Mathematikunterricht (Informatikunterricht) mit Computern

METHODIK UND DIDAKTIK

Karl Josef Fuchs, Universität Salzburg

Johannes Kepler Universität Linz

SS 2007

1.1 Spezifische Lernziele

ExperimentierenAnlehnung an E(naktiv),I(konisch),S(ymbolisch)

Zusätzliche Akzentuierung der aktiven Rolle des Schülers (Prädikat: handelnd)

- anschaulich – handeln (Visualisieren)

- numerisch – handeln (Tabellen, Listen; Einsetzen von

Funktionswerten)

Didaktik: Spannungsfeld von TheorieTheorie und PraxisPraxis – 1. Grundfragen

1. Grundfragen

1.1 Spezifische Lernziele

Argumentieren und Begründensymbolisch – handeln (z. B. Kurvendiskussion,

Prototypen von Funktionen)

Verschiedene Exaktheitsniveaus / Präformales Beweisen

(z. B. Verketten von Funktionen, funktionierender Bisektionsalgorithmus - quasialgorithmischer Beweis

für den Zwischenwertsatz)

1. Grundfragen

1.1 Spezifische Lernziele

Einstellungen initiieren und verändernMotivation für mathematische – informatische Inhalte

Selbstvertrauen zu eigener Leistung

Bedingungen:

Mehr Selbsttätigkeit der Schüler

Veränderte Lehrerrolle

starke Handlungsorientierung des Unterrichts

1. Grundfragen

1.1 Spezifische Lernziele

Einstellungen initiieren und verändernBedingungen:

Soziale Parameter: Verstärkte Partner- und

Gruppenarbeit in Projekten

1. Grundfragen

1.1 Spezifische Lernziele

Modellbilden (Fundamentale Leitidee)

Mathematik: Entwickeln – Beschreiben – Bewerten

Informatik: Entwickeln – Implementieren - Bewerten

1. Grundfragen

1.1 Spezifische Lernziele

Verschiebung von GewichtenElemente der diskreten Mathematik (z.B. Grundlagen

der Logik)Elemente der Stochastik (z.B. Regression)

Diskussion von Programmierparadigmen (z. B. Funktional -> Verketten von Funktionen – Frage der Argumente)

1. Grundfragen

1.2 Forderungen an den Unterricht

Unterricht als ProzessMehrperspektivität (Verlagerung der Standpunkt, Gegenüberhalten verschiedener

Repräsentationsformen)

Unterricht durchsichtiger machen

Orientierung an fundamentalen Ideen und Begriffen

1.2 Forderungen an den Unterricht

Stärkere Berücksichtigung intra- und interindividueller Komponenten

Veränderte stress- und angstbeladene Unterrichts-situationen (d. h. vor allem Veränderung der

Prüfungssituation – Umfangreichere Beurteilungs-grundlagen)

1. Grundfragen

2.1Die optimal approximierende Gerade

LI: Approximation, Prototypisches Verhalten von Funktionen (Bemerkung F. Schweiger)

Aufgabe: Näherungsweises Beschreiben einer reellen Funktion f in der Umgebung eines Punktes P.

Didaktik: Spannungsfeld von TheorieTheorie und Praxis – 2. Unterichtsbeispiele (M)

2. Unterichtsbeispiele (M)

1. Schritt: Definition der Funktion f

2. Schritt: Betrachten des Funktions-wertes an der Stelle x+u mit u = x-x0

3. Schritt: Linearisierung (d.h. Abspalten der linearen Funktion und Festlegen auf eine Stelle x0=2: y = f(2)+m(x-2))

4. Schritt: Erzeugung eines Büschels für die Betrachtung unter dem Funktionen-mikroskop (d.h. m = 2 x0±ε)

2. Unterichtsbeispiele (M)

5. Schritt: Mikroskopische Betrachtung der ‚Sachlage‘ in P(x,x0)

2.2 Vermutungen über Differentiationsregeln anstellen

LI: Approximation, Modellieren

Problem: Lässt sich die Idee der Linearisierung (aus Aufgabe 2.1) weiterführen zu Vermutungen über Regeln?

2. Unterichtsbeispiele (M)

2. Unterichtsbeispiele (M)

1. Schritt: Definition der beiden Tangentenfunktionen tf und tg

2. Schritt: Summe aus tf und tg mit

u = x-x0, a=f (x0), b=g(x0) m=f ‘(x0),

n=g ‘(x0)

3. Schritt: (m+n) u Verm.: (f+g)‘ =f‘+g‘

4. Schritt: Linearisierung - (a.n+b.m) u

Vermutung: (f.g)‘ = f. g‘+ g. f‘

2.3 Zur Beschreibung von Punktmengen – Einpassen einer Geraden (y = k x)

LI: Approximation, Präformales Beweisen, Verschiedene Exaktheit, Modellieren

Problem: Einpassen einer Geraden (y = k x) in eine Menge von m(=3) Punkten des 2. (Soll beim Schüler eine Motivationslage schaffen, die Arbeitsweise eines CAS zu hinterfragen)

2. Unterichtsbeispiele (M)

2. Unterichtsbeispiele (M)

1. Schritt: Definition der Funktion f (mit P1(3,3), P2(4,4) und P3(5,3))

2. Schritt: Vereinfachen führt zu einer quadratischen Funktionsausdruck in k

2. Unterichtsbeispiele (M)

3. Schritt: Extremwertaufgabe

Notwendige und Hinreichende Bedingung für ein Minimum

2. Unterichtsbeispiele (M)

2.4 Entwickeln – Beschreiben – Bewerten

LI: Approximation, Modellieren

Aufgabe: Aus einem Testbericht wurde die folgende Tabelle für verschiedene PKWs entnommen:

Entwickle ein Modell für die funktionale Abhängigkeit des Kraftstoffverbrauchs von der Geschwindigkeit.

2. Unterichtsbeispiele (M)

1. Schritt: Übertragen der Werte aus der Tabelle

2. Unterichtsbeispiele (M)

2. Schritt: Beschreibung 01 -Quadratische Regression (Einpassen einer quadratischen Funktion)

2. Unterichtsbeispiele (M)

3. Schritt: Beschreibung 01 -Quadratische Regression

Grafische Darstellung

2. Unterichtsbeispiele (M)

4. Schritt: Beschreibung 02 - Einpassen einer Polynomfunktion vom Grad 4

2. Unterichtsbeispiele (M)

5. Schritt: Beschreibung 02 –

Polynomfunktion vom Grad 4

Grafische Darstellung

2. Unterichtsbeispiele (M)

6. Schritt: Beschreibung 03 - Einpassen einer Polynomfunktion vom Grad 4

Ermittlung der Koeffizienten durch Lösen des angegebenen Gleichungssystems

2. Unterichtsbeispiele (M)

7. Schritt: Bewertung des Graphen führt zu Beschreibung 04 - Einpassen zweier quadratischer Funktionen

Didaktik: Spannungsfeld von Theorie und Praxis Praxis – 3. Strukturmodell (Inf)

3. Strukturmodell

3.1 Informatische Konzepte

Programmierparadigmen (am Beispiel funktional)

hier: Modularisierung / Modulprinzip

3.2 Pädagogische – Psychologische Konzepte (vgl. 1.1 /1.2)

Didaktik: Spannungsfeld von TheorieTheorieund Praxis - 3. Strukturmodell

3.1 Entwickeln – Implementieren – Bewerten LI: Modellieren durch Funktionen, Modularisieren

Aufgabe: Implementierung eines logischen Systems (Konjunktion, Disjunktion, Negation) durch funktionale Kodierung

3. Unterichtsbeispiele (INF)

1. Schritt: Definieren der Funktionen des logischen Systems

3.2 Entwickeln – Implementieren – Bewerten LI: Funktion (Argumente, Verkettung), Algorithmisches Denken

Aufgabe: ‚Auf der Suche nach Gesetzmäßigkeiten (Äquivalenzen) illustriert am Beispiel De Morgan‘

3. Unterichtsbeispiele (INF)

3. Unterichtsbeispiele (INF)

1. Schritt: Verketten der zuvor definierten Funktionen

2. Schritt: Gegenüberstellung der Outputs (Tabellen)

3. Unterichtsbeispiele (INF)

3. Schritt: Verifizierung der Äquivalenz mittels 4 x 3 - Tabelle

3. Strukturmodell

Abschließende (positive) Bemerkungen zu Informatische Konzepte – Modularisierung / Die Funktion als Baustein

Schaffung eines Systems

Konstruktives Exaktifizieren