TECHNISCHE MECHANIK 3(1982)Heft3

Manuskripteingang: 6. 4. 1982

Ein Difierenzenverfahren zur Berechnung nichtisothermer Strömungen

hochviskoser Medien in gerade berandeten Durchströmbauteilen

Chr. Plichta

l. Einführung

In den vergangenen Jahren gingen von der Plastverar-

beitungsindustrie entscheidende Impulse für die Ermitt-

lung nichtisothermer Strömungsfelder in hochviskosen

Medien aus. Die Strömungsvorgänge bei der Herstellung

von Plasterzeugnissen sind mitbestimmend für die Effek-

tivität der Verarbeitungsprozesse und die Qualität der

Enderzeugnisse. Die Kenntnis der Temperatur-, Druck-

und Geschwindigkeitsverteilung in strömenden Plast-

schmelzen hilft die Produktivität der Maschinen zu stei-

gern, den Energiebedarf zu reduzieren und thermische

Schädigung des Matirrials zu vermeiden.

Bei den in den Werkzeugen auftretenden Fließvorgängen

spielt die starke Temperaturabhängigkeit der den Strö-

mungsprozeß charakterisierenden Stoffgrößen sowie das

nicht-Newtonsche Stoffverhalten der Plastschmelzen

eine dominierende Rolle. Außerdem muß die Dissipation

bei den hohen Druckverlusten Berücksichtigung finden.

Obwohl die Trägheitskräfte für die vorliegenden Strö-

mungsparameter (Re < l) vernachlässigt werden können,

bedingen die genannten Besonderheiten erhebliche

Schwierigkeiten bei der Lösung der gestellten Aufgabe.

Zwischen Temperatur- und Geschwindigkeitsfeld liegt

eine gegenseitige Beeinflussung bzw. Kopplung vor.

Einerseits hängt das Geschwindigkeitsfeld über die

keitskräfte von der Temperatur ab, andererseits übt das

Geschwindigkeitsfeld über die konvektive Wärmeleitung

sowie über die Dissipation eine Rückwirkung auf das

Temperaturfeld aus.

Für diese nichtlineare Problematik lassen sich keine ge-

schlossenen Lösungen finden. Nachfolgend wird eine

numerische Lösung für spezielle Randbedingungen und

reinviskoses Stoffverhalten auf der Grundlage eines Dif-

ferenzenverfahrens vorgestellt.

2. Mathematisches Modell

Das entwickelte Lösungsverfahren beschränkt sich auf

stationäre Strömungen bei kleinen Re-Zahlen in ebenen

bzw. rotationssymmetrischen gerade berandeten Durch-

strömbauteilen. Die Auswahl der geometrischen, rheo-

logischen und thermischen Strömungsparameter erfolgt

im Hinblick auf den Plastextrusions-Prozeß

Die den Strömungsvorgang beschreibenden Grundglei-

chungen der Kontinuumsmechanik besitzen unter Beach-

tung der genannten Voraussetzungen folgende Gestalt

60

Kontinuitätsgleichung

ö Vi _ 0 l

3—K; ' ~ ( )

Bewegungsgleichungen

_ ö p a Sij__ + :

ö xi ö xj O (2)

Energiegleichung

a T _ a a T a p ö Vipcpvi - +Sijaxj

Bezüglich des Stoffverhaltens wurden ebenfalls verein-

fachende Annahmen getroffen [2

Die Plastschmelze verhalte sich wie eine reinviskose Ein——

mogene isotrope Flüssigkeit ohne Normalspannungseif»

fekte, sie genüge also dem theologischen Stoffgesetz

_ . _ . _ 1 avi avj

S], nsDijs ‘ ä + -

Die scheinbare Viskosität ns ist eine Funktion der 2. In-

varianten III‘) des Deformationsgeschwindigkeitstensors

Dij und ändert sich mit Druck und Temperatur

"s z "3 (111371311)-

Die Temperaturabhängigkeit der Wärmeleitzahl wird

ebenfalls berücksichtigt.

Ä = Ä(T)_

Der thermische Volumenausdehnungskoeffizient 6, die

spezifische Wärmekapazität cp und die Dichte p werden

als konstant angesetzt, die Expansionsarbeit wird jedoch

in der Energiegleichung erfaßt.

Als hydrodynamische Randbedingung wird die Gültig-

keit der Haftbedingung vorausgesetzt. .

Die geometrischen Berandungen müssen dergestalt sein,

dal3 im gesamten Strömungsgebiet die Hauptströmungs-

richtung mit einer Koordinatenrichtung übereinstimmt.

Für diesen Fall lassen sich die Quergeschwindigkeiten in

der Bewegungsgleichung näherungsweise vernachlässigen.

Bild l enthält eine Zusammenstellung von Bauteilen, die

dieser Bedingung bei Wahl eines geeigneten Koordinaten-

systems genügen.

Die thermischen Randbedingungen, bestehend aus der

Eintrittstemperaturverteilung und Wandrandbedingun-

gen 1., 2. oder auch 3. Art, müssen eben bzw. rotations-

u) ebener Kanal I3|

(kurtesische Koordinoten)

mebener konvergenter Kanal |8|

(Polarkoordinaten)

c) KreLsmhr 13l

(Zylinderkoardimten)

d) Kreisringranr

(Zylinderkoorninmen)

__L._‚%__VL._„_

e) konvergeme Düse 10:

.(Kugelkuorainmen)

f) konvergcnte Düse mit Dorn

(Kugelkuordinmen)

„Ä

HP”

V

Bild l

Berechenbare Durchströmbauteile

symmetrisch sein, unterliegen aber keinen weiteren Ein-

schränkungen. Nichtzusammenhängende Wände können

auch unterschiedliche thermische Randbedingungen auf-

weisen.

3. Lösungsverfahren und Programmaufbau

Unter der bei den vorliegenden Pe-Zahlen gestatteten

Vernachlässigung der Wärmeleitung in Längsrichtung

führt die Energiegleichung (3) auf eine nichtlineare para-

bolische Differentialgleichung. Damit läßt sich die Auf-

gabe auf ein Anfangs-Randwertproblem zurückführen.

Das gewählte Lösungsverfahren für das nichtlineare Glei-

chungssystem (l), (2) und (3) basiert auf einer schritt-

weisen Entkopplung von Energie- und Bewegungsglei-

chung. Die Lösung der Energiegleichung erfolgt schich-

tenweise in Strömungsrichtung mittels eines impliziten

Differenzenverfahrens (Prädiktor-Korrektor-Schema) [3],

[4]. Die Differentialquotienten werden in Hauptströ—

mungsrichtung durch rückwärtige Differenzenquotien-

ten und in Querrichtung durch zentrale Differenzenquo-

tienten angenähert. Damit ergibt sich für die Energieglei-

chung folgende Gitterpunktsgleichung.

k k k k k k- kAli Ti—l +A2i Ti +Asi Ti+l ‘Am

.' 1 .

(k=1+‘2‘a1+1)-

Die nichtlinearen Koeffizienten wurden dabei bereits

durch geeignete Näherungen ersetzt (Bild 2).

Die Koeffizienten A werden mit den im vorangegange-

nem bzw. im Zwischenschritt berechneten Temperatu-

K-iIZ. K- "Z K-ilZ

AiK-f(vi,P.„T‚ ) K-y1/z‚j+1

üuerrichiung

J+1

äi rm /Knrrekturschritt

h . J1 ‚Prüflikturschrittw)

J

H m

Bild 2

Differenzenschema

ten, Driicken und Geschwindigkeiten gebildet. Diese

Vorgehensweise entspricht einer schrittweisen Linearisie-

rung von Die entstehenden Differenzengleichungen

bilden ein lineares Gleichungssystem mit einer Bandma-

trix, dessen Lösung mit der „Übertragungsmatrizen-

Methode” nur geringen rechentechnischen Aufwand ver-v

ursacht [5]. Für jeden Halbschritt ist die Bewegungsglei-

chung (2) im Wechsel mit der Energiegleichung (3) zu

lösen. Die Berechnung der Geschwindigkeitsverteilung

fiihrt auf ein Randwertprohlem einer gewöhnlichen,

nichtlinearen Differentialgleichung [4], wenn die Quer-

geschwindigkeiten vernachlässigt und die Temperaturen

aus der in der Schicht bereits gelösten Energiegleichung

übernommen werden.

Die Ordnung der Differentialgleichung hängt von der

geometrischen Berandung ab. Als Randbedingungen lie-

gen die Haftbedingung (Symmetriebedingung) und die

Durchflußbedingung vor. ‚

Die Differentialgleichung wird mit einem Mehrschrittver-

fahren nach Hamming [6] gelöst. Die Einarbeitung der

Randbedingungen läßt sich nur auf iterativem Wege

(Schießverfahren [7]) mit einem Newtonschen Nähe-

rungsverfahren für mehrere Veränderliche erzielen.

Die Quergeschwindigkeiten werden näherungsweise aus

der Kontinuitätsgleichung bestimmt. Eine anschließende

Korrektur der Längsgeschwindigkeiten mit dieser Nähe-

rung läßt sich wegen zu hoher Rechenzeiten nicht reali—

sieren..‚

Die genannten Lösungsschritte sind bis zum Erreichen

des Kanalrandes zu wiederholen.

Das Lösungsverfahren wurde für die Rechenanlage ESER

104-0 programmiert. Das Programm TEGED enthält

mehrere austauschbare Subroutinen und kann damit ver-

schiedene rheologische, thermische und geometrische Pa-

rameter wahlweise erfassen. An der Erweiterung des Pro-

gramms wird z. Z. noch gearbeitet. Mit dem Programm

können außerdem 3 Varianten der Gitteraufteilung rea-

lisiert werden.

Bezüglich der Datenverwaltung treten keinerlei Schwie-

rigkeiten auf, da für den Fortgang der Rechnung nur

Werte aus zwei zurückliegenden Schichten benötigt wer-

den. Der Ablauf des Verfahrens wird im schematischen

Flußbild (Bild 3) skizziert.

61

lteruhonszyklus ll -1

rmmlung du Koeffizimfen‘

maan für Energiegleithlm

i

Lösung der Emrgiegadm;

-Tun furven‘eil

— Ablan der krnnemturwg

i

Emmle der Kocffizimtcn

der WärmeH—

Läsung der Bevegungsgl.

für vorgegelm Anfangsbed.

Erlü lung dir

Rundbedirqmm .z

pEnmflllrg der ümrgcsdmindq

ke't md lhrkvertellung

Duicmusglbe von Integral-

großen

Bild 3

Schematisches Flußbild

4. Ebener konvergenter Kanal

4.1. Modellgleichungen

Die Strömung im ebenen konvergenten Kanal kann im

Polarkoordinatensystem geeignet beschrieben werden

(Bild 4).

Bild 4

ebener konvergenter Kanal

Für diesen Anwendungsfall erfolgten

Berechnungen mit dem Potenzgesetz

62

a\Ir =Ivsdh, qu =v„‚ prI = BX: @111 =

{va + will 2_ E

n“ öh

( _ n — l

T — T p p

n, = K e ° ° (411.5) 2 <5)

und dem Gesetz nach Prandtl-Eyring

(T KIT — p _"‘p > _ 1 1

ns = nA e ° ° (4 H13) 2 arsinh [13(41113)2 ]. (6)

Über die Koeffizienten ß bzw. Fwird die experimentelle

Temperaturabhängigkeit der scheinbaren Viskosität er-

faßt. K, n, 11A, T0 und B sind spezifische Stoffparame-

ter7 a bzw. 3berücksichtigen die Druckabhängigkeit.

Bei der Dimensionsbefreiung der Grundgleichungen wur-

den die Koordinaten in r- bzw. in r- und in «p-Richtung

gleichzeitig verzerrt. Damit kann bei einem äquidistan-

ten Netz im transformierten System eine veränderliche

Schrittweite im Original erzielt werden.

Die Transformation I mit

S : L In E ‚ h = ‘L (7)

o r ‘90

bedingt eine Verkleinerung der Längsschrittweite mit ab-

nehmendem Düsendurchmesser, d. h. mit steigender

Strömungsgeschwindigkeit.

Transformation II mit

szl—lnä, h=garcsini (3)cpo r 1r spo

bewirkt zusätzlich eine Verringerung der Querschritt-

weite in Richtung Wand. Sie ist für starke Temperatur-

spitzen in Wandnähe geeignet.

Die vereinfachten Grundgleichungen besitzen für die

Transformation I die Form

Kontinuitätsgleichung

ö vs övh

._ + __ : 0

as ah (9)

Bewegungsgleichung

‘19: . 62%.“,as He ah ah 5 ° as ah2

apart e2 8008 an... avs anil- övs

__ = _ ___ _ __ _2 ___

ah Re as an 2% Vs öh ‘p° ah

oder nach Umformung

32E \I/lV = 33 Vs

h ’ 3112 ’ ah3 ’

\p11<1_ 3211* +2 1 612* +4 1 8212*

n*ah2 w°n7K

1 3212- 1 am+1114 _ + 2_— =

(”Mr öhös 4° man) 0

w"? as2 ) (H).

+1

h

(a)

-1

einer im imfomieflun

Bild 5

Gitterverzerrungen

Gitter I'm Giginul bei

SystemTrmsfonmfion I

Ener 'e leicbu .

g' g “g Pe = pBÄ c? vB eo R Pecletzahl (l8)

B

ae ao _ a at) öp"Pe Qsä+vhäi)-fil<k*ä—H)+E(Ü+l) v35: "B

Br = FT— vB2 Brinkmanzabl (19)

2 av B B

+ Brn*e wog [410: v: 2]. e

(12) E = BÄpB V133 1130 R Expansionskennzahl . (20)

B

Die zweite Invariante lautet

l e2 gaos . VB 2 a 2 Die hydrodynamischen Randbedingungen lauten

H' : _ ____ i 2 v

D 4( sooR i [4‘”°V5+(ä) 1- ‘13) “4) = 0’ III (1) = 2 bzw. lI/(O) = l Durchflußbedingung (21)

Für das Potenzgesetz gilt(1,1 (_ 1) = 0

I 5* _ Ä“ _ m + a» 1 111 (1) = 0 bzw. 11/1101): 0 Haftbedingung (22)

_ *_ 41- *_

‚7* =38. _ e ‘9 ‘90 ‘90 p po pB P3 (625003)“"1 p(i 1,1): pb mith als Umgebungsdruck. (23)

"B n—l y‚

v2 övs 2 T Als thermische Randbedingungen können auftreten, die

' [4903 s +(ä‘i ) l Eintrittsbedingung

(14) 0E = 19(s=0)= foal) _ 1<h<1 (24)

und für Pra dtl-E '

n * ynng * sowie die Wandrandbedingungen 0 < s <1

ß ß 0:" a*[ + __ +g]19_0 l9 . «- -x- es *

„„=Z_sß=e 0 0 P _Po PB-Po owl = 19(h=—l)=f1(s)

19w2 = I9 = = f2 (S) bZW. 8—H “1:0 '7 O

2 a '1 . _ a.» _ <25)

arsinh B*e W°s[4.(p02 v: + 2 ]2 qWI _ E |h=-1 — g1(s)

’ * _ 319 _ 619

_1_ qw2 ‘ fl |h=1 ‘ gz (S) bzw» ‘a—hlh.—.o =—0

2

628005 [490(2) vs2 + (3—: )2]

Bis auf die Geschwindigkeiten, die auf die von s abhän-

gige mittlere Geschwindigkeit bezogen sind, wurden alle

übrigen dimensionslosen Größen mit entsprechenden Be-

zugsgrößen am Eintritt (B) gebildet.

Für die dimensionslose Temperatur gilt

_ T—TBe — TB (16)

Weiterhin wurden folgende modifizierte diniensionslose

Kennzahlen eingeführt

Re = $5 vB ¢o - R Reynoldszabl (17)

B

außerdem sind auch gemischte Randbedingungen zu-

lässig.

Entsprechende Beziehungen ergeben sich für die Trans-

formation II Hierbei treten allein in den verschiede-

nen Termen der Gleichungen noch zusätzliche Koeffi-

zientenfunktionen in h auf. An der Wand für h = i l ent-

steht allerdings eine Singularität. Dieses Problem kann

durch die Berechnung des wandnächsten Schrittes und

damit auch die Einarbeitung der Randbedingung über

die Transformation I umgangen werden.

Auf die Transformation II wird man vor allem dann zu-

rückgreifen, wenn, wie bei Temperatursprüngen, sehr

große Wandtemperaturgradienten zu erwarten sind.

Das in 3. skizzierte Lösungsverfabren wurde für beide

Transformationen in den Programmen TEGED-EKOKA l

bzw. TEGED—EKOKA 2 realisiert.

63

4.2. Numerische Ergebnisse

Einige numerische Ergebnisse werden in den Bildern 6

bis 8 vorgestellt. Die Entwicklung von Temperaturpro-

filen für die symmetrische Wandrandbedingung konstan-

ter Wärmestrom und konstante Wandtemperatur ist dem

Bild 6 zu entnehmen. Den Einfluß der Düsengeometrie

verdeutlichen Bild 7 und Bild 8. Ähnlich wie bei der

w fl

4 Br - 0,5

l Pe ' 750

EB lfn ‘

T. mm0T

—nlw‘0

“ß“

m \

Ml!

-o.4 um,» o-

Bid 6

Entwicklung von Temperaturprofilen in Abhängigkeit vom

Weg s bei adiabater Rohrwmd und konstanter Wandtemperatur Tw = TB

Rohr- und ebenen Kanalströmung kann bei technisch

wichtigen Düsengeometrien (begrenzte Länge) keine be-

merkenswerte Änderung der Kanalmittentemperaturen

durch die thermischen Randbedingungen erzielt werden.

In Bild 7 ist das Anwachsen der maximalen Temperatu-

ren mit dem Öffnungswinkel wo zu erkennen. Ursache

für dieses Verhalten bildet die zunehmende Dissipations-

leistung aufgrund der stärker ansteigenden Strömungsge-

schwindigkeiten. Die Rückwirkung des Geschwindig-

keitsprofils auf das Temperaturfeld erfolgt ebenfalls

hauptsächlich über die Dissipation, Einflüsse der konvek-

tiven Wärmeübertragung stehen demgegenüber zurück.

Testrechnungen gaben weiterhin darüber Auskunft, bis

zu welchem Öffnungswinkel in der Bewegungsgleichung

Terme mit cpo vernachlässigt werden können. Als Schran-

kenwert konnte Wo = 15° ermittelt werden. Ein Ver-

gleich mit der exakteren Lösung ergab maximale Abwei-

chungen unter 3 %. Diese Vorgehensweise verkürzt nicht

allein die Rechenzeit des aufwendigsten Lösungsschrit-

tes, sondern schafft auch die Möglichkeit, leicht ge-

krümmte Kanäle näherungsweise zu berechnen [8], denn

sie entspricht der Annäherung der Geometrie durch ein

Stufenmodell.

64

5. Schlußfolgerungen

Das vorgestellte numerische Verfahren ermöglicht die

Berechnung von nichtisothermen Strömungen hochvis-

koser Medien für eine bestimmte Klasse von Durchström-

bauteilen und begrenzte Strömungsparameter. Eine Er-

weiterung des Verfahrens auf leichtgekrümmte Bauteile

mit kleinen Öffnungswinkeln läßt sich vornehmen. Die

Erfassung beliebiger Geometrien durch zusätzliche Ite-

rationen für die Quergeschwindigkeiten ist zu rechenzeit-

intensiv und deshalb nicht praktikabel.

LITERATUR:

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nicht-Newtonscher Flüssigkeiten. Technische Mechanik,

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schaften in ebenen Kanälen und kreiszylindrischen Roh-

ren. Dias. TH Karl-Marx-Stadt, 1975.

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Entwicklung von Temperaturprofilen in Abhängidreit vom

Kanalöffnungswinkel

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Bid 8

Vergleich der Tempenturprofile beim Stufenmodell

[4]

[s]

[6]

[8]

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Stadt, 1979.

Anschrift des Verfassers:

Dr.-Ing. Chr. Plichta

Technische Hochschule

Sektion Maschinen-Bauelemente

9010 Karl-Marx-Stadt

PSF 964

65