Natürliche Zahlen PaedDr. Ján Gunčaga, PhD. Lehrstuhl für Mathematik und Physik Pädagogische Fakultät Katholische Universität in Ružomberok Slowakei [email protected]

NatNatüürliche Zahlenrliche Zahlen

PaedDr. Ján GunčagaPaedDr. Ján Gunčaga, PhD., PhD. Lehrstuhl fLehrstuhl füür Mathematik undr Mathematik und PhysikPhysik

Pädagogische Fakultät Pädagogische Fakultät Katholische Universität in Ružomberok Katholische Universität in Ružomberok

Slowakei Slowakei [email protected]@fedu.ku.sk

Relationen

Beispiel.Beispiel. Ich bereite mich Ich bereite mich auf dasauf das Abitur vor. Abitur vor. DazuDazu mache mache ich ich diesen Plan:diesen Plan:

MM-Mathematik, -Mathematik, PP-Physik, -Physik, EE-Englisch, -Englisch, DD-Deutsch, -Deutsch,

M GM G-Geschichte.

PP

EE

DD

GG

Mo Di Mi Do FrMo Di Mi Do Fr

Relationen

Menge TMenge T == {Mo, Di, Mi, Do, Fr} {Mo, Di, Mi, Do, Fr}Menge F Menge F == {M, P, E, D, G} {M, P, E, D, G}Relation R Relation R == {[Mo, E], [Mo, M], [Di, P], {[Mo, E], [Mo, M], [Di, P],

[Mi,D], [Do, G], [Do, P], [Fr, D], [Fr, [Mi,D], [Do, G], [Do, P], [Fr, D], [Fr, M]} M]} (die geordnete Paare)(die geordnete Paare)

Relation ist jede Relation ist jede Teilmenge des Teilmenge des Kreuzproduktes Kreuzproduktes der beiden Mengen der beiden Mengen (R (R TTF)F)..

AbbildungenAbbildungen

A BA B

ff

verbotenverboten

AbAbbbildungenildungen

Eine Relation f nennen wir Eine Relation f nennen wir die Abbildung f: A die Abbildung f: A BB, wenn , wenn jedes Element xjedes Element xA genau ein A genau ein Element yElement yB zum Partner hatB zum Partner hat. Wir schreiben . Wir schreiben statt statt [[xx, , yy] ] f y = f(x).f y = f(x).

RR – reelle Zahlen – reelle Zahlen

Im Fall, wenn Im Fall, wenn A A RR und B = und B = RR, , die Abbildung f die Abbildung f ist ist die Funktion.die Funktion.


A BA B

ff

SurjektionSurjektion


A CA C

gg

InjektionInjektion


A A DD

hh

BijektionBijektion

Die Mengen Die Mengen A A undund D D sind sind äquivalentäquivalent, , A A DD..

NatNatüürliche Zahlenrliche Zahlen wie Kardinalzahlenwie Kardinalzahlen

SS - - das Mengensystemdas Mengensystem

KardinalzahlKardinalzahl AA= = {X {X SS ; X ; X A}A} AA= = DD NatNatüürliche Zahlenrliche Zahlen sindsind Kardinalzahlen Kardinalzahlen von allen von allen

Mengen, die endlich und nicht leer sind.Mengen, die endlich und nicht leer sind.

2 2 a 1 a 1

b 2 …b 2 …

NatNatüürliche Zahlenrliche Zahlen wie Kardinalzahlenwie Kardinalzahlen

Operationen und AnordnungenOperationen und Anordnungen

WennWenn A A B= B= (Durchschnitt)(Durchschnitt), dann , dann

AA++BB== A A BB(Vereinigung).(Vereinigung).

Die Die Kardinalzahl des KreuzproduktesKardinalzahl des Kreuzproduktes ist gleich ist gleich dem Produktdem Produkt der Kardinalzahlen von A und B: der Kardinalzahlen von A und B:

AA..BB== A A BB

WennWenn A A B* und B* B* und B* B, B*B, B* BB (eigene (eigene

Teilmenge)Teilmenge), dann, dann AA BB..

NatNatüürliche Zahlenrliche Zahlen als als Peano Peano - Menge- Menge

Das MDas Männchen von Giuseppe Peanoännchen von Giuseppe Peano

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Ein Modell ffüürr Peano Peano –– Axiome

Das MDas Männchen von ännchen von Giuseppe PeanoGiuseppe Peano

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Das MDas Männchen von ännchen von Giuseppe PeanoGiuseppe Peano

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•Das Männchen lebt an einer Zahlengerade von den natürlichen Zahlenürlichen Zahlen.

•Es kann nur auf den natürlichen Zahlen vorwärts ürlichen Zahlen vorwärts gehen. gehen.

•Es kann einEs kann einen Schritten Schritt nur zur nächsten nur zur nächsten natürlichen ürlichen Zahl machen.Zahl machen.

Regel Regel ffüürr ddas Mas Männchen ännchen und Peano - Axiomeund Peano - Axiome

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1 2 3 4 5 6 7 8 9 10Das Männchen kann immer einen Schritt vorwärts von einer natürlichen Zahlürlichen Zahl zur nächsten zur nächsten natürlichen Zahl ürlichen Zahl machen.machen.

Axiom Nr. 1: Jede Axiom Nr. 1: Jede natürliche Zahlürliche Zahl a hat genau einen (mindestens und höchstens einen) Nachfolger a´ in der Menge von natürlichen ürlichen Zahlen.Zahlen.


1 2 3 4 5 6 7 8 9 10Das Männchen kann keinen Schritt vorwärts von einer natürlichen Zahlürlichen Zahl zur zur natürlichen Zahl ürlichen Zahl 11 machen.machen.

Axiom Nr. Axiom Nr. 22: 1 kann kein Nachfolger : 1 kann kein Nachfolger ffüürr eine natürliche Zahlürliche Zahl sein sein (1 ist also die kleinste natürliche Zahlürliche Zahl).


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1 2 3 4 5 6 7 8 9 102 Männchen stehen auf zwei verschiedenen wei verschiedenen natürlichen ürlichen Zahlen.Zahlen.

Sie machen einen Schritt vorwärts.

2 Männchen stehen wieder auf zwei verschiedenen wei verschiedenen natürlichen Zahlen.ürlichen Zahlen.

Axiom Nr. 3: Zwei verschiedene Axiom Nr. 3: Zwei verschiedene natürliche ürliche Zahlen haben auch verschiedene NachfolgerZahlen haben auch verschiedene Nachfolger.


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1 2 3 4 5 6 7 8 9 10Das Männchen hat einen Topf mit roter Farbe vor sich.

Es steht auf einer natürlichen Zahl.ürlichen Zahl.

Es malt diese natürliche Zahlürliche Zahl rot an rot an..

Es macht einen Schritt vorwärts und es steht auf einer natürlichen Zahl.ürlichen Zahl.

Es malt diese natürliche Zahlürliche Zahl auch rot an auch rot an..


1 2 3 4 5 6 7 8 9 101. Das Männchen steht auf der natürlichen Zahl 1. ürlichen Zahl 1. Es malt

diese natürliche Zahlürliche Zahl an an..

Regel ffüürr Mahlen




2. Wenn es auf einer natürlichen Zahl ürlichen Zahl steht,, macht eses einen Schritt vorwärts. Es steht auf einer natürlichen Zahl und ürlichen Zahl und es es malt diese natürliche Zahlürliche Zahl an an..





2. Wenn es auf einer natürlichen Zahl ürlichen Zahl steht, , macht eses einen Schritt vorwärts. Es steht auf einer natürlichen Zahl und ürlichen Zahl und es es malt diese natürliche Zahlürliche Zahl an an..










2. Wenn es auf einer natürlichen Zahl ürlichen Zahl steht, es, es macht einen Schritt vorwärts. Es steht auf einer natürlichen Zahl und ürlichen Zahl und es es malt diese natürliche Zahlürliche Zahl an an..




















2. Wenn es auf einer natürlichen Zahl ürlichen Zahl steht, , macht es es einen Schritt vorwärts. Es steht auf einer natürlichen Zahl und ürlichen Zahl und es es malt diese natürliche Zahlürliche Zahl an an..








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Axiom Nr. 4: Eine Menge Axiom Nr. 4: Eine Menge MM natürlicher Zahlen natürlicher Zahlen,,

Das Beweisprinzip der vollständigen Induktion


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Axiom Nr. 4: Eine Menge Axiom Nr. 4: Eine Menge MM natürlicher Zahlen natürlicher Zahlen,,



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Axiom Nr. 4: Eine Menge Axiom Nr. 4: Eine Menge MM natürlicher Zahlen natürlicher Zahlen,, die die die 1 enthältdie 1 enthält



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Axiom Nr. 4: Eine Menge Axiom Nr. 4: Eine Menge MM natürlicher Zahlen natürlicher Zahlen,, die die die 1 enthältdie 1 enthält; ;


a


1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Axiom Nr. 4: Eine Menge Axiom Nr. 4: Eine Menge MM natürlicher Zahlen natürlicher Zahlen,, die die die 1 enthältdie 1 enthält; es gilt; es gilt ffüürr jede Zahl jede Zahl:: ausaus aaMM


a


1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Axiom Nr. 4: Eine Menge Axiom Nr. 4: Eine Menge MM natürlicher Zahlen, die natürlicher Zahlen, die diedie 1 enthält1 enthält; es gilt für jede; es gilt für jede Zahl Zahl:: ausaus aaMM


a a´


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Axiom Nr. 4: Eine Menge Axiom Nr. 4: Eine Menge MM natürlicher Zahlen, die natürlicher Zahlen, die diedie 1 enthält1 enthält; es gilt für jede; es gilt für jede Zahl Zahl:: ausaus aaM M folgtfolgt a´a´MM;;


a a´


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a a´


1 2 3 4 5 6 7 8 9 10



a a´


1 2 3 4 5 6 7 8 9 10



a a´


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a a´


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a a´


1 2 3 4 5 6 7 8 9 10



a a´


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a a´


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a a´


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Axiom Nr. 4: Eine Menge Axiom Nr. 4: Eine Menge MM natürlicher Zahlen, die natürlicher Zahlen, die diedie 1 enthält1 enthält; es gilt für jede; es gilt für jede Zahl Zahl:: ausaus aaM M folgtfolgt a´a´MM; M; M ist die Menge N selbst (M=N).


a a´

Natürliche Zahlen als Natürliche Zahlen als Peano - MengePeano - Menge

Addition:

a) x + 1 = x´

b) x + y = (x + y)´

Wenn für die natürlichen Zahlen Wenn für die natürlichen Zahlen a, ba, b gilt: gilt: b = a b = a +x+x und und x ist eine natürliche Zahlx ist eine natürliche Zahl, dann , dann gilt gilt auch: auch: a a b.

Operationen und Operationen und AnordnungenAnordnungen

Multiplikation: a) x . 1 = x

b) x . y´ = x . y + x

Danke für Ihre Aufmerksamkeit!

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Das Männchen ist müde!

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