Methoden der computergestützten Produktion und Logistik · 5. Lineares Input-Output System Prof. Dr.-Ing. habil. Wilhelm Dangelmaier Modul W 2336 SS 2017 Methoden der computergestützten

5. Lineares Input-Output System

Prof. Dr.-Ing. habil. Wilhelm Dangelmaier

Modul W 2336

SS 2017

Methoden der computergestützten

Produktion und Logistik

Lineares Input-Output System

Lineare allgemeine Systeme

Definition 20: Ein allgemeines System (X, Y, S) heißt linear, wenn dafür gilt:

(1) X ist ein linearer Raum über K.

(2) Y ist ein linearer Raum über K.

(3)

(4)

Ein lineares allgemeines System (X, Y, S) stellt also einen Teilraum von X Y dar (die

lineare Struktur in X Y sei wie üblich von X und Y induziert). Daher können zur

Konstruktion linearer allgemeiner Systeme alle Konzepte angewendet werden, die man zur

Konstruktion von Teilräumen linearer Räume kennt.

Die Bedingungen (3) und (4), die die Linearität definieren, verlangen, dass die betrachtete

Konstruktion „immer so weiter geht“. Ein begrenzter Definitions- oder Wertebereich wird mit

diesen Bedingungen immer überschritten.

)'yy(S)'xx('Sy'xxSyY'y,yX'x,x

kxSkyxSyKkYyXx

Wirtschaftsinformatik, insb. CIM2


Beispiel: Lineares System

Wir betrachten eine Kaffeemaschine. Linear abhängig von der Wassermenge, die als Input x

eingefüllt wird, ist die erzeugte Menge Dampf als Output y. Wir können hier R als Körper

nehmen.

x und x bzw. y und ӯ können bspw. zwei identische Kaffeemaschinen rein. Dasselbe

Ergebnis wird erzielt, wenn man in die erste zusätzlich x‘ füllt (3).

Dasselbe drücken wir mit (4) aus: Aus der Leistung einer Kaffeemaschine folgt die Leistung

von k parallelen Kaffeemaschinen.


Lineares Input-Output SystemBeispiel: Lineares Produktionssystem

Wir betrachten eine Menge von Tischen, die aus unterschiedlichen Komponenten mit

unterschiedlichen Stückzahlen hergestellt wird. Jede Komponente stellt eine Dimension dar,

in der die jeweils verwendeten Stückzahlen eingetragen werden. Der Output Y ist dagegen

eindimensional; wir bilden also einen n-dimensionalen Vektor auf einen eindimensionalen

ab. Das Ergebnis / der Output wird zweidimensional, wenn wir eine Kuppelproduktion und

Produkte ggf. mit unterschiedlichen Stückzahlen betrachten.

Hier wird dann jede Tischklasse (bspw. Tisch „Theodor“) über die Stückzahlen für jede

Komponente (1 Tischplatte 88, 4 Tischbeine Antik, 24 Schrauben 3,5 x 35) als Input-Output

System über den ganzen Zahlen Z dargestellt.


Theodor

1 2 3 i Anzahl

Kom

ponente

n

Tischplatte 88 1 2 3 i

Tischbeine Antik 4 8 12 4 i

Tischbeine Futur - - - -

… … … … …

Schrauben 3,5 x 45 - - - -

Schrauben 3,5 x 35 24 48 72 24 i

…


Beispiel: Kooperierende Kreisförderer

Wir betrachten zwei gekoppelte Kreisförderer, die zur Vereinzelung der Heizschlangen von

Kaffeemaschinen eingesetzt werden. Dazu läuft der erste Kreisförderer mit einer konstanten

Umlaufgeschwindigkeit Vi, der zweite läuft mit der konstanten Geschwindigkeit V0.

Beide Kreisförderer haben je 5 Plätze; als linearen Raum verwenden wir Z5 = {0, 1, 2, 3, 4}.

Gestartet wird beides mal bei 0; die Förderer drehen wie in der Skizze gezeigt.

Vi: V0 = 1 : 1; S : = {(0, 0), (1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4)}

Vi: V0 = 1 : 2; S : = {(0, 0), (1, 2), (2, 4), (3, 1), (4, 3)}

Vi: V0 = 1 : 3; S : = {(0, 0), (1, 3), (2, 1), (3, 4), (4, 2)}

Damit haben wir 3 Systeme S konstruiert. Für Bedingung (3) gilt beispielsweise bei x = 2

und x‘ = 3 mit Vi: V0 = 1 : 2 (2, 4) (3, 1) (0, 0). Mit k = 3 und x = 2 gilt für Bedingung (4)

(3 2, 3 4) (1, 2)..

Input OutputVi V0

4 4 3

2112

3

0 0x: = {0, 1, 2, 3, 4) = Z5

y: = {0, 1, 2, 3, 4) = Z5



Definition 21: Eine Teilmenge U der Relation S eines linearen allgemeinen Systems heißt

linear, wenn sie gegenüber Vektoraddition und Skalarmultiplikation abgeschlossen ist, wenn

also gilt

(3)

(4)

Wie üblich wollen wir die Bedingungen (1) und (2) auch durch die Symbolik

(1’)

(2’)

abkürzen. Mit jeder linearen Teilmenge U kann das zugehörige lineare allgemeine System

(X, Y, U) betrachtet werden. Wir nennen jedes solche System ein lineares Teilsystem von (X,

Y, S).

)yy(U)xx(yUxxUyYy,yXx,x

yxUxUyKYyXx

UUU

UUK



Beispiel: Lineares Teilsystem

Wir betrachten nur die jeweils ersten drei Plätze (Vi: V0 = 1 : 2)

U : = {(0, 0), (1, 2), (2, 1)}

Addition (0, 0) + (1, 2) = (1, 2)

(1, 2) + (2, 1) = (3, 3) = (0, 0)

(2, 1) + (2, 1) = (1, 2)

An dieser Stelle drängt sich die folgende Definition einer Quotientenstruktur auf:

2 2

4 4 3

2112

3

0 0 technisch gesehen überspringen wir die Plätze 3 und 411



Definition 22: Für ein lineares allgemeines System (X, Y, S) und ein zugehöriges Teilsystem

(X, Y, U) erklären wir die Äquivalenzrelation ~ auf S durch

und den Quotientenraum (S/U, , ) als das algebraische System, das gegeben ist durch

(1) S/U ist die Quotientenmenge von S bezüglich ~.

(2) : S/U S/U S/U mit [(x, y)] [( x, y )]: = [(x + x, y + y)].

(3) : K S/U S/U mit [(x, y)]: = [(x, y)].

Wir erkennen, dass die Operationen und in der üblichen Weise einen linearen Raum

definieren. Es gilt damit: Der Quotientenraum (S/U, , ) ist ein linearer Raum über K.

Mit jedem Quotientenraum S/U eines linearen allgemeinen Systems (X, Y, S) liegt so eine

Partition desselben in Teilsysteme vor. Wir werden nachfolgend gerade solche Partitionen

bevorzugt zur Parametrisierung von allgemeinen Systemen benutzen.

U)y,x(U)y,x(:)y,x(~)y,x(



Beispiel: Äquivalenzrelation

Es gelte bspw. die Äquivalenzrelation für jeweils 5 Stationen

0 (0, 5, 10, 15, ...)

1 (1, 6, 11, 16, ...)

2 (2, 7, 12, 18, ...)

...

und S/U = {0, 1, 2, 3, 4}.



Wir führen nun das Konzept einer linearen Struktur bei Zustandsparametrisierungen (X, Y, Z,

p) ein.

Definition 23: Eine Zustandsparametrisierung (X, Y, Z, p) eines allgemeinen Systems (X, Y,

S) heißt linear, wenn dafür gilt:

(1) (X, Y, S) ist linear über K.

(2) Z ist ein linearer Raum über K.

(3) Für p: Z P(X Y) gilt:

(3a) p(0) ist ein Teilraum von S

(3b) {p(z): z Z} = S/p(0)

(3c)

(3d)

Die Bilder der Parametrisierungsabbildung p sind also bei einer linearen

Zustandsparametrisierung gleich den Nebenklassen der Zerlegung von S nach dem

Teilraum p(0), dem Bild des Nullzustandes.

)z(p)z(p)zz(pZz,z

)az(pKZz

)z(p



Beispiel: Lineare Zustandsparametrisierung, „Anzahl der Umdrehungen“, Variation

der Stationenanzahl

Wir betrachten einen Linearförderer als Input- und einen Kreisförderer als Outputmedium.

p(0) bedeutet dann: 0 Umdrehungen des Kreisförderers und damit auch den Input und

Output bei < 1 Umdrehungen (0, 0), (1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4)), also Z = 0, x = {0, 1, 2, 3, 4}.

Dann folgt der Input/Output beginnend mit 0 für Z = 1: (5, 0), (6, 1), (7, 2), (8, 3), (9, 4). Und

dann folgt die nächste Nebenklasse der Zerlegung nach Null.

4

23

0

1…

0 1 2 3



Für zwei identische Förderer mit begrenzter Stationenzahl wird das so zunächst nicht

deutlich: Hier gilt p (0): = (0, 0), (1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4). Aber das ist nur die erste

Umdrehung. Ab der 2. Umdrehung gelten genau dieselben Relationen. Wenn wir jetzt die

Anzahl der Umdrehungen mitführen, haben wir eine eindeutige Relation - oder keine

Parametrisierung. Wenn wir zwei Kreisförderer bspw. mit 3 und 5 Plätzen betrachten, gilt für

z = 0: (0, 0), (1, 1), (2, 2), (0, 3), (1, 4), (2, 0), (0, 1), (1, 2), (2, 3), (0, 4), (1, 0), (2, 1), (0, 2),

(1, 3), (2, 4). Dann wiederholt sich das ganze immer so fort für z = 1, ..., . Für jeden

Zustand ist die Parametrisierung p eindeutig.

1 12

3443

2

0 0



Beispiel: Geschwindigkeit als Parameter

Wir betrachten Z als die Menge parallel arbeitender Montagelinien. x sei der Takt (1, 2, 3, ...)

und y die Anzahl hergestellter Fahrräder.

x und y sind die ganzen Zahlen inkl. 0 oder zyklisch p(0) ist Teilraum: Wir starten mit

der Nullparametrisierung. Die Menge aller Parameter ergibt S’

p(z + z) = p(z) + p(z) = p(1) + p(2) = p(3)

p(z) = p(z) = p(3 1) = 3 p(1)



Wir nehmen als Input den Takt, als Parameter die Anzahl der Montagelinien und als Output

die hergestellten Fahrräder:

Addition: p(1) + p(2) = p(3) (nur der 2. Stelle der Relation!)

Takt

Anzahl der

Montagelinien

0 1 2 3 4 5

0 (0, 0) (0) (0) (0) (0) (0)

1 (0, 0) (1) (2) (3) (4) (5)

2 (0, 0) (2) (4) (6) (8) (10)

3 (0, 0) (3) (6) (9) (12) (15)

…



Aufgaben

Gib Schaltungen linearer allgemeiner Systeme an, bei denen die Linearität erhalten bleibt.

Gib Schaltungen linearer Zustandsparametrisierungen an, bei denen die Linearität

erhalten bleibt.


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