Mathematische Grundlagen der Vermessung€¦ · 9 1 Vollkreis aus 4 rechten Winkeln Zählung rechtsläufig! (r2 > r1) α= r2-r1 – Grad (Altgrad) Sexagesimalteilung: 4 * 90o = 360o

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Mathematische Grundlagen der VermessungMathematische Grundlagen der Vermessung

Univ.-Prof. Dr.-Ing. Monika JaroschUniversität Siegen

http://www.uni-siegen.de/dept/fb10/vermStand: 2008-03

Prof. Dr.-Ing. Monika Jarosch * Universität Siegen * Mathematische Grundlagen der Vermessung

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MathematikMathematik

Algebra Analysis Geometrie

Arithmetik Diffentialrechnung PlanimetrieZahlentheorie Integralrechnung TrigonometrieGruppentheorie Reihenlehre StereometrieMengenlehre Funktionentheorie analytische GeometrieInvariantentheorie Variationsrechnung nichteuklidische G.

DifferentielgeometrieTopologie

TaschenrechnerGeodreieck

Zirkel


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InhaltsverzeichnisMathematik - Algebra/Analysis/GeometrieInhalt AnwendungenLiteraturMaßeinheiten

- Länge/Fläche/Volumen- Konstanten- Ebener Winkel: Grad, Gon, Bogenmaß- Drehsinn von Koordinatensystemen- Koordinatensystem: mathematisch und geodätisch- Ebener Winkel: Umrechnung

Planimetrie = ebene Geometrie (griechisch: Flächenmessung)Figuren in einer Ebene wie Kreis, Dreieck, Vieleck, Kegelschnitte

- beliebige und rechtwinklige Dreiecke- Lehrsätze- Darstellung der Lehrsätze- abgeleitete Größen- Flächenberechnungen im allg. Dreieck

Trigonometrie (griechisch: Dreiecksmessung)Berechnung von Seiten, Winkel und Flächen von Dreiecken aus 3 bekannten Größen über trigonometrische Winkelfunktionen

Grundlage: rechtwinklige Dreiecke, in die alle ebenen Dreiecke zerlegt werden können.

- Rechtwinkliges Dreieck- Winkelfunktionen- Goniometrische Gleichungen- Dreieckstypen- schiefwinkliges Dreieck

Vektorrechnung


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Vektorrechnung mit Anwendungen in der Geometrie

Vektoren Linearkombinationen SkalarproduktVektorprodukt (Kreuzprodukt) Spatprodukt

… und ein praktisches Anwendungsbeispiel!

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AnwendungenAnwendungen

Seneca-Zitat: vor ca. 2000 Jahren(Lucius Annäus Seneca, römischer Philosoph, Berater v. Nero)

“ Lange ist der Weg durch Lehren ... und wirksam durch Beispiele ”

... und wozu dies alles?

• früher Brückenkurs …• heute Tutorium• Vorbereitung undBegleitung des Studiums!


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LiteraturLiteratur

Schneider: Bautabellen für Ingenieure, 16. (aktuelle) Auflage, Werner-Verlag, 2004.

Kahmen, Heribert: Vermessungskunde.De Gruyter Lehrbuch, 19. Auflage, Berlin, 1997.

Torge, Wolfgang: Geodäsie.De Gruyter Lehrbuch, 2. Auflage, Berlin, 2003. (1. Auflage 1975)

Bronstein-Semendjajew: Taschenbuch der Mathematik, Verlag Harri Deutsch, Frankfurt, (1979).(uralt ... heute aktuellere Auflage!)


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MaßeinheitenMaßeinheiten

Länge m1 km = 1000 m1 dm = 0,1 m = 10 cm1 cm = 0,01 m1 mm = 0,001 m

Fläche m2 1 km2 = 1000 m * 1000 m = 106 m21 ha = 100 m * 100 m = 104 m2

1 a = 10 m * 10 m = 102 m2

Volumen m31 Kubikmeter = 1m3 = 106 cm31 Liter = 1 l = 1 dm31 gallon (brit) = 1 gal = 4,546 dm31 gallon (usa) = 1 gal = 3,786 dm3


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MaßeinheitenKonstantenMaßeinheitenKonstanten

π = 3,14159265359 ...

200 gon / π = 63,66197724 ... gon (früher ρ − rho in Gon)180 o / π = 57,29577951 ... o (früher ρ − rho in Grad)

Lichtgeschwindigkeit: cV = 299 792 458 m/sim Vakuum

also ca: 300 000 km/s

1 Seemeile = 1852 m1 mile = 1 mi = 1609,344 m1 yard = 1 yd = 3 ft = 0,9144 m1 foot = 1 ft = 12 in = 0,3048 m 1 inch = Zoll “ oder in = 0,0254 m


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1 Vollkreis aus 4 rechten Winkeln Zählung rechtsläufig! (r2 > r1)α = r2 - r1

– Grad (Altgrad) Sexagesimalteilung: 4 * 90o = 360o1o = 60’ ; 1’ = 60 “

– Gon (Neugrad) Dez. Gonteilung: 4*100 gon=400 gon1 gon = 100c ; 1c = 100cc ; 1 gon = 1000 mgon

– Bogenmaß dimensionslos * unabhängig von Kreisradius r * nur! abhängig von Größe des Winkels α

b/r = const = Arc α = Bogenmaß von α

Der Radiant ist derjenige Winkel, fürden das Längenverhältnis Kreisbogen bzu Radius r den Zahlenwert 1 hat!

Einheitenzeichen: rad (SI-Einheit)

MaßeinheitenEbener WinkelMaßeinheitenEbener Winkel

Richtung r1 zu P1

Richtung r2 zu P2

S α br

U

b = r arcα

b/r = 1 rad Winkel rad[gon]: 1 rad=200gon/πProf. Dr.-Ing. Monika Jarosch * Universität Siegen * Mathematische Grundlagen der Vermessung

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Richtung r1 zu P1

Richtung r2 zu P2

S α br

U


1 Vollkreis aus 4 rechten Winkeln Zählung rechtsläufig! (r2 > r1)α = r2 - r1

– Grad (Altgrad) Sexagesimalteilung: 123° 45‘ 55‘‘ = 123,7652777…°

– Gon (Neugrad) Dez. Gonteilung: 123, 4561 gon =123 gon +

456,1 mgon =123 gon +

45 cNeuminuten

61 ccNeusekunden

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Beispiele

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MaßeinheitenDrehsinn von KoordinatensystemenMaßeinheitenDrehsinn von Koordinatensystemen

xy

Regel: “x” dreht über kürzeren Winkel nach “y” ...

“links herum”

Uhr12

“entgegen Uhrzeigersinn”

• Achsbezeichnung• Quadrantenzählung• Dreifingerregelxy

Ring

finge

r

Spitze von ZeigefingerBetrachtung “von oben”

Daumen


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MaßeinheitenKoordinatensystemeMaßeinheitenKoordinatensysteme

α 0o 360o0 gon 400 gon0 2 π

90o

180o

270 o =

100 gon

200 gon

300 gon =

π/2

π

3π/2

Mathematisches Systempositiver Winkelentgegen Uhrzeigersinn

x

yIII

III IV

Geodätisches Systempositiver Winkelim Uhrzeigersinn

α90o 100 gonπ/2

0o 360o

270 o

0 gon 400 gon

300 gon

3π/2

π

y

xIIV

III II

180 o = 200 gon =

0 2 π


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MaßeinheitenKoordinatensystemeMaßeinheitenKoordinatensysteme

Mathematisches System Geodätisches Systemx dreht über den kürzeren Winkel zu y ... x dreht über den kürzeren Winkel zu y ...

entgegen dem Uhrzeigersinn„linksrum“

im Uhrzeigersinn„rechtsrum“

Konventionelle Systembezeichnung: Linkssystem

Entspricht: „Schraube rausdrehen“dh. z-Achse zeigt ins Blatt hinein!!! (Mechanik)

Konventionelle Systembezeichnung: Rechtssystem

Entspricht: „Schraube eindrehen“dh. z-Achse zeigt ins Blatt hinein!!! (Mechanik)

Systematische Systembezeichnung: Rechtssystem

dh. z-Achse zeigt aus Blatt heraus!!!

Systematische Systembezeichnung: Linkssystem

dh. z-Achse zeigt aus Blatt heraus!!!

xy

x=Hochwert

y=Rechtswert


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3

Umrechnung: Grad-Gon-Bogenmaß (dimensionslos) mit U=2 πr folgt:

U / 400 gon = 2 πr / 400 gon =U / 360o = 2 πr / 360o =

b / α gon = b / α gon =b / α o b / α o

umgestellt nach b/r folgt:

b/r = const = Arc α = π / 200 gon * α gon= π / 180o * α o

speziell für r=1: Bogenmaß arc α = Länge des Kreisbogenstückes b!für beliebigen Radius gilt: arc α = b1/r1 = b2/r2 = ...

1 Vollwinkel =360 o ... entsprechen 400 gon ... entsprechen 2 π (in Einheit rad)

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PlanimetriePlanimetrie

Beliebiges DreieckDie Summe der Innenwinkel eines Dreiecks beträgt 180o = 200 gon:α + β + γ = 180o = 200 gon

Rechtwinkliges Dreieck: γ = 90oα β

γ

A

C

Bab

c

α β

γ

A

C

B

ab

c

h

qp

.

Katheten: a,b ... schließen den rechten Winkel einHypotenuse: c ... liegt dem rechten Winkel gegenüberHypotenusenabschnitte: p,q ... Projektion der Katheten auf Hyp.Höhe: h


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PlanimetrieLehrsätzePlanimetrieLehrsätze

Satz des Pythagoras:a2 + b2 = c2

Kathetensatz (Euklid):b2 = p * c und a2 = q * c

Höhensatz (Euklid):h2 = p * q

1. und 2. Binomische Formel:(a+b)2 = a2 + 2ab + b2(a-b)2 = a2 - 2ab + b2


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PlanimetrieDarstellung der LehrsätzePlanimetrieDarstellung der Lehrsätze


1. und 2. Binomische Formel:(a+b)2 = a2 + 2ab + b2(a-b)2 = a2 - 2ab + b2

c2

a2b2

a b

a2b2

a

b a*b

a*b (a-b)2

b2

a

ba-b

a-b

a

a2


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PlanimetrieDarstellung der LehrsätzePlanimetrieDarstellung der Lehrsätze


Beweismit 1. BinomischerFormel:(a + b)2 =a2 + 2ab + b2 =

aus Zeichnung ...

c2 + 4(ab/2) =c2 + 2ab

c2

a2b2

c2

a a

aa

b

b

b

b


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Planimetrieabgeleitete GrößenPlanimetrieabgeleitete Größen

Hypotenusenabschnitte:p = (b2 - a2 + c2)/(2c)q = (c2 - b2 + a2)/(2c)

Kontrolle: p + q = c

Höhe:h = (b2 - p2)1/2h = (a2 - q2)1/2


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PlanimetrieFlächenberechnungenPlanimetrieFlächenberechnungen

Quadrat: F = a2

Rechteck: F = a * bParallelogramm: F = a * h

a

c

d bh

Trapez: F= h(a+c)/2

a

c

h


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PlanimetrieFlächenberechnungenallgemeines Dreieck

PlanimetrieFlächenberechnungenallgemeines Dreieck

Heron’sche Flächenformel:

F= ( s(s-a)(s-b)(s-c) )1/2mit s = (a+b+c)/2

Höhenformel:

F= ( a * ha)/2 mit ha Höhe mit Fußpunkt auf Seite aF= ( b * hb)/2 mit hb Höhe mit Fußpunkt auf Seite b F= ( c * hc)/2 mit hc Höhe mit Fußpunkt auf Seite c


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TrigonometrieRechtwinkliges Dreieck: β = 90oTrigonometrieRechtwinkliges Dreieck: β = 90o

αA

C

B

b

c

a

.

Wird ein Strahlenbüschel(Strahl A-B-B’ und Strahl A-C-C’)durch eine Parallelenschar(Linie B-C und Linie B’-C’)geschnitten, so entstehenähnliche Dreiecke.

C’

B’

a’

c’

b’

β


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TrigonometrieÄhnliche DreieckeTrigonometrieÄhnliche Dreiecke

2 Figuren sind ähnlich, wenn sie in der Form ihrer Fläche übereinstimmen!

2 Winkel

Übereinstimmungim Verhältnis zweierSeiten u. eingeschl.Winkel.

Übereinstimmungim Verhältnis zweierSeiten u. Gegenwinkelder größeren Seite.

Übereinstimmungim Verhältnis der dreiSeiten.


24

TrigonometrieRechtwinkliges Dreieck: β = 90oTrigonometrieRechtwinkliges Dreieck: β = 90o

Gegenka thete

αA

C

B

b

c

a

.

C’

B’

a’

c’

b’

β

Hypot

enuse

Ankathete

In diesen Dreiecken ist das Verhältnis der Seiten zueinander gleich,nur von α (Winkel im Schnittpunkt des Strahlenbüschels) abhängig!und unabhängig vom Dreieck!

a/b = a’/b’= ... = Gegenkathete/Hypotenusec/b = c’/b’= ... = Ankathete/Hypotenuse a/c = a’/c’= ... = Gegenkathete/Ankathete

für α:


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TrigonometrieWinkelfunktionenTrigonometrieWinkelfunktionen

αA

C

B

b

c

a.

Definition: Für 0 < α < 90o sin α := a/b = Gegenkathete/Hypotenusecos α := c/b = Ankathete/Hypotenuse tan α := a/c = Gegenkathete/Ankathete = sin α / cos αcot α := 1/ tan α = c/a = Ankathete/Gegenkathete

Funktionswerte:α o gon sin α Merke! cos α

0 0 0 0 1/2 √0 1π/6 30o 200/6 1/2 1/2 √1 1/2 √3 π/4 45o 50 1/2 √2 1/2 √2 1/2 √2 π/3 60o 200/3 1/2 √3 1/2 √3 1/2π/2 90o 100 1 1/2 √4 0

Periode:sin u. cos: Funktionsbild wiederholt sich nach 2π/ 360o / 400 gonsin (x+2π ) = sin x und cos (x+2π ) = cos x

tan u. cot: Funktionsbild wiederholt sich nach π/ 180o / 200 gon


7

26

TrigonometrieGoniometrische Gleichungen(Goniometrie = Trigonometrie, die sich mit Winkelfunktionen befaßt!)


Trigonometrischer Pythagoras:sin2 α + cos2 α = 1

Additionstheoreme:sin (α+β) = sin α cos β + cos α sin β sin (α−β) = sin α cos β − cos α sin β cos (α+β) = cos α cos β − sin α sin β cos (α−β) = cos α cos β + sin α sin β

tan (α+β) = (tan α + tan β)/(1− tan α tan β )tan (α−β) = (tan α − tan β)/(1+ tan α tan β )

αA

C

B

b

c

a.


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hieraus folgt:

sin 2α = 2 sin α cos α doppeltes Argumentsin α = 2 sin α/2 cos α/2

cos 2α = 1 − 2 sin2 α doppeltes Argument= cos2 α − sin2 α = 2cos2 α − 1

tan 2α = 2 tan α / (1− tan2 α) doppeltes Argument

(analog: Formeln für halbes Argument und n-faches Argument)

sin α + sin β = 2 sin (α+β)/2 cos (α−β)/2 sin α − sin β = 2 cos (α+β)/2 sin (α−β)/2 cos α + cos β = 2 cos (α+β)/2 cos (α−β)/2 cos α − cos β = 2 sin (α+β)/2 sin (α−β)/2

αA

C

B

b

c

a.


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TrigonometrieDreieckstypenTrigonometrieDreieckstypen

rechtwinklig:

spitzwinklig:

stumpfwinklig:

gleichseitig:

gleichschenklig:

.


29

TrigonometrieSchiefwinkliges DreieckTrigonometrieSchiefwinkliges Dreieck

αA

C

B

b

c

a

β

γSinussatz:a/b = sin α / sin β a/c = sin α / sin γb/c = sin β / sin γ

Cosinussatz:a2 = b2 + c2 - 2bc cos αb2 = a2 + c2 - 2ac cos βc2 = a2 + b2 - 2ab cos γ

bzw.

cos α = (b2 + c2 - a2 )/(2bc)cos β = (a2 + c2 - b2 )/(2ac)cos γ = (a2 + b2 - c2 )/(2ab)


8

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TrigonometrieSchiefwinkliges DreieckTrigonometrieSchiefwinkliges Dreieck

αA

C

B

b

c

a

β

γ

Projektionssatz:Berechnung einer Dreiecksseite (z.B. c), wenn die beiden anderenDreiecksseiten (z.B. a und b) und ihre Gegenwinkel (z.B. α und β) gegeben sind.

a = b cos γ + c cos β b = a cos γ + c cos α c = a cos β + b cos α


9

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32


Vektoren allgemein

Notation alternativ- v (fett)

… im weiteren verwendet!

- v mit → darüber- v mit ~ darunter


33


Ortsvektor eines Punktes in der Ebene, aufgespannt durch die Einheitsvektoren e1, e2

- Einheitsvektorene1, e2

v = v1 · e1 + v2 · e2 - v = [v1 v2] e1

e2

e1

e2

e1

e2

v1

v2


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Ortsvektor eines Punktes im Raum, aufgespannt durch die Einheitsvektoren e1, e2 , e3

- Einheitsvektorene1, e2 , e3

- v = v1 · e1 + v2 · e2 + v3 · e3 - v = [v1 v2 v3] e1

e2e3

e1

e3 e2

e1

e3 e2 v3


35





36


Linearkombination:Addition von Vektoren in der Ebene

- a = a1 · e1 + a2 · e2- b = b1 · e1 + b2 · e2

- a+b = [a1+b1 a2+b2] e1e2

e1

e2 ab

Parallel zu b


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Linearkombination:Zahlenbeispiel für Addition von Vektoren in der Ebene

- a = 1 · e1 + 0 · e2- b = 0 · e1 + 1 · e2

- a+b = [1 1] e1e2

e1

e2

a

b

Parallel zu b


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Linearkombination:Subtraktion von Vektoren in der Ebene

- a = a1 · e1 + a2 · e2- b = b1 · e1 + b2 · e2

- a-b = [a1-b1 a2-b2] e1e2

e1

e2 ab

Parallel zu b – umgekehrte Richtung


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Linearkombination:Zahlenbeispiel für Subtraktion von Vektoren in der Ebene

- a = 2 · e1 + 1 · e2- b = 1 · e1 + 1 · e2

- a-b = [1 0] e1e2

e1

e2a

b Parallel zu b – umgekehrte Richtung


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Linearkombination:Addition und Subtraktion von Vektoren im Raum analog

- a = a1 · e1 + a2 · e2 + a3 · e3 - b = b1 · e1 + b2 · e2 + b3 · e3

- a+b = [a1+b1 a2+b2 a3+b3] e1e2e3

- a-b = [a1-b1 a2-b2 a3-b3] e1e2e3


41





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Skalarprodukt- a = a1 · e1 + a2 · e2 + a3 · e3 - b = b1 · e1 + b2 · e2 + b3 · e3

- a * b = a1b1 + a2b2 + a3b3= |a| |b| cos α

mit α= eingeschlossener Winkel von a und b!

|v| … Betrag (Länge) des Vektors a

Interpretation:= 0 : Vektoren stehen senkrecht!

Verwendung zur Berechnung des eingeschlossenen Winkels zweier Vektoren!


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Vektoren Linearkombinationen SkalarproduktVektorprodukt (Kreuzprodukt)Spatprodukt



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Vektorprodukt- a = a1 · e1 + a2 · e2 + a3 · e3 - b = b1 · e1 + b2 · e2 + b3 · e3

- a × b = (a2b3 - a3b2) · e1 + (a3b1 - a1b3) · e2 + (a1b2 - a2b1) · e3

mit ^ oder × für Kennzeichnung der Operation „Kreuzprodukt“

Interpretation:Das Vektorprodukt zweier Vektoren in einem dreidimensionalen euklidischen Vektorraum ist ein bestimmter Vektor, der normal (senkrecht im Sinne des Skalarprodukts) auf der von aund b aufgespannten Ebene steht. Die Länge dieses Vektors entspricht der Fläche des Parallelogramms mit den Seiten a und b .


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Spatprodukt - a = a1 · e1 + a2 · e2 + a3 · e3 - b = b1 · e1 + b2 · e2 + b3 · e3 - c = c1 · e1 + c2 · e2 + c3 · e3

V = c · (a × b)

Interpretation:Skalarprodukt eines Vektors mit dem Vektorprodukt zweier anderer Vektoren Wir erhalten einen Skalar, der auch Spatproduktgenannt wird. Der resultierende Skalar ergibt das Volumen des von den drei Vektoren gebildeten Parallelepipeds.


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Vektorrechnung mit Anwendungen in der Geometrieein praktisches Anwendungsbeispiel!

1. Die Aufgabe

Kiste11

25

1

3

2

Kiste2

Bestimme die Länge der Basis (rot) und ihre Komponenten in einem Koordinatensystem, welches durch die Lage von Kiste1 definiert ist!

Weder das Zentrum von Kiste1 noch das von Kiste2 sind direkt zugänglich. Das Koordinatensystem ist in Kiste1 gelagert. Die Lösung soll für jede beliebige Lagerung von Kiste1 Gültigkeit besitzen.

Für die Lösung verwendet werden sollen Beobachtungen mit einer Totalstation und elementare Vektorrechnung.


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2. Lösungskonzept

Kiste11

25

1

3

2

Instrumentensystem

Kiste2

• Definition eines „übergeordneten“ Bezugssystems, von dem aus sowohl Kiste1 als auch Kiste2 sichtbar sind

:= Instrumentensystem

• Bestimmung der Koordinaten der Kiste1 und der Kiste2 mit einer Totalstation und geeigneten Reflektoren im Instrumentensystem

• Berechnung des Basisvektors im Instrumentensystem

• Transformation des Basisvektors in das System von Kiste1.


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3. Instrumentensystem

Kiste11

25

Kiste2

1

3

2

Instrumentensystem


51


4. Messpunkte Kiste2

Kiste2

4 Reflektor-standpunkte

Oberfläche Kiste2Grundriss:


Aufriss: ∆z

2 Mal halbe Diagonale +Mittelung + ∆z

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5. Kiste1

Kiste11

25


1

23

Grundriss: Aufriss:5 („oben“)

4

6 („unten“)

51

2

Kiste1völlig beliebige Lage im Raum!

53


6. Kiste1 SystemorientierungZentrum innerhalb

über Konstruktionsbeschreibungeindeutig definiert,

Jedoch nicht unmittelbar zugänglich!

Kiste11

25


1

24

3Grundriss: Aufriss:

5 („oben“)

6 („unten“)

54


7. Kiste1-Messpunkte

Kiste11

2

5 Achsen des Systems von Kiste1!

Definition durchKoordinaten derMesspunkte in diesemSystem.


1

24

3Grundriss: Aufriss:

5 („oben“)

6 („unten“)

55


8. Klassifikation der Bestimmungsgrößen

Kiste11

2

5

Unterscheidung:• Systemspezifische Komponenten (abh. von Einbau der Kiste1)Koordinaten von im System der Kiste1

• Messgrößen (Koordinaten aus Messung mit Totalstation)Koordinaten von im Instrumentensystem

Forderung:• Systemspezifische Komponenten• Messgrößen werden als Input angeboten


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9. Beurteilung der Bestimmungsgrößen

Kiste11

2

5

Wertung:

• Systemspezifische Komponenten*(Mess-)fehlerfrei*

• Messgrößen werden als Input angeboten *(Mess-)fehlerbehaftet*

• Instabile Definition des Systems!!


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10. Komposition der definierten Elemente:Berechnung des Basisvektors im Instrumentensystem

Kiste11 2

5

Instrumentensystem

Basisvektor

Ortsvektor der Projektion des Zentrums von Kiste1auf Oberfläche

Konstruierter Normalenvektor der Oberfläche von Kiste1

Ortsvektor des Diagonalenschnittpunkts der Messpunkte auf Kiste2

Konstruierter Normalenvektor der Fläche derMesspunkte auf Kiste1


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11. Transformation des Basisvektors vom Instrumentensystemin das System von Kiste1

Kiste11

2

5

Passpunkte:• Systemspezifische Komponenten (abh. von Einbau der Kiste1)Koordinaten von im System Kiste1

• Messgrößen (Koordinaten aus Messung mit Totalstation)Koordinaten von im Instrumentensystem


59


12. Kontrollkriterien

Kiste11

2

5

• Realisierung der Oberfläche von Kiste1

• Basisidentität bei simulierten (fehlerfreien) Messpunkten und hieraus vorgegebenen Koordinaten im Instrumentensystem(Demodaten)

• Genauigkeitsaussage bei realen (fehlerbehafteten) Messpunkten und hieraus ermittelten Koordinaten im Instrumentensystem


Mathematische Grundlagen der VermessungMathematikInhaltsverzeichnisVektorrechnung mit Anwendungen in der GeometrieAnwendungenLiteraturMaßeinheitenMaßeinheitenKonstantenMaßeinheitenEbener WinkelMaßeinheitenEbener WinkelMaßeinheitenDrehsinn von KoordinatensystemenMaßeinheitenKoordinatensystemeMaßeinheitenEbener WinkelPlanimetriePlanimetrieLehrsätzePlanimetrieDarstellung der LehrsätzePlanimetrieDarstellung der LehrsätzePlanimetrieabgeleitete GrößenPlanimetrieFlächenberechnungenPlanimetrieFlächenberechnungenallgemeines DreieckTrigonometrieRechtwinkliges Dreieck: b = 90oTrigonometrieÄhnliche DreieckeTrigonometrieRechtwinkliges Dreieck: b = 90oTrigonometrieWinkelfunktionenTrigonometrieGoniometrische Gleichungen(Goniometrie = Trigonometrie, die sich mit Winkelfunktionen befaßt!)TrigonometrieGoniometrische Gleichungen(Goniometrie = Trigonometrie, die sich mit Winkelfunktionen befaßt!)TrigonometrieDreieckstypenTrigonometrieSchiefwinkliges DreieckTrigonometrieSchiefwinkliges DreieckVektorrechnung mit Anwendungen in der GeometrieVektorrechnung mit Anwendungen in der GeometrieVektorrechnung mit Anwendungen in der GeometrieVektorrechnung mit Anwendungen in der GeometrieVektorrechnung mit Anwendungen in der GeometrieVektorrechnung mit Anwendungen in der GeometrieVektorrechnung mit Anwendungen in der GeometrieVektorrechnung mit Anwendungen in der GeometrieVektorrechnung mit Anwendungen in der GeometrieVektorrechnung mit Anwendungen in der GeometrieVektorrechnung mit Anwendungen in der GeometrieVektorrechnung mit Anwendungen in der GeometrieVektorrechnung mit Anwendungen in der GeometrieVektorrechnung mit Anwendungen in der GeometrieVektorrechnung mit Anwendungen in der GeometrieVektorrechnung mit Anwendungen in der GeometrieVektorrechnung mit Anwendungen in der GeometrieVektorrechnung mit Anwendungen in der Geometrieein praktisches Anwendungsbeispiel! 1.Die AufgabeVektorrechnung mit Anwendungen in der Geometrieein praktisches Anwendungsbeispiel! 2.LösungskonzeptVektorrechnung mit Anwendungen in der Geometrieein praktisches Anwendungsbeispiel! 3.InstrumentensystemVektorrechnung mit Anwendungen in der Geometrieein praktisches Anwendungsbeispiel! 4. Messpunkte Kiste2Vektorrechnung mit Anwendungen in der Geometrieein praktisches Anwendungsbeispiel! 5.Kiste1Vektorrechnung mit Anwendungen in der Geometrieein praktisches Anwendungsbeispiel! 6. Kiste1 SystemorientierungVektorrechnung mit Anwendungen in der Geometrieein praktisches Anwendungsbeispiel! 7. Kiste1-MesspunkteVektorrechnung mit Anwendungen in der Geometrieein praktisches Anwendungsbeispiel! 8. Klassifikation der BestimmungsgrößeVektorrechnung mit Anwendungen in der Geometrieein praktisches Anwendungsbeispiel! 9. Beurteilung der BestimmungsgrößenVektorrechnung mit Anwendungen in der Geometrieein praktisches Anwendungsbeispiel! 10. Komposition der definierten ElementVektorrechnung mit Anwendungen in der Geometrieein praktisches Anwendungsbeispiel! 11. Transformation des Basisvektors vomVektorrechnung mit Anwendungen in der Geometrieein praktisches Anwendungsbeispiel! 12. Kontrollkriterien

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Mathematische Grundlagen der Vermessung€¦ · 9 1 Vollkreis aus 4 rechten Winkeln Zählung rechtsläufig! (r2 > r1) α= r2-r1 – Grad (Altgrad) Sexagesimalteilung: 4 * 90o = 360o