TECHNISCHE MECHANIK13(1992) Hefl 1

Manuskripteingang: 15.01 .1992

Die Berechnung dünnwandiger Ringtrager mitgeschlossenem

Querschnitt auf derGrundlage des halbmomentenfreien

Schalenmodells nach Wlassow, Teil ll

JohannesAltenbach, Wolfgang Kissing, Johannes Schulz

Ausgehend von derhalbmomentenfreien Schalentheorie von Wlassowwurden im Teil [1 1] die allgemeinen Gleichungen für Systeme mit eben

gekrümmter Stabachse abgeleitet. Diese Modellgleichungen wurden mit den in Arbeiten von Rangelow und von Hirashima/Yajima abgeleiteten

Gleichungen verglichen. Dazu wurden alle Gleichungen in eine einheitliche Schreibweise in der Form von DGL.-Systemen überführt.

Der Teil Il führt die Vergleichsuntersuchungen am Beispiel eines Ringträgers mit Kastenquerschnitt sowohl in allgemeiner Form als auch

numerisch fort.

Followingthe semi-moment she/ltheoryof Vlasovin partl ofthepaperthegeneralequations forstructures with planecurvedaxesare given. These

equations are compared with the structural equations given in papers by Range/0v andHirashima/Yajima. All equations are transformed in an

unique form of differential equations of first order.

Part Il contalns the results ofa comparison analysis fora curved boxbeam in a generalform ofbasic equations andin form ofnumerical values.

6 Anwendung auf den Ringträger mit doppelt symmetrischem Kastenquerschnitt

Es wird ein Ringträger mit doppeltsymmetrischem Kastenquerschnitt untersucht. Der Querschnitt einschließlich der Vorzei—

chendefinition der Koordinaten ist in Bild 5 dargestellt.

Bild 5

y Querschnittsdarstellung und Vorzeichendelinitionen

Die verallgemeinerten Koordinaten (Ms), (pus) und xk(s) sind bereits in Bild 2 (Teil l) [1 1] enthalten. Der im Bild 6 dargestellte

Verlauf der verallgemeinerten Koordinate x4 wird im folgenden näherungsweise immer in der angegebenen linearisierten

Form verwendet. Bild 7 zeigt den zu n4 zugehörigen Verlauf der Querbiegemomente m4, der jedoch dem nichtlinearisierten

Verlauf von x4 entspricht.

Das kanonische Differentialgleichungssystem für den Ringträger mit Kastenquerschnitt in allgemeiner Form zeigt Tabelle 2

(im Anhang). Die allgemeine Darstellung verdeutlicht den inneren Aufbau der Gleichungen. Die Berechnung der verallgemei-

1

nerten Querschnittswerte kann dabei auch unter Nutzung der in der Baustatik üblichen Integraltabellen f f1 fgdg erfolgen,

nur dal3 hier u. a. auch Formen f f1 f2 fadE auftreten können. o

0

4E3-6gz- ("f— 1)§+lE(/Ai+1)

‚(L

f 41 = r + 1

e 43- äz-(L-‘>f+%i}7+n42 =

v}: + 1

Ä. e _ „U. J4

2 J2

Bild B

Die verallgemeinerte Koordinatentunktion m Bild 7

————— — - Iinearisierte Form von #4 Die Funktion m4

15

A 4.451; I! Tüllm Zrm

1 4 m,

H)4+2M f®=—————=—=—— awe

1 5 'g 2 4 ‘sz’m (1' 2;) p NS) Beispiele für integrandenfunktionen

Als ein Beispiel ist hier ein integral, bei dem im lntegranden der Kehrwert der Hilfsfunktion ß auftritt, angegeben. Beide Funk-

tionen f1(§) und 12(5) sind in Bild 8 graphisch dargestellt.

d2

1 1 <1—2§)A r? 1+ 2," d

It1f2dg=1 ——.———dg=2A—";—(In__.m__-_2

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In 2n„ __ d2 2: J_ d3 (1+, 3d§ + 3d; )

1 d2 rm —' 12 r; zorg 112r;

2r„7

1 d 3d4 3d‘

of f1f2d§ E A 2 (1+ 2 + —-3-—-)

6r”, 20r3, 1 12r2,

Das kanonische Differentialgleichungssystem für den Ringträger mit Kastenquerschnitt in allgemeiner Form, jedoch für

ß = r(s)/r‚„ = 1, zeigtTabeile 3. Bei der Berechnung von Fiingträgern kann zurRechenvereinfachung ß : 1 nurfür Träger mit

geringer Breite, geringer Höhe und sehr großem Krümmungsradius gesetzt werden. Das kanonische Differentialgleichunge-

system für den doppeltsymmetrischen Kastenquerschnitt veranschaulichtdas für dieses Beispiel, indem aus einem Vergleich

zwischen den kanonischen DifferentialgIeichungssystemen für ß = ß(s) und ß = 1 ersichtlich ist, daß die Werte für

d2 d2 . d2

AG -—2' bZW. AG 1 2

rä rm

dazu gegen Null gehen müssen (vgl. die Gleichungen jeweils für P’2(t) und P‘4(t)).

Der Grenzübergang r„7 —> 0° führt zu den entsprechenden Gleichungen des prismatischen Trägers mit gerader Längsachse

(Tabelle 6) (im Anhang).

Das von M. Hirashima und S. Yajima in [7] angegebene Gleichungssystem, das im Punkt 4.1 . wiedergegeben wurde (GI. 13a)

und (13b)), wurde analog zur Tabelle 2 aufbereitet und in Tabelle 4 zum Vergleich dargestellt.

Die dabei in eckige Klammern gesetzten Terme entstehen durch die Nichtberücksichtigung der Wandneigungen gegenüber

der Ringachse, siehe auch 4.1 . Schlußfolgerung 1 . Sie führen zu mechanisch nichtsinnvollen Kopplungen der Unbekannten.

Das von R. P. Rangelow in [9] angegebene Gleichungssystem, das in Punkt4.2. wiedergegeben wurde (GI. (19a) und (19h)),

wurde ebenfalls analog zur Tabelle 2 aufbereitet und in Tabelle 5 zum Vergleich dargestellt. An Hand der Tabelle 5 zeigt sich,

daß bei der Lösung nach R. P. Rangelow die Vernachlässigung der Normalverschiebungszustände beträchtlichen Einfluß auf

die Gleichungen für die verallgemeinerten Längsverschiebungen (Ui') und die verallgemeinerten Querkräfte (Qn’) hat. Die

Vernachlässigung der Normalverschiebungszustände führt zu komplizierteren Kopplungen der Unbekannten.

Die in Tabelle 6 angegebenen Querschnittswerte Ixx, /yy stellen die bekannten axialen Trägheitsmomente des Ouerschnlttes

dar. Sie entstehen hier aus den verallgemeinerten Querschnittswerten a 7,. Für lW gilt:

dädä

48

‚w = A'

7 Zahlenbeispiel

Der Vergleich der Modellgleichungen von Hirashima/Yajima, Rangelow und der vorliegenden Arbeit wird am Beispiel eines

einseitig starr eingespannten Viertelkreisbogens mit symmetrisch eingeleiteter Einzellast am freien Ende durchgeführt. Da-

bei wird jeweils zwischen den Fäilen mit bzw. ohne starres Endschott am freien Ende unterschieden. Beim starren Endschott

16

3 9

l

4

T 1

u -

Querschnitt: 5 2

R l

4 t 2 _

V _°—— —a ’l

_ +.__g /’/’°,_"T_..—_.Z

1'1 Q 1 ‘/%’/'/ 8

/-.s//¢../ __°____‚____..__—.————.4

F . p=1oookN { ’fßCP—«v

uoo ' 30- soc a 96' __%

Blld 9 Bild 10

Viertelkreisfräger mit Einzellasf Verlauf der verallgemeinerten Verschiebung Ua

vorliegende Theorie

———— ——— Theorie nach Hirashima/Yajima

— . — . — . — Theorie nach Rangelow

1 — System ohne Schott

2 — System mit slarrern Schott am freien Ende

U5

T’

10"Cnf

JA

103

-Z-ul

Bild 11

Verlauf der verallgemeinerten Verschiebung U4

vorliegende Theorie

Bild 12

Verlauf der verallgemeinenen Verschiebung V1

vorliegende Theorie

—————— Theorie nach Hirashima/Yajima —- ——— — Theorie nach Hirashima/Yajima

— . — . — . — Theorie nach Rangelow — . — . — . — Theorie nach Rangelow

1 - Sysfem ohne Schott 1 — System ohne Schott

2 - System mit starrem Schott am freien Ende 2 —— System mit sfarrem Schott am freien Ende

17

EL

105KNCm

v.—

Blld 13

Verlauf der verallgemeinerten Verschiebung V3

vorliegende Theorie

—————— Theorie nach Hirashima/Yajima

— . — . — . — Theorie nach Hangelow

1 - System ohne Schott

2 — System mit starrem Schott am freien Ende

Bild 15

Verlauf der verallgemeinerten Schnittkraft P3

vorliegende Theorie

————— -—Theorie nach Hirashima/Yajima

— . —— . — . — Theorie nach Rangelow

1 — System ohne Schott

2 — System mit starrem Schott am freien Ende

18

gt° 4

‚__——v---"‘°“--—a1

Bild 14

Verlauf der verallgemeinerten Verschiebung V4

vorliegende Theorie

—————— Theorie nach Hirashima/Yajima

— . — . — . — Theorie nach Rangelow

1 — System ohne Schott

2 — System mit starrem Schott am freien Ende

Bild 16

Verlauf der verallgemeinerten Schnittkraft P4

vorliegende Theorie

————— - Theorie nach Hirashima/Yajima

— . — . — . — Theorie nach Rangelow

1 — System ohne Schott

2 — System mit starrem Schott am freien Ende

Bild 17

Verlauf der verallgemeinenen Schnittkraft Q1

vorliegende Theorie

———— — — Theorie nach Hirashima/Yajima

— . — . — . — Theorie nach Rangelow

1 — System ohne Schott

2 — System mit slarrem Schott am freien Ende

chm

1__>.

10—4

Bild 19

Verlauf der verallgemeinerten Schnittkraft Q4

vorliegende Theorie

————— — Theorie nach Hirashima/Yajima

— . — . — . — Theorie nach Rangelow

1 — System ohne Schott

2 - System mit starrem Schott am freien Ende

4,2

.L—u-‘fl

Bild 18

Verlauf der verallgemeinerten Schnittkraft Qa

vorliegende Theorie

————— — Theorie nach Hirashima/Yajima

— . — . — . — Theorie nach Rangelow

1 — System ohne Schott

2 — System mit starrem Schott am freien Ende

100,1

sqi

'I

Theorie nach ['i] Theorie nach [9]

Bild 20

Normalspannungsverlauf an der Einspannung

19

sind die Konturverformungen (V4) am freien Ende Null und die zugehörige Querkraft Q. vorhanden. Im anderen Fall ver-

schwindet Q4, und die Konturverformungen V.können sich unbehindert einstellen. Bild 9 zeigt das System und die Belastung.

Die numerische Berechnung erfolgte unter Vewvendung eines Übertragungsmatrizenalgorithmus mit Zwischenablösungen

zur numerischen Stabilisierung [12], [13], [6]. Dieses Lösungsverfahren hat sich bei derartigen Systemen bisher mehrfach be-

währt.

In den Bildern 10—1 4 sind die'VerIäufe der verallgemeinerten Verschiebungen für die unterschiedlichen Modellgleichungen

dargestellt. Die Bilder 15—19 zeigen die Verläufe der entsprechenden verallgemeinerten Schnittkräfte. Die Normalspannun-

gen 0„ an der Einspannstelle (ü = 0) sind jeweils für das System ohne Schott am freien Ende in Bild 20 aufgetragen. Zum

Vergleich, insbesondere mit den aus der vorliegenden Theorie folgenden Spannungen, wurden hier auch die Werte, die man

mit der elementaren Theorie erhält, mit aufgenommen.

Aus den Ergebnissen folgt anschaulich, daß weder eine elementare Theorie noch die vereinfachten Theorien von Hirashima/

Yaiima und Rangelow für die Berechnung derartiger Systeme Verwendung finden sollten. Die maßgebenden Spannungs-

werte betragen hier bei der Theorie von Hirashima/Yajima ca. 82 % und bei derTheorie von Rangelow nur ca. 66 % derWerte

nach der Wlassowtheorie. Ferner widersprechen die Verläufe für die Schnittgrößen P3 und Q. in den Lösungen nach

Hirashima/Yajima und Rangelow sogar den statischen GIeichgewichtsbedingungen.

8 Zusammenfassung

Für dünnwandige Ringträger mit geschlossenem Querschnitt wird die halbmomentenfreie Schalentheorie nach Wlassow all-

gemein abgeleitet. Die Modellgleichungen der Wlassowtheorie werden mit denen vereinfachter Ringträgermodelle theore-

tisch und numerisch verglichen. Die Ergebnisse zeigen, daß die von Hirashima/Yaiima bzw. von Rangelow eingeführten Ver-

einfachungen der Modellgleichungen die Ergebnisse stark verfälschen und ihre Anwendung daher nicht empfohlen werden

kann.

Anhang

Tabelle 2

Das kanonische DGl.-System für den Ringträger mit Kastenquerschnitt in allgemeiner Form;

V'eränderliche: Bogenlänge t = rm ‚13,14 linearisiert; ß = Ms).

U: (0-4... Vziti+ hTs’rJQA—e F3 (fit ä-EL Halm EM

J. l ___L__ - 1 1 _1_ t

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20

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Ext) 03 (we GAO—mt) G„(t>=+Ea;f%;E Vu(t>+r‘—‚„ 2 (ML

Tabelle3

Das kanonische DGl.—System1flr den Ringträger mit Kastenquerschnitt in allgemeiner Form;

Veränderliche: Bogenlänge t= r„, - ö; n4 Iinearisiert; ß = 1.

1.0V2 (t)+ 5L g—A5„2AG .1 (t)

T 12

I __J_ -U3(t)-+|—‚r—n 1,0 ‚(Ü—‚4:1 1,0vk(t)+% ZAST%+ZAG%E Pam

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E 2A5: 142::‘+2AG Liga“ 9* (t)

2A5T£+2AG¥

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1

U2 (0+ ä "2175, Q2 (t)

v; (t>--1‚0 U3(t)+ i {Ty Q3 (0

_ _2As dI=Z-2A 1“"

Q‘ (13 Asrrdzz' AGGd1z a“

G

dz: d z d 2 d Z

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P: (tk-ém 02 (t) “920)

p; (t)=+G ,g—n, 2AG$§ u2(t) +1.0 (Im-6:6)

e, (t)-+ ä %— a, (t) +to as (t) — FL 42— Gut) @(t)m

e; (t)-+ G F171, 2A6 Elf—g? UL, (t) + 1.0 01. (t) - ’; (t)

a: (0-4;, ä (t) 4:51 (U

GHQ-$1 ‘51 (0 4122(1)

mix-353 (t)

mung? VI. (0%, P3 (04% (t)

21

Tabelle 4

Das kanonische DGl.-System lür den Ringträger mit Kastenquerschnitt in allgemeiner Form nach dem Lösungsvorschlag von Hirashima/

Yaiima;

Veränderliche: Bogenlänge t = r„‚ ~ 19; Die mit [ ] gekennzeichneten Terme entfallen, wenn der Neigungswinkel a der Querschnittskontur-

Iinien zur Vertikalen nachträglich berücksichtigt wird.

U; Ct>= + 2;-

u? (Hug _1—_z mt)

u; (t)= +

I 1 _

UL. <t>= *1? am

. d3 4‘ 2A d42-2 113v1 (t)= +L Mai o, t)— 0.,(t)

v; (t)= — 1,0 U2 (t)+ ‚L

G

v; (t>= — 1.0 u3(t)+ ä— ZLAÜ 930)

_L

G

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ä (t)-+ 1,0 at, (t)— Rh)

n = 1__;AJ&‘_ — _1__2AL‘%+‘_— _01 <1) [w 2A5‚%12+2A5% am RZAST%2+ZAG.‚+1F’3(t) am

Qz'(t)=+ ÄG— (Ü-qz(t)l

R ZA5r+2Ae ‘

Q;(t)=[+:; ÄH— ä(t)-q3 (0]Ms + 2A6

A d—i‘ ~ 2A 5‘5 —Q“ (t) ' l’EgT‘gfjä-l V1, (t)[+%'2r€éfffl:-%t 80i+1fim Pa(t)‘m.(t)

l l

Tabelle 5

Das kanonische DGl.—System für den Ringträger mit Kastenquerschnitt in allgemeiner Form nach dem Lösungsvorschlag von Rangelow;

Veränderliche: Bogenlänge t = r‚„ - 0; Normalverschiebungszustände nicht einbezogen; Näherungsweise hier x = R‚/F?(t‚s) durch

1/ß = r„‚/r(s) ersetzt.

I l 1 l ' 1 1— 1 ‘

U1 V2(t>+E—2AST+2AG E 2——‘A5T+2AG Pz

G

1 1 1 l 1 —

u't-+‘— —————— Vz(t)+————- ‚(0+

20 w 2—“ Fle1+ "'2

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1+ TEE—Ä zormz 112m,

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22

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Tabelle 6

Das kanonische DGl.-System für den geraden Träger mit Kastenquerschnitt in allgemeiner Form.

I 1 1 - ‘-

U, (Aug—“510M e (arg-f 8(1)

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Literatur

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Strojizdat Moskau (im Druck).

Anschrift der Verfasser:

Prof. Dr.-Ing. habil. J. Altenbach

Fakultät Maschinenbau

WB Festkörpermechanik

Technische Universität „Otto von Guericke“

PSF 4120

0-3010 Magdeburg

Prof. Dr.-lng. habil. W. Kissing Dr.-Ing. J. Schulz

Fakultät MaschinenbauBauakademie

Technische Hochschule Wismar Institut für KonStruktiven Ingenieurbau

PSFPlauener Str. 163

0-2400 Wismar 0-1092 Berlin

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