60

math.berkeley.edusethian/2006/Papers/sethian... · 2006-08-07 · 0 132 1 46587:9);=? @BADCFEHGJILK.ANMOI6PRQTSUERIWVXANK.ERIWY[ZD\] MXY3^_ANG`\`Y3Iba.PRQ c EedfY3QgPeG`MXY[Eihij

  • Upload
    others

  • View
    3

  • Download
    0

Embed Size (px)

Citation preview

Page 1: math.berkeley.edusethian/2006/Papers/sethian... · 2006-08-07 · 0 132 1 46587:9);=? @BADCFEHGJILK.ANMOI6PRQTSUERIWVXANK.ERIWY[ZD\] MXY3^_ANG`\`Y3Iba.PRQ c EedfY3QgPeG`MXY[Eihij

������� � ������ ���� � ���������������

������� �"!���� � ����������# �$� % ��'&��(�$�)�* +��� ,-�.�/� � # ���� �

0�132 1 46587:9);=<-> ?

@BADCFEHGJILK.ANMOI6PRQTSUERIWVXANK.ERIWY[ZD\] MXY3^_ANG`\`Y3Iba.PRQc�EedfY3QgPeG`MXY[EihijADG`keADd[Ala_hFc�EHd[Y3QgPeG`MXY[E�mHnpoeqsr

\tAuIWVXY[EeM8vwK�ERIWVyx{z8ADGtkHANdfAla_x|AD}i~

��e���b���D�J������g�L���������F�J�p�L�t�����b�u�i�y�[���L�������u�J���X�i�W�����W�/ +�J���X¡��`�[¢��L�£�L¤�¡6���¥�t¦�W§u�b�¨�{�`�¥�[�W§D©L¢���§ª�{�'«­¬`¬¯®f�¨�`�L§(°����t��±�²L���T¡³���g�L�L§u�b�:�{�t�g�[�L§D©L¢���§´�{�'«¶µW·¯®f��¸�W�e�¥���J¢��`�{�L¤y�u�[�W�u�¹¤W�J���{�L¤y�{�t���b�3���J¢����:�{�-�[�i�y�`�L§T�¥�u�[���X�g�u�J¢��F§u�£º»�b�L�����W�L�b¼½:�t�g�³�������¾�J�X����¢��u�L�À¿u©L���Á�`�Â�ÁÃu�J����§ �W� ���u�`�[���£�¹±:§u�ÅÄÆ�b�[�b�`���£�¹±Ç��¿u©u�J�����W�L��W�������J�Æ�{�`���b�f�È�J¢��8º-�`�����W���L�`�L§*�Â��±ÀÉ��W�-�g�L�Ê©L���X�J�Æ�g�L�8�g�L���W�ÂÉ��¹�+�L�À��¢��`�����[É���`±{©L�����W�L�b�e©u�`�X�{�L§ ��¢��L�bº-���Ê�Ë�W�Ê�tÉÌ�l�b��Ãu�`±���¢¢��W�L���b�Â�=�J�����W��±£���X���H�`�L§��¥�L��g�L���W�[É�J�:¢b©u�Â�`���`�L§³�g©u�f�È�J¢��¾���`�`±{©L�����W�ͧu���`��±��W�l��§��{�ΫŬuÏ�®f¼�½¨�`�g���������8�J�����¢Ð�u�L��¿u©L���Ñ�Â��¿Ì©L�{�[�-�`��J§D�`�L�����`�-º-���g�L�L§u�`±��`¤`É/���-�WÃL�g�J�{��¢��WºT�u©L�g�J���À�L�u�J±�¥ÒÁ¢����b�L¢�É`¼Ç�3�T�g�L�8¢b�J���8�J�H ��J���¨¡��t�[¢Ð�L�{�L¤Tº-���g�L�L§u�b�t�g�L���X±��b�J§u�i���-�g�L�Ñ©L����J���L�b�`�³���W�Â�Ê��¢Ð�L�bº»���»Ãl�W���[�J�i��§Í�È�Â�WºÓ§u����¢b�[�����*�L���[�i�W���Í�J±�¤`�W�[���g�uº-��ÔH�{��g�L�y¢b�J���Ê�J�_±����`��±e�����ʺ-���g�L�L§u�b�u�g�L���8±��b�J§u�Ê���T�g�L�yÕ8�`���Â�=��½Ç�t�L§�¡³���g�L�L§¤`���`�b���{��«{ÏЮf¼�Ö×�*�[���L�������g�L�/�W�L���{ºT�J±i�{ºT�L±��bº-�b�t�g�J�����W�)�J�X�g�L������º-���¥�t¦�W§u�b�N�`�L§§u����¢b©L���Ê�-���b�[�����8�J�p�t�u�L±À��¢b�J���À�L�L�b�D�{�L¢�±{©L§u�{�L¤��g�L�t���8�È�Â�WºØ�������gº-��¢���{º�©L±{�J���À�L�L�b�u¢��Wº-Ãu©L�������W��t�L§/Ù+©L�À§�º-��¢��u�`�L��¢��b�D�Â�WÃu�`���À¢y�u���L��¤W�J�����W���D�t�L§����¢Ð�L�{�L¤�`�L§§u�b�u�t���������W�Í�£�����bº-�Ŧ�¢��W�L§D©L¢����L��ºT�t�W©t���J¢��g©u�[�{�L¤D¼

Ú¥ÛJÜ`Ý`ÝLÞbß3à�á�â/ã�äÁÝLå�ß�àiæJç-à�è`áÊé¨Ý`Ý`ê�ã�á�âÁëTå¯à�è`á�ì�å�à3ã�í�îÇÛJÜtæ`Ý`ß�Þ�ïbß[å�ì�Þ¯ðHà�ètáÑñpòyí�áÊÞ¯ð_ó�ä`á�ß3ïbçô á�î3ágå�ß3í[èTÜ`ä`â`á�ß:í�Þ�ä=à3ßfå¯í�à:õióNö¸é:÷Oø�ù¥ö�úbû�Û`ü�øbøbø�ýbþtÿbå�ä`â-à3è`á��Çå�à3ã�ÞbäWå¯êDÛJí�ã�á�ä`í�á8ü`Þ�Ü`ä`âWå¯à�ã�Þbä���

Page 2: math.berkeley.edusethian/2006/Papers/sethian... · 2006-08-07 · 0 132 1 46587:9);=? @BADCFEHGJILK.ANMOI6PRQTSUERIWVXANK.ERIWY[ZD\] MXY3^_ANG`\`Y3Iba.PRQ c EedfY3QgPeG`MXY[Eihij

������� ��������������� ���� �������� �"!#�%$'& �)( �*���+

, ���.-/�� ����.���102�)��� 3 � &541&76 �)38� &9$'& � � & 0:+%�����<; 3 ��7�)����17=?>@=�3 �*A�B &76 (C�� � 6 0D+ �FE�E�G

H

Page 3: math.berkeley.edusethian/2006/Papers/sethian... · 2006-08-07 · 0 132 1 46587:9);=? @BADCFEHGJILK.ANMOI6PRQTSUERIWVXANK.ERIWY[ZD\] MXY3^_ANG`\`Y3Iba.PRQ c EedfY3QgPeG`MXY[Eihij

I ��� �'�5J �'��� K �D�'�$� ��ML �

N O@PRQ�S�TVU�W�XYQ[Z\T]P

>1�02��B�7� 6 ( ���8^_B & � ( ��A 0?��1A 41& , & = $'& ��B & � ( ��A 0?�� &`6 ���a; 3 �b��)����17='� &76 ( � �*cd3 & 0�����]� �� 6�e ��� ^�; � ��;17^'7�)���8^f���� & �g�h 6D& 0 �ji ( &\k 02(1�� & � ( & , ��� �)3 & 0#�7�/lm��� e ��� ^n���7�j7�)o ��)�b�� k ��3 �Ro & �/���p0g;1 6D& A��� & �102�����10ql`��)(r� � 6 (17� ^ & +�(C��1A�= & �)��;1��=���^7s� 6 �=_� & �)^ & �a7�1At0g; =���)� ��� ^ul`���)(v�8�j02; &76 �w7=_; � � 6D& A�3 � & 0D+x��1Ay 6F6 38���� & = k 7�1A&Dz{6 � & ��� = k<6 ���<; 3 � & �)( & �<���)����.���m��� ������0|�<� , ���8^]3 �CA & � 6 ���a; = &F} 0g; &F& A~=wFl�0D+�� 6 =�3CA���� ^5=w7�)^ & , �� �w7�)�����10`��� , & =�� 6 ���)� & 0���1A.0g(17�);�A��w0 6 �����)���3 ��)� & 0 �

>1�02�/B��� 6 ( �� ^RB & � ( ��A 0D+������)�)��A�3 6D& Aao k�$�& �)( �*��.���������7��+1�;8; �)� } ����7� & �)( &02��=�38�)���������Y#o1��38�1A �� k , �=3 & ;1�� �)�*�=?A���� & � & ���)�*�= & cd317�)����10 , � & lv�7��; � ��;17^'��2s�� ^������ & �2�h 6D& +�l`( �= & = & , & =�0 & �/� & �)(8��A 0D+������)� ��A�3 6D& A�o kr� 0g( & ����1A $'& �)(8�w��n������'���h+��; ; � � } ����� & �)( & 0g��=3 �)����R������a�� ��� �w�= , �=3 & ;1�� �)�*�=�A���� & � & ���)�w7= & cd317�)���� �! �`�)( &56 ��� & + o1���)(~� &76 ( � �wc'3 & 0�� & = k ��� , �*0 6 ��0g�� k 0g��=�3 � �����10������_�x��a�=��)����s � 6 ��o �& c'317�)�����10D+Y3 ;�l`��1A�0 6 ( & � & 0p�����R( k ; & � o%��=�� 6a6 ���C0 & � , 7�)����v=wFl�0:+m7�1Af� ( & � ( & s��� k ��� 6 3 � , & 7�1A�0g3 �2�h 6D&5& , ��=3 �)�����A & , & =��; & Aao k�$'& �)( �*��~������ � � ��i ( &\k (1 , &o &F& �R310 & A#���<_=w�� ^ & , ��)� & � k �����;8; =�� 6 �� �����C0D+��� 6 =�3CA���� ^x; �)��o = & �{0@���#�138�wA9����� & �2s�h 6D& �<���)�����+ 6 ���Ro 3102�)������+�A & �1A��)��)� 6 0g��=�wA���� 6 7�)������+ & � 6 ( �� ^���CArA & ;1�'02��� �����n���0 & �a��s 6 ���1A�3 6 � �����{���3��h 6 � 3 �)�� ^ +'� ��o1��� � 6 �1 , �^'�� ��������1AR;1�� (a; =w7� � �� ^ +�����7^ &0 & ^�� & ���b��)����R���a� & A�� 6 �=�����7^����8^#0 6 ��C0D+ 6 ���a; 3 �b��)����R����0 & �*0g�a� 6 � �� , & =1�)�� & 0D+7�1A~�0g; &76 �b0��7� 6 ���a; 3 �b�� �����C�=�^ & ��� & � � k 7�1A 6 ���a; 3 � & � , �w02����� �

� ��� (.0 & �b0��7��� &76 ( � �*cd3 & 0�� & c'3 ��� & ����A 7; �)� , & � & �)(8��A���=��^ k �)�R��o �b���� 6 ���Rs; 38���� �����1�= &Dz�6 � & � 6:k'� ���]� ( &�6 �0 & ����>1�02�mB�7� 6 ( ���8^q� & �)( ��A80D+'�)( �*0�= & �A 0��)�/�)( &310 & �7��( & 7;�0g���)�x0 6 ( & � & 0[o1��� �)�7l & Aa���)����A��w0 6 � & � & � & �2lm��� e �=^����)��� ( ��0:� �����)( &6 �0 & ����= & , & =80 & �[� & �)( ��A80D+�� ( �w0�= & �A 0��)�/� ( &_� ��)� �7l � ��CA]B & � ( ��A9^�� , & �9����� � � �

i ( & 0 & � ��� & 0�� & , � & lt02��� & � & 6D& ���mlm��� e ����)( & 0 & 7� & �0D+ l`��� (�q��� 6 3C0����~���Rs; = & � & ����7�)����97�1Aa7; ; =�� 6 �� �����10 ��! � , & � , � & l¡��1Aa023 �a��7� k ��� 6 3 �)� & ����lY��� e ���>1�02�5B��� 6 ( �� ^.��1A�= & , & =�0 & �/� & �)(8��A 0|�w0_^�� , & ����nV� & 6D& ��� 6 38�]3 =*�� � , & �����)� ��sA�3 6 �)����n��CA�� & 0g��3 6D& o1�'� e ����= & , & =?0 & �#7�1A�>1�02�#B�7� 6 ( ���8^�B & �)(8��A 0R��� E ����7��A A���� �����1�=�� & 0g��3 � 6D& �*0m�)( & l & o~02��� &

(��)� ;�����¢F��7�)( � o & � e'& = &Dk'��& A�3£¢�¤y0 & �)( �*��£¢\= & , & = 0 & � � (��)�a=�

¥

Page 4: math.berkeley.edusethian/2006/Papers/sethian... · 2006-08-07 · 0 132 1 46587:9);=? @BADCFEHGJILK.ANMOI6PRQTSUERIWVXANK.ERIWY[ZD\] MXY3^_ANG`\`Y3Iba.PRQ c EedfY3QgPeG`MXY[Eihij

¦ O@P�Z:Q[Z\§©¨ª§9P�U «¬T]W�P�U.§#S�­ ®M§©¨7W.¯ °~T9Sm± W�¨\§qQ�ZFT]P�²T9³´°~S�T]PRQªµ¶S�T9·�§#¸9§qQ�Z\T]P

¹�º)» ¼ ½u¾�¿_À�ÁxÂ�Ã8Ä�ÅnÂ�Æ)¿�ÇMÈ�¾[ãÉÊ¿�Æ2Â�Ë Ì2¾�À

����7^���� & 6 =���0 & A 6 3 � , &rÍ ��Î� ( & ; =w7� & ; �)��;1�^���)�� ^v� ���)��7=_�)�����b0 & =��5l`���)(02; &\& AfÏ � > 3 �)� ( & � �a��� & +��0 0g3 � & �)(17�]ϪЬÑ�+�( & � 6D& �)( & ��� �����97=�l` k 0q�a� , & 0Ò ��3 �2l`7��A 0 Ó �_� � & l` k � � 6 (1��b 6 � & �)�Ô & � ( & ;%��0g��)�����~�7���)( �*0 &\} ;17�1A��� ^#���)�������w0� � 6 ���<; 3 � & �)( & 7�)� � , �= � ��� &YÕ/Ö�×�Ø�Ù Ú �7���)( & ��� �������0���� 6 �)��0)0 & 0 & 6 (9;1������ Öh×�Ø�ÙCÚ +�0|02( �7l`�~���.>@�^�3 � & � �

T=0

T=1

T=2

T

X

Y

T=0

T=2

T=1

T=0

T=1

T=2

Initial Curve Γ

>?��^�38� & � � i �b��10������ ���� �������7�Y> �)������B~��� �����V���� � � ��3 �CA �� kaÛ �=�3 &#Ü � ��o = & �

i ( &5& cd3C��)������)(C��xA & 0 6 �)��o & 0`�)(8�w0`�� �)� , 7=�023 �g�h 6D&5ÕqÖh×�Ø�ÙCÚ �*0 & �02��= k A & � � , & A �Ý 02��� ^RÞ'ßhà á â�ã£äFå|æèç7âdá�åYémá ß�ê~å Ö 0 &F& >@�^�3 � & H Ú + l & (C , &

T(x)

X

dx

dT

>@��^�3 � & H � $'& �)38;V����� � ��3 �1A 7� k�Û �=3 & > ��� �]3 =*�� �����

Page 5: math.berkeley.edusethian/2006/Papers/sethian... · 2006-08-07 · 0 132 1 46587:9);=? @BADCFEHGJILK.ANMOI6PRQTSUERIWVXANK.ERIWY[ZD\] MXY3^_ANG`\`Y3Iba.PRQ c EedfY3QgPeG`MXY[Eihij

Þ × æ´Ï Ö Þ Õ_Ú7�1AV( & � 6D&

� æ´Ï Þ ÕÞ ×#ë

���R�]3 =�)��s2A��� & �10g����10:+�� ( & 02;1�� �w7=�A & � � , �� � , & �7�?�)( & 0g��=�3 � �����{0g3 �2�h 6D&xÕ o &76 ��� & 0� ( & ^����A�� & ���\+ ��CAV( & � 6D& l & (1 , &

ì�í Õ ì Ïtæ � Õ ætÑ9��� Í ë Ö � Úi (�310D+m� ( & ��� �����9�a��� �����f�*0 6 (17�� 6 � & � ��Ô & Au�0]� ( & 0g��=3 �)������)�uîo1��3 �1A8�� k

, �=3 & ; � ��o = & ���£���m� ( & 0g; &F& ArϬA & ; & �CA 0_��� = k ���n;1�'02���)�����+?�)( & ���)( &R& c'31�� ������ & A�3 6D& 0m�)�9�)( & �h7�a��=�w7�mï�� e ���17= & cd3C��)���� �

¹�ºð¹ ñ�À�Ì�Ë8ÌgÂ�ÆaÅnÂ�Æ)¿�ÇMÈ�¾[ãÉÊ¿�Æ2Â�Ë Ì2¾�À

����� , & �b0 & = k +70g38; ;1�'0 & l &Y& �]o & A��)( & ���8���)�*�=�;%��0g��)�����9���1� ( & ���)�������0��)( & Ô & � �`= & , & =0 & �9���5~(8��^�( & �RA���� & �10g����î��38� 6 �)�����ò �rón&�6 ����)( & �f�*A & ���)��� k � ( &�& , ��=3 �)�����7�_� ( �w0_��3 � 6 � �����¡òfl`��� (r�)( & ; �)��;1�^��� ���������x�)( & ���)�����#���0 & =���� ( �)��3 ^�(�~�)�� & sA & ; & �1A & ���`��� ��)�*�= , 7=�3 & ; � ��o = & � ��! ���� k � ��� & +'� ( & ���)�����`�w0`^�� , & �ao k �)( & Ô & �)�= & , & =�0 & �`�7���)( & � ��� & s2A & ; & �1A & ����= & , & =�0 & �m��3 � 6 � �����~ò?+ 0 &F& >@��^�3 � & ¥ �

���a���bA & �`� �RA & �)� , & 7� & c'317�)�����a�����)( & �<���)����9�����`� ( �w0m= & , & =10 & �m��3 � 6 � ������ò@+l & � ��� & �)(C��_� ( & 0g� ��; 3 =*�� �����.�)(17�/�)( & Ô & �)�<= & , & =�0 & �x���Y�)( &5& , ��= , �� ^9��3 � 6 � �����ò�7=�l` k 0m���� 6 (<�)( & ; � ��;17^'�� ��� ^<( k ; & ��023 �g�h 6D& � & ��C0[�)(C��

ò Öh×�Ö á Ú�Ø á Ú ætÑ ë Ö H Ú�mk �)( &56 (1�����)3 = & +

ò1ô õ í ò Ö�×�Ö á Ú�Ø á Ú�ö7× ÷�Ö á Ú ætÑ ë Ö ¥ Ú$ �� 6D& Ïv023 ; ; =� & 0��)( & 0g; &F& A#��#� ( & ��3 �2l����A#�8���)�{�=�A��� &76 � ������+�� ( & � × ÷ Ö á Ú�ö ã�æÎÏl`( & � & ã~æ í ò�ø ì�í ò ì 7�1Aa�)( �*0 k � & =*A 0m7� & , ��=3 �)���� & c'31�� �����a������ò@+ �17� & = k +

ò ô õ�Ï ì í ò ì æèÑ Ø Ö � Ú^�� , & � ò Ö�×�Ø á�ætÑ Ú ë Ö � Ú

i ( �*0©�*0©� ( & = & , & =�0 & � & c'31�� �����������)� ��A�3 6D& A�o k�� 02( & �<��1A $�& �)( �*��ù�ú�'�7� � > ���6D& �)��7���r����� ��0#���p�)( & 0g; &F& A¡��3 � 6 �)�����vÏ9+���� & ��o �b����C0]n0g�b��1A 7��Av�_7�a��=�)����û� 6 ��o � & cd317�)���� �

Page 6: math.berkeley.edusethian/2006/Papers/sethian... · 2006-08-07 · 0 132 1 46587:9);=? @BADCFEHGJILK.ANMOI6PRQTSUERIWVXANK.ERIWY[ZD\] MXY3^_ANG`\`Y3Iba.PRQ c EedfY3QgPeG`MXY[Eihij

T=0

T=1

T=2

X

Y

(x,y,t=0)

X

Y

(x,y,t=2)

Y

X

(x,y,t=1)Φ ΦΦ

Φ Φ Φ=0 =0 =0

>@�^�3 � & ¥ � i �b��10������ ���� �������7�Y> �)������B~��� �����V���� �R��� ��� �w�= Û �=�3 &#Ü � ��o = & �

i ( �*0 & c'31�� �����rA & 0 6 � ��o & 0_�)( & �)�� &#& , ��=�38�)�����î�7�`� ( & = & , & =�023 �g�h 6D& ��3 � 6 � �����ò�����0g3 6 (�~l� k �)(C��R�)( & Ô & �)�.= & , & =Y0 & �#�7�_� ( �w0 & , ��= , ��� ^a��3 � 6 �)������w05�=�l� k 0�*A & ���)��� & A]l`��� (��)( & ; � ��;17^'�� ��� ^<����� & �2�h 6D& ��0 &F& >@��^�3 � & ¥ �

i (�310D+ l & l`�*0g(��)�<0g��= , &üDý?þ ÿ þ ����������� ������������ ÿ þ � ý � ��� ý�� �������������� ������������� ÿ7þ � ý

ò%ô õjÏ ì�í ò ì æ Ñ ì�í Õ ì Ïvæ �>C� �����Dæ Í?Ö á Ú æ�� Öh×�ØbÙCÚ ì ò Öh×�Ø�Ù%Ø á Ú æ Ñ! > �)�����:æ Í?Ö á Ú æ"� Öh×�Ø�ÙCÚ ì Õ/Ö�×�Ø�Ù Ú ævá#

! ; ; =� & 0������x�� o ��� ���� k Ï $ & cd3 �� & 0`Ï ÐvÑÖ � Ú

Page 7: math.berkeley.edusethian/2006/Papers/sethian... · 2006-08-07 · 0 132 1 46587:9);=? @BADCFEHGJILK.ANMOI6PRQTSUERIWVXANK.ERIWY[ZD\] MXY3^_ANG`\`Y3Iba.PRQ c EedfY3QgPeG`MXY[Eihij

¹�º&% ¼tÁ('�ÂmÀ�Ë8Â*)mÇ�+j¾-,/.10�Ç�+ Ç32~Ç�Ã�+�4#Ç�5£Ë8Ì&'YÇ�+i ( & � & �� &�6D& � �����9�A , ������^ & 0m�0)02� 6 �w7� & A9l`��� (9�)( & 0 & �2lm�x; & ��0g; &76 �)� , & 0����]; � ��;�s7^'�� ��� ^R����� & �g�h 6:& 0 �6 � ���)(n7� & 3 � 6 (17� ^ & A~���( ��^�( & �xA���� & �10g����10:�%� (1��/�*0D+ �����/023 �g�h 6D& 0_; �)��;1 s

^��� ��� ^R�����)(8� &F& A���� & �C0g�����10m7�1AV(8��^�( & � �6 i ��;1��=���^�� 6 7= 6 (1��8^ & 0����R�)( &�& , ��= , �� ^_���)����� Í �� & (17�1A�= & A©�17�)3 �b�== k'��i ( &;1��0g��� �����Î�7�R�)( & ��� �����~7���)��� & áa�*0{^�� , & � & ���)( & �]o k �)( & Ô & �)�r= & , & =x0 & �ò Ö�×�Ø�Ù1Ø á Ú æ ÑV�7�_� ( &]& , ��= , ���8^V= & , & =�0 & �_��3 � 6 � �����r���5�)( &�6 �����)��38� Õ æ¬á�7�`� ( & o1��3 �1A 7� k , 7=�3 & 02��=3 �)���� �Ri ( �*0q0 & �/� &F& A�� ���qo &<6 ���8� &76 � & A£+�7�1A6 ���o � & e 7�1AV� & �)^ & �0`á`�A , �� 6:& 0 � ���Vo1���)( 6 �0 & 0D+ �)( &_e'&Fk �h 6 �`�*0m�)(17�� ( & o1��3 �CA �� k , �=3 & 0g��=�3 � ����� Õ/Ö�×�Ø�Ù Ú 7�1A9�)( & = & , & =�0 & ����38� 6 �)����Rò]� & ��7���02��� ^�= & s , �=3 & A �6 � ���)(�� & = k ��� , �w0 6 �'02��� k 0g��=�3 � �����10]���5� ( & �0)0g� 6 �w�� & Aj;17�)�)�*�=xA���� & � & ���)�w7=& cd317�)����10����t����A & �~� �j^�3C���7��� &F& �)(17�~� ( & 38� �wc'3 & + & ���)� ��; k sð0)7�)�*0ð� k ��� ^l & e 0g��=3 �)�����l`��==£o & ��o ��7��� & A �6 � ���)( 6 7�qo &Y6 ��� , & � � & A`�����)� 6 ���a; 38���� �����1�=�0 6 ( & � & 0�o k_&\} ; =����)���8^m0 6 ( & � & 0o1���)�)�7l & A���� ���Ê�)( & ��38� & �)� 6 �=�0g��=�3 � �����C0[����( k ; & � o1��=�� 6`6 ���C0 & � , 7�)����R=wFl�0 �6 � ���)(y�� & ���A &�&Dz{6 � & ���a� ( �)��3 ^�(y�)( & 310 & ���<�A �;8�)� , &u6 ���a; 3 �b��)����17=02�)�b�� & ^�� & 0 �

! �q� ( & 0)�� & � ��� & +1�)( & � & �� & 0g�^�� ��� 6 ����5A���� & � & � 6D& 0po & �2l &F& ���)( & �2lm�.�;�s; � �' 6 ( & 0 �6 i ( & �<�'0g�`��o , ����310`A��*0g�)�� 6 � �����<o & �gl &F& ���)( & �2lY� , � & l�0[�*0�� (1��`� ( & ��� ��)�w7=

, 7=�3 & = & , & =�0 & �m�����)�R3 =w7�)�������==��7l�0[������o1��� (~;1�'02���)� , & ��CAV� & ^��� � , & 0g; &F& A��38� 6 �)����10mÏ��d� ( & ��� �����[�{ k �a� , & ����� l`��bA 0m7�1A]o1 6 e l`7��A 0Y�0���� & , ��= , & 0 �i ( & o1��3 �CA �� k , 7=�3 & ; & ��02; & 6 �)� , & �*0�� & 0g� �)� 6 � & A_� �|���)�����b0�� (1���7=�l� k 0��a� , &��î� ( & 0)�� & A���� &76 �)�����+�o &76 7310 & ���/� & cd38��� & 0_~02��� ^�= &<6 �)��0)0g�� ^~� ��� &�Õ 7�& 6 (V^��)�*A{;1�������F+1��CAV( & � 6D& 9;%������� 6 ��8� ����o & � & , �w0g�� & A �6 ! ; ; �)� } ����7�)����~�7�Y�a��� &R6 ���a;8= &F} 02; &F& A~��3 � 6 � �����C0qÏ9+�023 6 (r�0p� ( �'0 & ���s6 =�31A��� ^ 6 3 � , 7�)3 � & +`�� & �a�'02�]�C��)38���== k A���� & �����)( & ��� ��)�w7= , 7=�3 & = & , & =0 & ��; & ��0g; &76 �)� , & + o & 6 �310 & �7�m� ( &#& �0 & �����;8; �)� } ����7�)���8^R0g3 6 (~� & �)��0 � > ���

7

Page 8: math.berkeley.edusethian/2006/Papers/sethian... · 2006-08-07 · 0 132 1 46587:9);=? @BADCFEHGJILK.ANMOI6PRQTSUERIWVXANK.ERIWY[ZD\] MXY3^_ANG`\`Y3Iba.PRQ c EedfY3QgPeG`MXY[Eihij

&\} 7�a; = & +£7�9�� k ;1������/�)( & � ���)��7= , &76 � ���_�*0_^�� , & �����n�)( & = & , & =�0 & �_�����gs�R3 =*��)����Ro k 8ã~æ í ò

ì í ò ì Ø Ö97�Ú7�1Aq� ( &Y6 3 � , 7�)3 � & ��� & 6 (/= & , & =�0 & �?�w0 & �0g�= k ��o �b��� & Ap��� ���´� ( & A�� , & � ^ & � 6:&�7��� ( & 3 � ��`� ��� ���= , &76 �)���Y�)�R�)( & ��� �����F+�� ��&'� +

: æ í ö í òì í ò ì æ

ò�;#;\ò=<>@? H ò�;7ò > ò�; > õ¡ò >A> òB<;Ö ò <; õ¡ò <> ÚDCFE < ë Ö G Ú

6 ��� 6 �����)�b�0g�\+?0g; &F& AV��3 � 6 �)����10qÏÊl`( � 6 (�A & ; & �1A~���î;1�'02��� �����n7�1A%¢\��� , 7� kl`�*A & = k �� & o & 02�#(17�1A�= & A¡� ( �)��3 ^�(�� ( & o1��3 �CA �� k , 7=�3 & ; & �b0g; &76 � � , & �;�s;8�)� } ����� & A|� ( �)��3 ^�(R�)( & 310 & ����>1�02��B��� 6 ( �� ^xB & �)( ��A80 ��i (8�w0��w0@o &76 7310 &� � >%�0g�5B��� 6 (8��� ^<B & �)(8��A 0 & �a; =� k � ���)��� & 02� & ;�+���1A�( & � 6D& 7� & � ���

0g3 oHG &76 �`�)�a�Y> 4n6 ���1A���)����10:+ 3 � =�� e'& = & , & =�0 & �`� & �)( ��A 0 �H ��i ( �)��3 ^�(��)( & 310 & �7�_( & �;è0g��� �R�=^���� ��� ( ��0D+�>1�0g�<B��� 6 ( �� ^�B & � (�s

��A 0 6 7�9o & ���A &m&\} � � & � & = k/6 ���a; 3 �b�� �����C�=�= k/&Dz�6 � & ���F+D�h7� & 6 =��;10g�� ^= & , & =�0 & �`� & � ( ��A 0 �

¹�ºI J`¾YÆb¿�Ë Ì2¾�ÀK+¡Ë8¾ Ë�0�Ç´½u¾�¿_À�ÁxÂ�Ã8Ä ÅnÂ�Æ)¿�Ç´ÂmÀ�Á ñ�À�ÌðË8Ì2Â�Æ#ÅnÂ[Æ)¿�Ç2~Ç�Ã�+�45Ç�5£Ë8ÌD'YÇón&_6 ��ao & 0g=��^�(��)= k ���������)��7= 7�1Aa��� 6 =31A & o1��� (]����� �]38=w�� �����10@3 �1A & �m� ( & ^ & � & �b�=;17�)� �w�=?A���� & � & ��� �w�= & c'31�� ����� L�M ô%õON Ö9P M Ø�×£Ú ætÑ ë Ö E Ú� & � & + P M � & ; � & 0 & ���b0|�)( & ;C��)� �w7=w0|�7� M ��� & 6 ( , �� �w7o = & +1����� &F} ��<; = & + M ; 7�1AM > � > ��� &F} ��<; = & +����R�)( &56 �0 & �7��ï�� e ���17= & c'317�)������+ L æ Ñ�+1��CA]�)( & ��3 � 6 � ����� N� & A�3 6D& 0m�)�QN æ´Ï ì í ò ì �

� � & ���/� ( & �{����¡A�� z{6 3 =�)� & 0p��v02��= , ���8^��)( & �o1� , &~& cd317�)����109�w0#� (1��R�)( &02��=�38�)�����r� &F& A�� ���/o & A���� & � & ��� �w7o = & + & , & ��l`��� (��� o ��� ��7�)��= k 02�a�'��� (ro1��3 �1A8�� kA 7�� �_i ( �*0|� ����s2A���� & � & ���)�*�o �=��� k �w0`�����)����� & = kR6 ��� � & 6 � & A��)�a� ( & �8���)����.�����;�s; � ��; � �w7� & l & e 0g��=3 �)����10:����3 �5^����=m�*0 6 ���10g� �)3 6 �q��3 � & �)� 6 �=?� &76 ( � �*cd3 & 0|l`( � 6 (�17�)3 �b�== k 6F6 ��3 ���q�����9� ( �w0/� ����s2A���� & � & ���)�*�o �=��� k ���r� ( &�6 ���10g� �)3 6 �)�����r���p 6\6 3�s�b�� & 7�1A &Dz{6 � & ���Y7; ; �)� } ����7�)�����0 6 ( & � & 0D+�7�1A��A��a��m; ( k 0g� 6 �=�= ka6 ���)� &76 �Y� ����s02�a�'��� (~02��=3 �)����10 �mi ( �*0m�w0m� ( & ^��'7=@�7���)( & � &F} ��0 &76 � ����� �

G

Page 9: math.berkeley.edusethian/2006/Papers/sethian... · 2006-08-07 · 0 132 1 46587:9);=? @BADCFEHGJILK.ANMOI6PRQTSUERIWVXANK.ERIWY[ZD\] MXY3^_ANG`\`Y3Iba.PRQ c EedfY3QgPeG`MXY[Eihij

R S~Z7P.¸]W�¨F§5SmZDQ�­ T ¯VUR¯q¨\T9·î± ¯qPRQ(W ® Z7²�X`T]²�ZDQ�­ S�T]¨�W/XQ[Z\T]P�²@W�§©P�U Y W�± ¯xS�Z7X�§©¨OZ ·�·�S�TV[�Z�± §qQ�ZFT]P�²

%�º)» È_¿_À�Á_ÂmÉ Ç�À�Ë8Â�Æ]\_^|¿�Â�Ë Ì2¾`À`+vÂmÀ�Ába ¾�À@c�dyÌ&e�Ç�ÃCÇ�À�Ë8Ì2ÂgfxÌgÆ2Ì2Ë�Äón& o & ^�����l`��)(.�� &F} 7�a; = & o1�0 & A����.�)( & 0g��a; = & ï�� e ���1�= & c'31�� �����

ì í M ì æih Öh×�Ø�ÙCÚbØ Ö � Ñ Úl`��)(jh�æ � ��i ( & 02��=�38�)�����]�{ k o & � ����sðA���� & � & ���)�*�o = & + & , & �9l`��� (R0g�a�'���)(R��� ��)�w7=A 7�� �m! 0`7�~�=�=�3C0g�)�b�� ������+ 6 ���10g�*A & �`�)( &#6 �0 & �7�

ì�í M ì æ � ��3 ��02�wA & �)( & 3 �8��� 6 ��� 6 = & M ætÑ9����� ( & 3 � ��� 6 � 6 = & ë Ö ��� Ú

���m�*0[� & �A��= k<6 ( &76 e'& A#�)( & ��38� 6 �)���� M Ö�×�Ø�Ù Ú æ Ö�× < õ Ù < Úlk E < ? � 6 ���)� & 0g;1���1A���� ^9� �� ( & A��w02���� 6D& ��3 � 6 � �����a��� ��� � ( & 3 �8��� 6 �� 6 = & 02��= , & 0m�)( & ^�� , & ��ï�� e ���1�= & cd317�)���� ����1A &\& A£+�02; & 6 ��� k ��� ^<�)(17�#�)( & �)��^�(��2s�(C��1Adsð0g�*A & h Ö�×£Ú æ � ��CA�; � � , �*A���� ^�Ô & �)���0� ( & o1��38�1A �� kn6 ���CA���� �����.���a;8=�� & 0[�)(C��_� ( & 02��=�38�)�������w0�G)310g�x�)( & A��w02���� 6D& � �a�)( &�� ��� �w�= 6 3 � , &~Í?�ji ( & 02��=3 �)����j�*090g( �7l`�è�0R��h7�a��= k ��� 6 ��� 6D& ���)� � 6R6 ��� 6 = & 0q���>@�^�3 � & � � �����w0:+`��� 6 ��3 �b0 & + & �0 k �)� 6 ( &76 e �)(17�V� ( & 0g��=3 �)����v�*0 & , & � k l`( & � &A���� & � & ���)�*�o = &'�

>@�^ � �>?��^�38� & � �nm|�w02��7� 6D& > 3 � 6 � ����� $ ��=�3 � �����V� �aï�� e ���17=?ï[c'317�)����� ì�í M ì æ �

��� 6 �����)�b�02�F+ 6 ���C0g�wA & �_� �7l o1��3 �1A8�� k A 7��a^�� , & �~o k � ( & ;1��b�o1��=* Ù æ × <D+7�1A�0g3 ; ;1��0 & l & � � k �)�#�1�CA]�)( & A��*0g�b�� 6D& ���)��� �� k ;%�������m��a�)( & A�����7����7o1� , &� ( & ;17��7o%��=w]� �a�)( & o1��3 �CA �� k�6 3 � , &'�`� � &96 ���10g� �)3 6 � � , & �;8; �)�� 6 (��w0`�)�R; 3 �x;17�)� � 6 = & 7� & 6 (r;1�������#����� ( & o1��38�1A �� k�6 3 � , & 7�1Aî�a� , &9& 6 (n;17�)�)� 6 = & Fl` k

E

Page 10: math.berkeley.edusethian/2006/Papers/sethian... · 2006-08-07 · 0 132 1 46587:9);=? @BADCFEHGJILK.ANMOI6PRQTSUERIWVXANK.ERIWY[ZD\] MXY3^_ANG`\`Y3Iba.PRQ c EedfY3QgPeG`MXY[Eihij

��� ��� �)( &a6 38� , & ���n�� ��� ���=�A���� &76 �)�����l`��)(n3 � ���502; &\& A �a! �/7� k � ��� &jo +��)( &;1�'02��� �������7���)( & 0 & ;17�)� � 6 = & 0[^�� , & 0`90 & �`�����==�;%��������0`~ÒbA��w02���� 6D& Ó o Fl` k ��� ���� ( & o1��38�1A �� k96 38� , &'��i (8�w0?0g��=3 �)����5�w0�^�� , & �qo k � ( & 02l`�==��7l`��7��=�02( �7l`�9���5>@��^�3 � &���+'��o �b��� & A9o k A���Fl`���8^q� ( & � ���)��7= �)� & 6 (9;1����������R�)( & o1��3 �1A8�� k A8����� 7�1A; � � 6D&F& A���� ^9��3 �_9A��w0g�b�� 6:& M �=��� ^ & 6 (a����� ( & 0 & �8���)�{�=w0 �

ó ( �= & �)( �*0|�w0 6D& � ��7��� = k ];1�'0 0g��o8= & 02��=3 �)�����+£��_A�� & 0|� ��� 6 ��� � & 02;1���1A~� �a�)( &6 =�'0 & 0g��;1��������0������)( & o%��3 �1A 7� k A ��b ��i ( & 7o1� , &x6 ���10g� �)3 6 � �����9o 3 ��=*A 0@� ( & 0 & ���7�;1������b0�l`( � 6 (97� & Ò)=� 6 �== k Ó/_A��w02��7� 6D&Vo ��� ���M� ( & o1��3 �CA �� ka6 38� , &'�?! A���� & � & ���7; ; �)�� 6 (�+£l`( � 6 ( k � & =wA80�� ( & � �)3 & 0 & �_�7� 6 =���0 & 02�|;1������b0D+ 6 ��� & 0[��� ��� �0 e ���8^]������ ( & 0 & �������==@;1������b0m=�� 6 7� & A.©^�� , & �.A��*0g�b�� 6D&po Fl` k'�`� � & l` k � �]o 38��=wAa� ( �w002��=�38�)����� Ö 0g( �7l`�~���~� ( & �)��^�(�� Ú �w0`�)( � ��3 ^�(�R�|3 k ^�( & �10m; �)�� 6 �; = &/6 ���102�)�)3 6 �)������� ( & 0g��=�3 � �����9�*0�A & , & =��; & Aqo k ����^���� �� ^�l` , & ���)�����b0 & ����17�)�� ^_l`��� (93 � ���0g; &F& A��� ��� & 6 (j;1�������a���5�)( & o1��3 �CA �� k A ��b��_�)( &�& � , & =���; & ���5� ( & 0 & l` , & ��� ������07=�l` k 0 6 ���)� & 0g;1���1A 0]� �î� ( & Ò2�1��02�a7�)�)� , �=w0 Ó�+���CAfl`��==��3 � ����7�)� 6 �== k ; �)��A�3 6D&� ( & 02��=�38�)�����j^�� , & �������)( & �)�^�(��9���v>?��^�38� & ��o �ti ( �*0©�*0©� ( & 7; ; � �' 6 (j�b e'& ���v��� � ����� ( & � & +?�� & ���)�)��; kn6 ���1A���)����n�w0q���� �)��A�3 6D& A������#; � ��;17^'�� ��� ^����� & �g�h 6D&���~�)( & oC�0g�*0��7�Y�|3 k ^�( & �10m; � ��� 6 �; = & ��1A��)( & =���a��� ��� ^502��=�38�)�����~l`( � 6 (.A & , & =���;10� ( & �wA & �0m��� 6 3 � , & 7�1A~023 �g�h 6D&/& , ��=3 �)�����3 �1A & � , ��)���310�0g; &F& AV=wFl�0:+ ��� 6 =31A��� ^� ����s 6 ���102��7���x0g; &F& A80|7�1A 6 38� , �� 3 � & sho1�0 & A��a��� ����� �

ón& �8��� & �)(17�]� ( & � & l`�=�=Yo & , & �)�)� 6 �=Y�)�*A�^ & �=��� ^nl`( � 6 (��2lm��;1������b0©���� ( & o1��3 �1A8�� kù6 3 � , & �� & � ( & 0 �� & A��w02��7� 6D&  l� k +_�0V02( �7l`�´���t>?��^�38� & ��o �! =��� ^.�)( �*0_�)�wA�^ & +?�)( & 0g��=�3 � �����u�w0q�8����sðA���� & � & ���)�w7o = & +@7�1Aî� ( & ^��b�A�� & ��� í M �w0� ���_A & �1� & A �

Ü ������b0`~Ò)=�� 6 �=�A��w02���� 6D& Óq���)��� �)( &#� ��3 �1A 7� k m_7�� q|=��o17=�= k ��=���0 & 02� Ü ��������0m� � � ��3 �1A8�� k m_7��>@�^ � �'â >?��^ � �sr

>@��^�3 � & ��� Ü ��0)02��o = &©$ ��=�38�)�����10m�)�<ï�� e ���1�=?ï�c'31�� ����� ì í M ì æ �

� ��� (j�7�_� ( & 7o%� , &.6 ���10g� �)3 6 � �����10 6 ��jo & �)(8��3 ^�(��R���5�0]02��=3 �)����109�)�n�)( &� e ���1�= & c'31�� ����� � �|�7l & , & �\+'�)( & 02��=3 �)������)(17�`l & l�����F+ 6 ��� � & 02;%���1A��� ^]� �9�)( &

� Ñ

Page 11: math.berkeley.edusethian/2006/Papers/sethian... · 2006-08-07 · 0 132 1 46587:9);=? @BADCFEHGJILK.ANMOI6PRQTSUERIWVXANK.ERIWY[ZD\] MXY3^_ANG`\`Y3Iba.PRQ c EedfY3QgPeG`MXY[Eihij

02( ��� � & 02�mA��w0g�b�� 6:& ���_Ò2�1��02�m7�)� � , �=*Ó�+'�w0@� ( & ��� & ��o ��7��� & A#� ( �)��3 ^�(<�)( & �|3 k ^�( & �106 ���10g� �)3 6 �)����� ��! � ���)( & �ql� k �)�~��o ��7���r� ( & 02��=�38�)�����î�*0q� ( �)��3 ^�(r� ( & � ���)����r�7�7� & ���)� ��; k�6 ���CA���� �������1�0_A & �1� & Aa���¡����Ñ�+1� � �h+ l & ���{�^��� & �)( & o1��38�1A �� k�6 38� , &�09~0g��3 � 6:& �����9~; � ��;17^'7�)���8^���7� & +?��CA¡� ( &a&F} ;17�1A����8^V��7� & 0 �� �w0ð� & 0#�)( &� & cd38��� & � & ��� �)(17����� 6:& m;1���������q� ( & A����{����/�*0£��^��8��� & A|o k �)( &�&F} ;1��CA���� ^m��� �����F+��~02�� k 0{o83 �)��� � i ( �w0 6 ���10g� �)3 6 � ����� k � & =*A 0]� ( &î& ��� �)��; k s20 ��)�*0ð� k ��� ^��|3 k ^�( & �106 ���10g� �)3 6 �)������^�� , & �V��.>@��^ � ��o �

! � ���)( & ��l` k � �v��o �b��� � ( �w0 & ��� �)��; k s20 ��)�*0ð� k ��� ^è�|3 k ^�( & �10 6 ���C0g�)� 3 6 � �����6 ��� & 0#���)��� �A A��� ^��0g�a�'���)( �� ^�� & � � �)��� ( &�& c'31�� ����� � �����10g�*A & ���)( & �0ðs02� 6 �w7� & ArÒ , �w0 6 ��3C0)Ó9;1�� �)�w7=�A���� & � & ��� �w�= & c'317�)�����~^�� , & �ao k

ì í M Ö�×£Ú ì æih Ö�×£Ú õut í < M ë Ö �FH Ú��� 6 7�9o & 02( �7l`�]� (1����)( & , �*0 6 ��310@� & �)�vt í < M 6 �b0�� �/0g�<�'���)(R��38�m02(1�� ; 6 ���)� & ��0��~�)( & 0g��=�3 � ������+£7�1A~^�3C���7��� &F& 0|� (1����)( & 0g��=�3 � �����n0g�� k 0|02�a�'��� (~��~�)( &#& ���)�� &A��������/w Ö 0 &F& ��� � +1� E � ��! 0(tm^�� & 0|�)�9Ô & �)�8+ �)( & 0g��=�3 � ����� 6 ��� , & �)^ & 0m�)�R�)( & �1�b0g�7�)�)� , �=�02��=3 �)�����^�� , & �a���.>@�^�3 � & ��o ��óî& �)( & �a(1 , & � ( & =���a��� ��� ^ 6 �0 & 0m^�� , & �a���>@�^�3 � & �#o & =��7l �

$ �a�'���)( & A $ ��=�38�)�������@t[æ ë Ñ�Ñ�� $ l`�==��7l`��7��= $ ��=�3 � ����� $ �a�'���)( & A Û �w0 6 ��310 4 ��a���\�xtYævÑ ë>@�^�3 � & ��� Û �w0 6 ��310m=���a����0Vt-y Ñ#����� ì�í M Öh×£Ú ì æih Ö�×£Ú õut í < M

%�ºð¹ ÅyÌ9+�5�¾-+ Ì�Ë�ÄzJ`¾YÆ)¿`Ë Ì2¾`À`+ξn,Q{ ÂmɶÌ2Æ�Ë ¾`À@c�|`Â*5�¾-fxÌQ\}^|¿�Â�Ë8Ì2¾�À`+i (�310D+���3 ��^��'�=��w0��)�/o 3 �=wA9��3 � & �)� 6 �=�� & � ( ��A 0��)(17�`73 �)������ � 6 7=�= k/&F} �)�b 6 ��� ( �w0, �w0 6 ��310`=���a��� �m�m& ����� & A����� ^<0g� +�l & �8��� & � (1��x�)( & �����)�{�=�l` k ����A & �1� ���8^]� ( �w0

���

Page 12: math.berkeley.edusethian/2006/Papers/sethian... · 2006-08-07 · 0 132 1 46587:9);=? @BADCFEHGJILK.ANMOI6PRQTSUERIWVXANK.ERIWY[ZD\] MXY3^_ANG`\`Y3Iba.PRQ c EedfY3QgPeG`MXY[Eihij

, �w0 6 ��310_=���a��|�*0q�)(8�)��38^�(r� ( & �wA & a��� , �w0 6 �'0g�� k 0g��=�3 � �����10 � ���10g� & �Aî�7�xA & �1�8��� ^� ( & 0g��=�3 � �����j�0q� ( & , �*0 6 ��310q=���a��F+£��� & ���C0g� & �A���17= k Ô & 0/�)( & o & (C , �����#�7�_;1��s� & ��� �w7=£02��=3 �)����10`l`( & ��� & �0g3 � & AR�^'7���102�|;1��0)0g�o = & � & 0g����3 � 6 � �����C0 ��� �)� & � k +�7�1A����=�=��7l`�� ^9�)( & A & �1� ��� �����10m���Y����7�1A �==�7�1A 4 ����10:+?� H Ñ���+~ !� ý?þ ÿ7þ � ýg�M �w0`0)7�wAa�)�Ro & �� þ���� � �Fþwÿ � � ���� ÿ7þ � ý ���M ô1õuN Ö9P M Øb×�Ú ætÑ

���@�������=�=?02�a�'��� (�� & 02�m��3 � 6 � �����C0(�1+� � ��� M ? �©(C�0�©=� 6 �=��� } ��]38�¶���9;1������ Öh×��:Ø á � Ú � ( & ���ô Öh×��:Ø á �)Ú õuN ÖAP � Ö�×��FØ á �)Ú�Øb×���Ú)Ún� Ñ

H � ��� M ? �©(C�0�©=� 6 �=��a�� ���938�¶��x#;1������ Ö�× � Ø á � Ú � ( & �� ô Ö�× � Ø á � Ú õuN Ö9P � Öh× � Ø á � Ú�Ø�× � Ú)Ún� Ñ ëón& o & ^����o k � ��� ��� ^9� (1��m�C��0g�\+ �)( & A & �1� ��)����.A�� & 0m� ����A���� & � & ���)�w7� & M +����8= k �1+7�1A�0 &76 ���1A£+1���`����==��7l�0|� ( & 310231�=?�)� � 6�e ���Y���� & ^��b��)����.o k ;17�)��0:+���CA~;1�0 0 & 0_7=�=� ( & A & �)� , 7�)� , & 0��7����� M 7�1A������ � � �Ri ( �w0_�)38�)�10/��3 �/�)�.o & �� & �0g���C�o = & 7�1A, �=31�o8= & A & �1�8���)����������)( & 02��=3 �)�����+ o &76 7310 & ��� &56 7��02( �7lÎ� ( & ����=�=�7l`��� ^8�6u��� M3���������p������� �������!�����s�u� � �����p ¡�s�p�¢�£���s�¥¤s¦��s§#�s¨��©�Fª��H���D���s�!«¬�����­�u�¢�¡���� ®�����§#�����¢�D¯Q�����°�!�����s��± ���î���)( & �qlY���bA 0D+�7� kn6 =*�0 0g� 6 �=Y0g��=�3 � �����u�)(17�90g�b k 0

02�a�'��� (#�����Y�==�� ��� & 0 ��)�*0ð� & 0�� ( & �2lm�_�� & c'31�=��� � & 0£��9�)( & 7o%� , & A & �1� ��� ����� �

6u��� ��®�����§#�����¢�D¯²�����°�s�D���s�jM����¬³s� ´��­µ#�­�¥�����s¨¶�¢�¬�������s�·�-¸��s���¥��«*�����­�}�¢������������¹@�l������� ¡�s�p�¢�£�D�s�H¤s¦��s§#�s¨����Fª��H���D���s�p�����ºµº��± ���/��� ( & ��lm����A 0:+�l`( & � & �)( & , �w0 6 �'0g�� k02��=3 �)������w0`02�a�'��� (�+ ���`^�� , & 0m� ( & 0)�� & ��102l & ���0�� ( &56 =w�0)02� 6 7=?0g��=3 �)���� �

6¼» ���¬�s¨#�s®��¬®�����§#�����¢�D¯p�����°�!�����s�����¬�¥����ª��½�F«n¾s��®��­���¶¸s¸Bµl�¶¸Bµ­�����9�¡�����¢��������§#�s��³s�¢¿�����s�!��± i (C��`�w0:+ �)( & � & �*0m��� = k ��� & , �w0 6 �'02��� k 02��=3 �)����.0)7�)�w0�� k �� ^9�)( & 7o1� , &A & �1� ��)����� �

�\H

Page 13: math.berkeley.edusethian/2006/Papers/sethian... · 2006-08-07 · 0 132 1 46587:9);=? @BADCFEHGJILK.ANMOI6PRQTSUERIWVXANK.ERIWY[ZD\] MXY3^_ANG`\`Y3Iba.PRQ c EedfY3QgPeG`MXY[Eihij

6¼» ���`�����°�s�D���s�·¸BµF��³s�H§¶�F³p¨�¯p�D��À�����¾Q�����������p�¢�-� � �����`���p�������j�����°�!�����s�!�ÁM�Â`���t ¾s���l�¬�D��Ã��ºµl�Q���Ä�Q®�����§#�����¢��¯²�����°�!�����s�!ÅK¨�¯·�H����ª����­���F�#�#«`�������V�������!�����s�Æ�p���­�¨¶�������¬�s���`¾s��®��­�Æ�s¨#�s®���±i (�310D+'��� & ; � � , & 0 �)(C����)( & , �w0 6 �'0g�� k 02��=3 �)����a�*0@�)( & =���a��� ��� ^_02��=3 �)����<�0��)( &

02�a�'��� ( ��� ^�� & �)� t í < M ^�� & 09�)��Ô & � � +�7�1Ar�)(�3109�3 � ����7�)� 6 �== kn6 ���10g� �)3 6 �b0#�)( &^�=���oC�=�= k Ò 6 =�'0 & 0g��Óx0g��=3 �)����5�)�_� ( & A��*0g�b�� 6D& ��3 � 6 � �����#; � ��o = & � �?! �)� & A|l`��� (#� ( �w0A & �1� ��� ������+£��38�q^��'7=[�*0_�)��A & , & =���;���3 � & �)� 6 �=?7; ; �)� } ����7�)����10`l`( � 6 ( 6 ���)� & 6 �)= k0 & = &76 �q� ( �w0 , �w0 6 ��3C0q=���a��� �~$ ��� 6D& �)( &a& ���)�)��; ku6 ���1A���� �����r�w050g���<��=w7�/�)�~� ( & ��� &�����_( k ; & �)o1��=�� 656 ���C0 & � , 7�)�����=wFl�0:+£���x0g3 ^�^ & 02��0_3102��� ^a� ( & �0 0g� 6 �*�� & A���3 � & �)� 6 �=� & �)( ��A���=���^�� & 0q�)�n02��= , & �)( &�& c'317�)�����10#���x�a���)������+��0]A��w0 6 310)0 & Ar���t��� H � �f� 3 �^��'�=�� �7lÊ�w0_�)�.0g��= , & � ( & ï�� e ���C�= & c'31�� ������l`��)(n�)�^�(��gsh(1��1A's202�wA & Ï9+£3C0g���8^~7�Ò & ��� �)��; k s20 �� �w0ð� k ���8^'Ó9�;8; �)� } ����7�)����� �

%�º&% Ç"4-ÈèÌbÀ�Á J@5=0�Ç�É Ç�+�Â�À�Ába ¿xɶÇ�Ã1ÌA5�Â�Æ]¼i4V4|Ã1¾�É�ÌbÉ Â�Ë Ì2¾`À`+Ê�Ë�ÊÌË�Í Î/Ï�Ð þ�ý��"Ñ���Ò ¥�� ���©Ó ��� � ��� ÿ ����! 0��a��� � , �� �����©�����m�)( & 310 & ���?3 ;�l`���1A<0 6 ( & � & 0������`7; ; � � } ���{��)�� ^/�)( & ^����A�� & �����; & ���� ���\+ 6 ���10g�*A & �`� ( & ��� & sðA��� & �102�����C�=�ï�� e ���17= & cd3C��)�����^�� , & �ao kM <; æih < Öh×£Ú M Ö Ñ Ú ætÑ ë Ö �F¥ Ú� & � & +�� ( & �)��^�(��2s�(C��1Adsð0g�*A & h Ö�×£Ú ÐvÑq�*0�^�� , & ��+'��1AR�)( & ^��'7=£�w0�� � 6 ���10g� �)3 6 � M Ö�×£ÚFl` k ��� ���¬�)( & o1��3 �1A8�� k{6 ���1A����)����R�)(17� M Ö Ñ Ú ævÑ �[ón& �8��� & ���<� & A��*�� & = k �)(17�� ( & 0g��=�3 � ������� � & , & �~� ( �w0�; �)��o = & � �*0|� ���/3 �8�wc'3 & �£���n� Öh×£Ú 02��= , & 0|�)( & ;8�)��o8= & ��+� ( & �v02��A�� & 0 ? � Ö�×£Ú�� � & � 6D& +�l & ��3 �)� ( & �R� & 02�)� � 6 �9��3 ��0 & = , & 0#� �r� ����s�� & ^'7�)� , &02��=�38�)�����10 M �

ón&#6 ��~����^���� & o 3 ��=*A����8^#�)( & 0g��=�3 � �����fÒ ��3 �2l����A80)Óa7=����8^]� ( & ;1�'02��� � , & 7�1A� & ^'�� � , &<× s2 } �*0p���)��� �)( & ���)�^����+�7�1Ar�����h 6 ��0g��= , &]& 6 (î; � ��o = & � 0 & ;17��7� & = k'�Ý 02��� ^5_�1��02�m���bA & ���; ; � � } ����� ������+dl & 02���a;8= k �)� k � �90g��= , & �)( & ���bA����C�� k A���� & �gs& ���)�*�= & cd3C��)����10:� ÔDÕÔ ; æ Ö h Öh×£Ú M Ö Ñ Ú æ Ñ ×]� Ñ

ÔDÕÔ ; æ ? Ö h Ö�×£Ú M Ö Ñ Ú ætÑ ×]� ÑÖ � � Ú

$ �� 6D& �)( & � ��^�(��2s�(17�1Adsð0g�*A & �7���)( �*0m� � A ��&'� �*0���� = k ���3 � 6 �)�������� × + l & 7� &5& 0)0 & ��s� �w�== k ; & �g�����)�a�� ^#��3 � & � � 6 7=1c'31�A��b�� 3 � &'�YÝ 02��� ^9� ( & 0g��7�1A 7��A{�C� ��� & A���� & � & � 6D&

�\¥

Page 14: math.berkeley.edusethian/2006/Papers/sethian... · 2006-08-07 · 0 132 1 46587:9);=? @BADCFEHGJILK.ANMOI6PRQTSUERIWVXANK.ERIWY[ZD\] MXY3^_ANG`\`Y3Iba.PRQ c EedfY3QgPeG`MXY[Eihij

� ���)����r� (1�� M½×`ØÙM Ö ßDÚ ×�Ú +?��1A�h × æÙh Ö ßDÚ ×�Ú +@l &a6 7���;8; �)� } ����7�)���8^ & 6 (r�7�� ( & 0 & �2lm�9;8�)��o8= & ��0�310g�� ^Rï�3 = & ��Û 0m� & �)( ��A�+��17� & = kÕ­ÜÞÝ�ßAàsÕ­Üá ; æ â h × ß�ÐvÑÕ­Ü�àsÕ­Ü£ã�ßá ; æ ? â h × ß�ävÑ

Ö � � Ú

l`( & � & M�å ætÑ ��i ( �*0��w0���R3 ;�l`���1AR0 6 ( & � & ��l & �� &x6 ���a; 3 � ��� ^/A & �)� , 7�)� , & 0�3C0g���8^;1������b0aÒ)3 ;�l`���1A8ÓV���5�)�7l`7��A 0_� ( & o1��3 �1A 7� k�6 ���1A���)����� �R! � ���)( & �/l� k � ��=��'� e7�_�)( �*0|�w0��)(17�ql & 7� & 0g��= , ��� ^ & 6 (.���bA����17� k A���� & � & ��� �w7= & c'317�)�����nFl` k ��� ���� ( & o%��3 �1A 7� k.6 ���1A���� ����� �

Ê�Ë�ÊÌË�æ Î/Ï�Ð þ�ý��"Ñ���Ò ¥�� ���Vç � ��� � þ ý�ènü:ý%ÿ H�¶éF� � �> 3 � �)( & �`�<���)� , ��)����]�����_7; ; � � } ���{��)�� ^#� ( & ^��b�A�� & ����3102��� ^93 ;�l`���CA~A���� & � & � 6:& 06 ��� & 0@���)��� �)( & ��10g� �)3 6 �)� , &�&F} ��a;8= & ������ & , ��= , �� ^ 6 3 � , & l`(8�'0 & ;1�'02��� ����� 6 ��7=�l` k 0qo & A & 0 6 �)�o & Ar�0#� ( & ^���7; (����pV��3 � 6 � ����� � �����102�wA & �9� ( & ��� ��)�*�=����)�����^�� , & ��o k �)( & ^��b�; (�����ê Ö�×£Ú +�l`��� (1ê�7�1Aëê ÷ ; & �)���A�� 6 ���Ê��Ñ Ø � ��+Y��1Av023 ; ;1�'0 &� (1�� Ö � Ú � ( & ���)������; � ��;17^'�� & 0ql`��)(�0g; &F& Aî϶æ � ���.����0�� ��� ���=�A���� &76 � �����.7�1AÖ H Ú � & �����10`]��3 � 6 � �����V�����p�=�=��)��� &'�|41& ��ìto & � ( & ( & ��^�(��������)( & ; �)��;1�^���)�� ^��3 � 6 �)����u��/�)�� & á:+��)(�310�ì Öh×�Ø Ñ Ú æíê Ö�×£Ú��9ón& � ( & � 6 ���C0g�wA & �/�)( & �� ��� �w�= , 7=�3 &; � ��o = & �

ì ô æ Ö � õ�ì <; Ú k E < Ø ì Ö�×�Ø Ñ Ú æuê Ö�×£Ú æïî � ø H ? × ×/� � ø H× ? � ø H × Ð � ø Hñð ë Ö � � Ú

i ( & ���8���)�*�=���� �������w0maÒ Û Óp�����)� & A#o k �� k 0�� &F& � ��� ^x�� Ö � ø H Ø Ñ Ú��Y�mk �)( &�& ���)� ��; k6 ���1A���)��������CA~�|3 k ^�( & �10[;8�)��� 6 ��; = &_6 ���102�)�)3 6 �)�����+��)( & 0g��=�3 � �����~7���� k � ��� & á��w0� ( & 0 & �������==�;%��������0`=�� 6 7� & A.]A��w0g�b�� 6:& á����)��� � ( & ��� ��)�*�=mÒ Û Ó �£� 3 ��^����=?�w0m� �02( �7l � (1��9� ( &�6 ( ��� 6D& �7�_��3 � & �)� 6 �=��; ; � � } ����� �����C0p�����5�)( & Ò ^����A�� & ���5� & � ��ÓÖ � õ�ì-<; Ú k E <m(C�0�0g��� & 0g3 o8�)= & � k��

� � & �; ; � �' 6 (��w0�� �9A�� , �*A & �)( & ����� & � , 7=?��Ñ Ø � �������)� H!ò ? � ;1������b0D+ 7�1A©�����)�� ( &/6D& ���)�b�=�A���� & � & � 6D& 7; ; � � } ���{��)����a� �9�)( & 0g;17�)�w7=?A & � � , �� � , & ì ; ����ï�c'� � � ��+�17� & = k

ì@ô Ø ìgó�ô k× ? ì ó×Ú©á æù� � õt� ì ó× ô k ? ì ó× à kH Ú × � < � k E < æÊ� � õt� P å ;× ì[� < � k E < Ø Ö � 7�Úl`( & � & ��~� ( & =*�0g� &F} ; � & 0)0g����.l & (C , & 310 & A�0g�b��1A8���A~�8����7�)����~�����x�)( &�6D& ���)��7=A���� & � & � 6D&'�

� �

Page 15: math.berkeley.edusethian/2006/Papers/sethian... · 2006-08-07 · 0 132 1 46587:9);=? @BADCFEHGJILK.ANMOI6PRQTSUERIWVXANK.ERIWY[ZD\] MXY3^_ANG`\`Y3Iba.PRQ c EedfY3QgPeG`MXY[Eihij

õ ì Öh×�Ø á�õëÚ©á Úõ ì Öh×�Ø á ÚÏ´æ �

×

ì Öh×�Ú

ö ö ö öö ö

ö ö ö öö ö ÷ øùùúÏ û� ÷ ì�;

>@�^�3 � &�7 � Û 7�)�w7o = & 0�������; � ��;17^'�� ��� ^<^���7; (

$ �� 6D&R×�ü æ � ø H +�o k 0 k �a� & � � k +�ì ü ô k æ¼ì ü à k +��)(�310_�)( & � ��^�(��2s�(17�1Adsð0g�*A &�*0 � � �|�7l & , & �F+'�����x�== ×þýæ � ø H +=ì?ô@�*0 6 ���)� &76 �)= ka6 �= 6 3 =w7� & Aa�)�Ro & â H +10g�� 6D& �)( &^����;8(f�*0#=��� & ��/��� & ���)( & �902�wA & �7���)( &.6 ���)� & �9��CA¡� (�3C0q�)( &~6:& ��� ��7=mA���� & � & � 6D&7; ; �)� } ����7�)����n�w0 &\} 6 � �.� ��� & �)(C��9�)(8�w0q(C�0q�8���)(8��� ^�� �nA��~l`��)(r� ( & 0g�Ô & �7�� ( & 02;1 6D& 02� & ;iÚ × ���<�)( & � ��� & 02� & ;iÚ9á � ÿ ���p�����9�ºµ]����� ���p���¢���g�_����Às����������¥�·�ºµ¶��§#����¸��sµF�s�·�#�A�­µ �#«¡���j�°�s��¾������g�������/�s����³s³ ���¥�p¨¶�ºµ]� � ¸��s���¥���#«V������¶¸s¸BµF��� ���p���D���s�j�D� ì@ô ��� × æ � ø H ¾¥�#���¬���j¨¶�#���9�ºµ ± �����w0Y0g��a; = k A�3 & �)�5�)( & l` k ���l`( � 6 (�� ( & A & �)� , 7�)� , & ì�;#�*0|7; ; �)� } ����7� & A � ����>?��^�38� & G l & 02( �7l � & 0g38=���0m3C0g���8^� ( �w0R0 6 ( & � & +�l`���)(v� ( & � ��� & A & �)� , ��)� , & ì@ô_� & ; =w 6D& Aro k ������)l����AvA���� & � & � 6D&0 6 ( & � &'�

ï } 6 � $ ��=�3 � ����� � & ��� ���=�m���� & � & � 6D& 0@Ú9á[æ ë Ñ�Ñ�� � & ��� ���=�m���� & � & � 6D& 0nÚ©á�æ ë Ñ�Ñ�Ñ��>@��^�3 � & G �`� & ���)�b�=?A���� & � & � 6:& �; ;8�)� } ����� �����a�)�/q����A�� & ���

���/�w0 & �0 k � ��0 &F& l`(C��#(C�0q^���� & l`�)���8^ � �ð�n�)( &a&F} 6 �50g��=�3 � ������+�ì@ô�æ â H� �

Page 16: math.berkeley.edusethian/2006/Papers/sethian... · 2006-08-07 · 0 132 1 46587:9);=? @BADCFEHGJILK.ANMOI6PRQTSUERIWVXANK.ERIWY[ZD\] MXY3^_ANG`\`Y3Iba.PRQ c EedfY3QgPeG`MXY[Eihij

�����R�=�= ×íýæ � ø H �ui ( �w0902( ��3 =*A��=w02��( ��=*A��� × æ � ø H l`( & � & �)( & 02=���; & �*0q� ���A & �1� & A£�1�)( & �|3 k ^�( & �10 6 ���102�)� 3 6 �)����n0 & ��0`ì ô Ö�× æ � ø H Ø á Ú`& cd317=@� �a=��� ;�� k E < ì ô �Ý �������)� 3 �17� & = k +'�)( &x6D& ���)�b�=�A���� & � & � 6D& 7; ; � � } ���{��)���� 6 (8�'�'0 & 0m#A���� & � & ��� Ö 7�1A£+�����@��3 �@;83 �);1�'0 & +�l`� ��� ^ Ú =���a��� ��� ^Y0g��=�3 � ����� � ����0 & �b0�� ( & 3 �1A & �C� & A#02=���; & ì�; & c'31�=� �î� ( & , & ���^ & ���p�)( & = & ���9��CAf�)�^�(��R0g=��; & 0 ��! 0#� ( &.6 �= 6 3 =w7�)����r; � ��^�� & 0 0 & 0:+� ( �w0`�a�w0 6 �= 6 3 =*��)����������)( & 02=���; & ; � ��;17^'7� & 0_��38�gl���bA 0����)��� �)( & 02; � e'& �0�l`��=wA��0 6 �=�=w7�)����10 � ï , & ��� 31�== k +��)( & 0 & �'0 6 ��=�=*�� �����C0 6 �310 & o =��7l`3 ;������)( &�6 ��A &'� > ���A & ����=w0:+ 0 &\& ��� E � �

%�ºI J@5=0�Ç�ɶÇ�+u,:¾[Ã�Å´ÌA+�5�¾n+ Ì�Ë�ÄzJ`¾YÆb¿�Ë Ì2¾�ÀK+������� ����3 ��� ^<l`���)(.�)( &9&\} 7�a; = & �7�`7� & , ��= , ���8^]���� & �g�h 6D& + l & �8��l´��� 6 3C0p�����)( &^����A�� & ����� & � � Ö � õ ì�; < Ú�� �����C0g�wA & �m� �7lv� ( & ����=�=��l`�� ^q�C� ��� & A���� & � & � 6D& �; ;8�)� } s����� �����<�����)�)��A�3 6D& Aa���u���'���ì�; < Ø Ö �� } ÖAP ô ;× ì Ø Ñ Ú < õu�a��� ÖAP à ;× ì Ø Ñ Ú < Ú Ö �FG Úl`( & � & �^�����.l & (1 , & 310 & A�0g�b��1A 7��AV�1�8��� & A���� & � & � 6D& � ������ �����~�)(C��

P à ;× ìfæ ì × ? ì × à k� P ô ;× ìfæ ì × ô k ? ì ×� Ö �FE Ú

l`( & � & ì × �w0m� ( & , �=�3 & �7�*ìj����9^�� �wA���`� ( & ;%�������_ß�Vl`��� (�^��)�*A�0g;1 6 ��� ^� �ï�cd� � �\G �w0/��tÒ)3 ;�l`���CA Ó�0 6 ( & � &<Ö 0 &\& ��� E � Ú ���� 6 ( �'�'0 & 0q^��)�wA�;1������b0p����)( &

7; ; �)� } ����7�)����_��q� & �)�{0%���8�)( & A���� & 6 �)����_�7�1�)( & �1�7ln���1�������� ���� ����� � �ð���)38���)� , & = k +3 ;�l`���CA~� & ��C0�� (1��/���[{l� , & ; � ��^�� & 0)0 & 0|���)����= & ���_�)�a� ��^�(��\+£�)( & ����� & 02( ��3 =*A310 & �A���� & � & � 6D& 0 6 ( & � & l`( � 6 (v� & 6 ( & 0 ��¸�������³ � ���)( & = & ���a���v����A & �V� ��^ & ��������� ���� �����R�)� 6 ���102�)�)3 6 �`�)( & 02��=�38�)����� ³s������������³ �)�9� ( & �)�^�(�� Ö 0 &F& ��� E � Úb� � �?l &6 ���10g�*A & �`��3 �`; �)��;1�^��� ��� ^rÒ Û Ó 6 3 � , & ���)��� �)( &q&\} 7�a; = & �o1� , & + l & 0 &F& � (1���7�� ( & 0 k �a� & � �)� 6 ;1�������F+'� ( & 0 k �a� & � � k �7��� ( & 0 6 ( & � & �w0 6 (17� ^ & A�+�7�1ARp�8����shÔ & � �, �=3 & �w0 6 ( �'0 & � � �ð�5>@�^�3 � & E +7l & 0g( �7lrl`(C��?(1�; ; & �C0���� l & 3C0 & � ( & 0 6 ( & � & ^�� , & ���~ï�c'� � �FG �mi ( &#&F} 6 ����102l & ���w0`02( �7l`��+ �)��^ & � ( & ��l`��� (V�2lY�R0g���R3 =*��)����10 ��i ( &�1�b0g�9310 & 0#�)( &a& ���)�)��; k sð0)�� �w0�� k �� ^n0 6 ( & � & l`��)(����8= k H Ñ�;%��������0 Ö >@��^�3 � & E Ö o Ú Ú +� ( & 0 &76 ���1A Ö >@��^�3 � & E Ö�67Ú)Ú l`���)( � Ñ�Ñ�;%��������0 � �����)( & �1�b0g�<�; ;8�)� } ����� ������+��)( && ���)� ��; k.6 ���1A����)������*0_0)7�)�w0�� & A£+�o 38�_�)( &R6 ���)� & �_�w0x0g��� & l`(1��x0g�<�'���)( & A�A�3 & � �� ( & 0g�{�=�=1��3 �Ro & �[�7��;1��������0m310 & A � �����)( & �<��� & � & �1� & A 6 7= 6 3 =*�� ������+��)( &/6 ��� � & �� & �����10�02(1�� ;�+ 7�1A©� ( &�&F} 6 �Y0g��=�3 � �����<�w0 , & � k�6 =���0 & = k 7; ; �)� } ����7� & A �@i (�310�l &0 &F& �)(17�`�)( �*0|0 6 ( & � & A�� & 0� 6 ���)� &76 ��G)��oV�7�Y0)7�)�*0ð� k ��� ^9� ( &/& ��� �)��; k s 6 ���1A���)���� �

� �

Page 17: math.berkeley.edusethian/2006/Papers/sethian... · 2006-08-07 · 0 132 1 46587:9);=? @BADCFEHGJILK.ANMOI6PRQTSUERIWVXANK.ERIWY[ZD\] MXY3^_ANG`\`Y3Iba.PRQ c EedfY3QgPeG`MXY[Eihij

Ö Ú ï } 6 � $ ��=�38�)����� Ö o Ú`$�6 ( & � & l`��� ( H Ñ Ü ������b0 Öh6�Úm$�6 ( & � & l`��)( � Ñ�Ñ Ü ������b0>@��^�3 � & E � Ý ;�l`���1A�+ & ���)� ��; k sð0)7�)�w0�� k �� ^R�;8; �)� } ����7�)�����10[� �]� ( & q����A�� & ���ó ( �= & , �0g����)�b k ���?���)( & �Y3 ;�l`���1A£+ & ���)�)��; k sð0)�� �w0�� k �� ^90 6 ( & � & 0�7� & , ��=�s

7o = & �)�5�;8; �)� } ����7� & � ( & ^����A�� & ���\+���������3 ��; 3 � ;1�'0 & 0D+�� ( & �o1� , & 7; ; �)� } ����7�)����Ö ��1Aa��� & 02���== , �� �w7�)����� Ú l`��==£o & 0g3 z{6 � & ���\��A & ��7��=*0[���.��� ( & ��0 6 ( & � & 0@�� k o &����3 �1AV��u������+1� E � �

%�º� Ç"4-ÈèÌbÀ�Á��V\�À�Ë�Ã1¾-4mÄ@c J`Â�Ë ÌA+�,�Ä�Ì)ÀV)MÅyÌA+�5�¾-+8ÌðË�Ä J@5=0�Ç�ɶÇ�+Æ,:¾[ÃË�0�Ç ½u¾`¿_À�Á_Â�Ã Ä ÅnÂ�Æ)¿�Ç Â�À�Á ñ�À�Ì�Ë8Ì2Â[ÆMÅnÂ�Æ)¿�Ç È|¾�ãÉM¿�ÆgÂ�cË8Ìg¾`À`+

ón&56 ���310 & � ( & �o1� , & �wA & �0`�o1��38�_3 ;�l`���1A�0 6 ( & � & 0��)� 6 ���10g� �)3 6 ��7; ; � ��; � �w�� &0 6 ( & � & 0������_o1��� (��)( & o%��3 �1A 7� k , 7=�3 & ����� �]3 =*�� �����.7�1A~��� ��)�*�= , �=3 & �����)�R3 =wFs� �������7���)( &/& c'317�)�����10m�����a��� �����R������9; �)��;1�^���)�� ^]��� ����� �

Ê�Ë��=Ë�Í � Ò � ��� ý�� �����u������� ������������ ÿ þ � ý$ &76 7=�=£� (1���l & l`�w0g(.�)�R02��= , &

ì í M Ö�×�Ø�Ù1Ø���Ú ì æ h Ö�×�Ø�Ù1Ø���Ú ë Ö H Ñ Úï } � & �1A��� ^a� ( & 7o%� , & �*A & �0����Y3 ;�l`���1A�7; ; �)� } ����7�)����10`�)�a� ( & ^��b�A�� & ���|� �

�R3 =�� ��sðA���� & �102�����10:+dl & (1 , & �)( & 0 6 ( & � &ì í M ì Ø Ö �{ }1Ö9P à ;×���� M Ø Ñ Ú < õu�a��� ÖAP ô ;×���� Õ`Ø Ñ Ú <

õ.�� }1ÖAP à >×���� M Ø Ñ Ú < õr�<��� Ö9P ô >×���� Õ`Ø Ñ Ú <õ.�� }1ÖAP à��×���� M Ø Ñ Ú < õr�<��� Ö9P ô �×���� Õ`Ø Ñ Ú < Ú k E <æ h ×���� ë Ö H�� Ú

� 7

Page 18: math.berkeley.edusethian/2006/Papers/sethian... · 2006-08-07 · 0 132 1 46587:9);=? @BADCFEHGJILK.ANMOI6PRQTSUERIWVXANK.ERIWY[ZD\] MXY3^_ANG`\`Y3Iba.PRQ c EedfY3QgPeG`MXY[Eihij

i ( & ����� l`7��A���1ARo1 6�e l���bA 0[��; & ���� ���b0 P à > + P ô > + P à�� +���CA P ô � ��]� ( & ��� ( & �6 �'����A���1�� & A���� & 6 �)����10?�� & 0g���<��=w7���)�_� ( & ��� & A & �1� & A & �� =�� & �������[� ( &`× A��� &76 � ����� �

! 02=��^�(��)= k A���� & � & ���`3 ;�l`���1A�0 6 ( & � & +�^�� , & �~���¡�ú� G ��+1l`( � 6 (.l`��=�=?�)38�)�~��3 �_� �o & �a��� &/6 ��� , & �8� & ���F+'�w0m^�� , & �<o k

����� }1ÖAP à ;×���� M Ø ? P ô ;×���� M Ø Ñ Ú <Dõ�{ }1Ö9P à >×���� M Ø ? P ô >×���� M Ø Ñ Ú <Dõ�� }1ÖAP à��×���� M Ø ? P ô �×���� M Ø Ñ Ú <

�!"k E <

æih ×���� Ø Ö H�H Ú

l`( & � & l & 310 & � ( & 0 �� & ����� l`��bAa��CA©o1 6 e l`7��A9��; & �b��)����0 P à 7�1A P ô ��CA·h ×�����*0m�)( & 0g=�7l`� & 0)0`7�|� ( & ^�� �wA�;1�������ß$#&% �Ê�Ë��=Ë�æ � Ò ü:ý@þwÿ7þ ���g�¡����� �������Æ���� ÿ7þ � ý! � & ���)� ��; k sð0)7�)�w0�� k �� ^ , �w0 6 �'02��� k 0 6 ( & � & �����q�� ��� �w7= , �=�3 & �����)�R3 =w7�)�����~l��0q���s� �)��A�3 6:& Af�� �ú�����h+m= & �A����8^��)�r� ( & ��3 � & �)� 6 �=Y� & �)(8��A e � �7l`�v�0©� ( & = & , & =�0 & �� & �)( ��A£+��1�� & = k

ò ó�ô k×���� æèò ó×���� ? Ú©á\�ú�{ }�Ö Ï ×���� Ø Ñ Ú í ô õr�a�� Ö Ï ×���� Ø Ñ Ú í à � Ø Ö H�¥ Úl`( & � &

í ô æÊ���� }1ÖAP à ;×���� Ø Ñ Ú < õr�a�� Ö9P ô ;×���� Ø Ñ Ú < õ�� }1ÖAP à >×���� Ø Ñ Ú < õu�a��� ÖAP ô >×���� Ø Ñ Ú < õ�� }1ÖAP à��×���� Ø Ñ Ú < õu�a��� ÖAP ô �×���� Ø Ñ Ú < � k E < Ö H � Ú

í à æÊ�ð�{ }1Ö9P ô ;×���� Ø Ñ Ú < õr�a�� ÖAP à ;×���� Ø Ñ Ú < õ�{ }1Ö9P ô >×���� Ø Ñ Ú < õr�<��� Ö9P à >×���� Ø Ñ Ú < õ�{ }1Ö9P ô �×���� Ø Ñ Ú < õr�<��� Ö9P à��×���� Ø Ñ Ú < � k E < ë Ö H � Ú

� & � & +�l & (1 , & 3C0 & AR/0g( ���)�gsh(17�1Aa� ���b��)����a��9l`( � 6 ( P ô ; ò ó× �w0�l`�)��)� & �R�0 P ô ;× +& � 6�� �|��^�( & ������A & ��0 6 ( & � & 0£7� & , 7��=*�o = & +�02��� & o1�0 & A/���5�)( & ï �/� ����� �]38=w�� �����10���� �)��A�3 6:& Aa���u� ¥�¥ � � > ����A & ��7��=*0D+ 0 &F& �ú��� + � E �?7�1Ar����Ñ7� �

�\G

Page 19: math.berkeley.edusethian/2006/Papers/sethian... · 2006-08-07 · 0 132 1 46587:9);=? @BADCFEHGJILK.ANMOI6PRQTSUERIWVXANK.ERIWY[ZD\] MXY3^_ANG`\`Y3Iba.PRQ c EedfY3QgPeG`MXY[Eihij

' Z U.§5·~Q[Z�U~Z:Q�­)(i ( & 0 6 ( & � & 0_^�� , & �������9o1��� (��)( & o1��3 �1A 7� k , �=�3 & ��1Ar�� ��� �w�= , �=3 & �����)�R3 =wFs� �����C0`�� &�6 ���<; 3 ��7�)����17=�= k �� &Dz{6 � & ��� � �����)(8�w0`0 & 6 �)�����+ l & �� e'& o%���)(�0 6 ( & � & 0��; �)����=��)( � ��3 ^�(~�)( & 3C0 & ��� , 7�)�w7�)����10`���.�A8�; � � , ��� k ��CA 6 7310)7=���� k'�

Ixº)» J@5=0�Ç�ɶÇ�+jÂmÀ�Á+*O4#Ç�Ã1Â�Ë8Ìg¾`À-,r¾`¿_À�Ë�+.�Ë�Í�Ë�Í � Ò 0/n � H� Ñ ÿQÑ ��Ò H��ï�c'31�� ����� H�¥ �*0#�� &F} ; =�� 6 ���/0 6 ( & � & +?��CAf( & � 6D&�6 7�fo & 0g��= , & AuA���� &76 �)= k'��i ( &� ��� & 0g� & ;a� & c'3 �� & � & ���?A & ; & �1A 0[�����)( & �1�� 3 � & ���?�)( & 02; &\& A©��3 � 6 �)�����VÏ��������`7�Ïv� (1���A & ; & �1A80���� = k ���a;1�'02���)�����+��)( & � ��� & 0g� & ;]o & (C , & 0�=� e'& á ôá ; Ï � � � ���R�)( &6 �0 & l`( & �n�)( & 0g; &F& A���3 � 6 � �����fϬA & ; & �1A 0/��� 6 3 � , 7�)3 � & � & �)��0 Ö ����� &F} ��<; = & +Ï æ ? : Úb� � ( &~& c'317�)�����v(1�0<î;1��b�o1��=� 6�6 ���a;1��� & ���\+`��1Aj( & � 6D& �)( & �)��� &02� & ;a� & c'3 ��� & � & ���@� & 0 & �]o = & 0@� (1��`�7��/� ����sh=��� & 7�`( & �� & c'31�� ���������)( & � ��� & 02� & ;A & ; & �1A 0m�)��3 ^�(8= k ��� á >á ;�1 �i ( �*0m= & , & =�0 & �m�����)�R3 =w7�)����a� & , & �=*0[�2lm� 6:& ��� ��7= & �Ro & A A��� ^'0 �

� � >?����02�F+m��j� ( & �� ��� �w�=��Ô77�)�����0g� & ;�+m� ( & 02��^�� & AjA��*0g�b�� 6D& ��3 � 6 � �����v�w09310 & A� ��o 3 �=wAnV��3 � 6 � �����¡òfl`( � 6 ( 6 ���)� & 0g;1���1A 09�)�~� ( & ���� & �g�h 6D& 7�9�)( & = & , & =0 & �/òfæ Ñ �Ri ( �*0/0g� & ;��w0 e �8��l`�u�0aÒ ��� ��)�w7=��Ô7�� �����CÓ��£l`( & �î; & �2�����)� & A~7�02��� & =w7� & �/;1������5���r� ( &�6 7= 6 38=w�� �����îo &Fk ���1Aîá9æ Ñ�+����/�*0q� & � & �)� & A�� ���0Ò � & û���� ��)�*�=��Ô7�� �����1Ó �xi ( & � &F& AV�����_� & û'���8���)�*�=��Ô77�)����������= & , & =?0 & ��� & � ( ��A 0l��0[�1�b0g��A��*0 6 3C0)0 & A]o k ��( ��; ;����a( �*0mlm��� e �����a���8����7= 023 �g�h 6D& 0D+80 &F& � � ���h+7�1AV(C�0�0g��� 6D& o &F& � & �a;8=�� k'& A9���.A & �b���=�������7� k = & , & =£0 & ��0g��]38=w�� �����10 �

H �p$�&76 ���CA£+m�)( &~6 ���102�)�)3 6 �)����j�7�/�)( & ���8���)�*�= , 7=�3 &�Ü m_ï ^�� , & ����jï�c'� � H�¥� & ��10�� (1��`� ( & , & =�� 6 �� k Ït�*0[� �7ltA & �C� & A©����� ���� � ( & = & , & =10 & ��0:+�� ����G)310g�� ( & Ô & �)�/= & , & =10 & � 6 ��� � & 02;1���1A��� ^9�)�5�)( & ����� & �2�h 6D& ���0 & =�� �@ón&/6 7�ao & �a��� &;8� &76 �*0 & o k � & l`�)��)���8^#�)( & = & , & =�0 & � & c'317�)�����.�0

ò ô õjÏ32 ;�ô ì�í ò ì ætÑ Ö H � Úl`( & � & Ï 2 ;�ô��w0m02��� & , & =� 6 ��� k � & =wA9l`( � 6 (�+���Y�)( & Ô & �)�5= & , & =10 & �\+ & cd3C�=w0��)( &^�� , & �{0g; &F& A�Ï � ������� ( & �`lY����A80D+

Ï 2 ;�ô�æyÏ´����ò~ætÑ Ö H 7�Úi (8�w0m� & l , & =� 6 ��� k � & =wA�Ï 2 ;�ô?�w0 e � �7l`���0�� ( & Ò &F} � & �10g���� , & =�� 6 ��� k Ó �

�\E

Page 20: math.berkeley.edusethian/2006/Papers/sethian... · 2006-08-07 · 0 132 1 46587:9);=? @BADCFEHGJILK.ANMOI6PRQTSUERIWVXANK.ERIWY[ZD\] MXY3^_ANG`\`Y3Iba.PRQ c EedfY3QgPeG`MXY[Eihij

i ( & ���a; =� 6 7�)����10_���p�)( �*0©�*0©� (1��R�)( & = & , & =`0 & �R� & �)(8��A¡;8� & 0 & ��� & Ar���y�ú������ & cd38��� & � (1��.�)( & = & , & =_0 & �a��3 � 6 � �����´ò ó o & 3 ;�A �� & A´7� & , & � k ^��)�*AÎ;1����������� ( &96 ���a; 3 �b�� �����C�=�A�����7����+13102��� ^.a02; &\& AV��3 � 6 � �����î϶� (1��_(C�0|o &F& �nA & �1� & A7� & , & � k ;1�������a�����)( &n6 ���a; 3 �b�� �����C�=xA�����7��� � ���t0g��� & ; � ��o = & ��0D+�0g3 6 (v�06 38� , �� 3 � & �1�7l Ö Ï´æ ? : Ú +'7�a7; ; �)��; �)�*�� & A & �1� ��� �����#�������)( &`&\} � & �10g���� , & =� 6 ��� k�*0|02�)��7��^�(��2�����)l���bA£���)( &R6 38� , �� 3 � & �7�m� ( & = & , & =?0 & �|;C�0)02��� ^�� ( �)��3 ^�(n^�� �wA~;1������Ö ß Ø # Ú �*0q310 & A��0#�)( & 0g; &F& Aî��3 � 6 �)�����7�9�)(17�9;%�������#��r�)( & 3 ;�A 7� &'� �|�7l & , & �F+��a���� k ; �)��o = & �{0 Ö 023 6 (��0`�)( ��0 & ��� , ��= , �� ^_�13 �*A{���� & �g�h 6D& 0Y��1A 6 ���Ro 3102�)����� Ú +� ( & 7; ; �)��; �)�*�� & A & �1� ��)��������Y�)( &#&F} � & �C0g����� , & =� 6 ��� k ���u����� ( & ��� �����|�*0|� ���_02�02�)��7��^�(��2�����)l���bA£�|l`( �= &.6 ���10g�*A & ��7o = & � &\} �o ��=��� k�&F} �w0g�b0D+���� & �]3C0g�#�8��� & � ( & = & 0)06 ���10g� �)3 6 �`�)( &/&F} � & �C0g����� , & =�� 6 �� k ��x�=�=�^�� �wAV;1��������0 �

ón&R6 ����� e'& {� ��3 ^�(î��; & ��7�)����� 6 ��3 ���_���Y� ( & = & , & =?0 & �_� & �)( ��A �/! 0)023 � &4 ^��)�*AV;1������b0|��� & 6 (�0g;1 6D& A��� & �102�������7�`R�)( � &F& sðA���� & �10g����17=£; � ��o = & � �`óî&6 ���10g�*A & ��u0g���<; = & ; � ��o = & � ����0g� ����^�(��g�����)l`7��Av; �)��;1�^��� �����y��������)�����<l`���)(02; &\& AÎÏ æ � �_�0)0g38�a��� ^u�)(17�a���R�� e'& 0©� ��3 ^�( = k54 �)�� & 0g� & ;10©�����]� ( & ���)������ �a; �)��;1�^��� & � ( �)��3 ^�(n�)( & A����{���� Ö ( & � & +1�)( & �Y> 4r6 ���1A���)������w0`�� e'& �n�=�a�'02�& c'317=��)�93 � �� k%Ú +��)(8�w0m; � ��A�3 6D& 0���76 Ö84:9FÚ � & � ( ��A �

.�Ë�Í�Ë�æ � Ò � ��� ý�� �����u�������<;(H� � Ï ��ÿ þ � ��� 6 ����� ���02�F+xï[c'317�)����� H�� �w0<��t���a; =� 6 �� & c'317�)����� �¶� � & 0g��=3 �)�����+x�0a^�� , & ���t�ú� G ��+?�w0#� ( �)��3 ^�(���� & ��7�)���� � �����10g�*A & ���0g� & � 6 ��=��7�x~^��)�*Aî;1���������1Ar���b0#02� }� & ��^�(�o1���b0D+1�0�0g(8��l`�.���.>@�^ � � Ñ �

i,j,k+1

i,j,k-1

i,j-1,k

uu

u

u

ui,j+1,k

u

ui,j,ki-1,j,k i+1,j,k

>?��^�38� & � Ñ�� Ý ;�A 7�)�� ^aQq��)�*A Ü �������

� o10 & � , & � (1����)( & 0 6 ( & � &

����� }1ÖAP à ;×���� M Ø ? P ô ;×���� M Ø Ñ Ú <Dõ�{ }1Ö9P à >×���� M Ø ? P ô >×���� M Ø Ñ Ú <Dõ�� }1ÖAP à��×���� M Ø ? P ô �×���� M Ø Ñ Ú <

!"k E <

æih ×���� ØH Ñ

Page 21: math.berkeley.edusethian/2006/Papers/sethian... · 2006-08-07 · 0 132 1 46587:9);=? @BADCFEHGJILK.ANMOI6PRQTSUERIWVXANK.ERIWY[ZD\] MXY3^_ANG`\`Y3Iba.PRQ c EedfY3QgPeG`MXY[Eihij

�*0q.cd3C�A��b��)� 6©& cd317�)���������� M�×���� +@�0)023 �a���8^V� (1��5�)( & � & �^�(�o1���)�� ^~^��)�*A , �=3 & 0����� M �� & ^�� , & � �9i (�310:+���� & 0g��=3 �)���� 6 ��� & 0����)��� 3 ;�A �� ��� ^�� ( & , 7=�3 & ��� M 7�& 6 (�^��)�wAa;1������� 6F6 ����A��� ^]� �9�)( �*0`cd3C�A��b��)� 6 3 ���)�=�902��=�38�)�����~�*0m� & 6 ( & A£�

> ���`�� & �:æ � +����> ���`�h+ GF+ e æ � + m|���

$ ��= , &>= 31�A���7�)� 6 ����� M ×���� + ^�� , & �M × à k�? � ? � Ø M × ô k�? � ? � Ø M × ? � à k�? � Ø M × ? � ô k�? � Ø M × ? � ? � à k Ø M × ? � ? � ô k Ö H�G Úï��1A > ���

�1A > ���

! �.��; & �b��)���� 6 ��3 ���_����� ( �w0��; ;8�)�' 6 (�+��0 0g3 �a�� ^ 4 ;1��������0���� & 6 (�A��� &76 � ������+7=w0g� k � & =*A 0m7�@6 Ö849FÚ � &76 ( � �*cd3 & +��0)023 �a���8^9�)��38^�( = kA4 02� & ;C0�� � 6 ��� , & �)^ &'�

Ixºð¹ .10�Çía Â�à Ã1¾�È ½uÂmÀ�ÁCB9ÇÌ'YÇ?Æ]J�Ç�Ë5D Ç�Ë�0�¾�Á�����10g�*A & ��7o = &p6 ���a;83 ��7�)�����1�=�02; &\& A�3 ;a��]� ( & = & , & =80 & �Y� & �)(8��A 6 ��� & 0���� ���¬�)( &310 & �7�1�)( & Ò � �� �)�7l � ��1A 41& , & = $�& ��B & �)( ��A Ó�+����� �)��A�3 6D& Aq��<� � � � �ð�?�w0 6 = & 7���)(17�; & �2�����)�<��� ^ 6 7= 6 38=w�� �����10©� , & �9� ( &~& ��� ��� &{6 ���a;83 ��7�)�����1�=�A�����7���j�*0©l��02� & ��3 = ����102� & �A£+1�� &Dz{6 � & �����a��A���� 6 7�)�����a�w0m� �]; & �2����� � lm��� e ��� = k ���9� & ��^�(�o1���)( �'��A�7��� ( & Ô & � �#= & , & =10 & �F� � ( �w0��w0 e � �7l`�.�0m� ( &²ÿ �sµ¶µF���FEK�s��³HGn¸s¸Bµl���s§º� ��i ( & � & �� &� ( � &F& � & �02���10/�)� 6 ( �'��0 & �)( �*0_� & �)(8��A~���`��a; = & � & ��� ���8^]� ( & �� ��� �w7= , �=3 & = & , & =0 & �`; & ��02; & 6 �)� , & �6 >?����02�F+���r�)( �*0 6 �0 & +��)( & ��; & ��7�)����� 6 ��3 ���9���u�)( � &F& A���� & �10g����10/A�� ��;10#� �6 Ö % 4 < Ú +�l`( & � & %q�*0£�)( & ��38�]o & ����� 6D& ==w0%��#� ( & �17�)� ��l�o17�1A£+'�0g�^�� ��� 6 7���

6 �'0g�`� & A�3 6 �)����� �6 $�&76 ���CA£+ 6 ���10g� �)3 6 � �����#��� &F} � & �10g���� , & =�� 6 ��)� & 0£� &F& A/��� = k o & A���� & �)��;1������b0= k �� ^_��9�)( & �17�)� ��l�o1��CA£+��0���; ;1��0 & A]� �5�=�=8;%��������0@��9�)( &x6 ���a; 3 �b��)����17=A�����7��� ��i ( �w0 6 ���^�� & 7�)= k � & A�3 6D& �)( &#6 ���a; 38���� �����1�=�=*�o1��� �6 i (8����A�+�� ( & ��3 =�=�s���7�)� � } 7; ; � �' 6 (#� & c'3 ��� & 0£`�)�� & 02� & ;/� (1���0)7�)�w0�� & 0?|�Y> 46 ���1A���)����9l`��� (]� & ^'7��A9�)�_� ( & �� } ���93 � , & =�� 6 �� k � , & ���)( &`& ��� ��� & A���������+�8����02���a; = k ���5� & 02;1���10 & � �_�)( & 02; &F& A#����� ( & ���)���������0 & =�� � ���9_�17�)�)�7l�o17�1A

H��

Page 22: math.berkeley.edusethian/2006/Papers/sethian... · 2006-08-07 · 0 132 1 46587:9);=? @BADCFEHGJILK.ANMOI6PRQTSUERIWVXANK.ERIWY[ZD\] MXY3^_ANG`\`Y3Iba.PRQ c EedfY3QgPeG`MXY[Eihij

6 6 6 6 6 6 6 6 6 66 6 6 6 6 6 6 6 6 6 66 6 6 6 6 6 6 6 6 6 66 6 6 6 6 6 66 6 6 6 6 6 6 66 6 6 6 6 6 6 6 6 6 66 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 66 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 66 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 66 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 66 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 66 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 66 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 66 6 6 6 6 6 6 6 6 6 66 6 6 6 6 6 66 6 6 6 6 66 6 6 6 6

>@��^�3 � & ��� �-mx�� e ^��)�wAa;1������b0|7� & � & �Ro & ��0?�����17�)� ��lyo1��1A

��a; = & � & �'���� ������+@� ( & � ��� & 0g� & ; 6 7�jo & �A �;8�)� , & = ku6 ( ��0 & ������� & 0g;1���10 &� �~� ( & �� } ��93 � , & =�� 6 �� k � & =*A���� = k l`��� ( ���u�)( & �1�� �)�7l¬o1��1A ��i ( �w0/�w0�A , �����7^ & ��310#l`( & �n�)( & ���)�����502; &\& A 6 (17� ^ & 0/023 o10g�b����)�*�=�= k �0_���/�a� , & 0Ö 0g3 6 (��0��� 6 38� , �� 3 � & �1�7l Ú�� ����0g3 6 (.; �)��o = & �{0D+�� ( & �Y> 4 � & 02�)� � 6 � ������������ ( & , & =� 6 ��� k � & =*Aq����� ���¢� � ( & = & , & =�0 & ��0��� k o & �R3 6 (#�a��� & 0g�)� ��� ^ & �����)(17�� ( & ��� & �����|� ( �'0 & 0 & ��0`l`��� ( ����� ( & �1�� �)�7lÎoC��1A �

i ( �*0�Ò � �� �)�7l � ��CAqB & �)( ��A Ó`l`�0����� �)��A�3 6D& A_���R��( ��; ;{� � ����+7310 & A_���/� &76 � , s& � ��� ^�0g(17; & 0[���)��� ����7^ & 0����B��==w�A���+ $'& � ( �w7�~7�1A Û�& �]38�)��� ¥ 7 �h+���1A���C�= k Ô & A&F} � & �10g� , & = k o kR! A �=*0g� & ���10 0g������1A $'& �)(8�w��<����� � � ��i ( & �wA & /�w0�0g� ��7��^�(��g�����)l����A�+7�1A 6 7��o & o & 0g�`3 �CA & ��02�)�'��A~o k � & 7�10[�7���2lm�#�1^�3 � & 0 �

>@�^�3 � & ��� 0g( �7l�0a�)( & ; =w 6D& � & ���#�7�Rî�C��)� �7l�o17�1AÎ7�)��3 �1Av�)( & �h7�a��=�w���� ��� �w�=?���)����� ��i ( &]& ���)�� & �2lm�7s2A���� & �C0g�����1�=�^��)�*Aî����A ��b~�w0/0g� ��� & Aî���u~0 cd3C�� &7�)�� k'�t! ��� & s2A���� & �C0g�����1�=`��oHG &76 �R�w0#� ( & �j3C0 & A��)� e'&F& ;f� �� 6 e �7�5�)( & ;1������b0��f� ( �w097�)�b kèÖ A 7� e ^��)�wAr;1������b0©���>@�^�3 � & ��� 7� & =�� 6 �� & A¡���~�1�� �)�7l o17�1A7�)��38�1Aî�)( & ��� �����_���xa310 & �gsðA & �1� & A�l`�*A��)( Ú#Ö 0 &F& >?��^�38� & �FH Úb�V� � = k �)( & , �=3 & 0�7�Yòr��x0g3 6 (.;%��������0|l`��)( ��~� ( & � 3 o & �� & 3 ;�A 7� & A �|Û �=3 & 0`���Yòr7�|^��)�*AV;1������b0���V� ( & o1��3 �1A8�� k �7��� ( & �17�)�)�7l´oC��1A��� & ���)��Ô & � ��ó ( & ��� ( & ���)�����`�<� , & 0�� & ��

H�H

Page 23: math.berkeley.edusethian/2006/Papers/sethian... · 2006-08-07 · 0 132 1 46587:9);=? @BADCFEHGJILK.ANMOI6PRQTSUERIWVXANK.ERIWY[ZD\] MXY3^_ANG`\`Y3Iba.PRQ c EedfY3QgPeG`MXY[Eihij

6Q6·6�6·6Q6j6Q6j6Q6 I JLK M:N N M K JJLK M:N N M K JJ K M N N M K JöLO PQù ù P O ööLO PQù ù P O ö66666 66666 6666 6666 6666

666666666666666 6666 6666

6 66666

Q:QRQQ:QRQQRQ:QLQ:QQ:QRQQ:QRQQRQ:QLQ:QQ:QRQQ:QRQQRQ:QLQ:QQ:QRQQ:QRQQRQ:QLQ:QQ:QRQQ:QRQQRQ:QLQ:QQ:QRQQ:QRQQRQ:QLQ:QQ:QRQQ:QRQQRQ:QLQ:QQ:QRQQ:QRQQRQ:QLQ:QQ:QRQQ:QRQQRQ:QLQ:QQ:QRQQ:QRQQRQ:QLQ:QQ:QRQQ:QRQQRQ:QLQ:Q

>@�^�3 � & �FH � Ü ������� & ����)�b k �b�^�0����� & �)����`7�1AVo1��3 �1A 7� k o1��CAV;1������b0

� ( &_& A�^ & ���?� ( & � 3 o & o1��3 �1A 7� k + � ( &/6 7= 6 3 =*�� �����R�w0Y0g� ��; ; & A£+17�1A�q� & lÎ� 3 o & �w0o 38��=��?l`��� (]� ( & Ô & � �_= & , & =�0 & ������� & �2�h 6D& o%��3 �1A 7� k ���� ( &�6D& ��� & � �?i ( �w0�� & o 3 �=wA��� ^; � � 6D& 0 0��*0 e � �7l`�.�09Ò)� & sh��� ��)�w7=��Ô7�� �����CÓ �

i (�310D+ � ( & �1�� �)�7l´o17�1AV� & �)( ��A 6 ���10g�*0g��0m�7���)( & ����=�=��l`�� ^9=��'��;��6 i �^nÒ ! =�� , & Óq;1������b0m�����1�� �)�7l´o17�1A �6 � 38��=wAnÒ 4 ��CA�B~��� & 0 Ó#�)�9��1A�� 6 �� & � & �� & A�^ &'�6 ��� ��)�*�=��Ô & Òb>1�� ! l� k Óa;1��������0/��3 �b0g�*A &�Ö ��10g�*A &�Ú �17�)�)�7l¬o1��CAîl`��� (r=w7�)^ &;1��0g��� � , &9Ö � & ^���)� , &�Ú , �=3 & 0 �6 $ ��= , & = & , & =�0 & � & c'31�� �����.3 ���)��=�=w7�1Aa�a��� & ( �� �6 $ & o 38��=wA�+�=��'��; �

Ý 0 & �7�?�1�� �)�7lvo1��CA 0[= & �A 0�� �#= & , & = 0 & �[��� �����Y�A , �� 6D& � & ����7=�^����)��)( ��0?�)(17�7� &56 ���<; 3 ��7�)����17=�= kR& c'3 � , 7= & ��������� & � ��0���� 6 ���a; = &F} ��� k �)�R�)���A���� �����1�=���7� e'& �� & �)( ��A 0���CA 6D& =�=?� & 6 ( �8�wc'3 & 0D+ l`(8��= & �������b��� ��� ^9� ( & �A , �����7^ & 0_���Y� ��;1��=��^���s6 7=1� & �)^ & �F+� 6F6 38�� 6:k +���1A & �0 kR&F} � & �C0g�����]� �#�R3 =�� ��sðA���� & �102�����10 ��i�k ;8� 6 7=�= k +��)( &02; &\& A~�0)0g� 6 �w�� & AVl`��)(.�)( & �17�)�)�7l o17�1AV� & �)( ��Aa�w0`7o1��3 �_� & �~� ��� & 0��h�02� & �`��� � ��ÑTS � ��Ñq^�� �wA#� (1��R�)( & ��38=�= ��7�)� � } � & � ( ��A ��$ 3 6 (a/02; &\& Adsh3 ;]�*0�0g38o10g�b����)�w7=����]� ( � &F& s2A��� & �102�����1�=102���R3 =w7�)����10:+���� 6 7�]�� e'& �)( & A���� & � & � 6:& o & �2l &\& � 6 ���a; 3�s�b��)����17=�= k ����� & �C0g� , & ; � ��o = & ��0m7�1AV� ( �'0 & � (1�� 6 ���o & A���� & l`��� (~� & =w7�)� , &�& �0 &'�m & ����=w0����<�)( & 6F6 3 �� 6Dk +'� k ; � 6 �=8�)3 o & 02��Ô & 0:+���1A]��3 �Ro & �@�7�?�)�� & 0�/�)3 o & �]3102�o & � & o83 ��=�m�� k o & ����3 �CA{�� ! A �=*0g� & ���10 0g������CA $�& �)( �*��¡� � � �

H�¥

Page 24: math.berkeley.edusethian/2006/Papers/sethian... · 2006-08-07 · 0 132 1 46587:9);=? @BADCFEHGJILK.ANMOI6PRQTSUERIWVXANK.ERIWY[ZD\] MXY3^_ANG`\`Y3Iba.PRQ c EedfY3QgPeG`MXY[Eihij

Ixº&% .10�Ç È�Â*+�ËUD Â�ý5 0�ÌbÀK)VD Ç�Ë�0�¾|Ái ( & o1��3 �1A8�� k , �=3 & �����)�R3 =w7�)���� 6 7��7=w0g�Ro & ���A & �h�0g�F+1���a�h 6 �F+ �R3 6 (]�h�02� & �� (1��5�)( &<� �� �)�7l � ��CA 41& , & = $�& �5B & �)( ��A�+@����l & ��� 6 310/���r� ( & �� & �b�� � , & =��'��;^�� , & �R7o%� , &'��i ( &x6D& ���)��7= �wA & _o & ( ���1A9�)( & >%�0g��B��� 6 ( �� ^/B & � ( ��A£+'�����)� ��A�3 6D& A�����������+7�w0@� �/0 k 0g� & ��7�)� 6 �=�= k/6 ���10g� �)3 6 ���)( & 0g��=3 �)����9��R]Ò�A��7l`��l`���1A8Óx�h�0g( ����9� �; � ��A�3 6D& � ( & 02��=3 �)���� M ��i ( &Ye'&Fk �*0@�)( & ��o10 & � , 7�)�����9�)(17���)( & 3 ;�l`��1A#A���� & � & � 6D&02�)�)3 6 �)3 � & ���pï�cd3C��)���� Ö H�H Ú � & 7�10q� (1��9�������� ���� �����u; �)��;1�^��� & 0�Ò ��� & l` k Ó�+� (1����w0:+C��� ���ª0g��7=�= & � , �=3 & 0m�7� M �)�a=*�� ^ & � , �=�3 & 0 � � & � 6D& +��)( & >1�0g�xB��� 6 (8��� ^7=�^����)��)( �Ê� & 02��0@���îÒb0g��= , �� ^'Ó/ï�c'31�� ����� Ö H�H Ú o k o83 ��=*A���� ^x�)( & 02��=�38�)�����9��3 �2l����A80��� ��� � ( & 0g��7=�= & 0g� M�, �=�3 &'�

���#�h 6 �\+��)(8�w0@�*0@o & ( ���CA#��3 ��c'31�A���7�)3 � & , � & lu����3 ;�l`���1A��� ^/A & 0 6 � ��o & A & ��)=� & �\�l &96 7�n0g� & ;��)( & 0g��=3 �)�������3 �2l`��bA 0|���)��� � ( & o1��3 �CA �� kn6 ���1A����)��������aA��7l`��sl`��1A�A���� &76 �)���� ��i ( & 7=�^����)��)( � �*0m7^'���~���A & �h�0g�`o k�6 �����1� �� ^9�)( & Ò)o 38��=wA���� ^ÔF��� & Ó~� �n~�1�� �)�7l oC��1A���)��3 �1Ar�)( & ��� ����� �ni ( & �wA & ~�w0/�)�n0gl &F& ;r� ( & ���)�����7( & �An����7�r3 ;�l`���1A��h�0g( ����ro ku6 ���102�wA & �)���8^~.0 & �5����;1������b0q��r�1�� �)�7l¶o17�1A7�)��38�1A�� ( &#&\} �*0g�)�� ^9���)�����F+���1A~� �a���� 6 (�� ( �w0|�C��)� �7l oC��1A~����� l`��bA£+%��� &F& ÔF�� ^� ( & , 7=�3 & 0#��� &F} �*0g� ��� ^�;1������b09��1A�o �)�� ^��� ^�� & l¬��� & 0©���� �~� ( & �1�� �)�7l o17�1A02�)�)3 6 �)3 � &'��i ( &qe'&\k �w0����a� ( & 0 & = &76 �)�����]�7� ������§º� ^�� �wA];1������`��]� ( & �17�)� ��lto17�1A� �]3 ;�A 7� & + l`(8� 6 (Vl & � �7l A��*0 6 3C0)0 �

�����C0g�wA & �`/�glY��sðA���� & �10g����17= , & ��0g����R���?� ( & ï�� e ���17= & cd317�)�����+'���Rl`( � 6 (R�)( &o1��38�1A �� k , �=3 & �w0 e �8��l`�{��`�)( & ��� ��^������� ( �w0��w0Y0g( �7l`�.0 6 ( & ��7�)� 6 �== k ���<>@��^�3 � &�\¥ �ni ( & o =w 6 e 02; ( & � & �� M�å ? å 0g�^�� ��� & 05~^��)�*Aî;1������9l`( & � & � ( & , �=3 & ��� M �w0e � �7l`� Ö ���u�)( �*0 6 �0 & +��)( & ��� ��)�w7= , 7=�3 &�Ú +���CA¡� ( & =��^�(��#^�� &Fk 0g; ( & � & 05�� & ^��)�wA;1������b0ml`( & � & � ( & 0g��=�3 � ����� , �=�3 & �*0m3 � e � �7l`� �

>@��^�3 � & �\¥ � �m& ^��� � �� ^9���Y>1�0g��B��� 6 (8��� ^RB & � ( ��A

ón& �� k 02���� �#� ( & �=^����)��� ( � o k ��7� 6 ( ���8^fÒbA��7l`��l`��1A Óa���)��� �)( &ae �8��l`�, �=3 & + 6 ���<; 3 �)�� ^9� & l , 7=�3 & 0|7� & 6 (~�7���)( & ����38�_� & �^�(�o%���)�� ^]^��)�*A~;%��������0:�£�002( �7l`�r���u>@��^�3 � & � � ��i ( �*0q; � � , �*A & 0|;1�'0 0g�o = & , 7=�3 & 0|����� M �� & 6 (î^��)�wA�;1������M à k�? å Ø M k�? å Ø M å ? à k Ø M å ? k +17�1A~7� & 0g( �7l`���0�A �� e ^�� &Fk 0g;8( & � & 0����>@��^�3 � & � � �

H �

Page 25: math.berkeley.edusethian/2006/Papers/sethian... · 2006-08-07 · 0 132 1 46587:9);=? @BADCFEHGJILK.ANMOI6PRQTSUERIWVXANK.ERIWY[ZD\] MXY3^_ANG`\`Y3Iba.PRQ c EedfY3QgPeG`MXY[Eihij

� �7l/+@l & lY��3 =*A�=� e'& � �~��7� 6 (nA��7l`��l`��1A���� ��� �)( & 0 & , 7=�3 & 0q^�� , & �n��5�)( &A 7� e ^�� &Fk 02; ( & � & 0D+1o 3 �`l & A�����Û�� e � �7l´l`( � 6 (���� & �)� 6 ( �'�'0 &'�`i ( & ��102l & ��=�� & 0��V� ( & ��o10 & � , 7�)�����~� (1����)( & ���p�����¢�l�­�nM�®����°���p���n�����l���¬³s�sµlÀ�¾ µº�­¯��A¸����ºµº�l�¬�p���­�¨¶�_§#�sµ­µº�F§¶� �mo &76 7310 & ���/38;�l`��1A����8^ +m� �n;1������ 6 ���o &  � &76 � & A�o k ^�� �wAr;1������b06 �����b��� ��� ^�=*�� ^ & � , �=3 & 0#�7� M ��i (�310:+[l & �� k ��� &F& Ô & �)( & , �=3 & ��� M 7�]� ( �w002���== & 02�#A8�� e ^�� &\k 02; ( & � & k +���1Ar; � � 6D&F& A�7( & �Arl`��)(��)( & �=�^���� ���)(8���[� ( �w0/�w002( �7l`��0 6 ( & �{��)� 6 �== k ���.>@��^�3 � & � � �

i ( �*0#�=^����)��� ( � lm��� e 0/o &76 �3C0 & �)( & ; � � 6D& 0)0#�7��� &76 ���a; 38�)���8^V� ( &<Õ , �=3 & 07�q38;�l`��1A�� & ��^�(�o1��� ��� ^�;1������b0 6 7� � ��� k � & =wA� , �=�3 & 02���== & ���)(17���� k �����)( & 6F6D& ; � & A#;1������b0 ��i (�310D+'l &�6 ��R���� 6 (5�)( & 0g��=�3 � �����R��38�gl���bA 0D+��=l` k 0[0 & = & 6 �)�� ^� ( & �17�)�)�7lto1��CA{^��)�*A];1�������`l`��� (a�a�� ���93 � � �)�w7= , �=3 & ����� Õ + ��CA]� & �A�G)3102�)���8^� & ��^�(�o1���b0D+ Ö 0 &F& >@��^�3 � & � � Ú��

"FAR AWAY VALUES"

DOWNWIND SIDE

ACCEPTED VALUES

UPWIND SIDE

NARROW BAND OF TRIAL VALUES

>?��^�38� & � � � Ý ;�l`��1A 6 ���C0g�)� 3 6 � �������7� !_6F6D& ; � & A Û 7=�3 & 0

W à�èWå¯àOã�îgÿJà�Ütß�ä-ã�àOãÀäJà3ÞÑåFæ`ê{å�íYXyî3Ý`è`á�ß3á�å�ätâ�í�Þbä`î3ãÀâtá�ß:ã�à�î[Zbå¯ê�Ü`á\XJä`Þ�]Oä��H �

Page 26: math.berkeley.edusethian/2006/Papers/sethian... · 2006-08-07 · 0 132 1 46587:9);=? @BADCFEHGJILK.ANMOI6PRQTSUERIWVXANK.ERIWY[ZD\] MXY3^_ANG`\`Y3Iba.PRQ c EedfY3QgPeG`MXY[Eihij

A

BC

D

Ý ;�A �� & Ò�A���l`��l`���CA Ó �����<; 3 � &5�|& l Ü ��0)02��o = &_Û �=�3 & 0

A

BC

DA

BC

D

��( �'�'0 & 0g��7=�= & 0g�YA 7� e ^��b k 0g; ( & � &RÖ ����� &F} ��<; = & +�Ò ! Ó Ú > � &F& Ô & , �=3 & �� ! +�38;£A8�� & � & �^�(�o%���)�� ^aA���l`��l`���CA{;1��������0

A

BC

DA

BC

D

��( �'�'0 & 02���== & 02�`A 7� e ^��� k 0g; ( & � &RÖ ����� &F} 7�a; = & +�Ò#m_Ó Ú > � &\& Ô & , �=3 & ��Ám#+ 3 ;�A 7� & � & ��^�(�o1��� ��� ^RA���l`��l`���CAV;1������b0>@��^�3 � & � ��� Ý ;�A �� &#Ü � � 6D& A�3 � & ������>%�0g�xB��� 6 ( �� ^9B & �)( ��A

H �

Page 27: math.berkeley.edusethian/2006/Papers/sethian... · 2006-08-07 · 0 132 1 46587:9);=? @BADCFEHGJILK.ANMOI6PRQTSUERIWVXANK.ERIWY[ZD\] MXY3^_ANG`\`Y3Iba.PRQ c EedfY3QgPeG`MXY[Eihij

! � ���)( & �_l` k �)�a=�'� e ��_� ( �w0|�*0�� (1�� & 6 (.�a���8���93 �¬�)� �w�= , �=3 & o & ^����10_7�7; ; =�� 6 �� �����f�7�5�|3 k ^�( & ��Û 0#;8�)��� 6 ��; = & +�7�1Af� ( &~&\} ;17�1A��� ^�l` , & ���)�����9� ��3 6 ( & 07�1AV3 ;�A 7� & 0��==���� ( & ��0 � > �����a��� & A & �b���=*0D+80 &F& ������+1��� + � E � �

i (�310D+?�)( & >1�0g�5B��� 6 ( �� ^.B & �)(8��Aî�w05�0p����=�=��l�0:�#>?����02�F+?���^.;1��������0/���n�)( &�� ��� �w�= 6 ���1A����)����10��0_^a`�ßD� å ��i ( & �a�b�^9�0 o `cb7à�å`7=�=1;1������b0[��� & ^��)�wA9;1������� l� k'�>@��1�== k +'�b�^<�0_Ï/â�ç#�==���� ( & �`^�� �wAa;1������b0 �Yi ( & ���)( & =�'��;~�*0

� �|�m& ^���� 4 �'��;�� 41& � Õ ç�ßhâ&` o & �)( & ;1�������[�� o `db7à�åYl`��� (9�)( & 02���== & 02� Õ , �=�3 &'�H �|! A Aa�)( & ;1������ Õ ç7ß�â&`��)�^a`�ßD� å���� & �a� , & ���m��� ��� o `cb7à�å¥ �|i �^R�0 o `db7à�åx7=�=1� & �^�(�o%����0m�7� Õ ç7ß�â&`£� (1���7� & �8���e^a`�ßD� å ë �h���)( & � & ��^�(�o1����*0m����Ï/â�ç_� & �<� , & ���m��� ��� � (1���=��*0g����1A.�A A����`�)�9� ( & 0 & � o `cb7à�å �� � $ &76 ���a; 3 � & � ( & , 7=�3 & 0_�7� Õ ����==[� & ��^�(�o1���b0/ 6F6 ����A��� ^~� �.ï[c'� � H�H o k

02��= , �� ^9�)( & c'31�A����� � 6_& c'31�� ����� �� � $ & � 3 �)���)�9� ��;.��� 4 �'��;��

H 7

Page 28: math.berkeley.edusethian/2006/Papers/sethian... · 2006-08-07 · 0 132 1 46587:9);=? @BADCFEHGJILK.ANMOI6PRQTSUERIWVXANK.ERIWY[ZD\] MXY3^_ANG`\`Y3Iba.PRQ c EedfY3QgPeG`MXY[Eihij

IxºI { Ç@Â*4zJ`¾[à Ë�+jÂmÀ�Á+,u¾�É 4q¿`Ë8Â�Ë Ì2¾�À�Â[Æ�\gfÙ5�ÌgÇ�À`5£Äi ( &Re'&Fk �)��7� &Dz{6 � & ��� , & ��02�����î�7���)( & �o1� , & � &76 ( � �wc'3 & =� & 0|��ra�h�02�#l` k �7�=� 6 �� ��� ^5�)( & ^��)�*A];1�������`���R�)( & �1�� �)�7lto1��1Aal`��)(a� ( & 0g�{�=�= & 0g� , 7=�3 & ����� M ��! �&Dz{6 � & ���p0 6 ( & � & � �nA��n0g���*0#A��*0 6 310 0 & Ar���A & �b���=���´��� E ����( & � & l & ����=�=�7l¶�)(17�A��*0 6 3C0)0g���� � <

ón& 310 & , ��)�*�� �����n���¡{( & �;�7=�^����)��)( � Ö 0 &F&a$�& A�^ & l`� 6�e �ú� E � Ú l`��)(no1 6�e;1������ & ��0?�)�/02�)��� & � ( & M#, �=�3 & 0 ��$ ; &76 ��� 6 �== k +7l & 310 & p�<����û�( & �;5A 7��/0g� �)3 6 �)3 � &'����<���7o10g� �� 6 �`0 & �10 & +�/�a����sh( & 7;]�*0�VÒ 6 ���a; = & � & o ���C�� k �)� &F& Ó_l`��� (a/; �)��; & �)� k� (1��9� ( & , �=3 & ����� k ^�� , & �n� ��A & �w0/= & 0 0q�)(C������ & c'317=[� ���)( & , 7=�3 & 0#��9���06 ( ��=*A�� & � � ���~; �b 6 � � 6D& +%��|�*0��a��� &/&Dz{6 � & ���`� �a� & ;8� & 0 & ����R( & �;n0 & c'3 & ���)�w7=�= k �07�~7�)�b k o k 02�)��� ��� ^R#�8��A & ��`=�� 6 ��)����h%�7�1Aa����0 6 (8��=wA�� & �<��Y=�� 6 7�)�����10 H %�7�1AH %[õ � � > �)���M�)(8�w0�A & �1� ��� ������+��)( & ;1�� & �������?�^�� , & �9� ��A & ��i%#�*0@=�� 6 7� & AR��j%%ø H �i ( & � & ����� & +'�)( & �)�'���|l`( � 6 ( 6 �����b����C0m�)( & 02���== & 02� & = & � & ���@�*0m02�)��� & A���Y=�� 6 7�)�����%fæ � ��r�)( & ��)�b k'� >?���1A��� ^~� ( & ;17� & ���#��� 6 ( ��=*A�� & �î�7�x~^�� , & � & = & � & ���x�� &02���a; = & 7�)�b k 6F6D& 0)0 & 0ml`( � 6 (��� e'& 6 Ö � Ú � ��� &��

i ( & , 7=�3 & 0©�7� M �� & 0g�)��� & A�+m�)��^ & � ( & �Rl`���)(��)( & ���1A�� 6D& 0#l`(8� 6 (f^�� , & �)( & ��=� 6 �� �����9��9�)( & ^��)�*A90g�)� 3 6 � 3 � &'��i ( & ��7� 6 ( ��� ^x�=^����)��� ( �MlY��� e 0@o k �C��0g��=��'� e ���8^�����#�)( & 02���== & 02� & = & � & ���|��î� ( &}ÿ �sµ¶µF���3E`�s��³ �?�)( �*0>kml�nporq�s�t&uru�vpw�xa��; & ��7�)������� , ��= , & 05A & = & �)���8^î� ( & �)�'������1Av��� & 0gl &F& ;v�7�>ymz|{&nr}~vrt|���)� & �1023 � & �)(17�a�)( &� & ����� ���8^ & = & � & ���b0_0)7�)�w0�� k �)( & ( & �;�; � ��; & �)� k'�ui ( & �=^���� ��� ( � ; � � 6D&F& A 0#o k�b�^�^���� ^R�)( & � & �^�(�o%���)�� ^#;1������b0m�)(17���� & �8����^�` ßD� å �?i ( & Ï/â�ç�^��|â Ù � & ��^�(�o1���b07� & �A8A & A#�)�x�)( & ( & �;93102��� ^/7�h��n�w�v��rx_��; & �b�� �����<��CA , 7=�3 & 0����� ( & � & ��7��� �� ^;1������b0��� & 3 ;�A �� & A#3102��� ^ & cd317�)���� Ö H�H Úb� ��n�w�v��rx_lY��� e 0@o k ��� 6 � & �02��� ^��)( & ( & �;02��Ô & o k ��� & 7�1A#�)� � 6�e =��� ^`� ( & � & l & = & � & ���£3 ;�l`7��A#� �_���b0 6 ��� � &76 �@=� 6 �� �����93C0g���8^7���r�r}~vrt�����; & ��7�)����� �j4 �02�)= k +[� � & �1023 � & �)(C��9�)( & 38;£A8�� & A M�, �=�3 & 09A���� ���, ����=w�� & �)( & ( & �;.; �)��; & �)� k + l & � &\& A]�)�R; & �g�����)� 7�0�r�&}mvrt��9��; & ���� ������0g�b�� �)���8^7�|� (1��`=� 6 �� ��������1A�; �)� 6:&F& A��� ^93 ;��)( & � � &F&'�

i ( & y~z|{&nr}mv&t|����1A��&�r}mv&t|�|��; & ��7�)�����10 Ö ���5�)( & lY����02� 6 �0 &�Ú�6 7�)� k 7� & = & � & ���7=�= � ( & l` k ���)���M� �'���m� �/o%���)� ���¶��� , � 6D& , & ��0) ��i ( & � & ����� & +�� ( �w0?�� e'& 0�6 Ö =���^ 4~Ú� ��� & �0 0g3 �<��� ^_� ( & � & �� &�4¬& = & � & ����0£���9� ( & ( & 7; � �����w0?���a;1��� ��7����� �/� ��� & �)(17�� ( & ( & �;�+�l`(8� 6 (î�*0q 6 ���a; = & � & o ���C�� k �)� &F& +��w05�=l` k 0_^�31��b���� &F& An�)�~� & ��7���o17=w7� 6D& A ��! =�=��)(17��� & �����10%�*0�� ( & ��; & ��7�)����9���%0 & 7� 6 ( ��� ^`�����?�)( &T4 â�ç7ç�b��a�5â�ã£Þ� & ��^�(�o1���b0#�����)( & 0g��7=�= & 0g� & = & � & ���|��r�)( & ( & 7; �ni ( �w0 6 ��ro & ���A & 6 Ö � Ú ���� ��� & o k �{�������7��� �� ^_o1 6 e ;1������ & ��0����)���¬�)( & ^�� �wA]� �#�)( & ( & 7;~7�)�b k���ó ���)(8��3 ��8� è`á�]HÞ�ßdXyå¯ä`â-í�ÞbäJà�ß3ã�æ`Ü`à�ã�Þ�ä`îOÞ�ðÆõ:ß)� ô å�ZJã�Xbå�äJà�èÊëTå¯êÀê{å¯â`ã|]eá�ß3áXã�ä�Zbå¯ê�ÜWå�æ`ê�áOã�äyà3è`áiÞbÝ`à3ã�ì�å�êÝ`ß�Þ�ïbß[å�ìyì¾ã­ä`ïiÞ¯ð+à�ètáXã�ä`ã�à�ã{å�ê�Zbá�ß3î�ã�Þbä-Þ¯ð+à�ètá�üWå¯î�àOëTå�ß3í[è`ã�ä`ïyë-á�à3è`ÞJâ��

H�G

Page 29: math.berkeley.edusethian/2006/Papers/sethian... · 2006-08-07 · 0 132 1 46587:9);=? @BADCFEHGJILK.ANMOI6PRQTSUERIWVXANK.ERIWY[ZD\] MXY3^_ANG`\`Y3Iba.PRQ c EedfY3QgPeG`MXY[Eihij

� ( & o1 6�e ;1������ & ��0:+��)( & 7o1� , & 0 & 7� 6 (��� e'& 0T6 Ö�4~Ú �����)( & lY���b0g� 6 �0 &'�! 0`7� &F} ��a;8= & +'>?��^�38� & � �R0g( �7l�0�©� k ; � 6 �=£( & �;.0g� �)3 6 �)3 � & 7�1A~7�0�r�&}mvrt��

��; & ���� ������ ��� & �`�)( &q& = & � & ����7�|=� 6 �� ����� Ö H ض7�Ú ^ & ��0`3 ;�A 7� & Aa���)��� ¥ � � �)� H � Ñ �i (�310D+�02��� 6D& �)( & �)�����=Ylm��� e ��� 6 (1��8^����8^~�)( & , �=�3 & �7�_��� &a& = & � & ���|�7���)( &

( & �;�7�1A]o 3 o8o =��� ^#���0 , 7=�3 & 3 ;�l`��bA 0m�w0_6 Ö =��^ ò Ú +�l`( & � & ò �w0��)( & 0g�Ô & �7�?�)( &( & �;�+�� ( �w0?; �)��A�3 6D& 0�|� ���b�= ��; & ���� ����� 6 ��3 �����7� ò =���^ ò ������� ( & >1�02��B��� 6 (8��� ^B & � ( ��A9���<p^��)�*A©�7���)����7= ò ;1������b0 ��i (�310D+'����l & ����^���� & p� ( � &\& s2A���� & �C0g�����1�=^��)�wAn��� 4 ;1��������0q�� & 6 (rA��� &76 �)������+��)( & >%�0g��B��� 6 ( �� ^.B & �)( ��An� & A�3 6D& 0_�)( &� ����7=|��; & ��7�)����� 6 ��3 ���©��� ��� 4 9R�)� 4 C =���^ 4 � & 0)0 & ��� �w�== k + & 6 (f^��)�*Af;1������R�w0, �w02��� & A]��� 6:& � � 6 ���a; 38� & ����0��� �)� , 7=��)�� & , 7=�3 &'�

6M ætÑ ë � Ö ß�æ H Ø #]æ G Ú� � � � � � � �����������6M æ � ë ¥ Ö ¥ Ø � Úööö6M æ H ë Ñ Ö � Ø � Ú���6�� � 6ù ùù 6 M æ ¥ ë Ñ Ö � Ø � Ú��65� � 6

6 M æ H ë ¥ Ö � Ø G Úööö6M æ ¥ ë � Ö H ض7�Ú ��6�� � 6ù ùù 6 M æ H ë E Ö ¥ Ø H Ú��65� � 6$ � & ; � ����(C�� ^ & MV, 7=�3 & �� Ö H + 7�Ú

6M ætÑ ë � Ö ß�æ H Ø #]æ G Ú� � � � � � � �����������6M æ � ë ¥ Ö ¥ Ø � Úööö6M æ H ë Ñ Ö � Ø � Ú ��6 � � 6ù ùù 6 M æ ¥ ë Ñ Ö � Ø � Ú��6 � � 6

6 M æ H ë ¥ Ö � Ø G Úööö6 ö ör���6 � � 6ù ùù 6 M æ H ë E Ö ¥ Ø H Ú��6 � � 6$ � & ; H � �|& l , �=3 & �� Ö H + 7�Ú � Ý ;1� & �;

6M ætÑ ë � Ö ß�æ H Ø #]æ G Ú� � � � � � � �����������6M æ � ë ¥ Ö ¥ Ø � Úööö6M æ H ë Ñ Ö � Ø � Ú ��6 � � 6ù ùù 6 M æ ¥ ë Ñ Ö � Ø � Ú��6 � � 6

6 M æ H ë Ñ Ö H ض7�Úööö6M æ H ë ¥ Ö � Ø G Ú��6 � � 6

ù ùù 6 M æ H ë E Ö ¥ Ø H Ú��6 � � 6� & 7;V;8�)��; & � � k � & 02�)��� & A

>@��^�3 � & � ���Y� & �;.02�)�)3 6 �)3 � & ��1A Ý ;1� & �;£õy��; & �b��)����

H�E

Page 30: math.berkeley.edusethian/2006/Papers/sethian... · 2006-08-07 · 0 132 1 46587:9);=? @BADCFEHGJILK.ANMOI6PRQTSUERIWVXANK.ERIWY[ZD\] MXY3^_ANG`\`Y3Iba.PRQ c EedfY3QgPeG`MXY[Eihij

Ixº� ÈaÆ2¾�È ,�0�Â�à Ë�¾-,0D Ç�Ë�0�¾|ÁÁ+$�6 ( & �{��)� 6 �== k +��)( & � & =w7�)����102( ��;ao & �2l &F& �a� ( & �glY�#� & �)( ��A 0`7�1Aa�)( & ���`�A �;8�)� , &, & �b0g����10m�*0`0g( �7l`�~��.>@��^�3 � & � 7'�

Theory of Curve and Surface Evolution

Viscosity Solutions of Hamilton-Jacobi Equations

Upwind Numerical

Stationary Perspective

adaptivity adaptivity

APPLICATIONS

Corners, Shocks, Singularities, and Entropy Conditions

for Schemes Hyperbolic Conservation

Laws

Narrow Band Fast Marching Methods

+ F | φ | = 0φtLevel Set Perspective

Time-Dep. Initial Value Problem Boundary Value Problem | T | F = 1

Level Set Methods

(Ref. 1)

(Ref. 20) (Ref. 50, 51, 52) (Ref. 52, 59)

(Ref. 46) (Ref. 55)

(Ref. 55)

�\�����p�� L¡�¢�£_¤� ¦¥�§�¨��$©�ªh©�«j�m§�¬8¨�­<§��¯®±°p��ª��L­0 ¦¨²°�©r³�¬�§�ªm³A´m ¦µ� �¥·¶� ¦¨e­0 �¨�°�©r³�¬

¸|¹

Page 31: math.berkeley.edusethian/2006/Papers/sethian... · 2006-08-07 · 0 132 1 46587:9);=? @BADCFEHGJILK.ANMOI6PRQTSUERIWVXANK.ERIWY[ZD\] MXY3^_ANG`\`Y3Iba.PRQ c EedfY3QgPeG`MXY[Eihij

º »¼»¾½&¿rÀhÁ7Â>¿&ÃÅÄÇÆ

È ÉËÊ<Ì�Í�Î<Ì�ÏÑÐ ÒÔÓ<Ó@Í�Ì�Õ�Ö�×ØÌ�ÙRÏ<ÚÛYª�¨�°p��¬�Üm§��²¨_©�«[¨�°p �ª�©�¨² �¬ÞÝrß_ e³&�à¬�®Þ�m¬²¬á§â®�©�¥�¥$ �®Þ¨²��©�ª�©�«\§�Ü�Ü�¥��஦§�¨²��©|ªm¬�ß�°���®�°���ªrµ�©�¥$µ� ¥$ ¦µ� ¦¥|¬8 ¦¨�ã: ¦¨²°�©r³�¬[§�ªä³â�m§|¬8¨å­<§���®�°��$ª��_ã: �¨�°�©r³�¬�æ[ç@ i¬8°ä§�¥�¥¯è���ã:Üaém ¦¨�ßi ¦ ¦ª�¬� ¦µ� ¦��§�¥³&�ëê� ¦�� ¦ªr¨h§�Ü�Ü�¥��஦§�¨²��©|ªm¬ÞÝe��ªì©��¯³& ¦�h¨�©Å®Þ©|ª&µ� �íî¬�©�ã: 0«d � ¦¥��$ª��A«d©|�h¨�°� 7é��� ï§�³&¨²°U©�«§�Ü�Ü�¥��஦§�¨²��©|ªm¬_Üm©�¬�¬���é�¥$ �æ�ðá©�ã:Ü�¥$ ¦¨� ñ³& ¦¨�§���¥à¬Ø©�ªÑ¨�°� ï¬8 ò§�ªm³Ñ§Hß��à³& �µ|§����$ ¦¨�íR©�«á©�¨²°� ¦�¥$ ¦µ� ¦¥�¬8 ¦¨e§�ªm³0�m§|¬8¨�­<§���®�°��$ª���óTÜpÜ�¥��஦§�¨²��©�ªä¬_ãh§¦í�é~ �«d©���ªä³g��ªFô�õ�ö�÷æøúù�û ü5ý·þ�ÿ ý �������� ý�iý ����ý ��� ý ��� þ��������©|ém§�ép¥�í�¨�°� hã:©�¬8¨L¬�¨���§����|°&¨�«d©���ß�§��¯³î§�ÜpÜ�¥��஦§�¨²��©�ª�¥$ ¦µ� ¦¥i¬8 ¦¨Lã: ¦¨²°�©r³�¬>�à¬>��ª�¨�°� §��� �§<©�«�Üp���� Ñ�� ¦©|ã: ¦¨��²í@Üp��©�ép¥� ¦ãh¬�æ��T ¦�² �Ýب²°� h��©�§�¥a�à¬>¨�©7¨���§|®��F¨�°� Ñ ¦µ�©�¥$��¨��$©�ª©�«�§h®Þ�p��µ� >©|��¬8�p�8«§�®� :§|¬T��¨aÜp��©�Üä§���§�¨� �¬���ªm³& ���§h¬8Üm ¦ �³0¥à§ïß ¨²°m§�¨ò³& ¦Üm ¦ªä³�¬T©�ªp¥�í©|ª0¨�°p �¬8°ä§�Üm >©�«_¨²°� a«d��©|ª&¨ � «d©|�T ��p§�ãÜ�¥� �Ý�¨²°� >¥$©r®¦§�¥å®Þ���²µ�§�¨����² �æ �_°� �¬8 òÜ���©|é�¥� �ãh¬§��� LÜm§��²¨���®���¥�§���¥�í ¬8¨²��§��$��°r¨8«d©|��ß�§���³<ém �®¦§��ä¬8 L¨�°� Lµ� ¦¥�©r®���¨�í"!m ¦¥�³g«d©|��#%$'&�(:¥$ ¦µ� ¦¥å¬8 ¦¨�à¬_����µ� �ª:é&í¨�°� ��� �©�ã: ¦¨²��íL©�«å¨�°m§�¨T¥$ ¦µ� ¦¥�¬8 �¨¦æ�_°� )!m�¯¬8¨³& ¦ã:©|ªm¬8¨²��§�¨���©|ªîã:©r³r ¦¥�¬L¬8©|ã: h©�«ò¨�°� Ñ�� ¦ã�§��*�|§�é�¥� hß_©|�*��©�«,+�§��| §�ªm³-+e��§¦íp¬8©|ª[æ5�·���¯¬8¨¦Ý.+�§��| Åô0/ ¢�Ý1/32�÷�¬8°�©�ßi �³)¨�°m§�¨h§�ªrí�®Þ©|ª&µ� ���®Þ����µ� ã:©�µ&�$ª����ªä³& ¦�ò¬8�m®�°7§:ã:©�¨²��©|ª<�� ¦ãh§���ªm¬�®Þ©�ªrµ� ��ѧ�ªm³7ãR�m¬�¨a¬�°����$ª��<¨�©Ñ§:Üm©��$ª&¨�æ4+e�¯§ïíp¬8©|ªô ¸ ¡Þ÷m«d©�¥$¥�©�ß_ �³�¨�°p��¬�ß_©|�*�Lß���¨�°¨�°� aém �§���¨��ë«d��¥m�� �¬���¥�¨i¨�°m§�¨5$3676�¬8�$ã:Ü�¥$ �®Þ¥$©�¬8 ï³:®Þ���²µ� �¬ãL�m¬8¨�¬8°��²��ª��¨�©L§���©��pªm³gÜm©��$ª&¨�Ý��� ¦��§��¯³&¥� �¬²¬_©�«á¨²°� ¦�$�_��ªp��¨��à§�¥ ¬8°m§�Ü~ �æÛYª7�·���|���� h¡82&Ý\§�ª7©r³�³:9�¬8°ä§�Üm �³@�$ª���¨²��§�¥å®Þ���²µ� >�à¬Tµ&�$ ¦ß_ ï³0§�¬a¨²°� <;¦ ¦�²©:¥� ¦µ� �¥\¬8 ¦¨©�«�§«d�pªm®Þ¨��$©�ª�³r =!mª� �³<��ªF§�¥$¥á©�«5>@?¦æ��T ��� �Ý~«d©|�>�$¥�¥��ä¬8¨��¯§�¨²��©�ª Ý3ép¥�§�®A�7®Þ©|���� ï¬8Üm©�ªm³p¬¨²©CB�D ¹ Ý\ß�°���¥$ :ß�°���¨² :®�©����² �¬8Üm©|ªm³�¬>¨�©EBGF ¹ Ý�¨�°r�m¬�¨�°� ";� ¦��©h¥� �µ� ¦¥á¬8 �¨>��¬�¨�°� ém©��pªm³�§��²í�é~ �¨8ßi ¦ ¦ª)¨²°� :¨�ß_©pæ)óa¬>¨²°� :¥$ ¦µ� ¦¥i®Þ���²µ� �¬IHm©�ß ��ªm³& ��L®Þ����µ|§�¨����² �Ý�¨�°�  ¦ªä¬8���$ª���ã:©�¨²��©�ª ®¦§��²���$ �¬· �§|®±°�¨²©>§�®Þ�$��®Þ¥$ _¨²°m§�¨�¨²°� ¦ª³&��¬²§�Ü�Üm �§���¬�æáÛ�ª�¨²°� e ¦µ�©�¥$��¨��$©�ª©�«[¨�°p _«d��©�ªr¨¦Ý|©�ª� �®Þ¥� ï§���¥$íò¬8 ¦ �¬\¨�°m§�¨Ø¨²°� �¥�§����| T©�¬�®Þ�$¥�¥�§�¨��$©�ªm¬�³r��¬�§�Ü�Üm �§�� J�����®A�r¥�í�Ý�§�ªm³¨²°� ¦ª�§|¬â¨�°p R«d��©|ª&¨�ém �®Þ©|ã: �¬�®Þ���¯®Þ��¥à§��¦Ý[ã:©|¨��$©�ªF¬8¥�©�ße¬�Ý�§�ªä³�¨²°� �«d��©�ªr¨> �µ� ¦ª&¨²�m§�¥$¥�í³&�à¬�§�Ü�Üm �§��¯¬Þæ�_°��à¬T¨�°� �©��� �ãV�à¬úªp©�¨a¨²���� ò��ª<¨�°p�� ¦  ¬8Üm§|®Þ �³&�$ã: ¦ªm¬���©|ªm¬ÞÝ�ß�°� ��� �°� ¦�² >¨²°� �®Þ�p�K9µ|§�¨²���� ��¬â�² ¦Ü�¥à§�®Þ �³7é&í7¨�°� ã: �§�ªF®Þ���²µ|§�¨��p��  � §g¨�írÜ���®¦§�¥i®Þ©���ªr¨� ��� ��p§�ã:Üp¥� ���¬�¨�°� ³&�pãRé�ém ¦¥$¥\³& �¬²®Þ���$é~ ï³g��ªÅô ¸ /�÷Yæ��·�$�����² h¡¦ö&Ý[¨¯§L�� ¦ªh«d��©�ã-ðá°�©�ÜpÜ)§�ªm³�¶� ¦¨�°��à§�ª�ô ¡�¢�÷ݬ�°�©�ße¬�¨�ßi©�®Þ©�ªpª� �®Þ¨² �³ì³&��ãLé�ém ¦¥�¥à¬Þæ óa¬R¨�°p <��ªr¨� ¦�¯¬8 �®Þ¨²��©|ªîÜm©��$ª&¨Ñ®Þ©|¥�¥�§�Üm¬8 ï¬ÞÝ�¨�°� 

¸ ¡

Page 32: math.berkeley.edusethian/2006/Papers/sethian... · 2006-08-07 · 0 132 1 46587:9);=? @BADCFEHGJILK.ANMOI6PRQTSUERIWVXANK.ERIWY[ZD\] MXY3^_ANG`\`Y3Iba.PRQ c EedfY3QgPeG`MXY[Eihij

�\�����p�� L¡�2r£NMPORQTSVUXW�Q

¸ /

Page 33: math.berkeley.edusethian/2006/Papers/sethian... · 2006-08-07 · 0 132 1 46587:9);=? @BADCFEHGJILK.ANMOI6PRQTSUERIWVXANK.ERIWY[ZD\] MXY3^_ANG`\`Y3Iba.PRQ c EedfY3QgPeG`MXY[Eihij

�·�$�����² R¡�ö&£�ðá©�¥$¥�§�Üä¬8 �©�«á¨�ßi©L9°m§�ªm³r¥� �³h³&��ãLé�ém ¦¥$¥ª� ï®��p¬_é��� ï§L�h©�ê�§�ªm³0¥$ �§¦µ� ò§H�² ¦ãh§��$ª���ªp�CY�Ü��$¥�¥�©�ß@Z�9Y¥$�[�� ��� ¦�|��©|ª0ém ¦°��$ªm³�æ@�_°���¬�Ü��$¥\9¥$©�ß5�� �����©|ªÑ®Þ©�¥$¥�§�Üä¬8 �¬�§|¬úßi ¦¥�¥Ý�§�ªä³g ¦µ� ¦ªr¨��ä§�¥�¥$íL§�¥$¥]!mµ� ��� �����©|ªm¬�³&�à¬�§�ÜpÜ~ ï§��¦æøúù_^ `ba ��c ÿed1�"f)d ��� fE�Kdhgig c gNj ��k d1� �l� d ��mT�@c g@j � ý �]� þ@�i�nporqTots uTvxwyv{z�|}z�~]vP�y�5�5�{��� �tzy|�_°� Ñª� ��r¨L§�Ü�Üp¥���®�§�¨��$©�ª���¬�©�ªp g©�«�¨�°p <�m§�¬�¨:­<§���®�°���ª��7­0 �¨�°�©r³�¨�©7Ü���©|é�¥� ¦ã�¬â��ª©|Ü�¨��$ãh§�¥�Üä§�¨�°hÜ�¥à§�ª�ªp��ª�� � ¨�°p �¬8 eß_ ¦�² N!ä��¬8¨�³& ¦µ� ¦¥$©�Üm �³�é&í,�a�$ã:ã: ¦¥r§�ªm³0¶� ¦¨�°p��§�ªL��ªô ¸ õ�÷æi�_°�©�¬8 ®¦§�¥à®Þ��¥à§�¨��$©�ªm¬�Ü��²©�µr��³r �³g¨²°� �©�Ü�¨²��ãh§�¥[ß�§¦íh©�«ú¬8©�¥$µ&�$ª��LÜm§�¨²°@Ü�¥à§�ª�ªp��ª��Ü��²©�é�¥$ ¦ã ��ª�Ü��²©�é�¥$ ¦ãh¬[ß���¨²°��� ¦¥à§�¨��$µ� ¦¥�í�¥�©�ß�³& ¦�|�� ¦ ï¬·©�«�«d�� ¦ �³r©�ã<æ��e ¦�� �Ý�ß_ ��$ªm®Þ¥$�m³& ¬�©�ã: a©�«á¨�°p©�¬8 ��² �¬8��¥$¨�¬�æ+e��µ� ¦ªÑ§L®Þ©�¬�¨T«d��ªm®�¨���©|ªCM<OR�T���A� ? ���7�[�A���3S¯Ý�§�ªm³<§R¬�¨�§���¨��$ª��:Üm©��$ª&¨�� ��ªE> � Ým©�ª� �|©�§�¥[�$ªhÜm§�¨²°gÜp¥�§�ªpª���ª��L��¬á¨�©L®Þ©|ªm¬8¨²���m®�¨�¨�°� �Üm§�¨�°���OR�]Si£mô ¹ �=�lS1� > � «d��©|ã��U¨²©§�ª&í:Üm©|��ªr¨i�¼�$ª�> � ß�°���®�°hã:��ª��$ãR�7;¦ �¬j¨²°� ���ªr¨� ¦�|��§�¥

�����:�{�����  �:�{�¢¡*� M<Ot��OR�]S%S¤£'�y� O¥/�ö'S¸|¸

Page 34: math.berkeley.edusethian/2006/Papers/sethian... · 2006-08-07 · 0 132 1 46587:9);=? @BADCFEHGJILK.ANMOI6PRQTSUERIWVXANK.ERIWY[ZD\] MXY3^_ANG`\`Y3Iba.PRQ c EedfY3QgPeG`MXY[Eihij

ß�°� ��� ��>��¬�¨�°� �§��¯®Þ¥� �ª���¨²°RÜm§���§�ã: ¦¨� ����[;ï§�¨��$©�ª�©�«���¦�ªm§�ã: �¥�í)§ �'¨y§'U ¡|Ýr§�ªm³ª© ��¬�¨�°� ¨²©�¨�§�¥[¥� ¦ªp��¨�°h©�«1�\æ­0©��² i¬8Üm �®Þ�«!�®¦§�¥$¥�í�Ý���ª�¨�ß_©e³&�$ã: ¦ªm¬���©|ª[Ý�¬8��ÜpÜ~©�¬8 iß_ i§��² Ø�|��µ� ¦ª�¨²°� i®Þ©�¬�¨�«d��ªm®Þ¨²��©�ªMPOR���A¬�S�Ýr§�ªm³h§�¬�¨�§��²¨��$ª��RÜm©|��ªr¨.�>æ_´m ¦¨@­5OR���A¬�S\ém â¨²°� �ã:��ªp��ã§�¥m®Þ©�¬8¨��² {J �p���� ï³H¨²©¨²��§¦µ� ¦¥~«d�²©�ã�� ¨²©�¨�°� �Üm©��$ª&¨�OR���A¬�S�Ýr¨�°m§�¨���¬­5OR���A¬�S Uìã��ª� �ª��®�¯ °%�  M<O±��O¥�]S*S_£'�y� O ¸�¹ S

ß��$¨�°C§ � ¨ §:U ¡�æV�_°p T¥$ ¦µ� ¦¥p¬8 ¦¨1­5OR���A¬�S�U³²ì��¬�¨²°� e¬8 ¦¨á©�«\§�¥$¥�Üm©��$ª&¨¯¬j�$ªª>N?ب�°ä§�¨i®¦§�ªém ��� �§|®±°p �³Rß���¨²°:ã:�$ª���ãh§�¥m®Þ©�¬8¨i²�Ýp§�ªm³:¨²°� �ã:��ª��$ã:§�¥m®Þ©�¬8¨�Üm§�¨�°m¬�§��� �©��²¨�°�©|��©�ªä§�¥¨²©R¨²°� �¥� ¦µ� ¦¥�®Þ�p��µ� �¬�Ý °p ¦ªm®Þ �ß_ �°m§¦µ� § ´"­<§LU³MPOR���A¬�SA� O ¸ ¡{S

ç7 Ñ®¦§�ªÅ�m¬8 Ñ¨�°� Ñ�m§�¬�¨:­<§���®�°���ª��7­0 �¨�°�©r³Å®¦§�ªÅé~ Ñ�m¬8 ï³�¨�©F¬8©|¥�µ� h¨�°p��¬<µ��[��©|ªm§�¥ {J��m§�¨���©|ªì¨�©�Ü��²©r³&�m®Þ ¶­·O¥���A¬¸Sò��ª5§�¥�¥a©�«">@?¦æe�_°� ¦ª[Ýe����µ� �ªì§)Üm©���ªr¨C�-��ª³>@?¦Ý ��rÜ�¥$��®Þ�$¨�®Þ©�ªä¬8¨��²�m®Þ¨²��©�ªF©�«e¨�°p :¬�°�©��²¨� �¬�¨�Üm§�¨²°�®Þ©�ã �¬a¨�°��²©����|°�éä§�®A�<Ü���©|Üm§���§�¨��$©�ª«d�²©�ã¹�¾¨�©,� µr��§>¨�°p >¬�©�¥$��¨��$©�ª0©�«�¨²°� �©��¯³&��ªm§���íѳ&�ëê� ��� ¦ªr¨��à§�¥� xJ �m§�¨��$©�ªº<» U¼Wi´"­ ����µ� �ª º¶O ¹ S U³�,� O ¸ /'S

��ªr¨��$¥�ßi â�² �§�®�°h¨�°� ò¬�¨�§��²¨��$ª���Üm©���ªr¨��>ænporqTorq ½·¾���¿AÀ�Át|}z�~�Â�Á±��~�w��1Ã"z�Â�Ä �rv{Âç7 hé~ �����ª�ß��$¨�°ì§<¬�¨��¯§����|°&¨�«d©��²ß�§��¯³ì§�Ü�Üp¥���®�§�¨��$©�ª�©�«�¨�°p g¨² �®�°�ª��rJ��� �¬�Ý�ªm§�ã ¦¥�í<¨²©¨�ß_©{9�³r��ã: ¦ªä¬8��©|ªm§�¥[Üä§�¨�°ÑÜ�¥�§�ª�ª��$ª��:ß���¨²°<®Þ©|ªm¬8¨²��§���ªr¨�¬ÞæeÛYª<�\�����p�� </ ¹ Ý�ßi ò¬8°�©�ß ¨�°� ©|Ü�¨��$ãh§�¥mÜm§�¨�°R«d�²©�ã Ü~©|��ªr¨@�U¨�©òÜm©���ªr¨�� �$ªh§�³&�m§�¥\9µ|§�¥��p �³:³&©|ãh§��$ª�¦�¨�°� �¬�Üm ¦ �³ªM©|ª<¨�°� ò¥� Þ«d¨e��¬�°m§�¥ë«i¨�°� òµ�§�¥��� L§|¬T¨�°p �¬8Üm ¦ ï³0©�ª<¨�°p >���$��°r¨¦æ�Û�ª �·���pæi/ ¹ §:ß_  ¬8°�©�ߨ²°� R�$ª���¨²��§�¥á§�ªm³7 ¦ªm³@Üm©��$ª&¨¯¬ÞÝ\¨�©��| ¦¨�°p ¦�>ß��$¨�°7¨�°� L¨�ß_©<³r©�ãh§���ªm¬Å¦·��ªF�·�$��æ�/ ¹ é)ß_ ¬�°�©�ßǨ²°� � {J��m§�¥\¨��$ã: �­ ¬8©�¥$��¨��$©�ªm¬a©|é�¨�§���ª� �³0�ä¬8��ªp�:¨�°� L�m§|¬8¨�­<§���®�°���ª���­0 ¦¨�°�©r³¨²©��� �¨�°� ¦�eß���¨²°h¨�°� ò©�Ü�¨²��ãh§�¥�Üm§�¨�°0©|é�¨�§���ª� ï³géríh¬8©|¥�µr��ª��L¨�°� <Æòæ�Çòæ�µ�æ��_°� >�² �¬8�p¥�¨�¬�ݧ|¬_ ��&Üm �®�¨� �³�Ýr¬�°�©�ßU¨²°� a Þê� �®Þ¨¯¬_©�«á¶�ªp ¦¥�¥¥È�¬Ø¥à§¦ßì��ª:¨²°� �¬8°p©���¨² �¬8¨�Üä§�¨�°hém ¦¨�ß_ � ¦ª:¨�ß_©³&�ëê� ¦���$ª���ã: �³&�à§&æÛYª<�·�$�����² �/&¡>ßi >§|³�³<®Þ©|ªm¬8¨²��§��$ª&¨¯¬ú¨²©R¨²°� >ã©�¨��$©�ª[Ý�ªä§�ã: ¦¥$íR�² �®Þ¨¯§�ª��|¥� �¬�ß�°���®�°§��� >�$ã:Üm ¦ª� ¦¨²��§�é�¥� �æ�ç7 �¬� ¦¨e¨�°�  ¬8Üm ¦ �³:«d��ªm®Þ¨²��©�ªEM¼¨²©É;� ¦��©L��ªm¬���³& �¨²°� �¬8 ò�� ¦�|��©|ªm¬Þݧ�ªm³g¨²°� ò®Þ©��²�� �¬�Ü~©|ªm³&�$ª��:§�¥�¨² ¦��§�¨���©|ªh��ªh¨�°� �©|Ü�¨��$ãh§�¥�Üm§�¨²°0��¬�¬�°�©�ß�ª[æ

¸{Ê

Page 35: math.berkeley.edusethian/2006/Papers/sethian... · 2006-08-07 · 0 132 1 46587:9);=? @BADCFEHGJILK.ANMOI6PRQTSUERIWVXANK.ERIWY[ZD\] MXY3^_ANG`\`Y3Iba.PRQ c EedfY3QgPeG`MXY[Eihij

�·���|���� 5/ ¹ £ �_ß_©{9�³&�$ã: ¦ªm¬���©|ªm§�¥�Ëa§¦µr����§�¨��$©�ªh©�ª�Ìi§��²��§�é�¥� �ÇT©|ãh§��$ª

�·�$�����² Í/&¡�£��_ßi©L9�³&��ã ¦ªm¬8�$©�ªm§�¥.Ëa§¦µr����§�¨��$©�ª�ß���¨²°ìðá©�ªm¬�¨���§���ªr¨�¬�©�ªbÌ_§����à§�é�¥$ �ÇT©L9ãh§���ªnporqTo7Î ½ÐÏ��{zyzÍÀªz'Ñp�{zyz�ÂÐ�y�IÒ��Lz�z�Ó ��|ç7 :ª� ��r¨>¨²����ª�¨²©<¨8ßi©L9�³&��ã ¦ªm¬8�$©�ªm§�¥áÜ���©|é�¥� ¦ã�¬ñß��$¨�°)¨²°��� � h³& ¦�|�� ¦ �¬�©�«e«d�� ¦ ï³&©�ã<æðá©|ªm¬8�à³& ¦�aª�©�ß¾¨�°� �Ü��²©�é�¥$ ¦ã ©�«�ªm§¦µr����§�¨��$©�ª<ß��$¨�°7®Þ©|ªm¬8¨²��§��$ª&¨¯¬�§�ªm³<��©|¨�§�¨²��©|ª[æ�ÛYªy9¬�¨� �§|³@©�«�§:��©|ém©�¨L§�¬ò§0¬���ª��|¥� LÜ~©|��ªr¨¦Ý\ß_ L��ãh§�����ªp L§g¨�ß_©{9�³&�$ã: ¦ªm¬���©|ªm§�¥\�� �®�¨�§�ªp��¥� ß��$¨�°�§0�|��µ� ¦ª)ß��à³&¨�°�§�ªm³)¥� �ª���¨²°�¦Ø¨²°&�ä¬>¨�°� :�$ª���¨²��§�¥ØÜm©�¬8��¨²��©|ªÔ� ©�«�¨�°� h��©|ém©�¨���ª®Þ©|ªy!m�|����§�¨���©|ªÑ¬8Üm§|®Þ T�à¬_¬�Ü~ ï®Þ�\!m ï³Hérí�¨�°� eÜm©�¬���¨��$©�ª:©�«\¨�°� �®Þ ¦ªr¨� ��Ø©�«\¨�°� e�� ï®Þ¨�§�ª���¥$ �ÝÜ�¥$�m¬�§�ª §�ª��|¥� ÍÕ<é~ �¨8ßi ¦ ¦ª ¹ §�ªä³Ô/3Ö�æ��_°p 4!äªm§�¥e®Þ©|ªy!m�|����§�¨���©|ª³� �à¬�¬8�$ã:��¥à§���¥$í¬�Ü~ ï®Þ�\!m ï³�Ý�§�ªm³g¨²°� ���©�§�¥·�à¬_¨�©®Þ©�ªä¬8¨��²�m®Þ¨�¨²°� �©�Ü�¨²��ãh§�¥�Üm§�¨�°g«d�²©�ã�� ¨²©"�LæÛYª@¨²°� §�ém¬� ¦ªm®Þ L©�«�©�ém¬�¨�§�®�¥� �¬�Ý·§Ñ®Þ©�ãÜ�¥� ¦¨² ¦¥�í�¬8¨��¯§��$��°r¨8«d©��²ß�§���³)§�Ü�Ü�¥��஦§�¨²��©|ª@©�«¨²°� ��m§�¬�¨á­<§��¯®±°p��ª��e­0 ¦¨²°�©r³>��¬[Üm©�¬²¬8��ép¥� �£[©�ªp e³&��¬²®Þ�� ¦¨²�[;¦ ï¬~¨�°p �®Þ©|ªy!m���p��§�¨²��©|ª:¬�Üm§�®Þ �$ª&¨²©e§_¨�°��² ¦ =9�³&��ã: �ªm¬8�$©�ªm§�¥����²��³�ݦ¨²°m§�¨\��¬�Ý�ßi á¬8�$ã:��¥à§��²¥�í����²��³aém©�¨²°É>@?�§�ªm³5Õúém ¦¨�ßi ¦ ¦ª¹ §�ªm³)/×Ö�Ý~ �ã:Ü�¥�©�ír��ª��òÜm ¦���$©r³&��®�é~©|��ªm³�§���í7®Þ©|ªm³&�$¨���©|ªm¬���ªCÕræ@�_°&�m¬�Ý�ß_  ¬8©|¥�µ� �¨�°� µ��[��©|ªm§�¥[ xJ �m§�¨��$©�ª Ø�Ù ?®.Ú

Ù ?°1ÚÙ ?ÛKÜ �¥Ý ? U ¡3� O ¸�¸ SÛYªL¨�°� �Ü��² �¬8 �ªm®Þ �©�«\©|ém¬8¨¯§�®Þ¥$ �¬ÞÝ�ßi �¨�§L�� e¨�°p _«d©�¥�¥$©�ß���ª��ò§�ÜpÜ���©�§�®�°�¦�¬� ¦ òô ¸×Þ ÷Yæ�¤e§�¨²°� ¦�¸ õ

Page 36: math.berkeley.edusethian/2006/Papers/sethian... · 2006-08-07 · 0 132 1 46587:9);=? @BADCFEHGJILK.ANMOI6PRQTSUERIWVXANK.ERIWY[ZD\] MXY3^_ANG`\`Y3Iba.PRQ c EedfY3QgPeG`MXY[Eihij

¨²°m§�ª)ã�§�ª� ¦�pµ� ¦��§�ªF©r³�³&¥�í7¬�°m§�Üm �³)�²©�ém©�¨�Ý�ß_ L��ªm¬�¨� �§|³)®Þ©�ªä¬8��³r ¦��¨�°� L��©|é~©|¨L§�¬ò§Üm©��$ª&¨�Ý_§�ªm³�ÝØ«d©|�R �µ� ¦��íF³&��¬²®Þ�� �¨��[;� �³@§�ª���¥$ CÕ�ßYÝi§�¥$¨� ¦��¨²°� Ñ¬8°m§�Üm <©�«�¨�°� Ñ©�ém¬�¨�§�®�¥� �¬®Þ©|���² �¬8Üm©�ªä³&��ª��L¨�©�¨²°m§�¨e§�ª���¥$ �æá��©��� ��p§�ãÜ�¥� �Ý��$ãh§��|��ª� e¨�°m§�¨�©�ª� �©�«�¨²°� �©�ém¬�¨�§�®�¥� �¬�à¬�§R¬%J �m§��� �©�«j��ª���¨�ß��à³&¨�°Ñ§�ªm³g°� �����°r¨_�$ªh¨�°� ò³&©|ãh§��$ª[Ý�¬���Ü�Üm©�¬� �¨�°� ��� ï®Þ¨�§�ª�����¥à§���²©�ém©�¨L°m§�¬�¥� �ª���¨²°�� õ&Ýá§�ªm³î®Þ©|ªm¬8�à³& ¦��¨²°� h³&�à¬�®Þ�² ¦¨��7;�§�¨²��©�ªF©�«ò®Þ©|ªy!m�|����§�¨���©|ªì¬�Üm§�®Þ §�¨:¨�°�  §�ª��|¥� EÕ ß U ¹ æX�_°p ¦ª[Ý_�$ªì¨�°��à¬R³&�$�� �®�¨���©|ª�¨�°� 7®Þ �ª&¨² ¦��©�«ò¨�°p 0��©|ém©�¨Ñ®¦§�ª©|ª�¥�í7®Þ©|ã: Lß���¨�°p��ªb��/�õh©�«e¨²°� h¬*J��m§��� :�$ª@¨²°� :Üm©�¬���¨��$µ� R©|�>ª� ���§�¨²��µ� à�)³&�$�� �®Þ¨²��©|ª�¦°� �ªm®Þ 0ßi 0ãh§¦í�®�©�ªm¬���³& ¦��ÝØ«d©��¨�°��à¬:§�ª��|¥� �Ýi¨�°� < {J����$µ�§�¥� ¦ªr¨�Ü��²©�é�¥$ ¦ã ©�« §@Üm©��$ª&¨�²©�ém©�¨ò§¦µ�©��à³&��ª��§�ª<©|ém¬8¨¯§�®Þ¥$ >ß�°��à®±°Ñ°m§�¬e°� ¦���|°&¨ò¡�§�ªm³0¥� ¦ªp��¨�°F¡3� õ&æ�ÛYª<�·�$�����² </×/ßi L¬8°�©�ß ¬� ¦µ� ¦�¯§�¥\ ���§�ã:Ü�¥$ �¬_©�«ú§R¨�ß_©L9�³&�$ã: ¦ªm¬���©�ªä§�¥\��©�ém©|¨>ß���¨²°<��©|¨�§�¨²��©|ªm§�¥i§�ªp��¥� ªm§¦µr����§�¨��$ª�����ªh¨�ß_©{9�³r��ã: ¦ªä¬8��©|ªm§�¥ ¬8Üm§|®Þ ò§��²©���ªm³0©|ém¬8¨¯§�®Þ¥$ �¬Þæ

20 40 60 800

20

40

60

80

20 40 60 800

20

40

60

80

20 40 60 800

20

40

60

80

20 40 60 800

20

40

60

80

�·�$�����² �/3/&£ �_ß_©{9¤Çe��ã: ¦ªä¬8��©|ªm§�¥�Ëa§¦µ&�$��§�¨���©|ªÑ§���©|��ªm³Æeém¬�¨�§�®�¥� �¬_ß��$¨�°Ñ¤ú©|¨�§�¨���©|ªnporqTo7á Ò���Ä �"À�z'Ñp�Lz�z�Â<�â�IÒ��{zyz�Ó��]|ÛYª7�·�$�����² ,/ ¸ Ý[ßi L®Þ©�ªm¬���³& ���§:ã:©�¨²��©�ªÑÜ���©|é�¥� �ã ß�°��à®±° ®Þ©�ªr¨�§���ªm¬T«d©��p��³& ¦�|�� ¦ �¬a©�««d�² ¦ �³&©|ã<æ)ç@  ®Þ©�ªä¬8��³r ¦�L§@¬�¨��à®��!¸�& �³Å§�¨L¨�°� h¥$©�ßi ¦��Üm©��$ª&¨�Ý_ß���¨²°î¨�°p�� ¦ h°��$ª��� �³¬� ¦��ã: �ª&¨¯¬Þæ,�_°� L��©�§�¥_�à¬ñ¨²©0ã:©�µ� ò¨�°� ¬8¨²��®A�g«d��©|ãC©�ª� Ü~©�¬8�$¨���©|ªlOY¬�°�©�ß�ª)��ª7¥��$��°r¨�|�� ¦í�Sá¨�©L¨�°� �©|¨�°� ¦�eÜm©�¬���¨��$©�ª[æ��·���|���� �/ ¸ ¬8°p©�ße¬e¨�°� ���ªr¨� ���ã: �³r��§�¨² a¬�¨�§��� �¬�Ý~¥$ Þ«d¨_¨²©�²����°r¨ò§�ªm³7¨�©�ÜF¨�©0ém©|¨�¨�©|ã<Ý\§�¬�¨�°� ¬8¨²��®A�0��¬�ã:©�µ� �³�«d�²©�ãC¨²°� R�$ª���¨²��§�¥�Üm©�¬8�$¨��$©�ª)¨²©¨²°� i!mªm§�¥[Üm©�¬8��¨²��©|ª[æðá©�ãÜ�¥� ¦¨² �³& �¨�§��$¥�¬�§�ém©|��¨�§�Ü�Ü�¥��஦§�¨²��©|ªm¬a©�«e�m§|¬8¨ò­<§��¯®±°��$ª��Ñ­0 ¦¨�°p©r³�¬a¨�©hÜm§�¨²°Ü�¥à§�ª�ªp��ª���§�ªm³ì��©�ém©|¨���®0ªä§ïµr����§�¨²��©�ª §�ªä³ì®Þ©�ã:ã ¦ª&¨¯§��²í)§�é~©|��¨<§|³�³&�$¨���©|ªm§�¥���¬�¬��� �¬ãh§¦íLém ñ«d©|��ªm³h��ªFô ¸ õ�÷Yæ

¸×Þ

Page 37: math.berkeley.edusethian/2006/Papers/sethian... · 2006-08-07 · 0 132 1 46587:9);=? @BADCFEHGJILK.ANMOI6PRQTSUERIWVXANK.ERIWY[ZD\] MXY3^_ANG`\`Y3Iba.PRQ c EedfY3QgPeG`MXY[Eihij

�·���|���� 5/ ¸ £.ÆeÜ�¨��$ãh§�¥�ã:©�¨²��©�ª��ªrµ�©�¥�µr��ªp�â«d©��p�e³& ¦���² ¦ �¬_©�«�«d�� ¦ ï³&©�ãøúù_ã ä)þ�ÿåa5æ ��c g@j k"cR� � �Eç-���¸c èd1�¤� c gé��ý c �~ÿ cKmbê�� dëiý�� êìc ÿ ý�� �k dí� ��� d ��mT�@c g@j � ý �]� þ@�i�óTªp©�¨�°p ¦�<§�Ü�Ü�¥��஦§�¨²��©|ª¼§��� �§îß�°p��®�° ¬�°m§��² �¬A¨²°� �µ��[��©|ªm§�¥ò {J��m§�¨²��©�ª �à¬g��ª ¨�°��² ¦ =9³&�$ã: ¦ªm¬���©|ªm§�¥áÜ��² �¬8¨¯§�®A�)ã:���|��§�¨���©|ª)©�«ñ¬8�p�8«§�®� 0¬� ¦��¬�ã:��®�³p§�¨�§ræÔ�_°p��¬>��¬�§0¨²©�©�¥�«d©���$ãh§��|��ª��L¨�°� ,µá§���¨�°�È�¬a¬���ém¬8�p�8«§�®� �ß�°� ¦ª7®Þ©|ã:Ü�¥� 8�:�� ¦©|¥�©|����®�§�¥á¬�¨����ä®Þ¨����² �¬a§�ªm³0µ� =9¥$©r®Þ��¨�íª!ä ¦¥�³�¬�§��� LÜ��� �¬� ¦ªr¨¦æ,�_°� Lã:©�¬�¨�®Þ©�ãã:©�ª�¥$í:�m¬� �³A�$ãh§��|��ª��h¨² �®±°pª��rJ��� �¬e§�Üy9Ü�¥$�� �³0¨²© ¸ 9_Ç Ü��² �¬8¨¯§�®A�<¬�����µ� ¦íp¬a§��� Lã: ¦¨�°p©r³�¬Tém§|¬8 �³<©�ª7¨�°� à�a���¯®±°�°p©�êF��ªr¨� ¦�|��§�¥Ýém �®¦§��m¬8 �©�«á��¨¯¬íHm ��r��é��$¥���¨�íò��ªh��ãh§����$ª������²�� ¦�|��¥�§���¥�í¬�§�ã:Ü�¥$ �³:³�§�¨�§L§�ªm³h��¨�¬_�² ¦¥�§�¨��$µ� ®Þ©|ã:Ü���¨¯§�¨²��©�ªä§�¥\ =îh®��� ¦ªm®�í�æaÛYª<©��¯³& ¦�a¨²©:Üm ¦�8«d©|��ãC¨²°���¬i�a�$��®�°�°�©�êFã:�$����§�¨��$©�ª[Ým©�ª� §�Ü�Ü���©{�r��ãh§�¨� ¦¥$í<¬�©�¥�µ� ï¬ñ¨²°� :ß�§ïµ� L {J��m§�¨²��©|ª)ß���¨²°)§0ém©��pªm³�§��²í)��ªr¨� �����§�¥áã: ¦¨�°p©r³�æ�_°� á�² =Hm �®Þ¨²��µr��¨�íe§�¨\ ¦µ� ¦�²íTÜm©|��ªr¨·©�«�¨²°� .µá§��²¨�°�È ¬���ªr¨� ¦�²��©|�[��¬[®Þ©|ã:Ü���¨² �³Térí�¬8��ãã:��ª��¨²°� T�² �®Þ©|��³& �³L³�§�¨�§>©�ªãR��¥$¨��à³&��ãL Þªä¬8��©|ªm§�¥p¬8�p�8«§�®� �¬=¦r¨�°� �¬8°m§�Üm â©�«[¨²°� �¬8�pã:ãh§�¨²��©|ª¬����8«§|®Þ �¬>§�ªm³)¨�°� Ñ¬���ã:ãh§�¨���©|ª<ß_ ¦�$��°r¨�¬ò§��� �®Þ©�ã:Üp��¨� �³0«d��©|ã+¨�°p )+e�� ¦ ¦ª�È�¬ñ«d�pªm®�9¨²��©�ªä¬Ø©�«å¨�°p a¬���ª��|¥� �¬²®¦§�¨²¨� ¦�²��ª��òß�§¦µ� =9Ü���©|Üm§���§�¨��$©�ªh ��rÜm ¦���$ã: ¦ªr¨hO�¶r®±°pª� ¦��³r ¦�¦Ým¡¦ö�¢{2�¦ï_ ¦�%�&°p©���¨�¡�ö323/'S�æÛYª7¬8©|ã: >ã:©|��  ³& ¦¨�§���¥Ý�¨�°� � ï¬�¬8 �ªm®Þ �©�« ¸ 9¤Ç Ü��� ï¬8¨�§|®��Ñã:���|��§�¨���©|ª0�à¬T ��rÜ��� �¬²¬8 �³

¸ ¢

Page 38: math.berkeley.edusethian/2006/Papers/sethian... · 2006-08-07 · 0 132 1 46587:9);=? @BADCFEHGJILK.ANMOI6PRQTSUERIWVXANK.ERIWY[ZD\] MXY3^_ANG`\`Y3Iba.PRQ c EedfY3QgPeG`MXY[Eihij

érí:¨�°p ñ«d©|¥�¥$©�ß��$ª�����ªr¨� �����§�¥� {J��m§�¨���©|ª[£ÛYãh§��| 3OtðVSVU �l��ñ=ò¸�xñÅóTô O±ð�õÅ�*ð1� ö.S ô O±ð1�*ð�÷Å�øöùS¤Ça§�¨�§�O±ð�õÅ�*ð�÷Å�KöùS¤£3ð�÷A£3ð�õ%£Lö@� O ¸LÊ S

ß�°� ��� �ðU�à¬>¨�°� h�$ãh§��| R©|��¨�Ü��p¨R¥$©r®¦§�¨²��©�ª Ý�§�ªm³ìð�õÅ�*ð�÷L§��� h¨�°� Ñ³�§�¨�§7¬8©|����®Þ Ñ§�ªm³�² �®Þ ¦�$µ� ¦�:®�©�©���³r��ªm§�¨� �¬�Ý>§�ªm³-ö ��¬0§�ª����p¥�§��h«d�� {J��� ¦ªä®Þí�æú�_°� Ô+e�� � ¦ª�È�¬R«d��ªä®Þ¨��$©�ªm¬ô O±ð�õÅ�*ð1� ö.Sò§�ªm³ ô Otð1�*ð�÷Å�øö.S�Üm§���§�ã: ¦¨� ����[;� RÜ��²©�Üm§���§�¨���©|ªî«d��©|ã ¬8©|����®Þ h¨²©<��ãh§��� Üm©��$ª&¨ò§�ªm³A«d��©|ãC��ãh§��� �Üm©��$ª&¨�¨²©0�� ï®Þ ¦��µ� ��¦Ým�� �¬�Ü~ ï®Þ¨��$µ� ¦¥�í�æòÛYª@ã©�¬8¨��$ã:Ü�¥� �ãR �ª&¨¯§x9¨²��©�ªä¬ÞÝ�¨²°� L®¦§�¥à®Þ��¥à§�¨��$©�ªÑ��¬T©�«d¨� ¦ªF³&©�ªp ���ªm¬�¨� �§|³0��ª<¨�°p �¨���ã �³&©�ã�§���ª Ý[§�ªm³<®�§�ª7é~  ��rÜ��² �¬�¬� �³h§�¬_¨�°p >¬���ã:ãh§�¨��$©�ªÛ�ã�§��� ×O±ðVSèUGû ñ ò û ñ ó ��üK�@ý�ÛYª�Ü���¨8O±ð�õA�%ð�÷��*þ%ü Ú þ¤ý�S�� O ¸ õ'S

ß�°� ��� �Û�ªpÜ���¨_�à¬á§I!m¥$¨� ¦�² �³Hµ� ���¬8�$©�ªL©�«\¨²°� T�$ª�Ü���¨�³�§�¨¯§&Ýp§�ªm³R¨²°� Ð+e�� � ¦ª�È�¬·«d��ªä®Þ¨��$©�ªm¬§��� �Üm§��¯§�ã: �¨� ¦�²�[;¦ �³�érí:¨�°� ò§�ã:Ü�¥��$¨��m³r T¨² ¦��ãh¬ �iüA�A��ýe§�ªm³:¨���§¦µ� ¦¥$¨��$ã: �¬ þ%üA�*þ¤ý¦æ��©�� ¸ 9¤Ç�Ü��� �¬�¨�§|®����a����®�°�°�©�êL³& �Ü�¨�°�ã:�$����§�¨��$©�ª[Ý�¨�°� .+e�� ¦ �ª�È�¬�«d��ªm®Þ¨²��©�ªä¬[§��� á�² ¦Üy9�² �¬8 ¦ªr¨� ï³Té&í.!mµ� =9�³&�$ã: ¦ªm¬���©�ªä§�¥�¨�§�é�¥� �¬Å¦�¨²°� �¬� �¨�§�é�¥� �¬[§��� �«d��ªm®�¨���©|ªm¬�©�«p¨�°p á¬8©|����®Þ ×ÿ¦�� ï®Þ ¦��µ� ��¬����8«§|®Þ <¥�©r®¦§�¨��$©�ªm¬)Ot��Ý�í]S §�ªä³ ©�«>¨²°� <�� ÅHm �®Þ¨²©��LÜ~©�¬8�$¨���©|ª Ot��Ý�í�Ý0;×S���ªì¨�°p Cµá§��²¨�°�È ¬�$ª&¨² ¦���$©��¦æe�_°���¬)+e�� ¦ �ª�È�¬R«d��ªm®�¨���©|ªìÜm§��¯§�ã: �¨� ¦�²�[;�§�¨���©|ªì��¬:�m¬��m§�¥$¥�íîéä§�¬8 ï³U©�ª5¨�°� §|¬�¬8�pã:Ü�¨��$©�ªh©�«Ø§�®Þ©|�m¬8¨²��®aÜ���©|Üm§���§�¨²��©�ª æ.�_°���¬@�a���¯®±°�°p©�ê<Üp�� �¬�¨�§�®A�:ã:�$���¯§�¨��$©�ª:Üp��©L9®Þ ï¬�¬á®Þ©�ªä¬8��¬�¨�¬á©�«[¨�ßi©�¬8¨¯§��| �¬Þæá�·�$��¬�¨¦Ý�¨��¯§ïµ� �¥�¨��$ã: á¨�§�é�¥� �¬á§��� �®Þ©�ã:Üp��¨� �³�§�ªm³:¬�¨�©��² �³�æ¶� ï®Þ©�ªm³�Ý�¨�°� òã:���|��§�¨² �³R�$ãh§��| a��¬_«d©��²ã: �³Réríh®Þ©|ª&µ�©|¥�µr��ª���¨²°� �Ü��� �¬�¨�§|®��h³p§�¨�§Lß���¨�°ã:�$���¯§�¨��$©�ªL©�Üm ¦�¯§�¨�©|��¬�³& �����µ� ï³ «d�²©�ã ¨�°� e¨��¯§ïµ� �¥�¨��$ã: _¨¯§�é�¥$ �¬Þæ1ï_©|¨�°:Üp°m§�¬� �¬ØÜ��² �¬8 �ª&¨®�°m§�¥$¥� ¦ªp�� �¬�«d��©�ã ¨�°� �Üm ¦��¬�Üm �®Þ¨��$µ� a©�«å¨�°p â�| ¦©�Üp°&íp¬8�஦§�¥\§|®¦®Þ���¯§�®Þíh§�ªm³:©�«á¨²°� ò®Þ©�ã,9Ü��p¨� ¦���$ã:Ü�¥� �ãR ¦ªr¨�§�¨��ë©�ª æ�_°� ��� ¦í7 ¦¥� �ã: ¦ªr¨a©�« ¸ 9_ÇVÜ��² �¬8¨¯§�®A�ì�a�$��®�°�°�©�ê ³& ¦Ü�¨²°�ã:���|��§�¨²��©|ª)��¬�¨�°� Ñ®¦§�¥\9®Þ�p¥�§�¨²��©|ª�©�«�¨��¯§¦µ� ¦¥�¨²��ã: �¨¯§�é�¥$ �¬>�m¬8 ï³�¨�©7Üm§���§�ã ¦¨� ¦�²�[;¦ L¨�°p 0§|¬8írã:Ü�¨²©�¨��ப+e�� ¦ �ª�È�¬«d��ªä®Þ¨��$©�ªm¬�æ<óTª) =î�®Þ�$ ¦ª&¨�¨���§¦µ� ¦¥$¨��$ã: �®¦§�¥�®Þ�p¥�§�¨²��©|ª)ã: ¦¨²°�©r³A�à¬â�² {J �p���� ï³A¨²©<�� ¦ª� ��K9§�¨� �¨�°� òõ�9¤Ç ¨���§¦µ� ¦¥$¨��$ã: �¨�§�é�¥� �¬�æ1�3�¯§¦µ� ¦¥�¨²��ã: e®Þ©|ã:Ü���¨¯§�¨²��©�ªhã: �¨�°�©r³�¬á°m§¦µ� ò§>¥�©�ªp�°��à¬8¨²©���íp¦�¨�°� eÜm§|¬8¨_¨² ¦ªLí� �§��¯¬j°ä§ïµ� e¬� ¦ ¦ª®Þ©�ªä¬8��³r ¦��§�é�¥� eª� ¦ß §�³&µ|§�ªä®Þ ¦ã: ¦ªr¨�¬�Ý�Üm§���¨��à®�9��¥à§��²¥�íL¨�°�©�¬8 ò§��$ã: �³L§�¨�§·!äª���¨² �³&� ê� ¦�² ¦ªm®Þ ñ§�Ü�Ü��²©�§|®±°[Ým¬� ¦ iÌa�à³�§�¥$ ÐO¯ô Þ×Þ ÷±S¯æ1������©|�_¨²©¨²°���¬�ß_©|�*��Ý�¨��¯§¦µ� ¦¥�¨²��ã: �¬�ßi ¦�� �¨�írÜ���®�§�¥�¥$íò®Þ©�ã:Üp��¨� �³��m¬8�$ª�����§¦í�¨��¯§�®Þ�$ª���¦�ß�°��$¥� �¨²°� �¬8 �¯§ïíh¨²��§�®���ª��Lã: ¦¨²°�©r³�¬_©�ê� ¦�ñ§H°��$��°7³& ����� � â©�«i§�®�®Þ����§|®Þí�Ým¨�°� �íh§�¥à¬8©:Üm©�¬� ���ªr¨� ¦�²Üm©L9¥à§�¨��$©�ªÑÜ���©|é�¥� ¦ã�¬_��ª<¬�°m§�³r©�ß¾§��� �§|¬a§�ªm³<§��� �§|¬Tß�°� ¦�² >ãL��¥�¨²��Ü�¥$ a®�§��m¬�¨���®�¬T³& �µ� ¦¥�©|Ü[æ�_°� ��m¬� �©�«V!mªp��¨� ñ³&� ê� ¦�² ¦ªm®Þ a¨²��§¦µ� ¦¥$¨���ã �¬�§�ã ¦¥��$©���§�¨� �¬�¨²°� �¬8 ��$ª&¨² ¦��Üm©�¥à§�¨²��ª���Ü��²©�éy9¥$ ¦ãh¬Ø�$ªÑ¬8°m§|³&©�ß ;�©�ª� �¬�Ým§�¨e¨�°� �Ü��²��®Þ �©�«á��¬²¬8�� �¬_©�«i¬8¨¯§�é��$¥��$¨8í§�ªä³0¨�°� ò³& ¦¨² �®Þ¨²��©�ªh©�«ã:©�¬8¨i ¦ª� ¦�²�� ¦¨²��®a§������$µ|§�¥�¬�µ� ¦�¯¬8�m¬_¨²°� i!m��¬�¨e§����²��µ|§�¥à¬Þæ¸ 2

Page 39: math.berkeley.edusethian/2006/Papers/sethian... · 2006-08-07 · 0 132 1 46587:9);=? @BADCFEHGJILK.ANMOI6PRQTSUERIWVXANK.ERIWY[ZD\] MXY3^_ANG`\`Y3Iba.PRQ c EedfY3QgPeG`MXY[Eihij

óUé��²©�§|³0¬8Üm �®�¨����pã ©�«�¨²��§¦µ� ¦¥�¨²��ã: �®Þ©�ãÜ���¨�§�¨��$©�ª:ã: �¨�°�©r³�¬áß_ ¦�² �³& ¦µ� �¥�©�Üm �³���ª¨²°� _ �§���¥$í�ö ¹ È�¬�Ý�¬8 ¦ òô Þ ¢�Ý Þ õ�÷Yæ�ó�¨\¨�°� �®Þ©��² �Ý�¨�°p �Ü���©|é�¥� ¦ã ©�«[®�©�ã:Ü��p¨���ªp�N!m�¯¬8¨á§����²��µ|§�¥¨²��ã: �¬��² {J �p���� ï¬~¨�°p á¬8©|¥���¨²��©�ª�©�«�¨²°�  µj�7��©�ªm§�¥� {J��m§�¨���©|ª[Ý�ß���¨�°�¨�°� á��©�§�¥r©�«ä§�®¦®�����§�¨� ¦¥$í§�ªm³��²©�é��m¬�¨�¥$í�³& �§�¥���ªp�<ß���¨�°�¨²°� :«d©���ã�§�¨��$©�ª�©�«â®Þ�m¬8Üä¬�§�ªm³Å®Þ©��²ª� ¦��¬�Ýب²©�Üm©�¥$©��|��®¦§�¥®�°m§�ªp�� �¬_�$ªg¨²°� ò¬8©|¥���¨²��©�ª Ým§�ªm³Ñ¬8��ªp����¥à§����$¨��$ �¬=¦p�~§|¬8¨e­<§���®�°���ª��L­0 �¨�°�©r³�¬�Ý�ém©�¨�°Ñ¨�°� !m�¯¬8¨e§�ªm³0¬� �®Þ©�ªä³g©��¯³& ¦��µ� ¦�¯¬8�$©�ªm¬�Ý&Ü��²©�µr��³r âµr��§�é�¥� ñ§�Ü�Ü��²©�§|®±°� ï¬Þæóa¬·�$¥�¥$�m¬8¨²��§�¨²��©|ª[Ý���ªL�\�����p�� ./ Ê ß_ e¬8°p©�ß §T°�©|���[;�©�ªr¨�§�¥p¨���§¦µ� ¦¥$¨��$ã: á¬8¥$��®Þ i¨�°��²©����|°§:¶�µh+5ÿ{µáóI+�µU¶r§�¥�¨�­0©r³& ¦¥Ý�¨�§L�� �ª�«d�²©�ã-ô Þ /�÷Yæ�¶�°�©�ß�ª<§��� >¨²°� � {J����\9�§��²����µ|§�¥[¥���ªp �¬«d�²©�ã §>Ü~©|��ªr¨�¬�©����¯®Þ �®Þ©|ã:Ü���¨² �³H�ä¬8��ªp��¨�°� ��m§|¬8¨�­<§���®�°���ªp��­0 ¦¨²°�©r³R©�ªÑ§>�² �®Þ¨�§�ªy9�|��¥�§��Tã: ï¬8°[æ

�·�$�����²  / Ê £ µ1J ���«9�§����²��µ|§�¥Ô®Þ����µ� ï¬ «d©|� ¨�ß_©L9�³&�$ã: ¦ªm¬���©�ªä§�¥ ¬8¥$��®Þ �¬ ¨�°��²©����|°¶�µh+5ÿ{µáói+�µU¶r§�¥$¨e­0©r³& ¦¥Yæøúù�� ü ��c � ü5ýVgeý � d ��c þNg �� ý�_ý�����ý �G� ý �]� þ��i�ç7 a�� �¨����²ªRª�©�ß쨲©L§�ªh§�Ü�Ü�¥��஦§�¨²��©|ª:�m¬8�$ª��>¥$ ¦µ� ¦¥m¬� ¦¨_ã ¦¨�°�©r³p¬jß��$¨�°h§�é����$ Þ«\¬� �®Þ¨²��©�ª©|ªR�|����³>�| ¦ª� ¦�¯§�¨²��©�ª æáóa¬·��¬\ß_ ¦¥$¥\9¥�&ª�©�ß�ª[Ý|©�ª� e©�«�¨�°p Tã:©�¬8¨\Üm ¦��Ü�¥$ ��r��ª��aÜp��©�ép¥� ¦ãh¬[��ª®Þ©|ã:Ü���¨¯§�¨²��©�ªä§�¥]Hä����³Rã �®±°ä§�ª��஦¬���¬Ø¨²°� ��� ¦ªp ¦��§�¨���©|ªh©�«j§�Ü�Ü��²©�Ü��²��§�¨� ����²��³�¬�§���©��pªm³®Þ©|ã:Ü�¥$ ��ò¬8¨��²�m®Þ¨²���� �¬�æVËT©|ªy9�¬8¨��²�m®Þ¨²���� �³�ã: �¬�°� �¬�§��� eµ� ¦��¬²§�¨²��¥� �Ý�é��p¨_©�«d¨² ¦ªL¥�§�®A�>°p����°§|®¦®Þ���¯§�®Þíp¦�é~©r³rí:9t!m¨�¨² �³0®�§���¨² �¬8�à§�ªLã: �¬�°� �¬á§�¥$¥�©�ßì°����|°:©��¯³& ¦��¬�®�°� ¦ã: �¬�Ý�ép��¨e®¦§�ªé~ 

¸ ö

Page 40: math.berkeley.edusethian/2006/Papers/sethian... · 2006-08-07 · 0 132 1 46587:9);=? @BADCFEHGJILK.ANMOI6PRQTSUERIWVXANK.ERIWY[ZD\] MXY3^_ANG`\`Y3Iba.PRQ c EedfY3QgPeG`MXY[Eihij

³&�«îh®���¥�¨�¨²©h®Þ©�ªä¬8¨��²�m®Þ¨aªp �§��a�$ª&¨²���஦§�¨² âÜp°&íp¬8�஦§�¥[ém©��pªm³�§��²�� �¬aß�°� ��� >�|��§|³&�� ¦ªr¨�¬�§��� ¥à§����| ò§��� ��² {J �p���� @!mª� �Ým®Þ¥$©�¬� =9±!ä¨�¨��$ª���ã: �¬�°� �¬�æÛYª7ô�õ Ê ÷YÝrªm§��²��©�ßUéä§�ªm³:¥� �µ� ¦¥�¬8 ¦¨iã: ¦¨�°p©r³�¬_ß_ ¦�² T�ä¬8 �³:¨�©��| ¦ª� ¦�¯§�¨² âém©r³&í'9t!m¨�¨² �³®¦§���¨² �¬8�à§�ªh©��²¨�°�©|��©�ªä§�¥á���²��³�¬�§���©��pªm³0ém©r³&�� �¬�æ.�_°� ò�� ¦ª� ���§�¥[�à³& �§>�à¬ú¨²©R ��rÜ�¥$©���¨i¨�°� �| ¦©�ã: �¨����à®aªm§�¨²���� L©�«i¨�°p �Ü���©|é�¥� ¦ãÔ§�ªm³<µr�� ¦ß ¨²°� �ém©r³&í7��¨�¬� ¦¥ «Ø§�¬a¨�°� ��$ª���¨²��§�¥·Üm©L9¬���¨��$©�ªÑ©�«�§�ªÑ��ªr¨� ¦��«§�®Þ �¨�°ä§�¨aãL�m¬8¨�ém  §�³&µ|§�ªä®Þ �³0©��p¨8ß�§��¯³�¬a§¦ß�§¦í:«d��©|ãV¨²°� >ém©r³&í�æ�_°� ��$ª���¨²��§�¥mÜm©�¬���¨²��©�ªÑ©�«å¨�°� ���ªr¨� ¦��«§�®Þ �§�ªm³:��¨¯¬_Ü~©�¬8�$¨���©|ªÑ§�¨�¥�§�¨� ¦��¨²��ã: ï¬å«d©|��ãh¬á©�ª� ¬� ¦¨T©�«i�����à³g¥$��ª� �¬Å¦~�$¨�¬�©��²¨�°�©|��©�ªä§�¥i¬8 ¦¨e«d©���ã�¬_¨�°� ò©�¨�°p ¦�¦æ��_°���¬T¨² �®�°�ª��rJ��� ���©|����°p¥�í«§�¥�¥�¬\��ªr¨�©�¨�°� e®�§�¨� ���©��²íR©�«\§a°rí&Üm ¦�²é~©|¥��à®�¬8©�¥$µ� ¦�¦æè�T©�ß_ ¦µ� ��¦Ý�é&í ¬8©�¥$µ&�$ª���¨�°� e®�©����² �®Þ¨ ¦µ�©|¥���¨²��©|ª� xJ �m§�¨��$©�ª�«d©|�:§�ªì§|³&µ|§�ªm®Þ�$ª��@«d�²©�ªr¨¦Ý_¨²°� Ñ³&�\î�®Þ��¥$¨��� ï¬â©�«â¬8°�©r®A�)«d©���ã�§x9¨²��©�ª�§�ªm³:®�©�¥�¥$��³&�$ª��ò®±°ä§���§|®Þ¨� �����¬�¨��஦¬�¨�°m§�¨_Ü�¥à§����p aã:©�¬�¨á°&írÜm ¦��ém©�¥$��®�¨� �®�°�ª�� J �p �¬á§��� §¦µ�©��à³& �³�æ��a¬8 ��â�$ª&¨² ¦��µ� �ª&¨²��©�ª<�à¬i�� ¦Ü�¨�¨�© §gã:�$ª���ã���ã�¦m«d©��>¨²°� Lã:©�¬�¨âÜä§���¨�Ý����²��³�¬§��� ��� ¦ªp ¦��§�¨� �³h§��p¨�©�ã�§�¨��஦§�¥$¥�íLß���¨²°�©���¨�¨²°� �ª� ¦ �³:¨²©:§|³¦è��m¬8¨eÜm§���§�ã ¦¨� ¦�¯¬ÞæÛYª7¬8©|ã: �ã:©��² �³& ¦¨¯§��$¥YÝ�!m��¬�¨�§�ª<�$ª&¨² ¦�8«§|®Þ >�à¬úÜ��²©�Üm§���§�¨� �³<©���¨�ß�§���³p¬ñ�ä¬8��ªp�:¨�°� ¬�Ü~ � �³@«d��ªm®Þ¨²��©�ªbM<ORQTS<UÔ¡·W��%Q�¦á¨�°��à¬>®Þ�² �§�¨² �¬>§<®Þ©|ªm®Þ ¦ªr¨��²��®L¬8 ¦¨�©�«aém©r³&í'9t!m¨�¨² �³®Þ©�©|��³&�$ªm§�¨² a¥��$ª� �¬�æV�[©L®Þ©�ªm¬�¨��²�m®Þ¨_¨²��§�ªm¬8µ� ¦�¯¬8 e¥��$ª� �¬ÞÝ�ßi ú«d©|¥�¥�©�ß쨲��§¦è� �®�¨�©��²�� �¬�ª�©|��ãh§�¥¨²©R ¦µ�©|¥�µr��ª���©|��¨�ß�§���³0���²��³h¥���ªp �¬=¦m¨�°��à¬T®�©����² �¬8Üm©|ªm³�¬T¨²©R«d©�¥$¥�©�ß���ª��L¨�°p >���¯§�³&�$ ¦ªr¨T©�«¨²°� :¥� �µ� ¦¥·«d��ªm®�¨���©|ª�B·æ �j¥à§�®Þ �� ª�©r³& �¬�§�¨�Ü~©|��ªr¨�¬5º ß ÝUÔ¡3��� ©�ª�¨�°� ��ª��$¨���§�¥ém©r³&íѧ�ªä³0¬8©|¥�µ� �¨�°p �� ©|��³&�$ªm§��²íh³&�ëê� ��� ¦ªr¨��à§�¥� xJ �m§�¨��$©�ªm¬£3º ߣ3þ U M<ORQTS ´àB§ ´"B1§ � O ¸3Þ Sß�°� ��� "º ß O±þASa�à¬â¨�°p :¥�©r®¦§�¨��$©�ª)©�«a¨²°� � tþ��)�|����³7Ü~©|��ªr¨�§�¨�¨���ã <þ=¦á§Ñ¬8 �®�©�ªm³)©��¯³& ¦�O¥�T ¦��ª�È ¬�Såã: ¦¨�°p©r³g®�§�ªhém >�m¬� �³�æ¶�©|ã: >©�«_¨²°� ��� ï¬8��¥$¨�¬T©�«_¨²°���¬�§�Ü�Ü��²©�§|®±°F§��² L¬8°�©�ß�ª7��ª<�\�����p�� ,/�õh§�ªm³<�·���|���� / Þ æ

�·���|���� I/�õ&£ ï_©r³&í'9±!ä¨�¨� ï³g���²��³�¬_�| ¦ª� ¦�¯§�¨² �³g�m¬���ª���¥$ ¦µ� ¦¥�¬8 �¨e§�Ü�Ü��²©�§|®±°ç7 Rª�©|¨� L¨�°m§�¨>¨²°� R¥à§�¬�¨I!ä�����² R�$ª)�·�$��æà/ Þ ��¬�§g¨²°��� � =9�³r��ã: ¦ªä¬8��©|ªm§�¥\���²��³T¦\¨�°� ¨² �®±°pª��rJ��� �®¦§��²���� ï¬_©�µ� ��_ �§|¬8��¥$í:¨�©�¨²°��� � >³r��ã: ¦ªä¬8��©|ªm¬Þæ

Ê�¹

Page 41: math.berkeley.edusethian/2006/Papers/sethian... · 2006-08-07 · 0 132 1 46587:9);=? @BADCFEHGJILK.ANMOI6PRQTSUERIWVXANK.ERIWY[ZD\] MXY3^_ANG`\`Y3Iba.PRQ c EedfY3QgPeG`MXY[Eihij

�·���|���� I/ Þ £ ï_©r³&í'9±!ä¨�¨� ï³g���²��³�¬_�| ¦ª� ¦�¯§�¨² �³g�m¬���ª���¥$ ¦µ� ¦¥�¬8 �¨e§�Ü�Ü��²©�§|®±°çì°m§�¨a��¬�ª�©�¨ é~ ���ª��:Üp��©�Üm©�¬8 �³<°� ¦�² >��¬e§R�| ¦ª� ¦�¯§�¥\¨� �®�°�ª�� J �� a«d©|��®Þ©�ªä¬8¨��²�m®Þ¨²��ª��®Þ©|ã:Ü�¥$ ¦¨� \���²��³�¬�«§��[«d��©|ãÇém©r³&�$ �¬Þæå�·���¯¬8¨�Ý��$ªâ¨²°� �®�§�¬8 á©�«m°����|°�¥�í�ª�©�ªy9�®Þ©|ª&µ� ���ém©r³&�$ �¬Þݨ²°� )§�ém©�µ� 7¨� ï®±°�ªp�rJ��� 0ß��$¥�¥�ª�©�¨hßi©��*�p¦�¬���³& �¬:©�«L¨�°� <ém©r³&í ß��$¥�¥a�|��©�ßC¨�©|�� ¦¨²°� ¦�ém Þ«d©|�� <¨�°p 0«d��©�ªr¨:°m§|¬ìY�¨��$ã: {Z<¨�©) ï¬�®¦§�Ü~ �¦a��ªì¨�°p��¬:®¦§|¬8 �Ýe¬�©�ã: 7¬�©���¨©�«L³r©�ãh§���ª³& ï®Þ©�ã:Üm©�¬8��¨²��©|ªg�à¬T�� xJ ���$�� �³�æT¶� �®Þ©|ªm³�Ým¨�°� ò�m¬8 ò©�«iã:©|�� ò¬8¨¯§�ªm³�§���³<¨� �®�°�ª�� J �p �¬Ø«d©��ã:©r³r� «dír��ª��:¨²°� L�����à³�Ý[©�ªm®� R¨²°� Réä§�¬8�à®R³r �¬8�$��ª7��¬�§�®�°��� �µ� �³�Ý�ã:�$��°r¨TÜp��©�µ� >«d�����$¨8«d��¥æÛYª)Üm§���¨²��®Þ��¥à§���Ý�¨�°� :�|���à³�¬>�� ¦ªp ¦��§�¨� �³@�ä¬8��ªp�<¨�°��à¬�§�Ü�Ü��²©�§|®±°�ãh§¦í<ãh§{�� R ��p®Þ ¦¥$¥� ¦ªr¨�$ª���¨²��§�¥����²��³�¬Ø«d©|�Tµ|§��²��§�¨���©|ªm§�¥\§�ªm³0§�¥��| ¦é���§���®aã: ¦¨²°�©r³�¬�æ��·�$ªm§�¥$¥�í�Ýr ��&¨² ¦ªm¬���©�ª©�«á¨²°���¬ßi©��*�¨�©LãR��¥$¨��$Ü�¥� eém©r³&�� �¬��� xJ ���$�� �¬_°ríré����à³�¨² �®�°�ª��rJ��� �¬á��ªhß�°��à®±°Ñ¬8�$ª���¥$ ������à³�¬e§��� Üm§�¨�®�°� �³<¨�©|�� ¦¨²°� ¦��©�� §�¥�¥$©�ß_ �³0¨²©0©�µ� ¦��¥à§�Ü[Ý\¬���ã:�$¥�§��e¨�©Ñ¨�°�©�¬8 ®Þ©�ãã:©�ª�¥$íh�m¬8 �³<��ª©|¨�°� ¦�ò¬²®±°� �ã: �¬Þæ óTª7§�¨²¨���§|®Þ¨��$µ� L§�Ü�Üp��©�§|®±°�®Þ�����² ¦ªr¨�¥�íÑ��ªm³& ��>¬�¨��m³rí<��¬a¨�°� ��ä¬8 :©�«¨²°� �¬8 �¥$ ¦µ� ¦¥[¬� ¦¨�¨� ï®±°�ªp�rJ��� �¬j«d©|�T�|���à³�¬úªp �§���ém©r³&�$ �¬ÞÝ�®Þ©��pÜ�¥� �³:ß��$¨�°<§�¨��¯§�ªm¬���¨²��©�ªh¨²©

Ê ¡

Page 42: math.berkeley.edusethian/2006/Papers/sethian... · 2006-08-07 · 0 132 1 46587:9);=? @BADCFEHGJILK.ANMOI6PRQTSUERIWVXANK.ERIWY[ZD\] MXY3^_ANG`\`Y3Iba.PRQ c EedfY3QgPeG`MXY[Eihij

®¦§���¨² �¬8�à§�ª)�|����³p¬>§¦ß�§¦í<«d��©�ã-¨�°p :ém©r³&íT¦á¨�°p��¬âã�§ïí<ém :©�«eÜm§��²¨��à®Þ��¥�§��>�m¬� :��ªEHm����³³&írªm§�ã:��®¦¬\®¦§�¥�®Þ��¥à§�¨²��©�ªä¬·ß�°� ¦�² �é~©r³rí:9t!m¨�¨² �³L®Þ©�©��¯³&��ªm§�¨� �¬á§��� �§�¨�¨²��§|®Þ¨��$µ� _¨�©��² �¬8©|¥�µ� ém©��pªm³�§��²íR¥à§¦í� ¦�ᮦ§�¥�®Þ��¥à§�¨²��©�ªä¬ÞÝ�ß�°���¥$ _«§��¤9±!m �¥�³L®¦§��²¨� �¬���§�ªL���²��³�¬i§��² a§�Ü�Ü���©|Ü����à§�¨² T¨²©®Þ©|ª�ª� �®�¨e®Þ©�ã:Üp¥� ����| ¦©�ã: �¨����$ �¬Þæøúù�ø ê}� ý�ä)þ.g@� ��� æ mT�âc þNg þ���/É � ýVg@� c þNg��7ý���þ m�cR�3� k"c ý��K��� �ªê�� þ��f � d1��ý k �8þ � dùgN� ä)þ�ÿ��·æN� ��c þ.g �³� ýëiý��ì��ý � � ý �]� þ��i�dhg@� k dí� �-� d ��mT�@c g@j � ý �]� þ@�i�ÛYª�§0µ|§��²�� ¦¨�í7©�«�Ü�°rí�¬���®¦§�¥ØÜp��©�ép¥� ¦ãh¬�Ý�¬��m®±°Å§|¬>¨8ßi©<Ü�°m§|¬8 "Hm©�ß˧�ªm³�®Þ©�ãLé��m¬�¨��$©�ª³&írªm§�ã:��®¦¬�Ý[¨�°� :�$ª&¨² ¦�8«§|®Þ 3ÿ�é~©|��ªm³�§���í7��¬�Ü�°&íp¬8�஦§�¥á©|érè� �®Þ¨¦Ýå§�ªm³)�$¨�¬âã©�¨��$©�ª7��¬ò³& =9¨² ¦��ã:�$ª� �³<é&í�¬8©�¥$µ&�$ª��F§@¬� ¦¨�©�«�Üä§���¨²��§�¥a³&�ëê� ¦�� ¦ªr¨��à§�¥i {J �ä§�¨��$©�ªm¬�©�ê5©�«�¨�°p �«d�²©�ªr¨¦æ��©��� 8��§�ã:Ü�¥� �Ý �$ª:«d©�¥�¥$©�ß���ª�� §�ª0�$ª&¨² ¦�8«§|®Þ aß�°��à®±°�¬8 ¦Üm§���§�¨� �¬�¨�ß_©���ãã:��¬²®Þ�ëé�¥� hHm�p��³�¬©�«å³&� ê� ¦�²��ª��L³& �ªm¬8�$¨��� ï¬ÞÝ�¨�°� ���ªr¨� ¦��«§�®Þ eÜm©�¬8�$¨��$©�ªh³& �¨� ¦�²ã:��ª� ï¬·¨�°� ñ³& ¦ªm¬���¨�íR¥$©r®¦§�¨²��©|ªm¬ÞÝß�°��à®±°ò¨�°� �ªL®Þ©�ªr¨��²©�¥�¬\¨�°� �¬8©�¥$��¨��$©�ªL©�«�¨�°p .Ëa§¦µr�� ¦�¤9�¶�¨²©3�� �¬[ {J��m§�¨²��©|ªm¬·©�ª� ���¨�°p ¦��¬���³& ©�«m¨�°� i��ªr¨� ¦��«§�®Þ �æj¶����8«§|®Þ á¨� ¦ªm¬���©|ªL§�¥�©|ª��a¨²°� á��ªr¨� ¦��«§�®Þ á��¬[¨��¯§�ªm¬Y«d©��²ã: �³a��ªr¨�©�§ú«d©��¯®�9�$ª��h¨� ¦�²ãV©|ª)¨�°p ������|°&¨¤9Y°ä§�ªm³:9�¬8�à³& �æLÛYª7®Þ©�ãLé��m¬�¨��$©�ª0Üp��©�ép¥� ¦ãh¬�Ý�¨�°p ÐH�§�ã: L§|®Þ¨�¬�§¬�©����¯®Þ �©�«�ém©�¨²°R ��r©�¨²°� ¦�²ã:��®Þ�$¨�íe§�ªm³�µ�©��²¨���®���¨�í�Ý�§�¬\ß_ ¦¥$¥�§|¬·Ü���©|Üm§���§�¨² �¬Øß��$¨�°L§NH�§�ã: ¬�Ü~ � �³g¨²°m§�¨�³& ¦Üm ¦ªm³p¬ú©|ª0¨�°p >¥�©r®�§�¥\®Þ���²µ|§�¨��p�� �æ_ç7 � ��rÜ�¥�©|�� �ém©�¨�° §�Ü�Üp¥���®�§�¨��$©�ªm¬���ª§�¥��$¨�¨�¥$ Tã©��� ñ³& ¦Ü�¨²°[æ­0�m®�°�©�«�¨�°p �¨� �®�°�ª�©|¥�©��|í>�$ã:Ü�¥� �ãR ¦ªr¨��ëª���¥$ ¦µ� ¦¥r¬� ¦¨áã: ¦¨�°p©r³�¬3�$ª�¨�ß_©�Ü�°m§|¬8 hHm©�ßß�§�¬·�$ª&¨²��©r³&�m®� �³â�$ªhô Þ{Ê ÷p§�ªm³hôë¡ Ê ÷æ·ÛYªò¨�°�©�¬8 �Üm§�Ü~ ���¬ÞÝr¬����8«§|®Þ _¨² ¦ªm¬8�$©�ªò¨� ¦�²ãÇ�à¬3¨¯§L�� ¦ªª�©|��ãh§�¥[¨�©:¨²°� iHm���à³g��ªr¨� ��8«§�®� �Ým§�ªm³0�à¬_Ü���©|Üm©���¨²��©|ªm§�¥á¨�©L¨�°p �®Þ���²µ|§�¨��p�� �Ý�³&�� ò¨�©§ém§�¥�§�ªm®Þ e©�«[«d©��¯®Þ �§����|��ã: ¦ªr¨�ém ¦¨�ß_ � ¦ªR¨²°� eÜ��� �¬²¬8���² a©�ª �§�®�°:¬���³& e©�« ¨�°� ���ªr¨� ¦��«§�®Þ �æ�_°��à¬_¥� �§|³�¬_¨�©L¨�°p â�² ¦¥�§�¨��$©�ª

¶��p�8«§�®� Ð�[ ¦ªm¬���©|ªªU���Q���OR£yS ��� O ¸ ¢×Sß�°� ��� ��U�à¬R¨�°� 7®�©� =îh®��� ¦ªr¨�©�«H¬8����«§�®Þ <¨² ¦ªm¬8�$©�ª[Ý@Qì��¬R¨²°� 7®Þ���²µ|§�¨��p�� �Ý!�U�à¬R¨�°� ª�©|��ãh§�¥&¨²©�¨�°� ��$ª&¨² ¦�8«§|®Þ �Ý"�yOR£yS ��¬�¨�°� @Çe����§|®�³& ¦¥$¨�§ú«d��ªä®Þ¨��$©�ª[Ý�§�ªm³,£â��¬\¨�°� e³&�à¬8¨¯§�ªm®Þ ¨²©0¨�°p R«d��©|ª&¨�æ��_°� :¥� �µ� ¦¥á¬8 �¨ñ«d�pªm®Þ¨��$©�ª�B)�à¬â�m¬� �³@¨�© ³& =!mªp R¨²°� :¥�©r®�§�¨��$©�ª)©�«e¨�°� �$ª&¨² ¦�8«§|®Þ �Ý�§�ªm³g �µ�§�¥��m§�¨� �¨�°p �®Þ���²µ|§�¨��p�� ò§�ªm³hª�©��²ãh§�¥[µ� ï®Þ¨�©|�¦æ1�_°r�m¬ÞÝm¨�°� � Þê� �®�¨T©�«¬����8«§|®Þ T¨² ¦ªm¬���©�ª��à¬�¨�©ò§�®Þ¨i§|¬Ø§�ªh§�³p³&��¨²��©�ªä§�¥&«d©|��®Þ�$ª���¨� ¦�²ã¼��ªL¨�°p e³&���² �®Þ¨��$©�ª�ª�©|��ãh§�¥¨²©<¨�°� ÉHä����³@�$ª&¨² ¦�8«§|®Þ �æ��_°� :«d©|��®Þ�$ª��0¨² ¦��ã-��¬ò§�³�³& ï³@¨�©<¨²°� :���$��°r¨K9°m§�ªä³:9�¬���³& h©�«¨²°� ÍËa§¦µ&�$ ¦�K9²¶�¨�©×�� �¬â xJ �m§�¨��$©�ªm¬�é&í�¬8ã: �§����$ª��0¨²°� Ñ³& ¦¥�¨¯§g«d��ªm®Þ¨²��©|ªî©�µ� ¦�>¨²°� h���²��³�æ�_°� � {J��m§�¨���©|ªm¬�§��² �¨�°� ¦ª¨8írÜ��஦§�¥$¥�íL§�ÜpÜ���©{�r��ãh§�¨� �³R¨²°���©|����°hµ|§��²��§�ª&¨¯¬ú©�«_ðá°�©|���$ª�È�¬Ü��²©�è� �®Þ¨²��©|ª0¬²®±°p ¦ã: �Ý�¬� ¦ ô ¡�ö�÷Yæ

Ê /

Page 43: math.berkeley.edusethian/2006/Papers/sethian... · 2006-08-07 · 0 132 1 46587:9);=? @BADCFEHGJILK.ANMOI6PRQTSUERIWVXANK.ERIWY[ZD\] MXY3^_ANG`\`Y3Iba.PRQ c EedfY3QgPeG`MXY[Eihij

´m ¦µ� ¦¥j¬8 ¦¨�ã: ¦¨²°�©r³�¬a§�Ü�Ü�¥$�� �³<¨�©Ñ®Þ©|ã:Ü�¥� 8�0®�©�ãLé��m¬8¨²��©|ª7¬8��ãL�m§�¨���©|ªm¬�ß_ ¦�² �!m�¯¬8¨Üm ¦��«d©���ã �³â�$ªÑô Ê ¢�÷R¦r§���§��$ªR¨²°� �¥�©r®¦§�¨��$©�ªL©�«�¨�°� _«d�²©�ªr¨���¬�¨²��§�ªä¬�«d ¦�²�� �³>¨²©>§�ª���ªm³& ���¥�í'9�$ª��>�|����³:¨²°���©|����°h¨�°p a�m¬8 �©�«á¬�ã: �§��² �³L³& ¦¥�¨¯§ñ«d��ªä®Þ¨��$©�ªm¬�æáÛ�ª¨�°� �®�§�¬8 �Ý&¨�°p âÜp°&íp¬8�஦¬�à¬úã:©|�� a�$ª&¨²���஦§�¨² �Ý�¬���ªm®Þ ò©�ª� òãR�ä¬8¨�§|®¦®Þ©|��ª&¨�«d©��eém©�¨²°7§�ª< ��r©�¨²°� ¦��ã��®�µ� ¦¥�©r®Þ�$¨�í�Ýr§H�§�ã: �¬8¨��² ¦¨�®�°:¨² ¦��ã ß�°���®�°h³& �Ü~ �ªm³�¬_©�ªÑ§�¨�§�ª��� ¦ªr¨��à§�¥ ³& ¦���$µ|§�¨��$µ� �Ýr§�ªm³h§>µ�©|��¨��à®Þ��¨�íÜ��²©r³&�m®Þ¨²��©|ª�¨² ¦��ã-ß�°��à®±°�§���§���ªî�à¬> ��r°���é��$¨� �³<¨�°p��©��p��°ì§<³r ¦¥�¨¯§�«d��ªm®�¨���©|ª�©�ª�¨�°� é��p��ª��$ª�����ªr¨� ¦��«§�®Þ �æ���©���³& ¦¨¯§���¥à¬ÞÝp¬8 ¦ ô Ê ¢¦÷æç7 _ª�©|¨� á¨�°m§�¨���ª�ém©�¨²° ®¦§�¬� �¬ÞÝ�©�ªä®Þ _¨²°� á Þê� �®Þ¨[©�«ä¨�°� i��ªr¨� ¦��«§�®Þ ��à¬3¨²��§�ªm¬�«d ¦�²�� �³a¨²©¨²°� �§�Ü�Ü���©|Ü����à§�¨² �³&�ëê� ��� ¦ªr¨��à§�¥[ {J��m§�¨²��©|ªm¬ÞÝm©�ª�  ¬8¨²��¥�¥[ãL�m¬�¨���Ü�³�§�¨² �¨�°� a«d��©|ª&¨e��¨¯¬8 ¦¥ë«²æÛY¨���¬�¨� ¦ã:Üp¨���ªp�g¨²©0�m¬� :¨�°p ÉHm���à³Aµ� ¦¥$©r®Þ��¨�íÑ��¨�¬� ¦¥ «�¨�© §�®Þ¨ §�¬>¨�°p :µ� ¦¥�©r®���¨�íg«d©|��§�ªrí�|��µ� ¦ª)¥$ ¦µ� ¦¥á¬� ¦¨¦æE�T©�ßi ¦µ� ¦�¦Ý\§|¬�³&��¬²®Þ�m¬�¬� �³)��ª�®�©�ªm¬���³& ¦�¯§�é�¥$ h³& ¦¨¯§��$¥Ø�$ª ô02¦÷YÝá¬��m®±°�§®�°�©��à®Þ >©�«� ��r¨� �ªm¬8�$©�ª<µ� ¦¥$©r®Þ��¨�íCM$# ® »Øã�§ïíhª�©|¨�é~ Lß���¬� �æ<�_°��à¬a��¬aém �®¦§��ä¬8 L��ª7¬8©|ã: ¬���ãL��¥�§�¨���©|ªm¬ÞÝ ¬8�m®�°)§|¬a¨8ßi©hÜ�°m§�¬� ÉHm©�ß §�ªm³)®Þ©|ãRép�m¬8¨²��©�ª Ý�¨�°� <Hm���à³A�pªm³& ¦�²��©� �¬ò§è���ãÜg�$ª0¨²°� >ª�©|��ãh§�¥[µ� ¦¥�©r®���¨�í:§|®Þ��©�¬�¬T¨²°� >�$ª&¨² ¦�8«§|®Þ �Ým³&�p >¨�©L¨�°p >Ü��² �¬8 ¦ªä®Þ >©�«á¨�°� ³& �¥�¨�§�«d��ªm®Þ¨²��©�ªF¬8©|����®� R¨² ¦��ãh¬�æÐ�_°p aè���ãÜ<��ª<¨�°p��¬aµ� ¦¥�©r®���¨�íѧ�®Þ�²©�¬�¬�¨�°� ��$ª&¨² ¦�8«§|®Þ ³&�²��µ� �¬�§F³&��¬²®Þ©�ªr¨��$ª&���$¨�í@�$ª�¨²°� 0�|��§|³&�� ¦ªr¨L©�«ò¨�°� Ñ¥� ¦µ� �¥�¬8 �¨H«d��ªä®Þ¨��$©�ª[Ý_¥$ �§�³r��ª��<¨²©é��pªm®±°p��ª��L©�«i¥� �µ� ¦¥[¬� ¦¨ú«d�pªm®Þ¨��$©�ªm¬�Ý�ß�°��à®±°h¨�°p ¦ª0«d©��¯®Þ �¬e®Þ©�ªm¬�¨�§�ª&¨a�² �%��$ª���¨²��§�¥��[;ï§�¨��$©�ª[æ�_°��à¬�®¦§�ªÑ¥� �§|³:¨�©L§�¥�©�¬²¬ú©�«á§|®¦®Þ���¯§�®Þí�³&�����$ª���¨�°p��¬��� �%�Ü~©�¬8�$¨���©|ª���ªp�:¬�¨� ¦Ü[æ�_°� aÜp�� Þ«d ¦�²�� �³L§�ÜpÜ���©�§�®�°g�$ªm¬8¨² �§�³�Ý�§�¬�³r��¬�®��m¬�¬� �³R��ªAô02�÷Ý���¬Ø¨²©�é����$¥�³�¨�°� a 8�&¨² ¦ªy9¬���©�ªµ� ¦¥�©r®Þ�$¨�í�§�¬�«d©�¥$¥�©�ße¬Þæá�·�$��¬�¨¦Ý�¨�°� �µ� ¦¥�©r®Þ�$¨�í>©�«\¨²°� T«d�²©�ªr¨_��¨¯¬8 ¦¥ë«�M ��¬á³& �¨� ¦�²ã:��ª� ï³¨²°���©|����°�¨�°p h§�Ü�Üp��©�Üp����§�¨� hÜ�°rí�¬���®¦¬�æC�_°� ¦ª Ý��m¬8�$ª��0¨²°� Ñ�~§|¬8¨ ­<§���®�°��$ª��<­0 ¦¨²°�©r³�Ýßi >®�©�ªm¬�¨����ä®Þ¨e§�ªÑ ��&¨² ¦ªm¬���©�ªµ� ¦¥�©r®Þ�$¨�íªM'& ® »\¬²§�¨��à¬�«dír��ª��´�M$# ® »)(�´àB U ¹ � O ¸ 2'Sß��$¨�°�¨�°� åé~©|��ªm³�§���í ®Þ©�ªm³r��¨��$©�ªa¨²°m§�¨1M$# ® »�U³M)©|ª>¨�°p í;� ¦��©i¥� ¦µ� ¦¥|¬� ¦¨¦æ��_°��à¬�Ü���©r³&�ä®Þ §�ª0 ��r¨� ¦ªä¬8��©|ª0µ� ¦¥$©r®Þ��¨�í�ß�°��à®±°Ñ {J��m§�¥à¬_¨�°�  ®Þ©��²�� �®Þ¨�©|ª� >©|ª<¨�°� 5;¦ ���©L¥� ¦µ� ¦¥ ¬8 ¦¨�®Þ©|�K9�² �¬8Üm©�ªä³&��ª��L¨�©�¨²°� a«d��©|ª&¨�Ý�§�ªä³0¬8ã©�©�¨�°p¥�íLµ�§����$ �¬�§¦ß�§¦íR«d��©|ãË��¨�æVµ1J��m§�¨²��©�ª ¸ 2L®¦§�ªém �¬�©�¥$µ� �³: ��&¨²�� ¦ã ¦¥�í��¯§�Ü��à³&¥�í:�ä¬8��ªp�R¨²°� ��m§�¬�¨a­<§���®�°���ªp�:­0 ¦¨²°�©r³T¦�§�¬�¨�°�  ¬8�$��ª� �³³&�à¬8¨¯§�ªm®Þ �«d��ªm®�¨���©|ª"B:�à¬Ø®�©�ªm¬�¨����ä®Þ¨� �³�Ý&¨�°p T ��r¨� �ªm¬8�$©�ªÐ!m ¦¥à³H�à¬á¬8��ãL��¥$¨�§�ªp ¦©��m¬�¥�íòé�����¥$¨�m¬���ª��¨�°� L¬²§�ã:  ®¦§��m¬²§�¥$��¨�íh����¥$ �¬Þæ5�_°��à¬TÜ��²©�µr��³r �¬ú¨²°� �©�Üp¨���ã�§�¥\ß�§¦íh¨�©Ñ®Þ©�ªä¬8¨��²�m®Þ¨ ��r¨� �ªm¬8�$©�ª�µ� ¦¥$©r®Þ��¨²�� �¬[��ª³& ¦¥$��®¦§�¨� _Üp��©�ép¥� ¦ãh¬å¬8�m®�°L§�¬á¨�°�©�¬8 e��ª®Þ©�ã:Üp��¨�§�¨���©|ªm§�¥�Hm����³ã: ï®±°m§�ª���®�¬Ø§�ªm³0®�©�ãLé��m¬8¨²��©|ªh¬8�$ãR��¥à§�¨²��©�ªä¬Þæ\��©���³& ¦¨�§���¥à¬ÞÝ�¬� ¦ ô02�÷Yæ

Ê�¸

Page 44: math.berkeley.edusethian/2006/Papers/sethian... · 2006-08-07 · 0 132 1 46587:9);=? @BADCFEHGJILK.ANMOI6PRQTSUERIWVXANK.ERIWY[ZD\] MXY3^_ANG`\`Y3Iba.PRQ c EedfY3QgPeG`MXY[Eihij

øúù+* � �âmT�@c g@j�dhg@�-, ý�a>þ � cR��c þ.g c g ��ýjÿ c � m þNg@�5æ mT� þ � � dhg.æ���Åd mT� æ ��c g@j � k dí� � � d ��mT�@c g@j � ý ��� þ@�i�Xdhg@� � ýëiý��}��ý �� ý ��� þ����ç7 � ¦ªm³0ß��$¨�°7§h¬8Üm �®Þ�à§�¥á¬� �®Þ¨²��©�ª<©|ª@ �¨�®�°���ª��§�ªä³@³& �Ü~©�¬8�$¨���©|ª@�$ª7¬8 ¦ã�\9�®Þ©�ªm³r�m®Þ¨�©|�ãh§�ª&�r«§�®Þ¨²�����$ª���æà�_°���¬���¬â©|ª� :©�«e¨�°� Lã:©�¬�¨ò³& ¦¨�§���¥$ �³@§�ªm³)®Þ©|ã:Ü�¥$ ��<¬� ¦¨�©�«�¬8�$ãR��9¥à§�¨��$©�ªm¬>Üm ¦��«d©��²ã: �³@�m¬���ª��7�m¬���ª��7¥� ¦µ� �¥_¬� ¦¨L§�ªä³î�m§�¬�¨:­<§���®�°���ª��7­0 �¨�°�©r³�¬Å¦�¨�°� ¦�$��$ª&¨²����®�§�®ÞíL¥��$ �¬_��ªÑ¨�°� �ª� ¦ ï³g¨�©Lé�¥$ ¦ªm³g¨²°� �¨�ß_©Lã: ¦¨�°p©r³�¬ÞÝm®Þ©|ªm¬8¨²���m®�¨T ��r¨� �ªm¬8�$©�ªhµ� =9¥$©r®Þ��¨²�� �¬�Ý·§�ªm³@¨²©<§�¬²¬8 ¦ãLé�¥$ �§0¬�Üm ¦ �³@¥à§ïß¾¨�°m§�¨�³& �Ü~ �ªm³�¬â©|ª�§g¥à§��²�� ®Þ©�¥$¥� �®Þ¨²��©|ª@©�«¨² ¦��ãh¬�æ·ç7 ò¬8°m§�¥�¥\³&�à¬�®Þ�m¬²¬_¨�°��à¬�§�Ü�Üp¥���®�§�¨��$©�ªh��ªÑ¬�©�ã: �³r ¦¨�§���¥Yæ�_°� ��|©�§�¥p©�«�ª&�pã: ¦���஦§�¥�¬8�$ãR��¥à§�¨²��©�ªä¬���ª�ã:�à®Þ��©�«§�é��²��®¦§�¨���©|ª���¬[¨�©aã:©r³r ¦¥&¨²°� _Üp��©L9®Þ ï¬�¬�é&í:ß�°p��®�°<¬8�$¥��à®Þ©�ªÑ³& ¦µr��®� �¬_§��� >ã�§�ªr�&«§�®Þ¨²���� ï³�æ.�T ¦�² �Ý&ßi >é��²�� =Häíh¬8��ããh§��²�[;¦ ¬�©�ã: i©�«�¨�°� �¬8¨¯§��� ï¬j�$ª&µ�©|¥�µ� �³�æ[�·���¯¬8¨�Ý�§a¬���ª��|¥� e®Þ�²í�¬�¨�§�¥&�$ª���©|¨�©�« ¬8�$¥��à®Þ©�ªò��¬· ��r¨��¯§�®Þ¨² �³«d�²©�ã ã:©�¥$¨� ¦ª�Ü����� i¬���¥��à®Þ©�ª æ �_°p��¬\¬8��¥$��®Þ©|ª���ª��|©�¨\��¬[¨�°� ¦ªò¬�¥���®� �³a��ªr¨�©e¬8 �µ� ¦��§�¥�°&��ªä³&�� �³¨²°���ªÑß�§ï«d ���¬ÞÝm �§|®±°Ñ©�«iß�°���®�°h��¬�¨�°� �ª<Ü~©|¥��à¬8°� �³h¨�©h§L¬8ã©�©�¨�°)!äª���¬�°[æeóǨ�°p��ª0¥à§¦í� ¦�©�«å®Þ��íp¬8¨¯§�¥�¥$��ª� ��à¬�¨�°� ¦ª©L�r��³r�[;¦ �³�Ý�§â¥$����°r¨K9�¬8 �ªm¬8�$¨���µ� �Y�Ü�°p©�¨�©|�� �¬���¬�¨AZ>¨�°ä§�¨_�à¬á¬8 ¦ªm¬���¨²��µ� ¨²©g¥$���|°&¨e��¬a§�Ü�Ü�¥$�� �³�Ý §�ªm³<¨�°� �ª<¨�°� �ß�§ï«d ¦�a�à¬a®Þ©�µ� ¦�² �³gß��$¨�°7§:Üm§�¨²¨� ¦�²ª<ãh§�¬¤�h¨�°m§�¨¬�°��� ¦¥à³�¬ØÜä§���¨i©�«å¨�°� �Ü�°�©�¨²©��² �¬8�à¬8¨¦æ �_°��à¬ØÜm§�¨�¨� ���ªhãh§�¬¤�L®Þ©�ªr¨�§���ªm¬_¨²°� a¥à§ïí�©|��¨á©�«å¨�°� ®Þ�$��®Þ�p��¨���¨¯¬8 ¦¥ë«²æ.�Tªä³& ¦�> 8�&Üm©�¬����� ¨�©7§g¥$���|°&¨ò©���§�ª� ¦¥� �®�¨���©|ª)ém �§�ã Ý·¨�°p : ��rÜ~©�¬8 �³Ü�°p©�¨�©|�� �¬���¬�¨aÜm©�¥�írã: ¦�²�[;¦ ï¬_§�ªä³0°m§��¯³& ¦ªm¬�Ý�¥� �§¦µr��ª��L§�ª<��ª� ��rÜm©�¬� �³0ãh§�¨² ¦���à§�¥�¨�°m§�¨a��¬¨²°� ¦ªL ¦¨�®�°� �³�§¦ß�§¦íò��ª§>³&�²í� ¦¨�®�°�Ü���©r®� �¬�¬�Ý �² ¦µ� �§�¥���ªp��§âém§��� �¬8�$¥���®�©�ªL³&�$©L�r��³r �¥�§¦í� ¦�¦æÛY©�ªp�[;¦ �³h��ã:Üp�����$¨8í§�¨²©�ãh¬e¬8�ä®±°7§|¬Tém©���©|ª[Ý[Ü�°�©�¬8Ü�°�©|���m¬�Ý�§�ªm³<§��²��©�ªF§��² �¨�°� �ª0��ã,9Ü�¥à§�ªr¨� �³h��ªr¨�©:¨²°� �Üm§�¨�¨� ���ª<©�«i¨²°� � ��rÜ~©�¬8 �³7¬8�$¥��à®Þ©�ªÑß�§�¨² ¦�¦Ý §�ªm³<¬���¥��à®Þ©�ª ³&��©{�r��³& ò��¬³& �Ü~©�¬8�$¨� �³Ñ§�¨e�� �³&�ä®Þ �³:Ü��� ï¬�¬8�p�� >�$ª<§�Ü�¥�§|¬8ãh§�³r��¬�®�°m§����� �«d��©|ãV��§�¬�ã:�[�r¨��p�� �¬i§�¨�§¥$©�ß쨲 ¦ã:Üm ¦�¯§�¨��p�� �æ\�·�$ªm§�¥$¥�í�Ý�¨²°���ª,!m¥�ãh¬å¬8�m®�°h§�¬i§�¥$��ã:��ªr��ã §��� ñ³& ¦Üm©�¬���¨� ï³Ré&í�Üp��©L9®Þ ï¬�¬8 ï¬T¬��m®±° §�¬TÜp¥�§�¬�ãh§�¬8Üp��¨�¨² ¦���$ª���Ý�§�ªm³<®�©�ªr¨�§�®�¨�¬�¨�©:¨²°� > ¦¥$ �®Þ¨²����®�§�¥[®�©�ã:Üm©�ªp ¦ª&¨¯¬§�ªm³0®Þ©|ã:Üm©�ª� �ª&¨i��ªr¨� ¦�¯®Þ©�ª�ªp �®Þ¨��$©�ªm¬i§��² â ï¬8¨�§�é�¥��à¬8°� ï³�æ1�_°� ��� �¬���¥�¨��à¬�§R³r ¦µ&�à®Þ e¨�°m§�¨®¦§����²�� �¬_¨²°� ò³& �¬8�$�� �³L ¦¥� �®�¨����஦§�¥mÜ��²©�Üm ¦�²¨��� ï¬Þæ�_°� L§�é~©�µ� �Ü��²©r®Þ �¬²¬8 �¬aÜ��²©r³&�m®Þ L®Þ©|ªm¬8�à³& ¦�¯§�é�¥$ �®�°m§�ª��| �¬a��ªÑ¨�°� L¬����8«§|®Þ �Ü���©{!m¥� §|¬>��¨���ªm³r ¦���|©� �¬>µ|§����$©��m¬� Þê� �®Þ¨¯¬â©�«a ¦¨¯®±°p��ª�� §�ªm³Å³& ¦Üm©�¬���¨��$©�ª[æ¶�_°���¬>Üp��©�ép¥� ¦ã-��¬�rª�©�ß�ªh§�¬_¨²°� "Y¯¬8����«§�®Þ �¨�©|Üm©����¯§�Ü�°ríhÜ���©|é�¥� �ã�Za��ª:ã:�à®Þ��©�«§�é��²��®¦§�¨��$©�ª[Ý�§�ªm³:��¬i®Þ©�ªy9¨²��©�¥$¥� �³�érí:§�¥�§��²�� �®�©�¥�¥$ �®Þ¨²��©�ªLérí�Ü�°&íp¬8�஦§�¥m Þê� �®�¨�¬ÞÝr��ªm®�¥��m³&�$ª���¨�°� �µ&�à¬8��ép��¥��$¨�íâ©�«\¨�°�  ¦¨¯®±°p��ª���ÿ�³& ¦Üm©�¬8��¨²��©|ªh¬8©|����®Þ ñ§�¨� �§|®±°:Üm©|��ªr¨_©�«å¨�°p a ¦µ�©�¥$µ&�$ª���Ü���©{!m¥� �Ý�¬8�p�8«§�®� �³&� ê��y9¬���©�ª7§�¥�©|ª��h¨�°� �«d��©�ªr¨¦Ý�ª�©�ªy9�®Þ©|ª&µ� ��Ѭ�Ü���¨�¨² ¦�a¥à§ïße¬e¨�°m§�¨aÜ���©r³r�m®Þ >«§�®� ¦¨��$ª���Ý�¬8°�©r®A�p¬§�ªm³0��§��� Þ«§|®Þ¨��$©�ªm¬�Ý~ãh§�¨� ¦�²��§�¥\9�³& ¦Üm ¦ªm³& �ª&¨�³&��¬²®Þ©�ªr¨��$ª&��©|�m¬� ¦¨�®�°h��§�¨² �¬ÞÝ�§�ªä³0ãh§�¬¤�&�$ª��Ü��²©L!m¥$ �¬Þæ�_°� ò��ªm³& ¦�²¥�ír��ª��LÜ�°rí�¬���®¦¬�§�ªm³<®�°� ¦ã:�à¬8¨��²íR¨²°m§�¨�®Þ©|ª&¨²����ép��¨� �¬�¨�©L¨�°p >ã:©|¨���©|ª0©�«

Ê×Ê

Page 45: math.berkeley.edusethian/2006/Papers/sethian... · 2006-08-07 · 0 132 1 46587:9);=? @BADCFEHGJILK.ANMOI6PRQTSUERIWVXANK.ERIWY[ZD\] MXY3^_ANG`\`Y3Iba.PRQ c EedfY3QgPeG`MXY[Eihij

¨²°� :��ªr¨� ��8«§�®� :Ü���©{!m¥� h�à¬âµ� ¦�²í@ãL�m®�°7§�ªì§��� �§0©�«�§|®Þ¨��$µ� :�� ï¬8 �§���®�°[æEËT©�ª� �¨�°� ¦¥$ �¬�¬�Ý©|ªm®Þ � ¦ã:Üp�����஦§�¥[ã©r³& ¦¥�¬e§��² H«d©|��ãL��¥�§�¨� �³�Ý~¨²°� �Ü���©|é�¥� �ã ��¥$¨���ã�§�¨� �¥�í:ém �®Þ©|ã: �¬�¨�°� «§�ã:��¥$��§��å©�ª� �©�«å¨��¯§�®A�&�$ª���§�ªh��ªr¨� ¦��«§�®Þ eã:©�µ&�$ª�����ªm³& ��e§�¬8Üm ¦ �³R«d��ªm®�¨���©|ª)M�æá¶���ã,9��¥à§�¨²��©�ªä¬ñ�$ª<¨�°��à¬a®�°m§�Ü�¨² ¦��§��� �¨�§{�� ¦ª0«d��©|ãCóa³p§�¥�¬�¨� ¦�$ªm¬�¬�©�ªF§�ªm³)¶� ¦¨²°���§�ªÅô0/rÝ ¸ Ý Ê ÷¥¦®Þ©|ã:Ü�¥$ ¦¨� �³& ¦¨¯§���¥à¬_ãh§¦í�ém â«d©��pªm³:¨�°� ¦�² ¦��ª æ¶� ¦µ� ���§�¥_«§|®Þ¨�©|��¬h®Þ©|ª&¨²����ép��¨� h¨�©F¨�°� <��¥$¨��$ãh§�¨² h¬8°m§�Üm @©�«�¨�°� <Üp��©L!ä¥� �æ �_°� �¬8 �$ªm®Þ¥��ä³& / Çe ¦Üm©�¬8�$¨��$©�ª[£1��§���¨²��®Þ¥$ �¬á§��� ñ³& ¦Üm©�¬���¨� ï³R©�ªh¨�°p �¬8����«§�®Þ �Ý ß�°p��®�°h®¦§��ä¬8 �¬áé�����¥à³:9�pÜg�$ªh¨�°� �Ü��²©L!m¥$ �æ/ µ�¨¯®±°��$ª���£@��§���¨²��®Þ¥$ �¬T§��� ò ¦¨�®�°� �³Ñ§ïß�§¦íg«d��©|ã ¨�°� L¬����8«§|®Þ �Ý[®¦§��m¬8�$ª��h¬���é�¨��¯§�®�9¨²��©|ªg©�«áãh§�¨� ¦�²��§�¥æ/ ¤� =9�³& ¦Üm©�¬���¨²��©�ª £HÜä§���¨²��®Þ¥$ �¬â¨²°m§�¨ §��² g 8�&Üm ¦¥$¥� �³<³&�p����ªp�<¨�°� : �¨�®�°���ª��hÜ��²©r®Þ �¬²¬¥à§�ªm³: ¦¥à¬8 ¦ß�°p ¦�� �æè�_°� a«d��§|®Þ¨��$©�ª:©�«�Üm§���¨²��®Þ¥$ �¬Ø ��rÜm ¦¥�¥$ �³:³& �Ü~ �ªm³�¬_©�ªÑ§)Y¯¬8¨��à®��'9�$ª��L®Þ©� =î�®Þ�$ ¦ª&¨�Z10iæ/ ¤� =9 ¦ã:�à¬�¬8�$©�ª[£[Üm§���¨²��®Þ¥$ a¨�°m§�¨a§���  ³& ¦Üm©�¬���¨� ï³g³r�����$ª���¨�°� ò³& �Ü~©�¬8�$¨���©|ª0Ü��²©r®Þ �¬²¬ã�§ïí��ªg«§|®Þ¨aª�©|¨�¬8¨²��®A��Ý�§�ªä³0é~ L¬� ¦ªr¨a©�êF¨�©h¥�§�ªm³g �¥�¬8 �ß�°� ¦�� �æi�_°� >«d�¯§�®Þ¨²��©�ª©�«�Üä§���¨²��®Þ¥$ �¬_�� Å9�³& �Ü~©�¬8�$¨� �³h³& ¦Üm ¦ªä³�¬ú©|ªÑ§�Y¯¬8¨��à®��r��ªp�L®Þ©� =î�®Þ�� ¦ªr¨AZ20_æ/ Ì���¬8�$é���¥$��¨�í5µ·ê� �®Þ¨¯¬Þ£�çì°� ¦¨²°� ¦��©|�_ª�©|¨�§�Ü~©|��ªr¨á©�ª:¨²°� a¬����8«§|®Þ e��¬�µ&�à¬8�$é�¥� _«d�²©�ã§�ª�©�¨²°� ¦��Üm©��$ª&¨a©|ª@¨²°� L¬8�p�8«§�®� :®Þ©|ª&¨²��©|¥�¬Tß�°� �¨�°� ¦��©���ª�©�¨�Üm§���¨²��®Þ¥$ �¬T®�§�ª7é~ ¨²��§¦µ� ¦¥�ém ¦¨�ß_ � ¦ª�¨�°� Ñ¨8ßi©)Üm©��$ª&¨¯¬=¦T¨²°���¬>«§�®�¨�©����¬<�&ª�©�ß�ª5§|¬R¨�°� Ñµ&�à¬8�$é���¥$��¨�í �ê� ï®Þ¨¦Ýp§�ªm³Ñ®¦§�ªhém <J�����¨² a¨��$ã: �®Þ©�ªm¬���ã:�$ª���¨�©� ¦µ|§�¥��m§�¨� �æ/ ¶����8«§|®Þ CÇT�ëê��m¬8�$©�ª[£E�_°� 7¬����8«§|®Þ 0Ü��²©L!m¥$ 0�à¬R§�¥�¨� ��� �³�é&íŬ8�p�8«§�®� <³&�ëê��ä¬8��©|ª§�¥�©|ª���¨�°� e«d��©�ªr¨�¦r¨�°��à¬�®Þ©��²�� �¬�Üm©�ªm³�¬_¨²©�ã:©�¨²��©|ªRéríR¨²°� �¬� �®Þ©�ªä³g³r ¦���$µ�§�¨��$µ� T©�«®�����µ|§�¨²���� �Ý�ß�°���®�°:��¬_�$¨�¬� ¦¥ «å§�°����|°�¥�í�³& ¦¥��஦§�¨² a®�§�¥�®���¥�§�¨���©|ª[æ�_°� �¬� �¨� ¦�²ãh¬Øãh§¦íLém âÜp��¨�¨�©|�� ¦¨²°� ¦�e��ªh¨�°� a«d©|¥�¥�©�ß��$ª��>«d©��²ã<£MXU 345 46 M &�»87:9 ß �<;= ü?>±»«ý >A@ ß 7 Ú M &]»87:9 ß �<;B ß ý #�7[» Ú M B #C@D>Rü ß » ß >±�= ü?>±»«ý >A@ ß 7 Ú

M B #C@D>Rü ß » ß >±�B ß ý+#�7[» Ú M B #C@D>Rü ß » ß >±�E #GF B #C@<>¥ü ß » ß >t� Ú M B #C@D>Rü ß » ß >±�E #GFH&�I ß ü±ü ß >±� Ú MëüAJAý KML�7:# N ß KMKOJÅü ß >±�â�P 4Q4R O ¸ ö'S�_°� ò¨8ßi©R�à¬8©|¨���©|Ü���®a¨² ¦��ãh¬i§��² > ¦µ|§�¥$�m§�¨² �³0§�¨a§�Üm©��$ª&¨��0é&í�¬8��ãÜ�¥�íL ¦µ|§�¥$�m§�¨²��ª��¨²°� L¬8¨²�� ¦ª��|¨�°m¬�§�¨â¨²°m§�¨�Üm©��$ª&¨�æ<�_°� L¨�ß_©h³&�$�� �®�¨a¨� ¦�²ãh¬e§��� � �µ�§�¥��m§�¨� �³7§�¨ò§:Üm©��$ª&¨

Ê õ

Page 46: math.berkeley.edusethian/2006/Papers/sethian... · 2006-08-07 · 0 132 1 46587:9);=? @BADCFEHGJILK.ANMOI6PRQTSUERIWVXANK.ERIWY[ZD\] MXY3^_ANG`\`Y3Iba.PRQ c EedfY3QgPeG`MXY[Eihij

�h©�ªh¨�°� �Ü��²©L!m¥$ �é&íÉ!ä��¬8¨e®�©�ã:Ü��p¨���ªp�>¨�°p âµr��¬���é��$¥��$¨8í�¨²©� �§�®�°hÜm©���ªr¨�©�«å¨�°p >¬�©����¯®Þ �ݧ�ªm³@¨�°p ¦ª) ¦µ|§�¥$�m§�¨²��ª��Ѩ�°� <Hm���<«d��ªm®�¨���©|ª�¦�¨�°r�m¬�¨�°� �¬� R¨² ¦��ã�¬T�� {J����$�� ®Þ©�ã:Üp��¨��$ª��§�ªR�$ª&¨² ¦���¯§�¥�©�µ� ¦��¨²°� e ¦ª&¨²���² �¬8©|����®� �æV�[©�®Þ©|ã:Ü���¨² _¨²°� N!p«d¨�°�¨� ���ã §�¨i§aÜm©��$ª&¨ �[Ý�ß_ ãL�m¬8¨i®Þ©|ªm¬8�à³& ¦��¨²°� �®Þ©|ª&¨²����ép��¨��$©�ªm¬á©�«å ¦µ� ¦��í�Üm©|��ªr¨�©�ªh¨�°� �Ü��²©L!m¥$ a¨�©L®�°� �®A�>«d©����² =9³& �Ü~©�¬8�$¨���©|ªhÜm§��²¨���®�¥� �¬i§����à¬8�$ª��â«d�²©�ã˨²°� a ¦¨¯®±°��$ª��>Üp��©r®Þ �¬²¬ÞÝ�¨²°&�m¬_¨²°���¬á¨� ¦�²ã �² {J������² �¬®Þ©|ã:Ü���¨²��ª��ѧ�ª��$ª&¨² ¦���¯§�¥á©�µ� ¦��¨�°� Ü���©{!m¥� :�$¨�¬� ¦¥ «²æÍ�_°� Ñ¬8�7�&¨²°)¨� ¦�²ã<ÝVM E #GFH&�I ß ü±ü ß >±��à¬Tã:©��² >Ü��²©�é�¥$ ¦ãh§�¨���®×¦�¬���ªm®Þ � �µ� ¦��íhÜm©��$ª&¨�©�ª7¨�°p >«d��©�ªr¨�®¦§�ª)§|®Þ¨�§|¬>§:³& �Ü~©�¬8�$¨���©|ª¬�©����¯®Þ a©�«å�� Å9Y ¦ã��¨�¨² �³>Üm§���¨��à®Þ¥� ï¬j¨²°m§�¨e³r©�ª�©�¨e¬�¨���®A��Ý ¨²°� a¨²©�¨�§�¥]Hm�â�R«d��ªm®Þ¨²��©|ªh³& ¦Üm©L9¬���¨��$©�ª0«d��ªä®Þ¨��$©�ªF®Þ©�ã: ï¬�«d�²©�ãC ¦µ|§�¥$�m§�¨²��ª��ѧ�ª@�$ª&¨² ¦���¯§�¥[ {J��m§�¨²��©|ª §�¥�©|ª��0¨²°� � ¦ªr¨��$�� Ü��²©L!m¥$ �æ1�_°� ò¬8 �µ� ¦ª&¨²°:¨� ���ãË�à¬�§>Ü����� ò�� ¦©|ã: ¦¨²��í�¨� ���ã<æÛYª0ã:©|�� ò³& ¦¨¯§��$¥YÝm¥� ¦¨!S ém >¨²°� �¬� ¦¨a©�«jÜ~©|��ªr¨�¬T©|ª<¨�°� ò ¦µ�©�¥$µ&�$ª���Ü��²©L!m¥$ �§�¨�¨���ã þ�Ýa§�ªm³U¥$ ¦¨.T b ÙVUXWZY é~ 7¨�°p @ ��r¨� ���ªm§�¥�¬8©|����®Þ �æV´m ¦¨ U �<[��*�5�� �Ü��� �¬� ¦ªr¨0¬�Ü�°� ¦�²��®¦§�¥®Þ©�©|��³&�$ªm§�¨² �¬ÞÝ §�ªm³<¥� ¦¨�ÕRém >¨²°� L§�ªp��¥� �ém ¦¨�ßi ¦ ¦ª0¨²°� >ªp©���ã�§�¥å§�ªm³0¨²°� L¬8©|����®Þ ��¯§¦í�æ+e��µ� �ªg¨�ßi©:Üm©���ªr¨�¬@�<§�ªä³C�]\àÝ~¥$ ¦¨1^�O¥�ë���]\�S�é~ ò©�ª� ��ë«á¨�°p >Üm©��$ª&¨¯¬a§��² >µr��¬8�$é�¥� a«d�²©�ã©|ª� �§�ªp©�¨�°p ¦�e§�ªm³,;¦ ¦��©ò©�¨²°� ¦��ß��à¬8 �æ_´m �¨ U ém â¨²°� �³&��¬�¨�§�ªä®Þ T«d��©|ãé�:¨²©<�_\�Ýa`�hém a¨�°� ��ªp��¨_ªp©���ã�§�¥�µ� �®�¨�©��i§�¨�¨�°� eÜm©���ªr¨.�[Ýp§�ªm³�!äªm§�¥$¥�í�Ý�¥� �¨�`b é~ �¨�°� e��ª��$¨_µ� �®Þ¨²©��i§�¨i¨�°� Üm©��$ª&¨@�_\\©�ªÑ¨�°� ò¬8©|����®� âÜm©|��ªr¨���ªp��¨�©�ß�§���³�¬�¨�°� �Üm©��$ª&¨@�h©�ªÑ¨�°� �Ü��²©L!m¥$ �æ1�_°� ¦ªhß_ ãh§¦íL�� =!äª� a¨�°p >§�ém©�µ� ò¨� ¦�²ãh¬á§�¬�£

M³U

cdddddddddddddddddddddddddde

�\¥���� &�»87:9 ß �<;= ü?>±»«ý >A@ ß 7Úf<g >�JAý 7:# �·¥$��� &�»C7:9 ß �O;B ß ý #?7[» O U �<[@�*���AÕy����Sh^�OR���A�_\0S�Oi`�j('`b S_£'�]\Ú�\¥���� B #C@D>Rü ß » ß >±�= ü?>±»«ý >A@ ß 7Úf g >�JAý 7:# �·¥$��� B #C@<>¥ü ß » ß >t�B ß ý #?7[» O U �<[@�*���AÕy�A�TSh^ÐO¥���A�_\0SAOX`��(k`b S_£'�_\Úf�l O�¡@Wm0�ý #+FnNo#C@D>Rü ß » ß >±�yS��·¥��â� B #p@D>Rü ß » ß >±�E #+F B #p@D>Rü ß » ß >±� O U �<[��*���AÕ��A�TS�^�OR���A�_\ SAOX`�j('`b S¤£'�_\Úf�l O²¡�Wm0�ý #GFq#:I ß ütü ß >±��S��\¥���� B #C@D>Rü ß » ß >±�E #GFq#:I ß ü±ü ß >±� O U �<[@�*���AÕy����Sh^�OR���A�_\0S�Oi`��($`b S_£'�]\ÚM�ü:JAý K�Lh7:# N ß KMKOJÅü ß >±�

rtssssssssssssssssssssssssssuO Ê�¹ S�_°� :�$ª&¨² ¦���¯§�¥à¬>§��² :Üm ¦�8«d©|��ã: ï³A�$ª�§0¬�¨���§����|°&¨�«d©���ß�§��¯³�ã�§�ª�ª� ��¦æÍ�_°� R«d��©|ª&¨ò��¬¥$©r®¦§�¨² �³:é&í®Þ©�ªä¬8¨��²�m®Þ¨²��ª���¨²°� i;¦ ¦�²©�¥� ¦µ� �¥m¬8 ¦¨�©�«1B�¦&�$ªg¨�ßi©�³&�$ã: ¦ªm¬���©�ªä¬j�$¨���¬á�� ¦Ü��² =9¬� ¦ª&¨² �³�é&íL§�®Þ©|¥�¥� ï®Þ¨��$©�ª�©�«\¥$��ª� e¬� ¦��ã ¦ª&¨¯¬=¦��$ªR¨²°��� � =9�³r��ã: ¦ªä¬8��©|ªm¬·éríL§>®Þ©|¥�¥$ �®Þ¨��$©�ª�©�«

Ê�Þ

Page 47: math.berkeley.edusethian/2006/Papers/sethian... · 2006-08-07 · 0 132 1 46587:9);=? @BADCFEHGJILK.ANMOI6PRQTSUERIWVXANK.ERIWY[ZD\] MXY3^_ANG`\`Y3Iba.PRQ c EedfY3QgPeG`MXY[Eihij

µ�©{�r ¦¥� ¦¥� �ã: ¦ªr¨�¬ÞÝ�¬8 ¦ òô /&Ý ¸ ÷æV�_°� e®Þ �ª&¨²��©��à³a©�«� �§�®�°� ¦¥$ ¦ã: ¦ªr¨m��¬·¨¯§L�� ¦ª §�¬�¨�°� �®Þ©�ªr¨��²©�¥Üm©��$ª&¨�Ý�§�ªm³0¨�°p >��ªä³&��µr��³&�ä§�¥THm���h¨² ¦��ãh¬�§��� ò ¦µ|§�¥��ä§�¨� ï³0§�¨� �§�®�°<®Þ©|ª&¨²��©|¥·Üm©��$ª&¨�æeÛ�ª¨²°� e®¦§�¬� �©�«�¨�°p �¨8ßi©a��¬�©�¨²��©�Üp��®_¨� ���ãh¬�ݦ¨�°� hHm�â�>��¬\��ã:ã: ï³&�$§�¨� �¥�í�«d©���ªm³�æ�ÛYª�¨�°� e®�§�¬8 ©�«�¨�°p R¨�ß_©��ªr¨� ¦�|��§�¥à¬a©�µ� ���¬8©|����®Þ ï¬ÞÝ[¨�°� ¬8©|����®� ���¬�¬8���$¨�§�é�¥�í7³&�à¬�®Þ�² ¦¨��7;¦ �³Ñ§�ªm³<¨�°� ®Þ©|ª&¨²���$é���¨��$©�ªm¬á¬���ã:ã: �³�æ[ÛYªR¨²°� N!p«d¨�°:¨² ¦��ã<Ý|®Þ©|���� ï¬8Üm©�ªm³r��ª���¨²©â�² =9�³& ¦Üm©�¬���¨��$©�ª[Ýr¨�°� �$ª&¨² ¦���¯§�¥m©�µ� ¦�á¨�°� a �ª&¨²���� �Üp��©L!ä¥� a�à¬_®¦§�¥�®Þ��¥à§�¨² �³HéríL®Þ©|ã:Ü���¨²��ª���¨�°p aµ&�à¬8�$é���¥$��¨�í�¨�©�§�¥�¥©|¨�°� ¦� ®Þ©�ªr¨��²©�¥iÜ~©|��ªr¨�¬�§�ªm³@¨�°p h®Þ©��²�� �¬�Üm©�ªm³&�$ª��<�� Å9�³& �Ü~©�¬8�$¨���©|ª�¨� ¦�²ãC��¬âÜp��©r³&�m®� �³éríR¨²°� a Þê� �®�¨_©�«å³r���� ï®Þ¨�³& �Ü~©�¬8�$¨���©|ª[æ1�_°r�m¬ÞÝp§�¬_Ü��² �¬8 ¦ªr¨� ï³�Ý&¨²°� �!�«d¨²°:¨� ¦�²ã �² {J������² �¬� ?  ¦µ|§�¥��ä§�¨��$©�ªm¬�Ý&ß�°� ��� v� �à¬Ø¨�°p aª&�pãRém ¦��©�«å®Þ©�ªr¨��²©�¥�Ü~©|��ªr¨�¬_ß�°��à®±°§�ÜpÜ���©{�r��ãh§�¨� ¨²°� a«d��©�ªr¨¦æ�_°� ¦�² �§��� _«d©��p�á¬8��ép¨�¥� �¨��� ï¬3�$ª�¬8©|¥�µr��ª��e«d©���¨²°� e¬8Üm ¦ �³a«d��ªm®Þ¨²��©|ª"M<¦�¨²°� �¬8 i��ªrµ�©�¥$µ� ¨²°� ��� =9 ¦ã:�à¬�¬8�$©�ª:¨² ¦��ã Ý&®�©�ã:Ü��p¨���ªp�>¨�°p >µr��¬8�$é���¥$��¨�í�Ý� 8�&¨² ¦ªm³&�$ª��>¨²°� ò¬8Üm ¦ �³:«d��ªm®Þ¨²��©�ª¨²©T¨²°� _©|¨�°� ¦�\¥� �µ� ¦¥|¬8 ¦¨¯¬3�$ª>¨�°p Øªä§����²©�ß�éä§�ªm³�Ý�§�ªm³� ¦µ|§�¥��ä§�¨��$ª��e¨�°� �¬8����«§�®Þ i³&�ëê��ä¬8��©|ª¨² ¦��ã<æ[ç7 ò§�³�³&�² �¬�¬� �§|®±°h��ªh¨²����ª[£npo8wëots Ã"z'¿Az�|}ÁtÂ�Â�Át��~�_°� á�² =9Y �ã:��¬²¬8��©|ªT¨² ¦��ã5�� xJ ���$�� �¬m ¦µ|§�¥$�m§�¨²��©�ª�©�«�¨²°�  Hm���ñ®Þ©�ªr¨��²��é���¨²��©|ª�M ` Ù � B ß ý #?7[»7Ý E #+F B #p@D>Rü ß » ß >±�«d�²©�ã  �§�®�°hÜm©���ªr¨e©�«i¨�°� ��$ª&¨² ¦�8«§|®Þ �Ý� �§|®±°h©�«jß�°���®�°<³& �Ü~ �ªm³�¬�©�ª<¨�°p >®�©�ªr¨����$é���¨²��©�ª«d�²©�ã §�¥�¥r©�¨²°� ¦��Üm©��$ª&¨¯¬Þæ1�_°r�m¬ÞÝ|¨�°��ଷ��¬�§�ª���ªr¨� ¦�|��§�¥� {J��m§�¨²��©�ª�ß�°p��®�°>ãL�m¬8¨[ém e¬8©|¥�µ� �³¨²©RÜ��²©r³&�m®Þ �¨²°� �¨�©�¨¯§�¥å³& ¦Üm©�¬���¨²��©�ª"Hm�â�h§�¨�§�ªrí:Üm©��$ª&¨�æÛYª7ô Ê ÷YÝr§�ªh�$¨� ¦�¯§�¨��$µ� ��� ¦¥à§�¨²��©�ªß�§�¬áé����$¥�¨_¨²©�¬�©�¥�µ� �¨�°��à¬Ø��ªr¨� �����§�¥m {J �ä§�¨��$©�ª�¦r°� ¦�² �Ýßi ñ«d©|¥�¥$©�ß ¨�°m§�¨a³&�à¬�®Þ�ä¬�¬8�$©�ª[æ�Û�ã�§����$ª� �§RÜä§���¨²��®Þ¥$ �§�¨eª�©r³& x �¨²°m§�¨a¥à§�ªm³p¬ú©|ª<§�Üm§��²¨©�«á¨�°� �Ü��²©L!m¥$ �Ým§�ªä³g ¦�$¨�°� ¦�e¬�¨��à®��p¬_©���ém©��pªm®Þ �¬Tß��$¨�°Ñ§�����µ� �ª0¬�¨��à®��r��ª��òÜ���©|ém§�ép��¥��$¨�í�æÇT Å!mª� �¨�°� ��² =Hm �®Þ¨² �³R�$ª&¨² ¦ªm¬8�$¨�í� E ¯ y §¦«d¨� ¦��¨²°� {z:9Y¨²°0ém©��pªm®Þ �Ý�ªm§�ã: ¦¥$í ßE ¯ � UXO�¡.Wm0 ¡ Sh ßg � O Ê ¡{S�_°� �ª[Ý ßE ¯ y�| � UXO²¡�W�0íS û} ¯ }O~� ß }E ¯ y /�®Þ©�¬�ORÕ }ß Sr®Þ©�¬=ORÕ

ß} SÖ U ß } ^ ß } ` } � O Ê /'SÛYªÑ§>ãh§�¨²���7�H«d©|��ã<Ýr¨�°��à¬_é~ ï®Þ©�ã: ï¬ E ¯ ¡ UXO�¡.Wm0 ¡ Sh g � O Ê�¸ S E ¯ yh| � U¼O�¡.Wm01S S� E ¯ y � O Ê3Ê Sß�°� ��� {S �à¬_¨�°� �ãh§�¨��²�[�L����µ� �ª:é&íS ß } U / ®Þ©�¬�ORÕ ß} Sr®Þ©�¬�ORÕ }ß SÖ U ß } ^ ß } ` } � O Ê õ'S

Ê ¢

Page 48: math.berkeley.edusethian/2006/Papers/sethian... · 2006-08-07 · 0 132 1 46587:9);=? @BADCFEHGJILK.ANMOI6PRQTSUERIWVXANK.ERIWY[ZD\] MXY3^_ANG`\`Y3Iba.PRQ c EedfY3QgPeG`MXY[Eihij

ß�°� �ª� v�U��mÝ[§�ªä³ ¹ �ë«� NU��mæÐÇe =!mª� � g ¯ y ¨²©hé~ �¨²°� �Üm©��²¨���©|ª@¨²°m§�¨ñ¬8¨��à®��p¬a§�¨a¨�°� z:9¨�°Ñém©���ªm®� �æ�ç@ �¨²°� ¦ªh°m§¦µ� �¨�°m§�¨ g ¯ ¡ U�0 ¡ g � O Ê'Þ S g ¯ � U�0�SiO�¡.Wm0 ¡ Sh g � O Ê ¢×S§�ªm³�Ý���ªh�| ¦ª� ¦�¯§�¥YÝ g ¯ y�| � U 0¡.Wm0 E ¯ yh| �hU O�¡@Wm0íS+S� g ¯ y � O Ê 2'S�_°� ��� Þ«d©|�� �Ýrß_ �°m§¦µ�  g ¯ y U�0 O�¡.Wm01S y F�� O�¡.Wm0 ¡ S+S�yi g � O Ê ö'S§�ªm³g¨²°&�m¬_¨²°� �¨�©|¨�§�¥\��ªr¨� �ªm¬8�$¨8íL§¦«d¨� ¦���Ô§�ÜpÜ�¥��஦§�¨²��©�ªä¬_��¬_���$µ� ¦ª:érí

<�ÔU�0hO²¡.Wm0 ¡ S�� �ûy%� � O²¡.Wm0íS y F�� S y�� g Ú 0 ¡ g � Oõ ¹ Sµá§�®�°h§�Ü�Ü�¥��஦§�¨²��©|ªR©�«\¨�°� e©�Üm ¦�¯§�¨�©|��ãh§¦í>ém aµr�� ¦ßi �³L§�¬Ø ���¨�°p ¦�i§�ªh§|³�³&��¨²��©|ªm§�¥�¨� ¦�²ã�$ª>¨�°p Ø 8�&Üm§�ªm¬8�$©�ª�©|��§�ªL§�³�³&�$¨��$©�ªm§�¥&�$ªm®Þ¥��ä³& �³aém©���ªm®� �æV�_°� �¬8�$¨��m§�¨���©|ª>�ଷ¬���ã:Ü�¥$�\!m ï³érí:¨�°p â 8�&�à¬8¨� �ªm®Þ e©�«i§>�² �®Þ���²�� ¦ªm®� a�� ¦¥à§�¨²��©�ª Ý�ªm§�ã: �¥�í

� | � U 0 O�¡.W�0 ¡ S � � | �ûy*� � O²¡.Wm0íS+y F�� S�y � g Ú 0 ¡ gU 0 O�¡.W�0 ¡ S � O�¡@W�01S S �ûy%� � O²¡.Wm0íS y F�� S y Ú S � g Ú 0 ¡ gU O²¡.Wm0íS+SiOo<�¶Wm0 ¡ g S Ú 0 O�¡.W�0 ¡ S S� g Ú 0 ¡ gU O²¡.Wm0íS+S�<� Ú O�0ÍWm0 ¡ S S� g Ú 0 ¡ g�_°��à¬�§�¥$¥�©�ße¬á§�ª� ��r¨��² ¦ã: ¦¥$íú«§|¬8¨i¬8��ããh§�¨²��©�ª� ��rÜ��² �¬�¬���©�ª>«d©|�á¨�°� �¨²©�¨�§�¥��� ï®Þ ¦��µ� ï³Hm�â��Ým®Þ©|ªm¬8�à¬8¨²��ª���©|ª�¥�í:©�«áãh§�¨����7�]ÿ�µ� �®Þ¨²©��áãR�p¥�¨��$Ü�¥��ë �¬�æ

npo8wëorq ��ÁtÂ�Á±��Át�±Árv<�ÛYª>©|��³& ��·¨²©TÜm ¦��«d©���ã ¨²°���¬[��ªr¨��² ¦���¯§�¥YÝ�ß_ áãL�m¬8¨[ �µ�§�¥��m§�¨� i¨�°� iµ&�à¬8��ép��¥��$¨�í�é~ �¨8ßi ¦ ¦ªò§�ªrí¨�ß_©òÜm©���ªr¨�¬�æh�_°p��¬Øã�§ïí�ém ò³&©|ª� ��m¬8�$ª��>¨²°� �¥� ¦µ� ¦¥ä¬8 ¦¨á«d��ªm®Þ¨²��©�ªÍBh��ªh§�¬�¨���§����|°&¨�«d©��K9ß�§���³Lãh§�ª�ªp ¦�¦Ýr¬8�$ªm®Þ e��¨iÜ���©�µr��³& �¬á§�®Þ¥$ �§��ᨲ �¬8¨i©�«\¨�°p �¬8�$��ª�¦r� «èBg�à¬_§�¥�ß�§¦íp¬ØÜm©�¬���¨²��µ� ém ¦¨�ß_ � ¦ª:¨�ß_©òÜ~©|��ªr¨�¬_©|ªg¨²°� ò¬8����«§�®Þ �Ý&¨�°p ¦ªh¨�°� a¨�ßi©�Ü~©|��ªr¨�¬�§��� aãL��¨��ä§�¥�¥$í�µ&�à¬8�$é�¥� �æÊ 2

Page 49: math.berkeley.edusethian/2006/Papers/sethian... · 2006-08-07 · 0 132 1 46587:9);=? @BADCFEHGJILK.ANMOI6PRQTSUERIWVXANK.ERIWY[ZD\] MXY3^_ANG`\`Y3Iba.PRQ c EedfY3QgPeG`MXY[Eihij

npo8wëo7Î � ð v{z�~ Â8Á±��~��y�iv{Ï�z�u��1zyz�ÓÔÒ�Ä�~$�3v{Á±��~ï_©|¨�°0¨²°� >¨²©�¨¯§�¥ Hm�â�0§�ªm³0¨�°p >µr��¬8�$é���¥$��¨�íL§��² ,J �ä§�ªr¨���¨²�� �¬_¨²°m§�¨e©�ªp¥�í0°ä§ïµ� �ã: ï§�ª��$ª��©|ª@¨²°� >«d��©|ª&¨���¨¯¬8 ¦¥ë«²æ�ÛYª@¨²°���¬a®�§�¬8 �Ý3¨²°� >«d��©|ª&¨� ��&¨² ¦ªm¬���©�ª<ã ¦¨�°�©r³r©�¥�©|��í ³& �¬�®�����ém �³ �§���¥$�� ¦�á��¬_�² {J������² �³H�$ªh©���³r ¦��¨�©�é��p��¥�³Lµ�§�¥��� ï¬Ø«d©���¨�°p �¬8Üm ¦ �³R«d��ªä®Þ¨��$©�ª:¨²°���©|����°�©|��¨¨²°� �ªm§��²��©�ß ém§�ªm³�ænpo8wëo7á u�Ä��=�%w_�'zCÓ�ÁA� Ä�Â�Át�]~�T ��� �Ýrß_ aª� � �³:¨�©§�³�³h¨�°� ò§�³p³&��¨²��©�ªä§�¥[¨� ���ãË©�«�¨²°� a«d©���ã

M³U ¡ Ú �%QV�X��� Oõ&¡{Sß�°� ���  b �à¬a§�ªF§��¯®�9¥� ¦ª��|¨�°<Üm§���§�ã: ¦¨� ����[;ï§�¨��$©�ª[æ��_°���¬e¨� ¦�²ã ã:©r³& �¥�¬�¨�°� � Þê� �®�¨�¬T©�«¬����8«§|®Þ �³&�ëê��m¬8�$©�ª[Ý�ß�°p��®�°>�� �¥�§�¨² �¬[¨�©e¨�°� �ã:©|¨��$©�ª�©�«�ã: ¦¨¯§�¥|é~©|��ªm³�§����$ �¬=¦r¬8 � �ô ¡ ¸ Ý ¸LÊ ÷«d©|�� ��&Üm ¦�²��ã: �ª&¨¯§�¥m ¦µr��³& ¦ªä®Þ �æ�_°� �Ü��²©�é�¥$ ¦ã ��¬�³r ¦¥��஦§�¨² _ém �®¦§��m¬8 @µ1J�ª[æ�õr¡ú�ଷ§a¨²��ã: =9�³& ¦Üm ¦ªä³& ¦ªr¨~«d©��p��¨�°L©��¯³& ¦�Üm§���¨²��§�¥r³r� ê� ¦�� �ª&¨²��§�¥| {J��m§�¨²��©�ª Ý�§�ªm³â¨²°� _Ü��² �¬8 �ªm®Þ �©�«m¨�°� �«d©|����¨²°�³& ¦�²��µ|§�¨²��µ� ��² {J������² �¬§�ª0 ��p®Þ ¦ �³r��ª��|¥�íL¬8ã�§�¥�¥�¨��$ã: �¬8¨² ¦Ü:«d©���¬8¨¯§�é��$¥���¨�í:�$ªÑ§�ª0 8�&Ü�¥$��®Þ�$¨i¬�®�°� ¦ã: '¦�¨²°� >¥$��ª� �§��«d©|����¨²°g©|��³& ���°� �§�¨� xJ �m§�¨��$©�ªh°m§�¬�§L¬8¨¯§�é��$¥��$¨8í�¨²��ã: �¬8¨² ¦Üh�� {J����$�� ¦ã: �ª�¨�©�«å¨�°� a«d©|��ã� OG�<þ<�X�x�_��S�æ�¶��m®±°Å¬²®±°� �ã: �¬a®¦§�ªî�$ª@«§�®Þ¨�ém hãh§|³& :��ãÜ�¥��à®Þ��¨e¨�©F§�¥$¥�©�ß˧0¥à§��²�� ¦�¨²��ã: �¬8¨² ¦Ü�¦m¬8 � :ôë¡�2�÷�«d©��_«d���²¨�°� ¦�e³r��¬�®��m¬�¬���©�ª æ��©�¥$¥�©�ß���ª���¨²°� ò³&��¬²®Þ�m¬²¬8��©|ªh��ªFô ¡82�÷YÝ&ßi �°m§¦µ� B » Ú O�¡ Ú �%Q �i� S8§ ´"B1§3U ¹ Oõ3/'S

B�» Ú § ´"B1§3U³W2� � ´�( ´"B§ ´"B1§ � �X� Oõ ¸ SB�» Ú § ´"B1§3U W1�%´ � ´ � ´�( ´àB§ ´àBí§ � ( B ° ��WiB ®§ ´àBí§ � ( B ° �8WiB ®§ ´"B1§ Oõ Ê S

ç7 a�m¬� �§�®Þ ¦ªr¨��¯§�¥�³&� ê� ¦�² ¦ªm®Þ �§�ÜpÜ���©{�r��ãh§�¨���©|ªH«d©|��¨�°� ñ³& ¦���$µ|§�¨��$µ� �¬ÞÝ�§�ªm³:�� �����¥à§����7;¦ ¨²°� a³r ¦ª�©�ã��ªm§�¨�©��ᨲ©�§¦µ�©��à³>¨�°� �¬���ª��|��¥�§����$¨8í §�¬²¬8©r®Þ�à§�¨� ï³�ß��$¨�°Lµ|§�ª��à¬8°��$ª��>�|��§�³r�� ¦ªr¨�¬npo8wëorn Ã"z�Â�Ä �rv{Âç7 :ém ¦���$ª)ß���¨²°�§g¨²°��� � =9�³r��ã: ¦ªä¬8��©|ªm§�¥å ���§�ã:Ü�¥$ ���ªF�·���|���� �/�¢�Ý��m¬���ª��Ѩ�°� ��ª��$¨���§�¥¬�°m§�Üm �¬�°�©�ß�ª0�$ª0�\����æ / ¢ï§&æ�ÛY¨�ß�§�¬e¬8°�©�ß�ª0�$ªFô0/�÷Ý&¨²°m§�¨�®Þ ¦�²¨�§��$ª:«d©���ã�¬j«d©���³& ¦Üm©�¬8�\9¨²��©�ªpÿ¦ ¦¨¯®±°��$ª��>Üp��©L!ä¥� �¬_¥$ �§�³R¨²©Rªp©�ªy9�®Þ©�ªrµ� ��<Hm���L¥�§¦ße¬_��ªh¨²°� a�� ï¬8��¥$¨���ªp�<�a§�ã:��¥$¨�©�ª�9

Ê ö

Page 50: math.berkeley.edusethian/2006/Papers/sethian... · 2006-08-07 · 0 132 1 46587:9);=? @BADCFEHGJILK.ANMOI6PRQTSUERIWVXANK.ERIWY[ZD\] MXY3^_ANG`\`Y3Iba.PRQ c EedfY3QgPeG`MXY[Eihij

��§|®Þ©�é��å {J �ä§�¨��$©�ª[æ@ï_íh¨�°p��¬ÞÝmß_ òã: �§�ªg¨²°m§�¨�¨�°� �ª�©|��ãh§�¥\¬8Üm ¦ �³0©�«á¨�°p �Ü���©{!m¥�  ³& =9Üm ¦ªm³p¬·©�ªL¨�°� �§�ª��|¥� �©�«[��ªä®Þ��³& �ªm®Þ áém ¦¨�ß_ ¦ ¦ªò¨�°� �¬8����«§�®Þ �ªp©���ã�§�¥p§�ªm³�¨�°� i��ªm®�©�ã:�$ª��ém �§�ã<Ý�ß���¨²°<¨�°� òãh§L�r��ãL��ã  ¦¨¯®±°��$ª��yÿï³& ¦Üm©�¬���¨²��©�ª ¬8¨²�� ¦ª��|¨�°<©r®¦®������²��ª��h§¦ß�§ïí:«d�²©�㨲°� 0ª�©|��ãh§�¥a³r���� ï®Þ¨��$©�ª[æl�_°p �¬8 <ª�©|ªy9�®Þ©�ªrµ� ��ìHm����¥�§¦ße¬RãL�m¬�¨�é~  §�Ü�Üp��©{�&�$ãh§�¨² �³¨²°���©|����°�³r� ê� ¦�� �ª&¨�¬�®�°� ¦ã: ï¬ú¨²°m§�ª7¨�°� �©|ª� �¬aÜ��² �¬8 ¦ªr¨� ï³<§�ém©�µ� '¦3«d©|�>¬��m®�°7¬�®�°� ¦ã: �¬§�Ü�Ü�¥��$ �³@¨²©7¬8 ¦ã:�«9�®�©�ªm³&�ä®Þ¨�©|�>ãh§�ª&�&«§|®Þ¨��p����ªp��Ý�¬� ¦ Fô0/�Ý ¸ Ý Ê Ý�õ|ö�÷Yæ<ç@ Ñ®Þ©|ªm¬8�à³& ¦� §®Þ©|ãRép��ªm§�¨���©|ª�©�«\¨�ß_© ®Þ©�¬���ª� .Hm���L³r ¦Üm©�¬8�$¨��$©�ªÑ¬8©|����®Þ ï¬ÞæV�_°ä§�¨���¬�Ý�¨�°� a�$ª���¨²��§�¥yHm���L§�¨ �§|®±°hÜm©��$ª&¨��à¬_���$µ� ¦ª:éríM ` Ù ��OR�TS U ®Þ©�¬<�=ORÕ3�ASr®�©�¬=O¥Õ ? S Ú ®Þ©�¬=ORÕ3�ASr®�©�¬=O¥Õ ? SA¦ Oõ�õ'S

�$ª7§�³�³&�$¨��$©�ª[Ý\¨�°� L¬� �®Þ©�ªä³)³& ¦Üm©�¬���¨²��©�ª7¨� ���ã �à¬a����µ� �ª7§g¬�¨��à®��r��ª���®Þ©� =î�®Þ�� ¦ªr¨e©�«5�$¡�ݨ²°&�m¬eß_ L§�¥à¬8©Ñ®Þ©|ªm¬8�à³& ¦��¨�°� � �ê� ï®Þ¨�¬T©�«��² =9�³r ¦Üm©�¬8�$¨��$©�ª[æ>ç7 L¬8 � �¨�°m§�¨â�$ª<¨�°��à¬a®¦§|¬8 �ݨ²°� >µ�©|��³0³r©� �¬aª�©�¨T«d©|��ãC¦m�� ï¬8��¥$¨�¬e§��� L¬�°�©�ß�ª)§¦«d¨� ¦��¬8©|ã: >¨²��ã: � ¦µ�©�¥$��¨��$©�ª0�$ª7�·���pæ/�¢¦é�¦�§>¨�ß_©L9�³&�$ã: ¦ªm¬���©�ªä§�¥[®���©�¬²¬_9�¬8 �®�¨���©|ªm§�¥\®���¨���¬�¬�°�©�ß�ª0��ªÑ�·�$�����² �/ ¢�®|æËT ��r¨¦Ý�ßi �¬8°�©�ß �² �¬8�p¥�¨�¬á��ª:ß�°p��®�°h¬8 ¦µ� ���§�¥m Þê� �®�¨�¬�§��² �®Þ©|ãRé��$ª� �³�æ[ç7 ���ãh§�����ªp §�ªg�$ª���¨²��§�¥�é�¥$©r®���Ý&�$ªgß�°p��®�°0§>ã�§�¬K�®Þ©�µ� ¦�¯¬_§L¬8��ém¬�¨��¯§�¨� �Ým§�ªm³h ¦ª&µr��¬���©|ªh§�¬8�$ãR��¥$¨�§�9ª� �©��m¬� ¦¨¯®±°L§�ªm³R³r ¦Üm©�¬8�$¨��$©�ªLÜ���©r®Þ ï¬�¬Þæ�ç7 ���ã�§����$ª� _¨²°m§�¨á©|ª� Tã�§�¨� �����§�¥TOdß�°���®�°�ß���¥$¥ém ¬8°�©�ß�ªÅ§�¬�¥����|°&¨�����§¦í�SY�à¬ñ�à¬8©|¨���©|Ü���®�§�¥�¥$í7³& ¦Üm©�¬���¨² �³A©|ª)ém©�¨²°�¨²°� Lãh§�¬¤�ìOY¬�°�©�ß�ª�$ª)³�§��*�7���¯§ïí�S�§�ªm³�¬8��éä¬8¨��¯§�¨² COY¬�°�©�ß�ª��$ª@ép¥�§�®A��S�æÑóú¨�¨�°p :¬²§�ã: L¨��$ã: �¨�°m§�¨>¨²°���¬ãh§�¨� ¦�²��§�¥[��¬aém ¦��ª���³& ¦Üm©�¬���¨� ï³�Ý[��¨a�à¬Tém ¦��ª�� ¦¨�®�°� �³0��ªä³& ¦��§�ª@�$©�ªy9ã:��¥$¥��$ª��yÿï¬8Ü���¨²¨� ¦�¥à§ïß�Ýp¬8�m®�°h¨�°m§�¨T¨²°� � ¦¨�®�°:�¯§�¨� ò��ª:¨²°� ò¬8��éä¬8¨��¯§�¨² >��¬_¨�ß��à®Þ �§�¬_«§�¬�¨a§|¬ú¨²°� � ¦¨�®�°:�¯§�¨� �$ªg¨²°� �ãh§�¬¤��æè�_°&�ä¬ÞÝ�ß_ �°m§¦µ� M U³M = ü�>t»\ý+>A@ ß 7 B #p@D>Rü ß » ß >±� Ú M g @hJA»«»8# ýG&�»87:9 ß �<; Oõ Þ SM = ü?>±»«ý >A@ ß 7 B #C@D>Rü ß » ß >±�ÐUX� õ M g @hJA»«»C#rýG&�»87:9 ß �<;iU³M�� W þ b U O¥��S)�iO²¡3� Ú Ê ¬8�$ª ? Õ'Sr®Þ©�¬�ÕOõ ¢×S/ M�� W þ b U O¥�TS*U¾¡�æ ¹ �ë«\��ªÑ³�§��%�h����§¦í:ã�§�¨� �����§�¥�OY­<§�¬¤�]S¯Ý/ M�� W þ b U O¥�TS*U /&æ ¹ �ë«\��ªhé�¥�§|®��ãh§�¨² ¦���à§�¥�O8¶��pém¬8¨²��§�¨² 3S�æ

ÛYª��·�$�����²  /32&Ý|ß_ �¬�°�©�ß)¨�°p �¬8 xJ �� �ªm®Þ á©�«mÜp��©L!ä¥� _ �µ�©�¥��p¨���©|ª���ªm³& ¦�\¨�°p �¬8 i Þê� �®Þ¨�¬�æç7 aª�©|¨� �¨�°� ò³& �µ� ¦¥�©|Ü�ã: ¦ªr¨�©�«å¨�°p a¨�°��$ªhªm§�ª�©{9Y¥à§¦í� ¦��ß�°���®�°h®Þ©�µ� ¦�¯¬Ø¨²°� �¬8�à³& �ß�§�¥�¥�¬�Ýé��p¨R�ଠ«d��¥$¥�í) �¨�®�°� �³�§¦ß�§¦í�§�¥$©�ª��F¨�°� Ñ¨�©�Ü §�ªm³î¨²°� 0ém©|¨�¨�©|ãC¦�ß_ Ñ§�¥à¬8©)ªp©�¨� Ñ¨�°�  ��r��¬�¨� ¦ªä®Þ �©�«� �µ�©�¥�µr��ªp��Ü~©|��ªr¨�¬aß�°� ¦�² �¬� ¦µ� ¦��§�¥3«d�²©�ªr¨�¬T¨²©��m®�°[æ��_°� �Ü��² �¬8 ¦ªä®Þ >©�«�§�ª�$©�ªy9ã:��¥$¥��$ª��ò¬8Ü���¨²¨� ¦�e ¦¨¯®±°��$ª��L¬8Üm ¦ ï³g¥�§¦ß Üp��©�ã©�¨� ï¬Ø«§�®Þ ¦¨²��ª��L³r�� >¨²©R¨²°� >Ü��² �¬8 �ªm®Þ ©�«eª�©�ªy9�®Þ©|ª&µ� ��E��§�ã:�$¥�¨�©|ª���§�ªm¬=¦å¬8 ¦ Aô0/&Ý ¸ ÷YæÍ�T ¦�� �Ý3ßi :ª�©|¨� :¨²°� R�²©���ªä³&��ª��<©�«e¨�°� õ ¹

Page 51: math.berkeley.edusethian/2006/Papers/sethian... · 2006-08-07 · 0 132 1 46587:9);=? @BADCFEHGJILK.ANMOI6PRQTSUERIWVXANK.ERIWY[ZD\] MXY3^_ANG`\`Y3Iba.PRQ c EedfY3QgPeG`MXY[Eihij

�·�$��æ1/ ¢ï§&£iÛYª���¨²��§�¥��·©�¬���¨²��©�ª �·�$��æ1/�¢¦é[£ �_��ã: Iµjµ�©|¥���¨²��©|ª

�·���pæ1/ ¢ï®�£h/|³Aðá�²©�¬�¬R9�¶� �®Þ¨��$©�ª�·�$�����² �/ ¢�£��_°��� � =9�³r��ã: ¦ªä¬8��©|ªm§�¥ µ�µ�©�¥$��¨��$©�ª���ªm³r ¦�Rðá©�¬8��ªp A¶�©����¯®Þ ÍÇT��¬�¨����$é���¨²��©�ªß��$¨�°<¶�¨��à®��r��ªp�Rðá©� =î�®Þ�� �ª&¨�æ�¡¬���³& hß�§�¥�¥e¥�§¦í� ¦�¯¬ÞÝá§�¬Lß_ ¦¥$¥�§�¬L¨�°� h ��r��¬�¨� ¦ªm®� :©�«òãL��¥�¨²��Ü�¥$ >«d��©�ªr¨�¬L§�ªä³î¨�°��$ª�¥à§¦í� ¦�¬�¨����ä®Þ¨����² �¬Þæç7 �¬8¨²�� �¬²¬3¨²°m§�¨å¨�°� i�����à³â�m¬� �³ñ«d©|��¨�°p��¬\®¦§�¥à®Þ��¥�§�¨��$©�ª���¬\¬8�$��ª��«!�®¦§�ªr¨�¥$íR¥à§��²�� ¦� ¨�°m§�ª¨²°� �¬��[;¦ i©�«[¨²°� _ªä§�ª�©{9Y¥à§ïí� ���¦�¨²°&�m¬\©����i§�¥$��©|����¨²°�ãh¬[Ü���©�µr��³& á«d©��á¬����|ª��\!�®�§�ªr¨�¬���éy9�����à³�² �¬8©|¥���¨²��©�ªß���¨�°p©���¨i�� �¬�©���¨²��ª���¨²©�§|³�§�Ü�¨²��µ� aã �¬8°L¨� �®�°�ª�©|¥�©|��í�Ýr¬8 � Lô�õ|ö�÷~«d©|��³& �¨�§��$¥�¬©�«�¨²°���¬�¨� �®�°�ª�©|¥�©|��í�æ�·�$ªm§�¥$¥�í�Ýrß_ ò¬8°�©�ß ¬�©�ã: ��² �¬8��¥$¨�¬_©�«i§R¬����8«§|®Þ ò³&� ê��m¬���©|ª7®¦§�¥à®Þ��¥�§�¨��$©�ª[æ�ç7 ò®Þ©�ªy9¬���³& ¦�i§ò¬8Üm ¦ �³>«d��ªm®Þ¨²��©|ª:ß�°���®�°L®Þ©|ª&¨¯§���ªä¬Ø��¬�©�¨²��©�Üp��®e³& ¦Üm©�¬���¨��$©�ªh§�ªm³:§�ª:��©|ªy9Yã��¥�¥$��ª��ª�©|ªy9�®Þ©�ªrµ� ��0 �¨�®�°0«d��ªm®Þ¨²��©�ª7¨�©|�� ¦¨²°� ¦��ß���¨²°)¬����8«§|®Þ ³&� ê��m¬���©�ª Ý3¨²°m§�¨ò��¬�Ý3�$ª7�·���|���� /|öHßi >®�©�ªm¬���³& ¦��¨²°� ò¬8Üm ¦ �³R«d��ªä®Þ¨��$©�ª

M³U Ê WlO�¡ Ú Ê ¬8�$ª ? Õ'S Ú �%Q��X� O Þ�¹ Sõr¡

Page 52: math.berkeley.edusethian/2006/Papers/sethian... · 2006-08-07 · 0 132 1 46587:9);=? @BADCFEHGJILK.ANMOI6PRQTSUERIWVXANK.ERIWY[ZD\] MXY3^_ANG`\`Y3Iba.PRQ c EedfY3QgPeG`MXY[Eihij

�·�$��æ1/×2�§ �·���pæ1/32�é �\����æ1/×2�®

�·�$��æ1/32|³ �\����æ1/×2�  �·���pæ1/32¦«

�·�$��æ1/×2�� �·���pæ1/32�° �·���pæ1/32���·�$�����² E/32r£îðá©�ãLé���ªm§�¨��$©�ªì©�« Û�¬8©|¨��²©�Ü��à®ÇT �Ü~©�¬8�$¨���©|ªì©�«��_°���ª ´�§¦í� ¦�h§�ªä³�ËT©|ªy9ðá©|ª&µ� ��h¶�Ü��p¨�¨� ��@µj¨¯®±°p��ª���©�«i­<§�¨² ¦���à§�¥�¬�£1�_��ã: �¶� {J��� ¦ªä®Þ 

M U³M = ü�>t»\ý+>A@ ß 7 B #p@D>Rü ß » ß >±� Ú M g @hJA»«»8# ýG&�»87:9 ß �<; Oõ32'SM = ü�>±»«ý >:@ ß 7 B #p@D>Rü ß » ß >±�ÐU¼��õ M g @hJA»«»8# ý�&]»87:9 ß �<;iU M2� W þ b U OR�TS���O�¡×� Ú ÊH  G� ? Õ:Sr®�©�¬�ÕOõ�ö'SM�� W þ b U O¥�TS*U¾¡�æ ¹ �ë«\��ªÑ­<§�¬¤�O³�§��%�:���¯§¦í]S%ÿÉM�� W þ b U O¥��S%U /&æ ¹ � «\�$ª<¶���ém¬�¨���§�¨� 'Odé�¥�§|®���Sõ×/

Page 53: math.berkeley.edusethian/2006/Papers/sethian... · 2006-08-07 · 0 132 1 46587:9);=? @BADCFEHGJILK.ANMOI6PRQTSUERIWVXANK.ERIWY[ZD\] MXY3^_ANG`\`Y3Iba.PRQ c EedfY3QgPeG`MXY[Eihij

M³U Ê WlO�¡ Ú Ê ¬8��ª ? Õ'S M³U Ê WlO²¡ Ú Ê ¬8�$ª ? Õ:S Ú � ¹�¹|¹ õ×Q �X�

M³U Ê WlO²¡ Ú Ê ¬���ª ? Õ:S Ú � ¹�¹ ¡�Q��X� M³U Ê WbO�¡ Ú Ê ¬���ª ? Õ:S Ú � ¹|¹ /3Q��X��·�$�����² �/�ö&£ùµåê� �®�¨�¬_©�«�¶����8«§|®Þ <Çe� ê��m¬8�$©�ªÑ©�ªCÇe ¦Üm©�¬8�$¨��$©�ªC��¥$�m¬TÛY©|ªy9�­0�$¥�¥$��ª��p£íMXUÊ WlO²¡ Ú Ê ¬8�$ª ? Õ:S Ú �%Q��X�

��©���§L¥�§��²�� �ªr��ãLé~ ��_©�«�§|³�³&��¨²��©|ªm§�¥��² �¬8�p¥�¨�¬�Ý�§|¬aß_ ¦¥$¥\§�¬a³& �¨�§��$¥� �³h ��rÜ�¥�§�ªm§�¨²��©�ª©�«�¨�°� Ñ§�Ü�Ü�¥��஦§�¨²��©|ª�©�«�¥� �µ� ¦¥�¬� ¦¨�ã: ¦¨²°�©r³&©�¥$©��|í�¨²©< ¦¨�®�°��$ª��7§�ªm³Å³& ¦Üm©�¬���¨²��©�ª Ý�¬8 ¦ ô /&Ý ¸ Ý Ê ÷Yæ¡ Ò Î<Î<Ì�×áÌ�ÙRÏÑÖHÍ£¢ Ù¥¤ ¤ ¦âÏL×áÚ�_°� ��¯§�ª��| â©�«i�m§�¬�¨e­<§���®�°��$ª��L§�ªm³:¥$ ¦µ� ¦¥�¬8 ¦¨�¨² �®�°�ª��rJ��� �¬� ��r¨� �ªm³�¬Ø«§���ém ¦í�©|ªm³:¨�°� ßi©��*��®Þ©�µ� ¦�� �³L°� ¦�� �æ1�T ¦�� �Ý ßi �Ü~©|��ªr¨�¨�°� ��² �§�³& ���¨�©¬8©�ã �§�³�³r��¨��$©�ªm§�¥·¨²©�Ü��஦¬ÞæÆeª�¨�°� á¨�°p ¦©��² ¦¨��஦§�¥|¬8�à³& �Ý�®Þ©|ªm¬8�à³& ¦�¯§�é�¥$ _§�ªm§�¥$í�¬���¬�°m§|¬�ém ¦ ¦ª�Üm ¦�8«d©|��ã: �³e��ªa�² �®Þ ¦ªr¨í� �§���¬Å¦>¬� ¦ �Ýú«d©|�h ���§�ã:Ü�¥$ �Ý.ï_��§{�y�� �ô ¡8/�÷YÝ�µá®��� ¦��§�ªm³G�T���à¬K�� ¦ª ô0/3/�÷Ý@µjµ|§�ªm¬0§�ªm³¶�Üp���m®A�Lô0/ ¸ Ý{/ Ê Ý{/|õ�Ý3/ Þ ÷YÝ�ðá°� ¦ª Ýy+e����§rÝy+e©�¨²©�Ý�§�ªm³�Û�¬8°��$��ô ¡¦õrÝ3/|ö�Ý ¸�¹ ÷Ý�§�ªm³>óTãLé��²©�¬8�$©§�ªm³�¶�©|ª� ¦�hô�ö�÷æ��_°� �¬8 ß_©��%��¬�°m§¦µ� :®�©�ªm®Þ �ª&¨²��§�¨² �³<©�ª)ãh§�ª&í §�¬�Ü~ ï®Þ¨�¬�Ý���ªm®Þ¥$�m³&�$ª��J��� �¬�¨���©|ªm¬�©�«  ��&�à¬8¨² ¦ªm®Þ �§�ªm³R�pª��rJ��� ¦ª� ï¬�¬ÞÝ|Üm§�¨²°�©�¥$©����஦§�¥�®¦§|¬8 �¬�Ý� ��&¨² ¦ªm¬���©�ªä¬j©�«[¨²°� �¬8 �à³& �§�¬�¨�©L«d��©�ªr¨�¬�©�«�®Þ©{9�³r��ã: ¦ªä¬8��©|ªh���� ï§�¨� ��T¨²°m§�ª<©|ª� "O¬8�m®�°<§|¬T ¦µ�©�¥$µ&�$ª��L®Þ���²µ� �¬_��ª

õ ¸

Page 54: math.berkeley.edusethian/2006/Papers/sethian... · 2006-08-07 · 0 132 1 46587:9);=? @BADCFEHGJILK.ANMOI6PRQTSUERIWVXANK.ERIWY[ZD\] MXY3^_ANG`\`Y3Iba.PRQ c EedfY3QgPeG`MXY[Eihij

¨²°��� ¦ ñ³&��ã: �ªm¬8�$©�ªm¬AS�Ýr®Þ©��pÜ�¥��$ª��>ß��$¨�°Ñ³&� ê��m¬���©|ªg xJ �m§�¨��$©�ªm¬�Ý&¥��$ª��p¬Øém ¦¨�ß_ ¦ �ª:¨�°� �¥� ¦µ� ¦¥¬� ¦¨�¨� �®�°�ª�� J �p �Ýr§�ªm³Íï_��§L���� 'È ¬Ø���²©���ªä³&é��� ï§L�r��ª��L©��²�����$ªm§�¥[µ|§���� «d©|¥�³h§�ÜpÜ���©�§�®�°[æóì¥�§��²�� �ªr��ãLé~ ��·©�«\Ü�°� ¦ª�©|ã: ¦ªm§�§�ªm³L¬8�$ãR��¥à§�¨²��©�ªä¬3°m§¦µ� eém ¦ ¦ª�Üm ¦�8«d©|��ã: ï³>ß���¨�°¥$ ¦µ� ¦¥\¬8 �¨>§�ªm³7�~§|¬8¨ò­<§��¯®±°p��ª��h­0 �¨�°�©r³�¬�§�¨â¨²°���¬eÜ~©|��ªr¨�¦\°� ¦�� �Ý�ß_ �°m§¦µ� ��² ¦µ&�$ ¦ß_ ï³©|ª�¥�íF§0¬���ém¬8 �¨�©�«e¨�°p :¥��$¨� ¦�¯§�¨��p�� �æ:ç7 :�� �«d ¦��¨�°� :�$ª&¨² ¦�� ï¬8¨� ï³A�² �§�³& ��>¨�©Ñ¨�°� ,Hm����³é��pé�é�¥� �®¦§�¥à®Þ��¥à§�¨��$©�ªm¬��$ªhôë¡ Ê Ý ÞLÊ ÷Ý�ßi©��%�â©|ª�§Tµ|§�����§�¨��$©�ªm§�¥&¥$ ¦µ� ¦¥�¬� ¦¨\ã: ¦¨�°p©r³�«d©|��ãL��¥\9¨²��Ü�¥$ ���ªr¨� ¦��«§�®Þ å��ªLô Þ 2�÷r§�ªä³ñ¨²���$Ü�¥� �Üm©|��ªr¨�¬iô ¡�¡�÷YÝ�®Þ©|ãRép�m¬8¨²��©�ªñ§�ªm³iH�§�ã: åÜ���©|Üm§���§�¨��$©�ªô Ê ¢�Ý�¢ ¹ Ý Þ ö�÷Ý[®Þ��íp¬8¨¯§�¥á���²©�ß�¨�°F§�ªm³)³r ¦ªm³&�²��¨��à®>¬�©�¥��à³&�\!~®¦§�¨²��©�ª ô Þ|¸ ÷Ý·§�Ü�Ü�¥$��®¦§�¨���©|ªm¬T¨²©Ü�°p©�¨�©|¥��$¨�°�©|����§�Ü�°rí7³& ¦µ� ¦¥$©�Ü�ã: �ª&¨ñô�õ ¢�Ý[õ Þ ÷Ý[§�ÜpÜ�¥��஦§�¨²��©�ª<¨²©:ã: �³r��®¦§�¥[��ãh§�����ªp�:§�ªm³�$ãh§��| �¬8 ¦�|ã: ¦ªr¨�§�¨���©|ª<ô ¸ ¢rÝ ¸ 2�Ý ¸ örÝ Ê /�Ý Ê3Ê Ý Ê õ�÷Ý&�| ¦ª� ¦�¯§�¥\§�¥$��©|����¨²°�ãh¬�«d©�����ªr¨� ��8«§�®� �¬�$ªL®Þ©�ã:Üp��¨�§�¨���©|ªm§�¥�Hm�p��³�³&írªm§�ã��®¦¬�§�ªm³�ãh§�¨² ¦���à§�¥�¬å¬�®Þ�$ ¦ªm®Þ �¬iô�õ×2�÷YÝ��$ãh§��| e³& ¦ª�©|��¬���ª��ô Ê�¹ Ý Ê ¡�Ý Ê�¸ ÷YÝ�¬� ¦ã:�«9�®Þ©|ªm³&�m®�¨�©��áãh§�ª&�r«§�®Þ¨²�����$ª��hô /&Ý ¸ Ý Ê Ý�õ�Ý Þ ¡�Ý Þ Ým¢�÷YÝp§�ªm³:¥� �µ� ¦¥�¬8 ¦¨ã: �¨�°�©r³�¬_©|ªh¨����à§�ª��|��¥�§�¨� �³Ñ³&©�ã�§���ªä¬aô ¡ ¹ ÷Yæç7 :§���§��$ª)�� �«d ¦�a¨�°p R�$ª&¨² ¦�� �¬�¨� �³0�² �§�³r ¦��¨�©Ñ§:�� �¬�©��m®Þ Lém©�©3�)©|ª@¥$ ¦µ� ¦¥å¬8 ¦¨ò§�ªm³�m§�¬�¨a­<§���®�°���ªp��­0 ¦¨²°�©r³�¬òô�õ�ö�÷\§�ªm³h¨�°� ò§|³�³&��¨²��©|ªm§�¥[ßi ¦éѬ8��¨² ��� �¬�©����¯®Þ °r¨�¨²Ü[£�£«ÿ¦ãh§�¨�°[æ�é~ ��*�� ¦¥$ Þí�æ� �³r�Tÿ¨§ ¬8 �¨�°��à§�ªTÿ�¥� ¦µ� ¦¥ ¬8 ¦¨�æ�°r¨�ã:¥

óT¥$¥�®�§�¥�®���¥�§�¨���©|ªm¬�ß_ ¦�² aÜm ¦�8«d©|��ã: ï³�§�¨�¨�°p 2�Tª��$µ� ¦��¬���¨�í�©�«áði§�¥$� «d©|��ª��à§&Ý�ï_ ��*�� ¦¥$ ¦í�ݧ�ªm³:¨�°� >´�§¦ß��² ¦ªm®Þ 5ï_ ��*�� ¦¥$ ¦í<Ëa§�¨��$©�ªm§�¥·´�§�ém©|��§�¨²©��²í�æ_ç7 aß_©|��¥�³R¥$�[�� e¨�©ò¨�°m§�ª���Ç>æóa³p§�¥�¬�¨� ¦�$ªm¬�¬�©�ª[Ý��aæ�ï�§��²¨�°[Ýr¤�æ'�a��ã:ã ¦¥dÝ�¤âær­<§�¥$¥�§|³&�&«d©��iãh§�ªrí��m¬8 �«d��¥�³&��¬²®Þ�m¬�¬���©|ªm¬Þæ© ¦�ªH¦¬«�¦�Ï<Õ�¦âÚô ¡Þ÷òóa³p§�¥�¬�¨� ¦�$ªm¬�¬�©�ª[Ý{Çòæ�Ý|§�ªm³�¶� ¦¨�°p��§�ª ݨ��æ ó>æ�ÝX­�®�$i¯M°V±è#M²L#A6H³�#<°�´¶#<° (¶µX·¹¸ºµH»k¼�»�µ�½�¾$Z¿'$¨°�À:Á¨¿¥ÂOÁðK#O»p¸8$'&=#�¯�Ý���æ�ðá©|ã:Ü[æâ�j°ríp¬Þæ�Ý[¡|¡�2rÝT/rÝ�Ü�Ü[æ�/ Þ öÄ%:/ ¢�¢�Ý�¡¦ö|ö�õræô0/�÷òóa³p§�¥�¬�¨� ¦�$ªm¬�¬�©�ª[ÝùÇ>æ�Ý�§�ªm³U¶� ¦¨²°���§�ª[Ý!��æ�ó>æ$ÝÅ­ ÆaÁ¶À Ç.#h·È±è#M²L#A6�³�#<°v­É½H½)»�µ{$'&�(°�µËÊÉ°¥&�(¶À:Á¨¿iÌÎÍ<#G½¶µi¯ºÀC°GÀ:µHÁ $HÁ_·Ï±ÐÀC°r(¶µ<¿H»*$�½�(¶ÑÒºÓ�­@6Ô¿HµH»MÀC°r(¶Õ1¯ú$HÁ_· Ö$×aµ¨¾·HÀ:ÕÉ#MÁH¯ºÀ:µHÁ�$36�³)À:ÕÙØ'6«$¨°GÀ:µHÁH¯�Ý·¡8/ ¹ Ý\¡�Ý�ÜpÜ[æ[¡�/×2Ä%m¡ Ê3Ê ÝØ¡�ö�ö|õ&æ

õ Ê

Page 55: math.berkeley.edusethian/2006/Papers/sethian... · 2006-08-07 · 0 132 1 46587:9);=? @BADCFEHGJILK.ANMOI6PRQTSUERIWVXANK.ERIWY[ZD\] MXY3^_ANG`\`Y3Iba.PRQ c EedfY3QgPeG`MXY[Eihij

ô ¸ ÷òóa³p§�¥�¬�¨� ¦�$ªm¬�¬�©�ª[ÝùÇ>æ�Ý�§�ªm³U¶� ¦¨²°���§�ª[Ý!��æ�ó>æ$ÝÅ­ ÆaÁ¶À Ç.#h·È±è#M²L#A6�³�#<°v­É½H½)»�µ{$'&�(°�µ�ÊÉ°R&A(¶À:Á¨¿iÌÐÍ<#G½¶µi¯ºÀC°�À:µHÁ)$HÁ_·�±ÚÀC°r(¶µO¿Û»*$�½�(¶Ñ�ÂhÂZÓ�ÖT(¶»A#A#<¾ ·HÀ:ÕÉ#MÁH¯ºÀ:µHÁ�$36�³)À:ÕÙØ'6«$¨¾°�À:µHÁn¯�Ý[¡�/×/&Ýp/&Ý�Ü�Ü æ ¸LÊ 2Z% ¸×Þ3Þ Ý塦ö�ö|õ&æô Ê ÷òóa³p§�¥�¬�¨� ¦�$ªm¬�¬�©�ª[ÝùÇ>æ�Ý�§�ªm³U¶� ¦¨²°���§�ª[Ý!��æ�ó>æ$ÝÅ­ ÆaÁ¶À Ç.#h·È±è#M²L#A6�³�#<°v­É½H½)»�µ{$'&�(°�µ¥Ê°¥&�(¶À:Á¨¿XÌ�Í<#G½¶µi¯ºÀC°GÀ:µHÁC$HÁ¶·Ü±ÚÀC° (¶µ<¿H»%$�½�(¶Ñ1Â�Â�ºÓÉÝеHÕ�½�6[#�Þx³)À:ÕÙØ:6 $¨°GÀ:µHÁn¯à$HÁ¶·´ßØ:6à°�Àá½�6[#�Ê�â5#%&�°:¯�Ý���æ�ðá©�ã:Üp��¨¦æâ�j°ríp¬Þæ�Ý[¡ ¸ 2rÝ·¡|Ý�Ü�Ü[æ[¡¦ö ¸ 9_/3/ ¸ Ý�¡�ö�ö ¢�æô�õ�÷òóa³p§�¥�¬�¨� ¦�$ªm¬�¬�©�ª[ÝpÇ>æ$Ý·¶� ¦¨²°���§�ª[Ý���æ ó>æ�Ý�¤� ¦í�Ý���æ�Ý$ã2Àà¿L(�Í<#MÁn¯ºÀC°�Ñ¥¼ 6«$i¯ºÕ<$ÜÍ<#�½_µ¨¾¯ºÀC°�À:µHÁÈ´ßµi·y#�6äÀ:Á¨¿�ƹ¯ºÀ:Á¨¿�±è#M²L#A6�³�#<°2´ì#<°r(¶µX·i¯�Ýh���²©r®Þ ¦ �³&�$ª���¬h¶� �®Þ©|ªm³îÛYªr¨� ¦�¤9ªm§�¨��$©�ªm§�¥TÇe�� ¦¥$ �®Þ¨��²��®¦¬~«d©|�hÌ>´[¶ Û�ÿÄ�â´[ðiÛ\­0��¥�¨²��¥� �µ� ¦¥rÛYª&¨² ¦��®Þ©|ª�ª� �®�¨���©|ªRðá©|ª&«d ¦�K9 ¦ªä®Þ �Ý�¶r§�ªr¨�§:ðá¥�§���§rÝ3ði§�¥�� «d©|��ª��à§&ÝrÜ�Ü[æ[¡�¡ Þ 9¯¡�/ ¸ Ý\�� ¦é[æ�¡�ö�ö Þ æô Þ ÷òóa³p§�¥�¬�¨� ¦�$ªm¬�¬�©�ª[Ý�Ç>æ$Ý&¶� ¦¨²°���§�ª[Ýq��æ�ó>æ$Ý�¤� ¦í�ÝH��æ$ÝÃÊÉ°R&�(¶À:Á"¿"$HÁ_·1Í<#�½_µi¯ºÀC°�À:µHÁ�´ßµi·¨¾#A6åÀ:Á¨¿æÆ'¯ºÀ:Á¨¿ç±è#M²L#A6v³�#D°.´ì#<°r(¶µX·i¯�Ý:¡ ¸ ¨�° ÛYª&¨² ¦��ªä§�¨��$©�ªm§�¥ÉÌñ­<Û¯ðÔ­0 ¦ ¦¨²��ª��pݶr§�ª&¨¯§Rðá¥�§���§&Ý[ði§�¥$� «d©|��ª��à§&Ý�����ª� L¡82�¨�°�9¤/ ¹ ¨�° Ý·¡�ö�ö Þ æô ¢¦÷òóa³p§�¥�¬�¨� ¦�$ªm¬�¬�©�ª[Ý�Ç>æ$Ý�¶� ¦¨�°p��§�ª Ý_��æ�óòæ�Ý�¤� ¦í�ÝH��æ$ÝÉè_µHÀ:·�Í<#M²{#A6äµ�½)ÕÉ#MÁð�À:Á¥¼h6 $i¯ºÕ<$Ê�Á:(â$HÁ�&=#h·�Ý2è�Í�´ßµX·y#A6á¯�Ý��$ª0Ü��² �¬�¬�Ý�����©r®Þ ¦ ï³&��ª���¬i�_°��$��³<ÛYª&¨² ¦��ªä§�¨��$©�ªm§�¥VÇe�\9 ¦¥$ �®Þ¨²����®�¬å«d©|�.Ì>´[¶rÛ*ÿX��´[ðiÛ_­0��¥$¨���¥$ ¦µ� ¦¥mÛYªr¨� ¦�¯®Þ©�ªpª� �®Þ¨²��©�ªÑðá©�ª&«d ¦�² ¦ªm®Þ �Ý~¶r§�ª&¨¯§ðá¥à§���§rÝ�ði§�¥$� «d©��²ª���§rÝm�� ¦é[Ý�æ�¡¦ö|ö ¢�æô02�÷òóa³p§�¥�¬�¨� ¦�$ªm¬�¬�©�ª[Ý�Ç>æ�Ý·¶� ¦¨�°��à§�ª[Ý$��æ ó>æ�Ý!ÖT(�#1®�$i¯M°{ÝеHÁn¯M°�»�Ø�&�°�À:µHÁmµo¸vÊÐÞX°¤#MÁn¯ºÀ:µHÁè]#�6äµ{&ZÀC°GÀ±#h¯�À:Á�±V#M²L#�6�³�#<°�´¶#<° (¶µX·i¯�Ýå¬8��é�ã��¨�¨² �³g«d©��òÜ���é�¥$��®¦§�¨��$©�ª[Ý���æØðá©�ãÜ[æ��°rí�¬�æ�Ý�¡�ö�ö�¢�æô�ö�÷òóTãLé��²©�¬8�$©�Ý�´\æ�Ý�§�ªm³g¶�©|ª� ¦��Ýy�òæ�­)æ�ÝH±V#O²L#A6ó�#D°k­½H½)»hµ{$'&�(Ù°�µ1´ì#%$HÁ.ÝÐØq»M²�$¨°GØq»�#®16åµH×�À:ÁÜ­¬»MéZÀC°G»%$H»�Ñ�Ýе¨¾+·HÀ:ÕÉ#MÁn¯ºÀ:µHÁ&Ým��ªhÜ��² �¬�¬�Ý���æ�ÇT�ëê�æ�+e ¦©�ã Ý~¡�ö�ö|õ&æô ¡ ¹ ÷<ï�§���¨�° ÝT�aæê��æ�Ý[§�ªm³@¶� ¦¨²°���§�ª[Ý'��æ�óòæ�Ý�ë�ØÃÕÉ#M»MÀr&A$36k³p&A(�#MÕÉ#�¯�¸ºµH»1°r(�#vãI$HÕÙÀ[6à°�µHÁþìâ$'&<µHéZÀ.$HÁ_·.±V#M²{#A6a³�#<°�Ê�íZØy$¨°�À:µHÁn¯�µHÁ�Ö¶»�Àr$HÁ"¿HØ:6 $¨°K#h·.Í{µHÕ<$HÀ:Án¯�Ýå¬8��é�ã��¨�¨² �³«d©|��Ü���é�¥$��®¦§�¨���©|ª[Ý_��æ�ðá©|ã:Ü[æâ�j°ríp¬Þæ�Ý�¶� ¦Ü�¨¦æ�¡¦ö|ö ¢ô ¡�¡�÷<ï_ ¦ªä®Þ �ÝZ��æ$Ý�­0 ¦���²��ãh§�ª[Ý�ïaæ$Ý�§�ªm³ÐÆ�¬8°p ¦�¦Ý�¶mæà��æ$ݨ´�µ¨°�À:µHÁÙµo¸a´�Ø'6à°�Àá½�6[#Éì_ØqÁ�&�°�À:µHÁn¯XÓ­�±V#O²L#A6�³�#<°­É½H½)»�µ{$'&�(rÝq��©|���¦æ[ðá©�ã:Ü æ���°&íp¬Þæ$Ý�¡|¡�/&Ýp/&Ý�ÜpÜ[æ ¸�¸{Ê % ¸×Þ�¸ ÝØ¡�ö�ö Ê æô ¡�/�÷<ï_�¯§L���� �Ý3��æ ó>æ�ÝaÖT(�#É´�µ¨°�À:µHÁîµo¸�$1³VØûC¸8$'&=#¬éZÑ�ÂD°A¯�´¶#%$HÁßÝÐØq»M²�$¨°GØq»�#¯Ý'������ªä®Þ =9¨²©�ª��Tª��$µ� ¦��¬���¨�í,���� �¬²¬ÞÝ������$ªm®Þ ¦¨²©�ª[ÝâË���Ý[¡¦ö�¢{2&æô ¡ ¸ ÷Rði§�¥� �Ý��aæ ¶äæ�Ýq��§��$ª[Ý�­)æ¢�Hæ$Ý��3�¯§�®Þí�Ý�ðeæê��æ�Ýr§�ªm³�ÇT��î:ª[Ýp¤âæ$Ýr¬8��é�ã��¨�¨² �³â«d©��iÜ���éy9¥$��®¦§�¨���©|ª[Ý_��æ�Ìi§�®�æ�¶r®��YÝ��[ �®�°[Ý�ïaÝ�¡¦ö|ö Þ Ý

õ|õ

Page 56: math.berkeley.edusethian/2006/Papers/sethian... · 2006-08-07 · 0 132 1 46587:9);=? @BADCFEHGJILK.ANMOI6PRQTSUERIWVXANK.ERIWY[ZD\] MXY3^_ANG`\`Y3Iba.PRQ c EedfY3QgPeG`MXY[Eihij

ô ¡ Ê ÷Rðá°m§�ª���Ý'ï�æëðeæ�Ý��e©��[Ý��aæáï æ�Ý�­0 ¦���²��ãh§�ª[ÝTïaæ$Ý[§�ªä³ Æ�¬8°p ¦�¦Ý�¶mæê��æ�Ýk­�±è#M²L#A6a³�#<°®�µH»MÕÙØ:6«$¨°�À:µHÁðµo¸�Ê�Ø'6[#M»MÀr$HÁñÂOÁðK#O»p¸8$'&=#xÝ1$�½�°�ØûMÀ:Á¨¿¥´¶#<° (¶µX·i¯a¸ºµH»�ÂOÁ�&<µHÕ�½)»�#�¯<¯M¾À:é=67#�®16äØqÀ:·�® 6äµH×¹¯�Ý���©��p�¦æ�ðá©�ãÜ[æ���°&íp¬Þæ$Ý�¡�/ Ê ÝmÜ�Ü[æ Ê×Ê öx9 Ê'Þ{Ê Ý�¡�ö�ö Þ æô ¡¦õ�÷Rðá°� �ª[ÝHï�æ�Ý�+e����§&ÝÃï æ�Ý�§�ªm³ª+e©�¨²©�Ý�¶mæ$Ý�Æ�Á_À:íZØ�#MÁ]#h¯<¯<$HÁ¶·òÊÐÞ"Àó¯M°¤#MÁ�&=#{µo¸ÜèkÀó¯8&<µi¯M¾ÀC°�Ñ¥³)µ36äØH°GÀ:µHÁn¯Üµo¸�ôi#MÁ]#M»%$36äÀóõ{#h·Ü´¶#%$HÁ�ÝÐØq»�²�$¨°�Øq»�#v®16åµH×öÊ�íZØy$¨°�À:µHÁn¯�Ý���æ�ÇT� êåæ+e ¦©|ã<Ý ¸�¸ Ý[¢ Ê ö&Ý\¡¦ö|ö&¡�æô ¡ Þ ÷Rðá°�©|Ü�Ü[Ý5Ç>æë´\æ�Ý�ÝеHÕ�½)Øn°�À:Á¨¿÷´ßÀ:Á_À:Õ<$36ųVØûC¸8$'&=#�¯ø²ZÀr$÷±è#M²L#A6�³�#<°.ÝÐØq»M²�$¨°GØq»�#®16åµH×·Ý���©�����æ�©�«�ðá©|ã:Ü[æâ�j°ríp¬Þæ�Ý�¡ ¹×Þ ÝmÜ�Ü[æ�¢�¢M%rör¡�Ý�¡�ö�ö ¸ æô ¡�¢�÷Rðá°�©|Ü�Ü[Ý Ç>æ ´\æ$Ý_§�ªm³ ¶� ¦¨�°��à§�ª[ÝÉ��æ�óòæ�Ý®16äµH×ùÆaÁ¶·y#M»�ÝÐØq»�²8$¨°GØq»�#ZÓj³)À:Á¨¿ÛØ:6«$H»MÀC°�Ñ®�µH»MÕ<$¨°GÀ:µHÁnÌ�´ßÀ:Á_À:Õ<$36a³)Øq»p¸8$'&=#�¯<ÌI$HÁ_·úôi#hµi·y#h¯ºÀr&O¯�Ý$��©�����æ µV�rÜm ¦�¦æ\­<§�¨²°[æ�Ýè/&ÝÊ Ý�Ü�Ü[æ�/ ¸ õÄ%:/�õ�õrÝ�¡¦ö|ö ¸ æô ¡�2�÷Rðá°�©|Ü�Ü[Ý'Çòæ ´\æ�Ý|§�ªä³R¶� ¦¨�°p��§�ª ÝH��æ�ó>æ$ݨ­�±V#M²{#A6n³�#<°¹­É½H½)»�µ{$'&�(�°Gµ2° (�#Ðë2ØqÕÉ#M»MÀr&A$36³)À:ÕÙØ'6«$¨°�À:µHÁðµo¸�è$Àó¯8&<µHØÛ¯2³)À:Áð¤#M»MÀ:Á¨¿�Ýmß_©|�*�h��ª:Üp��©��|�� �¬²¬ÞÝ\¡¦ö|ö32&æô ¡¦ö�÷Rðá°�©|���$ª[Ý7ó>æà��æ$Ýßë�ØÃÕÉ#O»�Àr&A$36�³)µ36äØH°�À:µHÁ-µo¸û° (�#�ëI$H²ZÀ±#M»<¾�³�°�µiü'#�¯�Ê�íZØ�$¨°GÀ:µHÁH¯�Ý­<§�¨�°[æmðá©�ã:Ü[æ$Ý�/×/&ÝmÜ�Ü[æ�¢ Ê õ&Ý\¡¦ö Þ 2&æô0/ ¹ ÷Rðá�¯§�ªm³�§�¥�¥Ý>­)æ«+>æ$Ý�§�ªm³¼´m�$©�ªm¬�Ý<� 9�´\æ$Ýmè$Àó¯8&<µi¯ºÀC°GÑ÷³Vµ36äØn°�À:µHÁn¯Èµo¸�ãI$HÕÙÀ[6à°�µHÁÃýìâ$'&<µHéZÀ¹Ê�íZØ�$¨°GÀ:µHÁH¯�Ý��3�¯§�ª[æ�óa­@¶mÝâ/ ¢�¢�Ý~ÜpÜ[æ[¡O% Ê�¸ Ý\¡¦ö×2 ¸ æô0/&¡�÷<ÇT� è*��¬�¨��¯§&Ý�µ�æ�ç æ$ÝV­þë�µ¨°¤#ÙµHÁ�Ö$×aµ¥¼�»�µHéÅ6[#MÕ1¯òÀ:ÁmÝеHÁ_Á]#%&�°�À:µHÁ�×aÀC° (øô!»*$�½�(H¯�ÝËT�pã: ¦���à¬�®�°� e­<§�¨²°� ¦ãh§�¨��à®�Ý�¡�£¢/ Þ öÄ%�/�¢�¡|ÝØ¡�ö�õ|ö&æô0/3/�÷<µá®A�� ¦�¦Ý���æ�Ýp�T���à¬8ãh§�ª[ÝT+òæ�Ý'ÂMÁð¤#M»MÀ:µH»�ÊЯM°�À:Õ<$¨°K#�¯É¸ºµH»�ã�ÑO½�#M»�¯ºØûC¸8$'&=#�¯2´�µH²ºÀ:Á¨¿éZÑ�´¶#%$HÁÒÝÐØq»�²8$¨°GØq»�#�ÝeÛYªrµ� ¦ª&¨²��©|ª� �¬L­<§�¨�°p ¦ãh§�¨²��®¦§rÝa¡ ¹ õ&Ý ¸ ÝTÜ�Ü[æeõ Ê ¢�% õ Þ ö&Ý¡�ö�ö&¡|æô0/ ¸ ÷<µ�µ|§�ªm¬�Ý·´\æ ðeæ$Ým§�ªm³@¶�Ü����m®A��Ý���æ$Ý�´�µ¨°�À:µHÁ�µo¸2±V#O²L#A6'³�#<°:¯xéZÑ¥´ì#%$HÁmÝÐØq»M²�$¨°GØq»�#¯Ý_��æ�ÇT�ëê�æT+e ¦©|ã<Ý ¸|¸ Ý Þ|¸ õ&Ý\¡¦ö|ö&¡|æô0/ Ê ÷<µ�µ|§�ªm¬�Ý·´\æ ðeæ$Ým§�ªm³@¶�Ü����m®A��Ý���æ$Ý�´�µ¨°�À:µHÁ�µo¸2±V#O²L#A6'³�#<°:¯xéZÑ¥´ì#%$HÁmÝÐØq»M²�$¨°GØq»�#ÂhÂ�Ý �3�¯§�ªm¬²§�®Þ¨²��©�ªä¬�©�«ò¨�°� 7óTã ¦���஦§�ªÅ­<§�¨²°� ¦ãh§�¨��஦§�¥a¶�©r®��� ¦¨�í�Ý ¸|¸�¹ Ý>¡�ÝeÜ�Ü[æ¸ /&¡O% ¸�¸ /&Ý�¡�ö�ö3/ræô0/�õ�÷<µ�µ|§�ªm¬�Ý·´\æ ðeæ$Ým§�ªm³@¶�Ü����m®A��Ý���æ$Ý�´�µ¨°�À:µHÁ�µo¸2±V#O²L#A6'³�#<°:¯xéZÑ¥´ì#%$HÁmÝÐØq»M²�$¨°GØq»�#ÂhÂ�Â�ݶ��æT+e ¦©�ã<æróTªä§�¥Yæ�/rÝ�Ü�Ü[æ[¡8/&¡O%䡦õ ¹ Ý�¡�ö�ö3/ræ

õ Þ

Page 57: math.berkeley.edusethian/2006/Papers/sethian... · 2006-08-07 · 0 132 1 46587:9);=? @BADCFEHGJILK.ANMOI6PRQTSUERIWVXANK.ERIWY[ZD\] MXY3^_ANG`\`Y3Iba.PRQ c EedfY3QgPeG`MXY[Eihij

ô0/ Þ ÷<µ�µ|§�ªm¬�Ý·´\æ ðeæ$Ým§�ªm³@¶�Ü����m®A��Ý���æ$Ý�´�µ¨°�À:µHÁ�µo¸2±V#O²L#A6'³�#<°:¯xéZÑ¥´ì#%$HÁmÝÐØq»M²�$¨°GØq»�#Ânè3ݶ��æT+T �©�ã<æpóTªm§�¥æ�Ýpõ&Ý[¡�Ý�ÜpÜ[æ�¢�¢M%m¡�¡ Ê Ý�¡�ö�ö|õ&æô0/ ¢�÷É+�§��| �Ýe­)æ�ÝÙÝÐØq»M²L#î³â(¶µH»O°¤#MÁ_À:Á¨¿ú´E$iü'#�¯ÈÝеHÁ_²L#�ÞöÝÐØûM²L#�¯ÈÝÐÀ:»*&ZØ'6«$H»�Ý�ÛYª&µ� ¦ª�9¨²��©�ªp �¬�­<§�¨²°� ¦ãh§�¨���®�§&Ý�¢ Þ Ý~Ü�Ü æ ¸ õ ¢�Ý·¡�ö32 Ê æô0/32�÷É+�§��| �Ý\­)æ�Ý\§�ªä³�a§�ã:��¥$¨�©|ª[Ý[¤�æ�Ý�ÖT(�#vÊ�íZØ�$¨°�À:µHÁø³â(¶»�À:ÁnüiÀ:Á¨¿úÝеHÁ_²L#�Þ�¼h6 $HÁ]#�¯ÝÐØq»�²{#�¯�Ý���æ�ÇT� êåæT+e ¦©|ã<Ý�/ ¸ ÝmÜ�Ü[æ Þ ö&Ý\¡¦ö×2 Þ æô0/�ö�÷É+e����§&Ýqï�æ�Ýr§�ªä³ +e©|¨�©�Ý�¶äæ�Ý_´�µ¨°�À:µHÁjµo¸�ã2Ñ<½�#M»D¯ºØq»C¸8$'&=#�¯�$HÁ_·.ôi#hµHÕÉ#<°�»�Àr&�Ê�íZØ�$¨¾°�À:µHÁn¯�Ý���©��p��ªm§�¥[©�«á¨²°� ò­<§�¨�°p ¦ãh§�¨²��®¦§�¥[¶�©r®Þ�� �¨8íL©�«���§�Üm§�ª[Ý Ê×Ê Ý�Ü�Ü æmö�ö&Ý\¡¦ö|ö3/ræô ¸�¹ ÷É+e����§&Ýaï�æ$Ýí+e©�¨²©�Ý�¶mæ�ÝåÛ�¬8°��$�YÝV�òæ�Ý�ô.6äµHéA$36aÊÐÞ"Àó¯M°¤#MÁ�&=#�µo¸Èÿ�#%$iüj³)µ36äØH°�À:µHÁn¯�¸ºµH»ÂOÁðK#O»p¸8$'&=#!Ê�íºØy$¨°�À:µHÁn¯xÝеHØZ½�6[#h·�×aÀC°r(�Í{À â¬Ø¨¯ºÀ:µHÁ¥Ê�íZØy$¨°�À:µHÁn¯�Ý�¶rÛ�óa­ ��æ�­<§�¨�°[æóTªä§�¥Yæ$Ý�/ ¸ ÝpË Ê Ý�Ü�Ü[æ�23/r¡O%:2 ¸ õrÝ�¡¦ö|ö3/ræô ¸ ¡�÷É+e��§¦íp¬8©|ª[Ýá­)æ�Ý{ÖT(�#�ã�#%$¨°�Ê�íZØy$¨°�À:µHÁȳâ(¶»�À:Ánüº¯¥Ê�ÕÙé=#h·H·y#h·.¼h6 $HÁ]#ðÝÐØq»�²{#�¯j°�µ

�ŵHØÃÁ_·v¼�µHÀ:Áð:¯�Ý���æâÇT� êåæ�+T �©�ã<æ$Ýy/ Þ Ý�Ü�Ü æ�/32�õrÝ·¡�ö32�¢�æô ¸ /�÷É+e��§¦íp¬8©|ª[Ýe­)æ�Ý�­ ³�(¶µH»O°2ë2µ¨°¤#ñµHÁ�° (�#jÊ�²Zµ36äØH°GÀ:µHÁ�µo¸j³)ØûC¸8$'&=#�¯öèkÀr$�´ì#%$HÁÝÐØq»�²8$¨°GØq»�#�¯�ݶ��æ�ÇT� êåæT+e ¦©|ã<æ�Ýrõ32rÝ~ÜpÜ[æmõ�õ|õ&Ý\¡¦ö32|ö&æô ¸�¸ ÷<�a§���¨² ¦ª[Ýhó>æ$Ý"µ�ª��'J����à¬8¨¦ÝÍïaæ�Ý�Æ�¬8°� ¦��Ý0¶mæ�Ýh§�ªm³Ëðá°m§L�r��§¦µ|§��²¨�°rí�ÝA¶äæ�Ý�Æ�Á_ÀC¾¸ºµH»MÕÐ6äÑ�ã�Àà¿L(���»�·y#M»1­N&A&ZØû%$¨°K#�ÊЯ<¯{#MÁq°GÀr$3676äÑîë2µHÁq¾ µi¯8&ZÀ[6[6 $¨°GµH»MÑî³p&�(�#MÕÉ#h¯��aÂ�Â�¯Ý��æmðá©�ã:Ü[æ���°rí�¬�æ�Ým¢�¡�Ý�/rÝ~ÜpÜ[æ�/ ¸ ¡O% ¸|¹�¸ Ý�¡¦ö×2 ¢�æô ¸LÊ ÷Ù��§���ª[Ý�­)æ¢��æ�Ý�ði§�¥� �Ý'�aæ ¶mæ$Ý3�[��§|®Þí�Ý&ðeæê��æ�Ý�§�ªm³<ÇT�yîª[Ýr¤�æ ´\æ�Ý)ÝÐØq»�²�$¨°�Øq»�#ÐÍ{»�À:²{#MÁ³)Øq»C¸8$'&=#.Í{À â¬Ø¨¯ºÀ:µHÁçµo¸ð­@6äØqÕÙÀ:Á_ØqÕv¾������� ¶Ýе�½H½�#M»îÍ{Øq»�À:Á"¿÷³H½)ØH°�°¤#M»ßÍ<#�½_µi¯ºÀC¾°�À:µHÁ&Ý�����©r®Þ � �³&��ªp��¬ÞÝ[¡|¡Þ¨²°)Ì�­<Û�ðìðá©�ªr«d ¦�� ¦ªä®Þ �Ý[¡¦ö|ö3/ræô ¸ õ�÷<�a��ããR ¦¥Ý�¤�æ�Ým§�ªm³A¶� ¦¨�°��à§�ª[ݶ��æ�ó>æ$ÝV­É½H½�6äÀr&A$¨°�À:µHÁðµo¸1®�$i¯M°a´E$H»%&�(¶À:Á¨¿Ù´ì#<°r(¶µX·i¯°�µ�¼.$¨°r(�¼ 6«$HÁ¶Á_À:Á¨¿�Ý�¬���é�ã:�$¨�¨� ï³F«d©|�:Ü���ép¥���®�§�¨��$©�ª[Ý�ÛKµ1µ1µú�3�¯§�ªm¬²§�®Þ¨²��©�ªä¬�©|ª¤�©�ém©�¨²��®¦¬�§�ªm³0óe��¨�©|ãh§�¨²��©�ª Ý�¡¦ö|ö Þ æô ¸3Þ ÷R´�§�¨�©�ãLém �Ý'��æëðeæ�Ý��!µHé<µ¨°!ÕÙµ¨°�À:µHÁî½�6«$HÁ_Á¶À:Á¨¿�Ý1�a¥��rß_ ¦��óa®¦§|³& ¦ã:�à®Ð����é�¥$��¬�°� ¦��¬�Ýï_©�¬8¨�©|ª[Ým­<ó>Ý�¡¦ö�ör¡�æô ¸ ¢�÷�­<§�¥�¥�§|³&�YÝm¤�æ�Ý�¶� ¦¨�°��à§�ª[Ý)��æ�óòæ�Ým§�ªä³)ÌØ �ãR���²�YÝ�ïaæ ðeæ$Ý�Ê�²Zµ36äØH°GÀ:µHÁ�$H»MÑ¥®�»�µHÁð:¯a¸ºµH»Ö¶µ�½¶µ36äµ<¿HÑi¾ À:Á¶·y#G½�#MÁ_·y#MÁðг�(â$�½�#�´ßµi·y#�6äÀ:Á¨¿�$HÁ_·���#%&<µH²L#M»MÑ�Ý���ª4�j�²©r®Þ ¦ �³r��ª���¬ú©�«�_°��$��³"µ����²©�Üm �§�ª@ðá©�ªr«d ¦�� ¦ªä®Þ a©�ª<ðá©|ã:Ü���¨² ¦�hÌa�à¬8�$©�ª[Ým¶�¨�©r®A�&°p©�¥�ã Ýä¶�ß_ �³& �ª[Ý´m �®�¨����² 5ËT©�¨² �¬_��ª<ðá©|ã:Ü���¨² ¦�a¶r®Þ�$ ¦ªm®Þ �Ý�2 ¹�¹ £ ¸ %ä¡ ¸ Ý塦ö�ö Ê æ

õ�¢

Page 58: math.berkeley.edusethian/2006/Papers/sethian... · 2006-08-07 · 0 132 1 46587:9);=? @BADCFEHGJILK.ANMOI6PRQTSUERIWVXANK.ERIWY[ZD\] MXY3^_ANG`\`Y3Iba.PRQ c EedfY3QgPeG`MXY[Eihij

ô ¸ 2�÷�­<§�¥�¥�§|³&�YÝe¤�æ�Ýa¶� ¦¨²°���§�ª[Ý���æ ó>æ�Ýe§�ªm³-Ìá ¦ãL���²�YÝ ïaæ ðeæ�Ý!³�(â$�½�#.´�µX·y#A6äÀ:Á"¿�×aÀC°r(®�»�µHÁq°1¼�»�µ�½â$Z¿'$¨°�À:µHÁVÓ�­ ±è#M²L#A6�³�#<°Ù­É½H½)»�µ{$'&�(rÝ�Û¤µ1µ1µ �[��§�ªm¬Þæ_©|ª³�å§�¨�¨² ¦��ªóTªä§�¥�íp¬8�à¬_§�ªm³0­<§|®±°��$ª� �ÛYªr¨� ¦¥$¥����| ¦ªm®Þ �Ý�¡�¢�ÝT/rÝ�Ü�Ü[æ[¡¦õ×2Ä%ä¡�¢�õrÝ�¡¦ö|ö�õræô ¸ ö�÷�­<§�¥�¥�§|³&�YÝ ¤âæ$Ýj¶� ¦¨�°��à§�ª[Ý$��æ ó>æ�Ý[§�ªm³CÌØ �ãR���²�YÝ�ïaæëðeæ�Ýk­Ï®�$i¯M°�±V#M²{#A6k³�#<°�éA$i¯{#h·­@6Ô¿ÛµH»�ÀC°r(¶Õ�¸ºµH»xÖ_µ�½¶µ36äµ<¿HÑX¾�ÂMÁ_·y#�½]#OÁ_·y#MÁðг�(â$�½�#�´�µX·y#A6åÀ:Á¨¿2��æ�­<§�¨²°[æ�ÛYãh§����$ª��§�ªm³"Ìa��¬���©�ª Ý Þ Ý�/:ÿ ¸ ÝmÜ�Ü[æ�/ Þ öÄ%:/�ö ¹ Ý�¡�ö�ö Þ æô Ê�¹ ÷�­<§�¥�¥�§|³&�YÝp¤âæ$Ý�§�ªm³@¶� ¦¨²°���§�ª[Ý_��æ ó>æ�Ý�ÂMÕ<$Z¿y#�¼�»�µ{&=#�¯<¯ºÀ:Á"¿�²ZÀr$¥±V#O²L#A6'³�#<°�ÝÐØq»M²�$¨¾°�ØûA#�®16åµH×·Ý�����©r®�æpËa§�¨²¥Yæpóa®¦§�³�æ&©�«�¶r®Þ�Yæ$Ý�ö×/&Ý[¡¦õrÝ~ÜpÜ[æ�¢ ¹{Ê'Þ %p¢ ¹ õ ¹ Ýá¡�ö�ö�õræô Ê ¡�÷�­<§�¥�¥�§|³&�YÝF¤âæ$Ý)§�ªm³ ¶� ¦¨²°���§�ª[Ýú��æ�ó>æ$Ý÷ÂOÕ<$Z¿y#�¼�»�µ{&=#�¯<¯ºÀ:Á¨¿ÃÓ ®16äµH×¹¯ÎØqÁ_·y#M»´ßÀ:Á��_´E$iÞÜÝÐØûM²�$¨°�ØûA#i$HÁ¶·�´¶#%$HÁ�ÝÐØq»�²8$¨°GØq»�#�Ý�+e��§�Üp°���®¦§�¥\­0©r³& ¦¥à¬_��ªhÛYãh§��� ����©r®� �¬�¬���ª��pÝmõ32yO¥/:SiÜ�Ü[æ[¡8/ ¢=9¯¡ Ê ¡�Ý\­<§��¯®±° Ý�¡¦ö|ö Þ æô Ê /�÷�­<§�¥�¥�§|³&�YÝá¤�æ�Ýi§�ªä³ ¶� ¦¨²°���§�ª[ÝÉ��æ�ó>æ$Ý­¬Á � O �5¥�©����ÍS�­@6Ô¿HµH»MÀC° (¶Õ�¸ºµH»�³â(â$�½]#´ßµi·y#�6äÀ:Á¨¿�Ý�����©r®|æ�Ëa§�¨�æmóa®¦§�³�æ�¶r®Þ�Yæ$Ý'ÌØ©|¥Yæmö ¸ Ý[¡¦ö|ö Þ æô Ê�¸ ÷�­<§�¥�¥�§|³&�\¤�æ�Ým§�ªä³A¶� ¦¨²°���§�ª[Ý)��æ�ó>æ$ÝV­ Æ�Á_À Ç.#h·¥­½H½)»hµ{$'&�(j°�µ�ë�µHÀó¯{#��i#MÕÙµH²�$36tÌÂOÕ<$Z¿y#aÊ�Á:(â$HÁ�&=#MÕÉ#MÁq°AÌè$HÁ_·�³�(â$�½�#���#%&<µH²L#M»MÑ�Ý�Û¤µ1µíµÍ�3�¯§�ªm¬²§�®Þ¨²��©|ªm¬3©|ª�ÛYãh§��� ����©r®� �¬�¬���ª��pÝmõ&Ý[¡�¡|Ý~ÜpÜ[æ[¡�¡�õ Ê 9¯¡�¡ Þ 2rÝØ¡�ö�ö Þ æô Ê3Ê ÷�­<§�¥�¥�§|³&�á¤�æ�Ýå§�ªm³�¶� ¦¨�°��à§�ª[Ý���æ�ó>æ$Ýk®16äµH×'¯jØqÁ_·y#M»�´ßÀ:Á��_´E$iÞßÝÐØûM²�$¨°�ØûA#"$HÁ¶·´¶#%$HÁ.ÝÐØûM²�$¨°�ØûA#ZÓЭ½H½�6äÀr&A$¨°�À:µHÁn¯¬À:Á¥ÂMÕ<$Z¿�#ż�»hµL&=#h¯<¯ºÀ:Á¨¿�Ý'����©r®� ¦ �³&�$ª���¬�©�« ¨�°� ��©��p��¨�°�µ����²©�Üm �§�ª:ðá©|ª&«d ¦�² ¦ªm®Þ á©�ªLðá©�ã:Üp��¨� ¦�pÌa��¬���©|ª[Ý�´pËâð�¶iÌá©|¥Yæ�¡ ¹×ÞLÊ Ý�Ü�Ü[æ/|õ&¡�9_/ Þ ¡�Ý'�eª���µ� ¦�¯¬8�$¨8í�©�«_ði§�ãRép����³r�� �Ýmði§�ãLé����à³&�� �Ý�µ�ª��|¥�§�ªä³�Ý�óeÜ����$¥�¡¦ö|ö Þ æô Ê õ�÷�­<§�¥�¥�§|³&�e¤�æ�Ýi§�ªm³ì¶� ¦¨�°p��§�ª Ý���æ�ó>æ$Ýæ­��i#%$36à¾ZÖ$À:ÕÉ#x­@6Ô¿HµH»MÀC° (¶Õ ¸ºµH»¥´ì#h·HÀr&A$36³�(â$�½�#òèkÀó¯ºØ�$36äÀóõ8$¨°�À:µHÁ"$HÁ_·�´ì#%$i¯ºØq»�#MÕÉ#MÁq°cÝ'ÝеHÕ�½)ØH°¤#M»�­¬À:·y#h·ÙôI#hµHÕÉ#D°G»MÀr&�ÍP#<¾¯ºÀà¿HÁrÝ�¬8�pé�ã:��¨²¨� �³a«d©��iÜ���é�¥$��®¦§�¨���©|ª[Ýr¬8Üm �®Þ�à§�¥m��¬²¬8�� e©�ª�­0 �³&��®�§�¥�ÛYãh§��|��ª��pÝH��§�ªy9�m§���í<¡�ö�ö�¢�æô Ê'Þ ÷ÉÆ�¬8°p ¦�¦Ýá¶mæ�Ý\§�ªä³ ¶� ¦¨�°��à§�ª[Ý���æ�ó>æ$Ýk®�»�µHÁð:¯x¼�»hµ�½â$Z¿'$¨°GÀ:Á"¿ð×aÀC°r(�ÝÐØq»�²8$¨°GØq»�#vÍP#<¾½�#MÁ_·y#OÁðů ½�#A#h·ÃÓ�­@6Ô¿ÛµH»�ÀC°r(¶Õ1¯��@$i¯{#h·�µHÁßã5$HÕÙÀ[6ê°GµHÁþ�ì�$'&<µHéZÀ�®�µH»MÕÙØ:6 $¨°GÀ:µHÁ&Ý$��æðá©|ã:Ü[æ���°rí�¬�æ�Ým¢�ö&£$¡�/�9 Ê ö&Ý�¡�ö3232ræô Ê ¢�÷�¤�°� ¦ �Ý�ðeæ$Ý3�\§�¥$ém©�¨¦Ý�´\æ$Ý�§�ªm³H¶� �¨�°��à§�ª[ÝH��æ ó>æ�ݨÍ1ѨÁ�$HÕÙÀr&A$36¨³�°�Øq·HÑ1µo¸ù$�¼�»�#MÕÙÀóÞ�#h·è��@$HÕÉ#¯Ý���©�����æm�·¥����à³h­0 �®±° æ�Ý ¸�¹|¹ ÝmÜ�Ü[æ�2 ¢M%m¡|¡¦õ&Ý塦ö�ö|õ&æô Ê 2�÷�¤�©���í�Ýhµ�æi§�ªm³b�3©|�����$ª[Ýeó>æ�Ý­ èkÀó¯8&<µi¯ºÀC°�Ññ³Vµ36äØn°�À:µHÁn¯�­½H½)»hµL$'&A(ú°Gµð³�(â$�½�#<¾®�»�µHÕv¾?³�(â$H·HÀ:Á¨¿�Ý�¶rÛ�óa­ ��æ�Ëe��ã<æróTªm§�¥YÝ�/|ö&Ý ¸ Ý�Ü�Ü æ�2 Þ ¢M%�2×2 Ê Ý塦ö�ö×/&æ

õ×2

Page 59: math.berkeley.edusethian/2006/Papers/sethian... · 2006-08-07 · 0 132 1 46587:9);=? @BADCFEHGJILK.ANMOI6PRQTSUERIWVXANK.ERIWY[ZD\] MXY3^_ANG`\`Y3Iba.PRQ c EedfY3QgPeG`MXY[Eihij

ô Ê ö�÷R¶� ï³&�� ¦ß��à®���Ýr¤âæ$ÝV­@6Ô¿ÛµH»�ÀC°r(¶Õ1¯�Ýmóa³�³&�à¬8©|ªy9Yç7 �¬�¥� ¦í�Ýp¤ú ï§�³&�$ª���Ým­<ó>Ý�¡¦ö×232&æô�õ ¹ ÷R¶� �¨�°��à§�ª[Ý)��æ�ó>æ$ÝV­¬Á.­¬Á�$36äÑZ¯ºÀó¯xµo¸2®16«$HÕÉ#2¼�»�µ�½â$Z¿'$¨°�À:µHÁ&Ý���°[æ�Ç>æpÇT�à¬�¬8 ���¨�§�¨��$©�ª[ÝÇT �Ü�¨¦ær©�«i­<§�¨�°� ¦ã�§�¨��஦¬ÞÝq�Tªp��µ� ¦�¯¬8��¨�í�©�«_ði§�¥�� «d©|��ª��à§&Ý�ï_ ¦�%�� ¦¥� �í�Ý&ðió>Ý[¡�ö323/ræô�õ&¡�÷R¶� �¨�°��à§�ª[ÝÐ��æ ó>æ�ݬÝÐØûM²�$¨°�ØûA#"$HÁ¶·ß°r(�#¥Ê�²Zµ36äØH°�À:µHÁ�µo¸¥®�»�µHÁq°A¯�Ý_ðá©|ã:ã<æ[­<§�¨�°[æ��°rí�¬�æ�Ý�¡ ¹ ¡|£ Ê 2�¢�% Ê ö�örÝᡦö32|õ&æô�õ3/�÷R¶� �¨�°��à§�ª[Ý!��æ�óòæ�Ý�ë2ØqÕÉ#M»MÀr&A$36Å´¶#<°r(¶µi·i¯{¸ºµH»Ü¼�»�µ�½â$Z¿'$¨°�À:Á¨¿m®�»�µHÁð:¯�ÝT�$ªlÌ_§����à§x9¨²��©�ªä§�¥p­0 ¦¨�°�©r³p¬ «d©|������ � T¶�����«§�®Þ �ÛYª&¨² ¦�8«§|®Þ �¬ÞÝ{µá³�¬�æ3�\æ ðá©|ªm®Þ�m¬å§�ªm³ò¤âæ|�·��ªpª[ݶ�Üp����ªp�� ¦�¤9RÌá ¦�²¥�§��pÝ�Ë�ï Ý�¡¦ö×2 ¢�æô�õ ¸ ÷R¶� �¨�°��à§�ª[ÝÎ��æ�ó>æ$Ý ë�ØqÕÉ#M»�Àr&A$36ú­@6Ô¿HµH»MÀC° (¶Õ1¯�¸ºµH» ¼�»�µ�½â$Z¿'$¨°�À:Á¨¿-ÂMÁð¤#M»C¸8$'&=#�¯XÓãI$HÕÙÀ[6à°�µHÁÃýHì�$'&<µHéºÀ�Ê�íZØ�$¨°GÀ:µHÁn¯ $HÁ_·�ÝеHÁn¯{#M»M²�$¨°GÀ:µHÁç±ë$H×¹¯�Ý!��©����²ªm§�¥ò©�«,Çe� «r9«d ¦�² ¦ªr¨���§�¥�+T �©�ã: ¦¨²��í�Ý ¸ ¡�ÝmÜ�Ü[æ[¡ ¸ ¡O%ä¡ Þ ¡|Ý�¡¦ö|ö ¹ æô�õ Ê ÷R¶� �¨�°��à§�ª[ÝH��æ ó>æ�Ý)ÝÐØq»�²�$¨°�Øq»�#®16åµH×ì$HÁ_·1Ê�Áð�»�µ�½)ÑÙÝеHÁ_·HÀC°�À:µHÁn¯�­É½H½�6äÀ±#h·v°�µ�ô!»�À:·ôi#MÁ]#O»*$¨°�À:µHÁ&Ý���æ�ðá©�ã:Ü æ���°&íp¬Þæ$Ý�¡|¡¦õ&ÝmÜ�Ü[æ Ê×Ê�¹ % Ê õ Ê Ý�¡�ö�ö Ê æô�õ�õ�÷R¶� �¨�°��à§�ª[Ý"��æ�ó>æ$ݨ­�´E$H»%&�(¶À:Á¨¿�±V#O²L#A6ó�#D°¹´¶#<° (¶µX·k¸ºµH»Ú´ßµHÁ_µ¨°�µHÁ_Àr&A$36[6äÑ�­!·H²�$HÁâ&�¾À:Á¨¿¥®�»hµHÁðA¯�Ýâ����©r®�æ�Ëa§�¨¦æmóa®�§�³�æ�¶r®��Yæ�Ýrö ¸ O Ê S�£a¡�õ�ör¡O%m¡�õ�ö|õ&Ýᡦö|ö Þ æô�õ Þ ÷R¶� �¨�°��à§�ª[ÝH��æ ó>æ�Ýq­½H½�6äÀr&A$¨°�À:µHÁn¯¬µo¸�±è#M²L#A6_³�#<°$´ì#<°r(¶µX·i¯'¸ºµH»�¼�»hµ�½â$Z¿'$¨°GÀ:Á"¿1ÂMÁð¤#M»<¾¸8$'&=#�¯�Ýpóa®Þ¨¯§<ËT��ã: ¦�²��®¦§rÝm¡¦ö�ö Þ æô�õ ¢�÷R¶� �¨�°��à§�ª[ÝH��æ ó>æ�Ýq®�$i¯M°'´E$H»%&�(¶À:Á¨¿�±V#M²{#A6_³�#<°k´¶#<° (¶µX·i¯'¸ºµH»vÖT(¶»A#A#<¾�Í{À:ÕÉ#MÁH¯ºÀ:µHÁ�$36¼1(¶µ¨°�µ36äÀC° (¶µ<¿H»%$�½�(¶Ñ¥Í<#M²L#A6åµ�½)ÕÉ#MÁðdÝh����©r®� ¦ �³&�$ª���¬�Ý_¶��áÛKµ ¡�ö�ö Þ ÛYªr¨� ¦�²ªm§�¨²��©|ªm§�¥¶�írã:Üm©�¬�����ã5©�ª ­0��®Þ�²©�¥$��¨�°p©����¯§�Ü�°rí�Ý�¶r§�ª&¨¯§ñðá¥à§��¯§&Ý&ði§�¥�� «d©|��ª��à§&Ý|­<§��¯®±°[Ýr¡¦ö|ö Þ æô�õ32�÷R¶� �¨�°��à§�ª[ÝH��æ ó>æ�ÝH­@6Ô¿HµH»MÀC°r(¶Õ1¯'¸ºµH»�Ö¶»*$'&OüiÀ:Á¨¿1ÂMÁq°K#M»C¸8$'&=#�¯�À:Á.Ýk®aÍ $HÁ¶·1´E$¨°¤#M»�Àr$36³p&ºÀ±#MÁ�&=#�Ý�óTª�ªr�m§�¥\¤� ¦µr�� ¦ßì©�«�ðá©�ãÜ���¨�§�¨��$©�ªm§�¥\�·¥����à³:­0 �®�°m§�ªp��®¦¬�Ý~¡�ö�ö|õ&æô�õ�ö�÷R¶� �¨�°��à§�ª[Ý!��æ�óòæ�Ý�±è#M²L#A6�³�#<°�´¶#<°r(¶µi·i¯XÓmÊ�²Zµ36å²ZÀ:Á¨¿�ÂMÁð¤#M»C¸8$'&=#�¯�À:ÁÎôI#hµHÕÉ#D°G»MÑÄÌ®16åØÃÀ:·î´¶#%&�(â$HÁ_Àr&O¯<ÌòÝеHÕ�½)Øn°¤#M»�èkÀó¯ºÀ:µHÁ¶$HÁ_·ñ´�$¨°K#O»�Àr$36k³]&ZÀ±#MÁ�&=#�Ý_ði§�ãRép����³r�� �Tªp��µ� ¦�¯¬8��¨�íP�j�² �¬�¬�Ý[¡¦ö|ö Þ æô Þ�¹ ÷R¶� �¨�°��à§�ª[Ýq��æ�óòæ�Ýî�$i¯M°k´�$H»*&�(¶À:Á¨¿v´¶#<° (¶µX·i¯�Ý�¨�© §�Ü�Üm �§��¦Ý�¶rÛ�óa­ ¤� ¦µr�� ¦ß�Ým¡¦ö|ö32ræô Þ ¡�÷R¶� �¨�°��à§�ª[ÝX��æ ó>æ�Ý�§�ªm³>óa³p§�¥�¬�¨� ¦�$ªm¬�¬�©�ª[Ý×Ç>æ$ݨ­¬Á���²L#M»M²ZÀ±#M×mµo¸Ð±è#M²L#A6H³�#<°�´ì#<°r(¶µX·i¯¸ºµH»�ÊÉ°¥&�(¶À:Á¨¿iÌÐÍ<#G½¶µi¯ºÀC°�À:µHÁnÌè$HÁ_·v±ÐÀC°r(¶µ<¿H»*$�½�(¶Ñ�Í<#M²L#A6åµ�½)ÕÉ#MÁðdÝmÛKµ1µ1µ��3�¯§�ªm¬²§�®�9¨²��©�ªä¬_©�ª@¶� ¦ã:��®�©�ªm³&�ä®Þ¨�©|�hÇe ¦µ&�à®Þ �¬�Ý�¡¦ö|ö Þ æ·¡ ¹ Ý\¡�Ý�Ü�Ü[æ$¡ Þ ¢=9¯¡�2 Ê Ý�¡¦ö|ö ¢�æ

õ|ö

Page 60: math.berkeley.edusethian/2006/Papers/sethian... · 2006-08-07 · 0 132 1 46587:9);=? @BADCFEHGJILK.ANMOI6PRQTSUERIWVXANK.ERIWY[ZD\] MXY3^_ANG`\`Y3Iba.PRQ c EedfY3QgPeG`MXY[Eihij

ô Þ /�÷R¶� �¨�°��à§�ª[ÝH��æ ó>æ�Ý�§�ªm³,�·©�Üm©�µr��®Þ�Ý�ó>æ�­)æ$ÝkÖT(¶»A#A#!·HÀ:ÕÉ#MÁn¯ºÀ:µHÁâ$36V°�»*$H²{#A6à°�À:ÕÉ#�¯5&<µHÕv¾½)ØH°R$¨°�À:µHÁúØÛ¯ºÀ:Á"¿ß°r(�#¥®�$i¯M°�´E$H»%&�(¶À:Á¨¿.´ì#<°r(¶µX·�Ý�¬���é�ã:�$¨�¨� ï³g«d©��>Üp��é�¥��஦§�¨²��©|ª[Ý+e ¦©|Ü�°&íp¬8�஦¬ÞÝ�¡¦ö|ö ¢�æô Þ�¸ ÷R¶� �¨�°��à§�ª[Ý���æ ó>æm§�ªm³<¶�¨��¯§��$ª[Ý���æ¢Ç>æ�ÝÐÝлMÑįM°¥$36Ðô!»�µH×k°r(Í$HÁ_·�Í<#MÁ_·H»MÀC°�Àr&1³)µ36äÀ:·HÀ Çо&A$¨°�À:µHÁÙ��æ�ðá©�ã:Ü[æâ��°&íp¬Þæ$Ý�ö32rÝ~ÜpÜ[æ�/ ¸ ¡O%�/|õ ¸ Ý�¡¦ö|ö3/&æô ÞLÊ ÷R¶��ä¬�¬8ã�§�ª[Ý�­)æ$Ýú¶�ã: ¦�� 8��§rÝh�\æ_§�ªm³�Æ�¬8°� ��¦ÝT¶mæê��æ�Ý�­ ±V#M²{#A6ų�#<°v´ì#<°r(¶µX·�¸ºµH»ÝеHÕ�½)ØH°GÀ:Á"¿ö³)µ36äØH°�À:µHÁn¯£°GµöÂOÁ�&<µHÕ�½)»�#h¯<¯ºÀ:é=6[#�Ö$×�µ¨¾�¼1(â$i¯{#m®16äµH×·Ýx��æ>ðá©�ãÜ[æ��°rí�¬�æ�¡�¡ Ê ÝmÜ�Ü[æ[¡ Ê'Þ %䡦õ|ö&Ýᡦö|ö Ê æô Þ õ�÷>µ|§�ª,�[���$ ¦�¦ÝÛ��æ�Ýr§�ªm³:¶�írã: �¬�Ý�ç æ�ç æ�Ý$ÆV½)×aÀ:Á¶·ò®ÉÀ:Á¶ÀC°K#<¾+·HÀ â5#M»�#MÁâ&=#vÝ1$36 &ZØ:6 $¨°GÀ:µHÁn¯µo¸jÖ¶»*$H²{#A6à°�À:ÕÉ#�¯�ÝT+e ¦©�Ü�°ríp¬8��®�¬ÞÝmõ Þ Ý Þ ÝmÜ�Ü[æ�2r¡�/Ä%:23/r¡�Ý�¡�ö�ö&¡|æô Þ3Þ ÷ÐÌa�à³�§�¥$ �Ýx��æ�Ýj®ÉÀ:Á_ÀC°¤#<¾�Í{À â5#M»A#MÁ�&=#ûÝ1$36«&ZØ'6«$¨°�À:µHÁϵo¸ÎÖ_»%$H²L#A6ðÖ$À:ÕÉ#�¯�Ýàï_��¥�¥æâ©�«¶� ���¬8ã æä¶�©r®�æ�©�«jóTã: ¦��æ�Ý�¢{2rÝ Þ Ý�Ü�Ü æ�/ ¹3Þ /Ä%:/ ¹ ¢ Þ Ýᡦö32×2&æô Þ ¢�÷ÐÌa�à³�§�¥$ �Ý)��æ�Ýa®ÉÀ:Á_ÀC°¤#<¾ ·HÀ â5#M»A#MÁ�&=#à&A$36«&ZØ'6«$¨°�À:µHÁúµo¸x°G»%$H²L#A6à°�À:ÕÉ#�¯ÜÀ:Á�° (¶»A#A#Ù·HÀ:ÕÉ#OÁþ¯ºÀ:µHÁn¯<ÌÅôI#hµ�½�(¶ÑZ¯ºÀr&O¯<Ì n�n Ì������Xý�������ëÝ�¡�ö�ö ¹ æô Þ 2�÷� m°m§�©�Ý��.9¤��Ý[ðá°m§�ª[Ý��aæ$Ý�­0 ¦�²���$ãh§�ª[Ý�ïaæ�Æ�¬8°� ��¦Ý[¶mæ�Ýk­ ²8$H»�Àr$¨°�À:µHÁ�$36�6[#M²L#A6a¯{#<°$�½H½)»hµL$'&A(Ù°�µ¥ÕÙØ'6à°�Àá½�(â$i¯{#�ÕÙµ¨°�À:µHÁ&Ýq��æ�ðá©�ã:Ü æy��°rí�¬�æ�Ým¡�/�¢�ÝrÜ�Ü[æm¡�¢ïöx9�ö�õ&Ý\¡¦ö|ö Þ æô Þ ö�÷� m°r�[Ý'��æ$Ý[§�ªm³F¤ú©|ª�ª� ¦í�Ý��·æ�Çòæ�Ýa³)À:ÕÙØ'6«$¨°GÀ:µHÁúµo¸{®'»hµHÁð¼�»�µ�½â$Z¿'$¨°�À:µHÁ$¨°�±�$H»?¿y#ë�µHÁþ ·HÀ:ÕÉ#MÁH¯ºÀ:µHÁ�$36¹® 6äµH×�Í1Àó¯M°GØq»�éA$HÁâ&=#�ÂMÁð¤#MÁn¯ºÀC°�À±#�¯�Ý[ðá©�ãLé[æ�¶r®Þ�æ��[ �®±° æ�Ý�¡ ¹�¹ ÝÜ�Ü æ[¡�2 ¸ %�/ ¹ ¡�Ý塦ö�ö|õ&æô ¢ ¹ ÷� m°r�[ÝÐ��æ�Ýá§�ªm³î¶� ¦¨²°���§�ª[Ý��æ ó>æ�Ýм�»�µ"!{#%&�°�À:µHÁÈ´¶#<° (¶µX·i¯ñÝеHØĽ�67#h·�°Gµ.±V#O²L#A6³�#<°ÂOÁðK#O»p¸8$'&=#�Ö]#%&�(¶Á¶À:íZظ#h¯�Ý'��æ�ðá©�ã:Ü æ���°&íp¬Þæ$Ý�¡ ¹ /&ÝmÜ�Ü[æ[¡8/32Z%m¡ ¸ 2&Ýᡦö|ö3/ræ

Þ|¹