Koordinate x1) der Schale, die durch den

allgemeinen Ausdruck

1 _‚

Wi=—/(/6TE?Vde3)\/;dx2 (16)2x2 x3 3

73

mit E als Koeffizientenmatrix des Deformationsgesetzes

und 2’: (enn, em, Guilt gehildet wird, ergeben sich bei

elastischem Materialverhalten für die Integration über

die Schalendicke h und somit zur Ermittlung der örtli«

chen Steifigkeit für einen Punkt der SMF 3 verschiedene

Integrale, die in der Form

h

n 2 g

Kn: Hf Fisz“ ;dz n=O‚I,2

„2. ij = 1,2,3,4

dargestellt werden können.

Da in den Integranden nur rationale Funktionen von z

auftreten, können diese Integrale auch analytisch gelöst

und als fertige Formeln programmiert werden, so dafi

bei elastischem Materialverhalten die numerische Inte-

gration über die Schalendicke entfallen kann.

3.2. Die verwendeten Ansatzfunktionen

Zur Reduzierung des Problems bezüglich seiner Abhän-

gigkeit von mehreren Variablen werden für die Verschie-

bungskomponenten an den Schnitten x1 = const. An-

satzfunktionen der Form

IN 1 2 KZ ‘Vn: E vnk(x )fnk(x )+ Z er [Vnr(xl,x2)

- r=1

IN - 1 2

_k:21 mk(X )nt((x

IT 1 2 KZvt = E vtk(x )ftk(x )+ XI: er Vtr(xl,x2)

: r:

M:

‚F, Ergüsse]

Iw KZ

w = wk<x1>fwk<x2>+ c.[W.<x1.x2>

IW .—

_ k; w‘k(x1)fwk(x2)]

IW KZ

so = E wk<x1>fwk<x2>+ Eo. [5.<x1‚x2>k=l r=l

Iw — l 2

x; some: who: )] J

verwendet.

74

17H)

Dabei bedeuten

IN, IT, IW: jeweilige Anzahl der Ansatzfunk-

tionen

cr: Komponenten des Starrkörperver-

schiebungsvektors

vm, V", er, 6r: Starrkörperverschiebungsfunktio-

nen

Die Unabhängigkeit von IN und IT gewährleistet eine

bessere Anpaßmöglichkeit an das jeweilige Problem als

eine für beide Verschiebungen gleiche Funktionsanzahl.

Für w und «p ist eine solche Variabilität nicht möglich,

da beide Verformungen gemäß (4) über eine Zwangsbe-

dingung gekoppelt sind.

Es existieren die Spezialfälle

Scheibenproblem: IW = 0

Plattenproblem: IN = IT : 0,

wobei nur für die auftretenden Verformungsgrößen

Rechenzeit und Speicherplatz benötigt wird.

Die geforderten Eigenschaften der Ansatzfunktionen

sind

fk(x2) = 2

0 für x —xj

wobei mit x2.i alle anderen diskreten Ansatzstützstellen

gemeint sein sollen. Diese Bedingungen können mit

Polynomen (z. B. Lagrangesche oder Hermitesche) oder

mit Fourierreihen erfüllt werden.

Die Ansätze nach (I7) erlauben es, zu einer möglichen

Erhöhung der Rechengenauigkeit die in den Ansatzfunk-

tionen nicht enthaltenen Starrkörperverschiebungsfunk-

tionen (KZmax = 6) durch die in jeder Gleichung auf-

KZ

tretende zweite Summe ( E cr [ . . . ]) hinzuzufügen.

r=1

Dabei ist in dieser Darstellung schon die Bedingung ein—

gearbeitet, daß die Komponenten vn (x1), vt(x1), w(x1)

und ¢(x1) an den Ansatzstützstellen physikalisch blei-

ben sollen. Deshalb werden innerhalb der Starrkörper-

ausdrücke die Starrkörperverschiebungsanteile an den

Ansatzstützstellen wieder abgezogen. Hierbei gilt

_ l _. "’ 1 2vmk(x ) — vmk(x ,xk) usw. ,

so dal5 jeweils für x2 = x: die genannten Starrkörper-

ausdrücke entfallen. Das gilt nicht für alle übrigen

Werte von x2 z. B. für die Integrationsstützstellen,

sofern sie nicht mit den Ansatzstützstellen identisch

sind. I

Im Folgenden seien zum Vergleich einige Ansatzfunk-

tionsarten grafisch über der normierten Koordinate x2

dargestellt. In den zugehörigen Formeln bedeuten

p: Anzahl der Abschnitte zwischen den Ansatzstütz-

stellen, in die eine Linie x1 = const. eingeteilt wird.

In den Beispielen wird von äquidistanten Stützstellen

ausgegangen und mit einer Ausnahme p = 4 gewählt.

k: Nummer der Ansatzfunktionen. In den Beispielen er-

folgt die Darstellung immer für k = l.

Lagrangesche Polynome

2 l

2 P, (X _I—;)

1w > = H ——

k P

p:4, k l

1

311.14 ‚ ‚/\‚ 2

1 X

Hermitesche Polynome

2 2

2 _ X (X - 1)

Hk‘x) ‘ T;— W2)’1 (a - 1)

l p=4 k 1

1

Bild 5

‚x‘

o v 1 x2

Mit den Hermiteschen Polynomen der obigen Form wird

erreicht, daß für alle k i 0, p gilt

Hme;2 =0) = 0, Hk’2(x2 =1) = 0

Fourierreihen

Die nachfolgend aufgeführten Formeln und Bilder gelten

nur für geschlossene Probleme, bei denen gilt: Zustand

(x2 = 0) entspricht Zustand (x2 = 1),

beliebiges periodisches System, p ungerade

_ (—1)k sinp1rx2

2

Fk(x) ‘— “2—?

sin1r x ~—( P)

„3) k—‘I

Bild6 ‘

beliebiges periodisches System, p gerade

(_1)k sin p 11 x2

Fk (x2) cos1r(x2 —

~ 2311177 X — —

( P)

Bild 7

bei x2 = 0 und x2 = l symmetrisches Probleiläl

_lk simr—

Fgg,k(x2) : q (P) sinp1rx2

cos1r——eos7r x

0 <k<p p

k=0,p: (120,5

ksonst: q=1,0

Bild8 1

x2

11:4, kt]

\ ‚x‘

v 1

bei x2 2 O und x2 = 1 antimetrisches Problem

simrkk _

(-1) .Fuu,k(x2) = smpflx2 k 2

cos‘n———cos1rx

P

l<k<p—l

ptl. k I

1

Bild9 A Ä

a v 1 x?

bei x2 = 0 symmetrisches, bei x2 = 1 antimetrisches Pro-

blem

. 1r 2k am ——x

(—1) ~ 2 2 1r kFgu’k(x2) : 81“ p1rx k 0082,;

P x2cosnE—cosn’

‘ "”'“‘ 0<k<p—1

\ k= 0: q = 0,5

A ksonst: q=1‚0

o V 1 X’

Bildlo

bei x2 = 0 antimetrisches, bei x2 = l symmetrisches Pro-

blem

k cos fl x2

(—1) . ä . 1r k

Fug,k(x2> = 2‘1— ““Pnz - “ä;p cos1r——cos1rx2

P

‚ p=4. k=x

1 l<k<p

k=pz q=O‚5

o v a, :2 ksonst: q = 1,0

Bild ll

75

Mit den aufgeführten 5 verschiedenen Arten von

Fourierreihen sind alle geometrischen Randbedingungen

für die Verformungen erfüllbar. Benutzt man bei „of-

fenen” Problemen Lagrangesche und Hermitesche Poly-

nome, sind dafür 12 verschiedene Kombinationen nötig.

Zur Berechnung des elastischen Potentials werden die

Gln. (l7) durch Vertauschung der 2. und 3. Summe in

die folgende Form (hier als Beispiel fiir vn) gebracht:

IN KZ

v. = E <v„k<x1>f.k<x2>— Z7 cfimk<xl>>fnk<x2>k=1 r=l

KZ

— 1 2

+ Evm<x7x>r,

IN KZ

vn z E v* (x1)fnk(X2) + ZVMOCIJZ) (18)

k:1 nk r=1

mit

KZ _

vZk (X1) I vnk (x1) — Z: cr vmk(x1) (19)

r=1

Dadurch sind die Verschiebungskomponenten, die nur

noch von x1 abhängen, zusammengefaßt, allerdings ist

dann z. B. v*k keine physikalische Größe mehr. Für die

n

Berechnung der inneren Energie der Schale werden die

Starrkörperverschiebungsfunktionen weggelassen, da sie

keinen Einfluß auf die Verzerrungen und Spannungen

haben.

Der Verschiebungsvektor für einen Schnitt x1 I const.

hat damit die Komponenten

‘9 l _ * * ‚ -x- -x- _v(x )— {vnl,...,vnIN‚ vtl,...,vtIT‚

was w-x- _ * was T

Iw’ “01"" 1W}

oder anders ausgedrückt

" 1 = * * T 21v(x) {V1,...,VIZ} ( )

3.3. Darstellung des elastischen Potentials

Die kanonischen Differentialgleichungen werden aus

dem Prinzip vom Minimum der potentiellen Energie her-

geleitet. Das elastische Potentialn errechnet sich be—

kanntlich aus

H = f1 U(x1)dx1= [(Wi—Wäu)dxl (22)

l I

gle)

Wäu: Spezifische Arbeit der äußeren Belastung und

Volumenkräfte

Ersetzt man in (16) den Verzerrungstensor durch die

Verformungen sowie zugehörigen Ableitungen nach den

76

W.: Spezifische innere Energie (Formänderungsener-

Schalenkoordinaten mit den Gleichungen (9) — (l4),

verwendet fiir die Verformungsseparation Ansatzfunk-

tionen gemäß 3.2., ordnet die Verformungsgrößen unter

Berücksichtigung des Auftretens ihrer l. Ableitungen

und ersetzt v* (x1) nach (19), so erhält man für I1 einen

hier in Komponenten geschriebenen Ausdruck der

Form

1 „ T ‚ ‚ D1'1: [{EAvivijAimvikmeAijvivj

1 11 M 10x

I ‚ 1

+Aievice+Aivi+Q-AviijrAmjvjÄm

It: 1 00 N)

1

+ Aievice+Aivi+fiAkeckce+ i0c 0 cc (23)

+ AmckmcchAmkm+Akck dx1 J

N: Ä c

— chk—->Min. g

Ö()wobei zur Abkürzung ( )' gleich ä—l sein soll.

x

Alle Terme mit dem Index Ä gehören zu den mit dem

Lagrangeschen Faktor km als Nebenbedingung hinzuge-

fügten Zwangs- und Randbedingungen. Die Randbedin-

gungen für die Ränder x2 = const. sind hier deshalb mi;

eingearbeitet worden, damit sie auch erfüllt werd‘s

können, falls die gewählten Ansatzfunktionen das nici‘l

von selbst tun, was nur bei Verwendung orthogmml r

Koordinaten erreicht werden kann. Das bedeutet zmr

einen höheren numerischen Aufwand, man hat aber

dadurch größere Freiheit bei der Wahl der Ansatzfunk-

tionen und Schalenkoordinaten.

Die Elemente der Matrizen AI, A0 und (AU sind Integrale

über die Schalendicke und die Streifenbreite von x2 = 0

bis x2 = l. Hier gehen das Deformationsgesetz und

geometrische Größen der SMF und des Schalenraumes

ein. Für ein Streifenelement der Länge Axl beschreiben

sie zusammen dessen Steifigkeit.

In A und IOX sind die Belastungsgrößen enthalten — "

sowohl die äußeren als auch die thermischen, wobei die

letzteren dem verwendeten Deformationsgesetz mit

Temperaturgliedern entsprechen. Alle Terme mit Index c

gehören zu den Starrkörperverschiebungsgliedem, die in

den Komponenten v:(x1) gemäß (l9) enthalten sind.

Diese lassen sich aus ä, 1A0, (Ad A, [3, X}, )e) und den

Starrkörperverschiebungsfunktionen an den Ansatzstütz-

stellen berechnen. Der Ausdruck Fk ck in (23) steht für

die Arbeit der Resultierenden der äußeren Belastung in

Verbindung mit den Starrkörperverschiebungen.

Um zu den gewünschten kanonischen Differentialglei—

chungen zu gelangen, werden zunächst nach dem For-

malismus von Hamilton-Jacobi folgende partielle Diffe-

ratnialausdrücke gebildet:

iU— = f. = A..vf+A’.r 7\ +A..v.+A. c +A,

3V; ‘ 11" J Mm" m 101J 1c16 6 1l

ca

8U _ w ‚

arm ‘ 0 " fimjvj‘*;3mjvj+giece+§m (25)

3U— : £1 = ATVC+A.T i +A„v.+A. c +A_

ÖVi l 10lj J Äolm m 001] ’ 0016 e 01

(26)

Die Größen fi sind dabei die verallgemeinerten Schnittu

kräfte

a o

f : {Zn1‚_„‚ZnIN; Zt1‚...,ZtIT7

r ‚ T

zw1,...,zwiw, z‘pl,...,zwlw}

G1. (25) stellt die verallgemeinerte Zwangsbedingung dar,

in der die Randbedingungen für Ränder x2 = const. ent-

halten sind.

Das Gleichungssystem aus (24) und (25) wird nun zu-

nächst vom Programm nach den vi und km aufgelöst. Die

Lösung findet Eingang in (26), so daß sich mit ein

Differentialgleichungssystem der Form

7 _ + ‘5‘

vi Bil. vj „die Ce + Bi.i fj + Bi

vv vc vf

anfi Bijvi+Bie Ce+B..f:i+f}‘3i

fv fc ff 1’

ergibt.

Berücksichtigt man, daß für die in den Ansatzfunktionen

nicht enthaltenen und deshalb dazu gefügten Starrkör—

perverschiebungsfunktionen bezüglich ihrer zugehörigen

Komponenten gilt

8U

öck

=0

so folgt damit aus (23) für Fk die Gleichung

_ T ‚ T T 1Fk— f (Akj vj + Akm Äm + Akj V]. + Ake ce +Ak)dx

X1 1c Kc 0c cc c

zu den Gln. (27) kommt deshalb noch die Gl.

F': .v~+ c+B-f-+B 28

kräkl’rlikeerfk“ Fk ()

dazu. Sie gehört physikalisch zur Gl. für f

Analog dazu gehört zu der Verschiebung v; eine Glei-

chung 0L z 0. Diese ist identisch erfüllt, da alle ck Kon—

stanten sind. Das gesamte kanonische Differentialglei-

chungssystem hat nun endgültig die Form

N

ä Mr

F: r—l

H II

.‚.. ‚M

I Q.)

u 2

a g ._ c: .„ cA w m > m ab.

(x o o o o

q.‘

.. o p .—.

w“ m t: m 2: m m

Tm

u o o 0q) H .‚q mu

o CG g m 3 CG [1"

:‘ o z: H>

>"‘ CO g CG g: m

_ \ M „x

‘> 6“ w" h

T»

Das dick eingerahmte Feld enthält die Elemente einer

Matrix B(x1)‚ welche?” mit?! in der Form

?'=B?+F

verknüpft.

Dieses Differentialgleichungssystem wird mit dem

Runge-Kutta-Verfahren — gekoppelt mit dem Übertra—

gungsmatrizenverfahen — numerisch gelöst. Die am An-

fangsrand maximal auftretenden lZ + KZ Unbekannten

werden durch ebensoviel Bedingungsgleichungen am

Endrand bestimmt, so dafs das zu lösende Gleichungs-

system im Gegensatz zu den üblichen FEM relativ klein

ist.

Für elastisch—plastisches Materialverhalten kann das"

elastische Potential in gezeigter Form beibehalten wer-

den, nur ist es dabei für die Verformungsinkremente

zu schreiben.

Im Verlauf der Rechnung wird ab elastischer Grenzlast

die Belastung in kleinen Schritten aufgebracht und ent-

sprechend dem vorher erreichten Zustand und des zu

erwartenden Zustandes (durch eine gewisse „Voraus-

schau") die Steifigkeit des Systems neu berechnet.

4. Anwendung

Das auf der vorgestellten Theorie basierende EDV-Pro-

gramm ermöglicht eine elastisch-plastische Spannungs-

und Verformungsberechnung von dünnwandigen Scha-

len unter der Voraussetzung kleiner Verformung sowie

77

eben- und normalbleibender Querschnitte analog zur

Kirchhoffschen Hypothese bei Platten.

Bei elastisch-platischer Rechnung können sowohl die

kinematische als auch die isotrope Verfestigung und die

Temperaturabhängigkeit der Streckgrenze berücksich-

tigt werden.

Folgende Flächentypen, deren Geometrie exakt berech-

net wird, sind bisher im Katalog des Programmes ent—

halten:

schräg abgeschnittene Kreiszylinderfläche

Kugelfläche mit 2 Löchern

Torusfläche

Kegelfläche

exzentrisch gelochte Kreisscheibe

Regelfläche

Man kann aber auch die Geometrie der SMF durch

Randkoordinaten bzw. punktweise vorgeben.

Nachfolgend aufgeführte Belastungen sind im Programm

vorgesehen

Volumenlasten (z. B. Eigengewicht, Fliehkraft)

Flächenlasten (z. B. Druck in n—, t- und z-Richtung,

Schneelast)

Linienlasten in x1 - und x2-Richtung

Einzelkräfte

Temperaturbelastung (stationär oder instationär)

Hinsichtlich der geometrischen Möglichkeiten ist das

Programmsystem EPSCHA den Programmen auf Basis

der FEM unterlegen, da es auf Grund der angewandten

Methode an eine SMF gebunden ist, die sich auf ein

vierec'kiges Gebiet abbilden läfst. Dafür hat es jedoch

rechentechnisch einige Vorteile (es sind z. B. keine gro-

ßen Gleichungssysteme zu lösen), so daß es sich sehr gut

für Variantenrechnungen eignet.

Das eingebaute nichtlineare Deformationsgesetz erlaubt

es z. B., Best— und Eigenspannungen (Anpassungsproble—

me), Schnittgrößenumlagerungen, die Ausbreitung pla-

stischer Gebiete und plastischer Verformungslokalisie-

rungen zu berechnen bzw. zu ermitteln. Diese Möglich-

keiten sind neben der bisher üblichen Festigkeitsberech-

nung nach der Elastizitätstheorie bzw. Traglasttheorie

vor allem dort interessant, wo Lastzyklen gefahren wer-

den wie z. B. im Chemie-, Kraftwerksanlagem und

Dampferzeugerbau.

Die geringe Zahl von Eingabedaten und die vorhandenen

Regiemöglichkeiten für die Datenausgabe machen das

erarbeitete EDV-Programmsystem EPSCHA anwendet-

freundlich.

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LITERATUR

[1]Weber, D.: Numerische Berechnung elastisch—plastischer

Scheiben mit dem Programm EPESUV. Broschüre des Wei-

terbildungszentrums Festkörpermechanik Konstruktion und

rationeller Werkstoffeinsatz der TU Dresden, Heft 2/78.

[2]Weber, D.: Beitrag zur Berechnung elastisch-plastischer Schei-

ben. Broschüre des Weiterbildungszentrums Festkörperme—

chanik Konstruktion und rationeller Werkstoffeinsatz der

TU Dresden, Heft 2/77.

[3] Schmidt, R.: Traglastberechnung allgemeiner Schalen mittels

kinematischer Methode. (Dissertation), TU Dresden, 1977.

[4]Kodira‚ A.: Makroelementberechnung von beliebig gekrümm-

ten Schalen. (Dissertation), TU Dresden 1977.

Anschrift des Verfassers:

Dr.-lng. D. Weber

Akademie der Wissenschaften der DDR

Zentralinstitut für Festkörperphysik und Werk-

stofforschung

8027 Dresden, Helmholtzstr. 20