Mathematik: œbungen

Mathematik: Übungen

Prof. Dr. Thomas Risse

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Fakultät Elektrotechnik & InformatikHochschule Bremen

SS 2009

Inhaltsverzeichnis

1 Übungen zu analytischer Geometrie und linearer Algebra 2

2 Übungen zur Differentialrechnung 10

3 Übungen zur Integralrechnung 17

4 Übungen zu mehrdimensionaler Analysis und Differentialgleichungen 25

Aufgaben und Lösungen sind wechselweise verzeigert.

1

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Th. Risse, HSB: Mathematik WS08/09 2

1 Übungen zu analytischer Geometrie und li-nearer Algebra

Einige Übungsaufgaben zur analytischen Geometrie & linearen Algebraviele weitere Übungsaufgaben mit Lösungen z.B. in Brauch/Dreyer/Haacke, Pa-pula, Stingl, Stöcker, Minorski usw.Disclaimer: diese Übungen stellen ein Angebot dar, das die in der Vorlesungpräsentierten und für die Bearbeitung zu Hause vorgesehenen Probleme ergänzt.

1. ∑11i=2(i− 1) =?, 7! =?,

(53

)=?,

(123121

)=?,

Koeffizient von x3 in (3 + x2)(1 + x)5 ?

2. Zeige mit vollständiger Induktion 2n ≤ n! für n ≥ n0 (minimales n0 ?)

3. Zeige mit vollständiger Induktion ∑nk=0 x

k = 1−xn+1

1−x für x 6= 1

4. 27 =?, 0.09 = p/q =?,Es gilt min(a, b) = 1

2(a+ b− |b− a|). Was ist analog max(a, b) =?

5. 1010.101(2) = w(10), 23.2(8) = x(10), 1011.01(2) = y(10), ABC(16) = z(10)

6. 1000(10) = w(2), 1000(10) = x(16), 1000(10) = y(8), 0.0625(10) = z(16)

7. 125.12510) = w(2), 0.1(10) = x(16), 0.1(10) = y(8), 0.1(10) = z(3)

8. Zeige logb x · loga b = loga x durch Potenzieren zur Basis a.

9. Zeige geometrisch cos2 ϕ+ sin2 ϕ = 1, cos 2ϕ =?, sin 2ϕ =?.

10. Zeige |a+ b+ c| ≤ |a|+ |b|+ |c| und |a| − |b| ≤ |a− b| ≤ |a|+ |b|.

11. Zeige |(a+ b)/2| ≤√

(a2 + b2)/2, ac+ bd ≤√a2 + b2

√c2 + d2

12. auch in Polarkoordinaten (1 + j)(1 + j)∗ =?,√

2 + 2j =?,e2πj − 1 =?,j3 =?

13. Polardarstellung von√

1 + j, 4√

1, 3√−j,

√1+2j3+4j

14. Welche Mengen sind durch {z ∈ C : |z| = 1} und {z ∈ C : |z − 2| = 2}beschrieben? skizzieren!Was bedeutet Moivre? Recherchiere ggfls.

15. Es gilt <z = 12(z + z∗). Was ist analog =z =?

Wenn man z1z2

mit z∗2 erweitert, dann mit welchem Ziel? Führe durch für2+6j3−5j ,

(3−4j)(−1+5j)2

1+3j


16. Gegeben ~a = (1, 2) und ~b = (2, 3): ~a+~b =?, ~a−~b =?, 3~a =?, 2~b =?,3~a− 2~b =?, Jeweils zeichnen!

17. Gegeben die Gerade durch (1, 2) und (2, 3). Bestimme 2-Punkte-Form,Parameter-Darstellung und Hesse-Normalform; Zeichnen!

18. Zeige die Distributivität des Skalar-Produktes bzgl. der Vektoraddition.

19. Welcher Vektor entsteht, wenn man (3, 4) auf ~ex projiziert?In welcher geometrischen Beziehung stehen (12,−1, 2) und (1, 20, 4) ?

20. Sind (0, 0, 2), (3, 0, 0), (0,−1, 0) linear abhängig oder linear unabhängig?Gib mit Begründung ein Beispiel einer Basis für den R2 an, ungleich derkanonischen Basis bestehend aus ~ex und ~ey.

21. (1, 0, 2)× (−2, 0,−4) =?,Zeige ~a×~b = −~b×~a und |~a×~b|2 = ~a2~b2− (~a ·~b)2.

22. Flächeninhalt des Dreiecks mit Eckpunkten A = (1, 2, 1), B = (1, 2, 3),C = (3, 2, 1) ?

23. Zeige: ~b steht auf ~a×~b senkrecht.Zeige ’Graßmann’ wenigstens für die z-Koordinate.

24. Für die Einheitsvektoren ~ex, ~ey, ~ez ∈ R3 zeige ~eu ·~ev = δuv und ~ex×~ey = ~ez,~ey × ~ez = ~ex, ~ez × ~ex = ~ey.

25. Gegeben ~x = (1, 1, 1, 2, 3), ~y = (0, 0, 2,−1, 2) ∈ R5. Berechne |x| und |y|sowie ∠(~x, ~y).

26. Was hat das Skalarprodukt mit der Matrizen-Multiplikation zu tun?

27. Zeige (A+B)T = AT +BT , (cA)T = c(AT ) und (AB)T = BTAT (jeweilsfür welche Argumente?). Was folgt für die Inverse von AT , was für die vonAB ?

28. A und B seien Rotationsmatrizen der Ebene. Zeige Kommutativität.

29. Was bewirkt die Abb. (x, y) 7→ (x, y, 1)

1 0 00 1 0u v 1

für festen Vektor (u, v),

wenn man (x, y) ∈ R2 mit (x, y, 1) ∈ R3 identifiziert?

30. Seien X =(A BC D

)und Y =

(E FG H

)mit geeigneten Untermatrizen

A,B,C,D und E,F,G,H. Bestimme XY . Wann sind die Untermatrizengeeignet?


31.

∣∣∣∣∣∣∣1 2 47114 8 8153 6 9999

∣∣∣∣∣∣∣ =?,

∣∣∣∣∣∣∣∣∣1 2 4 04 8 1 53 6 9 09 1 9 0

∣∣∣∣∣∣∣∣∣ =?,

∣∣∣∣∣∣∣1 2 34 3 23 4 5

∣∣∣∣∣∣∣ =?,

∣∣∣∣∣∣∣10 20 304 3 23 4 5

∣∣∣∣∣∣∣ =? (Bestimme

die Determinanten mit jeweils möglichst geringem Aufwand!)

32. Vektor-Produkt als symbolische Determinante? |(Rotation der Ebene)| =??

33. Schnitt von (x, y, z)(√

2, 2, 3) = 1 mit (x, y, z)(−√

2, 2, 3) = 2? Hesse?

34. Verifiziere ~x = (1, 0, 1), ~y = (0, 1, 1) und ~z = (1, 1, 2) sind linear abhängig,aber paarweise linear unabhängig!

35. ~v1 = (1,−1, 1,−1), ~v2 = (−1, 1, 1, 1), ~v3 = (0, 1, 2, 3), ~v4 = (3, 2, 1, 0) sindVektoren im R4. Sind ~v1, ~v2, ~v3, ~v4 linear abhängig oder linear unabhängig?

36. Lösungsmenge von 3x+ 5y − 7z + w = 0 und 8x− 2y + z − 3w = 1 ?

37. Lösungsmenge von 9x− 8y = 1, 5x+ 2y = 7, x+ 12y = 13 ?

38. Löse 6x− 5y − 4z = −7, 3x+ 4y − 7z = 0, 2x+ 2y + z = −2(per Gauß, verkettetem Gauß, Stifel, Cramer).

39. Berechne(a bc d

)−1

,

0 0 10 1 01 0 0

−1

,

0 1 10 1 21 0 0

−1

(Gauß, Stifel, Cramer)

40. ~v1 = (c, 1, 2, 3), ~v2 = (1, 1, 1, 0), ~v3 = (2, 1, 0, 1) und ~v4 = (3, 0, 1, 1) seiengegeben. Existiert c ∈ R, so daß die vier Vektoren ~v1, ~v2, ~v3, ~v4 ∈ R4 linearunabhängig sind?


Lösungen der paar Übungsaufgaben zur analytischen Geometrie und linearenAlgebra

1. ∑11i=2(i− 1) = ∑10

i=1 i =(

112

)= 55, 7! = 5040,

(53

)= 10,(

123121

)=(

1232

)= 61 · 123 Der Koeffizient von x3 im Polynom

(3 + x2)(1 + x)5 = (3 + x2)∑5i=0

(5i

)xi ist 3

(53

)+ 1

(51

)= 35.

2. Zeige mit vollständiger Induktion 2n ≤ n! für n ≥ n0:Induktionsanfang: 23 = 8 > 6 = 3!, 24 = 16 < 24 = 4!;Induktionsschritt: aus der Induktionsvoraussetzung 2n ≤ n! ist die Indukti-onsbehauptung 2n+1 ≤ (n+1)! herzuleiten. Mit der Induktionsvorausetzungund für 2 ≤ n+ 1 gilt nämlich 2n+1 = 2 · 2n ≤ 2n! ≤ (n+ 1)n! = (n+ 1)! .

3. Zeige mit vollständiger Induktion ∑nk=0 x

k = 1−xn+1

1−x für x 6= 1.Induktionsanfang: ∑0

k=0 xk = 1 = 1−x

1−xInduktionsschritt: ∑n+1

k=0 xk = xn+1 +∑n

k=0 xk = xn+1 + 1−xn+1

1−x = 1−xn+2

1−x .

4. 27 = 0.285914, 0.09 = 1/11,min(a, b) = (a+ b− |b− a|)/2 und max(a, b) = (a+ b+ |b− a|)/2.

5. 23.2(8) = 19.25(10), 1011.01(2) = 11.25(10), ABC(16) = 2748(10)

6. 1000(10) = 3E8(16), 1000(10) = 1750(8), 0.0625(10) = 0.1(16)

7. 0.1(10) = 0.19(16), 0.1(10) = 0.06314(8), 0.1(10) = 0.0022(3)

8. Zeige logb x · loga b = loga x durch Potenzieren zur Basis a oder zur Basis b.Aus blogb x·loga b = xloga b = aloga xloga b = aloga x·loga x = bloga x folgt nämlich dieIdentität der Exponenten.

9. Zeige geometrisch cos2 ϕ+ sin2 ϕ = 1 (i.e. Pythagoras im Einheitskreis),mit den Additionstheoremen cos(2ϕ) = cos2(ϕ) − sin2(ϕ) = 2 cos2(ϕ) − 1und sin(2ϕ) = 2 sin(ϕ) cos(ϕ).

10. zweimal Dreiecksungleichung |a+ b+ c| ≤ |a|+ |b+ c| ≤ |a|+ |b|+ |c| undaus |a| = |a− b+ b| ≤ |a− b|+ |b| folgt |a| − |b| ≤ |a− b| ≤ |a|+ |b|.

11. |(a + b)/2| ≤√

(a2 + b2)/2: aus 0 ≤ (a − b)2 folgt 14(a + b)2 ≤ 1

2(a2 + b2);ac+bd ≤

√a2 + b2

√c2 + d2: aus 0 ≤ (ad−bc)2 folgt nämlich a2c2 +2acbd+

b2d2 ≤ a2c2 + a2d2 + b2c2 + b2d2.

12. z = 1 + j =√

2ejπ/4: zz∗ = (1 + j)(1− j) = 2,√

2 + 2j =√

2√

2ejπ/4 =±√

2 4√

2ejπ/8, e2πj − 1 = 0, j3 = (j · j)j = −j = ej3π/2.

13.√

1+j=± 4√

2ejπ/8, 4√

1=±1,±j, 3√−j= 3

√ej3π/2 =ejπ/2, ej(π/2+2π/3) =

ej7π/6, ej(π/2+4π/3) =e−jπ/6,√

1+2j3+4j = 1

5√

11 + 2j=± 14√5e

j arctan(2/11)/2.


14. {z ∈ C : |z| = 1} ist der Rand des Einheitskreises um den Ursprung,{z ∈ C : |z − 2| = 2} ist der Rand des Kreises um m = 2 + 0 · j ∈ C mitRadius 2; Moivre bedeutet (cosϕ+ j sinϕ)n = cos(nϕ) + j sin(nϕ).

15. <z = (z + z∗)/2, =z = (z − z∗)/2, z1z2

= x1x2+y1y2+j(x2y1−x1y2)x2

2+y22

also 2+6j3−5j =

−24+j(18+10)34 = 2

17(−6 + 7j), (3−4j)(−1+5j)2

1+3j = (−9−13j)(−24−10j)10 = 8.6 + 40.2j.

16. Sei ~a = (1, 2) und ~b = (2, 3). Dann gilt ~a+~b = (3, 5), ~a−~b = −(1, 1),3~a = (3, 6), 2~b = (4, 6), 3~a− 2~b = −(1, 0). Zeichnen!Auf studentischen Wunsch hier das Bildchen

~a

~b

~a +~b

~a

~b

~a−~b

~a

~b

3~a 2~b

3~a− 2~b

17. die Gerade durch (1, 2) und (2, 3) in verschiedenen Darstellungen: 2-Punktey−2x−1 = 3−2

2−1 = 1, Parameter etwa (x(t), y(t)) = (1, 2) + t(1, 1) für t ∈ R,allgemeine Geradengleichung etwa x− y + 1 = 0, Hesse −x√2 + y√

2 −1√2 = 0.

Auf studentischen Wunsch hier das Bildchen

18. Zeige Distributivität des Skalar-Produktes bzgl. der Vektoraddition, also zuzeigen ist ((c1~a1 +c2~a2)·~b) = c1(~a1 ·~b)+c2(~a2 ·~b) für c1, c2 ∈ R, ~a1,~a2,~b ∈ Rn.

19. Projektion von (3, 4) auf ~ex ist ((3, 4)~ex)~ex = 3~ex.Wegen ((12,−1, 2) · (1, 20, 4)) = 0 gilt (12,−1, 2) ⊥ (1, 20, 4).


20. (0, 0, 2), (3, 0, 0) und (0,−1, 0) sind linear unabhängig, da aus a(0, 0, 2) +b(3, 0, 0)−c(0, 1, 0) = (3b,−c, 2a) = (0, 0, 0) notwendigerweise a = b = c = 0folgt.Eine Basis für den R2 ist z.B. (5, 7) und (11, 13) (Begr.?).

21. ~v1 × ~v2 = (1, 0, 2) × (−2, 0,−4) = (0, 0, 0) (korrekt, da ~v1 und ~v2 linearabhängig). Zeige ~a×~b = −~b× ~a sowie |~a×~b|2 = ~a2~b2 − (~a ·~b)2.

22. Flächeninhalt des Dreieckes mit Eckpunkten A = (1, 2, 1), B = (1, 2, 3),C = (3, 2, 1) ist 1

2 |((1, 2, 3)− (1, 2, 1))× ((3, 2, 1)− (1, 2, 1))| = 12 |(0, 0, 2)×

(2, 0, 0)| = 12 |(0, 4, 0)| = 2.

23. ~b ⊥ ~a×~b, da das Skalar-Produkt verschwindet. Zeige Graßmann wenigstensfür die z-Koordinate durch Einsetzen.

24. für Basis ~ei ∈ R3 rechnet man nach ~ei · ~ej = δij, ~e1 × ~e2 = ~e3, ~e3 × ~e1 = ~e2,~e2 × ~e3 = ~e1.

25. ~x = (1, 1, 1, 2, 3), ~y = (0, 0, 2,−1, 2) ∈ R5. Dann ist |x|2 = 1 + 1 + 1 + 4 + 9und damit |x| = 4; |y|2 = 4 + 1 + 4 und damit |y| = 3 sowie ∠(~x, ~y) =arccos ~x·~y

|~x||~y| = arccos 612 = π

3 .

26. Die Elemente der Produkt-Matrix sind die Skalarprodukte entsprechenderZeilen der ersten mit Spalten der zweiten Matrix.

27. (A+B)T = AT +BT , (cA)T = c(AT ) und (AB)T = BTAT da nämlich((AB)T )ij = (CT )ij = cji = ∑n

k=1 ajk bki = ∑nk=1(BT)ik(AT)kj = (BTAT)ij.

Also E = ET = (AA−1)T = (A−1)T AT und damit (A−1)T = (AT )−1.

28. A =(

cosα sinα− sinα cosα

)und B =

(cos β sin β− sin β cos β

)seien zwei Rotationsmatrizen

der Ebene. Dann gilt AB =(

cos(α + β) sin(α + β)− sin(α + β) cos(α + β)

)= BA.

29. (x, y) ↔ (x, y, 1) 7→ (x, y, 1)

1 0 00 1 0u v 1

= (x+u, y+v, 1) ↔ (x+u, y+v):

R2 ↔ R3z=1

Matrix-T.→ R3z=1 ↔ R2 bewirkt Translation um Vektor (u, v).

30. Seien X =(A BC D

)und Y =

(E FG H

)mit geeigneten Untermatrizen

A,B,C,D und E,F,G,H. XY =(AE +BG AF +BHCE +DG CF +DH

)kann so dar-

gestellt werden, wenn alle Untermatrix-Produkte definiert sind, d.h. mitpassenden Dimensionen der Untermatrizen.


31.

∣∣∣∣∣∣∣1 2 47114 8 8153 6 9999

∣∣∣∣∣∣∣ = 0 da erste und zweite Spalte linear abhängig,

∣∣∣∣∣∣∣∣∣1 2 4 04 8 1 53 6 9 09 1 9 0

∣∣∣∣∣∣∣∣∣ = 5

∣∣∣∣∣∣∣1 2 43 6 99 1 9

∣∣∣∣∣∣∣ = 15

∣∣∣∣∣∣∣1 2 41 2 39 1 9

∣∣∣∣∣∣∣ = 15

∣∣∣∣∣∣∣0 0 11 2 39 1 9

∣∣∣∣∣∣∣ = 15(1 − 18) =

−255, weiters

∣∣∣∣∣∣∣1 2 34 3 23 4 5

∣∣∣∣∣∣∣ = 27 + 8 + 40− (15 + 12 + 48) = 0 (Sarrus),∣∣∣∣∣∣∣10 20 304 3 23 4 5

∣∣∣∣∣∣∣ = 10

∣∣∣∣∣∣∣1 2 34 3 23 4 5

∣∣∣∣∣∣∣ = 0.

32. (ax, ay, az) × (bx, by, bz) =

∣∣∣∣∣∣∣~ex ~ey ~ezax ay azbx by bz

∣∣∣∣∣∣∣ liefert das Vektor-Produkt als sym-

bolische Determinante; für Rotationsmatrizen R =(

cosα sinα− sinα cosα

)gilt

|R| = cos2 α + sin2 α = 1.

33. Schnitt der Ebenen (x, y, z)(√

2, 2, 3) = 1 bzw. in Hesse’scher Normal-form (x, y, z)(

√2, 2, 3)/

√15− 1/

√15 = 0 mit (x, y, z)(−

√2, 2, 3) = 2 bzw.

(x, y, z)(−√

2, 2, 3)/√

15 − 2/√

15 = 0 (Hesse) ist die Gerade x = −√

2/4und 4y + 6z = 3 oder g(t) = (−

√2, 3, 0)/4 + t(0,−3, 2) mit Hesse in y-z-

Ebene 4x2√

13 + 6y2√

13 −3

2√

13 = 0.NB: (0,−3, 2) und (

√2, 2, 3)× (−

√2, 2, 3) sind kollinear.

34. Die drei Vektoren ~a = (1, 0, 1), ~b = (0, 1, 1) und ~c = (1, 1, 2) sind linear ab-hängig, da ~a+~b−~c = ~0, dagegen sind ~a,~b und ~c paarweise linear unabhängig(ausführen!).

35. ~v1 = (1,−1, 1,−1), ~v2 = (−1, 1, 1, 1), ~v3 = (0, 1, 2, 3), ~v4 = (3, 2, 1, 0) im R4

sind linear unabhängig, da aus a~v1 + b~v2 + c~v3 + d~v4 = ~0 eben a = b = c =d = 0 folgt.

36. Lösungsmenge von 3x + 5y − 7z + w = 0 und 8x − 2y + z − 3w = 1 istx = (5 + 9z + 13w)/46 und y = (−3 + 62z − 17w)/46 für z, w ∈ R.Beachte: es ergibt sich dieselbe Lösungsmenge, wenn man beispielsweise zund w in Abhängigkeit von x und y ermittelt und x, y ∈ R variiert.

37. Lösungsmenge von 9x − 8y = 1, 5x + 2y = 7 und x + 12y = 13 ist x = 1und y = 1.NB: das LGS ist überbestimmt; das −1-fache der ersten plus das 2-facheder zweiten ergibt die dritte Gleichung (Determinante der Koeffizienten-Matrix?).


38. 6x − 5y − 4z = −7, 3x + 4y − 7z = 0 und 2x + 2y + z = −2 mit Lösungx = −228/201, y = 59/201 und z = −64/201 (per Gauß, verkettetem Gauß,Stifel, Cramer).

39.(a bc d

)−1

= 1ad−bc

(d −b−c a

),

0 0 10 1 01 0 0

−1

=

0 0 10 1 01 0 0

,0 1 1

0 1 21 0 0

−1

=

0 0 12 −1 0−1 1 0

(per Gauß, Stifel, Cramer)

40. ~v1 = (c, 1, 2, 3), ~v2 = (1, 1, 1, 0), ~v3 = (2, 1, 0, 1) und ~v4 = (3, 0, 1, 1) seiengegeben. Für jedes R 3 c 6= 8 sind die vier Vektoren ~v1, ~v2, ~v3 und ~v4 ∈ R4

linear unabhängig.


2 Übungen zur Differentialrechnung

Übungsaufgaben zur Differential-RechnungWeitere Übungsaufgaben mit Lösungen gibt es z.B. in Brauch/Dreyer/Haacke,Papula, Stingl, Stöcker, Minorski usw.

1. Bestimme allgemeines Folgen-Element, Eigenschaften und Konvergenz derFolgen 1

3 ,153 ,

175 , . . . und 1, −1

6 ,115 ,−128 ,

145 , . . . sowie 5, 4, 11

3 ,72 ,

175 , . . .?

2. limx→4x−4

x2−x−12 , limh→0(x+h)2−x2

h, limx→∞

3x−29x+7 und limx→2

x−2x2−4 ?

3. Vergleiche links- und rechtsseitige Limites von limx→01xund limx→0

1x2 .

4. Für sin, cos, tan und cot berechne geometrisch Wertetabellen für ausge-wählte Werte (mindestens für 0, π6 ,

π4 ,

π3 ,

π2 ) und skizziere unter Ausnutzen

von Symmetrie die Funktionsgraphen für x ∈ [−π, π].

5. Stetigkeit von f(x) = x2−27x2−9 , g(x) = x2+6x−27

x2−9 und h(x) = x3+3x2−9x−27x2−9 ?

6. f(x) = |x|, g(x) = x sin( 1x) sind in 0 stetig aber nicht differenzierbar?

7. Ableitungen von f1(x) = 4 − 3x − x2 + 2/x, f2(x) = 2√x + 3 3

√x + 1

4√x ,f3(x) = (a2 − x2)−2, f4(x) = (x3 + 1)2(x2 − 1)3, f5(x) = (x2 − 1)/ 3

√x2,

f6(x) = sin3(2x+ 1), f7(x) = arcsin x+1x−1 mit Kurvendiskussion!

8. Zeige: Schnittwinkel der Graphen zweier Funktionen ist arctan m1−m21+m1m2

mitmi=f ′i(xs); Schnittwinkel von 2x2 + y2 = 20 und 4y2 − x2 = 8 ?

9. Zeige: Logarithmisches Differenzieren f ′(x) = f(x) (ln ◦f)′ und leite f(x) =(x2 − 1)3(x3 + 1)2 logarithmisch ab (mit Probe).

10. Leite die Hyperbel-Funktionen, nämlich sinh x = ex−e−x2 , cosh x = ex+e−x

2 ,tanh x = sinhx

coshx und coth x = coshxsinhx ab.

11. Zeige den verallgemeinerten Mittelwertsatz: für auf (a, b) differenzierbareFunktionen f und g mit g′ 6= 0 auf (a, b), existiert x0 ∈ (a, b) mit f(b)−f(a)

g(b)−g(a) =f ′(x0)g′(x0) (Verwende dazu den Satz von Rolle für

h(x) := f(x)− f(b)− (g(x)− g(b))f(b)−f(a)g(b)−g(a) .)

12. Berechne limx→3x4−81x−3 , limx→∞

x2

ex, limx→0

ex−1x2 , limx→∞

lnxx, limx→∞

√2+x2

x.

13. Berechne reelle Wurzeln von x3 + 2x − 5 = 0 per Intervallhalbierung, re-gula falsi und Newton jeweils mit 4-stelliger Genauigkeit aufgrund einesgraphisch bestimmten Startwertes und vergleiche die Anzahl der Nähre-rungschritte, die jeweils für ein bis auf zwei Nachkommastellen korrektesErgebnis notwendig sind. Bestimme Scheitel von x2 − 4x+ 1.


14. Erkläre dy/dx geometrisch und am Beispiel der Geschwindigkeit.

15. Berechne wo vorstehend möglich jeweils zweite und höhere Ableitungen.

16. Bestimme den Zylinder maximalen Volumens bei gegebener Oberfläche.

17. Inwiefern sind Differentation und Integration lineare Operationen?

18. Welche Einheiten haben f ′(x) und F (x) für gegebenes f(x)?

19. Bestimme Fläche zwischen sin x, x = 0, x = 2π und x-Achse.

20. Bestimme Fläche zwischen f(x) = sin x und g(x) = x2. Problem?

21. Bestimme den Schwerpunkt der obigen Fläche.

22. Was hat der Mittelwertsatz mit Durchschnitten zu tun?

23. Bestimme zu einer beliebigen Funktion f die Funktion g, deren Graph über-all den Abstand d vom Graphen von f hat.

24. Welche Integral-Definition liegen der Trapez- und der Simpson-Regel zuGrunde?

25. Stammfunktionen zu sin, cos, tan, cot und zu sinh, cosh, tanh, coth?

26. Bestimme per Produkt-Regel∫x cosx dx,

∫cos2 x dx,

sowie∫

arccosx dx und∫

arccotx dx (zusätzlich Substitution).

27. Bestimme∫x2 ln x dx und

∫x3 ex

2dx (Produkt-Regel).

28. Bestimme∫

sin3 x dx und∫

cos3 x dx.

29. Bestimme∫

sin x cosx dx,∫

sinh x cosh x dx (Produkt, Substitution).

30. Bestimme∫

sin(ax+ b) dx,∫

cos(ax+ b) dx,sowie

∫tan(ax+ b) dx und

∫cot(ax+ b) dx.

31. Bestimme∫

3x√

1− 2x2 dx und∫x 3√

1− x2 dx per Substitution.

32. Bestimme∫

(a+ x)3 dx,∫ dx

(x−1)3 ,∫ √

2x− 1 dx,∫ dx

3x−1 und∫ dx√

x+3 .

33. Bestimme∫

sin(2x) dx,∫

(cosx− sin x)2 dx,∫

tan2 x dx und∫e4x dx.

34. Stammfunktionen zu arsinh x, arcosh x, artanh x und arcoth x.

35. Bestimme∫

sinh x2 dx,

∫cosh(2x) dx und

∫ex cosh x dx.

36. Bestimme per Partialbruchzerlegung∫ x2+1x3−x dx und

∫ x2+1x3+x2−x−1 dx.

37. Führe, wo immer sinnvoll, in den vorstehenden Aufgaben die Probe durch.


Lösungen der Übungsaufgaben zur Differential-Rechnung

1. 13 ,

153 ,

175 , ..., (2n+ 1)−(2n−1), . . . ist monoton fallende, positive Null-Folge.

1, −16 ,

115 ,−128 ,

145 , ...,

(−1)n(2n−1)n , . . . ist alternierende Null-Folge.

5, 4, 113 ,

72 ,

175 , ..., 3 + 2

n, . . . ist monoton gegen 3 konvergierende Folge.

2. limx→4x−4

x2−x−12 = limx→4x−4

(x−4)(x+3) = limx→41

x+3 = 17 .

limh→0

(x+h)2−x2

h= lim

h→0x2+2xh+h2−x2

h= lim

h→0h(2x+h)

h= lim

h→0(2x+ h) = 2x.

limx→∞3x−29x+7 = limx→∞

3−2/x9+7/x = 3

9 = 13 .

limx→2x−2x2−4 = limx→2

x−2(x+2)(x−2) = limx→2

1x+2 = 1

4 .

3. limx→0+

1x

= +∞ 6= −∞ = limx→0−

1xund lim

x→0+1x2 =∞ = lim

x→0−1x2 .

4. geometrisch läßt sich jeweils herleiten:0 π

6π4

π3

π2 0 π

6π4

π3

π2

sin√

02

√1

2

√2

2

√3

2

√4

2 cos√

42

√3

2

√2

2

√1

2

√0

2tan 0

√3

3 1√

3 ∞ cot ∞√

3 1√

33 0

5. f(x) = x2−27x2−9 = (x2−9)−18

(x−3)(x+3) = 1− 18x2−9 hat Pole in x = ±3.

g(x) = x2+6x−27x2−9 = (x−3)(x+9)

(x−3)(x+3) = x+9x+3 ist in x = 3 hebbar (g(3) := 12

6 = 2)unstetig und hat in x = −3 eine Unstetigkeitsstelle, nämlich einen Pol.h(x) = x3+3x3−9x−27

x2−9 = (x−3)(x+3)2

(x−3)(x+3) = x + 3 und damit hebbar (h(3) := 6)unstetig in x = 3 und hebbar (h(−3) := 0) unstetig in x = −3.

6. f(x) = |x| ist in 0 stetig, aber nicht differenzierbar, dalimh→0+

|h|−0h

= +1 6= −1 = limh→0−−hh

= limh→0−|h|−0h

.g(x) = x sin(1/x) ist in 0 stetig ergänzbar (limx→0 g(x) = 0), aber in 0 nichtdifferenzierbar, da limh→0

h sin(1/h)−0h

= limh→0 sin(1/h) nicht existiert.

7. f ′1(x) = −3− 2x− 2/x2, f ′2(x) = 1√x

+ 13√x2 −

14 4√

x5 , f ′3(x) = 4x(a2 − x2)−3,f ′4(x) = 6x(2x3 − x + 1)(x3 + 1)(x2 − 1)2, f ′5(x) =

(x−2/3(x2 − 1)

)′=(

x4/3 − x−2/3)′

= 43x

1/3 + 23x−5/3 = 4

33√x+ 2

31

3√x5 ,

f ′6(x) = 6 sin2(2x+ 1) cos(2x+ 1), f ′7(x) = −(−x3 + 2x2−x)−1/2. Führe dieKurvendiskussionen selbst aus, soweit möglich und angemessen!

8. Der Schnittwinkel der zweier Funktionsgraphen im Schnittpunkt (xs, ys) =(xs, f1(xs)) = (xs, f2(xs)) ist arctan(f ′1(xs))−arctan(f ′2(xs)) = arctan(m1)−arctan(m2) = arctan m1−m2

1+m1m2. Die Kurven 2x2 + y2 = 20 und 4y2 − x2 = 8

schneiden sich in (±2√

2,±2) mit m1 = −2√

2 und m2 =√

2/4 oder ebenm1m2 = −1. Daher schneiden sich die Kurven orthogonal wie sich auch amSchnittwinkel ϕ mit tanϕ =∞ ablesen läßt.


9. Logarithmisches Differenzieren: f(x) (ln ◦f)′ = f(x) 1f(x)f

′(x) = f ′(x) giltper Kettenregel und im Beispiel gilt f ′(x) = f(x) ln′ ((x2 − 1)3(x3+1)2) =f(x) (3 ln(x2 − 1) + 2 ln(x3 + 1))′ = f(x) (6x/(x2 − 1) + 6x2/(x3 + 1)) =6x(x2 − 1)2(x3 + 1)2 + (x2 − 1)36x2(x3 + 1) in Übereinstimmung mit derProduktregel.

10. Die Ableitungen der Hyperbel-Funktionen sind sinh′ x = (ex + e−x)/2 =cosh x, cosh′ x = (ex − e−x)/2 = sinh x und tanh′ x = cosh2 x−sinh2 x

cosh2 x=

1cosh2 x

= 1− tanh2 x sowie coth′ x = sinh2 x−cosh2 xsinh2 x

= −1sinh2 x

= 1− coth2 x.

11. Satz (verallgemeinerter Mittelwertsatz): für zwei auf (a, b) differenzierbareFunktionen f und g mit g′ 6= 0 auf (a, b), existiert (mindestens ein) xo ∈(a, b) mit f(b)−f(a)

g(b)−g(a) = f ′(xo)g′(xo) . •

Bew. Die Funktion h mit h(x) := f(x) − f(b) − (g(x) − g(b))f(b)−f(a)g(b)−g(a) ist

auf [a, b] differenzierbar mit h(a) = 0 = h(b). Nach dem Satz von Rolleexistiert ein xo ∈ (a, b) mit h′(xo) = 0 = f ′(xo) − g′(xo)f(b)−f(a)

g(b)−g(a) . Auflösenliefert die Behauptung.

√

12. limx→3x4−81x−3 = limx→3 (x3 + 3x2 + 9x+ 27) = 4 · 27 = 108,

limx→∞x2

ex= limx→∞

2xex

= limx→∞2ex

= 0,limx→0

ex−1x2 = limx→0

ex

2x =∞,limx→∞

lnxx

= limx→∞1x

= 0,limx→∞

√2+x2

x= limx→∞

√2+x2

x2 = limx→∞

√2x2 + 1 = 1.

13. Die reelle Wurzel von x3 + 2x− 5 = 0 ist ≈ 1.32826886.Der Scheitel von x2 − 4x+ 1 ist (2,−3).

14. Die Sekanten-Steigung ∆y/∆x ist die Durchschnittsgeschwindigkeit, dieTangenten-Steigung dy/dx die Momentan-Geschwindigkeit.

15. Berechne wo vorstehend möglich jeweils zweite und höhere Ableitungen.

16. Die Mantelfläche MZ = 2πrh bzw. die Oberfläche OZ = MZ + 2πr2 =2πr(h + r) des Zylinders sind gegeben. Also gilt h = OZ−2πr2

2πr und damitVZ = πr2h = OZr−2πr3

2 = VZ(r) mit Extremwerten für 2dVZdr

= OZ−6πr2 = 0also für ro = ±

√OZ6π und h = OZ−2πOZ/(6π)

2πr =√

2OZ3π .

17. Die Differentation ist wegen ddx

(af+bg) = a ddxf+b d

dxg und die Integration

wegen∫

(af+bg)(x) dx = a∫f(x) dx+b

∫g(x) dx lineare Operation.

18. x habe die Einheit Ex (etwa Zeit), f(x) die Einheit Ey (etwa Geschwindig-keit in Länge/Zeit). Dann hat f ′(x) die Einheit Ey/Ex (also Beschleunigungin Länge/Zeit2) und F (x) die Einheit Ey ·Ex (also Strecke in der Dimension(Länge/Zeit) x Zeit = Länge).


19. Die Fläche zwischen sin x, x = 0, x = 2π und x-Achse ist 2∫ π

0 sin x dx =−2 cosx|π0 = −2(−1− 1) = 4.

20. Um die Fläche A zwischen f(x) = sin x und g(x) = x2 zu bestimmen, istder neben 0 zweite Schnittpunkt von f und g zu ermitteln. Es gibt keinegeschlossene Lösung. Intervall-Halbierung, regula falsi oder etwa Newtonliefern Näherungen für den Schnittpunkt (xo, yo) ≈ (0.8767, 0.7686) unddamit für die Fläche A =

∫ xo0 (sin x−x2) dx = −(cosx+ 1

3x3)|xo0 = − cosxo−

13 x

3o + 1 + 0 ≈ 0.1357.

21. Die Koordinaten des Schwerpunktes (xs, ys) der obigen Fläche sind durchxs = 1

A

∫ xo0 x(sin x−x2)dx = 1

A

(−x cosx|xo0 +

∫ xo0 cosx dx− 1

4x4|xo0

)=

1A

(−x0 cosx0+sin xo− 1

4x4o

)≈ 0.29 und

ys = 12A∫ xo

0 (sin2 x− x4) dx = 12A

(12x−

14 sin(2x)− 1

5x5)|xo0 =

140A (10xo − 5 sin(2xo)− 4x5

o) ≈ 0.32 gegeben,da

∫sin2 x dx = 1

2x−14 sin(2x) gilt (s.u.).

22. Durchschnitt = Mittelwert m, der laut Mittelwertsatz der Integralrechnungm = f(xo) = 1

b−a∫ ba f(x) dx für ein xo ∈ (a, b) durch Integration bestimmt

werden kann. (z.B. Treppenfunktionen)

23. Bestimme zu einer beliebigen Funktion f die Funktion g, deren Graph über-all den Abstand d vom Graphen von f hat.Zunächst ist der Abstand d(~q, ~p(t)) eines Punktes ~q von einer Kurve ~p(t)definiert als das Minimum aller Abstände |~q− ~p(t)| (Extremwert-Aufgabe).Hier ist also g gesucht, so daß d((x, g(x)), (t, f(t))) = d für alle x gilt.Wir konstruieren nun die Lösung (bis auf Sonderfälle) wie folgt: Die Stei-gung im Punkt (t, f(t)) ist f ′(t). Die Steigung der Normalen ist also −1

f ′(t) .

Die Normale hat also die beiden normierten Richtungsvektoren ± (1,−1/f ′(t))√1+1/f ′2(t)

= ± (f ′(t),−1)√f ′2(t)+1

. Damit gibt es die beiden Punkte (t, f(t)) ± d (f ′(t),−1)√f ′2(t)+1

imAbstand d von der Tangente in (t, f(t)), was zugleich auch eine Parameter-Darstellung der gesuchten Lösung abgibt.

24. Trapez- und der Simpson-Regel approximieren Integrale durch Riemann-sche Summen.

25. Stammfunktionen sind∫

sin x dx = − cosx + C,∫

cosx dx = sin x + C,∫tan x dx = − ln | cosx|+ C,

∫cotx dx = ln | sin x|+ C und die der hyper-

bolischen Funktionen∫

sinh x dx = cosh x + C,∫

cosh x dx = sinh x + C,∫tanh x dx = ln | cosh x|+ C,

∫coth x dx = ln | sinh x|+ C.

26. Produkt-Regel:∫x cosx dx = x sin x−

∫sin x dx = x sin x+ cosx+ C,∫

cos2 x dx = sin x cosx+∫

sin2 x dx = sin x cosx+∫

(1− cos2 x) dx, so daß∫cos2 x dx = 1

2(x+ sin x cosx) + C,


mit u = x2 und daher du = 2x dx gilt∫

arccosx dx =∫

1 · arccosx dx =x arccosx−

∫ −x√1−x2 dx = x arccosx+

∫(1− u)−1/2 du

= x arccosx− 2(1− u)1/2 = x arccosx− 2√

1− x2 + C,mit u = x2 und daher du = 2x dx gilt

∫arccotx dx =

∫1 · arccotx dx =

x arccotx +∫ x

1+x2 dx = x arccotx +∫ 1

1+u du = x arccotx + ln(1 + u) =x arccotx+ ln(1 + x2) + C.

27. Produkt-Regel:∫x2 ln x dx = 1

3x3 ln x−

∫ x2

3 dx = 13(ln x− 1

3)x3 + C,∫x3 ex

2dx = x2 1

2ex2 −

∫2x 1

2ex2dx = 1

2x2ex

2 − 12ex2 = 1

2(x2 − 1)ex2 + C.

28.∫

sin3 x dx = 14∫

(3 sin x− sin(3x)) dx = −34 cosx+ 1

12 cos(3x),∫cos3 x dx = 1

4∫

(3 cosx+ cos(3x)) dx = 34 sin x+ 1

12 sin(3x).

29.∫

sin x cosx dx = − cos2 x−∫

cosx sin x dx, so daß∫

sin x cosx dx =−1

2 cos2 x+ C = 12 sin2 x+ C (auch trigonometrisch),∫

sinh x cosh x dx= cosh2 x−∫

cosh x sinh x dx, so daß∫

sinh x cosh x dx =12 cosh2 x.

30. Mit u = ax+ b und daher du = a dx folgt∫sin(ax+ b) dx = 1

a

∫sin u du = − 1

acosu = − 1

acos(ax+ b) + C∫

cos(ax+ b) dx = 1a

∫cosu du = 1

asin u = 1

asin(ax+ b) + C,∫

tan(ax+ b) dx = 1a

∫tan u du = − 1

aln(cosu) = − 1

aln(cos(ax+ b)) + C,∫

cot(ax+ b) dx = 1a

∫cotu du = 1

aln(sin x) = 1

aln(sin(ax+ b)) + C.

31. Mit u = x2 und daher du = 2x dx ist∫

3x√

1−2x2 dx = 32∫ √

1−2u du= 3

223

1−2(1− 2u)3/2 = −1

2(1− 2x2)3/2 + C,∫x 3√

1− x2 dx = 12∫

(1− u)1/3 du = 12−34 (1− u)4/3 = −3

8 (1− x2)4/3 + C.

32. Mit u = a + x und daher du = dx ist∫

(a + x)3 dx =∫u3 du = 1

4u4 =

14(a+ x)4 + C,mit u = x − 1 und daher du = dx ist

∫ dx(x−1)3 =

∫u−3 du = −1

2u−2 =

−12(x− 1)−2 + C,

mit u = 2x − 1 und daher du = 2 dx ist∫ √

2x− 1 dx = 12∫ √

u du =12∫u1/2 du = 1

223

√u3 = 1

3

√(2x− 1)3 + C,

mit u = 3x−1 und daher du = 3 dx ist∫ dx

3x−1 = 13∫ du

u= 1

3 ln u = 13 ln(3x−

1) + C,mit u = x + 3 und daher du = dx ist

∫ dx√x+3 =

∫u−1/2 du = 2

√u =

2√x+ 3 + C.

33. Mit u = 2x und daher du = 2 dx ist∫

sin(2x) dx =∫

sin u du = − cosu =− cos(2x) + C,∫

(cosx − sin x)2 dx =∫

(cos2 x−2 cosx sin x+sin2 x) dx =∫

cos2 x dx −2∫

cosx sin x dx +∫

sin2 x dx = 12x + 1

4 sin(2x)− 212 sin2 x + 1

2x−14 sin(2x)

= x− sin2 x+ C durch Ausmultiplizieren,∫tan2 x dx =

∫(1 + tan2 x− 1) dx =

∫(tan′ x− 1) dx = tan x− x+ C,

mit u = 4x und daher du = 4 dx ist∫e4x dx = 1

4∫eu du = 1

4eu = 1

4e4x + C.


34. Die Stammfunktionen zu hyperbolischen Funktionen ergeben sich mit u =x2 und daher du = 2 dx wie folgt:∫

arsinh x dx =∫

1·arsinh x dx = x arsinh x−∫ x dx√

1+x2 = x arsinh x− 12∫

(1+u)−1/2 du = x arsinh x−

√1 + u = x arsinh x−

√1 + x2 + C,∫

arcosh x dx =∫

1 · arcosh x dx = x arcosh x −∫ x dx√

x2−1 = x arcosh x −12∫

(u− 1)−1/2 du = x arcosh x−√u− 1 = x arcosh x−

√x2 − 1 + C,∫

artanh x dx =∫

1 · artanh x dx = x artanh x −∫ x dx

1−x2 = x artanh x −12∫ du

1−u = x artanh x− 12 ln(1− u) = x artanh x− 1

2 ln(1− x2) + C,∫arcoth x dx =

∫1 · arcoth x dx = x arcoth x −

∫ x dx1−x2 = x arcoth x −

12∫ du

1−u = x arcoth x− ln(1− u) = x arcoth x− ln(1− x2) + C.

35. Mit u = x2 und daher du = 1

2dx ist∫

sinh x2 dx = 2

∫sinh u du = 2 cosh u =

2 cosh x2 + C,

mit u = 2x und daher du = 2 dx ist∫

cosh(2x) dx = 12∫

cosh u du =12 sinh u = 1

2 cosh(2x) + C,∫ex cosh x dx =

∫ex e

x+e−x2 dx = 1

2∫

(e2x + e−2x) dx = 12(1

2e2x − 1

2e−2x) =

12 sinh(2x) + C

36. Partialbruchzerlegung liefert x2+1x3−x = x2+1

x(x2−1) = x2+1(x+1)x(x−1) = 1

x+1−1x+ 1x−1 und

so∫ x2+1x3−x dx =

∫ dxx+1−

∫ dxx

+∫ dxx−1 = ln(x+1)−ln x+ln(x−1) = ln

∣∣∣x2−1x

∣∣∣+C.Partialbruchzerlegung liefert x2+1

x3+x2−x−1 = x2+1(x−1)(x+1)2 = 1

21

x−1 + 12

1x+1−

1(x+1)2

und so∫ x2+1x3+x2−x−1 dx = 1

2∫ dxx−1 + 1

2∫ dxx+1 −

∫ dx(x+1)2 =

12 ln(x− 1) + 1

2 ln(x+ 1) + 12

1x+1 = 1

2(x+1) + ln√x2 − 1 + C.

37. Probe: Ableitung einer Stammfunktion muß den Integranden ergeben!


3 Übungen zur Integralrechnung

Übungsaufgaben zur Integral-RechnungNeben den z.H. des Skripts gibt es weitere Übungsaufgaben mit Lösungen z.B.in Brauch/Dreyer/Haacke Papula, Stingl, Stöcker, Minorski usw.

1. Bestimme die Länge s der Kettenlinie f(x) = a cosh xavon x = −a bis

x = a. (Lsg. s = a(e− 1e))

2. Bestimme die Länge s der Kurve x(t) = t2 und y(t) = t3 von t = 0 bist = 4. (Lsg. s = 8

27(37√

37− 1))

3. Für eine in Polarkoordinaten gegebene Kurve r = f(ϕ) bestimme denWinkel ψ zwischen Tangente und Ortsvektor sowie die Ableitung y′, alsodie Tangentensteigung und bestimme Stellen waagerechter und senkrechterTangenten der logarithmischen Spirale r = c enϕ.

4. Die Bogenlänge s der in Polarkoordinaten gegebenen Kurve r = f(ϕ) istdurch s =

∫ ϕ2ϕ1

√f 2(ϕ) + f ′2(ϕ) dϕ gegeben. Berechne die Bogenlänge s der

Spirale r = eϕ/2 von ϕ=0 bis ϕ=2π. (Lsg. s= 12

√5(eπ−1))

5. Die Fläche A ‘unter’ der in Polarkoordinaten gegebenen Kurve r = f(ϕ)ist durch A = 1

2∫ ϕ2ϕ1r2 dϕ gegeben. Berechne die Fläche der dreiblättrigen

Rose r = a cos(3ϕ) als das 6-fache der Fläche für ϕ = 0 bis ϕ = π6 .

(Lsg. A = π4a

2)

6. Bestimme die Mantelfläche Mx des Rotationskörpers, der durch Rotationder Ellipse x2

16 + y2

4 = 1 um die x-Achse entsteht.(Lsg. Mx = 8π(1 + 4

9

√3π))

7. Bestimme die MantelflächeMx des durch Rotation der Kurve x(t) = et cos tund y(t) = et sin t von t = 0 bis t = π/2 (Skizze) um die x-Achse entste-henden Rotationskörpers. (Lsg. Mx = 2

5π√

2(2eπ + 1))

8. Die Mantelfläche Mp des durch Rotation der in Polarkoordinaten gegebe-nen Kurve r = f(ϕ) von ϕ1 bis ϕ2 um die Polar-Achse ist durch Mp =2π∫ ϕ2ϕ1y ds = 2π

∫ ϕ2ϕ1r sinϕds gegeben. Berechne die Mantelfläche Mp des

durch Rotation der Lemniskate r = a√

cos 2ϕ um die Polar-Achse entste-henden Rotationskörpers als das Doppelte der Fläche von ϕ = 0 bis ϕ = π

4 .(Lsg. Mp = 2a2π(2−

√2))

9. Welcher Rotationskörper entsteht durch Rotation von x2 + y2 = 4 um dieParallele x = 3 zur y-Achse? Bestimme sein Volumen Vy.(Lsg. Vy = 24π2)

10. Bestimme 2+1+ 12 + 1

4 + 18 + ... sowie 4−1+1/4−1/16+−... und ∑∞k=0 3−k.

(Lsg. 4 sowie 165 und 3

2)


11. Bestimme ∑∞k=11

k(k+2) und ∑∞k=11

(4k−3)(4k+1) . (Lsg. 34 und 1

4)

12. Konvergenz von 3+ 52 + 7

3 + 94 +..., e+ e2

8 + e3

27 + e4

64 +... und ∑ 1k3 ?

13. Bestimme Konvergenz/Divergenz der beiden Reihen ∑k/3k und ∑

k!/3kper Quotienten-Kriterium.

14. Zeige: aus 0 < ak, ak > ak+1 für alle k und limk→∞ ak = 0 folgt die Konver-genz von ∑(−1)k ak.

15. Zeige die Konvergenz von ∑∞k=1−(−1)kk2 auf zweifache Weise.

16. Zeige die Divergenz von ∑∞k=1−(−1)k 2k+1k

.

17. Bestimme den Konvergenzbereich von ∑∞k=1(x+1)k√

k. (Lsg. |x+ 1| < 1)

18. Bestimme den Konvergenzradius von∑∞k=0(−1)k x2k+1

2k+1 (Entwicklung um denUrsprung!). (Lsg. |x| < 1)

19. Leite aus dem Quotienten-Kriterium eine Formel für den Konvergenzradiusher.

20. Entwickle die Funktion f(x) = 11−x in ihre Taylor-Reihe um 1

2 .

21. Entwickle die Funktion f(x) = ex in ihre Taylor-Reihe um ein a ∈ R.

22. Entwickle f(x) = cos2(x) in ihre Taylor-Reihe um 0 und leite (auch direkt!)die quadratische Approximation ab.

23. Zeige die Euler-Identität anhand der Reihen für exp, sin und cos.

24. Approximiere sin 62o. Berechne ln 1.02 mit einem Fehler kleiner als 5 · 10−8.Für welche x kann ex durch 1 + x+ x2

2 mit einem Fehler kleiner als 5 · 10−4

approximiert werden?

25. Bestimme limx→0sinhxsinx durch Reihen-Entwicklung und vergleiche mit der

Regel von de l’Hospital. (Lsg. limx→0sinhxsinx = 1)

26. Schreibe ein Programm, das die Approximation etwa der trigonometrischenFunktionen durch ihre Taylor-Polynome visualisiert. Teste das Programmbeispielsweise an den quadratischen und kubischen Approximationen um 0der hyperbolischen Funktionen.

27. Schreibe ein Programm, das die Approximation periodischer Funktionendurch ihr Fourier-Polynom visualisiert. Teste am Beispiel des Rechteck-Impulses.

28. Leite Darstellung und Formeln für die Fourier-Koeffizienten von Funktionenbeliebiger Perioden-Länge T ab.


29. Bestimme die Fourier-Reihen zu den Beispielen (z.B.) und Übungen (z.H.)im Skript in komplexer Darstellung.

30. Bestimme die Fourier-Reihe zu ASCII-¨c¨.

31. Bestimme die Fourier-Reihe zu f(x) = ex für 0 ≤ t < π.


Lösungen der Übungsaufgaben zur Integral-Rechnung

1. Die Länge s der Kettenlinie f(x) = a cosh xavon x = −a bis x = a ist allge-

mein durch s =∫ x2x1

√1+f ′2(x) dx gegeben, d.h. s =

∫ a−a

√1 + sinh2(x

a) dx =

a∫ 1−1

√1 + sinh2(u) du = a sinh u|1−1 = a (e− e−1).

2. Die Länge s der Kurve x(t) = t2 und y(t) = t3 von t = 0 bis t = 4 ist gege-ben durch s =

∫ t2t1

√x2(t) + y2(t) dt =

∫ 40√

4t2 + 9t4 dt =∫ 40 t√

4 + 9t2 dt =12∫ 16

0√

4 + 9u du = 118∫ 148

4√v dv = 8

27(37√

37− 1).

3. Für die in Polarkoordinaten gegebene Kurve r = f(ϕ) gilt

-

6

��

��

��

��

��

��

��

��

αϕ

∆ϕLLLLLLLLLLLLLLLLLLL

r

r

∆r

ψ

r∆ϕ

ψ

tanψ = lim∆ϕ→0 tan ψ = lim∆ϕ→0r∆ϕ∆r = lim∆ϕ→0

r∆r∆ϕ

= r(ϕ)r′(ϕ) = f(ϕ)

f ′(ϕ) . We-gen α = ψ + ϕ folgt daher mit den Additionstheoremen y′ = tanα =tan(ψ + ϕ) = tanϕ+tanψ

1−tanϕ tanψ oder eben

y′ = r′ tanϕ+ r

r′ − r tanϕ = r′ sinϕ+ r cosϕr′ cosϕ− r sinϕ

Für die logarithmische Spirale r = c enϕ gilt dann also r′ = n c enϕ = n rund tanψ = r

r′= 1

n=const. (vgl. Fräser, Turbine). Waagerechte Tangenten

liegen für r′ sinϕ + r cosϕ = 0 bzw. für tanϕ = −1/n und senkrechteTangenten für r′ cosϕ− r sinϕ = 0 bzw. für tanϕ = n vor.


4. Die Bogenlänge s =∫ds =

∫ ϕ2ϕ1

√f 2(ϕ) + f ′2(ϕ) dϕ der Spirale r = e2ϕ von

ϕ = 0 bis ϕ = 2π ist durch s =∫ 2π0√e4ϕ + 4e4ϕ dϕ =

√5∫ 2π

0 e2ϕ dϕ =√5(e4π − 1), diejenige der Spirale r = eϕ durch s =

√2(e2π − 1) gegeben.

5. Die Fläche A ‘unter’ der in Polarkoordinaten gegebenen Kurve r = f(ϕ)wird approximiert durch die Summe der Teilflächen Ai begrenzt durch dieRadien zu f(ϕi−1)(cosϕi−1, sinϕi−1) und zu f(ϕi)(cosϕi, sinϕi) sowie dendiese Punkte verbindenen Abschnitt des Funktionsgraphen. Die Flächen Aiwerden approximiert durch die Kreis-Sektoren mit Radius f(ϕi) undWinkel∆ϕi und damit der Fläche Ai = π f 2(ϕi) ∆ϕi

2π = 12f

2(ϕi) ∆ϕi. Damit ergibtA = ∑n

i=1Ai aufgefaßt als Riemannsche Summe im Grenzübergang

A = 12

∫ ϕ2

ϕ1r2 dϕ

Die Fläche A der dreiblättrigen Rose r = a cos 3ϕ ergibt sich zuA = 61

2∫ π/60 a2 cos2(3ϕ) dϕ = 3a2∫ π/6

01+cos(6ϕ)

2 dϕ = 3a2

2 (π6 + 16 sin(π)) = π

4a2.

6. Die Mantelfläche Mx des durch Rotation der Ellipse x2

16 + y2

4 = 1 (also2x dx

16 + 2y dy4 = 0 und damit dy

dx= − x

4y ) um die x-Achse entstehenden Rotati-onskörpers ist gegeben durch Mx = 2π

∫ ba y√

1+y′2 dx = 2π∫ 4−4 y√

1+y′2 dx= π

2∫ 4−4√

16y2 + x2 dx = π2∫ 4−4√

64− 3x2 dx = π2

√3∫ 4−4

√64/3− x2 dx =

8π(1 + 49

√3π), da allgemein

∫ √a2−x2 dx =

∫ √a2−a2 sin2(u)a cos(u) du =

a2 ∫ cos2(u) du = a2

2∫

(1 + cos(2u)) du = a2

2

(u+ 1

2 sin(2u))

=a2

2 (u+ sin(u) cos(u)) = a2

2

(arcsin(x

a) + x

a

√1− (x

a)2)gilt.

7. Die Mantelfläche Mx des durch Rotation der Kurve x(t) = et cos t undy(t) = et sin t von t = 0 bis t = π/2 um die x-Achse entstehenden Ro-tationskörpers ist allgemein gegeben durch Mx = 2π

∫ t2t1y√x2 + y2 dt, d.h.

Mx = 2π∫ π/20 e2t sin(t)

√(cos t−sin t)2+(sin t+cos t)2 dt= 2π

√2∫ π/2

0 e2t sin t dt= 2

5π√

2(2eπ+1), da allgemein∫e2x sin(x) dx=e2x 1

5(2 sin(x)−cos(x)).

8. Die Mantelfläche Mp des durch Rotation der in Polarkoordinaten gegebe-nen Kurve r = f(ϕ) von ϕ1 bis ϕ2 um die Polar-Achse, also die x-Achse,erzeugten Rotationskörpers ist durch Mp = Mx = 2π

∫y ds = 2π

∫ ϕ2ϕ1y ds =

2π∫ ϕ2ϕ1r sinϕds = 2π

∫ ϕ2ϕ1f(ϕ) sin(ϕ)

√f 2(ϕ)+f ′2(ϕ) dϕ gegeben.

Die Mantelfläche Mp des durch Rotation der Lemniskate (Schleife) r =a√

cos 2ϕ für ϕ = 0 bis ϕ = π/2 um die Polar-Achse entstehenden Ro-tationskörpers ist wegen (f 2 + f ′2)(ϕ) = a2 cos(2ϕ) + (−a2

rsin(2ϕ))2 =

a4

r2 durch Mp = 2π∫ ϕ2ϕ1f(ϕ) sin(ϕ)

√(f 2+f ′2)(ϕ) dϕ = 4π

∫ π/40 r sin(ϕ)a2

rdϕ

= 4a2π∫ π/4

0 sin(ϕ) dϕ = 2a2π(2−√

2) gegeben.

9. Das Volumen Vy des durch Rotation von x2+y2 = 4 um x = 3 (Parallele zury-Achse) entstehenden Rotationskörpers ist einerseits per Aufsummieren


der Hohlzylinder mit Höhe 2y, Wandstärke dx und mittlerem Radius 3 + xmit x ∈ [−2, 2] durch Vy = 2π

∫ 2−2 2y(3+x) dx = 4π

∫ 2−2√

4− x2(3+x) dx =24π

∫ 20√

4− x2 dx (da x√

4− x2 ungerade und√

4− x2 gerade ist), alsoVy = 24π 1

2

(x√

4− x2 + 4 arcsin x2

)∣∣∣20

= 24π 2 arcsin 1 = 24π2 gegeben.Andererseits liefert Überführen der Drehachse in die y-Achse und damitVerschieben des Kreises x2 +y2 = 4 in den Kreis (x + 3)2 +y2 = 4 mitMittelpunkt (−3, 0) das gesuchte Volumen zu (keine negativen Radien!)Vy = 2π

∫−1−5 2y(−x) dx = −4π

∫−1−5

√4− (x+ 3)2x dx

= −4π∫ 2−2√

4− u2(u− 3) du = 12π∫ 2−2√

4− u2 du = 24π2 (wie oben).

10. 2+1+ 12 + 1

4 + 18 + ... = 2∑∞k=0(1

2)k = 2 11−1/2 = 4 sowie 4−1+ 1

4−116 +−... =

4∑∞k=0(−14)k = 4 1

1+ 14

= 165 und ∑∞k=0 3−k = 1

1− 13

= 32 .

11. Die Bestimmung der Teilsummen-Folge sn von ∑∞k=1

1k(k+2) ist etwas auf-

wendiger: Sei un die Teilsumme der ungeraden Summanden, also un =∑ni=0

1(2i+1)(2i+3) , und gn die Teilsumme der ungeraden Summanden, al-

so gn = ∑ni=0

1(2i)(2i+2) . Dann gilt un = n

2n+1 und gn = 14

nn+1 . Wegen

s2n = un−1 + gn bzw. s2n+1 = un + gn−1 und wegen limn→∞ un = 12 bzw.

limn→∞ gn= 14 folgt somit limn→∞ sn=limn→∞ un + limn→∞ gn= 3

4 . Es kannbesser sein, schon bekannte Reihenwerte zu verwenden:Zunächst ist ∑∞k=1

1k(k+2) = 1

2∑∞k=1

1(k+1)(k+2) + 1

2∑∞k=1

1k(k+1) . Für die erste

Reihe gilt ∑∞k=11

(k+1)(k+2) = limn→∞ sn = limn→∞12

nn+1 = 1

2 oder ebenso∑∞k=1

1(k+1)(k+2) = ∑∞

k=21

k(k+1) = ∑∞k=1

1k(k+1) −

12 = 1

2 . Für die zweite Reihegilt ∑∞k=1

1k(k+1) = limn→∞sn = limn→∞

nn+1 = 1. Damit gilt für ∑∞k=1

1k(k+2)

als Summe zweier konvergenter Reihen∑∞k=11

k(k+2) = 14 + 1

2 = 34 oder ebenso∑∞

k=11

k(k+2) = limn→∞ sn = limn→∞14

n(3n+5)(n+1)(n+2) = 3

4 .Für ∑∞k=1

1(4k−3)(4k+1) ist sn = n

4n+1 und damit ∑∞k=11

(4k−3)(4k+1) = 14 .

12. Die Reihe 3+ 52 + 7

3 + 94 +... ist divergent, da die Reihenglieder keine Nullfolge

bilden (es gilt an > 2) oder da etwa 3 + 2 + 2 + 2 + . . . divergente Minoranteist.Angewandt auf e + e2

8 + e3

27 + e4

64 + ... = ∑∞k=1

ek

k3 liefert das Quotienten-Kriterium Divergenz wegen limk→∞

ek+1

(k+1)3k3

ek= e > 1.

Für ∑∞k=1 k−3 = ∑∞

k=1 ak gilt limk→∞ak+1ak

= limk→∞k3

(k+1)3 = 1 und ebensolimk→∞ k

√ak = 1 = limk→∞

k√k−3 = 1. Weder Quotienten-Kriterium noch

Wurzel-Kriterium liefern also eine Entscheidung über die Konvergenz von∑∞k=1 k

−3. Allerdings ist ∑∞k=1 k−2 eine konvergente Majorante.

13. Die Reihe ∑ n3n ist wegen limn→∞

n+13n+1

3nn

= 13 konvergent.

Die Reihe ∑n!/3n ist wegen limn→∞(n+1)!3n+1

3nn! = ∞ divergent (statt per

Quotienten-Kriterium ebenso auch per Majoranten-Kriterium).


14. Satz aus 0 < an, an > an+1 für alle n und limn→∞ an = 0 folgt die Kon-vergenz von ∑∞n=0(−1)n an. •Bew. Es gilt s2m = a0− a1 + a2− a3 +− . . . = (a0− a1) + (a2− a3) + . . . =a0−(a1−a2)−(a3−a4)− . . . und daher wegen an > an+1 sowohl s2m > 0 alsauch s2m < a0. Die Folge s2m ist also monoton sowie beschränkt und daherkonvergent mit Grenzwert S := limm→∞ s2m. Da zudem limm→∞ s2m+1 =limm→∞ (s2m − a2m+1) = limm→∞ s2m − limm→∞ a2m+1 = S − 0 = S, kon-vergieren sowohl s2m als auch s2m+1 gegen S, so daß auch die Reihe gegenS konvergiert.

√

15. Die Reihe ∑∞n=1−(−1)nn2 ist konvergent, erstens als alternierende Reihe mit

monoton gegen 0 konvergierenden Beträgen der Reihenglieder und zweitensals Reihe mit konvergenter Majorante ∑∞n=1

1n2 .

16. ∑∞n=1−(−1)n 2n+1n

ist divergent, da die Reihen-Glieder keine Nullfolge bilden(|an| = 2n+1

n→ 2).

17. Der Konvergenz-Radius ρ von ∑∞k=1(x+1)k√

kist 1

ρ= limk→∞ 1/ k

√√k =

limk→∞ 1/√k√k = 1. Damit konvergiert die Reihe für x mit |x+ 1| < 1.

18. Der Konvergenz-Bereich |x| < ρ von ∑∞k=0(−1)k x2k+1

2k+1 wird für diese Ent-wicklung um 0 am besten mit dem Quotienten-Kriterium durchlimk→∞

x2k+1

2k+12k−1x2k−1 = x2 bestimmt: die Reihe konvergiert für |x| < 1.

19. Satz Der Konvergenz-Radius ρ von ∑∞k=0 ck(x − x0)k läßt sich aus dem

Quotienten-Kriterium zu ρ = 1limk→∞ |

ck+1ck|bestimmen. •

Bew. Aufgrund des Quotienten-Kriteriums konvergiert die Reihe, wennlimk→∞ | ck+1(x−x0)k+1

ck(x−x0)k | = |x − x0| limk→∞ | ck+1ck| < 1, also wenn |x − x0| <

1limk→∞ |

ck+1ck|

= ρ.√

20. Die Taylor-Entwicklung von f(x) = 11−x um 1

2 berechnet sich aus f (k)(12) =

k!2k+1 zu f(x) = ∑∞k=0

f (k)(x0)k! (x−x0)k = ∑∞

k=0 2k+1(x− 12)k mit Konvergenz-

Radius 12 .

21. Die Taylor-Entwicklung von f(x) = ex um ein a ∈ R läßt sich entweder ausex = ea ex−a = ea

∑k=0

(x−a)kk! oder aus f (k)(a) = ea für alle k ∈ N gewinnen.

22. Die Taylor-Entwicklung von f(x) = cos2(x) um 0 ergibt sich aus mitdem Identitätssatz für Potenzreihen als Quadrat der Potenzreihe für coszu cos2(x) =

(∑∞k=0

(−1)k(2k)! (x2)k

)2= ∑∞

k=0∑ki=0

(−1)i(2i)!

(−1)k−i(2k−2i)!(x

2)k =∑∞k=0(−1)k∑k

i=0

(2n2i

)x2k

(2k)! = ∑∞k=0

(−1)k 22k−1

(2k)! x2k. Etwa mit vollständiger In-duktion folgt nämlich ∑k

i=0

(2k2i

)= 22k−1. Aus der Taylor-Entwicklung ergibt

sich die quadratische Approximation zu cos2(x) ≈ 1−x2. Dasselbe Ergebnis


liefert die Berücksichtigung des quadratischen Polynom-Anteils 1 − x2 imQuadrat cos2(x) ≈ (1− x2

2 )2 der quadratischen Approximation des Cosinus.

23. Aus eϕj = ∑∞k=0

ϕk jk

k! = ∑∞k=0

ϕ2k j2k

(2k)! + ∑∞k=0

ϕ2k+1 j2k+1

(2k+1)! = ∑∞k=0

(−1)kϕ2k

(2k)! +∑∞k=0

(−1)kϕ2k+1 j(2k+1)! = cos(ϕ) + j sin(ϕ) ergibt sich die bekannte Euler-Gleich-

ung ejϕ = cosϕ+ j sinϕ.

24. Mit sin x ≈ x und cosx ≈ 1 für |x| � 1 und dem Additionstheorem giltsin 62o = sin(60o + 2o) = sin(π3 ) cos( π90) + cos(π3 ) sin( π90) ≈

√3

2 + 12π90 bei li-

nearer Approximation. Ebenso liefert die Taylor-Entwicklung des Sinus umπ3 die lineare Approximation sin(x) ≈ sin(π3 )+cos(π3 )(x−π

3 ) =√

32 + 1

2π90 . Der

Fehler kann durch das Restglied R2(x) mit |R2(x)| = |− 12 sin(xm)(x− π

3 )2| ≤12(x− π

3 )2 = 12π2

902 abgeschätzt werden.Es gilt ln(1 + x) = ∑∞

k=1(−1)k+1

kxk = 0.02− 0.022

2 + 0.023

3 −0.024

4 +− · · ·. DerFehler bei Approximation n-ten Grades kann bei einer alternierenden Rei-he durch den Betrag des n-ten Taylor-Gliedes abgeschätzt werden. Wegen0.023

3 = 8310−6 und 0.024

4 = 4 · 10−8 wird ln 1.02 mit der geforderten Genau-igkeit schon durch die ersten drei Reihen-Glieder approximiert.Für |x| < 0.1 kann ex durch 1 + x+ x2

2 mit einem Fehler kleiner als 5 · 10−4

approximiert werden: der Reihenrest, also das Restglied R3(x) = f ′′′(xm)3! x3

kann für |x| ≤ 1 durch |R3(x)| ≤ 16 |x|

3 ≤ 5 · 10−4 abgeschätzt werden, sodaß |x| < 0.1 < 3

√3 folgt.

25. Es gilt limx→0sinhxsinx = limx→0

12x+x3/3!+...x−x3/3!+−.. = limx→0

12

1+x2/3!+...1−23/3!+−.. = 1 wie mit

der Regel von de l’Hospital ebenso limx→0sinhxsinx = limx→0

coshxcosx = 1.

26. Schreibe ein Programm, das die Approximation etwa der trigonometrischenFunktionen durch ihre Taylor-Polynome visualisiert. Teste das Programmbeispielsweise an den quadratischen und kubischen Approximationen um 0der hyperbolischen Funktionen.

27. Schreibe ein Programm, das die Approximation periodischer Funktionendurch ihr Fourier-Polynom visualisiert. Teste am Beispiel des Rechteck-Impulses.

28. Leite Darstellung und Formeln für die Fourier-Koeffizienten von Funktionenbeliebiger Perioden-Länge T ab.

29. Bestimme die Fourier-Reihen zu den Beispielen (z.B.) und Übungen (z.H.)im Skript in komplexer Darstellung.

30. Bestimme die Fourier-Reihe zu ASCII-¨c¨.

31. Bestimme die Fourier-Reihe zu f(x) = ex für 0 ≤ t < π.


4 Übungen zu mehrdimensionaler Analysis undDifferentialgleichungen

Übungsaufgaben zur mehrdimensionalen Analysisund zu Differentialgleichungen

Neben den z.H. im Skript gibt es weitere Übungsaufgaben mit Lösungen z.B. inBrauch/Dreyer/Haacke, Minorski, Papula, Stingl, Stöcker usw.

1. Untersuche Stetigkeit und partielle Differenzierbarkeit der Funktionen z =f(x, y) = x+y und z = g(x, y) = x2+y2. Stelle die Funktionen in geeigneterWeise graphisch dar.

2. Ist z = f(x, y) = sin(x+y)x+y in (0, 0) stetig ergänzbar? Was gilt für die (parti-

ellen) Ableitungen?

3. Bestimme das totale Differential dz = ∂f∂xdx + ∂f

∂ydy für die Funktionen

z = f1(x, y) = x + y, z = f2(x, y) = xy, z = f3(x, y) = x2 + y2 undz = f4(x, y) = x sin y − y sin x.

4. Für z = f(x, y) = x2 + 3xy + 5y2 mit x = sin t und y = cos t bestimmez(t) = dz

dt(t). Führe eine Probe durch.

5. Bestimme die Richtungsableitungen von z = f(x, y) = y ex in (0, 3) fürθ = 30o und θ = 120o.

6. Entwickle die Funktion z = f(x, y) = sin x cos y in ihr Taylor-Polynomdritten Grades um ~0.

7. Untersuche z = f(x, y) = x2 + y2 − 4x+ 6y + 25 auf Extremwertstellen.

8. Welcher Punkt der Ebene 2x−y+2z = 16 ist dem Ursprung am nächsten?Überprüfe das Ergebnis anhand der Hesse’schen Normalform.

9. Bestimme den Gradienten der Funktionen f1(x, y) = x2+xy+y2, f2(x, y) =x3 − 3xy + y3, f3(x, y) = y + x cos(xy) und f4 = cosx sin y.

10. Für Kurven ~r(t) und ~s(t) zeige ddt

(~r(t) · ~s(t)) = d~r(t)dt· ~s(t) + ~r(t) · d~s(t)

dtund

ddt

(~r(t)× ~s(t)) = d~r(t)dt× ~s(t) + ~r(t)× d~s(t)

dt.

11. Für Kurven ~p(t), ~q(t) und ~r(t) zeige d ~p·(~q×~r)dt

= d ~pdt·(~q×~r)+~p ·(d ~q

dt×~r)+~p ·(~q×d~r

dt)

und d ~p×(~q×~r)dt

= d ~pdt× (~q × ~r) + ~p× (d ~q

dt× ~r) + ~p× (~q × d~r

dt).

12. Bestimme die Richtungsableitung von f(x, y) = x2− 6y2 in (7, 2) für θ = π4

unter Verwendung von ∇f . Bestimme das Maximum der Richtungsablei-tung.


13. Für ~f(x, y, z) = (x + yz, y + zx, z + xy) bestimme∫Ci~f(~r) · d~r für die drei

Wege Ci von ~0 nach (1, 1, 1) wie im Skript.

14. Sei f mindestens zweimal (partiell) differenzierbar. Zeige ∇ × (∇f) = 0,∇ · (∇× ~f) = 0 und ∇ · ∇f = ( ∂2

∂x2 + ∂2

∂y2 + ∂2

∂z2 )f .

15. Bestimme die Fläche des Kegelabschnittes x2 + y2 = 3z2 für z > 0, derinnerhalb des Zylinders x2 + y2 − 4y = 0 liegt.

16. Schüttgut in einem rechteckigen Kasten, d.h. in einem Silo mit Grundfläche[−xo, xo]× [−yo, yo], bildet eine kegelförmige Oberfläche aus, gegeben durchf(x, y) = h− c

√x2 + y2 für die Füllhöhe h und eine Material-Konstante c.

Bestimme das Volumen V =∫ yo−yo

∫ xo−xo f(x, y) dx dy der Silo-Füllung.

17. Verifiziere den Gauß’schen Integralsatz an folgendem Beispiel: Gegeben dasVektorfeld ~V : R3 → R3 mit ~V (~r) = |~r|2~r für ~r = (x, y, z) und als BereichB der Einheitswürfel B = {(x, y, z) : 0 ≤ x, y, z ≤ 1}.a) Bestimme eine Parameterdarstellung für jede der sechs Seiten des Ein-heitswürfels, also für die Oberfläche A von B.b) Berechne

∫∫A=∂B

~V · d ~A, wobei die Flächen-Normalen nach außen weisen(Igel). Nutze die Symmetrie.c) Berechne

∫∫∫B

div ~V (x, y, z) dx dy dz und vergleiche mit∫∫

A=∂B~V · d ~A aus

Teil b).

18. Löse durch Trennung der Veränderlichen:y′x3 = 2y, (x2 + x)y′ = 2y + 1, y′

√a2 + x2 = y, (1 + x2)y′ + 1 + y2 = 0,

r′ + r tanϕ = 0, y′ = 2√y ln x, (1 + x2)y′ + y√

1 + x2 = xy, y′ + xy = xy3,(1− x2)y′ − xy = xy2, jeweils mit Probe

19. Löse durch Substitution z = yx:

xy′ + 2√xy = y, y′ = y2

x2 − yx, jeweils mit Probe

20. Löse durch Variation der Konstanten:y′+ xy

a2+x2 = 1a2+x2 , (2x+1)y′+y = x, y′−y tan x = cotx, xy′−2y = x3 ln x,

y′ + y cosx = sin(2x), 3y2y′ + y3 = x+ 1, jeweils mit Probe

21. Löse die folgenden homogenen DGl mit konstanten Koeffizienten:y′′+ 3y′+ 2y = 0, y′′+ 2ay′+ a2y = 0, y′′+ 2y′+ 5y = 0, y′′− 2y′− 3y = 0,y′′+2y′+3y = 0, y′′′−3y′′+4y = 0, y(4)−3y′′−4y = 0, y(4) +8y′′+16y = 0,jeweils mit Probe

22. Löse die folgenden inhomogenen DGl mit konstanten Koeffizienten:y′′+y′−2y = 6x2, y′′−5y′+6y = 13 sin(3x), y′′+2y′+y = ex, y′′+y′+2.5y =25 cos(2x), y′′+2y′+2y = 2x3−2, n3y′′−4ny = 8, y(4) +5y′′+4y = 3 sin x,y′′′ − 3y′′ + 3y′ − y = ex, jeweils mit Probe


23. Welcher der obigen Differentialgleichungen lassen sich (besser) mithilfe derLaplace-Transformation lösen?


Lösungder Übungsaufgaben zur mehrdimensionalen Analysisund zu Differentialgleichungen

1. Untersuche Stetigkeit und partielle Differenzierbarkeit der Funktionen z =f(x, y) = x+y und z = g(x, y) = x2+y2. Stelle die Funktionen in geeigneterWeise graphisch dar.f und g sind als Summen auf ganz R2 stetiger bzw. partiell differenzierbarerFunktionen wieder auf ganz R2 stetig bzw. partiell differenzierbar.

2. Ist z = f(x, y) = sin(x+y)x+y in (0, 0) stetig ergänzbar? Was gilt für die (parti-

ellen) Ableitungen?f kann durch f(w,−w) := 1 in ~w = (w,−w) stetig ergänzt werden: f istdann auch in ~w stetig: da erstens für jede Folge ~an = (xn, yn)→ ~w die Folgexn + yn eine Nullfolge ist und da zweitens g(x) = sinx

xdurch g(0) := 1 in

0 stetig ergänzt werden kann, folgt limn→∞ f(an) = limn→∞ g(xn + yn) =g(0) = 1.Für x + y 6= 0 ist ∂f

∂x= cos(x+y) (x+y)−sin(x+y)

(x+y)2 = ∂f∂y

nicht stetig ergänzbar in~w.

3. Bestimme das totale Differential dz = ∂f∂xdx + ∂f

∂ydy für die Funktionen

z = f1(x, y) = x + y, z = f2(x, y) = xy, z = f3(x, y) = x2 + y2 undz = f4(x, y) = x sin y − y sin x.df1 = dx + dy, df2 = y dx + x dy, df3 = 2x dx + 2y dy, df4 = (sin y −y cosx)dx+ (x cos y − sin x)dy.

4. Für z = f(x, y) = x2 + 3xy + 5y2 mit x = sin t und y = cos t bestimmez(t) = dz

dt(t). Führe eine Probe durch.

dfdt

= ∂f∂x

dxdt

+ ∂f∂x

dxdt

= (2x+3y) cos t−(3x+10y) sin t = (2 sin t+3 cos t) cos t−(3 sin t+ 10 cos t) sin t = −8 sin t cos t+ 3 cos2 t− 3 sin2 t.Probe: Mit g(t) = f(x(t), y(t)) = sin2 t + 3 sin t cos t + 5 cos2 t ist g′(t) =2 sin t cos t+3 cos2 t−3 sin2 t−10 cos t sin t = −8 sin t cos t+3 cos2 t−3 sin2 t.√

5. Bestimme die Richtungsableitungen von z = f(x, y) = y ex in (0, 3) fürθ = 30o und θ = 120o.Der Tangenten-Einheitsvektor zu θ = 30o = π

6 ist ~v = (cos π6 , sin

π6 ) =

(√

32 ,

12). Dann gilt ∂f

∂~v(0, 3) = vxfx(0, 3) + vyfy(0, 3) =

√3

2 3e0 + 12e

0 = 3√

3+12 .

Der Tangenten-Einheitsvektor zu θ = 120o = 23π ist ~v = (− cos π

3 , sinπ3 )

= (−12 ,√

32 ). Dann gilt ∂f

∂~v(0, 3) = vxfx(0, 3) + vyfy(0, 3) = −1

23e0 +√

32 e

0 =−3+

√3

2 .

6. Entwickle die Funktion z = f(x, y) = sin x cos y in ihr Taylor-Polynomdritten Grades um ~0.


f(x, y)≈ f(0, 0) + ∂f∂xx+ ∂f

∂yy + 1

2∂2f∂x2x

2 + ∂2f∂y∂x

xy + 12∂2f∂y2 y

2

+16∂3f∂x3x

3 + 12

∂3f∂y∂x2x

2y + 12

∂3f∂y2∂x

xy2 + 16∂3f∂y3 y

3

= 0 + cosx cos y|(0,0)x− sin x sin y|(0,0)y − 12 sin x cos y|(0,0)x

2

− cosx sin y|(0,0)xy − 12 sin x cos y|(0,0)y

2 − 16 cosx cos y|(0,0)x

3

+12 sin x sin y|(0,0)x

2y− 12 cosx cos y|(0,0)xy

2+ 16 sin x sin y|(0,0)y

3

= x− 16x

3 − 12xy

2 .

7. Untersuche z = f(x, y) = x2 + y2 − 4x+ 6y + 25 auf Extremwertstellen.Notwendig ist ∂f

∂x= 2x− 4 = 0 und ∂f

∂y= 2y+ 6 = 0, d.h. (xe, ye) = (2,−3).

Da fxxfyy − (fxy)2 = 2 · 2 − 0 = 4 > 0 ist (2,−3) Extremwertstelle undwegen fxx = fyy = 2 > 0 hat f in (2,−3) ein lokales Minimum.

8. Welcher Punkt der Ebene 2x−y+2z = 16 ist dem Ursprung am nächsten?Überprüfe das Ergebnis anhand der Hesse’schen Normalform.Gesucht ist der Punkt (x, y, z) der Ebene, also mit 2x − y + 2z = 16, sodaß√x2 + y2 + z2 oder ebenso x2 + y2 + z2 minimal ist. Es ist also die

Stelle (xmin, zmin) des Minimums von f(x, z) = x2 + (2x+ 2z − 16)2 + z2 =5x2−64x+8xz−64z+5z2 zu bestimmen. Dafür ist ∂f

∂x= 10x−64+8z = 0

und ∂f∂x

= 10z − 64 + 8x = 0 notwendig. Lösung des linearen Gleichungs-systemes liefert (xmin, zmin) = 32

9 (1, 1). Der gesuchte Ort der Ebene ist also169 (2,−1, 2).Probe: Die Hesse’sche Normalform ist 1

9(2,−1, 2)·(x, y, z) = 169 mit der Nor-

malen (2,−1, 2). Wegen t(4 + 1 + 4) = 16 ist der Fußpunkt der Normalendamit 16

9 (2,−1, 2).

9. Bestimme den Gradienten der Funktionen f1(x, y) = x2+xy+y2, f2(x, y) =x3 − 3xy + y3, f3(x, y) = y + x cos(xy) und f4 = cosx sin y.Mit grad fi = (∂ fi

∂x, ∂ fi∂x

) gilt grad f1 = (2x + y, 2y + x), grad f2 = (3x2 −3y, 3y2 − 3x), grad f3 = (cos(xy) − xy sin(xy), 1 − x2 sin(xy)), grad f4 =(− sin x sin y, cosx cos y)

10. Für Kurven ~r(t) und ~s(t) zeige ddt

(~r(t) · ~s(t)) = d~r(t)dt· ~s(t) + ~r(t) · d~s(t)

dtund

ddt

(~r(t)× ~s(t)) = d~r(t)dt× ~s(t) + ~r(t)× d~s(t)

dt.

ddt

(~r(t) · ~s(t)) = ddt

(rx(t)sx(t) + ry(t)sy(t) + rz(t)sz(t)) = d rxsx(t)dt

+ d rysy(t)dt

+d rzsz(t)

dt= rxsx(t) + rxsx(t) + rysy(t) + rysy(t) + rzsz(t) + rz sz(t) = d~r(t)

dt·

~s(t) + ~r(t) · d~s(t)dt

.


ddt

(~r(t)× ~s(t)) = ddt

∣∣∣∣∣∣∣~ex ~ey ~ezrx ry rzsx sy sz

∣∣∣∣∣∣∣= d

dt(rysz(t)− rzsy(t)− (rxsz(t)− rzsx(t)) + rxsy(t)− rysx(t))

= rysz(t) + rysz(t)− rzsy(t)− rz sy(t)− (rxsz(t) + rxsz(t)−rzsx(t)− rz sx(t)) + rxsy(t) + rxsy(t)− rysx(t)− rysx(t)

= (rysz(t)− rzsy(t)− (rxsz(t)− rzsx(t)) + rxsy(t)− rysx(t))+(rysz(t)− rz sy(t)− (rxsz(t)− rz sx(t)) + rxsy(t)− rysx(t))

=

∣∣∣∣∣∣∣~ex ~ey ~ezrx ry rzsx sy sz

∣∣∣∣∣∣∣+∣∣∣∣∣∣∣~ex ~ey ~ezrx ry rzsx sy sz

∣∣∣∣∣∣∣= d~r(t)dt× ~s(t) + ~r(t)× d~s(t)

dt.

11. Für Kurven ~p(t), ~q(t) und ~r(t) zeige d ~p·(~q×~r)dt

= d ~pdt·(~q×~r)+~p ·(d ~q

dt×~r)+~p ·(~q×d~r

dt)

und d ~p×(~q×~r)dt

= d ~pdt× (~q × ~r) + ~p× (d ~q

dt× ~r) + ~p× (~q × d~r

dt).

d ~p·(~q×~r)dt

= d ~pdt· (~q × ~r)+~p · d ~p·(~q×~r)

dt= d ~p

dt· (~q×~r)+~p · (d ~q

dt×~r)+~p · (~q× d~r

dt),

d ~p×(~q×~r)dt

= d ~pdt× (~q × ~r) + ~p× d ~q×~r

dt

= d ~pdt× (~q × ~r) + ~p× (d ~q

dt× ~r) + ~p× (~q × d~r

dt) .

12. Bestimme die Richtungsableitung von f(x, y) = x2− 6y2 in (7, 2) für θ = π4

unter Verwendung von ∇f . Bestimme das Maximum der Richtungsablei-tung.Für den Einheitsvektor ~v = (cos π

4 , sinπ4 ) =

√2

2 (1, 1) gilt ∂ f∂~v

(7, 2) = ∇f ·~v =fx vx + fy vy =

√2

2 (2x|(7,2) − 12y|(7,2)) =√

2(7− 12) = −5√

2.Für die Einheitsvektoren ~v = (cosϕ, sinϕ) gilt ∂ f

∂~v(7, 2) = 2x|(7,2) cosϕ −

12y|(7,2) sinϕ = 14 cosϕ− 24 sinϕ mit einem (lokalen) Maximum fürddϕ

(∂ f∂~v

(7, 2)) = −14 sinϕ − 24 cosϕ = 0 oder 49 sin2 ϕ = 144(1 − sin2 ϕ),d.h. ϕ = arcsin 12√

193 . ????

13. Für ~f(x, y, z) = (x + yz, y + zx, z + xy) bestimme∫Ci~f(~r) · d~r für die drei

Wege Ci von ~0 nach (1, 1, 1) wie im Skript.Mit der Parametrisierung r1(t) = t(1, 1, 1) für t ∈ [0, 1] gilt

∫C1~f · d~r =∫ 1

0 (t+ t2, t+ t2, t+ t2) · (1, 1, 1)dt =∫ 1

0 3(t+ t2)dt = 3(12t

2 + 13t

3)|10 = 52 .

Mit der Parametrisierung r1(t) = (t, t2, t3) für t ∈ [0, 1] gilt∫C2~f · d~r =∫ 1

0 (t + t5, t2 + t4, 2t3) · (1, 2t, 3t2)dt =∫ 1

0 (t + t5 + 2t3 + 2t5 + 6t5)dt =∫ 10 (t+ 2t3 + 9t5)dt = (1

2t2 + 1

2t4 + 3

2t6)|10 = 5

2 .Mit den Parametrisierungen r31(t) = t(1, 0, 0) für C31, r32(t) = (1, 0, 0) +t(0, 1, 0) für C32 und r33(t) = (1, 1, 0)+t(0, 0, 1) für C33 und jeweils t ∈ [0, 1]gilt

∫C3~f · d~r =

∫C31

~f · d~r+∫C32

~f · d~r+∫C33

~f · d~r =∫ 1

0 (t, 0, 0) · (1, 0, 0)dt+∫ 10 (1, t, t) · (0, 1, 0)dt +

∫ 10 (1 + t, 1 + t, t + 1) · (0, 0, 1)dt =

∫ 10 t dt +

∫ 10 t dt +∫ 1

0 (t+ 1)dt = 12 + 1

2 + 12 + 1 = 5

2 .Die Integrale sind unabhängig vom Integrationsweg, weil ~f eine Stammfunk-tion hat: die Funktion F (x, y, z) = 1

2(x2 + y2 + z2) + xyz wegen gradF =(∂F∂x, ∂F∂y, ∂F∂z

) = (x+ yz, y + zx, z + xy) = ~f eine Stammfunktion von ~f ist.


14. Sei f mindestens zweimal (partiell) differenzierbar. Zeige ∇ × (∇f) = 0,∇ · (∇× ~f) = 0 und ∇ · ∇f = ( ∂2

∂x2 + ∂2

∂y2 + ∂2

∂z2 )f .

Mit Nabla ∇ = ~ex∂∂x

+ ~ey∂∂y

+ ~ez∂∂z

gilt ∇ × (∇f) =

∣∣∣∣∣∣∣∣~ex ~ey ~ez∂∂x

∂∂y

∂∂z

∂ f∂x

∂ f∂y

∂ f∂z

∣∣∣∣∣∣∣∣ =

( ∂∂y

∂ f∂z− ∂

∂z∂ f∂y

) − ( ∂∂x

∂ f∂z− ∂

∂z∂ f∂x

) + ( ∂∂x

∂ f∂y− ∂

∂y∂ f∂x

) = wegen Schwarz =(fyz − fzy)− (fxz − fzx) + (fxy − fxy) = 0− 0 + 0 = 0,Für ~f = (u, v, w) mit Komponenten u, v und w gilt∇·(∇×f) = ( ∂

∂x, ∂∂y, ∂∂z

)·∣∣∣∣∣∣∣~ex ~ey ~ez∂∂x

∂∂y

∂∂z

u v w

∣∣∣∣∣∣∣ = ∂∂x

(wy − vz) + ∂∂y

(−wx + uz) + ∂∂z

(vx − uy) = (wyx − vzx)−

(wxy − uzy) + (vxz − yyz) = wegen Schwarz = 0

15. Bestimme die Fläche des Kegelabschnittes x2 + y2 = 3z2 für z > 0, derinnerhalb des Zylinders x2 + y2 − 4y = 0 liegt.Zunächst ist x2 + y2 − 4y + 4 = 4 der Zylinder mit dem Kreis um (0, 2)mit Radius 2 als Grundfläche. Mit f(x, y) = 1√

3

√x2 + y2 gilt also |A| =

4∫ 2

0∫ 2+

√4−x2

2

√1 + (∂f

∂x)2 + (∂f

∂y)2dy dx. Da ∂f

∂x=√

33

x√x2+y2

, ∂f∂y

=√

33

y√x2+y2

folgt |A| = 4∫ 20∫ 2+

√4−x2

2

√1 + 1

3x2+y2

x2+y2dy dx = 4∫ 2

0∫ 2+

√4−x2

223

√3dy dx =

4∫ 2

023

√3√

4− x2dx. Mit der Substitution x = 2 sin u und dx = 2 cosu dufolgt |A| = 16√

3∫ π/2

0 cos2 u du = 8√3(u− sin u cosu)|π/20 = 4√

3π.

16. Schüttgut in einem rechteckigen Kasten, d.h. in einem Silo mit Grund-fläche [−xo, xo] × [−yo, yo], bildet eine kegelförmige Oberfläche aus, gege-ben durch f(x, y) = h − c

√x2 + y2 für die Füllhöhe h und eine Material-

Konstante c. Bestimme das Volumen V =∫ yo−yo

∫ xo−xo f(x, y) dx dy der Silo-

Füllung. Es gilt somit V =∫ yo−yo(

∫ xo−xo(h − c

√x2 + y2) dx)dy = 4hxoyo −∫ yo

−yo(2cy∫ xo

0

√x2

y2 + 1 dx)dy. Mit der Substitution x = y sinh u und daherdx = y cosh u du gilt für das Integral I = −(V − 4hxoyo)I = c

∫ yo−yo(2y

2∫ arsinh xoy

0

√sinh2(u)+1 cosh u du)dy

= c∫ yo−yo(2y

2 ∫ arsinh xoy

0 cosh2 u dx)dy = c∫ yo−yo(y

2(u+ sinh u cosh u)|arsinh xo

y

0 )dy

= c∫ yo−yo y

2(arsinh xoy

+ xoy

√1 + x2

o

y2 )dy = c∫ yo−yo(y

2 arsinh xoy

+ xo√y2 + x2

o)dy– da der erste Summand ungerade ist – mit der Substitution y = xo sinh vund dy = xo cosh v dv eben gleich cx2

o

∫ yo−yo

√1 + y2

x2ody = cx2

o

∫ yo0 2

√1 + y2

x2ody

= cx3o

∫ arsinh yoxo

0 2√

1 + sinh2 v cosh v dv = cx3o

∫ arsinh yoxo

0 2 cosh2 v dv

= cx3o(v+sinh v cosh v)|arsinh yo

xo0 = c(x3

o arsinh yoxo

+xoyo√x2o + y2

o). Insgesamtist also V = 4hxoyo − c(x3

o arsinh yoxo

+ xoyo√x2o + y2

o).

17. Verifiziere den Gauß’schen Integralsatz an folgendem Beispiel: Gegeben das


Vektorfeld ~V : R3 → R3 mit ~V (~r) = |~r|2~r für ~r = (x, y, z) und als BereichB der Einheitswürfel B = {(x, y, z) : 0 ≤ x, y, z ≤ 1}.a) Bestimme eine Parameterdarstellung für jede der sechs Seiten des Ein-heitswürfels, also für die Oberfläche A von B.Die Seite Bx=0 = {~r = (0, y, z) : 0 ≤ y, z ≤ 1} ist der Schnitt von B mitder Ebene x = 0, die Seite Bx=1 = {~r = (1, y, z) : 0 ≤ y, z ≤ 1} ist derSchnitt von B mit der Ebene x = 1, usw.b) Berechne

∫∫A=∂B

~V · d ~A, wobei die Flächen-Normalen nach außen weisen(Igel). Nutze die Symmetrie.Es gilt Φx=0 :=

∫∫A=Bx=0

~V · d ~A = −∫ 1

0∫ 1

0 |(0, y, z)|2(0, y, z) · ~ez dy dz =

−∫ 10∫ 1

0 0 dy dz = 0 und Φx=1 :=∫∫

A=Bx=1

~V · d ~A =∫ 1

0∫ 10 |(1, y, z)|2(1, y, z) ·

~ez dy dz =∫ 10∫ 1

0 (1 + y2 + z2) dy dz =∫ 1

0 ((1 + z2)y + y3/3)|10 dz =∫ 1

0 (43 +

z2) dz = (53 + z3/3)|10 = 5

3 . Dasselbe ergibt sich für die anderen beidenSeiten-Paare. Also gilt Φ = Φx=0,1 + Φy=0,1 + Φz=0,1 = 5.c) Berechne

∫∫∫B

div ~V (x, y, z) dx dy dz und vergleiche mit∫∫

A=∂B~V · d ~A aus

Teil b).Da div ~V (~r) = 5|~r|2, ist

∫∫∫B

div ~V dB =∫ 10∫ 1

0∫ 10 5(x2 + y2 + z2) dx dy dz

= 5∫∫∫B

1 dB = 5, also fünf mal Volumen des Einheitswürfels, womit derGaußsche Integralsatz für dieses Beispiel verifiziert ist.

18. Löse durch Trennung der Veränderlicheny′x3 = 2y, also ln y =

∫ dyy

= 2∫ dxx3 = −1

x2 + c, so daß y = ce−1/x2 folgt.Probe: y′x3 = ce−1/x2 2

x3 = 2y.√

(x2 + x)y′ = 2y + 1, also 12 ln(2y + 1) =

∫ dy2y+1 =

∫ dxx(x+1) (per Partial-

bruchzerlegung) =∫

( 1x− 1

x+1)dx = ln x− ln(x+ 1) + c = ln xx+1 + c, so daß

2y + 1 = c x2

(x+1)2 oder y = c x2

(x+1)2 − 12 folgt.

Probe: (x2 + x)y′ = x(x+ 1)c 2 xx+1

1(x+1)2 = 2y + 1.

√

y′√a2 + x2 = y, also ln y =

∫ dyy

=∫ dx√

a2+x2 = arsinh xa

+ c, so daß y =c earsinh x

a folgt.Probe: y′

√a2 + x2 = earsinh x

a1√

1+(xa

)21a

√a2 + x2 = y.

√

(1 + x2)y′ + 1 + y2 = 0, also arctan y =∫ dy

1+y2 =∫ dx

1+x2 = arctan x + c, sodaß y = tan(c− arctan x) folgt.Probe: (1 + x2)(1 + tan2(c − arctan x)) −1

1+x2 + 1 + tan2(c − arctan x) =(1 + x2)y′ + 1 + y2 = 0.

√

r′ + r tanϕ = 0, also ln r =∫ dr

r= −

∫tanϕdϕ = ln cosϕ + c, so daß

r = −c cosϕ folgt.Probe: r′+r tanϕ = −c sinϕ+c cosϕ tanϕ = −c sinϕ+c sinϕ = 0.

√


y′ = 2√y ln x, also 2√y =∫ dy√

y= 2

∫ln x dx = 2(x ln x − x + c), so daß

y = (x ln x− x+ c)2 folgt.Probe: y′ = 2(x ln x− x+ c) ln x = 2√y ln x.

√

(1 + x2)y′ + y√

1 + x2 = xy, also (1 + x2)y′ = y(x −√

1 + x2) und ln y =∫ dyy

=∫ x−

√1+x2

1+x2 dx =∫ x dx

1+x2 −∫ dx√

1+x2 = 12 ln(1 + x2) − arsinh x + c =

ln√

1 + x2 − ln(x +√

1 + x2) + c = ln√

1+x2

x+√

1+x2 + c, so daß y = c√

1+x2

x+√

1+x2

folgt.

Probe: (1 + x2)y′ + y√

1 + x2 = (1 + x2)cx√

1+x2(x+√

1+x2)−√

1+x2(1+ x√1+x2

)

(x+√

1+x2)2 +

c√

1+x2

x+√

1+x2

√1 + x2 = (1+x2)c

(x+√

1+x2)2 ( x2√

1+x2 −√

1 + x2) + c (1+x2)(x+√

1+x2)(x+√

1+x2)2

= (1+x2)c(x+√

1+x2)2 ( x2√

1+x2 + x) = (1+x2)c(x+√

1+x2)2 (x2+x√

1+x2√1+x2 ) = x c

√1+x2

x+√

1+x2 = xy.√

y′ + xy = xy3, also∫ dyy(y2−1) =

∫x dx, so daß y = 1√

1−cpex2folgt.

Probe: y′ + xy = c2ex2x√

1−c2ex23 + x 1−c2ex2√

1−c2ex23 = x√

1−c2ex23 = xy3.

√

(1− x2)y′ − xy = xy2, also ln yy+1 =

∫ dyy(y+1) =

∫ x dx1−x2 = 1

2 ln(1− x2) + c, sodaß y = 1

c√

1−x2−1 folgt.

Probe: (1−x2)y′−xy = (1−x2)cx√1−x2

(c√

1−x2−1)2 − xc√

1−x2−1 = x(c√

1−x2−1)2 = xy2.√

19. Löse durch Substitution z = yx:

xy′ + 2√xy = y, also xz′ = −2√z mit z = (cp − ln x)2 und daher y =

x(cp − ln x)2.Probe: xy′ + 2√xy = x(cp − ln x)2 − 2x(cp − ln x) + 2

√x2(cp − ln x)2 =

x(cp − ln x)2.√

y′ = y2

x2 − yx, also xz′ = z2 − 2z mit z = 2

1−cx2 und daher y = 2x1−cx2 .

Probe: y′ = 21−cx2 + 2x2cx

(1−cx2)2 = 4cx2

(1−cx2)2 + 41−cx2 − 2

1−cx2 = 4cx2+4−4cx2

(1−cx2)2 − yx

=y2

x2 − yx.

√

20. Löse durch Variation der Konstanten:y′ + xy

a2+x2 = 1a2+x2 mit yhom = c√

a2+x2 und y = arsinh xa

+cp√a2+x2 .

Probe: y′ + xya2+x2 =

1

a

√1+(xa )2

√a2+x2 −

(arsinh xa

+cp)x√a2+x23 + x(arsinh x

a+cp)√

a2+x2 = 1a2+x2 .

√

(2x+ 1)y′ + y = x mit yhom = c√2x+1 und y = x−1

3 + cp√2x+1 .

Probe: (2x+ 1)y′ + y = (2x+ 1)(13 −

cp√2x+13 ) + x−1

3 + cp√2x+1 =

(2x+ 1)(√

2x+13−3cp3√

2x+13 ) + (x−1)√

2x+13+3cp(2x+1)3√

2x+13 = 3x√

2x+13

3√

2x+13 = x.√

y′ − y tan x = cot x mit yhom = ccosx , eingesetzt

c′

cosx + c sinxcos2 x

− ccosx tan x =

cotx, also c′ = cosx cotx mit c=∫ dx

sinx −∫

sin x dx= cosx + ln tan x2 + cp,

da (ln tan x2 )′ = 1+tan2 x

2tan x2

12 = 1

2( cos x2sin x2

+ sin x2cos x2

) = 12 sin x2 cos x2

= 1sinx , und Lsg.


y = 1 + ln tan x2 +cpcosx .

Probe: y′ − y tan x =1

sin xcosx + ln tan x2 +cp

cos2 xsin x − tan x − ln tan x2 +cp

cos2 xsin x =

1sinx cosx −

sinxcosx = cotx.

√

xy′ − 2y = x3 ln x mit yhom = c x2 und y = (ln x− 1)x3 + cqx2.

Probe: xy′ − 2y = x( 1xx3 + 3(ln x− 1)x2 + 2cqx)− 2(ln x− 1)x3 − 2cqx2 =

x3 + x3(ln x− 1) = x3 ln x.√

y′ + y cosx = sin(2x) mit yhom = c e− sinx und y = 2 sin x− 2 + cp e− sinx.

Probe:y′+y cosx = 2 cos x−cpe− sinx cosx+2 sin x cosx−2 cosx+cpe− sinx cosx =sin(2x).

√

3y2y′ + y3 = x+ 1 mit yhom = c e−13x und y = 3

√x+ cpe−x.

Probe: y2(3y′+y) = 3√x+cpe−x

2( 1−cpe−x

3√x+cpe−x

2 + x+cpe−x3√x+cpe−x

2 ) = 1+x.√

21. Löse die folgenden homogenen DGl mit konstanten Koeffizienten:y′′+3y′+2y = 0 hat p(b) = b2 +3b+2 = 0 mit Nullstellen b1 = −3

2 + 12 = −1

und b2 = −32 −

12 = −2 und der Lsg. y = c1e

−x + c2e−2x

Probe: y′′ + 3y′ + 2y = (c1−3c1+2c1)e−x + (4c2−6c2+2c2)e−2x = 0.√

y′′ + 2ay′ + a2y = 0 hat p(b) = b2 + 2ab + a2 = (b + a)2 mit doppelterNullstelle b = −a und der Lsg. y = (c1x+ co)e−axProbe: (y′′+2ay′+a2y)eax = (a2c1x−2ac1 +a2co)+ 2a(−ac1x+ c1−aco)+a2(c1x+ co) = 0.

√

y′′ + 2y′ + 5y = 0 hat p(b) = b2 + 2b + 5 mit Nullstellen b1 = −1 + 2j undb2 = −1− 2j und Lsg. y = e−x(c1 cos(2x) + j c2 sin(2x))Probe: Da (−3 cos(2x)+4 sin(2x))−2(cos(2x)+2 sin(2x))+5 cos(2x) = 0 iste−x cos(2x) Lsg.. Ebenso ist e−x sin(2x) Lsg., da (−4 cos(2x)− 3 sin(2x)) +2(2 cos(2x)− sin(2x)) + 5 sin(2x) = 0.

√

y′′ − 2y′ − 3y = 0 hat p(b) = b2 − 2b− 3 mit Nullstellen b1 = 1 + 2 = 3 undb2 = 1− 2 = −1 und Lsg. y = c1e

3x + c2e−x

Probe: y′′ − 2y′ − 3y = (9c1 − 6c1 − 3c1)e3x + (c2 + 2c2 − 3c2)e−x = 0.√

y′′+ 2y′+ 3y = 0 hat p(b) = b2 + 2b+ 3 mit Nullstellen b1 = −1 + j√

2 undb2 = −1− j

√2 und Lsg. y = e−x(cos(

√2x) + j sin(

√2x))

Probe: Da (− cos(√

2x) + 2√

2 sin(√

2x)) + 2(− cos(√

2x)−√

2 sin(√

2x)) +3 cos(

√2x) = 0 ist e−x cos(

√2x) eine Lsg., eine andere Lsg. ist e−x sin(

√2x),

da (−2√

2 cos(√

2x)−sin(√

2x))+2(√

2 cos(√

2x)−sin(√

2x))+3 sin(√

2x) =0 gilt.

√

y′′′− 3y′′+ 4y = 0 hat p(b) = b3− 3b2 + 4 mit Nullstellen b0,1 = 2 (doppelt)und b2 = −1 und Lsg. y = (c1x+ co)e2x + c2e

−x

Probe: y′′′ − 3y′′ + 4y = (8c1x + 12c1 + 8co)e2x − c2e−x − 3(4c1x + 4c1 +

4co)e2x − 3c2ex + 4(c1x+ co)e2x + 4c2e

x = 0.√

y(4)− 3y′′− 4y = 0 hat p(x) = b4− 3b2− 4 mit Nullstellen b1 = 2, b2 = −2,b3 = j und b4 = −j und Lsg. y = c1e

2x + c2e−2x + c3 cosx+ j c4 sin x


Probe: c1e2x + c2e

−2x ist Lsg., da (16c1 − 12c1 − 4c1)e2x + (16c2 − 12c2 −4c2)e−2x = 0. Ebenso ist cosx Lsg., da cosx+ 3 cosx− 4 cosx = 0. Ebensoist sin x Lsg., da sin x+ 3 sin x− 4 sin x = 0.

√

y(4) +8y′′+16y = 0 hat p(b) = b4 +8b2 +16 mit jeweils doppelten Nullstellenb1,2 = 2j und b3,4 = −2j, also die konjugierten Nullstellen 2j und −2jdoppelt, und Lsg. y = c1 cos(2x) + jc2 sin(2x) + c3x cos(2x) + jc4x sin(2x)Probe: cos(2x) ist Lsg., da 16 cos(2x)−32 cos(2x)+16 cos(2x) = 0. Zweitensist sin(2x) Lsg., da 16 sin(2x) − 32 sin(2x) + 16 sin(2x) = 0. Drittens istx cos(2x) Lsg., da (32 sin(2x) + 16x cos(2x)) + 8(−4 sin(2x)− 4x cos(2x)) +16x cos(2x) = 0. Viertens ist x sin(2x) Lsg., da (−32 cos(2x)+16x sin(2x))+8(4 cos(2x)− 4x sin(2x)) + 16x sin(2x) = 0 gilt.

√

22. Löse die folgenden inhomogenen DGl mit konstanten Koeffizienten:y′′+ y′− 2y = 6x2, die homogene DGl y′′+ y′− 2y = 0 hat p(b) = b2 + b− 2mit Nullstellen b1 = −1

2 + 32 = 1 und b2 = −1

2 −32 = −2 und Lsg. yhom =

c1ex + c2e

−2x.Der Ansatz ys = d2x

2 + d1x + do liefert aus 2d2 + 2d2x + d1 − 2d2x2 −

2d1x − 2do = 6x2 per Koeffizientenvergleich −2d2 = 6, also d2 = −3,2d2− 2d1 = −6− 2d1 = 0, also d1 = −3 und 2d2 +d1− 2do = −9− 2do = 0,also do = −4.5.Probe: y′′s + y′s − 2ys = −6 + (−6x− 3)− 2(−3x2 − 3x− 4.5) = 6x2.

√

y′′ − 5y′ + 6y = 13 sin(3x), die homogene DGl y′′ − 5y′ + 6y = 0 hatp(b) = b2 − 5b + 6 mit Nullstellen b1 = 5

2 + 12 = 3 und b2 = 5

2 −12 = 2 und

Lsg. yhom = c1e3x + c2e

2x.Der Ansatz ys = d1 cos(3x)+d2 sin(3x) liefert (−9d1 cos(3x)−9d2 sin(3x))−5(−3d1 sin(3x) + 3d2 cos(3x)) + 6(d1 cos(3x) + d2 sin(3x)) = (−9d1− 15d2 +6d1) cos(3x)+(−9d2−15d1 +6d2) sin(3x) = 13 sin(3x) per Koeffizientenver-gleich d1 + 5d2 = 0 und −15d1− 3d2 = 13, also d1 = −5d2 und −78d2 = 13bzw. d2 = −1

6 und d1 = 56 .

Probe: y′′s−5y′s+6ys = (−152 cos(3x)+ 3

2 sin(3x))−5(−52 sin(3x)− 1

2 cos(3x))+6(5

6 cos(3x)− 16 sin(3x) = 13 sin(3x).

√

y′′+ 2y′+ y = ex, die homogene DGl y′′+ 2y′+ y = 0 hat p(b) = b2 + 2b+ 1mit doppelter Nullstelle b = −1 und Lsg. yhom = (c1x+ co)e−x.Der Ansatz ys = dex liefert (d+ 2d+ d)ex = ex, also d = 1

4 .Probe: y′′s + 2y′s + ys = (1 + 2 + 1)1

4ex = ex.

√

y′′ + y′ + 2.5y = 25 cos(2x), die homogene DGl y′′ + y′ + 2.5y = 0 hatp(b) = b2 + b+ 2.5 mit Nullstellen b1 = −1

2 + j 32 und b2 = −1

2 − j32 und Lsg.

yhom = e−12x(c1 cos(3

2x) + c2 sin(32x)).

Der Ansatz ys = d1 cos(2x)+d2 sin(2x) liefert (−4d1 cos(2x)−4d2 sin(2x))+(−2d1 sin(2x) + 2d2 cos(2x)) + 2.5(d1 cos(2x) + d2 sin(2x)) =(−1.5d1 + 2d2) cos(2x) + (−1.5d2 − 2d1) sin(2x) = 25 cos(2x) per Koeffizi-entenvergleich 2d1 + 1.5d2 = 0 und −1.5d1 + 2d2 = 25, also d1 = −3

4d2 und(9

8 + 2)d2 = 258 d2 = 25 oder eben d2 = 8 und d1 = −6.


Probe: y′′s +y′s+2.5ys = (24 cos(2x)−32 sin(2x))+(12 sin(2x)+16 cos(2x))+2.5(−6 cos(2x) + 8 sin(2x)) = 25 cos(2x).

√

y′′ + 2y′ + 2y = 2x3 − 2, die homogene DGl y′′ + 2y′ + 2y = 0 hat p(b) =b2 + 2b+ 2 mit Nullstellen b1 = −1 + j und b2 = −1− j und die ’homogene’Lösungsgesamtheit yhom = e−x(c1 cosx+ jc2 sin x).Der Ansatz ys = d3x

3 + d2x2 + d1x+ do liefert aus (6d3x+ 2d2) + 2(3d3x

2 +2d2x+d1)+2(d3x

3 +d2x2 +d1x+do) = 2d3x

3 +(6d3 +2d2)x2 +(6d3 +4d2 +2d1)x + (2d2 + 2d1 + 2do) = 2x3 − 2 per Koeffizientenvergleich d3 = 1 und6d3 + 2d2 = 6 + 2d2 = 0, also d2 = −3, und 6d3 + 4d2 + 2d1 = −6 + 2d1 = 0,also d1 = 3, und 2d2 + 2d1 + 2do = 2do = −2, also do = −1.Probe: y′′s+2y′s+2y = (6x−6)+2(3x2−6x+3)+2(x3−3x2+3x− 1) = 2x3−2.

√

n3y′′ − 4ny = 8, die homogene DGl n3y′′ − 4ny = 0 hat p(b) = b2 − 4n2 mit

Nullstellen b1 = 2nund b2 = − 2

nund Lösung yhom = c1e

2nx + c2e

− 2nx.

Der Ansatz ys = do liefert aus 0− 4ndo = 8 also do = − 2n.

Probe: n3y′′s − 4nys = 8.√

y(4) + 5y′′ + 4y = 3 sin x, die homogene DGl y(4) + 5y′′ + 4y = 0 hatp(b) = b4 + 5b2 + 4 mit Nullstellen b1 = j, b2 = −j, b3 = 2j und b4 = −2jund Lösung y = c1 cosx+ jc2 sin x+ c3 cos(2x) + jc4 sin(2x).Der übliche Ansatz ys = d1 cosx + d2 sin x liegt in der ‘homogenen’ Lö-sungsmenge und liefert daher keine spezielle Lösung. Der neue Ansatz ys =d1x cosx+d2x sin x liefert aus (d1x−4d2) cosx+(d2x+4d1) sin x+5(−d1x+2d2) cosx+5(−d2x−2d1) sin x+4d1x cosx+4d2x sin x = 6d2 cosx−6d1 sin x= 3 sin x per Koeffizientenvergleich d2 = 0 und d1 = −1

2 und damit einespezielle Lsg. ys = −1

2x cosx.Probe: y(4)

s + 5y′′s + 4ys = −12((4 sin x + x cosx) + 5(−2 sin x − x cosx) +

4x cosx) = 3 sin x.√

y′′′ − 3y′′ + 3y′ − y = ex, die homogene DGl y′′′ − 3y′′ + 3y′ − y = 0 hatp(b) = b3 − 3b2 + 3b − 1 mit dreifacher Nullstelle b = 1 und ’homogene’Lösungsgesamtheit yhom = (c2x

2 + c1x+ co)ex.Der übliche Ansatz ys = dex liegt in der ‘homogenen’ Lösungsmenge undliefert daher keine spezielle Lösung. Der neue Ansatz ys = dx3ex liefert ausd((x3 + 9x2 + 18x+ 6)− 3(x3 + 6x2 + 6x) + 3(x3 + 3x2)−x3)ex = 6dex = ex

sofort d = 16 und damit eine spezielle Lsg. ys = 1

6x3ex.

Probe: y′′′s − 3y′′s + 3y′s − ys = 16((x3 + 9x2 + 18x+ 6)− 3(x3 + 6x2 + 6x) +

3(x3 + 3x2)− x3)ex = ex.√

23. Transformation und Rücktransformation müssen durchführbar sein. Das istsicher für lineare Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten derFall, für die die Laplace-Transformierte der rechten Seite explizit angebbarist. Rücktransformieren ist dann durch Faltung möglich.

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Mathematik: œbungen