Mathematik: Anwendungen - vipa.wiwi.uni- · PDF fileDr. Claudia Vogel (Universität Bern) Mathematik: Anwendungen SS 2013 4 / 262. Inhalt 1 Finanzmathematik 2 Lineare Algebra 3 Grundzüge

Mathematik: Anwendungen

Dr. Claudia Vogel

Universität Bern

SS 2013

Dr. Claudia Vogel (Universität Bern) Mathematik: Anwendungen SS 2013 1 / 262

Organisatorisches

Vorlesung: 19.-23.08.2013 9-16 Uhr

Übung: 26.-30.08.2013 9-16 Uhr

Kontakt: [email protected]


Lernziele/Kompetenzen und Inhalte der Veranstaltung

Nach dem Besuch des Moduls Anwendungen der Mathematik (AdM) sind dieStudenten insbesondere in der Lage

Zahlungsströme (Cash�ows) mathematisch zu modellieren und zu analysieren

lineare Gleichungs- und Ungleichungssysteme zu lösen

nichtlineare ökonomische Optimierungsprobleme mit und ohne Restriktionenzu lösen

zeitabhängige ökonomische Prozesse zu modellieren

Die Lehrveranstaltung Anwendungen der Mathematik (AdM) gliedert sich in dieAbschnitte:

Finanzmathematik

Lineare Algebra

Nichtlineare Optimierung

Di�erenzen und Di�erentialgleichungen


Literatur

Sydsaeter, Knut; Hammond, Peter (2009). Mathematik fürWirtschaftswissenschatler. Pearson Studium.

Schwarze, Jürgen (2011). Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler. NWBStudium.


Inhalt

1 Finanzmathematik

2 Lineare Algebra

3 Grundzüge der linearen Optimierung

4 Funktionen mit mehreren Variablen


Finanzmathematik Grundlagen: Folgen und Reihen

Finanzmathematik

1 Grundlagen: Folgen und Reihen

2 Finanzmathematik

Literatur: Schwarze, Jürgen (2011). Mathematik fürWirtschaftswissenschaftler. NWB Studium. Band 1: Grundlagen



Folgen

Eine Funktion durch die jeder natürlichen Zahl eine reelle Zahl zugeordnetwird, heisst Zahlenfolge und wird mit a1, a2, a3, ... oder a1, a2, ..., an, ... oder{an} mit n ∈ N bezeichnet. Die an heissen Glieder der Zahlenfolge und a1Anfangsglied.

Man kann zwischen endlichen und unendlichen Folgen unterscheiden.

Um bei der Schreibweise {an} Verwechslungen mit Mengen anzuschliessen,schreibt man auch {an}n∈N



Arithmetische Folgen

Eine Folge {an}, bei der für jedes n ∈ N gilt:

an+1 − an = d = const

heisst arithmetische Folge.

Mit dem Anfangsglied a und der Di�erenz erhält man für die Glieder einerarithmetischen Folge:

a, a+ d , a+ 2d , ..., a+ (n − 1) d , ... bzw. an = a+ (n − 1) d



Geometrische Folgen

Eine Folge {an}, bei der für jedes n ∈ N gilt

an+1

an= q = const.

heisst geometrische Folge.

Eine geometrische Folge ist eindeutig durch ihr Anfangsglied a und denQuotienten q zweier aufeinanderfolgender Glieder bestimmt:

a, aq, aq2, ..., aqn−1... bzw. an = aqn−1



Reihen

Gegeben sei eine Zahlenfolge {an} .

a1 + a2 + a3 + . . . =∞∑n=1

an

heisst unendliche Reihe oder kurz Reihe. Die an heissen Glieder der Reihe.

Es gilt:

sn =n∑

i=1

ai = a1 + a2 + a3 + ...+ an

s1 =a1

sn+1 =sn + an+1

Eine arithmetische (geometrische) Reihe ist eine Reihe, deren Glieder einearithmetischen (geometrischen) Folge gehorchen.



Partialsummen

Gegeben sei eine Zahlenfolge {ai} bzw. eine Reihe∑∞

i=1ai . Die Summe der

ersten n Glieder

Sn =n∑

i=1

ai

heisst n-te Partialsumme oder n-te Teilsumme der Folge oder Reihe. DiePartialsummen ergeben wieder eine Folge.



n-te Partialsumme einer arithmetische Reihe

sn = a1 + a2 + a3 + ...+ ansn = a1 + (a1 + d) + (a1 + 2d) + ...+ ansn = an + (an − d) + (an − 2d) + ...+ a12sn = (a1 + an) + (a1 + d + an − d) + (a1 + 2d + an − 2d) + ...+ (a1 + an)2sn = n (a1 + an)sn = n

2(a1 + an)

Die n-te Partialsumme einer arithmetischen Reihe ist also

sn =n

2(a1 + an)

Es gilt im Speziellen:

n∑i=1

= 1+ 2+ 3+ ...+ (n − 1) + n =n (n + 1)

2



n-te Partialsumme einer geometische Reihe

sn = a+ aq + aq2 + ...aqn−2 + aqn−1

qn = aq + aq2 + ...aqn−2 + aqn−1 + aqn

sn − qsn = a− aqn

sn = a 1−qn1−q für q 6= 1

Es gilt somitn∑

i=1

= aqi−1 = a1− qn

1− qfür q 6= 1

Für a = 1 folgt speziell:n∑

i=1

= qi−1 =1− qn

1− qfür q 6= 1



Eigenschaften von Folgen

Beschränktheit von Folgen:

Eine Zahlenfolge {an} heisst beschränkt, wenn für alle Glieder der Folge gilt|an| < c = const., c heisst Schranke.

Eine Zahlenfolge {an} heisst nach unten beschränkt, wenn für alle Glieder derFolge gilt an ≥ c = const., c heisst untere Schranke der Folge.

Eine Zahlenfolge {an} heisst nach oben beschränkt, wenn für alle Glieder derFolge gilt an ≤ c = const., c heisst obere Schranke der Folge.

Monotonie von Folgen: Gegeben sei eine Zahlenfolge {an}Gilt an < an+1 für alle n ∈ N, so heisst die Folge streng monoton steigend.

Gilt an > an+1 für alle n ∈ N, so heisst die Folge streng monoton fallend.

Gilt an ≤ an+1 bzw. an ≥ an+1 für alle n ∈ N, so heisst die Folge monotonsteigend bzw. monoton fallend.



Grenzwerte von Folgen 1/2

Wie ist das Verhalten von Zahlenfolgen, wenn n sehr gross wird?

Gibt es für jedes (noch so kleine) ε ∈ R+ unendlich viele Glieder am der Folge{an} mit a− ε < am < a+ ε so besitzt die Folge bei a einen Häufungspunkt.

Das Verhalten einer Folge, deren Glieder einem einzigen Häufungspunkt -dem Grenzwert - zustreben, bezeichnet man auch als Konvergenz.

Die Folge {an} konvergiert gegen den Grenzwert a, wenn es zu jedempositiven ε ∈ R+ eine natürliche Zahl N (ε) gibt derart, dass |an − a| < ε füralle n ≥ N (ε) gilt. Man schreibt lim

n→∞an = a oder an → a für n→∞.

Eine beschränkte und monotone Zahlenfolge {an} besitzt genau einenHäufungspunkt a und es gilt lim

n→∞an = a

Eine Folge mit dem Grenzwert 0 heisst Nullfolge.

Eine nicht konvergente Folge heisst divergent.



Grenzwerte von Folgen 2/2

Gegeben seien zwei konvergente Folgen {xn} und {yn} , und es seilimn→∞

xn = x und limn→∞

yn = y . Dann gilt für a ∈ R :

limn→∞

(xn ± a) = x ± a

limn→∞

(axn) = ax

limn→∞

(xn ± yn) = x ± y

limn→∞

(xn · yn) = xy

limn→∞

(xnyn

)= x

yy 6= 0 und alle yn 6= 0

Bei Konvergenzuntersuchungen geht man in vielen Fällen so vor, dass mandie zu untersuchende Folge nach oben und unten durch eine bekannte Folgeabschätzt.

Bei Folgen deren Glieder aus Quotienten von Polynomen n bestehen, werdenZähler und Nenner durch die höchste vorkommende Potenz von n dividiert.Ausser reellen Zahlen erhält man dann im Zähler und Nenner Summandender Form a

nk, die gegen Null konvergieren. Der Grenzwert lässt sich dann

leicht bestimmen.



Grenzwerte von Reihen

Gegeben sei eine Zahlenfolge {an} und sn =∑n

i=1ai sei die n-te Teilsumme.

Konvergiert die Folge {sn} der Teilsummen, so bezeichnet man den Grenzwert

S = limn→∞

sn = limn→∞

n∑i=1

ai =n∑

i=1

ai

als Summe oder Wert der unendlichen Reihe und nennt die Reihe konvergent.

Der Wert der unendlichen geometrischen Reihe mit dem Anfangsglied a unddem Quotienten an+1

an= q mit |q| < 1 beträgt

s =a

1− q



Bestimmung von Abschreibungen 1/2

Die Abschreibung bzw. der abzuschreibende Betrag ist der jährlich in derBuchhaltung für die Wertminderung zu berücksichtigende Betrag oder, beiden kalkulatorischen Abschreibungen, der in der Kostenrechnung zuberücksichtigende Wertverzehr.

Es wird bezeichnet

A die Anscha�ungsaufwendungenR der Restwert am Ende der NutzungsdauerT die Nutzungsdauer

Lineare Abschreibungen: bei linearer Abschreibung ist der jährlicheAbschreibungsbetrag a konstant.

a =A− R

T



Bestimmung von Abschreibungen 2/2

Degressive Abschreibung: die jährlichen Abschreibungsbeträge für eineAnlage nehmen ab.

arithmetisch-degressive Abschreibung: die Abschreibungsbeträge bilden dieersten Glieder einer arithmetischen Folge, d.h. sie nehmen von Jahr zu Jahrum denselben Betrag ab.digitale Abschreibung: Spezialfall der arithmetisch-degressiven Abschreibung,bei der, der letzte Abschreibungsbetrag gleich dem Betrag ist, um den dieAbschreibungen jährlich abnehmen. Bei einer Nutzungsdauer T ergibt sichdieser aus:

a∗ =A− R

1

2T (T + 1)

geometrisch-degressive Abschreibung: die Abschreibungsbeträge bilden dieersten Glieder einer geometrischen Folge. Es wird jährlich ein gleichbleibenderProzentsatz vom Restbuchwert abgeschrieben. Bei gegebenem A, R und Tkann der Abschreibungsprozentsatz bestimmt werden:

A(1− p

100

)T= R =⇒ p =

(1− T

√R

A

)· 100


Finanzmathematik Finanzmathematik

Finanzmathematik

1 Grundlagen: Folgen und Reihen

2 Finanzmathematik

Literatur: Schwarze, Jürgen (2011). Mathematik fürWirtschaftswissenschaftler. NWB Studium. Band 1: Grundlagen



Grundbegri�e

Finanzmathematik: Verfahren zur Behandlung von Problemen, bei denenZahlungen bzw. Geldgrössen zu unterschiedlichen Zeitpunkten fällig werden.

Zinsen: Entgelt für die leihweise Überlassung eines Geldbetrages, den manKapital nennt.

Zinsfuss (p): Zinsen pro Jahr für ein Kapital von 100 Euro.

Zinssatz (i oder r): i = p100

Zinsfaktor (q): q = 1+ p100

= 1+ i

nachschüssige (vorschüssige) Zinsen: Zinsen, die jeweils am Ende (Anfang)einer Periode fällig werden.

Anfangskapital (K0 oder S0): Kapital am Anfang einesBetrachtungszeitraumes

Endkapital (Kn oder St): Kapital am Ende eines Betrachtungszeitraumes vonn (oder t) Perioden.



Einfache Verzinsung

Verzinsung eines Kapitals, wobei Zinsen nicht mitverzinst werden.

K1 =K0 + iK0 = K0 (1+ i)

K2 =K0 (1+ i) + iK0 = K1 + iK0 = K0 (1+ 2i)

...

Kn =K0 (1+ ni)

Kn =K0

(1+ n

p

100

)



Zinseszinsrechnung

Verzinsung, bei der fällig gewordene Zinsen dem Kapital hinzugerechnet unddann mitverzinst werden.

K1 =K0 + iK0 = K0 (1+ i)

K2 =K1 + iK1 = K1 (1+ i) = K0 (1+ i)2

...

Kn =K0 (1+ i)n

Kn =K0

(1+

p

100

)n



Unterjährige Verzinsung

Werden Zinsen auch nach Zeitintervallen gutgeschrieben, die kleiner als einJahr sind, und dann mitverzinst, so spricht man von unterjähriger Verzinsung.

Werden die Zinsen nach 1

mJahren gutgeschrieben, dann gilt:

Kn = K0

(1+

i

m

)nm

Kn = K0

(1+

p

100m

)nm



Stetige Verzinsung

Lässt man bei unterjähriger Verzinsung die Anzahl m der Unterzeiträumeimmer grösser werden, dann werden die Zeitintervalle immer kleiner.

Im Grenzfall für m→∞ werden dann die Zinsen in jedem Moment demKapital zugeschlagen und dann mitverzinst. Man spricht dann von einerstetigen Verzinsung

Kn = limm→∞

K0

(1+

i

m

)nm

= K0

(lim

m→∞

(1+

i

m

)m)n

Es gilt: limm→∞

(1+ i

m

)m= e i und somit

Kn = K0ein = K0e

p100 n

Stetige Verzinsung spielt bei allen Wachstumsvorgängen eine Rolle, da hierder Zuwachs in der Regel stetig erfolgt. i kann dann auch als Wachstumsratebezeichnet werden.



Barwert

Die Bestimmung von K0 bei gegebenem Kn, r und n bezeichnet man auch alsBestimmung des Barwertes einer zukünftigen Zahlung.

Häu�g spricht man auch von Abzinsung oder Diskontierung des Kapitals.

Durch das Diskontieren werden Zahlungen, die zu unterschiedlichenZeitpunkten und in unterschiedlicher Höhe fällig sind, vergleichbar gemacht.

Der Barwert oder gegenwärtige abdiskontierte Wert ist

K0 =Kn

(1+ i)nbei jährlicher Verzinsung

K0 =Kn

e inbei stetiger Verzinsung



Rentenrechnung

Eine regelmässige, in gleichen Zeitabständen fällige Zahlung (oder andereLeistung) nennt man Rente.

Die einzelnen Zahlungen, die oft die gleiche Höhe haben, nennt manRentenrate und bezeichnet sie mit r .

Werden die Raten zu Beginn (Ende) eines Jahres fällig, handelt es sich umeine vorschüssige (nachschüssige) Rente.

Dem Endwert einer Rente ist die Summe der Endwerte der einzelnenRentenraten r am Ende des n-ten Jahres unter Berücksichtigung vonZinseszinsen.



Nachschüssige Rente 1/2

Jahr Rate Anzahl der Jahre Endwerte der Ratefür die sich die Rente verzinst

1 r n − 1 rqn−1

2 r n − 2 rqn−2

3 r n − 3 rqn−3

......

......

n − 2 r 2 rq2

n − 1 r 1 rq

n r 0 r



Nachschüssige Rente 2/2

Der Endwert Rn der Rente ergibt sich durch Addition der Endwerte dereinzelnen Raten:

Rn =r + rq + rq2 + ...+ rqn−2 + rqn−1

Rn =n∑

i=1

rqi−1

Rn =rqn − 1q − 1

Der Barwert oder Kapitalwert einer nachschüssigen Rente:

R0 =Rn

qn=

r

qn· q

n − 1q − 1



Vorschüssige Rente

Jede Rate einer vorschüssigen Rente wird zu Beginn eines Jahres gezahlt unddamit gegenüber der nachschüssigen Rente ein Jahr länger verzinst.

Damit gilt für eine vorschüssige Rente mit der Rate r∗, dem Zinsfaktor q,dem Endwert R∗n und dem Bartwert R∗

0:

R∗n =r∗q · qn − 1q − 1

R∗0 =r∗

qn−1· q

n − 1q − 1

r∗ =R∗nq· q − 1qn − 1



Tilgungsrechnung 1/2

Werden Schulden nicht durch Zahlung eines Gesamtbetrages abgelöst,sondern in Teilbeträgen, so genannten Raten, zurückgezahlt, so spricht manvon Tilgungs- oder Amortisationsschulden.

Die jährlich aufzubringenden Leistungen des Schuldners werden als Annuitätbezeichnet und setzen sich zusammen aus den jeweils fälligen Zinsen auf dieRestschuld und dem Teilbetrag der Rückzahlung

Annuität = Zinsen auf die Restschuld+ Tilgungsrate

Eine Zusammenstellung der in den einzelnen Jahren zu erbringendenAnnuitäten, Zinsen und Tilgungsraten heisst Tilgungsplan.



Tilgungsrechnung 2/2

Bei der Ratenschuld ist die Tilgungsrate über die gesamte Dauer derTilgung konstant.

Soll die Ratenschuld K0 in n Jahren getilgt werden, so beträgt dieTilgungsrate T :

T =K0

n

Bei Annuitätentilgung ist die zu zahlende Annuität über den gesamtenZeitraum der Tilgung konstant.

Um eine Schuld K0 in n Jahren bei einem Zinsfaktor von q undnachschüssiger Verzinsung des Restwertes zu tilgen, ist eine jährlichekonstante Annuität von

A = K0 ·qn (q − 1)qn − 1


Lineare Algebra Grundlagen der Matrizenrechnung

Lineare Algebra

1 Grundlagen der Matrizenrechnung

2 Lineare Gleichungssysteme (LGS)

3 Determinanten

4 Inverse Matrizen

Literatur: Schwarze, Jürgen (2011). Mathematik fürWirtschaftswissenschaftler. NWB Studium. Band 3: Lineare Algebra, LineareOptimierung und Graphentheorie



Beispiel 1

Die Aussenhandelsbeziehungen von 4 Ländern während eines Zeitraumes lassensich übersichtlich wie folgt darstellen:

I II III IVI 0 28 19 37II 14 0 25 46III 45 9 0 50IV 5 17 80 0

Zu jedem Land gehört eine Zeile und eine Spalte: In der Zeile eines Landes stehendie Exporte in die jeweils anderen Länder. In der zu einem Land gehörigen Spaltestehen die Importe von den jeweils anderen Ländern.



Beispiel 2

Ein Warenhaus, das 4 Lagerhäuser und 7 Filialen besitzt, kann die Kosten für denTransport einer Tonne Ware von den Lagerhäusern zu den Filialen wie folgtzusammenstellen:

Filialen1 2 3 4 5 6 7

Lagerhaus

1 12 6 5 4 1 9 182 7 12 9 7 4 8 143 4 3 6 2 3 1 34 9 17 5 2 9 4 2



Beispiel 3

In einem Betrieb gibt es die Abteilungen A, B und C. Jede Abteilung gibt an diebeiden anderen Leistungen ab. Die Leistungsbeziehungen können gra�sch odertabellarisch dargestellt werden:

A B CA 0 20 30B 30 0 40C 10 20 0



Matrix

Das rechteckige Zahlenschema

A =

a11 a12 · · · a1j · · · a1na21 a22 · · · a2j · · · a2n...

... · · ·... · · ·

...ai1 ai2 · · · aij · · · ain...

... · · ·... · · ·

...am1 am2 · · · amj · · · amn

heisst Matrix mit m Zeilen und n Spalten oder m × n-Matrix.

Die aij (i = 1, ...m; j = 1, ..., n) heissen Elemente der Matrix.

Mögliche Schreibweisen für eine m × n-Matrix:

(aij)mn; Amn; (aij) ; A



Vektoren 1/2

Eine Matrix, die nur aus einer einzigen Spalte besteht, also eine m× 1-Matrixa1a2...am

heisst Spaltenvektor.

Eine Matrix, die nur aus einer einzigen Zeile besteht, also eine 1×m-Matrix(a1, a2, · · · an

)heisst Zeilenvektor.



Vektoren 2/2

Spaltenvektoren werden durch Kleinbuchstaben (a, b usw.) oder mit (ai ),(bi ) usw. bezeichnet und Zeilenvektoren zusätzlich mit einem hochgestellten

Strich (′) oder T versehen: a′, aT , (ai )′oder (ai )

T

Die Elemente von Zeilenvektoren werden durch Kommata oder Semikolagetrennt.

Ein spezieller Sonderfall von Matrizen ist die 1× 1-Matrix. Es ergibt sichdafür eine reelle Zahl, die im Rahmen der Matrizenrechnung auch als Skalarbezeichnet wird.



Grundbegri�e zu Matrizen und Vektoren 1/4

Gleichheit von Matrizen: Zwei m × n-Matrizen A = (aij) und B = (bij)heissen einander gleich, also A = B, wenn aij = bij für alle i = 1, ...,m undj = 1, ..., n.

Matrizenungleichung: Gegeben seien zwei m × n-Matrizen A = (aij) undB = (bij) . Gilt aij < bij für alle i = 1, ...,m und j = 1, ..., n, also für alleentsprechenden Elemente der beiden Matrizen, so schreibt man A < B. Wirdfür einzelne Elemente auch aij ≤ bij zugelassen so schreibt man A ≤ B.

Eine Matrix, deren sämtliche Elemente Null sind, heisst Nullmatrix. EinVektor, bei dem alle Elemente Null sind, heisst Nullvektor.




Quadratische Matrix: Gilt bei einer m × n-Matrix m = n, d.h. stimmenZeilenzahl und Spaltenzahl überein, so hat man eine quadratische Matrixn-ter Ordnung.

a11 a12 a13 a14 a15a21 a22 a23 a24 a25a31 a32 a33 a34 a35a41 a42 a43 a44 a45a51 a52 a53 a54 a55

Die Elemente a11, a22, a33... usw.bilden die Hauptdiagonale.

Die Elemente aij mit i + j = n + 1bilden die Nebendiagonale.




Eine quadratische Matrix, bei der sämtliche Elemente auf einer Seite derHauptdiagonalen gleich Null sind, heisst Dreiecksmatrix. Manunterscheidet: obere Dreiecksmatrix und untere Dreiecksmatrix.

a11 a12 a13 · · · a1n0 a22 a23 · · · a2n0 0 a33 · · · a3n· · · · · · · · · · · ·0 0 0 · · · ann

a11 0 0 · · · 0a21 a22 0 · · · 0a31 a32 a33 · · · 0· · · · · · · · · · · ·an1 an2 an3 · · · ann




Eine quadratische Matrix n-ter Ordnung heisst Diagonalmatrix n-terOrdnung, wenn alle Elemente, die nicht auf der Hauptdiagonalen liegen,gleich Null sind.

Eine Diagonalmatrix, bei der alle Elemente auf der Hauptdiagonalen gleichsind, heisst auch skalare Matrix.

Eine Diagonalmatrix n-ter Ordnung, deren Diagonalelemente alle gleich 1sind heisst Einheitsmatrix und wird mit E bezeichnet.

1 0 0 · · · 00 1 0 · · · 00 0 1 · · · 0· · · · · · · · · · · ·0 0 0 · · · 1

Ein Vektor, dessen i-te Komponente �1� ist und der sonst nur �0� enthält, heissti-ter Einheitsvektor und wird mit ei bezeichnet.



Transponierte Matrix

Gegeben sei eine m × n-Matrix A = (aij) . Die n ×m-Matrix B = (bji ) mitbji = aij für j = 1, ..., n i = 1, ...,m heisst transponierte Matrix zu A undwird mit A′ oder AT bezeichnet.

A =

a11 · · · a1j · · · a1n...

......

ai1 · · · aij · · · ain...

......

am1 · · · amj · · · amn

AT =

a11 · · · ai1 · · · am1

......

...a1j · · · aij · · · amj

......

...a1n · · · ain · · · amn



Regeln für Transponierte Matrizen

(AT)T

= A (αA)T = αAT

(A+ B)T = AT + BT

(αA)T = αAT

(AB)T = BTAT



Symmetrische Matrizen

Quadratische Matrizen, die symmetrisch bezüglich der Hauptdiagonalen sind,heissen symmetrisch.

Die Matrix A ist genau dann symmetrisch, wenn A = AT .

Das heisst, die Matrix A = (aij)n×n ist genau dann symmetrisch, wennaij = aji für alle i , j .



Addition von Matrizen: Beispiel 1/3

Ein Betrieb produziert drei Güter I, II und III und liefert diese an die HändlerA, B, C und D. Im ersten bzw. zweiten Halbjahr eines Jahres wurden dabeifolgende Mengen abgegeben:

1. HalbjahrA B C D

I 12 8 0 20II 7 5 20 10III 14 4 6 15

2. HalbjahrA B C D

I 13 12 5 10II 13 7 8 20III 12 8 6 15




Die von den verschiedenen Produkten an die Händler in dem Jahr insgesamtabgebenen Mengen erhält man, indem die jeweils an gleicher Stelle stehendenElemente addiert werden, also:

GesamtabsatzA B C D

I 12+ 13 = 25 8+ 12 = 20 0+ 5 = 5 20+ 10 = 30II 7+ 13 = 20 5+ 7 = 12 20+ 8 = 28 10+ 20 = 30III 14+ 12 = 26 4+ 8 = 12 6+ 7 = 13 15+ 15 = 30




Stellt man die Mengenabgaben für das 1. Halbjahr und das 2. Halbjahr alsMatrizen dar, dann entspricht die Bestimmung der Gesamtmenge für dasJahr der Matrizenaddition: 12 8 0 20

7 5 20 1014 4 6 15

+

13 12 5 1013 7 8 2012 8 7 15

=

25 20 5 3020 12 28 3026 12 13 30



Addition von Matrizen

Zwei Matrizen gleicher Ordnung A = (aij) und B = (bij) werden addiert bzw.subtrahiert, indem man die in den Matrizen gleicher Stelle stehendenElemente addiert bzw. subtrahiert.

a11 · · · a1j · · · a1n...

......

ai1 · · · aij · · · ain...

......

am1 · · · amj · · · amn

±

b11 · · · b1j · · · b1n...

......

bi1 · · · bij · · · bin...

......

bm1 · · · bmj · · · bmn

=

a11 ± b11 · · · a1j ± b1j · · · a1n ± b1n...

......

ai1 ± bi1 · · · aij ± bij · · · ain ± bin...

......

am1 ± bm1 · · · amj ± bmj · · · amn ± bmn



Regeln für die Addition von Matrizen

A+ B = B+ A

(A+ B) + C = A+ (B+ C)

A+ 0 = A

A+ (−A) = 0

aus A = B folgt A+ C = B+ C

aus A ≤ B folgt A+ C ≤ B+ C



Multiplikation mit einem Skalar: Beispiel

Die Aussenhandelsbeziehungen zwischen den Ländern A, B und C sind durchdie folgende Matrix gegeben (Exporte in den Zeilen, Importe in den Spalten) 0 12 8

6 0 410 2 0

Die Zahlen geben den Wert in US$ an. Will man die Werte in ¿ haben, undrechnet man für 1US$ als Wechselkurs 0,80 ¿, so erhält man die ¿-Werte,indem man jedes Element der Matrix mit 0,8 multipliziert. 0, 8 · 0 0, 8 · 12 0, 8 · 8

0, 8 · 6 0, 8 · 0 0, 8 · 40, 8 · 10 0, 8 · 2 0, 8 · 0

=

0 9, 6 6, 44, 8 0 3, 28 1, 6 0



Multiplikation mit einem Skalar

Eine Matrix A = (aij) wird mit einer Zahl α (einem Skalar) multipliziert,indem man jedes Element der Matrix mit dieser Zahl multipliziert:

αA = α

a11 · · · a1j · · · a1n...

......

ai1 · · · aij · · · ain...

......

am1 · · · amj · · · amn

=

αa11 · · · αa1j · · · αa1n...

......

αai1 · · · αaij · · · αain...

......

αam1 · · · αamj · · · αamn



Regeln für die Multiplikation mit Skalaren

(α+ β)A = αA+ βA

α (A+ B) = αA+ αB

aus A = B folgt αA = αB

aus A ≤ B folgt αA ≤ αB falls α > 0

aus A ≤ B folgt αA ≥ αB falls α < 0



Skalares Produkt von Vektoren

Gegeben sei ein Zeilenvektor a′ =(a1, a2, · · · an

)und ein

Spaltenvektor b =

b1...bn

, die beide die gleiche Ordnung haben.

Unter dem skalaren oder inneren Produkt der beiden Vektoren verstehtman den Skalar

a′ · b =(a1, a2, · · · an

)·

b1...bn

= a1b1 + a2b2 + · · · anbn =n∑

i=1

aibi

Das skalare Produkt ist nur de�niert, wenn beide Vektoren von der gleichenOrdnung sind, also die gleiche Anzahl von Elementen aufweisen.

Der Zeilenvektor muss an erster Stelle stehen und der Spaltenvektor an derzweiten.



Eigenschaften skalarer Vektorprodukte

Sind sämtliche Elemente eines Vektors �1�, so ergibt das skalare Produkt dieSumme der Elemente des anderen Vektors.

Ist im skalaren Produkt ein Vektor ein Einheitsvektor i-ter Ordnung, dannergibt das Produkt, das i-te Element des anderen Vektors. Füra′ =

(a1, a2, . . . ai . . . an

)gilt also a′ei = eia

′ = ai

Gegeben seien Vektoren gleicher Ordnung a, b, c. Dann gelten:

a′b = a′b

(a′ + b′) c = a′c+ b′c

aus a′ = b′ folgt a′c = b′c

aus a′ ≤ b′ folgt a′c ≤ b′c falls c > 0

aus a′ ≤ b′ folgt a′c ≥ b′c falls c < 0



Multiplikation von Matrizen: Beispiel 1/5

In einem Chemiewerk werden die Rohsto�e Steinkohle und Braunkohle zu denHalbprodukten leicht�üssige und gasförmige Kohlenwassersto�e verarbeitet.

Die folgenden Tabelle zeigt die Input-Output-Beziehung, wobei die aij jeweilsangeben, wieviel Tonnen der Kohlenwassersto�e aus einer Tonne Kohleproduziert werden.

Halbprodukte Kohlenwassersto�e (KW)Rohsto�e leicht�üssig (y1) gasförmig (y2)Steinkohle (x1) a11 = 0, 5 a12 = 0, 2Braunkohle (x2) a21 = 0, 4 a22 = 0, 3

Man erhält:

y1 = a11x1 + a21x2 = 0, 5x1 + 0, 4x2y2 = a12x1 + a22x2 = 0, 2x1 + 0, 3x2

(1)




Die Kohlenwassersto�e sind Halbprodukte und werden zu Para�n undDieselöl weiterverarbeitet: die folgende Tabelle zeigt dieInput-Output-Beziehung: die bij geben an, wieviele Tonnen Fertigprodukteaus einer Tonne Halbfertigprodukte produziert werden.

FertigprodukteHalbprodukte Para�n (z1) Schmieröl(z2) Dieselöl(z3)leicht�üssige KW (y1) b11 = 0, 3 b12 = 0, 4 b13 = 0, 2gasförmige KW (y2) b21 = 0, 2 b22 = 0, 3 b23 = 0, 4

Man erhält:

z1 = b11y1 + b21y2 = 0, 3y1 + 0, 2y2z2 = b12y1 + b22y2 = 0, 4y1 + 0, 3y2z3 = b13y1 + b23y2 = 0, 2y1 + 0, 4y2

(2)




Die Mengen der Fertigprodukte hängen davon ab, welche Rohsto�mengen(Steinkohle und Braunkohle) eingesetzt werden.

Zusammenhang zwischen den Rohsto�mengen x1 und x2 und denFertigprodukten z1, z2 und z3 erhält man durch Einsetzen der Gleichungenaus (1) und (2):

z1 = b11 (a11x1 + a21x2) + b21 (a12x1 + a22x2)

z2 = b12 (a11x1 + a21x2) + b22 (a12x1 + a22x2)

z3 = b13 (a11x1 + a21x2) + b23 (a12x1 + a22x2)

Durch Umformen erhält man:

z1 = (a11b11 + a12b21) x1 + (a21b11 + a22b21) x2

z2 = (a11b12 + a12b22) x1 + (a21b12 + a22b22) x2

z3 = (a11b13 + a12b23) x1 + (a21b13 + a22b23) x2




Input-Output-Beziehung zwischen Rohsto�en und Fertigprodukten:

FertigprodukteRohsto�e Para�n (z1) Schmieröl (z2) Dieselöl (z3)

Steinkohle (x1)a11b11 + a12b12 a11b12 + a12b22 a11b13 + a12b23

= 0, 19 = 0, 26 = 0, 18

Braunkohle (x2)a21b11 + a22b21 a21b12 + a22b22 a21b13 + a22b23

= 0, 18 = 0, 25 = 0, 2




Input-Output Beziehung in Matrixform:

Produktionsstufen

A =

(a11 a12a21 a22

)B

T =

(b11 b12 b13b21 b22 b23

)

Beziehung zwischen Rohsto�en und Fertigprodukten:

C = AB =

(a11b11 + a12b12 a11b12 + a12b22 a11b13 + a12b23a21b11 + a22b21 a21b12 + a22b22 a21b13 + a22b23

)

Die Elemente der Matrix C erhält man als skalare Produkte der Zeilen von A

und der Spalten von B.



Matrizenmultiplikation: De�nition

Das Produkt der m × n-Matrix A = (aij) mit der n × r -Matrix B = (bij) istde�niert als

C = AB =

n∑j=1

aijbjk

und ist eine m × r -Matrix.

Das Element cik des Produktes C erhält man als skalares Produkt der i-tenZeile von A und der k-ten Spalte von B.

Die Matrizenmultiplikation ist nur de�niert für den Fall, dass dieSpaltenzahl des ersten Faktors mit der Zeilenzahl des zweiten Faktorsübereinstimmt.

Das Ergebnis ist eine Matrix, die so viele Zeilen hat wie der erste Faktor undso viele Spalten wie der zweite Faktor. Es gilt also AmnBnr = Cmr .



Matrizenmultiplikation: FALKsches Schema

b11 b12 · · · b1k · · · b1rb21 b22 · · · b2k · · · b2r...

......

...bj1 bj2 · · · bjk · · · bjr...

......

...bn1 bn2 · · · bnk · · · bnr

a11 a12 · · · a1j · · · a1n c11 c1ra21 a22 · · · a2j · · · a2n...

......

...ai1 ai2 · · · aij · · · ain cjk...

......

...am1 am2 · · · amj · · · amn cm1 cmr



Eigenschaften der Multiplikation von Matrizen 1/2

Das Matrizenprodukt AB ist nur dann de�niert, wenn die Anzahl der Spaltenin A mit der Anzahl der Zeilen in B übereinstimmt.

Es kann sein, dass AB de�niert ist, während BA nicht de�niert ist.

Wenn AB und BA beide de�niert sind, sind sie im Allgemeinen nicht gleich,AB 6= BA

Gegeben seien Matrizen geeigneter Ordnung A, B, C, D. Dann gilt

A (BC) = (AB)C = ABC

A (B+ C) = AB+ AC bzw. (A+ B)C = AC+ BC

aus A = B folgt AC = BC und DA = DB

aus A ≤ B folgt AC ≤ BC für C > 0 und DA ≤ DB für D > 0

aus A ≤ B folgt AC ≥ BC für C > 0 und DA ≥ DB für D > 0



Eigenschaften der Multiplikation von Matrizen 2/2

Für die Multiplikation einer Matrix A mit einer Einheitsmatrix E geeigneterOrdnung gilt: AE = EA = A.

Ist in einem Matrizenprodukt einer der beiden Faktoren eine Nullmatrix, so istdas Produkt ebenfalls eine Nullmatrix: A · 0 = 0 bzw. 0 · A = 0

Die Transponierte eines Produktes zweier Matrizen ist gleich dem Produktder Transponierten der beiden Matrizen in umgekehrter Reihenfolge:(AB)T = BTAT

Das Produkt eines Zeilenvektors mit einer Matrix ergibt einen Zeilenvektor.

Das Produkt einer Matrix mit einem Spaltenvektor ergibt einenSpaltenvektor.

Das Produkt eines Spaltenvektors mit einem Zeilenvektor ergibt eine Matrix.



Potenz einer quadratischen Matrix

Unter der n-ten Potenz einer quadratischen Matrix A versteht man das n-facheProdukt der Matrix A mit sich selbst.

An = A · A · A · . . . · A︸︷︷︸n-mal

AnAm = An+m

(An)m = Anm



Beispiel: Zeitliche Entwicklung eines Marktes 1/4

Auf einem einfachen Markt erscheinen wöchentlich drei Illustrierte A, B undC und konkurrieren miteinander.

Es gibt keine Abonnements.

Marktanteile der Illustrierten in einer bestimmten Woche:

A: 40%B: 20%C: 40%

In der folgenden Woche kaufen

von den Käufern der Illustrierten A: 80% wieder A, 10% B und 10% Cvon den Käufern der Illustrierten B: 20% A, 70% B, 10% Cvon den Käufern der Illustrierten C: 20% A, 20% B, 60% C







Darstellung der Käufer beim Übergang von einer Periode zur nächsten alsMatrix:

A B C

A

B

C

0, 8 0, 1 0, 10, 2 0, 7 0, 10, 2 0, 2 0, 6

Multiplikation des Vektors der ursprünglichen Marktanteile(0, 4; 0, 2; 0, 4

)mit der Matrix bestimmt die Marktanteile der nächsten

Periode:(0, 4; 0, 2; 0, 4

) 0, 8 0, 1 0, 10, 2 0, 7 0, 10, 2 0, 2 0, 6

=(0, 44; 0, 26; 0, 3

)




Für die folgende Periode ergibt sich:

(0, 44; 0, 26; 0, 3

) 0, 8 0, 1 0, 10, 2 0, 7 0, 10, 2 0, 2 0, 6

=(0, 464; 0, 286; 0, 25

)

Bleibt das Übergangsverhalten der Käufer konstant können mit Hilfe desbeschriebenen Ansatzes die Marktanteile aller folgenden Perioden berechnetwerden.

Ein solcher Prozess wird auch Markovprozess oder Markovkette genannt.



Linearkombinationen von Vektoren 1/2

Unter einer Linearkombination der Vektoren

a1 =

a11a21...

am1

;a2 =

a12a22...

am2

; . . . ;an =

a1na2n...

amn

versteht man eine Summe der Form

c1a1 + c2a2 + . . .+ cnan =n∑

i=1

ciai

oder

ca′

1 + c2a′

2 + . . .+ cna′

n =n∑

i=1

cia′

i

wobei ci Skalare sind.



Linearkombinationen von Vektoren 2/2

Die Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar ergibt wieder einen Vektor,so dass die ciai bzw. cia

′

i wieder Vektoren sind. Die Summe von Vektorenergibt ebenfalls wieder einen Vektor, so dass gilt:

Jede Linearkombination von Vektoren gleicher Ordnung ergibt einen Vektorderselben Ordnung.

Eine Linearkombination∑n

i=1ciai der Vektoren ai (i = 1, . . . , n) mit∑n

i=1ci = 1 und ci ≥ 0, für i = 1, . . . , n heisst konvexe Linearkombination.



Linear abhängige und unabhängige Vektoren

Die n Vektoren a1, a2, . . . , an gleicher Ordnung heissen linear abhängig,wenn sich der Nullvektor 0 als nichttriviale Linearkombination dieser Vektorendarstellen lässt:

0 =n∑

i=1

ciai mit c 6= 0

Die n Vektoren ai (i = 1, . . . , n) heissen linear unabhängig, wenn sich derNullvektor 0 mit diesen n Vektor nur durch die triviale Linearkombination mitci = 0 für i = 1, . . . , n darstellen lässt.



Linear abhängige Vektoren

Sind die m Vektoren a1, a2, . . . , am linear abhängig, dann ist jeder Vektorals Linearkombination der übrigen Vektoren darstellbar.

Vektoren sind linear abhängig, wenn

es zwei gleiche Vektoren gibt;

ein Vektor einem anderen proportional ist, d.h. wenn ein Vektor sich auseinem anderen Vektor durch Multiplikation mit einer Zahl ergibt oder

die Anzahl m der Vektoren grösser ist als deren Ordnung n, d.h. m > n.



Überprüfung linearer Abhängigkeit von Vektoren

Gegeben seien m Vektoren n-ter Ordnung a′

1, a′

2, . . . , a

′

m mit m < n. MitHilfe von Zeilenoperationen können die Vektoren wie folgt auf lineareAbhängigkeit überprüft werden:

1 Fasse die Zeilenvektoren zu einer Matrix zusammen.

2 Erzeuge im linken quadratischen Teil der Matrix eine obere Dreiecksmatrix.

3 Entsteht dabei eine Zeile mit lauter Nullen oder enthält die Hauptdiagonaledes quadratischen Teils Nullen, so sind die Vektoren linear abhängig,andernfalls nicht.



Rang einer Matrix

Gegeben sei ein System von n Vektoren a1, . . . , an. Die maximale Anzahl derlinear unabhängigen Vektoren des Vektorsystems heisst Rang desVektorsystems.

Bei einer Matrix ist die Maximalanzahl der linear unabhängigen Zeilen immergleich der Maximalzahl der linear unabhängigen Spalten.

Die Maximalzahl linear unabhängiger Zeilen bzw. Spalten einer Matrix Aheisst Rang der Matrix und wird bezeichnet mit rang (A) .

Regeln für den Rang einer Matrix:

Für eine m × n-Matrix A ist der Rang höchstens gleich dem Minimum vonZeilenzahl m und Spaltenzahl n: rang (Amn) ≤ min (m, n)

Zeilenoperationen verändern den Rang nicht.

Für beliebige Matrizen gilt: rang (A) = rang(AT)



Bestimmung des Rangs einer Matrix

Variante 1 : Erzeuge in den Spalten (in beliebiger Reihenfolge) durchZeilenoperationen Einheitsvektoren ei , wobei für je zwei Einheitsvektorenei , ej gelten muss i 6= j . Die maximale Anzahl von Einheitsvektoren, dieerzeugt werden können, stimmt mit dem Rang der Matrix überein.

Variante 2 : Stelle durch Zeilenoperationen eine Dreiecksmatrix her. DerRang der Matrix ergibt sich dann aus der Anzahl der Zeilen, in denenmindestens ein Element ungleich Null ist.


Lineare Algebra Lineare Gleichungssysteme

Lineare Algebra



3 Determinanten

4 Inverse Matrizen




Begri� des linearen Gleichungssystems (LGS)

Eine Gleichung der Form

a1x1 + a2x2 + . . .+ anxn =n∑

j=1

ajxj = b

(aj = const. (j = 1, . . . , n) ; b = const.) mit den n Variablen x1, . . . , xnheisst lineare Gleichung in n Variablen. Die aj (j = 1, . . . , n) sind dieKoe�zienten der Gleichung, b wird auch absolutes Glied genannt.Die m linearen Gleichungen

a11x1+a12x2+ . . .+a1nxn =n∑

j=1

a1jxj = b1

. . . . . . . . .

am1x1+am2x2+ . . .+amnxn =n∑

j=1

amjxj = bm

ergeben ein lineares Gleichungssystem (LGS).



Matrizenschreibweise von LGS

a11 a12 · · · a1na21 a22 · · · a2n...

......

am1 am2 · · · amn

x1x2...xn

=

b1b2...bm

kurz: Ax = b

die Matrix A der Koe�zienten des LGS heisst Koe�zientenmatrix

b ist der Vektor der absoluten Glieder

Es gilt m = n, d. h. die Koe�zientenmatrix ist quadratisch, wenn es genausoviele Gleichungen wie Variablen gibt.

Ax = b heisst Normalform eines LGS.

Ist bei einem LGS Ax = b der Vektor b = 0, so heisst das LGS homogen. Istwenigstens ein Element des Vektors b von Null verschieden (b 6= 0) , so heisstdas LGS inhomogen.



Beispiel 1: Verrechnung innerbetrieblicher Leistungen 1/3

In einem Betrieb mit den Abteilungen A, B, C kann jede Abteilung an dieanderen Leistungen abgeben.

Jede Abteilung gibt ausser-dem Leistungen an denMarkt ab:A: 50B: 80C: 40

In jeder Abteilung fallen unmittelbare Kosten an, in denen die Leistungen deranderen Abteilungen noch nicht berücksichtigt sind: Primärkosten.

Zur Bestimmung der Kosten (�Preise�) für die Leistung jeder Abteilung mussman auch die durch innerbetrieblichen Leistungsaustausch entstehendenKosten berücksichtigen: Sekundärkosten.




Es gilt für jede Abteilung: entstandene Kosten = verrechnete Kosten




Es ergibt sich zusammengefasst:

A: 85a = 60 + 10b + 20cB: 100b = 210 + 5a+ 20cC: 80c︸︷︷︸ = 230︸︷︷︸ + 30a+ 10b︸︷︷︸

verrechnete Kosten Primärkosten Sekundärkosten

Als Gleichungssystem erhält man

85a− 10b − 20c = 60

−5a+ 10b-20c = 210

−30a− 10b + 80c = 230

bzw. 85 −10 −20−5 100 −20−30 −10 80

a

b

c

=

60210230



Beispiel 2: Teilbedarfsrechnung 1/2

Aus den Werksto�en A, B werden die Zwischenprodukte C, D, E und dieEndprodukte F und G hergestellt:

Von den Produkten E, F und G werden 50, 200 und 120 Stück für denVerkauf gebraucht.



Beispiel 2: Teilbedarfsrechnung 2/2

Gleichungen zur Ermittlung des Teilebedarfs:

a− c − 2e − 4f = 0

b − 2c − 3d − e − 2g = 0

c − 3f − 2g = 0

d − 2e − 4g = 0

e − f − 2g = 50

f = 200

g = 120

1 0 −1 0 −2 −4 00 1 −2 −3 −1 0 −20 0 1 0 0 −3 −20 0 0 1 −2 0 −40 0 0 0 1 −1 −20 0 0 0 0 1 00 0 0 0 0 0 1

a

b

c

d

e

f

g

=

000050200120



Regeln für die Lösung von LGS 1/2

Die Lösung eines LGS kann durch Einsetzen der Lösungswerte für dieVariablen in die Gleichung überprüft werden.

Bei der Lösung eines inhomogenen LGS sind drei Fälle möglich:

keine Lösung: nicht lösbares LGSeine Lösung: eindeutig lösbares LGSmehrere Lösungen: mehrdeutig lösbares LGS

Für die Bestimmung der Lösungsmenge eines LGS mit zwei Variablen derallgemeinen Form a1x + b1y = c1 und a2x + b2y = c2 gibt es verschiedeneLösungsverfahren (vgl. Kurs Grundlagen):

Lösung durch EinsetzenLösung durch GleichsetzenLösung durch Addition



Regeln für die Lösung von LGS 2/2

Die Lösungsmenge einer linearen Gleichung mit mehreren Variablen wirddurch äquivalente Umformungen nicht verändert. D.h. die Lösungsmengeeines LGS wird nicht verändert, wenn

einzelne Gleichungen äquivalent umgeformt werden

ein Vielfaches einer Gleichung zu einer andern Gleichung addiert wird oder

zwei Gleichungen miteinander vertauscht werden.

Auf dieser Basis ist die systematische Au�ösung von LGS möglich. Da für daseigentliche Rechnen nur die Koe�zienten des LGS benötigt werden, also dieElemente der Koe�zientenmatrix A und des Vektors b, können systematischeLösungsverfahren auch in Matrizenschreibweise formuliert werden.

Ein homogenes Gleichungssystem Ax = 0 hat immer mindestens dietriviale Lösung x = 0.



Lösung eines inhomogenen LGS durch vollständigeElimination 1/3

Gleichungssysteme in Normalform, für die gilt m = n

Ziel: mit Hilfe äquivalenter Umformungen das LGS so umformen, dass manein LGS erhält bei dem in jeder Gleichung nur noch eine Variable mit demKoe�zienten 1 steht.




Ist das LGS eindeutig lösbar bedeutet das:

a11x1 + a12x2 + . . .+ a1nxn = b1

a21x1 + a22x2 + . . .+ a2nxn = b2

· · · · · ·an1x1 + an2x2 + . . .+ annxn = bn

wird umgeformt zu:x1 = b∗1

x2 = b∗2

xn = b∗n

Die b∗j (j = 1, . . . , n) sind die Lösungswerte für die Variablen.




Bei der Umformung wird - im eigentlichen Sinne - nur mit den Koe�zientenaij und den bj der Gleichungen gerechnet. Es reicht für die Lösung daher aus,wenn nur die um den Vektor b erweiterte Koe�zientenmatrix A betrachtetwird:

a11 a12 · · · a1n b1a21 a22 · · · a2n b2· · · · · · · · · · · ·an1 an2 · · · ann bn

oder kurz (A |b )

Diese wird so umgeformt, dass anstelle von A eine Einheitsmatrix steht, also1 0 · · · 0 b∗

1

0 1 · · · 0 b∗2

· · · · · · · · · · · ·0 0 · · · 1 b∗n



Vollständige Elimination: De�nition

Gegeben sei die Normalform Ax = b eines inhomogenen LGS, bei dem dieAnzahl der Gleichungen mit der Anzahl der Variablen übereinstimmt. DenLösungsvektor x kann man bestimmen, indem man die um den Vektor berweiterte Koe�zientenmatrix (A |b ) durch Anwendung vonZeilenoperationen in eine Matrix der Form (E |b∗ ) umformt, wobei E eineEinheitsmatrix entsprechender Ordnung ist. Es gilt dann x = b∗.

Unter Zeilenoperationen versteht man die folgenden Rechenoperationen füreine Matrix:

Multiplikation aller Elemente einer Zeile mit einer von Null verschiedenen Zahl.

Addition einer mit einem Skalar multiplizierten Zeile zu einer anderen Zeile.

Vertauschen zweier Zeilen



Vollständige Elimination: Vorgehen

Ausgangslage: inhomogenes LGSa11 a12 · · · a1na21 a22 · · · a2n· · · · · · · · ·an1 an2 · · · ann

x1x2· · ·xn

=

b1b2· · ·bn

Um den Vektor b ergänzte Koe�zientenmatrix

(A |b ) =

a11 a12 · · · a1n b1a21 a22 · · · a2n b2· · · · · · · · · · · ·an1 an2 · · · ann bn

Durch Anwendung der de�nierten Zeilenoperationen Umformung derKoe�zientenmatrix zur Einheitsmatrix

1 0 · · · 0 b∗1

0 1 · · · 0 b∗2

· · · · · · · · · · · ·0 0 · · · 1 b∗n



Mehrdeutige Lösbarkeit

Ergeben sich bei der Bestimmung der Lösung eines inhomogenen LGSAx = b mit n Gleichungen in n Variablen mit der vollständigen Elimination inwenigstens einer Zeile der erweiterten Koe�zientenmatrix nur Nullen, soist das Gleichungssystem nur mehrdeutig lösbar.

Enthalten k Zeilen nur Nullen, dann erhält man die allgemeine Lösung indemnach n − k Variablen aufgelöst wird.

k Variablen können dann beliebig vorgegeben werden, um die übrigenVariablen eindeutig zu bestimmen.

Ist die Anzahl der Gleichungen grösser als die Anzahl der Variablen, so ergibtsich für ein lösbares Gleichungssystem bei Anwendung vollständigerElimination immer mindestens eine Zeile mit lauter Nullen.



Nicht lösbares Gleichungsystem

Gegeben sei ein inhomogenes LGS. Entsteht bei der Anwendung vonZeilenoperationen zur Durchführung der vollständigen Elimination in dererweiterten Koe�zientenmatrix eine Zeile, die in der letzten Spalte eine vonNull verschiedene Zahl und sonst nur Nullen enthält, so enthält dasGleichungssystem einen Widerspruch und ist nicht lösbar.



GAUSSscher Algorithmus: De�nition

Die Lösung eines eindeutig lösbaren inhomogenen LGS Ax = b mit mGleichungen in n Variablen und m ≥ n können dadurch bestimmt werden,dass man durch Anwendung von Zeilenoperationen auf die erweiterteKoe�zientenmatrix (A |b ) den oberen quadratischen Teil von A in eine obereDreiecksmatrix umwandelt. Durch sukzessives Einsetzen kann man aus demsich ergebenden Gleischungssystem die Lösung bestimmen.



GAUSSscher Algorithmus: Vorgehen 1/3

Gleichungssystema11 a12 · · · a1na21 a22 · · · a2n· · · · · · · · ·am1 am2 · · · amn

x1x2· · ·xm

=

b1b2· · ·bm

Erweiterung der Koe�zientenmatrix:a11 a12 · · · a1n b1a21 a22 · · · a2n b2· · · · · · · · · · · ·am1 am2 · · · amn bm




Umwandlung der erweiterten Matrix durch Anwendung vonZeilenoperationen, so dass aus dem oberen quadratischen Teil derKoe�zientenmatric eine obere Dreiecksmatrix wird.

a11 a12 a13 · · · a1n b∗1

0 a∗22

a∗23· · · a∗

2n b∗2

0 0 a∗33· · · a∗

3n b∗3

· · · · · · · · · · · · · · · · · ·0 0 0 · · · a∗nn b∗n0 0 0 · · · 0 0· · · · · · · · · · · · · · ·0 0 0 · · · 0 0




Die erweiterte Matrix entspricht dem folgenden Gleichungssystem:

a11x1 + a12x2 +a13x3 · · · +a1nxn = b1

a∗22x2 +a∗23x3 · · · +a∗2nxn = b∗2

a∗33x3 · · · +a∗3nxn = b∗3

· · ·a∗nnxn = b∗n

Bestimmung der Lösungen durch sukzessives Einsetzen der bereits bekanntenLösungswerte:

Aus der letzten Gleichung ergibt sich

xn =b∗na∗nn

Einsetzen des Lösungswertes für xn in die vorletzte Gleichung, ergibt denLösungswert für xn−1 usw.



Kriterien für die Lösbarkeit eines LGS

Gegeben sei ein Gleichungssystem Ax = b mit m Gleichungen in n Variablen.Für die Lösbarkeit des Gleichungssystems gilt dann:

rang (A) < rang (A |b ) =⇒ Ax = b ist nicht lösbar.rang (A) = rang (A |b ) = r < n =⇒ Ax = b ist mehrdeutig lösbar.rang (A) = rang (A |b ) = n =⇒ Ax = b ist eindeutig lösbar.


Lineare Algebra Determinanten

Lineare Algebra



3 Determinanten

4 Inverse Matrizen




Grundlegende Begri�e

Eine Determinante ist eine reelle Zahl, die aus den Elementen einerquadratischen Matrix, deren Elemente reelle Zahlen sind, nach bestimmtenVorschriften berechnet wird.

Die Determinante einer quadratischen Matrix A wird bezeichnet als det (A)oder |A| .

Die Determinante |A| einer quadratischen Matrix n-ter Ordnung heisstDeterminante n-ter Ordnung.



Determinante 2. Ordnung

Für die quadratische Matrix 2. Ordnung A gilt:

det (A) = |A| =∣∣∣∣ a11 a12a21 a22

∣∣∣∣= a11a22 − a12a21



Unterdeterminanten

Streicht man in einer Determinante n-ter Ordnung |A| die i-te Zeile und diej-te Spalte, so erhält man eine Determinante (n − 1)−ter Ordnung. Mannennt diese die Unterdeterminante oder auch Minor des Elements aij undbezeichnet sie mit |A|ij . Zu einer Determinante n-ter Ordnung gibt es n2

Unterdeterminanten. Die Determinante

|A| =

∣∣∣∣∣∣a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33

∣∣∣∣∣∣hat die folgenden Unterdeterminanten:

|A|11

=

∣∣∣∣ a22 a23a32 a33

∣∣∣∣ |A|12 = ∣∣∣∣ a21 a23a31 a33

∣∣∣∣ |A|13 = ∣∣∣∣ a21 a22a31 a32

∣∣∣∣|A|

21=

∣∣∣∣ a12 a13a32 a33

∣∣∣∣ |A|22 = ∣∣∣∣ a11 a13a31 a33

∣∣∣∣ |A|23 = ∣∣∣∣ a11 a12a31 a32

∣∣∣∣|A|

31=

∣∣∣∣ a12 a13a22 a23

∣∣∣∣ |A|32 = ∣∣∣∣ a11 a13a21 a23

∣∣∣∣ |A|33 = ∣∣∣∣ a11 a12a21 a22

∣∣∣∣Dr. Claudia Vogel (Universität Bern) Mathematik: Anwendungen SS 2013 103 / 262


Adjunkte

Multipliziert man die Unterdeterminante |A|ij mit (−1)i+j , so erhält man die

Adjunkte oder den Kofaktor αij des Elements aij

αij = (−1)i+j |A|ijIst die Summe i + j von Zeilen- und Spaltenindex eine gerade Zahl, so ist dasVorzeichen � + �, ergibt i + j eine ungerade Zahl, ist das Vorzeichen ”− ”.Darstellung der Zuordnung der Vorzeichen:∣∣∣∣∣∣∣∣

+ − + · · ·− + − · · ·+ − + · · ·· · · · · · · · · · · ·

∣∣∣∣∣∣∣∣Matrix der Adjunkten: Matrix in der anstelle des Elements aij der Matrixdie Adjunkte αij dieses Element steht.

α11 α12 · · · α1n

α21 α22 · · · α2n

· · · · · · · · ·αn1 αn2 · · · αnn



Adjungierte Matrix

Gegeben sei eine quadratische Matrix A = (aij) und die zugehörige Matrixder Adjunkten (αij).

Die transponierte Matrix der Adjunkten heisst adjungierte Matrix und wirdmit Aad bezeichnet.

Aad = (αij)T =

α11 α21 αn1α12 α22 αn2

α1n α2n αnn



Regel von SARRUS für Determinanten 3. Ordnung

Erweitern der 3× 3-Matrix zu einer 3× 5-Matrix indem die 1. und 2. Spalteals 4. und 5. ergänzt werden:

det (A) = |A| = a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32

− a31a22a13 − a32a23a11 − a33a21a12

ACHTUNG: Die SARRUSsche Regel ist nur auf die Berechnung vonDeterminanten 3. Ordnung anwendbar.



LAPLACEscher Entwicklungssatz für Determinanten höhererOrdnung 1/2

Multipliziert man jedes Element aij einer beliebigen Zeile oder Spalte einerDeterminante n-ter Ordnung

|A| =

∣∣∣∣∣∣∣∣a11 a12 · · · a1na21 a22 · · · a2n· · · · · · · · ·an1 an2 · · · ann

∣∣∣∣∣∣∣∣mit seiner zugehörigen Adjunkten αij , so ergibt die Summe dieser n Produkteden Wert der Determinante.

Man spricht dann von der Entwicklung der Determinante nach der i-ten Zeilebzw. nach der j-ten Spalte.



LAPLACEscher Entwicklungssatz für Determinanten höhererOrdnung 2/2

Bei der Entwicklung der Determinante nach der i-ten Zeile ergibt sich ihrWert als:

|A| = ai1αi1 + ai2αi2 + . . .+ ainαin =n∑

j=1

aijαij

Bei Entwicklung nach der j-ten Spalte ergibt sich der Wert als:

|A| = a1jα1j + a2jα2j + . . .+ anjαnj =n∑

i=1

aijαij



Eigenschaften von Determinanten 1/2

Die Determinante |A| einer Matrix A ist gleich der Determinanten∣∣AT

∣∣ dertransponierten Matrix AT .

Für zwei Matrizen A und B gleicher Ordnung gilt: |A| · |B| = |AB|

Eine Determinante hat den Wert 0, wenn alle Elemente einer Zeile oder einerSpalte gleich Null sind.

Werden alle Elemente einer Zeile oder einer Spalte mit einem Faktor cmultipliziert, so erhält man den c-fachen Wert der ursprünglichenDeterminante.



Eigenschaften von Determinanten 2/2

Wird eine quadratische Matrix n-ter Ordnung A mit dem Skalar cmultipliziert, dann gilt: |cA| = cn |A|

Die Determinante wechselt ihr Vorzeichen, wenn man zwei beliebige Zeilenoder Spalten miteinander vertauscht.

Addiert man zu einer Zeile bzw. einer Spalte ein Vielfaches einer anderenZeile bzw. Spalte, so ändert sich der Wert der Determinante nicht.

Eine Determinante hat den Wert Null, wenn zwei Zeilen oder zwei Spaltenübereinstimmen, oder wenn eine Zeile bzw. eine Spalte ein Vielfaches eineranderen Zeile bzw. Spalte ist.



Determinante einer Dreiecksmatrix

Die Determinante einer Dreiecksmatrix ergibt sich als Produkt der Elementeauf der Hauptdiagonalen.∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣a11 a12 a13 · · · a1n0 a22 a23 · · · a2n0 0 a33 · · · a3n· · · · · · · · · · · ·0 0 0 · · · ann

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣=

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣a11 0 0 · · · 0a21 a22 0 · · · 0a31 a32 a33 · · · 0· · · · · · · · · · · ·an1 an2 an3 · · · ann

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣= a11a22a33 · . . . ·ann

Die Regel ergibt sich, wenn der LAPLACEsche Entwicklungssatz immerwieder auf die jeweils erste Spalte (bei der oberen Dreiecksmatrix) bzw. dieerste Zeile (bei der unteren Dreiecksmatrix) angewendet wird.

Zur Berechnung einer Determinante kann die entsprechende Matrix durchAnwendung von Zeilenoperationen in eine Dreiecksmatrix umwandelt und dieDeterminante nach obiger Regel berechnet werden.



De�nitheit von Matrizen

Die Determinanten der n Unterdeterminanten einer n × n-Matrix A

|A1| = |a11| ; |A2| =∣∣∣∣ a11 a12a21 a22

∣∣∣∣ ; . . . |An| =

∣∣∣∣∣∣∣a11 . . . a1n...

...an1 . . . ann

∣∣∣∣∣∣∣heissen Hauptminoren der Matrix A.

Eine Matrix ist dann positiv de�nit, wenn für die n Hauptminoren gilt:|A1| > 0, . . . , |An| > 0

Haben die Hauptminoren alternierende Vorzeichen, beginnend mit negativemVorzeichen, dann ist A entsprechend negativ de�nit.



Eindeutige Lösbarkeit inhomogener LGS

Eine Matrix A, deren Determinante verschwindet (|A| = 0), heisst singulär.Ist die Determinante von Null verschieden, so heisst die Matrix nichtsinguläroder regulär.

Die Koe�zientenmatrix eines eindeutig lösbaren inhomogenen LGS mitn Gleichungen und n Variablen ist regulär, die eines nicht eindeutig lösbarenLGS ist singulär.

Überprüfung der eindeutigen Lösbarket eines LGS Ax = b mit n Gleichungenund n Variablen:

gilt |A| 6= 0, dann ist das LGS eindeutig lösbar

gilt |A| = 0, dann nicht.



CRAMERsche Regel

Gegeben sei ein inhomogenes LGS mit n Gleichungen in n Variablen Ax = b. DieLösung kann wie folgt bestimmt werden:

1 Bestimme |A| . Gilt |A| = 0, so ist Ax = b nicht eindeutig lösbar und dasVerfahren ist beendet.

2 Berechne die n Determinanten |Aj | (j = 1, . . . , n) der Matrizen Aj , die manaus der Koe�zientenmatrix A dadurch erhält, dass man die j-te Spalte durchden Vektor b der absoluten Glieder ersetzt, also:

|A1| =

∣∣∣∣∣∣∣∣b1 a12 a13 · · · a1nb2 a22 a23 · · · a2n· · · · · · · · · · · ·bn an2 an3 · · · ann

∣∣∣∣∣∣∣∣ |A2| =

∣∣∣∣∣∣∣∣a11 b1 a13 · · · a1na21 b2 a23 · · · a2n· · · · · · · · · · · ·an1 bn an3 · · · ann

∣∣∣∣∣∣∣∣3 Bestimme

xj =|Aj ||A|

, j = 1, . . . , n


Lineare Algebra Inverse Matrizen

Lineare Algebra



3 Determinanten

4 Inverse Matrizen




Inverse einer quadratische Matrix

Für eine quadratische Matrix A ist die Inverse oder inverse Matrix A−1 alseine Matrix de�niert, für die gilt:

A−1A = AA−1 = E

Für nicht quadratische Matrizen ist die Inverse allgemein nicht de�niert.

Eine quadratische Matrix A hat genau dann eine Inverse, wenn |A| 6= 0.

Eine Matrix kann nur eine Inverse haben.



Eigenschaften der Inverse

Seien A und B invertierbare n × n-Matrizen. Dann gilt:

A−1 ist invertierbar und(A−1

)−1= A.

AB ist invertierbar und es gilt (AB)−1 = B−1A−1.

Die Transponierte AT ist invertierbar und(AT)−1

=(A−1

)T.

(cA)−1 = c−1A−1, falls c eine Zahl 6= 0.



Bestimmung der Inversen durch vollständige Elimination

Gegeben sei eine quadratische Matrix A, zu der die Inverse A−1 existiert. DieInverse kann wie folgt bestimmt werden:

1 Erweiterung der Matrix A um eine Einheitsmatrix geeigneter Ordnung zu(A |E )

2 Transformation der erweiterten Matrix (A |E ) durch Anwendung vonZeilenoperationen derart, dass anstelle von A die Einheitsmatrix steht. Imrechten Teil der erweiterten Matrix steht dann die Inverse:

(E∣∣A−1 )



Lösung eines inhomogenen LGS mit Hilfe der Inversen derKoe�zientenmatrix

Gegeben sei ein LGS mit n Gleichungen in n Variablen: Ax = b.

Multiplikation beider Seiten der Gleichung von links mit der Inversen derKoe�zientenmatrix ergibt:

A−1Ax = A−1b =⇒ Ex = A−1b =⇒ x = A−1b



Bestimmung der Inverse mit Hilfe der adjungierten Matrix

Gegeben sei eine quadratische Matrix A = (aij) , deren Inverse existert unddie adjungierte Matrix Aad = (αij)

T

Dann gilt:

A−1 =1|A|

Aad =

α11|A|

α21|A| · · · αn1

|A|α12|A|

α22|A| · · · αn2

|A|· · · · · · · · ·α1n|A|

α2n|A| · · · αnn

|A|


Grundzüge der linearen Optimierung Gra�sche Einführung in die lineare Optimierung

Grundzüge der linearen Optimierung

1 Gra�sche Einführung in die lineare Optimierung

2 Die Simplex-Methode

3 Die Minimierungsaufgabe der linearen Optimierung




Lineare Optimierung

Anwendung mathematischer Methoden auf die Lösung von Planungs- undEntscheidungsproblemen

lineare Optimierung (lineare Programmierung): Verfahren zur Lösungvon Problemen, bei denen Extremwerte einer linearen Funktion gesuchtwerden, unter Beachtung von Beschränkungen oder Nebenbedingungen inForm linearer Gleichungen oder Ungleichungen.



Lineare Ungleichungen mit mehreren Variablen

Bei linearen Ungleichungen mit mehreren Variablen treten wie bei linearenGleichungen die Variablen nur in der ersten Potenz auf und es kommen keineProdukte der Variablen vor.

Eine Beziehung der Form

a1x1 + a2x2 + . . .+ anxn ≤ b bzw.

n∑i=1

aixi ≤ b

oder

a1x1 + a2x2 + . . .+ anxn ≥ b bzw.

n∑i=1

aixi ≥ b

heisst lineare Ungleichung mit n Variablen.

Lösungsmenge einer Ungleichung mit 2 Variablen: Die Lösungsmenge derUngleichung a1x1 + a2x2 ≤ b ist gra�sch in einem rechtwinkligen(x1, x2)−Koordinatensystem ein durch die Gerade a1x1 + a2x2 = b begrenzterTeil der Ebene.



Maximierungsaufgabe: Ein Beispiel 1/11

In einem Betrieb müssen die Produkte X1 und X2 während desFertigungsprozesses die Maschinentypen A, B und C passieren.

Die wöchentliche Arbeitszeit des Betriebes ist 40 Stunden.

ProduktMaschinenkapazität

X1 X1

MaschinentypA 2 h/Stück 1 h/Stück 200 h/StückB 1 h/Stück 1 h/Stück 120 h/StückC 1 h/Stück 3 h/Stück 240 h/Stück




Mögliche Mengenkombinationen bei Vollauslastung der Maschinen A, B bzw.C

auf A auf B auf CStück X1 Stück X2 Stück X1 Stück X2 Stück X1 Stück X2

100 0 120 0 240 080 40 100 20 180 2050 100 60 60 120 4020 160 20 100 60 600 200 0 120 0 80




gra�sche Darstellung der gleichzeitig realisierbaren Mengenkombinationen

x1 bezeichnet die wöchentlichen Stückzahlen von X1, x2 die von X2

Alle zulässigen Kombinationen(x1, x2) für Maschinentyp Awerden beschrieben durch diefolgenden Ungleichungen:

x1 + x2 ≤ 200

x1 ≥ 0

x2 ≥ 0




Ungleichungen für Maschinentyp B:

x1 + x2 ≤ 120

x1 ≥ 0

x2 ≥ 0

Ungleichungen für Maschinentyp C:

x1 + 3x2 ≤ 240

x1 ≥ 0

x2 ≥ 0







Ziel des Betriebes: Maximierung des Gewinns

Stückgewinne: g1 = 2¿ und g2 = 3¿Der Gesamtgewinn ergibt sich als: G = 2x1 + 3x2Alle Mengenkombinationen der beiden Produkte, die zu einem Gewinn in Höhevon G0 führen, liegen auf einer Geraden der Form 2x1 + 3x2 = G0 oderx2 = − 2

3x1 +

1

3G0

Mit den Stückgewinnen g1 und g2 gilt allgemein: g1x1 + g2x2 = G0 oderx2 = − g1

g2x1 +

1

g2G0

Diese Geraden gleicher Gewinne werden auch als Isogewinngeradenbezeichnet und sind parallel zueinander.

Ermittlung des Produktionsprogramms, das zum grösstmöglichen Gewinnführt: paralleles Verschieben eines durch den Bereich der zulässigenMengenkombinationen gehende Isogewinngerade so lange, bis der zulässigeBereich verlassen wird. An der Grenze liegt die Lösung.




Beispiel 1: g1 = 2 und g2 = 3, also ist G = 2x1 + 3x2

Maximum in P7 mit x1 = 60, x2 = 60 und G = 300Dr. Claudia Vogel (Universität Bern) Mathematik: Anwendungen SS 2013 130 / 262



Beispiel 2: g1 = 3 und g2 = 2, also ist G = 3x1 + 2x2

Maximum in P8 mit x1 = 80, x2 = 40 und G = 320Dr. Claudia Vogel (Universität Bern) Mathematik: Anwendungen SS 2013 131 / 262



Führen mehrere Mengenkombinationen zum gleichen maximalen Gewinn,dann spricht man von einer mehrdeutigen Lösung.Beispiel 3:g1 = g2 = 2

Alle Punkte auf der Strecke P7P8 führen zu demselben MaximalgewinnG = 240.




Bei Erhöhung der Kapazität auf 128 h schneiden sich alle dreiBeschränkungsgeraden in einem Punkt.

Die Kapazitätsbeschränkung derMaschine B ist über�üssig, da siegegenüber den Beschränkungendurch A und C keine zusätzlichenInformationen liefert.

Man spricht in einem solchen Fallauch von Degeneration bzw. voneiner degenerierten Lösung.

Mathematisch kann Degeneration Probleme bereiten. Betriebwirtschaftlichist sie erwünscht, da es dann einen Produktionsplan gibt, bei dem alleKapazitäten voll ausgelastet sind.




Der geometrischen Problemstellung entspricht folgende analytische:Zu bestimmen ist das Maximum der linearen Gewinnfunktion (Zielfunktion)

G = 3x1 + 2x2

unter den Bedingungen:2x1 + x2 ≤ 200

x1 + x2 ≤ 120

x1 + 3x2 ≤ 240

x1 ≥ 0

x2 ≥ 0

Gra�sch lassen sich nur sehr einfache Beispiele lösen. Bei drei Produktenbereitet die gra�sche Darstellung und Lösung schon erheblicheSchwierigkeiten, weil man von der Darstellung in der Ebene zur Darstellungim dreidimensionalen Raum übergehen muss.



Allgemeines Maximierungsproblem der lin. Optimierung 1/2

Gegeben ist die lineare Funktion (Zielfunktion):

G = g1x1 + g2x2 + . . .+ gnxn =n∑

j=1

gnxn

Gesucht sind reelle Zahlen xj (j = 1, . . . , n) für die der Wert der Zielfunktionmaximal wird und die den folgenden Nebenbedingungen genügen:

a11x1 + a12x2 + . . .+ a1nxn ≤ b1 bzw.

n∑j=1

a1jxj ≤ b1

a21x1 + a22x2 + . . .+ a2nxn ≤ b2 bzw.

n∑j=1

a2jxj ≤ b2

· · · · · ·

am1x1 + am2x2 + . . .+ amnxn ≤ bm bzw.

n∑j=1

amjxj ≤ bm

xj ≥ 0 (j = 1, . . . , n)

aij ∈ R, gj ∈ R, bi ∈ R, (j = 1, . . . , n; i = 1, . . . , n)Dr. Claudia Vogel (Universität Bern) Mathematik: Anwendungen SS 2013 135 / 262


Allgemeines Maximierungsproblem der lin. Optimierung 2/2

Maximiere:

G =(g1, g2, · · · gn

)

x1x2...xn

unter der Bedingung:

a11 a12 · · · a1na21 a22 · · · a2n· · · · · · · · ·am1 am2 · · · amn

x1x2...xn

≤

b1b2...bn

und der Nichtnegativitätsbedingung:(

x1, x2, · · · xn)≥(0, 0, · · · 0

)Dr. Claudia Vogel (Universität Bern) Mathematik: Anwendungen SS 2013 136 / 262

Grundzüge der linearen Optimierung Die Simplex-Methode








Die Simplex-Methode

Die gesuchte Optimallösung wird iterativ, d.h. schrittweise, gefunden.

Man beginnt mit einer zulässigen Lösung des Problems:

Ist diese Lösung optimal, ist man fertig.

Ist diese Lösung nicht optimal, so bestimmt man eine neue verbesserte undprüft diese wieder auf Optimalität

Zur Bestimmung der Optimallösung werden Rechenoperationen auf dieZielfunktion und die Nebenbedingungen bzw. auf ihre in Tabellenformgeschriebenen Koe�zienten angewendet, die den aus der Matrizenrechnungbekannten Zeilenoperationen gleichen.



Simplex-Methode: Einführung von Hilfsvariablen

Das allgemeine Maximierungsproblem wird durch Einführen vonHilfsvariablen oder Schlupfvariablen umgewandelt in:

MaximiereG = g1x1 + g2x2 + . . .+ gnxn

unter den Beschränkungen

a11x1 + a12x2 + . . .+ a1nxn + y1 = b1

a21x1 + a22x2 + . . .+ a2nxn + y2 = b2

· · ·am1x1 + am2x2 + . . .+ amnxn + ym = bm

und den Nichtnegativitätsbedingungen

x1 ≥ 0, . . . , xn ≥ 0, y1 ≥ 0, . . . , ym ≥ 0



Simplex-Methode: Das Simplex-Tableau

Zu Beginn enthält das Simplex-Tableau die Koe�zienten desGleichungssystems.

Die Zielfunktion hat dabei die Form:

−g1x1 − g2x2 − . . .− gnxn + G = 0

Das Simplex-Tableau lautet dann:

x1 x2 xn y1 y2 ym G

a11 a12 · · · a1n 1 0 · · · 0 0 b1a21 a22 · · · a2n 0 1 · · · 0 0 b2...

... · · ·...

...... · · ·

......

...am1 am2 · · · amn 0 0 · · · 1 0 bm−g1 −g2 · · · −gn 0 0 · · · 0 1 0



Simplex-Methode: Basislösung

Eine Basislösung des Problems ist eine Lösung in der höchstens m Variablenvon Null verschiedene Werte annehmen. Die mindestens n −m restlichenVariablen nehmen den Wert Null an. Die zur Basislösung gehörigen Variablenheissen Basisvariablen.

Im Simplex-Tableau sind Basisvariablen diejenigen, deren SpaltenEinheitsvektoren enthalten.

Ablesen der Lösungswerte aus dem Simplex-Tableau, indem man die Werteder Nicht-Basisvariablen Null setzt und für die Basisvariablen einGleichungssystem unter Weglassung der Nicht-Basisvariablen bildet.

Es ergibt sich:y1 = b1, y2 = b2, . . . , ym = bm

undx1 = x2 = . . . = xn = 0



Optimalitätskriterium der Simplex-Methode

Das nach der r -ten Iteration des Simplex-Algorithmus gefundene Tableau:

x1 x2 xn y1 y2 ym G

ar11

ar12

· · · ar1n ar

1,n+1ar1,n+2

· · · ar1,n+m 0 br

1

ar21

ar22

· · · ar2n ar

2,n+1ar2,n+2

· · · ar1,n+m 0 br

2

...... · · ·

......

... · · ·...

......

arm1arm2

· · · armn arm,n+1arm,n+2

· · · arm,n+m 0 brmg r1

g r2

· · · g rn g rn+1g rn+2

· · · g rn+m 1 G r

enthält dann die Optimallösung, wenn die letzte Zeile keine negativenKoe�zienten enthält (g ri ≥ 0; i = 1, . . . , n +m) . Zu den Basisvariablenenthalten sie Spalten des Simplex-Tableaus Einheitsvektoren. Diebrj (j = 1, . . . ,m) geben die Lösungswerte der Basisvariablen an. G r ist derWert der Zielfunktion.

Enthält die letzte Zeile negative Koe�zienten, so kann die Lösung verbessertwerden.



Simplex-Algorithmus zur Verbesserung einer nicht optimalenLösung

Auswahl einer Spalte k, die in der letzten Zeile das kleinste Element enthält:

g rk = mini

(g ri )

Auswahl der Zeile q aus den ersten m Zeilen des Simplex-Tableaus, für dieder Quotient aus den koe�zienten der letzten Spalte und der ausgewähltenSpalte am kleinsten wird:

brq

arqk= min

j

(brj

arjk

)

Nicht bestimmbare Quotienten bleiben unberücksichtigt. Das Element arqkheisst Pivotelement.

Erzeugung eines Einheitsvektors q-ter Ordnung in der k-ten Spalte desTableaus durch Anwendung von Zeilenoperationen. Das neue Tableau enthältdie (r + 1)-te verbesserte Basislösung.



Simplex-Methode: Weitere Informationen

Die Werte der Hilfsvariablen in der letzten Zeile des Tableaus werden alsSchattenpreise bezeichnet. Sie geben an, wie sich der Gewinn erhöht, wennman die Kapazität des Maschinentyps, zu dem die betre�ende Hilfsvariablegehört, um eine Einheit vergrössert.

Man kann sie als Entscheidung über eine optimale Vergrösserung derKapazität nutzen.



Mehrdeutigkeit

Enthält die Spalte einer Nicht-Basisvariablen im Simplex-Tableau in derletzten Zeile eine Null, so handelt es sich um eine mehrdeutige Lösung.

Bestimmung der Lösungsmenge bei Mehrdeutigkeit:Gegeben sei eine Maximierungsaufgabe in Gleichungsform. x∗1 , . . . , x

∗s und

y∗1 , . . . , x∗m−s (0 ≤ s ≤ m) seien die m Basisvariablen und x∗s+1, . . . , x

∗s+t ,

y∗m−s+1, . . . , x∗m−s+T−t (1 ≤ T ≤ n −m) seien die T Nicht-Basisvariablen mit

0 in der letzten Zeile.Man erhält sämtliche Lösungen der mehrdeutigen Maximierungsaufgabe alsLösung des aus dem optimalen Simplex-Tableau ablesbaren Gleichungssystems

x∗1 + a∗1,αx∗α + . . .+ a∗1,s+tx

∗s+t + a∗1,βx

∗β + . . .+ a∗1,γx

∗γ = b∗1

· · ·x∗s + a∗s,αx

∗α + . . .+ a∗s,s+tx

∗s+t + a∗s,βx

∗β + . . .+ a∗s,γx

∗γ = b∗s

y∗1 + a∗α,αx∗α + . . .+ a∗α,s+tx

∗s+t + a∗α,βx

∗β + . . .+ a∗α,γx

∗γ = b∗α

· · ·y∗m−s + a∗m,αx

∗α + . . .+ a∗m,s+tx

∗s+t + a∗m,βx

∗β + . . .+ a∗m,γx

∗γ = b∗m

mit α = s + 1, β = m − s + 1 und γ = m − s + T − t.Dabei sind die Nichtnegativitätsbedingungen zu beachten.



Degeneration

Ergibt sich bei der Durchführung des Simplex-Algorithmus für eineBasisvariable der Lösungswert 0, so liegt Degeneration vor.

Bereitet vor Erreichen der Optimallösung erhebliche Schwierigkeiten und wirddeshalb nicht weiter betrachtet.


Grundzüge der linearen Optimierung Die Minimierungsaufgabe der linearen Optimierung








Minimierungsaufgabe: Ein Beispiel 1/4

Eine Ge�ügelfarm verwendet zwei Sorten Futter mit folgenden Inhaltssto�enpro kg. (Der Rest jeder Sorte besteht aus unverdaulichen Sto�en)

Sorte A Sorte B Sorte CEiweiss 0,1 kg 0,2 kg mindestens 1 kg

Fett 0,2 kg 0,1 kg mindestens 0,8 kg

Kohlehydrate 0,1 kg 0,6 kg mindestens 1,8 kg

Preis 8 ¿/kg 12 ¿/kg

Der Farmer möchte aus Futter A und B eine Mischung C mit den gegebenenInhaltssto�en herstellen.

Wie viel kg jeder Futtersorte soll der Ge�ügelfarmer für die Herstellung derFuttermischung C verwenden, damit die Kosten für die Mischung minimiertwerden




gesuchte Menge von A bezeichnet mit y1, die gesuchte Menge von B mit y2.

Zielfunktion: MinimiereK = 8y1 + 12y2

Beschränkungen: Mindestmengen von Nährsto�en

Eiweiss 0, 1y1 + 0, 2y2 ≥ 1Fett 0, 2y1 + 0, 1y2 ≥ 0, 8Kohlehydrate 0, 1y1 + 0, 6y2 ≥ 1, 8

Nichtnegativitätsbedingungen: y1 ≥ 0, y2 ≥ 0




Bestimmen des Bereiches der zulässigen Lösungen:

0, 1y1 + 0, 2y2 = 1

0, 2y1 + 0, 1y2 = 0, 8

0, 1y1 + 0, 6y2 = 1, 8




Bestimmung der optimalen Lösung:

Zielfunktion: y2 = − 2

3y1 +

1

12K



Allgemeines Minimierungsproblem der lin. Optimierung

Für die lineare Zielfunktion:

K = b1y1 + b2y2 + . . .+ bnyn =n∑

j=1

bnyn

ist ein Minimum gesucht unter Berücksichtigung der Beschränkungen:

a11y1 + a21y2 + . . .+ am1ym ≥ g1 bzw.

n∑j=1

aj1yj ≥ g1

a12y1 + a22y2 + . . .+ am2ym ≥ g2 bzw.

n∑j=1

aj2yj ≥ g2

· · · · · ·

a1ny1 + a2ny2 + . . .+ amnym ≥ gn bzw.

n∑j=1

ajnyj ≥ gn


yj ≥ 0 (j = 1, . . . , n)



Lösung der Minimierungsaufgabe mit der Simplex-Methode

Überführung der Nebenbedingungen in Gleichungen durch Einführung vonSchlupfvariablen. Die Schlupfvariablen haben negative Vorzeichen!

Bestimmen Sie das Minimum der Funktion

K = b1y1 + b2y2 + . . .+ bmym

unter den Beschränkungen

a11y1 + a21y2 + . . .+ am1ym − x1 = g1

a12y1 + a22y2 + . . .+ am2ym − x2 = g2

· · ·a1ny1 + a2ny2 + . . .+ amnym − xn = gn


y1 ≥ 0, . . . , ym ≥ 0; x1 ≥ 0, . . . , xn ≥ 0

Zur Anwendung der Simplex-Methode muss die Minimierungsaufgabe mit” ≥ ”-Beschränkungen in eine Maximierungsaufgabe mit” ≤ ”-Beschränkungen umgeformt werden.



Dualitätssatz der lin. Optimierung 1/2

Die Minimierungsaufgabe:

Minimiere K = b1y1 + b2y2 + . . . + bmymunter den Beschränkungen

a11y1 + a21y2 + . . . + am1ym − x1 = g1

a12y1 + a22y2 + . . . + am2ym − x2 = g2

· · ·a1ny1 + a2ny2 + . . . + amnym − xn = gn


y1 ≥ 0, . . . , ym ≥ 0; x1 ≥ 0, . . . , xn ≥ 0

entspricht eindeutig der dualen Maximierungsaufgabe:

Maximiere G = g1x1 + g2x2 + . . . + gnxnunter den Beschränkungen

a11x1 + a12x2 + . . . + a1nxn ≤ b1

a21x1 + a22x2 + . . . + a2nxn ≤ b2

· · ·am1x1 + am2x2 + . . . + amnxn ≤ bm


x1 ≥ 0, . . . , xn ≥ 0; y1 ≥ 0, . . . , xm ≥ 0



Dualitätssatz der lin. Optimierung 2/2

Gegeben sei eine Minimierungsaufgabe und die zugehörige dualeMaximierungsaufgabe mit deren optimaler Lösung. Die Basisvariablen derMaximierungsaufgabe sind die Nicht-Basisvariablen der dualenMinimierungsaufgabe und die Nicht-Basisvariablen der Maximierungsaufgabesind die Basisvariablen der Minimierungsaufgabe.

Die Lösungswerte der Basisvariablen der Maximierungsaufgabe sind dieSchattenpreise der Nicht-Basisvariablen der dualen Minimierungsaufgabe unddie Schattenpreise der Nicht-Basisvariablen der Maximierungsaufgabe sind dieLösungswerte der Basisvariablen der Minimierungsaufgabe.


Funktionen mit mehreren Variablen Funktionen von zwei Variablen

Funktionen mit mehreren Variablen

Funktionen von zwei Variablen

Funktionen von mehreren Variablen

Komparative statische Analysen

Multivariate Optimierung

Multivariate Optimierung unter Nebenbedingungen

Literatur: Sydsaeter, Knut; Hammond, Peter (2009). Mathematik fürWirtschaftswissenschatler. Pearson Studium.



De�nitionen

Eine Funktion f von zwei Variablen x und y mit De�nitionsbereich D ist eineRegel, die jedem Punkt (x , y) ∈ D eine genau spezi�zierte Zahl f (x , y)zuordnet.

z = f (x , y)

Wir nennen x und y die unabhängigen Variablen und z die abhängigeVariable.

Der De�nitionsbereich ist die Menge aller möglichen Paare derunabhängigen Variablen.

Der Wertebereich ist die Menge der zugehörigen Werte der abhängigenVariablen.

x und y heissen auch exogene Variablen, während z die endogene Variable ist.



Beispiele für Funktionen mit mehreren Variablen

Untersuchung der Nachfrage nach Milch von R. Frisch und T. Haavelmo:

x = Am2,08

p1,5(A pos. Konstante)

mit x Milchkonsum, p relativer Preis von Milch, m das Einkommen proFamilie

Cobb-Douglas-Funktion (1927, Schätzung der Produktionsfunktion):

F (x , y) = Axayb (A, a und b sind Konstanten)

gewöhnliche Annahme: x > 0, y > 0

zur Beschreibung von Produktionsprozessen sind x und y die Inputfaktorenund F (x , y) die Anzahl der produzierten Einheiten.



De�nitionsbereich

Für Funktionen in ökonomischen Anwendungen unterliegt derDe�nitionsbereich gewöhnlich Einschränkungen: Wenn f (x , y) eineProduktionsfunktion ist, so nehmen wir für die Inputvariablen gewöhnlichx ≥ 0 und y ≥ 0 an.

Wenn nichts anderes vereinbart ist, nehmen wir an, dass derDe�nitionsbereich einer Funktion, die durch eine Formel de�niert ist, gegebenist durch den grössten Bereich, für den die Formel einen eindeutigen undsinnvollen Wert liefert.

Für Funktionen von zwei Variablen ist der De�nitionsbereich einePunktmenge in der Ebene.



Partielle Ableitungen mit zwei Variablen

Für eine Funktion y = f (x) misst die Ableitung dfdx

die Änderungsrate, wennx sich ändert.

Auch für Funktionen von zwei Variablen z = f (x , y) sind wir daraninteressiert, wie schnell sich f (x , y) ändert, wenn die unabhängigen Variablensich ändern.

Wenn z = f (x , y), dann bezeichnet ∂z∂x die Ableitung von f (x , y) bezüglich

x , wenn y konstant gehalten wird und ∂z∂y die Ableitung von f (x , y)

bezüglich y , wenn x konstant gehalten wird.

Wenn z = f (x , y), dann heisst ∂z∂x = ∂f

∂x die partielle Ableitung von z oder fbezüglich x und ∂z

∂y = ∂f∂y die partielle Ableitung von z oder f bezüglich y .

∂f∂x und ∂f

∂y messen die Änderungsraten von f bezüglich x bzw. y . Wenn z.B.∂f∂x > 0 dann führt eine kleine Erhöhung von x zu einem Anstieg in f (x , y).



Partielle Ableitungen: Beispiel

Untersuchung der Nachfrage nach Milch von R. Frisch und T. Haavelmo:

x = Am2,08

p1,5= Ap−1,5m2,08 (A pos. Konstante)

mit x Milchkonsum, p relativer Preis von Milch, m das Einkommen proFamiliepartielle Ableitungen

∂f

∂p=− 1, 5Ap−2,5m2,08

︷︸︸︷< 0

∂f

∂m=2, 08Ap−1,5m1,08

︷︸︸︷> 0

Der Milchkonsum sinkt, wenn der Preis steigt und er steigt, wenn dasEinkommen steigt.



Andere Notationen

Gegeben sein z = f (x , y)

∂f

∂x=∂z

∂x= z

′

x = f′

x (x , y) = f′

1 (x , y) =∂f (x , y)

∂x

∂f

∂y=∂z

∂y= z

′

y = f′

y (x , y) = f′

2 (x , y) =∂f (x , y)

∂y

Die numerischen Indizes beziehen sich auf die Position des Arguments in derFunktion, d.h. f

′

1ist die partielle Ableitung bezüglich der ersten Variablen

und f′

2die partielle Ableitung bezüglich der zweiten Variablen



Formale De�nition der partiellen Ableitung

Falls z = f (x , y) und g (x) = f (x , y) (bei festem y), so ist die partielleAbleitung von f (x , y) bezüglich x einfach g ′ (x).Die De�nition von g ′ (x) ist gegeben durch

g ′ (x) = lim4x→0

g (x +4x)− g (x)

4x

Es folgt für f′

x (x , y) = g ′ (x):

f′

x (x , y) = lim4x→0

f (x +4x , y)− f (x , y)

4x=∂f (x , y)

∂x

Ebenso gilt:

f′

y (x , y) = lim4y→0

f (x , y +4y)− f (x , y)

4y=∂f (x , y)

∂y

Wenn die Grenzwerte nicht existieren, sagen wir, dass die entsprechendenpartiellen Ableitungen nicht existieren oder dass z nicht di�erenzierbar istbezüglich x oder y in dem entsprechenden Punkt.



Interpretation der partiellen Ableitung

Die partielle Ableitung ∂f (x,y)∂x ist ungefähr gleich der Änderung von f (x , y),

die aus der Änderung von x um eine Einheit bei konstantem y resultiert.

Die partielle Ableitung ∂f (x,y)∂y ist ungefähr gleich der Änderung von f (x , y),

die aus der Änderung von y um eine Einheit bei konstantem x resultiert.



Partielle Ableitungen höherer Ordnung

Wenn z = f (x , y) dann heissen ∂f∂x und ∂f

∂y partielle Ableitungen ersterOrdnung. Diese sind wiederum Funktionen von zwei Variablen.Wenn diese wiederum partiell di�erenzierbar sind, erhalten wir vier partielleAbleitungen zweiter Ordnung.

∂f

∂x

(∂f

∂x

)=∂2f

∂x2∂f

∂x

(∂f

∂y

)=

∂2f

∂x∂y

∂f

∂y

(∂f

∂x

)=

∂2f

∂y∂x

∂f

∂y

(∂f

∂y

)=∂2f

∂y2

Andere Notationen:

∂2f

∂x2= f

′′

xx (x , y) = f′′

11 (x , y)

∂2f

∂x∂y= f

′′

xy (x , y) = f′′

12 (x , y)

Für die meisten Funktionen gilt:

∂2f

∂x∂y=

∂2f

∂y∂xDr. Claudia Vogel (Universität Bern) Mathematik: Anwendungen SS 2013 165 / 262


Geometrische Darstellung 1/2

Das Koordinatensystem im Raum:

Funktion einer Variablen werden dargestellt durch den Graphen in einemrechtwinkligen Koordinatensystem.

Bei Funktionen von zwei Variablen bilden die Graphen Flächen in einemdreidimensionalen Raum.

Jeder Punkt in der Ebene wird durch ein Paar reeller Zahlen dargestellt, indemman orthogonale Koordinatenachsen benutzt, d.h. rechtwinkligesKoordinatensystem.

Punkte im Raum können durch Tripel reeller Zahlen dargestellt werden, indemwir drei paarweise orthogonale Koordinatenachsen benutzen.

Koordinatenachsen schneiden sich im Ursprung und heissen x-Achse, y-Achseund z-Achse.



Geometrische Darstellung 2/2



Der Graph einer Funktion von zwei Variablen

Sei z = f (x , y) eine Funktion von zwei Variablen, de�niert in einem BereichD in der xy -Ebene.

Der Graph der Funktion f ist die Menge aller Punkte (x , y , f (x , y)) imRaum, die man erhält, wenn man (x , y) durch D �laufen lässt�.



Höhenlinien

Wenn die Schnittebene zurGleichung x = c gehört, dannheisst die Projektion derSchnittkurve auf die xy -Ebenedie Höhenlinie oder Niveauliniezur Höhe c für f

Die Höhenlinie besteht aus denPunkten (x , y), die die folgendeGleichung erfüllen:

f (x , y) = c



Beispiel 1

z = x2 + y2

Jede Höhenlinie hat die Gleichung x2 + y2 = c für ein c ≥ 0. Dies sind Kreise inder xy -Ebene mit Mittelpunkt im Ursprung und Radius

√c.



Beispiel 2: Cobb-Douglas Funktion

Sei F (K , L) die Anzahl produzierter Einheiten (Output), bei Kapitalinput K undArbeitsinput L. Eine Höhenlinie dieser Funktion ist eine Kurve in der KL-Ebene:

F (K , L) = Y0

Diese Kurve heisst eine Isoquante (�gleiche Menge�)

F (K , L) = AK aLb mit a+ b < 1 und A > 0



Geometrische Interpretation der partiellen Ableitung

f 'x (x0, y0) ist die Ableitung von z = f (x0, y0) nach x in x = x0 und istSteigung der Tangente ly an die Kurve Ky in x = x0.

Analog ist f 'y (x0, y0) die Steigung der Tangente lx an die Kurve Kx in y = y0.


Funktionen mit mehreren Variablen Funktionen von mehreren Variablen










Funktion von n Variablen

Eine geordnete Menge von n Zahlen, ein n-Tupel von Zahlen (x1, x2, . . . , xn) ,heisst n-dimensionaler Vektor.

Eine Funktion von n Variablen mit De�nitionsbereich D ist eine Regel, diejedem n-dimensionalen Vektor x = (x1, x2, . . . , xn) in D genau eine Zahlf (x) = f (x1, x2, . . . , xn) zuordnet.



Funktion von n Variablen: Beispiel 1

Nachfrage nach Zucker in USA (1929 - 1935) geschätzt:

x = 108, 83− 6, 029p + 0, 164w − 0, 4217t

mit x Nachfrage, p Preis, w ein Produktionsindex, t Zeit (t0 = 0 für 1929)

Die Variablen p,w und t kommen nur in der ersten Potenz vor und werdennur mit Konstanten multipliziert. Solche Funktionen heissen linear.



Funktion von n Variablen: Beispiel 2

Nachfrage nach Bier in UK:

x = 1, 058x0,1361

x−0,7272

x0,9143

x0,8164

mit x Nachfrage, x1 Einkommen der Person, x2 Preis, x3 allgemeinerPreisindex für alle Güter, x4 Stärke des Bieres

Spezialfall der allgemeinen Cobb-Douglas Funktion:

F (x1, x2, . . . , xn) = Axa11xa22. . . xann

de�niert für x1 > 0, x2 > 0, . . . , xn > 0 und Konstante A > 0, a1, a2, . . . , an



Stetigkeit

Eine Funktion von n Variablen ist stetig, wenn kleine Änderungen in eineroder allen Variablen zu kleinen Änderungen in den Funktionswerten führen.

Wie bei einer Variablen gilt: Jede Funktion von n Variablen, die durchKombination der Operationen �Addition, Subtraktion, Multiplikation, Divisionund Verkettung� aus stetigen Funktionen entsteht, ist überall dort stetig, wosie de�niert ist.

Wenn eine Funktion einer Variablen stetig ist, so ist sie auch stetig, wennman sie als Funktion mehrerer Variablen betrachtet, z.B. f (x , y , z) = x2



De�nition der partiellen Ableitung mit mehreren Variablen

Wenn z = f (x) = f (x1, x2, . . . , xn) dann bedeutet ∂f∂xi

für (i = 1, 2, . . . , n)die partielle Ableitung von f (x1, x2, . . . , xn) nach xi wenn alle anderenVariablen xj (j 6= i) konstant gehalten werden.

Es gibt also n partielle Ableitungen erster Ordnung eine für jedesxi , i = 1, 2, . . . , n.

Andere Notationen für partielle Ableitungen erster Ordnung vonz = f (x1, x2, . . . , xn):

∂f

∂xi=∂z

∂xi= z

′

xi= f

′

xi(x1, x2, . . . , xn) = f

′

i (x1, x2, . . . , xn)



Interpretation der partiellen Ableitung mit mehrerenVariablen

Die partielle Ableitung ∂z∂xi

ist ungefähr gleich der Änderung inz = f (x) = f (x1, x2, . . . , xn) die durch einen Anstieg von xi um eine Einheitverursacht wird, wenn alle anderen Variablen xj (j 6= i) konstant gehaltenwerden.

∂f

∂xi= f (x1, . . . , xi−1,xi + 1, xi+1, . . . xn)− f (x1, . . . , xi−1, xi, xi+1, . . . xn)



Partielle Ableitungen zweiter Ordnung

Für jede partielle Ableitung erster Ordnung gibt es n partielle Ableitungenzweiter Ordnung:

∂f

∂xj

(∂f

∂xi

)=

∂2f

∂xj∂xi= f

′xj xi

i = 1, . . . , n und j = 1, . . . , n, d.h. es gibt n2 partielle Ableitungen zweiterOrdnung, die in einer n× n-Matrix angeordnet werden: Die Hesse-Matrix ander Stelle x = (x1, x2, . . . , xn)

f ′′ (x) =

∂2f∂x21

∂2f∂x1∂x2

· · · ∂2f∂x1∂xn

∂2f∂x2∂x1

∂2f∂x22

· · · ∂2f∂x2∂xn

· · · · · · · · ·∂2f

∂xn∂x1

∂2f∂xn∂x2

· · · ∂2f∂x2n

∂2f∂x2i

partielle Ableitung bezüglich derselben Variablen in der Diagonalen

heissen direkte partielle Ableitungen, ∂2f∂xi∂xj

(i 6= j) gemischte oder

gekreuzte partielle Ableitungen ausserhalb der Diagonalen.



Youngs Theorem

Wenn z = f (x1, x2, . . . , xn), dann sind die beiden gemischten partiellenAbleitungen ∂2f

∂xi∂xjund ∂2f

∂xj∂xigewöhnlich gleich, d.h.

∂f

∂xj

(∂f

∂xi

)=∂f

∂xi

(∂f

∂xj

)Die Reihenfolge der Di�erentation spielt also keine Rolle.

Genauer gilt Folgendes:

Alle partiellen Ableitungen m-ter Ordnung der Funktion z = f (x1, x2, . . . , xn)seien stetig.

Wenn zwei partielle Ableitungen implizieren, dass bezüglich jeder der Variablengleich oft di�erenziert werden muss, so stimmen diese partiellen Ableitungenüberein.



Formale De�nition der partiellen Ableitungen

∂z

∂xi= lim

∆xi→0

f (x1, . . . , xi +4xi , . . . , xn)− f (x1, . . . , xi , . . . , xn)

4xi

Wenn der Grenzwert nicht existiert, sagen wir, dass die partielle Ableitungnicht existiert oder dass z nicht di�erenzierbar ist nach xi an dieser Stelle.

Wenn z = f (x1, x2, . . . , xn) stetige partielle Ableitungen in ihremDe�nitionsbereich D hat, nennen wir f stetig di�erenzierbar in D.



Beispiel: Produktionsfunktion aus der Landwirtschaft 1/4

Y = F (K , L,T )

Y Anzahl produzierter Einheiten, K das investierte Kapital, L derArbeitsinput und T die landwirtschaftliche Nutz�äche.

∂Y

∂K= F

′

K Grenzprodukt des Kapitals

∂Y

∂L= F

′

L Grenzprodukt der Arbeit

∂Y

∂T= F

′

T Grenzprodukt der Nutz�äche

∂Y∂K ist die Änderungsrate des Outputs Y bezüglich K , wenn L und T

konstant gehalten werden.




Angenommen, die Funktion F ist eine Cobb-Douglas-Funktion:

F (K , L,T ) = AK aLbT c (A, a, b, c pos. Konstanten)

Die Grenzprodukte sind:

∂F

∂K= AaK a−1LbT c

∂F

∂L= AbK aLb−1T c

∂F

∂T= AcK aLbT c−1

Wenn K , L,T positiv sind, sind alle Grenzprodukte positiv, d.h. eineSteigerung des Kapitals, der Arbeit oder der Anbau�äche führt zu einerStiegerung der Produktion.




∂F

∂K= AaK a−1LbT c ∂F

∂L= AbK aLb−1T c ∂F


Gemische partielle Ableitungen zweiter Ordnung:

∂2F

∂K∂L= AabK a−1Lb−1T c =

∂2F

∂L∂K> 0

∂2F

∂K∂T= AacK a−1LbT c−1 =

∂2F

∂T∂K> 0

∂2F

∂L∂T= AbcK aLb−1T c−1 =

∂2F

∂T∂L> 0

Jedes Paar von Faktoren ist komplementär, da mehr von einem dasGrenzprodukt des anderen erhöht.




∂F

∂K= AaK a−1LbT c ∂F

∂L= AbK aLb−1T c ∂F


Direkte partielle Ableitungen zweiter Ordnung

∂2F

∂K 2= Aa (a− 1)K a−2LbT c

∂2F

∂L2= Ab (b − 1)K aLb−2T c

∂2F

∂T 2= Ac (c − 1)K aLbT c−2

z.B gilt für ∂2F∂K2 : wenn a < 1, dann ist ∂2F

∂K2 < 0, dies bedeutet einabnehmendes Grenzprodukt des Kapitals, d.h. eine kleine Erhöhung desinvestierten Kapitals führt zu einer Abnahme des Grenzprodukts des Kapitals.



Partielle Elastizitäten: Zwei Variablen

Wenn z = f (x , y), de�nieren wir die partiellen Elastizitäten von z

bezüglich x und y durch:

Elxz =x

z

∂z

∂xElyz =

y

z

∂z

∂y

Elxz ist die Elastizität von z bezüglich x , wenn y konstant gehalten wird undElyz ist die Elastizität von z bezüglich y , wenn x konstant gehalten wird.

Die Zahl Elxz gibt ungefähr die prozentuale Änderung von z an, wenn sich x

um 1% erhöht, entsprechend Elyz .



Beispiel: Elastizitäten für Karto�eln und Äpfel

Die Nachfrage nach Karto�eln in den USA wurde für den Zeitraum1927-1941 geschätzt als:

D1 = Ap−0,28m0,34

p Preis für Karto�eln, m das mittlere Einkommen

Die Nachfrage nach Äpfeln wurde geschätzt durch:

D2 = Bq−1,27m1,32

q Preis für Äpfel, m das mittlere Einkommen

Die Preis- und Einkommenselastizitäten der Nachfrage sind dann:

ElpD1 = −0, 28 ElmD1 = 0, 34

ElpD2 = −1, 27 ElmD2 = 1, 32



Partielle Elastizitäten: n Variablen

Wenn z = f (x1, x2, . . . xn) = f (x), wird die partielle Elastizität von z (oderf ) bezüglich xi de�niert als Elastizität von z bezüglich xi , wenn alle anderenVariablen konstant gehalten werden.

Eliz =xi

f (x)

∂f (x)

∂xi=

xi

z

∂z

∂xi

Eliz wird interpretiert als approximative Änderung von z , wenn xi sich um1% erhöht und alle anderen Variablen xj (j 6= i) konstant gehalten werden.

Andere Notationen:

Eli f (x) Elxi z εi ei


Funktionen mit mehreren Variablen Komparative statische Analysen










Kettenregel bei zwei Variablen

In ökonomischen Wachstumsmodellen wird Output als Funktion von Kapitalund Arbeit betrachtet, die wiederum beide von der Zeit abhängen.

Wie variiert der Output mit der Zeit?

z = F (x , y) x = f (t) y = g (t)

=⇒ z = F (f (t) , g (t))

Wenn z = F (x , y) mit x = f (t) und y = g (t), dann gilt

dz

dt=∂F

∂x· dxdt

+∂F

∂y· dydt

Die Gleichung gibt die Ableitung von z = F (x , y), wenn x und y beidesdi�erenzierbare Funktionen von t sind.

Diese Ableitung heisst die totale Ableitung von z nach t.



Beispiel: Nachfrage als Funktion von Preis und Einkommen

Sei D = D (p,m) die Nachfrage nach einem Gut als Funktion des Preises unddes Einkommens. Der Preis p und das Einkommen m variieren stetig mit derZeit t, so dass p = p (t) und m = m (t), d.h. die Nachfrage ist eine Funktionvon t allein:

D = D (p (t) ,m (t))

Bestimmen Sie.DD, die relative Änderungsrate der Nachfrage.

Nach der Kettenregel gilt.

D =∂D (p,m)

∂p

.p +

∂D (p,m)

∂m

.m

.

D

D=

p

D

∂D (p,m)

∂p

.p

p+

m

D

∂D (p,m)

∂m

.m

m

= (ElpD)

.p

p+ (ElmD)

.m

m

Man erhält die relative Änderungsrate der Nachfrage, indem man dierelativen Änderungsraten des Preises und des Einkommens mit denentsprechenden Elastizitäten multipliziert und dann addiert.



Kettenregel für n Variablen

In der Theorie des Konsumverhaltens wird angenommen, dass der Nutzeneines Haushalts von der Anzahl eines jeden Gutes abhängt, die er verbrauchenkann. Die Anzahl der verbrauchten Einheiten wiederum wird von den Preisendieser Güter und dem Einkommen des Haushalts abhängen. Der Nutzenhängt also indirekt von allen Preisen und dem Einkommen ab. Es wird eineallgemeine Kettenregel benötigt:

Wenn z = F (x , y) mit x = f (t, s) und y = g (t, s), dann ist z eine Funktionvon t und s, d.h.

z = F (f (t, s) , g (t, s))

und es gilt:∂z

∂t=∂F (x , y)

∂x

∂x

∂t+∂F (x , y)

∂y

∂y

∂t

∂z

∂s=∂F (x , y)

∂x

∂x

∂s+∂F (x , y)

∂y

∂y

∂s



Allgemeine Kettenregel

Es ist z = F (x1, . . . , xn) mit x1 = f1 (t1, . . . , tm) , . . . , xn = fn (t1, . . . , tm)

Die allgemeine Kettenregel:

∂z

∂tj=

∂z

∂x1

∂x1∂tj

+∂z

∂x2

∂x2∂tj

+ . . .+∂z

∂xn

∂xn∂tj

j = 1, 2, . . . ,m

Eine kleine Änderung in einer der Basisvariablen tj löst eine �Kettenreaktion�aus:

Jedes xi hängt von tj ab, so dass es sich ändert, wenn tj sich ändert.Dies wiederum beein�usst z .Der Beitrag zur totalen Ableitung von z nach tj , der von der Änderung in xiresultiert, ist ∂z

∂xi

∂xi∂tj




Es seiY = F (K , L,T )

mit Y Ertrag der Ernte, K das investierte Kapital, L die Arbeit und T dieGrösse der Anbau�äche.

Annahme: K , L, T hängen alle von der Zeit t ab.

Dann gilt nach der Kettenregel:

dY

dt=∂F

∂K

dK

dt+∂F

∂L

dL

dt+∂F

∂T

dT

dt




Wenn F die Cobb-Douglas-Funktion F (K , L,T ) = AK aLbT c ist, so folgt:

dY

dt= aAK a−1LbT c dK

dt+ bAK aLb−1T c dL

dt+ cAK aLbT c−1 dT

dt(∗)

Mit der Punktnotation für Ableitungen nach der Zeit und Division von (∗)durch Y = AK aLbT c ergibt sich

Y

Y= a

K

K+ b

L

L+ c

T

T

Die relative Änderungsrate des Outputs ist eine gewichtete Summe derrelativen Änderungsraten des Kapitals, der Arbeit und der Anbau�äche.



Steigung einer Höhenlinie 1/2

Sei F eine Funktion von zwei Variablen.

F (x , y) = c (c = const.)

Diese Gleichung de�niert eine Höhenlinie (Isoquante) für F .Annahme: y werde implizit als Funktion von x in Intervall I de�niert, d.h.

F (x , f (x)) = c

für alle x ∈ I .



Steigung einer Höhenlinie 2/2

F (x , f (x)) = c für alle x ∈ I (∗)

Sei u (x) = F (x , f (x)). Dann gilt nach der Kettenregel:

u′ (x) = F′

1 (x , f (x)) · 1+ F′

2 (x , f (x)) · f ′ (x)

Nach (∗) ist u (x) = c für alle x ∈ I , d.h.

u′ (x) = F′

1 (x , f (x)) · 1+ F′

2 (x , f (x)) · f ′ (x) = 0

Wir ersetzen f (x) durch y und lösen nach f ′ (x) = y ′ auf und erhalten somitfür die Steigung einer Höhenlinie F (x , y) = c

y ′ =dy

dx= −F

′

1(x , y)

F′2(x , y)

= −∂F/∂x∂F/∂y

(∂F/∂y 6= 0)

Diese Gleichung gibt die Ableitung von y nach x selbst dann, wenn esunmöglich ist, die Gleichung F (x , y) = c explizit nach y aufzulösen.



Formel für die zweite Ableitung 1/2

Um zu bestimmen, ob eine Höhenlinie F (x , y) = c der Graph einer konvexenoder konkaven Funktion y = f (x) ist, brauchen wir die 2. Ableitung y ′′, d.h.die Ableitung von

y ′ = −F′

1(x , y)

F′2(x , y)

Wir setzen: G (x) = F′

1(x , y) und H (x) = F

′

2(x , y), wobei y eine Funktion

von x ist.

Zu di�erenzieren ist: y ′ = −G(x)H(x) nach x.

Nach der Quotientenregel ist:

y ′′ = −G′ (x)H (x)− G (x)H ′ (x)

[H (x)]2(∗)



Formel für die zweite Ableitung 2/2

Nach der Kettenregel ist:

G ′ (x) = F′′

11 (x , y) · 1+ F′′

12 (x , y) · y ′

H ′ (x) = F′′

21 (x , y) · 1+ F′′

22 (x , y) · y ′

Es ist F′′

12= F

′′

21und y ′ = −F

′1

F′2

Einsetzen in (∗) und vereinfachen gibt:

y ′′ = − 1(F′2

)3 [F ′′11 (F ′2)2 − 2F′′

12F′

1F′

2 + F′′

22

(F′

1

)2]Gewöhnlich ist es einfacher, y ′′ durch direktes Di�erenzieren zu bestimmen.



Allgemeinere Fälle

Gegeben sei die Funktion g (x , y) = F (x , y , f (x , y)) = c mit (x , y) ∈ A

Es gilt:g′

x = g′

y = 0

Andererseits gilt nach der Kettenregel:

g′

x = F′

x · 1+ F′

z · z′

x = 0 g′

y = F′

y · 1+ F′

z · z′

y = 0

Durch Au�ösen nach z′

x bzw. z′

y folgt:

z′

x =∂z

∂x= −F

′

x

F′z

z′

y =∂z

∂y= −

F′

y

F′z

(F′

z 6= 0)

Damit kann man die Ableitungen z′

x bzw. z′

y selbst dann �nden, wenn mandie Gleichung F (x , y , z) = c nicht explizit nach z au�ösen kann.

F (x1, . . . , xn, z) = c =⇒ ∂z

∂xi= −∂F/∂xi

∂F/∂zi = 1, . . . , n



Homogene Funktionen von zwei Variablen

Motivation: F (K , L) bezeichnet die Anzahl der produzierten Einheiten, wennK Einheiten Kapital und L Einheiten Arbeit als Input verwendet werden. Wasgeschieht mit der produzierten Menge, wenn Kapital- und Arbeitsinputverdoppelt werden.

Eine Funktion f von zwei Variablen x und y in D heisst homogen vom Gradk, wenn für alle (x , y) ∈ D gilt:

f (tx , ty) = tk f (x , y) für alle t > 0

Der Grad der Homogenität kann positiv, null oder negativ sein.

Ein Polynom ist homogen vom Grad k genau dann, wenn die Summe derExponenten in jedem Term k ist.



Eulers Theorem

f (tx , ty) = tk f (x , y) für alle t > 0

Wir di�erenzieren auf beiden Seiten nach t:

xf′

x (tx , ty) + yf′

y (tx , ty) = ktk−1f (x , y)

Für t = 1 ergibt sich:

xf′

x (x , y) + yf′

y (x , y) = kf (x , y)

f (x , y) ist homogen vom Grade k genau dann, wenn

xf′

x (x , y) + yf′

y (x , y) = kf (x , y)



Höhenlinien homogener Funktionen

Wenn eine Höhenlinie einer homogenen Funktion bekannt ist, so sind auchalle anderen Höhenlinien bekannt.

Die ganze Gestalt des Graphen ist durch eine Höhenlinie bestimmt.



Allgemeine homogene Funktion

Sei f eine Funktion von n Variablen de�niert in D.

Es gelte: (x1, x2, . . . , xn) ∈ D und t > 0 =⇒ (tx1, tx2, . . . , txn) ∈ D

Die Funktion f heisst homogen vom Grade k in D, wenn

f (tx1, tx2, . . . , txn) = tk f (x1, x2, . . . , xn) für alle t > 0

Die Konstante k kann eine beliebige Zahl sein: positiv, null oder negativ.



Eulers Theorem

Sei f eine di�erenzierbare Funktion von n Variablen, de�niert in einemo�enen Bereich D, wobei x = (x1, x2, . . . , xn) ∈ D und t > 0 implizieren:tx ∈ D. Dann ist f genau dann homogen vom Grad k, wenn die folgendeGleichung für alle x ∈ D gilt:

n∑i=1

xi f′

i (x) = kf (x) (∗)

Beweis: Wenn f homogen vom Grad k, so gilt

f (tx1, tx2, . . . , txn) = tk f (x1, x2, . . . , xn) für alle t > 0

Di�erenzieren nach t ergibt

n∑i=1

xi f′

i (tx) = ktk−1f (x)

Für t = 1 folgt (∗)Dr. Claudia Vogel (Universität Bern) Mathematik: Anwendungen SS 2013 206 / 262


Di�erentiale 1/2

Bei einer Funktion y = f (x) mit einer unabhängigen Variablen versteht manunter dem Di�erential der Funktion die (endliche) Änderung dy = df (x),die man erhält, wenn man die unabhängige Variable um den Wert dxverändert. Durch das Di�erential dy wird näherungsweise die zu dx gehörigeÄnderung des Funktionswertes beschrieben:

dy = df (x) = f ′ (x) dx

Partielles Di�erential: Gegeben sei eine Funktion z = f (x , y) mit denpartiellen Ableitungen erster Ordnung f

′

x (x , y) und f′

y (x , y). Dann heisst

dzx = f′

x (x , y) dx partielles Di�erential bezüglich x und

dzy = f′

y (x , y) dy partielles Di�erential bezüglich y.



Di�erentiale 2/2

Totales Di�erential: Gegeben sei eine Funktion z = f (x , y) und die beidenpartiellen Di�erentiale dzx = f

′

x dx und dzy = f′

y dy .

Die bei einer gleichzeitigen Änderung von x um dx und von y um dy

entstehende Änderung dz der Funktion heisst totales Di�erential und ergibtsich durch Addition der partiellen Di�erentiale:

dz = dzx + dzy = f′

x dx + f′

y dy


Funktionen mit mehreren Variablen Multivariate Optimierung










Zwei Variablen: Stationäre Punkte

z = f (x , y), de�niert auf einer Menge S in der xy -Ebene, nehme Maximumin einem inneren Punkt (x0, y0) von S an.

g (x) = f (x , y0) hängt bei festem y0 nurvon x ab und hat ein Maximum in x = x0.Genauso hat h (y) = f (x0, y) ein Maxi-mum in y = y0.

Ein Punkt (x0, y0) , in dem beide partiellen Ableitungen 0 sind, heisst einstationärer Punkt für f.



Notwendige Bedingungen für innere Extrempunkte

Eine di�erenzierbare Funktion z = f (x , y) kann nur dann ein Maximum oderMinimum in einem inneren Punkt (x0, y0) von S haben, wenn dies einstationärer Punkt ist, d.h. wenn der Punkt (x , y) = (x0, y0) die beidenGleichungen (Bedingungen erster Ordnung) erfüllt.

∂f (x , y)

∂x= 0

∂f (x , y)

∂y= 0

P, Q und R sind stationäre Punkte. Je-doch ist nur P ein Maximum. (Später:Q ist ein lokales Maximum und R ist einSattelpunkt.)



Beispiel 1: Gewinnmaximierung 1/2

Ein Unternehmen produziert zwei Sorten A und B eines Gutes. TäglicheKosten für Produktion von x Einheiten der Sorte A und y Einheiten der SorteB.

C (x , y) = 0, 04x2 + 0, , 1xy + 0, 01y2 + 4x + 2y + 500

Das Unternehmen verkauft den gesamten Output zum Preis pro Einheit von15 für A und 9 für B.

Der Gewinn pro Tag ist

π (x , y) = 15x + 9y − C (x , y)

= −0, 04x2 − 0, 01xy − 0, 01y2 + 11x + 7y − 500




Wenn x > 0 und y > 0 den Gewinn maximieren, so muss gelten:

∂π

∂x= −0, 08x − 0, 01y + 11 = 0

∂π

∂y= −0, 01x − 0, 02y + 7 = 0

Die eindeutige Lösung dieser beiden linearen Gleichungen ist: x = 100,y = 300 mit dem Maximalwert π (100, 300) = 1100.




Sei Q = F (K , L) eine Produktionsfunktion mit dem Kapitalinput K und demArbeitsinput L. Der Preis pro Einheit Output sei p, die Kosten pro EinheitKapital seien r und die Kosten pro Arbeitseinheit sei w , wobei p, r und w

positive Konstanten sind.

Der Gewinn π bei der Produktion und dem Verkauf von F (K , L) Einheitenist:

π (K , L) = pF (K , L)− rK − wL




Wenn F di�erenzierbar und π ein Maximum mit K > 0, L > 0 hat, dann sinddie Bedingungen erster Ordnung:

∂π

∂K= pF

′

K (K , L)− r = 0

∂π

∂y= pF

′

L (K , L)− w = 0

Notwendige Bedingung, dass der Gewinn maximal wird, wenn K = K∗ undL = L∗.

pF′

K (K∗, L∗) = r ⇐⇒ F′

K (K∗, L∗) =r

p

pF′

L (K∗, L∗) = w F

′

L (K∗, L∗) =

w

p



Hinreichende Bedingung für ein Maximum oder Minimum

Sei (x0, y0) ein stationärer Punkt einer Funktion f (x , y) auf einer konvexenMenge S .(a) f hat ein Maximum in (x0, y0) wenn für alle (x , y) in S gilt:

f′′xx (x , y) ≤ 0

f′′yy (x , y) ≤ 0

f′′xx (x , y) f

′′yy (x , y)−

(f′′xy (x , y)

)2

≥ 0

(b) f hat ein Minimum in (x0, y0) wenn für alle (x , y) in S gilt:

f′′xx (x , y) ≥ 0

f′′yy (x , y) ≥ 0

f′′xx (x , y) f

′′yy (x , y)−

(f′′xy (x , y)

)2

≥ 0

Eine zweimal di�erenzierbare Funktion z = f (x , y), die die Ungleichungen in(a) in einer konvexen Menge S erfüllt, wird konkav genannt, während siekonvex genannt wird, wenn sie die Ungleichungen in (b) in S erfüllt.



Beispiel 1: Gewinnmaximierung - Fortsetzung 1/2

Nehmen Sie an, dass jede Produktion des Unternehmens in Beispiel 1 eineUmweltbelasung hervorruft, so dass das Unternehmen per Gesetzeingeschränkt ist, nicht mehr als insgesamt 320 Einheiten der beiden Güterzu produzieren.

Das Problem des Unternehmens ist dann

π (x , y) = −0, 04x2 − 0, 01xy − 0, 01y2 + 11x + 7y − 500

unter der Nebenbedingung

x + y = 320

Die neue Gewinnfunktion ist

π (x , y) = −0, 04x2 − 0, 01x (320− x)− 0, 01 (320− x)2

+ 11x + 7 (320− x)− 500

= −0, 04x2 + 7, 2x + 2236, 8



Beispiel 1: Gewinnmaximierung - Fortsetzung

Die Ableitungen der Funktion sind:

∂π

∂x= −0, 08x + 7, 2 = 0

∂2π

∂x2= −0, 08

Aus der ersten Ableitung resultiert eine gewinnmaximale Menge von x = 90.Da die zweite Ableitung > 0 für alle x hat die Funktion ein Maximum.

Aus der Nebenbedingung folgt y = 320− 90 = 230.

Der Gewinn ist damit π = 1040.



Lokale Extrempunkte

Der Punkt (x0, y0) heisst lokaler Maximumpunkt von f in S , wenn

f (x , y) ≤ f (x0, y0)

für alle Paare (x , y) ∈ S , die hinreichend nahe zu (x0, y0) liegen.

Genauer: Es gebe eine positive Zahl r , so dass f (x , y) ≤ f (x0, y0) für alle(x , y) ∈ S , die innerhalb eines Kreises mit Mittelpunkt (x0, y0) und Radius rliegen.

Wenn die Ungleichung strikt gilt für (x , y) 6= (x0, y0), dann ist (x0, y0) einstrikter lokaler Maximumpunkt.

Entsprechend wird ein (strikter) lokaler Minimumpunkt de�niert.



Notwendige Bedingungen (erster Ordnung) für lokaleExtrempunkte

In einem lokalen Extrempunkt im Innern des De�nitionsbereichs einerdi�erenzierbaren Funktion, sind alle partiellen Ableitungen erster Ordnung 0.

Diese Bedingungen erster Ordnung sind notwendig für einen lokalenExtrempunkt.

Ein stationärer Punkt muss jedoch kein Extrempunkt sein.



Sattelpunkt

Ein Sattelpunkt ist ein stationärer Punkt mit der Eigenschaft, dass esPunkte (x , y) beliebig nahe zu (x0, y0) gibt mit

f (x , y) < f (x0, y0)

und auch andere Punkte (x , y) beliebig nahe zu (x0, y0) mit

f (x , y) > f (x0, y0)

Beispiel: f (x , y) = x2 − y2



Untersuchung der zweiten Ableitung

Sei f (x , y) eine Funktion mit stetigen partiellen Ableitungen zweiter Ordnungin einem De�nitionsbereich S und sei (x0, y0) ein innerer Punkt von S , derstationär für f sei

SeiA = f

′′

xx (x0, y0) B = f′′

xy (x0, y0) C = f′′

yy (x0, y0)

(i) Wenn A < 0 und AC − B2 > 0, dann ist (x0, y0) ein (strikter) lokalerMaximumpunkt.

(ii) Wenn A > 0 und AC − B2 > 0, dann ist (x0, y0) ein (strikter) lokalerMinimumpunkt.

(iii) Wenn AC − B2 < 0, dann ist (x0, y0) ein Sattelpunkt.

(iv) Wenn AC − B2 = 0, dann kann (x0, y0) ein lokaler Maximum-,Minimum- oder Sattelpunkt sein.



Anmerkungen zu den Bedingungen zweiter Ordnung

Bedingung AC − B2 > 0 in (i) impliziert AC > B2 und damit AC > 0, d.h.wenn A < 0, dann ist auch C < 0. Die Bedingung C = f

′′

yy (x0, y0) < 0 istdamit (indirekt) in den Annahmen (i) enthalten.

Entsprechendes gilt für (ii).

Wir benötigen sie bei lokalen Extrempunkten nur an der Stelle (x0, y0).

Die Bedingungen in (i), (ii) und (iii) heissen die lokalen Bedingungen zweiterOrdnung.

Die Bedingungen in (i), (ii) und (iii) sind hinreichend, damit ein stationärerPunkt ein lokaler Maximum-, Minimum- oder Sattelpunkt ist.

Keine dieser Bedingungen ist notwendig.



Innere Punkte und Randpunkte 1/2

Ein Punkt (a, b) heisst innerer Punkt der Menge S in der Ebene, wenn eseinen Kreis mit Zentrum (a, b) gibt, so dass alle Punkte innerhalb des Kreisesin S liegen.

Ein Punkt (a, b) heisst ein Randpunkt einer Menge S , wenn jeder Kreis mitZentrum (a, b) sowohl Punkte aus S als auch dem Komplement von S

enthält.

Ein Randpunkt muss nicht notwendig in S liegen.



Innere Punkte und Randpunkte 2/2

Eine Menge heisst o�en, wenn sie nur aus inneren Punkten besteht.

Eine Menge S heisst abgeschlossen, wenn sie alle ihre Randpunkte enthält.

Eine Menge, die einige, aber nicht alle ihrer Randpunkte enthält, ist wedero�en noch abgeschlossen.

Eine Menge ist genau dann abgeschlossen, wenn ihr Komplement o�en ist.



Beispiel: Budget-Menge 1/2

In ökonomischen Anwendungen werden Mengen häu�g durch Ungleichungende�niert.

Randpunkte treten auf, wenn eine oder mehrere dieser Ungleichungen mitGleichheit erfüllt sind.

Wenn p, q und m positive Parameter sind, so ist die (Budget)-Menge derPunkte (x , y), die die Ungleichung

px + qy ≤ m x ≥ 0, y ≥ 0

erfüllen, abgeschlossen.



Beispiel: Budget-Menge 2/2

Die Budgetmenge ist ein Dreieck.

Jede Seite des Dreiecks entspricht dem Fall, in dem eine der Ungleichungenmit Gleichheit erfüllt ist.

Wird jedes Ungleichheitszeichen durch ein striktes Ungleichheitszeichenersetzt, d.h. ≤ durch < und ≥ durch >, so ist die entsprechende Mengeo�en.



Beschränkte und kompakte Mengen

Eine Menge in der Ebene heisst beschränkt, wenn die ganze Menge in einemhinreichend grossen Kreis enthalten ist.

Menge aller (x , y) mit x ≥ 1; y ≥ 0 istabgeschlossen, aber nicht beschränkt.

Menge aller (x , y) mit 4 ≤ x2 + y2 ≤ 9 ist wedero�en noch abgeschlossen, jedoch beschränkt.

Eine Menge in der Ebene, die abgeschlossen und beschränkt ist, heisstkompakt.Dr. Claudia Vogel (Universität Bern) Mathematik: Anwendungen SS 2013 228 / 262


Extremwertsatz

Die Funktion f (x , y) sei stetig in einer abgeschlossenen und beschränktenMenge S in der Ebene. Dann existieren ein Punkt (a, b) in S , in dem f einMinimum hat, und ein Punkt (c, d) in S , in dem f ein Maximum hat, d.h.

f (a, b) ≤ f (x , y) ≤ f (c, d) für alle (x , y) ∈ S

Der Satz garantiert nur die Existenz, er sagt aber nicht, wie man dieExtrempunkte �ndet.

Die Bedingungen sind hinreichend, aber nicht notwendig.



Das Au�nden von Minima und Maxima 1/2

Aufgabe: Bestimmen Sie die Maximum- und Minimumwerte einerdi�erenzierbaren Funktion f (x , y), die de�niert ist auf einer abgeschlossenen,beschränkten Menge S in der Ebene.

Lösung:(i) Bestimmen Sie alle stationären Punkte von f im Innern von S .

(ii) Bestimmen Sie den kleinsten und den grössten Wert von f auf dem Randvon S und die zugehörigen Punkte. (Wenn es sinnvoll ist, den Rand inmehrere Teilbereiche aufzuteilen, bestimmen Sie den kleinsten und dengrössten Wert von f in jedem Teilbereich des Randes.)

(iii) Bestimmen Sie die Funktionswerte in allen in (i) und (ii) gefundenenPunkten. Der grösste Funktionswert ist der Maximalwert von f in S . Derkleinste Funktionswert ist der Minimalwert von f in S .



Das Au�nden von Minima und Maxima 2/2

Ein stationärer Punkt (x0, y0) imInnern, Punkt P auf dem Graphen.

Der Rand besteht aus vier Teilen.

Entlang des Randes:

Maximalwert in RMinimalwert in Q

Kandidaten für Extrempunkte: P, Qund R.

Vergleich der Funktionswerte:Minimalwert in P und Maximalwertin R.



Funktionen mit drei oder mehr Variablen

Sei f (x) = f (x1, . . . , xn) eine Funktion von n Variablen, de�niert auf derMenge S in Rn

Dann ist c = (c1, . . . , cn) ein (globaler) Maximumpunkt für f in S , wenn

f (x) ≤ f (c) für alle x ∈ S

Eine o�ene n-Kugel mit Zentrum a = (a1, . . . , an) und Radius r ist die Mengealler Punkte x = (x1, . . . , xn) mit ‖x − a‖ < r .

De�nitionen von inneren Punkten, o�enen, abgeschlossenen, beschränktenund kompakten Mengen übertragen sich, wenn man �Kreise� durch�n-Kugeln� ersetzt.

Ein stationärer Punkt für eine Funktion von n Variablen ist ein Punkt, in demalle partiellen Ableitungen erster Ordnung 0 sind.



Notwendige Bedingung erster Ordnung

Sei f de�niert auf S in Rn und sei c = (c1, . . . , cn) ein innerer Punkt von S ,in dem f di�erenzierbar ist.

Eine notwendige Bedingung, damit c ein Maximum- oder Minimumpunkt vonf ist, ist, dass c ein stationärer Punkt für f ist, d.h. x = c erfüllt die nGleichungen, die Bedingungen erster Ordnung:

f′

i (x) = 0 i = 1, . . . , n



Der Extremwertsatz

Sei f eine stetige Funktion auf einer abgeschlossenen beschränkten Menge Sin Rn.

Dann gibt es einen Punkt d ∈ S , in dem f ein Minimum hat und einen Punktc ∈ S , in dem S ein Maximum hat, so dass

f (d) ≤ f (x) ≤ f (c) für alle x ∈ S

Wenn f auf einer Menge S in Rn de�niert ist, dann liegen der Maximum- undMinimumpunkt (falls sie existieren) entweder im Innern oder auf dem Randvon S .

Wenn f di�erenzierbar ist, muss ein Maximum- oder Minimumpunkt imInnern von S die Bedingungen erster Ordnung erfüllen.

Zum Au�nden des Maximums und Minimums kann also genau wie bei zweiVariablen verfahren werden.



Hinreichende Bedingung bei Funktionen mit mehrerenVariablen

Gegeben sei die Hesse-Matrix einer stetig partiell di�erenzierbaren Funktiony = f (x1, . . . , xn) an der Stelle (x10, . . . , xn0)

Ist die Hesse-Matrix positv de�nit, so besitzt die Funktion an der Stelle einMinimum.

Ist die Hesse-Matrix negativ de�nit, so besitzt die Funktion an der Stelle einMaximum.



Transformation bei Maximierungsproblemen

Die Maximierung einer Funktion ist äquivalent zur Maximierung einer strengmonoton wachsenden Transformation dieser Funktion.

Wenn wir z.B. alle Paare (x , y) �nden wollen, die die Funktion f (x , y) übereiner Menge S in der Ebene maximieren, können wir auch versuchendiejenigen (x , y) zu �nden, die irgendeine der folgenden Zielfunktionmaximieren:

(i) af (x , y) + b (a > 0) (ii) ef (x,y) (iii) ln f (x , y) (f (x , y) > 0)

Die Maximalpunkte sind genau diesselben.

Die Maximalwerte sind verschieden.



Monotone Transformation bei Extremwertproblemen

Sei f (x) = f (x1, . . . , xn) de�niert auf einer Menge S in Rn und sei F eineFunktion, de�niert auf dem Wertebereich von f .

Die Funktion g sei auf S de�niert durch

g (x) = F (f (x))

Dann gilt:

Wenn F monoton wachsend ist und c die Funktion f auf S maximiert(minimiert), dann maximiert (minimiert) c auch die Funktion g auf S .

Wenn F streng monoton wachsend ist, dann maximiert (minimiert) c dieFunktion f auf S genau dann, wenn c die Funktion g auf S maximiert(minimiert).



Komparative Statik: Motivation

In ökonomischen Optimierungsproblemen hängt die zu optimierende Funktiongewöhnlich von Parametern ab, wie Preisen, Steuersätzen,Einkommensniveaus usw.

Diese werden während der Optimierung konstant gehalten, sie variierenjedoch entsprechend der ökonomischen Situation.

Beispiel: wir berechnen die den Gewinn eines Unternehmens maximierendenInput- und Outputgrössen unter der Annahme konstanter Preise und dannfragen wir:

Wie ändern sich die optimalen Grössen, wenn sich die Preise ändern?



Die Optimalwertfunktion

Eine Funktion f hänge von einer Variablen x und einem Parameter r ab.

Wir wollen f (x , r)bezüglich x maximieren oder minimieren, während wir rkonstant halten:

max (min)x f (x , r)

Der Wert von x , der f maximiert (minimiert) hängt i.a. von r ab, deshalbwird er x∗ (r).

Einsetzen in f (x , r)ergibt:

f ∗ (r) = f (x∗ (r) , r)

die Optimalwertfunktion.



Abhängigkeit der Optimalwertfunktion vom Parameter

f ∗ (r) = f (x∗ (r) , r)

Was passiert mit der Optimalwertfunktion, wenn r sich ändert.

Wenn f ∗ (r) di�erenzierbar ist, so folgt aus der Kettenregel:

df ∗ (r)

dr= f

′

1 (x∗ (r) , r)︸︷︷︸ dx∗ (r)dr

+f′

2 (x∗ (r) , r)

= 0

Wenn f (x , r) einen Extrempunkt in einem inneren Punkt x∗ (r) imDe�nitionsbereich von x hat, ist f

′

1(x∗ (r) , r) = 0 und damit

df ∗ (r)

dr=f′

2 (x∗ (r) , r) (∗)



Das Envelope-Theorem

Verallgemeinerung von (∗) auf mehrere Variablen x = (x1, . . . , xn) undmehrere Parameter r = (r1, . . . , rn).

Wenn f ∗ (r) = maxx

f (x , r) und wenn x∗ (r) der Wert von x ist, der f (x , r)

maximiert, dann gilt

∂f ∗ (r)

∂rj=

[∂f (x , r)

∂rj

]x=x∗(r)

j = 1, . . . , k

f ∗ (r) ist wieder die Optimalwertfunktion

Dieselbe Gleichung Gleichung gilt, wenn f (x , r) minimiert werden soll.



Gra�sche Interpretation des Envelope-Theorems 1/2

Für jedes fest x gibt es eine Kurve Kx in der ry -Ebene, gegeben durch dieGleichung y = f (x , r) .

Für alle x und r gilt:

f (x , r) ≤ maxx

f (x , r) = f ∗ (r)

d.h. keine der Kx -Kurven kann jemals über y = f ∗ (r) liegen.

Andererseits gibt es für jedes r wenigstens einen Wert x∗ von x mitf (x∗, r) = f ∗ (r), nämlich denjenigen Wert, der das Maximierungsproblemfür das gegebene r löst.

Die Kurve Kx∗ berührt die Kurve y = f ∗ (r) in

(x∗, f ∗ (r)) = (x∗, f (x∗, r))

und muss diesselbe Tangente haben wie der Graph von f ∗ in diesem Punkt.



Gra�sche Interpretation des Envelope-Theorems 2/2




Der Gewinn π aus Produktion und Verkauf von Q = F (K , L) Einheiten ist:

π (K , L, p, r ,w) = pF (K , L)− rK − wL

Dabei sind p, r ,w Parameter.

π wird als Funktion von K und L maximiert bei festen Werten der Parameterp, r ,w .

Die optimalen Werte von K und L sind Funktionen von p, r und w .

K∗ = K∗ (p, r ,w) L∗ = L∗ (p, r ,w)




Die Optimalwertfunktion ist

π∗ (p, r ,w) = π (K∗, L∗p, r ,w)

Man �ndet sie, indem and die Preise und Kosten als fest betrachtet und dieoptimalen Input- und Outputgrössen bestimmt.

Nach dem Envelope-Theorem gilt:

∂π

∂p= F (K∗, L∗) = Q∗

∂π

∂r= −K

∂π

∂w= −L


Funktionen mit mehreren Variablen Multivariate Optimierung unter Nebenbedingungen










Optimierung unter Nebenbedingungen: Beispiel

Verbraucher mit einem Einkommen m überlegt:welche Menge x er von einem Gut kaufen will, wenn der Preis pro Einheit p ist,welchen Betrag y er für Ausgaben für andere Güter übrig lässt.

Die Budgetbeschränkung des Verbrauchers ist: px + y = m

Die Präferenzen des Verbrauchers seien durch eine Nutzenfunktion u (x , y)ausgedrückt, d.h. der Verbraucher wählt (x , y) so dass der Nutzen u (x , y)maximiert wird unter der Nebenbedingung px + y = m, d.h.

MAX u (x , y) unter Nebenbedingung px + y = m

Typisches �eingeschränktes Optimierungsproblem, das in diesem Fall in ein�nicht eingeschränktes Optimierungsproblem� umgewandelt werden kann,denn y = m − px und somit ist

h (x) = u (x ,m − px)

bezüglich der einen Variablen x zu maximieren.Jedoch ist diese bei komplizierteren Bedingungen oder mehreren Bedingungenzu umständlich.



Lagrange-Funktion

MAX u (x , y) unter Nebenbedingung g (x , y) = c

Wir de�nieren die Lagrange-Funktion L mit dem Lagrange-Multiplikator λ:

L = f (x , y)− λ (g (x , y)− c)

Der Ausdruck g (x , y)− c, der unter der Nebenbedingung 0 ist, wird mit derKonstanten λ multipliziert.

Es gilt L = f (x , y) für alle (x , y), die die Nebenbedingung erfüllen.

λ ist eine Konstante



Notwendige Bedingung

MAX u (x , y) unter Nebenbedingung g (x , y) = c (1)

Lagrange-Funktion:

L = f (x , y)− λ (g (x , y)− c)

Die partiellen Ableitungen der Lagrange-Funktion sind:

∂L∂x

=∂f

∂x− λ∂g

∂x∂L∂y

=∂f

∂y− λ∂g

∂y

Eine Lösung von (1) kann nur ein Punkt (x , y) sein, in dem die partiellenAbleitungen Null sind.



Methode des Lagrange-Multiplikators

Um die einzig möglichen Lösungen des Problems: Maximiere (Minimiere) f (x , y)unter der Bedingung g (x , y) = c zu �nden, gehen wir wie folgt vor:

1 Mit der Konstanten λ bilden wir die Lagrange-Funktion:

L = f (x , y)− λ (g (x , y)− c)

2 Wir di�erenzieren L nach x und y und setzen die Ableitungen gleich 0.3 Die zwei Gleichungen aus 2. und die Nebenbedingung ergeben die drei

folgenden Gleichungen (Bedingungen erster Ordnung)

∂L∂x

=∂f

∂x− λ∂g

∂x= 0

∂L∂y

=∂f

∂y− λ∂g

∂y= 0

g (x , y) = c

4 Wir lösen diese drei Gleichungen simultan für die drei Unbekannten x , y undλ.



Anmerkungen zur Methode des Lagrange-Multiplikators

Einige Ökonomen ziehen es vor, die Lagrange-Funktion als eine Funktion

L (x , y , λ)

von drei Variablen zu betrachten.

Dann ergibt die Bedingung erster Ordnung

∂L∂λ

= (g (x , y)− c) = 0

die Nebenbedingung.

Auf diese Weise erhält man alle drei notwendigen Bedingungen, indem mandie partiellen Ableitungen der (erweiterten) Lagrange-Funktion gleich 0 setzt.



Interpretation des Lagrange-Multiplikators 1/2

MAX(MIN) u (x , y) unter Nebenbedingung g (x , y) = c

Seien x∗ und y∗ die Werte von x und y , die das Problem lösen. ImAllgemeinen hängen x∗ und y∗ von c ab. Der zugehörige optimale Wert vonf (x , y) ist dann eine Funktion von c mit

f ∗ (c) = f (x∗ (c) , y∗ (c))

Die Funktion f ∗ (c) wird Optimalwertfunktion genannt. Der Wert desLagrange-Multiplikators hängt i.a. auch von c ab. Unter gewissenRegularitätsbedingungen gilt:

df ∗ (c)

dc= λ (c)



Interpretation des Lagrange-Multiplikators 2/2

Der Lagrange-Multiplikator ist die Rate, mit der sich der optimale Wert derZielfunktion ändert, wenn sich die Konstante c in der Nebenbedingungändert.

In ökonomischen Anwendungen ist c der verfügbare Vorrat einer Ressourceund f (x , y) ist der Nutzen oder der Gewinn. Dann misst λ (c) dc für dc > 0ungefähr den Zuwachs des Nutzens oder des Gewinns, den man durch dc

mehr Einheiten der Ressource erhält.

Ökonomen nennen λ den Schattenpreis der Ressource.



Mehrere Nebenbedingungen

MAX(MIN) f (x1, . . . , xn) unter

g1 (x1, . . . , xn) = c1

gm (x1, . . . , xn) = cm

Für jede der m Nebenbedingungen führen wir einen eigenenLagrange-Multiplikator ein und de�nieren die Lagrange-Funktion:

L = f (x1, . . . , xn)−m∑j=1

λj (g (x1, . . . , xn)− cj)

Die Bedingungen erster Ordnung sind dann:

∂L∂xi

=∂f (x1, . . . , xn)

∂xi−−

m∑j=1

λj∂g (x1, . . . , xn)

∂xi= 0 i = 1, . . . n

Zusammen mit den m Nebenbedingungen bilden diese n Gleichungen einSystem von n +m Gleichungen in den n +m Unbekanntenx1, . . . , xn, λ1, . . . , λm



Ökonomische Interpretation des Lagrange-Multiplikators 1/2

Die ökonomische Interpretation des Lagrange-Multiplikators als Schattenpreiskann übertragen werden auf ein Lagrange-Problem mit n Variablen und m

Nebenbedingungen:

MAX(MIN) f (x) unter gj (x) = cj j = 1, . . . ,m (1)

Seien x∗1, . . . , x∗n die Werte, die die notwendigen Bedingungen für die Lösung

von (1) erfüllen. Diese hängen im Allgemeinen von c1, . . . , cm ab.

Annahme:

Jedes x∗i = x∗i (c1, . . . , cm) i = 1, . . . ,m ist eine di�erenzierbare Funktion vonc1, . . . , cm.Der dazugehörige Wert f ∗ = f (x∗1 , . . . , x

∗n ) von f ist dann eine Funktion von

c1, . . . , cm.

Wir setzen x∗ = (x∗1, . . . , x∗n ) und c = (c1, . . . , cm) ,dann heisst

f ∗ (c) = f (x∗ (c)) = f (x∗1 (c) , . . . , x∗n (c)) (2)

Optimalwertfunktion für das Problem (1) .



Ökonomische Interpretation des Lagrange-Multiplikators 2/2

Die Lagrange-Multiplikatoren hängen i.a. auch von c1, . . . , cm ab. Untergewissen Regularitätsbedingungen gilt:

df ∗ (c)

dci= λi (c) j = 1, . . . ,m

Der Lagrange-Multiplikator λi = λi (c) für die i-te Nebenbedingung ist dieRate, mit der sich der Optimalwert der Zielfunktion ändert, bei Änderungenin der Konstanten ci in der Nebenbedingung ändert.

Der Lagrange-Multiplikator λi heisst Schattenpreis (oder Grenzwert) für eineEinheit der Ressource i .



Nichtlineare Programmierung: Einführung

Bisher Nebenbedingungen in Gleichheitsform, jetzt Nebenbedingungen inUngleichheitsform, z.B. die Forderung, dass gewisse Variablen nichtnegativsind, damit sie ökonomischen Sinn haben. Auch Beschränkungen vonRessourcen sind häu�ger in Ungleichheits- als in Gleichheitsform gegeben.

Einfaches nichtlineares Programmierungsproblem:

MAX f (x , y) unter g (x , y) ≤ c (1)

Wir suchen den grössten Wert von f (x , y) in der Menge s aller Paare (x , y)mit g (x , y) ≤ c. Die Menge S heisst zulässige Menge.

Minimierung von f (x , y) für (x , y) ∈ S kann auf Maximierung von −f (x , y)für (x , y) ∈ S zurückgeführt werden.

Das Maximierungsproblem (1) könnte mit klassischen Methoden untersuchtwerden: Untersuchung der stationären Punkte im Innern der zulässigenMenge und Untersuchung der Randpunkte.

Seit etwa 1950 benutzen Ökonomen jedoch eine Verallgemeinerung derLagrange-Multiplikatoren-Methode von H.W. Kuhn und A.W.Tucker.



Rezept zum Lösen des NichtlinearenProgrammierungsproblems

1 Assoziieren Sie einen konstanten Lagrange-Multiplikator zu der Bedingungg (x , y) ≤ c und de�nieren Sie die Lagrange-Funktion

L (x , y) = f (x , y)− λ (g (x , y)− c)

2 Setzen Sie die partiellen Ableitungen von L (x , y) gleich Null:

∂L (x , y)∂x

=∂f (x , y)

∂x− λ∂g (x , y)

∂x= 0

∂L (x , y)∂y

=∂f (x , y)

∂y− λ∂g (x , y)

∂y= 0

(2)

3 Bilden Sie die komplementäre Schlupfbedingung:

λ ≥ 0 (= 0, wenn g (x , y) < c) (3)

4 Verlangen Sie für (x , y) die Bedingung:

g (x , y) ≤ c (4)



Bemerkungen zu den Bedingungen

MAX f (x , y) unter g (x , y) ≤ c (1)

Wenn wir alle Paare (x , y) und alle geeigneten Werte von λ �nden, die alldiese Bedingungen erfüllen, haben wir alle Kandidaten für die Lösung desProblems (1)

Bedingungen (2) sind genau die Bedingungen der Lagrange-Methode.Bedingung (4) ist die Nebenbedingung, neu ist nur (3).

Bedingung (3) verlangt, dass λ nichtnegativ ist und weiter, dass λ = 0, wenng (x , y) < c. D.h. wenn λ > 0,muss g (x , y) = c sein. AlternativeFormulierung:

λ ≥ 0 λ [g (x , y)− c] = 0



Kuhn-Tucker-Bedingungen

∂L (x , y)∂x

=∂f (x , y)

∂x− λ∂g (x , y)

∂x= 0

∂L (x , y)∂y

=∂f (x , y)

∂y− λ∂g (x , y)

∂y= 0

(2)

λ ≥ 0 (= 0, wenn g (x , y) < c) (3)

Die Ungleichungen λ ≥ 0 und g (x , y) ≤ c sind komplementär, in dem Sinne,dass höchstens eine in Ungleichheitsform gelten darf. Oder äquivalentausgedrückt: Wenigstens eine der Ungleichungen muss eine Gleichheit sein.

Bedingungen (2) und (3) heissen Kuhn-Tucker-Bedingungen.

Dies sind i.a. notwendige Bedingungen und keineswegs hinreichend.

Wenn man einen Punkt (x0, y0) �nden kann, indem f (x , y) stationär ist undg (x , y) < c, dann sind die Kuhn-Tucker-Bedingungen erfüllt und (x0, y0) mitλ = 0. Dann kann (x0, y0) ein lokaler oder globaler Maximum- oderMinimumpunkt oder eine Art Sattelpunkt sein.



Allgemeines Problem der nichtlinearen Programmierung

MAX f (x1, . . . , xn) unter

g1 (x1, . . . , xn) ≤ c1...

gm (x1, . . . , xn) ≤ cm

(1)

Die Menge aller Vektoren x = (x1, . . . , xn), die alle Bedingungen erfüllen,heisst zulässige Menge.

Minimierung von f (x) ist äquivalent zu Maximierung von −f (x)

Ebenso kann die Ungleichungsbedingung gj (x) ≥ cj geschrieben werden als−gj (x) ≤ −cj .

Eine Bedingung in Gleichheitsform gj (x) = cj ist äquivalent zur zweifachenUngleichheitsbeschränkung gj (x) ≤ cj und −gj (x) ≤ −cj . Auf diese Weisekönnen die meisten Optimierungsprobleme in der Gestalt von (1) geschriebenwerden



Lösungsrezept

1 Bilden Sie die Lagrange-Funktion

L (x) = f (x)−m∑j=1

λj (gj (x)− cj)

2 Setzen Sie alle partiellen Ableitungen erster Ordnung gleich Null:

∂L (x)∂xi

=∂f (x)

∂xi−

m∑j=1

λj∂gj (x)

∂xi= 0 i = 1, . . . , n

3 Stellen Sie die komplementären Schlupfbedingungen auf:

λj ≥ 0 (= 0, wenn gj (x) < cj) j = 1, . . . ,m

4 Verlangen Sie, dass x die Nebenbedingungen erfüllt:

gj (x) ≤ cj j = 1, . . . ,m


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Mathematik: Anwendungen - vipa.wiwi.uni- · PDF fileDr. Claudia Vogel (Universität Bern) Mathematik: Anwendungen SS 2013 4 / 262. Inhalt 1 Finanzmathematik 2 Lineare Algebra 3 Grundzüge