MathefürsAbiw2.gzg-fn.de/mia/mathe13/aa_Mathe.pdf · MathefürsAbi W. Seyboldt GZG, Friedrichshafen Stand Dezember 2014 Inhaltsverzeichnis 1 Grundlagen 5 1.1 MathematischeGrundfähigkeiten

Mathe fürs AbiW. Seyboldt

GZG, Friedrichshafen

Stand Dezember 2014

Inhaltsverzeichnis

1 Grundlagen 51.1 Mathematische Grundfähigkeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2 Bruchrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.2.1 Bruchrechnung Beispiel 1.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.2.2 Bruchrechnung Beispiel 1.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.3 Proportionalitäten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.4 Termumformungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.5 Umformungen von Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.5.1 Gleichungen vereinfachen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.5.2 Quadratische Gleichungen – Mitternachtsformel . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.5.3 Quadratische Gleichung – Quadratische Ergänzung . . . . . . . . . . . . . . . 151.5.4 Parabel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.5.5 Faktorisieren bei Nullstellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.5.6 Näherungsrechnungen, Newtonverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2 Potenzen und Logarithmen 202.1 Potenzen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.1.1 Beispiel 2.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.1.2 Beispiel 2.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.2 Logarithmen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.2.1 Hintergrundsverständnis des Logarithmus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.2.2 Potenzieren und Logarithmieren als Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222.2.3 Anwendungen des Logarithmus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.2.4 Rechenregeln des Logarithmus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

3 Umgang mit dem GTR 25

4 Folgen, Grenzwerte 26

5 Differenzieren, Tangenten 275.1 Ableitungen von einfachen Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275.2 Kettenregel, Produkt- und Quotientenregel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

5.2.1 Kettenregel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

1

Kap. Inhaltsverzeichnis Mathe, GZG, FN

5.2.2 Produktregel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295.2.3 Quotientenregel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

5.3 Tangente und Normale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295.4 Was nutzt uns die Ableitung? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

5.4.1 Nullstelle mit der Ableitung bestimmen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325.4.2 Änderung des Funktionswertes nahe a mit der Ableitung bestimmen . . . . . 345.4.3 Änderungen der Werte, Tangenten bei Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . 35

5.5 Extremwertaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 385.5.1 Aufgabe 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 385.5.2 Aufgabe 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 395.5.3 Aufgabe 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

6 Integralrechnung 426.1 Ober- und Untersummen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 446.2 Aufgaben zum Berechnen von Rotationskörpern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

6.2.1 Aufgabe 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 486.2.2 Aufgabe 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 506.2.3 Aufgabe 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 506.2.4 Aufgabe 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 516.2.5 Aufgabe 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

6.3 Aufgaben zu Mittelwerten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 536.3.1 Aufgabe 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

7 Exponentialfunktion 547.1 Zentrale Eigenschaften der Exponentialfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 547.2 Funktion und Graph einer Exponentialfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 587.3 Ableitung einer Exponentialfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 597.4 DIE Exponentialfunktion und die Eulersche Zahl e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 617.5 Umkehrfunktion der e-Funktion, der natürliche Logarithmus, die ln-Funktion . . . . 627.6 Differentialgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 637.7 Zusammenstellung der wichtigsten Eigenschaften der e-Funktion . . . . . . . . . . . 647.8 Rezepte Wachstum, Rechenfähigkeiten fürs Abitur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

7.8.1 Rezept 1: Exponentielles Wachstum erkennen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 687.8.2 Rezept 2: Funktionsgleichung exponentielles Wachstum . . . . . . . . . . . . 707.8.3 Rezept 3: Modellieren eines Wachstumsprozesses . . . . . . . . . . . . . . . . 737.8.4 Rezept 4: Halbwerts- oder Verdopplungszeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 737.8.5 Rezept 5: Beschränktes Wachstum erkennen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 757.8.6 Rezept 6: Funktionsgleichung beschränktes Wachstum . . . . . . . . . . . . . 787.8.7 Rezept Differentialgleichungen Wachstum 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 817.8.8 Rezept Lösungen von Differentialgleichungen 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . 837.8.9 Verständnisfragen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

7.9 Aufgaben zur e-Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 857.9.1 Aufgabe 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 857.9.2 Aufgabe 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 857.9.3 Aufgabe 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

7.10 Aufgaben zum exponentiellen Wachstums und zu Zerfallsprozessen . . . . . . . . . . 867.10.1 Aufgabe 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 867.10.2 Aufgabe 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

W. Seyboldt Stand: 1.12.2014 Seite 2


7.10.3 Aufgabe 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 867.10.4 Aufgabe 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

7.11 Lösungen der Aufgaben zur e-Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 887.11.1 Lösung Aufgabe 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 887.11.2 Lösung Aufgabe 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 887.11.3 Lösung Aufgabe 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

7.12 Lösungen der Aufgaben zum exponentiellen Wachstums und zu Zerfallsprozessen . . 917.12.1 Lösung Aufgabe 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 917.12.2 Lösung Aufgabe 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 927.12.3 Lösung Aufgabe 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 937.12.4 Lösung Aufgabe 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

8 Trigonometrische Funktionen 978.1 Messen von Winkeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 978.2 Sinus und Kosinus am Einheitskreis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1008.3 Änderung der Periodenlänge - Streckung und Verschiebung des Graphen . . . . . . . 1028.4 Trigonometrische Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1038.5 Modellierung von periodischen Vorgängen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

8.5.1 Aufgabe 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1058.5.2 Aufgabe 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

8.6 Weitere Aufgaben mit trigonometrischen Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1078.6.1 Aufgabe 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

9 Vektoren 1099.1 Veranschaulichung mit Hilfe von Computerprogrammen . . . . . . . . . . . . . . . . 1109.2 Lineare Unabhängigkeit, Basis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1109.3 Teilverhältnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1129.4 Beweise mit Hilfe von Vektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1129.5 Skalarprodukt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1139.6 Vektorprodukt für dreidimensionale Vektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1149.7 Geraden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1159.8 Darstellungsformen einer Ebene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1169.9 Umwandlungen der Ebenendarstellungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1199.10 Schnittwinkel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1199.11 Abstände . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

9.11.1 Abstand eines Punktes von einer Ebene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1199.11.2 Abstand eines Punktes von einer Geraden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1209.11.3 Abstand zweier Geraden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1209.11.4 Abstand zweier Ebenen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1209.11.5 Abstand einer Geraden von einer Ebene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

9.12 Aufgaben zu Vektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1219.12.1 Aufgabe 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1219.12.2 Aufgabe 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1219.12.3 Aufgabe 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1229.12.4 Aufgabe 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1259.12.5 Aufgabe 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1279.12.6 Aufgabe 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1289.12.7 Aufgabe 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130



9.12.8 Aufgabe 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1319.13 Bausteine Vektoren, Geraden, Ebenen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

9.13.1 Bausteine Vektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1359.13.2 Bausteine Geraden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1359.13.3 Bausteine Ebenen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1359.13.4 Schnittpunkte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1359.13.5 Abstände . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

9.14 Aufgaben zum Pflichtteilteil, Vektoren, Geraden, Ebenen . . . . . . . . . . . . . . . 1369.14.1 Aufgabe 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

9.15 Aufgaben zum Wahlteilteil, Vektoren, Geraden, Ebenen . . . . . . . . . . . . . . . . 1379.15.1 Aufgabe 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1379.15.2 Aufgabe 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

10 Stochastik 14110.1 Grundlagen der Wahrscheinlichkeit xxxxx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14110.2 Kombinatorik – Abzählen großer Mengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142

10.2.1 Permutationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14210.2.2 Permutationen der Länge k – k-Permutation . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14310.2.3 k-Kombination – k-Teilmenge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14310.2.4 Zählprinzip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14410.2.5 Gemische Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144

10.3 Die Binomialverteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14410.3.1 Die Struktur der Binomialverteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14510.3.2 Mittelwert und Standardabweichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14710.3.3 Einsatz des GTR zum Berechnen der Binomialverteilung . . . . . . . . . . . . 14810.3.4 Ein erstes Beispiel für eine Benoulliverteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14910.3.5 Ein zweites Beispiel für eine Benoulliverteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . 15110.3.6 Ein drittes Beispiel für eine Benoulliverteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . 15210.3.7 Ein viertes Beispiel für eine Binomialverteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . 154

10.4 Signifikanztests . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15410.4.1 Tea Tasting Lady . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15510.4.2 Signifikanz auf dem Niveau α . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15610.4.3 Fehler 1. und 2. Art . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15810.4.4 Gütefunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15810.4.5 Ein konkretes Vorgehen bei Signifikanztest . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15910.4.6 Aufgaben zu Signifikanztests . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160

11 Bausteine 16611.1 Zentrale Bausteine Analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16611.2 Zentrale Bausteine Analytische Geometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166

12 Abspann – anstelle einer Einleitung 167

Literaturverzeichnis 170


Kap. 1 Grundlagen Mathe, GZG, FN

1 Grundlagen

Um das Jahr 1225 begannen die Italiener, die römischen Zahlzeichen durch das arabische Stellen-wertsystem zu ersetzen. In den folgenden Jahrhunderten erkannten die Europäer, dass man mitunserem heutigen Stellenwertsystem viel einfacher rechnen kann wie mit den römischen Zahlzei-chen und dem Abakus. Die Italiener lernten das Stellenwertsystem und das damit viel einfachereRechnen wohl von den Arabern in Sizilien kennen. Das neue Rechnen verbreitete es sich schnell inganz Europa.

Entwickelt wurde das moderne Stellenwertsystem mit der Null wohl um 600 n. Chr. in Indien. ImBuch Brahmasphutasiddhanta von Brahmagupta ((siehe Wiki) aus dem Jahr 628 taucht die Nulldas erste Mal beim Rechnen auf. Bereits 1200 Jahre vorher hatten aber die Babylonier die Null alsLeerzeichen verwendet. Der Universalgelehrte Al-Chwarizmi (von dessen Namen sich der BegriffAlgorithmus ableitet, ((siehe Wiki) ), machte die Null um 800 in Bagdad bekannt. Sie verbreitetesich danach im gesamten arabischen Raum.

Leonardo Pisano (1180-1250) ((siehe Wiki) hat mit seinem Buch "Liber Abaci", einem Lehrbuch,wie man im Dezimalsystem rechnet, einen großen Anteil an der Einführung der Null in Europa,auch wenn es noch 100 Jahre ging, bis das Rechnen mit Dezimalzahlen Allgemeingut wurde. Siehe[lib09]

In Deutschland hat vor allem Adam Ries (1492-1559) dazu beigetragen, das einfache Rechnen mitder Dezimaldarstellung zu ermöglichen, siehe [Ada09]. "Rechnen wie Adam Riese"

Nebenbei: Der aktuelle Bildungsplan Mathematik ist [BW04], siehe auch im hier im Internet.Der Bildungsplan gesamte Gymnasium von Baden-Württemberg findet sich übrigens hier

1.1 Mathematische Grundfähigkeiten

Sicher beschäftigt sich die Mathematik heute keinesfalls primär mit der Rechenfähigkeit. Aber beiSchülern stellt man immer wieder fest, dass diejenigen, die das Rechnen mit Zahlen und später mitTermen und Gleichung nicht üben, immer wieder Verständnisschwierigkeiten beim mathematischenund logischen Denken haben.

Heute ist es im Schulunterricht üblich, die Rechenfähigkeiten eher gering zu schätzen. Man hat jaden Taschenrechner, den Computer! Warum sollte man dann noch rechnen lernen?

"Für die zum Rechnen gehörende Mathematik interessiert sich heute kaum noch jemand, dennoffene mathematische Fragen sieht anscheinend niemand mehr, und Stimmen wie die von RichardP. Feynman (Wiki) und Liping Ma sind leider seltene Ausnahme."(Quelle [Sie09]). Offensichtlichherrscht der Glaube vor, dass man tiefere Zusammenhänge entdecken kann, wenn man die einfachennicht kennt. Aber unser Gehirn kann nur die Dinge erkennen, die es selbst wahrgenommen hat.Wer öfters einfache numerische Aufgaben gerechnet hat, weiß, dass es dabei auch viel zu entdeckengibt, etwa Vereinfachungen, Zusammenhänge. Wer weiß schon, dass das normale klassische Multi-plizieren keinesfalls optimal ist. Der russische Mathematiker hat 1962 eine Methode beschrieben,die wesentlich effizienter ist. Der Computer benutzt sie beim Rechnen mit großen Zahlen, sieheetwa den Algorithmus der Woche: Multiplikation langer Zahlen oder wie üblich Wiki


http://en.wikipedia.org/wiki/Brahmagupta

http://de.wikipedia.org/wiki/Al-Chwarizmi

http://de.wikipedia.org/wiki/Leonardo_Fibonacci

http://www.bildung-staerkt-menschen.de/service/downloads/Bildungsstandards/Gym/Gym_M_bs.pdf

http://www.bildung-staerkt-menschen.de/unterstuetzung/schularten/Gym/bildungsstandards

http://de.wikipedia.org/wiki/Feynman

http://www-i1.informatik.rwth-aachen.de/~algorithmus/algo16.php

http://de.wikipedia.org/wiki/Karatsuba-Algorithmus


Gauß (Wiki), einer der berühmtesten Mathematiker Deutschlands, hat seine hervorragenden Re-chenfähigkeiten wohl auch daher, dass er das Buch „Arithmetica theoretico-practica“ von Remerintensiv las. Heute ist es kostenlos im Internet zu lesen. Es ist auf Deutsch geschrieben, wenn unsauch die Sprache heute sicher merkwürdig erscheint, siehe [Rem09].1

Das soll jetzt ganz sicher kein Plädoyer für stumpfsinniges Rechnen sein. Aber jeder Sportler weiß,dass er auch Kraft- und Ausdauertraining machen muss,wenn er erfolgreich sein will. Warum ver-gessen wir das aber immer im Unterricht? Jeder der Sport macht, stellt fest, dass es ihm gut tut,wenn er trainiert, also Dinge macht, die nur seine Fähigkeiten vergrößern aber als solche keinenSpaß machen. Er stellt fest, dass er nach dem Training ein gutes Gefühl hat, Erfolgserlebnisse be-kommt. Erfolgserlebnisse bekommt man nur, wenn man sich anstrengt, wenn man Dinge tut, dieeinen herausfordern, die keinesfalls nur Spaß machen.

1Weitere frühere Rechenbücher findet man z.B. im Artikel von Wikipediahttp://de.wikisource.org/wiki/Rechenbücher.


http://de.wikipedia.org/wiki/Gau\T1\ss


Benötigte Rechenfähigkeiten, die regelmäßig trainiert werden sollten sind (sie entsprechen demGrundwortschatz der Sprachen):

1. Kopfrechnen

• Grundrechenarten - insbesondere das "kleine Einmaleins". Bei der Bruchrechnung benö-tigt man das Einmaleins auch häufig "rückwärts", d.h. man sollte Zahlen faktorisierenkönnen (etwa 98 = 2 · 49 = 2 · 7 · 7).

• Quadratzahlen bis 20, d.h. 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49,64, 81, 100,112 = 121, 122 = 144, 132 = 169, 142 = 196, 152 = 225, 162 = 256, 172 = 289, 182 = 324,192 = 361, 202 = 400, 252 = 625die Differenz zwischen den Quadratzahlen vergrößert sich regelmäßig um 2,es gilt (n+ 1)2 = n2 + 2 · n+ 2 (binomische Formel)

• Kubikzahlen bis 5 oder 6, d.h. 23 = 8, 33 = 27, 43 = 26 = 64, 53 = 125, 63 = 216,

• Zweierpotenzen bis 210, d.h. 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 210 = 1026.Es gilt 220 =

(210)2 ≈ 1 Million

Es ist sinnvoll, auch die Umkehrung zu beherrschen.

2. Die Eigenschaften der natürlich (bzw. ganzen) Zahlen

• Teilbarkeit - (siehe auch Wiki)

– eine Zahl ist durch 3 (oder 9) teilbar, wenn ihre Quersumme durch 3 (bzw. 9) teilbarist,

– eine Zahl ist durch 5 teilbar, wenn die letzte Ziffer eine 0 oder eine 5 ist,

– eine Zahl ist durch 2 teilbar, wenn die letzte Ziffer durch 2 teilbar ist, durch 4, wenndie letzten 2 Ziffern durch 4, durch 8, wenn die letzten 3 durch 8 teilbar sind.

– eine Zahl ist durch 6 teilbar, wenn sie gerade ist und durch 3 teilbar, ...

• Überschlagsrechnungen - das ist auch heute noch nötig, denn nur wenige Menschenmachen beim Taschenrechner keine Tippfehler.

• Wissen über Rechengenauigkeiten – gültige Ziffern: Wenn ein Faktor nur drei gültigeZiffern hat, ist es sinnlos, das Produkt auf mehr als 3 Stellen anzugeben.Man sagt, eine Zahl ist auf drei Stellen angegeben, wenn nach der ersten von Nullverschiedenen Ziffer noch drei Ziffern angegeben sind, Nullen müssen dann geschriebenwerden, z.B. 12,3 oder 0,00123 oder 0,300

• Multiplikation, Division – man sollte wissen, wie man von Hand multipliziert oder di-vidiert (Beim Dividieren muss man oft raten und dann evtl. korrigieren, man darf alsobei einer Nebenrechnung auch durchstreichen)

• Potenzdarstellung, wissenschaftliches ZahlenformatEingabe beim GTR - Wenn wir 5,45 · 10−34 eingeben, tippen wir die Tasten 5, Punkt, 4


http://de.wikipedia.org/wiki/Teilbarkeit


5 EXP Minus 3 4Anzeige versus Heftaufschrieb - bei modernen GTRs ist das allerdings oft nicht mehrnötig

• Darstellung von Zahlen auf dem Zahlenstrahl, der Zahlengeraden

3. Größen und Maßeinheiten

• Schätzen z.B. Gefühle für verschieden große Fläche entwickeln (z.B. 2 dm2, 20 dm2, 2m2,20m2, 13ha) undVergleichen von Größen (z.B. wie viele Flaschen Cola passen in eine Badewanne, derGröße 2m · 1m · 50 cm)

• Umwandlung Maßeinheiten (insbesondere Zeit), Vorsilben von Größen,also milli, mikro,Giga, ... siehe Wiki

• Diagramme zeichnen, Achsen beschriften, ...

• aus Diagrammen Informationen entnehmen – auch erkennen, wie genau diese Informa-tionen höchstens sein können.

4. Brüchesiehe 1.2 auf Seite 9

5. Prozentrechnung

• Prozentbegriff, d.h. 4% = 4100 = 1

20 , es gibt also drei Darstellungsformen für Brüche:a) die normale Darstellung, Zähler und Nennerb) wenn der Nenner eine 10-er-Potenz ist, so schreibt man die Brüche gern als Dezimal-zahlen,c) ist der Nenner 100, so kann man den Bruch als Prozent schreiben.

• wichtige Prozentsätze, etwa 25% = 14 , 75% = 3

4 , 350% = 312 , 20% = 1

5 , 33% ≈ 13

• Standardaufgaben zu Grundwert G, Wert W und Prozentsatz p%Es giltW = G·p%. Mit dieser Gleichung lässt sich jede einfache Prozentaufgabe rechnen.

• einfache Aufgaben mit Wertsteigerung um ... bzw.. auf ...

6. Räumliches Vorstellungsvermögen

• z.B. einen Würfel zumindest näherungsweise perspektivisch zeichnen - ein Netz des Wür-fels passend färben

• Netze von Körpern, falsche erkennen, aus richtigen den Körper konstruieren.

• Ecken, Kanten und Flächen zählen, Eulersche Polyederformel: E-K+F=2, siehe (Wiki)

7. Flächen und Körper, einschließlich deren Eigenschaften


http://de.wikipedia.org/wiki/Vors%C3%A4tze_f%C3%BCr_Ma%C3%9Feinheiten

http://de.wikipedia.org/wiki/Polyederformel


• Symmetrien bei Flächen und Körpern erkennen

• Von einfachen Flächen/Körpern die Fläche, Umfang bzw. Volumen und Oberfläche be-rechnen

• Dreiecksfläche

• Komplexere Körper wie Platonische Körper (aus Netzen basteln)

8. Historisches

• Römische Zahlen

• bedeutende Mathematiker

1.2 Bruchrechnung

Teilen ist eine sehr alte menschliche Tätigkeit. Richtig zu teilen ist aber keinesfalls einfach: Waserhalte ich, wenn ich 3 Dinge mit sieben Personen teilen muss und 5 Dinge mit neun Leuten?

Die erste Erfahrung in der Schule beim Teilen ist, dass man manche Zahlen durch andere teilenkann - aber keinesfalls alle durch jede. Bei der Division bleibt oft ein Rest. Man denke einfach an6 : 3 und 7 : 3 Erst als es gelang dem Vorgang des Teilens ein Symbol zuzuordnen, mit dem man"rechnen"kann, wurde das Teilen "begreifbar". Dabei ist es schwer zu entscheiden, ob man mit 3

7den Prozess, Vorgang des Teilens oder das Ergebnis des Teilens verstehen soll.

Der entscheidende erste Schritt bei der erfolgreichen Bruchrechnung ist: Untersuche nicht mehrprimär das Teilen selbst, sondern gebe jedem Teilungsprozess (oder jedem Ergebnis) einen Namen.37 ist das Teilen von drei Dingen an sieben Personen, 5

9 das des Teilen von 5 Dingen an neunPersonen.

Im nächsten Schritt überlegt man, welche Teilungsvorgänge die selben Ergebnisse liefern, d.h. manüberlegt, wann zwei Brüche gleich sind.

Das Ergebnis: Zwei Brüche sind dann gleich, wenn man sie durch Kürzen und Erweitern ineinanderüberführen kann.

Danach stellt man fest, dass man Brüche mit demselben Nenner durch Addieren der Zähler ad-diert (oder durch Subtrahieren der Zähler subtrahiert). Brüche die keinen gleichen Nenner haben,erweitert man so, dass sie einen gemeinsamen Nenner haben. Ebenso wird das Multiplizieren unddas Dividieren beschrieben.

Man sollte vor allem wissen, dass man Brüche nur addieren oder subtrahieren kann, wenn siedenselben Nenner haben. Dies kann man durch Erweitern auf den Hauptnenner (dem kleinstengemeinsamen Nenner) immer erreichen. Allerdings muss man nicht immer den mitunter nur schwerzu bestimmenden Hauptnenner suchen, sondern kann eine beliebige Zahl nehmen, die ein gemein-sames Vielfaches ist. Wenn man die Nenner in Primfaktoren zerlegt, kann man den Hauptnenner



aber immer angeben: Er besteht aus allen Primfaktoren, die in beiden Nennern auftreten, wobeijeder Primfaktor so oft genommen werden muss, wie er bei einem Nenner maximal auftritt.

Das Multiplizieren von Brüchen ist einfach. Man multipliziert einfach Zähler und Nenner.

Durch einen Bruch wird dividiert, indem man mit dem Kehrwert multipliziert. Kurz:

• a

bist der Teilungsprozesse, bei dem man a Teile an b Personen (Haufen, ..) verteilt - oder das

Ergebnis der Teilung.

• Wenn man einen Bruch kürzt, d.h. wenn man Zähler und Nenner durch dieselbe Zahl dividiert,dann ändert sich der Bruch nicht, d.h. bei beiden Teilungsprozessen erhält man dasselbeErgebnis.

• Dasselbe gilt für das Erweitern, d.h. das Multiplizieren des Zählers und Nenners mit derselbenZahl.

• Zwei Brüche a

bund c

dsind genau dann gleich, wenn man sie durch Erweitern und Kürzen

ineinander überführen kann. z.B. gilt: 2114 = 3

2 = 96 Also sind 21

14 und 96 derselbe Bruch.

Folgende Fähigkeiten sollte man trainieren, wenn man mit Brüchen umgehen können möchte.

• Größenvorstellung (schraffiere 38 von einem Rechteck ... )

• Darstellung von Brüchen auf dem Zahlenstrahl. Davor ist es meist sinnvoll, die Brüche inDezimalzahlen umzuwandeln.

• Vergleichen von Brüchen (auf verschiedene Arten. z.B. durch gleichnamig machen, durchUmwandeln in Dezimalzahlen)

• Darstellungsformen (gemischte Brüche und Dezimalzahlen, gemischte Zahlen, d.h. 358 = 29

8 =3,575)

• Kürzen 1035

:5= 27 , Erweitern

34·25= 75

100

• Wichtige Brüche in Dezimalzahlen umwandeln könnenalso 1

8 = 0,125, 38 = 0,375, 5

8 = 0,625, 78 = 0,875,

15 = 0,2, 3

5 = 0,6, 34 = 0,75, 1

3 = 0, 3 ≈ 0,333

• RechenregelnAddieren und Subtrahieren: (Gemeinsamer Nenner!) a

c± b

d= a · d± b · c

c · dMultiplizieren: a

c· bd

= ab

cd

Dividieren = Multiplizieren mit dem Kehrwert: ac

: bd

= a

c· db

= ad

cb

• Doppelbrüche: Im Zähler und im Nenner stehen Brüche: Wenn man das Bruchzeichen alsGeteilt-Zeichen auffasst, kann man den Bruch vereinfachen.



• Brüche mit Dezimalzahlen im Zähler oder Nenner (Komma gleichsinnig nach rechts verschie-ben heißt kürzen mit 10-er-Potenzen)

1.2.1 Bruchrechnung Beispiel 1.1

34 + 5

6 = 3 · 3 + 5 · 22 · 2 · 3 (1)

= 1912 = 1 7

12 (2)

x · dz · (x+ r) + t · d

y · (x+ r) = x · d · y + t · d · zz · y · (x+ r) (3)

1.2.2 Bruchrechnung Beispiel 1.2

Oft ist es sinnvoll, die Bruchrechnung umgekehrt anzuwenden, d.h. aus einem Bruch, zwei zumachen.

3 + 45 = 3

5 + 45 (4)

(x · y) + z

(a+ b) · y = x · y(a+ b) · y + z

(a+ b) · y (5)

= x

(a+ b) + z

(a+ b) · y (6)

1.3 Proportionalitäten

Zwei Größen A und B sind proportional, wenn eine der folgenden drei Bedingungen gilt:

• wird eine der beiden Größen verdoppelt, so verdoppelt sich auch die andere

• wenn wir mehrere Größenpaare in einem Graphen zeichnen, so liegen die Größenpaar zumin-dest näherungsweise auf einer Ursprungsgeraden

• der Quotient der beiden Größen ist für alle Paare zumindest näherungsweise gleich groß.

Wenn eine der Bedingungen gilt, gelten alle. Der Quotient der Größen heißt Proportionalitätskon-stante c = A

B. Man kann dann mit dem Dreisatz rechnen oder geschickte mit der Proportionali-

tätsgleichung B = c ·A.

Sehr viele physikalischen Zusammenhänge sind zumindest näherungsweise proportional

In der Analysis oder der Physik, der Technik ersetzt man Funktionen lokal gerne durch ihre Tan-gente. In diesem Fall wird der funktionale Zusammenhang proportional, man sagt, man linearisiertdas Problem.



Ein wichtige fast alltägliche Aufgabe: Ist z.B. der Maßstab 1:50000 d.h.

m = 150 000 = Karte

Wirklichkeit

und die Strecke auf der Karte 3 cm, so ist die Strecke in der Wirklichkeit 3 · 50 000 cm = 1500m =1,5 km

1.4 Termumformungen

• Klammern auflösen, ausklammern - das Distributivgesetz in beiden Richtungen.

• Binomische Formeln

• Anwenden der Potenzgesetze

1.5 Umformungen von Gleichungen

1.5.1 Gleichungen vereinfachen

Neben den Termumformungen ist das zentrale Hilfsmittel beim Umformen von Gleichungen diefolgende Beobachtung: Wenn man auf beiden Seiten einer Gleichung dasselbe macht, dann ändertsich die Lösungsmenge nicht – oder sie wird größer, wenn man z.B. quadriert. Konkret:

Wenn man die ganze linke und rechte Seite mit einer von 0 verschiedenen Zahl multi-pliziert, so bleibt die Lösungsmenge gleich. Dasselbe gilt, wenn man auf beiden Seitendieselbe Zahl addiert.

Wenn man die ganze linke und die ganze rechte Seite quadriert, so vergrößert sich dieLösungsmenge um die Zahlen, bei denen die linke und rechte Seite bis auf das Vorzeichengleich sind.

Wenn man auf beiden Seiten die Wurzel zieht, so ändert sich die Lösungsmenge nicht -allerdings muss man bei den folgenden Umformungen beachten, dass

√x2 = |x| gilt.

Durch dieses Vorgehen und durch Termumformungen gelingt es oft, eine Gleichung so umzuformen,dass die gesuchte Variable auf einer Seite allein steht – dies funktioniert aber nicht immer; einequadratischen Gleichung kann man so z.B. nicht lösen, siehe 1.5.2 auf Seite 13.

Treten in der Gleichung Brüche auf und die Variable, nach der aufgelöst werden soll, steht imNenner, ist es sinnvoll zuerst mit dem Hauptnenner (oder einem gemeinsamen Nenner) zumultiplizieren: Dazu muss man jeden Summanden (aber nicht jeden Faktor!) mit dem Haupt-nenner multiplizieren.

Tritt die Unbekannte nur in der ersten Potenz auf, gibt es also kein x2 oder gar x3, sammeltman alle Summanden, die die gesuchte Variable enthalten auf der linken Seite, die anderen auf derrechten Seite.



Tritt x2 auf, so sammelt man alle Summanden auf der linken Seite. Das weitere Vorgehen findetman auf Seite 13

Tritt√x auf, isoliert man die Wurzel auf einer Seite und quadriert dann beide Seiten – allerdings

kommen jetzt zusätzliche Lösungen hinzu, deshalb muss man anschließend die Probe machen.Mitunter muss man dieses Verfahren ein zweiter Mal oder noch öfters durchführen.

Vorsicht: Wurde bei der Umformung einer Gleichung quadriert, so muss die Probegemacht werden, das heißt in der ursprünglichen Gleichung muss in der linken Seite xdurch die Lösungen ersetzt werden und ebenso in der rechten Seite. Dann muss durchgetrenntes Umformen gezeigt werden, dass beide Seiten denselben Ausdruck ergeben.

Vorsicht: Wenn man bei beiden Seiten zum Kehrwert übergeht (was selten zu emp-fehlen ist), so muss der Kehrwert jeder Seite genommen werden. Dabei ist zu beachten,dass der Kehrwert einer Summe nicht die Summe der Kehrwerte ist, es gilt z.B.

112 + 1

3

= 13 + 2

6

= 65 6= 2 + 3| (= Kehrwert der Summanden)

Umformen von Gleichungen, Beispiel 1

6 · x2

2a− 3x + 2x = 0 | · (2a− 3x) = Hauptnenner

6x2 + 2x · (2a− 3x) = 0 | ausmultiplizieren6x2 + 4ax− 6x2 = 0 | zusammenfassen

4ax = 0 | durch den Faktor vor x dividierenx = 0

Umformen von Gleichungen, Beispiel 2

2k − 3a

= 2c− 13x | · (a · 3x) = Hauptnenner

2k · a · 3x− 3 · a · 3xa

= (2c− 1) · a · 3x3x | kürzen, ausmultiplizieren

6kax− 9x = 2ac− a | x ausklammern(6ka− 9) · x = 2ac− a durch den Faktor vor x dividieren

x = 2ac− a6ka− 9 oder nach Ausklammern

x = a

3 ·2c− 1

2ka− 3

1.5.2 Quadratische Gleichungen – Mitternachtsformel

Quadratische Gleichungen sind Gleichungen, die man durch Umformen (siehe 1.5 auf Seite 12) aufdie Gestalt a ·x2 + b ·x+ c = 0 bringen kann, wobei stets a 6= 0 ist (sonst hätten wir ja eine lineareGleichung). Es sind also Gleichungen bei denen x mit genau der höchsten Potenz 2 vorkommt.



Eine quadratische Gleichung hat keine, eine oder zwei Lösungen. Man kann eine Gleichung durchquadratische Ergänzung (siehe 1.5.3 auf Seite 15) stets auf die Gestalt a · (x− d)2 = e bekommen,die die Gleichung einer Parabel ist (siehe 1.5.4 auf Seite 17). Gilt e > 0 hat die Gleichung zweiLösungen (nämlich x1 = d +

√e und x2 = d −

√e); gilt e = 0, so hat die Gleichung genau eine

Lösung (nämlich x = d, ist e < 0 so hat sie keine (reelle) Lösung.

Eine quadratische Gleichung kann man immer mit der Mitternachtsgleichung lösen. Es gilt:

x1/2 = −b±√b2 − 4ac

2aAllerdings ist es nur sinnvoll, sie auch anzuwenden, wenn drei Summanden vorhandensind, d.h. wenn sowohl b 6= 0 als auch c 6= 0 ist.

Falls b = 0 , d.h. a · x2 + c = 0: Hier kann man den konstanten Faktor c auf die rechte Seitebringen und die Gleichung durch a dividieren. Wenn c

apositiv ist, erkennt man nun, dass die

Gleichung keine Lösung hat. Falls ca< 0, d.h. die rechte Seite

(− ca

)positiv ist, kann man

auf beiden Seiten die Wurzel ziehen. Dabei sollte man beachten, dass√x2 = |x| ist und die

Gleichung |x| =√− ca( caist negativ, also

(− ca

)> 0!), die beiden Lösungen x =

√− caund

x = −√− cahat. Meist schreibt man hierfür abkürzend: x1/2 = ±

√− ca.

Beispiel

4x2 − 3 = 0

x2 = 34 | auf beiden Seiten die Wurzel ziehen

|x| = 12√

3 | Es gibt also zwei Lösungen,

x1/2 = ±12√

3

Falls c = 0 , d.h. a · x2 + b · x = 0: Hier kann man x ausklammern und erhält dann zwei Lösungen,wobei eine immer Null ist. Dies folgt aus der sehr wichtigen Tatsache, dass ein Produkt vonzwei Faktoren immer dann Null ist, wenn einer der beiden Faktoren Null ist.

Beispiel

4x2 + 5x = 0 | x ausklammernx · (4x+ 5) = 0 | Jede der beiden linken Faktoren liefert eine Lösung

x1 = 0 | und4 · x2 + 5 = 0 | das heißt

x2 = −54 = −11

4

Sonst , d.h. a · x2 + b · x + c = 0: Jetzt wendet man die Mitternachtsformel an, wenn man nichtquadratisch ergänzen will.



Ein Beispiel einer Gleichung, die auf eine quadratische Gleichung führt ist etwa:

(x+ 3) · (x− 7) = 4− x2 | Vorsicht: Rechte Seite 6= 0!x2 − 7x+ 3x− 21 = 4− x2 | alles auf eine Seite bringen

2x2 − 4x− 25 = 0 | Mitternachtsformel anwenden

x1/2 = 4±√

42 − 4 · 2 · (−25)2 · 2

x1/2 = 4±√

2164

Wer möchte, kann diese Zahl mit dem Taschenrechner näherungsweise als Dezimalzahl dar-stellen, also x1 = 4,674 und x1 = −2,674 oder mit Hilfe der Primfaktorzerlegung weiterumformen.

x1/2 = 4±√

23 · 33

4

x1/2 = 4± 2 · 3 ·√

2 · 34

x1/2 = 1± 32 ·√

6

1.5.3 Quadratische Gleichung – Quadratische Ergänzung

Eine Gleichung der Form a · x2 + b · x + c = 0 kann man, wie im Folgenden gezeigt wird, mitquadratischer Ergänzung auf eine Standardform bringen, deren Lösung man dann recht einfachablesen kann. Außerdem erkennt man dabei, dass die der Gleichung zugeordnete Funktion einenGraphen in Form einer Parabel hat.

ax2 + bx+ c = 0 | durch a dividieren

x2 + b

ax+ c

a= 0 | setze p = b

a, q = c

ax2 + px+ q = 0 | q auf die linke Seite

x2 + px = −q | quadratische Ergänzung +(p

2

)2

Schreiben wir den zweiten Summanden der linken Seite als 2 · x · p2 , so erkennen wir, dass auf derlinken Seite die ersten zwei Summanden der binomischen Formel (a+ b)2 = a2 + 2 ·a · b+ b2 stehen.

Es fehlt aber der dritte Summand b2 =(p

2

)2, den wir auf beiden Seiten der Gleichung addieren.

x2 + 2 · x · p2 +(p

2

)2= −q +

(p

2

)2| die linke Seite ist nun ein Binom(

x+ p

2

)2= −q +

(p

2

)2(7)



Wenn man für p2 = −d und für −q +(p

2

)2= e schreibt, erhält man die Gleichung

(x− d)2 = e

Dies ist eine um d nach rechts und um e nach oben verschobene Parabel (siehe 1.5.4 auf Seite 17– wenn d < 0 ist, so ist sie nach links, wenn e < 0 nach unten verschoben).

Ziehen wir nun bei der ursprünglichen Gleichung auf beiden Seiten die Wurzel, so erhalten wir ausder Gleichung (7) oben: √(

x+ p

2

)2=

√(p

2

)2− q

∣∣∣∣x+ p

2

∣∣∣∣ =

√(p

2

)2− q

Die letzte Gleichung ergibt sich, da√x2 = |x| ist. Anschließend beachten wir wieder, dass |x| = c

zwei Lösungen hat, nämlich die erste Lösung x = +c und die zweite Lösung x = −c. Wir schreibendafür abgekürzt x1/2 = ±c, erhalten also:

x1/2 + p

2 = ±

√(p

2

)2− q

x1/2 = −p2 ±

√(p

2

)2− q

Wir werden nun abschließend die Substitution p = b

aund q = c

awieder rückgängig machen und

damit die normale Mitternachtsformel ableiten.

x1/2 = −p2 ±

√(p

2

)2− q

x1/2 = − b

2a ±

√(b

2a

)2− c

a

x1/2 = − b

2a ±

√b2 − 4ac

4a2

Aus dem Nenner unter der Wurzel können wir nun separat die Wurzel ziehen, allerdings müssenwir beachten, dass

√42 = 2|a| ist – da aber im Term beide Vorzeichen vorkommen, dürfen wir den

Betrag anschließend wieder weglassen.

x1/2 = − b

2a ±1

2 · |a|√b2 − 4ac

x1/2 = − b

2a ±12a√b2 − 4ac

x1/2 = −b±√b2 − 4ac2a



1.5.4 Parabel

Die einer quadratischen Gleichung ax2 + bx+ c = 0 zugeordnete Funktion

f : R −→ R (8)x 7−→ ax2 + bx+ c

(9)

ist eine Parabel, die man aus der Normalparabel f(x) = x2 durch Verschieben nach rechts, strecken(oder stauchen) und spiegeln (falls a < 0) und abschließend Verschieben nach oben erhält.

Die Normalparabel f(x) = x2 hat das Schaubild

Die Funktion der Form g(x) = (x − d)2 hat das Schaubild einer um d nach rechts verschobenenNormalparabel

Das Bild zeigt die Funktion g für d = 4. Diese Funktion g hat an der Stelle x = 5 denselben Wertwie die Normalparabel f an der Stelle x = 1.

Addiert man zum y-Wert zu g(x) noch e dazu erhält man die Funktion h(x) = (x − d)2 + e, diezusätzlich um e nach oben (oder wenn e < 0 ist, um |e| nach unten) verschobene Parabel.



Die letzte Skizze zeigt die um 4 nach rechts und um 2 nach unten verschobene Normalparabel.

Im Kapitel 1.5.2 auf Seite 13 wurde gezeigt, wie man die Gleichung ax2 + bx+ c = 0 auf die Forma · (x− d)2 + e bringen kann (siehe 1.5.3 auf Seite 16).

Die Lösungen der Gleichung ax2 + bx+ c = 0 bzw. (x− d)2 + e = 0 sind nun einfach die x, für diedie Parabelfunktion den Wert 0 annimmt, also die x, an dem die verschobene Parabel die x-Achseschneidet. Damit ist das Lösen einer quadratischen Gleichung nichts anderes als die Suche nachdem Schnittpunkt einer geeigneten Funktion mit der x-Achse. Man sagt auch, man bestimmt dieNullstellen der Funktion. Dieses Verfahren wird in der Mathematik sehr häufig angewandt.

Dem Schaubild einer verschobenen und gestreckten Normalparabel entnimmt man problemlos, dasses entweder keine, eine oder zwei Schnittpunkte mit den Achsen gibt.

Damit haben wir ein wichtiges Hilfsmittel der Mathematik kennen gelernt: Stelle zwischenverschiedenen Gebieten Beziehungen her und löse die Fragestellung auf dem Gebiet, auf dem sieam einfachsten zu lösen ist. Konkret: Zwischen quadratischen Gleichungen und der Parabel, demSchaubild der quadratischen Funktion, besteht eine eindeutige Beziehung.

Die Parabel taucht auf vielen Gebieten der Physik auf: Ein schräg abgeworfener Körper fällt aufeiner Parabelbahn zu Boden (a < 0!). Die Parabel ist neben dem Kreis, der Ellipse und derHyperbel ein Kegelschnitt, für die viele interessante und wichtige gemeinsame Eigenschaften gezeigtwerden können, die in der Natur (z.B. bei den Planetenbahnen) beobachtet werden. Damit bildetdie Untersuchung der quadratischen Gleichung ein erster Schritt auf dem Weg zu einem besserenVerständnis vieler Naturbeobachtungen. Damit öffnet sich dem Menschen ein besseres Verständnisder Umwelt, wenn er mit Parabeln umgehen kann. Dies ist ganz sicher ein wesentlicher Grund,warum in der Schule die "Mitternachtsformelünd die dazugehörenden Parabeln eine große Rollespielen.

1.5.5 Faktorisieren bei Nullstellen

Sucht man die Nullstelle einer Funktion, so muss man eine Gleichung lösen, deren rechte Seite 0 ist.Gelingt es nun die linke Seite als Produkt von Faktoren zu schreiben, so ist die Gleichung genaudann 0, wenn einer der Faktoren 0 ist.



Man kann nun zeigen, dass eine quadratische Funktion, die die Nullstellen x1 = 0 und x2 = 0 hat,sich in der Form a · (x− x1) · (x− x1) = 0 schreiben lässt. Dividiert man durch a und multipliziertdiese Gleichung aus, so erhält man x2 − (x1 + x2) · x+ x1 · x2 = 0. Damit gilt:

Man kann eine quadratische Gleichung x2 + px + q = 0 dadurch lösen, dass man zweiZahlen x1 und x2 findet (errät), für die gilt −p = x1 + x2 und q = x1 · x2Diese Beobachtung heißt Satz von Vieta.

Beispiel: Die Gleichung x2 − 5x + 6 = 0 hat die Lösungen x1 = 3 und x2 = 2, da gilt3 + 2 = 5 = −(−5) und 3 · 2 = 6.

1.5.6 Näherungsrechnungen, Newtonverfahren


Kap. 2 Potenzen und Logarithmen Mathe, GZG, FN

2 Potenzen und Logarithmen

2.1 Potenzen

Eine Potenz ist eine Zahl der Form an. Die Zahl a nennt man Basis oder Grundzahl, die Zahl nExponent oder Hochzahl.

Für Potenzen mit derselben Basis a und den Potenzen n,m, e ∈ R gelten folgende Rechenre-geln:

an · am = an+m (10)an : am = an−m (11)

(an)e = an·e (12)a0 = 0 (13)

Merke: Wenn Potenzen addiert (oder subtrahiert) werden, kann man keine Potenzgesetze anwen-den, man kann dann nur versuchen, ob man ausklammern und danach Potenzgesetze anwendenkann.

Die Potenzgesetze für Potenzen mit derselben Hochzahl n sind:

an · bn = (a · b)n (14)an

bn=

(a

b

)n(15)

Man lernt bereits sehr früh, was 106 ist und erkennt schnell, dass 104 · 102 = 104+2 ist.

Erst später lernt man, dass z.B. 10−3 = 1103 und

√2 = 2

12 ist.

Der Grund für diese für viele Schüler merkwürdige Tatsache ist eigentlich ganz einfach: Man defi-niert die Potenzen so, damit die Potenzgesetze weiterhin gültig sind! Diese Festlegung ist für dasRechnen sehr sinnvoll.

1. Schritt: a0 = 1. Man möchte, dass an ·a0 = an+0 = an gilt. Das geht nur, wenn a0 = 1ist – löse die Gleichung an · x = an.

2. Schritt: Wenn für a−n die Potenzgesetze gelten sollen, so muss gelten: an · a−n =an+(−n) = a0 = 1. Also muss a−n = 1

ansein – löse die Gleichung an · x = 1.

3. Schritt: Wenn für a12 die Potenzregeln gelten sollen, so geht das nur wenn a

12 · a

12 =

a1 = a ist. D.h. es ist a12 =

√2 da das Quadrat dieser Zahl 2 ist– löse die Gleichung

x2 = a.Entsprechend definiert man a

1n = n

√a



2.1.1 Beispiel 2.1

an

bm= b−m

a−n(16)

3√72

6√7= 7

23

716

= 723−

16 = 7

12 =√

7 (17)

Merke: Die Exponenten wechseln das Vorzeichen, wenn die Potenzen die Seite des Bruchstrichswechseln.

2.1.2 Beispiel 2.2

a−nm = 1

anm

= 1m√an

= 1( m√a)n

(18)

7

√(18

)5= 7√8−5 = 8−

57 = 1

7√85

Dabei kann man die einzelnen Terme der letzten Gleichung auf verschiedene Weise ineinanderumrechnen.

2.2 Logarithmen

2.2.1 Hintergrundsverständnis des Logarithmus

Wenn man multiplizieren muss, haben Potenzen einen großen Vorteil: Man muss einfach die Expo-nenten addieren. Wenn man zwei Potenzen dividieren muss, dann kann man einfach die Exponentensubtrahieren. Aus einer Multiplikation oder Division wird damit eine Addition oder Subtraktion,die viel einfacher durchzuführen sind.

Das Problem ist aber, dass Zahlen normalerweise keine Potenzen sind – aber man kann versuchen,jede Zahl als Potenz zur Basis 10 darzustellen oder einer anderen beliebigen Zahl (später wähltman vor allem die Zahl e als Basis, siehe Seite 61). Im Jahr 1614 veröffentlichte John Napier (Wiki)ein Buch über den Logarithmus. Ab 1615 berechnete daraufhin Henry Briggs (Wiki) acht Jahrelang die ersten 30 000 Logarithmen zur Basis 10 auf 14 Stellen.

Der 10er-Logarithmus von 7, d.h. lg(7) = log10(7) ist die Hochzahl, mit der man 7 als Potenz zurBasis 10 schreiben kann, d.h. die Zahl, mit der man 10 potenzieren muss, um 7 zu erhalten.

7 = 10lg(7) ≈ 100,8451

Wie man den Logarithmus einer bestimmten Zahl ausrechnet, werden wir hier nicht kennen lernen.Es genügt uns, dass man ihn mit einem Taschenrechner, z.B. dem GTR bestimmen oder ihn ineiner Logarithmentafel nachschlagen kann.


http://de.wikipedia.org/wiki/John_Napier

http://de.wikipedia.org/wiki/Henry_Briggs


2.2.2 Potenzieren und Logarithmieren als Funktion

Es ist sinnvoll, folgende zwei Funktionenscharen zu betrachten.

pota : R −→ R+ (19)x 7−→ at

loga : R+ −→ R (20)x 7−→ loga(x)

(21)

Die Funktionen sind jeweils Umkehrfunktionen voneinander. Die obere Kurve ist die Potenzfunktionder Basis 2, d.h. pot2, die untere die Logarithmuskurve ebenfalls zur Basis 2, d.h. log2. Die Kurvengehen ineinander über, wenn man sie an der Winkelhalbierenden spiegelt – eine Spiegelung andieser Ursprungsgeraden führt auch die x- und x-Achse ineinander über. Wenn man von einemPunkt x1 auf der x-Achse wie üblich senkrecht bis zur pota-Kurve hochgeht, und dann nach linkszur y-Achse, erhält man y1 = pota(x1) = ax1 . Geht man von einer Zahl y2 auf der y-Achse dengerade beschriebenen Weg zurück, so kommt man zu dem x-Wert x2, für den ax2 = y2 gilt, manerhält also den Logarithmus von y2 d.h. x2 = loga(y2).

Es gilt:

loga (ax) = loga (pota(x)) = x (22)aloga(x) = pota (loga(x)) = x (23)

(24)

Die Regeln (22) und (23) sind nichts anderes wie die gerade erwähnte Tatsache, dass Logarithmierenund Potenzieren Umkehrfunktionen von einander sind, d.h. mit dem Logarithmieren macht mandas Potenzieren wieder rückgängig und umgekehrt. Man kann diese beiden Regeln aber auch genauso gut von der Definition her verstehen: Wenn ich die Potenz der Zahl ax haben möchte, so ist diessicher x, und dies genau wird mit loga (ax) bezeichnet.



2.2.3 Anwendungen des Logarithmus

Wenn man jede Zahl als Potenz schreiben kann, d.h. wenn man zu jeder Zahl den 10-Logarithmusbestimmen kann, so kann man damit Multiplikationen und Divisionen sehr vereinfachen. Um z.B.den Term 3567 : 872,34zu berechnen, geht man wie folgt vor:1. Schritt: Suche in der Logarithmentafel lg(3567) = 3,5523031, d.h. es gilt 3567 = 103,5523031

2. Schritt: Suche in der Logarithmentafel lg(872,34) = 2,94068579, d.h. 872,34 = 102,94068579

3. Schritt: Subtrahiere die beiden Logarithmen, das Ergebnis ist 0,611617314. Schritt: Schaue in der Logarithmentafel nach, welche Zahl diesen Exponenten hat. Es ergibt sich:4,08900

Die Division mit dem Taschenrechner ergibt heutzutage 3567 : 872,34 = 4,08900. Wer möchte, kanndies auch mit der in Klasse 4 gelernten Division berechnen.

Bereits Napier hat eine Art von mechanischem Verfahren erdacht. Seine Rechenstäbchen wurdenspäter zu den Rechenschiebern (Wiki) weiterentwickelt, ohne die bis vor 50 Jahren die Grundlagejeder Technik war.

Die beiden entscheidenden Skalen sind die mit C und D beschrifteten. C steht auf der Zunge unten– die Zunge ist der bewegliche Teil in der Mitte, D steht auf dem unteren Drittel gegenüber derZunge. Der eigentlich Tick ist, dass man dort wo bei einer normalen Skala die Logarithmen derZahlen stehen würden, einfach die Zahlen hinschreibt. Jetzt kann man einfach Multiplizieren, wennman die Logarithmen addiert: Z.B. ist lg(1,3) ≈ 0,1139 und lg(2) ≈ 0,3010. Wenn man jetzt zweiMeterstäbe so aneinander legt, dass der Ursprung des zweiten (der Zunge) dort steht, wo beimersten die Stelle 0,1139 ist, so liest man gegenüber des zweiten Meterstabs an der Stelle 0,3010 denWert 0,4149 ab. Dies ist nun aber der Logarithmus von etwa 2,6. Da man nun nicht die Logarithmensieht, sondern die Zahlen, gilt 1,3 · 2 = 2,6. Möchte man größere Zahlen multiplizieren, so beachtetman einfach, dass gilt 130 · 200 = 1,3 · 102 · 2 · 102 = 1,3 · 2 · 104. Man muss also beim Multiplizierenvon Zahlen immer das wissenschaftliche Zahlenformat beachten. Das lohnt sich übrigens auch heutenoch, da man dann beim GTR viel weniger tippen muss.

Bemerkung: Später hat man entdeckt, dass der Logarithmus auch bei der Integral-rechnung auftaucht. Es gilt

∫ 1xdx = ln(x), dabei ist ln der Logarithmus zur Basis

e ≈ 2,71828...


http://de.wikipedia.org/wiki/Rechenschieber


2.2.4 Rechenregeln des Logarithmus

Für Logarithmen zur selben Basis a und x, y ∈ R gelten folgende Rechenregeln:

loga(x · y) = loga(x) + loga(y) (25)loga(x : y) = loga(x)− loga(y) (26)

loga(xy) = y · loga(x) (27)loga(1) = 0 (28)

Die Regeln (25) bis (28) entsprechen eindeutig den Potenzregeln (10) bis (13), auch wenn man dieszuerst vielleicht nicht glaubt.

Zu Regel (25):aloga(x·y) = x · y = aloga(x) · aloga(y) = aloga(x)+loga(y)

Die letzte Gleichung ist nun genau die Potenzregel 11. Die Potenzen rechts und links sind nunidentisch (das sagt ja das Gleichheitszeichen) und damit müssen auch die Exponenten gleich sein.Also gilt die Regel (25)

Zu Regel (26):aloga(x:y) = x · y = aloga(x) : aloga(y) = aloga(x)−loga(y)


Zu Regel (27):aloga(xy) = xy =

(aloga(x)

)y= ay·loga(x)



Kap. 3 Umgang mit dem GTR Mathe, GZG, FN

3 Umgang mit dem GTR

Wer den Umgang mit dem Casio-GTR des GZG lernen und üben möchte, macht dies am Bestenmit den 24 Tipps zum Casio-GTR, die man z.B. auf http://w2.gzg-fn.de/mia/gtr/index.htmfindet. Man kann auch zu http://w2.gzg-fn.de gehen und dann den Link >2. GTR-Casio wählen.

Unter diesem obigen Link findet man auch das offizielle Handbuch, einen Belegungsplan für dieTasten und viele weitere Informationen zum GTR.

Im Lambacher-Schweizer stehen am oberen Rand immer wieder GTR-Hinweise. Man findetsie indem man bei Google einfach nach Klett und der Nummer sucht oder indem man auf dieMathe-Seite des GZG geht http://w2.gzg-fn.de und geht und dann den Link >2) GTR-Casiowählt. Die Hinweise stehen nach den Links, der Seite nach geordnet.

Eine kurze Zusammenstellung von nützlichen „portable programs“ für Mathe findet man in derSchule unter p:/Freigabe/Poprogs/MatNat. Man kann diese Programme einfach kopieren und be-nutzen – ohne sie zu installieren, man kann sie bequem von einem Stick auf jedem PC starten.Wer gerne ein Menü hat, kopiert zuerst den Ordner PortableApps von p:/Freigabe/Poprogs aufseinen Stick und dann die gewünschten Programmordner aus PoProgs in diesen Ordner. WeitereInformationen und Programme findet man z.B. unter http://portableapps.com/de.

Spezielle Tipps gibt es aber auch bei den einzelnen Kapiteln, z.B zu

• Umgang mit der Bernoulliverteilung siehe 10.3.3 auf Seite 148


http://w2.gzg-fn.de/mia/gtr/index.htm

http://w2.gzg-fn.de

http://w2.gzg-fn.de

http://portableapps.com/de

Kap. 4 Folgen, Grenzwerte Mathe, GZG, FN

4 Folgen, Grenzwerte

xx


Kap. 5 Differenzieren, Tangenten Mathe, GZG, FN

5 Differenzieren, Tangenten

5.1 Ableitungen von einfachen Funktionen

Die einfachsten Funktionen, die wir direkt ableiten können sind:

Regel 1) f(x) = xn mit f ′(x) = (xn)′ = n · xn−1

Regel 2) f(x) = sin(x) mit f ′(x) = (sin(x))′ = cos(x)

Regel 3) f(x) = cos(x) mit f ′(x) = (cos(x))′ = − sin(x)

Regel 4) f(x) = ex = exp(x) mit f ′(x) = (ex)′ = ex = exp(x)

Regel 5) f(x) = ln(x) mit f ′(x) = ln′(x) = 1x

Die nächste Stufe sind die Funktionen, die aufgrund der Potenzschreibweise Spezialfälle von f(x) =xn sind. (Der Beweis, dass dies richtig ist, wird in der Schule übergangen, ja es wird oft nicht einmalerwähnt, dass dies keinesfalls trivial ist.)

Regel 1b Ableitung der Hyperbel: f(x) = 1xm

:Wir formen den Term der Funktion mit Hilfe der Potenzdarstellung so um, dass wir dieRegel 1 anwenden können, d.h. f(x) = 1

xm= x−m. Also kurz:

f ′(x) =( 1xm

)′= (x−m)′ = −m · x−m−1 = − m

xm+1

Merke speziell:(1x

)′= − 1

x2

Wir merken uns: Wenn x im Nenner steht (und der Nenner keine Summe ist), so bringenwir x zuerst in den Zähler. (Andernfalls teilen wir den Bruch auf oder wenden (wenn diesnicht geht) die Quotientenregel an, siehe unten).

Regel 1c) Die Ableitung der Wurzelfunktion (n-ter Ordnung) f(x) = n√x ist auch ein Spezialfall

von Regel 1, d.h. wir formen um: f(x) = n√x = x

1n und erhalten

f ′(x) = ( n√x)′ =

(x

1n

)′= 1

n · x1n−1 = 1

n · x−n−1

n = 1n ·

1x

n−1n

= 1n · n√xn−1

Merke: (√x)′ = 1

2 ·√x

Aufgaben, Anwendungen der Regeln:

Nr. 1 Bilde die erste Ableitung von f(x) = 34 ·√x3

Lösungsvorschlag: Wir bringen die Funktion auf die Form axn:f(x) = 3

4 ·√x3

= 34 · x

− 32 . Jetzt können wir sie ableiten:

f ′(x) = 34 ·−32 · x

− 52

Abschließend formen wir sie wieder um: f ′(x) = − 98 ·√x5



Nr. 2 Bilde die erste Ableitung von f(x) = 4 · x3

7 · x ·√x

Lösungsvorschlag: Wir bringen die Funktion auf die Form axn:

f(x) = 4 · x3

7 · x ·√x

= 47 · x

3−1− 12 = 4

7 · x32 Jetzt können wir sie ableiten:

f ′(x) = 47 ·

32 · x

12

Abschließend formen wir sie wieder um: f ′(x) = 6 ·√x

7

5.2 Kettenregel, Produkt- und Quotientenregel

Viele weitere Funktionen setzen sich aus anderen (einfacheren) Funktionen zusammen, sie sindProdukte, Quotienten oder eine Hintereinanderausführung von einfacher ableitbaren Funktionen.Bevor wir ableiten, überlegen wir genau, wie und in welcher Reihenfolge die auftretenden Funktio-nen zusammengesetzt sind.

5.2.1 Kettenregel

Wenn f(x) = g(h(x)) ist, d.h. f eine Abbildung ist, bei der zuerst eine Funktion h und dann eineFunktion g angewandt wird (und die Ableitungen von f(x) und g(x) bekannt sind), dann gilt

f ′(x) = (g(h(x)))′ = g′(h(x)) · h′(x)

Wenn wir eine Verkettung von Funktionen entdecken, überlegen wir, welche Funktion zuletztausgeführt wird. Diese Funktion leiten wir zuerst ab. Danach multiplizieren wir mit der innerenAbleitung, d.h. mit der Ableitung der Funktion, die wir als zweitletztes ausführen, usw..

Aufgabe a) Bestimme die Ableitung von f(x) =√

(2x3 + 4x)Lösungsvorschlag: Wir wenden die Kettenregel an. Wenn wir die Funktion vonHand ausrechnen würden, würden wir zuerst das Polynom 2x3 + 4x ausrechnen unddann daraus die Wurzel ziehen. Also leiten wir zuerst die Wurzelfunktion ab, d.h. wirbilden

(√. . .)′

= 12 · √. . . und dann ersetzen wir die Punkte . . . durch

(2x3 + 4x

).

Dann leiten wir die gerade eingesetzte Funktion ab, d.h. wir bilden(6x2 + 4

)und

multiplizieren die gerade gebildete äußere Ableitung mit dieser inneren Ableitung.Die Ableitung der Funktion f ist also

f ′(x) =(√

(2x3 + 4x))′

= 12 ·√

(2x3 + 4x)·(6x2 + 4

)= 3x2 + 2√

2x3 + 4x

Aufgabe b) Bestimme die Ableitung von f(x) = 7 · e√

(2x3+4x)

Lösungsvorschlag: Wenn wir diese Funktion von Hand ausrechnen müssten, wür-den wir als letztes „e hoch ...“ ausführen, deshalb leiten wir diese Funktion zuerst ab.(Der konstante Faktor wird einfach abgeschrieben.) Die Ableitung von „e hoch ...“ist „e hoch ...“. Für die Punkte setzen wir einfach die innere Funktion ein. Danachkommt die innere Funktion zum Ableiten dran (siehe hierzu oben Aufgabe a)). Also



gilt

f ′(x) = 7 · e√

(2x3+4x) · 3x2 + 2√2x3 + 4x

5.2.2 Produktregel

Ist die letzte Operation beim Berechnen einer zusammengesetzter Funktion ein Produkt, so wendenwir die Produktregel an.Merke: Ist die Funktion ein Produkt zweier Funktionen, so ist die Ableitung die Summe zweierProdukte. Es gilt

f ′(x) = (g(x) · h(x))′ = g′(x) · h(x) + g(x) · h′(x)

5.2.3 Quotientenregel

Ist die letzte Operation beim Berechnen einer zusammengesetzter Funktion eine Division, so be-nutzen wir die Quotientenregel.Merke: Ist die Funktion ein Quotient zweier Funktionen, so ist der Zähler der Ableitung eine Dif-ferenz zweier Produkte und der Nenner wird quadriert. Es gilt

f ′(x) =(g(x)h(x)

)′= g′(x) · h(x)− g(x) · h′(x)

(h(x))2

5.3 Tangente und Normale

Die "Gleichung der Tangente" an die Funktion f im Punkt a ist

t(x) = f ′(a) · (x− a) + f(a)

Dies ist eine Kurzfassung für die Funktion t, die Gerade:

t : R → Rx 7→ f ′(a) · (x− a) + f(a)

= f ′(a) · x+ (f(a)− f ′(a) · a)= mx+ c

Die Tangente t und die Funktion f berühren sich im Punkt P (a|f(a)), d.h. sie haben dortdenselben Funktionswert (y-Wert) und dieselbe Steigung mt = f ′(a).

Begründung der Tangentengleichung: Die Steigung mt der Tangente ist dieselbe wie die der Funk-tion im Punkt a, also gilt mt = f ′(a). Damit liefert die Punktsteigungsformel durch die Punkte

P (a|f(a)) und Q (x|t(x)) für die Tangente: f ′(a) = mt = ∆y∆x = t(x)− f(a)

x− a. Löst man diese Glei-

chung nach t(x) auf, erhält man die Tangentengleichung.



Man kann dasselbe auch mit Hilfe der Punktprobe ableiten - Punktprobe und Punktsteigungsformelsind mathematisch äquivalent.

Die Gleichung der Normale an f im Punkt a ist

n(x) = − 1f ′(a) · (x− a) + f(a)

Begründung: Die Normale ist senkrecht zur Tangente. Für die Steigungen zweier senkrechter Ge-raden gilt m1 ·m2 = −1. Die Ableitung der Funktion f in a ist gerade die Steigung der Tangenteund damit ist − 1

f ′(a) die Steigung der Normale.

Aufgabe a) Bestimmen Sie die Gleichungen der Tangente und der Normale an den Graphen von

f(x) =√

2,5x2 + x

im Punkt x = a = 3Lösungsvorschlag: Für beide Geraden (Tangente und Normale) benötigen wir dieAbleitung. Da die Funktion f die Hintereinanderausführung von einer Wurzelfunk-tion und einer Parabel ist, benötigen wir die Kettenregel. Es gilt

f ′(x) = 12 ·√

2,5x2 + x· (5x+ 1)

Damit ist f ′(a) = f ′(3) = 12 ·√

2,5 · 32 + 3· (5 · 3 + 1) = 16

2 ·√

25,5 = 1,58

Ebenso berechnet sich f(a) = f(3) =√

25,5 = 5,05

Damit ist die Gleichung der Tangente t(x) = 1,58 (x− 3) + 5,05 = 1,58 · x+ 0,31

Die Gleichung der Normale ist n(x) = − 11,58 (x− 3) + 5,05 = −0,633 · x+ 6,95

Aufgabe b) Bestimmen Sie den Parameter k so, dass der Graph von

f(x) = 12 · x

2 − k · x+ 12 · k

2

an der Stelle a = 2 eine Tangente besitzt, welche die x-Achse bei b = 3 schneidet.

Lösungsvorschlag: Wir sollen in dieser Aufgabe den Parameter k bestimmen. Dasübliche mathematische Vorgehen hierfür ist, dass wir annehmen, dass k so ist, dassdie Tangente an f in a = 2 durch den Punkt P (b|0) = P (3|0) geht. Der Parameterist jetzt eine ganz bestimmte Zahl – wir können mit k also rechnen, wie wenn es eineZahl "wäre" (es ist eine!).

Um die Tangente zu bestimmen, benötigen wir die Ableitung von f . Es gilt

f ′(x) = x− k

(Beachte, dass nach der Funktionsvariable x, nicht nach der Zahl k abgeleitet wird!)



Damit ist f ′(a) = f ′(2) = 2− k und f(a) = f(2) = 2− 2k + 12 · k

2

Also ist die Tangente (beachte k ist eine Zahl!)

t(x) = (2− k) (x− 2) + 2− 2k + 12 · k

2

= (2− k)x− 4 + 2k + 2− 2k + 12 · k

2

= (2− k)x− 2 + 12 · k

2

Der Parameter (d.h. die Zahl) k wurde nun so gewählt, dass diese Tangente bei x = 3die x-Achse schneidet. Es gilt also wegen t(3) = 0

(2− k) 3− 2 + 12 · k

2 = 0 d.h.12 · k

2 − 3k + 4 = 0 oder

k2 − 6k + 8 = 0

Die Mitternachtsformel liefert damit für k die beiden möglichen Werte

k1/2 = 6±√

36− 4 · 1 · 82 · 1 = 6± 2

2 = 3± 1

Damit können wir feststellen, dass von allen möglichen k’s nur die beiden Wertek = 4 und k = 2 möglich sind (notwendige Bedingung). Nur für diese beiden Wertekann die Tangente in a = 2 die x-Achse in b = 3 schneiden. Alle anderen Wertevon k scheiden aus. Nur diese beiden Werte müssen wir weiter untersuchen. (Hierfürbenötigen wir das, was man eine hinreichende Bedingung nennt und was hier einfachdie Probe ist.)

Zu k = 4: Die Tangente ist t(x) = −2x + 6. Es gilt t(3) = 0. Also ist k = 4 eineLösung unseres Problems.

Zu k = 2: Die Tangente ist t(x) = 0, d.h. die Tangente ist die x-Achse. Es giltselbstverständlich t(3) = 0. Damit ist k = 2 eine weitere Lösung unseres Problems.Anmerkung: Wenn wir die Parabel für k = 2 untersuchen, stellen wir fest, dass dieseParabel die x-Achse in x = 2 berührt, sie hat dort ihren Scheitel.

5.4 Was nutzt uns die Ableitung?

Geraden g(x) = m · x+ c sind sehr einfache Funktionen. Man nennt sie oft lineare Funktionen undihre Graphen Geraden. Man kann bei ihnen ohne viel Aufwand Funktionswerte oder Nullstellenberechnen und kann sie leicht invertieren, d.h. die Umkehrfunktion bestimmen, nämlich g−1(x) =1m· x − c

m. Man kann sie auch schnell skizzieren: z.B. mit dem y-Achsenabschnitt c und dem

Steigungsdreieck.



Die meisten andere Funktionen sind sehr viel schwieriger auszuwerten. Nun ist die Tangente in aan eine Funktion f die lineare Funktion, die eine Funktion nahe a am besten annähert. Wenn manEigenschaften von Funktionen nahe a untersuchen möchte, d.h. in einer kleinen (oder auch größerenUmgebung von a), so kann man – zumindest näherungsweise – f durch die Tangente in a ersetzen.Das erleichtert das Vorgehen oft sehr, auch wenn man dann nur Näherungswerte bekommt, was inder Praxis allerdings meist ausreicht.

Merke: Die Ableitung ist die Steigung, die die Kurve lokal hat (nicht punktal; Die Tangenteist ein Objekt, das keinesfalls nur von einem Punkt einer Funktion abhängt, sondern von einerganzen Umgebung der Funktion!). Die Steigung von Funktionen, die man ableiten kann, von denFunktionen also, die eine Tangente besitzen, ändert sich lokal nur wenig. Sie sehen vergrößert einfachwie eine Gerade aus. Die Tangente ist die Kurve, die nahe dem Punkt P (a/f(a)) die Kurve ambesten linearisiert. Wenn man nahe genug an a dran ist, kann man zwischen Tangente und Funktionnicht unterscheiden. Dabei werden wir den Begriff „nahe“ nicht umgangssprachlich verwenden undnicht weiter hinterfragen.

5.4.1 Nullstelle mit der Ableitung bestimmen

Eine wichtige Anwendung der Tangente hat schon Isaac Newton benutzt, der die Ableitung ein-geführt hat. Er hat Nullstellen von komplizierten Funktionen wie folgt bestimmt. Dies nennt manheute Newtonverfahren zum Bestimmen einer Nullstelle.

1. Finde einen Näherungswert x0 einer Nullstelle von f, z.B. durch Raten oder Intervallschach-telung.

2. Bestimme in a = x0 die Tangente: t(x) = f ′(a) · (x− a) + f(a). Nahe von a = x0 verhält sichdie Tangente fast wie die Funktion.

3. Bestimme die Nullstelle der Tangente in a an f. x1 = a− f(a)f ′(a) . Diese Stelle ist oft eine bessere

Näherung der Nullstelle von f als der erste Schätzwert.Wiederhole jetzt das Verfahren der Schritte 2 und 3 mit a = x1 usw..

Merke: Wenn ein Wert x gesucht ist, für den f(x) = c gilt, so untersucht man die Funktiong(x) = f(x) − c auf eine Nullstelle. Die Nullstelle von g ist der x-Wert, für den f(x)=c gilt. Alsogenügt es, Nullstellen berechnen zu können.

Beispiel für das Newtonverfahren: Sei f(x) eine Funktion, die ein logistisches Wachstum beschreibt:f(x) = 35

1 + 4 · exp(−0,3 · x) . Wie muss man x wählen, dass f(x) = 10 ist? Wir bestimmen diesenx-Wert mit Hilfe des Newtonverfahrens, indem wir die Funktion f an verschiedenen Stellen, denimmer besseren Näherungswerten der Nullstelle durch ihre Tangente ersetzen.



Die Ableitung von f(x) ist:

f ′(x) = − 35(1 + 4 · exp(−0,3 · x))2 · (−0,3 · 4 · exp(−0,3 · x)) = 42 · exp(−0,3 · x)

(1 + 4 · exp(−0,3 · x))2

Ein Näherungswert der Nullstelle von g(x) = f(x)− 10 ist x0 = 2 wie man z.B. dem Graphen obenentnimmt. Es ist g(2) = 0,9538. Der Wert der Ableitung g′(x) = f ′(x) in a = x0 ist g′(2) = 2,268Damit ist die Gleichung der Tangente

t(x) = g′(a) · (x− a) + g(a) = 2,258 · (x− 2) + 0,9538 = 2,258x− 3,562

. Die Nullstelle der Tangente ist damit x1 = x = 3,5622,258 = 1,578

Es gilt f(1,578) = 10,024. Dies ist ein besserer Näherungswert für ein x mit f(x) = 10 als f(2) =10,953

Wenn wir das Verfahren wiederholen erhalten wir als weitere Näherungswerte x2 = 1,567 undx3 = 1,56678 mit f(1,567) = 10,000016 und f(1,56678) = 10,00000000

Übrigens sieht man im folgenden Graphen sehr deutlich, dass die Tangente in a=2 die Funktionnahe 2 sehr gut annähert:



5.4.2 Änderung des Funktionswertes nahe a mit der Ableitung bestimmen

Die Änderung des Funktionswertes einer Funktion ist

∆y = f(x+ ∆x)− f(x)≈ t(x+ ∆x)− t(x)= f ′(a) · (x+ ∆x− a) + f(a)−

(f ′(a) · (x− a) + f(a)

)= f ′(a) ·∆x (29)

Eigentlich müsste man statt Änderung des Funktionswertes besser sagen: Man untersucht, wiestark sich der Funktionswert ändert, d.h. wie groß ∆y = f(xEnde) − f(xAnfang) ist, wenn sich xum ∆x = xEnde − xAnfang erhöht. Wenn die Änderung nicht zu groß ist, d.h. so klein ist, dass dieTangente im Bereich x bis ∆x die Funktion hinreichend genau beschreibt, kann man die Änderungnäherungsweise mit der Tangente berechnen.

Man kann sich diese Näherungsformel auch so merken: ∆y∆x ≈ limh→0

f(x+ h)− f(x)h

= f ′(x)

Die relative Änderung nahe a ist übrigens∆yy

= f ′(a) ·∆xf(a) (30)

Diese Änderung gibt man gerne in Prozenten an. Jede Bank gibt den relativen Gewinn, d.h. dieÄnderung des Kapital pro eingesetztem Kapital an, indem sie die Zinsen pro Jahr in Prozentenbekannt gibt.

Beispiel 1: Die relative Zunahme der Funktion f(x) = 351 + 4 · exp(−0,3 · x) (siehe oben, letz-

ter Abschnitt) an der Stelle x = a = 2 pro x-Einheit ist also aufgrund der Tangente ∆yy≈

f ′(2) · 1f(2) = 2,258

10,953 = 20,6%. Die relative Zunahme berechnet sich mit den Funktionswerten zu

f(2 + 1)− f(2)f(2) = 21,6%

Beispiel 2: Bekommt man auf einer Bank 3% Zinsen pro Jahr, so wird der Geldbetrag auf der Bankjedes Jahr mit dem Faktor 1 + 3% = 1,03 multipliziert. Die relative (durchschnittliche) Zunahmepro Jahr ist 3%. Damit ist die Geldfunktion

G(t) = K0 ·(

1 + 3100

)t

= K0 · eln

(1+

3100

)·t

= K0 · ek·t (31)

mit k = ln

(1 + 3

100

)= 0,02956 ≈ 0,030

Die Ableitung der Geld-Funktion ist also:

G′(t) = K0 · ek·t · k = K0 · ln(

1 + 3100

)·(

1 + 3100

)t≈ 0,02956 ·G(t)



. Damit ist die relative Zunahme pro Jahr

∆GG≈ G′(t) ·∆t

G(t) =ln

(1 + 3

100

)·G(t) ·∆t

G(t) = ln

(1 + 3

100

)·∆t = k ·∆t ≈ 0,02956 · 1 ≈ 3%

5.4.3 Änderungen der Werte, Tangenten bei Funktionen

Absolute und relative Änderungen der Funktionswerte, der y-Werte, in Abhängigkeit der Änderungbei den x-Werten kann man direkt mit den Funktionen berechnen. Man kann allerdings auchausnutzen, dass die Tangenten die Funktion nahe eines Punktes sehr gut approximieren. Dieseszweite Vorgehen ist zwar nicht vollständig exakt, aber bei komplexen Funktionen kann dies einegroße Erleichterung sein, da man die Ableitung einer Funktion meist relativ einfach berechnenkann.

Die Funktion in der folgenden Aufgabe ist nun einfach genug, um beide Varianten durchzuführen.(Dabei wird die Tangente immer an den Anfangspunkt des zu untersuchenden Bereichs gelegt. Nor-malerweise ist es aber sinnvoll, die Tangente an die Kurve im mittleren Teil des zu untersuchendenBereiches zu bestimmen.)

Aufgabe: (aus dem Oberstufenbuch S. 71 Nr. 13 siehe [Sch09])Nach dem 1. Oktober 2002 nahm die Anzahl der im Internetlexikon Wikipedia erschienen englischenArtikel näherungsweise gemäß der Funktion f(x) = 80000 · e0,002·x (x in Tagen) zu.a) Wie viele Artikel gab es am 1. Jan 2003 und am 1. Januar 2004?b) Wann gäbe es eine Million Artikel, wann eine Milliarde, wenn dieses Wachstum so anhält?c) In welcher Zeitspanne verdoppelt sich die Anzahl der erschienen Artikel? Zeigen Sie, dass dieseVerdopplungszeit immer gleich ist.d) Um wie viel Prozent wächst die Anzahl der Artikel jährlich? Zeigen Sie, dass dieser Prozentsatzin jedem Jahr gleich ist.e) Wie viele Artikel erschienen annähernd am 1. Oktober 2003? Berechnen Sie diese Anzahl auchmithilfe der Ableitung und vergleichen sie.f) Wann nimmt die Anzahl der Artikel pro Tag um 400 zu?

Lösung: Die zu untersuchende Funktion, die das Verhalten modelliert ist

f : Zeit in Tagen seit 1.10.02 −→ englische Internetseiten bei Wiki (32)t 7−→ f(t) = 80000 · e0,002·t

Dies ist eine e-Funktion, die ein Wachstumsverhalten beschreibt. Es gilt generell für eine Wachs-tumsfunktion:



f(t+ ∆t) = 80000 · e0,002·(t+∆t) = 80000 · e0,002·t · e0,002·∆t = f(t) · e0,002·∆t. Das heißt, wenn die Zeitum ∆t fortschreitet, so wird der Bestand an Seiten mit der Zahl e0,002·∆t multipliziert.

Bei allen Wachstumsfunktionen gilt: Wenn man zur Abszisse (dem t-Wert) eine Zahl addiert, somuss die Ordinate mit einer Zahl multipliziert werden. Wenn derselbe Wert addiert wird, wird derFunktionswert mit derselben Zahl multipliziert.

zu a) Am 1.1.03 sind 92 Tage seit dem 1.10.12 vergangen. Also ist die Anzahl der Seiten f(92) =96161. Ebenso: Die Anzahl der Seiten am 1.1.04 ist f(457) = 199542 ≈ 400000

zu b) Sei t so, dass f(t) = 106, dann folgt

80000 · e0,002·t = 106

e0,002·t = 106

8 · 104 = 12,5

t = ln(12,5)0,002 = 1263

Dies 1260 Tage nach dem 1.10.02 der Fall, also Mitte März 06.

Ebenso berechnet sich das t mit f(t) = 109, zu t = ln(12,5)0,002 = 4716. Damit hätte Ende März 2015

Wikipedia eine Milliarde Seite – wobei allerdings zu erwarten ist, dass diese Funktion die Realitätnicht so lange modelliert.

zu c) Mit T bezeichnen wir die Verdopplungszeit. Sei t eine beliebige Startzeit. Dann soll sich zurZeit t+ T die Anzahl der Internetseiten verdoppelt haben. Es gilt also

2 · f(t) = f(t+ T )2 · 80000 · e0,002·t = 80000 · e0,002·(t+T )

2 · e0,002·t = e0,002·t · e0,002·T

2 = e0,002·T

0,002 · T = ln(2)T = 500 · ln(2) = 347

Das bedeutet, dass sich 347 Tage nach einem beliebigen Tag die Anzahl der Seiten verdoppelt hat.

zu d) Erste Variante direkt mit der Funktion: Die Änderungsrate ist

f(t+ 365)f(t) ) = 1 + p%

80000 · e0,002·(t+365) = (1 + p%) · 80000 · e0,002·t

e0,002·365 = 1 + p%p% = e0,002·365 − 1 = 1,075 = 107,5%

Zweite Variante näherungsweise mit der zentralen Eigenschaft der Wachstumsfunktion:Wenn die Zeit um ∆t = 365 fortschreitet, so wird die Funktion mit dem Faktor e0,002·∆t =e0,002·365 = 2,075 multipliziert (siehe oben). Da dieser Faktor 1 + p% ist, gilt p% = 107,5%. (Siehehierzu die Bemerkung vor a).)



zu e) Am 1.10.03 ist t = 365.Erste Variante direkt mit der Funktion: Die Änderung im Lauf des 365. Tag ist f(365 +

1)− f(365) = 80000 ·(e0,002·366 − e0,002·365) = 332,34.

Zweite Variante näherungsweise mit der Ableitung: Die Steigung der Tangente (siehe Gl. (29)auf Seite 34) liefert ∆y = f ′(365) · 1 = 332,01, da die Ableitung von f ′(t) = 80000 · e0,002·t · 0,002 =160 · e0,002·t ist.

zu f) Erste Variante direkt mit der Funktion: Sei t die Zeit, an der f(t) pro Tag um 400 zunimmt,dann gilt:

f(t+ 1)− f(t) = 40080000 · e0,002·(t+1) − 80000 · e0,002·t = = 400

80000 · e0,002·t(e0,002·1 − 1

)= = 400

e0,002·t = 40080000 · (e0,002·1 − 1) = 2,4975

t = ln(2,4975) · 500 = 457,6

Also nimmt am 458 Tag die Funktion um etwas über 400 Seiten zu.

Zweite Variante näherungsweise mit der Ableitung: Wir können f(t+1)−f(t) näherungsweisedurch f ′(t) · 1 ersetzen (siehe Gl. (29) auf Seite 34). Damit erhalten wir die Gleichung

f ′(t) = = 400160 · e0,002·t = 400

0,002 · t = ln

(400160

)t = ln(0,9163) · 500 = 458,14

Auch hierdurch erhalten wir, dass die Funktion am 458. Tag um rund 400 Seiten zunimmt. Aller-dings ist die erste Variante genauer, vor allem dann, wenn die Dauer, in der die Zunahme bestimmtwird, größer ist.



5.5 Extremwertaufgaben

5.5.1 Aufgabe 1

Die Fluggesellschaft Travel Lake fliegt 15 mal pro Tag von Friedrichshafen nach Berlin mit derzeitrund 1050 Passagieren pro Tag. Dabei betragen die täglichen Einnahmen 210 000e. Aufgrund derstarken Konkurrenz wird überlegt, die Flugpreise zu senken. Marktuntersuchungen ergaben, dassbei jeder Senkung des Flugpreises um 25e zusätzlich 20 Passagiere pro Flug zusätzlich mit fliegen.

Überlegen Sie, ob es sich lohnt, die Flugpreise zu senken, d.h. untersuchen Sie, welchen Preis TavelLake für einen Flug verlangen sollte, wenn der Umsatz maximal sein soll.

Lösungsvorschlag für Aufgabe 1:

1. Die zu minimierende Funktion ist:

g : Preissenkung in 25e-Einheiten −→ Tageseinnahmen in e (33)x 7−→ (Fluggäste pro Tag) · (Preis)

2. Die Anzahl der Passagiere pro Flug ist durchschnittlich 1 05015 = 70

Die Einnahmen pro Fluggast sind 210 000e1050 = 200e

3. Wird der Flugpreis um x mal 25e gesenkt, so ist der neue Preis für ein Ticket = alter Preis−x · 25e = 200e− x · 25e

4. In diesem Fall ist die Anzahl der Fluggäste pro Flugzeug = 70 + 20 · x, also ist die Anzahlder Fluggäste pro Tag = 15 (70 + 20 · x)

5. Die zu minimierende Funktion ist somit:

g : Preissenkung in 25e-Einheiten −→ Tageseinnahmen in e (34)x 7−→ 15 · (70 + 20 · x) · (200− 25x · x)

= 15 ·(14000− 1750x+ 4000x− 500x2

)= 15000 ·

(0,5x2 + 2,25x+ 14

)6. Wenn wir den Funktionsanteil in der Klammer mit dem GTR zeichnen, erhalten wir

Der GTR liefert als Maximum x = 2,25



Selbstverständlich können wir die Funktion h(x) = −0,5x2 + 2,25x + 14 auch ableiten. Wirerhalten dann h′(x) = −x + 2 25 oder x = 2,25. Da die zweite Ableitung h′′(x) = −1 stetsnegativ ist, ist dies ein Maximum.

7. Damit nehmen wir die Einnahmen auf einen maximalen Betrag von 240 000e (g(2,25) =247 969) zu, wenn wir eine Preisreduktion von 2,25·EUR25 =56,25e auf 143,75e vornehmen.

5.5.2 Aufgabe 2

Wie müssen die Maße eines zylindrischen Wasserspeichers ohne Deckel mit dem Volumen 1000 lgewählt werden, damit der Blechverbrauch minimal ist?


1. Da der Blechverbrauch minimal sein soll, müssen wir uns überlegen, wie viel Blech wir benöti-gen, wenn wir eine Dose ohne Deckel herstellen. Der Materialverbrauch entspricht der Flächeder Dose. Für den Boden der Dose benötigen wir ABoden = πr2, für den Mantel M = 2πr · han Material. Die zu minimierende Funktion ist somit

m1 : (Radius, Höhe) jeweils in m −→ Fläche in m2 (35)(r, h) 7−→ ABoden +M = πr2 + 2πr · h

2. Die Funktion hängt von zwei Variablen ab. Wir werden eine Variable durch die andere aus-drücken. Wir benötigen dazu eine Gleichung, die einen Zusammenhang zwischen r und hherstellt und die wir nach einer der beiden auflösen können.Die Nebenbedingung liefert uns genau dies. Das Volumen V soll exakt 1000 dm3 = 1m3

betragen. Es gilt also πr2 · h = 1. Diese Gleichung können wir nach h auflösen: h = 1πr2

3. Setzen wir dies in die Funktionszuordnung ein, erhalten wir die Funktion m. (Sie ist nichtidentisch mit der Funktion m1 oben, da wir ja einen anderen Definitionsbereich haben; sie istdie Hintereinanderausführung einer Funktion die r das Paar (r,h) zuordnet und der Funktionm1 oben)

m : Radius in m −→ Fläche in m2 (36)

r 7−→ ABoden +M = πr2 + 2πr · 1πr2 =

πr2 + 2r

(37)

4. Wenn wir ein Extremum haben, muss die Ableitung Null sein (notwendige Bedingung). Wirdifferenzieren also die Funktionm und bestimmen die Nullstellen vonm′. Nur diese Nullstellenkönnen ein Minimum sein.

m′(r) = 2πr − 2r2

5. Sei nun r so, dass m′(r) = 0 ist, so gilt wegen obiger Gleichung 2πr3 = 2 oder r = 13√π

Nur dieses r kann ein Minimum sein, alle anderen scheiden aus.



6. Da die zweite Ableitung von m′′(r) = 2π + 4r3 ist, gilt m′′( 1

3√π

) = 2π + ·4π = 6π > 0. Also

ist r = 13√π

die Stelle, an der der Funktionswert minimal ist.

7. Wenn r = 13√π

ist, so ist h = 1πr2 = 1

π

( 13√π

)2 = ( 3√π)2

π= 1

3√π

Der Materialverbrauch ist also m( 1

3√π

)= π ·

( 13√π

)2+ 2

13√π

= ( 3√π) + 2 3

√π = 3 3

√π

5.5.3 Aufgabe 3

Der Querschnitt eines Eisenbahntunnels hat die Form eines Rechtecks mit aufgesetztem Halbkreis.Wie müssen die Maße gewählt werden, damit bei einer vorgegebenen Querschnittfläche von 45m2

der Umfang am kleinsten wird?(Der Umfang bestimmt den Verbrauch an Beton, an Farbe usw..)


1. Der Umfang der Fläche soll minimal werden. Der aufgesetzte Halbkreis soll den Radius rhaben, die Decke des Rechtecks hat dann die Länge a = 2r. Die Höhe des Rechtecks sei h.Damit ist der Umfang U = 2h+ 2r + πr Die zu minimierende Funktion ist damit :

u1 : (Radius, Höhe) jeweils in m −→ Fläche in m2 (38)(r, h) 7−→ U = 2h+ (2 + π) r

2. Die Funktion hängt von zwei Variablen ab. Wir werden eine Variable durch die andere aus-drücken. Wir benötigen dazu eine Gleichung, die einen Zusammenhang zwischen r und hherstellt und die wir nach einer der beiden auflösen können.Die Nebenbedingung sagt, dass die Fläche A = 45m2 betragen soll. Es gilt also AHalbkreis +ARechteck = 1

2πr2 + 2x ·h = 45. Diese Gleichung können wir nach h auflösen: 4x ·h = 90−πr2

oder h = 90− πr2

4r = 452r −

π

4 r

3. Setzen wir dies in die Funktionszuordnung ein, erhalten wir die Funktion u.

u : Radius in m −→ Fläche in m2 (39)

r 7−→ 2(45

2r −π

4 r)

+ (2 + π) r =

451r

+(

2 + 12π)r (40)

4. Die Ableitung der Funktion u ist u′(r) = −45r2 + 2 + 1

2π. Wenn r eine Nullstelle der Ableitung



ist, folgt daraus 45r2 = π

2 + 2 = π + 42 oder nach dem Bilden des Kehrwerts r

2

90 = 2π + 4 damit

sind für r nur zwei Werte möglich, nämlich r1/2 = ±√

45π + 4 ≈ ±3,55

5. Die negative Lösung scheidet aus, da eine Strecke immer positiv ist. Also müssen wir nur

überprüfen, ob r1 =√

45π + 4 ≈ 3,55 eine Lösung ist, d.h. ob die zweite Ableitung an dieser

Stelle größer Null ist.Die zweite Ableitung ist: u′′(r) = 90

r3 . Sie ist sicher positiv, da ja r positiv ist.

(Bem.: Wir könnten auch überprüfen, ob u′(r) bei r1 einen Vorzeichenwechsel von Minus nachPlus hat. Die Variable r = r1 ist ja so, dass der erste Summand (45

r2 die übrigen zwei (2 + 12π

gerade zu Null ergänzt. Wenn wir nun r ein wenig kleiner machen, wird der Betrag des erstenSummanden größer, die Ableitung also negativ, machen wir r größer, wird der Betrag deserste Summanden kleiner, die Gesamtsumme also positiv. Das ist aber genau das, was wirbenötigen.)


Kap. 6 Integralrechnung Mathe, GZG, FN

6 Integralrechnung

In der Naturwissenschaft gibt es viele Größen, die mit zwei anderen Größen in Form eines Produktszusammenhängen. Bekannte Beispiele sind

• Energie = Kraft mal Strecke, d.h. E = F · s

• Leistung = Strom mal Spannung, d.h. P = I · U

• Fläche = Höhe mal Breite, d.h. A = y · x

• Volumen = Grundfläche mal Höhe, d.h. V = G · h

• Bestand = Zunahme * Zeit, d.h. B = Z · t

In den unteren Klassen der Schule nimmt man normalerweise an, dass beide Größen unabhängigvon der anderen sind, d.h. dass sich bei einer geometrischen Veranschaulichung ein Rechteck ergibt.

Dies ist aber oft, sogar meist, nicht der Fall. Der Zufluss eines Sees ist nicht das ganze Jahr übergleich, sondern der Zufluss hängt von der Jahreszeit ab. Die Stromstärke ist abhängig von derSpannung, dies besagt schon das bekannte Ohmsche Gesetz.

Wenn wir uns solche Dinge geometrisch veranschaulichen, so erhalten wir mehr oder weniger kom-plexere Gebilde:

Der Bestand (oder besser die Zunahme des Bestandes) entspricht dann der Fläche unterhalb derKurve, genauer der Fläche zwischen Kurve und x-Achse. Dies sollte am Ende des Kapitels ver-ständlich sein.

Solche variablen Dinge entziehen sich in der Schule in den unteren Klassen der Berechnung. Es gibtnur ein paar einfache Ausnahmen:

Ein Dreieck hat eine Höhe, die sich mit der Breite ändert. Die Höhe nimmt linear mitder Breite zu. Ein rechtwinkliges Dreieck können wir so drehen, dass die Höhe nachoben zeigt, der rechte Winkel links unten liegt



Durch einen Trick (wir ergänzen das Dreieck zu einem Rechteck und zeigen, dass dasursprüngliche Dreiecke genau halb so groß ist, wie das Rechteck) können wir seine Flächetrotzdem berechnen. Es gilt also A = 1

2 · c · hc

Ein beliebiges Dreieck können wir in zwei Hälften zerlegen, die beide rechtwinklig sindund erhalten mit ein klein wenig symbolischer Gymnastik dieselbe Formel.

Ähnliches gilt für eine Pyramide. Seine Schnittfläche ist abhängig von der Höhe. Hiermuss man sich schon mehr anstrengen, um die Formel V = 1

3 · G · h abzuleiten. Mankann einen Würfel in drei Pyramiden zerlegen, die alle gleich groß sein müssen. Wennman sich dann noch überlegt, dass für alle Pyramiden gilt, das Volumen ist nur von derGrundfläche und der Höhe abhängig, so ist die Formel nach einiger Mühe einsichtig.

Wie aber geht man vor, wenn die eine Größe komplizierter von der anderen abhängt? Dies wurdeerst vor ein paar hundert Jahren erfolgreich gelöst. Die entscheidende Idee ist, die Annäherung dergesuchten Fläche durch Folgen, durch Ober- und Untersummen. Die gesuchte Fläche wird dann derGrenzwert der Folgen – falls die Folgen alle denselben Grenzwert haben. Man sagt, man bestimmtein Integral

Die konkrete Vorgehensweise, die wir hier benutzen, um ein Integral zu bestimmen, geht auf Ideenvon Bernhard Riemann (1826-1866) zurück, der die Art der Intervallschachtelung mit Unter- undObersummen eingeführt hat. Die eine Größe y, die Höhe des Rechtecks (in den oberen Beispielendie erste), soll dabei eine Funktion der zweiten x sein, d.h. y = f(x). Die Fläche, die wir bestimmenwollen, ist dann die Fläche zwischen der x-Achse, der Funktion und einer linken und rechten Grenze.Geometrische Veranschaulichung:



Um das Leben nicht zu kompliziert zu machen, tun wir im folgenden so, wie wenn es nur eine Flächezu berechnen gäbe, auch wenn das Verfahren vor allem für viele wichtigen physikalischen Größenwichtig ist, die höchstens durch Flächen veranschaulicht werden können, aber nicht wirklich Flä-chen sind. (Die Mathematik lebt gerade davon, dass zwischen verschiedenen Gebieten strukturelleÄhnlichkeiten entdeckt, beschrieben und präzisiert werden.) Übrigens liefert das Verfahren eigent-lich nur dann eine klassische geometrische Fläche, wenn die Randfunktion oberhalb der x-Achseverläuft. (Ist f unterhalb der x-Achse, so erhalten wir eine negative Fläche – dies ist aber oft genaudas, was man für die physikalischen Größen benötigt. Wenn die Zunahme der Energie negativ ist,so wird Energie abgegeben. In der Mathematik reden wir oft von einem orientierten Flächeninhalt,wenn wir Flächenteile unterhalb der x-Achse von der Gesamtsumme der Fläche abziehen.)

Wenn die Funktion f(x) stetig ist (oder nur endlich viele Sprungstellen, Unstetigkeitsstellen hat),dann kann man dieses Verfahren von Riemann immer anwenden. Man sagt, man integriert dieFunktion. Alle stetige Funktionen sind integrierbar. Das entscheidende Hilfsmittel bei der prak-tischen Berechnung, besser bei der logischen Durchdringung des Vorgehens, ist das, was man denHauptsatz der Differential- und Integralrechnung nennt: Wenn wir eine Funktion F (x) kennen,deren Ableitung die Funktion f(x) ist – wir nennen diese Funktion F (x) dann Stammfunktion vonf(x) –, dann lässt sich die verallgemeinerte Fläche, das Integral relativ einfach bestimmen, sieheunten xxx.

Wenn das nicht möglich ist, d.h. wenn die Funktion keine Stammfunktion hat, so können wir dasIntegral oft nur näherungsweise — im Sinn des Grenzwerts — bestimmen. Für einige wichtigeFunktion ist bewiesen, dass sie keine Stammfunktion haben.

Es gilt sogar, dass nicht alle Funktionen integrierbar sind, diese sind dann natürlich alle nicht stetig– und auf den ersten Anblick alle merkwürdig, z.B. die Funktion χQ, die allen rationalen Zahleneine 1 zuordnet und den irrationalen Zahlen eine 0.

Soweit zum Überblick, zu den Vorüberlegungen. Im Folgenden entwickeln wir die Idee des Integralsund folgen den Gedankengängen, die darauf aufbauen und das Problem so logisch durchdringen,dass wir erkennen, wie man den Grenzprozess bei vielen Anwendungen vermeiden kann.

6.1 Ober- und Untersummen

Der Kern der Idee ist schon recht alt – siehe Archimedes, Kepler oder auch das Prinzip von Cavalieribei Wikipedia – Zerlege die Fläche in unheimlich viele kleine Rechtecke einer ganz kleinen Breite.Wenn sich die Randfunktion f(x) innerhalb dieses kleinen 4x nicht stark ändert, so können wirwohl sagen, dass die Gesamtfläche näherungsweise so groß ist, wie die Summe der vielen kleinenRechtecke. Wir müssen dann nur ein paar Tausend Rechtecke berechnen, aufsummieren - und fertigist das Computerprogramm.

Auch wenn das Vorgehen sicher nur vom Prinzip her einfach ist, in der Praxis aber verdammtmühsam, so werden wir es jetzt doch anwenden lernen. Der GTR rechnet so! Im weiteren werdenwir uns aber auch fragen, ob das Verfahren normalerweise sinnvoll ist, ob wir bei unterschiedli-chen Zerlegungen immer die selbe Fläche bekommen, ob wir mit diesem Verfahren auch die schonbekannten Flächen ableiten können.



Wir veranschaulichen das Vorgehen an Hand der Beispielsfunktion f(x) = (x−3)(x−5)(x−4,5)+8im Bereich von x = 0,5. 4,5. Wir zerlegen die Fläche in 10 Teile, siehe folgende Grafik

Niemand zwingt uns dazu, alle Rechtecke gleich groß zu machen. Es mag sogar günstiger sein,größere Schritte zu wählen, wenn die Funktion sich langsam ändert und kleinere, dort, wo sie sichschnell ändert. Für die logische Durchdringung ist das aber nicht entscheidend.

Weitere Beispiele: Dreieck, Halbkreis, ...

Die Idee von Riemann war nun, sich zwei Folgen von Rechtecken zu konstruieren und sie genau zuberechnen:

1. Die Folge der sogenannten Obersummen (On)n, von der man zwei Dinge zeigen muss:

(a) sie konvergiert

(b) wenn man eine andere Folge von Rechtecksummen hat, so gibt es zu jedem Folgenglieddieser Folge immer ein Folgenglied der Obersumme, das größer ist als alle folgendenFolgenglieder dieser anderen Folge. Das heißt dann, dass diese andere Folge höchstensgegen eine kleinere Zahl konvergieren kann.

2. Die Folge der sogenannten Untersummen (Un)n, von der man wieder zwei Dinge zeigen kann:

(a) sie konvergiert

(b) wenn man eine andere Folge von Rechtecksummen hat, so gibt es zu jedem Folgenglieddieser Folge immer ein Folgenglied der Untersumme, das kleiner ist als alle folgendenFolgenglieder dieser anderen Folge. Das heißt dann, dass diese andere Folge höchstensgegen eine größere Zahl konvergieren kann.

Das sieht unheimlich kompliziert aus. Einfach ist es nicht, aber trickreich. Wenn wir nun nämlichzeigen können, dass die beiden Folgen der Ober- und Untersummen gegen denselben Grenzwertkonvergieren, dann müssen alle Folgen gegen diesen Grenzwert konvergieren.



Im Allgemeines ist es nicht einfach, zu zeigen, dass es für eine Funktion zwei solche Folgen gibt.Wenn wir aber eine stetige Funktion haben, dann ist dies relativ simpel – komplexere Funktionenüberlassen wir den Studenten der Mathematik.

Zu jedem n ∈ N teilen wir das Intervall zwischen a und b in n gleiche lange Intervalle Ii für i = 1..n.Ihre Länge ist dann h = b−a

n . Da die Funktion stetig ist, gibt es in jedem dieser TeilintervalleIi = [a + (i − 1) · h | a + i · h] eine Stelle, an der die Funktion in diesem Teilintervall den größtenbzw. den kleinsten Wert annimmt. Diese x-Werte bezeichnen wir mit oi bzw. ui. Das n-te Gliedder Obersummenfolge ist nun

O(n) := f(o1) · h+ f(o2) · h+ f(o3) · h+ . . .+ f(on) · h (41)

U(n) := f(u1) · h+ f(u2) · h+ f(u3) · h+ . . .+ f(un) · h (42)

Den klaren Nachweis der Eigenschaften überlassen wir den Mathematikern, wir schauen uns aberein Beispiel genauer an.

Wir wählen dabei nicht die Funktion von oben, sondern eine Funktion die monoton ist, nämlich

f : R −→ R (43)x 7−→ 25− x2

Diese streng monotone fallende Funktion (d.h. wenn x2 > x1 ist, so ist f(x2) < f(x1)) hat denVorteil, dass der maximale und der minimale Funktionswert an den Grenzen des Teilintervallsangenommen wird; ist die Funktion monoton fallend (so wie diese oben angegebene), so ist linksder maximale, rechts der minimale Funktionswert.

Obersummen von f(x) zwischen a = 0 und b = 4Wir teilen das Intervall [0|4] in n gleich lange Teile. Also ist die Breite der Teilintervalle h = b−a

nDamit gilt für die Obersumme

O(n) =n−1∑i=0

(f(i · h) · h) (44)

=n−1∑i=0

(25− i2h2

)· h (45)

= 25nh+n−1∑i=0

(−i2h2

)h (46)

= 25nh− h3(n−1∑i=0

i2)

(47)

= 25nh− h3(1

6 · (n− 1) · n · (2n− 1))

(48)

= 25nh− 13 h

3n3 + 12 h

3n2 − 16 h

3n (49)

Beim Schritt von (47) nach (48) haben wir ausgenutzt, dass man mit vollständiger Induktion∑ki=0

(i2)) = 1

6 · k · (k + 1) · (2k + 1) beweisen kann.



Da nh = b− a ist, gilt

O(n) = 25(b− a)− 13 (b− a)3 + 1

2(b− a)3

n− 1

6(b− a)3

n2 (50)

Wird n jetzt immer größer, so gilt

limn→∞

O (n) = 25(b− a)− 13 (b− a)3

da der dritte bzw. vierte Summanden mit wachsendem n immer kleiner wird, also gegen 0 konver-giert.



6.2 Aufgaben zum Berechnen von Rotationskörpern

6.2.1 Aufgabe 1

Skizziere die Funktion und berechne das Volumen des Drehkörpers zwischen a und b. (Siehe auch[Sch04b] S. 98 Nr. 3)

a) f(x) = 18x

3 − 1 mit a = 2 und b = 4

b) f(x) = 12√x2 + 4 mit a = −4 und b = 20

Tipps zum Umformen: Binomische Formel, (x2)2 = x4, Stammfunktionen und Integral von Po-lynomen: Linearität, d.h.

∫ ba c · xn dx = c ·

∫ ba x

n dx = c[ 1n+1 · x

n+1]ba und∫ ba c · xn + d · xm dx =∫ b

a c · xn dx+ d ·∫ ba x

m dx = ...


zu a) Wird die Fläche unter einer Funktion, die im Intervall [a|b] stetig ist, um die x-Achse gedreht,so erhält man einen Rotationskörper mit dem Volumen V = π

∫ ba (f(x))2 dx. Da die Parabel

dritter Ordnung im angegebenen Bereich stetig ist (sie ist sogar überall stetig), ergibt sich V zu

bzw.



V = π

∫ 4

2

(18x

3 − 1)2

dx

= π

∫ 4

2

164x

6 − 2 · 18x

3 + 1 dx

= π · 164

(∫ 4

2x6 dx

)− π · 2 · 1

8

(∫ 4

2x3 dx

)+ π

∫ 4

21 dx

= π

64

[17x

7]4

2− ·π4

[14x

4]4

2+ π [x]42

= π

64

(1747 − 1

727)− π

4

(1444 − 1

424)

+ π (4− 2)

= π

64 · 7 · 27(27 − 1

)− π

4 · 4 · 24(24 − 1

)+ π (4− 2)

= 2 · π7 (128− 1)− π (16− 1) + π (4− 2)

= 2 · π7 · 127− π · 15 + π · 2

= π

7 (2 · 127− 7 · 13) = 1637 π = 73,15

zu b) Wie eben gilt:

bzw.

V = π ·∫ b

a(f(x))2 dx = π ·

∫ 20

−4

(12√x2 + 4

)2dx = π ·

[14

(13x

3 + 4x)]20

−4

= π ·[ 1

12x3 + x

]20

−4= π ·

[( 112 · 203 + 20

)−( 1

12 · (−4)3 + (−4))]

= π ·[2000

3 + 20 + 163 + 4

]= 696 · π = 2186,5



6.2.2 Aufgabe 2

Der Graph K der Funktion f begrenzt mit der x-Achse eine Fläche, die um die x-Achse rotiert. Skiz-zieren Sie K und bestimmen Sie das Volumen des entstehenden Drehkörpers. (Siehe auch [Sch04b]S. 98 Nr. 4)f(x) = 2 · x2 (x+ 2)

Tipp: Bestimme zuerst die Nullstellen, sie sind die Grenzen, zwischen denen zu integrieren ist.

Lösungsvorschlag für Aufgabe 2:Sei x Nullstelle der Funktion f, so gilt f(x) = 0 d.h. f(x) = 2 · x2 (x+ 2) = 0. Da ein Produktgenau dann Null ist, wenn einer der Faktoren Null ist, gilt also x = 0 (doppelte Nullstelle, d.h. DieNullstelle ist gleichzeitig Hoch- oder Tiefpunkt) oder x = −2.Damit ist die Funktion (f(x))2 im Bereich von -2 bis 0 zu integrieren.

bzw.

V = π ·∫ b

a(f(x))2 dx = π ·

∫ 0

−2

(2 · x2 (x+ 2)

)2dx

= π ·∫ 0

−24 ·(x3 + 2 · x2

)2dx = 4 · π ·

∫ 0

−2x6 + 4 · x5 + 4x4 dx

(mit der Binomischen Formel ausmultiplizieren, damit man integrieren kann)

= 4 · π ·[1

7x7 + 4

6x6 + 4

5x5]0

−2= 4 · π ·

[1287 − 128

3 + 1285

]= 4 · π · 128 ·

[3 · 5− 7 · 5 + 7 · 37 · 3 · 5

]= 512 · π · 15− 35 + 21

105

= 512105 · π = 15,32

6.2.3 Aufgabe 3

Die beiden Graphen f und g begrenzen eine Fläche, die um die x-Achse rotiert. Skizzieren Sie dieGraphen und berechnen Sie das Volumen des Rotationskörpers. (Siehe auch [Sch04b] S. 98 Nr. 5



und 6)

f(x) = 2 ·√x und g(x) = 2x

Tipps: Die Schnittpunkte bestimmen die Grenzen, zwischen denen zu integrieren ist. Das Gesamt-volumen ist das Volumen der oberen Funktion minus Volumen der unteren.

Lösungsvorschlag für Aufgabe 3:Sei x ein Schnittpunkt der beiden Graphen, d.h. eine Nullstelle von f(x)− g(x), dann gilt 2 ·

√x−

2 · x = 0, d.h.√x = x. Quadrieren wir auf beiden Seiten, so erhalten wir x = x2 oder x2 − x = 0.

Wenn wir x ausklammern ergibt sich x · (x− 1) = 0. Also kann x höchstens 0 oder 1 sein. Da wirquadriert haben, kann sich die Lösungsmenge vergrößert habe, wir müssen also die Probe machen.Diese ergibt, dass beides Lösungen sind.

d.h. minusDas gesuchte Volumen ist das Volumen des Rotationskörpers der oberen Funktion, das äußereVolumen, minus das desjenigen der unteren Funktion, das innere Volumen.

Vau„en = π ·∫ 1

0

(2 ·√x)2 d = π ·

∫ 1

0(4 · x) d = π ·

[4 · 1

2x2]1

0= π · (2− 0) = 2 · π

Vinnen = π ·∫ 1

0(2 · x)2 dx = π ·

∫ 1

0

(4 · x2

)dx = π ·

[4 · 1

3x3]1

0= 4 · π ·

(13 − 0

)= 4

3π

Vgesucht = 23π

6.2.4 Aufgabe 4

Ein rundes Fass der Höhe h (z.B. 1,2m) habe oben und unten einen Radius von r (z.B. 0,80m) und inder Mitte einen Radius von R (z.B. 1,0m). Berechnen Sie das Volumen des rotationssymmetrischenKörpers, indem Sie eine geeignete Parabel zwischen xu = −1

2 · h und xo = 12 · h um die x-Achse

drehen

Tipp: Bestimmen Sie eine nach unten geöffnete Normalparabel, die symmetrisch zur y-Achse istund durch die Punkte Pl

(−1

2 · h|r), Pm (0|R) und Pr

(12 · h|r

)geht.



Lösungsvorschlag für Aufgabe 4:Die Parabel f(x) = ax2 + bx+ c muss nach unten geöffnet sein, also ist a < 0. Sie ist symmetrischzur y-Achse, also sind alle Koeffizienten von Summanden ungeraden Hochzahlen Null, d.h. es giltb = 0. Da der Scheitel auf der y-Achse liegt, gilt c = R. Es ist also nur noch a zu bestimmen.

Dazu wählen wir den Punkt Pr(

12 · h|r

). (Der andere Punkt würde zum selben Ergebnis führen,

da der x-Wert ja zu quadrieren ist. Im Übrigen haben wir die Symmetrie ja bereits ausgenutzt, alswir feststellten, dass b = 0 ist.) Es gilt also a ·

(12 · h

)2+ R = r. Also a = −4 ·

(R− rh2

)Dieses a

ist kleiner als Null, da R ja größer als r ist.

Die Randfunktion des Rotationskörpers ist also

f(x) = −4 ·(R− rh2

)· x2 +R.

Damit gilt

V

π=

∫ 12h

− 12h

(−4 ·

(R− rh2

)· x2 +R

)2dx

= 16 ·(R− rh2

)2·∫ 1

2h

− 12hx4 dx− 8 ·

(R− rh2

)·R ·

∫ 12h

− 12hx2 dx+R2 ·

∫ 12h

− 12hdx

= 16 ·(R− rh2

)2·[1

5x5] 1

2h

− 12h− 8 ·

(R− rh2

)·R ·

[13x

3] 1

2h

− 12h

+R2 · [x]12h

− 12h

= 16 ·(R− rh2

)2·[

15

(12h)5−(−1

5

(12h)5)]

−8 ·(R− rh2

)·R ·

[13

(12h)3−(−1

3

(12h)3)]

+R2[1

2h−(−1

2h)]

= 16 ·(R− rh2

)2·[2

5 ·132 · h

5]− 8 ·

(R− rh2

)·R ·

[23 ·

18 · h

3]

+R2 · h

= 15 · (R− r)

2 · h− 23 · (R− r) ·R · h+R2 · h

=[R2 − 2

3R (R− r) + 15 (R− r)2

]· h

Setzen wir hierbei die konkreten Zahlen der Aufgabe ein, d.h. h = 65 , r = 4

5 und R = 1, erhalten wirV = 656

625π = 3,297. Wer möchte, kann die Rechnung auch mit den konkreten Zahlen durchführen,dann wird sie einfacher. Es ist vor allem auch sinnvoll, das konkrete Integral mit dem GTR zubestimmen, da im Abitur viele Integrale mit dem GTR bestimmt werden können.

6.2.5 Aufgabe 5

Man kann mit relativ einfachen Funktionen rotationssymmetrische Körper erzeugen. Welche Körpererhält man mit den folgenden Funktionen? bestimmen Sie ihr Volumen.

a) f(x) = r zwischen 0 und h



b) f(x) = m zwischen 0 und h

c) f(x) =√r2 − x2 zwischen a und r

d) Das Volumen, das die beiden Funktionen f(x) = a und g(x) = b < a erzeugen. Skizziere dieFunktionen und die Volumina jeweils.

Lösungsvorschlag für Aufgabe 5: xx

6.3 Aufgaben zu Mittelwerten

6.3.1 Aufgabe 6

Bei einem Atemzyklus, der 5 s dauert, gibt V (t) = −0,037 · t3 + 0,152 · t2 + 0,173 · t das Volumen(in dm3) der Luft in den Lungen an zur Zeit t (in s). Bestimmen Sie das mittlere Volumen der LuftAtemluft in den Lungen während eines Atemzugs. (Siehe auch [Sch04b] S. 100.)

Lösungsvorschlag für Aufgabe 6:Skizze der Funktion V(t).

Der Mittelwert der Funktion f(x) im Bereich von a bis b ist m = 1b− a

·∫ ba f(x) dx Damit ist der

gesuchte Mittelwert von V

V = 15− 0 ·

∫ b

a−0,037 · t3 + 0,152 · t2 + 0,173 · t dx

= 15 ·[−0,037 · 1

4 t4 + 0,152 · 1

3 t3 + 0,173 · 1

2 t2]5

0= 0,543


Kap. 7 Exponentialfunktion Mathe, GZG, FN

7 Exponentialfunktion

Das gegenwärtige Vorgehen in der Schule ist:

1. Zinseszinsrechnung: Das Kapital K0 wächst bei einem Zinssatz von p% nach n Jahren aufeinen Wert von K(n) = K0 ·

(1 + p

100)n an.

2. Wachstumsfunktion: Man schreibt für(1 + p

100)einfach a und untersucht die Funktionenschar

pota : x 7−→ ax (wobei stets a > 0 ist).Ist a > 1, so ist die Funktion streng monoton steigend, ist a < 1, so ist sie streng monotonfallend.

3. Wichtige Beispiele sind: Zinseszinsrechnung, radioaktiver Zerfall, Absorptiuon von Lichtoder radioaktiver Strahlung, Bevölkerungsentwicklung (Todes- und Sterberate), generell Ent-wicklung von Populationen, Abbau von Medikamenten im Körper, usw..

4. Umkehrfunktion: Man untersucht y = loga(x), wobei y die Zahl ist, mit der man a potenzierenmuss, um x zu erhalten. Dabei ist die zentrale Eigenschaft:pota (loga(a)) = a(loga(a)) = x und loga (pota(a)) = loga (ax) = x.

5. Man untersucht die Ableitung von pota(x) und stellt fest, dass gilt pot′a(x) = ka · pota(x) füreine geeignete Zahl ka

6. Man bezeichnet die Zahl a, für die ka = 1 ist, als e und betrachtet nun exp(x) = pote(x) = ex

und ihre Umkehrfunktion ln(x) = loge(x)

7. Man stellt fest, dass ka = ln(a) ist.Künftig untersucht man nur noch die Funktionen exp (k · x) = exp (ln(a) · x)

7.1 Zentrale Eigenschaften der Exponentialfunktionen

Wir stellen im Folgenden die wichtigste Eigenschaft der Wachstumsfunktionen an den Anfang. Ausdieser Eigenschaft kann man alles andere ableiten.

Eine Exponentialfunktion ist eine Funktion mit folgender Eigenschaft:

Wenn sich der x-Wert um s vergrößert, so wird der Funktionswert f(x) mit m > 0 (undm 6= 1) multipliziert.2 Es gibt also zu jeder Zahl s eine Zahl ms, so dass unabhängigvon x gilt:

f(x+ s) = f(x) ·ms (51)

2Bei der Abbildung wird also aus einer Addition eine Multiplikation - bei der Umkehrfunktion wird deshalb aus einerMultiplikation eine Addition. Dies war – vor der Einführung des Taschenrechners in der Schule – die Grundlage derLogarithmentafel und des Rechenschiebers. Man konnte damit das Multiplizieren auf das Addieren zurückführen.



Wenn s = 1 ist, so schreibt man für ms = m1 meist a – dies ist der Normalfall in derSchule.

f(x+ 1) = f(x) · a (52)

In der Physik, vor allem bei der Radioaktivität, taucht noch der Begriff der Halbwerts-zeit T auf, das ist das s = T , für s = 1

2 ist.

f(x+ T ) = f(x) · 12 (53)

Ist a > 1, so ist die Funktion streng monoton steigend, ist a < 1, so ist sie streng monoton fallend.

Abbildung 1: Graph mit a = 1,1

Abbildung 2: Graph mit a = 0,9

Oft ist das Argument, d.h. der x-Wert, eine Zeitgröße, die man als t schreibt, und die Ordinate,der y-Wert, ein Bestand, der sich zeitlich ändert, z.B. die Anzahl der Individuen eines Lebewesens,die Anzahl der radioaktiven Atome, die noch nicht zerfallen sind, oder einfach eine Geldmenge, dieauf einer Bank angelegt, oder von ihr geliehen wurde.

Beispiel 1: ZinseszinsrechnungLegt man ein Kapital K an, so erhält man nach jedem Jahr p% Zinsen. Das Kapital nach einemJahr beträgt also Kneu = K + p% · K = K

(1 + p

100

). D.h. wenn sich die Zeit um eine Einheit

erhöht, wird das Kapital mit der Zahl a =(

1 + p

100

)multipliziert.

Beispiel 2: Radioaktiver ZerfallJod-131 hat eine Halbwertszeit von 8 Tagen. Das heißt, nach 8 Tagen ist noch die Hälfte des Stoffesvorhanden. Wenn sich die Zeit t um 8 vergrößert, wird der Bestand an Jod somit mit dem Faktorm8 = 1

2 multipliziert.

Beispiel 3: MesswerteIn der Praxis ist diese wichtige Eigenschaft oft nur näherungsweise erfüllt – einfach weil es Messfehler



gibt, oder weil das Gesetz nur näherungsweise gilt, z.B. bei Entwicklungen in der Biologie oder derGesellschaft. Die Messwerte werden dann oft in Form einer Tabelle gesammelt. Z.B sind in derfolgenden Tabelle die Aussteller einer jährlichen Messe aufgetragen.

Jahr 2002 2003 2004 2005 2006 2007Änderung +1 +1 +1 +1 +1

Aussteller 236 256 291 372 454 560Änderung ·256

236 = ·1,09 ·291256 = ·1,14 ·372

291 = ·1,28 ·454372 = ·1,22 ·560

454 = ·1,23

Der Tabelle entnimmt man, dass die Aussteller von Jahr zu Jahr um etwa 10% bis 20% Jahrzunehmen. Mathematischer formuliert: Wenn bei der Jahreszahl 1 addiert wird, wo wird die Anzahlder Aussteller im Durchschnitt mit 1,19 (Mittelwert der obigen Änderungswerte) multipliziert.Ordnen wir der Jahreszahl die Aussteller zu, so stellen wir fest, dass die Funktionswerte mit etwaderselben Zahl multipliziert werden, wenn sich die Zeit um eine Einheit vergrößert.

Der Zusammenhang der Jahre und der Aussteller, lässt sich also durch eine Exponentialfunktionbeschreiben.

Beispiel 4: PotenzfunktionDie Funktion pota(x) = ax ist eine Exponentialfunktion, da gilt ax+s = ax · as = pota(x) ·ms füralle x und s. Es gilt ms = as.Man kann zeigen, dass alle Potenzfunktionen von dieser Gestalt sind.

Bemerkung 1: Wie wir gerade beim Beispiel Zinseszinsrechnung gesehen haben, kannman den Faktor ms (mit dem der Funktionswert multipliziert wird, um den Wert sEinheiten später zu erhalten) als ms = 1 + ps% schreiben. Ist ms < 1, so ist ps < 0 undman schreibt dann auch oft ms = 1− ps% (– Jetzt ist ps wieder positiv!)

Damit gilt f(x+ s) = f(x) ·ms = f(x) · (1 + ps%) = f(x) + ps% · f(x) oder

f(x+ s)− f(x) = ps% · f(x) (54)

Das heißt, die Änderung des Funktionswerte bei der Schrittweite s, d.h. ∆f(x) =f(x + s) − f(x) ist ein Vielfaches des Funktionswertes. Allerdings hängt der Propor-tionalitätsfaktor ps% von der Schrittweite s ab (und die Abhängigkeit ist nicht einmallinear!) – was natürlich keinesfalls schön ist. Siehe auch (58) auf S. 58

Bemerkung 2: Wenn sich die Schrittweite s verdoppelt, so muss der Faktor, mitdem der Funktionswert multipliziert wird, quadriert werden, d.h. m2s = m2

s. Wenndie Schrittweite s halbiert wird, so ist der dazugehörige Faktor die Wurzel aus demFaktor ms, d.h. m 1

2 ·s= √ms.

Allgemein gilt für jede Zahl r (etwa wie gerade beschreiben für r = 2 oder r = 12 ):

f(x+ rs) = f(x) ·mrs (55)

Damit folgt insbesondere, dass die Zinseszinsrechnung keinesfalls linear ist, d.h.der Zinssatz bei Verdopplung oder Halbierung der Einheit (= der Zeitangabe im Defini-tionsbereich der Funktion) ist nicht das Doppelte bzw. die Hälfte des alten Zinssatzes.



Beispielsweise ist der Zinssatz p5 für 5 Jahre nicht das Fünffache des Zinssatzes p für ein

Jahr. Mit a = 1 + p

100 gilt: a5 = a5 und damit p5 = a5 − 1 = a5 − 1 =(

1 + p

100

)5− 1.

Setzten wir p% = 7% so gilt p5 =(

1 + 7100

)5−1 = 40,26% also nicht nur 5∗7% = 35%

– es kommen ja noch Zinseszinsen dazu.

Damit ein Kapital pro Jahr mit p% = 7% verzinst wird, muss pro Monat ein Zinssatz

von pMonat =(

1 + p

100

) 112 − 1 = 12

√(1 + p

100

)− 1 = 12

√1,07 − 1 = 0,565% verzinst

werden, nicht mit 712% = 0 583%

Nochmals: : Der Prozentwert, um den ein Bestand pro Zeiteinheit zunimmt,hängt also nicht linear vom Zeitschritt ab: Wird der Zeitschritt von 1 Monat aufein Jahr vergrößert, so wird aus der prozentualen Zunahme in einem Monat um 0,565%die prozentuale Zunahme in einem Jahr um 7% > 12 ·0,565% = 6,78% – In einem Jahr,d.h. in 12 Monaten, kommen ja noch die Zinseszinsen der ersten Monate hinzu.

Bemerkung 3: Wenn wir wissen, mit welchem Faktor ms eine Exponentialfunktionmultipliziert wird, wenn s Einheiten vergangen sind, so kennen wir auch den Faktora = m1 mit dem die Funktion pro Einheitsschrittweite multipliziert wird:

a = m1s = s√m (56)

Der Zusammenhang wird also nicht durch eine Gerade, sondern durch „die Wurzel“beschrieben.

Bemerkung 4: Oft sagt man statt Exponentialfunktion auch Wachstumsfunktion, weilman mit dieser Funktion einfaches exponentielles (nichtlineares) Wachstum model-lieren kann (zumindest in einem gewissen zeitlichen Bereich). Man redet bei solchenModellierungen oft von exponentiellem Wachstum (oder Zerfall, falls a < 1).

Für eine Funktion mit linearem Wachstum gilt: Wenn der x-Wert um s Einheitenvergrößert wird, so wird der y-Wert um m · s Einheiten vergrößert. Eine Funktion mitdieser Eigenschaft ist aber eine lineare Funktion, eine Funktion deren Graph eine Geradeist. Die definierende Eigenschaft ist ja gerade das, was man beim Graphen auch unterdem Begriff Steigungsdreieck lernt. Geht die Funktion noch durch den Ursprung, sosind die beiden Größen x und y proportional (Man kann Änderungen mit dem Dreisatzberechnen).



7.2 Funktion und Graph einer Exponentialfunktion

Die Darstellung einer Exponentialfunktion ist

f : Zeit in festen Einheiten −→ Bestand in Einheiten (57)

t 7−→ B0 ·(

1 + p

100

)t= B0 · at

= B0 · ek·t

Dabei ist p% = p100 der prozentuale Zuwachs pro Zeiteinheit, die Zahl a =

(1 + p

100)ist der Faktor

m1, mit dem der Funktionswert zu multiplizieren ist, wenn die Schrittweite s = 1 ist.

Es gilt k = ln(a) = ln(1 + p

100)(siehe unten 7.4 S. 61). Wenn sich die Zeit um s Einheiten

vergrößert, so wird der Funktionswert f(x) mit ms = as > 0 multipliziert:f(x + s) = f(x) ·ms =f(x) · as.

Bemerkung 5: Bezeichnen wir den Prozentsatz, um den eine Größe bei einer Schritt-weite von s Einheiten zunimmt, mit ps% (laut Bem. 2 oben hängt der Prozentsatz nicht

linear von s ab!), so hat der Grenzwert ps%s

für s gegen 0 (also s ganz klein) sehr schöneEigenschaften: Der Grenzwert ist die Zahl k = ln(a) = ln (1 + p%). Es gilt nämlich:

f(x+ s)− f(x) = ps% · f(x) (siehe Bem. 1 auf S. 56)f(x+ s)− f(x)

s= ps%

s· f(x) // außerdem gilt: (58)

f ′(x) = k · f(x) // Damit ergibt sich aufgrund der linken Seiten:(59)ps%s

≈ k // falls s klein genug ist, immer kleiner wird (60)

Anschaulich gesprochen ist die linke Seite von (58), der Differenzenquotient, die Sekan-tensteigung durch die Punkte x und x + s. Die linke Seite von (59) ist die Tangenten-steigung im Punkt x. Der Grenzwert der Sekantensteigung ist die Tangentensteigung.Also ist der Grenzwert von (58) für s→ 0 die rechte Seite von (59).k = ln(1 + p%) = ln(a) ist also die momentane Zunahme pro Zeiteinheit. DieGleichung (59) ist das was man Differentialgleichung nennt, eine Gleichung, bei der dieUnbekannten keine Zahlen, sondern Funktionen sind, siehe unten.

Beispiel: Wenn a = 1+ 7100 gilt, ist k = ln(1,07) = 0,06766. Wenn wir s = 1

500 wählen,

erhalten wir ps% = 500√

1,07 − 1 = 0,001353 und damit ps%s

= 0,00013531

500= 0,06766,

also die ersten Stellen des Wert von k. Nochmals: Diesen Wert k kann man über denLogarithmus viel einfacher und schneller berechnen als über den Grenzwert.



In der Physik wird dies in der Regel sinnvoll eingesetzt, man argumentiert dort nichtmehr mit relativen Zunahmen bei einem bestimmten Zeitschritt (wie bei der Geldan-lage), sondern mit k, der lokalen relativen Zunahme pro Zeiteinheit – so wie man beiReisen die momentane Geschwindigkeit benutzt und nicht die pro Einheitszeit zurück-gelegten Strecken.

Man geht in der Physik noch einen Schritt weiter: Man stellt Differentialgleichungenauf, die k enthalten (siehe Gleichung (59)) und löst diese. Wir werden die ersten Ansätzenoch kennen lernen.

Eine Exponentialfunktion wächst sehr schnell, schneller als jede ganz-rationale Funktion, jedes Po-lynom noch so großer Ordnung.Der Graph der wichtigsten Exponentialfunktion (siehe unten 7.4 S. 61 e = 2,71828... ), der soge-nannten e-Funktion exp(x) = ex ist

Alle anderen Wachstumsfunktionen erhält man durch Strecken, Spiegeln und Verschieben.

7.3 Ableitung einer Exponentialfunktion

Wiederholung: Die Ableitung einer beliebigen Funktion f im Punkt x ist definiert als der Grenz-wert h → 0 der Folge der Sekantensteigungen m(h) durch die von h abhängigen Punktepaare(x|f(x)) und (x+ h|f(x+ h)). Eine Funktion f hat in x die Ableitung f ′, wenn die Sekantenstei-gungen bei jeder Annäherung von h an 0 gegen denselben Grenzwert konvergieren. Dieser Grenzwertist dann die Ableitung f ′(x).Eine Veranschaulichung des Prozesses, der zur Ableitung gehört:



Ableitung einer Exponentialfunktion: Für f(x) = c · ax gilt:

f ′(x) = limh7→0

f(x+ h)− f(x)h

= c · limh7→0

ax+h − ax

h= c · ax · lim

h7→0

ah − 1h

(61)

Die Steigung der Kurve f(x) = c · ax ist somit proportional zum Funktionswert. Es gibt also eine

Zahl k (nämlich k = limh7→0

ah − 1h

) mit

f ′(x) = (cax)′ = k · cax = k · f(x) (62)

Bemerkung 1: Dies ist eine wichtige Differentialgleichung, d.h. eine Gleichung dieFunktionen und Ableitungen von ihnen enthält. Später lösen wir nicht nur Gleichungen,bei denen die Unbekannten Zahlen sind, sondern auch Gleichungen, deren UnbekannteFunktionen sind. Man kann die Funktionen f(x) genauer eingrenzen, die eine solcheGleichung erfüllten. Man sieht z.b. recht einfach und schnell, dass f(x) keine Geradesein kann, keine Parabel, wenn f die obige Gleichung erfüllen soll.

Bemerkung 2: Im nächsten Kapitel sehen wir, dass gilt k = ln(a).

Die Zahl k = limh7→0

ah − 1h

, der Proportionalitätsfaktor zwischen f(x) und f ′(x) in der Gleichungoben, hängt nur von a ab, d.h. k = k(a). k ist die Ableitung der Wachstumsfunktion im Nullpunkt,d.h. k = f ′(0) denn f(0) = a0 = 1, also ist k = lim

h7→0a0+h−a0

h = f ′(0).

Wir können mit dem GTR die Konstante k für beliebige Zahlen a einer Exponentialfunktion f(x) =ax zumindest näherungsweise bestimmen, z.B. für a = 10. Zum bequemeren Berechnen formen wirden Term, den wir berechnen müssen – nämlich k = ah−1

h – wie folgt um um. Mit h = 1x wird er zu

k = a1x − 1

1x

=(a

1x − 1

)· x

Nun wählen wir x = 10, 100, 1000 oder eine andere große Zahl (dann ist h = 110 bzw. 1

100 oder1

1000). Konkretes Vorgehen beim GTR Casio für a = 10:

Wähle Menü Table [7]Gib den Term ein: (10 ∧ (1/x)-1)*x [EXE]Wähle Range [F5] Start: 500, [EXE] End 10 000, [EXE] , Range 500, [EXE] , [Exit]Table [F6]evtl. Range ändern und weitere Werte berechnen (siehe oben)

Damit erhalten wir für a = 10 die Zahl k ≈ 2,3026 (siehe auch unten (81) S. 65)

Allerdings können wir bei unserem Rechnen keine Strukturen entdecken, die uns die Berechnungvon k erleichtern – und die von uns berechneten Werte sind alle nur Näherungswerte, die für diePraxis sicher hilfreich sind, aber uns kein weiteres Verständnis bringen.

Aber wie oft in der Mathematik kommen wir mit einer geschickten Vorgehensweise, einer pfiffigen,trickreichen Frage weiter: Welche Wachstumsfunktion hat die Proportionalitätskonstantek = lim

h7→0ah−1h = 1? Wir drehen das Problem also um und suchen nicht das k zu einer gegebenen

Wachstumsfunktion, sondern die Wachstumsfunktion, die ein schönes k hat!



7.4 DIE Exponentialfunktion und die Eulersche Zahl e

Die Zahl a, die die Exponentialfunktion f(x) = ax definiert, bei der k = 1 ist — k ist dabei dieProportionalitätskonstante zwischen f(x) und f ′(x), d.h. f ′(x) = k · f(x), siehe Gleichung (62) S.60 — nennen wir nun einfach e, die Eulersche Zahl. Diese Zahl e ist kein Bruch, sondern wie πeine irrationale Zahl. Es gilt e = exp(1) ≈ 2,718281728.

Bisher ist dies nur ein Taschenspielertrick, eine Sache der beschickten Bezeichnung. Aber diese Be-nennung, dieser Wechsel der Blickrichtung, bringt uns ganz entscheidende Vorteile beim Verständnisder Zusammenhänge.

Die Potenzfunktion mit diesem e, bezeichnen wir mit exp. Es ist DIE Exponentialfunktion. Esgilt

exp : R −→ R+ (63)x 7−→ exp(x) = ex

Die Ableitung dieser Funktion exp ist laut Definition von e

exp′(x) = exp(x) (64)

Das bedeutet, die Ableitungsfunktion ist identisch mit der Funktion. Die Funktion exp ist sozusagenein Fixpunkt beim Berechnen der Ableitung.

Wenn wir e näherungsweise berechnen wollen, so ist folgende Überlegung nützlich:Die Zahl e ist die Zahl, für die gilt: (ex)′ = ex

Dann gilt wegen limh7→0

ex+h−ex

h = ex · limh7→0

eh−1h = ex die Aussage:

limh7→0

eh − 1h

= 1 (65)

Also ist für kleine h: eh − 1 ≈ h bzw. eh ≈ 1 + h oder e ≈ (1 + h)1h .

Betrachten wir solche h für die gilt h = 1n

so ist e der Grenzwert einer Folge.

e = limn7→∞

(1 + 1

n

)n(66)

Allerdings ist hier mathematisch Vorsicht geboten. Die einzelnen Rechenschritte müss-ten genauer untersucht werden. Das müssen wir in der Schule aber nicht machen, wirdürfen hier einfach naiv rechnen, auch wenn man bei Grenzwerten das oft nicht tunkann. Die frühen Mathematiker taten das übrigens auch.



Die Folge(1 + 1

n

)nhat Jakob Bernoulli3 im Jahr 1690 erstmals untersucht. Er stammt aus einer

Kaufmannsfamilie und untersuchte die Verzinsung von Kapital.

Wird ein Kapital von 1 e mit 100% pro Jahr verzinst, so hat man nach einem Jahr einKapital von

1 ·(

1 + 100100

)1e = 2 e

Wird das Kapital pro Jahr n mal mit dem Zinssatz von 100n % verzinst, (d.h. wird ihm

zum Beispiel 10 mal im Jahr der Zins von 10% zugeschlagen,) so hat man nach einemJahr ein Kapital von

(1 + 1

n

)n

Bei monatlicher Verzinsung kann man mit dem GTR denWert(1 + 1

12

)12= 2,61304 be-

rechnen (d.h. die Zinsenszinsen betragen 61 Ct!) , bei stündlicher Verzinsung(1 + 1

365·24

)8760=

2,71817. Und bei einer Verzinsung pro Sekunde ergibt sich(1 + 1

365·24·3600

)31536000=

2,71828

Interessant ist auch: Durch Verkleinerung der Zeitschritte kann man die Zinseszinsenzwar vergrößern, aber doch nicht beliebig stark. Es sind stets weniger als 72 Ct beiunserem Kapital.

7.5 Umkehrfunktion der e-Funktion, der natürliche Logarithmus, die ln-Funktion

Die Exponentialfunktionen f(x) = ax sind alle streng monoton steigend für a > 1 und strengmonoton fallend für 0 < a < 1 4. Damit sind sämtliche (echten) Exponentialfunktion (0 < a 6= 1)umkehrbar, da ja alle streng monotonen Funktionen umkehrbar sind. Die Umkehrfunktion derFunktion ax heißt Logarithmus zur Basis a, kurz loga(x) =a log(x) .

Die Umkehrfunktion von exp(x) = ex heißt natürlicher Logarithmus (logarithmus naturalis) ln(x) =log(x) (in der Schule wird üblicherweise ln(x) verwendet, im täglichen Leben später oft nur log(x)).

Der Graph der ln-Funktion ist:

3 Die Familie Bernoulli lebte in Basel und hat um 1700 mehrere berühmte Mathematiker hervorgebracht, vor allemJakob, Johan und Daniel. Einer davon, Johan (1667-1748) war wichtiger Lehrer von Leonhard Euler (1707-1783),der auch mit dessen Sohn Daniel (1700-1782) befreundet war. Eine Nachfahrin dieser Familie, die Fotografin MariaBernoulli (1868-1963) hat den Schriftsteller Hermann Hesse geheiratet.

4Für a = 1 erhält man die Gerade f(x) = 1, die eigentlich keine Exponentialfunktion ist.



Man erhält den Graphen der Umkehrfunktion ln aus dem Graphen der Exponentialfunktion expdurch Spiegeln an der Winkelhalbierenden — die x- und y-Achsen werden dabei vertauscht.

7.6 Differentialgleichungen

Differentialgleichungen sind Gleichungen, deren Lösungen nicht Zahlen sind, sondern Funktionen.Eine Differentialgleichung (DGL) ist formal gesehen eine Gleichung, in der als Variable die Funktionf(x) — meist als y geschrieben —, die Variable x und vor allem die Ableitung f ′(x) = y′ (und evt.auch höhere Ableitungen) vorkommen.

y′(x) = g (x, y(x)) (67)

oder kurzy′ = g(x, y)

Dabei ist y = f(x) eine Funktion, so wie wir sie in der Schule bisher kennengelernt haben: Jeder Zahlwird eine andere Zahl zugeordnet. Das (abstrakte) Ding, das die Zuordnung durchführt, bewirkt,ist die Funktion f.

In dem Ausdruck y′ = g(x, y) ist g eine Funktion, die einer Funktion und einer Zahl eine Funktionzuordnet. In der Mathematik ist eine Funktion generell etwas, das bestimmen, klar bekanntenDingen (aus einer Definitionsmenge) andere Dinge aus einer Wertemenge zuordnet. Die Elemente,denen etwas zugeordnet wird, können dabei Zahlen, Objekte der Wirklichkeit, Funktionen oderbeliebige andere Dinge sein.

Die oben angegebenen Differentialgleichung (1. Ordnung) liefert eine Bedingung an eine Funktion.Die Funktion y, die wir suchen, deren Existenz wir gegebenenfalls annehmen, erfüllt die durchdie Funktion g oder die DGL beschriebene Eigenschaft. So wie Gleichungen (z.B. quadratischeGleichungen) keine eindeutige Lösung liefern müssen, so gibt es normalerweise keine eindeutigbestimmten Funktionen, die Lösungen der DGL sind. Es gibt sogar viele (wichtige) DGLen, die keinealgebraische Lösung haben, deren Lösungsfunktion nur näherungsweise (numerisch) beschriebenwerden kann. Man hat dafür viele Näherungsverfahren entwickelt.



Eine Lösung einer DGL ist eine Funktion, die die durch die DGL geforderten Bedingungen erfüllt.

Verallgemeinerung: Eine Gleichung der Form

y(n) = g(x, y, y′, ..., y(n− 1)

)(68)

nennt man eine gewöhnliche Differentialgleichung n-ter Ordnung. Die Funktion ordnet dabeiZahlen und n Funktionen eine andere Funktion zu. Die n-te Ableitung der gesuchten Funktion y istdabei die zugeordnete Funktion g(...). Die DGL verknüpft dabei die gesuchte Funktion mit ihrenAbleitungen.

Ein sehr wichtiges (einfaches) Beispiel ist

y′ = k · y (69)

Wir wissen inzwischen, dass die Funktion y = f(x) = ek·x Lösung ist: die Exponentialfunktion istja genau diese Wachstum die diese Eigenschaft habe, e ist genau die Zahl mit dieser Eigenschaft(wobei wir nie gezeigt haben, dass es eine solche Zahl gibt und wie man sie berechnen kann). Aberauch y = f(x) = c · ek·x (mit beliebigem c) ist Lösung. Dies kann man durch Einsetzen leichtverifizieren: Die linke Seite der DGL (69) ist y′ = f ′(x) = c · ek·x · k. Dieser Ausdruck ist identischmit der rechten Seite der Gleichung.

Wenn von der durch die oben DGL beschriebene Funktion f(x) ein Wert (ein sogenannte Anfangs-wert) bekannt ist, etwa f(0) = a, so kann man zeigen, dass die Lösung eindeutig ist. Man redetdann von einer DGL mit Anfangsbedingung.

7.7 Zusammenstellung der wichtigsten Eigenschaften der e-Funktion

1. Ableiten ändert die Funktion exp nicht, die e-Funktion exp ist ein Fixpunkt der OperationAbleiten

exp′(x) = (ex)′ = ex = exp(x) (70)

2. Damit ist auch dank dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung das Integrierenkein Problem:∫ l

kexp(x) dx = [exp(x)]lk = exp(l)− exp(k) (71)∫ l

kexp(a · x+ b) dx =

[1a

exp(a · x+ b)]lk

= 1a

exp(a · l + b)− 1a

exp(a · k + b) (72)

Die letzte Gleichung sollte man sich merken. Auch hier gilt wieder: Man zeigt die Richtigkeitder Stammfunktion, indem man diese (mit der Kettenregel) ableitet.

3. Es gelten die beiden sehr wichtigen Verkettungen – wenn man bei irgendeiner Aufgabe keineLösung findet, sollte man versuchen, eine der beiden Gleichungen anzuwenden

ln(exp(x)) = x (73)exp(ln(x)) = x (74)



4. Die Ableitung der Umkehrfunktion ln(x) bekommen wir mit einem Trick. Wir nutzendie Gleichung (74) aus. Wir bilden auf beiden Seiten die Ableitung::

1 = (x)′ = exp(ln(x))′ = exp′(ln(x)) · ln(x) // Kettenregel= exp(ln(x)) · ln(x)= x · ln(x) // oder nach Division durch x

1x

= ln′(x) (75)

5. Damit kennen wir nun endlich die Stammfunktion der Hyperbelfunktion f(x) = 1x∫ l

k

1xdx = [ln(x)]lk = ln(k)− ln(l) (76)

Es ist schon überraschend, dass das Integrieren der einfachen gebrochen-rationalen Funktionf(x) = 1

x die Umkehrfunktion der e-Funktion ergibt!

6. Die Funktion ln ist nicht so einfach integrierbar. Wenn man das Ergebnis, die rechte Seite,ableitet, erkennt man aber ∫ l

kln(x) dx = [x · ln(x)− x]lk (77)

7. Wichtige Funktionswerte sind

exp(0) = 1 und ln(1) = 0 (78)exp′(0) = 1 und exp(1) = exp′(1) = e

8. Jede Exponentialfunktion ist nur eine leichte Variation der e-Funktion. Es gilt

ax = exp(ln(a))x = eln(a)·x (79)

9. Die Kettenregel liefert die Ableitung einer beliebigen Exponentialfunktion

(ax)′ =(eln(a)·x

)′= ln(a) · eln(a)·x = ln(a) · ax. (80)

Damit ist die Proportionalitätskonstante k zwischen f ′(x) und f(x) = ax (siehe Gl. (62) aufSeite 60) einfach

k = ln(a) (81)

10. Die Stammfunktion einer beliebigen Exponentialfunktion ist∫ lk a

x dx =∫ lk e

ln(a)·x dx = (82)[1

ln(a) exp(ln(a) · x)]ba

=[

1ln(a) · a

x]lk

= 1ln(a)

(ak − al

)



11. Die e-Funktion "gewinnt" bei Grenzwertüberlegung von Produkten und Quotienten gegen allePolynome. Es gilt etwa

limx 7→∞

xn · e−x = limx 7→∞

e−x = 0 (83)

Dies folgt mit der Regel von De L’Hospital (siehe xxx), die besagt, dass eine Funktion f(x) =u(x)v(x) , die in a bzw. nahe a folgende vier Eigenschaften hat (a darf auch ∞ sein)

• limx7→a

u(x) = limx 7→a

v(x) = 0(Dies gilt, wenn und v stetig sind und u(a) = v(a) = 0)

• u und v sind nahe a differenzierbar

• v′(a) 6= 0

• limx7→a

u′(x)v′(x) = g

(d.h. der Grenzwert existiert und ist gleich g)

folgende Eigenschaft hat:

limx 7→a

f(x) = limx 7→a

u(x)v(x) = lim

x 7→au′(x)v′(x) = g (84)

Damit ergibt sich für f(x) = xn · e−x = xn

ex

limx7→∞

f(x) = limx 7→∞

xn

ex = limx 7→∞

n·xn−1

ex = . . . = limx 7→∞

n·(n−1)·...·1ex = 0

12. Die ln-Funktion verliert bei Grenzwertüberlegung bei Produkten und Quotienten gegen allePolynome. Es gilt etwa

limx 7→0

xn · ln(x) = 0 (85)

Mit f(x) = xn · ln(x) = −−ln(x)x−n gilt

limx7→0

f(x) = limx 7→0−−ln(x)

x−n = limx 7→0− − 1

x−n·x−n−1 = lim

x 7→0−xn

n = 0



7.8 Rezepte Wachstum, Rechenfähigkeiten fürs Abitur

In der Schule wird zwischen vier Wachstumsarten unterschieden.

1. Lineares Wachstum, d.h. der Bestand ändert sich linear in Abhängigkeit der Zeit. DiesesWachstum wird hier nicht weiter beachtet, ist auch nicht Bestandteil des Abiturs zum ThemaWachstum. Es war nur in der Mittelstufe ein Mittel, die anderen Arten abgrenzend besser zuverstehen.

2. Exponentielles Wachstum oder einfach Wachstum. Dabei kann der Bestand im Lauf derZeit zunehmen oder abnehmen (negatives Wachstum).Beispiele: Zinseszinsrechnung, Bevölkerungswachstum, Radioaktivität, Helligkeit in Abhän-gigkeit der Wassertiefe, Luftdruck in Abhängigkeit der Höhe, ...Ein zunehmendes exponentielles Wachstum kann es eigentlich nur näherungsweise in endli-chen Zeiträumen geben.

3. Beschränktes Wachstum, d.h. der Bestand nähert sich im Lauf der Zeit einer Grenze an(von oben oder von unten).Beispiele: Temperatur eines heißen oder kalten Getränkes in einem Raum, Längenwachstumeines Baumes, Wachstum von Bakterien in einer Petrischale, Vermehrung von Fischen ineinem Teich,...

4. Logistisches Wachstum, d.h. anfangs nimmt etwas näherungsweise exponentiell zu, dann– nach einer gewissen Zeit – nur noch beschränkt.Beispiele: Sehr viele biologische Wachstumsvorgänge – eigentlich alle! – sind in Wirklichkeitlogistisch. Das logistische Wachstum wird dann verwendet, wenn die Modellierung eines Ver-haltens weder durch exponentielles noch durch beschränktes Wachstum hinreichend genaubeschrieben werden kann.

Man sollte sich klar machen, dass nicht jede Funktion, deren Funktionswerte größer werden, wenndie x-Werte wachsen, eine Wachstumsfunktion ist. Solche Funktionen nennt man monoton wach-sende Funktion – falls die Eigenschaft immer gilt, d.h. falls für alle x1 < x2 giltf(x1) 6 f(x2).Ebenso man sollte sich bewusst machen, dass bei einer Wachstumsfunktion die Funktionswerte mitwachsendem x auch abnehmen können (negatives Wachstum), z.B. bei den Wachstumsfunktionendes radioaktiven Zerfalls oder wenn sich ein warmer Gegenstand auf die Umgebungstemperaturabkühlt.

Im folgenden werden die im Umgang mit demWachstum nötigen Fähigkeiten in Form von Rezeptenbeschrieben. Zuerst wird immer ein Beispiel (Aufgabe und Lösung) besprochen und dann wird aufdas dazu nötige Verständnis eingegangen. Es genügt nicht, nur die Beispiele nachrechnen zu können.Man muss auch die theoretischen Überlegungen nachvollziehen und freier anwenden können.



7.8.1 Rezept 1: Exponentielles Wachstum erkennen

Im Abi geforderte Fähigkeit 1: Entscheide anhand einer Tabelle oder einiger Wertepaare, obein exponentielles Wachstum vorliegt.

Beispielsaufgabe zu 1: Betrachte die Tabelle, die die Anzahl der Aussteller einer jährlichen Messebeschreibt. Die ursprüngliche Tabelle besteht aus den Zeilen 1 (Jahr) und 4 (Aussteller).

Jahr 2002 2003 2004 2005 2006 2007Jahre t seit 2002 0 1 2 3 4 5

Differenzen +1 +1 +1 +1 +1Aussteller B(t) 236 256 291 372 454 560

Quotienten a ·256236 = ·1,09 ·291

256 = ·1,14 ·372291 = ·1,28 ·454

372 = ·1,22 ·560454 = ·1,23

Lösung 1: Wir führen eine Zeitvariable ein, die die Anzahl der Jahre angibt, die seit Beginnvergangen sind. Dies ist Zeile 2.

Eine Exponentialfunktion B(t) = c · ek·t liegt dann vor, wenn der Quotient zweier y-Wertenäherungsweise gleich groß ist, falls die Differenz der zugehörigen x-Werte gleich ist. Wirerstellen also die Zeile 3, die die Differenzen der Werte tn+1 − tn enthält. Außerdem erstellen wir

die Zeile 5, die die Quotienten der benachbarten y-Werte enthält, d.h. yn+1yn

= B(tn+1)B(n) .

Die Zahlen in Zeile 3 sind alle 1 und der Quotient in der 5. Zeile ist näherungsweise immer gleichgroß, also wird B(t) immer etwa mit derselben Zahl multipliziert, wenn zum t-Wert 1 addiert wird.Es liegt also eine Wachstumsfunktion vor.Konkret: Nimmt das Ausstellungsjahr um 1 zu, so wird die Zahl der Aussteller immer etwa mit1,19 multipliziert (Mittelwert aller Faktoren).Es gilt also: B(t) = c · at = B(0) · eln(a)·t = 236 · eln(1,19)·t = 236 · e0,174·t

Generelle Vorgehensweise 1: Erweitere die Tabelle durch 2 Zeilen (siehe Beispiel oben, dortsind es die Zeilen 3 und 5) ): Bilde bei den t-Werten die Differenzen und bei den B-Werten dieQuotienten zweier benachbarter Tabellenpaare.

Dann muss gelten: Wird bei den t-Werten 1 addiert, so wird der B-Wert jeweils mit etwa dersel-ben Zahl a multipliziert. (Allgemeiner: Wird zum t-Wert n addiert, so wird der B-Wert mit anmultipliziert.)

Wissen 1: Bei einem exponentiellen Wachstum gilt für die Bestandsfunktion B(t) = c · ek·t:

1. Die Zunahme der Funktionswerte B(t+ 1)−B(t) ist proportional zum Bestand B(t), d.h.B(t+ 1)−B(t) = p% ·B(t)

Dies wurde oben nicht ausgenutzt. Man könnte aber auch damit argumentieren. Man würdedazu eine Zeile einführen, die aus den Werten B(tn+1)−B(tn)

B(tn) besteht. Etwa:256−236

236 = 0,0847 / 291−256256 = 0,137 / 372−291

291 = 0,278 / 454−372372 = 0,220 / 560−454

454 = 0,233.Wir sehen, dass diese Zahlen scheinbar stärker streuen. Deswegen ist die obige Methode"günstiger", auch wenn beide Methoden mathematisch gleichwertig sind. Der Mittelwert von



p% ist, d.h. der mittelwert der gerade berechneten Werte, 19,0% Damit ergibt sich k = ln(a) =ln(1 + p%) = ln(1,19) = 0,174. Dies ist dasselbe k wie oben.

2. Wird zum t-Wert 1 (bzw. n) addiert, so wird der B-Wert mit a (mit an) multipliziert.B(t+ 1) = a ·B(t) = (1 + p%) ·B(t)

3. Ist die Differenz zweier t-Wertepaare gleich groß, so ist der Quotient der zugehörigen B-Wertepaare gleich groß. Zur Differenz n gehört ja der Faktor an.

4. Ist a > 1, so nimmt der Bestand (exponentiell) zu, ist a < 1 nimmt der Bestand (exponentiell)ab.Nochmals: Es gilt k = ln(a) = ln(1 + p%) und wenn p klein ist (etwa ein paar Prozentbeträgt), so ist k ≈ p



7.8.2 Rezept 2: Funktionsgleichung exponentielles Wachstum

Im Abi geforderte Fähigkeit 2: Bestimmte anhand einer Tabelle oder zweier Wertepaare diezugehörige exponentielle Wachstumsfunktion.

Beispielsaufgae zu 2: Wir betrachten die Aufgabe, die durch die Tabelle oben Seite 68 vonBeispiel 1 gegeben ist. Wenn ein (exponentielles) Wachstum vorliegt, so gilt B(t) = c · ek·t = c · at.Wir müssen aufgrund der angegebenen Daten also c und k (bzw. a) bestimmen.

Lösung 2: Es gibt drei Varianten:

1. Lösungsvariante A: Als t-Werte der Funktion wählen wir die Jahre seit 2002. Im Jahr 2002ist also t = 0. Damit gilt c = B(0) = 236.Als Faktor a wählen wir den Mittelwert aller benachbarten Quotienten, es gilt also a = 1,19Die Funktion ist damit

f : Zeit in Jahren seit 2002 −→ Anzahl der Aussteller (86)t 7−→ 236 · 1,19t

= 236 · eln(1,19)·t = 236 · e0,174·t

2. Lösungsvariante B: Wir wählen als Punkte die beiden Wertepaar der Tabelle, die amweitesten auseinander liegen, also P(0/236) und Q(5/560). Da die Funktion B(t) = c · ek·tdurch diese Punkte gehen soll, erhalten wir zwei Gleichungen, die wir paarweise wie folgtumformen:

B0 · ek·0 = 236B0 · ek·5 = 560 // oder:

B0 = 236236 · ek·5 = 560 // nach Kürzen mit 236 und Logarithmieren

B0 = 236

k · 5 = ln

(560236

)= 0,864 // damit ergibt sich

B0 = 236k = 0,173

Die gesuchte Funktion ist also

f : Zeit in Jahren seit 2002 −→ Anzahl der Aussteller (87)t 7−→ 236 · e0,173·t

3. Lösungsvariante C: Die exponentielle Regression mit dem GTR für die Tabellenwerteoben liefert

f : Zeit in Jahren seit 2002 −→ Anzahl der Aussteller (88)t 7−→ 220 · 1,1967t

= 220 · e0,1796·t



Bemerkung: Unten auf Seite 71 steht eine kurze Zusammenfassung, wie dabei der GTR zubenutzen ist.

Generelle Vorgehensweise 2: Es gibt drei Varianten, die bei jeweils unterschiedlichen Aufga-benstellungen sinnvoll sind. Man sollte sie alle anwenden können.

Die durch die unterschiedlichen Verfahren bestimmten Parameter können sich dabei je nach Verfah-ren leicht unterscheiden, da Mittelwerte verwendet werden, verschiedene Punkte und die Regressionim Übrigen nie genau passt, sondern die Wachstumsfunktion bestimmt wird, bei der die Summeder Fehlerquadrate möglichst klein ist.

1. Variante A: Bestimme mittels eines Quotienten zweier Bestandswerte a = B(t+1)B(t) (oder

a = n

√B(t+n)B(t) ) den Parameter k = ln(a) und mit dem Anfangsbestand zum Zeitpunkt t=0

den Parameter c = B(0). Damit ist die zugehörige Funktionsgleichung bestimmt.

Kann man einer Tabelle viele verschiedene Faktoren a entnehmen, so wählt man sinnvol-lerweise den Mittelwert dieser Zahlen. Oder noch besser, man bestimmt mit dem GTR dieRegressionskurve, siehe unten, Punkt 3).

2. Variante B:Da die Funktionsgleichung zwei Parameter, nämlich k und c enthält, benötigtman zwei Punkte, die auf dem Graphen der Funktion liegen. Diese beiden Punkte liefern zweiGleichungen, die man nach den Unbekannten auflöst.Bemerkung: Dieses Verfahren ist sehr universell, man kann dadurch alle Funktionen bestim-men, die einige Parameter enthalten – zumindest näherungsweise, falls die Gleichungen nichtexplizit lösbar sind.

3. Variante C: Man bestimme die Funktion mit dem GTR durch Regression für exponentiellesWachstum, siehe Lambacher-Schweizer [Sch09] S. 203 und die GTR-Hinweise von Klett Nr.735301-2031 und 735301-1831.Das Vorgehen ist: Tabellenwerte eingeben: >Menü Stat >Tabelle eingeben: d.h die t-Wertein List1, die B-Werte in List2 eintragen. (Beachte, dass dabei oft die t-Werte, die Werte, diein List1 eingetragen werden, noch durch Verschieben des Nullpunktes zu berechnen sind.)Werte zur Kontrolle graphisch darstellen >Grph >Gph1Eigentliche Regression durchführen: >Calc >reg >F6 >exp >F1. (Die Zahl r sagt etwas überdie Güte der Regression aus). Evtl noch Copy und dann freie Grafikfunktion wählen.Evtl Punkte und Regressionsgraph gemeinsam zeichnen (>Grph >Gph1 >DefG >Funktionwählen >Draw.Bemerkung: Die Tabellenwerte stimmen normalerweise nur näherungsweise mit den Funkti-onswerten an den jeweiligen Stellen überein.

Wissen 2: Die ausführlich aufgeschriebene Wachstumsfunktion ist

B : Zeit in festen Einheiten −→ Bestand in Einheiten (89)

t 7−→ c ·(

1 + p

100

)t= c · at

= c · ek·t

Die Funktion ist durch die beiden Parameter c und k (oder durch c und p, bzw. c und a) bestimmt



1. p% = p100 ist der prozentuale Zuwachs pro Zeiteinheit,

2. Die Zahl a =(1 + p

100)ist der Faktor a, mit dem der Funktionswert zu multiplizieren ist,

wenn die Schrittweite 4t = 1 ist

3. Es gilt k = ln(a).

4. Außerdem ist c = B0 = B(0) der Bestandswert zum Zeitpunkt t = 0

Nebenbei: Es ist B(t) = B(s) · ek·(t−s) oder B(0) = B(s) · e−ks



7.8.3 Rezept 3: Modellieren eines Wachstumsprozesses

Fähigkeit 3: Modelliere Wachstums- und Zerfallsaufgaben mit exponentiellen Funktionen

Generelle Vorgehensweise 3: Lese die Aufgabe sorgfältig durch. Notiere als erstes, wie dieBestandteile der Funktion aussehen. Was ist der Definitionsbereich? Oft ist es die Zeit (– aberkeinesfalls immer. Denke z.B. an die exponentielle Abnahme des Luftdrucks mit der Höhe überdem Meeresspiegel – hier ist die unabhängige Variable die Höhe in km oder in m) . Was wird einemElement aus dem Definitionsbereich zugeordnet? Was sind die Einheiten?

Der nächste Schritt klärt die Zuordnungsvorschrift. Wir können immer eine Klasse von Funktionenangegeben, bei der dann nur einige Parameter zu bestimmen sind. Dabei muss man normalerweiseauf die Rezepte oben zurückgreifen oder man stellt andere Gleichungen auf, nachdem man dieBedingungen der Textaufgabe genau gelesen und verstanden hat (z.B. wenn die Halbwertszeitgegeben ist.)

Beispiele siehe die Aufgaben unten zum (exponentiellen) Wachstum und zu Zerfallsprozessen.

7.8.4 Rezept 4: Halbwerts- oder Verdopplungszeit

Im Abi geforderte Fähigkeit 4: Bestimmte zu einer gegebenen Wachstumsfunktion die Verdopp-lungszeit TV bzw. die Halbwertszeit TH Bestimme aus der Halbwertszeit oder der Verdopplungszeitdie Wachstumsfunktion.

Beispielsaufgabe 4:a) Bestimme die Verdopplungszeit der Funktion von (88) auf Seite 70, d.h. von B(t) = 220 ·e0,1796·t

b) Wie lautet die Wachstumsfunktion eines radioaktiven Stoffes mit der Halbwertszeit Th = 37min

Lösung 4: zu a)

2 ·B(t) = B(t+ TV )2 · 220 · e0,1796·t = 220 · e0,1796·(t+TV ) = 220 · e0,1796t · e0,1796TV

2 = e0,1796TV

Tv = ln(2)0,1796 = 3,86

Das bedeutet, dass sich die Anzahl der Aussteller etwa alle 4 Jahre verdoppelt.

zu b) Sie B(t) = c · ek·t (mit t in Minuten) die gesuchte Wachstumsfunktion. Dann gilt

B(t) = 2 ·B(t+ TH)12 · c · e

k·t = c · ek·(t+TH) = c · ekt · ekTH

12 = ekTH

TH = ln(0,5TH

= − 237 = 0,0187

Die gesuchte Funktion ist also B(t) = c · e0,0187·t



Generelle Vorgehensweise 4: Sei TV die gesuchte Verdopplungszeit. Dann gilt:

2 ·B(t) = B(t+ TV )2 ·B0 · ek·t = B0 · ek·(t+TV ) = B0 · ekt · ekTV

2 = ekTV

Dabei sind die Parameter B0 und k bekannte Zahlen. Die Gleichung enthält also nur eine Unbe-kannte, nämlich TV . Der Parameter B0 wird dabei gar nicht benötigt. Durch Logarithmieren kannman die letzte Gleichung leicht lösen.Wenn die Halbwertszeit zu bestimmen ist, wird oben nur 2 durch 1

2 ersetzt.Bemerkung: Natürlich kann mit dieser Gleichung auch k bestimmt werden, wenn TV bekannt ist.



7.8.5 Rezept 5: Beschränktes Wachstum erkennen

Im Abi geforderte Fähigkeit 5: Erkenne anhand einer Tabelle oder einiger Wertepaare, ob einbeschränktes Wachstum vorliegt.

Beispielsaufgabe 5: Betrachte die Tabelle, die die bewachsene Fläche in cm2 eines Bakterien-stamms in einer Petrischale der Größe 50 cm2 zeigt.

’Anmerkung: Die ursprüngliche Tabelle besteht nur aus den Zeilen 1 (Tage) und 3 (Fläche). Dieübrigen Zeilen, d.h. die Zeilen 2 und 4 bis 7 der Tabelle sind bei der Lösung zu berechnen.

Tage 3 4 5 6 7 8 9Änderung t +1 +1 +1 +1 +1 +1

Fläche B(t) 17 21 25 28 31 33 35Differenz B(t + 1)− B(t) +4 +4 +3 +3 +2 +2

Manko S-B(t) 33 29 25 22 19 17 15Quotient b der letzten Zeilen

433 = 0,12 4

29 = 0,14 325 = 0,12 3

22 = 0,14 219 = 0,11 2

17 = 0,12Quotient a des Mankos

2933 = 0,88 25

29 = 0,86 2225 = 0,88 19

22 = 0,86 1719 = 0,89 15

17 = 0,88

Lösung 5: Ein beschränktes Wachstum B(t) = S− c · e−k·t liegt dann vor, wenn wir eine Schrankeangeben können, so dass die Zunahme des Bestandes proportional ist zu dem ist, was nochfehlt oder dass das Manko M(t) = S −B(t) ein exponentielles Wachstum ist. Die Funktionswertedes Mankos müssen dabei abnehmen.

Die Schranke S ist normalerweise mehr oder weniger direkt vorgegeben.Bei unserem Beispiel ist die Schranke S die Größe der Petrischale, d.h. S = 50.

Um zu erkennen, ob ein beschränktes Wachstum vorliegt, führen wir bei der Tabelle zusätzlicheZeilen ein.

Bemerkung: Die Zeit ist in der Einheit Tage angegeben. Wenn wir wollen, können wireine “neue Zeit“ wählen, etwa t in Tagen seit dem Tag 3. Hier lohnt sich dieses Vorgehennicht, die Zahlen werden nur unwesentlich kleiner. Oft kann dieser Schritt aber sinnvollsein, siehe das Beispiel von Rezept 1, Seite 68

Zuerst berechnen wir die Werte in Zeile 2, d.h. tn+1 − tn.Dann die Werte in Zeile 4, d.h. B(tn+1) − B(tn). Diese Werte müssen abnehmen, sie sollten sichder Zahl 0 nähern. Diese Werte benötigen wir im Folgenden noch.

Die Werte des Mankos M(t) = S − B(t) schreiben wir in Zeile 5. Diese Werte sollten eigentlichgegen 0 gehen, wir sehen aber, dass das evtl. kaum erkennbar sein kann.

In Zeile 8 stehen nun die Werte B(tn+1)−B(tn)S −B(tn) = Zeile 4

Zeile 5 . Diese Werte müssen näherungsweise

immer gleich groß sein, wenn ein beschränktes Wachstum vorliegt. Es muss gelten, dass dieZunahme proportional zu dem ist, was noch fehlt. Die Werte in dieser Zeile sind Nähe-rungswerte dieser Proportionalitätskonstante, die wir mit b bezeichnen.



Zusätzlich wurde in der Tabelle die Zeile 7 bestimmt, die zeigt, dass das Manko ein exponentiellesWachstum ist, siehe unten, Wissen 4 Punkt 2). Dies wird für die Regressionsberechnung des MankosM(t) (= S −B(t)), und damit zur Bestimmung von B(t) = S −M(t) benötigt, siehe unten.Man erkennt dabei auch, dass wirklich a = 1− b ist (siehe unten Wissen 5, Punkt 4)).

Die Zahl a = 1− b ist der Proportionalitätsfaktor der Mankofunktion, also M(t) = c · eln(a)·t.Also gilt B(t) = S −M(t) = S − c · eln(1−b)·t = S − c · eln(0 87)·t = 50− c · e−0,14·t

Den Parameter c bestimmen wir mithilfe eines Punktes in der Tabelle. Wählen wir z.B. (3/17), sogilt B(3) = 17 oder 50− c · e−0,14·3 = 17. Lösen wir diese Gleichung nach c, so erhalten wir c = 50,2Allerdings kann c nie größer als das Anfangsmanko sein, also bei unserer Petrischale höchstens 50.

Damit ist die Funktionsgleichung der beschränkten Funktion B(t) = 50− 50 · e−0,14·t

Bemerkung: Ist der Bestand zum Zeitpunkt 0 gegeben, etwa = B0, so gilt c = M(0) = (S −B(0)).c ist also das Anfangsmanko.

Generelle Vorgehensweise 5: Erstelle in der Tabelle unten zusätzlich einige Zeilen:Zeile 4: Betrachte die B(t)-Werte bei denen sich die t-Werte um 1 unterscheiden und berechne ihreDifferenz.Zeile 5: Bestimme die jeweiligen Mankos, d.h. die S −B(t)–Werte.Zeile 6: Berechne nun die Quotienten der beiden zuletzt berechneten Zeilen 4 und 5.Kurz: Überprüfe: Wird bei den t-Werten 1 addiert, so ist der Quotient aus Differenz der zugehörigenB-Werte durch das Manko immer gleich groß.

Wissen 5: Bei beschränktem Wachstum B(t) = S − c · e−k·t gilt:

1. Es gibt eine Schranke S, so dass das Manko M(t) = S − B(t) ein exponentielles Wachstummit a < 1 ist, d.h. das Manko nimmt exponentiell ab: M(t+ 1) = a ·M(t)

2. Wegen des exponentiellen Wachstums von M(t) gilt also S −B(t+ 1) = a (S −B(t)) oder:S −B(t+ 1)S −B(t) = a ist stets gleich groß.

3. Die Zunahme von B ist proportional zu dem ist, was noch bis zur Schranke S fehlt:B(t+ 1)−B(t) = b · (S −B(t)) = (1− a) · (S −B(t))Ableitung und Verallgemeinerung hierfür siehe5.

4. Liegt also ein beschränktes Wachstum vor, so müssen die folgenden Quotienten alle etwagleich groß sein:

Q(t) = B(t+ 1)−B(t)S −B(t) = b = 1− a

Nebenbei: Wird zum t-Wert n addiert, so wird der B-Wert mit bn = 1− an multi-pliziert.

5 Aus M(t + n) = an · M(t) folgt S − B(t + n) = an (S − B(t)) oder B(t + n) = S − an (S − B(t)). Damit ergibtsich B(t + n) − B(t) = S − an (S − B(t)) − B(t) = (1 − an) · (S − B(t))



5. Bemerkung: Wenn a kleiner 1 ist, so ist k′ = ln(a) < 0 Setzt man nun k = −k′ = −ln(a) soist k positiv. Deshalb schreibt man für die Funktionsgleichung des beschränkten Wachstumsnormalerweise B(x) = S − c · e−k·t und nicht B(t) = S − c · ek′·t (Der Unterschied ist alleinein Minuszeichen in der e-Funktion!)Damit gilt für den Parameter k des beschränkten Wachstums k = −ln(a) = −ln(1−b), wobeia und b wie oben definiert sind.



7.8.6 Rezept 6: Funktionsgleichung beschränktes Wachstum

Im Abi geforderte Fähigkeit 6: Bestimmte z.B. anhand einer Tabelle aus mindestens 3 Wer-tepaaren oder aufgrund zweier Wertepaare und der Schranke S die zugehörige beschränkte Wachs-tumsfunktion.

Beispielsaufgabe zu 6: Bestimme die Wachstumsfunktion, die die Daten der Tabelle von Beispiel5, Seite 75 modelliert. Dabei sie zusätzlich bekannt, dass B(0) = 1 gilt (dann müssen wir nichtimmer mit einer Gleichung c bestimmen, sondern können c sofort angeben c = S −B(0)). Lösung6: Es gibt drei Verfahren, die leicht unterschiedliche Lösungen liefern.

1. Lösungsvariante A: Die Schranke S ist angegebenen, es gilt S = 50. Als t-Werte derFunktion wählen wir die Tage seit Beginn des Ansetzens der Probe.Der Faktor a ist der Mittelwert aller benachbarten Quotienten M(t+ 1)

M(t) der Mankofunktion

M(t) = S−B(t) In der Tabelle oben stehen die Quotienten in Zeile 7. Es gilt also a = 0 865.Mit diesem a berechnen wir k = −k′ = −ln(a) = 0 145. Da c = S −B(0) = 50− 1 = 49 gilt,ergibt sich für die Funktion Die Funktion ist damit

B : Zeit in Tagen −→ bewachsene Fläche in cm2

t 7−→ 50− 49 · e−0,145·t

2. Lösungsvariante B: Die Schranke ist S = 50. Wir wählen zum Bestimmen der Parametervon B(t) = S − c · e−k·t als Punkte die beiden Wertepaare der Tabelle, die am weitestenauseinander liegen, also P(0/1) und Q(9/35). Da die Funktion durch diese Punkte gehen soll,erhalten wir zwei Gleichungen, die wir paarweise wie folgt umformen:

50− c · e−k·0 = 150− c · e−k·9 = 35 // oder:

c = 4949 · e−k·9 = 15 // nach Kürzen mit 49 und Logarithmieren

c = 49−k · 9 = ln

(1549

)= −1,184 // damit ergibt sich

c = 49k = 0,132

Die gesuchte Funktion ist also

B : Zeit in Tagen −→ bewachsene Fläche in cm2

t 7−→ 50− 49 · e−0,132·t

3. Lösungsvariante C: Die exponentielle Regression mit dem GTR für die Tabellenwerte



der Mankofunktion oben liefert M(t) = 48,9 · e−0,132·t. Damit ergibt sich für die Bestands-funktion des beschränkten Wachstums B(t) = S −M(t)

B : Zeit in Tagen seit Beginn −→ Bewachsene Fläche in cm2 (90)t 7−→ 50− 48 9 · e−0,132·t

(91)

Generelle Vorgehensweise 6: Es gibt hierbei drei Varianten, die bei unterschiedlichen Aufgabensinnvoll sind. Man sollte sie alle anwenden können.

1. Variante A: Normalerweise ist S direkt gegeben oder oder kann der Aufgabenstellung ent-nommen werden. Falls dies nicht der Fall ist, sollte man S aufgrund der Tabellenwerte (evtldurch Zeichnen der Werte mit dem GTR) schätzen.Bestimme nun mittels eines Quotienten zweier Bestandswerte a = S−B(t+1)

S−B(t) (oder a =n

√S−B(t+n)S−B(t) ) den Parameter k = −k′ = −ln(a) und mit dem Anfangsbestand zum Zeitpunkt

t=0 den Parameter c = S −B(0). Damit ist die zugehörige Funktionsgleichung bestimmt.

Kann man der Tabelle viele verschiedene Faktoren a entnehmen, so wählt man sinnvoller-weise den Mittelwert dieser Zahlen.

2. Variante B: Da die Funktionsgleichung B(t) = S − c · e−k·t enthält drei Parameter, nämlichS, k und c enthält, benötigt man drei Punkte, die auf der Funktion liegen. Ist S bekannt,so genügen noch zwei weitere Punkte. Diese Punkte liefern Gleichungen, die man nach denUnbekannten auflöst.

3. Variante C: Man bestimmt die Mankowerte M(t) = S − B(t) und mit dem GTR dieRegressionsfunktion für das exponentielle Wachstum der Mankowerte.Vorgehen kurz zusammengefasst: Tabellenwerte eingeben: >Menü Stat >Tabelle eingeben:d.h die t-Werte in List1, die M-Werte (S-B(t))in List2 eintragen.Werte graphisch darstellen >Grph >Gph1Eigentliche Regression durchführen: >Calc >reg >F6 >exp >f1. (Die Zahl r sagt etwas überdie Güte der Regression aus) Evtl Copy und dann freie Grafikfunktion wählen.

Die Bestandsfunktion ist nun B(t) = S −M(t)

Wissen 6: Bei einem beschränkten Wachstum gilt für die Bestandsfunktion B(t):

B : Zeit in festen Einheiten −→ Bestand in Einheiten (92)t 7−→ S − c · e−k·t

Die Funktion ist durch drei Parameter bestimmt: S, c und k.

1. S ist die Schranke, d.h. die Zahl, der sich der Bestand immer mehr annähert. Diese Zahlist oft angegeben. Wenn nicht, kann es schwierig sein, sie aufgrund von Tabellenwerten zubestimmen.

2. Die Zahl a = M(t+ 1)M(t) ist der Quotient zweier Mankowerte M(t) = S − B(t), die einen

Zeitschritt auseinander sind.



3. Es gilt k = −ln(a).

4. Außerdem ist c = M0 = M(0) = S −B(0) das Anfangsmanko



7.8.7 Rezept Differentialgleichungen Wachstum 7

Im Abi geforderte Fähigkeit 7: Nutze den Zusammenhang zwischen Differentialgleichungenund Funktionsgleichungen, um entwedera) mit einer Differentialgleichung eine Wachstumsfunktion zu erstellen oderb) zu einer gegebenen Funktion die zugehörige DGL anzugeben.Interpretiere die Differentialgleichung.

Beispielsaufgabe 7:a) Bestimme die Lösung der Differentialgleichung y′ = 80− 0,02y – oder gleichwertig: Gesucht istB(t) mit B′(t) = 80− 0,02 ·B(t).Außerdem soll die Anfangsbedingung gelten, dass der Bestand an der Stelle t = 3 den Wert B(3) =1200 annimmt.b) Ein Bestand von 3400 Einheiten soll jedes Jahr um 5% zunehmen. Bestimme die zugehörigeDifferentialgleichung.

Lösung 7:zu a) Wir wissen, dass eine Differentialgleichung y′ = k · (S − y) die Lösung f(t) = S − c · e−kt hat.Wir formen die obige Gleichung zuerst so um, dass sie diese Form hat:

y′ = 80− 0,02y = 0,02 · (4000− y)

Jetzt erkennen wir, dass k = 0,02 und S = 800,02 = 4000 ist. Also lautet unsere Wachstumsfunktion

B(t) = S − c · e−kt = 4000− c · e−0,02·t

Zum Parameter c: Sei c so, dass B(3) = 1200 ist, dann gilt

4000− c · e−0,02·3 = 1200c · e−0,06 = 2800

c = 2800e+0,06 = 2973

Also lautet die gesuchte Wachstumsfunktion B(t) = 4000− 2973 · e−0,02·t

Die Bedeutung der DGL ist z.B.: Ein Bestand vermehrt sich pro Zeiteinheit um 80Einheiten. Es fließen jedoch zusätzlich pro Zeiteinheit 2% des Bestandes ab.

zu b) Die Gleichung der Wachstumsfunktion lautet

B(t) = c · (1 + p%)t = 3400 · (1,05)t = 3400 · eln(1,05)·t = 3400 · e0,0488·t

Damit ist k = 0,0488 und die zugehörige DGL y′ = k · y = 0,0488 · y. Die momentan e Zuwachsrateist also 0,0488 = 4,88% (des Bestandes).

Falls die Wachstumsfunktion jedes Jahr um 100% zunimmt, so ist die zugehörige Wachs-tumsfunktion B(t) = c · eln(2)·t = c · e0,693·t. Die momentane Zuwachsrate ist alsok = 69,3%

Nimmt die Wachstumsfunktion um e−1 = 171,8% zu, so ist die zugehörige Wachstums-funtktion B(t) = c · eln(e)·t = c · e1·t. Die momentane Zuwachsrate ist also k = 100%,



Merke: Ein Funktion, die eine momentane Wachstumsrate von 100% hat, nimmt ineinem Jahr auf das e-fache zu. Wir haben die Funktion ex(x)p ja gerade so bestimmt:Die exp-Funktion ist die Funktion, deren Ableitung genau so groß ist wie die Funktionselbst, d.h. die Proportionalitätskonstante zwischen exp(x) und exp’(x) ist k=1 – oderdie Wachstumsrate der exp-Funktion ist 100%.

Generelle Vorgehensweise 7: Man weiß (hat gelernt!), dass1) die Differentialgleichung y′ = k · y die Lösungen y = f(t) = c · ekt und2) die Differentialgleichung y′ = k · (S − y) die Lösungen y = f(t) = S − c · e−kt hat

Kennt man die DGL, so kann man mit k (bzw. k und S) bis auf c die Lösungsfunktion angeben, derParameter c wird durch irgend einen Funktionswert bestimmt, einen sogenannten Anfangswert.

Kennt man die Lösungsfunktion, so kann man mit k (bzw. mit S und k) sofort die zugehörige DLGangeben. Alle Wachstumsfunktionen, die nur eine Vielfaches voneinander sind, lösen dieselbe DGL.



7.8.8 Rezept Lösungen von Differentialgleichungen 8

Im Abi geforderte Fähigkeit 8: Zeige, dass eine angegebene Funktionenklasse (oder eine Funk-tion) eine Lösung einer angegebenen Differentialgleichung ist.

Beispielsaufgabe 8:

a) Zeige, dass f(x) = c·ex2 Lösung der Differentialgleichung y′ = 2·x·y (d.h. von f ′(x) = 2·x·f(x))ist

b) Zeige, dass f(x) = x

ln(|x|) + cLösung der DGL x2 · y′ = x · y − y2, (d.h. von x2 · f ′(x) =

x · f(x)− (f(x))2) ist

Lösung 8:Wir machen einfach die Probe

zu a) Setze die Funktion f(x) = c·ex2 in die linke Seite der DGl ein: y′ = f ′(x) = c·ex2 ·2x = 2·x·c·ex2

Setze die Funktion nun in die rechte Seite der DGL ein: 2 · x · y = 2 · x · c · ex2

Beide Seiten führen also auf denselben Ausdruck, sind also gleich.

zu b) Bevor wir die Probe machen, leiten wir die Funktion f(x) = x

ln(|x|) + cmit der Quotienten-

regel ab:

f ′(x) =1 · (ln(|x|) + c)− x · 1

x(ln(|x|+ c)2 = ln(|x|) + c− 1

(ln(|x|+ c)2

Setze diese Ableitung in die linke Seite der DGl ein: x2 · f ′(x) = x2 · ln(|x|) + c− 1(ln(|x|+ c)2

Setze die Funktion nun in die rechte Seite der DGL ein: x · f(x) − (f(x))2 = x · x

ln(|x|) + c−(

x

ln(|x|) + c

)2= x2 · (ln(|x|) + c)− x2

(ln(|x|) + c)2 = x2 · ln(|x|) + c− 1(ln(|x|+ c)2

Beide Seiten führen also auf denselben Ausdruck, sind also gleich.

Generelle Vorgehensweise 8: Setze die Lösung sowohl in die linke als auch in die rechte Seiteder DGL ein und zeige durch Umformen, dass beide Seiten zum selben Ausdruck führen – wasnatürlich schwierig sein kann.



7.8.9 Verständnisfragen

1. Wie lautet die Funktionsgleichung einer (exponentiellen) Wachstumsfunktion

2. Wie lautet die Funktionsgleichung einer beschränkten Wachstumsfunktion

3. Woran erkennt man bei der Funktionsgleichung einer (exponentiellen) Wachstumsfunktion,dass der Bestand abnimmt, bzw. der Bestand zunimmt?

4. Mit welcher Zahl muss der Bestand einer (exponentiellen) Wachstumsfunktion multipliziertwerden, wenn die Zeit um 3 Einheiten zunimmt?

5. Erkläre, wie man bei einer Tabelle erkennt, dass ein (exponentielles) Wachstum vorliegt.

6. Erkläre, wie man bei einer Tabelle erkennt, dass ein beschränktes Wachstum vorliegt. Es gibeigentlich zwei Arten. Welche?

7. Wie viele Parameter enthält eine Funktionsgleichung eines beschränkten Wachstums? Wielauten sie? Welche Bedeutung haben sie?

8. Was versteht man unter der Regressionskurve?

9. Wie bestimmt man die Regressionskurve bei exponentiellem Wachstum?

10. Wie bestimmt man die Regressionskurve bei beschränktem Wachstum?

11. Wie hängen bei der Wachstumsfunktion die Parameter a und k zusammen? Wie a und p

12. Was versteht man unter der Halbwertszeit? Was unter der Verdopplungszeit?

13. Was macht man, wenn die Unbekannte im Exponenten der e-Funktion steht?



7.9 Aufgaben zur e-Funktion

7.9.1 Aufgabe 1

Bestimmen Sie möglichst ohne GTR:

a) ex = 1e

b) e2x+7 = e3

c) e 3√x = e2

d) ex =√

1e2x+1

Lösungsvorschlag für Aufgabe 1: siehe 7.11.1 auf Seite 88

7.9.2 Aufgabe 2

Bestimmen Sie die ersten beiden Ableitungen von

a) f(x) = 53e− 3

7x2+4x+20

b) f(x) = (x+ 1) · exp(1− x)

c) f(x) = ln(3− 2x)


7.9.3 Aufgabe 3

a) Skizzieren Sie mit Hilfe des Graphen der e-Funktion die Graphen von f1(x) = ex+1 und vonf2(x) = ex+1 + 3

b) Bestimmen Sie die Tangenten an die obigen zwei Graphen im Punkt x = 1

c) Bestimmen Sie die Fläche, die die beiden Graphen zwischen x = −1 und x = +2 einschließen.

d) Bestimmen Sie das Volumen, das man erhält, wenn man die beiden Graphen im Bereichzwischen -1 und 2 um die x-Achse dreht.

e) Bestimmen Sie die Fläche, die der Graph f1(x) = ex+1, die x-Achse, die y-Achse und dieTangente in x = 2 begrenzen.




7.10 Aufgaben zum exponentiellen Wachstums und zu Zerfallsprozessen

7.10.1 Aufgabe 4

Der Luftdruck in Meereshöhe beträgt 1000 hPa. Bei einem Anstieg um 1000 m bei gleichbleibenderTemperatur nimmt er auf 88% ab. Bestimmen Sie die zugehörige barometrische Höhenformel. Wiegroß ist der Luftdruck auf dem Feldberg (1492 m) auf dem Mt. Blanc (4807 m), auf dem Mt.Everest (8848 m)? Um wie viel Prozent nimmt der Luftdruck bei einem Anstieg um 417 m ab?Wie groß ist der durchschnittliche Druckabfall pro m bei einem Anstieg um 0,5 m? Wie groß istdie Steigung der Tangente im Ursprung?


7.10.2 Aufgabe 5

Wie lautet die Wachstumsfunktion, wenn sich der Bestand alle 9 Tage auf das 2,3 fache vermehrt?Wann hat sich der Bestand verhundertfacht? Wie groß ist die Ableitung der Wachstumsfunktionim Punkt t=0, d.h. die lokale Änderungsrate (pro Tag) im Nullpunkt? Wie groß ist also die relativeZunahme (d.h. Zunahme pro Zeit) zum Zeitpunkt t=0?


7.10.3 Aufgabe 6

Das radioaktive Element 22588 Ra ist ein Beta-Strahler mit der HWZ von 14,8 d. Es zerfällt zu

Actinium-225. Wir wollen den Bestand der noch nicht zerfallenen Masse mit der Funktion m(t) =ekt+b simulieren

a) Bestimmen Sie k und b, wenn zu Beginn der Beobachtung 3µg vorhanden sind.

b) Wie viel zerfällt am ersten Tag, wie viel in der ersten Sekunde. Wie groß ist also die Aktivitätder Probe, wenn ein 225

88 Ra-Atom eine Masse von 225u = 255 · 1,66 · 10−27 kg hat?

c) Nach wie vielen Tagen ist nur noch 1% der ursprünglichen Masse vorhanden?

d) Wann ist 35 der Masse zerfallen?

e) Weisen Sie nach, dass bei der Simulation der Radioaktivität wie in der Natur der prozentualeZerfall unabhängig von der Zeit ist. Konkret: Zeigen Sie, dass zu einem beliebigen Zeitpunktnach 49,16 weiteren Tagen genau 90% zerfallen ist.

(vgl. auch [Sch04b] S. 131 Nr. 5 und 6)




7.10.4 Aufgabe 7

Die Halbwertszeit von Kobalt-60 ist 5,3 Jahre. Wie viel Prozent des Kobalts zerfällt in einemJahr? Wie lautet die Zerfallsfunktion? Wie viel der Atome ist nach 20 Jahren, nach 1

4 Jahr nochvorhanden? Nach welcher Zeit sind 1% der Atome zerfallen?




7.11 Lösungen der Aufgaben zur e-Funktion

7.11.1 Lösung Aufgabe 1

Aufgabe siehe 7.9.1 auf Seite 85

zu a) Beachte 1e = e−1, wende ln() auf beide Seiten der Gleichung an und benutze die Formel (73)

auf Seite 64. Damit ergibt sich x = −1 – das heißt kurz: Wenn zwei Potenzen mit gleicherBasis gleich sind, so müssen die Hochzahlen gleich sein.

zu b) Auch hier müssen die Hochzahlen gleich sein, d.h. 2x+ 7 = 3⇒ x = −2

zu c) Auch hier: 3√x = 2⇒ x = 8

zu d) Da√

1e2x+1 = 1

e(2x+1)· 12= e−(x+ 1

2 ) ist, folgt x = −x− 12 oder x = −1

4



zu a) Die erste Ableitung bestimmen wir mit der Kettenregel f ′(x) = f(x) · innere Ableitung

f ′(x) = 53 · e

− 37x

2+4x+20 ·(−6

7x+ 4)

= −1021 · (3x− 14) · e−

37x

2+4x+20

Um die zweite Ableitung zu bestimmen, müssen wir die Produktregel und die Kettenregelanwenden

f ′′(x) = −1021 · 3 · e

− 37x

2+4x+20 + (−1021) · (3x− 14) · e−

37x

2+4x+20 ·(−6

7x+ 4)

= 10147 · e

− 37x

2+4x+20 · (−3 · 7 + (3x− 14) · (6x− 28))

= 10147 ·

(18x2 − 168x+ 371

)· e−

37x

2+4x+20

zu b) Mit der Produktregel und der Kettenregel ergibt sich für die Ableitungf ′(x) = 1 · exp(1− x) + (x+ 1) · exp(1− x) · (−1) = −x · exp(1− x)

Die zweite Ableitung ist dannf ′′(x) = −1 · exp(1− x)− x · exp(1− x) · (−1) = (x− 1) · exp(1− x)

zu c) Mit der Kettenregel ergibt sich für die erste Ableitung

f ′(x) = 13− 2x · (−2) = 2

2x− 3Die zweite Ableitung ist dann

f ′(x) = − 2(2x− 3)2 · 2 = − 4

(2x− 3)2





zu a) Den Graphen von f1 (in der Skizze unten punktiert) erhält man, indem man die e-Funktionum 1 nach links verschiebt – der Funktionswert von f1 ist immer so groß, wie der Funkti-onswert der e-Funktion bei x′ = x+ 1Den Graphen von f2 (in der Skizze unten in Strichform) erhält man, indem man den Graphenvon f1 um drei nach oben verschiebt.

zu b) Die Gleichung der Tangente an f im Punkt P (a|f(a)) ist

t(x) = f ′(a) · (x− a) + f(a) (93)

Damit ist wegen f ′1(x) = ex+1 die erste Tangente

t1(x) = e2 · (x− 1) + e2 = e2 · x

Aus f ′2(x) = ex+1 folgt die Funktionszuordnung der zweiten Tangente

t2(x) = e2 · (x− 1) + e2 + 3 = e2 · x+ 3

zu c) Da sich die beiden Funktionen im Bereich [1|3] nicht schneiden (sie schneiden sich sogar nie),ist die Fläche zwischen den Graphen der Betrag des Integrals∫ 2

−1f1(x)− f2(x) dx =

∫ 2

−1ex+1 − (ex+1 + 3) dx =

∫ 2

−1−3 dx = [−3x]2−1 = −6− 3 = −9

Die Fläche zwischen den Kurven ist also 9.

zu d) Da sich die Graphen nicht schneiden, ist das Volumen

V = π ·∫ 2

−1(f2(x))2 − (f1(x))2 dx = π ·

∫ 2

−1(ex+1 + 3)2 − (ex+1)2 dx

= π ·∫ 2

−1((e2x+2 + 2 · 3 · ex+1 + 9)− (e2x+2) dx

= π ·∫ 2

−1+2 · 3 · ex+1 + 9) dx = π

[6 · ex+1 + 9x

]2−1

= π(6 · e3 + 18)− (6 · e0 − 9) = π(6 · e3 + 21) ≈ 141,5π ≈ 444,6



zu e) Um die Gleichung der Tangente (siehe auch Gleichung (93) auf S. 89) in x = 2 an f1(x) = ex+1

zu bestimmen, benötigen wir die Ableitung von f1(x) = ex+1. Mit der Kettenregel ergibt sichhierfür f ′1(x) = ex+1. Also ist f1(2) = f ′1(2) = e3. Somit lautet die Gleichung der Tangente

t(x) = f ′1(2) · (x− 2) + f1(2) = e3 · (x− 2) + e3 = e3 · x− e3

Die Nullstelle der Tangente bestimmen wir folgendermaßen: Sei x Nullstelle von t, so giltt(x) = 0, d.h. e3 · x− e3 = 0 oder, wenn wir die Gleichung nach x auflösen x = 1.

Wir haben nun zwei Möglichkeiten die gesuchte Fläche zu bestimmen:

Variante 1: Die Fläche A setzt sich aus folgenden zwei Flächen zusammen: Aus der Flächevon 0 bis 1 unterhalb von f1 und der Fläche von 1 bis 2 zwischen f1 und t. Es gilt also

A =∣∣∣∣∫ 1

0ex+1 dx

∣∣∣∣+ ∣∣∣∣∫ 2

1ex+1 − (e3 · x− e3) dx

∣∣∣∣=

∣∣∣∣∫ 1

0ex+1 dx

∣∣∣∣+ ∣∣∣∣∫ 2

1ex+1 − e3 · x+ e3) dx

∣∣∣∣=

∣∣∣[ex+1]10∣∣∣+ ∣∣∣∣[ex+1 − e3 · 1

2x2 + e3 · x]21

∣∣∣∣=

∣∣∣e2 − e1∣∣∣+ ∣∣∣∣(e3 − e3 · 1

2 · 4 + 2 · e3)− (e2 − e3 · 12 · 1 + 1 · e3)

∣∣∣∣= e2 − e1 +

∣∣∣∣2 · e3 − e2 − 12e

3∣∣∣∣ = e2 − e1 + 3

2e3 − e2 = 1

2e3 − e

Variante 2: Die Fläche A setzt sich aus folgenden zwei Flächen zusammen: Aus der Flächevon 0 bis 2 zwischen f1 und t und der Dreiecksfläche unterhalb der x-Achse, die von der erstenabgezogen wird. Es gilt also

A =∣∣∣∣∫ 2

0ex+1 − (e3 · x− e3) dx

∣∣∣∣− 12 · e

3 · 1

=∣∣∣∣[ex+1 − e3 · 1

2x2 + e3 · x]20

∣∣∣∣− 12e

3

=∣∣∣(e3 − e3 · 2 + 2 · e3)− (e1)

∣∣∣− 12e

3 = 12e

3 − e



7.12 Lösungen der Aufgaben zum exponentiellen Wachstums und zuZerfallsprozessen



Wählen wir als Einheit des Definitionsbereichs 1000 m, so wissen wir, dass a = 88% ist. Dies ist folgtmit Rezept 2, da wir eine Tabelle mit 2 Einträgen haben. Damit ist die barometrische Höhenformelfolgende Funktion bh(h).

bh : Höhe in 1000 m −→ Luftdruck in hPa (94)

h 7−→ 1000 ·( 88

100

)h= 1000 · 0,88h

= 1000 · eln(0,88)·h

= 1000 · e−0,1278·h

Um den Luftdruck/hPa in 1492 m zu bekommen, müssen wir nur in die Funktion denWert h = 1,492einsetzen: bh(1,492) = 1000 · e−0,1278·1,491 = 1000 · e−0,1906) = 826,4. Entsprechend berechnet sichder Luftdruck in 4807 m zu bh(4,807) = 540,9 und der auf dem Mt. Blanc in 8848 m Höhe zubh(8,848) = 322,7.

Da der Luftdruck/hPa in 417 m Höhe bh(0,417) = 948,1 ist, nimmt der Luftdruck beim Anstieg vonMeereshöhe auf 417 m (und damit bei jedem Anstieg um 417 m, siehe6) um 948,1−1000

1000 = −0,0519 =−5,19% zu, d.h. um 5,19% ab.

Die durchschnittliche Änderung des Drucks pro 1 m ist auf den ersten 0,5 m:

bh(0,0005)− bh(0)0,5 ≈ −0,06391

0,5 = 0,127829

(Wer hierbei Schwierigkeiten hat, denke an die Geschindigkeit. Wenn man eine halbe Stunde langfährt und 30 km zurücklegt, hat man eine Geschwindigkeit von 60 km/h. )

Die Steigung der Tangente an bh im Ursprung ist:

b′h(0) = 1000 · (−0,1278) · e−0,1278·0 = c · k = −127,833

Das bedeutet das Produkt c · k = 1000 · ln(a) = 1000 · (−0,1278) ist die Differenz zweier Funktions-werte nahe 0 pro Einheit der unabhängigen Variablen h, d.h. pro 1000 m. Damit ist die Änderungzweier Funktionswerte nahe Null pro 1 m 1

1000 davon, d.h. k = −0,127833 hPa pro m.

6Für Wachstumsfunktionen gilt ja, dass der Funktionswert stets mit derselben Zahl multipliziert wird, wenn zumArgument dieselbe Zahl addiert wird (siehe Gl.(51) auf Seite 54) Damit ist die relative Zunahme um 417 m

= bh(417 + s) − bh(0 + s)bh(0 + s) = m · bh(417) − m · bh(0 + s

m · bh(0 + s) = bh(417) − bh(0)bh(0) = relative Zunahme der ersten 417 m



Man nennt die Steigung einer Kurve, d.h. die Ableitung an einer Stelle auch lokale Änderungs-rate. Für die Steigung im Ursprung gilt

b′h(0) = c · k ≈ bh(0 + h)− bh(0)h

(falls h klein ist)

Wenn wir hierbei h = 0,0005 einsetzen, erhalten wir genau die oben berechnete durchschnittlicheÄnderung des Drucks pro 1000 m. Die durchschnittliche Änderung pro 1 m ist dann 1

1000 davon.

Wenn wir die Steigung der Tangente in x=0,00025 berechnen, erhalten wir einen besseren Nähe-rungswert für die durchschnittliche Änderungsrate auf den ersten 0,5 m, nämlich −0,123833. DieSteigung der Tangente zwischen zwei Punkten, ist also recht genau gleich groß wie die Änderungs-rate pro Einheit zwischen diesen beiden Punkten.



Zuerst bestimmen wir einen (und damit alle) der Parameter k, a und p, mit der die Wachstums-funktion beschrieben werden kann.Variante 1: Gemäß Gl. (56) auf Seite 57 gilt

a = s√m = 9

√2,3 = 1,0970

Damit ist p = 9,7% und die Konstante k ist (siehe Gl. (81) auf Seite 65)

k = ln(a) = 0,09255

Variante 2: Wenn für eine Wachstumsfunktion f(t) = B0 ·ek·t bekannt ist, dass sich alle 9 Tage derBestand auf das 2,3-fache vergrößert, so gilt f(t+ 9) = 2,3 · f(t). Also ist B0 · ek·t+9k = 2,3 ·B0 · ek·t

oder e9k = 2,3. Damit gilt nun k = ln(2,3)9 = 0,09255.

Bem.: Bei der Radioaktivität gilt, dass sie sich nach der Halbwertszeit T halbiert. Also

ist k =ln(

12

)T

= − ln(2)T

Variante 3: Wir nehmen an, dass der prozentuale Zuwachs pro Zeiteinheit p% beträgt und erhaltendamit die Funktion

f : Zeit in Tagen −→ Bestand

t 7−→ B0 ·(

1 + p

100

)t

Da laut Aufgabenstellung gilt f(9) = 2,3 · f(0) folgt(

1 + p

100

)9= 2,3 oder p = ( 9

√2,3− 1) ∗ 100 ≈

9,70Hierbei sieht man vielleicht, dass diese 3. Variante sicher nicht einfacher ist wie eine der obigen



zwei, obwohl sie doch direkt den Parameter p bestimmt, mit dem wir ursprünglich die Wachstums-funktionen beschrieben haben.

Alle Varianten ergeben aber, dass das Problem mit folgender Exponentialfunktion modelliert wer-den sollte:

f : Zeit in Tagen −→ Bestand (95)

t 7−→ B0 ·(

1 + 9,70100

)t= B0 · 1,0970t

= B0 · e0,09255·t

Sei nun t die Zeit, nach der der Bestand auf das 100-fache angewachsen ist, so gilt: t ist so, dassf(t) = 100 ·B0. Also ist die Gleichung

e0,09255·t = 100

nach t aufzulösen. Dazu wendet man auf beide Seiten die Funktion ln an, und dividiert danndurch 0,09255. Man erhält t = ln(100)

0,09255 = 49,8. D.h. nach knapp 50 Tagen, hat sich der Bestandverhundertfacht.

Die Ableitung der Funktion ist

f ′(x) = k · f(x) = 0,09255 ·B0 · e0,09255·t

Die Zunahme einer Funktion zwischen den Zeitpunkten t und t + h ist ∆f = f(t + h) − f(t).Die relative Zunahme (die Zunahme pro Zeit) ist ∆f

h = f(t+h)−f(t)h . Dies ist die Steigung der

Sekante. Die relative lokale Zunahme (der Grenzwert der relativen Zunahme pro Zeit) ist limh→0

∆fh =

limh→0

f(t+h)−f(t)h , die Steigung der Tangente.

Die relative lokale Zunahme (der Grenzwert der relativen Zunahme pro Zeit) zum Zeitpunkt t=0ist also f ′(0) = 0,09255. Der relative lokale Zunahme dividiert durch den Funktionswert ist zujedem Zeitpunkt gleich, nämlich k = f ′(x)

f(x) = 0,09255.

Damit ist k so etwas wie die momentane Zinsrate. Wenn p% sehr klein ist, so gilt k ≈ p

100 = p%.Beispielsweise können wir k von p% = 0,1% berechnen. Es gilt k = ln(1 + 0,001) = 0,0009995 ≈0,001 = 0,1%. Dies gilt aber nur, wenn die relative Zunahme pro gewähltem Zeitschritt klein ist.Man sagt auch, k ist die momentane Zinsrate.



Wir modellieren den radioaktiven Zerfall mit Hilfe einer Exponentialfunktion der folgenden Struk-tur.

m : Zeit in Tagen −→ Bestand in µgt 7−→ B0 · ek·t = ek·t+b



Dabei ist b = ln(B0), da B0 · ek·t = eln(B0) · ek·t = eln(B0)+k·t

zu a) Da m(0) = B0 = eb ist, gilt aufgrund der Aufgabenstellung – d.h. zum Zeitpunkt t = 0 istdie Menge 3µg vorhanden –, dass B0 = 3 bzw. b = ln(B0) = ln(3) = 1,0986 ist. Da wirin der Beschreibung der Funktion festgelegt haben, dass die Wertemenge in der Einheit µgangegeben wird, müssen wir beachten, dass wir immer diese Einheit beim Bestand wählen.

Um den Parameter k zu bestimmen, nehmen wir wie üblich an, dass t die Halbwertszeit T =14,8 ist. Es gilt also 3 · ekt = 1

23. Wenn wir beide Seiten durch 3 dividieren und anschließendauf beiden Seiten den ln anwenden, erhalten wir kt = ln(1

2) = ln(1) − ln(2) = −ln(2). Da

t = T = 14,8 ist, gilt dann k = − ln(2)14,8 = 0,04683.

Bemerkung: Wer möchte, kann sich natürlich merken, dass immer k = ln( 12 )T =

ln(1)−ln(2)T = − ln(2)

T ist. Allerdings kann man diese Aussage immer ganz schnellableiten und es ist wohl sinnvoller, wenn man sich das Verfahren merkt, wie mandie Aussage ableitet.

Damit lautet die Exponentialfunktion, die unser Problem modelliert:

m : Zeit in Tagen −→ Bestand in µg

t 7−→ 3 · exp(− ln(2)

14 9 · t)

= 3 · e−0,04683 = e−0,04683·t+1,0986

zu b) Der Zerfall am ersten Tag ist f(1)− f(0) = −0,1373µg. Der Zerfall in der ersten Sekunde istentsprechend ∆m = f( 1

3600·24)− f(0) = −1,63 · 10−6 µg = −1,6260 · 10−15 kg.

Eine nützliche Variante hierfür ist: Da die Ableitung die lokale (d.h. hier besser zeitliche)Zerfallsrate ist, gilt: Der Zerfall in der ersten Sekunde ist etwa

∆m = m′(0) · Zeitdauer in Einheiten von Tagen

Da m′(t) = k ·m(t) gilt, ist die Zerfallsmenge in der ersten Sekunde näherungsweise

∆m = k ·m(0) · 13600 ∗ 24 = −0,04683 · 3

3600 ∗ 24 = −1,626 ∗ 10−3 µg = −1,6260 · 10−15 kg

Da ein Ra-225-Atome die Masse mAtom = 225u = 225 · 1,66 · 10−27 kg hat, ist die Anzahl derin der ersten Sekunde zerfallenden Atome nAtome = ∆m

mAtom= 9,80 · 1011. Die Aktivität ist

also A = 9,80 · 1011Bq.

Bemerkung 1: Wenn man die Zerfallsmenge am ersten Tag, d.h. 0,1373µg durch3600 · 24 = 86000 teilt, erhält man 1,589 · 10−6 µg < 1,6260 · 10−6 µg. Man siehtalso, dass die Zerfallsrate in der ersten Sekunde etwas größer ist, als die mittlereZerfallsrate am ersten Tag – aber keinesfalls viel größer. Wenn die Halbwertszeitgroß ist im Vergleich zu der betrachteten Zeitdauer, dann unterscheidet sich diemittlere Zerfallsrate nur wenig von der Zerfallsrate in einer kürzeren Zeit.



Bemerkung 2: Die augenblickliche Zerfallsrate ist die Ableitung der Funktion. Esgilt m′(t) = 3 · e−0,04683·t · (−0,04683). Die Einheit der Ableitung ist µg

Tag , d.h. Ein-heit der Wertemenge durch Einheit der Definitionsmenge. Somit gilt also m′(0) =0,1405 µg

Tag = 1,6262 · 10−6 µgs . Die Steigung der Funktion in t=0 ist also fast iden-

tisch mit der Steigung der Sekante, wenn der zweite Punkt ganz nah beim erstenliegt (nah im Vergleich zur Halbwertszeit). Dies haben wir bei der zweiten nützli-chen Variante ausgenutzt.

zu c) Hier hilft natürlich wieder unser Standardtrick: Sei t so, dass m(t) = 0,01 · m(0), also 3 ·e−0,04683·t = 0 01 · 3. Dividieren wir auf beide Seiten durch 3 und wenden anschließend den lnan, erhalten wir −0,04683 · t = ln( 1

100) = −ln(100). Also ist die gesuchte Zeit t = ln(100)0 04683 =

98,33. Damit ist nach gut 98 Tagen nur noch 1% der ursprünglichen Masse vorhanden.

zu d) Diese Teilaufgabe ist identisch mit der von c), wenn man beachtet, dass noch 25 vorhanden

ist, wenn 35 zerfallen ist. Unsere Annahme, dass t so sei, dass ... liefert uns also die Aussage,

dass dies nur dann sein kann, wenn t = − ln(2)−ln(5)0 04683 = 19,56.

zu e) Sei t ein beliebiger, aber im folgenden fest gewählter Zeitpunkt. Dann ist zu zeigen, dassm(t+ 49,16) = 1

10 ·m(t).

Die linke Seite ergibt m(t+49,16) = e−0,04683·(t+49,16)+1,0986 = e−0,04683·t+1,0986 ·e−0,04683·49,16

= m(t) · e−0,04683·49,16 = m(t) · e−2,3022 = m(t) · 0,1000 = 110 ·m(t)

Dies folgt übrigens auch aus der Eigenschaft der e-Funktion, dass f(x+ s) = f(x) ·ms, sieheGl. (51) auf Seite 54, siehe auch die Fußnote von Aufgabe 4.



Wenn die Halbwertszeit T 12ist, bedeutet dies, dass nach der Zeitschrittweite s = 5,3 der Bestand

mit dem Faktor m = 12 multipliziert wird. Damit ist (siehe Gl. (56) auf Seite 57)

a = 5 3

√12 = 0,8774

D.h. der Bestand nimmt pro Zeiteinheit um p% = 1− 0,8774 = 12,26% ab. Weiter ist

k = ln(a) = −0,1308

Also lautet die Funktion

f : Zeit in Jahren −→ Bestand (96)t 7−→ B0 · (1− 12,26%))t

= B0 · 0,8774t

= B0 · e−0,1308·t



Der relative Bestand nach t = 20 Jahren ist noch

f(20) = B0 · 0,877420 = B0 · e−0,1308·20 = B0 · 0,0731 = 7,31%B0

der nach 14 Jahr ist

f(14) = 0,8774

14 = e−0,1308·0,25 = 0,9678 = 96,78%

D.h. innerhalb von 3 Monaten zerfallen 3,22% der Atome.

Sei t die Zeit, nach der 10% zerfallen sind, so gilt: t ist so, dass f(t) = 0,90 · B0. Also ist dieGleichung

e−0,1308·t = 0,90

nach t aufzulösen. Dazu wendet man auf beide Seiten die Funktion ln an, und dividiert dann durch−0,1308. Damit erhält dann t = ln(0,90

−0,1308 = 0,8055. D.h. nach 0,81 Jahren sind von Kobalt 10%zerfallen.


Kap. 8 Trigonometrische Funktionen Mathe, GZG, FN

8 Trigonometrische Funktionen

Wenn wir das Geschehen in der Natur betrachten, beobachten wir, dass sich vieles immer wiederholt,zumindest näherungsweise. Die Sonne geht auf und unter, die Sterne bewegen sich (scheinbar) aufgleichen Bahnen, die Pflanzen blühen und verwelken und vieles mehr. Klassische Schulbeispielesolcher periodischer Änderungen sind das Hinundherschwingen eines Pendel, die Wellenbewegungeiner Wasseroberfläche, die Ausbreitung von Schall und Licht durch Wellen.

Wollen wir solche Vorgänge mit Funktionen beschreiben, so benötigen wir periodische Funktio-nen, die man dann kennt, wenn man sie auf einem endlichen Intervall kennt.

Die Periode einer Funktion f(x) ist die kleinste Zahl p, so dass gilt f(x + p) = f(x) für alle x.Man kennt die Funktion also vollständig, wenn man sie im Intervall [0|p[ kennt, d.h. für alle Zahlenzwischen 0 und p, einschließlich der 0, aber ohne p (das rechts halboffene Intervall). Oft schreibtman für p auch T; die Periode gibt ja meist die Zeit an, nach der sich alles wiederholt. Die Periodep eines Schwingungsbildes einer Pendelschwingung ist z.B. die Schwingungsdauer T des Pendels.

Will man mit periodischen Funktionen umgehen lernen, so sollte man sich mit folgenden Dingenvertraut machen:

• Winkel und Winkeleinheiten.

• Kreisbewegungen: Ein Punkt läuft auf einem Kreis und man bestimmt seine Koordinaten(x/y) als Funktion des Winkels.

• Trigonometrische Gleichungen.

• Verschieben eines Graphen nach oben bzw. nach rechts.

• Strecken einer Funktion in y- bzw. x-Richtung (Stauchen: Strecken mit einem Faktor < 1).Dies sind eigentlich Maßstabsänderungen auf den Achsen.

• Funktionen der Gruppe f(x) = a · cos (b · (x− c)) + d näher bestimmen, d.h. die Bedeutungder Zahlen a, b, c, und d erkennen: a = Streckung (und Spiegelung) in y-Richtung, 1

b =Streckung (und Spiegelung) in x-Richtung, c = Verschiebung in x-Richtung, d = Verschiebungin y-Richtung. Die Periode ist P = 2π

b .

• Anwendungsaufgaben zu den Parametern, mit denen man die Funktionen sinnvollerweisebeschreibt.

8.1 Messen von Winkeln

Ein Winkel ist in der Geometrie ein Teil der Ebene, der von zwei in der Ebene liegenden Strahlen(Halbgeraden) mit gemeinsamen Anfangspunkt begrenzt wird. Der gemeinsame Anfangspunkt derbeiden Strahlen wird Scheitelpunkt des Winkels, Winkelscheitel oder kurz Scheitel genannt; dieStrahlen heißen Schenkel des Winkels.

So wie es bei Geld verschiedene Währungen gibt, so gibt es beim Messen von Winkeln ebenfallsverschiedene Maßeinheiten. Drei spielen dabei heute noch eine große Rolle.



1. Das Bogenmaß, der Radiant (RAD) ist das Winkelmaß, das in der Mathematik und Phy-sik seit dem Ende des 17. Jahrhunderts verwendet wird. Das Maß eines Winkels ist dabeidie Strecke, die der Winkel aus dem Einheitskreis herausschneidet. Damit ist das Maß füreinen Vollwinkel 2π, das für einen rechten Winkel π

2 . Wenn wir mit dem TaschenrechnerWinkelfunktionen bestimmen, müssen wir normalerweise dafür sorgen, dass RAD eingestelltist. Beim GTR geht das mit Shift/Setup, mit dem Cursor zu Angle gehen und F2 drücken.(F1 ist Grad, F3 Neugrad oder Gon, das Winkelmaß, das nur noch bei der Erdvermessungverwendet werden soll: Ein rechter Winkel sind 100 Neugrad oder 100 GON. )

Wenn man den Winkel in Radiant misst, so gilt sin′(x) = cos(x), sonst nicht. (Nur nebenbei,wird der Winkel in Grad gemessen, so gilt sin′(x◦) = cos(x◦) ∗ π

180 - man muss einfach vordem Ableiten DEG in RAD umwandeln.)Ebenso gilt mit i =

√−1 die sogenannte Eulersche Identität: eiϕ = cos (ϕ) + i sin (ϕ), aus

der sich die schöne Gleichung eiπ = −1 ergibt, wenn man ϕ = π setzt. Viele mathematischInteressierte finden, dass dies die schönste mathematische Beziehung sei.

2. Das alltägliche Winkelmaß ist das Gradmaß (DEG): Ein voller Winkel sind 360◦ wie manschon in der Grundschule lernt, ein rechter 90◦. Es wird vor allem im Alltag verwendet. Wennman damit Winkelfunktionen berechnen möchte, muss der GTR auf DEG eingestellt sein.

Belegt ist die Einteilung des Vollwinkels in 360 Teile durch die frühen griechischen Astrono-men. Sie dürfte auf babylonische Tradition zurückzuführen sein, die beim Rechnen das Se-xagesimalsystem (Stellenwertsystem zur Basis 60) verwendeten. Die Babylonier (und sicherauch frühere Hochkulturen) wussten, dass die Sonne jeden Tag ein wenig im Vergleich zu denSternen zurück bleibt, ungefähr 1◦. Die Erde dreht sich in 23 Stunden, 56 min und 4 s einmalum die Achse – dann stehen die Sterne wieder an derselben Stelle. Aber erst nach 24 Stundensteht die Sonne wieder an derselben Stelle. Dadurch, dass die Erde sich ja in einem Jahr einmalum die Sonne bewegt, muss sich auf der Erde ein wenig mehr als 360◦ drehen, damit die Son-ne wieder an derselben Stelle steht (siehe http://de.wikipedia.org/wiki/Erdrotation).

Die Babylonier bestimmten das Jahr zwar schon zu 365 Tage, 6 Stunden, 15 min und 41 s(500 v.Chr., heute ist das tropische Jahr 365 Tage 5 Stunden 48 min 45 s lang), aber die Zahl360 gefällt ihnen besser als 365: 6 mal 60 sind 360. Ein Sechseck lässt sich einfach zeichnenund 60 war die Basis der Babylonier beim Rechnen. Wenn man den Monat zu 30 Tagen, dasJahr zu 360 Tagen setzt so gilt 360 = 12 · 30. Alle drei Zahlen haben viele Teiler, und dasbenötigt man, wenn man nicht mit Brüchen rechnen kann wie wir heute. Der Lauf von Sonneund Mond sind die Grundlagen für die vielen Kalender, die sich die Menschen im Lauf ihrerGeschichte überlegt haben. Die Dauer eines Jahres schwankt dabei immer um die Zahl 360,mal ist ein Jahr länger, mal kürzer (z.B. beim islamischen Kalender).


http://de.wikipedia.org/wiki/Erdrotation


Ein (Winkel-)Grad wird in 60 Minuten (Bogenminuten), eine Minute wieder in 60 Sekunden(Bogensekunden) unterteilt. Diese Unterteilung ist auch heute noch gebräuchlich, auchwenn es zusätzlich die dezimale Teilung gibt.

3. Das Stundenmaß wird heute noch vor allem in der Astronomie verwendet. Ein Vollwinkelist 24 Stunden = 24h = 12h. Ein rechter Winkel ist damit 6h. Es gilt 1h23m45s = 15◦23′45” .

4. Umrechnungen: Das ist eigentlich recht simpel. Man muss sich nur merken:

π = 180◦ = 12h

Da uns vor allem das Bogenmaß interessiert, merken wir uns zusätzlich: π2 = 90◦, π

3 = 60◦,π4 = 45◦ und 1 ≈ 57,3◦.

Wenn wir von Rad in Deg umwandeln, müssen wir das Deg durch Division wegbekommen,das Rad hin. Also x◦ = x · π

180◦ = x · 0,01745 Wenn wir Rad in Grad umwandeln, machen wires im Prinzip genau so, d.h. Rad weg, Grad hin: y = y · 180◦

π = y · 57,3◦. Oft wird ein Winkelim Bogenmaß in Vielfachen von π angegeben, dann ist die Umwandlung recht einfach, z.B.α = 1,34π = 1,34 · 180◦.



8.2 Sinus und Kosinus am Einheitskreis

Dreiecke, die in zwei Winkeln übereinstimmen, sind ähnlich. Damit sind rechtwinklige Dreieckedann ähnlich, wenn sie in einem Winkel übereinstimmen. Bei ähnlichen Dreiecken gilt, dass dasSeitenverhältnis zweier Strecken gleich ist. Damit hängt das Verhältnis zweier Seiten bei rechtwink-ligen Dreiecken nur von einem Winkel ab.

Damit erhalten wir folgende trigonometrische Funktionen

cos : Winkel −→ Seitenverhaeltnis (97)

α 7−→ cos(α) = Ankathete

Hypotenuse= x

sin : Winkel −→ Seitenverhaeltnis (98)

α 7−→ sin(α) = Gegenkathete

Hypotenuse= y

tan : Winkel −→ Seitenverhaeltnis (99)

α 7−→ sin(α) = Gegenkathete

Ankathete= x

y

Der Winkel kann dabei in DEG oder in RAD angegeben werden. Allerdings muss beim GTR diesvorher mit Shift/SetUp eingestellt werden.

Wenn wir (siehe Skizze oben) auf dem Einheitskreis einen Punkt P(x/y) im 1. Quadraten wählen,so können wir ein rechtwinkliges Dreieck zeichnen, dessen Katheten aus den Koordinaten x und ybestehen. Die Hypotenuse hat die Länge 1. Da x = x

1 = sin(α) und y = y

1 = sin(α) ist, hat einPunkt auf dem Einheitskreis, dessen Verbindungsgerade zum Ursprung mit der x-Achse den Winkelα bildet, die Koordinaten P (cos(α)| sin(α)). Ein Punkt Q mit dem Abstand r hat die KoordinatenP (r · cos(α)|r · sin(α)).

Die Zahlen r und α nennt man Polarkoordinaten. Sie bestimmen die kartesischen Koordinatenwie oben. Dies gilt auch, wenn der Winkel α > 90◦ ist. Der Punkt liegt dann in einem der übrigendrei Quadranten. Es gilt also

x = r · cos(α)



y = r · cos(α)

Die Umkehrung, d.h. die Bestimmung der Polarkoordinaten aus den kartesischen Koordinaten istetwas diffiziler. Es gilt

r =√x2 + y2

und

ϕ =

arctan yx fur x > 0

arctan yx + π fur x < 0, y ≥ 0

arctan yx − π fur x < 0, y < 0

+π/2 fur x = 0, y > 0−π/2 fur x = 0, y < 0

Tragen wir auf der x-Achse das Bogenmaß des Winkels α auf und auf der y-Achse den y-Wert deszugehörigen Punktes auf dem Einheitskreis, so erhalten wir den Graphen der Sinusfunktion, vgl.den folgenden Graphen.

Wir merken uns:

• sin (0) = 0

• sin(π

2

)= 1

• sin (π) = 0

• sin(3 · π

2

)= −1

• sin (2 · π) = 0

Tragen wir auf der x-Achse das Bogenmaß des Winkels α auf und auf der y-Achse den x-Wertdes zugehörigen Punktes auf dem Einheitskreis, so erhalten wir den Graphen der Kosinusfunktion,siehe folgendes Bild:



Die Zeichnung ist etwas diffiziler wie die der sin-Funktion. Vor dem Zeichnen müssen wir die x-Achsean der Winkelhalbierenden spiegeln, dies geschieht durch den Schrägen Strich im Kreis.

Wir merken uns wieder:

• cos (0) = 1

• cos(π

2

)= 0

• cos (π) = −1

• cos(3 · π

2

)= 0

• cos (2 · π) = 1

In der folgenden Tabelle finden sich wichtige Funktionswerte, die man am besten auswendig kennt.α sin(α) cos(α)

0◦ = 0 12√

0 = 0 12√

4 = 1

30◦ = π6

12√

1 12√

3

45◦ = π4

12√

2 12√

2

60◦ = π3

12√

3 12√

1 = 12

90◦ = π2

12√

4 = 1 12√

0 = 0

8.3 Änderung der Periodenlänge - Streckung und Verschiebung des Graphen

Die Funktion cos(x) hat die Periode 2π. Die Funktion f(x) = cos(3x) hat an der Stelle x denWert, den cos(t) an der Stelle 3t hat. Das bedeutet, dass f(x) bereits bei x = 2π

3 eine Periode

durchlaufen hat. Sie ist also auf ein Drittel gestaucht oder um den Faktor 13 gestreckt. Ihre Periode

ist p = 2 · π3 . Die Periode von cos(bx) ist also p = 2π

b.



Die Funktion g(x) = cos(2π x) hat damit die Periode 1, die Funktion h(x) = cos(2πkx) die Periode

k.

Die Funktion f(x) = cos(x − c) hat bei x = c den Wert, den cos(t) bei t = 0 hat. Also ist f um cnach rechts verschoben.

Damit erhält man den Graphen der allgemeinen trigonometrischen Funktion

f(x) = a · cos (b (x− c)) + d (100)

indem man

1. die Kosinusfunktion um 1bstreckt, so dass seine Periode p = 2π

bist,

2. den erhaltenen Graphen um c nach rechts verschiebt,

3. den Graphen in y-Richtung um a streckt,

4. ihn letztendlich um d nach oben verschiebt.

Einfache periodische Vorgänge kann man mit einer verschobenen und gestreckten Sinus- oder Kosi-nusfunktion modellieren. Die Funktionen sin und cos sind dabei auswechselbar, die Kosinusfunktionhat vielleicht den Vorteil, dass sie bei x = 0 einen Hochpunkt hat.

Die Parameter der Funktionszuordnung 100 oben kann man der zu simulierenden Funktionetwa wie folgt entnehmen:

1. die Periode p bestimmt b = 2πp ,

2. die Differenz zwischen dem maximalen Wert MaxY und dem minimalen MinY der periodi-schen Funktion bestimmt a = 1

2 (MaxY −MinY )

3. und den mittleren Wert d = 12 (MaxY +MinY ),

4. der Parameter c ist endlich der x-Wert des Maximums.

8.4 Trigonometrische Gleichungen

Da man stets alle Summanden einer Gleichung auf die linke Seite bringen kann und man eineSeite stets als Term einer Funktion auffassen kann, genügt es Nullstellen von trigonometrischenFunktionen bestimmen zu können.Will man in der Praxis solche trigonometrischen Gleichungen lösen, ist es sehr empfehlenswert,sich den Graphen der entsprechenden Funktion im Bereich einer Periode zu veranschaulichen. Esist oft nicht möglich, die Lösungen exakt anzugeben, man muss sich dann mit Näherungswertenbegnügen.

Hat man den GTR zur Verfügung kann man meist im Grph-Menü mit Shift/G-Solv die Nullstellenbestimmen. Allerdings versagt die Methode oft dann, wenn ein Minimum oder ein Maximum aufder x-Achse liegt, z.b. bei f(x) = sin(x) + cos(2x), Man kann dann evtl. Shift/Trance verwenden.



Hat man keinen GTR oder genügt ein Näherungswert nicht, so kann man die Substitution an-zuwenden versuchen, trigonometrische Umformungen durchführen (siehe Formelsammlung), z.B.sin(x+ y) = sin(x) · cos(x) + cos(x) · sin(y) oder cos(x+ y) = cos(x) · cos(x)− sin(x) · sin(y)) oderweitere wichtige Eigenschaften ausnutzen wie (sin(x))2 + (cos(x))2 = 1, die Symmetrien von cos(x)und sin(x), die man am besten den entsprechenden Graphen entnimmt.

Kann man die Funktionen auf die Form cos(x) = c, sin(x) = c oder tan(x) = c bringen, sokann man zumindest auf einem Teilintervall die Umkehrfunktionen, z.B. cos−1 anwenden. WeitereLösungen entnimmt man dann den Graphen.

Beispiele:

1. Auf dem Intervall[−π

2 |π2]ist sin monoton steigend. Damit ist x = sin−1(−0,5) = −π

6 (sieheTabelle 8.2 Seite 102).Da sin die Periode 2π hat, ist x1 = −π

6 + 2π = 156 π Lösung.

Da der Graph der sin-Funktion (siehe 8.2 Seite 101) symmetrisch zu x = 1,5π ist, ist auchx2 = π + (2π − x1) = 7π

6 eine zweite Lösung im Intervall [0|2π]

2. Um die Lösungen der Gleichung tan(2x − 4) = −0,5 im Intervall [0|2, pi] zu bestimmen,substituieren wir y = 2x − 4 und bestimmen die Lösung der substituierten Gleichung zuy1 = tan−0,5 = −0,785. (tan ist ist Intervall

[−π

2 |π2]monoton steigend).

Damit ist x1 = y1+42 = 1,61 eine Lösung

Da tan die Periode π hat, sind auch xk = y1+k π+42 = x1 + k · π2 Lösungen. Damit haben

wir im gesuchten Definitionsbereich 4 Lösungen, nämlich x0 = x1 − π2 = 0,039,x1 = 1,61,

x2 = x1 + π2 = 3,181 und x2 = x1 + π = 4,752.

Wir können dies mit dem GTR überprüfen, wenn wir die Nullstellen der Funktion tan(2x−4) + 0,5 im Intervall [0|2, pi] bestimmen.

3. Um die Lösungen der Gleichung 3 · cos2(x)− 1 = sin2(x) im Intervall [0|2, pi] zu bestimmen,können wir mit dem GTR die Nullstellen der Funktion 3 ·cos2(x)−1−sin2(x) näherungsweisebestimmen oder wir beachten, dass sin2(x) + cos2(x) = 1 ist und ersetzen in der Gleichungsin2(x) durch 1 − cos2(x). Damit können wir die Gleichung umformen zu 4 · cos2(x) = 2Somit ist die erste Lösung x1 = cos−1

(12 ·√

2)

= π4 Die weiteren Lösungen sind: x2 =

cos−1(−1

2 ·√

2)

= 34π, und x3 = x1 + π = 5

4π bzw. x4 = x2 + π = 74π



8.5 Modellierung von periodischen Vorgängen

8.5.1 Aufgabe 8

Die Funktion w mit der Zuordnungsvorschrift w(t) = 2,1 · sin (0,507 · (t− 5,33)) + 4,4 (w(t) in Me-ter, t in Stunden seit Mitternacht 3.10.05), gibt den Wasserstand eines Gezeitenkraftwerks an.Wie hoch sind die Wasserstände um 6:00 und um 16:00? Wie hoch ist der Wasserstand bei Hoch-wasser, wie hoch bei Niedrigwasser? Um wie viel Uhr nimmt der Wasserstand am schnellsten zu,wie schnell?.Wie hoch ist der durchschnittliche Wasserstand zwischen 8:00 und 12:00? Wann ist der Wasserstandgenau 6 m?


Die modellierende Funktion ist

w : Stunden seit Mitternacht −→ Wasserstand in m (101)t 7−→ w(t) = 2,1 · sin (0,507 · (t− 5,33)) + 4,4

Die Periode der Funktion ist p = 2π0,507 = 12,39 Stunden, d.h. 12 Stunden und 39 ∗ 60 = 23,4

Minuten. Damit wiederholt sich alle 8 Std. und 23,4 Minuten derselbe Wasserstand.

Der Wasserstand um 6 Uhr im Modell ist w(6) = 2,1 · sin (0,507 · (6− 5,33)) + 4,4 = 5,1 und um16 Uhr w(16) = 2,1 · sin (0,507 · (16− 5,33)) + 4,4 = 2,8

Da die sin-Funktion bei x = π2 ihr Maximum hat, ist Hochwasser genau dann wenn 0,507 ·

(t− 5,33) = π2 ist. Lösen wir diese Gleichung nach t auf, erhalten wir t = 8,428 D.h. um 8 Uhr und

0,428 · 60 = 26 min ist der Wasserstand mit w(8,428) = 2,1 · sin (0,507 · (8,428− 5,33)) + 4,4 = 6,5m am höchsten.

Da die sin-Funktion bei x = 3·π2 ihr Minimum hat, ist Niedrigwasser genau dann wenn 0,507 ·

(t− 5,33) = 3 · π2 ist. Lösen wir diese Gleichung wieder nach t auf, erhalten wir t = 14,625 D.h. um14 Uhr und 625·60 = 37 min ist der Wasserstand mit w(14,625) = 2,1·sin (0,507 · (14,625− 2,30))+4,4 = 2,3 m am niedrigsten.

Der Wasserstand fällt im ersten Wendepunkt der Sinuskurve nach x=0, d.h. bei x = π am stärkstenab. Wir lösen also wieder die Gleichung 0,507 · (t− 5,33) = π nach t auf und erhalten t = 11,526.Damit ist um 11 Uhr und 526 · 60 = 32 min die Abnahme des Wasserstandes maximal (und dannwieder alle 12 Stunden und 32,4 Minuten). Ebenso ergibt sich übrigens für x = 0 oder t = 5,33 einemaximale Zunahme des Wasserstandes. Bei beiden Punkten ist die Leistung des Gezeitenkraftwerksam größten. Bei den Hoch- und bei Niedrigwasser liefert das Kraftwerk übrigens keine Energie.

8.5.2 Aufgabe 9

Im Verlauf eines Jahres ändert sich die Tageslänge periodisch. In Friedrichshafen geht die Sonneam 21. Juni um 4:10 (Uhrzeit immer in MEZ) auf und um 20:33 wieder unter. 182 Tage später,



am 20.12. geht sie um 8:15 auf und um 16:20 wieder unter. Die Tageslänge (in Minuten) sollin Abhängigkeit der Zeit (t in Tagen seit Jahresanfang) mit einer verschobenen und gestrecktenKosinusfunktion modelliert werden.Wie lautet ihr Funktionsterm? Skizzieren Sie die Funktion für zwei Jahre. Welche Tageslänge ergibtsich für den 21.März? Vergleiche die modellierte Tageslänge mit der Wirklichkeit: Sonnenaufgangum 4:57 und Sonnenuntergang um 19:39.Wie lang ist die durchschnittliche Tageslänge in den Sommerferien (1.8. bis 15.9.)?Wann vergrößert sich die Tageslänge am raschesten? Um wie viele Minuten wird sie dann pro Taglänger?


Wir nummerieren die Tage von Beginn des Jahres mit Nummern durch. Der 1.1. hat die Tages-nummer 1, der 21.Juni die Nummer 31+28+31+30+31+21=172. Die Nummer des 20.12. ist dann172+182=354 (=365-11). Die Tageslänge in h am 21.6 ist 2033

60 −41060 = 1623

60 = 16,38, die am 20.12.1620

60 − 81560 = 8 1

12 = 8,08.Die Modellierung der Tageslänge soll mit einer verschobenen und gestreckten Kosinusfunktion ge-schehen. Diese lässt sich mit vier Parametern a, b, c und d wie folgt darstellen:

f : Tage seit Jahresbeginn (Tagesnummer) −→ Tageslänge in ht 7−→ a cos (b (t− c)) + d

Dabei ist (siehe die Parameterbeschreibung nach Gl. (100) auf Seite 103):

1. b = 2πp = 2π

365 ,

2. a = 12 (MaxY −MinY ) = 1

2 (16,38− 8,08) = 4,15

3. d = 12 (MaxY +MinY ) = 1

2 (16,38 + 8,08) = 12,455

4. c ist der t-Wert des Maximums, also c= 172

Damit lautet die Funktion, mit der wir die Tageslänge modellieren

f : Tage seit Jahresbeginn (Tagesnummer) −→ Tageslänge in h (102)

t 7−→ 4,15 cos( 2π

365 (t− 172))

+ 12,455

Der Graph der Modellfunktion für den Zeitraum von 2 Jahren ist damit:



Das Modell liefert uns als Tageslänge am 1.5. (Tagesnummer 31+28+31+30+1=121) den Wertf(121)=14,88 (laut GTR)Die wirkliche Tageslänge ist 1939

60 − 45760 = 14 7

10 = 14,70 Damit ist die relative Abweichung desModells von der Wirklichkeit nur p% = 14,88−14,7

14,7 = 1,22% Diese Abweichung ist sicher vertretbar.(Die Sonnen ist im Januar der Sonne näher als im Juni, sie bewegt sich deshalb schneller und derWinter ist auf der Nordhalbkugel deshalb kürzer als der Sommer.)

Die Tagesnummer des 1.8. ist 31 + 28 + 31 + 30 + 31 + 30 + 31 + 1 = 213 und die des 15.9 ist212 + 31 + 15 = 258. Damit ist im Modell die durchschnittliche Tagesdauer in diesem Zeitraum:

1258− 213

∫ 258

213f(t) dt = 14,09

Zur Änderung der Tageslänge. Wir wissen aus der Erfahrung, dass sich im Sommer und Winter dieTageslänge nur langsam ändert, zum Frühlingsbeginn nimmt sie am raschesten zu. Dies sollte auchbeim Modell so sein: Die cos-Funktion hat in den Wendepunkten die größte Steigung. Eine positiveSteigung hat sie bei x = 3 pi

2 , d.h. also dann wenn t so ist, dass(

2π365 (t− 172)

)= 2π

3 - Lösen wir dieseGleichung nach t auf, so erhalten wir t = 445,75. Oder t = 445,75−365 = 80,75, d.h. wir nutzen diePeriodizität des Modells von 365 Tagen aus. Der Tag t=81 ist der 22.3., also wie erwartet etwa derFrühlingsbeginn. Die Änderungsrate ist durch die Ableitung gegeben, es gilt f ′(t) ≈ ∆(Tageslaenge)

∆(Tagesnummer) .Die Ableitung von f(x) ist f ′(t) = − 83

3650 π sin(

2365 π (t− 172)

). Damit ist die Änderung an dem

Tag mit der Nummer 81 näherungsweise ∆(Tageslaenge) ≈ f ′(81)· hday ·1 day = 0 0714h = 4,3min.

8.6 Weitere Aufgaben mit trigonometrischen Funktionen

8.6.1 Aufgabe 10

Eine leuchtende Glimmlampe erlischt, falls der Betrag der angelegten Spannung U(t) die Lösch-spannung UL unterschreitet und sie leuchtet, falls die Spannung größer wird als die ZündspannungUZ .Die normale Wechselspannung wird beschrieben durch die Funktion

U : Zeit in s −→ Spannung in V (103)t 7−→ U(t) = 230

√2 · sin (100π t) (104)

Skizzieren Sie die Funktion zwischen t = 0 und t = 0,1Wie lange leuchtet die Glimmlampe während dieser Zeit?(Siehe Lambacher-Schweizer Aufgabe Nr. 8 S.194 [Sch04b])


Die Periode der Spannungsfunktion U(t) ist p = 2 pi100π = 1

50 . Damit haben wir 5 Zyklen im Intervall0 bis 0,1.

Der GTR liefert folgenden Graphen



Wir bestimmen nun den t-Wert, bei dem die Glimmlampe zündet. Das ist der t-Wert, bei demU(t) = 200 ist. Damit müssen wir die Gleichung 230

√2 · sin (100π t) = 200 lösen. Wir suchen

also den Wert y = 100π t (Substitution), für den gilt sin(y) = 2023√

2 . Dies ist laut GTR y =

sin−1(

2023√

2

)= 0,662 Damit ist t = 0,00211

Ebenso erhalten wir für den t-Wert, bei dem U(t) = 200 ist. Dies ist t = 0,00847. Die Differenz derbeiden t-Werte ist die Dauer, die die Glimmlampe im ersten Halbzyklus an ist. Das ist ∆t = 0,00636.Da es 10 Halbzyklen derselben Art gibt, leuchtet die Glimmlampe insgesamt 10 · 0,00636 = 0,636Sekunden lang, damit leuchtet sie 64% der Gesamtdauer.

Bemerkung: Der Faktor√

2 im Funktionsterm von U(t) bewirkt, dass die Wechselspannung U(t)in einem Zyklus genau so viel Energie an einem Widerstand R abgibt, wie eine Gleichspannungvon U0 = 230V . Für die in der Zeitdauer ∆t abgegebene Energie E(∆t) gilt E(∆t) = P · ∆t =U · I · ∆t = U · UR ∆t = 1

R · U2 ∆t. Damit ist die in einem Zyklus abgegebene Energie

E =∫ 1

50

0

1R· U2 dt

= 1R·∫ 1

50

0

(230√

2 · sin (100π t))2

dt =

=

(230√

2)2

R·∫ 1

50

0(sin (100π t))2 dt

= 2302 · 2R

·[1

2 t−1

100π sin (100π t) · cos (100π t)] 1

50

0


Kap. 9 Vektoren Mathe, GZG, FN

9 Vektoren

Viele Dinge in der Physik, in der Technik und in der Mathematik benötigen zu ihrer erfolgreichentheoretischen Beschreibung solche mathematischen Objekte, die man Vektoren nennt. Die heuti-ge Mathematik untersucht nicht mehr in erster Linie Zahlen, sondern Objekte, zwischen denen esBeziehungen gibt. Man rechnet nicht primär, sondern untersucht Eigenschaften oder Beziehungen(Relationen) zwischen verschiedenen abstrakten Objekten. Man untersucht Operationen, die zweioder mehr solcher Objekte zu neuen Objekten verbinden. Dies ist oft wenig anschaulich, allerdingsliegen all diesen Objekten immer bestimmte konkrete Beobachtungen zugrunde. Wenn man ab-strakte Objekte untersucht, so sollte man sich immer diese grundlegenden »Beispiele« klar machen.

Der Begriff des Vektors stammt aus der Geometrie. Die ersten Grundideen wurden 1840 von H.G.Grassmann in einer Prüfungsarbeit für das Lehramt mit dem Titel "Theorie der Ebbe und Flut"veröffentlicht. Unter einem Vektor kann man sich das vorstellen, was man umgangssprachlich Ver-schiebung des Raumes, der Ebene nennen könnte. Wir werden sehen, dass man mit diesen Vektorenviele Dinge aus der Geometrie beschreiben kann, z.B. Ebenen, Geraden, Schnittpunkte, Winkelund ähnliches. Dabei spielt der Funktionsbegriff wieder eine große Rolle, obwohl er so genau dabeigar nicht angesprochen wird. Die Vektoren, die Verschiebungen, kann man sich als Pfeile veran-schaulichen. Wenn man einen Punkt O des Raumes als Ursprung auszeichnet, so entspricht jederVerschiebung genau ein Ortsvektor, d.h. ein Pfeil von dem Ursprung zu einem beliebigen Punktdes Raumes. Das heißt jeder Punkt P des Raumes bestimmt dann genau eine Verschiebung, einenVektor. Diesen Vektor bezeichnen wir mit −−→OP . Alle Pfeile, die an einem anderen Punkt beginnen,aber in dieselbe Richtung zeigen, wie ein ausgewählter Ortsvektor und gleich lang sind, beschreibendieselbe Verschiebung. Wenn wir darauf anspielen, also auf die Verschiebung, die den Punkt A inden Punkt B überführt, so schreiben wir −−→AB. Man sagt, alle Pfeile, die in dieselbe Richtung zeigenund gleich lang sind, sind Repräsentanten eines Vektors #»x . Ein Vektor ist die Menge – die Äquiva-lenzklasse – aller gleichlangen Pfeile, die in dieselbe Richtung zeigen. (Dies ist nichts Kompliziertes,Löwen sind ja oft auch nicht reale Tiere, sondern die Abstraktion aller real existierenden Löwen.auch wenn man sich das so klar oft selten bewusst macht.)

Wenn man im Raum ein dreidimensionales kartesisches Koordinatensystem auswählt, so kann manjeden Punkt durch drei Koordinaten eindeutig beschreiben. Der Ortsvektor, der zu dem PunktX(a/b/c) gehört, wird mit

#»x = −−→OX =

a

b

c

bezeichnet. Wir unterscheiden also (mehr oder weniger künstlich) zwischen Punkten und Vektoren.

Verschiebungen kann man hintereinander ausführen, Vektoren kann man verketten. Zwei Vektorenwird also ein neuer Vektor zugeordnet, den man Summenvektor nennt. Mit Hilfe der Parallelo-grammregel kann man zu zwei Repräsentanten zweier Vektoren einen Repräsentanten des Sum-menvektors bestimmen.

Es gilt:

#»x + #»y = −−→OX +−−→OY =

ax

bx

cx

+

ay

by

cy

=

ax + ay

bx + by

cx + cy



Man erkennt, dass die Hintereinanderausführung von Vektoren kommutativ und assoziativ ist (diesgilt ja komponentenweise, d.h. für jede Zeile des Vektors). Damit gelten also für die Verknüpfungder Vektoren die gleichen Regeln wie für die Addition der Zahlen. Deshalb wählt man als Verknüp-fungszeichen für die Hintereinanderausführung von Vektoren das Plus-Zeichen + (und nicht dasZeichen ◦ für die Hintereinanderausführung von Funktionen, obwohl die Addition von Vektoreneine Hintereinanderausführung von Verschiebungen ist.)

Man kann Verschiebungen auch strecken. Diese Operation, die einem Vektor und einer Zahl einenneuen Vektor zuordnet, nennt man skalare Multiplikation der Vektoren.

Trivialerweise (oder nicht mathematisch formuliert "Wir erkennen mit etwas Mühe und Geduld",dass) gilt

α ·−−→OP + β ·

−−→OQ = α

xp

yp

zp

+ β

xq

yq

zq

=

αxp + βxq

αyp + βyq

αzp + βzq

Generell kann man mit den Vektoren und der skalaren Multiplikation so rechnen, wie wenn dieVektoren Zahlen wären – dies ist der Grund, warum man bei der Hintereinanderausführung dasPlus-Zeichen wählt.

9.1 Veranschaulichung mit Hilfe von Computerprogrammen

In der Schule gibt es in den Computerräumen unter P:/freigabe/PoProgs/MatNat zwei "portableprograms", mit dem man sich die Vektoraufgaben der Klassen K1 und K2 sehr schön veranschau-lichen und die nötigen Rechnungen überprüfen kann. Wer eines oder beide Programme zu Hau-se verwenden möchte, kann es in der Schule auf einen Stick kopieren und mitnehmen oder vonw2.gzg-fn.de/mathe herunterladen. Dort findet man auch die alten Abiaufgaben (Dazu muss mansich allerdings am PC mit dem Benutzer gzg ausweisen. Das Kennwort kann man bei W. Seyboldterfragen)

Mit dem Programm Vektoris3d (im Ordner p:/freigabe/PoProgs/MatNat/Vektoris3d20 – manstartet das Programm mit V ektoris3D2 0.exe) kann man sich Geraden und Ebenen schön veran-schaulichen, und die Darstellungen einfach drehen.

Mit dem Programm Vektor (im Ordner p:/freigabe/stick/MatNat/Vektor – man startet es mitvektor.exe) kann man Rechnungen, wie sie in der Schule benötigt werden, erstellen und die Ergebnisin einer einfachen Grafik veranschaulichen. Es lohnt sich, dieses Programm anzusehen, wenn manseine Rechnungen überprüfen möchte. Die Darstellung ist ausreichend, wenn auch nicht so schönwie bei Vektoris3D; man kann die Darstellung nur um die drei Achsen drehen.

9.2 Lineare Unabhängigkeit, Basis

Der Begriff der Linearen Unabhängigkeit ist in der Schule gegenwärtig nicht mehr gefragt. Er ist aberein zentraler Begriff der Vektoren. Deswegen wird er hier erwähnt. Die Achsen sind drei Vektoren,


http://w2.gzg-fn.de/mia/mathe13/index.htm


die linear unabhängig sind: Keine der drei Richtungen kann durch die anderen ausgedrückt werden.Außerdem kann jeder andere Vektor des Raumes durch die Achsenrichtungen ausgedrückt werden– das kennen wir seit der Klasse 5, damit meine ich die kartesische Koordinaten. Die drei Vektoren,die in die drei Raumrichtungen zeigen, bilden damit eine Basis.

Die n Vektoren #»v1, ... , # »vn heißen linear abhängig, wenn man einen der Vektoren als Linearkombi-nation der anderen darstellen kann, d.h. wenn z.B. #»v1 = a2 · #»v2 + a3

#»v3 + ...an# »vn ist. Die Zahlen ai

heißen Koordinaten.

Wenn die Vektoren nicht linear abhängig sind, nennt man sie linear unabhängig.

Der Begriff der linearen Unabhängigkeit ist das zentrale Hilfsmittel der Vektoren. Meist zeigt mandie lineare Unabhängigkeit mit folgendem typischen mathematischen Vorgehen:

Man nimmt an, dass es eine Linearkombination gibt – d.h. man multipliziert die Vektoren mit Zah-len und addiert sie – Diese Linearkombination soll Null sein. Jetzt zeigt man, dass alle KoeffizientenNull sein müssen. Damit ist gezeigt, dass kein Vektor eine Linearkombination der anderen ist.Konkret: Sei

α1 · #»v1 + α2 · #»v2 + ...αn · # »vn = 0

Nun zeigt man (wie auch immer), dass

α1 = α2 = ... = αn = 0

Ein wichtiges Beispiel: Die Vektoren (d.h. die Achsenrichtungen) #»ex =

100

, #»ey =

010

und

#»ez =

001

sind linear unabhängig. Denn wenn gilt αx · #»ex +αy · #»ey +αz · #»ez = 0, müssen aufgrund

der drei daraus folgenden Gleichungen alle Koeffizienten αx, αy, αz Null sein.

Eine Basis ist eine Menge von linear unabhängigen Vektoren, mit der man alle Vektoren als Li-nearkombinationen erzeugen kann. Im dreidimensionalen Raum ist jede Menge von drei linearunabhängigen Vektoren eine Basis. Die drei Richtungen des Koordinatensystems definieren drei

linear unabhängige Vektoren. Wir schreiben sie meist #»ex =

100

, #»ey =

010

und #»ez =

001

.Gerade haben wir gezeigt, dass sie linear unabhängig sind. Außerdem lässt sich jeder Vektor alsLinearkombination dieser drei Vektoren schreiben:

x

y

z

= x · ex + y · ey + z · ez

Lit.: Lese bitte im Lambacher-Schweizer Kursstufe K1 und K2 [Sch09] die Seiten 321ff oder in derälteren Ausgabe [Sch04b] die Seiten 239f.



9.3 Teilverhältnis

Liegt ein Punkt T auf der Strecke AB der Länge s, so teilt es sie in zwei Teile der Längen a und bmit a+ b = s. Das Verhältnis t = a

bheißt Teilverhältnis.

Wenn man Teilverhältnisse mit Vektoren untersucht, ist es sinnvoll, nicht direkt mit dem Teilver-hältnis zu rechnen, sondern die beiden Vektoren −→AT und −−→AB zu vergleichen. Da beide parallel sind,gibt es eine Zahl α < 1, den Streckungsfaktor mit −→AT = α ·

−−→AB

Es giltα = a

a+ b=

ab

ab + 1 = t

t+ 1

Umgekehrt gilt wegen a = α · s und b = (1− α) · s die Beziehung

t = α

1− α

Selbstverständlich erhält man diese Beziehung auch, wenn man einfach die erste Gleichung nach tauflöst.

9.4 Beweise mit Hilfe von Vektoren

Mit Hilfe von Vektoren lassen sich oft geometrische Zusammenhänge algebraisch beweisen. Einwichtiges Hilfsmittel dabei ist die lineare Unabhängigkeit von zwei Vektoren, die nicht auf einerGeraden liegen. Dies kann man vor allem dann sinnvoll einsetzen, wenn es um Teilverhältnisse geht(siehe 9.12.2 auf Seite 121)

1. Mache Dir das Problem mit Hilfe einer Skizze klar.

2. Wähle zwei Vektoren, die nicht auf einer Geraden liegen, also linear unabhängig sind.

3. Wähle einen geschlossenen Streckenzug, der den Teilpunkt einschließt.

4. Notiere Dir, was zu zeigen ist, d.h. wähle Zahlen k und l, die die Teilverhältnisse beschreiben.

5. Drücke die Strecken des geschlossenen Vektorzuges mit Hilfe der beiden unter Punkt 2 ge-wählten linear unabhängigen Vektoren aus. D.h. wähle k so, dass −→AE = k ·

−−→AB gilt, wenn

nach dem Teilverhältnis gefragt ist, in dem E die Strecke AB teilt.



6. Jetzt müssen die Koeffizienten vor den beiden linear unabhängigen Vektoren 0 sein. Löse diebeiden Gleichungen.

Mitunter kann man die Behauptung auch einfach mit Hilfe von Ortsvektoren beschreiben. Mandrückt einen Vektor dann mit Hilfe anderer bekannter Vektoren aus.

9.5 Skalarprodukt

Das Skalarprodukt zweier Vektoren berechnet sich folgendermaßen

#»a · #»

b =

ax

ay

az

·bx

by

bz

= ax · ax + ay · ay + az · az

Es sieht so aus, wie man dieses Produkt willkürlich festgelegt hätte. Dies ist aber keinesfalls so.Im Gegenteil, wie immer bei mathematischen Definitionen hilft ein neuer Begriff, etwas besserzu verstehen, einfacher damit umgehen zu können. Der Ausgangspunkt des Skalarproduktes istdie Untersuchung von Winkeln. Konkret der Winkel ϕ zwischen zwei Vektoren #»a ,

#»

b . Die beidenVektoren bilden zusammen mit dem Vektor #»c = #»

b − #»a ein Dreieck. Mit dem Kosinussatz kannman den Winkel ϕ zwischen den Vektoren aus den drei Dreiecksseiten berechnen. Schaut man sichdies genauer an, erkennt man, dass dabei genau die obige Summe auftritt, die das Skalarproduktbildet.

Es gilt:

cos(ϕ) =#»a · #»

b

| #»a | · | #»b |Dabei ist ϕ der Winkel zwischen den beiden Vektoren. Im Zähler des Bruchs steht das Skalarpro-dukt, eine Zahl, und im Nenner das Produkt von zwei Wurzeln, den beiden Längen der Vektoren.

Wir merken uns vor unbedingt, dass das Skalarprodukt von zwei Vektoren eine Zahl ist und dassman mit ihm Winkel berechnen kann. Man kann aber auch Abstände z.B. von Punkten zu Geradenund Ebenen und Projektionen berechnen.

Mit dem Skalarprodukt kann man fast so rechnen wie mit der normalen Multiplikation. (Die Regelnfinden sich im alten Lambacher-Schweizer [Sch04b] auf S. 263 unter Satz 2.)

Senkrecht stehende Vektoren Die folgende Bemerkung zum Skalarprodukt findet häufig Anwen-dung

#»a ⊥ #»

b ⇔ #»a · #»

b = 0

Das Skalarprodukt zweier Vektoren ist also genau dann Null, wenn sie senkrecht aufeinander stehen(falls beide nicht der Nullvektor sind).



Gerichtete Projektion Wenn einer der beiden Vektoren eines Skalarprodukts die Länge 1 hat –wir schreiben für diesen Vektor dann # »n0, der Index 0 sagt, dass gilt | # »n0| = 1 – so kann man dasSkalarprodukt von #»a und # »n0 als gerichtete Projektion von #»a in Richtung von # »n0 interpretieren.Es gilt ja #»a · # »n0 = | #»a | cos(ϕ). Man redet von »gerichtet«, weil die Projektion größer Null ist, wenn0◦ <= ϕ < 90◦ und negativ, wenn 90◦ < ϕ <= 180◦Die Projektion ist kein Vektor, sondern eine Zahl. Der zugehörige Vektor wäre ( #»a · # »n0) · # »n0 =(| #»a | cos(ϕ)) · # »n0

Lit.: Lese bitte im Lambacher-Schweizer Kursstufe K1 und K2 [Sch09] die Seiten 293ff oder in derälteren Ausgabe [Sch04b] die Seiten 262f.

9.6 Vektorprodukt für dreidimensionale Vektoren

Dieser Teil ist nicht Pflichtlektüre, er steht nicht auf dem Lehrplan. Das Vektorprodukt ist aber mit-unter nützlich, wenn man die Normale einer Ebene bestimmen soll, die in Parameterform gegebenist. Allerdings ist das Verfahren über zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten oft der Berechnungdes Kreuzprodukts vorzuziehen, da es schneller ist und weniger Rechenschritte benötigt.

Für zwei dreidimensionale Vektoren #»u =

ux

uy

uz

und #»v =

vx

vy

vz

definieren wir das Vektor-

oder Kreuzprodukt (sprich: u Kreuz v)

#»u × #»v =

uy · vz − uz · vyuz · vx − ux · vzux · vy − uy · vx

Im Gegensatz zum Skalarprodukt (das ein Skalar, eine Zahl ist) ist das Vektorprodukt wieder einVektor. Der Vektor #»u × #»v ist senkrecht zu den beiden Vektoren #»u und #»v (Beweis siehe unten).Seine Länge ist | #»u × #»v | = | #»u |· | #»v |· sin (∠ ( #»u , #»v )), das entspricht genau der Parallelogrammfläche,die die beiden Vektoren #»u und #»v aufspannen. (Zum Beweis berechnet man einfach

(#»a × #»

b)2,

benutzt das Wissen über das Skalarprodukt und beachtet, dass 1− cos2(ϕ) = sin2(ϕ) ist.)

Berechnen der Normalen. Wenn man die Normale #»n einer Ebene bestimmen will, die durchzwei Spannvektoren #»u und #»v beschrieben ist, so kann man die Normale entweder mit dem Kreuz-produkt berechnen oder das Gaußverfahren anwenden, das oft schneller ist, da die Berechnung desKreuzprodukts aus vielen Operationen besteht.

Die etwas allgemeinere Aufgabe, einen Vektor #»n zu bestimmen, der zu zwei gegebenen Vektoren#»u und #»v senkrecht ist, löst man mit der folgenden Variante des Gaußverfahrens - und gleichzeitigzeigt man damit, dass das Kreuzprodukt senkrecht auf seinen Faktoren steht.

Wenn es einen zu #»u und #»v senkrechten Vektor #»n =

x

y

z

gibt, so müssen notwendigerweise



folgende Gleichungen gelten

ux·x+ uy· y + uz· z = 0vx·x+ vy· y + vz· z = 0

Wir können die 2. Gleichung durch vx·Gl1− ux·Gl2 ersetzen und erhalten dann

ux·x+ uy· y + uz· z = 0(vx·uy − ux· vy) · y + (vx·uz − ux· vz) · z = 0

Die letzte Gleichung können wir lösen mit y = vx·uz − ux· vz und z = − (vx·uy − ux· vy)

Setzen wir dies in Gl1 ein, so können wir diese Gleichung nach x auflösen

x = −uyux· (vx·uz − ux· vz) + uz

ux· (vx·uy − ux· vy)

= −uyux· vx·uz + uy· vz + uz

ux· (vx·uy − uz· vy)

= uy· vz − uz· vy

Da für die anderen beiden Koordinaten dasselbe gilt, ist das Kreuzprodukt eine Normale.

Die gerade durchgeführten Rechnungen sind bei konkreten Beispielen meist viel einfacher durchzu-führen.

9.7 Geraden

Eine Gerade ist durch zwei Punkte eindeutig festgelegt; oder durch einen Punkt und eine Richtung.Der Punkt P definiert einen Stützvektor #»p = −−→OP und die Richtung kann durch einen beliebigenVektor #»u , der in diese Richtung zeigt, beschrieben werden. Wir nennen diesen Vektor Richtungs-vektor der Geraden g.

Eine Gerade g besteht also aus all den Punkten X, für die gilt: Es gibt eine Zahl r, so dass für denzu dem Punkt gehörigen Ortsvektor

−−→OX = #»x = #»p + r #»u

gilt. Wir schreiben für diese komplexe Aussage kurz

g : #»x = #»p + r #»u

Eigentlich ist eine Gerade eine Abbildung von R in den dreidimensionalen Raum.

Die Darstellung der Geraden durch zwei gegebene Punkte Zwei Punkte, z.B. A(1|2| − 2),B(−3|1| − 1) bestimmen eindeutig eine Gerade. Ihre Darstellung ist

g : #»x =

12−2

+ r·

−3− 11− 2

−1− (−2)

=

12−2

+ r·

−4−1

1



Wichtige Beispiele für Geraden Die Koordinatenachsen sind Geraden. Die Geradendarstellungder x-Achse ist etwa

gx : #»x = r·

100

Jede lineare Funktion f(x) = m · x + c definiert einen Graphen in Form einer Gerade. Er bestehtaus allen Punkte P (x|c + x · m) Schreiben wir statt x r, so sieht man, dass sich diese Geradein Vektorform darstellen lässt. Wenn wir die dritte Koordinate weglassen, die ja überall Null ist,erhalten wir folgende Darstellungsform

gf : #»x =(

0c

)+ r·

(1m

)

9.8 Darstellungsformen einer Ebene

Eine Ebene ist festgelegt durch

1. drei Punkte P, Q und R auf der Ebene, die allerdings nicht auf einer Geraden liegen dürfen,oder

2. durch einen Punkt P auf der Ebene und zwei verschiedene linear unabhängige Spannvektorenin der Ebene #»u und #»v , d.h. Verschiebungen, die Punkte in der Ebene belassen, oder

3. durch einen Punkt P auf der Ebene und eine Richtung, die senkrecht zur Ebene ist, oder

4. durch vier reelle Zahlen - dies ist die älteste und kürzeste Beschreibung der Ebene.

Der Item-Punkt 2 liefert uns folgende Vektordarstellung der Ebene, die wir Parameterdarstel-lung nennen:

Der Punkt P auf der Ebene definiert einen Stützvektor #»p = −−→OP . Damit gehört ein Punkt X gehörtnun genau dann zur Ebene, wenn es zwei Zahlen s und t gibt, so dass

−−→OX = #»x = #»p + s #»u + t #»v

gilt. Dies ist eigentlich nur eine leichte Verallgemeinerung der kartesischen Koordinatendarstellung.Die beiden Spannvektoren definieren die Achsen, die allerdings in der Regel nicht senkrecht auf-einander stehen. Der Stützvektor #»p bestimmt den Nullpunkt. Vom Ursprung kommt man zumPunkt X, indem man r Einheiten auf der x-Achse (d.h. in Richtung des ersten Spannvektors) unds Einheiten auf einer Parallelen zur y-Achse läuft (d.h. in Richtung des zweiten Spannvektors).

Aus den drei Punkten des Item-Punktes 1 lässt sich diese Darstellung leicht ableiten: Die beidenVektoren #»u = −−→PQ und #»v = −→PR definieren die zwei Spannvektoren.

Anmerkungen: Der Stützpunkt X kann durch jeden anderen Punkt der Ebene ersetzt werden. Diebeiden Spannvektoren sind nur bis auf skalare Vielfache bestimmt, ja es gilt sogar noch stärker, die



beiden Spannvektoren können jederzeit durch zwei andere linear unabhängige Vektoren ersetzt wer-den, die beide Linearkombinationen der ursprünglichen Spannvektoren sind. Die Koordinatenformist eine Abbildung der kartesischen Ebene in eine Teilmenge des Raumes.

Als Kurzform für die Parameterform der Ebene schreiben wir

E : #»x = #»p + s #»u + t #»u (105)

Der Item-Punkt 3 liefert uns folgende Vektordarstellung der Ebene, die wir Normalenform nen-nen:

Der Punkt P auf der Ebene definiert einen Stützvektor #»p = −−→OP , die Richtung senkrecht zurEbene kann durch einen Normalenvektor #»n beschrieben werden. Dieser Normalenvektor ist nurbis auf skalare Vielfache bestimmt, er kann jederzeit durch ein anderes Vielfaches ersetzt werden,z. B. durch einen Einheitsvektor # »n0 = 1

| #»n | ·#»n = 1√

n2x+n2

y+n2z

· #»n (es gibt übrigens genau zweiEinheitsvektoren: Wenn # »n0 die Länge 1 hat, hat dies auch der Vektor − # »n0. Alle anderen Vektorenhaben eine andere Länge.)

Wir können die Ebene mittels dieser zwei Vektoren #»p und #»n charakterisieren:

Ein Punkt X gehört zur Ebene genau dann, wenn die Vektoren #»n und −−→OX− #»p senkrecht sind, d.h.wenn (−−→

OX − #»p)· #»n = 0

ist (siehe Seite 113).

Als Kurzform für die Normalenform schreiben wir:

E : ( #»x − #»p ) · #»n = 0 (106)

Wenn der Vektor #»n die Länge 1 hat, so heißt die Normalenform Hessesche Normalenform. Wirschreiben statt #»n dann meist # »n0, damit wir deuten wir an, dass die Normale die Länge 1 hat.

E : ( #»x − #»p ) · # »n0 = 0 (107)

Diese Hessesche Normalenform ist günstig, um den Abstand eines Punktes zu bestimmen, sieheunten

Der Item-Punkt 4 liefert uns die klassische Beschreibung der Ebene durch vier Zahlen a, b, c undd. Wir nennen diese Darstellung Koordinatenform, da ihre drei Zahlen i.W. die Schnittpunktemit den Koordinatenachsen beschreiben (siehe Aufgabe unten)

Ein PunktX(x/y/z) gehört zur Ebene genau dann, wenn dieKoordinatendarstellung der Ebeneerfüllt ist:

ax+ by + cz = d (108)



Diese Form erhalten wir, wenn wir die Normalenform ausmultiplizieren und dabei festlegen, dass

#»x =

x

y

z

und #»n =

a

b

c

gilt. Es ergibt sich damit:

( #»x − #»p ) · #»n = 0 (109)#»x · #»n − #»p · #»n = 0 (110)

#»x · #»n = #»p · #»n (111)ax+ by + cz = d = #»p · #»n (112)

Die Ebene schneidet die x-Achse genau dann im Punkt Sx(da |0|0

), wenn a von Null verschieden ist

- andernfalls ist die x-Achse parallel zur Ebene.

Dasselbe gilt für die y-Achse: Wenn b=0, so ist die y-Achse parallel zur Ebene, andernfalls schneidetsie die y-Achse im Punkt Sy

(0|db |0

)und für die z-Achse: Wenn c=0, so ist die z-Achse parallel zur

Ebene, andernfalls schneidet sie die z-Achse im Punkt Sy(0|0|dc

).

Ist d=0, so geht die Ebene E durch den Ursprung.

In jedem Fall bestimmen die drei Zahlen a, b und c eine Normale der Ebene, nämlich

#»n =

a

b

c

Eine Ebene, von der die Schnittpunkte mit den Achsen bekannt sind, kann sofort angegeben werden.Wenn die Ebene die drei Achsen in Sx (x0|0|0), in Sy (0|y0|0) und Sz (0|0|z0) schneidet, so istxx0

+ yy0

+ zz0

= 1 eine mögliche Koordinatendarstellung. Wer will, kann die Gleichung noch mit demkleinsten gemeinsamen Vielfachen der Zahlen x0, y0 und z0 multiplizieren, so dass man nur ganzeZahlen erhält (falls die Koordinaten mit den Schnittpunkten rationale Zahlen sind).

Wichtige Beispiele für Ebenen Die Koordinatenebenen sind Ebenen. Die x1x2−Ebene hat die

• Parameterform #»x = r ·

100

+ s ·

010

• Normalenform #»x ·

001

= 0

• Koordinatenform x3 = 0

Enrsprechend sind lassen sich die übrigen beiden Koordinatenebenen darstellen.



9.9 Umwandlungen der Ebenendarstellungen

Sind drei Punkte P, Q und R gegeben, so kann einer den Ortsvektor #»p = −−→OP bestimmen, unddie beiden Spannvektoren können als #»u = −−→

PQ und #»v = −→PR gewählt werden. Damit ist die

Parameterform bestimmt. Die Normale der Ebene ist jeder Vektor #»n senkrecht zu diesen beidenSpannvektoren #»u und #»v . Er kann z.B mit dem Vektorprodukt berechnet werden oder indem maneine nicht triviale Lösungen zweier linearer Gleichungen bestimmt (d.h. eine Lösung, bei der nichtalle Zahlen Null sind).

Die Koordinaten des Normalenvektors sind die ersten drei Zahlen der Koordinatenform und dasSkalarprodukt #»v · #»v ist die vierte Zahl der Koordinatenform. Man erhält die Koordinatenformindem man die Normalenform nach den Regeln des Skalarprodukts ausmultipliziert.

9.10 Schnittwinkel

Siehe [Sch04b, Seite s.48]

9.11 Abstände

9.11.1 Abstand eines Punktes von einer Ebene

Mit der gerichteten Projektion kann man einfach den Abstand eines Punktes R von einer Ebene Ezu berechnen. Die Ebene E sei durch den Normalenvektor #»n und den Stützvektor #»p gegeben; der

Punkt R durch −−→OR =

xr

yr

zr

.Man berechnet zuerst # »n0 = 1

| #»n | ·#»n = 1√

(n2x+n2

y+n2z) ·

#»n . Dann ist der Abstand d des Punktes R von

E die Projektion von −−→OR− #»p in Richtung von # »n0. Also gilt für den Abstand

d =∣∣∣(−−→OR− #»p

)· # »n0

∣∣∣Die Normalenform der Ebene nennt man meist Hessesche Normalenform, wenn der Normalen-vektor die Länge 1 hat. Dann sind die Punkte der Ebene dadurch gekennzeichnet, dass sie von derEbene den Abstand 0 haben.

Wenn man die Hessesche Normalenform ausmultipliziert, so erhält man die Hessesche Koordina-tenform:

ax+ by + cz − d√a2 + b2 + c2

= 0



9.11.2 Abstand eines Punktes von einer Geraden

Die Gerade sei durch den Richtungsvektor #»u und den Stützvektor #»p gegeben. Der Punkt P sei

wieder durch −−→OR =

xr

yr

zr

bestimmt.

Man normiert zuerst den Richtungsvektor der Geraden g, also # »u0 = 1| #»u | ·

#»u = 1√(u2

x+u2y+u2

z) ·#»u . Die

Projektion des Vektors −−→OR − #»p in Richtung von # »u0 ist nun allerdings nicht der Abstand. Aber esgilt laut Pythagoras

d2 +∣∣∣(−−→OR− #»p

)· # »n0

∣∣∣2 =∣∣∣(−−→OR− #»p

)∣∣∣2so dass der Abstand von P zu g sich wie folgt berechnet

d =√(−−→

OR− #»p)2−((−−→OR− #»p

)· # »n0

)2

Bem.: Oft ist einfacher, zuerst die Ebene senkrecht zu g durch P zu bestimmen ( sie hat die Normale#»u und den Stützvektor −−→OR ) und diese mit der Gerade zu schneiden. Wenn der Schnittpunkt S ist,so ist der Abstand des Punktes R von g gleich groß wie die Strecke SP.

9.11.3 Abstand zweier Geraden

Der Abstand zweier Gerade g und h ist eine Verbindungsstrecke, die senkrecht auf beiden Geradensteht (Dies beweist man mit dem typischen mathematischen Vorgehen: Wir nehmen an, dies wärenicht der Fall, dann könnte man die Strecke verkürzen,). Mit dem Vektorprodukt oder mit demunten beschriebenen Vorgehen, zu zwei Vektoren einen zu zu beiden senkrechten Vektor zu bestim-men, kann man den Vektor #»a bestimmen, der auf beiden Richtungsvektoren # »ug und # »uh senkrechtsteht Man normiert diesen Vektor zu #»a0 = 1

| #»a | ·#»a = 1√

(a2x+a2

y+a2z) ·

#»a Dann projiziert man den

Vektor #»pg − #»ph in Richtung von #»a0. Der Abstand der beiden Geraden ist nun der Betrag dieserProjektion.

9.11.4 Abstand zweier Ebenen

Wenn sich die Geraden schneiden, ist der Abstand Null, ansonsten sind sie parallel. Man kann danneinen Punkt einer Ebene wählen und den Abstand dieses Punktes zur anderen Ebene bestimmen.Dies ist der Abstand der beiden Ebenen.

9.11.5 Abstand einer Geraden von einer Ebene

Wenn die Gerade die Ebene schneidet, ist der Abstand Null, ansonsten ist die Gerade parallel zurEbene. Man kann dann einen Punkt der Geraden wählen und den Abstand dieses Punktes zurEbene bestimmen. Dies ist der Abstand der Gerade von der Ebene.



9.12 Aufgaben zu Vektoren

9.12.1 Aufgabe 1

Berechnen Sie den Dreieckswinkel beim Punkt A für das Dreieck ABC mit A(1|2|3), A(3|6| − 2),A(−4|0|6)

Lösungsvorschlag für Aufgabe 1: Der Winkel α des Dreieck ABC ist der Winkel zwischen denVektoren

−−→AB =

3− 16− 2−2− 3

=

24−5

und

−→AC =

−4− 1

0− 26− 3

=

−5−2

3

Er ist durch das Skalarprodukt

cos(α) =−−→AB ·

−→AC∣∣∣−−→AB∣∣∣ · |−→AC| = 2 · (−5) + 4 · (−2)− 5 · 3√

22 + 42 + 52 ·√

52 + 22 + 32= −33√

45 ·√

38

bestimmt. Damit ist der Winkel

α = cos−1( −33

3 ·√

5 ·√

38

)= cos−1 (−0,798) = 142,9◦

Wer die Aufgabe mit dem Programm Vektor (siehe 9.1 auf Seite 110) bearbeiten möchte, wähltdort im Menü >Punkt >Dreieck und gibt die drei Punktkoordinaten in einem kleinen Fenster ein.Danach werden im rechten Fenster u.a. die Ebene durch die drei Punkte, die Seitengeraden und dieWinkel angegeben – wobei dabei normalerweise der Winkel Alpha der Nebenwinkel des WinkelsAlpha ist und der Winkel alpha’ gewählt werden muss – ich nehme an, es wird der Winkel zwischenden Vektoren −−→AB und −→CA berechnet – Im linken Fenster ist das Dreieck im Raum dargestellt.

9.12.2 Aufgabe 2

In einem Dreieck ABC werde die obere Ecke C mit der Mitte M der Seite AB verbunden, d.h. manzeichnet die Seitenhalbierende sc. Die Mitte der Seitenhalbierenden sei D. Die Gerade durch A undD schneidet a = BC im Punkt E. In welchem Verhältnis teilt D die Strecke AE und in welchemVerhältnis teilt E die Strecke a = BC?(siehe [Sch04b, Seite 246 Fig 2 und Aufgabe 5])

Lösungsvorschlag für Aufgabe 2: Als die beiden linear unabhängigen Seiten wählen wir −→c =−−→AB und

−→b = −→AC,



Die gesuchten Verhältnis beschreiben wir durch −−→AD = k ·−→AE und −−→BE = l ·

−−→BC

Als geschlossene Vektorkette wählen wir: −−→AD +−−→DB +−−→MA = 0

Damit ergibt sich−−→AD = k ·

−→AE (113)

= k ·(−→c +−−→BE

)= k ·

(−→c + l ·(−−→c +

−→b))

−−→DB = 1

2 ·−−→CM (114)

= 12

(−−→b + 1

2 ·−→c)

−−→MA = −1

2−→c (115)

Damit ergibt sich für den geschlossenen Vektorzug:−−→AD +−−→DB +−−→MA = k ·

(−→c + l ·(−−→c +

−→b))

+ 12

(−−→b + 1

2 ·−→c)− 1

2−→c (116)

= k−→c − kl−→c + kl−→b − 1

2−→b + 1

4−→c − 1

2−→c

=(k − kl + 1

4 −12

)−→c +

(kl − 1

2

)−→b = 0

Da die beiden Vektoren −→c und−→b linear unabhängig sind, müssen die beiden Koeffizienten 0 sein.

Wir erhalten für die beiden Parameter k und l also folgende zwei Gleichungen:

k − kl + 14 −

12 = 0

kl − 12 = 0

Aus der zweiten Gleichung erhalten wir kl = 12 . Dies setzen wir in die erste Gleichung ein und

erhalten damit k = 12 −

14 + 1

2 = 34

Damit liefert uns die zweite Gleichung l = 1k· 1

2 = 43 ·

12 = 2

3

Also teilt D die Strecke AE im Verhältnis 3 zu 1 und E die Strecke BC im Verhältnis 2:1.

9.12.3 Aufgabe 3

Eine Ebene gehe durch die drei Punkte A(1| − 2|2), B(4|4| − 2) und C(−1| − 1|3). BestimmenSie die drei Darstellungsformen der Ebene, nämlich die Parameterform, die Normalenform und dieKoordinatenform. Skizzieren Sie die Ebene und bestimmen Sie den Schnittwinkel der x-Achse mitder Ebene und den Abstand des Ursprungs von der Ebene.




1. Parameterform der Ebene: Als Stützpunkt #»p wählen wir einen der drei Ortsvektoren, etwa

#»p = −→OA =

1−2

2

Die beiden Spannvektor sind

#»u = −−→AB =

4− 1

4− (−2)−2− 2

=

36−4

#»v = −→AC =

−1− 1−1− (−2)

3− 2

=

−2

11

Damit ist die Parameterform (siehe Gl. (105) auf Seite 117)

E : #»x = #»p + s #»u + t #»u = −→OA =

1−2

2

+ s

36−4

+ t

−2

11

(117)

2. Normalenform: Als Stützvektor nehmen wir natürlich denselben Vektor wie bei der Koordi-natenform. Wenn der Normalenvektor die Form

#»n =

x

y

z

hat, so erhalten wir aufgrund der Beziehung #»n · #»u = 0 und #»n · #»v = 0 die beiden linearenGleichungen.

3x+ 6y − 4z = 0−2x+ y + z = 0

Wir multiplizieren die erste Gleichung mit 2, die zweite mit 3 und addieren die beiden danach.Diese neue Gleichung und die alte 2. Gleichung bilden dann zusammen ein gleichwertigesGleichungssystem.

−2x+ y + z = 015y − 5z = 0

Die letzte Gleichung können wir mit y=1 und z=3 lösen. Damit liefert die erste Gleichungx = 1 + 3

2 = 2. Ein möglicher Normalenvektor ist deshalb

#»n =

213



Somit ist die Normalenform (siehe Gl. (106) auf Seite 117)

E : ( #»x − #»p ) · #»n = 0 oder E :

#»x −

1−2

2

·

213

= 0 (118)

3. Koordinatenform: Um diese Form zu bekommen, müssen wir nur die Normalenform ausmul-

tiplizieren. Da #»p · #»n =

1−2

2

·

213

= 1 · 2 + (−2) · 1 + 2 · 3 = 2− 2 + 6 = 6 ist, ergibt

sich für die Koordinatenform (siehe Gl. (108) auf Seite 117)

E : #»x · #»n = #»p · #»n oder E : 2x+ y + 3z = 6 (119)

4. Skizze: Wenn die Ebene die x-Achse schneidet, so müssen beim Schnittpunkt notwendigerweisedie y- und die z-Komponenten Null sein, da dies für alle Punkte auf der Achse gilt. Fürden Schnittpunkt ergibt die Bedingungsgleichung der Koordinatenform 2x + y + 3z = 6damit 2x = 6. Es folgt also, dass der x-Wert 3 sein muss. Der Schnittpunkt mit der x-Achse ist also Sx (3|0|0)). Ebenso berechnet sich die Schnittpunkte mit den anderen beidenAchsen zu Sy (0|6|0)) und Sz (0|0|2)). Damit können die Spurpunkte und die Spurgeraden,die Verbindungslinien der drei Spurpunkte, gezeichnet werden. Unser Gehirn «gaukelt» unsaus diesen Linien eine Ebene im Raum vor.

(Die Grafik wurde mit dem Programm Vektor erstellt, siehe 9.12.3 auf Seite 125)

5. Der Schnittwinkel zwischen der Ebene und der x-Achse wird durch die Formel

sin(ϕ) = | #»u · #»n || #»u | · | #»n |

berechnet (siehe oben Seite 113). Dabei ist der Normalenvektor der Ebene E hier #»n =

213

und der Richtungsvektor der x-Achse #»u =

100

.



Damit gilt

sin(ϕ) = | #»u · #»n || #»u | · | #»n |

=

∣∣∣∣∣∣∣∣

100

·

213

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

100

∣∣∣∣∣∣∣∣ ·∣∣∣∣∣∣∣∣

213

∣∣∣∣∣∣∣∣

= 2 + 0 + 0√1 + 0 + 0 ·

√4 + 1 + 9

= 2√14

= 0,5345

Somit ist ϕ = sin−1 (0,5345) = 32,3◦. (Der GTR muss dabei auf DEG gestellt sein.)

Ebenso berechnen sich die Schnittwinkel zwischen der Ebene und der y-Achse zu ϕ = 15,5◦und der zwischen ihr und der z-Achse zu ϕ = 53,3◦

6. Um den Abstand eines Punktes R von einer Ebene E : ( #»x − #»p ) · #»n = 0 zu bestimmen,projiziert man den Vektor −→RP = −−→OR − #»p in Richtung der Normalen, d.h. man bildet dasProdukt

(−−→OR− #»p

)· # »n0 - wobei # »n0 der auf die Länge 1 normierte Normalenvektor ist - und

nimmt davon den Betrag, da # »n0 ja entgegengesetzt zum Abstandsvektor orientiert sein kann.

Es gilt also für den Abstand d

d =∣∣∣(−−→OR− #»p

)· # »n0

∣∣∣ =∣∣∣∣a · rx + b · ry + c · rz − d√

a2 + b2 + c2

∣∣∣∣ = 6√4 + 1 + 9

= 1,6036

Wer die Aufgabe mit dem Programm Vektor (siehe 9.1 auf Seite 110) bearbeiten möchte, wähltdort im Menü >Ebene >Ebene >Ebene durch 3 Punkte und gibt die drei Punktkoordinaten ineinem kleinen Fenster ein. Danach werden im rechten Fenster u.a. die Ebene in Parameterform, ineiner Variante der Normalenform, die Koordinatenschnittpunkte und die Spurgeraden angegeben –Im linken Fenster ist die Ebene durch die Koordinatenschnittpunkte und die Spurgeraden im Raumdargestellt, siehe 4 auf Seite 124

9.12.4 Aufgabe 4

Prüfen Sie, ob die Gerade g mit

g : #»x =

101

+ t ·

213

und der Punkt P (5| − 5|3) eine Ebene E festlegen. Falls ja, geben Sie die drei Arten der Ebenen-darstellung an, d.h. die Parameter-, die Normalen- und die Koordinatenform.( Vgl. [Sch04b, Seite 272 Nr. 9a])

Lösungsvorschlag für Aufgabe 4: Wir können auf zwei Arten zeigen, dass der Punkt P nichtauf g liegt.



Bei der ersten Art nehmen wir an, dass der dritte Punkt ebenfalls auf der Geraden liegt und leitenzu dieser Annahme einen Widerspruch ab:

Sei also P auf g. Dann gibt es ein t mit5−5

3

=

101

+ t ·

213

Die erste Gleichung liefert t = 2, die zweite: t = −5. Also war unsere Annahme falsch, dass derPunkt auf g liegt.

Bei der zweiten Art zeigen wir, dass die beiden Vektoren

−→u =

213

und −→0P −−→p =

5− 1−5− 0

3− 1

=

4−5

2

linear unabhängig sind.Dazu nehmen wir an, dass sie es nicht sind, wir nehmen also an, dass es eine Zahl t gibt mit

213

= k ·

4−5

2

Falls dies richtig ist, folgt aus der ersten Zeile, dass k = 1

2 und aus der zweiten Zeile, dass k = −15

sein muss. Dies ist der gewünschte Widerspruch, so dass unsere Annahme nicht richtig war und derPunkt P nicht auf der Geraden liegt.

Damit gibt es genau eine Ebene, die die Gerade und den Punkt P enthält. Der zweite Spannvektorder Ebene ist dann z.B. der Vektor vom Stützpunkt zu P. Damit ist die Parameterdarstellung derEbene E

x

y

z

=

101

+ r ·

213

+ s ·

5− 1−5− 0

3− 1

Sei #»n der Normalenvektor der Ebene dann gilt

2x+ 1y + 3z = 04x− 5y + 2z = 0

Subtrahieren wir vom 2-fachen der Gl1 die Gl2, so erhalten wir

2x+ 1y + 3z = 07y + 4z = 0



y = 4 und z = −7 lösen Gl2. Damit ergibt sich mit Gl1 2x = −y − 3z = −4 + 21 = 17 Also ist derNormalenvektor (wir multiplizieren alle Komponenten mit 2, damit x nicht ein Bruch ist)

#»n =

178

−14

Da #»n · #»p = 17 · 1 + 8 · 0− 14 · 1 = 3 ist, ergibt sich für die Normalenform der Ebene

x

y

z

−

101

·

178

−14

= 0

und für die Koordinatenform17x+ 8y − 14z = 3

Wer die Aufgabe mit dem Programm Vektor (siehe 9.1 auf Seite 110) bearbeiten möchte, stelltfest, dass es dafür keine Eingabe gibt. Allerdings ist es nicht schwer, die Aufgabe so umzuformen,dass man drei Punkte bekommt. Der erste Punkt ist schon gegeben, nämlich P (5|−5|3) als zweitenPunkt wählt man den Stützvektor, also Q(1|0|1) und als dritten etwa den Punkt, den man erhält,wenn man in der Gerade t = 1 einsetzt, also R(3|1|4). Jetzt wählt man im Menü >Ebene >Ebenedurch 3 Punkte und gibt die drei Punktkoordinaten in einem kleinen Fenster ein. Danach werden imrechten Fenster wie üblich u.a. die Ebene in Parameterform und in einer Variante der Normalenform,die Koordinatenschnittpunkte und die Spurgeraden angegeben – Im linken Fenster ist die Ebenedurch die Koordinatenschnittpunkte und die Spurgeraden im Raum dargestellt.

9.12.5 Aufgabe 5

Bestimmen Sie die Schnittgerade der Ebenen E1 : x+ y − 2z = −1 und E2 : 2x+ y − 3z = 2

Lösungsvorschlag für Aufgabe 5: Sei S(x|y|z) ein Punkt, der zu beiden Ebenen gehört. Dannerfüllen die Koordinaten des Punktes S die beiden Gleichungen, die die Ebenen charakterisieren.Die Koordinaten von S sind also Lösungen des folgenden linearen Gleichungssystems.

x+ y − 2z = −12x+ y − 3z = 2

Ziehen wir Gl2 von Gl1 ab, erhalten wir

x+ y − 2z = −1−x+ z = −3

Wir können nun für eine der beiden Variablen der 2. Gleichung eine beliebige Zahl einsetzen, etwaz = t, dann bestimmt sich x zu t+3. Die erste Gleichung liefert nun y = 2z−x−1 = 2t−t−3−1 =t− 4. Damit gilt für den Ortsvektor des Schnittpunktes

x

y

z

=

t+ 3t− 4

t

=

3−4

0

+ t ·

111

Somit liegt S auf der Geraden, die durch die obige Geradengleichung beschrieben wird.



9.12.6 Aufgabe 6

Gegeben sind die Ebene E und die Gerade g durch

E : x1 − x2 + x3 = 1 und g : #»x =

−1

213

+ t ·

5−3−17

.

a) Berechne die Koordinaten des Schnittpunktes sowie den Schnittwinkel zwischen g und E .

b) Der Punkt P (−1|2|13) wird an der Ebene E gespiegelt. Berechne die Koordinaten des Spie-gelpunktes P ∗ .

c) Die Gerade g∗ entsteht durch Spiegelung der Geraden g an E . Bestimme eine Gleichungfür g∗ .


zu a) Sei S(x|y|z) der Schnittpunkt. Da S auf E liegt, gilt die Gleichung x − y + z = 1. Da Sauf g liegt, gibt es ein t, so dass außerdem die folgenden drei Gleichungen gelten: x = −1 + 5t,y = 2− 3t, und z = 13− 17t. Setzen wir die letzten drei Gleichungen in die erste ein, erhalten wireine Gleichung mit der Unbekannten t, nämlich

(−1 + 5t)− (2− 3t) + (13− 17t) = 1

−9t = −9

Also ist t = 1. Damit bestimmt sich der Schnittpunkt durch Einsetzen von t = 1 in die Geraden-gleichung. Es ergibt sich S(4|-1|-4). Wie man sofort sieht, liegt dieser Punkt auch auf E, er erfülltja die Koordinatengleichung.

Für den Schnittwinkel zwischen Gerade g und Ebene E gilt

sin (ϕ) = | #»u · #»n || #»u | · | #»n |

wobei #»u der Richtungsvektor der Geraden g und #»n der Normalenvektor der Ebene E ist. Damitist der Schnittwinkel

sin (ϕ) =

∣∣∣∣∣∣∣∣

5−3−17

·

1−1

1

∣∣∣∣∣∣∣∣

|√

52 + 32 + 172| · |√

1 + 1 + 1|=∣∣∣∣∣ 5 + 3− 17|√

323| · |√

3|

∣∣∣∣∣Also ist ϕ = sin−1 (0,2891) = 16,8◦



zu b) Der Abstand des Punktes P von E kann mit der gerichteten Projektion berechnet werden,

mit der Hesseschen Normalenform. Wir ersetzen also den Normalenvektor #»n =

1−1

1

durch

einen Einheitsvektor # »n0 = 1√3

1−1

1

. Da z.B. P(1|0|0) auf der Ebene E liegt (er erfüllt ja die

Koordinatengleichung), ist die Hessesche Normalenform der Ebene E

E :

#»x −

100

· 1√

3·

1−1

1

= 0

Setzen wir für den Vektor #»x den Ortsvektor des Punktes P(-1|2|13), so erhalten wir den gerichtetenAbstand dg des Punkt P von der Ebene

dg =

−1

213

−

100

· 1√

3·

1−1

1

= 1√3

−1− 1

2− 013− 0

·

1−1

1

= 1√

3· (−2− 2 + 13) = 9√

3

D.h. der Abstand ist d = |dg| = 9√3 = 5,196 und der Punkt P liegt auf der Seite der Ebene, auf die

der Normalenvektor zeigt.

Damit können wir vom Ortsvektor von P zwei mal den Abstandsvektor dg · # »n0 des Punktes P vonder Ebene abziehen und erhalten dann den Ortsvektor von P ∗.

−−→OP ∗ = −−→

OP − 2 · 9√3· 1√

3

1−1

1

=

−1

213

+ 6 ·

1−1

1

=

5−419

zu c) Die Gerade g ist durch die beiden Punkte P(-1|2|13) und S(4|-1|-4) bestimmt. Wenn wirdiese Punkte an der Ebene E spiegeln, ist die gespiegelte Gerade durch diese gespiegelten Punktebestimmt. Da S auch auf der Ebene E liegt, ist S∗ = S. Die Spiegelgerade ist also durch P(5|-4|19)und S(4|-1|-4) bestimmt. Also ist

g∗ : #»x =

5−419

+ t ·

5− 4−4 + 119 + 4

=

5−419

+ t ·

1−323



9.12.7 Aufgabe 7

a) Durch Spiegelung an einer Ebene E wird der Punkt P(6|0|3) auf den Punkt P’(-10|4|3) abgebildet.Stelle Sie eine Gleichung der Ebene D auf.

b) Der Punkt Q(-16|-3|5) wird an der Ebene E gespiegelt. Berechnen Sie die Koordinaten desBildpunktes Q’. (Siehe Aufgabe 12 S. 301)


zu a) Die Ebene halbiert die Verbindungsstrecke PP’. Der Mittelpunkt der Strecke PP’ liegt alsoauf der Ebene. Dies ist PM (−2|2|3) (die Koordinaten sind die Mittelwerte der beiden Punkte Pund P’).

Da der Vektor−−→PP ′ =

6 + 100− 43− 3

=

16−4

0

senkrecht auf der Ebene steht, also Normalenvektor

der Ebene ist, lautet eine Normalendarstellung der Ebene

E :

#»x −

−2

23

·

16−4

0

= 0

Bem.: Selbstverständlich kann man den Normalenvektor auch durch ein beliebiges Vielfaches er-

setzen, also etwa durch

4−1

0

.Die Hessesche Normalenform ist auf alle Fälle

E :

#»x −

−2

23

· 1

17 ·

4−1

0

= 0

zu b) Setzen wir für den Vektor #»x den Ortsvektor des Punktes Q(-16|-3|5) ein, so erhalten wir dengerichteten Abstand dg des Punkt Q von der Ebene

dg =

−16−3

5

−−2

23

· 1√

17·

4−1

0

= 1√17

−14−5

2

·

4−1

0

= 1√17· (−56 + 5 + 0) = − 51√

17= −3 ·

√17



Damit können wir vom Ortsvektor von Q zwei mal den Abstandsvektor dg · # »n0 des Punktes Q vonder Ebene abziehen und erhalten dann den Ortsvektor von Q′.

−−→OQ′ = −−→

OQ− 2(−3 ·√

17)· 1√

17

4−1

0

=

−16−3

5

+ 6 ·

4−1

0

=

8−9

5

Der an E gespiegelte Punkt ist also Q’(8|-9|5).

9.12.8 Aufgabe 8

Ein Verkehrsflugzeug fliegt um 13:10 von Punkt P (−5|8|1) in Richtung des Punktes Q(1| − 2|3).Seine Steiggeschwindigkeit ist 300 km/h. Ein Sportflugzeug wurde um 13:00 am Punkt A(19|29|3)und 5 Minuten später am Punkt B(10|17|3) geortet.(Die Positionen sind in km angegeben, bezogen auf ein Koordinatensystem, dessen Ursprung in derFlugüberwachung liegt.)

Bestimme mit den Mitteln der Vektorrechnung und der Analysis den Zeitpunkt, an dem sich dieFlugzeuge am nächsten kommen. Besteht Gefahr, wenn der Abstand mindestens 600 betragenmuss? (Nebenbei: Der Abstand der Flugzeuge ist normalerweise nicht der Abstand der Geraden.)

Lösungsvorschlag für Aufgabe 8: Wir können die Flugrouten der beiden Flugzeuge durch zweiGeraden v (Verkehrsflugzeug) und s (Sportflugzeug) beschreiben.

v : #»x =

−5

82

+ α ·

6

−102

s : #»x =

19293

+ β ·

−9−12

0

Da wir die Richtungsvektoren problemlos durch Vielfache ersetzen können, ohne dass sich dieGerade ändert, können wir bei beiden Geraden einen Richtungsvektor der Länge 1 wählen (es gibtjeweils zwei verschiedene davon), also durch

#»u v = 1√62 + 102 + 22

·

6

−102

= 1√35·

3−5

1

bzw.



#»u s = 192 + 122 + 02 ·

−9−12

0

= 15 ·

−3−4

0

Damit sind die veränderten Geradendarstellungen des Verkehrs- und des Sportflugzeugs:

v : #»x =

−5

81

+ tv ·1√35·

3−5

1

s : #»x =

19293

+ ts ·15 ·

−3−4

0

Die Zahlen tv und ts in den beiden Geraden durchlaufen alle reellen Zahlen; wir können sie alsodurch t · v ersetzen, wobei v die jeweilige Geschwindigkeit sein soll und t die Zeit, die seit demZeitpunkt vergangen ist, an dem sich das Flugzeug in dem Punkt befand, zu dem der Stützvektorzeigt.

Die Geschwindigkeit des Sportflugzeugs ist der Abstand der beiden Punkte dividiert durch dievergangene Zeit, also

v =√

92 + 122 + 02

112

=√

225 · 12 = 180

Dabei wird v in km/h gemessen. Die Geschwindigkeit des Verkehrsflugzeugs im Steigflug ist v = 300

Wenn wir festlegen, dass die Zeit in Minuten seit 13:10 gemessen wird, so befindet sich das Sport-flugzeit zum Zeitpunkt t=-10 im Punkt A. Wir müssen die Geschwindigkeiten jetzt allerdings nichtin km/h sondern in km/min angeben. Damit erhalten wir folgende zwei Funktionen:

fv : Zeit in min seit 13:10 −→ Ortsvektor (120)

t 7−→ v : #»x =

−5

81

+ t · 5 · 1√35·

3−5

1

fs : Zeit in min seit 13:10 −→ Ortsvektor (121)

t 7−→ v : #»x =

19293

+ (t+ 10) · 3 · 15 ·

−3−4

0

Dabei müssen wir beachten, dass das Sportflugzeug bereits bei t = −10min im Punkt A ist,deswegen steht in fs nicht t, sondern (t+ 10)



Der Abstand der beiden Flugzeuge zum Zeitpunkt t ist einfach der Abstand der Ortsvektoren vonfv(t) und fs(t), also

d(t) = |fv(t)− fs(t)|

=

∣∣∣∣∣∣∣∣−5

81

−

19293

+ t · 5√35·

3−5

1

− (t+ 10) · 35 ·

−3−4

0

∣∣∣∣∣∣∣∣

=

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

−24−21−2

+ t ·

15√35

+ 95

− 25√35

+ 125

5√35− 0

−−18−24

0

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

≈

∣∣∣∣∣∣∣∣−6

3−2

+ t ·

4,335−1,826

0,845

∣∣∣∣∣∣∣∣

=√

(−6 + 4,335 · t)2 + (3− 1,826 · t)2 + (−2 + 0,845 · t)2 (122)

Den minimalen Flugabstand erhalten wir, wenn wir die Funktion d(t) minimieren. Dies können wirmit dem GTR machen. Er liefert uns: t=1,45 min und als minimalen Abstand 0,898 km.Die Ortsvektoren, in denen sich die beiden Flugzeuge am nächsten sind, erhält man indem mant = 1,45 in Gl. (120) auf Seite 132 und Gl. (121) auf Seite 132

fv(1,45) =

−5

81

+ 1,45 · 5 · 1√35·

3−5

1

=

−1,31

1,862,23

fs(1,45) =

19293

+ (1,45 + 10) · 3 · 15 ·

−3−4

0

=

−1,61

1,513

Somit liefert die Rechnung, dass die beiden Flugzeuge etwa um 13:31:30 den geringsten Abstandhaben. Sie nähern sich auf etwa 900 m. (Den Abstand bekommt man, wenn man den Abstand derPunkte der beiden Flugzeuge berechnet – oder indem man die Zeit t = 1,56 in die Gleichung Gl.(122) auf Seite 133 einsetzt.

Die Geraden kann man mit Vektoris3d zeichnen und sich veranschaulichen:



Die Punkte S und T sind die Punkte, an der sich die beiden Flugzeuge am nächsten sind. DiePunkte A und B sind nicht zu eingezeichnet.



9.13 Bausteine Vektoren, Geraden, Ebenen

9.13.1 Bausteine Vektoren

1. Ortsvektoren

2. Einheitsvektoren

3. Vektor senkrecht zu zwei anderen

4. Mittelpunkte

5. Teilung einer Strecke

6. Spiegelung eines Punktes an einem Punkt

9.13.2 Bausteine Geraden

1. Parameterform einer Geraden

2. Spurpunkte einer Geraden

9.13.3 Bausteine Ebenen

1. Ebene durch 3 Punkte (Parameterform)

2. Ebene senkrecht zu Richtung durch P (Normalenform)

3. Koordinatenform einer Ebene

4. Ebenendarstellungen umwandeln

5. Spiegelung eines Punktes an einer Ebene

9.13.4 Schnittpunkte

1. Generelles Vorgehen

9.13.5 Abstände

1. Punkt-Gerade

2. Punkt-Ebene

3. Geraade-Gerade



9.14 Aufgaben zum Pflichtteilteil, Vektoren, Geraden, Ebenen

9.14.1 Aufgabe 1



9.15 Aufgaben zum Wahlteilteil, Vektoren, Geraden, Ebenen

9.15.1 Aufgabe 1

Gegeben sind der Punkt P (0|5|1) und die Gerade

g : #»x =

30−1

+ r·

5−2

3

a) Die Lotgerade von P auf die Gerade g rotiert um g. Stellen Sie eine Gleichung für die so

entstehende Ebene auf.

b) Bestimmen Sie den Abstand des Punktes P von der Geraden g

c) Der Punkt Q(10,5|-3|3,5) liegt auf auf g. Berechnen Sie das Volumen des Kegels, der entsteht,wenn die Strecke PQ um die Gerade g rotiert

d) Es gibt einen Punkt Q’, der so liegt, dass ein Kegel mit demselben Volumen entsteht. Be-stimmen Sie die Koordinaten des Punkte Q’.


zu a) Die gesuchte Ebene ist die Ebene senkrecht zu g, also die Ebene, die senkrecht zum Rich-tungsvektor der Geraden ist und durch P geht. Dies ist

E :

#»x −

051

·

5−2

3

= 0

Bem.: Wenn man Lotgerade von P auf g angeben müsste, so müsste man diese gerade aufge-stellt Ebene E mit g schneiden, um den Schnittpunkt S zu bestimmen. Die Lotgerade wäredann die Gerade durch S und P.

Bem.: Wer möchte kann natürlich auch (freiwillig) die Koordinatenform der Ebene E bestim-men. Dazu würde man die Normalenform «ausmultiplizieren» und erhält:

E : 5x− 2y + 3z = 0 · 5 + 5 · (−2) + 1 · 3 = −7

zu b) Der Abstand des Punktes P von g ist der Abstand des Punkte P vom Schnittpunktes S derEbene E mit g.

Sei also S(x|y|z) ein Schnittpunkt von g und E, so liegt S auf E, es gilt also für # »

OS (Wirbenutzen hier die Koordinatenform der Ebene, da dies übersichtlicher ist)

E : 5x− 2y + 3z = −7



Außerdem liegt der Punkt S auf g. Damit gibt es ein t mit

# »

OS =

30−1

+ r·

5−2

3

Wir können nun diese letzten (drei) Gleichungen in die erste einsetzen und erhalten:

E : 5(3 + 5r)− 2(−2r) + 3(−1 + 3r) = −7

Wenn wir diese Gleichung ausmultiplizieren und nach r auflösen, erhalten wir

15 + 25r + 4r − 3 + 9r = −738r = −7− 12 = −19

r = −1938 = −1

2

Damit gilt für den Schnittpunkt

# »

OS =

30−1

+(−1

2

)·

5−2

3

=

0,5

1−2,5

Somit ist der Abstand

d = | # »

SP | =∣∣∣ # »

OP − # »

OS∣∣∣ =

∣∣∣∣∣∣∣∣

0,51

−2,5

−

051

∣∣∣∣∣∣∣∣ =

√0,52 + 42 + 3,52 =

√28,5 = 1

2√

114

zu c) Das Volumen eines Kegels oder einer Pyramide ist V = 13G · h. Die Höhe h ist bei unserem

Kegel der Abstand des Punktes Q von S, G ist ein Kreis, es gilt also G = π · r2 und r ist derAbstand des Punktes P von S, d.h. r = 1

2√

114.

Der Abstand der Punkte Q und S ist

d = | ~SQ| =∣∣∣ # »

OQ− # »

OS∣∣∣ =

∣∣∣∣∣∣∣∣

10,5−33,5

−

0,51

−2,5

∣∣∣∣∣∣∣∣ =

√102 + 42 + 62 =

√152 = 2

√38

Damit ist das Volumen des Kegels:

V = 13 ·G · h = 1

3π · 28,5 · 2√

38 = 19 ·√

38 · π = 367,96

zu d) Der Punkt Q‘ entsteht durch Spiegelung von Q an der Ebene E. Da QS senkrecht auf derEbene steht und S aus E ist, gilt

# »

0Q′ = # »0Q+ 2 · # »

QS =

10,5−33,5

+ 2 ·

0,5− 10,5

1 + 3−2,5− 3,5

=

−9,5

5−8,5

Damit ist der gesuchte Punkt Q′(−9,5|5| − 8,5)



9.15.2 Aufgabe 2

Gegeben sind die Ebene E : 2x− y + 3z = 5 und für jedes a ∈ R eine Gerade

ga : #»x =

011

+ t·

1a

2

a) Bestimmen Sie die Koordinaten des Schnittpunktes Sa der Geraden ga mit der Ebene E in

Abhängigkeit von a. Für welchen Wert von a gibt es keine Lösung? Interpretieren Sie dasErgebnis geometrisch.

b) Für welchen Wert von a liegt der Schnittpunkt Sa in der xy-Ebene?


zu a) Sei a fest aber beliebig gewählt. Sei weiter Sa(x|y|z) ein Schnittpunkt, dann gelten die vierGleichungen für die vier Unbekannten x,y,z und t

x = t

y = 1 + at

z = 1 + 2t2x− y + 3z = 5

Setzen wir die oberen 3 Gleichungen in die unter ein und lösen nach t auf, erhalten wir:

2t− (1 + at) + 3(1 + 2t) = 52t− 1− at+ 3 + 6t = 5

(8− a)t = 3 (123)

t = 38− a (124)

Dieses t liefert uns mit der Geradengleichung

# »

OS =

011

+ 38− a ·

1a

2

Damit ist Sa

( 38− a |1 + 3a

8− a |12 68− a

)Falls a = 8 ist, gibt es keinen Schnittpunkt. Die Umformung von Gl. (1) nach (2) ist nurmöglich, falls 8− a 6= 0 ist. Im anderen Fall hat die Gleichung 0t = 3 keine Lösung.

Wenn es keinen Schnittpunkt einer Geraden mit einer Ebene gibt, so sind die Gerade und dieEbene parallel. Dies erkennt man übrigens auch daran, dass im Fall a = 8 die Normale der



Ebene #»n =

2−13

und der Richtungsvektor von g8, nämlich #»u =

182

senkrecht aufeinander

stehen, da das Skalarprodukt der beiden Vektoren Null ergibt.

b) Ein Punkt P (x|y|z) liegt genau dann auf der xy-Ebene, wenn seine dritte Koordinate z Null ist.Sa

( 38− a |1 + 3a

8− a |1 + 68− a

)liegt also genau dann auf der xy-Ebene, wenn 1 + 6

8− a = 0oder wenn 8− a = −6, d.h. wenn a = 14 ist.Der Schnittpunktpunkt hat dann die Koordinaten S14

(−1

2 |6|0)


Kap. 10 Stochastik Mathe, GZG, FN

10 Stochastik

10.1 Grundlagen der Wahrscheinlichkeit xxxxx

Eine grobe Vorstellung von dem, was Wahrscheinlichkeit ist, hat jeder: Würfeln, Münzen werfen,Glücksspiele, ... . Leider genügt diese natürliche Vorstellung nicht, wenn man konkrete Wahrschein-lichkeitsprobleme lösen möchte, ja unser Gefühl führt uns sogar oft in die Irre. Ein typisches Beispielist das Problem von Chevalier de Méré7, das am Anfang der modernen Wahrscheinlichkeitstheoriesteht.

„Im Laufe der Zeit wurde die Stochastik von einer Vielzahl unterschiedlicher Anwendungsgebietegeprägt. War es zunächst das Interesse der Griechen und Römer an Glücksspielen, welches die Ent-wicklung von Rechenmodellen vorantrieb, so kamen Anregungen später auch aus der Philosophie,der Rechtswissenschaft und aus dem Versicherungswesen, noch später aus der Physik und heute inerster Linie aus der Finanzmathematik. Auf dem Umweg über die Statistik hat die Wahrscheinlich-keitsrechnung letztendlich Anwendung in praktisch allen quantitativ arbeitenden Wissenschaftengefunden“8.

Wenn man ein Experiment durchführt, bei dem mehrere Ausgänge möglich sind, dann kann manimmer fragen, wie groß die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten jedes Ausgangs ist. Wie man dieWahrscheinlichkeit aber konkret bestimmt, ist leider oft nicht klar. Ein „einfaches“ Vorgehen dafürist, das Experiment sehr oft durchzuführen und die absoluten und relativen Häufigkeiten zubestimmen. - Aber warum geht dies? Wie oft muss man das Experiment durchführen? Wie genausind die dabei bestimmten Zahlen? Man sollte dabei an Würfelspiele denken, bei denen man z.B.eine Sechs benötigt. Wie oft muss man würfeln, bis eine Sechs auftritt? Kann man sagen, dass derWürfel nicht richtig ist, wenn man 10 mal keine Sechs geworfen hat? Wie genau ist die relativeHäufigkeit der Sechsen nach rund 100, nach 1000 oder mehr Würfen? Wie lange muss man wohlwürfeln, bis die relative Häufigkeit höchstens um 1% vom Soll abweicht?

Eine andere Variante, die von Laplace, ist: Wenn wir wissen (woher eigentlich!), dass alle auftre-tenden Wahrscheinlichkeiten gleich groß sind, dann können wir die einzelnen Wahrscheinlichkeitenberechnen.

Die moderne mathematische Wahrscheinlichkeitstheorie geht diesen Fragen (wie groß sinddie Wahrscheinlichkeiten in einem konkreten Fall, wie bekomme ich sie) aus dem Weg - zumindestbei den Grundlagen. Wir untersuchen nicht, wie man die Wahrscheinlichkeiten bekommt, sondernwir nehmen an, wir hätten sie bereits. Und dann untersuchen wir die Folgen dieser Annahmen. Ihrwisst, dass man dieses Verfahren („Wir nehmen an, wir hätten die Lösung bereits und überlegen undeinfach Folgen aus der Lösung, stellen Gleichungen auf, usw.“) auch bei vielen anderen Aufgabenerfolgreich anwenden kann.

Das moderne Vorgehen von Kolmogorow ist: Wir beschreiben die Wahrscheinlichkeit wie folgt:

1. S ist die Menge aller Ausgängen, z.B. die Augenzahlen eines Würfels

7siehe http://de.wikipedia.org/wiki/De-Méré-Paradoxon8Quelle: Wikipedia-Artikel „Geschichte der Wahrscheinlichkeitsrechung“ http://de.wikipedia.org/wiki/

Geschichte_der_Wahrscheinlichkeitsrechnung


http://de.wikipedia.org/wiki/De-M�r�-Paradoxon

http://de.wikipedia.org/wiki/Geschichte_der_Wahrscheinlichkeitsrechnung

http://de.wikipedia.org/wiki/Geschichte_der_Wahrscheinlichkeitsrechnung


2. Jedem Ausgang wird eine Zahl zugeordnet, die wir Wahrscheinlichkeit nennen (– in der Hoff-nung, dass sie schon mit dem übereinstimmt, was wir intuitiv erwarten)!

3. Wir fordern nur das Mindeste: Die Summe aller Wahrscheinlichkeiten der Elemente von S istEins.

4. Wir führen meist noch eine sogenannte Zufallsvariable X ein – das ist eine Abbildung von Sin die reellen Zahlen. Sie zählt z.B. die Augensumme zweier Würfel zusammen oder sie gibtan, wie viele Treffer eingetreten sind, wenn ein Experiment öfters wiederholt wird.

Mit demMittel der Zufallsvariablen X können wir auch komplexere Dinge beschreiben – auch solche,die keine Laplace-Experimente mehr sind, wie z.B.„Mit zwei Würfeln würfeln und die Augensummebestimmen“. Wir untersuchen nicht die Wahrscheinlichkeiten von S, sondern die der Bildmenge vonX: Die Wahrscheinlichkeit einer reellen Zahl r, der Augensumme beispielsweise, ist die Summe derWahrscheinlichkeiten aller Elemente von S, die auf diese Zahl r mit der Abbildung X abgebildetwird. Dies ist eine relativ komplizierte Konstruktion. Wir führen deshalb eine neue Schreibweiseein: {X = r} sind all die Elemente von S, die mit X auf die Zahl r abgebildet werden. P (X = r) istdie Wahrscheinlichkeit, dass die Zahl r angenommen wird, d.h. dass ein Ereignis eintritt, das mitX auf r abgebildet wird.

Damit wurde jedoch nicht geklärt, was Wahrscheinlichkeit ist, sondern nur herausgearbeitet, welcheEigenschaften strukturell Wahrscheinlichkeiten auszeichnen.

Beispiel: Wenn wir mit einem roten und einem blauen Würfel würfeln, so istS = {(r1, b1), (r1, b2), ..., (r1, b6), (r2, b1), ...., (r6, b6)}9. Dies ist ein Laplace-Experiment und S hat36 Elemente, also ist p(e) = 1

36 für jedes Element e von S. Wenn uns nun nicht die Wahrschein-lichkeit dieser Ergebnistupel interessiert, sondern die Augensumme, dann haben wir eine Funk-tion X, die jedem Element e = (rx, by) die Zahl x + y zuordnet. Die Menge {X = 4} ist dann{(r1, b3), (r2, b2), (r3, b1)}.

Die Wahrscheinlichkeit, dass beim „Würfeln mit zwei Würfeln und die Augensumme bestimmen“die Augensumme r auftritt, ist dann p(X = r) = 3

36 , weil alle drei Elemente von {X = 3} mit derWahrscheinlichkeit 1

36 auftreten.

Die Gesamtheit aller auftretenden Wahrscheinlichkeiten von X nennt man Wahrscheinlichkeitsver-teilung von X.

10.2 Kombinatorik – Abzählen großer Mengen

Bestimmt man die Wahrscheinlichkeit eines Laplace-Experimentes, so muss man oft die Anzahlgroßer Mengen bestimmen. Beim Zählen der Elemente helfen dann die folgenden Vorgehensweisen.

10.2.1 Permutationen

Gegeben ist eine Menge A mit n Elementen, man sagt auch eine Menge A der Mächtigkeit |A| = n.Ordnet man alle Elemente in einer Reihenfolge an, so heißt diese Anordnung, dieses n-Tupel, eine9(r2,b3) bedeutet, der rote Würfel zeigt eine zwei, der blaue eine drei.



Permutation der Elemente. Gesucht ist die Anzahl aller solcher Anordnungen.

Wir definieren: Eine Permutation ist ein n-Tupel, in dem jedes Element einer Menge genau einmalvorkommt.

Auf den ersten Platz des Tupels kann man jedes Element der Menge A stellen, also n verschiedeneElemente, auf den zweiten Platz noch (n − 1) Elemente, auf den dritten Platz (n − 2) Elementeusw.. Das Element auf dem letzten Platz ist dann eindeutig bestimmt. Damit gibt es n! = n · (n−1) · (n− 2) · . . . · 2 · 1 verschiedene Permutationen.

Die Anzahl der Permutationen kann man mit dem Casio-GTR berechnen. Man wählt als erstesmit [OPTN] [F6] [PROB] das Wahrscheinlichkeitsmenü im Run-Modus und gibt dann 17 [x!] ein.

Beispiel Permutation: Mit 7 verschiedenen Buchstaben kann man 7! = 5040 verschiedene Wörterbestimmen, bei denen alle Buchstaben genau einmal vorkommen.

Wichtige Vorstellung: Aus einer Urne mit n verschiedenen Kugeln zieht man alle Kugeln mit Be-achten der Reihenfolge. Die Anzahl all dieser Zugarten ist dann n!.

10.2.2 Permutationen der Länge k – k-Permutation

Bildet man nur Tupeln der Länge k ≤ n, so gibt es nPk = n·(n−1)·(n−2)·. . .·(n−k+1) = n!(n− k)!

Möglichkeiten.

Die Anzahl der k-Permutationen kann man mit dem Casio-GTR bestimmen. Man wählt als erstesmit [OPTN] [F6] [PROB] das Wahrscheinlichkeitsmenü im Run-Modus und gibt dann 17 [nPr] 7ein, wenn man die Anzahl der 7-Permutationen mit 17 Elementen bilden will. Das ist dasselbe wie17 [x!] / (17-7) [x!]. Das Ergebnis ist dabei 98.017.920

Beispiel k-Permutation: Es sollen mit 20 Buchstaben alle Wörter der Länge 5 gebildet werden,bei denen alle Buchstaben verschieden sind. Es gibt 20P5 = 20!

(20− n)! = 1 860 480 verschiedeneWörter.

10.2.3 k-Kombination – k-Teilmenge

Oft, vor allem auch bei der Binomialverteilung, benötigt man die Anzahl der Teilmengen mit kElementen aus einer Menge A mit n ≥ k Elementen.

Ihre Anzahl kann man in zwei Stufen bestimmen. Zuerst bildet man die Anzahl aller k-Permutationender Menge A. Dann überlegt man sich, dass alle k-Permutationen, die aus denselben Elementengebildet wurden, dieselbe Teilmenge B bilden. Zu dieser Menge B mit k Elementen gibt es nun k!Permutationen der Menge B; dies sind die k-Permutation der Menge A mit denselben Elementen.Von den n!

(n− k)! = nPk k-Permutationen bilden also jeweils k! dieselbe Teilmenge. Damit gibt esn!

(n− k)! · k! =(nk

)= nCk verschiedene Teilmengen mit k-Elementen.



Die Anzahl der k-Teilmengen (der k-Kombinationen, k-combinations) kann man mit dem Casio-GTR bestimmen. Man wählt als erstes mit [OPTN] [F6] [PROB] das Wahrscheinlichkeitsmenüim Run-Modus und gibt dann 17 [nCr] 7 ein, wenn man die Anzahl der 7-Kombinationen mit17 Elementen bilden will. Das ist dasselbe wie die Tastenfolge 17 [x!] / (17-7) [x!] / 17 [x!]. DasErgebnis ist 19.448.

Beispiel k-Kombination: Aus einer Gruppe von 20 Fußballern soll eine Mannschaft von 11Leuten gebildet werden. Wie viele Mannschaften sind denkbar? Es gibt

(2011)

= 20C11 = 167 960Möglichkeiten aus den 20 Fußballern eine Mannschaft von 11 Leuten zu bilden.

10.2.4 Zählprinzip

Wenn man k nicht leere Mengen A1, A2, . . . Ak hat, so ist die Anzahl der k-Tupel (x1, x2, . . . xk)mit xi ∈ Ai ist |A1| · |A2| · · · · · |Ak|

Beispiel Zählprinzip: Marianne stellt aus 5 Vorspeisen, 7 Haupotgängen und 4 Nachtischartenein Menü zusammen. Es gibt 5 · 7 · 4 = 140 Menüvarianten.

10.2.5 Gemische Beispiele

Beispiel 1: An einer Schule wird eine SMV aus 4 Leuten gewählt. Es kandidieren 7 Jungs und 6Mädchen.

Wie viele Möglichkeiten gibt es, die SMV zu bilden? Da aus 13 Schülern 4 ausgewählt werdensollen, gibt es 13C4 =

(134)

= 715 Möglichkeiten.

Wie viele Möglichkeiten gibt es, wenn die SMV aus 2 Jungs und 2 Mädchen bestehen soll? Nach demZählprinzip müssen wir die Anzahl der SMV-Mädchen-Gruppen und die Anzahl der SMV-Jungs-Gruppen miteinander multiplizieren. Es 6C2 =

(62)

= 15 verschiedene Mädchengruppen und Es7C2 =

(72)

= 21 verschiedene Jungsgruppen. Damit gibt es 15 ·21 = 315 verschiedene Möglichkeitenfür die SMV, wenn die Geschlechter gleich stark vertreten sein sollen.

Wie viele Möglichkeiten gibt es, wenn mindestens 1 Mädchen in die SMV gewählt werden muss?Wir berechnen wie im Abschnitt vorher die Anzahl der Varianten, bei denen genau ein Mädchen,genau 2 Mädchen, genau 3, genau 4 Mädchen in der SMV sind. Diese vier Zahlen addieren wir. Alsogibt es

(61)·(73)+(62)·(72)+(63)·(71)+(64)·(70)

= 210+315+140+15 = 680 mögliche Zusammensetzungender SMV. Eine andere Variante besteht darin, von allen Möglichkeiten die abzuziehen, bei denenkein Mädchen gewählt wird, also gibt es 13C4− 7C4 =

(134)−(74)

= 715− 35 = 680

10.3 Die Binomialverteilung

Bei statistischen Auswertungen (und im Abitur!) spielt die Binomialverteilung eine große Rolle.Nach einer kurzen Beschreibung dessen, was eine Binomialverteilung im Allgemeinen ist, wollenwir sie anhand von ein paar Beispielen genauer kennen lernen. Diese Beispiele sind:



Beispiel 1: Ein Würfel wird 20 mal geworfen und die Anzahl der Sechser gezählt. Wie groß istdie Wahrscheinlichkeit, dass dabei genau 5, bzw. 3 bzw. 1 Sechser auftreten? Wie groß ist dieWahrscheinlichkeit, dass 4 oder weniger Sechser auftreten? Mit wie vielen Würfelreihen ist bei 100Versuchen zu rechnen, bei denen mindestens 3 Sechser auftreten?

Beispiel 2: Bei einem Mathetest gibt es 10 Fragen mit jeweils vier Antworten, von denen nur einerichtig ist. Felix kreuzt bei jeder Frage rein zufällig eine Antwort an. Mit welcher Wahrscheinlichkeithat er mindestens drei richtige Antworten, d.h. 30% der Fragen richtig beantwortet?

Was ist, wenn Felix 40 (statt 10) Fragen mit wieder vier Antworten, von denen jeweils eine richtigist, beantworten muss? Wie groß ist dann die Wahrscheinlichkeit, dass er mindestens 12 richtigeAntworten hat, d.h. durch Raten wieder 30% der Fragen richtig beantwortet?

Beispiel 3: Ein Reiseunternehmen nimmt 140 Buchungen für ein Feriendorf mit 130 Betten an, daerfahrungsgemäß 11% der Buchungen wieder rückgängig gemacht werden. Mit welcher Wahrschein-lichkeit hat es zu viele Buchungen angenommen? Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist im Feriendorfsogar noch mindestens ein Platz frei?

Beispiel 4: In einem Land sind 4% der männlichen Bevölkerung farbenblind. Wie groß muss eineGruppe von Männern in dem Land mindestens sein, damit mit mindestens 90% Wahrscheinlichkeitmindestens einer in der Gruppe farbenblind ist?

Diese Aufgaben sehen auf den ersten Blick sehr verschieden aus – aber auch ziemlich verwirrend.Akzeptiert man aber, dass man diese Aufgaben alle recht ähnlich bearbeiten kann und lernt undübt dieses Vorgehen, kann man sie recht konsequent bearbeiten, ohne beim ersten Lesen schonzu wissen, wie man im Einzelnen vorgehen muss. – Allerdings sollte man sich Mühe geben, diekomplexe und oft nicht gut verstandene Binomialverteilung theoretisch nachzuvollziehen.

10.3.1 Die Struktur der Binomialverteilung

Die Binomialverteilung (oder Bernoulliverteilung) besteht aus drei Ebenen:

1. Dem Bernoulliexperiment mit einer Ergebnismenge Se aus genau zwei Elementen – mit Trefferund Niete oder 1 und 0 bezeichnet. Die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer wird mit pbezeichnet.

2. Der Bernoullikette, die nichts anderes ist wie eine n-malige Wiederholung des Bernoulli-experimentes. Die Menge S der Ergebnisse ist dabei riesig. Eine Umfrage, ein statistischesExperiment liefert uns genau ein Element von S.

3. Der Zufallsvariablen X, die jedem Element aus S die Anzahl der Treffer zuordnet; damitverkleinern wir die Menge der unterschiedlichen Ergebnisse stark. Die Wahrscheinlichkeits-verteilung von X können wir mit der Binomialformel berechnen:

P (X = r) = Bn,p(r) =(n

r

)· pr · (1− p)n−r



Ein Bernoulliexperiment, ist ein Wahrscheinlichkeitsexperiment mit genau zwei Ergebnissen.Beispiele gibt es viele: Eine Münze werfen, einmal Würfeln und zwischen zwei Ergebnissen, etwaeiner Sechs und keiner Sechs unterscheiden, Einen Schüler eine Klassenarbeit schreiben lassen undzwischen bestanden und nicht bestanden unterscheiden. Einen Schüler befragen, ob er einen Lehrer,ein Fach mag oder nicht.

Den Ausgang, den man "wünscht", bezeichnet man mit Treffer (im Prinzip einfach einen der beiden)und den anderen als Niete. Statt Treffer schreibt man oft kurz 1, statt Niete 0. Die Wahrschein-lichkeit für den Treffer wird traditionell mit p bezeichnet, die Wahrscheinlichkeit für die Niete mitq. Das die Summe der beiden 1 sein muss, gilt q = 1− p.

Dieses Bernoulliexperiment wird nun n mal wiederholt, z.B. 20 mal (oft noch viel öfters).Man redet jetzt von einer Bernoullikette. Jedesmal, wenn man das Bernoulliexperiment wieder-holt, erhält man als Ergebnis eine 1 oder eine 0, die man in einer Reihe aufschreibt. Mathematikerbezeichnen dies als Tupel - dabei ist die Reihenfolge der Ergebnisse wichtig; noch. Die Ergebnis-menge S dieser Kette ist dabei riesig, sie hat 2n Elemente, wenn die Kette die Länge n hat, wenndas einzelne Bernoulliexperiment also n mal wiederholt wird. Konkret: Ist n = 20, so hat die Mengeder 220 = 210·2 = (210)2 = 10242 ≈ 10002 = 1 000 000 Elemente. Wird das Bernoulliexperiment 30mal wiederholt, sind es bereits über eine Milliarde Elemente. Wir können von jedem Element e ∈ Srecht einfach die Wahrscheinlichkeit für das Auftreten genau dieses Elements bestimmen. Treten rTreffer auf, so gibt es n − r Nieten. Damit ist die Wahrscheinlichkeit eines jeden Elements e mitgenau r Treffern P (e) = pr · (1− p)n−r. Dabei spielt es keine Rolle, wie die Einser verteilt sind, obsie etwa alle am Anfang oder alle am Ende stehen, oder zufällig auf die n Positionen des Tupelsverteilt sind - die Multiplikation ist ja kommutativ.

Es gibt nur ein Element mit r = n Treffern, aber sehr viele Elemente mit r ≈ n2 Treffern. Wir können

diese Anzahl der Elemente mit r Treffern mithilfe der Kombinatorik zählen: Wir müssen rTreffer auf n Positionen verteilen. Damit erhält man alle r-Kombinationen (auch r-Teilmengengenannt). Also gibt es

(nr

)= n!

(n−r)!·r! Elemente aus S mit genau r Treffern, wobei man mit demGTR diese Anzahl mit einer Funktion berechnen kann, mit „nCr“ siehe 10.2.3 auf Seite 143.

Bei einem praktischen Experiment spielt es keine Rolle, in welcher Reihenfolge die Treffer auftreten- obwohl dies bei der Bernoullikette der Fall ist. Mathematisch beschreibt man diese „Vereinigungaller Ergebnisse mit r Treffern“ durch eine Abbildung, eine sogenannte Zufallsvariable X, die Sin die Menge der Zahlen abbildet: Jedem Element e aus S wird die Zahl r der Treffer zugeordnet.Die Wahrscheinlichkeit, dass bei einem Experiment r Treffer auftreten, ist gleich groß, wie dieWahrscheinlichkeit dafür, dass irgend ein Ergebnis der Teilmenge von S auftritt, die all die Elementeenthält, die mit X auf r abgebildet werden. Dieses Ereignis ist das Urbild der Zahl r der AbbildungX; wir bezeichnen es mit {e|X(e) = r} = {X = r}. Nochmals konkreter: Wiederholen wir einBernoulliexperiment 20 mal, besteht das Ereignis {X = 7} aus all den Elementen von S, die genausieben Einser im Tupel haben. Es gibt also

(207)

= 20!(20−7)!·7! = 77 520 Elemente in {X = 7}. Mit

dem GTR können wir diese Zahl mit der Funktion 20C7 berechnen, siehe 10.2.3 auf Seite 143.Jedes dieser Elemente von S tritt mit der Wahrscheinlichkeit P (e) = pr · (1 − p)n−r auf. Damitist die Gesamtwahrscheinlichkeit aller Elemente aus {X = 7} einfach das Produkt der einzelnenWahrscheinlichkeiten dieser Elemente und der Anzahl der Elemente von {X = 7}. Es gilt also: EinElement mit 7 Treffern tritt bei einer 20-fachen Wiederholung eines Bernoulliexperimentes, bei demein Treffer die Wahrscheinlichkeit p hat, mit der Wahrscheinlichkeit P (X = 7) =

(207)·pr ·(1−p)n−r

auf.



Es erscheint mir wichtig, sich klar zu machen, dass ein statistisches Experiment, z.B. eine Umfrage,ob 100 Schüler mit ihrem Mathelehrer zufrieden sind, eine einzige Realisierung einer Bernoulliketteist. Es wird ein Element der riesigen Menge von S ausgewählt, ein einziges Element von z.B.2100 =

(210)10 ≈ 100010 = 1030 Elementen. Von diesem einen Element von S wird nun nur die

Anzahl der Treffer gezählt, z.B. wie viele Schüler mit ihrem Mathelehrer zufrieden sind. Aus diesemeinzigen Experiment (das natürlich aus n Bernoulliexperimenten besteht, es wird also z.B. 100 malein Schüler befragt!) wird nun möglichst viel geschlossen. Außerdem muss man sich auch machen,dass selbst die Entscheidung Treffer oder Niete schon schwierig sein kann: Welcher Schüler wirdschon klar zwischen den beiden Varianten „Bin mit meinem Mathelehrer zufrieden“ oder „Ich bin esnicht“ entscheiden können. Normalerweise wird man geneigt sein, eher zu sagen zu 30%, zu 70% odersogar gerne differenziertere Aussagen machen wollen. Die Statistik geht nun aber davon aus, dassdie Entscheidung für Treffer oder Niete so sicher ist wie die Entscheidung für Wappen oder Zahl.Und außerdem nehmen wir an, dass die Wahrscheinlichkeit für jeden Treffer bei jeder Wiederholunggleich groß ist; wir nehmen also an, die Schüler verhalten sich wie Würfel oder Drehscheiben. Mitall diesen Annahmen führen wir dann das statistischen Experiment durch und wenden statistischeVerfahren an, die die wenigsten wirklich verstanden haben. Am Ende steht dann: Es ist statistischsignifikant, dass die Schüler mit dem Mathelehrer weniger zufrieden sind wie mit ihrer Mutteroder ihrem Vater - oder wie mit dem Deutschlehrer.

10.3.2 Mittelwert und Standardabweichung

Will man die Binomialverteilung Bn;p(r) durch ein paar Zahlen näher beschreiben, so kann mandas am sinnvollsten mit dem

• Mittelwert µ = n · p und der

• Standardabweichung σ =√n · p · (1− p)

tun. Der Mittelwert µ gibt an, an welcher Stelle der größte Wert der Verteilungsfunktion ist, dieStandardabweichung σ ist ein Maß für die Breite der zugehörige Kurve. Es ist klar, dass man mitzwei Zahlen sicher nicht alles beschreiben kann.Der Schnitt einer Klassenarbeit, der Mittelwert derNoten, sagt ja normalerweise auch nicht viel aus, ist wohl nur dann interessant, wenn er weit vonanderen Schnitten abweicht.

Wir können aber mit diesen beiden Zahlen zumindest näherungsweise bestimmen, ob eine Elementvon S „durchschnittlich“ ist. Im Bereich

µ− σ . . . µ+ σ

sind etwa 68% der Treffer zu erwarten, im Bereich

µ− 2 · σ . . . µ+ 2 · σ

sind es 95,4% und im Bereichµ− 3 · σ . . . µ+ 3 · σ

sogar 99,7%.



Wenn ein Element von S außerhalb eines dieser Bereiche liegt, können wir vermuten, dass wir einenExtremfall erwischt haben – oder dass unsere Annahme über p vielleicht falsch war! Diese letzteSchlussfolgerung ist die Grundlage für „statistisch signifikant“ (= bedeutend, auffallend).

Merke: Die Werte Mittelwert und Standardabweichung kann man bei den einfachen Hypothesen-tests für eine Abschätzung der Annahmebereiche benutzen.

10.3.3 Einsatz des GTR zum Berechnen der Binomialverteilung

Der GTR Casio fx-9860GII bietet drei Funktionen, mit denen die nötigen Berechnungen derBinomialverteilung für eine statistische Auswertung durchgeführt werden können.

Im Run-Menu wählt man dabei immer zuerst mit der Tastenfolge >[OPTN] >[stat] >[Dist] >[binm]das Menü der Binomialverteilung.

• Die Funktion bpd = BinomalPD(r,n,p) – die Zahlen r, n, p sind einzugeben – liefert denWert von P (X = r) = Bn;p(r).

• Die Funktion bcd = BinomalCD(r,n,p) – die Zahlen die Zahlen r, n, p sind wieder einzu-geben – liefert P (X ≤ r) =

∑ri=0Bn;p(i). Der Buchstabe c steht für cumulative.

• Die Werte von P (X ≥ r) muss man indirekt über das Gegenereignis berechnen: P (X ≥ r) =1− P (X ≤ (r − 1)). Ebenso verfährt man bei den anderen kumulativen Berechnungen, z.B.gilt P (s ≤ X ≤ r) = P (X ≤ r)− P (X ≤ (s− 1))

• Die Funktion InvB = InvBinomialCD(α,n,p) – die Zahlen die Zahlen α, n, p sind wiedereinzugeben – ist die Umkehrfunktion der kumulativen Binomialverteilung. Berechnet wirdder kleinste Wert r (Trefferanzahl), bei dem die kumulierte Binomalverteilung größer ist alsα.

Diese Funktion invB = invBinomialCD(α,n,p) kann man benutzen, um zumindest einen An-haltspunkt für die Annahmebereich bei Hypothesentests zu berechnen. Oft geht dies abereinfacher mit dem Mittelwert und der Standardabweichung.

Konkret: Beim linksseitigen Signifikanztesttest auf dem Niveau α berechnet man die kleinsteTrefferzahl r, bei der man die Nullhypothese nicht ablehnen kann, d.h. man sucht das kleinster, mit P (X ≤ r) > α. Dieses r bestimmt man mit r = invBinomialCD(α, n, p). Sicher-heitshalber überprüft man dann noch, ob BinomialCD(r, n, p) > α und BinomialCD(r −1, n, p) ≤ α ist. Der Ablehnungsbereich ist dann [0, r − 1], der Annahmebereich [r, n]Entsprechend kann man beim rechtsseitigen oder beim beidseitigen Signifikanztest vorgehen.Will man die rechte Grenze für die Nullhypothese bestimmen, so berechnet man die größteTrefferzahl r, bei der man die Nullhypothese nicht ablehnen kann, d.h. man bestimmt die größ-te Zahl r, für die gilt P (X ≤ r) ≤ 1−α gilt, Diese r bestimmt man als r = invBinomialCD(1−α, n, p) − 1. Danach sollte man noch überprüfen, ob BinomialCD(r, n, p) ≤ 1 − α) undBinomialCD(r + 1, n, p) > 1− α)

Will man eine Tabelle der Binomialverteilung bestimmen, erstellt man sie mit dem GTR imMenü Table: >[Menu] >[7=Table]



• Tabellenfunktion eingeben, etwa Bpd im entsprechenden Optn-Menü auswählen: >[OPTN]>[F6] >[stat] >[Dist] >-[binm] und die Werte eintragen. Die Anzahl der Treffer r wird durch[X] ersetzt.

• Tabellenbereich wählen: >[F5=set], Start und End wählen, evtl auch Step.

• Tabelle anzeigen >[F6=TABL]

Benötigt man ein Säulendiagramm der Binomialverteilung, so wählt man mit dem GTR dasMenü Graph: >[Menu] >[5=Graph]

• Um die zu zeichnende Binomialverteilung einzugeben, geht man im Optn-Menü zu Bpd:>[OPTN] >[F6] >[stat] >[Dist] >[binm]. Nun gibt man die Werte von BinomialPD(r,n,p)ein. Die Treffer sind die x-Werte. Aber Vorsicht, die Anzahl der Treffer r muss durch int(x+0,5)ersetzt werden: Wähle die int-Funktion mit >[OPTN] >[Num] >[INT] und gib dann „( [X]+0,5 )“ ein.

• Zeichenbereich wählen: >[shíft/V-Windows] und gewünschte Werte eingeben: Der maximalex-Wertebereich ist x = 0 . . . n, oft aber zeichnet man sinnvollerweise nur nahe des Maximums.Das Maximum liegt beim Mittelwert µ = n · p, ein sinnvoller x-Zeichenbereich ist dann oftX = µ− 3 · σ . . . µ+ 3 · σ mit der Standardabweichung σ =

√n · p · (1.p). Der y-Wertebereich

ist sinnvollerweise Y = 0 · · · 0 5 – oft ist die obere Grenze aber kleiner, z.B. ymax = 0 2 bein >≥ 20. Einfach testen.

• Graph anzeigen >[F6=TABL]Wird der Graph im Heft gezeichnet, bitte die Beschriftung nicht vergessen.

10.3.4 Ein erstes Beispiel für eine Benoulliverteilung

Beispiel 1: Ein Würfel wird 20 mal geworfen und die Anzahl der Sechser gezählt. Wie groß istdie Wahrscheinlichkeit, dass dabei genau 5, bzw. 3 bzw. 1 Sechser auftreten? Wie groß ist dieWahrscheinlichkeit, dass 4 oder weniger Sechser auftreten? Mit wie vielen Würfelreihen ist bei 100Versuchen zu rechnen, bei denen mindestens 3 Sechser auftreten?

Wir werden bei allen Beispielen ganz strukturiert vorgehen, indem wir uns die drei Ebenen derBinomialverteilung genauer anschauen und danach auf die Besonderheiten der Fragestellung einge-hen.

1. Das Bernoulliexperiment beim ersten Beispiel ist: Einen Würfel werfen und danach entschei-den, ob dies ein Treffer ist (d.h. eine Sechs geworfen wurde) oder eine Niete. Die Wahrschein-lichkeit für einen Treffer ist dabei p = 1

6 .

2. Die Kette besteht aus n = 20 Bernoulliexperimenten. Die Ergebnismenge S dieser Kettebesteht aus 220 ≈ 1 000 000 20-Tupeln.

3. Die Zufallsvariable X ist die Abbildung von S nach N, die jedem Ergebnis der Bernoullikettedie Anzahl der Treffer zuordnet. Dabei treten die Zahlen 0, 1,. . . 20 auf.



Die Formel für die Binomialverteilung liefert P (X = 5) = B20; 16(5) = Bernoulli

(205)·(

16

)5·(

1− 16

)20−5. Dabei liefert der GTR mit Bpd(5,20,1/6) (siehe 10.3.3 auf Seite 148) das Ergebnis

P (X = 5) = 0,1294 = 12,9%.

Dasselbe Vorgehen beantwortet die beiden folgenden Fragen: Die Formel für die Binomialverteilungliefert P (X = 3) = B20; 1

6(3) =

(203)·(

16

)3·(1− 1

6

)20−3. Wieder liefert der GTR mit Bpd(3,20,1/6)

das Ergebnis P (X = 3) = 0,2379 = 23,8%.

Ebenso ergibt sich P (X = 1) = B20; 16(1) =

(201)·(

16

)1·(1− 1

6

)20−1= 0,1043 = 10,4%

Die Frage nach der Wahrscheinlichkeit von bis zu vier Sechsern, ist die Frage nach der sogenanntenkumulativen Wahrscheinlichkeit

P (X ≤ 4) = P (X = 0) + P (X = 1) + P (X = 2) + P (X = 3) + P (X = 4)

=4∑i=0

P (X = i)

=4∑i=0

B20; 16(i) =

4∑i=0

(20i

)·(1

6

)i·(

1− 16

)20−i

Dabei liefert der GTR mit Bcd(4,20,1/6) (siehe 10.3.3 auf Seite 148) das Ergebnis P (X ≤ 4) =0,7687 = 76,9%.

Um die letzte Frage beantworten zu können, muss man die Wahrscheinlichkeit P (X ≥ 3) = 1 −P (X ≤ 2) mit 100 multiplizieren. Dabei wird P (X ≥ 3) mit dem Gegenereignis berechnet.

Der GTR liefert mit Bcd(2,20,1/6) = P (X ≤ 2) = 0,3287. Damit ist der gesuchte Erwartungswertbei 100 Würfelfolgen der Länge 20 die Anzahl 100 · (1 − 0,3287) = 67,13. Damit ist zu erwarten,dass bei 67 Bernoulliketten mindestens 3 Sechser auftreten.

Man kann die Verteilung auch z.B. mit Excel zeichnen, siehe etwa Binomialverteilung.xls



An dieser Stelle sollte man sich aber auch bewusst machen, dass die relative Verteilung selbst vonhäufigen Wiederholungen oft stärker von der theoretische Verteilung abweicht. Die folgende Grafikvergleicht die relative Verteilung von 250 Experimenten, in denen die Treffer von 20 mal Würfelnbestimmt wurden mit der theoretischen Verteilung (siehe Bernoulli21.py)

10.3.5 Ein zweites Beispiel für eine Benoulliverteilung

Beispiel 2: Bei einem Mathetest gibt es 10 Fragen mit jeweils vier Antworten, von denen nur einerichtig ist. Felix kreuzt bei jeder Frage rein zufällig eine Antwort an. Mit welcher Wahrscheinlichkeithat er mindestens drei richtige Antworten, d.h. 30% der Fragen richtig beantwortet?

Was ist, wenn Felix 40 (statt 10) Fragen mit wieder vier Antworten, von denen jeweils eine richtigist, beantworten muss? Wie groß ist dann die Wahrscheinlichkeit, dass er mindestens 12 richtigeAntworten hat, d.h. durch Raten wieder 30% der Fragen richtig beantwortet?

1. Das Bernoulliexperiment beim zweiten Beispiel ist: Frage zufällig beantworten und danachentscheiden, ob dies die richtige Antwort ist. Die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer ist dabeip = 1

4 .

2. Die Kette besteht aus n = 10 Bernoulliexperimenten. Die Ergebnismenge S dieser Kettebesteht aus 210 ≈ 1 000 10-Tupeln.


Die Formel für die Binomialverteilung liefert P (X ≥ 3) =∑10i=3B10; 1

4(i). Mit dem GTR berechnen

wir die kumulative Wahrscheinlichkeit für das Gegenereignis P (X ≤ 2) mit Bcd(2,10,1/4) (siehe10.3.3 auf Seite 148). Dabei ergibt P (X ≤ 2) = 0,5256. Damit ergibt sich P (X ≥ 3) = 1 −0,8965 = 0,4744 = 47,4%. Das bedeutet, von 100 Schülern werden etwa 47 durch Raten mindestens3 Aufgaben richtig beantworten.



Bei der anscheinend fast gleichen Variante der Aufgabe (40 statt 10 Fragen, aber wiedermindestens 30% der Fragen richtig beantwortet) unterscheidet sich nur das n von der Fragestellungder ersten Variante. Sie ist also prinzipiell gleich zu beantworten. Allerdings liefert der GTR fürdas Gegenereignis P (X ≤ 11) von PX ≥ 12) mit Bcd(11,40,1/4) die Zahl 0,7151. Damit istdie Wahrscheinlichkeit durch Raten mindestens 30% der Aufgaben diesmal richtig zubeantworten nur noch 28,5% – nicht mehr 47,4%. Die „Trennschärfe eines Testes“ steigt alsomit der Anzahl der Fragen.

Bitte merkt Euch dieses Ergebnis. Der gesunde Menschenverstand findet diese Tatsache einfachfalsch. Man kann sich also bei Wahrscheinlichkeiten nicht auf Plausibilitätsüberlegungen verlassen.Man muss ganz konsequent rechnen. 10% Richtige von n Fragen sind wahrscheinlicher als 10%Richtige von 2 · n Fragen!

10.3.6 Ein drittes Beispiel für eine Benoulliverteilung

Beispiel 3: Ein Reiseunternehmen nimmt 140 Buchungen für ein Feriendorf mit 130 Betten an, daerfahrungsgemäß 11% der Buchungen wieder rückgängig gemacht werden. Mit welcher Wahrschein-lichkeit hat es zu viele Buchungen angenommen? Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist im Feriendorfsogar noch mindestens ein Platz frei?

1. Das Bernoulliexperiment beim dritten Beispiel ist: Eine Gruppe, die ein Haus im Feriendorfgebucht hat, tritt von der Buchung nicht zurück, reist also zum vereinbarten Termin an undbelegt ein Ferienhaus. Die Wahrscheinlichkeit für einen solchen Treffer ist dabei p = 89% =0,89.

2. Die Kette besteht aus n = 140 Bernoulliexperimenten – jede die Reise gebuchte Gruppekann anreisen. Die Ergebnismenge S dieser Kette besteht aus 2140 =

(210)14 ≈ 103·14 = 1042

140-Tupeln.


Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass höchstens 130 Treffer in der Kette vorhanden sind– wenn es mehr Treffer gibt, dann findet eine Gruppe kein Ferienhaus mehr und muss anderwei-tig untergebracht werden; meist in einem Hotel oder einer besseren Wohnung, schließlich hat derVermieter ja einen „Fehler“ gemacht.

Die Binomialverteilung liefert für die Wahrscheinlichkeit P (X ≤ 130) = 95,18% Der GTR liefertdabei mit bcd(130,140,0,89) das Ergebnis. Nur alle 20 Buchungstermine muss also eine leider nichtrichtig bearbeitete Buchung eingestanden werden.

Die Wahrscheinlichkeit, dass noch mindestens ein Platz frei ist, ist P (X < 130) = P (X ≤ 129) =91,16%. In 92% der Fälle ist eine Ferienwohnung nicht besetzt, in 4% = 95,18%−91,16% = P (X =130) der Fälle sind alle Ferienwohnungen belegt und in weniger als 5% der Fälle findet eine Gruppekeine gebuchte Ferienwohnung.

Hier kann man sich die kumulierte Binomialverteilung graphisch wieder veranschaulichen. Mansieht sehr schön, dass die Wahrscheinlichkeit, dass höchstens 130 Treffer auftreten, schon fast 100%beträgt.



Über der Zahl r wurde die Wahrscheinlichkeit abgetragen, dass es höchstens r Treffer gibt.

Zeichnet man die nicht kumulierte Verteilung (über r wird also die Wahrscheinlichkeit abgetra-gen, dass es genau r Treffer gibt), sieht man, dass die Wahrscheinlichkeiten, dass mehr als 130angemeldete Gäste erscheinen, sehr klein ist.



10.3.7 Ein viertes Beispiel für eine Binomialverteilung

Beispiel 4: In einem Land sind 4% der männlichen Bevölkerung farbenblind. Wie groß muss eineGruppe von Männern in dem Land mindestens sein, damit mit mindestens 90% Wahrscheinlichkeitmindestens einer in der Gruppe farbenblind ist?

1. Das Bernoulliexperiment beim vierten Beispiel ist: Einen Mann zufällig auswählen und danachentscheiden, ob er farbenblind ist. Die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer ist dabei p = 4% =0,04.

2. Die Kette besteht aus n Bernoulliexperimenten. Dabei ist n hier nicht näher bekannt. Wirkönnen (müssen) annehmen, dass n so ist, dass die geforderte Bedingung erfüllt ist. Hier heißtdies, dass in der Kette der Länge n die Wahrscheinlichkeit für mindestens einen Treffer 90%beträgt. Diese Bedingung wird uns im Folgenden eine Gleichung für n liefern, die wir danachlösen werden.

3. Die Zufallsvariable X ist die Abbildung von S nach N, die jedem Ergebnis der Bernoullikettedie Anzahl der Treffer zuordnet, d.h. die Anzahl der farbenblinden Männer. Dabei treten dieZahlen 0, 1,. . . n auf.

Die Wahrscheinlichkeit, dass bei unserer Kette der Länge n mindestens 1 Treffer auftritt ist P (X ≥1) ≥ 90%. D.h. die Wahrscheinlichkeit des Gegenereignisses P (X ≤ 0) = P (X = 0) ist kleiner 10%.Es muss also gelten

0,10 ≥ P (X = 0) = Bn;p(0) =(n

0

)· (0,04)0 · (1− 0,04)n−0

Der GTR liefert dafür n=57. Um diese Zahl mit dem GTR zu bestimmen, setz man entweder beibei Bpd(n,0,0,04) so lange für n Werte ein, bis man die Lösung gefunden hat (z.B. mit Intervall-schachtelung: Was ergibt sich n=0, was für n=100, dann was ergibt sich für n=50, für n=75, ....Oder man erstellt eine Tabelle z.B. für n = 40 . . . 80 und sucht den kleinsten Wert von n, der passt.siehe 10.3.3 auf Seite 148

10.4 Signifikanztests

In der Statistik gibt es ein Verfahren, mit dem man Aussagen signifikant auf dem Niveau5% (1%) erklären kann. (Die Zahl 5% bzw. 1% heißt Signifikanzniveau). Dieses Verfahren wirdin den empirischen Sozialwissenschaften häufig angewandt. Allerdings heißt statistisch signifikantnicht, dass die signifikante Aussage richtig sein muss! Es heißt nur, dass bei der Annahme desGegenteils der signifikanten Aussage – der sogenannten Nullhypothese H0 – das gerade bestimmteTestergebnis bei höchstens 5% (1%) aller möglichen Stichproben auftreten wird. Es heißt also, dasswir bei jedem 20-ten (100-ten) Test fälschlicherweise die Nullhypothese ablehnen, also einen Effektentdeckt zu haben glauben, der nicht vorhanden ist. Es heißt übrigens auch keinesfalls, dass diesignifikante Aussage zu 95% richtig ist!!Wenn wir sagen, dass ein Mathelehrer auf dem Niveau 5% signifikant weniger gemocht wird als einDeutschlehrer, so wissen wir nur dass unsere Annahme beispielsweise war, dass ein Deutschlehrer



von 30% der Schüler gemocht wird, aber wir wissen nicht, von wie vielen ein Mathelehrer gemochtwird, wir wissen nur, dass das Untersuchungsergebnis nicht gut zu der Annahme passt, dass auchder Mathelehrer von 30% der Schüler gemocht wird – nur in 5% aller möglichen Untersuchungenwird ein Ergebnis erwartet, das so aussieht, wie das konkrete Umfrageergebnis zu den Mathelehrern.

10.4.1 Tea Tasting Lady

Wir werden uns den Begriff der Signifikanz an einem berühmten Beispiel klar machen, dem der„Tea Tasting Lady“. Eine Lady trinkt gerne Tee mit Milch. Eines Tages behauptet sie, sie könnedurch Kosten feststellen, in welche Tasse zuerst der Tee und in welche zuerst die Milch gegossenwurde. Es wird vor dem Kosten jeweils umgerührt.

Wir nehmen die Lady ernst. Wir wollen ihre Aussage testen. Die Lady bekommt 20 mal zwei TassenTee, immer eine, in die zuerst die Milch und eine, in die zuerst der Tee hineingeschüttet wurde.Wenn sie nicht recht hat, also nicht zwischen „zuerst Tee“ und „zuerst Milch“ unterscheiden kann,dann sollte die Wahrscheinlichkeit, dass sie die Tasse Tee, in die die Milch zuerst geschüttet wurde,in p = 50% der Fälle richtig erkennen. Wenn wir einen Test durchführen, bei dem wir die Anzahl derrichtig bestimmten Tassenpaare zählen, dann sagt uns die Binomialverteilung, dass der Mittelwertµ = n ·p = 20 ·0,5 = 10 am häufigsten zu erwarten ist. Wir wissen aber, dass es durchaus auch seinkann, dass die Lady nicht genau 10 Tassen richtig bestimmt, sondern ein paar mehr oder weniger.

De Hypothese, die wir statistisch signifikant auf dem Niveua 5% erklären wollen, lautet: Die Ladyhat überdurchschnittliche Fähigkeiten. Das Gegenteil dieser Hypothese ist die sogenannte Nullhy-pothese H0: „Die Lady ratet nur“– das heißt, die Wahrscheinlichkeit, dass sie eine Tasse richtigbestimmt, ist p = 0,5.

Mit Hilfe der Binomialverteilung können wir im Fall der Nullhypothese errechnen (siehe unten,Kap. 10.4.2 auf S. 156), dass ein Testergebnis von mindestens r = 14 Treffern, d.h. von mindesten14 richtig bestimmten Tassen, nur eine Wahrscheinlichkeit von P (X ≥ 14) = 1 − P (X ≤ 13) =∑13i=0B20; 1

2(i) = 0,06 hat.

Ebenso bestimmen wir, dass ein Testergebnis von mindestens 15 Treffern eine Wahrscheinlichkeitvon P (X ≥ 15) = 1− P (X ≤ 14) =

∑14i=0B20; 1

2(i) = 0,02 hat.

Jetzt führen wir den Test durch. Wenn die Lady mindestens 15 Tassen richtig bestimmt, dannsagen wir, die Aussage der Lady ist signifikant auf dem Niveau 5%, weil P (X ≥ 15) = 1− P (X ≤14) =

∑14i=0B20; 1

2(i) = 0,02 < 0,05 Allerdings ist die Aussage nicht signifikant auf dem Niveau 1%,

da ja 0,02 > 0,01 ist. Damit die Aussage signifikant auf dem Niveau 1% ist, müsste die Lady 16Tassen richtig bestimmen (oder erraten).

Der Annahmebereich (der Nullhypothese) ist A+ = {0 ≤ r ≤ 14}, der AblehnungsbereichA− = {15 ≤ r ≤ n}. Denn es gilt P (A+) = P (X ≤ 14) ≥ 95% und P (A−) = P (X ≥ 15) =1− P (X ≤ 14) ≤ 5%, wenn wir einen Test auf dem Signifikanzniveau 5% machen.10

Die Binomialverteilung des Tests ist übrigens:10Die Begriffe Annahme- und Ablehungsbereich beziehen sich immer auf die Nullhypothese nicht auf die „gewünschte“

Alternativhypothese.



10.4.2 Signifikanz auf dem Niveau α

Definition 1: Es sei 0 < α < 1 das gewünschte Signifikanzniveau. Im Rahmen eines Modells mitder Wahrscheinlichkeitsverteilung p ist eine Abweichung a ≥ k einer Zufallsgröße X von ihremErwartungswert µ eine signifikante Abweichung nach oben auf dem Signifikanzniveauα, wenn gilt

P (X ≥ µ+ k) ≤ α

k ist dabei die kleinste Zahl, für die die Ungleichung gilt, d.h. für die nächst kleinere Zahl(k-1) gilt P (X ≥ µ+ (k − 1)) > α

Die Zahl k kann man dabei mit der Standardabweichung σ schätzen. Wenn α ≈ 5% ist, so ist knahe bei 2σ. Man berechnet dann für einige Zahlen um diesen Wert, jeweils P (X ≥ µ + k). Diekleinste Zahl k, für die dieser Wert kleiner als α ist, ist die untere Grenze des Ablehnungsbereichs(der Nullhypothese). Sinnvollerweise bestimmen wir die genauere Grenze mit einer Tabelle odereinem Test mit eine paar Zahlen mit der GTR-Funktion BCD(k,n,p). (siehe 10.3.3 auf Seite 148).

Der Annahmebereich geht jetzt bis einschließlich µ + k − 1. Der Ablehnungsbereich beginnt beiµ + k. Wenn beim Test die Anzahl der Treffer r dann größer ist als diese Zahl µ + k, so ist dieWahrscheinlichkeit, dass dieser Wert durch Zufall zustande gekommen ist, kleiner als α. Dann sagtman, dass der Test die Alternative signifikant bestätigt.

Den zu α gehörenden k-Wert, die untere Grenze des Ablehnungsbereichs, bestimmt man mit demGegenereignis, d.h. k ist so, dass P (X ≤ µ + k − 1) ≥ (1 − α) und P (X ≤ µ + k − 2) < (1 − α).Der Annahmebereich geht jetzt bis (k − 1), der Ablehnungsbereich beginnt bei k.

Im Beispiel unserer „Tea Tasting Lady“ ist k = 15, d.h. der Ablehnungsbereich ist {15, ...20}, daP (X ≤ 10 + 5− 1) = P (X ≤ 14) = Bcd(14,20,0 5) = 0,979 ≥ 1− 0,05 undP (X ≤ 10 + 5− 2) = P (X ≤ 13) = Bcd(13,20,0 5) = 0,942 < 1− 0,05

Entsprechend definiert man Signifikanz nach unten und beidseitige Signifikanz. Konkret:



Definition 2: Es sei 0 < α < 1. Im Rahmen eines Modells mit der Wahrscheinlichkeitsverteilung pist eine Abweichung r ≥ k einer Zufallsgröße X von ihrem Erwartungswert µ eine signifikanteAbweichung nach unten auf dem Signifikanzniveau α, wenn gilt

P (X ≤ µ− k) ≤ α

wobei k die kleinste solche Zahl ist.

Der Ablehnungsbereich geht dann von 0 bis einschließlich k, der Annahmebereich beginnt bei (k+1)

Definition 3: Es sei 0 < α < 1. Im Rahmen eines Modells mit der Wahrscheinlichkeitsverteilungp ist eine Abweichung k einer Zufallsgröße X von ihrem Erwartungswert µ) eine beidseitigesignifikante Abweichung auf dem Signifikanzniveau α, wenn gilt

• signifikante Abweichung nach oben von höchstens α2 , d.h.

P (X ≥ µ+ k) ≤ α

2k ist die kleinste Zahl mit dieser Abweichung

signifikante Abweichung nach unten von höchstens α2 , d.h.

P (X ≤ µ− k) ≤ α

2

Signifikant an sich gibt es nicht!Standardwerte für Signifikanzniveaus sind, α = 0,05 oder 0,02 oder 0,01.

Zusammenfassung Signifikanztest:

1. Nullypothese H0: Die Lady rät nur, Alternative A oder Hypothese H1: Die Lady hat einebesondere Fähigkeit.

2. Die Wahrscheinlichkeit des Bernoulliexperimentes der Nullhypothese ist p = 0,5 (die derAlternative, die wir nicht testen, wäre dann irgend ein Wert mit p ≥ 0,5, den wir aber nichtwissen, so nicht bestimmen können.)

3. Länge der Bernoullikette, d.h. die Anzahl der durchgeführten Bernoulliexperimente beimstatistischen Experiment wird bestimmt, etwa n = 20

4. Testgröße: X = Anzahl der richtig geratene Tassen bei n = 20 durchgeführten Einzelver-gleichen.

5. Das Signifikanzniveau wird festgelegt., z.B: α = 5%

6. Jetzt wird der Mittelwert µ und die Standardabweichung σ berechnet. Damit bestimmt manSchätzungen für die Grenze zwischen Annahme- und Ablehnungsbereich.

7. Entscheidungsregel. Vor dem Versuch ist zu berechnen, wie viele Treffer auftreten müssen,damit die Versuchskette die Alternative signifikant auf dem Niveau α ist. Bei der Tea TastingLady mit n = 20 gilt: Die Lady muss mindestens 15 Tassen richtig bestimmen.



Testen heißt also eine Testgröße X einer Binomialverteilung auf signifikante Abweichungen imRahmen des durch die Nullhypothese H0 gegebenen Modells zu untersuchen. Die Nullhypothese istdas Gegenteil der Aussage, die wir signifikant auf dem Signifikanzniveau zeigen wollen.Das Signifikanzniveau α wird vorher benannt.Der Ablehungsbereich – d.h. der Bereich, den wir mit unserem Test erreichen wollen (!) – bestimmtsich durch das Signifikanzniveau. Um so kleiner das Signifikanzniveau ist, um so weiter weg vomMittelwert beginnt der Ablehnungsbereich.

10.4.3 Fehler 1. und 2. Art

Wenn wir die Nullhypothese fälschlicherweise ablehnen, reden wir von einem Fehler 1. Art.

Ist also H0 richtig, aber unser Test ist signifikant auf dem Niveau α – imModell der Tea Tasting Ladywäre dies, dass die Lady nur geraten hat, obwohl wir feststellen, dass die Aussage der Lady auf demSignifikanzniveau α = 5% richtig ist – so lehnen wird die Nullhyothese mit der Wahrscheinlichkeitp = 0,02 fälschlicherweise ab. Wir haben dann einen Fehler 1.Art gemacht.

Wenn wir die Nullhypothese fälschlicherweise beibehalten, obwohl die Alternative richtig ist, redenwir von einem Fehler 2. Art.

Ist also die Alternative A richtig, aber unser Test ist nicht signifikant auf dem Niveau α – imModell der Tea Tasting Lady wäre dies, dass die Lady wirklich de Fähigkeit besitzt, zu merken, obzuerst die Milch oder zuerst der Tee in die Tasse geschüttet wurde, obwohl wir nicht feststellen,dass die Aussage der Lady auf dem Signifikanzniveau α = 5% richtig ist – so behalten wird dieNullhypothese fälschlicherweise bei. Wir haben dann einen Fehler 2.Art gemacht.

Beim Fehler 1.Art können wir angeben, wie groß die Wahrscheinlichkeit ist, dass wir einen Fehler1. Art machen. Beim Fehler 2. Art können wir dies nicht so einfach sagen, eigentlich können wirdies nur unter zusätzlichen Annahmen machen.

10.4.4 Gütefunktion

Wir wollen nun den Fehler zweiter Art genauer untersuchen.

Dazu nehmen wir zusätzlich an, dass p = 0,7 das richtige Modell ist, d.h. dass die Lady in 70% derFälle die Tasse richtig bestimmt. Jetzt ist die Zufallsvariable X eine Binomialverteilung mit n = 20und p = 0,7. Damit können wir berechnen, das gilt P (x ≥ 15) = 0,42 und P (X ≤ 14) = 0,58.Damit liefert unser Kriterium, ab 15 Treffer die Alternative zu wählen, in 42% der möglichenVersuchsdurchführungen ein richtige Ergebnis und in 58% der Fälle machen wir einen Fehler 2.Art.

Man sagt: Die Güte der Signifikanzentscheidung bei einer Alternativwahrscheinlichkeit von P = 0,7,der Nullhypothese p = 0,5 und dem Signifikanzniveau α = 0,05, d.h. dem Entscheidungskriterium„Signifikanz gilt ab r=14“, ist β = 0,42 Diese Zahl kann man in Abhängigkeit der Alternativwahr-scheinlichkeit ausrechnen. Man nennt diese Funktion Gütefunktion

β(p) = Pp(X ≥ 15) =20∑i=15

B20,p(i)



Den Fall p = 0,7 haben wir gerade berechnet. Man kann die Funktion zeichnen, dann erhält man

Wird bei einem statistischen Experiment die Anzahl der durchgeführten Bernoulliexperimente ver-größert, d.h. wird n vergrößert, so wächst die Steilheit der Gütefunktion.

Die Operationscharakteristik OC(p) = 1−β(p) gibt an, wie groß die Wahrscheinlichkeit des Fehlersder 2. Art ist.

10.4.5 Ein konkretes Vorgehen bei Signifikanztest

1. Formulieren Sie die Nullhypothese und die Alternative. Geben Sie auch das Signifikanzniveauα an an.

2. Bestimmen Sie, was das Bernoulliexperiment ist. Bestimmen Sie p.

3. Legen Sie fest, wie oft dieses Bernoulliexperiment durchgeführt wird. Bestimmen Sie n.

4. Berechnen Sie den Mittelwert µ = n · p und die Standardabweichung σ =√n · p · (1− p),

siehe 10.3.2 auf Seite 147.

5. Bestimmen Sie in Abhängigkeit des Signifikanzniveaus α den Ablehnungs- und Annahme-bereich der Nullhypothese. Beachten Sie, dass Sie mit Hilfe des Mittelwerts und der Stan-



dardabweichung Schätzwerte für die beiden Bereiche bekommen (siehe 10.3.2 auf Seite 147).Überprüfen Sie diese mit dem GTR.

6. Geben Sie den Annahmebereich (der Nullhypothese) und den Ablehnungsbereich ganz konkretan. Notieren Sie, wann die Alternative auf dem gegebenen Niveau α signifikant ist.

10.4.6 Aufgaben zu Signifikanztests

1. Aufgabe Die Informatikabteilung eines Touristikunternehmens beabsichtigt, in einen besserenInternetauftritt zu investieren. Die Geschäftsführung vertritt jedoch die Meinung, dass sichdiese Investition nicht lohne, da weiterhin mindestens 65% der Kunden in Reisebüros buchenwerden. Die Informatikabteilung widerspricht. Um zu testen, welche Meinung eher zutrifft,werden 150 zufällig ausgewählte Kunden zu einer erleichterten Buchung einer Reise im Inter-net befragt. Sie werden gefragt, ob sie sich für oder gegen eine Internetbuchung entscheiden,wenn die Buchung so möglich ist, wie von der Informatikabteilung beabsichtigt.

Wählen Sie eine Nullhypothese und eine Alternative.Berechnen Sie den Mittelwert und die Standardabweichung. Bestimmen Sie den Annahme-und den Ablehnungsbereich für einen einseitigen Signifikanztest.

Lösung der 1. Aufgabe: Wir gehen wie folgt vor:

1. Die Nullhypothese: Durch die Verbesserung des Internetauftritts werden nicht mehr Kun-den online buchen, d.h. die Wahrscheinlichkeit für eine Buchung über das Internet be-trägt (weiterhin) höchstens 35%.Die Alternative: Es buchen prozentual mehr Kunden online, wenn der Internetauftrittverbessert wird.Dies ist ein einseitiger Test.

2. Wir führen eine Befragung durch, bei der der Treffer heißt: Der Kunde bucht online. DieWahrscheinlichkeit für diesen Treffer bei der Nullhypothese ist p = 0,35%. Dies ist dieWahrscheinlichkeit eines einzelnen Bernoulliexperimentes.

3. Wir werden n = 150 Kunden befragen.

4. Der Mittelwert der Befragung ist µ = n · p = 150 · 0,35 = 52,5Die Standardabweichung ist σ =

√n · p · (1− p) =

√150 · 0 35 · 0 65 =

√34,125 = 5,84

5. Das Signifikanzniveau ist 5%.Das heißt, wenn eine Befragung eine Trefferzahl im noch zu bestimmenden Ablehnungs-bereich ergibt – die unter der Annahme, dass p = 0,35 ist, recht unwahrscheinlich ist,konkret in nur 5% der Befragungen zu erwarten ist – so bezeichnet man die Alternativesignifikant auf dem Niveau 5%.

6. Die Größe des Annahmebereichs geht etwa von

0 . . . µ+ 2 · σ = 0 . . . 52,5 + 2 · 5,8 ≈ 0 . . . 64



Dies folgt aus folgenden Überlegungen:Schätzen der oberen Grenze des Annahmebereichs: Die signifikante Abweichung k vomMittelwert µ = 52,5 nach oben auf dem Signifikanzniveau 5% ergibt sich wie folgt: EinSchätzwert ist r ≈ 2 · σ = 2 · 5,8 = 11,6. Damit ist die untere Grenze des Ablehnungs-bereichs (der Nullhypothese) g ≈ µ + 2 · σ = 52,5 + 11,6 = 64,1. D.h. der Ablehnungs-bereich sollte etwa bei 64 beginnen. Mit anderen Wort, wir suchen die kleinste Zahlr ≈ 64 = µ+ 2σ die, für die P (X ≥ r) ≤ 5% ist, bzw. P (X ≤ r − 1) ≥ 95%

7. Genaues Bestimmen der wirklichen Grenze mit dem GTR.Der GTR liefert mit der Funktion bcd(r,n,p) für P (X ≤ (64 − 1)) = P (X ≤ 63) =∑63i=0

(150i

)· (0,35)i · (0,65)150−i = 0,969.

Das bedeutet, 64 gehört zum Ablehnungsbereich, da P (X ≥ 64) = 1 − P (X ≤ 63) =1− 0,969 = 0,031 < 0,05).Wir benötigen aber den kleinsten k-Wert, so dass P (X ≤ µ + k − 1) ≥ 0,95. Deshalbbestimmen wir P (X ≤ 62) = 0,955 und P (X ≤ 61) = 0,937. Der Wert 63 gehört alsonoch zum Ablehnungsbereich, der Wert 62 nicht mehr.

8. Der Annahmebereich ist also {0, ..., 62}, der Ablehnungsbereich {63, ..., 120}. Wenn alsobei der Umfrage mindestens 63 Personen eine Online-Buchung wählen, können wir dieAussage, dass die Verbesserung des Internetauftritts zu mehr Online-Buchungen führt,signifikant auf dem Niveau 5% bewerten.

2. Aufgabe ([Sch10], S. 354 Nr. 3) Bei einer Lotterie zieht eine „Lotto-Fee“ aus einer Urne eineKugel. In der Urne befinden sich eine rote und vier blaue Kugeln. Falls eine rote Kugel ge-zogen wird, erhält man einen Preis. Ein Spieler zweifelt, ob die Kugel von der Fee wirklichzufällig gezogen wird.Bestimmen Sie für einen Signifikanztest auf dem Signifikanzniveau 5% bei einem Stichpro-benumfang von n = 50 (n = 500) den Annahmebereich für die Hypothese „Die Fee arbeiteteinwandfrei“. Wann kann man sagen, dass die Alternative signifikant ist? Wie groß ist dieIrrtumswahrscheinlichkeit, wenn man die Nullhypothese ablehnt?

Lösung der 2. Aufgabe: Wir gehen wie folgt vor:

1. Wenn die Fee nicht schummelt, dann ist die Wahrscheinlichkeit für das Ziehen einerroten Kugel p = 1

4 + 1 . Dies ist die Wahrscheinlichkeit der Nullhypothese. Man führtalso Bernoulliperimente mit p = 20% durch.

2. Die Länge der Bernoullikette ist n = 50 (bzw. n = 500).

3. Der Erwartungswert ist µ = n · p = 50 · 0 20 = 10.Die Standardabweichung ist σ =

√n · p · (1− p) =

√50 · 0 20 · 0 80 = 2,83

Im zweiten Falls gilt µ = n · p = 500 · 0 20 = 100.Die Standardabweichung ist σ =

√n · p · (1− p) =

√500 · 0 20 · 0 80 = 8,94)

4. Als Signifikanzniveau wurde 5% gewählt. Es ist ein beidseitiger Test, die Alternative gilt,wenn die Abweichung nach unten bzw. nach oben so groß ist, dass die Wahrscheinlichkeitfür diese oder eine größere Abweichung auf einer Seite zu klein ist, kleiner als α2 = 2,5%.(Evtl. könnte man hier auch annehmen, dass man nur eine Abweichung nach unten testenmuss, da die Fee sicher nicht zu viele Preise erschummelt.




µ− 2 · σ . . . µ+ 2 · σ = 10− 2 · 2,83 . . . 10 + 2 · 2,83 ≈ 4 . . . 15

6. Bestimmen der unteren Grenze des Annahmebereichs der Nullhypothese:Es gilt (etwa mit Hilfe einer Tabelle mit dem GTR und der Funktion BCD(X,50,0.20),set 3..7 - notfalls einfach probieren.)P (X ≤ 4) = 0 018P (X ≤ 5) = 0 048Damit ist die untere Grenze des Annahmebereichs gu = 5.Ebenso bestimmt manP (X ≤ 15) = 0 9691⇐⇒ P (x ≥ 16) = 1− P (X ≤ 15) = 0 0309P (X ≤ 16) = 0 9855⇐⇒ P (x ≥ 17) = 1− P (X ≤ 16) = 0 0145Also ist die obere Grenze des Annahmebereichs go = 16.

7. Der Annahmebereich der Nullhypothese bei n = 50 ist also [5 . . . 16]Der untere Ablehnungsbereich ist [0 . . . 4], der obere Ablehnungsbereich [17 . . . 50]

8. Ebenso bestimmt man für n=500:Der Schätzwert des Annnahmebereichs ist

µ− 2 · σ . . . µ+ 2 · σ = 100− 2 · 8,94 . . . 100 + 2 · 8,94 ≈ 82 . . . 118

Der GTR liefertP (X ≤ 82) = 0 023P (X ≤ 83) = 0 030Damit ist die untere Grenze des Annahmebereichs gu = 83.Ebenso bestimmt manP (X ≤ 117) = 0 973⇐⇒ P (x ≥ 118) = 1− P (X ≤ 117) = 0 027P (X ≤ 118) = 0 979⇐⇒ P (x ≥ 119) = 1− P (X ≤ 118) = 0 021Also ist die obere Grenze des Annahmebereichs go = 118. Die Trefferzahl 119 ist diekleinste Zahl, bei der die Nullhypothese abgelehnt wird.

9. Der Annahmebereich der Nullhypothese bei n = 500 ist also [83 . . . 118]

10. Die Irrtumswahrscheinlichkeit, dass man die Nullhypothese im Fall n = 50 fälschli-cherweise ablehnt ist also P (X ≤ 4) + (1 − P (X ≤ 16)) = 0,018 + (1 − 0,9855) =0,018 + 0,0145 = 3,25%.Im Fall n=100 ist die Irrtumswahrscheinlichkeit P (X ≤ 82) + (1 − P (X ≤ 118)) =0,023 + (1− 0,979) = 0,023 + 0,021 = 4,4%.

3. Aufgabe ([Sch10], S. 354 Nr. 4) Eine Partei hatte bei der letzten Wahl einen Stimmenanteilvon 32%. Es ist zu untersuchen, ob sich der Stimmenanteil verändert hat.Ein Institut führt dazu einen Signifikanztest auf dem Signifianzniveau 5% mithilfe einer re-präsentativen Umfrage bei 1000 Wählern durch. Davon geben 305 an, dass sie die Parteibei der nächsten Wahl wählen wollen. Welches Ergebnis liefert der Signifikanztest für dieNullhypothese „Der Stimmenanteil ist gleich geblieben.“. Beurteilen Sie das Ergebnis.

Lösung der 3. Aufgabe: Wir untergliedern das Vorgehen in folgende Schritte



1. Die Nullhypothese ist p = 32%. Man führt also Bernoulliperimente mit p = 32% durch.

2. Die Länge der Bernoullikette ist n = 1000.

3. Der Erwartungswert ist µ = n · p = 1000 · 0 32 = 320.Die Standardabweichung ist σ =

√n · p · (1− p) =

√1000 · 0 32 · 0 68 = 14,75

4. Als Signifikanzniveau wurde 5% gewählt. Es ist ein beidseitiger Test, die Alternative gilt,wenn die Abweichung nach unten bzw. nach oben so groß ist, dass die Wahrscheinlichkeitfür diese oder eine größere Abweichung auf einer Seite zu klein ist, kleiner als α2 = 2,5%


µ− 2 · σ . . . µ+ 2 · σ = 320− 2 · 14,75 . . . 320 + 2 · 14,75 ≈ 290 . . . 349

6. Bestimmen der unteren Grenze des Annahmebereichs der Nullhypothese:Es gilt (etwa mit Hilfe einer Tabelle mit dem GTR und der Funktion BCD(X,1000,0.32),set 287..294 - notfalls einfach probieren.)P (X ≤ 290) = 0 022P (X ≤ 291) = 0 261Damit ist die untere Grenze des Annahmebereichs gu = 291.Ebenso bestimmt manP (X ≤ 348) = 0 9726P (X ≤ 349) = 0 9766Also ist die obere Grenze des Annahmebereichs go = 349.

7. Der Annahmebereich der Nullhypothese ist also [291 . . . 349]Der untere Ablehnungsbereich ist [0 . . . 290], der obere Ablehnungsbereich [350 . . . 1000]

8. Da bei der Umfrage r = 305 Treffer aufgetreten sind, liegt die Anzahl der Treffer imAnnahmebereich. Man kann also feststellen, dass es durchaus sinnvoll ist anzunehmen,dass sich der Wähleranteil der Partei nicht geändert hat, dass also weiterhin etwa 32%der Wähler der Partei ihre Stimme geben würden.

4. Aufgabe ([Sch10], S. 354 Nr. 9) Von Reißnägeln wird behauptet, dass sie mit 55% Wahr-scheinlichkeit auf dem Kopf landen. Führen Sie in Ihrem Kurs einen Signifikanztest durch,der diese Hypothese auf einem Signifikanzniveau von 5% testet. Jeder Kursteilnehmer soll fürdie Stichprobe 50 Reißnägel werfen.

1. Jeder Teilnehmer führt für seine Stichprobe einen Test durch.

2. Alle 20 Stichproben werden zusammengerechnet und dann wir der Test durchgeführt.

3. Vergleichen Sie die Ergebnisse.

Lösung der 4. Aufgabe: Wir gehen schrittweise wie folgt vor

1. Wenn die Aussage über die Reißnägel richtig ist, ist p = 55%. Man führt also Bernoulli-experimente mit p = 55% durch.



2. Die Länge der Bernoullikette ist n = 50 bzw. n = 20 · 50 = 1000

3. Der Erwartungswert ist µ = n · p = 50 · 0 55 = 27,5 bzw. 1000 · 0 55 = 550.Die Standardabweichung bei n = 0 ist σ =

√n · p · (1− p) =

√50 · 0 55 · 0 45 = 3,52 –

bei n = 1000 gilt σ = 15,73.

4. Als Signifikanzniveau wurde 5% gewählt. Es ist ein beidseitiger Test, die Alternative gilt,wenn die Abweichung nach unten bzw. nach oben so groß ist, dass die Wahrscheinlichkeitfür diese oder eine größere Abweichung auf einer Seite recht klein ist, kleiner als α2 = 2,5%

5. Die Größe des Annahmebereichs bei nn = 50 geht etwa von

µ− 2 · σ . . . µ+ 2 · σ = 27,5− 2 · 3,52 . . . 27,5 + 2 · 3,52 ≈ 20,5 . . . 34,5

Bei n = 1000 ist der Annahmebereich etwa

µ− 2 · σ . . . µ+ 2 · σ = 550− 2 · 15,7 . . . 550 + 2 · 15,7 ≈ 518,5 . . . 581,5

6. Bestimmen der genauen unteren Grenze des Annahmebereichs der Nullhypothese fürn = 50:P (X ≤ 20) = 0 0235P (X ≤ 21) = 0 0443Damit ist die untere Grenze des Annahmebereichs gu = 21.Ebenso bestimmt manP (X ≤ 33) = 0 9726P (X ≤ 34) = 0 9766Also ist die obere Grenze des Annahmebereichs go = 34.Der Annahmebereich für n=50 ist also 21 . . . 34 Das heißt, wenn die Anzahl der Trefferin diesem Bereich liegt, dann sollte man die Nullhypothese nicht verwerfern – bewiesenist sie nicht, genau so wenig, wie sie widerlegt ist, wenn man die Nullhypotese signifikantverwerfen kann. Man beweist nicht, sondern man entscheidet sich aufgrund von Wahr-scheinlichkeitsüberlegungen für oder gegen eine Nullhypothese. Das Rechenverfahren istexakt, aber die Schlussfolgerungen sind keinesfalls zwingend. Es sind nur Plausibilitäts-aussagen. Das sollte man sich ganz klar machen.

7. Bestimmen der genauen unteren Grenze des Annahmebereichs der Nullhypothese fürn = 1000:P (X ≤ 518) = 0 0227P (X ≤ 519) = 0 0264Damit ist die untere Grenze des Annahmebereichs gu = 519.Ebenso bestimmt manP (X ≤ 580) = 0 9739P (X ≤ 581) = 0 97675Also ist die obere Grenze des Annahmebereichs go = 581.Der Annahmebereich für n=1000 ist also 519 . . . 581

8. Es ist interessant,dass bei n = 50 die Abweichung vom Mittelwert µ = 27,5 ±6,5 beträgt.Beim 20-fachen Mittelwert beträgt die Abweichung aber nicht ±20 · 6,5 = 130 sondern



nur ±31 ≈ 29 =√

20 · 6,5. Das heißt, der Bereich in dem sich 95% der statistischenErgebnisse befinden, nimmt mit wachsender Länge der Bernoullikette relativ ab. Ist bein = 50 die relative Breite des 95%-Bereichs 6,5

20,5 = 0,317, so ist bei n = 1000 die relative

Breite 31550 = 0,056 ≈= 0,071 = 0,317√

20. Man sagt, die Genauigkeit des Mittelwertes steigt

mit√n.

Im Internet findet man viele weitere Aufgaben zum Signifikanztest, etwa11

1. www2.klett.deHier findet man fünf Aufgaben mit Lösungen. Bei der ersten ausführlich besprochenen wirdgetestet, ob durch die erfolgte Änderung im Produktionsprozess weniger defekte Bauteileauftreten.Auf Seite 2 dieser Unterlage von Klett findet man lesbaren Anmerkungen zum Signifikanztestund auf Seite 3 ist eine kurze Zusammenfassung, was ein Signifikanztest leisten kann und wasnicht. Man sollte sich diese Unterlagen wirklich ansehen. Am Ende stehen vier Aufgaben mitkurzen Lösungen.

2. m.schuelerlexikon.deAn zwei Beispielen werden die wesentlichen Punkte von Signifikanztests besprochen.

3. astrid-wilczynski.privat.t-online.deVier Aufgaben zu zweiseitigen Signifikanztest werden ausführlich besprochen. Es lohnt sichdiese Aufgaben anzusehen.

4. www.stochastik-in-der-schule.deZwei Abiaufgaben zur Statistik, die ausführlich besprochen werden.

5. www.mathesite.deAusführliche Darstellung eines Würfeltests. Hier wird auch auf den Fehler der 2. Art ausführ-lich eingegangen.Außerdem finden sich dort noch drei weitere Aufgaben ohne Lösung .

6. www.klassenarbeiten.deEine Klassenarbeit wird ausführlich besprochen.

7. www.der-weyer.deHier finden sich zwei Aufgaben, wobei auf die Lösungen nur knapp angegeben wird.

8. www.physik-im-unterricht.deFünf Aufgaben deren Lösung nur summarisch angegeben werden.

9. www.raschweb.deNur acht Abiaufgaben ohne Lösung.

11Angezeigt wird immer der Servername; zum Link kommt üblicherweise man, wenn man mit gedrückter STRG-Tasteauf den Link klickt.


http://www2.klett.de/sixcms/media.php/229/735301_3581_Signifikanztest.801214.pdf

http://m.schuelerlexikon.de/ma_abi2011/Beispiel_eines_Signifikanztests.htm

http://astrid-wilczynski.privat.t-online.de/Stochastik/Tests_zweiseitig.pdf

http://www.stochastik-in-der-schule.de/sisonline/struktur/jahrgang17-97/heft3/1997-3_Alt2.pdf

http://www.mathesite.de/pdf/hypo.pdf

http://www.klassenarbeiten.de/oberstufe/grundkurs/mathematik/stochastik/signifikanztests.htm

http://www.der-weyer.de/media/files/m12s-uebungzusignifikanztest.pdf

http://www.physik-im-unterricht.de/Q12-M-Signifikanztest-Wdhlg.pdf

http://www.raschweb.de/emg-g9/LKM_K13/LKM-K13-Signifkanztest-Abi.pdf

Kap. 11 Bausteine Mathe, GZG, FN

11 Bausteine

Wie beim Hausbau, so müssen auch beim Abi nicht alle Dinge neu erfunden werden, sondern alsSchüler sollte man in der Lage sein, einige grundlegende Bausteine anwenden zu können, um damitdie Aufgaben zu lösen. Man sollte die Aufgaben in Aufgabenteile untergliedern, die man dann mitden hinreichend eingeübten Verfahren bearbeitet.

11.1 Zentrale Bausteine Analysis

• Die Ableitung von f(x) = xn ist f ′(x) = n · xn

• Funktionen, die eine Wurzel enthalten oder einen Kehrwert, führt man auf den obigen Punktzurück: Etwa: f(x) = 1

7√x3 = x−

37 Also f ′(x) = −3

7 · x− 3

7−1 = −37· 7√

x10

• Man muss die Kettenregel anwenden, wenn Funktionen hintereinander ausgeführt werden(siehe Gl. (5.2.1) auf Seite 28), etwa f(x) = e−4x2 hat die Ableitung f ′(x) = e−4x2 · (−8x),

• Produktregel, wenn zwei Funktionen multipliziert werden.

• Quotientenregel

• Stammfunktionen: Man kann sie erraten und dann mit Hilfe der Ableitung überprüfen.

•∫ 1x dx = ln(|x|)

11.2 Zentrale Bausteine Analytische Geometrie

Es gibt drei Arten, wie man Ebenen beschreiben kann:

1. Parameterform: Eine Ebene wird durch die Angabe eines Stützvektors (eines Punktes) unddurch zwei Spannvektoren beschrieben (siehe Gl. (105) auf Seite 117), Meist gilt dabei

~p = −→OA~u = −−→AB~v = −→AC

E : ~x = −→OA+ s−−→AB + t

−→AC (125)

2. Normalenform: Eine Ebene wird durch die Angabe eines Stützvektors (eines Punktes) undeiner Normalen beschrieben. Die Normale wird dabei mit Hilfe der beiden Spannvektorenberechnet. Da dies oft benötigt wird, sollte das Verfahren gut beherrscht werden:Sei −→n =

([)x; y; z] ein Normalenvektor. Dann gilt auch −→n · −−→AB = 0 und −→n · −→AC = 0.

Dies sind zwei Gleichungen mit drei Unbekannten. Es gibt also unendlich viele Lösungen, vondenen aber nur eine benötigt wird. Mit dem Gaußverfahren kann man erreichen, dass eineGleichung nur zwei Variable enthält. Man kann durch Wahl der

3. Koordinatenform: Eine Ebene wird durch die Angabe der Normalen (d.h. durch drei Koeffi-zienten) und einer Zahl beschrieben.


Kap. 12 Abspann – anstelle einer Einleitung Mathe, GZG, FN

12 Abspann – anstelle einer Einleitung

Was sollte man in Mathematik im Abitur wissen? Was muss man lernen? Was muss man mindestenswissen? — Bücher hierzu gibt es genügend. Jedes Schulbuch sollte genügen, jedes Buch, das aufdas Abi vorbereitet. Wahrscheinlich findet man auch im Internet genügend Informationen, z.B. aufhttp://www.mathematik.de oder auch auf den GZG-Seiten w2.gzg-fn.de dort zum K1/K2-Linkgehen oder direkt Mathe fürs Abi

Diese Seiten sollen nicht nur eine weitere Zusammenfassung sein. Sie sollen den Schülern vor al-lem die Denkweise, die Haltung ihres Lehrers zu den schulischen Themen der Mathematik zeigen.Vielleicht ist es ein wenig arroganz zu sagen, es lohnt sich meine Denkweise als lernenswert zubezeichnen. Aber Schüler müssen sich beim Lernen auch auf den Lehrer einstellen. Wie sieht er dieDinge? Was ist ihm wichtig? Diese Seiten sind als Hilfe für die Hausarbeit, für die Nacharbeit derSchüler gedacht. Ich habe zu oft gehört: „Im Unterricht war mir dies schon klar, aber zu Hausenicht mehr.“ In sofern sind die Seiten auch einfach eine Zusammenfassung des Unterrichts, nichtspeziellen eines Unterrichts, sondern eines abstrakten Unterrichts, den ich so oder so ähnlich schonöfters wiederholt habe.

Der Text enthält Zusammenfassungen des Unterrichtsstoffes und Aufgaben mit Lösungen, einfa-chere und komplexere, so dargestellt, wie wir sie in der Schule geübt haben oder hätten sollen.Die Aufgaben sollen den Schüler ermuntern, sie selbst zu lösen – aber auch ihm zeigen, wie sie ihrLehrer lösen würde. Verschiedene Lehrer erklären verschieden Vorgehensweisen und lösen Aufgabenverschieden. Das trifft auf die Deutschlehrer und die Mathelehrer zu, das Fach spielt keine Rolle.Die Lösungen sollen aber auch ermuntern, die eigene Lösung kritisch zu überprüfen und sie sollenzeigen, auf was man Wert legen sollte, wenn man eine Mathematikaufgabe löst: Eine gute Lösungenthält nicht nur Formeln und Rechnungen sondern auch viel Text. Dies ist zumindestmeine Ansicht. Man sollte jede Aufgabe zuerst selbständig zu lösen versuchen – wenn man dabeikeinen Erfolg hat, schaut man sich die Lösung an. Wenn man die Lösung gefunden hat, überprüftman sie kritisch mit einer anderen. Schüler, die anderen helfen, haben immer einen Vorteil; sie sehenja, wie andere vorgehen, wo sie Schwierigkeiten haben. Nachdem man die Lösung angeschaut hat,bearbeitet man die Aufgabe ein bis drei Tage später vielleicht nochmals alleine. Fast alle Aufgabenkann man auf ganz unterschiedliche Arten lösen. Wer eine Aufgabe anders löst und zum selbenErgebnis kommt, ist fast sicher richtig vorgegangen.

„Kein Mensch lernt denken, indem er die fertig geschriebenen Gedanken anderer liest, sonderndadurch, dass er selbst denkt.“12. Dies ist die Basis erfolgreichen Lernens, dies ist das, was alleLehrer von ihren Schülern seit Jahrhunderten fordern. Und trotzdem stelle ich immer wieder fest,dass ich gerade das den Schülern selten erfolgreich vermitteln kann. Trotz oder vor allem aufgrundder vielen Selbstlernmethoden – die doch nur Blätter sind, die man auf eine ganz bestimmte Weisedurcharbeiten muss, durch die man kleinschrittig geführt wird, ohne das Ziel zu erkennen. Manfährt einfach mit einem Navi durch die Gegend und wundert sich, dass man sich danach nichtauskennt. Wer eine Stadt kennen lernen will, muss ziellos umher schweifen, muss sich verlaufen.Viele Selbstlernblätter lassen keinen freien Zugang zum Thema, so wie die vielen Interpretations-hilfen in Deutsch. Lernen am Modell, das was seit Jahrzehnten als erfolgreichste Lernvariante gilt,erfordert aber das Mitdenken, das Selbst-Denken beim Zuhören. Lehrer müssen mit gutem Beispielvorangehen - aber die Schüler müssen eigenständig mitlaufen, mit-nachdenken. Schüler sind keine

12Das Zitat stammt von(M. Eminescij, ich weiß aber nicht mehr, wo ich es gefunden habe.


http://www.mathematik.de

w2.gzg-fn.de

http://w2.gzg-fn.de/mia/mathe13/aa_Mathe.pdf


Computer, die vom Lehrer programmiert werden können. Man lernt erfolgreich, nicht wenn manSpaß dabei hat, sondern wenn man erkannt hat, dass man sich gut fühlt, wenn einem ein „Talglicht-lein“ aufgeht, wenn man nach einer Anstrengung mehr weiß als vorher. Sich anstrengen, wirklichdenken verbessert das Wohlgefühl des Menschen. Nur nebenbei: In Krisenzeiten, dann wenn mansich anstrengen muss, gibt und gab es viel weniger Depressionen als heute.

Im Abitur und in den Klassenarbeiten wird in Mathematik zwar auch Wissen abgefragt, das maneinfach auswendig lernen kann, aber hauptsächlich geht es dort um mathematische Fähigkeiten,deren Anwendung gefragt ist. Mathematiker reden heutzutage gerne von Modellierung. Sie unddie Naturwissenschaftler wundern sich, dass die Mathematik so viel zum Verständnis der Naturbeitragen kann, schon immer konnte. Aber im Bewusstsein der deutschen Öffentlichkeit ist diesnoch nicht angekommen, es gilt immer noch als schick, in Mathematik nichts verstanden zu haben- und dabei sind doch wenige Denkschemata nötig, um zumindest die Grundlagen zu verstehen,die im Abitur benötigt werden. „Alle sollen sich schämen, die sich gedankenlos der Wunder derWissenschaft und Technik bedienen, und nicht mehr davon geistig erfasst haben als die Kuh von derBotanik der Pflanzen, die sie mit Wohlbehagen frisst.“ (Einstein). Enzensberger – er sollte aus demDeutschunterricht bekannt sein – hat dazu Lesenswertes geschrieben, siehe http://w2.gzg-fn.de/mia/mathe/Enzensberger.htm

Aber die Anwendungen, die Modellierungen mehr oder weniger komplexer Sachverhalte, sind sichernicht der einzige Grund dafür, warum sich Menschen mit Mathematik beschäftigen. Wahrscheinlichnicht einmal in erster Linie. Es geht nicht nur um Anwendung, sondern oft primär um Schönheit,um Ästhetik. Man muss dies nicht nachvollziehen können, genau so wenig, wie man sich für moderneKunst, für alte oder klassische Musik begeistern muss, aber man sollte es zur Kenntnis nehmen.Bei Wikipedia findet sich zu Schönheit: „Im Alltag wird als schön meist etwas bezeichnet, waseinen besonders angenehmen Eindruck hinterlässt: ein schöner Körper, ein schönes Musikstück,eine schöne Bewegungsabfolge im Tanz, aber auch Erlebnisse wie z. B. Gestreichelt-Werden. EineNähe zu Begriffen wie Harmonie und Symmetrie fällt auf.“

„Ich habe die Unart, ein lebhaftes Interesse bei mathematischen Gegenständen nur da zu nehmen,wo ich sinnreiche Ideenverbindungen und durch Eleganz oder Allgemeinheit sich empfehlende Re-sultate ahnen darf."“ (Gauß)

„Es kann nicht geleugnet werden, dass ein großer Teil der elementaren Mathematik von erhebli-chem praktischen Nutzen ist. Aber diese Teile der Mathematik sind, insgesamt betrachtet, ziemlichlangweilig. Dies sind genau diejenigen Teile der Mathematik, die den geringsten ästhetischen Werthaben. Die ‚echte‘ Mathematik der ‘echten‘ Mathematiker, die Mathematik von Fermat, Gauß, Abelund Riemann ist fast völlig ‚nutzlos‘.“ (Hardy)

Paul Erdös erzählte gerne von dem BUCH, in dem Gott die perfekten Beweise für mathematischeSätze aufbewahrt. Diesem Zitat liegt eine berühmte die Aussage Godfrey Harold Hardy zugrunde,der meinte dass es für hässliche Mathematik keinen dauerhaften Platz gäbe13, siehe Einleitung zuDas BUCH der Beweise, [AZ02]

13The mathematician’s patterns, like the painter’s or the poet’s must be beautiful; the ideas, like the colours or thewords must fit together in a harmonious way. Beauty is the first test: there is no permanent place in this worldfor ugly mathematics. Deutsche Übersetzung: Die Muster des Mathematikers müssen wie die des Malers oderDichters schön sein, die Ideen müssen wie Farben oder Worte in harmonischer Weise zusammenpassen. Schönheitist das erste Kriterium: es gibt keinen Platz in dieser Welt für hässliche Mathematik


http://w2.gzg-fn.de/mia/mathe/Enzensberger.htm

http://w2.gzg-fn.de/mia/mathe/Enzensberger.htm


Wenn man eine Aufgabe in Mathematik lösen möchte, sollte man sich zuerst Zeit nehmen, dieFragestellung, das Problem der Aufgabe zu verstehen. Und danach sollte man grob den Weg zurLösung strukturieren, so wie man eine Wanderung in unbekanntem Gebiet sinnvollerweise mit einerKarte plant, sich überlegt, wie und wo man gehen möchte. Danach arbeitet man sich zum Ergebnisvor – wobei man viele Einzelheiten oft erst im Lauf des Arbeitsprozesses erkennt. Man benötigtGeduld und vor allem Vertrauen zu sich (etwas was viele Schüler nicht haben, etwas was nicht nurhilfreich ist, sondern fast notwendig), dass man im Lauf der Rechnung schon dort ankommen wird,wo man hin soll. Eine Wanderkarte gibt ja auch nur einen groben Überblick über die Wanderung.Das, was man beim Wandern sieht, erlebt, findet man nicht auf der Wanderkarte.

Diese Fähigkeiten, sich mit mathematischen Fragestellungen erfolgreich zu beschäftigen, kann mandurch Übung zumindest teilweise erwerben. Sicher spielt Begabung eine Rolle, aber wer seine Fä-higkeiten durch Übung nicht trainiert, wird wohl nie erfolgreich in Mathematik. So wie niemandohne Training in Sport erfolgreich sein kann. Und genau so wenig, wie man beim Wettlauf durch einÜbungsprogramm am Tag zuvor erfolgreich sein wird, hilft das Üben am Tag vor der Klassenarbeit.Man muss regelmäßig über mehrere Wochen üben. Wir Menschen sind keine Computer, denen manein Programm laden kann und die es dann sofort erfolgreich anwenden können.

"Man kennt das doch: Der Trainer kann noch so viel warnen, aber im Kopf jedes Spielers sind 10Prozent weniger vorhanden, und bei elf Mann sind das schon 110 Prozent." (Werner Hansch)

Man braucht beim Autofahren Praxis. Jeder weiß dies, auch wenn Anfänger dies oft zu ignorierenscheinen und deshalb viel mehr Unfälle machen als erfahrene Autofahrer. Gewisse Dinge sollteman einfach so lange einüben, bis man sie ohne Überlegen anwenden kann, ohne zu sehr darübernachdenken zu müssen. Wer beim Autofahren überlegen muss, wie er Gas geben muss, wie lenken,tut sich in schwierigen Situation ersichtlich schwer. Wer in Mathematik Schwierigkeiten mit derBruchrechnung, mit dem Umformen von Gleichungen, mit der Potenzrechnung hat, wird schwierigeAufgaben weder verstehen noch lösen können.

Jeder Sportler weiß, dass man für den Aufbau von Kondition Zeit braucht. Muskeln lassen sich nichtinnerhalb von kurzer Zeit trainieren. Warum sollte dies beim Gehirn anders sein? Sicher werdenbegabte Sportler auch mit weniger Übung einiges erreichen, aber sicher weniger als mit Übung. Esgibt auf beiden Gebieten Menschen, die nur mit Übung, wiederholter Übung, Erfolge erreichen. Siegehören zu der großen Mehrheit, die ohne Training, ohne Ausdauer beim Üben nicht erfolgreich sind.Jeder sollte seine Fähigkeiten einschätzen lernen - aber jeder kann seine Fähigkeiten verbessern.Und so wie man nach Üben im Sport an einem Wettkampf teilnehmen kann, so kann man durchÜben auch das Abitur in Mathematik bestehen. Die Olympiaden, die Landeswettkämpfe findendanach an der Uni statt. Um diese kümmern wir uns in der Schule eigentlich nicht, leider.

"Das Denken gehört zu den größten Vergnügungen der menschlichen Rasse." (B. Brecht)


Kap. Literatur Mathe, GZG, FN

Literatur

[Ada09] Internetinfo zu Ries, Adam.Siehe den Link bei Focus: http://www.focus.de/wissen/bildung/Geschichte/450-todestag-adam-ries-rechnung-auf-linien-und-feder_aid_384292.html, 2009

[AZ02] Aigner, Martin ; Ziegler, Günther: Das BUCH der Beweise. Springer, 2002

[BW04] Baden-Württemberg, Kultusministerium: Bildungsplan Mathematik.Siehe den Link bei beim Bildungsministerium http://www.bildung-staerkt-menschen.de/service/downloads/Bildungsstandards/Gym/Gym_M_bs.pdf, 2004

[lib09] Internetinfo zu Liber Abaci.Siehe die Links:http://www.gap-system.org/~history/Biographies/Fibonacci.htmloder http://www.math.utah.edu/~beebe/software/java/fibonacci/liber-abaci.htmloder http://planetmath.org/encyclopedia/LiberAbaci.html, 2009

[Rem09] Remer, Christian S.: Arithmetica theoretico-practica, Faksimilausgabe im Internet.Siehe den Link auf die Faksimilausgabe http://libcoll.mpiwg-berlin.mpg.de/libview?mode=imagepath&url=/mpiwg/online/permanent/library/RD8CDAGH/pageimg, 2009

[Sch04a] Schulbuch: Abitur 2009, Prüfungsaufgaben mit Lösungen. Stark, Freising, 2004

[Sch04b] Schulbuch: Lambacher-Schweizer Kursstufe, Ba-Wü. Klett, Stuttgart, 2004

[Sch09] Schulbuch: Lambacher-Schweizer Kursstufe K1 und K2, Ba-Wü. Klett, Stuttgart, 2009

[Sch10] Schulbuch: Lambacher-Schweizer Kursstufe, Ba-Wü. Klett, Stuttgart, 2010

[Sie09] Siebeneicher, Christian: Algebra in der Grundschule.Siehe den Link http://www.math.uni-bielefeld.de/~sieben/workshop-deutsch.pdf, 2009


http://www.focus.de/wissen/bildung/Geschichte/450-todestag-adam-ries-rechnung-auf-linien-und-feder_aid_384292.html

http://www.focus.de/wissen/bildung/Geschichte/450-todestag-adam-ries-rechnung-auf-linien-und-feder_aid_384292.html



http://www.gap-system.org/~history/Biographies/Fibonacci.html

http://www.math.utah.edu/~beebe/software/java/fibonacci/liber-abaci.html

http://www.math.utah.edu/~beebe/software/java/fibonacci/liber-abaci.html

http://planetmath.org/encyclopedia/LiberAbaci.html

http://libcoll.mpiwg-berlin.mpg.de/libview?mode=imagepath&url=/mpiwg/online/permanent/library/RD8CDAGH/pageimg



http://www.math.uni-bielefeld.de/~ sieben/workshop-deutsch.pdf

http://www.math.uni-bielefeld.de/~ sieben/workshop-deutsch.pdf

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MathefürsAbiw2.gzg-fn.de/mia/mathe13/aa_Mathe.pdf · MathefürsAbi W. Seyboldt GZG, Friedrichshafen Stand Dezember 2014 Inhaltsverzeichnis 1 Grundlagen 5 1.1 MathematischeGrundfähigkeiten