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der n. Potenz vor (in einer ganzen Funktion), so ist die Kurve (n--1)mal ge- kriimmt"; gemeint ist, daft n--2 Wendepunkte auftreten.

Diese Auslese zeigt wohl, dag das Buch keine Bereicherung der Literatur bodeutet. Dr. Schrutka.

Raumlehre fiir die Unterstufe der Realschulen yon F. S c h i f f n e r~ Wien~ Deutiek% 1910.

Konsequente Verbindung ri~umlieher und ebener Betraehtungen, Hinweise auf geometrische Formen an den Gegenst~nden der gewShnlichen Umgebung and Betonung praktischer Me~verfahren bilden die Vorziige des Buches. Hi~ufung yon Worterkli~rungen und zweifelhafte Definitionen einfacher Begriffe im ersten Teil sind der Tradition zuzuschreibendo Mi~ngel. t7:

P rak t i s che Na thema t ik yon R. N e u e n d o r f f ~ 1. Teil~ B. G. Teubner~ 1911 ( ,Aus Natur und Geistesweit" 341).

Aus Volks-ttoehschulkarsen hervorgegangen, ergibt die vorliegende Schrift eine leichtfaNiche und anregende Einleitung in das graphisehe und numerische Recbnen; sie setzt kaum irgendwelche mathematischen Kenntnisse voraus. Graphis:he Darstellungen, Flgchen- und KSrpermessungen (auf konstruktivem, rechnerischem und mechanischem Wege), abgekfirztes Reehnen, Verwendung yon Tabellen and mechanischen Reehnungsbehelfen werden in ihren Grund- siitzen und dutch Anwendung auf einfache Beispie]e erli~utert. Ffir Mittelsebul- lehrer diirfte besonders das yon Interesse sein, was der Verfasser fiber die ausgedehntere Yerwendung yon Tabellen im Unterrieht and fiber nomographische Methoden sagt. Zur Einffihrung in das ganze Gebiet ist das kleine Bueh durch- aus zu empfehlen. F.

Mathelnat isches U n t e r r i c h t s w e r k yon R. S u p p a n t s c h i t s c h. R a u m l e h r e ftir die IV. Klasse der Realschulen~ G e o m e t r i e ftir die IV. und V. Klasse der Realsehulen; A r i t h m e t i k ftir die Mittel- und Obersthfe (2 B~nd% Ausgaben ftir Gymnas ien und Real- sehulen).

Raumlehre. Geometric. Die Raumlehre ffir die 4. Klasse bringt eine Mare, iibersiehtliche Darlegung der Konstraktion yon Kegelsehnitten und der ersten Elemente der darstellenden Geometrie, einschlieNich einfaeher Schattenkon- struktionen. Uber die ,,Geometrie" fiir die Mittelstufe ist schon frfiher berichtet worden. - - Hinsichtlich tier Aritbmetik-Lehrbfieher ffir die Mittel- and Obemtufe set yon vornherein erkli~rt, daft sie, wie kaum ein anderes Unterrichtswerk, den Eindruek einer umfassenden und genauen Arbeit machen, den Anregungen der neueren Fachliteratur fiberall Folge geben, im theoretischen Text, wie im Auf- gabenmaterial e'ne reiehe Auswahl bieten und, soweit der Referent bemerkt hat, nirgends nennenswerte Unrichtigkeiten enthalten. Alle Fragen, in welchen erfahrungsgemi~g in der Praxis Unsieherheit oder Irrtiimer vorkommen, finden eine besonders ausfiihrliehe und eindringliehe Behandlung. Da die Lehrbficher des Verfassers teilweise neuen Zielen zustreben, mug sich die Besprechung unter Ubergehung yon Einzelheiten auf ihre grunds~tzliehe Eigenart bezieben. Diese ist eine wesentlieh extensive, das heiBt, sie besteht in der Einfiigung neuer Stoffgruppen unter volIstiindiger Beibehaltung und Erweiterung des traditionetlen Stoffes, wobei die Disposition des letzteren ebenfalls keine be- tr~cbtliehe Anderung eri~ahrt. So ist z. B. die unter dem Titel der .Allgemeinen

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hrithmetik" bekannte ausfilhrliche Darlegung der Rechengesetze und ihrer Permanenz als selbstiindiger Abschnitt beibehalten und nicht, wie der neue Lehrplan es zu verlangen scheint, auf die genauere Erkl~irung der bei den Gleichungen auftretenden Operationen reduziert worden; die Theorie der Grund- operationen wird hier sogar noch wesentlieh vertieft, indem die Frage der Existenz des Resultats und die Axiome der Monotonie ausffihrlich erlhutert werden. Sehon bier, wie im folgenden erhiilt man den Eindruck, dal] die Tendenz des Buehes ungeachtet aller Anschauungsbehelfe eine wesentlich arithmetisie- rende ist, d. h. die Zuriickftihrung aller Gesetze auf den Zahlbegriff anstrebt. Wie die Lehre yon den algebraisehen Operationen, ist auch die yon den ganzen Zahlen, insbesondere im Aufgabenmaterial, reichlieher bedacht als anderswo. ])us Rechnen mit komplexen Zahlen wird als Theorie der Zahlenpaare mit spe- zieller Multiplikationsvorschrift behandelt. Die Lehre yon den algebraischen Gleichtmgen wird dm'ch Aufnahme der Diskussi'on yon Gleichungen mit ~er- iinderlichen Koeffizienten vermehrt. Eine dankenswerte Erweiterung bildet die z,usfiihrliche Besprechung der proportionalen Abhi~ngigkeiten, die trotz ihrer Wichtigkeit in den meisten Bilchern recht oberfli~chlich behandelt werden, und die des Zusalnmenhanges zwisehen den Progressionen und den nach den gleichen Gesetzen wachsenden Funktionen einer st etig veriinderliehen GrSl~e. Die Unter- suchung der Funktionen auf Grund ihrer graphisehen Bilder kommt nicht nur voll za ihrem Recht, sondern ist nach Ansieht des Referenten sogar etwas zu weir getrieben: Filr die Diskussion eines und desselben Funktionentypus, z. B. des quadratischen, werder~ so viele Bilder vorgefilhrt und noch mehr yore Schiller verlangt, da$ die Schulpraxis schwerlich den Anforderungen des Ver- fassers nachkommen kann; auch diirfte es nicht nStig sein, denn an der einen Figur der Funktion y = x 2 kSnnten durch Mai]stabsi~nderung alle Funktionen y ~ k x '~ und durch Hinzuftigung der Geraden y : = - - a x - b die ganzen u zeiehen-Diskussionen erledigt werden. Die Untersuchung der zu bestimmten Koeffizientenanderungen gehSrigen Verschiebungen der Bilder gehSrt ohnehin eher der analytischen Geometrie an.

Das groi]e Gewicht, welches der Verfasser, gewil3 mit Recht, auf die logische Schulung legt, bekundet sich darin, da$ er gewisse [~berlegungsformen einer eingehenden Besprechung unterwirft, z. B. den Schlu$ yon n auf n -~- 1 (bei Gelegenheit der Progressionen), einlge mathematische Trugsehlilsse be- handMt, ferner indem er mit grol~em Nachdruek darauf hinweist, dal] die Er- weii, erungen des Zahlen- und Operationsraumes freie Festsetzungen sind und dgl. (Gegen die Festsetzungen kSnnten allerdings mitunter Einwi~nde erhoben werden: z. B. ist der Umstand, dail die Operationea erster Stufe bei positiven Zahlen ebenso verlaufen wie bei absoluten, kein hinreichender Grund dafilr, dal] jene bei der Multiplikationsvorschrift vor den negativen bevorzugt werden; vielmehr kommt die Analogie mit den absolutea Zahlen den negativen ebenso gut zu, wie den positiven und die Multiplikationsvorschrift ist tats~chlich reine Willkiir. Die entsprechende Vorschrift fiir komplexe Zahlen (als Zahlenpaare) erscheint in der vorliegenden Darstellung zuni~chst iiberhaupt nieht motiviert. Aaderseits ist es nicht Folge einer ,Fes~etzung", dal3 die Gleichung ax2-~ - bx

c behMt). - - Die grSlite Energie -~ c ~ 0, sobald a ~ 0 wird, die Wurzel x = --

hat der Verfasser auf di~ Darlegung des Grenzbegriffes verwendet and dabei

Literaturberiehte. 2 3

den Grundsaiz vertreten, ,,dab demjenigen, der eine korrekte mathematische Beirachtung nicht versteht, auch eine unkorrekte nichts nfitzen kann". Dies ist gewiB richtig, sogar mit der u dab eine unkorrekte Deduktion dem Denken des Schfilers sehadet. Sell aber jener Grundsatz als Argument fiir die fiberaus langen und eingehenden Ausfiihrungen des Buehes fiber irrationale Zahlen, Konvergenz und Stetigkeit gelten, so dfirfte eine Verweehslung zwisehen ,Strenge" und ,Allgemeinheit" vorliegen; ist d i e erstere unentbehrlich, so scheint der Verfasser in der letzteren Hinsicht viel zu weir gegangen und da- dureh mitunter in Sehwierigkeiten geraten zu sein, aus welchen kein praktiseher Ausweg gefunden werden konnte. Der Referent betrachtet eine Deduktion als ,,streng", wenn sie, auf irgendeiu Objekt der behandelten Klasse angewendet, ein richtiges Resultat ergibt; die 2~otwendigkeit einer umsfiindlichen Deduktion wird dem Schfiler einleuehten, wenn eine anseheinend niiher liegende Begrfin- dung, auf ein besonderes Objekt der Klasse erstreckt, zu einem Widersprueh ffihrt. Die didaktische Aufgabe besteht nun darin, die Grenzen der zu behan- delnden Klasse so eng zu ziehen, dal~ man ihren Inhalt, ohne Unentbehrliches auszuschlieBen, dutch mSglichst einfaehe Deduktionen behandeln kSnne. Die Uberlegungen des Buehes sind aber zum groBen Tell auf solche Klassen yon mathematischen Objekten zugesehnitten, deren Grenzen weit fiber das hinaus- reichen, was ftir den elementaren Unterricht notwendig oder nfitzlieh ist und ffihren dadurch Sehwierigkeiten ein,~Aie dem Schfiler, selbst wenn er sie fiber- winder, als kiinstlich eingeschleppt erscheinen mfissen. So wird die irrationale Zahl ganz ausfiihrlich dutch den Schnitt im System der rationalen Zahlen de- finiert. DaB die eingehende Untersuchung des reellen Zahlensystems auf der Sehule sehwerlieh auszuffihren ist, gibt der u selbst stillsehweigend zu indem er den Permanenzbeweis ffir die Operationsgesetze, den Beweis daffir dab ein Schnitt im vollsti~ndigen System der reellen Zahlen keine neue Erwei- terung bilde, und anderes, was zu einer solchen Untersuchung gehSren wfirde, fortliiBt; gibt man dies aber zu, so bildet die gegebene Einftibrung eine unver- h~ltnismi~l~ig schwerfi~llige Basis fi~r den Aufbau recht einfacher Anwendungen ffir die Existenz der Wurzel, der allgemeinen Potenz und einiger anderer ein- facher Funkfionen. Denselben Dienst wiirde aber auch die Definition der reellen Zahl dutch den unendlichen Dezimalbruch, eventuell dureh eine andere Reihe positiver Briiche, deren Summe nicht fiber jede Grenze wi~chst, leisten. Der Veffasser beweist z. B. die Existenz yon 10x bei irratioualem x durch Zt~rfick- gehen au~ den Schnitt, mithin die Existenz eines Grenzwertes der Funktion wenn sich eine rationale Wertfo]ge r dem gegebenen Wert x ni~hert. Da~selbe aber ergibt sieh unmittelbar daraus, da[~ sich 10r beliebig wenig iindert, wenn man r hinreichend wenig ~ndert; durehli~uft also r Ni~herungswerte eines un endlichen Dezimalbruehes, so kSnnen sich auch nur beliebig tiefe Stellen de- Dezimalbruches 10 r hndern, womit die Herstellang eines solchen Bruches ffir 10x gezeigt ist. Ist damit die Liiekenlosigkeit der Exponentialkurve klar ge- maeht, so ergibt eine blol~e Spiegelung die Existenz des Logarithmus. Eiu iihn- licher Einwand dr~ngt sich gegenfiber der ausffihrliehen Untersuchung fiber konvergente, osziUierencle und ins Unendliche divergierende Reihen auf: Ent- schlieBt man sieh zu einer dem eleraentaren Standpunkt entspreehenden Re- duktion der Klassen yon Reihen, yon welchen die Rede seiu soil, so genfigt als Kriterium dt~s d~r b e s t h n d i g e n Konvergeaz und mar, kaan o~uf ~,~ und. ~"

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verziehten ; der Strenge wird kein Eintrag getan, wenn man nur noeh feststellt, dal] aul]er besti~ndig konvergierenden und unbegrenzt wachsenden Folgen noch andere existieren, die beiseite bleiben. Aueh der Begriff der Stetigkeit wird ira Hinbliek auf eine viel zu grol~e Klasse yon MSgliehkeiten aufgestellt: die Unter- scheidung zwisehen stetigen und unstetigen u n a b h ~ n g i g e n Ver~nderlichen i~t sogar theoretisch belanglos, ganz besonders abet in der Lehre yon den ele- mentaren Funktionen. Ja. der Begriff der Stetigkeit der Funktion selbst (ftir den d r e i dem Wortlaut nach verschiedene, aber gleiehwertige Definitionen ge- geben werden) ist im ttinbIick auf die zu untersuchende Klasse yon Objekten nieht yon grol]er Bedeutung, da wohl in keiner elementaren Aufgabe die Frage, ob eine Funktion stetig ist oder nieht, auf Grund des Kriteriums zu entscheiden ist; der Stetigkeitsbegriff kSnnte daher recht wohl auf seinen ansehaulichen Gehalt reduziert werden. Der Verfasser zieht freilich aueh - - des Gegensatzes halber - - eine willkiirlich zusammengesetzte und dadurch unstetige Funktion in den Kreis seiner Betrachtung. Sowohl far die Stetigkeit einzelner Funktionen wie ffir die Existenz der Grenzwerte yon Summen, Produkten nsw. yon Funk- tionen fiihrt der Verfasser den Beweis mittels jener bekannten Uberlegnng, die er ,,die E-Probe ~ nennt. Abgesehen davon, dal~ dieses Yerfahren den wenigsten Sehfilern einleuchten diirfte, ist es aueh kamn der Mtihe wert, Konvergenz- s~ze eigens zu beweisen, die ihre einzige Anwendung beim Differenzieren iinden und dort Ieieht einzasehen sind, tibrigens znm Tell (z. B. dureh Bc- ntitzung des Geschwindigkeitsbegriffes) anschaulich zu machen w i i r e n . - Wenn i m vorstehenden gegen gewisse Partien des Lehrbuehes eingewendet worden isr daft sie fiber den Rahmen der Schulmathematik hinausgehen, so kSnnte dem gegeniiber auf das Begleitwort des u hingewiesen.werden, das dem Lehrer ,Stoff und Methoden nach eigenem Ermessen" zu wahlen~ vorsehl~gt; aber abgesehen davon, da/] gerade in der Zeit ether Umwandlung des Unter- riehtsverfahrens ein Schulbuch eher dem unmittelbaren praktischen Gebraueh angepaBt sein sollte, start nach der Art eines Handbuches Stoff zur Wahl zu bieten, seheint dem Referenten zu Gunsten weniger fruchtbarer Partien manches sehr wiinsehenswerte fortgeblieben zu seth: so z. B. die ni~herungsweise Auf- 15sung yon Gleichangen und vor allem die in der Physik unentbehrliehe Be- handlung der Summen unendlieh kleiner Bestandteile and ihre Berechnung mit tIilfe des unbestimmten Integrals, Wie denn iiberhaupt eine grSBere Be- riicksichtigung der physikalischen Anwendungen in den modernen Lehrbfichern der Mathematik zu wiinschen w~re. - - Zusammenfassend glaubt der Referent die Ansicht ausdriicken zu diirfen, dal] die vorliegenden Lehrbiieher ffir jeden Lehrer von grol~em Interesse und reich an Anregung sein werden; wie sich ihre Anwendung im Unterricht gestalten kann, wird die Erfahrung einer li~n- geren Praxis zeigen miissen. F.

Arithmetik und Algebra fiir die Oberstufe der )/iittelschulen yon M o g n i k - Z a h r a d n i S e k . Ausgaben ftir Gymnasien und Reat- schulen. F. Tempsky. Wien~ 1911.

Das altbekannte Lehrbuch ist in neuer, den gegenwartigen Anforderangen durehaus entsprechender Bearbeitung ersehienen. Es ist in seiner gegenwar- tigen Form ebensogut fiir einen Unterricht geeignet, der sein hauptsi~chliehes Ziel in formal rechnerischer Gewandtheit sieht, wie fiir einen Lehrgang, der in