8.2. IntegrationsregelnJeder Differentiationsregel entspricht wegen der Beziehung

= ( )F´ x ( )f x <==> = + ( )F x C d⌠⌡ ( )f x x

eine Integrationsregel. Wir kennen schon die

Additionsregel

= d⌠⌡ + c ( )f x d ( )g x x + c d

⌠⌡ ( )f x x d d

⌠⌡ ( )g x x .

Beispiel 1: Additionstheoreme für Sinus und Cosinus

Aufgrund des Additionstheorems für den Sinus

= ( )sin + x y + ( )sin x ( )cos y ( )cos x ( )sin y

und der Gleichung

= ∂∂x

( )cos + x y − ( )sin + x y

gilt

+ ( )cos + x y C = - = d⌠⌡ ( )sin + x y x − − ( )sin y d

⌠⌡ ( )cos x x ( )cos y d

⌠⌡ ( )sin x x

= − + + ( )sin y ( )sin x ( )cos y ( )cos x C,

und das ist gerade das Additionstheorem für den Cosinus:

= ( )cos + x y − ( )cos x ( )cos y ( )sin x ( )sin y .

(Durch Vergleich des ersten und letzten Ausdrucks für = x 0 sieht man, daß die Konstanten gleich sein müssen.)

( )sin + x y

( )sin x ( )cos y

( )cos x ( )sin y

Bei der Suche nach Stammfunktionen lohnt es sich, erst einmal zu schauen, ob ein Ausdruck der Form

= ( )F´ ( )g x ( )g´ xd

d

x( )F ( )g x

vorliegt, denn dann ist die Menge der Stammfunktionen gegeben durch die der Kettenregel entsprechende

1. Substitutionsregel

= d⌠⌡ ( )F´ ( )g x ( )g´ x x + ( )F ( )g x C .

Insbesondere hat man die nützliche Formel

= d

⌠

⌡

( )g´ x

( )g xx + ( )ln ( )g x C .

Beispiel 2: Tangens und Cotangens

Das Integral der Tangens-Funktion ist im Bereich von −π2

bis π2

:

= d⌠⌡ ( )tan x x d

⌠

⌡

( )sin x

( )cos xx = = − d

⌠

⌡

( )cos´ x

( )cos xx − + ( )ln ( )cos x C.

Entsprechend findet man als Integral der Cotangens-Funktion

= d⌠⌡ ( )cot x x d

⌠

⌡

( )cos x

( )sin xx = = d

⌠

⌡

( )sin´ x

( )sin xx + ( )ln ( )sin x C

im Bereich von 0 bis π .

Leider ist die Anwendbarkeit der 1. Substitutionsregel recht begrenzt. Ersetzt man in ihr ( )F´ x durch ( )f x , x durch y, sowie ( )F ( )g y durch ( )S y , so wird aus ihr die vielseitiger anwendbare, ebenfalls auf Leibniz zurückgehende

2. Substitutionsregel

Ist h eine differenzierbare und invertierbare (also streng monotone) Funktion mit Umkehrfunktion g , d.h.

= ( )h x y <==> = x ( )g y ,

so gilt für beliebige integrierbare Funktionen f :

= d⌠⌡ ( )f x x ( )S ( )h x <==> = d

⌠⌡ ( )f ( )g y ( )g´ y y ( )S y ,

bzw. mit = ( )k y ( )f ( )g y und folgerichtig = ( )f x ( )k ( )h x :

= d⌠⌡ ( )k ( )h x x ( )S ( )h x <==> = d

⌠⌡ ( )k y ( )g´ y y ( )S y .

Substitution und Rücksubstitution

In der Praxis ersetzt man im linken Integral ( )h x durch y sowie dx durch ( )g´ y dy , versucht das unbestimmte Integral ( )S y zu finden, und setzt am Schluß wieder = y ( )h x ein.

Beispiel 3: Nochmals der Arcussinus

Zur Berechnung des unbestimmten Integrals

= d

⌠

⌡

1

− a2 x2x d

⌠

⌡

1

a − 1

x

a

2x (mit einer reellen Konstante a > 0 )

setzen wir = y ( )h x = x

a , = ( )g y a y, = ( )k y

1

a − 1 y2 und erhalten

= d

⌠

⌡

1

− a2 x2x d

⌠⌡ ( )k ( )h x x,

d⌠⌡ ( )k y ( )g´ y y = d

⌠

⌡

1

− 1 y2y = + ( )arcsin y C

bzw. nach Rücksubstitution

= d

⌠

⌡

1

− a2 x2x +

arcsin

x

aC .

Beispiel 4: Kreissegmente

Bei der Berechnung von Flächenstücken des Einheitskreises braucht man das Integral

d⌠

⌡ − 1 x2 x ,

da der obere Halbkreisbogen beschrieben wird durch = y − 1 x2 .

Im offenen Intervall zwischen −π2

und π2

ist die Sinusfunktion differenzierbar und streng

monoton. Die Substitution = x ( )sin y , = dx ( )cos y dy führt auf

d⌠

⌡ − 1 ( )sin y 2 ( )cos y y = d

⌠

⌡ ( )cos y 2 y

= = d

⌠

⌡

+ 1 ( )cos 2y

2y +

y

2

( )sin 2y

4 = +

+ y ( )sin y ( )cos y

2C,

und Rücksubstitution = y ( )arcsin x ergibt

= d⌠

⌡ − 1 x2 x +

+ ( )arcsin x x − 1 x2

2C .

Die Integration einer Wurzel kann also auf die Umkehrfunktion einer trigonometrischen Funktion führen.

, = ( )f x − 1 x2 = ( )F x + x − 1 x2

2

1

2( )arcsin x

Der Produktregel

= d

d

x( )( )f x ( )g x + ( )f ´ x ( )g x ( )f x ( )g´ x

für die Differentiation entspricht die Regel für die

partielle Integration

= d⌠⌡ ( )f ´ x ( )g x x − ( )f x ( )g x d

⌠⌡ ( )f x ( )g´ x x .

Man merkt sich die Regel mit dem

Fahrstuhlprinzip zur Integration eines Produktes:

1.Schritt: Eine der beiden Funktionen integrieren ("Aufleiten"):

2.Schritt: Zur "Kompensation" die andere Funktion ableiten:

3. Schritt: Das so entstehende Produkt (falls möglich) integrieren und das Ergebnis abziehen.

Beispiel 5: Gemischte Potenzfunktionen

wie z. B. ax xn (mit natürlichen Exponenten n) integriert man partiell und erniedrigt dadurch die x-Potenz schrittweise um 1:

Mit = ( )f ´ x ax und = ( )g x xn bekommt man

= d⌠

⌡ax xn x −

ax xn

( )ln a

n d⌠

⌡ax x

( ) − n 1x

( )ln a .

, = n 0 = d⌠

⌡ax xn x

ax

( )ln a

, = n 1 = d⌠

⌡ax xn x

ax ( ) − ( )ln a x 1

( )ln a 2

, = n 2 = d⌠

⌡ax xn x

ax ( ) − + ( )ln a 2 x2 2 ( )ln a x 2

( )ln a 3

In vielen Fällen kann man = ( )f ´ x 1 , also = ( )f x x wählen. Beispiel 6: Stammfunktionen der Logarithmus-Potenzen

bekommt man durch iterierte partielle Integration:

d⌠⌡ ( )ln x x = = − x ( )ln x d

⌠

⌡x x

( )−1x x ( ) − ( )ln x 1 ,

und rekursiv

d⌠

⌡ ( )ln x n x = = − x ( )ln x n d

⌠

⌡x n ( )ln x

( ) − n 1x

( )−1x − x ( )ln x n n d

⌠

⌡ ( )ln x

( ) − n 1x ,

woraus sich induktiv die folgende explizite Formel ergibt:

= d⌠

⌡ ( )ln x n x ( )−1 n !n x

∑

= j 0

n( )− ( )ln x j

!j .

(Die Konstanten haben wir weggelassen).

, = n 1 = d⌠

⌡ ( )ln x n x −x ( ) − 1 ( )ln x

, = n 2 = d⌠

⌡ ( )ln x n x 2 x

− + 1 ( )ln x

1

2( )ln x 2

, = n 3 = d⌠

⌡ ( )ln x n x −6 x

− + − 1 ( )ln x

1

2( )ln x 2 1

6( )ln x 3

, = n 4 = d⌠

⌡ ( )ln x n x 24 x

− + − + 1 ( )ln x

1

2( )ln x 2 1

6( )ln x 3 1

24( )ln x 4

Näherungsweise ist

= ∑ = j 0

n( )− ( )ln x j

!je

( )− ( )ln x =

1

x .

Die Folge der durch den Nullpunkt verlaufenden Stammfunktionen von ( )ln x n

!n

konvergiert daher für gerades n gegen 1 und für ungerades n gegen -1.

Beispiel 7: Stammfunktionen der Sinus-Potenzen

Mittels partieller Integration ergibt sich zunächst

= d⌠

⌡ ( )sin x n x d

⌠

⌡ ( )sin x ( )sin x

( ) − n 1x =

− + ( )cos x ( )sin x( ) − n 1

( ) − n 1 d⌠

⌡ ( )cos x 2 ( )sin x

( ) − n 2x =

− + − ( )cos x ( )sin x( ) − n 1

( ) − n 1 d⌠

⌡ ( )sin x

( ) − n 2x ( ) − n 1 d

⌠

⌡ ( )sin x n x.

Das sieht so aus, als hätte man nichts gewonnen - aber der Schein trügt. Der Trick besteht darin, das gesuchte Integral auf die linke Seite zu bringen und dann die ganze Gleichung durch n zu teilen:

d⌠

⌡ ( )sin x n x =

1

n (− + ( )cos x ( )sin x

( ) − n 1( ) − n 1 d

⌠

⌡ ( )sin x

( ) − n 2x ) .

Mit dieser Rekursionsformel gelingt nun die Berechnung der gesuchten Integrale, indem man den Exponenten schrittweise um 2 erniedrigt: Beginnend mit

= d⌠

⌡ ( )sin x 0 x d

⌠⌡1 x = x und

= d⌠⌡ ( )sin x x − ( )cos x

erhalten wir

= d⌠

⌡ ( )sin x 2 x

− x ( )cos x ( )sin x

2

= d⌠

⌡ ( )sin x 3 x −

( )cos x ( ) + ( )sin x 2 2

3

= d⌠

⌡ ( )sin x 4 x

− − 3 x 3 ( )cos x ( )sin x 2 ( )sin x 3 ( )cos x

8 . . .

, = ( )f x ( )sin x 2 = ( )F x d⌠

⌡ ( )sin x 2 x

, = ( )f x ( )sin x 3 = ( )F x d⌠

⌡ ( )sin x 3 x

, = ( )f x ( )sin x 4 = ( )F x d⌠

⌡ ( )sin x 4 x

Eine entsprechende Rekursionsformel gilt für den Cosinus. Verifizieren Sie diese selbst!

d⌠

⌡ ( )cos x n x =

1

n ( + ( )sin x ( )cos x

( ) − n 1( ) − n 1 d

⌠

⌡ ( )cos x

( ) − n 2x ) .

Durch Kombination von Substitution und partieller Integration bekommen wir eine Formel zur

Integration von Umkehrfunktionen

Ist g die Umkehrfunktion der differenzierbaren Funktion f, also

= ( )f x y <==> = x ( )g y ,

und hat f das unbestimmte Integral = ( )F y d⌠⌡ ( )f x x , so gilt

= d⌠⌡ ( )g y y − y ( )g y ( )F ( )g y .

Denn es ist ja

d⌠⌡ ( )g y y = − y ( )g y d

⌠⌡y ( )g´ y y und

d⌠⌡y ( )g´ y y = d

⌠⌡ ( )f ( )g y ( )g´ y y = d

⌠⌡ ( )F´ ( )g y ( )g´ y y = ( )F ( )g y .

Beispiel 8: Eine Stammfunktion des Arcussinus Wegen

= d⌠⌡ ( )sin x x − ( )cos x = − − 1 ( )sin x 2

erhält man als Stammfunktion des Arcussinus

( )F x = d⌠⌡ ( )arcsin x x = + x ( )arcsin x − 1 x2 .

Vergleichen Sie dies mit den Funktionen

= ( )sinh x − ex e

( )−x

2 und = ( )cosh x

+ ex e( )−x

2 = d

⌠⌡ ( )sinh x x !

, = ( )f x ( )sinh x = ( )F x d⌠⌡ ( )sinh x x