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trigonometrisehen und den D i r i c h 1 e t sehen Reihen besondere Aufmerksam- keit geschenkt wird. Bei den einzelnen Theoremen ist womSglich ihr Autor angegeben und es ist die neuere Literatur reichlich verwertet, insbesonders die zahlreichen Arbeiten yon P r i n g s h elm, was einen beachtenswerten Vor- zug dieses Buches bildet. L . H .

D ie T h e o r i e d e r B e s s e l s c h e n F n n k t i o n e n y o n P a u l S c h a f - h e i t l i n 7 L e i p z i g u n d Be r l i n 7 Teubner~ 19087 V -J- 129 S , 1 Tafe l . ( M a t h e m . - p h y s i k . Schr i f~en ftir I n g e n i e u r e und S tud i e r end% 4.)

Entspreehend dem Zweck dieser Sammhmg gibt der Verfasser hier eine Einfiihrung in die Theorie der Bes s e lschen Funktionen, die zugleich den Be- dtirfnissen yon Physikern und Technikern entgegenkommt. An die Spitze der Theorie stellt er die Bes se l sche Differentialgleichung und entwickelt dann aus ihr die versehiedenen Arten der Darstellung der B e s s el schen Funktionen I. und II. Art. Hierauf behandelt er Reihen und Integrale mit B e s s e l s c h e n Funktionen und des Additions- und Multiplikafionstheorem. Endlich diskutiert er ftir gewisse Werte des Arguments und Parameters den Verlauf der B e s s e l- schen Funktionen und veranschaulicht ihn auf einer dem Texte beigefilgten Tafel. Dem Inhalt nach geht das Bach wesenflich fiber den betreffenden Ab- sehnitt yon W e b e r - Yti e m a n ns ,,Fartiel!en Differentialgleichungen ~ hinaus ; die Darstellung ist klar und leicht verst~ndlich. L . H .

M a t h e m a t i s c h e s U n t e r r i c h t s w e r k y o n R i c h a r d S u p p a n - t s c h i t s c h. G e o m e t r i s c h e A n s c h a u u n g s l e h r e ftir die I.~ A r i t h m e t i k ft ir die I. u. I I . Klasse (3 Hef t% 40~ 727 74 S.)~ Wien~ F . Tempsky~ 1909.

Da der geometrische Unterricht nach dem neuen Lehrplan nunmehr um vier Monate frilher beginnt, lag es nahe, des systematisehe Element des Gegen- standes zu Gunsten der Anschaulichkeit und Abweehslung noch mehr, als es bisher gesehah~ zuri/cktreten zu lessen. Dal~ trotzdem im Unterrieht eine nattirliche und wohl begrtindete Anordnung festgehalten werden kann, zeigt der zweite Abschnitt des ersten der vor|iegenden Heft% in welehem nut die Aufgabe, ein Wiirfelmodell herzustellen, vorgelegt und an diesem gleiehsam unmerklich eine erste Reihe planimetriseher Tatsachen und Konstruktionen klar gemacht wird. In 9.hnlicher Weise hi~tte vielleieht der ganze Vorkursus der Geometrie von wenigen, dem Schiiler interessant erscheinenden Aufgaben geregelt werden kSnnen, was fi~r den Aufbau des Lehrbuehs wie {ilr die Aus- wahl seines Inhalts yon Vorteil sein dilrfte. Gegenwi~rtig aber erscheinen die im Lehrplan genannten Einzelheiten etwas lose aneinandergereiht, z. B. ist das ,Zeiehnen einfacher Gegenstiinde" ganz isoliert; die Ents~ehung der Figuren durch Bewegung bildet einen eigenen Sehlul~abschnitt. Auch fiber die Aus- wahl des Stoffes im einzelnen werden vielleieht nicht alle mit dem Verfasser tibereinstimmen; z. B. k5nnte man eine weitergehende Verwendung des Zirkels wiinschen und dafiir auf Auseinandersetzungen, die sich dem Schiller bei seiner Selbstti~tigkeit nieht aufdriingen (Einiges aus w167 24, 33, 34) verziehten. Von den ungefhhr 220 ,Fragen und Aufgaben" des Heftes sind naeh Ansicht des Referenten hSehstens ~0 geeignet, den Sehiiler selbsti~ndig zu beseh~tigen, wi~hrend die tibrigen eher dem Lehrer Material zur Kateehese zu liefern be- ~timmt und daher fiir ein Schulbueh entbehrlieh scheinen. Auch ist ihre

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Fassung mitunter nicht ganz klar (zu w 10, Nr. 3, 4, 5, 9; w 19, Nr. 8; w 20, Nr. 11; w 21, Nr. 3; w 24, Nr. 5; w 31, Nr. 6; w 39, Nr. 22; w 41, Nr. 7, 11; w 45, Nr. 8). t)berhaupt glaubt der Referent, dull auch auf der Unterstufe des geometrischen Unterriehts eine gewisse Pr~izision der Ausdrucksweise nicht zu entbehren ist, es sollte z. B. nicht yon der Gleichheit der Schenkel eines Winkels (S. 12), yon der verlgngerung einer Ebene (S. 36) gesprochen nnd es sollten nicht Argumente gebraucht werden, ~vie (S. 19): ,das rechtwinklige Dreieck ist die tI~lfte des Rechteeks, die Summe seiner Winkel betr~gt also 180 ~

Die Arithmetik beginnt der Verfasser mit einem Abschnitt fiber das Z~ihlen und das Dezimalsystem, offenbar im Anschlul~ an die Didaktik yon M. Simon. Die Behandlung der Grundoperafionen scheint dem Referenten einen methodischeff Fortschritt darzustellen; die Gesetze des Eechnens sind klarer herausgearbeitet als in frfiheren Lehrbfichern. Dadarch und dutch gelegentliche Verwendung yon Klammer~ b durch Addition verschieden benann- ter Zahlen u. a. wird, ohne dull dadurch der Gegenstand schwieriger oder ]angweiliger wiirde, der Algebraunterricht vorbereitet. Von anderen Neuerun- ge n sei erwD.hnt, dal~ das Rechnen mit 1 and 0, wie es nStig ist, ausdriicklieh begrfindet wird, dab in Ubereinstimmung mif vielen Anwendungen die Multi- plikafion zweier benannter Zahlen zugetassen und erkl~rt wird usw. ) :

E l e m e n t a r m a t h e m a t i k vom h g h e r e n S t a n d p u n k t aus , Te l l I : Ar i thmet ik~ Algebra , Ana lys i s ; au tograph ie r t e V o r l e s u n g v. F . K 1 e i n 590 S.~ Leipzig~ B. G. T e u b n e r 1908.

Der Zweck der Vorlesung ist, , Inhal t and Grundlegnng der im Unter- richt zu behandelnden Gebiete, unter Bezugnahme auf den tatshchlichen Unter- richtsbetrieb, yore Standpunkt der heutigen Wissensehaft in mSglichsf einfacher and anregender Weise fiberzeugend darzulegen", und zwar nicht in systema- fischer Form, sondern , in freien Exkursen". Diese beziehen sich auf philo- sophisehe, historische and didakfische Fragen und auf solche Gebiete der Ele- mentarmathematik, die im regelm~l~igen u der Studien nichf oder nicht in der vom Verfasser bevorzugten anschau]ichen Methode a u f t r e t e n . - Von allgemeinen Fragen, die der Verfasser bespricht, seien folgende zitiert: Uber Prhzisions- and Approximationsmathematik, fiber den Charakter der Entwick- lung der Mathematik in verschiedenen Epochen (systematiseh-logische, genefisch- anschauliche, formal-reehnerische ,Entwicklungsreihen"), fiber die intuitive and die logische Richtung in der Entwicklung des Zahlbegriffes und iu der der Infinitesimalreehnung, i~ber die verschiedenen Auft'assungen des unendlich Kleinen u. a. --- Die historisehen Exkurse bringen ausfiihrliche Darstellungen der Geschichte der Irrationalzahlen, der komplexen Zahlen, der Logarithmen and der logarithmisch-trigonometrischen Tafeln, des Funktionsbegriffes, des Taylorschen Satzes u s w . - In didaktiseher Riehtung vertritt der Verfasser die bekannten Forderungen nach l~infiihrung der Funktionenlehre und Infinite- simalreehnung in den Unterricht und spricht sich gegen M. Simons Vorsehlag, die algebraische Analysis in der Schule zu behandeln, aus; die gewShnliche Methode der Logarithmenlehre and der Trigonometrie sind nicht gebilligt and als Prinzip ffir die Einftihrung der elementaren transzendenten Funktionen die quadratur bekannter algebraiseher Kurven empfohlen, alles entsprechend dem