Dr. Hempel / Mathematisch Grundlagen - Mehrfachintegrale -1-
Mehrfachintegrale
Masse eines Quaders: VM
wenn der Quader inhomogen ist: ),,( zyx
iiii zyxV
iiiiiii zyxzyxM ),,(
N
i
iiiiii
N
i
i zyxzyxMM11
),,(
V
N
i
iiiiiiN
dzdydxzyxzyxzyxM ),,(),,(lim1
Integral der Funktion ),,( zyx ber das Volumen V .
Mehrfachintegrale mit konstanten Integrationsgrenzen
Integration mehrfach nacheinander entsprechend bekannter Regeln
mehrfache Berechnung bestimmter Integrale
Beispiel:
Berechnung der Masse eines Quaders
c
z
b
y
a
x
dxdydzzyx0 0 0
),,(
inneres Integral
mittleres Integral .
ueres Integral .
Rechenanweisung:
1. Berechnung des inneren Integrals
(y,z werden als konstant angenommen)
Ergebnis - eine Funktion von y und z
2. Berechnung des mittleren Integrals
(z wird als konstant angenommen)
Ergebnis - eine Funktion von z
3. Berechnung des ueren Integrals
Ergebnis - eine Funktion der Grenzen a,b,c
Bei konstanten Integrationsgrenzen kann die Reihenfolge der Integrationen vertauscht werden.
Mab
max
0
Dr. Hempel / Mathematisch Grundlagen - Mehrfachintegrale -2-
Beispiel: Masse einer Luftsule
die Luftsule habe die Hhe h und die Grundflche ba
die Dichte ist ze 0 mit
0
0pg
woher das? Dazu etwas Physik:
wir betrachten die Grundflche baA
darber sei ein Volumen der Dicke dh
auf das kleine Volumen wirkt von unten die Kraft Ap und von oben Adpp )(
( dp ist hier offensichtlich negativ);
das Volumen selbst wirkt mit seiner Schwerkraft dhAg
im Gleichgewicht gilt: dhAgAdppAp )( also dhgdp
Die Zustandsgleichung idealer Gase liefert uns
TRmVp ' ; TRp ' mit 'R der speziellen Gaskonstante
TRmVp '00 ; TRp '00 am Erdboden
und damit 00
p
p; 0
0
p
p
dhgp
pdp 0
0
; dhgpp
dp
0
0
wir integrieren von h....0 bzw. pp ....0
hgpp
p
0
0
0
ln
und mit 00
p
p
hg
pe
00
0
Zur Berechnung der Masse der Luftsule integrieren wir
M e dxdydzzabh
0
000
Dr. Hempel / Mathematisch Grundlagen - Mehrfachintegrale -3-
1. inneres Integral
h b
z
h baz dzdyeadzdyxeM
0 0
0
0 0
00
2. mittleres Integral
h
z
hbz dzebadzyeaM
0
0
0
00
3. ueres Integral hh
z
h
z eba
ebadzebaM
1
10
0
0
0
0
Mit wachsendem h wchst die Masse nicht beliebig an, sondern nhert sich einem Grenzwert;
fr kleine h steigt die Masse praktisch linear.
Zerlegung eines Mehrfachintegrals in ein Produkt von Integralen
ist der Integrand zerlegbar in ein Produkt: )()()(),,( zmyhxgzyxf ,
lsst sich auch die Integration als Produkt von Integralen auffassen;
die Berechnung erfolgt als Berechnung einfacher Integrale
dzzmdyyhdxxgdzdydxzyxf )()()(),,(
Beispiele: Berechnung von Volumen, Masse, Trgheitsmoment, Ladungsverteilung
Leider sind die Integrale fr solche Berechnungen oft nicht vom Typ mit konstanten Integrations-
grenzen.
Das lsst sich aber in manchen gnstigen Flle durch Transformation in ein anderes Koordinaten-
system ndern;
Vereinfachung bringen knnen
Polarkoordinaten / Zylinderkoordinaten / Kugelkoordinaten
Dr. Hempel / Mathematisch Grundlagen - Mehrfachintegrale -4-
Mehrfachintegrale mit konstanten Integrationsgrenzen
Beispiel 1: Volumenberechnung am Quader
hier lsst sich das Integral sehr einfach in ein
Produkt aus einfachen Integralen schreiben
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
z
z
y
y
x
x
z
z
y
y
x
x
dxdydzdzdydxV
mit den konstanten Integrationsgrenzen
)()()( 121212 zzyyxxV
Beispiel 2: Volumenberechnung an der Kugel
das Integral lsst sich nur durch Transformation in
Kugelkoordinaten so gestalten, dass die Integration
mit konstanten Grenzen erfolgt und wir das Integral
aufspalten knnen
R
R
dddrr
drddrV
0 0
2
0
2
0 0
2
0
2
sin
sin
33
3
4
322 R
RV
Beispiel 3: Trgheitsmoment Zylinder (bezglich geom. Rotationsachse)
das Integral lsst sich nur durch Transformation in
Zylinderkoordinaten so gestalten, dass die Integration
mit konstanten Grenzen erfolgt und wir das Integral
aufspalten knnen
VVV
dVrdVrdmrJ 222
in Zylinderkoordinaten:
dzdrdrdV
h Rh R
ddrrdzdzdrdrJ0 0
2
0
3
0 0
2
0
3
22
24 RmhRJ
Dr. Hempel / Mathematisch Grundlagen - Mehrfachintegrale -5-
Mehrfachintegrale mit nicht konstanten Grenzen
Erluterung am Beispiel: Flchenberechnung
AA
dydxdAA Das Problem besteht in der Bercksichtigung
der begrenzenden Kurven!
- Grenzen fr y: 0y )(xfy
)(
0
xf
y
dydxA
- Grenzen fr x: ax bx
)(
0
xf
y
b
ax
dydxA
- Reihenfolge der Abarbeitung nicht mehr beliebig!
- Zuerst Integral mit variabler Grenze lsen
(entspricht Bestimmung der Flche eines Streifens im Bild)
b
a
b
a
dxxfdxxfA )(0)(
- fhrt auf bestimmtes Integral
Beispiel 2: Flche zwischen 2 Funktionen
untere Grenze: 2xy
obere Grenze: xy 2
Integration des Integrals mit variablen Grenzen:
333,13
84
32
2
0
2
0
322
xxdxxxA
bertragung auf den allgemeinen Fall:
Mehrfachintegral muss mindestens fr eine Variable feste Grenzen haben.
Mehrfachintegral wird umgeordnet und schrittweise gelst.
1. Schritt: Variable suchen, die nicht in den Integrationsgrenzen vorkommt
- Integral lsen.
2. Schritt: Prozedur wiederholen ...
letzter Schritt: Lsen des verbliebenen Integrals mit festen Grenzen.
2
0
2
2x
x
xy
dydxA
Dr. Hempel / Mathematisch Grundlagen - Mehrfachintegrale -6-
Beispiel: Schwerpunkt einer Halbkugel
Gesucht ist der Schwerpunkt );;( sss zyxS einer Halbkugel mit konstanter Dichte und einer
begrenzenden Flche 2222 Rzyx im Halbraum fr 0z .
Lsung:
Wie leicht zu erkennen mssen aus Grnden der Symmetrie sowohl die x-Koordinate, als auch die y-
Koordinate des Schwerpunktes bei Null liegen.
Die z-Koordinate des Schwerpunktes muss berechnet werden:
V
dxdydzz
V
dxdydzz
dm
dmz
z KK
K
Ks
Das Volumen einer Halbkugel mit dem Radius R ist bekannt(?)
3
3
2RV
Fr die Lsung des Problems bietet sich die Verwendung von Zylinderkoordinaten an.
RR
R
zR
z
V
dzzzRV
dzzR
zV
dzr
zV
dzdrrzV
dzdrdrzV
z
R
RRR zR
R
z
zR
r
zR
r
R
z
s
8
3
42
3
42
)(2
2
2
2
21
4
3
0
42
2
0
32
0
22
0 0
2
0 0
2
0 0 0
22
2222
Dr. Hempel / Mathematisch Grundlagen - Mehrfachintegrale -7-
Gleichfalls geeignet fr die Berechnung sind Kugelkoordinaten:
0;0 ss yx
RV
R
R
Vd
R
V
ddrrrV
dddrrrV
z
R
r
R
r
s
8
3
4
2
cos
4
2cossin
4
2
sincos2
sincos1
4
2/
0
242/
0
4
2/
0 0
2
2
0
2/
0 0
2
