Die Ermittlung effektiver Eigenschaften

TECHNISCHE MECHANIK 8(1987)Hcftl

Manuskripteingang: 05.09. 1986

für viskoelastische ebene Flädientragwerke

Holm Altenbach

o. Einleitung

In einer früheren Arbeit [I] wurden, ausgehend von einer

direkt formulierten Theorie für ebene Flächentragwerke

(gekoppeltes Platten/Scheibenproblem) die konstituti-

ven Gleichungen für den Fall viskoelastischen Material-

verhaltens abgeleitet. Diese konstitutiven Gleichungen

haben ein breiteres Anwendungsgebiet als andere, aus

der Literatur bekannte Gleichungen, da man mit ihnen

sowohl über den Querschnitt homogene als auch inho-

mogene (beispielsweise mehrschichtige) Flächentragwer-

ke analysieren kann. Hauptproblem bei der erfolgreichen

Anwendung der vorgeschlagenen konstitutiven Gleichun-

gen ist jedoch die Identifikation aller Materialfunktionen

des zweidimensionalen Modellkontinuums durch die ent-

sprechenden Funktionen des dreidimensionalen Konti-

nuums.

Für die Ermittlung der effektiven Eigenschaften (Mate-

rialfunktionen) stehen zwei Möglichkeiten zur Verfü-

gung. Die erste besteht in einer experimentellen Ennitt-

lung der entsprechenden Ausdrücke, was jedoch oftmals

schwierig und aufwendig ist. Ein zweiter Weg besteht

darin, daß bestimmte Aufgaben nach der zweidimensio-

nalen Theorie und der dreidimensionalen Theorie gelöst

werden. Ein anschließender Vergleich der Lösungen

führt dann auf die zu ermittelnden effektiven Eigen-

3 D—Theorie

reales Kontiruim

2 D —Theorie

Modellkorflinuum

Lösung quasistatisd-Ier Lösmg der entspred'lerden

Ronduertcufguben quasistatlschen

Randwertoufguben‚____„fi‚__‚ H ‚ä

Muterioll‘unktlonen effektive Eigenschaften

bEkorrt unbekannt

l |Lldentil’ikotimsprozeß H l

Vergleich der Schnittgrößen

effektive Eigenschaften als

Ausdrücke der

— Makrlalfunktlonen

— Guerschnittsgeanetrie

Bild l

Methodik der Ermittlung effektiver Eigenschaften

schaften des zweidimensionalen viskoelastischen Modell-

kontinuums, die sich als Ausdrücke der Materialfunktio-

nen des dreidimensionalen Kontinuums und der Quer-

schnittsgeometrie ergeben. Die Methodik der Ermittlung

der effektiven Eigenschaften ist auf Bild 1 dargestellt.

In der Arbeit werden mögliche Randwertaufgaben zur

Ermittlung der effektiven Eigenschaften des zweidimen-

sionalen Modellkontinuums vorgestellt. Das reale Flä-

chentragwerk besteht aus isotropem viskoelastischen Ma-

terial, wobei sich die Materialeigenschaften in Dicken-

ric'htung ändern können. Die Materialfunktionen bzw.

-parameter unterliegen bezüglich der Dickenrichtung kei-

nerlei weiteren Einschränkungen, d. h. sie können sich

stetig bzw. sprunghaft ändern. Damit lassen sich mit den

gewonnenen effektiven Eigenschaften beliebige mehr-

schichtige Flächentragwerke betrachten. Außerdem wird

in der Theorie die Querschubdeformation berücksichtigt.

l. Konstitutive Gleichungen der räumlichen line—

aren Viskoelastizitätstheorie im isotropen Fall

Die konstitutiven Gleichungen der linearen Viskoelastizi-

tätstheorie lassen sich als integrale und differentielle

Ausdrücke bzw. im Falle stationärer Schwingungen mit

Hilfe von komplexen Moduln formulieren. Ausgehend

von [2] werden diese hier in folgender Form angegeben:

— integrale Beziehungen

a(£,z,t)

_t

= 3 f RK(z,t-1)€'(L,z,1')d1', (1.1)

g(1 z t)

t

= 2 f RG(z,t—‘r)§(£,z,‘r)d1'

_oo _

bzw.

€(L,z,t)

1 t

— ä f KK(z,t——T)Ö(L,z‚'r)d'r‚

g(£,z’t)(1.2)

l t

= E f Kc(z,t—-T)=s'(5‚z,1’)d1,

wobei

1 l

g=~(E-g)§+§=—0E+s,_ 3 ._ .. _ .. 3 = -

l l (1.3)

S=§(§”$)§+§ =35 2+2

33

ist. Außerdem bedeuten in (1.1) —- (1.3) g, g Spannungsz,

Deformationstensor, _s, 1; die entsprechen-den Deviatoren,

r_ = _r; (x1, x2) der Radiils-Vektor, x1, x2, 2 orthogonale

Koordinaten, t die Zeitkoordinate, ( die Ableitung

nach der Zeit, der Einheitstensor, RC, RK die Funk-

tionen der Schub bzw. Volumenrelaxation, KG , KK die

entsprechenden Kriechfunktionen. Der Zusammenhang

zwischen Relaxations- und Kriechfunktionen [first sich

wie folgt angeben

t

i f 11K (z,t—1') KK (z,1') (if

= ä ftRG(z,t—r) KG (z,r)dr = 1.

Es sei an dieser Stelle nochmals unterstrichen, daß sich

die Kriech- und Relaxationsfunktionen mit der Koordi-

naten in Dickenrichtung z ändern können.

— differentielle Beziehungen

M(z,D)o(_r_'_,z,t) = N(z‚D)e(_1;,z‚t) ,

1.4

Q(z‚D)g(L‚z‚t) = L (z‚D)g(;‚z‚t). ( )

wobei

Mo \

M(z,D) = 130 mb(z)Db,

No b

N ‚D = 2 D,(z ) b=0 n1(2)

Qo ’ (1.5)

Q(z‚D) = bfo qh(z>Db‚

L

L ‚D = 2° 1 Db(z ) b=o 1(2)

gilt. In (1.4), (1.5) bedeuten D = ä Ableitung nach der

Zeit, Db b-te Ableitung und mh, nb, qb, lh sind Koeffi-

zienten, die die physikalisch-mechanischen Eigenschaf-

ten des Material kennzeichnen und allgemein von der

Koordinaten z abhängen können. v

— Verwendung von komplexen Moduln -

Für den Fall, daß sich Spannungen und Deformationen

harmonisch ändern, d. h.

) 5(52) 69“”,t :

t) : go(L1z) ciwt

um

LJa

aza

(

(

HQ

|I-r

gilt (w ist die Frequenz), erhält man für die integralen Be-

ziehungen (1.1), (1.2)

00 (L, z) = 3R; (zviw)€o(Ls z) 1

* (1.7)

20 (L12) : 2RG(zviw)§o(£iz)i

1 11

0 La) = -K (Viw)oo(£’z)7e ( z ii I: z (1.8)

20(va) = EKgüaiwlgdLZ)’

34

wobei

R; (mm) = RK'(z,w) + i RK~(z, w), (1.9)

RK'(z, w) = w ZRK (T) sinw'r d'r,

„o (1.10)

RK"(z,w) = w f RR (1) cosw‘r d'r

0

usw. ist. Für die‚differentiellen Beziehungen gilt analog\

N0

z „b (z) (Mb

b=0

“0(112) eo (Laz)

M0

bi o mb(z) (i w)“

= (w). _

92° - b_ b=0qb(z)<m)_ Lo

2 lb<z)<iw)bb=0

_ Q(z,iw)‘ m§o(£,z)-

(1.11)

20(112) go(£vz)

/

2. Die Grundgleichungen für viskoelastische Flä-

chentragwerke

Das hier betrachtete viskoelastische Flächentragwerk‚

dessen mechanisches Modell ein zweidimensionales Mo-

dellkontinuum ist, wobei jeder Punkt des Kontinuums

den kinematischen Freiheitsgrad 5 (3 Verschiebungen,

2 Verdrehungen) hat, läßt sich mit folgenden Gleichun-

gen beschreiben l3]:

— geometrische Beziehungen

2

7(L‚t)= 220,0 2+g'g(1‚t)‚

Eu») = gym) . (2-1)

2(Lt)= u1 (£1021+“2(Lt)£2+w(£.t)n,

f(£,t) = ‘V2(Lt) 21 +¢1(Lt)22

—- Quasi-Statikgleichungen

Y 'I(L.t) + 3(L,t)=0,

(2.2)

Y' ¥(Lt) + L (1.0+ mm) = 0.

Dabei bedeuten ua, w, cpa Verschiebungen in der Fläche,

quer zur Fläche, Verdrehungen (a = 1,2), 121,1, I; Defor-

mafionstensoren, I, M Kräfte- und Momententensor, IX

Vektorinvariante des Kräftetensors, Z — zweidimensio-

naler Nablaoperator bezüglich der Flächenkoordinaten

xa, g, m Flächenkräfte und -momente, 5%2 orthonor-

mierte Vektorbasis auf der Fläche und ( ) — Transpo-

nieren.

Den Abschluß der Grundgieichungen bilden die konsti-

tutiven Gleichungen, die in [l] angeführt sind. Diese gel-

ten für den Fall allgemeiner Anisotropie und für dünne

’ Flächentragwerke. Die Anzahl der zu ermittelnden Er-

satzeigenschaften reduziert sich fiir den isotropen Fall

wesentlich, was ohne Schwierigkeiten mit Hilfe der Sym-

metrietheorie nachgewiesen werden kann [4]. Ohne auf

Einzelheiten einzugehen, seien hier nur die Endresultate

angeführt.

gum-g — ft<4>g*<t—r>ng<;‚r>

+ (4)8 (t—r)-~§(£,r)]dr,

yum =_f g*(t—r>-1<;,r>dr, ‚ (2.3)

am») = f[g(1‚r)'°‘4)l:3'(t—T)

+ Wg (t—T) -- gum] d1,

wobei f

\

(4)5 = AI 2121 + A; (2222 + 2434)

(“12* = B: 21 23 + 133021224 —§422) ‚

““25 = C: 23 Es + C; (E2 22 + 24 24) a (2-4)

Ei‘ 2 F4? ’

>

21 29121+£2£2=2a

92 ‘Elfil—Ezflzv

z 2122‘2221 =2,

24 7219.2 +2221

gilt. Die Tensoren (4) 13*, (4') B", (4) 9*, Ei werden als

Tensoren der effektiven Eigenschaften bezeichnet, deren

Komponenten At, A3, i, B3, i, (3;, F* von den

physikalisch-mechanischen Charakteristika und der

Querschnittsgeometrie abhängen. Sie zu bestimmen ist

Ziel der vorliegenden Arbeit.

3. Ermittlung der effektiven Eigenschaften

3.1. Einführende Bemerkungen

Die Ermittlung der effektiven Eigenschaften soll hier

entsprechend der auf Bild l dargestellten Methodik er-

. folgen. Dazu sind nachfolgend Randwertaufgaben der

Viskoelastizitätstheorie für eine viskoelastische Schicht

der Dicke h und entsprechende Aufgaben nach der hier

vorgestellten Theorie zu lösen. Bei der Lösung entspre-

chender Aufgaben kann man die Methode der Integral-

operatoren, der Laplace-Transformation, der Iljuschin-

Approximation u. a. verwenden [5]. Während die Me-

thode der Integraloperatoren nur für das integrale Vis-

koelastizitätsgesetz anwendbar ist, kann die Laplace-

Transformation fiir die integralen und differentiellen

Beziehungen eingesetzt werden. Daher soll im weiteren

nur die Laplace-Transformation verwendet werden. Die-

se ist wie folgt definiert [6]

?(p) = (fut) e—ptdt, (3.1)

wobei f (t) die Originalfunktion,f (p) die Bildfunktion,

p die Variable des Bildraums und t die Zeitkoordinate

sind. Mit Hilfe von (3.1) lassen sich die Integral- bzw.

Differentialgleichungen der Zeit, die in den Abschnitten

l und 2 eingeführt wurden, in algebraische Gleichungen

der Variablen des Bildraums p überführen. Um die Dar-

stellung übersichtlich zu halten, wird bei der Anwendung

der Laplace-Transformation von Anfangsbedingungen

gleich Null ausgegangen.

Zur Ermittlung der effektiven Eigenschaften sind im Fal-

le des isotropen Materials 2 Testaufgaben zu lösen: Bie—

gung mit überlagertem Zug sowie Torsion unter Einwir-

kung eines konstanten (bezüglich der Koordinaten xa)

Randmomentes. Nachfolgend werden diese Aufgaben für

die verschiedenen Materialgesetze gelöst.

3.2. Effektive Eigenschaften bei Anwendung des inte-

gralen Materialgesetzes

Biegung mit überlagertem Zug: Für den Fall, da5 der

Streifen bei z = i g belastungsfrei ist, läßt sich Ozz = 0

h

57

lxl l < x01, 3x2 l < °°) annehmen. Wenn der Streifen,

wie auf Bild 2 gezeigt, beansprucht wird, so erhält man

folgendes Deformationsfeld

g (z, t) = If1<t> + f2 (t) z] 21 21 + e" (m) g 2. (3.2)

an jeder Stelle der viskoelastischen Schicht (Izl <

viskoelasfische Schicht

Z

x1

G" du

T11 )M11

n‘ viskoelustisches Modellkontinuum

T11

Bild 2

Biegung mit überlagertem Zug

Nach Ausführung der Laplace-Transformation in (3.2)

und anschließendem Einsetzen in das transformierte

Materialgesetz (1.1) erhält man folgende Spannungen

im Bildraum

yzvp) = P [71 (P) + T2(P)1'4]

(3.3)

[F1 (z, P) £1 £1 + F2 (va) £2 22],

wobei

_ 4KG (2‚P)[3 KHZ») + EG(Z,P)]

F1 (75, P) — _ 7 — ‚

3 Rx (Zap) + 4 RG (mp)

F _ 2RG(sz)[3RK(z’P)“2FG(Z’P)]

2 (sz) A — —

3 RK (zap) + 4' RC (WP)

(3.4)

ist.

Der Übergang von den Spannungen zu den Schnittgrü-

ßen erfolgt traditionell [7]

35

I (l’t) _ (1,1,0 > 1

M(r‚t) <g‘g(5‚z,t)z'g> ‚

wobei

h

5

<< >> = h! < )dz

""5

das Symbol für das Integral über die Dicke des Flächen-

tragwerks ist. Analoge Beziehungen gelten fiir die trans-

formierten Größen. Im Fall der ersten Aufgabe erhält

man somit aus (3.3) bei Anwendung der Beziehungen

(3.5)

1(11) = p<l71(p) +T2(1))21

[F1(z‚P) £1 £1 + F2(z‚P) 22 21>.

I2’101) = P<zl?1(p) +’f'2(p)zl

”10,1921 22 - Far-(2,1022 21P-

In der analogen Aufgabe fiir das Modellkontinuum kann

von folgenden Verschiebungen und Verdrehungen ausge-

gangen werden

(3.6)

l

2 (Lt) f1(t)X1 £1 - '2-f2(t)xi!1.

g Lt) = f2(t)x1£2-

Die Gleichungen beziehen sich auf den unteren Teil

des Bildes 2. Nach der Transformation der Gln. (3.7)

und Einsetzen in die transformierten Gln. (2.1) erhält

man folgende Deformationstensoren im Bildraum

LN?) = f1 @2121,

EU?) = 0, (3-3)

5(p)=f_2(p)2122- \

Nach Einsetzen der Deformationstensoren (3.8) in die

transformierten konstitutiven Gln. (2.3) erhält man

unter Beachtung von (2.4)

5(1)) = P {[7‘\i’(p)_’r 7113001501)

+ [-171 (P) + §§(p)]?2(p)}21 21

+ p (Km?) - 1336015 (P)

+ I—E;<p> - E5<p)1?2<p>}22 22.

Es») = p {mm + fi3<p>l F1 (p)

+ FÜR?) + 63(9)] f2(1))}21 22

+ p l-Ü'flp) + 1756017101)

+ Wim + ö; (p) 1-?2 m} 22 31.

(3.7)

s

’ (3.9)

Ein Vergleich der Gln. (3.6) und (3.9) ergibt folgende ef-

fektive Eigenschaften

‚[Äi(p) ; Ü} (P) ; CHIN

= <F(z,p)[1;—z;z2]>,

[Ä3(p); I?;(1>);T3'Z;(P)1

= <F*(z,p)[l; z; z2]>

36

(3.10)

mit

F(zip) = [Fl(zvp) + F2(zvp)]

z ”mm—{mm

3RK(sz)+4RG(sz),

F'(z‚p)= %[F1(z,p)— F2(z,p)]= Roam). (3.11).

Torsionsaufgabe: Für den Fall, daß auf den Rand x1 =

1: x01 ein bezüglich der Koordinaten xa konstantes Mo-

ment M‘E (t) wirkt (Bild 3), verformt sich das Modell-

kontinuum folgendermaßen

g = u2 (x1,t)g2,£ = —¢2(x1,t)gl . (3.12)

viskoelastisches Modellkontinuum

/"'(t)

/

./

*3 v

«7

I’X1

/H' (t)

Bild 3

Zur Torsionsaufgabe

Nach Ausfiihrung der Laplace-Transformation und Ein-

setzen in die transformierten Ausdrücke der Deforma-

tionstensoren (2.1) ergibt sich

_ 1-g(X1‚p) = 5112 (xi’Pll 24'

i (x1, p) = 52 (X1, p) 22 ‚ (3.13)

E31,?) = -52 (X1‚P),l £1 91'

Dabei ist ( ),l die Ableitung nach x1.

Die Gln. (3.13) werden in die transformierten konstitu-

tiven Gln. (2.3) eingesetzt

:(x1‚P) = P (Ä; (P) E2 (X1‚P)‚1 + g; (P) 52 (XI, P),1]§4

+ p I“*<p) ¢2(x1,p)g2 n. (3.14)

E (th) = - P IE; (P) E2 (x1‚P)‚1

+ C; (P) 52 (X1, P),1 1 52-

Nach Einsetzen in die transformierten Quasi-Statikgln.

(2.2) erhält man folgendes Differentialgleichungssystem

Ä; (P) E2 (X1, P),11

+ I—3E(P)52(x1:P),11 = 0:

Ü; (P) E2(7‘1aP)‚11 + E; (P) $2 (X1~P),11

~ F’(p)¢2<x1,p)= 0.

(3.15)

Das System (3.15) führt bei den Randbedingungen

X1=1X01=£1'I=0,

gl '1\=/1=—M*(t) E] (3.16)

auf die Lösung

_.‘

— _ 32(1)) -—

“2(X1aP) " - "ES-ET!» 9201m),

— — Ä'(p)

4’ ( ’ )= M.( )2 x1 p p Amme—823):

shÄ(10X1

m (3-17)

mit

_..______TYP) Km: .A; (P) C3 (P) '— 33002

Für die viskoelastische Schicht wird folgendes Verschie-

bungsfeld vorausgesth

12(1)) =

u = w= O, v=v(xl‚z,t). (3.18)

Damit ergeben sich fiir die transformierten Spannungen

§(x1.z,p) = p Rc (hp) (761,14)); g4

+ V (X1. 2,9),2 (21 a + a 21)], (3-19)

wobei mit ( ),z die Ableitung nach z bezeichnet wird.

Nachdem Einsetzen in die entsprechenden Quasi-Statik-

gln. erhält man

Es (LP) 7 (X1, Z» P),11

+ [KG (zaP)7(Xlasz)‚z]‚z = 0-

Diese Differentialgleichung hat bei folgenden Randbedin-

g‘mge“

z = igifl ° g = O

dieLösung

_sh) (P)X1’ =BV ‚ ____°_____ ‚ 3.20v(x1‚z P) (1P)Äo(p)ch7\o(p)X01 ( )

wobei lo (p) die dem Modul nach kleinste nichttriviale

Lösung nachfolgender Differentialgleichung ist

[EG (zip) V (z, P),z ],z

+ xäo) Kam) mp) = 0h _ (3.21)

z = :1:§:V(z,p),z = 0

und B eine noch aus den Randbedingungen zu bestim-

mende Konstante darstellt.

Die Lösung (3.20) wird jetzt in (3.19) eingesetzt. Mit

Hilfe von (3.5) werden die Schnittgrößen ermittelt

_ BP

T x , = _________

=‘ 1 p) xo<p>chxo<p>xol

<fic (z.p>W<z.p> 7mp) chmm :4

+ WW); 3h "o(P)x1 (£1.13. + E311”> ’

_ _ BP

120m?)-‘m

<zfic (z. p) Wm)ch Ao (1’)“ >9? (3.22)

Die Integration von (3.21) nach z ergibt unter Beachtung

von

Mp) e 0 _

dam) v<_z.p>> = o

Der Vergleich der Lösungen der Aufgabe nach der zwei-

dimensionalen Theorie und der Aufgabe nach der drei-

dimensionalen Theorie ergibt bei Beachtung der GI.

(3.23) und der (3.16) eine völlige

Übereinstimmung der Schnittgrößen für den Fall, daß

Ä(p) = lo ist, wobei Äo aus (3.21) zu bestimmen

(3.23)

ist. Damit erhält man abschließend

— Ä” (p)? (p) — I?“ (p)2I" )=>\2( ) ———————2_f 2 , (3.24)(p P A2 (p)

wobei (p), B; (p) und C; (p) als bekannt vorausge-

setzt werden. Für die Verschiebungen erhält man keine

völlige Übereinstimmung. Für sie wird die Erfüllung

nachfolgender Bedingung gefordert

<Ec (z, P) [761,540 -52(x1‚P) “1520114912> =|inin2,992

(3.25)

3.3. Effektive Eigenschaften bei Anwendung des difie- ‘

rentiellen Materialgesetzes

In diesem Fall sind die gleichen Aufgaben wie im vorher-

gehenden Fall zu lösen, wobei die Lösungen nach der A

zweidimensionalen Theorie vollständig erhalten bleiben.

Für- die Lösung der ersten Aufgabe nach der dreidimen-

sionalen Theorie ist in (3.3) F1 (z, p) bzw. F2 (z‚p)

durch nachfolgende (mit Stern gekennzeichnete) Aus-

drücke zu ersetzen

F‘. (z p) = L(sz) 2Q(z,p)N(z,p)+M(z,p)L(z,p)

1 ’ pQ(z‚p) Q(z‚p)N(z‚p)+2M(z‚p)L(z‚p) .

Fifi p) = L(z‚P) Q(z‚p)N(z‚p)-M(z‚p)L(z‚p) .

2 ’ pQ(z‚p) Q(z‚p)N(z‚'p)+2M(z‚p)L(z‚p)

Die Gln. (3.10) bleiben gleicth erhalten,jedoch gilt statt

(3. 11) "

F (z. p)

«4

(3.26)

lI

gm; (mp) + F; (z. p>1

_ l L(Z’P) 30(5’P)N(Z’P)

2 PQ(Z:P) Q(z‚P)N(z‚p)+2M(z‚p)L(z‚p)

m”): 2‘FI(“’P)-F§(zm>l=%

(3.27)

Für die zweite Aufgabe behält (3.2.4) seine Gültigkeit,

jedoch ist Ä aus folgender Gl. zu bestimmen

Hz, p) -

Q“!P) V

+A2<p)äf+3-V<z‚p> = o,

(z. p),z 1,,

(3.23)

z .12- : mp). = o.

37

3.4. Effektive Eigenschaften bei Verwendung kom-

plexer Moduln

Auch in diesem Fall werden die Testaufgaben in Analo-

gie zu Abschnitt 3.2 gelöst. Beispielsweise erhält man bei

Verwendung der Gln. (1.8), (1.7) statt (3.3) folgende

Spannungen

20 = (£1 + f2 z)

[F3(z‚iw)21.e_1 + F4(z‚iw) 9.2 9.2]

mit

F3 (z, im) = 4Rä3(l:aiw) [.3RE (z,i:.>) + (z’iwn ’

K (z’lw) + 4RG(z,1w)

F4<z‚iw> = ”E("i“)”Riü’iw-Räadwn

3RK (z, 10.)) + 4KG (z, iw) (3.29)

bzw. für den Fall der Gln. (1.11) ist (3.29) wie folgt zu

ersetzen

L(z,iw) 1

in(z,iw)

2Q(z‚iw)N(z,iw) + M(z,iw)L(z,iw)

Q(z,iw)N(z,iw) + 2M (z,iw)L(z,iw) ' L

F; (z,iw) =

L (z, m (3'30)

in (z, im)

Q(z‚iw)N(z‚iw) -—M(z,iw)L(z,iw)

Q(z,iw) N(z, im) + 2M(z,iw)L(z,iw)

F2 (z, iw) =

Für die effektiven Eigenschaften ergeben sich ähnliche

Ausdrücke wie (3.10). Für die zweite Aufgabe kann man

1"" (iw) wie I“ (p) bestimmen, jedoch ergibt sich 7\(iw)

aus folgender Aufgabe

[Rä(z‚iw) V(z)‚z

+Ä2(iw)RE(z‚iw) V(z) = 0,

z=i—}21:V(z)’z=0

bzw.

[L(z, iw)

Q(z,iw)

+ x2 (i w)

V (z),z 1,2

L (z, i w)

Q(z‚ i (.0)

h

z= i5:V(z)’z = 0.

V(z) = 0v

4. Beispiel: Sandwich-Platte

An dieser Stelle soll der auf Bild 4 dargestellte Quer-

schnitt einer Sandwich-Platte betrachtet werden, wobei

von einer integralen Formulierung des Materialgesetzes

ausgegangen wird. Die Deckschichten sollen rein elas-

stisch sein, d. h. die Gln. (1.1) sind wie folgt zu ersetzen

0(5‚z‚t) = 3KD e(5,z,t) ,'

4.1

=s r,z,t)= 2GDg(_r_,z,t). ( )

38

F . i

k \ _. i u) .C

\ K Kernschicht j

\. T

(D Deck5chicht

Bild4

Querschnitt einer Sandwichplatte

Die Kernsehicht besteht aus viskoelastischem Material,

wobei das erste Axiom der Rheologie [8] gültig Sein soll.

Ein solches Material verhält sich bei allseitigem Druck

rein elastisch, womit für die Kernschicht das Materialge-

setz (1.1) folgendermaßen zu ersetzen ist

o r,z,t) = 3KK €(LZJ). (42)

t

2(Lz,t) = 2 JORGK (t—r)g'(;,z,'r)d'r.

In (4.2) und (4.1) sind KD, KK die Kompressionsmo-

duln der Deckschichten bzw. der Kemschicht, GD der

Schubmodul der Deckschichten und RGK die Schubrela«

xationsfunktion der Kernschicht.

Offensichtlich erhält man_in diesem Sonderfall für die

effektiven Eigenschaften BI (p), B; (p) den Wert Null,

da der Querschnitt bezüglich der Geometrie und den Ma-

terialeigenschaften symmetrisch ist. Weiterhin gilt

_* 9GD KD

A1(P) = ———~—(h—S)(3K1) + 4CD)p

9E61((P)KK

1———=———-s

3KK+4RGK(P)P

_ 1 _

A309 = BGD(h“s) + RGK(P)S‚

_ 3GDKD (

4(3KD+4GD)P

RGK(P)KK

3KK+4RGK(P)P S

€30») = T12— [$60013 «s3>+ Fax <p>s31.

Ü; (p) h3 — s3)

3

9

+34

P” (p) läßt sich folgendermaßen bestimmen

I“ (p) = Äz (P) Ü; (P) ‚

wobei Ä2 (p) die Lösung folgender Differentialgleichung

ist .

‘7(ZaP),zz + >\2(P) VOW) = 0-

Diese Differentialgleichung ist bei folgenden Randbedin-

gungen

z : ig— ; WW),z =0

und den Übergangsbedingungen

Van =me

z=i(%+0) z=i(%__0)’

GD V (z, p)‚z

z=:(2§+0)

= R"c,K(p)pV<z,p)

Fug—0)

zu lösen.

Eine weitere Konkretisierung ist nur bei zusätzlichen

Annahmen möglich. Nachfolgend soll h E s (dünne Deck-

schichten) und das Maxwell-Modell für die Kemschicht

sein. Danach ist [9]

t

S(Lz,r) dr

mit GK als Schubmodul und uK als Dämpfungskoeffi-

zient der Kemschicht. pK/GK wird auch als Relaxations-

zeit bezeichnet. Offensichtlich gilt in diesem Fall folgen-

de Schubrelaxationsfunktion

— —G t

RGKo) = GKe KWK.

Die entsprechende Laplace-Transformierte ist

— _ l

RGK (P) r GK TG—K—

P “K

Oftmals ist der Schubmodul der Kemschicht wesentlich

kleiner als der der Deckschichten. Wenn die Größenord-

nung O (GK /GD) viel kleiner als9 (h — s/ s) ist, so_erhält

man fiir die Ersatzeigenschaften AI (p), Ä; (p), C; (p),

C2 (p) die aus der Theorie der elas 'schen Sandwich-Plat-

ten bekannten elastischen Näherungen [10]

Ä‘<p> 2 A1 =——9GDK” (h—-s>-1 <3Ko+4GD>p ’

_ 1 '

5(P) 3 A2 = 59001-8),

_ 36 K

‘ a: =__D__D___ 3- 3Cl _ C1 s )9

- 1

05c») s <32 =ngGD(h3-83)-

Für l—‘f (p) ergibt sich folgende Näherung

* 2 P _ .0. 3-3

WG) ‘ GD GK 12p(h s)

(P+-—S -S)

_ GK l h2+sh+32 a GKS

" ’3— GK _—s__.- '

p+__ p+_G£

“K “K

Dieser Wert stimmt vollständig mit dem in [11] angege-

benen überein, wobei in [11] die differentielle Formulie-

rung des Materialgesetzes als Ausgangspunkt diente.

5. Abschließende Bemerkungen

Die hier vorgestellte Methode der Ermittlung effektiver

Eigenschaften viskoelastischer ebener Flächentragwerke

eignet sich gut zur globalen Analyse, wobei auch ge-

schichtete Flächentragwerke betrachtet werden können.

Die ermittelten Ausdrücke sind allgemeiner als entspre-

chende, aus der Literatur bekannte Angaben. Die hier-

mit vollständig vorgestellte Flächentragwerkstheorie be-

sitzt noch einen weiteren Vorteil: Effekte, die mit der

Querschubdeformation verbunden sind, können berück—

sichtigt werden. Diese Effekte können auch bei Aufga-

ben zum Kriechen viskoelastischer Flächentragwerke

wesentlichen Einfluß auf die Qualität der Ergebnisse

haben [12].

Das Beispiel des Abschnittes 4 zeigt, dal3 es nur in weni-

gen Fällen gelingt, analytische Ausdrücke für die effek-

tive Eigenschaft l". (p) in geschlossener Form zu ermit-

teln. Hier bedarf es offensichtiich noch weiterer Unter-

suchungen zu günstigen Rechenverfahren, die eine nähe-

rungsweise Ermittlung möglich machen. Diese sollten

sinnvollerweise mit der Lösung des Umkehrproblems,

d. h. des Ermittelns der Lösung im Originalraum, ver-

bunden werden.

LITERATUR

[l ] Altenbach, H.: Konstitutive Gleichungen fiir viskoelasti-

sche ebene Flächentragwerke. Technische Mechanik

7 (1986), 4.

[2 l Christensen, R. M.: Theory ofViscoelasticity. New York,

Academic-Press, 197l.

[3 l Altenbach, H.: Zur Theorie der inhomogenen Cosserat-

Platten. ZAMM 65 (1985), 12, 638 -— 64l.

[4 ] Altenbach, H.: Die Ermittlung der Deformationsenergie

v für dünne Platten und Schalen mit in Dickenrichtung

veränderlichen Materialeigenschaften. Wiss. Zeitschrift

der TH „Otto von Guericke” Magdeburg 28 (1984), 2,

29 — 33.

[5 ] Omöanos l'l. M., Homaicmi B. A.‚ Kmmcnn B. 11.:

Mexaimxa nommepon. Mocxaa, Plan. MI‘Y, 1975.

[6] Bronstein, 1. N., Semendjajew, K. A.: Taschenbuch der

Mathematik. BSB B. G. Teubner Verlagsgesellschaft,

Leipzig, 1979.

[7 ] Hosommos B. B.: Teopna romcnx 060110qu.

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[8 l Reiner, M.: Rheologie. VEB Fachbuchverlag Leipzig, 1968.

[9] Baekhaus, G.: Deformationsgesetze. Berlin, Akademie?

Verlag. 1983.

[10] Reissner, E.: Small hending and stretching of Sandwich-

Typ shells. NACA-Report 975, 1950.

[ll] Altenbach, H.: Eine direkt formulierte Biegetheorie fiir

viskoelastische Ein- und Mehrschichtplatten. Technische

Mechanik 7 (1986), 3.

[12] Terepc I‘. A.: CnoxcHoe Harpyxenne u ycroi'numocn

050110qu H3 HOJIHMeprlX marepuanon. Para, 3"-

Hame, 1969.

Anschrift des Verfassers:

H. Altenbach

Technische Hochschule „Otto von Guericke” Magdeburg

PSF 124

Magdeburg

3010

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