Maria Goeppert-Mayer

Kernmodelle und die

magischen Zahlen

Nobelpreis 1963

Dr. Frank Morherr Justus-Liebig-Universität Giessen

Inhalt

• Tröpfchenmodell

• Bethe-Weizsäcker-Formel

• Thomas-Fermi-Modell des Atomkerns

• Was sind magische Zahlen?

• Schalenmodell des Atomkerns ohne Spin-Bahn-Kopplung

• Maria Goeppert-Mayer

• Erinnerung: Spin-Bahn-Kopplung

• Schalenmodell des Atomkerns mit Spin-Bahn-Kopplung

• Erklärung der magischen Zahlen

• Fazit: Spin-Bahn-Kopplung im Kern

• Diskussion der empirischen Daten

Kernmodelle • Kerne sind komplexe Vielteilchensysteme von wechselwirkenden

Nukleonen

• eine universelle, alle Kerneigenschaften beschreibende Theorie gibt es

bisher nicht

• Entwicklung phänomenologischer Modelle für bestimmte Eigenschaften

Tröpfchenmodell:

Kern in enger Analogie zu geladenem Flüssigkeitstropfen (quasi-

klassisch), Nukleonen bewegen sich stark korreliert in

inkompressibler Flüssigkeit

Fermigasmodell:

Nukleonen bewegen sich unabhängig voneinander in einem resultierenden

Kernpotential, Potentialtiefe aus der Quantenstatistik eines Fermigases

Schalenmodell:

Nukleonen bewegen sich voll quantenmechanisch (Schrödinger-Gleichung)

Potential mit starkem Spin-Bahn-Term, →magische Zahlen, Spin, Parität

Tröpfchenmodell des Atomkerns • Große Zahl von Nukleonen in schweren Kernen begründen

Vorstellung, dass zusammengesetzter Kern sich ähnlich verhält

wie Flüssigkeitstropfen, in dem Wassermoleküle zwar

zusammengehalten werden, aber doch Bewegungen ausführen.

• Bindungsenergien werden auf die Nukleonenzahl bezogen

• Werte lassen sich als Funktion der Massenzahl darstellen

Tröpfchenmodell des Atomkerns

• Bindungsenergie pro Nukleon erreicht ihren größten Wert um 8

MeV/u im Massenbereich 55-60 u.

• Verhalten stellt Sättigung der Kernkräfte dar. Anziehende Kraft

reicht nicht weiter raus, als zu den nächsten Nachbarnukleonen

• Erstes Modell, dass Sachverhalt beschreibt, stammt von Albrecht

Bethe und Carl Friedrich von Weizsäcker (1935):

Nicht alle Nukleonen im Kern erfahren die gleichen Kräfte, denn die

Teilchen an der Oberfläche haben weniger Nachbarn. Bindung dort ist

gelockerter

abstoßende Wirkung der Coulomb-Kraft zwischen

Protonen lockert Bindung

Asymmetrie in der Zahl der Protonen und Neutronen

mindert die Bindungsenergie, macht sich vor allem bei

schweren Kernen bemerkbar

Paarungskräfte zwischen gleichartigen Nukleonen

können Bindung geringfügig verstärken

Bethe-Weizsäcker-Formel

Bethe-Weizsäcker-Formel Ableitung von ac aus Elektrostatik:

5

2

3/123/22/

),( BA

AZaAZaAaAaAZB

ACSV

Tröpfchenmodell kann die Elementhäufigkeiten und die magischen

Zahlen nicht erklären → Schalenmodell

Übliche Darstellung der Bethe-Weizsäcker-Formel:

Thomas-Fermi-Modell des Atomkerns • Das Tröpfchen-Modell ist empirisch und gewährt kaum Einblicke in die

Struktur des Atomkerns → zum Verständnis der Eigenschaften von Kernen sind

andere physikalische Modelle erforderlich.

• Im Fermigas-Modell heben sich die Kräfte aller umgebenden Nukleonen

praktisch auf, so dass sich die Protonen und Neutronen quasi frei in einer Kugel

mit Radius a/2 bewegen.

• Wegen der Unabhängigkeit beider Teilchenarten (Isospin) setzt man zwei

Potentialtöpfe an, die sich in der Tiefe unterscheiden, weil die Protonen sich

untereinander abstoßen.

• Jeder Topf wird bis zur Fermi-Energie aufgefüllt:

• Die Fermi-Energien hängen nur von

der Dichte der Neutronen bzw.

Protonen im Kern ab

(Herleitung unten)

Thomas-Fermi-Modell des Atomkerns

Fermi-

Verteilung der

Ladungsdichte

Radiale

Ladungs-Verteilung

einiger Atomkerne

Massenformel in erweiterter Form berücksichtigt Dicke der Oberflächenschicht des Kerns

Fermi-Gas-Modell Konsequenzen

• schwere Kerne müssen eine höhere

Zustandsdichte bzw. kleinere Abstände der

Energie-Niveaus besitzen

• der Neutronen-Topf ist tiefer als der

Protonentopf, da Protonen sich gegenseitig

abstoßen → bei gleicher Fermi-Energie ist

• der relative Unterschied (N-Z)/A wird bei

schweren Kernen größer, weil die

zunehmende Coulomb-Abstoßung den Abstand anwachsen lässt

Was sind magische Zahlen? • Magische Zahlen sind in der Kernphysik bestimmte

Neutronen- und Protonenzahlen in Atomkernen, bei

denen im Grundzustand des Kerns eine höhere

Stabilität als bei benachbarten Nukliden beobachtet

wird. →magische Kerne bezeichnet

• Magische Kerne besitzen eine besonders hohe

Separationsenergie für ein einzelnes Nukleon

• magischen Zahlen durch Schalenmodell der

Kernphysik erklärbar. (Analogie: Atomhülle mit ihren

Schalenabschlüssen)

• Inseln der Stabilität bei Ordnungszahlen oberhalb

natürlich vorkommender Elemente vorhergesagt.

Hinweise auf die Schalenstruktur des Kerns

Schalenmodell des Atomkerns ohne

Spin-Bahn-Kopplung

• Kerne mit magischer Protonenzahl Z oder

Neutronenzahl N sind besonders stabil

• In der Umgebung dieser magischen Protonen- oder

Neutronenzahlen gibt es besonders viele

Isotope/Isotone

Beispiele: Es gibt 6 (stabile) Kerne mit N=50 und 7

Kerne mit N=82 Es gibt 10 natürlich vorkommende

Isotope von Sn (Z=50)

• Doppelt magische Kerne (Z und N magisch) sind

außergewöhnlich stabiler als vergleichbare:

Beispiele:

• Jedes Nukleon bewegt sich als freies Spin-1/2 Teilchen in einem

mittleren sphärischen Potentialfeld U(r) , das durch die

Wechselwirkung mit allen anderen Nukleonen erzeugt wird

Schalenmodell - Hypothese

• Die Besetzung der diskreten Quantenzustände (Orbitale) im Schalen-

modell-Potential erfolgt nach den Regeln des PAULI-Prinzips

• Ansatz: Potential U(r) proportional zur Dichte ρ(r) der Nukleonen

Hamiltonoperator des Kerns im Schalenmodell

• Ausgangspunkt: Kern-Hamiltonoperator

• Mittleres Einteilchen-Schalenmodell-Potenzial U:

Schalenmodell-Hamiltonoperator

Restwechselwirkung: klein

• Optimierung des Schalenmodell-Potentials: Hartree-Fock-Verfahren

• Schrödinger-Gleichung

Hartree-Fock

ji

jiji

i0

2

e

2

ii rrV

rεπ4

eZ

m2

pH

irV Bewegung im mittleren

Potential der übrigen

Elektronen

Coulombfeld

des Atomkerns

Wellenfunktion

• Isospin-Symmetrie: Proton und Neutron als Isospin-Dublett

• Pauli-Prinzip:

Wellenfunktion total antisymmetrisch unter Vertauschung zweier

Nukleonen

• Lösungen der Einteilchen-Schrödingergleichung

• Antisymmetrisierte Produktwellenfunktion des Kerns:

(Slater-Determinante)

• Energie

Schrödinger Gleichung in Kugelkoordinaten

Lösung durch den Produktansatz:

Gleichung für die Radialfunktion R(r)

• 3-dimensionaler harmonischer Oszillator

Phänomenologische Kernpotentiale im Schalenmodell

• Energie-Eigenwerte:

• Woods-Saxon-Potential:

(typische Parameter-

Werte)

Entartungsgrad:

• Spektrum der Einteilchen-Orbitale:

• Spektroskopische Notation

Hauptquantenzahl

Bahndrehimpulsquantenzahl

• Rechnungen mit harmonischem

Oszillator-Potential reproduzieren

nur die magischen Zahlen bis 20

• Auch Modellrechnungen mit

Rechteck- und Woods-Saxon-

Potential können die magischen

Zahlen größer 20 nicht

reproduzieren

Problem des Schalenmodells

Verbesserung des Modells: Kopplung von Bahndrehimpuls und Spin

(1949: Maria Goeppert-Mayer, Hans D. Jensen → Nobelpreis für

Physik 1963)

Aufspaltung der Energie-Niveaus entspricht der Feinstruktur-

Aufspaltung für die Elektronenzustände in der Atomhülle, ist aber

erheblich stärker infolge der Kernkräfte

Aufspaltung kann größer werden, als die Energiedifferenz zwischen

zwei Schalen

• Richtige Schalenabschlüsse 1949 unabhängig voneinander Haxel,

Jensen, Suess und andererseits von Maria Goeppert-Mayer gefunden

• Kernkräfte bewirken Spin-Bahn-Wechselwirkung von solcher

Stärke, dass Sie Termfolge entscheidend bestimmt

• Im Gegensatz zur Atomhülle ist bei Kernen die Spin-Bahn-

Kopplungsenergie in der gleichen Größenordnung wie die

Termabstände

Sowohl

Kastenpotential, als

auch harmonischer

Oszillator mit

Parabelpotential als

auch Rechnung mit

Woods-Saxon Potential

liefert falsche Sequenz

Fazit: • Lösungen der Schrödingergleichung ergeben Energieniveaus, die nur

die magischen Zahlen 2, 8, 20 als Schalenabschlüsse erklären

können.

• Bei größerer Zahl von Nukleonen im Kern ergeben sich andere als

die magischen Zahlen.

• Das Oszillatorpotential liefert für alle Niveaus konstante Abstände

• Die richtigen Schalenabschlüsse wurden 1949 unabhängig von Hans

Jensen und Maria Goeppert-Mayer gefunden

• Entscheidender Gedanke:

Analogie zur Atomhülle, in der auf elektromagnetischer

Wechselwirkung beruhende Spin-Bahn-Kopplung des Elektrons

Rolle spielt → Spektrallinienaufspaltung (Feinstruktur)

Einführung einer ebensolchen Spin-Bahn-Kopplung für die starke

Wechselwirkung der Nukleonen

Maria Goeppert-Mayer

1906 Maria Goeppert wird am 28.6. in Kattowitz geboren

1909 Zieht mit ihren Eltern nach Göttingen, Hochburg der

Mathematik und Physik, Nachbar David Hilbert

1921 Maria beendet die Volkschule

1923 Maria legt als Externe an einer Knabenschule in Hannover das

Abitur ab

1924 Schreibt sich an Universität ein, zunächst für Mathematik

1930 Maria heiratet im Frühjahr den Amerikaner Joseph Mayer

1930 Maria schreibt mit Max Born als Doktorvater ihre Dissertation

1930 Maria forscht selbständig auf unterschiedlichen Gebieten weiter

1941 Maria erhält eine halbe Stelle als naturwissenschaftliche

Lehrkraft am College in Bronxville

1943 – 46 Sie wird angeworben, hochspaltbares Uran-235 von dem

stabileren Uran-238 zu trennen (Manhatten-Projekt)

1946 Das Ehepaar Mayer zieht nach Chicago um

1950 Ab April beginnt sie in der theoretischen Physik auf dem Gebiet

der Atomkerne zu forschen

1963 Hans Jensen und Maria Goeppert-Mayer werden für ihre

„Entdeckung der Schalenstruktur des Kerns“ mit dem

Nobelpreis für Physik geehrt, als erste Frau in theoretischer

Physik und als zweite Frau nach Marie Curie überhaupt

1972 Am 20. Februar stirbt sie an den Folgen eines Schlaganfalls

Erinnerung: Spin-Bahn-Kopplung • Klassische Sichtweise: Elektron bewegt sich um Kern, dadurch ändert

sich aus Sicht des Elektronenspins s die relative Position des Kerns

• Bewegte Ladungen erzeugen Magnetfeld, also sieht Spin des

Elektrons inneres Magnetfeld, zu dem es zwei

Ausrichtungsmöglichkeiten gibt

• Klassische und genaue quantenmechanische Betrachtung liefert

• D

• Mögliche Ausrichtungen von zueinander werden bestimmt

aus Regel zur Berechnung der Quantenzahl j aus den Quantenzahlen

Das für die Kopplungsenergie

wichtige Skalarprodukt

berechnet sich zu

• Zur Erinnerung: Spin-Bahn-Potential in der Atomphysik

(Thomas-Präzession)

• Spin-Bahn-Potential in der Kernphysik

• Versuch mit analogem Ansatz

Falsches Vorzeichen und viel zu klein(um ca. Faktor 20)

Schalenmodell des Atomkerns mit Spin-Bahn-Kopplung

Problem: Nukleonen haben eine vergleichbare Größe wie der Kern

selbst. Wie entstehen wohldefinierte Bahnen ohne Nukleon-

Nukleon-Stöße?

• Antwort: Wenn Energie in einem Stoß übertragen wird, müssen die

Nukleonen andere Orbitale (höhere und tiefere) besetzen. Alle nahen

tief liegenden Zustände sind jedoch besetzt. Die Nukleonen im

Grundzustand müssen sich deshalb kollisionsfrei innerhalb des

Kerns bewegen. Spin-Bahn-Wechselwirkung im effektiven Potential

Erwartungswert

Schalenmodell des Atomkerns mit Spin-

Bahn-Kopplung • Wichtige Erweiterung des Schalenmodell-Potentials

• Gesamtdrehimpuls eines Nukleons im Kern:

• Eigenwerte des Spin-Bahn-Operators:

• Spin-Bahn-Aufspaltung der Einteilchenenergien:

• Einteilchen-Wellenfunktion mit Spin-Bahn-Kopplung:

Goeppert-Mayer und Jensen (beide Nobelpreis 1963)

Das Spin-Bahn-Potential im Kern

• Es erweist sich, dass genau wie negativ ist, daher liegen Zustände

für energetisch höher als die mit .

• Anzahl erlaubter Kombinationen von n,l zu festem j ergibt maximale Zahl der

Nukleonen im Zustand .

• Zu jedem Wert von j gibt es wie in der Atomhülle 2j+1 mögliche energieent-

artete Richtungseinstellungen, man erhält die unten angegebenen

Nukleonenzahlen

• Energetische Reihenfolge und Absolutenergien der Niveaus ergeben sich

erst aus umfangreicher Rechnung mit den oben angegebenen

Wellenfunktionen.

Erklärung der magischen Zahlen

• Spin-Bahn-Potential in

der Kernphysik ist

ungewöhnlich hoch

• Erklärung der

empirisch

beobachteten

magischen Zahlen

• Insbesondere:

magische Zahl 28 nur

mit starker Spin-

Bahn-Kopplung

möglich

Erklärung der magischen Zahlen • die Verwendung des Wood-Saxon-

Potentials liefert eine Verschiebung und

Aufspaltung der Terme des Oszillator-

Potentials

• die Berücksichtigung der Spin-Bahn-

Kopplung liefert eine weitere

Aufspaltung und erzeugt Lücken im

Termschema passend zu den magischen

Zahlen.

• die Spins und Bahndrehimpulse der

Nukleonen in einer vollgefüllten Schale

koppeln zu Null. Drehimpuls und

magnetisches Moment des Kerns werden

dann einzig vom Leuchtnukleon (bzw.

vom Nukleon-Loch) bestimmt.

• Auftragen der sich ergebenden Niveaufolge mit Besetzungszahlen

ergibt experimentell gefundene magische Zahlen als Summe aller

Protonen bzw. Neutronenzahlen, die alle Niveaus bis zu

besetzen können, bei dem besonders große Energielücke zum

nächst höheren Niveau auftritt (Energielücken schraffiert)

• Vollständig besetzte Schale

(d.h. Zustand mit Teilchen

vorgegebener Gesamtdreh-

impulsquantenzahl j ) hat

Kernspin=Gesamtdrehimpuls

, da alle 2j+1 Unterzustände mit

besetzt sind

Kerne mit abgeschlossenen Schalen müssen kugelsymmetrisch sein,

den Kernspin I=0 haben und können kein Quadrupolmoment besitzen

→Abweichung bei schwereren Kernen

Hans Suess 1909-1993 Hans Jensen 1907-1973

Maria Goeppert-Mayer Otto Haxel 1909-1998

Fazit: Spin-Bahn-Kopplung im Kern

• Ansatz beinhaltet die Annahme, dass Spin-Bahn-Potential an der

Kernoberfläche dominant ist

• Starke Spin-Bahn-Kopplung (Kopplung des Spins eines Nukleons

mit seinem eigenen Bahndrehimpuls aufgrund des Kernpotentials)

– selektive Verschiebung von Energieniveaus zu höheren oder niedrigeren

Werten

– Lücken im Energieniveauschema, die genau an den Stellen auftreten, die den

magischen Zahlen entsprechen

• Zustände mit höherem Gesamtdrehimpuls j liegen energetisch

niedriger als die mit kleinem Gesamtdrehimpuls, d.h.

– P3/2-Zustände liegen tiefer als die P1/2-Zustände, entgegengesetzt zur

Atomhülle

– Bei Aufbau der Kerne werden diejenigen Zustände mit höherem Drehimpuls

zuerst besetzt

– Magnetische Momente werden jeweils durch ungepaarte Nukleonen bestimmt

Experimente zeigen, das spezielle

Zahlen von Nukleonen

(2, 8, 20, 28, 50, 82, 126 , . . .)

stabiler gebunden sind.

Ein Zentralpotential kann das

nicht erklären.

Ergänzt man ein Spin-Bahn-

Potential, dann liefert dies eine

Erklärung

Das Spin-Bahn-Potential spaltet die j=l+1/2

Konfiguration von der l-1/2 Konfiguration ab

Durch Anpassen der Stärke der

Störung durch die Spin-Bahn-

Kopplung waren Mayer und

Jensen in der Lage, die magischen

Zahlen zu erklären

• Beispiel:

Durch Streuphasenzerlegung für Streuung von Neutronen an

erschließt sich, dass energetisch tiefster Streuzustand Drehimpuls 3/2 und

nächsthöherer Drehimpuls ½ hat

Da 1s-Schale in abgeschlossen ist, muss Neutron an p-Zustand mit

l=1 gestreut werden. Durch Spin-Bahn-Wechselwirkung wird l=1

Zustand in energetisch tieferen mit j=1+1/2=3/2 und einen höheren mit

j=1-1/2=1/2 aufspaltet.

Experiment zeigt,

dass Termfolge genau

umgekehrt wie bei

Feinstrukturaufspaltung

der Atomhülle ist

Nachweise

Verschiedene Werte von N und Z

(Grundzustände von Kernen)

Diskussion der empirischen

Daten für Kerne mit ungeradem

A=N+Z

N oder Z ungerade

zwischen 2 und 8

p-Zustand ist gefüllt

Aufgrund starker Spin-

Bahn Kopplung ist der P3/2

Zustand niedriger

Für N oder Z=3 und 5

Grundzustandsspin und

magnetisches Moment

korrespondieren zu P3/2 , für

N oder Z=7 zu P1/2

(→magische Zahl 8)

N oder Z ungerade =1

- Der uu-Kern des

Deuteriums hat magnetisches

Moment von 0.85761,

unterscheidet sich um 2,5%

vom magnetischen Moment

des Protons und des Neutrons.

Erklärt durch Vermischen

eines d-Zustands mit s-

Zustand (→magische Zahl 2)

Zustände in dieser

Schale sind in der

Reihenfolge d5/2 , s1/2,

d3/2

Z oder N=13 mit 5p

oder 5n oder einem

Loch im d5/2 Zustand

ist, findet man als

möglichen Zustand

nur d5/2

Das positive

Quadrupolmoment

des zeigt, dass

die Schale mehr als

halb gefüllt ist

Bei 15 wird der s1/2-

Zustand für ungerade

Protonenanzahl

gefüllt

N oder Z ungerade

zwischen 8 und 20

N oder Z ungerade

zwischen 8 und 20

N oder Z ungerade

zwischen 20 und 28

Einziger Zustand

dieser Region ist f7/2

N oder Z ungerade

zwischen 28 und 50

bei 28 geht die

Spin-Bahn-Kopplung

entscheidend ein.

Die Zustände füllen

sich in der Reihenfolge

p3/2, f5/2, p1/2, g9/2

N oder Z ungerade

zwischen 28 und 50

N oder Z ungerade

zwischen 50 und 82

Bis jetzt verhielten

sich die Kerne mit

ungeradem Z und

ungeradem N gleich,

dies wird jetzt anders

Neutronen haben wir

Besetzungsreihenfolge

Protonen haben die

Besetzungsreihenfolge

Barium mit N=81,

A=137, dagegen

Thallium mit Z=81,

A=203 und 205

Coulombenergie spielt

entscheidende Rolle

N oder Z ungerade

zwischen 50 und 82

N oder Z ungerade

zwischen 50 und 82

N oder Z ungerade

zwischen 82 und 126

N oder Z ungerade

zwischen 82 und 126

Vergleich der Abweichung der

magnetischen Momente für Kerne mit N

und Z ungerade

“This was wonderful. I liked the mathematics in it… Mathematics began to seem too much like puzzle solving… Physics is puzzle solving, too, but of puzzles created by nature, not by the mind of man… Physics was the challenge.”

Maria Goeppert-Mayer

Literaturverzeichnis

• Maria Goeppert-Mayer, H. Jensen: Elementary Theory of Nuclear

Shell Strukture, Wiley New York 1955

• W. Demtröder: Experimentalphysik 4, Springer 1998

• K. Bethge, G. Walter, B. Wiedemann: Kernphysik, Springer 2008

• T. Mayer-Kuckuk: Kernphysik, Teubner 1994

• gmf-lectures5: Nucleons and Nuclei

• Grace Ross: Mary Goeppert Mayer, Interdisciplinary Symposium