Mortalitätsanalyse (ehemals: Allgemeine Demographie III) · 20 Gamma-Gompertz-Hazards zi e x mit = 0.0001, = 0.1 und 20 zufälligen zi-Werten, die einer -Verteilung mit einem Mittelwert

Mortalitätsanalyse(ehemals: Allgemeine Demographie III)

ROLAND RAU

Universität Rostock, Wintersemester 2013/2014

07. Januar 2014

© Roland Rau Mortalitätsanalyse 1 / 38

Vergangene & Heutige Veranstaltung

Vergangene Veranstaltungen:parametrische SterblichkeitsmodelleHöchstaltrigensterblichkeitSchätzung von klassischen parametrischenSterblichkeitsmodellenBrass-Logit-Modell

Heutige Veranstaltung:

“Deceleration” der SterblichkeitLife-Table Aging Rate “LAR”Variabilität im SterbealterGeschlechtsspezifische Unterschiede in der Sterblichkeit


Gompertz(-Makeham)-Modelle überschätzen dieSterblichkeit in den höchsten Altersstufen

Alter x

m(x

) (lo

g 10−

Ska

la)

40 50 60 70 80 90 100 110

0.00

10.

010.

11

BeobachtetGeschätzt

Gompertz' Mortalitätsgesetz, angewendet auf Männer im Alter 40−110 in Japan

Parameter alpha: 0.00003 Parameter beta: 0.09727© Roland Rau Mortalitätsanalyse 3 / 38

Schätzung üblicherweise mittels:

Logistisches Modell / Kannisto-Modell:

µ(x) =αeβx

1 + αeβx + γ

Qualitätsmerkmalemöglichst wenig Parameter. Vhohe Anpassung an die Originaldaten. Vgute inhaltliche Interpretation der einzelnen Parameter. V


Problem: Höchste Altersstufen

Alter x

m(x

) (lo

g 10−

Ska

la)

40 50 60 70 80 90 100 110

0.00

10.

010.

11

BeobachtetGeschätzt GompertzGeschätzt Logistisch

Gompertz' Mortalitätsgesetz, angewendet auf Männer im Alter 40−110 in Japan

Parameter alpha: 0.00001 Parameter beta: 0.10880 Parameter gamma: 0.00096


Wodurch könnte diese “Deceleration” verursacht werden?

DatenproblemeEchte “Verlangsamung”Kompositionseffekte


Kompositioneffekte, Deceleration, Frailty

Erstmalig in die Demographie eingeführt vonJames W. Vaupel, Kenneth G. Manton, Eric Stallard (1979):The Impact of Heterogeneity in Individual Frailty on the Dynamics of MortalityDemography, Vol. 16, No. 3 (Aug., 1979), pp. 439–454http://www.jstor.org/stable/2061224

Etwas leichter verständlich:Vaupel, James W. and Yashin, Anatoli I. (1985):Heterogeneity’s ruses: Some Surprising Effects of Selection on PopulationDynamicsThe American Statistician, Vol 39, No. 3, pp. 176–185http://www.jstor.org/stable/2683925


http://www.jstor.org/stable/2061224

http://www.jstor.org/stable/2683925

Kompositioneffekte, Deceleration, Frailty

Grundsätzliche Idee: Nicht alle Menschen haben dasselbe Sterberisiko.

Sie unterscheiden sich durch einen “frailty term” z

Typische Form: multiplikative Verknp̈fung.

µi(x, z) = zi · µ0(x)

In einer Vielzahl von Artikeln — wie auch in Vaupel et al. (1979) — wirdangenommen, dass µ0(x) einer Gompertz- (oder Gompertz-Makeham-)Verteilung folgt und zi einer Γ -Verteilung mit einem Mittelwert von einszu Beginn.

Vaupel and Yashin (1985) erläutern die grundsätzliche Idee anhand von(diskreten) Zwei-Punkt-Verteilungen


0 1 2 3 4 5

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

z

Dic

hte

von

z

Gamma−Verteilungen mit einem Mittelwert von eins und unterschiedlicher Varianz

σ2=0.02σ2=0.10σ2=0.20σ2=0.50σ2=1.00


20 Gamma-Gompertz-Hazards ziαeβx mit α = 0.0001, β = 0.1 und 20 zufälligen zi-Werten, die einer Γ -Verteilung

mit einem Mittelwert von 1 und einer Varianz von σ2 = 0.2 entstammen.

0 20 40 60 80 100

−4

−3

−2

−1

0

Alter x

z iαe

βxi


Age

Log−

Mor

talit

y

0.00

10.

010

0.10

0


Age

log

of fo

rce

of m

orta

lity

80 90 100 110

0.01

0.1

1

Age

log

of fo

rce

of m

orta

lity

80 90 100 110

0.01

0.1

0.5


Diese “Heterogeneity”-Hypothese ist natürlich nur eine vondrei Möglichkeiten zur Erklärung der “Deceleration”.Doch welche ist nun korrekt?Können wir testen, ob die “Heterogeneity”-Hypothese(zumindest zum Teil) korrekt ist?


Diese “Heterogeneity”-Hypothese ist natürlich nur eine von dreiMöglichkeiten zur Erklärung der “Deceleration”.

Doch welche ist nun korrekt?

Können wir testen, ob die “Heterogeneity”-Hypothese (zumindest zumTeil) korrekt ist?

Idee: Sofern die Hypothese richtig ist, sollten wir über die(Kalender-)Zeit hinweg eine Verschiebung der Deceleration in immerhöhere Altersstufen beobachten. Warum?

Wie wollen wir dies messen?

⇒ Life-Table Aging Rate k(x)eingeführt von Horiuchi and Coale (1990), bisweilen abkeürzt als “LAR”.

k(x) =∂µ(x)∂x

x=∂ lnµ(x)x∂x

Empirisch gemessen durch:

k(x)∗ = ln m(x) − ln m(x − 1)

üblicherweise nach Glättung von m(x)


LAR, Schweden, Frauen, 2000

60 70 80 90 100

0.08

0.10

0.12

0.14

Alter x

k(x)

Quelle: Daten Human Mortality Database; Glättung m(x) mittels P-Splines (Camarda, 2012; Eilers and Marx, 1996)


LAR, Schweden, Frauen, 2000 & 1980

60 70 80 90 100

0.08

0.10

0.12

0.14

Alter x

k(x)



LAR, Schweden, Frauen, 1950–2011

60 70 80 90 100

0.08

0.10

0.12

0.14

Alter x

k(x)

19502011



Diese “Heterogeneity”-Hypothese ist natürlich nur eine von dreiMöglichkeiten zur Erklärung der “Deceleration”.

Doch welche ist nun korrekt?

Können wir testen, ob die “Heterogeneity”-Hypothese (zumindest zumTeil) korrekt ist?

Idee: Sofern die Hypothese richtig ist, sollten wir über die(Kalender-)Zeit hinweg eine Verschiebung der Deceleration in immerhöhere Altersstufen beobachten. Warum?

Wie wollen wir dies messen?

⇒ Life-Table Aging Rate k(x)eingeführt von Horiuchi and Coale (1990), bisweilen abkeürzt als “LAR”.

⇒ Empirische Überprüfung liefert keinen Nachweis für dieFalsifizierung der Hypothese.


Ungleichheiten im Sterbealter

http://demo07.wiwi.uni-rostock.de/apps/dxSweden/


http://demo07.wiwi.uni-rostock.de/apps/dxSweden/


http://demo07.wiwi.uni-rostock.de/apps/lxSweden/


http://demo07.wiwi.uni-rostock.de/apps/lxSweden/


Es gibt einen klaren Trend hin zu einer“Rektangularisierung”Doch wie soll man diese messen — insbesondere, umeinen Trend über die Zeit hinweg festzustellen (odernatürlich auch zwischen unterschiedlichenBevölkerungen)?



Einfache Idee: Die Standardabweichung der Sterbealter “σ0”(siehe z.B. Tuljapurkar and Edwards (2005) für dieses undverwandte Maße)

σ0(x) =√

Var(x) =

√√√√ 1n − 1

n∑i=1

(xi − x̄)2



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1750 1800 1850 1900 1950 2000

1520

2530

Jahr

σ 0


Problem: stark von Säuglings- und Kindersterblichkeitbeeinflusst. Daher häufig erst ab Alter 10. Tuljapurkar andEdwards (2005) nennen dieses Maß: S10



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1750 1800 1850 1900 1950 2000

1214

1618

2022

24

Jahr

S10


Wilmoth and Horiuchi (1999) schlagen die sogenannte“Interquartile-Range” vor, also die Distanz zwischen demdritten und dem ersten Quartil.

0 20 40 60 80 100

0.00

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

Alter

Dic

hte

IQR

Schweden 2000


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1750 1800 1850 1900 1950 2000

2030

4050

6070

Jahr

IQR


James W. Vaupel hat in verschiedenen Publikationen den Werte† vorgeschlagen (z.B. Vaupel and Canudas-Romo, 2003,2007; Vaupel et al., 2011; Zhang and Vaupel, 2009a)Er ist definiert als:

e† =

ω∫0

e0(a, t)f (a, t)da

Erkennt jemand, was damit also gemessen wird?


James W. Vaupel hat in verschiedenen Publikationen den Werte† vorgeschlagen (z.B. Vaupel and Canudas-Romo, 2003,2007; Vaupel et al., 2011; Zhang and Vaupel, 2009a)Er ist definiert als:

e† =

ω∫0

e0(a, t)f (a, t)da

Erkennt jemand, was damit also gemessen wird?

Es handelt sich um die durchschnittliche Anzahl an verlorenenLebensjahren. Ein Wert von 20 für e† bedeutet also, dass jederdurchschnittlich 20 Jahre vor seiner oder ihrer Zeit gestorbenist.


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1750 1800 1850 1900 1950 2000

1015

2025

Jahr

e−da

gger


Der Zusammenhang zwischen der Lebenserwartung und e†

(Länder der HMD im Jahr 2000; beide Geschlechter gemeinsam)

65 70 75 80

910

1112

1314

1516

e0

e−da

gger

AUSAUT

BEL

BGR

BLR

CAN

CHE

CHL

CZEDEU

DNK

ESP

EST

FIN

FRA

FRG

GBRGDR

HUN

IRL

ISL

ISR

ITAJPN

LTU

LUX

LVA

NLDNOR

NZL

NZM

NZN

POL

PRT

RUS

SVK

SVN

SWE

TWN

UKR

USA


Mehr zum Thema Lebenserwartung und e† findet man in:Vaupel, J. W., Z. Zhang, und A. A. van Raalte (2011).Life expectancy and disparity: an international comparison oflife table data.BMJ Open 1(1), 1–6.http://bmjopen.bmj.com/content/1/1/e000128.full


http://bmjopen.bmj.com/content/1/1/e000128.full

Einen anderen Weg wählte Lloyd Demetrius (1974). Er definierte “Life TableEntropy H” als:

H = −

∞∫0

l(x)log(l(x))dx

∞∫0

l(x)dx+ log e(0)

Doch wie Vaupel (1986) bewiesen hat, ist dies nichts anderes als

H =e†

e0

(siehe auch Zhang and Vaupel (2009b)).Es handelt sich dabei also nur um eine Normierung von e† auf dieLebenserwartung bei Geburt.⇒ Gibt es einen Minimalwert für H?


Vielen Dank für Ihre Aufmerksamkeit!


Literatur I

Camarda, C. G. (2012). Smoothing and forecasting Poisson counts with P-splines.Technical report, Package ’MortalitySmooth’.

Demetrius, L. (1974). Demographic Parameters and Natural Selection. Proceedings ofthe National Academy of Sciences of the United States of America 71, 4645–4647.

Eilers, P. H. C. and B. D. Marx (1996). Flexible Smoothing with B-splines and Penalties.Statistical Science 11(2), 89–102.

Horiuchi, S. and A. J. Coale (1990). Age patterns of mortality for older women: Ananalysis using the age-specific rate of mortality change with age. MathematicalPopulation Studies 2(4), 245–267.

Tuljapurkar, S. and R. Edwards (2005). Inequality in life spans and a new perspectiveon mortality convergence across industrialized countries. Population andDevelopment Review 31(4), 645–674.

Vaupel, J. W. (1986). How Change in Age-Specific Mortality Affects Life Expectancy.Population Studies 40, 147–157.

Vaupel, J. W. and V. Canudas-Romo (2003). Decomposing Change in Life Expectancy:A Bouquet of Formulas in Honor of Nathan Keyfitz’s 90th Birthday. Demography 40,201–216.

Vaupel, J. W. and V. Canudas-Romo (2007). Analysis of Population Changes andDifferences. Methods for Demographers, Statisticians, Biologists, Epidemiologists,and Reliability Engineers. Konrad Zuse Str. 1, D–18057 Rostock, Germany: MaxPlanck Institute for Demographic Research, Rostock, Germany.


Literatur II

Vaupel, J. W., K. G. Manton, and E. Stallard (1979). The impact of heterogeneity inindividual frailty on the dynamics of mortality. Demography 16, 439–454.

Vaupel, J. W. and A. I. Yashin (1985). Heterogeneity’s ruses: Some surprising effectsof selection on population dynamics. The American Statistician 39(3), 176–185.

Vaupel, J. W., Z. Zhang, and A. A. van Raalte (2011). Life expectancy and disparity: aninternational comparison of life table data. BMJ Open 1(1), 1–6.

Wilmoth, J. R. and S. Horiuchi (1999). Rectangularization Revisited: Variability of Ageat Death Within Human Populations. Demography 36(4), 475–495.

Zhang, Z. and J. W. Vaupel (2009a). The age separating early deaths from late deaths.Demographic Research 20(21), 721–730.

Zhang, Z. and J. W. Vaupel (2009b). The age separating early deaths from late deaths.Demographic Research 20, 721–730.


Lizenz

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Sprechstunde im WS 2013/2014: Mittwochs, 09:00–10:00(und nach Vereinbarung)


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