MindestanforderungskatalogMathematik

der HochschulenBaden-Wurttembergs

fur ein Studium von MINT-oder Wirtschaftsfachern

(WiMINT)

Ergebnis einer Fachtagung

am 5. Juli 2012 in Esslingen

1. Februar 2013

Autoren:Prof. Dr. Klaus Durrschnabel, HS KarlsruheProf. Dr. Hans-Dieter Klein, HS UlmProf. Dr. Cornelia Niederdrenk-Felgner, HS Nurtingen-GeislingenProf. Rolf Durr, SSDL TubingenSD Bruno Weber, LS StuttgartSD Rita Wurth, Mettnau-Schule Radolfzell

Tagungsteilnehmer:OStR Friedrich Achtstatter, LS StuttgartDr. Jochen Berendes, Geschaftsstelle fur Hochschuldidaktik KarlsruheProf. Dr. Manuela Boin, HS UlmDr. Isabel Braun, HS KarlsruheSD Gabriele Brosch-Kammerer, Berufliches Schulzentrum LeonbergProf. Rolf Durr, Staatliches Seminar fur Didaktik und Lehrerbildung (Gymnasien) TubingenProf. Dr. Klaus Durrschnabel, HS KarlsruheProf. Dr. Michael Eisermann, Uni StuttgartProf. Dr. Wolfgang Erben, HfT StuttgartProf. Dr. Michael Felten, HDM StuttgartProf. Bernd Hatz, Elly-Heuss-Knapp-Gymnasium StuttgartProf. Dr. Elkedagmar Heinrich, HS KonstanzProf. Dr. Frank Herrlich, KITSD Dr. Jorg Heuß, Staatliches Seminar fur Didaktik und Lehrerbildung (BS) KarlsruheProf. Dr. Stefan Hofmann, HS BiberachProf. Dr. Andreas Kirsch, KITProf. Dr. Hans-Dieter Klein, HS UlmDr. Michael Kolle, RP TubingenProf. Dr. Karin Lunde, HS UlmProf. Dr. Werner Lutkebohmert, Uni UlmProf. Dr. Cornelia Niederdrenk-Felgner, HS NurtingenDipl.-Math Bernd Oder, HS AalenProf. Dr. Stephan Pitsch, HS ReutlingenProf. Dr. Ivica Rogina, HS KarlsruheDr. Norbert Rohrl, Uni StuttgartProf. Dr. Ralf Rothfuß, HS EsslingenProf. Dr. Axel Schenk, HS HeilbronnProf. Dr. Axel Stahl, HS EsslingenProf. Dr. Ursula Voß, HS ReutlingenProf. Hans-Peter Voss, Geschaftsstelle fur Hochschuldidaktik KarlsruheMR Steffen Walter, Ministerium fur Wissenschaft, Forschung und Kunst, StuttgartSD Bruno Weber, LS StuttgartProf. Dr. Frederik Weller, HS EsslingenSDin Karen Wunderlich, Ministerium fur Kultus und Sport, StuttgartSD Rita Wurth, Mettnau-Schule Radolfzell

Satz:Dr. Isabel Braun, Projekt ’SKATING’, HS Karlsruhe

Die cosh-Arbeitsgruppe dankt der Studienkommission fur Hochschuldidaktik an Hochschulen fur Ange-wandte Wissenschaften in Baden-Wurttemberg fur die Gewahrung von Fordermitteln im Rahmen desProjekts ”Heterogenitat als Chance - Entwicklung und Erprobung tutorieller Betreuungsmodelle”, wel-ches durch den Innovations- und Qualitatsfonds (IQF) des Ministeriums fur Wissenschaft, Forschung undKunst Baden-Wurttemberg gefordert wird.

Mindestanforderungskatalog Mathematik

der Hochschulen Baden-Wurttembergsfur ein Studium von MINT- oder Wirtschaftsfachern

1. Februar 2013

Vorwort

Das vorliegende Papier ist das Ergebnis einer Arbeitstagung an der Akade-mie Esslingen zum Thema ,,Ubergangsschwierigkeiten in Mathematik an derSchnittstelle Schule zu Hochschule“.

Teilnehmer waren ProfessorInnen von Hochschulen fur angewandte Wis-senschaften und Universitaten sowie LehrerInnen der beruflichen und allge-meinbildenden Gymnasien und der Berufskollegs in Baden-Wurttemberg.

Die Tagung wurde initiiert von der Arbeitsgruppe cosh (KooperationSchule-Hochschule), die sich seit zehn Jahren mit dem Ubergang von Schulezu Hochschule beschaftigt.

Bei diesem Ubergang haben seit vielen Jahren die StudienanfangerInnenProbleme im Fach Mathematik. Empirische Analysen belegen, dass sich dieseProblematik verscharft hat.

Bei der Tagung wurde mehrfach auf die unterschiedlichen Bildungsauf-trage von Schule und Hochschule hingewiesen. In der Hochschule wird Mathe-matik haufig zielgerichtet als Werkzeug und Sprache zur Losung von komple-xen berufsrelevanten Problemen eingesetzt. In der Schule steht der allgemein-bildende Charakter des Mathematikunterrichts im Vordergrund. Kompeten-zen wie Argumentieren, Problemlosen oder Modellieren haben in den letztenJahren im Mathematikunterricht ein deutlich großeres Gewicht erhalten. DieSchule soll nicht nur auf ein Ingenieurstudium vorbereiten.

Durch die Hochschulreife erhalten SchulerInnen die formale Berechtigung,alle Facher an Hochschulen studieren zu konnen. Offensichtlich beherrschenaber nicht alle die in der Schule vermittelten mathematischen Inhalte und

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Kompetenzen mit der Sicherheit, die fur das Studium eines wirtschafts-,informations-, ingenieurs- oder naturwissenschaftlichen Faches (im Folgen-den mit WiMINT bezeichnet) erforderlich ist. Es darf aber bei einem Studi-enanfanger erwartet werden, dass er diese Lucken in eigener Verantwortungschließen kann. Dabei soll er von Schulen und Hochschulen unterstutzt wer-den. Daruber hinaus setzt die Hochschulseite in den WiMINT-StudiengangenKenntnisse und Fertigkeiten voraus, die nicht in den Bildungsplanen derGymnasien und Berufskollegs in Baden-Wurttemberg abgebildet sind. Nachunserer Einschatzung andern auch die beschlossenen bundesweiten Bildungs-standards nichts an dieser Diskrepanz.

Der folgende Mindestanforderungskatalog beschreibt die Kenntnisse,Fertigkeiten und Kompetenzen, die StudienanfangerInnen eines WiMINT-Studiengangs haben sollten, um das Studium erfolgreich zu starten. DieseAnforderungen werden durch Aufgabenbeispiele konkretisiert.

Die im folgenden Text in Klammern gesetzten Zahlen beziehen sichauf die Aufgabenbeispiele im Anhang. Im Katalog sind einige Inhalte undAufgaben besonders gekennzeichnet:

(*) nicht in den Bildungsplanen der Berufskollegs verpflichtend auf-gefuhrt.

(**) weder in den Bildungsplanen der Berufskollegs noch der Gymnasienverpflichtend aufgefuhrt.

Aus drei Grunden messen wir diesem Katalog eine außerordentliche Be-deutung zu:

• Er stellt das Ergebnis einer engagierten Diskussion und Analyse dereingangs beschriebenen Problematik dar und legt eine differenzierteBeschreibung dazu vor.

• Er wurde in einem breiten Konsens von beiden beteiligten Seiten –Schule und Hochschule – erstellt.

• Er spiegelt das Interesse von Schule und Hochschule wider, die Proble-matik gemeinsam zu losen.

Der Katalog macht deutlich, dass die Anforderungen an der Schnitt-stelle Schule-Hochschule in großen Bereichen aufeinander abgestimmt sind.Die dort auftretenden Schwierigkeiten der Studienanfanger konnen durch

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Vertiefungs- und Ubungsangebote weitgehend aufgefangen werden. Die Ana-lyse zeigt aber auch eine systematische Diskrepanz, die es aufzulosen gilt.

Die Teilnehmer der Tagung haben die Verantwortung der einzelnen Be-teiligten an dieser Schnittstelle klar benannt:

• Die Schule muss den SchulerInnen ermoglichen, die im Anforderungs-katalog nicht besonders gekennzeichneten Fertigkeiten und Kompeten-zen zu erwerben. SchulerInnen, die beabsichtigen, ein WiMINT-Fachzu studieren, sollen uber die bestehenden Probleme informiert werden.Im Rahmen ihrer Moglichkeiten bietet die Schule Hilfestellungen an.

• Die Hochschule akzeptiert diesen Anforderungskatalog – und nichtmehr – als Basis fur Studienanfanger. Im Rahmen ihrer Moglichkeitenbietet die Hochschule Hilfestellungen an.

• Die Studienanfanger mussen, wenn sie ein WiMINT-Fach studieren,dafur sorgen, dass sie zu Beginn des Studiums die Anforderungen desKatalogs erfullen. Dafur muss ihnen ein adaquater Rahmen gebotenwerden.

• Die Politik muss auf die beschriebene systematische Diskrepanz rea-gieren. Solange diese Diskrepanz besteht, sind flachendeckend Maß-nahmen erforderlich, um die beschriebenen Schwierigkeiten moglichstrasch zu beseitigen. Um die Qualitat unseres Bildungssystems zu si-chern, mussen Rahmenbedingungen fur Schule, Hochschule und Studi-enanfanger so verbessert werden, dass diese ihrer oben beschriebenenVerantwortung gerecht werden konnen.

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1 Allgemeine Mathematische Kompetenzen

Das Studium von WiMINT-Fachern erfordert zusatzlich zur allgemeinen Stu-dierfahigkeit die Bereitschaft, auch komplexe Fragestellungen dieser Gebieteohne Scheu anzugehen, daran hartnackig und sorgfaltig zu arbeiten und dabeidie strenge Exaktheit der Fachsprache und Fachsymbolik zu akzeptieren. DieNutzung elektronischer Hilfsmittel – insbesondere mathematischer Software– wird immer selbstverstandlicher. Ihr sinnvoller Einsatz erfordert Kontrolledurch Plausibilitatsbetrachtungen, die eine besondere Vertrautheit im Um-gang mit Zahlen und Variablen (vgl. Kap. 2) voraussetzen. Diese muss durchnachhaltiges Uben wachgehalten werden.

1.1 Probleme losen

Sachverhalte oder Probleme in den WiMINT-Fachern konnen in unterschied-lichen Darstellungsarten vorliegen, zum Beispiel als Text, Grafik, Tabelle,Bild, Modell usw.. Manchmal konnen Probleme auch offen formuliert sein.Die StudienanfangerInnen konnen

• dazu nutzliche Fragen stellen; (1)

• die gegebenen Sachverhalte mathematisch modellieren; (2), (3), (22)

• Strategien des Problemlosens anwenden; (4)

• Hilfsmittel (Formelsammlung, elektronische Hilfsmittel) angemessennutzen. (13)

1.2 Systematisch vorgehen

Die StudienanfangerInnen konnen systematisch arbeiten. Sie

• zerlegen komplexe Sachverhalte in einfachere Probleme;

• konnen Fallunterscheidungen vornehmen; (5)

• arbeiten sorgfaltig und gewissenhaft. (49)

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1.3 Plausibilitatsuberlegungen anstellen

Zur Kontrolle ihrer gesamten Arbeit konnen die StudienanfangerInnen

• Fehler identifizieren und erklaren; (6)

• Großenordnungen abschatzen; (7), (10)

• mittels Uberschlagsrechnung ihre Ergebnisse kontrollieren. (8)

1.4 Mathematisch kommunizieren und argumentieren

Fur das Begreifen der Fragestellungen und das Weitergeben mathematischerErgebnisse ist es unerlasslich, dass die StudienanfangerInnen

• Fachsprache und Fachsymbolik verstehen und verwenden; (9), (10)

• mathematische Sachverhalte mit Worten erklaren; (11), (12)

• Zusammenhange (mit und ohne Hilfsmittel) visualisieren; (3), (13), (14)

• eigene sowie fremde Losungswege nachvollziehbar prasentieren konnen.(15)

2 Elementare Algebra

Wir setzen voraus, dass die StudienanfangerInnen die Aufgaben zu denfolgenden Kompetenzen ohne CAS-Rechner und ohne Taschenrechner(TR/GTR) losen konnen, es sei denn zur Bestimmung eines numerischenEndergebnisses.

2.1 Grundrechenarten

Die StudienanfangerInnen verfugen uber grundlegende Vorstellungen vonZahlen (N,Z,Q,R). Sie

• konnen uberschlagig mit Zahlen rechnen; (16)

• konnen die Regeln zur Kommaverschiebung anwenden; (17)

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• beherrschen die Vorzeichen- und Klammerregeln, konnen ausmultipli-zieren und ausklammern; (18)

• konnen Terme zielgerichtet umformen mithilfe von Kommutativ-,Assoziativ- und Distributivgesetz; (19)

• beherrschen die binomischen Formeln mit beliebigen Variablen; (20),(21)

• verstehen Proportionalitaten und konnen mit dem Dreisatz rechnen(z.B. Umrechnung Bogenmaß-Gradmaß). (22), (23), (24)

2.2 Bruchrechnen

Die StudienanfangerInnen konnen die Regeln der Bruchrechnung zielgerichtetanwenden. Sie konnen

• erweitern und kurzen; (25), (26)

• Bruche multiplizieren, dividieren, addieren und subtrahieren. (27), (28)

2.3 Prozentrechnung

Die StudienanfangerInnen konnen mit Prozentangaben gut und sicher um-gehen. Sie beherrschen die Zins- und Zinseszinsrechnung. (29), (30), (31),(8)

2.4 Potenzen und Wurzeln

Die Studienanfanger konnen die Potenz- und Wurzelgesetze zielgerichtet an-wenden. Sie wissen, wie Wurzeln auf Potenzen zuruckgefuhrt werden undkonnen damit rechnen. (27), (32), (33), (40)

2.5 Gleichungen mit einer Unbekannten

Die Studienanfanger konnen Gleichungen mit Hilfe von Aquivalenz-umformungen und Termumformungen losen. Sie konnen

• lineare und quadratische Gleichungen losen; (34), (35), (36), (39 a)

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• Gleichungen durch Faktorisieren losen; (39 c)

• (**) Wurzelgleichungen losen und kennen dabei den Unterschied zwi-schen einer Aquivalenzumformung und einer Implikation; (37), (40)

• (*) einfache Betragsgleichungen losen und dabei den Betrag als Ab-stand auf dem Zahlenstrahl interpretieren; (5 a), (38)

• (*) Gleichungen auch durch Substitutionen losen (biquadratisch, expo-nential, . . . ). (39 b), (39 d)

2.6 (*) Ungleichungen in einer Variablen

Die StudienanfangerInnen konnen die Losungsmengen von einfachen Unglei-chungen bestimmen. Sie konnen

• lineare Ungleichungen losen; (41)

• quadratische Ungleichungen grafisch losen; (42)

• einfache Betragsungleichungen losen und dabei den Betrag als Abstandauf dem Zahlenstrahl interpretieren; (43), (44)

• (**) Ungleichungen mit Bruchen losen. (45)

3 Analysis

3.1 Funktionen

Die Studienanfanger verfugen uber ein Verstandnis fur Funktionen, d. h. sie

• kennen wichtige Eigenschaften (Definitionsmenge, Symmetrie, Monoto-nie, Nullstellen, Extrem- und Wendestellen) der folgenden elementarenFunktionen: lineare, quadratische, hohere Polynomfunktionen,Potenzfunktionen, x→

√x , x→ 1

x, x→ 1

x2 ,Exponentialfunktionen (auch x→ ex),(*) x→ ln (x),x→ sin (x),x→ cos (x),(*) x→ tan (x); (46)

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• konnen den qualitativen Verlauf der Graphen dieser elementaren Funk-tionen beschreiben sowie Funktionsterme von elementaren Funktionenihren Schaubildern zuordnen und umgekehrt; (47)

• konnen elementare Funktionen transformieren und die entspre-chende Abbildung (Verschiebung, Spiegelung an Koordinatenachsen,Streckung/Stauchung in x- und y-Richtung) durchfuhren; (48)

• konnen durch Addition, Multiplikation und (*)Verkettung von Funk-tionen neue Funktionen erzeugen; (49 b)

• konnen Tabellen und Graphen auch fur nichtelementare Funktionen (ineinfachen Fallen auch ohne Hilfsmittel) erstellen; (50)

• konnen aus gegebenen Bedingungen einen Funktionsterm mit vorgege-benem Typ bestimmen. (51)

3.2 Differenzialrechnung

Die StudienanfangerInnen verfugen uber ein grundlegendes Verstandnis desAbleitungsbegriffs und beherrschen die zentralen Techniken der Differenzial-rechnung, d. h. sie

• haben ein propadeutisches Wissen uber Grenzwerte; (52)

• verstehen die Ableitung an einer Stelle als momentane Anderungsrateund als Tangentensteigung; (53)

• konnen den Zusammenhang zwischen einer Funktion und ihrer Ablei-tungsfunktion erlautern; (54)

• konnen aus dem Graphen einer Funktion den qualitativen Verlauf desGraphen der Ableitungsfunktion bestimmen und umgekehrt; (55)

• kennen die Ableitungsfunktionen elementarer Funktionen; (56)

• kennen die Summen-, Faktor-, (*)Produkt- und (*)Kettenregel undkonnen diese sowie einfache Kombinationen davon anwenden; (57)

• konnen die Differentialrechnung zur Bestimmung von Eigenschaftenvon Funktionen (insbesondere Monotonieverhalten und Extremstellen)nutzen; (54), (58), (59)

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• konnen mithilfe der Differentialrechnung Optimierungsprobleme losen.(60)

3.3 Integralrechnung

Die StudienanfangerInnen verfugen uber ein grundlegendes Verstandnis desIntegralbegriffs und beherrschen zentrale Techniken der Integralrechnung,d. h. sie

• verstehen das bestimmte Integral als Grenzwert einer Summe; (61)

• konnen das bestimmte Integral als Rekonstruktion eines Bestandes ausder Anderungsrate und als orientierten Flacheninhalt interpretieren;(62)

• kennen den Begriff der Stammfunktion und kennen die Stammfunk-tionen der grundlegenden Funktionen x → xk(k ∈ Z), x → ex,x→ sin (x), x→ cos (x); (63), (65 c)

• konnen die Summen- und Faktorregel zur Berechnung von Stammfunk-tionen anwenden; (64)

• konnen bestimmte Integrale mit Hilfe von Stammfunktionen berechnen;(65 a,b)

• konnen die Integralrechnung zur Berechnung der Flache zwischen zweiKurven anwenden. (66)

4 Lineare Algebra / Analytische Geometrie

4.1 Orientierung im zweidimensionalen Koordinaten-system

Die StudienanfangerInnen finden sich sicher im zweidimensionalen Koordi-natensystem zurecht. Insbesondere konnen sie

• eine analytisch gegebene Gerade zeichnen; (67)

• Koordinatenbereiche skizzieren; (68)

• (**) einen durch eine Gleichung gegebenen Kreis zeichnen; (69)

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4.2 Lineare Gleichungssysteme

Die Studienanfanger konnen

• (*) lineare Gleichungssysteme mit bis zu 3 Gleichungen und 3 Unbe-kannten ohne Hilfsmittel losen. Offensichtliche Losungen werden ohneGauß-Elimination erkannt; (70)

• (*) die Losbarkeit derartiger Gleichungssysteme - in einfachen Fallenauch in Abhangigkeit von Parametern - diskutieren; (70), (71)

• ein lineares Gleichungssystem mit 2 Gleichungen und 2 Unbekanntengeometrisch im zweidimensionalen Koordinatensystem interpretieren.(72)

4.3 (**) Grundlagen der anschaulichen Vektorgeome-trie

Die Studienanfanger konnen mit Vektoren in Ebene und Raum umgehen.Insbesondere

• konnen sie Vektoren als Pfeilklassen interpretieren; (73)

• kennen sie die Komponentendarstellung von Vektoren; (74), (75)

• konnen sie Punktmengen im Anschauungsraum mit Hilfe von Vektorenuntersuchen; (74), (75)

• beherrschen sie die Addition und S-Multiplikation von Vektoren; (75)

• konnen sie mit Hilfe von Vektoren Geraden und Ebenen im Raum dar-stellen. (76), (77), (78)

5 Stochastik

Die Hochschulen setzen keine Vorkenntnisse der Stochastik zu Studienbeginnvoraus, begrußen aber im Sinne der Allgemeinbildung, dass statistische sowiewahrscheinlichkeitstheoretische Grundlagen in der Schule vermittelt werden.

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Anhang - Beispielaufgaben

Die aufgefuhrten Beispielaufgaben verdeutlichen das Anforderungsniveau deroben genannten Kenntnisse und Fertigkeiten.

1. Im Jahr 2006 hatte Deutschland 41,27 Millionen weibliche und40,27 Millionen mannliche Einwohner. In Baden-Wurttemberg lebten10,75 Millionen Menschen, davon waren 50,88 % weiblich. Die An-zahl der Auslander betrug in Deutschland 7,29 Millionen, in Baden-Wurttemberg 1,27 Millionen und in Hamburg 250 000.

(a) Formulieren Sie Fragen, die mithilfe dieser Daten beantwortet wer-den konnen.

(b) Formulieren Sie eine Frage, fur deren Beantwortung mindestenseine weitere Information notwendig ist.

2. Die Geschwindigkeit eines Autos betragt 20 ms

zu Beginn der Be-obachtung. Innerhalb der nachsten 10 s nimmt die Geschwindigkeitgleichmaßig bis zum Stillstand ab. Bestimmen Sie die Geschwindigkeitals Funktion der Zeit.

3. Modellieren Sie den Tagesgang der Temperatur durch eine Sinusfunk-tion. Bestimmen Sie die Parameter aus den folgenden Angaben: Um16:00 Uhr ist die Temperatur mit 25 ◦C am hochsten. Nachts um 4:00Uhr ist es mit 3◦ C am kaltesten.

4. Ein Schwimmbecken mit dem Volumen 720 m3 kann durch drei Leitun-gen mit Wasser gefullt werden. Eine Messung ergab, dass die Fullungdes Beckens mit den beiden ersten Leitungen zusammen 45 Minutendauert. Die Fullung mit der ersten und der dritten Leitung zusammendauert eine Stunde, mit der zweiten und der dritten Leitung zusammendauert es 1,5 Stunden.

(a) Wie groß ist die Wassermenge, die durch jede der drei Leitungenpro Minute ins Becken gepumpt werden kann?

(b) Wie lange benotigt man bei der Benutzung aller drei Leitungen,um das Becken zu fullen?

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5. Fur welche x ∈ R sind die folgenden Gleichungen und Ungleichungenerfullt?

(a) (*) |2x− 3| = 8

(b) (**) |3x− 6| ≤ x+ 2

(c) (**) x+1x−1≤ 2

6. f ist eine Polynomfunktion.

(a) Welche Aussagen sind falsch? Erlautern Sie anhand eines Bei-spiels.

• Wenn f ′(x0) = 0 ist, dann ist x0 eine Extremstelle von f .

• Wenn x0 eine Extremstelle von f ist, dann ist f ′(x0) = 0.

• Ist f ′′(x0) > 0, so ist der Punkt P (x0|f(x0)) ein Tiefpunktdes Graphen von f .

(b) (**) Was andert sich an diesen Antworten, wenn auch nicht diffe-renzierbare Funktionen betrachtet werden?

7. Im Jahr 2010 wurde in Baden-Wurttemberg auf einer Flache von11 333 ha Wein angebaut. Der durchschnittliche Ertrag pro Ar betrug92 Liter. Wie lang ware die Flaschenreihe ungefahr, wenn man die ge-samte Jahresproduktion in Dreiviertelliterflaschen abfullen wurde unddiese Flaschen der Lange nach hintereinander legen wurde?

8. Zu Beginn jedes Jahres werden auf ein Sparbuch 1000 e eingezahlt.

(a) Das Guthaben wird wahrend der gesamten Zeit mit einem Zins-satz von 5 % pro Jahr verzinst, und die Zinsen werden jahrlichdem Guthaben zugeschlagen. Schatzen Sie, welcher der folgendenWerte dem Guthaben am Ende des 5. Jahres am nachsten kommt.Begrunden Sie Ihre Wahl, ohne das genaue Ergebnis zu berechnen.1250 e 5000 e 6250 e 5800 e 5250 e

(b) Berechnen Sie das Ergebnis genau.

9. Was ist an der folgenden Darstellung falsch?x2 − 4⇒ (x− 2)(x+ 2)

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10. Ordnen Sie (ohne Verwendung eines Taschenrechners) die angegebenenZahlen der Große nach, beginnend mit der kleinsten:0; (0, 5)−2,4; 1; 4; 4−3,8; 0,25; 2−3,3; (0,5)2,4; 8; 2−3

11. Die Abbildung zeigt fur −6 ≤ x ≤ 3 das Schaubild der Ableitungsfunk-tion h′ einer Funktion h.

Entscheiden und begrunden Sie, ob gilt:

• x1 = 0 ist eine Wendestelle von h.

• h′′(−2) = 1

• Die Funktion h ist streng monoton fallend fur x > −4.

Skizzieren Sie das Schaubild von h′′.

12. (a) Beschreiben Sie den Term a ·√b · c2 + d in Worten.

(b) (*) Welche Ableitungsregeln benotigen Sie zur Ableitung derFunktion f mit f(x) = x · e−x2

?Berechnen Sie die Ableitung.

13. Vor 200 Jahren wurden in Entenhausen 2 Dagos - das entspricht etwa0,3 e - bei einer Bank angelegt und jahrlich mit 8 % fest verzinst.

(a) Wie groß ware das Guthaben heute, wenn stets die Zinsen wiedermitverzinst wurden? Stellen Sie eine Wertetabelle auf und denVerlauf des Guthabens in Abhangigkeit von den Jahren dar.

(b) Nach wie vielen Jahren waren die 2 Dagos auf 200 Dagos ange-wachsen?

(c) Wie hoch musste der Zinssatz sein, damit nach 200 Jahren dasGuthaben umgerechnet 2.000.000e betragt?

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14. Betrachten Sie die beiden LGS:{15x+ 3y = 305x+ 0, 96y = 0

}sowie

{15x+ 3y = 305x+ 0, 98y = 0

}(a) Losen Sie beide LGS.

(b) Interpretieren Sie das uberraschende Ergebnis.

(c) Skizzieren Sie die 3 beteiligten Geraden.

(d) Bei welcher Variation der letzten Gleichung gibt es gar keineLosung?

15. Jan formuliert die Losung einer Aufga-be in ”Kurzschreibweise”:

(a) Erganzen Sie die fehlende Rech-nung.

(b) Welches geometrische Problemhatte Jan zu losen?

(c) Interpretieren Sie das von Jan er-rechnete Ergebnis geometrisch.

2

2

( ) 3 12 5

( ) 6 8

( ) ( ) :

3 12 5 6 8

...

1

f x x x

g x x

f x g x

x x x

x

= − −= − −=

− − = − −⇔⇔ =

16. (a) Begrunden Sie, dass (9941

)2 zwischen 4 und 9 liegt.

(b) Zwischen welchen aufeinander folgenden ganzen Zahlen liegt√150?

17. Vereinfachen Sie:

(a) 0, 005 · 100

(b) 78653104

18. Losen Sie die Klammern auf und vereinfachen Sie soweit wie moglich:−(a− (b+ c− (5− (a+ 3))))

19. Vereinfachen Sie:3ab− (b(a− 2) + 4b)

20. Vereinfachen Sie folgenden Ausdruck:4−t2

4−4t+t2

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21. Multiplizieren Sie mithilfe der binomischen Formeln aus:( b

3x− x2

b3)2

22. Fließt ein Gleichstrom durch eine verdunnte Kupfersulfatlosung, so ent-steht am negativen Pol metallisches Kupfer. Die abgeschiedene Kupfer-menge ist sowohl zur Dauer des Stromflusses, als auch zur Stromstarkedirekt proportional. Bei einer Stromstarke von 0,4 A werden in 15 Minu-ten 0,12 g Kupfer abgeschieden. Wie lange dauert es, bis 0,24 g Kupferbei einer Stromstarke von 1 A abgeschieden werden?

23. Eine Kamera hat eine Auflosung von 6 Megapixel (der Einfachheithalber 6 Millionen Pixel) und produziert Bilder im Kleinbildformat 3 :2. Wie groß ist ein quadratisches Pixel auf einem Ausdruck im Format(60 cm) × (40 cm)?

24. (a) Berechnen Sie im Bogenmaß: 135◦; 19, 7◦

(b) Berechnen Sie die folgenden Bogenmaße im Gradmaß: 0,6 π; 2,7

25. (a) Fur den Gesamtwiderstand R zweier parallel geschalteter Wi-derstande R1, R2 gilt:1R

= 1R1

+ 1R2

Losen Sie die Gleichung nach R auf.

(b) Bringen Sie auf den Hauptnenner. ax−2

+ b(x−2)2

+ cx−3

26. Fassen Sie den Ausdruck zu einem Bruch zusammen: 1x+1

+ x− 1

27. Vereinfachen Sie (a2·b

c·d3 )3 : ( a·b2c2·d2 )4

28. Losen Sie den folgenden Doppelbruch auf, sodass das Ergebnis nureinen Bruchstrich enthalt

1ω·c

1ω·c + R

29. Der Aktienkurs den Firma XXL fallt im Jahr 2008 um 10 % und wachstin den Jahren 2009 und 2010 um je 5 %. Wo steht der Kurs Ende 2010im Vergleich zum Beginn von 2008?

30. Ein Kreissektor fullt 30 % der Flache eines Kreises aus. Welchem Zen-triwinkel entspricht das?

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31. Wie verandert sich der Flacheninhalt eines rechtwinkligen Dreiecks,wenn eine der Katheten um 20 % verkurzt und die andere um 20 %verlangert wird?

32. Fassen Sie folgenden Ausdruck zusammen:x2x4 + x8

x2 + (x2)3

+ x0

33. Vereinfachen Sie:√x · 3√x2

6√x

34. Bestimmen Sie die Nullstellen der quadratischen Funktion f mit:f(x) = x2 − 3x− 4

35. Losen Sie folgende Gleichung nach x auf: y = x+1x−1

36. Welche der Aussagen sind in Bezug auf die folgende Gleichung richtig?

(x− 2)(x−√

2) (x2 − 9

)= 0

(a) Bei einem Polynom 4.Grades sind die Nullstellen hier zu schwierigzu bestimmen.

(b) x = 1 und x = 2 sind Losungen

(c) x = 2 und x = 3 sind Losungen

(d) x = 1, 4142 und x = 2 sind Losungen

(e) Es gibt genau 4 Losungen.

37. (**) Fur welche x gilt√

8− 2x = 1 +√

5− x?

38. (*) Losen Sie:|x− 3| = 2|2x+ 3| = 5

39. Fur welche x ∈ R sind die folgenden Gleichungen erfullt?

(a) (**) 1x+3

+ 1x−3

= 6x2−9

(b) (*) x4 − 13x2 + 36 = 0

(c) 2e−2x − 5e−x = 0

(d) (*) 3 + 2e−2x − 5e−x = 0

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40. Losen sie die folgenden Ausdrucke nach x auf:

(a)√x · u = v

x2

(b) x34 · t2 = x−4 · y

41. Fur welche x gilt 3x− 7 > 2 + 5x?

42. (*) Fur welche x gilt x2 − 2x < 3?

43. (**) Losen Sie:|x− 3| < 2|2x− 3| > 5

44. (*) Der Staudruck pSt bei einer Stromung ist proportional zum Quadratder Geschwindigkeit, d. h. pSt(v) = kv2. In welchem Geschwindigkeits-bereich ist er kleiner als der Wert p0?

45. (**) Fur welche x ∈ R ist

(a) 1√x< 1

9?

(b) 11−x > 3?

46. Welche der folgenden Aussagen sind falsch?Geben Sie fur die falschen Aussagen ein Gegenbeispiel an.

(a) Eine Polynomfunktion ungeraden Grades hat mindestens eineNullstelle.

(b) Eine Polynomfunktion geraden Grades hat keine Nullstellen.

(c) Quadratische Funktionen haben keine Wendestellen.

(d) Die Funktion f mit f(x) = 1x

hat alle reellen Zahlen als Definiti-onsmenge.

(e) Die Funktion f mit f(x) = 1x

hat alle reellen Zahlen als Werte-menge.

(f) Alle Funktionen f mit f(x) = ax(a > 0) sind streng monotonwachsend.

(g) Der Graph der Funktion f mit f(x) = xn(n ∈ N) ist achsensym-metrisch zur y-Achse.

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(h) (*) Die Funktion f mit f(x) =√x+ 5 hat als maximale Definiti-

onsmenge alle reellen Zahlen, die großer als 5 sind.

(i) Die Maximalstellen der Funktion f mit f(x) = sin(x) sind Wen-destellen der Funktion g mit g(x) = cos(x).

47. (**) Gegeben sind die Funktionen f und g mit f(x) =√x und g(x) =

ln(x).

(a) Welche Eigenschaften haben die beiden Funktionen gemeinsam?

(b) In welchen Eigenschaften unterscheiden sie sich?

(c) Skizzieren Sie die Graphen in einem gemeinsamen Koordinaten-system.

48. Skizzieren Sie die Graphen von:

(a) y = sinx

(b) y = 2 sin x

(c) y = 2 + sinx

(d) y = sin(2x)

(e) y = sin(x+ 2)

(f) y = 2 sin(x+ 2) + 2

(g) y = − sinx

(h) y = sin(−x)

(i) y = − sin(−x)

49. (a) Multiplizieren Sie die Klammer aus: (1 +√x)2

(b) (*) Gegeben sind die Funktionen f1, f2 und f3 mitf1(x) = x2, f2(x) = 1 und f3(x) =

√x; x ∈ R+.

Bestimmen Sie die Funktionen g, h und k mitg(x) = f3(f1(x) + f2(x));h(x) = f3(f1(x)) + f2(x);k(x) = f1(f2(x) + f3(x)).

Vereinfachen Sie dabei die Funktionsterme so weit wie moglich.

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50. Skizzieren Sie den Graphen der Funktion f mit f(x) = xe(sin(x))2

51. (a) Bestimmen Sie die Funktion f mit f(x) = ax, deren Graph durchden Punkt P (2|49) geht.

(b) Der Graph einer ganzrationalen Funktion vierten Grades ist ach-sensymmetrisch zur y-Achse, schneidet die y-Achse 2 Einheitenoberhalb des Ursprungs und hat den Hochpunkt H(1|3).Bestimmen Sie die Funktion f .

52. (**) Wie verhalt sich die Funktion f mit

(a) f(x) = 2x+2

fur x→ +∞;

(b) f(x) = 2xx+2

fur x→ +∞;

(c) f(x) = 2x2

x+2fur x→ +∞;

(d) f(x) = 2x2

x+2fur x→ −∞;

(e) f(n) = (−0, 5)n fur n→ +∞, (n ∈ N);

(f) f(n) = (−1)n fur n→ +∞, (n ∈ N);

(g) f(x) = xx+1

fur x→ −1;

(h) f(x) = x2−1x+1

fur x→ −1?

53. Sind die folgenden Aussagen wahr oder falsch?Erlautern Sie Ihre Entscheidung mit Hilfe einer Skizze.

(a) Besitzt die Funktion f an der Stelle 2 den Funktionswert 1, so giltf ′(2) = 1.

(b) Gilt f ′(2) = 1, so hat die Tangente an den Graphen von f imPunkt P (1|f(1)) die Steigung 2.

(c) Die momentane Anderungsrate der Funktion f mit f(x) =−0, 5x2 + 2 an der Stelle -3 ist positiv.

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54. Die Abbildung zeigt fur -4 ≤ x ≤ 10 den Graphen der Ableitungsfunk-tion h′ einer Funktion h.

Entscheiden und begrunden Sie, ob gilt:

(a) Die Funktion h ist streng monoton fallend fur x > −3.

(b) Die Funktion h hat an der Stelle -3 ein Minimum.

(c) x = 0 ist eine Wendestelle von h.

55. Gegeben ist der Graph einer Funktion f . Skizzieren Sie in dasselbeKoordinatensystem den Graphen der Ableitungsfunktion f ′.

20

56. Geben Sie die Ableitungsfunktion an.

(a) f(x) = xn; n ∈ Z(b) f(x) = ex

(c) f(x) =√x

(d) f(x) = sin(x)

(e) f(x) = cos(x)

(f) f(x) = ex

(g) (*) f(x) = ln(x)

57. Bestimmen Sie die Ableitung folgender Funktionen.

(a) f(x) = x3 − 6x+ 1

(b) f(x) = e5

(c) (*) f(x) = (1− x2)9

(d) (*) f(x) = x · e2x

(e) (*) f(x) = 1x2 · sin(x)

58. Berechnen Sie die Extrem- und Wendepunkte des Schaubildes derFunktion f mitf(x) = x3 − 6x+ 1.In welchem Bereich ist die Funktion f streng monoton fallend?

59. (*) Bestimmen Sie den Extrempunkt der Funktion f mitf(x) = x · e−0,5x.Weisen Sie rechnerisch nach, dass es sich um einen Hochpunkt handelt.

60. Zwei Seiten eines Rechtecks liegen aufden Koordinatenachsen, ein Eckpunktauf der Parabel mit der Gleichungy = −0, 25x2 + 4.Wie groß mussen die Seitenlangendieses Rechtecks sein, damit seinUmfang maximal wird?Wie groß ist dann der Umfang?

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61. (a) Berechnen Sie einen Naherungswert fur das Integral∫ 1

0x2dx, in-

dem Sie das Intervall [0 ; 1] in 5 gleiche Teile teilen und damit dieUntersumme berechnen.

(b) Wie kann man den Naherungswert verbessern?

(c) Wie erhalt man den exakten Wert des Integrals?

62. Bei einem Wasserbecken, das zu Beginn 2000 m3 Wasser enthalt, fließtWasser ein und aus. Die Wasserzuflussrate kann durch die Funktion fbeschrieben werden:f(t) = −t2 + 40t+ 225 (t in Tagen seit Jahresanfang, f(t) in m3/Tag).

Bestimmen Sie die Funktion, die die vorhandene Wassermengezu jedem Zeitpunkt angibt.Wie viel Wasser befindet sich nach 30 Tagen im Wasserbecken?

63. f ist eine in R definierte Funktion mit der Ableitung f ′.Welche Aussage ist richtig?

(a) die Funktion f hat genau eine Ableitung aber viele Stammfunk-tionen.

(b) Sind F und G Stammfunktionen zu f , so ist auch die SummeF +G eine Stammfunktion zu f .

(c) Ist F Stammfunktion von f , so gilt f ′(x) = F (x).

(d) Stammfunktionen von f unterscheiden sich nur durch einen kon-stanten Summanden.

64. Geben Sie eine Stammfunktion F der Funktion f an.

(a) f(x) = x3 − 3x2 + 5

(b) f(x) = 2x2

(c) (*) f(x) =√

5x− 1

(d) f(x) = 2e−2x

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65. Berechnen Sie ohne Taschenrechner.

(a)∫ 2

−1(2x3 + 1)dx

(b)∫ π

2

0(1 + cos(2x))dx

(c) (**)∫

(2x3 + 1)dx

66. Gegeben sind die Funktionen f und g mit f(x) = −x2 + 4 und g(x) =2x+ 1.

(a) Skizzieren Sie die Graphen der beiden Funktionen.

(b) Berechnen Sie den Inhalt der Flache, die der Graph von f mit derx-Achse einschließt.

(c) Berechnen Sie den Inhalt der Flache, die von den Graphen derFunktionen t und g eingeschlossen wird.

67. Skizzieren Sie:

(a) y = −2x+ 3

(b) −2x+ y − 5 = 0

(c) x+ 8 = 0

(d) Gerade mit der Steigung 3 durch den Punkt P (0|3)

(e) Gerade mit der Steigung -2 durch den Punkt P (2|3)

(f) Gerade durch die Punkte A(−4| − 3) und B(1|3)

68. (**) Schraffieren Sie in einem Koordinatensystem den Bereich, fur dengilt: |x− y| < 1.

69. (**) Uberprufen Sie, ob sich die folgenden Kreise schneiden. Betrach-ten Sie hierzu die Mittelpunkte und die Radien. Uberprufen Sie ihreErgebnisse mittels einer Zeichnung.

k1 : (x+ 6)2 + (y + 4)2 = 64

k2 : x2 + 2x+ y2 − 16y + 40 = 0

70. (*) Losen Sie folgendes LGS abhangig von α :

x1 + x2 + x3 = 18

x1 + x2 − 2x3 = 0

x1 + x2 − x3 = α

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71. Durch die Punkte P (−3|3) und Q(3|0) gehen unendlich viele Parabeln.

(a) Stellen Sie ein lineares Gleichungssystem fur die Koeffizientena, b, c der Parabelgleichung y = ax2 + bx+ c auf.

(b) (*) Bestimmen Sie die Losungsmenge.

72. Zeichnen Sie die beiden Geraden g und h in der (x1, x2)-Ebene:

g : 2x1 + x2 = 1

h : x1 − x2 = 3

Berechnen Sie den Schnittpunkt der beiden Geraden. Stimmt das Er-gebnis mit Ihrer Skizze uberein?

73. Ein Sportflugzeug wurde bei Windstille mit einer Geschwindigkeit von150 km/h genau nach Suden fliegen. Es wird jedoch von einem Wind,der mit der Geschwindigkeit 30 km/h aus Richtung Nord-Osten blast,abgetrieben. Stellen Sie die Geschwindigkeit des Flugzeugs relativ zurErde mit Hilfe eines Pfeils dar.

74. (**) Uberprufen Sie, ob das Viereck mit den Ecken A(1|4|-1), B(8|8|4),C(4|4|3), D(-3|0|-2) ein Parallelogramm ist.

75. (**) P , Q, R und S sind Punkte im Anschauungsraum. VereinfachenSie:

(a)−→PQ+

−→QR

(b)−→PQ−

−→RQ

(c)−→PQ− (

−→PQ−

−→QR) +

−→RS

(d)

21−3

− 3

21

+

12−5

(e) 2

−142

− 3

16−2

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76. (**) Skizzieren Sie folgende Gerade in der Ebene und geben Sie dieGleichung der Geraden in der Form y = mx+ b an.

g : −→x =

(25

)+ t

(−15

)77. (**) Gegeben ist die Ebene

E : −→x =

302

+ r

217

+ s

325

.Bestimmen Sie p so, dass P (p|2| − 2) in dieser Ebene liegt.

78. (**) Welche Lagebeziehung haben die Geraden g und h mit

g : −→x =

124

+r

−510−15

und h : −→x =

124

+r

3−23

zueinander? Begrunden Sie Ihre Entscheidung.

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