TECHNISCHE MECHANIK 7(1986)Heft2

Manuskripteingang: 24. 4. 1985

Nichtlineare Sdiwingungen mechanisduer Systeme mit

elastisd'i-plastischen Materialeigenschaften

Nguyen van Dao, Hoang van Da

0. Einleitung

Viele Aufgaben der Schwingungen mechanischer Systeme mit elastisch-plastischen Materialeigenschaften führen zur

Untersuchung der folgenden Gleichungen

3311 3% a2u a2“ auä+ß__.d2____ d2_= P@,x,——,...,(‚“3 M2 atöxz ß 6x2 u ( ax ) (0.1)

Ik[u1=L(u9—‘5 )—0' (k=-k—011)k 7axt‘“ — a X, _ a)

bzw

333+a32_w+b2 35w +ab2 a4w_ F6 aw )

at3 at2 atax4 5:4- “ < ”W“, ’ (0.3)

_ 3W 32W 33w ._ .

Lljlw] L1,(5;:5;2~)= 0a szlwl = L2j(w7 a?) = 0, O-X;J=0‚l) (0.4)

bzw

33.3.! + 532—“, + w2_a.(v4w) + gw2v4 _ F“; x y w a_w ) (05)

atg W’I‘ 9,9 ’axv-H ’

öw öw ö2w 82w _ _ 63w _

LlJlW] L1‚(ä'—‚ 3;,'a_X*2aa_y‘2‘)—0a L2j[w]—L2j(wsm)_0! (0'6)

aw aw 32w a2w

——a _9 —’9 —) = 0, = = 07

ax ay 3x2 öy2 3x3

(j=x; j=0,b. k=y; k=0‚c)

Die Randwertaufgahen (0.1) bis (0.2) und (0.3) bis (0.4) wurden von vielen Autoren behandelt [6]. Die Untersuchung

der Aufgabe (0.5) bis (0.6) ist noch am Anfang.

ln dieser Arbeit wird zuerst die Bewegungsgleichung der dünnen rechteckigen Platten bei Berücksichtigung der elastisch-

plastischen Materialeigenschaften erstellt. Sie hat die Form von (0.5) —- (0.6). Danach werden die asymptotischen Lösun-

gen dieser Gleichung aufgebaut. Die Eigenschaften der Lösung werden gezeigt.

Bild lBild2

l. Die Bewegungsgleichungen

Betrachtet wird die Platte mit den Abmessungen nach Bild l. Die Materialeigenschaft wird durch das Modell in Bild 2

beschrieben. Der Zusammenhang zwischen Spannung und Dehnung ist dabei durch die Beziehung

1) Der Autor bezeichnet hier und im folgenden mit k = x; k = 0, l die Randwerte fiir x = 0, l.

l8

a = Ee, (1.1)

a

E1 +K(1+E1 H1132) ä:E = _______._

1 + L 1 ’ (1'2)[1 E2 ö t

gegeben.

Durch Einsetzen von (1.2) in den Ausdruck für die Biegesteifigkeit der Platte

E h3 ’D = ——— ,

12 (1 5 „2) (1'3)

in der Gleichung

2

Mg?“ + Dv4w = pf(t‚x,y,w,...), (1.4)t

ergibt sich nach einigen Umformungen die folgende Gleichung fiir die Plattenschwingung

ö3w 32w 3 1 öf E2 a+ 2 4 2 4 = _ 2 4

öt3 Eatz +0) at(v w)+§wvw ulM(Ef+at) Elw at(V

W)]- (1-5)

In (1.5) sind w die Durchbiegung, h die Dicke der Platte, v die Poissonsche Konstante, f nichtlineare Funktion von t, x,

y, w, . . . , die als bekannt vorausgesetzt wird, V der Nablaoperator und

E2 D1 E1 h3E : _ , (02 : _— ’ : —___.._ ‚

k M 1 12(1 — V2) ( )

Zur Vereinfachung setzen wir M = l. Die Gleichung (1.5) hat dann die Form

a3w a2w 2 a—+ —+w — 4w +Ew2 4w=/.1F@),x,,w,...), 1_7atg a t2 at (v ) v ( y ( )

Dabei ist 3—? = 7 , F ist eine periodische Funktion mit der Periode 211 fiir 9 , u ist ein kleiner Parameter.

Die Randbedingungen werden in der Form vorausgesetzt:

aw aw 32W 11% a3w.. =L..___.____‚____ =0‚L. :L. ‚__ =0,

Lu[w] 11(ax7 ayvaxz ayz) 2le] 2‚|(w 6x3)

2 2 33 (1.8)öw aw ö w a w

w

L =L _‚——‚—,——=O,L[w]=L w,—)—0,iklw] 1k ( 3y ay 8x2 ayz ) 2k 2k ( ays

(j=x; j=0,b. k=y; k=0,c).

I

Dabei sind Llj , L2j , le , sz lineare Operatoren mit konstanten Koeffizienten.

2. Holonomes System

Die Bewegungsgleichung besitzt die Form

33 W 32 W 2 ö 4 2 4 aw

—— ——— —— + = F — . . . 2.1+w at w) w M (X9Y1waax7 )a )

Die rechte Seite dieser Gleichung ist nicht explizit von t abhängig. Bei u = 0 ergibt sich aus (2.1)

83W 32W 2 ö 4 2 4

— — — = . 2.2

at3+ £)t2+"“’¢'it(vw)+£0va 0 ()

Die Lösung von (2.1) wird in der Form

Wo(x‚y‚t) = Z(x‚y)T(t) (2.3)

gesucht.

Durch Einsetzen (2.3) in (2.2) und (1.8) ergeben sich die Gleichungen

19

3 2

1_T+äd_I+ß2w2EI+äßzw2T: 07 (2.4)

dt3 dt2 t

V4Z_ßZZ:0 (2.5)

mit den Randbedingungen

LIJ-[Z] = 0, L2j[Z] = 0, L1k[Z]= 0, L2k [Z] = 0, (2.6)

(j=x;j=0,b; k=y; k=0,c).

Nehmen wir an, daß die Eigenwerte ßrs und die entsprechenden orthogonalen Eigenfunktionen er (x, y) bestimmt

wurden, dann besitzt die partikuläre Lösung von (2.2) die Form

M8

Ars er c05“.ert + l1’l's) ' (2'7)wO (x,y,t) = 1

r, s

Dabei sind Ars ‚ LUIS die aus Anfangsbedingungen bestimmten Konstante und Qrs die Eigenfrequenzen7

n2 = (.12 p: . (2.8)l‘S

2.1. Der Fall einer Frequenz

Wir setzen voraus, daß das System (2.4) eine nicht abklingende Lösung mit der Frequenz $21 1 hat und keine innere Re-

sonanz vorliegt, d. h.

(Qrs—n911)#0. (n‚r,s = 1,2,...) (2.9)

In diesem Fall kann die Lösung der Randwertaufgabe (2.1), (1.8) in Form der Reihe

w(x,y‚t) = 211 acow + uU1(x‚y,a,(p) + „2 U2(x‚y,a„o) + „3 . . ., (2.10)

gesucht werden. Dabei sind (p = (5211 t + 11/) und U1, U2 . . . periodische Funktionen des Winkelsap mit der Periode 2 7r.

Die Größen a und 1b werden durch das Gleichungssystem

d dwd_:_ :„A1(a) +„2 A2(a)+„3...‚ Et— = B1(a) + „2 B2 (a) + „3... (2.11)

/ bestimmt.

Durch Bestimmung der Ableitung von w nach t gemäß (2.10) und (2.11) und Einsetzen der erhaltenen Ergebnisse in

(2.1), danach durch Vergleichen der Koeffizienten der gleichen Potenz von p erhalten wir in erster Näherung

3 a3U1 2 a2 U1 a

911 W3 + 11 3&2— + Q11 0’2 57p (V4 U1) + €w2V4U1 =F1

+ [(2 9:1 A1 + 2’5an1 B1) cossp +(2ES21'1A1 —2a 52:1 Bl)sin1p]Z11 . (2.12)

öZ '

Dabei ist F1 = F(x,y, Z11 acosgo, 8—11 acoscp,. . und U1 erfüllt die Randbedingungen:

x

= 0, L2-[U1]= 0,

u J (j=x;j:0,b.k:y;k:0‚c). (2-13)

lelUl]: 07 szlUfl: 0a

Zur Bestimmung U1 entwickeln wir F1 und U1 nach den Eigenfunktionen { er (x, y)} :

oo oo b

U1 = E Ulrs (ad?) er a F1 = 2 Flrs (31¢) er t Flrs 2 f

r,s=1 s=1 0’

b c2

F1 er dx dy / g ({er dx dy . (2.14)

ORG

Durch Einsetzen dieser Ausdrücke in die Gleichung (2.12) und Vergleichen der Koeffizienten von er ergibt sich

a3V 82V aU3 111 2 111 3 111 2 _11 “wg + “HVJ' Q11 am + 5911 U111 ‘ F111

+ [(252%1 A1 +2539“ B1)cos«p + (2m11 A1 — 2aoflßl)sin,a], (2.15)

20

33U1 2 ö2U 2 aU111 2 _

“31 ET" + Wu 7.2l“ * “11% V + WrsUm - Fm (2-16)

(r,s = l,2,...; r=s=/= 1).

Aus (2.14) folgt,-daß U1 die Randbedingung (2.13) erfüllt. Zur Bestimmung von U1rs entwickeln wir U11.s und Flrs z

Uhs = 20 [vrlsn(a) cosncp + wasn(a) sin mp] , F11.ß = 20 [ grlsn(a) cosmp + hrlsn(a) sinmp] (2.17)

n = n?—

Dabei sind

rs. _ 1 27T rs _ 1 21TF rs _ 1 27T l

g10(a) " Flrsd‘pv g1n(a) " ; g lrs(a) cosn‘pd‘pv h1n(a) " E ({Flrs Smn‘pd‘p

die bekannten Größen und visn(a) ‚ wäsn(a) sind zu bestimmen. Durch Einsetzen von (2.17) in (2.16) und (2.15) und

Koeffizientenvergleich mit der zusätzlichen Bedingung, da5 U1 1 l keine Ausdrücke cos «p und sin w enthält, ergeben sich

die folgenden Beziehungen zur Bestimmung A1 , B1 und U1 :

_(nugii(a)+2hii> B (sgii—nuhii>

1 = ‚ 1 = —(2.18)

2911(Qil +52) 2610116251 + 52)

m co [(ggrs (a) _ n9 hrs (a)) cosnnp + (n9 g" (a) + gh‘s (5.)) sinnnp]

U1 = 2 2 1" u 1“ “ 1“ 1" 2,s (m) (2.19)2 2 2

n=0 r,s=1 (S2 + n2911)(flrs —— n2 .Qll)

(r:8:1, n 75 l).

2.2. Der Fall mehrerer Frequenzen

Es wird angenommen, dal3 die Lösung von (2.2) bei bestimmter Anfangsbedingung N2 nicht abklingende Schwingungen

(N eine gerade Zahl) mit den Frequenzen $211 ‚ 912 , . . . (ZN N enthält.

Für diese Frequenzen wird angenommen, daß es keine innere Resonanz gibt, d. h.

N

[52: _k ilqklflkl] 9e 0, (r,s=l,2,...) (2.20)

Dabei sind qkl Konstanten, die von der rechten Seite von (2.1) abhängig sind. In diesem Fall ist die partikuläre Lösung

der Gleichung (2.1) von 2N2 Konstanten abhängig und erscheint in der Form

N

w (x, y, t) =klz_1 zkl akl coscbk, + u U1(x,y,a,)+ „2 U2 (x‚y‚a‚q>) + „3 . . .‚ (2.21)

wobei _

dakl dxl/k'l

=I1Ak1(a)+#2A (a)+u3..., = B a+u2B a+/13...,dt 1 2k1 dt M 1k1( ) 2k1( ) (222).

‘ka = (let + ‘1’“): a=(311, a12v--aNN)‚ ‘I’ =(‘1’11’q’127~--‘1’NN)-

Durch Bestimmung der Ableitung von w nach t gemäß (2.2l), (2.22) und durch Vergleichen der Koeffizienten der glei-

chen Potenzen von p erhalten wir in erster Näherung

L3 + + w2L1[V4U1]+§w2v4U1 :- F1

N2 .

+ k f: 1 [(2 9k1A1k1+ 25ak19k131k1) COS‘I’H + (259k1A1k1- 2 akl 9:131k1)81n‘1’k1] Zkl - (2-23)

Die Funktion U1 muß die Randbedingung

(j=x; j=0,b. k=y;k=0,b)

21

erfüllen. Dabei sind

Fl = F(x,y, 12l Zklaklcosfbkl, g azkl aklcosk1‚...)‚

k,l=1 k,l=l 3x

N a N a 2 N a 3

L1[U1] = (kfilflkIW)Ul, L2[U1]=(k,l>3=19k133fi) U1‚L3[U1]=(k‚lz=19k1m) U1-

Durch Entwicklung U1 und F1 nach den Eigenfunktionen gemäß (2.14), durch Einsetzen der erhaltenen Ergebnisse

in (2.23) und Vergleichen der Koeffizienten von er ergeben sich die Beziehungen:

2 2L3[Ulkl]+l5L2[Ulkl1+ 9k! L1 [Ulkl] + EQkIUlkl = Flkl

2 2 .+ {(2%} Alkl + 258k19k131k1)c°3‘1’k1 + (259k1A1k1 r 25k] 9k131k1)8m‘1’k1] (2-25)

(k,l = 1,2,...N),

L3[U1„] +2L2IU1„] + nstlths] + gafsUm : Flrs [r‚s= (N+1), (N+2)‚...]. (2.26)

Zur Bestimmung von U1 rs werden F1 ‚s und U1 ,5 nach ti) entwickelt:

‘ (I) ’

folgt:

.33

(nil—L2)=0;(k,l=l,2...N).

(2 )

Mit der zusätzlichen Bedingung, daß U1" die Größen cosÖ“ und sin

Die zu bestimmende Funktion U1 und Funktion F1 werden nach den Eigenfunktionen { er (x, y) } in der Form

U1 : _1Ulrs(a"p’®)zrs’ F1 =

[,8 71MB

1 Flrs (a7 ‘p’ 6) er ’

‘a

b c b c 2 (3'7)

Fh.s = ({OfFI erdxdy/ ä {)erdxdy

entwickelt.

Damit erfüllt die Funktion U1 die Randbedingung (3.6). ‘

Durch Einsetzen von (3.7) in (3.5) und durch Vergleichen der Koeffizienten von er ergeben sich die Ausdrücke

2 2

L3[U111] + 3L2[U111] + 911L1lU1111 + 5911 U111 Z F111 +

Hamil/5.1 + 2ganllßl)cow + (2gollA1 — 2.19%l 131mm], (3.8)

2 2

L3[U1rs] + ELZ [Ulrs] + um L1 [Ulrs] + En“ Ulrs z Flrs' (3'9)

(r,s : 1,2,... , r = 535 l).

Die zu bestimmenden Funktionen U1rs und Flrs werden wie oben in der Form

_ . 6+_ ‘ 6+

Ulrs — tänUlisnmü) elm mv’)’ Flrs ‘ n?“ Flriimcl) e101 Imp) ’

2 2 (3.10)71’ 1! .

(21102 of OfFlrs e“‘“®*

m“’)d«pd®‚

Flllrsim (a) =

entwickelt.

Durch Einsetzen von (3.10) in (3.8) und (3.9), Vergleichen der Koeffizienten von cos mp und sin n w , mit der zusätz-

lichen Bedingung, daß U111 die Größen comp und simp nicht enthält, ergibt sich nach einigen Berechnungen:

1'8

rs 1nm(a)

Ulnm(a) = . 2 2(3.11)

[5 +1("‘911 +n7)lm„-(m911 + n7) l

[r‚s=1,2,...;r=s=1‚ qn+p(mil)¢0].

Setzen wir (3.11) in (3.10) und anschließend in (3.7) ein, so erhalten wir den Ausdruck zur Bestimmung von U1

21! 21T b c . .

f f f fFl zrs (“nemwdxdydgade - zrs e‘("9*“‘“”

Ul=zz 000° b (3.12): C

n’m ’s 41I’2IE+i(mfln+n7)][flfs—(mfln+n'y)2]gä Zfsdxdy

[r=s=l‚ qn+p(mi l)¢0].

Die Größen A1 , Bl werden aus den Gleichungen

_ . pa

2 2 “1% 21r21r —'P°(¢"- l2QHA1 + 2Eaflll 31 = — m E 8 6r of F1116 q eosipdvpdG=—2G(a)‚

p (3.13)

2 2 iqg 21r21r 'ipo(¢__e)

2£911A1—2afluBl = — m 3e Wg of Flue ‘1 simpdcpd6=——2H(a)

bestimmt. Daraus folgt

+ G—Q H

Alz_m, Bl=_(_g____21_.1_)2__ (3.14)

n11(9ll +5 ) mum“ +5)

Hiermit ist in erster Näherung die Lösung von (3.3) vollständig bestimmt.

24

3.2. Allgemeine Resonanz

Betrachtet wird die Bewegungsgleichung der Platte in der Form

a3w a2w 2 a 4 2 4 _m +£32— +w w) + Ew V w _ “F(®19®2a"-®h,xay’wa"')1

dabeiist

%’ = W, (v: 1,2,...h).(3'16)

Wir nehmen an, daß für u = 0 und unter den bestimmten Anfangsbedingungen die Gleichung (3.15) N2 nichtabklingen-

de Schwingungen mit den Eigenfrequenzen 911 , $212 , . . . QNN hat, die die Bedingung fehlender innerer Resonanz

(2.20) erfiillen. Außerdem setzen wir voraus, dafs zwischen den Eigenfrequenzen und den Frequenzen der äußeren Kraft

folgende Beziehung

41’ng + qg’; (012 +... + qgllJ wNN + p§’)71 + pg)®2 +.. .pg)®h = 0 (3.17)

(j= 1,2,... p)

(j) (j)gilt. Dabei sind qkl , pl, die bestimmten geraden Konstante, die von der rechten Seite von (3.15) abhängig sind, und

wk] = Q“ — u Ökl, (k,l = 1, 2, . . . N); (3.18)

51d ist der Frequenzunterschied.

Die von 2N2 Konstanten abhängige partikuläre Lösung der Randwertaufgabe (3.15), (1.8) wird dann in der Form

N

“'(xa y, t) = 1‘51 Zkl akl (305‘ka + p U1(x, y, a, CD, ('3) + p2 U2 (x,y‚a,, G) + #3 --- (3.19)

w

gesucht. Hiermit sind

a = (3111 312a---aNN)9 q) :(‘1’11‚‘1’12:---‘I’NN); @:(®1:®27'--@h)9 ‘ka = (77k1+‘1’k1)~ (3-20)

Die Funktionen 77k] erfüllen die Beziehung

dnkl :3.21

dt wk] ’( )

{13"} 1711 + (13’; n12 + (1% Wm + 9(1’)®1 + 9(2’)®2 + . --Pf,’)9h = 0- (322)

Die zu bestimmenden Funktionen U1 , U2, . . . sind periodische Funktionen von und G mit der Periode 2 1T . Die

Größen akl , 111k] werden aus den Gleichungen

d a d ll!

dlil : Mum-1.111) + #2 A2k1(3"1’) + 1‘3"" did : “5H + #Bllehw) + #2sz1(aa¢’)+ 143- - W323)

W :(‘1’11‚11112‚u-‘1’NN)

bestimmt.

Durch Bestimmung der Ableitung von w nach t gemäß (3.19), (3.22), Einsetzen dieser Ableitung in (3.15) und durch

Vergleichen der Koeffizienten gleicher Potenz von p erhalten wir in erster Näherung

L31U1l+EL21U1l+ w2L11V4‘U11 + Ew2V4 U1 = F1

N 2 ‚ .

+ k E 1[(29:1A1k1 + 2531.19“ B1 k1) cosq’kl +(259k1A1k1— 2Qk13lelkl)smq’kl]Zkl (3-23)

L[U]=( 1; n _a—+ gylw L[U]=( gn a +§ya—)2U1l 1. szl klankl V38" 17 2 1 szl k1 ankl V=l Had)” ’

aN

3— U,F :F =F€I>,x, , 2 Z alcos171164,”) 1 1 1 ( ykJ=lklk kl

25

Die Funktion U1 erfiillt die folgenden Randbedingungen:

Lü [U1] = 0, L2j[U1] = 0, L1k[U1]= O, L2k[U1] = 0 (3.24)

(j=x;j=0,b. k=y; k=0,c).

Setzen wir die Ausdrücke von U1 und F1 gemäß (3.7) in (3.23) ein und vergleichen wir die Koeffizienten der Eigen-

funktionen, dann erhalten wir

L3[U1k1]+$L2[U1kI]+ 9:1L1[U1k11+59ilulk1 = Flkl2 ‚

+ [(29k1A1k1 + 253111 91d 311:1)005‘1’kl + (ZEQkIAlkl r 2ak19k131k1)8in‘1’k1] (3'25)

(k,l = 1,2,...N),

2

L3 [U1 rs] + EL2[U2rs] + 9,5 I"l [Uh-s] + in: Ulrs = Flrs (3'26)

[r,s =(N+1), (N+2),...].

Zur Bestimmung der unbekannten Funktionen U1rs werden die bekannten Funktionen F1rs und Uh.s nach q), G in der

Form

F1rs = 2 Frlqu(a) ei(q11cpll+q12q)12+~-+qNNq’NN+P1@1+P2®2+---+Ph@h)

‚q

(3.27)

- 21r 27T .= 2 F” ‘(qq’+P9) F” z _ 1 1(p@+q

b 217 21T ..

ÖrFl Z"s e—1(qd>+p9)dxdydq,d9 Z" el(qq)+p9)

0

U1 = E E b(3.32)

p,q r,s=l 2 _ 2c 2

(21r)N +h[(E+iL1)(flrs— L2) Ofg erdx dy

Fiiins

Hn-zexpüzp ROW) 1 2f" 2;"F < M) - 5 0') ‘ 'cp— ' E ‚n. a, , .—” F1 km J (2W)N2+h 0 lkl exP( lj=lemWSm kid‘pndq’nn-

_ (') ' '

wJ' " q1’1 “’11 + ‘19; l”l2 +---+q§L WNN,

'l’j (1‘111) 4’11 + ‘19; (1’12 + - - - + qflksnn + P991 + P2092 ‘+ - -- Pillen.

Im Fall der allgemeinen Resonanz ist damit die Lösung von (3.19) in erster Näherung bestimmt.

4. Anwendung

4.1. Aufgabenstellung

Als Anwendung der vorangehenden Theorie wird die Schwingung der rechteckigen Platte in Bild l untersucht.

Die Platte liegt auf dem elastischen Fundament mit den zwei Bettungskoeffizienten kl ‚ k2 und unter Wirkung einer

gleichverteilten harmonischen Belastungq Die Platte ist am Rand gelenkig gelagert. In diesem Fall hat die Bewe-

gungsgleichung der Platte die Form

a3_w+ 121+aw24‚2k2+k + 24 k2+k

at3 atz 5?( v W“ 2V W 1W) 5(0) V W“ 2V W 1W)

_ 3W 2 E2 3 4 Ö_ + __ _ _. _ + + _ 4.1(um: at) (0 El at(v W) Sq(t) at(10)] ( )

mit den Randbedingungen

2

w - 0 + V 22—! : O

X=0‚h 8x2 ay2 x=0,b ’

‘ (4.2)

w : 0 , + y : 0 .

y=0‚0 öy2 3x2 y=0,c

Hierbei sind E, 0:2 Konstante gemäß (1.6).

4.2. Lösung

Die Belasan der Platte wird in der Form

‘10) = u qosin7t (4-3)

angenommen.

Die Reaktionsbelastung des Fundaments hat die Form

k aw; bzw 3w 3%= _ 3- _2_ _ 2 _ _. 2 _

In diesem Fall besitzt die rechte Seite der Gleichung (4.1) die Form

k 2

F ={g _‚kl w3__2l +(.a_‘!)2 + 3.{__ kl w3

3x2 aY 3y2 at

k2 a.”erw anazw 2E2a 4 . '- E—K-ü) 5:2- +(a—)—;) g; } —w E—l—a—t(v w) +€qosm7t+qo7cos7t. (4.5)

Aus den Ergebnissen des dritten Abschnitts erhalten w'r in erster Näherung die Lösung der Randwertaufgabe (4.1),

(4.2) fiir den Fall der Gmndresonanz (p = q = l):

= sin 1r 2: sin n y

b c

Die Größen a und W werden dabei aus den Gleichungen

da _27i; — ~hE'ya—Pocostll,

28

a cos(7t + W) . (4.6)

(4.7)dlp _ 2 2 3 2 .

2a7d—t—a(911—7)—Qa +hSlea+ p0 smw

bestimmt. In (4.7) sind

2 22 1r + 1r 2

w E2 ( b2 2 )

c _h=u—————, Po—I‘ ‚ (4-3)

E1 (ail + £2) 172

_ 9 k2 n4 n4

Q-fl-Özl—3k1+’2—(b—4+;4j—)l‚ (4'9)

2 2 2 2

2 - 2L L 2 "_ 1'.(zu — [D(b2 +02) + k2(b2 + c2) + k1]. (4.10)

Wird die rechte Seite von (4.1) gleich Null gesetzt, dann ergibt sich die Gleichung der Resonanzkurve:

2 3 2 2 2 2 _1010,72) : [1106211 —72)—Qa0 +hs2ua0] + 1125272210 —p0 — 0, (4.11)

p2

72=—Qaä+(1+h)nfl: _g_h2g272 . (4.12)

ao

Die Bilder 3, 4 und 5 zeigen die Resonanzkurven für

ail-:13 Q=_1, Pä=074si h2=0309a £22233,

9:1 = 1, Q = +1, pä = 0,45, h2 = 0,09, s2 = 2.3,

ein, Q=0, pä=0,45, h2=0,09, ‚52:2,3.

Zur Untersuchung der Stabilität der erhaltenen stationären Lösungen betrachten wir die Variationagleichungen von

(4.7), sie haben die Form

27 d3: = „11275:. + p0 sind/08 w,

2ao'y 137'” = [(5sz -72) - 30:13 + will“ + p0 coswoa w. (413)

Die charakteristische Gleichung von (4.13) besitzt die Form

472 A2 +1“sz _72) — 0113+ mflllmfl -72) — 3Qaä + h9f11+ 1.2 s2 72 = 0. b (4.14)

Daraus folgt die Stabilitätsbedingung der stationären Lösung:

[(nfl -—72)—Qaä + haflllmfl —72)— 3Qaä + mil] + 1125272 > o. (4.15)

W3 W4 Bids

Aus (4.1 l) sehen wir, daß die Bedingung (4.15) der Bedingung

2af(a0, 7 ) > 0

2 a0 a a0

äquivalent ist.

Die Bedingung (4.16) zeigt, daß nur die ausgezogenen Teile der Resonanzkurven stabil sind.

(4.16)

5. Zusammenfassung und Schlußfolgerung

1. Die Bewegungsgleichung der dünnen rechteckigen Platte mit elastisch-plastischen Materialeigenschaften wird erstellt.

Im Unterschied zur Bewegungsgleichung der Platte mit Material nach dem Hookeschen Modell ist sie hier eine partielle

Differentialgleichung dritter Ordnung in der Zeitvariablen t.

2. Die asymptotischen Iösungen dieser Gleichungen werden aufgebaut. Sie sind nicht nur für zweidimensionale, son-

dern auch für eindimensionale Aufgaben anwendbar.

3. In Abhängigkeit von der Bettungskoeffizienten k1, k2 können die Resonanzkurven von „hartem” oder „weichem”

Typ > 0) sein.

4. Obwohl keine Dämpfung berücksichtigt ist, kann die Amplitude der stationären Lösung nicht bis unendlich zu-

nehmen, d. h. die elastisch-plastischen Materialeigenschaften haben die Wirkung einer Dämpfung. Der Resonanzbereich

wird im Vergleich zum Hookeschen Modell geringfügig verschoben.

LITERATUR

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Anschrift der Verfasser:

Prof. Dr. sc. Nguyen van Dao

Nationales Forschungszentrum der SR Vietnam

Dipl-Ing. Huang van Da

Polytechnische Hochschule Hanoi

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