Mathematik (September 2016) - st-angela.de · Schulinternes Curriculum im Fach Mathematik 3 Ab Klasse 6 setzen wird Computerprogramme wie GEOGEBRA oder EXCEL ein. Diese Programme

Schulinternes Curriculum im Fach Mathematik

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Mathematik (September 2016) 1. Präambel 2. Grundlagen der Leistungsbewertung 3. Hausaufgaben-Konzept 4. Lehrbücher und Medien 5. Curriculum Jahrgangsstufe 5 6. Curriculum Jahrgangsstufe 6 7. Curriculum Jahrgangsstufe 7 8. Curriculum Jahrgangsstufe 8 9. Curriculum Jahrgangsstufe 9 10. Curriculum Jahrgangsstufe 10 / EF 11. Curriculum Jahrgangsstufe 11 / Q1 12. Curriculum Jahrgangsstufe 12 / Q2 13. Projekte


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1. Präambel

Ziele des Mathematikunterrichtes1 Im Mathematikunterricht der Sekundarstufe I sollen die Schülerinnen und Schüler ...

Erscheinungen aus Natur, Gesellschaft , Kultur und Technik mit Hilfe der Mathematik

verstehen und modellhaft Lösungen finden, (Mathematik als Anwendung)

Mathematik als „Sprache“ verstehen“, die mit ihr eigenen Bezeichnungen, Symbolen und

Bildern Sachverhalte darstellt, (Mathematik als Struktur)

in mathematischen Fragestellungen auch über das Fach hinaus Kompetenzen in anderen

Bereichen erwerben (Mathematik als kreatives Handlungsfeld)

In der Auseinandersetzung mit der Mathematikunterricht und darüber hinaus sollen die Schülerinnen und Schüler

das mathematische Wissen miteinander entwickeln und kooperativ Probleme lösen.

Verantwortung für das eigene Lernen übernehmen und ihr Lernen bewusst steuern.

auch fachübergreifende Kompetenzen erwerben, wie das Problemlösen, das Strukturieren

von komplexen Problemen, das Nutzen von Modellen und Werkzeugen, das sachgerechte

Argumentieren und das Präsentieren von Ideen und Ergebnissen.

Sie werden im Sinne eines wissenschaftspropädeutischen Vorgehens vor allem in Leistungskursen auf das Studium mit Inhalten aus der Mathematik vorbreitet. Ziele unserer Schule Den im Schulprogramm ausgewiesenen Zielen, Schülerinnen und Schüler ihren Begabungen und Neigungen entsprechend individuell zu fördern und ihnen Orientierung für ihren weiteren Lebensweg zu bieten, fühlt sich die Fachgruppe Mathematik in besonderer Weise verpflichtet:

Die Schülerinnen und Schüler sollen Mathematik erfolgreich erlernen und sich ihrer adäquat bedienen. Wir wollen sie auf diesem Weg führen, sie ermutigen und ihnen helfen, Schwierigkeiten zu überwinden und besondere Leistungen zu erbringen. In der Klasse 5 greifen wir das in der Grundschule Erlernte auf, gleichen die unterschiedlichen Voraussetzungen an und vertiefen die Inhalte. Ein Schwerpunkt liegt hier in der Entwicklung angemessener Arbeitsformen, einer sorgfältigen Arbeitsweise, einer angemessenen Dokumentation der Lernergebnisse und der sachgerechten Nutzung von Werkzeugen. Uns ist wichtig, dass die Schülerinnen und Schüler Freude haben beim Erlernen der Mathematik, dass sie gemeinsam lernen und dass sie sich gegenseitig unterstützen. Mit zunehmendem Alter sollen sie ihr eigenes Lernen dabei immer bewusster steuern und verantworten. In der Einführungsphase kommen Schüler aus anderen Schulformen, vor allem von den umliegenden Realschulen, an unsere Schule. Diese Schüler werden in Kursen unterrichtet, denen eine zusätzliche Wochenstunde in Mathematik erteilt wird. Dadurch wird die Angleichung der Lernvoraussetzungen für die Qualifikationsphase vorangetrieben. Das schulinterne Curriculum beruht auf den Kernlehrplänen des Landes NRW. Es wird fortlaufend überdacht und angepasst. Einsatz von Werkzeugen

1 vgl. http://www.standardsicherung.schulministerium.nrw.de/lehrplaene/lehrplannavigator-s-i/gymnasium-

g8/mathematik-g8/kernlehrplan-mathematik/aufgaben-ziele/aufgaben-und-ziele.html


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Ab Klasse 6 setzen wird Computerprogramme wie GEOGEBRA oder EXCEL ein. Diese Programme sind im Computerraum auf allen Rechnern verfügbar. In der Klasse 7 führen wir einen wissenschaftlichen Taschenrechner ein und setzen ihn regelmäßig auch in Klassenarbeiten ein. Das Rechnen ohne Taschenrechner wird weiterhin gefordert und gefördert. In der Oberstufe benutzen wir den grafikfähigen Taschenrechner TI Nspire CX. Zentrale Erhebungen und Prüfungen In der Klasse 8 machen wir die Schülerinnen und Schüler mit den Aufgabenformaten der zentralen Lernstandserhebungen vertraut. Die Ergebnisse der Lernstandserhebungen werden von uns analysiert und zur Reflexion unseres Unterrichts genutzt. In der Einführungsphase bereiten wir die Schülerinnen und Schüler durch geeignetes zusätzliches Aufgabenmaterial auf die Zentralklausuren am Ende des Jahres vor. In der Qualifikationsphase streben wir das erfolgreiche Abschneiden der Lerngruppen im Zentralabitur an. Die bisherigen Ergebnisse ermutigen uns, auf diesem Weg fortzufahren. Förderung Zur Zeit wird der Unterricht überwiegend in Doppelstunden erteilt. Wir nutzen im Unterricht in Übungsphasen verstärkt die Möglichkeit, Schülern individuell zu helfen und von Mitschülern helfen zu lassen. Im Rahmen des Förderplanes unserer Schule erhalten Schülerinnen und Schülern der Sek I bei Bedarf während des 2. Schulhalbjahres zweistündigen Förderunterricht. Die jeweiligen Fachlehrer stimmen die Förderinhalte mit dem Förderlehrer ab. Quereinsteiger (Schülerinnen und Schüler aus anderen Schulformen) werden in der Einführungsphase in Kursen unterrichtet, denen eine zusätzliche Wochenstunde in Mathematik zur Verfügung steht.


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2. Grundlagen der Leistungsbewertung

Leistungskonzept im Fach Mathematik In den einzelnen Unterrichtsstunden, in individuellen Unterrichtsbeiträgen, wie z.B. Referaten oder Lernplakaten in der Zusammenarbeit mit Mitschülerinnen und Mitschülern und in den schriftlichen Arbeiten, also Klassenarbeiten und Klausuren erbringen die Schülerinnen und Schüler vielfältige Formen von Leistungen. Die daraus resultierenden Noten geben den Schülerinnen und Schülern und den Eltern Auskunft über den momentanen Leistungsstand, über Stärken und Defizite. Die Lehrerinnen und Lehrern gewinnen dabei Erkenntnisse über Lernfortschritte und passen ihren Unterricht den Bedürfnissen der Lerngruppe an. Erfolge sollen den Schülerinnen und Schülern besonders mitgeteilt werden und sie zum Weiterlernen ermutigen. Auf Defizite in der Leistung werden sie frühzeitig hingewiesen und ihnen werden Möglichkeiten zur Verbesserung der Leistungen aufgezeigt.

Klassenarbeiten und Klausuren In den Klassenarbeiten und Klausuren sollen die Schülerinnen und Schüler in schriftlicher Form die im Unterricht erworbenen Kenntnisse und Fertigkeiten nachweisen können. Sie werden frühzeitig angekündigt, angemessen vorbereitet und in ihren Erwartungen klar formuliert. Inhaltlich geht es dabei aber nicht nur um Reproduktion des im Unterricht Gelernten, sondern zunehmend mit dem Alter auch immer mehr um Begründungen, Darstellungen von Zusammenhängen und kritischen Reflexionen.2 In der Oberstufe passen sich die Klausuren inhaltlich und in der Form zunehmend den Aufgabenformaten des Zentralabiturs an. Die in den einzelnen Jahrgangsstufen unterrichtenden Lehrerinnen und Lehrer treffen Absprachen über Inhalte und Umfang von Klassenarbeiten und Klausuren und sorgen für einheitliche Standards.


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Jahrgangsstufe Anzahl der

Klassenarbeite im 1. Halbjahr

Zeit/Ustd Anzahl der

Klassenarbeiten im 2. Halbjahr

Zeit/Ustd

5 3 1 3 1

6 3 1 3 1

7 3 1 3 1

8 3 1 2 + Lernstandserhebung 83 1

9 2 1 2 oder 3 1 -2

EF 2 2 1 + Zentralklausur 2

Q1 2 GK 2 LK 3 2 GK 2 LK 3

Q2 2 Gk 3 LK 4/5

1 + Abiturklausur Gk 3 LK 4/5

Bewertung Die Bewertung von Klassenarbeiten und Klausuren erfolgt in der Sek. I nach einem Punkteschema, bei der die Note ausreichend erteilt wird, wenn annähernd die Hälfte der zu erwartenden Gesamtleistung erbracht wird. Die Korrektur erfolgt so, dass die individuellen Fehler, sowie deren Gewichtung nachvollziehbar sind. Die Punktvergabe in der SI orientiert sich dabei an folgendem Schema

Note sehr gut gut befriedigend ausreichend mangelhaft ungenügend

Prozentzahl der Punkte

100%-87% 86%-73% 72%-59% 58%-45% 44%-23% 22%-0%

Je nach Schwierigkeitsgrad kann die Punktvergabe nach Ermessen des Lehrers/der Lehrerin jedoch davon geringfügig abweichen. In der Sek. II orientiert sich die Punktvergabe an der Vorlage des Zentralabiturs:

Note 1+ 1 1- 2+ 2 2- 3+ 3 3- 4+ 4 4- 5+ 5 5- 6

Punkte 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0

Prozent 100%-95%

90%-94%

85%-89%

80%-84%

75%-79%

70%-74%

65%-69%

60%-64%

55%-59%

50%-54%

45%-49%

40%-44%

34%-39%

27%-33%

20%-26%

0%-19%

3 Die Lernstandserhebungen werden nicht benotet und nicht in die Leistungsbeurteilung einbezogen.


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Sonstige Leistungen im Unterricht Sonstige Leistungen im Unterricht sind die mündlichen Beiträge, das angemessene Führen von Heften und Mitschriften, die Beiträge bei Partner- und Gruppenarbeiten, das Vorrechnen an der Tafel, das Vortragen von Hausaufgaben, das Halten von Referaten, kurze schriftliche Überprüfungen, Protokolle u.ä. Sie sollen bei der gesamten Leistungsbewertung den gleichen Stellenwert wie die schriftlichen Arbeiten haben. Dabei sind nicht nur die inhaltlichen Kompetenzen, also der Erwerb von Fertigkeiten in Algebra, in Geometrie und in Stochastik, sondern in gleicher Weise auch die prozessbezogenen Kompetenzen, also im Argumentieren/Kommunizieren, im Problemlösen, im Modellieren und im Gebrauch von Werkzeugen zu beurteilen. Als Orientierungspunkte für die Notenvergabe in der Sek. I können die folgenden Kriterien zur Erteilung der Noten „gut“ bzw. „ausreichend“ dienen.

Leistungskriterien für die mündlichen Leistungen in der Sek. I

Note „ gut“ „Die Leistung entspricht in vollem Umfang den Anforderungen“

Note „ausreichend“ „Die Leistung weist zwar Mängel auf, entspricht im Ganzen aber noch den Anforderungen“

Inhaltsbezogene Kompetenzen:

Übungsaufgaben können im Wesentlichen selbständig und vollständig gelöst werden. Im Mündlichen gibt es regelmäßige, freiwillige, weiterführende Beiträge zum Unterricht. Es sind Kenntnisse aus früheren Stoffgebieten abrufbar. Hausaufgaben werden im Zusammenhang und weitgehend richtig vorgetragen. Das Arbeiten ist selbständig.

Aufgaben werden häufiger fehlerhaft gelöst, grundsätzliche Lösungswege werden aber beherrscht. Es gibt gelegentliche, freiwillige Mitarbeit im Unterricht. Die Äußerungen beschränken sich auf die Wiedergabe einfacher Zusammenhänge und auf das unmittelbar im Unterricht behandelte Stoffgebiet und sind im Wesentlichen richtig. Das Arbeiten ist oft nicht selbständig.

Argumentieren/Kommunizieren:

Die Fachsprache wird altersgemäß beherrscht und im Wesentlichen richtig verwendet. In Partner/Gruppenarbeiten zeigt sich Teamfähigkeit und es werden konstruktive Beiträge erbracht. Ergebnisse werden im Zusammenhang und strukturiert vorgetragen.

Die Fachsprache wird in Ansätzen, aber nicht immer richtig verwendet. Die Mitarbeit in Partner/Gruppenarbeiten ist meist reproduktiv, aber nicht destruktiv. Die Beiträge sind von geringem Umfang. Ergebnisse werden nur zögernd und nach Aufforderung vorgetragen.

Problemlösen:

Mathematische Problemstellungen werden weitgehend erkannt, Lösungsschritte werden systematisch gegangen, Ergebnisse werden auf Plausibilität und Richtigkeit reflektiert.

Lösungsansätze werden häufig nicht selbst gefunden, es bedarf immer wieder Hilfestellungen. Ergebnisse werden nur ansatzweise reflektiert.

Modellieren:

Es ist die Fähigkeit vorhanden, mathematische Probleme in Modellen (Terme, Figuren, Diagramme) darzustellen und Modellen eine Realsituation zuzuordnen.

Die Übertragung von mathematischen Problemen in Modelle gelingt in Ansätzen und/oder nur unter Anleitung.

Werkzeuge:

Hilfsmittel wie Geodreieck, Zirkel, Taschenrechner, Formelsammlungen sind präsent und werden selbständig und sicher

Hilfsmittel stehen öfter nicht zur Verfügung, der Umgang damit ist nicht sicher, gelingt aber mit Hilfen.


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genutzt. Präsentationsmedien (auch Computerprogramme) werden altersgemäß genutzt. Ergebnisse werden angemessen dokumentiert. Das Schulbuch und andere Medien werden selbständig zum Nachschlagen und Wiederholen verwendet.

Präsentationsmedien werden eher selten genutzt. Computerprogramme werden nur in geübten Aufgabenstellungen verwendet. Die Heftführung ist beschränkt sich auf das Notwendigste. Schulbuch und andere Medien werden im Wesentlichen nur nach Aufforderung und bei gezielten Aufgabenstellungen genutzt.

3. Hausaufgaben-Konzept s. Hausaufgabenkonzept des Erzb. St.-Angela-Gymnasiums vom 23. Juni 2010).


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4. Lehrbücher und Medien Klasse Lehrbuch Sonstige Medien

5 Elemente der Mathematik (Schroedel) ISBN 978-3-507-87440-4

Arbeitsheft EdM


Arbeitsheft EdM


Arbeitsheft EdM wissenschaftl. Taschenrechner empfohlen: Casio FX 82 DE plus


Arbeitsheft EdM


Arbeitsheft EdM

EF Elemente der Mathematik Einführungsphase (ab Schj. 2014/15) ISBN 978-3-507-87980-5

Grafikfähiger Taschenrechner TI Nspire CX

Q1 und Q2 Elemente der Mathematik Qualifikationsphase Grundkurs ISBN 978-3-507-87982-9 Leistungskurs ISBN 978-3-507-87991-1

Grafikfähiger Taschenrechner TI Nspire CX


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Jahrgangsstufe 5 Unterrichtsvorhaben

Prozessbezogene Kompetenzen Absprachen und Empfehlungen Argumentieren/

Kommunizieren Lesen, Verbalisieren, Präsentieren, Vernetzen, Begründen

Problemlösen Erkunden, Lösen, Reflektieren

Modellieren Mathematisieren, Validieren, Realisieren

Werkzeuge Konstruieren, Validieren, Realisieren

1. Natürliche Zahlen und Größen 2. Rechnen mit natürlichen Zahlen 3. Körper und Figuren 4. Flächen- und Rauminhalte 5. Anteile-Brüche

Die folgenden Kompetenzen werden immer angestrebt:

Argumentieren/Kommunizieren

Die Schülerinnen und Schüler wenden ihre bisher erworbenen Fähigkeiten an, um Informationen aus einfachen

Texten und Bildern zu entnehmen.

werden in den Übungsaufgaben durchgängig angehalten, schriftliche

Stellungnahmen (z.B.„Was meinst du dazu?“, „Beschreibe dein Vorgehen“) zu

formulieren (Detektiv-Aufgaben).

arbeiten in Partner- und Teamarbeit und tauschen sich über verschiedene

Lösungswegen und Fehler aus.

Problemlösen

Die Schülerinnen und Schüler werden stets angehalten, Ergebnisse in Bezug auf die Problemstellung zu deuten

und zu veranschaulichen.

Modellieren

Die Schülerinnen und Schüler kontrollieren erhaltene Ergebnisse an der behandelten Realsituation.

Werkzeuge

Die Schülerinnen und Schüler nutzen Präsentationsmedien (z. B. Folie, Plakat, Tafel).

dokumentieren ihre Arbeit, ihre eigenen Lernwege und aus dem Unterricht

erwachsene Merksätze und Ergebnisse

nutzen selbst erstellte Dokumente und das Schulbuch zum Nachschlagen.

Die Fachlehrer einer Jahrgangsstufe arbeiten soweit es geht parallel. Sie tauschen sich aus über das verwendete Arbeitsmaterial, über Methoden und Defizite, über die Terminierung und die Inhalte von Klassenarbeiten. Sie tauschen sich mit dem jeweiligen Förderlehrer aus. Absprache: In der Jgst. 5 wird in allen Klassen verbindlich das Arbeitsheft zum Lehrbúch eingeführt und regelmäßig verwendet.


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Jahrgangsstufe 5/Unterrichtsvorhaben 1: „Natürliche Zahlen und Größen“

Inhaltliche Schwerpunkte Darstellung von Daten; große Zahlen; Zweiersystem; Römische Zahlzeichen; Zahlen am Zahlenstrahl; Runden von Zahlen; Größen und ihre Einheit; Maßstab; Darstellung von Größen in Säulendiagrammen

Inhaltsbezogene Kompetenzen






Arithmetik/Algebra

Die Schülerinnen und Schüler

stellen ganze Zahlen auf verschiedene Weise dar

(Zahlengerade, Zifferndarstellung, Stellenwerttafel, Wortform).

stellen Größen in Sachsituationen mit geeigneten Einheiten dar

ordnen, vergleichen und runden natürliche Zahlen.

Funktionen


stellen Beziehungen zwischen Zahlen und zwischen Größen in

Tabellen und Diagrammen dar.

Stochastik


erheben Daten und fassen sie in Ur- und Strichlisten

zusammen.

stellen Häufigkeitstabellen zusammen und veranschaulichen

diese mithilfe von Säulendiagrammen.

lesen und interpretieren statistische Daten.

Argumentieren/ Kommunizieren


ziehen Informationen aus mathematikhaltigen Darstellungen (Text, Bild, Tabelle,

Graph), strukturieren und bewerten sie.

arbeiten bei Lösungen von Problemen im Team.

sprechen über eigene und vorgegebene Lösungswege, Ergebnisse und

Darstellungen, finden und erklären und korrigieren Fehler.

Problemlösen


geben inner- und außermathematische Problemstellungen in eigenen Worten

wieder und entnehmen ihnen die relevanten Größen.

finden in einfachen Problemsituationen mögliche mathematische Fragestellungen.

Modellieren


übersetzen Situationen aus Sachaufgaben in mathematische Modelle (Diagramm).

ordnen einem mathematischen Modell eine passende Realsituation zu.

Werkzeuge

Die Schülerinnen und Schüler nutzen Lineal und Geodreieck zum Messen und genauen Zeichnen.


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Jahrgangsstufe 5/Unterrichtsvorhaben 2: „Rechnen mit natürlichen Zahlen“

Inhaltliche Schwerpunkte Addieren und Subtrahieren; Multiplizieren und Dividieren; Terme, Rechengesetze; Potenzieren; Variable und Gleichungen; Teiler und Vielfache; Teilbarkeitsregeln







Arithmetik/Algebra


stellen Rechnungen mit natürlichen Zahlen auf verschiedene

Weise dar (Zahlengerade, Stellenwerttafel).

führen Grundrechenarten aus (Kopfrechnen und schriftliche

Rechenverfahren).

wenden ihre arithmetischen Kenntnisse von Zahlen und

Größen an, nutzen Strategien für Rechenvorteile, Techniken

des Überschlagens und die Probe als Rechenkontrolle.

bestimmen Teiler und Vielfache natürlicher Zahlen und

wenden Teilbarkeitsregeln an.

zeichnen Rechenbäume und Pfeilbilder zur Veranschaulichung

von Rechnungen.

Funktionen


erkunden Muster in Beziehungen zwischen Zahlen und stellen

Vermutungen auf.



entnehmen Informationen aus einfachen Texten, Bildern und Tabellen.

erläutern mathematische Sachverhalte, Begriffe, Regeln und Verfahren mit eigenen Worten und geeigneten Fachbegriffen.

Problemlösen

Die Schülerinnen und Schüler ermitteln Näherungswerte für erwartete Ergebnisse durch Schätzen und

Überschlagen.

erkennen und nutzen Rechenvorteile.

Deuten Ergebnisse in Bezug auf die Problemstellung.

Modellieren


Übersetzen Situationen aus Sachaufgaben in mathematische Modelle (z. B.

Terme).


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Jahrgangsstufe 5/Unterrichtsvorhaben 3: „Körper und Figuren“

Inhaltliche Schwerpunkte Ecken, Kanten und Flächen von Körpern; Umfang und Diagonale von Vielecken; Koordinatensystem; Beziehungen zwischen Geraden, Netz und Schrägbild von Quader und Würfel







Arithmetik/Algebra


bestimmen Anzahlen auf systematische Weise.

Funktionen


nutzen gängige Maßstabsverhältnisse.

Geometrie


verwenden die Grundbegriffe parallel, senkrecht zur

Beschreibung ebener Figuren.

benennen und charakterisieren Figuren und Grundkörper und

identifiziere sie in ihrer Umwelt.

zeichnen grundlegende ebene Figuren und Muster auch in

ebene Koordinatensysteme (1. Quadrant).

skizzieren Schrägbilder, entwerfen Netze von Würfeln und

Quadern und stellen Körper her.



nutzen geometrische Grundbegriffe zur Beschreibung ebener und räumlicher

Figuren.

erläutern mathematische Sachverhalte, Begriffe, Regeln und Verfahren mit

eigenen Worten und geeigneten Fachbegriffen.

präsentiere Ideen und Ergebnisse in kurzen Beiträgen.

setzen Begriffe an Beispielen miteinander in Beziehung (z.B. Quadrat und

Rechteck; Länge und Umfang).

Problemlösen

Die Schülerinnen und Schüler nutzen elementare mathematische Regeln und Verfahren (Messen, Rechnen,

Schätzen).

Modellieren


überprüfen im mathematischen Modell gewonnene Lösungen an der

Realsituation.

Werkzeuge



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Jahrgangsstufe 5/Unterrichtsvorhaben 4: „Flächen und Rauminhalte“

Inhaltliche Schwerpunkte Flächeninhalt, Umfang; Längen-, Flächen- und Volumeneinheiten; Volumen und Oberfläche von Quadern







Arithmetik/Algebra


stellen Größen in geeigneten Einheiten dar (Längen, Flächen,

Volumina).

vergleichen und ordnen Ergebnisse von Flächen- und

Volumenberechnungen.

führen Grundrechenarten bei der Berechnung von Flächen- und

Volumenberechnungen aus und nutzen Rechenvorteile.

Geometrie


benennen und charakterisieren Figuren und Grundkörper und

identifiziere sie in ihrer Umwelt.

schätzen und bestimmen Flächen und Volumina von Quadern

und daraus zusammengesetzten Figuren.



erläutern mathematische Sachverhalte, Begriffe, Regeln und Verfahren mit

eigenen Worten und geeigneten Fachbegriffen.

präsentiere Ideen und Ergebnisse in kurzen Beiträgen.

setzen Begriffe an Beispielen miteinander in Beziehung (z.B. Quadrat und

Rechteck; Länge und Umfang) und begründen Zusammenhänge zwischen

verschiedenen Einheiten.

Problemlösen


nutzen elementare mathematische Regeln und Verfahren (Messen, Rechnen,

Schätzen) zur Bestimmung von Flächeninhalten und Volumina.

wenden Strategien zur Flächen- und Voluminaberechnung an

Modellieren


übersetzen Situationen aus Sachaufgaben in mathematische Modelle und

Aufgabenstellungen.

Werkzeuge



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Jahrgangsstufe 5/Unterrichtsvorhaben 5: „Brüche“

Inhaltliche Schwerpunkte Brüche, Anteile an einem Ganzen, unechte Brüche, Brüche in gemischter Schreibweise, Erweitern und Kürzen







Arithmetik/Algebra


stellen einfache Bruchteile auf verschiedene Weise dar:

handelnd, zeichnerisch an verschiedenen Objekten, durch

Zahlensymbole und als Punkt auf der Zahlengerade.

deuten sie als Größen, Operatoren und Verhältnisse.

nutzen das Grundprinzip des Kürzens und Erweiterns von

Brüchen als Vergröbern bzw. Verfeinern der Einteilung

ordnen und vergleichen Zahlen.

Funktionen


stellen Beziehungen zwischen Zahlen und zwischen Größen in

Diagrammen her.



geben Informationen aus einfachen mathematikhaltigen Darstellungen (Text,

Bild, Alltagsgegenstände) mit eigenen Worten wieder.

erläutern und begründen mathematische Sachverhalte (Gleichwertigkeit

verschiedener Brüche).

Problemlösen


geben inner- und außermathematische Problemstellungen in eigenen Worten

wieder und entnehmen ihnen die relevanten Größen (z. B. Bruchdarstellungen im

Alltag).

vergleichen verschiedene Darstellungen einer Zahl miteinander.

wenden Strategien zur Bestimmung von Anteilen und des Ganzen an.

Modellieren


übersetzen Situationen aus Sachaufgaben in mathematische Modelle (z.B. Figuren

zur zeichnerischen Darstellung von Brüchen).

Überprüfen die im mathematischen Modell gewonnenen Lösungen an der

Realsituation.


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Werkzeuge


nutzen Lineal und Geodreieck zum Messen und genauen Zeichnen von

Bruchteilen.


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Jahrgangsstufe 6

Unterrichtsvorhaben






1. Gebrochene Zahlen 2. Kreis-Winkel-Symmetrie 3. Dezimalbrüche 4. Berechnungen an Vielecken 5. Multiplizieren und Dividieren von Brüchen 6. Statistische Daten 7. Ganze Zahlen

Die folgenden Kompetenzen werden immer angestrebt: Argumentieren/Kommunizieren

Die Schülerinnen und Schüler…

wenden ihre bisher erworbenen Fähigkeiten an, um Informationen aus einfachen

Texten und Bildern zu entnehmen. werden in den Übungsaufgaben durchgängig

angehalten, schriftliche Stellungnahmen (z.B.„Was meinst du dazu?“,

„Beschreibe dein Vorgehen“) zu formulieren (Detektiv-Aufgaben).


Lösungswege und Fehlern aus.

Problemlösen


werden stets angehalten, Ergebnisse in Bezug auf die Problemstellung zu deuten


Modellieren

Die Schülerinnen und Schüler… kontrollieren erhaltene Ergebnisse an der behandelten Realsituation.

Die Fachlehrer einer Jahrgangsstufe arbeiten soweit es geht parallel. Sie tauschen sich aus über das verwendete Arbeitsmaterial, über Methoden und Defizite, über die Terminierung und die Inhalte von Klassenarbeiten. Sie tauschen sich mit dem jeweiligen Förderlehrer aus. Absprache: In der Jgst. 6 wird in allen Klassen verbind-lich das Arbeitsheft zum Lehrbúch ein-geführt und regel-mäßig verwendet.


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Jahrgangsstufe 6/Unterrichtsvorhaben 1: „Gebrochene Zahlen“

Inhaltliche Schwerpunkte Gebrochene Zahlen, Addition und Subtraktion, Vervielfachen und Teilen







Arithmetik/Algebra


stellen gebrochene Zahlen auf der Zahlengeraden dar

deuten Mischungs- und Teilverhältnisse als Brüche und

umgekehrt.

nutzen das Grundprinzip des Kürzens und Erweiterns

vergleichen, ordnen und runden Brüche

addieren, subtrahieren, vervielfachen und teilen Brüche

nutzen Rechenvorteile beim Berechnen, verwenden

Überschlag und Probe zur Kontrolle bei Berechnungen

wenden das Kommutativ- und Assoziativgesetz

der Addition an



arbeiten mit Gebrochenen Zahlen in unterschiedlichen Darstellungsformen und

bauen auf ihren Kenntnissen aus Klasse 5 auf,

beschreiben mathematische Beobachtungen, finden Beispiele und Gegenbeispiele.

Problemlösen


verwenden das Regelwerk der Bruchrechnung zum Bearbeiten von

Sachsituationen,

verwenden die Problemlösestrategie „Beispiele finden“.

Die Regeln bieten

sich zur

Darstellung auf

Plakaten an.

Im

MATHEKOFFER

gibt es Material

zum Darstellen von

Brüchen.

Messbecher aus der

Physiksammlung

können genutzt

werden


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Geometrie


arbeiten mit geometrischen Figuren zur Veranschaulichung

der Rechenoperationen mit Brüchen.

zeichnen einfache geometrische Figuren zu gegebenen

Operationen mit Brüchen.

schätzen und bestimmen Bruchteile

Modellieren

Die Schülerinnen und Schüler… übertragen Sachsituationen in Terme und grafische Darstellungen zu Bruchteilen,

kontrollieren erhaltene Ergebnisse an der behandelten Realsituation,

finden zu gegebenen Termen geeignete Realsituationen „Rechengeschichten“),

Werkzeuge


fertigen grafische Darstellungen zu Termen mit Bruchteilen an und arbeiten am

Zahlenstrahl

Empfehlenswert

sind die

Bruchrechenscheib

e und die

Geobretter aus dem

Arbeitsheft 6 zur

Darstellung von

Brüchen!


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Jahrgangsstufe 6/Unterrichtsvorhaben 2 : „Kreis-Winkel-Symmetrie“

Inhaltliche Schwerpunkte Kreis, Winkel, Symmetrien Inhaltsbezogene Kompetenzen

Prozessbezogene Kompetenzen Bemerkungen

Argumentieren/ Kommunizieren Lesen,

Verbalisieren,

Präsentieren,

Vernetzen,

Begründen

Problemlösen Erkunden, Lösen,

Reflektieren

Modellieren Mathematisieren,

Validieren,

Realisieren

Werkzeuge Konstruieren,

Validieren,

Realisieren

Arithmetik/Algebra


stellen Bruchteile mithilfe des Mittelpunktwinkels in

Kreisdiagrammen dar

vergleichen, ordnen und runden Winkelgrößen

Funktionen


stellen Daten in einfachen Fällen in Kreisdiagrammen dar

entnehmen Informationen aus Tabellen und Kreisdiagrammen

arbeiten zur Längenbestimmung mit maßstabsgetreuen

Darstellungen



stellen die Beziehungen zwischen Symmetrien und Abbildungen her

fertigen zu verschiedenen Situationen aus der Umwelt geometrische Figuren an

kontrollieren erhaltene Ergebnisse an der behandelten Realsituation

finden zu geometrischen Figuren passende Objekte in ihrer Umwelt.

Empfehlung::

Plakate mit den

Symmetrieeigen-

schaften und

Symmetrieabbil-

dungen aus der

Umwelt anfertigen

lassen.

Im

MATHEKOFFER

Raum und Form

findet sich gutes

Spielmaterial zu

den Symmetrien.


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Geometrie


verwenden geometrische Grundbegriffe zu Winkel, Kreis und

Symmetrie zur Beschreibung ebener und räumlicher Figuren

auch aus ihrer Umwelt.

zeichnen Winkel

zeichnen Kreise, besondere Dreiecke und Muster

spiegeln und verschieben einfache geometrische Figuren, auch

im Koordinatensystem.

schätzen und bestimmen Winkelgrößen

Modellieren


Die Schüler(innen) beschreiben mathematische Beobachtungen, finden Beispiele

und Gegenbeispiele. In einfachen Fällen geben sie auch Begründungen, z.B. bei

den Eigenschaften von Abbildungen.

Werkzeuge


fertigen Zeichnungen mit Geodreieck, Lineal und einem Dynamischen

Geometriesystem (GEOGEBRA) an.

Es sollte auch

besonderen Wert

auf räumliche

Symmetrien gelegt

werden! (z.B.

Bauen von

symmetrischen

Körpern mit dem

MATHEKOFFER

oder

Systembausteinen

Hier bietet sich

besonders der

Einstieg in die

Arbeit mit

GEOGEBRA an.


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Jahrgangsstufe 6/Unterrichtsvorhaben 3 : „Dezimalbrüche“

Inhaltliche Schwerpunkte Dezimalschreibweise, Vergleichen, Ordnen und Runden; Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division




Problemlösen Erkunden, Lösen,

Reflektieren



Arithmetik/Algebra


stellen endliche Dezimalbrüche am Zahlenstrahl und in der

Stellentafel dar; sie notieren sie auch mit gebrochenen Zahlen

und als Prozent.

vergleichen, ordnen und runden endliche Dezimalbrüche.

führen Grundrechenarten mit endlichen Dezimalbrüchen

schriftlich und im Kopf durch.

nutzen Rechenvorteile

nutzen Überschlag und Probe zur Kontrolle von Ergebnisse

Funktionen


stellen Daten mit Dezimalbrüchen in Säulendiagrammen dar.

entnehmen Informationen zu Sachzusammenhängen aus

Tabellen und Diagrammen als Grundlage für Berechnungen.

arbeiten mit einem geeigneten Maßstab bei Säulendiagrammen

zu Dezimalbrüchen.

zeichnen Diagramme zu Dezimalbrüchen



erläutern ihren Mitschülern eigene Ergebnisse, fertigen ggf. Plakate dazu an.

stellen Beziehungen zwischen Dezimalbrüchen und gebrochenen Zahlen

einschließlich ihrer geometrischen Darstellungen her.

beschreiben mathematische Beobachtungen, finden Beispiele und Gegenbeispiele.

In einfachen Fällen geben sie auch Begründungen.

Modellieren

Die Schülerinnen und Schüler… übertragen Problemstellungen aus Sachsituationen in mathematische Modelle wie

Terme

kontrollieren erhaltene Ergebnisse an der behandelten Realsituation.

erfinden Realsituationen zu vorgegebenen Termen und Diagrammen.

Werkzeuge


arbeiten bei grafischen Darstellungen mit Geodreieck und Lineal.

Blickpunkt:

Planung einer

Klassenfahrt eignet

sich gut, um einen

Sachzusammen-

hang herzustellen

Plakate mit

Musteraufgeben zu

den

Grundrechenarten,

Kommaverschie-

Weiterhin

empfohlen:

Messung im

Klassenraum und

auf dem

Schulgelände

Wichtig:

Kopfrechnen mit


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Geometrie


schätzen und bestimmen Längen, Flächeninhalte und Volumina

mit Dezimalbrüchen als Maßzahlen.

Dezimalzahlen

üben!


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Jahrgangsstufe 6/Unterrichtsvorhaben 4: „Berechnungen an Vielecken“

Inhaltliche Schwerpunkte Flächeninhalt eines Dreiecks, eines Parallelogramms, eines Trapezes







Arithmetik/Algebra


stellen Größen in Sachsituationen mit geeigneten Einheiten dar

vergleichen, ordnen und runden Ergebnisse von Flächen-

berechnungen

führen Grundrechenarten bei der Berechnung von Flächen-

inhalten aus.

berechnen Terme unter Ausnutzung von Rechenvorteilen.

nutzen Überschlag und Probe zur Kontrolle von Ergebnissen.

Funktionen



Abbildungen.

arbeiten mit Maßstäben und Formeln

Geometrie


benennen und charakterisieren Figuren (Dreiecke, Parallelo-

gramme und Trapeze) und identifizieren sie in ihrer Umwelt.

zeichnen die Grundfiguren Dreieck, Parallelogramm und Trapez im Zusammenhang mit Berechnungen, auch im


erläutern ihren Mitschülern eigene Ergebnisse, fertigen Plakate dazu an.

stellen Beziehungen zwischen Berechnung des Flächeninhalts von Rechtecken

und von Parallelogrammen her sowie von Rechtecken und Dreiecken.

Werkzeuge

fertigen Zeichnungen mit Geodreieck und Lineal an und übertragen Zeichnungen

nach vorgegebenem Maßstab.

stellen Ergebnisse auf Plakaten dar.

Problemlösen

werden stets angehalten, Ergebnisse in Bezug auf die Problemstellung zu deuten


Modellieren


Als Lernplakat eignet sich eine Übersicht über die Flächen mit den Formeln Zusätzliches Trainingsmaterial mit Lösungen zu den Flächenberechnungen


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Koordinatensystem.

schätzen und bestimmen Längen, Umfänge und Flächeninhalte


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Jahrgangsstufe 6/Unterrichtsvorhaben 5 : „Multiplizieren und Dividieren von Brüchen“

Inhaltliche Schwerpunkte Multiplizieren und Dividieren von Brüchen; Rechnen mit Brüchen und Dezimalbrüchen







Arithmetik/Algebra


stellen Brüche als Teile von Flächen dar, um Rechenregeln zu

gewinnen

vergleichen, ordnen und runden Ergebnisse von Berechnungen

mit Brüchen

multiplizieren und dividieren Brüche, berechnen Terme mit

Bruchzahlen

berechnen Terme unter Ausnutzung von Rechenvorteilen

nutzen Überschlag und Probe zur Kontrolle von Ergebnissen

nutzen Beziehungen zwischen Größen in einer Doppelskala

Funktionen



Diagrammen

arbeiten mit Maßstäben, die mithilfe von Bruchzahlen

beschrieben werden

Geometrie





Texten und Bildern zu entnehmen

erläutern ihren Mitschülern eigene Ergebnisse, fertigen ggf. Plakate dazu an

wechseln geschickt zwischen verschiedenen Darstellungsformen von

Bruchzahlen: gebrochene Zahl – Dezimalbruch – geometrische

Veranschaulichung.

beschreiben mathematische Beobachtungen, finden Beispiele und Gegenbeispiele,

geben in einfachen Fällen Begründungen.

Problemlösen


lösen Probleme durch Messen und Rechnen

ermitteln Näherungswerte durch Schätzen und Überschlagen.

Modellieren

Die Schülerinnen und Schüler… bearbeiten Fragestellungen zu Sachsituationen mithilfe von Termen, Figuren und

Diagrammen


ordnen Termen eine geeignete Realsituation zu (z.B.: „Erfinde eine

Lernplakate zu den

Regeln

In diesem Kapitel

sollte man

besonders Wert auf

Anwendungs-

aufgaben legen.

Falls genügend Zeit

ist, sollte man auf

die Dichte der

Bruchzahlen

eingehen.

Auch das

Umwandlungs-

verfahren von

periodischen

Brüchen in Dezimalbrüche

sollte , wenn

möglich


26

arbeiten mit einfachen geometrischen Figuren zur

Veranschaulichung der Multiplikation von Brüchen

zeichnen Kreise, einfache Vielecke und Körper im

Zusammenhang mit Berechnungen

schätzen und bestimmen Bruchteile, Längen, Umfänge,

Flächeninhalte und Volumina

Rechengeschichte zu ....“)

Werkzeuge


fertigen verschiedene grafische Darstellungen zu Termen mit Geodreieck und

Lineal an.

stellen Ergebnisse im Heft, an der Tafel und auf Plakaten dar.

exemplarisch

durchgeführt

werden .

Im Abschnitt Auf

den Punkt gebracht

(S. 194 f) werden

die bisher

angewandten und

angesprochenen

Problemlösestrategi

en „Beispiele

finden“ und

„Überprüfen durch

Probieren“

systematisiert.


27

Jahrgangsstufe 6/Unterrichtsvorhaben 6: „Statistische Daten“

Inhaltliche Schwerpunkte abs. und rel. Häufigkeit; Diagramme; statistische Kenndaten







Arithmetik/Algebra


beschreiben Anteile mit Brüchen und in Prozent und stellen

diese mit Diagrammen dar.

ordnen und vergleichen Anteile bei statistischen Erhebungen.

rechnen mit Anteilen.

überschlagen Anteile, verwenden z.B. die Summenprobe als

Rechenkontrolle.

erfassen die Ergebnisse statistischer Erhebungen geschickt –

z.B. mithilfe von Strichlisten.

Funktionen


erstellen Diagramme zu Häufigkeitstabellen und umgekehrt in

einem geeigneten Maßstab

lesen Informationen aus Tabellen und grafischen Darstellungen

Geometrie


entnehmen Informationen aus grafischen Darstellungen mit

Flächen und Körpern zu statistischen Erhebungen.

zeichnen flächenhafte und in einfachen Fällen räumliche



stellen Beziehungen her zwischen Begriffen aus der Bruchrechnung und der

Statistik , z.B. Anteil – relative Häufigkeit

beschreiben mathematische Beobachtungen

begründen die Auswahl von Kenndaten (z.B. Median oder Mittelwert)

Problemlösen


nutzen statistische Verfahren zur Bearbeitung von Alltagsproblemen.

reflektieren Aussagemöglichkeiten (auch Manipulationsmöglichkeiten) durch

statistische Kenndaten

Modellieren


fertigen Tabellen und Diagramme zu Sachsituationen an und führen damit

statistische Auswertungen durch.


geben Stichproben zu vorgegebenen statistischen Kenndaten an.

Werkzeuge

Die Schülerinnen und Schüler… zeichnen Diagramme mit Geodreieck und Zirkel.

Lernplakate zu den Regeln

Empfehlung: Die Schülerinnen und Schüler machen eine eigene statistische Erhebung Sie erfüllen Erkundungs-aufträge Hier sollte ein Tabellenkalkulationsprogramm genutzt werden Dazu sollte eine erste Einführung erfolgen. Dazu können vorgefertigte


28

Darstellungen zur Veranschaulichung statistischer Daten.

schätzen und bestimmen Längen, Flächeninhalte und Volumina

zum Ablesen von statistischen Daten aus grafischen

Darstellungen.

Die Schüler(innen) erheben Daten und notieren sie z.B.

mithilfe von Ur- und Strichlisten.

bestimmen Häufigkeiten, arithmetisches Mittel und Median.

lesen und verstehen (auch missverständliche) statistische

Darstellungen.

nutzen den Computer zur Erstellung von Diagrammen.

stellen Ergebnisse statistischer Erhebungen im Heft, an der Tafel, auf Plakaten

und per Computer dar.

Dateien genutzt werden, die sich auf den PCs im Mathematikordner befinden Solche Dateien können auch über die Moodleseite zur häuslichen Bearbeitung bereitgestellt werden.


29

Jahrgangsstufe 7 Unterrichtsvorhaben






1. Zuordnungen 2. Prozentrechnung 3. Winkel in Figuren 4. Dreiecke und Vierecke 5. Rationale Zahlen 6. Gleichungen mit einer Variablen 7. Zufall und Wahrscheinlichkeit

Die folgenden Kompetenzen werden immer angestrebt:




Texten und Bildern zu entnehmen.

werden in den Übungsaufgaben durchgängig angehalten, schriftliche

Stellungnahmen (z.B.„Was meinst du dazu?“, „Beschreibe dein Vorgehen“) zu

formulieren (Detektiv-Aufgaben).


Lösungswegen und Fehler aus.

Problemlösen

Die Schülerinnen und Schüler werden stets angehalten, Ergebnisse in Bezug auf die Problemstellung zu deuten


Modellieren

Die Schülerinnen und Schüler kontrollieren erhaltene Ergebnisse an der behandelten Realsituation.

Werkzeuge

Die Schülerinnen und Schüler nutzen Präsentationsmedien (z. B. Folie, Plakat, Tafel).

dokumentieren ihre Arbeit, ihre eigenen Lernwege und aus dem Unterricht

erwachsene Merksätze und Ergebnisse

nutzen selbst erstellte Dokumente und das Schulbuch zum Nachschlagen.

Die Fachlehrer einer Jahrgangsstufe arbeiten soweit es geht parallel. Sie tauschen sich aus über das verwendete Arbeitsmaterial, über Methoden und Defizite, über die Terminierung und die Inhalte von Klassenarbeiten. Sie tauschen sich mit dem jeweiligen Förderlehrer aus.


30

Jahrgangsstufe 7 /Unterrichtsvorhaben 1 : Zuordnungen

Inhaltliche Schwerpunkte Muster bei Zahlen und Figuren; Zuordnungen; prop. und antiprop. Zuordnungen; Dreisatz; Quotienten- und Produktgleichheit








erkennen Bildungsgesetze in Mustern und Zahlenfolgen und setzen sie fort

stellen Zuordnungen als Tabellen, Diagramme und mit Zuordnungsvorschriften dar

erkennen proportionale und antiproportionale Zusammenhänge und führen Berechnungen mit Dreisatz durch



ziehen Informationen aus Texten

verwenden Fachbegriffe

zeigen Unterschiede zwischen antiproportionalen, proportionalen und anderen Zuordnungen auf und begründen sie

vergleichen und bewerten unterschiedliche Lösungswege

begründen die Sinnhaftigkeit von Rechenergebnissen an der Realsituation

Problemlösen


nutzen Algorithmen zum Lösen von Standardaufgaben

überprüfen Lösungswege auf Richtigkeit

Modellieren


lösen Textaufgaben

finden selbst Textaufgaben

überführen Realsituationen in mathematische Modelle

setzen Textaufgaben in Terme, Gleichungen und Graphen um

Werkzeuge

arbeiten mit Tabellenkalkulation (GEOGEBRA, verschiedene Diagrammtypen)

Empfehlung: Eigenschaften der proportionalen und antiproportionalen Zuordnungen auf Plakaten/ Mindmaps darstellen


31

Jahrgangsstufe 7/Unterrichtsvorhaben 2: Prozentrechnung

Inhaltliche Schwerpunkte Grundaufgaben der Prozentrechnung; prozentuale Änderungen; Zinsrechnung








führen Prozentrechnungen aus (Berechnung von Prozentsatz, Prozentwert, Grundwert)

führen einfache Prozentrechnungen im Kopf durch

berechnen prozentuale Zu- und Abnahmen

berechnen Zinsen (Jahreszinsen, unterjährige Zinsen und Zinsen für mehrere Jahre)



ziehen Informationen aus Texten, Tabellen und Grafiken

kennen und verwenden Fachbegriffe (MWSt, Brutto, Netto etc.) sachgerecht

überprüfen Rechenergebnisse auf Plausibilität

unterscheiden sprachliche Formulierungen in Textaufgaben

Problemlösen


schätzen Prozentwerte, Grundwerte und Prozentsätze ab

ziehen Erkundigungen über aktuelle Zinssätze, Steuersätze etc. ein

vergleichen unterschiedliche Ansparmodelle

Werkzeuge


zeichnen Kreisdiagramme mit Zeichenwerkzeug und mit Tabellenkalkulation

verwenden den TR

nutzen Prozentangaben auf Produkten

Empfehlung: Auf Unterschiede in den zugrunde liegenden Grundwerten ist besonders zu achten, ebenso auf sprachliche Feinheiten wie Erhöhung, Zunahme etc.


32

Jahrgangsstufe 7/Unterrichtsvorhaben 3: Winkel in Figuren

Inhaltliche Schwerpunkte Winkel an Geradenkreuzungen; Winkelsumme in Dreiecken; Winkel in gleichschenkligen Dreiecken; Winkelsätze; symmetrische Vierecke








erkennen und benennen Winkel an Geradenkreuzungen

erkennen und benutzen übereinstimmende Winkelgrößen in Dreiecken und Vierecken

unterscheiden besondere Dreiecke

führen Konstruktionen und Berechnungen mithilfe von Winkelsätzen durch

konstruieren symmetrische Vierecke



begründen intuitiv die Winkelgrößenübereinstimmung an Geradenkreuzungen

beschreiben Eigenschaften von Figuren mithilfe von Winkeln

verwenden Winkelbezeichnungen (Scheitel-, Neben- Wechselwinkel etc.) sachgerecht

erstellen Plakate zu besonderen Dreiecken

präsentieren eigene Fotos und Bildmaterial

argumentieren mit „Wenn... dann..“- Zusammenhängen

überprüfen die Umkehrbarkeit von Aussagen

Problemlösen


entdecken die Winkelsummensätze an Beispielen

entdecken Symmetrien an Gebäuden

lösen konstruktiv Problemstellungen

Modellieren


übertragen Alltagssituationen in idealisierte Konstruktion

erstellen eigene Modelle aus Metall, Holz, mit Fischertechnik etc.

Werkzeuge

Empfehlung Mit GeoGebra lassen sich die Winkelsätze besonders schön entdecken Mit Erdkundekollegen die Behandlung von Winkeln im Gradnetz der Erde, Winkel in Grad, Minuten und Sekunden abstimmen


33


nutzen Zeichenwerkzeuge zum sauberen Konstruieren und genauen Messen

nutzen geogebra zum Erkunden und Konstruieren

nutzen Bildmaterial oder eigene Bilder zur Veranschaulichung


34

Jahrgangsstufe 7/Unterrichtsvorhaben 4 : Dreiecke und Vierecke

Inhaltliche Schwerpunkte Kongruente Figuren; Kongruenzsätze; Dreieckkonstruktionen; Viereckkonstruktionen; Kreis und Gerade; Besondere Punkte und Linien im Dreieck








identifizieren kongruente Figuren

konstruieren Dreiecke und Vierecken mit und ohne DGS

führen die Konstruktion Grundkonstruktionen nach SSS,WSW,SWW und SsW durch

entscheiden über die Konstruierbarkeit von Dreiecken nach Grundinformationen

formulieren Konstruktionsbeschreibungen

konstruieren Figuren aus Teilfiguren

konstruieren Winkelhalbierende, Seitenhalbierende, Höhen, Mittelsenkrechten und ihre Schnittpunkte

nennen Lagebeziehungen zwischen einer Gerade und einem Kreis

konstruieren Inkreis und Umkreis im Dreieck

führen Beweise mit Kongruenzbedingen



begründen die Konstruierbarkeit von Dreiecken

formulieren Konstruktionsbeschreibungen

führen einfache Beweise

formulieren Kehrsätze zu einem Satz und Überprüfen die Gültigkeit

formulieren Bedingungen für die Viereckarten

präsentieren eigene Konstruktionen und begründen Konstruktionsschritte

Problemlösen


lösen geometrische Probleme in Sachzusammenhängen mit Dreieckskonstruktionen

stellen Beweisstrategien auf

erkunden die Anwendung von Dreieckskonstruktionen zur Ermittlung von unzugänglichen Längen und Winkeln in der Umgebung

Modellieren


realisieren trigonometrische Messungen in der Umgebung

Werkzeuge


Empfehlung: Der MATHEKOFFER enthält Kongruenzbilder Spiegel u.ä.. Hier sollte unbedingt auch GeoGebra eingesetzt werden Über die Form von Konstruktionstexten sollte eine Abstimmung erfolgen


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benutzen Zeichenwerkzeug zum sorgfältigen Zeichnen und Messen

nutzen eine DGS zum Konstruieren


36

Jahrgangsstufe 7/Unterrichtsvorhaben 5: Rationale Zahlen

Inhaltliche Schwerpunkte Rationale Zahlen; Rechnen mit rat. Zahlen; Rechengesetze; Terme mit rat. Zahlen








kennen die rat. Zahlen als Zahlbereichserweiterung

ordnen und vergleichen rationale Zahlen

berechnen Beträge und Gegenzahlen

stellen rat. Zahlenpaare im KS dar

führen Rechnungen (Addition, Subtraktion, Division, Multiplikation) durch (schriftlich und im Kopf)

nutzen Rechenvorteile

kennen und nutzen die Rechengesetze und Vorrangregeln




vergleichen und nutzen unterschiedliche Lösungswege

erkennen Fehler und argumentieren mit Hilfe der Rechenregeln

wenden Rechenregeln/-gesetze an

prüfen Lösungen auf Plausibilität

Modellieren


stellen Rechenregeln in Form von Pfeilmodellen dar

übersetzen Textaufgaben in mathematische Form

stellen Termoperationen mit Hilfe eines Rechenbaumes dar

Empfehlung: Mit GeoGebra lassen sich die Winkelsätze besonders schön entdecken Mit Erdkunde-kollegen die Behandlung von Winkeln im Gradnetz der Erde, Winkel in Grad, Minuten und Sekunden abstimmen


37

Jahrgangsstufe 7/Unterrichtsvorhaben 6 : Gleichungen mit einer Variablen

Inhaltliche Schwerpunkte Lösen von Gleichungen durch Probieren, Zusammenfassen und Umformen; Sonderfälle








stellen Terme auf, interpretieren Terme

lösen Gleichungen durch Probieren

lösen Lineare Gleichungen durch schrittweise Umformungen



entnehmen Informationen aus Texten und Abbildungen

entwickeln und begründen Lösungsstrategien für Textaufgaben

begründen die Lösungsmengen von Gleichungen

präsentieren eigene Aufgaben und Lösungen

erläutern und begründen ihre Arbeitsschritte

präsentieren Lösungswege und bewerten sie

formulieren Texte zu Termen und Gleichungen

Problemlösen


lösen Textaufgaben und reflektieren die Vorgehensweise

führen eine Probe durch

Modellieren


beschreiben Sachverhalte durch Gleichungen

formulieren zu einer Gleichung verschiedene Sachverhalte

überprüfen Lösungen an der Realsituation

Empfehlung: Das Aufstellen von Termen ist im Buch nicht weiter thematisiert. Hier sind evtl. zusätzliche Übungen sinnvoll


38

Jahrgangsstufe 7/Unterrichtsvorhaben7 : Zufall und Wahrscheinlichkeit

Inhaltliche Schwerpunkte Zufallsexperimente; Laplace-Experimente; Ereignisse und Wahrscheinlichkeiten; Simulationen;








kennen und verwenden die Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung

kennen und nutzen Wahrscheinlichkeitsregeln

ermitteln mit unterschiedlichen Methoden Wahrscheinlichkeiten (lange Versuchsreihen, Auszählen, Symmetrieüberlegungen)

simulieren Zufallsexperimente



analysieren und strukturieren Textaufgaben (Wahrscheinlichkeiten, Häufigkeiten, …

erläutern ihre Arbeitsschritte

präsentieren, vergleichen und bewerten Lösungswege

überprüfen Lösungswege (Richtigkeit und Schlüssigkeit)

erläutern Zusammenhänge (Häufigkeiten, Wahrscheinlichkeiten, …)

erläutern Grundbegriffe an Beispielen

prüfen Wahrscheinlichkeitsaussagen kritisch

beurteilen Chancen und Risiken von Glücksspielen mithilfe von Wahrscheinlichkeitsaussagen kritisch

machen Zufallsexperimente in Partner- und Gruppenarbeit

Problemlösen


planen, beschreiben und führen Lösungswege durch

überprüfen die Möglichkeit mehrerer Lösungswege

nutzen unterschiedliche Darstellungsformen (Diagramme, Tabellen) zur Problemlösung

wenden Problemlösestrategien an

Empfehlung: Der MATHEKOFFER enthält viele geeignete Zufallsgeräte. Hier sollte auch ein Tabellenkalkulationsprogamm zur Simulation genutzt werden! Eine entsprechende Vorlage findet sich im Tauschordner


39

Modellieren


simulieren Realsituationen durch geeignete Zufallsexperimente

prüfen Zufallsexperimente kritisch und verändern ggf. das Modell

Werkzeuge


verwenden Zufallsgeräte (Reißzwecke, Würfel, Karten etc.)

nutzen ein Tabellenkalkulationsprogramm zur Simulation von Zufallsexperimenten


40

Jahrgangsstufe 8/Unterrichtsvorhaben 1: Stochastik

Inhaltliche Schwerpunkte Wahrscheinlichkeiten ; mehrstufige Zufallsversuche Inhaltsbezogene Kompetenzen







benutzen Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung

wenden unterschiedliche Methoden zur Bestimmung von

Wahrscheinlichkeiten (lange Versuchsreihen, Auszählen,

Symmetrieüberlegungen) an

beschreiben Laplace-Experimente, Simulationen und

mehrstufige Zufallsversuche und wenden sie an

erstellen Baumdiagrammen zur Veranschaulichung

wenden die Pfadregeln (Produktregel, Summenregel) an



analysieren und strukturieren Textaufgaben (Wahrscheinlichkeiten, Häufigkeiten)

erläutern ihre Arbeitsschritte



überprüfen und bewerten Problembearbeitungen

erläutern Zusammenhänge (Häufigkeiten, Wahrscheinlichkeiten, …)

erläutern anderen Grundbegriffe an Beispielen

Problemlösen


planen, beschreiben und führen Lösungswege durch

überprüfen die Möglichkeit mehrerer Lösungswege

bestimmen Wahrscheinlichkeiten mithilfe unterschiedlicher Methoden

nutzen unterschiedliche Darstellungsformen (Diagramme, Tabellen, Boxplots) zur

Problemlösung

Problemlösen


beurteilen von Chancen und Risiken mithilfe von Wahrscheinlichkeiten (Auf-

gaben im Sachzusammenhang)

evtl. eigene Zufallsgeräte bauen Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses als „Grenzwert“ der rel. Häufigkeit lässt sich mit EXCEL simulieren (siehe Buch)


41


bewerten Glücksspiele

Modellieren


simulieren Realsituationen durch geeignete Zufallsexperimente

prüfen Zufallsexperimente kritisch und verändern sie nach einem Modell

ordnen Realsituationen einem gegebenen Modell (z.B. einem Baumdiagramm) zu

stellen Zufallsexperimente durch Diagramme (z.B. Baumdiagramm) dar

Werkzeuge


tragen Daten zusammen und stellen sie mithilfe von Tabellenkalkulation dar

nutzen Lexika, Internet zur Informationsbeschaffung (z.B. über Glücksspiele)

nutzen Alltagsgegenstände, wie Münzen, Würfel, Spielkarten, ...

simulieren Zufallsexperimenten mit Tabellenkalkulation


42

Jahrgangsstufe 8/Unterrichtsvorhaben 2: Lineare Funktionen und Gleichungen

Inhaltliche Schwerpunkte Lineare Funktionen; Lineare Gleichungssysteme;








erkennen Lineare Funktionen in Graphen, Tabellen und Funktionsgleichungen und stellen sie in diesen Arten dar

bestimmen und deuten Änderungsraten/Steigungen

zeichnen Steigungsdreiecke

bestimmen Steigungen und Achsenabschnitte grafisch und rechnerisch

zeichnen Geraden mit Hilfe von m und b

bestimmen Geradengleichungen durch 2 Punkte und mit Punkt und Steigung

erkennen parallele und orthogonale Geraden und bestimmen ihre Gleichungen

bestimmen Nullstellen von linearen Funktionen



beschreiben den Aufbau einer Tabelle einer linearen Funktion


nennen Merkmale zur Unterscheidung von linearen, nicht linearen, stückweise linearen Funktionen

beschreiben Änderungsraten in Worten

erklären Nullstellen und y-Achsen-abschnitte in Realsituationen

Problemlösen


finden den Zusammenhang zwischen Seitenlänge und Umfang bei Rechtecken mit vorgegebenem Flächeninhalt

deuten Steigungen von Straßen

lösen Komplexe Aufgaben in Sachzusammenhängen

Modellieren


modellieren Realsituationen zu Brenndauern von Kerzen, Zu- und Abfließen von Wasser etc.;

erfinden Sachsituationen zu vorgegebenen Graphen bzw. Tabellen

prüfen kritisch die Übertragbarkeit auf Realsituation

Empfehlung: Mindmaps erstellen


43

Werkzeuge


arbeiten mit Zeichenwerkzeug, Taschenrechner, mm-Papier

arbeiten mit einem Funktionenplotter (GEOGEBRA)

arbeiten mit Tabellenkalkulation (EXCEL)

erstellen Plakate (Flip-Chart)

erstellen Modelle (z.B. Steigungsdreiecke aus Pappe)

nutzen Bilder und Internetinformationen


identifizieren Lineare Gleichungssysteme

stellen LGS auf und lösen LGS grafisch

lösen LGS mit 2 Unbekannten rechnerisch (Gleichsetzungsverfahren, Einsetzungsverfahren, Additionsverfahren)

Arithmetik/Algebra Die Schülerinnen und Schüler…

erfassen Realsituationen durch Gleichungssysteme

diskutieren und bewerten Lösungen

Problemlösen


entwerfen in Gruppen Lösungsstrategien

stellen die Gleichgewichtszustände von 2 Waagen als Gleichungssysteme dar und lösen es im Modell

Modellieren


stellen lineare Gleichungssysteme als Paare von Geraden dar;

erfinden Geschichten zu Graphen von LGS ( Katze-Hund)

Fakultativ: LGS mit 3 Variablen lösen? LGS mit Formvariablen?


44

Jahrgangsstufe 8/Unterrichtsvorhaben 3: Geometrie

Inhaltliche Schwerpunkte Kreise, Körper, Kongruenz Inhaltsbezogene Kompetenzen







benennen Flächen, Figuren und Körper, charakterisieren und identifizieren sie in der Umwelt

schätzen und berechnen Umfänge und Flächeninhalte von Kreisen, sowie Oberflächen und Volumina von Prismen und Zylindern

berechnen Sektorflächen und Bogenlängen (Wurzelziehen)

ermitteln einen Näherungswert für die Kreiszahl π

skizzieren Schrägbilder einfacher Prismen und Zylinder und entwerfen Netze

stellen Figuren maßstabsgetreu dar

erfassen und begründen Eigenschaften von Figuren (Symmetriebedingung am Viereck wie Sehnen-/ Tangentenviereck, Winkelsätze, Kongruenz)

wenden den Satz des Thales zur Konstruktion von rechtwinkligen Dreiecken an



analysieren und strukturieren Textaufgaben

erstellen Skizzen und beschriften sie sachgemäß

erläutern Arbeitsschritte (Konstruktionen, Rechnungen)



überprüfen und bewerten Problembearbeitungen

erläutern Zusammenhänge

begründen Symmetrien beim Satz vom Sehnen- bzw. Tangentenviereck

begründen mithilfe der Kongruenzsätze. erläutern Methoden zur π-Bestimmung

Problemlösen


untersuchen Beziehungen zwischen Radius, Umfang und Flächeninhalt

erkennen geometrische Körper in Realsituationen, ggf. zerlegen sie in geometrische Teilkörper und berechnen Größen an (zusammengesetzten) Körper

lösen Aufgaben im Sachzusammenhang



45

führen komplexe Figuren auf bekannte Figuren zurück

verwenden Größen (Fläche, Länge, …)angemessen

verwenden unterschiedliche Methoden zur Bestimmung von π

erforschen historische Hintergründe

verwenden das Wurzelziehen (mit dem Taschenrechner)

überprüfen die Möglichkeit unterschiedlicher Lösungswege

erstellen Skizzen

Modellieren


berechnen Körper in Realsituationen

überprüfen Lösungen an der Realsituation und verändern ggf. das Modell

Werkzeuge


nutzen Geometriesoftware zum Zeichnen und Konstruieren

nutzen Lexika, Internet zur Informationsbeschaffung

verwenden Zeichenwerkzeuge

verwenden und erstellen ggf. Körpermodelle

untersuchen Alltagsgegenstände, wie Bierdeckel, ...


46

Jahrgangsstufe 8/Unterrichtsvorhaben 4: Wurzeln und Potenzen

Inhaltliche Schwerpunkte Produktsummen, binomische Formeln, Wurzeln, irrationale Zahlen Inhaltsbezogene Kompetenzen







wandeln Produkte von Summen in Produktsummen um („Klammern ausmultiplizieren“)

veranschaulichen Summen von Produkten geometrisch

kennen und wenden Binomische Formeln an

wandeln Summenterme mit Hilfe der bin. Formeln in Produktterme um

lösen einfache quadratische Gleichungen



begründen Termumformungen algebraisch und geometrisch

vergleichen verschiedene geometrische Begründungen der binom. Formeln

erkennen und begründen Fehlerquellen bei Termumformungen

führen Beweise zu bin. Formeln

Problemlösen


nutzen binomische Formeln zum vorteilhaften Rechnen

nutzen die Methode zur Erweiterung der bin. Formeln auf höhere Potenzen (Pascalsches Dreieck)

Modellieren


finden Terme zu Realsituationen und überprüfen Lösungen

Werkzeuge


stellen Modelle zu binomischen Formeln her bzw.

verwenden Geometriesoftware zur Veranschaulichung

nennen Wurzelziehen als Umkehrung des Quadrierens

ziehen Wurzeln teilweise Argumentieren/Kommunizieren

begründen die Existenz von Wurzeln als Seitenlängen eines Quadrates


47

vereinfachen Wurzelterme

rationalisieren Nenner in Bruchtermen

ziehen die Kubikwurzel und höhere Wurzeln

erkennen Existenz von nicht-rationalen Zahlen

konstruieren Irrationale Zahlen auf dem Zahlenstrahl

bestimmen näherungsweise Irrationale Zahlen durch Intervallschachtelung

führen Beweise (Irrationalität von √2)

begründen die Zahlbereichserweiterung auf irrationale Zahlen

Problemlösen


nutzen Wurzeln zur Ermittlung von Quadratseiten und Kreisradien

Modellieren


stellen Wurzeln am Zahlenstrahl dar

Werkzeuge


verwenden Taschenrechner und Geometriesoftware


48

Jahrgangsstufe 9/Unterrichtsvorhaben 1: Geometrie

Inhaltliche Schwerpunkte Satzgruppe des Pythagoras; Ähnliche Figuren; Verhältnisse im rechtwinkligen Dreieck; Winkelsätze am Dreieck








wenden den Satz des Pythagoras, den Höhensatz – und die

Kathetensätze an

erkennen das Verhältnis von Satz und Kehrsatz am Beispiel

des S.d.P.

berechnen Abstände im KS

kennen und benutzen die Kreisgleichung (fakutativ)



begründen die Gültigkeit des S.d.P. an einer Beweisfigur (z.B. Quadratzerlegung)

vergleichen verschiedene Begründungen

erstellen Animationen zum S.d.P.

begründen Katheten- und Höhensatz mit ähnlichen Dreiecken

begründen Abstandsformel mit dem S.d.P.

begründen ggf. die . Kreisgleichung mit dem S.d.P.

stellen S.d.P. als Plakat dar

Problemlösen

entdecken den S.d.P. an Beispielen (z.B. mit DGS)

erkunden historische Anwendungen des S.v.P.

Modellieren

stellengeometrische und algebraische Formulierung des S.v.P. gegenüber

Werkzeuge

machen Zerlegungen mit Papier und Schere

nutzen ein DGS


erkennen ähnliche Figuren

nutzen Ähnlichkeitssätze zur Berechnung von Längen



geben unterschiedliche Formulierungen für die Ähnlichkeit an (Maßstabtreue,

Formgleichheit, Strahlensätze)


49

begründen die Ähnlichkeit durch Längen.- und Winkelkongruenz

nutzen die Ähnlichkeit als Beweismittel

Problemlösen


erkunden Anwendungssituationen für die Ähnlichkeit (Körpermaße, Kopierer,

Karten, Modelle usw.)

Modellieren


führen Überschlagsrechnungen durch

Werkzeuge

Die Schülerinnen und Schüler… nutzen den Taschenrechner (Einstellungen Grad <-> Radian)

erstellen Plakate


nutzen Sinus, Kosinus, Tangens zur Berechnung in

rechtwinkligen Dreiecken

wenden Sinus- und Kosinussatz an

wenden Sinus- und Kosinus für stumpfe Winkel an (fakultativ)



begründen Sinus-, Kosinus und Tangens als Verhältnisgleichheit

prüfen die Anwendbarkeit von Sinus, Kosinus und Tangens

Problemlösen


lösen Probleme in Dreiecken und Vierecken

entwickeln Lösungsstrategien für die Berechnung in nicht rechtwinkligen

Dreiecken und in Vierecken

nutzen verschiedene Lösungswege (grafisch- rechnerisch)

Werkzeuge


nutzen Taschenrechner,

nutzen ein DGS und Tabellenkalkulatiom


50

Jahrgangsstufe 9/Unterrichtsvorhaben 2: Quadratische Funktionen und Gleichungen

Inhaltliche Schwerpunkte Parabeln; Extrempunkte; quadratische Gleichungen








stellen quadratische Funktionen in Gleichungen, Tabellen und

Graphen dar

bestimmen Scheitelpunkte und Nullstellen von einfachen

quadratischen Funktionen rechnerisch und zeichnerisch

berechnen Schnittpunkte von linearen/quadratischen

Funktionen

bestimmen Extremwerte in Sachzusammenhängen

lösen biquadratische Gleichungen (fakultativ)



benennen Eigenschaften von quadr. Funktionen und identifizieren sie damit

verwenden die Fachbegriffe sachgerecht

führen Transformationen der Normalparabel durch

wenden Formeln (p-q-Formel) und Algorithmen (quadr. Ergänzung) an

erkennen quadr. Funktionen in Sachsituationen

Problemlösen

bestimmen Extrempunkte in Sachproblemen (z.B. Wurfparabeln,

Brückenkonstruktionen etc.)

vergleichen unterschiedliche Lösungswege

Modellieren

modellieren Sachprobleme mithilfe von quadr. Funktionen

zeigen Zusammenhänge zwischen Graphen, Tabellen und Gleichungen auf

führen quadratische Näherungen durch

erstellen Skizzen

führen Proben durch

arbeiten mit unterschiedlichen Variablen

Werkzeuge

Empfehlung: Hier eignet sich GEOGEBRA gut zum Entdecken der Eigenschaften von quadratischen Funktionen und für die Durchführung der Transformationen


51

arbeiten mit GEOGEBRA als Funktionenplotter

benutzen Tabellenkalkulation zur Erstellung von Wertetabellen ziehen Internetinformationen ein


52

Jahrgangsstufe 9/Unterrichtsvorhaben 3: Stochastik

Inhaltliche Schwerpunkte Diagramme; Baumdiagramme, Vierfeldertafeln und mehr; Gewinnchancen








stellen Daten sachgerecht dar



erstellen und deuten Tabellen und Diagramme angemessen

erkennen Irrtümer und Manipulationsmöglichkeiten in Diagrammen

zeigen Grenzen von Aussagemöglichkeiten auf

entnehmen Informationen aus Texten, Grafiken und Diagrammen

Problemlösen


prüfen Vor- und Nachteile der Darstellungsformen kritisch

Modellieren

Die Schülerinnen und Schüler… wechseln zwischen verschiedenen Darstellungsformen

Werkzeuge


nutzen ein DGS


wendenVier-Felder-Tafeln und Doppelbäume /umgekehrtes

Baumdiagramm an


Die Schülerinnen und Schüler… diskutieren Beurteilungen miteinander

erkennen und begründen Manipulationsmöglichkeiten und Fehlinterpretationen

Problemlösen


53

Die Schülerinnen und Schüler… lösen Sachprobleme mit Vier-Felder-Tafeln

Modellieren


wechseln zwischen Vierfelder-Tafel und Baumdiagramm

übertragen Informationen aus Texten in ein Diagramm

Werkzeuge Die Schülerinnen und Schüler…

fertigen Plakate an Die Schülerinnen und Schüler…

berechnen Wahrscheinlichkeiten in mehrstufigen

Zufallsversuchen

Argumentieren/ Kommunizieren Die Schülerinnen und Schüler…

verwenden Begriffe sachgerecht

beurteilen Chancen und Risiken in mehrstufigen Zufallsversuchen

Problemlösen

berechnen Erwartungswerte von Gewinnen

Werkzeuge


verwenden Tabellenkalkulation zur Simulation


54

Jahrgangsstufe 9/Unterrichtsvorhaben 4 : Körper

Inhaltliche Schwerpunkte Darstellung von Körpern; Pyramiden und Kegel; Kugeln








verwenden Schrägbilder und Netze von Körper

berechnen Mantelflächeninhalte und Volumina von Pyramide,

Kegel und Kegelstumpf sowie Kugel



zeichnen Schrägbilder und Netze sachgerecht

erkennen Grundkörper in Natur und Architektur beschreiben Auswirkungen der Veränderung von Größen (Vergrößern und

Verkleinern )

Problemlösen

berechnen Volumina und Flächen in Realsituationen

schätzen Oberflächen und Volumina von Körpern

vergrößern und verkleinern Zeichnungen

nutzen Strategien (Zurückführen auf Bekanntes, Zerlegen in Teilprobleme)

nehmen Näherungen vor

Modellieren

erkennen Analogien und stellen sie dar

finden zu Modellen passende Realsituationen überprüfen die Anwendbarkeit von Formeln auf Realsituationen

Werkzeuge

benutzen und erstellen Modelle


55

Jahrgangsstufe 9/Unterrichtsvorhaben 5 : Funktionen

Inhaltliche Schwerpunkte Potenzen; Wachstum; Sinusfunktion und Periodizität








berechnen Potenzen von ganzen Zahlen mit ganzzahligen

Exponenten

wendenPotenzgesetze an

nutzen Potenzschreibweise für große und kleine Zahlen




verwenden Vorsätze (Milli, Mikro etc.)

Problemlösen

lösen Sachaufgaben führen Überschläge durch

beschreiben Lineare und exponentielle Wachstumsvorgänge

und mit Gleichungen

wenden insbesondere Zinseszinsformel an



deuten Graphen von Wachstumsvorgängen

Problemlösen


wenden Wachstumsgleichungen in Sachzusammenhängen an

Modellieren


ordnen Gleichungen, Graphen und Tabellen von Wachstumsvorgängen zu und

wechseln zwischen den Darstellungsarten

Werkzeuge


nutzen ein DGS als Funktionenplotter

verwenden das Bogenmaß des Winkels und nehmen Argumentieren/ Kommunizieren


56

Umrechnungen in Gradmaß vor

nutzen die Sinusfunktion zur Beschreibung periodischer

Vorgänge

Die Schülerinnen und Schüler… nutzen Fachbegriffe zur Beschreibung periodischer Vorgänge

stellen Sinus (evtl auch Kosinus) am Einheitskreis dar

Problemlösen


untersuchen einzelne Beispiele für periodische Vorgänge

skizzieren Graphen

Modellieren


ordnen Graphen und Funktionsterme einander zu

Werkzeuge

verwenden ein DGS als Funktionenplotter


57

Einführungsphase EF Unterrichtsvorhaben 1 : Funktionen

Inhaltliche Schwerpunkte Potenzfunktionen; Wurzelfunktionen; Exponentialfunktionen; Sinusfunktion; Transformationen



Argumentieren/ Kommunizieren Lesen, Verbalisieren, Präsentieren, Vernetzen, Begründen




Die Schülerinnen und Schüler ...

beschreiben Funktionen als Terme, Gleichungen, Graphen und Tabellen

wenden die Potenzgesetze an

beschreiben die Eigenschaften von Potenzfunktionen mit ganzzahligen und gebrochenen Exponenten

beschreiben die Eigenschaften der Exponentialfunktionen und der Sinusfunktion

beschreiben Wachstumsprozesse mithilfe linearer Funktionen und Exponentialfunktionen

wenden einfache Transformationen (Streckung, Verschiebung) auf Funktionen (Sinusfunktion, quadratische Funktionen, Potenzfunktionen, Exponentialfunktionen) an und deuten die zugehörigen Parameter

Modellieren


erfassen und strukturieren zunehmend komplexe Sachsituationen mit Blick auf eine konkrete Fragestellung

übersetzen zunehmend komplexe Sachsituationen in mathematische Modelle

Werkzeuge nutzen


nutzen Tabellenkalkulation, Funktionenplotter und grafikfähige Taschenrechner

verwenden verschiedene digitale Werkzeuge zum … Darstellen von Funktionsgraphen und Wertetabellen … zielgerichteten Variieren der Parameter von Funktionen


58

Einführungsphase EF Unterrichtsvorhaben 2: Differenzialrechnung

Inhaltliche Schwerpunkte Von der durchschnittlichen zur lokalen Änderungsrate; Ableitungsbegriff; Ableitungsregeln;








ermitteln durchschnittliche Änderungsraten bei Funktionen

erläutern qualitativ auf der Grundlage eines propädeutischen Grenzwertbegriffs an Beispielen den Übergang von der durchschnittlichen zur lokalen Änderungsrate

bestimmen lokale Änderungsraten grafisch

beschreiben und interpretieren Änderungsraten funktional (Ableitungsfunktion)

leiten Funktionen grafisch ab

begründen Eigenschaften von Funktionsgraphen (Monotonie, Extrempunkte) mit Hilfe der Graphen der Ableitungsfunktionen

bestimmen exemplarisch Ableitungen als Grenzwerte des Differenzenquotienten

nutzen die Ableitungsregel für Potenzfunktionen mit natürlichen Exponenten

wenden die Summen- und Faktorregel auf ganzrationale Funktionen an

nennen die Kosinusfunktion als Ableitung der Sinusfunktion

Problemlösen


analysieren und strukturieren die Problemsituation

erkennen Muster und Beziehungen

wählen geeignete Begriffe, Zusammenhänge und Verfahren zur Problemlösung aus


nutzen heuristische Strategien und Prinzipien (hier: Zurückführen auf Bekanntes)


Argumentieren

Die Schülerinnen und Schüler...

präzisieren Vermutungen mithilfe von Fachbegriffen und unter Berücksichtigung der logischen Struktur (Vermuten)

nutzen mathematische Regeln bzw. Sätze und sachlogische Argumente für Begründungen

überprüfen, inwiefern Ergebnisse, Begriffe und Regeln verallgemeinert werden können

präzisieren Vermutungen mithilfe von Fachbegriffen und unter

Bei der Herleitung von Ableitungs-regeln sollte die h-Methode angewendet werden.


59

Berücksichtigung der logischen Struktur


erkennen fehlerhafte Argumentationsketten und korrigieren sie (Beurteilen)

Werkzeuge nutzen


verwenden verschiedene digitale Werkzeuge (GTR, GEOGEBRA) zum … Lösen von Gleichungen … zielgerichteten Variieren der Parameter von Funktionen


60

Einführungsphase EF Unterrichtsvorhaben : Funktionsuntersuchungen

Inhaltliche Schwerpunkte Funktionsuntersuchungen bei ganzrationalen Funktionen 3. Grades








beschreiben den Globalverlauf und die Symmetrieeigenschaften ganzrationaler Funktionen

lösen Polynomgleichungen, die sich durch einfaches Ausklammern oder Substituieren auf lineare und quadratische Gleichungen zurückführen lassen, ohne digitale Hilfsmittel

berechnen Nullstellen und Schnittstellen ganzrationaler Funktionen

verwenden das notwendige Kriterium und das Vorzeichenwechselkriterium zur Bestimmung von Extrempunkten

unterscheiden lokale und globale Extrema im Definitionsbereich

verwenden am Graphen oder Term einer Funktion ablesbare Eigenschaften als Argumente beim Lösen von inner- und außermathematischen Problemen

klassifizieren ganzrationale Funktionen 3. Grades

Problemlösen



nutzen heuristische Strategien und Prinzipien (hier: Zurückführen auf Bekanntes)


Argumentieren


präzisieren Vermutungen mithilfe von Fachbegriffen und unter Berücksichtigung der logischen Struktur


berücksichtigen vermehrt logische Strukturen (notwendige / hinreichende Bedingung, Folgerungen […])

erkennen fehlerhafte Argumentationsketten und korrigieren sie


61

Einführungsphase EF Unterrichtsvorhaben 4: Wahrscheinlichkeitsrechnung

Inhaltliche Schwerpunkte Mehrstufige Zufallsversuche; Wahrscheinlichkeitsverteilungen; Bedingte Wahrscheinlichkeiten







Die Schülerinnen und Schüler… deuten Alltagssituationen als Zufallsexperimente

simulieren Zufallsexperimente

verwenden Urnenmodelle zur Beschreibung von Zufallsprozessen

beschreiben mehrstufige Zufallsexperimente und ermitteln Wahrscheinlichkeiten mit Hilfe der Pfadregeln

stellen Wahrscheinlichkeitsverteilungen auf und führen Erwartungswertbetrachtungen durch

berechnen bedingte Wahrscheinlichkeiten

Modellieren


treffen Annahmen und nehmen begründet Vereinfachungen einer realen Situation vor (Strukturieren)

übersetzen zunehmend komplexe Sachsituationen in mathematische Modelle (Mathematisieren)

erarbeiten mithilfe mathematischer Kenntnisse und Fertigkeiten eine Lösung innerhalb des mathematischen Modells (Mathematisieren)

Werkzeuge nutzen

Die Schülerinnen und Schüler... verwenden verschiedene digitale Werkzeuge (GTR; EXCEL) zum … Generieren von Zufallszahlen … Berechnen der Kennzahlen von Wahrscheinlichkeitsverteilungen (Erwartungswert)


62

Einführungsphase EF Unterrichtsvorhaben 5: Punkte und Vektoren im Raum

Inhaltliche Schwerpunkte Mehrstufige Zufallsversuche; Wahrscheinlichkeitsverteilungen; Bedingte Wahrscheinlichkeiten








beschreiben Punkte im Raum durch ein dreidimensionales kartesisches Koordinatensystem

deuten Vektoren (in Koordinatendarstellung) als Verschiebungen und kennzeichnen Punkte im Raum durch Ortsvektoren

stellen gerichtete Größen (z. B. Geschwindigkeit, Kraft) durch Vektoren dar

berechnen Längen von Vektoren und Abstände zwischen Punkten mit Hilfe des Satzes von Pythagoras

addieren Vektoren, multiplizieren Vektoren mit einem Skalar

weisen Eigenschaften von besonderen Dreiecken und Vierecken mithilfe von Vektoren nach

Problemlösen


entwickeln Ideen für mögliche Lösungswege

setzen ausgewählte Routineverfahren auch hilfsmittelfrei zur Lösung ein wählen geeignete Begriffe, Zusammenhänge und Verfahren zur Problemlösung aus

Die Inhalte des Kapitels „Punkte und Vektoren im Raum“ werden in der Q1 nochmals aufgegriffen, können also gegebenenfalls kurz behandelt werden.


63

Qualifikationsphase Q1/Q2 Grundkurs

Unterrichtsvorhaben 1 : Fortsetzung der Differenzialrechnung

Inhaltsbezogene Kompetenzen Die Inhaltsbezogenen Kompetenzen orientieren sich am Stoffverteilungsplan des Schroedel-Verlages






Wiederholung und Ergänzung aus der Einführungsphase Wiederholung: Differenzialrechnung

(Durchschnittliche Änderungsrate, Ableitung an einer Stelle, Ableitungsfunktion, Ableitungsregeln)

Wiederholung: Funktionsuntersuchungen

(Globalverlauf, Symmetrie des Funktionsgraphen, Nullstellen ganzrationaler Funktionen, Monotonie, Extrempunkte und Sattelpunkte, Lokale, globale Extrema und Randextrema, Monotonie und Extrempunkte, Kriterien für Extremstellen)

1.1 Fortsetzung der Differenzialrechnung

1.1.1 Wendepunkte – Linkskurve, Rechtskurve

(Ableitungen berechnen, Links- und Rechtskurven bestimmen, grafisch argumentieren, Sätze und Definitionen kennen)

1.1.2 Kriterien für Extrem- und Wendepunkt

(Extrem- und Wendepunkte berechnen, Aussagen über

– verwenden notwendige Kriterien und Vorzeichenwechselkriterien sowie weitere hinreichende Kriterien zur Bestimmung von Extrem- und Wende-punkten

– beschreiben das Krümmungsverhalten des Graphen einer Funktion mit Hilfe der 2. Ableitung

– interpretieren Parameter von Funktionen im Anwendungszusammenhang

– bilden die Ableitungen von Potenzfunktionen mit ganzzahligen Exponenten

– verwenden digitale Werkzeuge zum Berechnen der Ableitung einer Funktion an einer Stelle

– verwenden digitale Werkzeuge zum Darstellen von Funktionen grafisch und als Wertetabelle

– verwenden digitale Werkzeuge zum zielgerichteten Variieren der Parameter von Funktionen


64

Extrem- und Wendestellen beurteilen, Sätze und Definitionen kennen und anwenden, Vernetzte Aufgaben)

1.1.3 Ableitung von Potenzfunktionen mit ganzzahligen Exponenten

(Anwenden der Ableitungsregeln, Tangentengleichung, Vernetzte Aufgaben)

1.1.4 Aspekte von Funktionsuntersuchungen

(Aspekte von Funktionsuntersuchungen, Rechnerfenster kritisch hinterfragen, Argumentieren mit Eigenschaften von Funktionen, Untersuchung von Eigenschaften in Abhängigkeit von einem Parameter bei ganzrationalen Funktionen, Vernetzte Aufgaben)

1.2 Extremwertprobleme

(Geometrische Körper und Figuren, Flächeninhalte und Funktionsgraphen, Aufgaben aus der Wirtschaft)

– verwenden notwendige Kriterien und Vorzeichenwechselkriterien sowie weitere hinreichende Kriterien zur Bestimmung von Extrempunkten

– führen Extremalprobleme durch Kombination mit Nebenbedingungen auf Funktionen einer Variablen zurück und lösen diese

Wiederholung: Lösen linearer Gleichungssysteme

(Einsetzungsverfahren, Additionsverfahren, Sonderfälle bei der Lösungsmenge)

– je nach Bedarf

1.4 Bestimmen ganzrationaler Funktionen

(Bestimmen einer Funktion mit vorgegebenem Grad, Bestimmen einer Funktion ohne vorgegebenen Grad, mit ganzrationalen Funktionen modellieren)

– bestimmen Parameter einer Funktion mit Hilfe von Bedingungen, die

sich aus dem Kontext ergeben („Steckbriefaufgaben“)

– verwenden digitale Werkzeuge zum Lösen von Gleichungen und Gleichungssystemen

–

Die Verwendung des Gaussalgorithmus wird im Rahmen der Analytischen Geometrie behandelt.

1.5 Vermischte Aufgaben


65

Unterrichtsvorhaben 2: Integralrechnung Inhaltsbezogene Kompetenzen Prozessbezogene Kompetenzen Bemerkungen





2.1 Rekonstruktion eines Bestandes aus Änderungsraten

(Rekonstruktion einer Größe aus dem Graphen der Änderungsrate, Rekonstruktion einer Größe aus gegebenen Änderungsraten)

– interpretieren Produktsummen im Kontext als Rekonstruktion des Gesamtbestandes oder Gesamteffektes einer Größe

– deuten die Inhalte von orientierten Flächen im Kontext

– ermitteln den Gesamtbestand oder Gesamteffekt einer Größe aus der Änderungsrate

2.2 Das Integral als Grenzwert von Produktsummen

(Integrale näherungsweise mithilfe von Produktsummen bestimmen, Integrale der Quadratfunktion mithilfe der Formel berechnen, Integrale als Summen orientierter Flächeninhalte bestimmen, Vernetzte Aufgabe)

– erläutern und vollziehen an geeigneten Beispielen den Übergang von der Produktsumme zum Integral auf der Grundlage eines propädeutischen Grenzwertbegriffs

– nutzen die Intervalladditivität von Integralen

– verwenden digitale Werkzeuge zum Ermitteln des Wertes eines bestimmten Integrales

2.3 Integrale mithilfe von Stammfunktionen berechnen

(Stammfunktionen, Integrale mithilfe von Stammfunktionen berechnen, die passende Stammfunktion zu einem Anfangswert finden, orientierte Flächeninhalte, Integrale mithilfe eines Rechners bestimmen, Vernetzte Aufgaben)

– bestimmen Stammfunktionen ganzrationaler Funktionen

– erläutern geometrisch-anschaulich den Zusammenhang zwischen Än-derungsrate und Integralfunktion (Hauptsatz der Differential- und Integ-ralrechnung)

– bestimmen Integrale mithilfe von gegebenen Stammfunktionen und numerisch, auch unter Verwendung digitaler Werkzeuge

– nutzen die Linearität von Integralen

2.4 Integralfunktionen – skizzieren zu einer gegebenen Randfunktion die zugehörige Flächen-


66

(Graph einer Integralfunktion näherungsweise aus einem Graphen rekonstruieren, Integralfunktionen bestimmen und ihre Graphen zeichnen, Integralfunktionen mit einem GTR darstellen)

inhaltsfunktion

– erläutern geometrisch-anschaulich den Zusammenhang zwischen Än-derungsrate und Integralfunktion (Hauptsatz der Differential- und Integral-rechnung)

2.5 Berechnen von Flächeninhalten

2.5.1 Fläche zwischen einem Funktionsgraphen und der x-Achse

(Flächeninhalte bei Graphen einer gegebenen Funktion f bestimmen, passende Funktionen bestimmen und Flächeninhalte berechnen)

2.5.2 Fläche zwischen zwei Funktionsgraphen

(Flächeninhalte von Flächen zwischen den Graphen zweier gegebener Funktionen berechnen, passende Funktionen bestimmen und Flächeninhalte zwischen den Graphen der Funktionen berechnen, Vernetzte Aufgaben)

– ermitteln Flächeninhalte mit Hilfe von bestimmten Integralen

– verwenden digitale Werkzeuge zum Messen von Flächeninhalten zwischen Funktionsgraph und Abszisse



67

Unterrichtsvorhaben 3: Exponentielles Wachstum Inhaltsbezogene Kompetenzen Prozessbezogene Kompetenzen Bemerkungen





Wiederholung: Exponentielles Wachstum

(Exponentielles Wachstum, Eigenschaften der Exponentialfunktionen)

3.1 Exponentielles Wachstum

3.1.1 Wachstumsgeschwindigkeit – e-Funktion

(Exponentialfunktionen mit beliebiger Basis – Ableitung, Verknüpfungen von ganzrationalen Funktionen mit der e-Funktion, Flächenberechnungen und Stammfunktionen bei verknüpften Funktionen, Die EULER’sche Zahl e, Vernetzte Aufgaben)

3.1.2 Ableitung von Funktionen f mit f(x) = ek·x + n

(e-Funktionen mit linearen Funktionen im Exponenten, Ableitungen, Steigungen und Tangenten, Stammfunktionen und Integrale, Vernetzte Aufgaben)

3.1.3 Beschreibung von exponentiellem Wachstum mithilfe der e-Funktion

(Wachstumsprozesse mit der e-Funktion beschreiben, Ableitungen bestimmen, Gleichungen lösen, Integrale berechnen, Vernetzte Aufgabe)

3.1.4 Wachstumsprozesse untersuchen

(Exponentielle Abnahme und Zunahme mithilfe der e-Funktion

– bilden die Ableitung der natürlichen Exponentialfunktion

– beschreiben die Eigenschaften von Exponentialfunktionen und die besondere Eigenschaft der natürlichen Exponentialfunktion

– untersuchen Wachstums- und Zerfallsvorgänge mit Hilfe funktionaler Ansätze


68

modellieren, Halbwertszeit – Verdopplungszeit, Wachstumsgeschwindigkeit exponentieller Prozesse – experimentelle Bestimmung von k)

3.2 Verknüpfungen von e-Funktionen und ganzrationalen Funktionen

3.2.1 Produktregel – Wachstumsvergleich von e-Funktionen und ganzrationalen Funktionen

(Anwenden der Ableitungsregeln – Untersuchen des Globalverlaufs, Aspekte von Funktionsuntersuchungen, Argumentieren und Begründen)

3.2.2 Modellieren mit zusammengesetzten Funktionen

(Typische Aufgabenstellungen bei komplexen Anwendungssituationen)

– bilden in einfachen Fällen zusammengesetzte Funktionen (Summe, Produkt, Verkettung)

– wenden die Kettenregel auf Verknüpfungen der natürlichen Exponentialfunktion mit linearen Funktionen an

– wenden die Produktregel auf Verknüpfungen von ganzrationalen Funktionen und Exponentialfunktionen an

3.2.3 Aspekte von Funktionsuntersuchungen mit e-Funktionen

(Einzelaspekte von Funktionsuntersuchungen bearbeiten, zusammengesetzte Exponentialfunktionen in Sachzusammenhängen untersuchen)

–


69

Unterrichtsvorhaben 4 Analytische Geometrie

Inhaltsbezogene Kompetenzen Prozessbezogene Kompetenzen Bemerkungen





Wiederholung: 4.1 Punkte und Vektoren im Raum

4.1.1 Lage von Punkten im Raum beschreiben (Zeichnen von Punkten und Körpern in Koordinatensystemen; Lage von Punkten im Koordinatensystem erkennen und beschreiben; Projektion und Spiegelung von Punkten)

4.1.2 Vektoren (Verschiebungen, Vektoren und Pfeile; Längen von Vektoren berechnen)

4.1.3 Addition und Subtraktion von Vektoren (Summen und Differenzen von Vektoren berechnen und zeichnen; Dreiecksregel anwenden – Abstände zwischen zwei Punkten bestimmen; Bewegungen mit Vektoren bestimmen; Parallelogramme mit Vektoren beschreiben; Eigenschaften von Dreiecken untersuchen)

4.1.4 Vervielfachen von Vektoren (Mit Vektoren rechnen; Vektoren in Figuren bestimmen; Mittelpunkt einer Strecke berechnen)

4.2 Geraden im Raum

4.2.1. Parameterdarstellung einer Geraden

(Parameterdarstellungen einer Geraden bestimmen, Beschreibung von Strecken – Punktprobe)

4.2.2 Lagebeziehungen zwischen Geraden

(Lagebeziehungen von Geraden zueinander untersuchen, Geraden

– stellen Geraden und Strecken in Parameterform dar

– untersuchen Lagebeziehungen zwischen zwei Geraden

– interpretieren den Parameter von Geradengleichungen im Sachkontext



70

mit vorgegebenen Lagen zueinander bestimmen, Geraden in geometrischen Figuren, Geraden in Anwendungen)

4.3 Winkel im Raum

4.3.1 Orthogonalität zweier Vektoren – Skalarprodukt

(Orthogonalitätsprüfungen, Orthogonale Vektoren finden, Argumentieren mit dem Skalarprodukt)

4.3.2 Winkel zwischen Vektoren und Geraden

(Winkel zwischen zwei Vektoren, Untersuchungen an geometrischen Figuren, Winkel zwischen zwei Geraden im Raum)

– deuten das Skalarprodukt geometrisch und berechnen es

– untersuchen mit Hilfe des Skalarprodukts geometrische Objekte und Situationen im Raum (Orthogonalität, Winkel- und Längenberechnung)

4.4 Ebenen im Raum

4.4.1 Parameterdarstellung einer Ebene

(Punkte einer Ebene bestimmen – Punktprobe, Parameterdarstellung einer Ebene aus drei Punkten bestimmen, Parameterdarstellung von Ebenen durch Geraden und Punkte bestimmen, Parameterdarstellungen von Ebenen in Figuren bestimmen, Ebenen mit besonderer Lage im Koordinatensystem, Geraden, die in Ebenen liegen)

4.4.2 Ebenen zeichnen – Spurgeraden Selbst lernen

(Ebenen mit drei Spurpunkten, Ebenen mit zwei Spurpunkten, Ebenen mit einem Spurpunkt, Ebenen durch den Koordinatenursprung)

4.4.3 Lagebeziehungen zwischen Gerade und Ebene

(Gemeinsame Punkte von Geraden mit Ebenen bestimmen, Geraden und Ebenen mit zueinander vorgegebener Lage bestimmen, Geraden und Ebenen in geometrischen Figuren)

– stellen Ebenen in Parameterform dar

– untersuchen Lagebeziehungen zwischen Geraden und Ebenen

– berechnen Schnittpunkte von Geraden sowie Durchstoßpunkte von Geraden mit Ebenen und deuten sie im Sachkontext


– lösen lineare Gleichungssysteme bis zum Grad 3 den Gauss-Algorithmus an.

– - beschreiben den Gauss-Algorithmus als Lösungsverfahren für lineare Gleichungssysteme

Hier kann ein Rückgriff auf Kap.1.3 Lösen von linearen Gleichungssystemen (Gauss-Algorithmus) erfolgen.


71

Unterrichtsvorhaben 5: Wahrscheinlichkeitsverteilungen






Die Schülerinnen und Schüler …

5.1 Lage- und Streuungsmaße von Stichproben

5.1.1 Häufigkeitsverteilungen – Mittelwert einer Häufigkeitsverteilung

(Häufigkeitsverteilungen – Mittelwert einer Häufigkeitsverteilung, Arithmetisches Mittel einer Häufigkeitsverteilung mit zusammengefassten Daten)

5.1.2 Streuung um den Mittelwert einer Stichprobe – die empirische Standardabweichung

(Berechnung der empirischen Standardabweichung von Häufigkeitsverteilungen)

– untersuchen Lage- und Streumaße von Stichproben

– verwenden digitale Werkzeuge zum Ermitteln der Kennzahlen statistischer Daten (Mittelwert, Standardabweichung)

Wiederholung: Wahrscheinlichkeitsrechnung

(Zufallsversuche, LAPLACE-Versuch, Mehrstufiger Zufallsversuch, Baumdiagramme und Pfadregeln, Komplementärregel)

– je nach Bedarf

5.2 Zufallsgröße – Erwartungswert einer Zufallsgröße

(Bestimmen von Wahrscheinlichkeitsverteilungen durch Abzählen der zugehörigen Ergebnisse, Bestimmen von Wahrscheinlichkeitsverteilungen mithilfe von Baumdiagrammen, Berechnen des Erwartungswerts für eine gegebene

– erläutern den Begriff der Zufallsgröße an geeigneten Beispielen

– bestimmen den Erwartungswert μ von Zufallsgrößen und treffen damit prognostische Aussagen


72

Wahrscheinlichkeitsverteilung)

5.3 Binomialverteilung

5.3.1 BERNOULLI-Ketten

(Überprüfen, ob eine BERNOULLI-Kette vorliegt, erste Wahrscheinlichkeitsberechnungen bei BERNOULLI-Ketten)

5.3.2 Berechnen von Wahrscheinlichkeiten – BERNOULLI-Formel

(Anwenden der BERNOULLI-Formel zur Berechnung von Wahrscheinlichkeiten, Anwenden der BERNOULLI-Formel zur Berechnung von zu erwartenden Werten, Modellieren von Ziehvorgängen ohne Zurücklegen mithilfe eines Binomialansatzes, Eigenschaften von Binomialverteilungen, Darstellen der Binomialkoeffizienten mithilfe der Fakultätenschreibweise)

5.3.3 Kumulierte Binomialverteilung – ein Auslastungsmodell

(Modellieren der Auslastung von Maschinen, Simulation einer Auslastung)

5.3.4 Berechnen von Intervall-Wahrscheinlichkeiten

(Bestimmen von Intervall-Wahrscheinlichkeiten, Modellierung von Vorgängen mithilfe eines Binomialansatzes, Bestimmen von Intervallen mit vorgegebenen Wahrscheinlichkeiten)

5.3.5 Wahrscheinlichkeit für mindestens einen Erfolg bei einem n-stufigen BERNOULLI-Experiment

(Notwendiger Stichprobenumfang für mindestens einen Erfolg)

– verwenden Bernoulliketten zur Beschreibung entsprechender Zufalls-experimente

– erklären die Binomialverteilung und berechnen damit Wahrscheinlichkeiten

– nutzen Binomialverteilungen und ihre Kenngrößen zur Lösung von Problemstellungen

– (verwenden digitale Werkzeuge zum Generieren von Zufallszahlen)

– (verwenden digitale Werkzeuge zum Erstellen der Histogramme von Wahrscheinlichkeitsverteilungen)

– (verwenden digitale Werkzeuge zum Berechnen von Wahrscheinlichkeiten bei binomialverteilten Zufallsgrößen)


73

Unterrichtsvorhaben 6: Erwartungswert und Standardabweichung von Binomialverteilungen







6.1 Erwartungswert und Standardabweichung von Binomialverteilungen

6.1.1 Erwartungswert einer Binomialverteilung

(Erwartungswert einer Binomialverteilung, Maximum einer Binomialverteilung, Eigenschaften von Umgebungen um den Erwartungswert einer Binomialverteilung)

6.1.2 Standardabweichung von binomialverteilten Zufallsgrößen

(Entdecken einer Formel für die mittlere quadratische Abweichung einer Binomialverteilung, Überprüfen der Berechnungsformel für die Standardabweichung, Vergleich von Binomialverteilungen mit gleichem Erwartungswert, Binomialverteilungen mit gleicher Standardabweichung, Binomialverteilung mit maximaler Streuung, Bestimmen einer Binomialverteilung zu gegebenen Werten von Erwartungswert und Standardabweichung)

6.1.3 Umgebungen um den Erwartungswert einer Binomialverteilung – σ-Regeln

(Sigma-Regeln überprüfen, Boxplots und Sigma-Umgebungen)

– bestimmen den Erwartungswert μ und die Standardabweichung σ von Zufallsgrößen und treffen damit prognostische Aussagen

– beschreiben den Einfluss der Parameter n und p auf Binomialverteilungen und ihre grafische Darstellung

– verwenden digitale Werkzeuge zum Berechnen der Kennzahlen von Wahrscheinlichkeitsverteilungen (Erwartungswert, Standardabweichung)

– verwenden digitale Werkzeuge zum Variieren der Parameter von Wahrscheinlichkeitsverteilungen

– verwenden digitale Werkzeuge zum Erstellen der Histogramme von Wahrscheinlichkeitsverteilungen



74

6.2 Einführung in Schlussverfahren der Beurteilenden Statistik

6.2.1 Prognose über zu erwartende Häufigkeiten

(Prognosen für zu erwartende absolute Häufigkeiten, Signifikante Abweichungen, Prognose über zu erwartende relative Häufigkeiten, Ausnutzen der Symmetrie der Binomialverteilung)

6.2.2 Mithilfe einer Entscheidungsregel von der Stichprobe auf die Gesamtheit schließen

(Eine Entscheidungsregel erläutern und mögliche Fehler bedenken, Mithilfe einer Entscheidungsregel von der Stichprobe auf die Gesamtheit schließen)

– schließen anhand einer vorgegebenen Entscheidungsregel aus einem Stichprobenergebnis auf die Grundgesamtheit

6.3 Stochastische Prozesse mithilfe von Matrizen beschreiben

6.3.1 Bestimmung von Zuständen mithilfe von Übergangsmatrizen

(Übergangsdiagramme und Übergangsmatrizen, Berechnen eines veränderten Zustandsvektors)

6.3.2 Untersuchung stochastischer Prozesse mithilfe der Matrizenmultiplikation

(Bestimmung zukünftiger Zustände, Bestimmung zurückliegender Zustände)

6.3.3 Stabilisieren von Zuständen – stationäre Zustände

(Stationäre Verteilung – Fixvektor)

– beschreiben stochastische Prozesse mithilfe von Zustandsvektoren und stochastischen Übergangsmatrizen

– verwenden die Matrizenmultiplikation zur Untersuchung stochastischer Prozesse (Vorhersage nachfolgender Zustände, numerisches Bestimmen sich stabilisierender Zustände)

– verwenden digitale Werkzeuge zum Durchführen von Operationen mit Vektoren und Matrizen


75

Qualifikationsphase Q1/Q2 Leistungskurs

Unterrichtsvorhaben 1 : Fortsetzung der Differenzialrechnung

Inhaltsbezogene Kompetenzen Die Inhaltsbezogenen Kompetenzen orientieren sich am Stoffverteilungsplan des Schroedel-Verlages






Wiederholung und Ergänzung aus der Einführungsphase Wiederholung: Differenzialrechnung

(Durchschnittliche Änderungsrate, Ableitung an einer Stelle, Ableitungsfunktion, Ableitungsregeln)

Wiederholung: Funktionsuntersuchungen

(Globalverlauf, Symmetrie des Funktionsgraphen, Nullstellen ganzrationaler Funktionen, Monotonie, Extrempunkte und Sattelpunkte, Lokale, globale Extrema und Randextrema, Monotonie und Extrempunkte, Kriterien für Extremstellen)

Die Wiederholung soll

sich beschränken auf

Inhalte, die in der EF

nicht behandelt wurden.

1.1 Fortsetzung der Differenzialrechnung

1.1.1 Wendepunkte – Linkskurve, Rechtskurve

(Ableitungen berechnen, Links- und Rechtskurven bestimmen, grafisch argumentieren, Sätze und Definitionen kennen)

1.1.2 Kriterien für Extrem- und Wendepunkte Selbst lernen

(Extrem- und Wendepunkte berechnen, Aussagen über Extrem- und Wendestellen beurteilen, Sätze und Definitionen kennen und

– verwenden notwendige Kriterien und Vorzeichenwechselkriterien sowie weitere hinreichende Kriterien zur Bestimmung von Extrem- und Wende-punkten

– beschreiben das Krümmungsverhalten des Graphen einer Funktion mit Hilfe der 2. Ableitung

– interpretieren Parameter von Funktionen im Kontext und untersuchen ihren Einfluss auf Eigenschaften von Funktionenscharen

Auf die konsequente

Verwendung des GTR

ist Wert zu legen.

Eine weitgehende

Parallelität der Kurse ist

anzustreben


76

anwenden, Vernetzte Aufgaben)

1.1.3 Ableitung von Potenzfunktionen mit rationalen Exponenten Selbst lernen

(Anwenden der Ableitungsregeln, Ableitung der Quadratwurzelfunktion, Steigungen von Funktionen, Tangentengleichung, Vernetzte Aufgaben)

1.1.4 Aspekte von Funktionsuntersuchungen

(Aspekte von Funktionsuntersuchungen, Rechnerfenster kritisch hinterfragen, Argumentieren mit Eigenschaften von Funktionen, Untersuchung von Eigenschaften in Abhängigkeit von einem Parameter bei ganzrationalen Funktionen, Vernetzte Aufgaben)

1.1.5 Funktionenscharen

(Eigenschaften einer Funktionenschar in Abhängigkeit von einem Parameter untersuchen, Funktionenscharen in Sachsituationen)

– bilden die Ableitungen von Potenzfunktionen mit rationalen Exponenten

– verwenden digitale Werkzeuge zum Berechnen der Ableitung einer Funktion an einer Stelle

– verwenden digitale Werkzeuge zum Darstellen von Funktionen grafisch und als Wertetabelle

– verwenden digitale Werkzeuge zum zielgerichteten Variieren der Parameter von Funktionen

1.2 Extremwertprobleme

(Geometrische Körper und Figuren, Vereinfachen durch Quadrieren der Zielfunktion, Flächeninhalte und Funktionsgraphen, Aufgaben aus der Wirtschaft)

– verwenden notwendige Kriterien und Vorzeichenwechselkriterien sowie weitere hinreichende Kriterien zur Bestimmung von Extrempunkten

– führen Extremalprobleme durch Kombination mit Nebenbedingungen auf Funktionen einer Variablen zurück und lösen diese

Wiederholung: Lösen linearer Gleichungssysteme

(Einsetzungsverfahren, Additionsverfahren, Sonderfälle bei der Lösungsmenge)

–

1.3 Lösen linearer Gleichungssysteme – GAUSS-Algorithmus

1.3.1 Der GAUSS-Algorithmus zum Lösen eines linearen Gleichungssystems

1.3.2 Lineare Gleichungssysteme mit unendlich vielen Lösungen oder ohne Lösung

– stellen lineare Gleichungssysteme in Matrix-Vektor-Schreibweise dar

– beschreiben den Gauß-Algorithmus als Lösungsverfahren für lineare Gleichungssysteme

– wenden den Gauß-Algorithmus ohne digitale Werkzeuge auf Glei-chungssysteme mit maximal drei Unbekannten an, die mit geringem


77

Rechenaufwand lösbar sind

– interpretieren die Lösungsmenge von linearen Gleichungssystemen


1.4 Bestimmen ganzrationaler Funktionen

(Bestimmen einer Funktion mit vorgegebenem Grad, Bestimmen einer Funktion ohne vorgegebenen Grad, mit ganzrationalen Funktionen modellieren)

– bestimmen Parameter einer Funktion mit Hilfe von Bedingungen, die

sich aus dem Kontext ergeben („Steckbriefaufgaben“)


78

Unterrichtsvorhaben 2: Integralrechnung Inhaltsbezogene Kompetenzen Prozessbezogene Kompetenzen Bemerkungen





2.4 Eine Größe aus ihrer Änderungsrate rekonstruieren

(Rekonstruktion einer Größe aus dem Graphen der Änderungsrate, Rekonstruktion einer Größe aus gegebenen Änderungsraten)

– interpretieren Produktsummen im Kontext als Rekonstruktion des Gesamtbestandes oder Gesamteffektes einer Größe

– deuten die Inhalte von orientierten Flächen im Kontext

– ermitteln den Gesamtbestand oder Gesamteffekt einer Größe aus der Änderungsrate oder der Randfunktion

2.5 Das Integral als Grenzwert von Produktsummen

(Integrale näherungsweise mithilfe von Produktsummen bestimmen, Integrale der Quadratfunktion mithilfe der Formel berechnen, Integrale als Summen orientierter Flächeninhalte bestimmen, Vernetzte Aufgabe)

– erläutern und vollziehen an geeigneten Beispielen den Übergang von der Produktsumme zum Integral auf der Grundlage eines propädeutischen Grenzwertbegriffs

– nutzen die Intervalladditivität von Integralen

– verwenden digitale Werkzeuge zum Ermitteln des Wertes eines bestimmten Integrales

2.3 Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung

(Stammfunktionen, Integralfunktionen bestimmen und ihre Graphen zeichnen, Abschnittsweise definierte Integralfunktionen, Graph einer Integralfunktion näherungsweise aus einem Graphen rekonstruieren, Integrale mithilfe von Stammfunktionen berechnen, die passende Stammfunktion zu einem Anfangswert finden, orientierte Flächeninhalte, Integrale mithilfe eines Rechners bestimmen, Integralfunktionen mit einem GTR darstellen, keine Stammfunktion zu finden – da hilft die Integralfunktion, Vernetzte Aufgaben)

– bestimmen Stammfunktionen ganzrationaler Funktionen

– begründen den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung unter Verwendung eines anschaulichen Stetigkeitsbegriffs

– bestimmen Integrale numerisch und mithilfe von gegebenen oder Nachschlagewerken entnommenen Stammfunktionen

– nutzen die Linearität von Integralen


79

2.4 Integralfunktionen

(Graph einer Integralfunktion näherungsweise aus einem Graphen rekonstruieren, Integralfunktionen bestimmen und ihre Graphen zeichnen, Integralfunktionen mit einem GTR darstellen)

– skizzieren zu einer gegebenen Randfunktion die zugehörige Flächen-inhaltsfunktion

– erläutern den Zusammenhang zwischen Änderungsrate und Integralfunktion

2.5 Berechnen von Flächeninhalten

2.5.1 Fläche zwischen einem Funktionsgraphen und der x-Achse

(Flächeninhalte bei Graphen einer gegebenen Funktion f bestimmen, passende Funktionen bestimmen und Flächeninhalte berechnen)

2.5.2 Fläche zwischen zwei Funktionsgraphen

(Flächeninhalte von Flächen zwischen den Graphen zweier gegebener Funktionen berechnen, passende Funktionen bestimmen und Flächeninhalte zwischen den Graphen der Funktionen berechnen, Vernetzte Aufgaben)

2.5.3 Uneigentliche Integrale

– verwenden digitale Werkzeuge zum Messen von Flächeninhalten zwischen Funktionsgraph und Abszisse


– bestimmen Flächeninhalte mit Hilfe von bestimmten und uneigentlichen Integralen

2.6 Volumina von Rotationskörpern – bestimmen Volumina von Körpern, die durch die Rotation um die Abszisse entstehen, mit Hilfe von bestimmten und uneigentlichen Integralen


80

Unterrichtsvorhaben 3: Exponentielles Wachstum Inhaltsbezogene Kompetenzen Prozessbezogene Kompetenzen Bemerkungen





Wiederholung: Exponentielles Wachstum

(Exponentielles Wachstum, Eigenschaften der Exponentialfunktionen)

3.1 Exponentielles Wachstum

3.1.1 Wachstumsgeschwindigkeit – e-Funktion

(Exponentialfunktionen mit beliebiger Basis – Ableitung, Verknüpfungen von ganzrationalen Funktionen mit der e-Funktion, Flächenberechnungen und Stammfunktionen bei verknüpften Funktionen, Die EULER’sche Zahl e, Vernetzte Aufgaben)

3.1.2 Ableitung von Exponentialfunktionen – natürlicher Logarithmus

(e-Funktionen mit linearen Funktionen im Exponenten, Ableitungen, Steigungen und Tangenten, Stammfunktionen und Integrale, Vernetzte Aufgaben)

3.1.3 Eigenschaften von e-Funktionen – Kettenregel

(Wachstumsprozesse mit der e-Funktion beschreiben, Ableitungen bestimmen, Gleichungen lösen, Integrale berechnen, Vernetzte Aufgabe)

– bilden die Ableitung der natürlichen Exponentialfunktion

– bilden die Ableitung von Exponentialfunktionen mit beliebiger Basis

– bilden die Ableitung der natürlichen Logarithmusfunktion

– deuten die Ableitung mithilfe der Approximation durch lineare Funktionen

– beschreiben die Eigenschaften von Exponentialfunktionen und begründen die besondere Eigenschaft der natürlichen Exponentialfunktion

– nutzen die natürliche Logarithmusfunktion als Umkehrfunktion der natürlichen Exponentialfunktion

– verwenden Exponentialfunktionen zur Beschreibung von Wachstums- und Zerfallsvorgängen und vergleichen die Qualität der Modellierung exemplarisch mit einem begrenzten Wachstum

– nutzen die natürliche Logarithmusfunktion als Stammfunktion der Funktion

xx 1


81

3.1.4 Wachstumsprozesse untersuchen Selbst lernen

(Exponentielle Abnahme und Zunahme mithilfe der e-Funktion modellieren, Halbwertszeit – Verdopplungszeit, Wachstumsgeschwindigkeit exponentieller Prozesse – experimentelle Bestimmung von k)

3.1.5 Begrenztes Wachstum

3.2 Eigenschaften zusammengesetzter Funktionen

3.2.1 Summe und Differenz von Funktionen

(Anwenden der Ableitungsregeln – Untersuchen des Globalverlaufs, Aspekte von Funktionsuntersuchungen, Argumentieren und Begründen)

3.2.2 Produkte von Funktionen

3.2.3 Produktregel

– führen Eigenschaften von zusammengesetzten Funktionen (Summe, Produkt, Verkettung) argumentativ auf deren Bestandteile zurück

– wenden die Produkt- und Kettenregel zum Ableiten von Funktionen an

3.3 Modellieren mit zusammengesetzten Funktionen

(Typische Aufgabenstellungen bei komplexen Anwendungssituationen)

3.4 Aspekte von Funktionsuntersuchungen mit e-Funktionen – Funktionenscharen

(Einzelaspekte von Funktionsuntersuchungen bearbeiten, zusammengesetzte Exponentialfunktionen in Sachzusammenhängen untersuchen)


82

Unterrichtsvorhaben 4 Vektorielle Geometrie






Wiederholung: 4.1 Punkte und Vektoren im Raum

4.1.1 Lage von Punkten im Raum beschreiben (Zeichnen von Punkten und Körpern in Koordinatensystemen; Lage von Punkten im Koordinatensystem erkennen und beschreiben; Projektion und Spiegelung von Punkten)

4.1.2 Vektoren (Verschiebungen, Vektoren und Pfeile; Längen von Vektoren berechnen)

4.1.3 Addition und Subtraktion von Vektoren (Summen und Differenzen von Vektoren berechnen und zeichnen; Dreiecksregel anwenden – Abstände zwischen zwei Punkten bestimmen; Bewegungen mit Vektoren bestimmen; Parallelogramme mit Vektoren beschreiben; Eigenschaften von Dreiecken untersuchen)

4.1.5 Vervielfachen von Vektoren (Mit Vektoren rechnen; Vektoren in Figuren bestimmen; Mittelpunkt einer Strecke berechnen)

4.2 Geraden im Raum

4.2.1. Parameterdarstellung einer Geraden

(Parameterdarstellungen einer Geraden bestimmen, Beschreibung von Strecken – Punktprobe)

4.2.2 Lagebeziehungen zwischen Geraden

(Lagebeziehungen von Geraden zueinander untersuchen, Geraden

– stellen Geraden in Parameterform dar

– untersuchen Lagebeziehungen zwischen Geraden

– stellen geradlinig begrenzte Punktmengen in Parameterform dar


Zur Darstellung im

dreidimensionalen

Raum eignet sich

besonders

GEOGEBRA


83

mit vorgegebenen Lagen zueinander bestimmen, Geraden in geometrischen Figuren, Geraden in Anwendungen)

4.3 Winkel im Raum

4.3.1 Orthogonalität zweier Vektoren – Skalarprodukt

(Orthogonalitätsprüfungen, Orthogonale Vektoren finden, Argumentieren mit dem Skalarprodukt)

4.3.2 Winkel zwischen Vektoren und Geraden

(Winkel zwischen zwei Vektoren, Untersuchungen an geometrischen Figuren, Winkel zwischen zwei Geraden im Raum)

– deuten das Skalarprodukt geometrisch und berechnen es


4.4 Ebenen im Raum

4.4.1 Parameterdarstellung einer Ebene

(Punkte einer Ebene bestimmen – Punktprobe, Parameterdarstellung einer Ebene aus drei Punkten bestimmen, Parameterdarstellung von Ebenen durch Geraden und Punkte bestimmen, Parameterdarstellungen von Ebenen in Figuren bestimmen, Ebenen mit besonderer Lage im Koordinatensystem, Geraden, die in Ebenen liegen)

4.4.2 Lagebeziehungen zwischen Gerade und Ebene

(Gemeinsame Punkte von Geraden mit Ebenen bestimmen, Geraden und Ebenen mit zueinander vorgegebener Lage bestimmen, Geraden und Ebenen in geometrischen Figuren)

– stellen Ebenen in Koordinaten- und in Parameterform dar

– stellen geradlinig begrenzte Punktmengen in Parameterform dar


– berechnen Schnittpunkte von Geraden sowie Durchstoßpunkte von Geraden mit Ebenen und deuten sie im Sachkontext


4.5 Normalenvektor einer Ebene

4.5.1 Normalenform und Koordinatenform einer Ebene

4.5.2 Lagebeziehungen mithilfe eines Normalenvektors untersuchen Selbst lernen

– stellen Ebenen in Normalenform dar und nutzen diese zur Orientierung im Raum



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4.6 Winkel zwischen Geraden und Ebenen

4.6.1 Winkel zwischen einer Geraden und einer Ebene

4.6.2 Winkel zwischen zwei Ebenen


4.7 Abstandsberechnungen

4.7.1 Abstand eines Punktes von einer Ebene und von einer Geraden

4.7.2 Die HESSE’sche Normalenform Selbst lernen

4.7.3 Abstand zueinander windschiefer Geraden

– bestimmen Abstände zwischen Punkten, Geraden und Ebenen


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Unterrichtsvorhaben 5: Wahrscheinlichkeitsverteilungen







5.1 Lage- und Streuungsmaße von Stichproben

5.1.1 Häufigkeitsverteilungen – Mittelwert einer Häufigkeitsverteilung

(Häufigkeitsverteilungen – Mittelwert einer Häufigkeitsverteilung, Arithmetisches Mittel einer Häufigkeitsverteilung mit zusammengefassten Daten)

5.1.2 Streuung um den Mittelwert einer Stichprobe – die empirische Standardabweichung

(Berechnung der empirischen Standardabweichung von Häufigkeitsverteilungen)

– untersuchen Lage- und Streumaße von Stichproben

– verwenden digitale Werkzeuge zum Ermitteln der Kennzahlen statistischer Daten (Mittelwert, Standardabweichung)

Wiederholung: Wahrscheinlichkeitsrechnung

(Zufallsversuche, LAPLACE-Versuch, Mehrstufiger Zufallsversuch, Baumdiagramme und Pfadregeln, Komplementärregel)

–

5.3 Wahrscheinlichkeitsverteilungen

5.2.1 Zufallsgröße – Erwartungswert einer Zufallsgröße

(Bestimmen von Wahrscheinlichkeitsverteilungen durch Abzählen der zugehörigen Ergebnisse, Bestimmen von Wahrscheinlich-

– erläutern den Begriff der Zufallsgröße an geeigneten Beispielen

– bestimmen den Erwartungswert μ von Zufallsgrößen und treffen damit prognostische Aussagen


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keitsverteilungen mithilfe von Baumdiagrammen, Berechnen des Erwartungswerts für eine gegebene Wahrscheinlichkeitsverteilung)

5.2.2 Anwendung von Zählstrategien zur Bestimmung der Anzahl der Möglichkeiten

(Zählprinzip, Urnenmodelle, Fakultätschreibweise)

5.2.3 Anwendung von Zählstrategien beim Ziehen mit einem Griff

(Berechnen von Binomialkoeffizienten, PASCAL’sches Dreieck, das PASCAL’sche Dreieck und Binomische Formeln, Bestimmen von Wahrscheinlichkeitsverteilungen mithilfe von Binomialkoeffizienten)

5.3 Binomialverteilung

5.3.1 BERNOULLI-Ketten

(Überprüfen, ob eine BERNOULLI-Kette vorliegt, erste Wahrscheinlichkeitsberechnungen bei BERNOULLI-Ketten)

5.3.2 Berechnen von Wahrscheinlichkeiten – BERNOULLI-Formel

(Anwenden der BERNOULLI-Formel zur Berechnung von Wahrscheinlichkeiten, Anwenden der BERNOULLI-Formel zur Berechnung von zu erwartenden Werten, Modellieren von Ziehvorgängen ohne Zurücklegen mithilfe eines Binomialansatzes, Eigenschaften von Binomialverteilungen)

5.3.3 Kumulierte Binomialverteilung – ein Auslastungsmodell

(Modellieren der Auslastung von Maschinen, Simulation einer Auslastung)

5.3.4 Berechnen von Intervall-Wahrscheinlichkeiten

(Bestimmen von Intervall-Wahrscheinlichkeiten, Modellierung von Vorgängen mithilfe eines Binomialansatzes, Bestimmen von Intervallen mit vorgegebenen Wahrscheinlichkeiten)

5.3.5 Wahrscheinlichkeit für mindestens einen Erfolg

– verwenden Bernoulliketten zur Beschreibung entsprechender Zufalls-experimente

– erklären die Binomialverteilung einschließlich der kombinatorischen Bedeutung der Binomialkoeffizienten und berechnen damit Wahr-scheinlichkeiten


– verwenden digitale Werkzeuge zum Generieren von Zufallszahlen


– verwenden digitale Werkzeuge zum Berechnen von Wahrscheinlichkeiten bei binomialverteilten Zufallsgrößen


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bei einem n-stufigen BERNOULLI-Experiment

(Notwendiger Stichprobenumfang für mindestens einen Erfolg)


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Unterrichtsvorhaben 6: Erwartungswert und Standardabweichung von Binomialverteilungen







6.1 Erwartungswert und Standardabweichung von Binomialverteilungen

6.1.1 Erwartungswert einer Binomialverteilung

(Erwartungswert einer Binomialverteilung, Maximum einer Binomialverteilung, Eigenschaften von Umgebungen um den Erwartungswert einer Binomialverteilung, Allgemeine Untersuchungen zum Erwartungswert und zum Maximum einer Binomialverteilung)

6.1.2 Standardabweichung von binomialverteilten Zufallsgrößen

(Entdecken einer Formel für die mittlere quadratische Abweichung einer Binomialverteilung, Überprüfen der Berechnungsformel für die Standardabweichung, Vergleich von Binomialverteilungen mit gleichem Erwartungswert, Binomialverteilungen mit gleicher Standardabweichung, Binomialverteilung mit maximaler Streuung, Bestimmen einer Binomialverteilung zu gegebenen Werten von Erwartungswert und Standardabweichung)

6.1.3 Umgebungen um den Erwartungswert einer Binomialverteilung – σ-Regeln

– bestimmen den Erwartungswert μ und die Standardabweichung σ von Zufallsgrößen und treffen damit prognostische Aussagen

– nutzen die -Regeln für prognostische Aussagen

– verwenden digitale Werkzeuge zum Berechnen der Kennzahlen von Wahrscheinlichkeitsverteilungen (Erwartungswert, Standardabweichung)

– beschreiben den Einfluss der Parameter n und p auf Binomialverteilungen und ihre graphische Darstellung

– verwenden digitale Werkzeuge zum Variieren der Parameter von Wahrscheinlichkeitsverteilungen




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(Sigma-Regeln überprüfen, Boxplots und Sigma-Umgebungen)

6.1.4 Bestimmen eines genügend großen Stichprobenumfangs

(Sigma-Regeln für relative Häufigkeiten, 95 %-Trichter)

6.2 Normalverteilung

6.2.1 Approximation von Binomialverteilungen durch Normalverteilungen

(Eigenschaften der GAUSS’schen Dichtefunktion, Approximation der Binomialverteilung durch eine Normalverteilung, Spezialfälle der Näherungsformeln von MOIVRE und LAPLACE, Anwenden der Näherungsformeln)

6.2.2 Wahrscheinlichkeiten bei normalverteilten Zufallsgrößen Selbst lernen

(Wahrscheinlichkeiten bei gegebenen Werten von und bestimmen)

6.2.3 Bestimmen der Parameter bei normalverteilten Zufallsgrößen

(Schätzwerte für und ermitteln und damit

Wahrscheinlichkeiten bestimmen, Die Parameter und aus Wahrscheinlichkeitsaussagen erschließen)

– unterscheiden diskrete und stetige Zufallsgrößen und deuten die Ver-teilungsfunktion als Integralfunktion

– untersuchen stochastische Situationen, die zu annähernd normalverteilten Zufallsgrößen führen

– beschreiben den Einfluss der Parameter μ und σ auf die Normalverteilung und die graphische Darstellung ihrer Dichtefunktion (Gauß’sche Glockenkurve)

6.3 Beurteilende Statistik – Hypothesentests

6.3.1 Prognose über zu erwartende Häufigkeiten – Schluss von der Gesamtheit auf die Stichprobe

(Prognosen für zu erwartende absolute Häufigkeiten, Signifikante Abweichungen, Prognose über zu erwartende relative Häufigkeiten, Ausnutzen der Symmetrie der Binomialverteilung)

6.3.2 Testen von zweiseitigen Hypothesen – Fehler 1. und 2. Art

– interpretieren Hypothesentests bezogen auf den Sachkontext und das Erkenntnisinteresse

– beschreiben und beurteilen Fehler 1. und 2. Art,


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(Annahme- und Verwerfungsbereich bestimmen, Entscheidungsregeln aufstellen, Fehler 1. und 2. Art in Alltagssituationen beschreiben, Über die Gültigkeit von zweiseitigen Hypothesen entscheiden, Wahrscheinlichkeit für einen Fehler 2. Art bestimmen)

6.3.3 Auswahl der Hypothese – Testen von einseitigen Hypothesen

(Einseitiger Hypothesentest bei vorgegebener Hypothese, Einseitig oder zweiseitig testen, Verschiedene Standpunkte – verschiedene einseitige Hypothesentests)

6.4 Stochastische Prozesse mithilfe von Matrizen beschreiben

6.4.1 Bestimmung von Zuständen mithilfe von Übergangsmatrizen

(Übergangsdiagramme und Übergangsmatrizen, Berechnen eines veränderten Zustandsvektors)

6.4.2 Untersuchung stochastischer Prozesse mithilfe der Matrizenmultiplikation

(Bestimmung zukünftiger Zustände, Bestimmung zurückliegender Zustände)

6.4.3 Stabilisieren von Zuständen – stationäre Zustände

(Stationäre Verteilung – Fixvektor)

– beschreiben stochastische Prozesse mithilfe von Zustandsvektoren und stochastischen Übergangsmatrizen

– verwenden die Matrizenmultiplikation zur Untersuchung stochastischer Prozesse (Vorhersage nachfolgender Zustände, numerisches Bestimmen sich stabilisierender Zustände)

– verwenden digitale Werkzeuge zum Durchführen von Operationen mit Vektoren und Matrizen


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13. Projekte Wettbewerbe Pangea Mathematikwettbewerb : Die Teilnahme ist für Schülerinnen und Schüler der Klasse 5 verbindlich, für Schülerinnen und Schüler der anderen Jahrgangsstufen freiwillig. Mathematik-Olympiade: Die Teilnahme ist für Schülerinnen und Schüler aller Jahrgangstufen freiwillig.

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Mathematik (September 2016) - st-angela.de · Schulinternes Curriculum im Fach Mathematik 3 Ab Klasse 6 setzen wird Computerprogramme wie GEOGEBRA oder EXCEL ein. Diese Programme