Numerische Methoden in der StrömungstechnikWS 2004/05Dr.-Ing. Iris Pantle/Dr.-Ing. Franco MagagnatoFachgebiet Strömungsmaschinen

I. Einführung in die Numerischen Methoden (CFD)II. Grundgleichungen der StrömungsmechanikIII. Diskretisierung: Finite-Differenzen MethodeIV. Finite-Volumen MethodeV. Lösungsalgorithmen für stationäre und instationäre

StrömungenVI. Verfahren der inkompressiblen Navier-Stokes GleichungenVII. Verfahren der kompressiblen Navier-Stokes GleichungenVIII. Fallbeispiele für technische AnwendungenIX. Turbulenzmodellierung

Literatur:

Joel H. Ferziger, Milovan Peric“Computational Methods for Fluid Dynamics”Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 1999 (2nd Edition)

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I. Einführung in die Numerischen Methoden (CFD)

I.1 Was ist CFD?

I.2 Möglichkeiten und Grenzen von CFD

I.3 Modellbildung

I.3.1 Geometrisches Modell

I.3.2 Mathematisches Modell

I.3.3 Numerische Methode

I.3.4 Gittertypen

I.4 Diskretisierungsmethoden

I.4.1 Eigenschaften von numerischen Methoden

I.4.2 Finite-Differenzen Methode

I.4.3 Finite-Volumen Methode

I.4.4 Finite-Elemente Methode

Isolinien der Geschwindigkeitskomponente in Zuströmungsrichtung

Instationäre Strömung in einem Turbinengitter

Zuströmung

Zuströmung

Zuströmung

I.1 Was ist CFD (Computational Fluid Dynamics)?

• Idealisierung des Strömungsprozesses (Geometrie, Thermodynamik, Strömungsphysik, Strömungsgebiet, Randbedingungen)

• Näherung des physikalischen Prozesses durch numerische Approximationen

• Aufteilung des Strömungsgebiets durch endlich große Zellen • Annahme eines (meist konst.) Strömungszustandes (ρ,u,T,p usw.) in

einer Zelle• Diskretisierung des mathematischen Modells (Differentialgleichungen)

è Gleichungssystem• Vorgabe von geeigneten Rand- und Anfangsbedingungen• Lösen des Gleichungssystems mit einer numerischen Methode• Überprüfung der Lösung auf Plausibilität• Auswertung der Ergebnisse

I.2 Möglichkeiten und Grenzen von CFD

• Untersuchung von schwer messbaren Strömungen• Berechnung vor der Prototypfertigung • Berechnung von gefährlichen Strömungen (Explosionen, Chemische

Reaktionen) • Variationen von Strömungsparametern (Re-, Ma-Zahlen, Temperatur usw.)• Geometrievariationen können relativ schnell durchgeführt werden• detaillierte Einblicke in das Strömungsgeschehen

• Lösungen sind Approximationen! • enthalten Idealisierungen (z.B. geometrische)• Physik der Turbulenz, reale Chemie, Zweiphasenströmung, Akustik usw.

muß modelliert werden• Lösungen werden iterativ erzeugt, d.h. sie enthalten Konvergenzfehler

Sorgfältige Überprüfung der Ergebnisse

I.3.1 Geometrisches Modell

• Idealisierung der realen Geometrie durch Beschränkung auf die

wesentlichen, strömungsmechanischen Merkmale

• Auffüllen von schmalen Spalten

• Glätten von Sicken, Absätze, Stufen

• Eliminieren von Geometriedetails (z.B. Spiegel beim Automobil)

• Verkleinern des Strömungsgebiets auf ein Minimum (Fernfeldrand

bei Außenströmung ca. 10-20 Fahrzeuglängen)

• Beschränkung bei Innenströmungen auf adäquate Größe

I.3.2 Mathematisches Modell

• Kompressible Navier-Stokes-Gleichungen

• Inkompressible Navier-Stokes-Gleichungen

• Stationäre Strömung

• Reibungsfreie Strömung (Euler)

• Potentialströmung (Drehungsfreiheit )

• Schleichende Strömung (Stokes-Strömung)

• Zweidimensional

• Grenzschichtströmung

Auf

wan

d

0=×∇ ur

I.3.3 Numerische Methode

• Finite-Differenzen Methode

• Finite-Volumen Methode

• Finite-Elemente Methode

• Lattice Gas (Gitter-Gas) Methoden

• Spektralmethode

• Boundary Element (Rand-Elemente) Methode

• Panel Methode

Werden in dieser Vorlesung intensiver besprochen

I.3.4 Gittertypen

• Kartesische Koordinaten

• Zylinderkoordinaten

• Kugelkoordinaten

• Orthogonale Rechengitter

• Krummlinige orthogonale Rechengitter

• Krummlinige nicht-orthogonale Rechengitter

• Blockstrukturierte Rechengitter

• Unstrukturierte Rechengitter

• Hybride Rechengitter

I.3.4.1 Blockstrukturiertes Gitter

Rechengitter um den ONERA M6 Tragflügel

I.3.4.2 Unstrukturiertes Gitter

Rechengitter um das Kundencenter der Volkswagen AG

I.4.1 Eigenschaften von numerischen Methoden

• Konsistenz

• Stabilität

• Konvergenz (Lax: Konsistenz+Stabilität=Konvergenz)

• Erhaltung

• Beschränktheit

• Genauigkeit beschränkt durch:

– Modellfehler

– Diskretisierungsfehler

– Konvergenzfehler

I.4.2 Finite-Volumen Methode

Ein typisches Kontrollvolumen und die Notation für ein kartesisches Netz in zwei Dimensionen

Basiert auf der integralen Form der Transportgleichungen

I.4.3 Finite-Differenzen Methode

Ein typisches Kartesisches Gitter der Finite-Differenzen Methode für 1-D (oben) und 2-D (unten)

Basiert auf der differentiellen Form der Transportgleichungen

I.4.4 Finite-Elemente Methode

Ein typisches Rechengitter für die Finite-Elemente Methode in 2-D

Basiert auf der gewichteten integralen Form der Transportgleichungen

II. Grundgleichungen der Strömungsmechanik

II.1 Kompressible Navier-Stokes-Gleichungen

II.2 Inkompressible Navier-Stokes-Gleichungen

II.3 Reynolds-gemittelte Navier-Stokes-Gleichungen

II.4 Reynolds-gemittelte Navier-Stokes-Gleichungen mit chemischen Reaktionen

II.5 Reynolds-gemittelte Navier-Stokes-Gleichungen für Mehrphasenströmungen

II.6 Klassifikation der Transportgleichungen

II.1.1 Kompressible Navier-Stokes-Gleichungen in integraler Form

0=⋅+∂∂

∫∫∫∫∫SV

dSnuVdt

rrρρ

∫∫ ∫∫∫∫∫∫∫∫ +⋅=⋅+∂∂

S Vii

Si

Vi dVgdSnTdSnuuVdu

tρρρ

rrr

∫∫ ∫∫∫∫∫∫∫ ⋅−⋅=⋅+∂∂

S Si

SV

dSnqdSTnudSnuEVEdt

rrrrrρρ

1.

2.-4.

5.

II.1.1 Kompressible Navier-Stokes-Gleichungen in integraler Form - Nomenklatur

1.

2.-4.

5.

Kontinuitätsgleichung (continuity)

3 Impulsgleichungen für 3 Raumrichtungen (momentum)

Energiegleichung (energy)

Nicht iterativ zu lösen, aber zum Abgleich nötig:

Zustandsgleichung (equation of state)

j

ij

ij

jii

x

T

xp

x

uu

tu

∂

∂+

∂∂

−=∂

∂+

∂∂ )()( ρρ

j

iji

i

ii

i

i

x

Tu

xpuq

xEu

tE

∂

∂+

∂−∂

=∂

∂+

∂∂ )()()()( ρρ

∂∂

−∂

∂+

∂∂

=k

kij

i

j

j

iij x

ux

u

xu

T δµ32

ii x

Tq

∂∂

= λ)1(2

1−

+=γρp

uuE ii

0)(

=∂

∂+

∂∂

i

i

xu

tρρ

II.1.2 Kompressible Navier-Stokes-Gleichungen in differentieller Form

1.

5.

2.-4.

ij

ij

ij

jii gx

T

xp

x

uu

tu

+∂

∂+

∂∂

−=∂

∂+

∂∂

ρ1)(

ρµ

ν

ν

=

∂

∂+

∂∂

=i

j

j

iij x

u

xu

T

0=∂∂

i

i

xu

II.2 Inkompressible Navier-Stokes-Gleichungen

1.

2.-4.

j

ij

j

ij

ij

jii

xx

T

xp

x

uu

tu

∂∂

+∂∂

+∂∂

−=∂

∂+

∂∂ τρρ )()(

i

i

j

iji

i

ii

i

i

xx

Tu

xpuq

xEu

tE

∂∂

+∂

∂+

∂−∂

=∂

∂+

∂∂ θρρ )()()()(

∂∂

−∂

∂+

∂∂

=k

kij

i

j

j

iij x

ux

u

xu

T δµ32

ii x

Tq

∂∂

= λ)1(2

1−

+=γρp

uuE ii

0)(

=∂

∂+

∂∂

i

i

xu

tρρ

II.3 Reynolds-gemittelte Navier-Stokes-Gleichungen

1.

2.-4.

5.

II.4 Reynolds-gemittelte Navier-Stokes-Gleichungen mit chemischen Reaktionen

j

ij

j

ij

ij

jii

xx

T

xp

x

uu

tu

∂

∂+

∂

∂+

∂∂

−=∂

∂+

∂∂ τρρ )()(

i

i

j

iji

i

ii

i

i

xx

Tu

xpuq

xEu

tE

∂∂

+∂

∂+

∂−∂

=∂

∂+

∂∂ θρρ )()()()(

ij

ij

j

ij

j

jii

x

M

x

D

x

uY

tY

ωρρ &+

∂∂

+∂∂

=∂

∂+

∂∂ )(

∂∂

−∂∂

+∂∂

=k

kij

i

j

j

iij x

uxu

xu

T δµ32

j

iiij x

YD

∂∂

Γ= ρ

∑=

−∂∂

=gK

kkik

ii hD

xT

q1

λ ∑=

+−=gK

kkkii hY

puuE

121

ρ

0)(

=∂

∂+

∂∂

i

i

xu

tρρ

1.

2.-4.

5.

II.5 Reynolds-gemittelte Navier-Stokes-Gleichungen für Mehrphasenströmungen

ikj

ijkk

j

ijkk Mxx

T,

,, )()(+

∂

∂+

∂

∂+

ταα

ikki

kk

j

jkikkkikkk gx

px

uu

tu

ρααραρα

+∂

∂−=

∂

∂+

∂∂ )()()( ,,,

i

ikkkikk

i

kikkkkkk

x

upq

x

Eu

tE

∂

−∂=

∂

∂+

∂∂ )()()( ,,, ααραρα

ki

ikkkkk Sx

ut

=∂

∂+

∂∂ )()( ,ραρα

ki

ikk

j

ijkikk Exx

Tu+

∂∂

+∂

∂+

)()( ,,, θαα

02

1

=∑=k

kS σi

kik MM =∑

=

2

1,

σEEk

k =∑=

2

1

1.

2.-4.

5.

II.6 Klassifikation der Transportgleichungen

• Hyperbolischer Charakter der Strömung wenn b2-4ac > 0

• Parabolischer Charakter der Strömung wenn b2-4ac = 0

• Elliptischer Charakter der Strömung b2-4ac < 0

• Gemischter Charakter wenn zwei oder mehr Typen im Strömungsgebiet vorkommen

02

22

2

2

=+Φ+∂Φ∂

+∂Φ∂

+∂

Φ∂+

∂∂Φ∂

+∂

Φ∂gf

ye

xd

yc

yxb

xa

Allgemeine Form der Differentialgleichung zweiter Ordnung:

elliptisch hyperbolisch parabolisch

III. Finite Differenzen Methode

III.1 Einführung

III.2 Grundkonzept

III.3 Approximation der Ableitung ersten Grades

III.4 Approximation der Ableitung zweiten Grades

III.5 Implementierung der Randbedingungen

III.6 Das Algebraische Gleichungssystem

III.7 Diskretisierungsfehler

III.8 Beispiel

III.1 Einführung in die Finite Differenzen Methode

• Transportgleichungen haben alle die gleiche Struktur

• Hier: generische Transportgleichung mit konstanten Koeffizienten

• nur im kartesischen Koordinatensystem betrachtet

φφφρρφ

qxxx

u

t jjj

j +

∂∂

Γ∂∂

=∂

∂+

∂∂ )()(

InstationärerTerm

Konvektions-term

Diffusions-Term

Quellterm

III.2 Grundkonzept

xxxx

xii

xxi∆

−∆+=

∂∂

→∆

)()(lim

0

φφφ

Ein typisches Kartesisches Gitter der Finite-Differenzen Methode für 1-D (oben) und 2-D (unten)

III.2 Grundkonzept

Exakt

Zentral Vorwärts

Rückwärts

∆xi ∆xi+1

Definition der ersten Ableitung und deren Approximationen

III.3 Approximation der Ableitung ersten Grades

• Entwicklung einer stetigen und differenzierbaren Funktion φin einer Taylor-Reihe:

Hxn

xxx

xx

xxx

xxxxx

in

nni

i

i

i

i

iii

+

∂∂−

+⋅⋅⋅+

∂∂−

+

∂∂−

+

∂∂

−+=

φφ

φφφφ

!)(

!3)(

!2)(

)()()(

3

33

2

22

• Ersetzen von x durch xi+1 oder xi-1

Hx

xx

xxx

xxx

i

ii

i

ii

ii

ii

i

+

∂∂−

−

∂∂−

−−−

=

∂∂

+

+

+

+

3

321

2

21

1

1

!3)(

2

φ

φφφφ

Fortsetzung III.3

• Ersetzen von x durch xi-1:

Hx

xx

xxx

xxx

i

ii

i

ii

ii

ii

i

+

∂∂−

−

∂∂−

−−−

=

∂∂

−

−

−

−

3

321

2

21

1

1

!3)(

2

φ

φφφφ

• Verwendung von xi+1 und xi-1:

Hxxx

xxxx

xxxxxxx

xxx

iii

iiii

iii

iiii

ii

ii

i

+

∂∂

−−+−

−

∂∂

−−−−

−−−

=

∂∂

−+

−+

−+

−+

−+

−+

3

3

11

31

31

2

2

11

21

21

11

11

)(!3)()(

)(2)()(

φ

φφφφ

Fortsetzung III.3

Unter Vernachlässigung der unbekannten Ableitungen höherer Ordnung ergeben sich:

1

1

−

−

−−

≈

∂∂

ii

ii

i xxxφφφ

11

11

−+

−+

−−

≈

∂∂

ii

ii

i xxxφφφ

ii

ii

i xxx −−

≈

∂∂

+

+

1

1 φφφ

Rückwärtsdifferenz

Vorwärtsdifferenz

Zentraldifferenz

Fortsetzung III.3

Der Abbruchfehler ergibt sich:

i

ie

xxr

∂

Φ∂∆−≈ 2

2

2)1(

τε

wobei 1−−=∆ iii xxx =+1mα höhere Ableitung von φ

i

ie x

xr

∆∆

= +1mit

121

1 )(...)()( +++

+ ∆++∆+∆= nn

mm

mm xxx αααετ

Zentrale Differenz

i

i

xx

∂

Φ∂∆≈ 2

2

2τε Vorwärts- und Rückwärtsdifferenz

Fortsetzung III.3

Verschiedene Approximationen der ersten Ableitung:

)(1

1 xOxxx ii

ii

i

∆+−−

=

∂∂

−

−φφφ

( )2

11

11 )( xOxxx ii

ii

i

∆+−−

=

∂∂

−+

−+ φφφ

( )xOxxx ii

ii

i

∆+−−

=

∂∂

+

+

1

1 φφφ

Rückwärtsdifferenz 1.Ord

Vorwärtsdifferenz 1.Ord

Zentrale Differenz 2.Ord

( )3211 )(6

632xO

xxiiii

i

∆+∆

+−+=

∂∂ −−+ φφφφφ

( )3112 )(6

236xO

xxiiii

i

∆+∆

−−+−=

∂∂ −++ φφφφφ

( )42112 )(12

88xO

xxiiii

i

∆+∆

+−+−=

∂∂ −−++ φφφφφ

Rückwärtsdifferenz 3.Ord

Vorwärtsdifferenz 3.Ord

Zentrale Differenz 4.Ord

III.4 Approximation der Ableitungen zweiten Grades

Approximation der Ableitung zweiten Grades für äquidistante Gitter:

( )22

112

2

)()(

2xO

xxiii

i

∆+∆

+−=

∂∂ −+ φφφφ

( )42

21122

2

)()(12

163016xO

xxiiiii

i

∆+∆

−+−+−=

∂∂ −−++ φφφφφφ

Zentral 2.Ord

Zentral 4.Ord

Approximation des Diffusionsterms durch Zentrale Differenzen:

( ) ( )11

1

12/1

1

12/1

11

2/12/1

21

21

−+

−

−−

+

++

−+

−+

−

−−

Γ−−−

Γ≈

−

∂∂

Γ−

∂∂

Γ≈

∂∂

Γ∂∂

ii

ii

iii

ii

iii

ii

ii

i xx

xxxx

xx

xxxx

φφφφφφφ

III.5 Implementierung der Randbedingungen

Dirichlet und Neumann-Randbedingungen werden meist verwendet:

RBDirichletConst −⇒= .1φ

Vorwärtsdifferenz 1.Ord

RBNeumannConstx

−⇒=

∂∂

.1

φ

2112

12

1

00 φφφφφ

=⇒=−−

⇒=

∂∂

xxx

( )2123

1

)(2

34xO

xx∆+

∆−+−

=

∂∂ φφφφ Vorwärtsdifferenz 2.Ord

( )31234

1

)(6

111892xO

xx∆+

∆−+−

=

∂∂ φφφφφ Vorwärtsdifferenz 3.Ord

III.6 Das Algebraische Gleichungssystem

∑ =+l

pllpp QAA φφ

Die Finite-Differenzen Methode liefert ein lineares (bzw. nichtlineares) algebraisches Gleichungssystem für lineare (nichtlineare) PDGl):

Rechengitter in 2-D

Al = Koeffizienten, enthalten geometrische Größen, Strömungs-eigenschaften und, bei nichtlinearen Gleichungen, Lösungsvariablen

φp= Lösungsvariable

Qp= Quellterm

III.6 Fortsetzung

FDM liefert eine schwach besetzte Bandmatrix

Struktur der Koeffizientenmatrix für ein Fünf-Punkt-Rechenmolekül

III.7 Diskretisierungsfehler

Ersetzen der Differentialgleichung durch eine Differenzen-Gleichungliefert einen Abbruchfehler τh

L(Φ) = Lh(Φ) + τh =0

Die exakte Lösung φh der diskretisierten Gleichung auf dem Gitter hgenügt der folgenden Gleichung:

Lh(φh) = (Aφ-Q)h =0

Diese Lösung weicht von der exakten Lösung der Differentialgleichung um den Diskretisierungsfehler εd

h ab:dhh εφ +=Φ

III.7 Fortsetzung

Wobei H der Anteil der höheren Ableitungen ist.

α hängt von der Ableitung an dem entsprechenden Punkt und ist unabhängig von der Netzweite h.

p ist die Ordnung des Schemas.

Die Ordnung und den Diskretisierungsfehler kann man mit folgenden Formeln abschätzen:

2log

log2

42

−−

= hh

hh

pφφφφ

Hh pdh +≈ αε

HhHh ph

ph ++=++=Φ )2(2 αφαφ

122

−−

≈ phhd

h

φφε

III.8 Beispiel

∂∂

Γ∂∂

=∂

∂xxx

u φφρ )(

Stationäre 1-D Konvektion-Diffusionsgleichung

Randbed.: φ=φ0 bei x=0, φ=φl bei x=L (Dirichlet!!)

Die exakte Lösung lautet:

)(11

0

/

0 φφφφ −−−

+= LPe

LxPe

ee

Γ=

uLPe

ρ

III.8 Fortsetzung

RB des 1-D Problems und Lösungen als Funktion der Peclet-Zahl

φL

φ

φ0

0 xL

Pe<0

Pe>0

Pe=0

III.8 Fortsetzung

Lösung für Pe=50 mit zentralen Differenzen und 11 Gitterpunkten

Lösung für Pe=50 mit Upwind-Differenzenund 11 Gitterpunkten

Zentrale Differenzen neigen zu Oszillationen, wenn die Zell-Pe-Zahl zu groß ist

Upwind-Differenzen sind zu diffusiv wenn die Zell-Pe-Zahl zu groß ist

III.8 Fortsetzung

Lösung für Pe=50 mit zentralen Differenzen und 41 Gitterpunkten

Lösung für Pe=50 mit Upwind-Differenzenund 41 Gitterpunkten

Zentrale Differenzen zeigen keine Oszillationen mehr, wenn die Zell-Pe-Zahlklein genug ist (Pe<2)

Upwind-Differenzen sind immer noch diffusiv, auch wenn die Zell-Pe-Zahl kleiner gewählt wird

III.8 Fortsetzung

Mittlerer Fehler für 1-D Beispiel für Pe=50 als Funktion des mittleren Gitterabstands

IV. Finite Volumen Methode

IV.1 Einführung

IV.2 Approximation der Oberflächenintegrale

IV.3 Approximation der Volumenintegrale

IV.4 Interpolation der Konvektion- und Diffusionsflüsse

IV.5 Implementierung der Randbedingungen

IV.6 Das Algebraische Gleichungssystem

IV.7 Beispiel

IV.1 Einführung

∫∫∫Ω

Ω+⋅∇⋅Γ=⋅ dqdSndSnuSS

φφρφrrr

Zellmittelpunktschema:

Rechennetz definiert Ränder der Kontrollvolumina, Mittelpunkte

definieren sich implizit

(wird am meisten verwendet)

Zelleckpunktschema:

Netz definiert Zellmittelpunkte der Kontrollvolumina, Ränder werden

implizit definiert

• Ausgangspunkt für FVM ist die Integralform der Erhaltungsgleichungen

IV.2 Approximation der Oberflächenintegrale

∫ ∑ ∫=S k Sk

fdSfdS

Der Nettofluss durch die KV-Ränder ist die Summe der Integrale über die vier (im 2-D) bzw. sechs (im 3-D) KV-Flächen:

Kontrollvolumen und die entsprechende Notation für ein 2D-kartesisches Gitter

IV.2 Fortsetzung

Kontrollvolumen und die entsprechende Notation für ein 3-D-kartesisches Gitter

• Um der Erhaltungsform zu genügen, dürfen die Kontrollvolumina sich nicht überlappen oder Hohlräume enthalten

• Die Approximation der Oberflächenintegrale umfasst zwei Stufen:

- Das Integral wird mit dem Variablenwert an einer oder mehreren Stellen auf der Randfläche approximiert

- Zuvor: Randflächenwerte werden durch die Werte in der Zellenmitte approximiert, die aus Volumenintegralen/Erhaltung stammen

IV.2 Fortsetzung

Einfachste Approximation ist die Integration mit der Mittelpunktsregel:

eeeeS

e SfSffdSFe

≈== ∫

Eine weitere Approximation ist die Integration mit der Trapezregel:

( )senee

Se ff

SfdSF

e

+≈= ∫ 2

2.Ordnung genau

2.Ordnung genau

Eine Approximation 4. Ordnung erhält man mit der Simpson-Regel:

( )seenee

Se fff

SfdSF

e

++≈= ∫ 46

4.Ordnung genau

IV.3 Approximation der Volumenintegrale

∫Ω

∆Ω≈∆Ω=Ω= PP qqqdQ

Die Quellterme erfordern die Integration über das Volumen

Die einfachste Approximation erhält man wieder mit der Mittelpunktsregel:

2.Ordnung genau

Eine Approximation höherer Ordnung erhält man unter Verwendung mehrerer Punkte innerhalb des Kontrollvolumens. Im 2-D z.B.:

( )nwneswseewnsPP qqqqqqqqqyx

Q ++++++++∆∆

≈ 44441636

4.Ordnung genau

IV.4 Interpolation der Konvektions- und Diffusionsflüsse

• Um die Flüsse an den Randflächen berechnen zu können, müssen die Berechnungsgrößen durch die Knotenpunktwerte angenähert werden

• Verwendet man nur einen Punkt, so nennt man dies ein Upwind-Schema

• Verwendet man zwei Punkte, so nennt man dies ein Zentrale-Differenzen-Schema

• Verwendet man drei Punkte, so nennt man dies ein Quadratisches Upwind-Schema

• Verwendet man mehr als drei Punkte, so nennt man dies ein Schema höherer Ordnung

Das Upwind-Schema ist 1.Ordnung genau. Es ist dem Vorwärts- bzw. Rückwärts-Differenzen-Verfahren 1.Ordnung der FDM äquivalent.

IV.4.1 Upwind-Schema

( )( )

<⋅→>⋅→

=00

eE

ePe nu

nurrrr

φφ

φ 1.Ordnung genau

IV.4.1 Upwind-Schema

Upwind-Schema ist numerisch diffusiv. Die Taylor-Reihenentwicklung um den Punkt „p“ für :

Hx

xxx

xxP

Pe

PPePe +

∂∂−

+

∂∂

−+= 2

22

2)(

)(φφ

φφ

0)( >⋅ enurr

Abbruchfehler ist proportional zur 1. Ableitung. Man nennt ihn daher numerische, künstliche oder falsche Diffusion.

Die numerische Diffusion ist bei mehrdimensionalen Problemen noch größer, weil zusätzlich zur Diffusion in Strömungsrichtung noch diejenige in Normalenrichtung hinzukommt

Das Upwind-Schema erfordert sehr feine Gitter, um akkurate Lösungen zu erhalten

ee

de x

f

∂∂

Γ=φ

2)( xu enum

e∆

=Γρ

IV.4.2 Zentrale-Differenzen-Schema

Beim Zentrale-Differenzen-Schema approximiert man den Wert an der Zellfläche durch eine lineare Interpolation der beiden nächsten Nachbarn:

)1( ePeEe λφλφφ −+=

Abbruchfehler ist 2. Ordnung genau.

PE

Pee xx

xx−−

=λ

Hx

xxxx

P

eEPeePeEe +

∂∂−−

−−+= 2

2

2))((

)1(φ

λφλφφ

Die Annahme einer linearen Verteilung der Werte zwischen P und E führt zu einer einfacheren Approximation der Ableitung in den Diffusionsflüssen:

PE

PE

e xxx −−

≈

∂∂ φφφ

2.Ordnung genau

IV.4.3 Quadratisches Upwind-Schema (QUICK)

Für eine quadratische Interpolation des Randwerts benötigt man drei Punkte. Diese werden so gewählt, dass in Stromaufrichtung zwei Punkte und ein weiterer Punkt stromab gewählt werden:

<→−+−+>→−+−+

=0)()(0)()(

43

21

xEEEEPE

xWPPEPe ugg

uggφφφφφφφφφφ

φ

Hx

x

P

WEPe +

∂∂∆

−−+= 3

33

48)(3

81

83

86 φ

φφφφ

Das Schema ist 3.Ordnung genau für äquidistante und nicht-äquidistante Gitter:

))(())((

1WEPE

WePe

xxxxxxxx

g−−−−

=))((

))((2

WEWP

eEPe

xxxxxxxx

g−−−−

=

))(())((

3EEPEP

EEeEe

xxxxxxxx

g−−−−

= ))(())((

4EEPEEE

ePEe

xxxxxxxx

g−−−−

=

IV.5 Implementierung der Randbedingungen

An den physikalischen Rändern muss man bei der FVM Flüsse vorgeben.

• direkte Vorgabe, wenn bekannt (z.B. Massen- bzw. Wärmeflüsse)

• Berechnung aus Kombinationen von Randwerten und inneren Strömungswerten

Üblicherweise gibt man folgende Randbedingungen vor:

• An den Wänden: Massenflüsse zu Null setzen, Wärmeflüsse vorgeben (adiabate Wand: Wärmefluss Null vorgeben)

• An Einströmrändern: Geschwindigkeiten, Temperaturen und Drücke setzen

• An Ausströmrändern: Geschwindigkeiten und Temperaturen meist extrapolieren, Druck setzen

• An Symmetrierändern: alle Flüsse normal zum Rand Null setzen

IV.6 Das Algebraische Gleichungssystem

Das resultierende algebraische Gleichungssystem gleicht dem der Finite Differenzen Methode.

IV.7 Beispiel

2-D Konvektions- und Diffusionsproblem mit gegebenem Geschwindigkeitsfeld ux=x und uy=-y:

∫ ∫ ⋅∇⋅Γ=⋅S S

dSndSnurrr

φρφ

Mit folgenden Randbedingungen:

• φ=0 am Einströmrand (Norden)

• Lineare Variation von φ =0 bei y=1 bis φ=1 bei y=0 am westlichen Rand

• Symmetriebedingung am südlichen Rand

• ? φ =0 am östlichen Austrittsrand

Die konvektiven Flüsse werden mit dem Upwind- und dem Zentrale-Differenzen-Verfahren diskretisiert

IV.7 Fortsetzung

Der konvektiver Fluss setzt sich zusammen aus dem Massenfluss und dem mittleren Wert von φ (hier am Rand e diskretisiert):

∫ ≈⋅=S

eec

e mdSnuF φρφ &rr

Dieser Fluss wird wie folgt diskretisiert:

→+−→+

=CDSmm

UDSmmF

EeePee

EePece φλφλ

φφ&&

&&

)1()0,min()0,max(

Der diffusive Fluss wird mit der Mittelpunktsregel und zentralen Differenzen approximiert:

yxx

yx

dSnFPE

PE

S e

de ∆

−−

Γ=∆

∂∂

Γ≈⋅∇⋅Γ= ∫φφφ

φr

IV.7 Fortsetzung

Die Lösungen für verschiedene Werte von Γ sehen wie folgt aus:

Isolinien von φ für Γ=0.01 (links) und Γ=0.001 (rechts):

IV.7 Fortsetzung

Konvergenz des Totalflusses durch die westliche Wand (links) und des Fehlers in dem berechneten Fluss als Funktion der Netzweite (rechts):

V. Lösungsalgorithmen für lineare Gleichungssysteme

• V.1 Direkte Methoden

• V.2 Iterative Methoden

• V.2.1 Unvollständige LU-Zerlegung

• V.2.2 ADI-Methode

• V.2.3 Runge-Kutta-Methode

• V.2.4 Mehrgitter-Methode

• V.3 Gekoppelte Gleichungssysteme

• V.4 Nichtlineare Gleichungen

• V.5 Methoden für instationäre Probleme

• V.5.1 Zweischritt-Verfahren

• V.5.2 Mehrschritt-Verfahren

• V.5.3 Implizite Verfahren

V.1 Direkte Methoden

Direkte Methoden können für beliebige, vollbesetzte Matrizen verwendet werden und liefern exakte Lösungen. Sind aber nicht effizient: Operationen zu Lösung des LGS ~ n3/3 (Gauß‘sches Verfahren) bzw. ~ n2/2 (LU-Zerlegung).

• Gaußsches Eliminationsverfahren

• LU-Zerlegung

• Thomas Algorithmus

Q=φA

LGS mit Koeffizientenmatrix A:

V.1 Fortsetzung

5.1.1 Gaußsches Eliminationsverfahren: Eliminierung der unteren Dreieckselemente durch Multiplikation der ersten Zeile der Matrix mit A21 / A11 und Subtraktion mit der zweiten Zeile.

=

nnnnn

n

n

AAAA

AAAAAAAA

A

LMOMMM

LL

321

2232221

1131211

=

nn

n

n

A

AAAAAAA

U

LMOMMM

LL

000

0 22322

1131211

Schematische Darstellung

der Koeffizientenmatrix:

A = (Aij)

V.1.2 LU-Zerlegung

Bei der LU-Zerlegung wird die volle Matrix A in eine untere (lower) Dreiecksmatrix L und in eine obere (upper) Dreiecksmatrix U zerlegt A=LU.

QYY

==

LUφ

Vorteil: gegenüber Gauß‘schem Eliminationsverfahren kann die Faktorisierung ohne die Kenntnis des Vektors Q durchgeführt werden. Der Aufwand ist proportional n2/2.

Nachteilig: dieses Verfahren ist, genau wie das Gauß‘scheEliminationsverfahren, nicht parallelisierbar oder vektorisierbar.

Aber: Varianten der LU-Zerlegung eignen sich gut für iterative Verfahren

V.1.3 Thomas Algorithmus

Wenn die Matrix A die Form einer tridiagonalen Bandmatrix hat (streng genommen nur bei 1-D Problemen), dann ist das Gauß‘scheEliminationsverfahren sehr effizient (~ n) und einfach.

1

1

−

−

−= iP

iE

iWi

PiP A

AAAA

1

*1*

−−−= i

P

iiW

ii AQA

QQiP

iiEi

i AAQ 1

*−−

=φ

φ

Dieses Verfahren wird im angelsächsischen Sprachraum auch TridiagonalMatrix Algorithm (TDMA) genannt. Einige (iterative) Lösungsverfahren nutzen diese Vorteile des Verfahrens durch Reduktion des Problems in eines mit Tridiagonalstruktur.

iiiEi

iPi

iW QAAA =++ +− 11 φφφ

V.2 Iterative Methoden

- Die Matrix A ist bei Strömungsproblemen leider nicht schwach besetzt: è direkte Lösungsmethoden eignen sich kaum.

- Der Diskretisierungsfehler ist üblicherweise viel größer als der Rundungsfehler durch die Computerarchitektur: è Lösung von Strömungsproblemen durch Iterative Methoden sinnvoll.

Iterative Methoden: Eine angenäherte Anfangslösung wird sukzessive durch eine verbesserte Zwischenlösung ersetzt, bis sich die Lösung „nicht“ mehr ändert.

nn QA ρφ −= hierbei ρn = Residuum

Der Konvergenzfehler εn = φ−φnnnA ρε =

Gegen Ende des Iterationsprozesses: das Residuum muss gegen Nullgehen. Dazu kann man ein iteratives Schema folgendermaßen schreiben:

BNM nn +=+ φφ 1

V.2 Fortsetzung

Da bei Konvergenz φn+1 = φn = φ ist, folgt daraus:

NMA −=

Ein iteratives Schema wird effektiv, wenn die Invertierung der Matrix Mund die Berechnung von Nφn einfach ist.

Das bedeutet: die Matrix M sollte diagonal, tridiagonal, block-tridiagonaloder eine Dreiecksform haben.

Für gute Konvergenzeigenschaften sollte M eine gute Approximation von A sein und N verhältnismäßig „klein“.

nnn NMBM φφφ )()( 1 −−=−+

QB =und

V.2 Fortsetzung

Konvergenz:

Bei Konvergenz φn+1 = φn = φ: è

Subtraktion dieser Gleichung von der Gleichung bei der n-ten Iteration liefert:

nn NM εε =+1

BNM += φφ

Ein Iteratives Verfahren konvergiert wenn

nn NM εε 11 −+ =oder

.0lim =∞→

n

nε

Dies hängt bei den LGS von den Eigenwerten und den Eigenvektoren der Iterationsmatrix (M-1N) ab. Sie sind wie folgt definiert:

kk

kNM Ψ=Ψ− λ1k=1,...,K mit K = Zahl der Gleichungen

V.2 Fortsetzung

Der Anfangsfehler sei:

Der Iterationsprozess liefert dann:

∑=

=K

k

kka

1

0 ψε

Durch vollständige Induktion kann man dann leicht zeigen, dass der Konvergenzfehler εn:

∑ ∑= =

−− Ψ===K

k

K

k

kkk

kk aaNMNM

1 1

1011 λψεε

∑=

=K

k

knkk

n a1

)( ψλε

Damit das iterative Verfahren konvergiert, müssen alle Eigenwerte kleiner eins (?k < 1) sein.

V.2 Fortsetzung

Der Konvergenzfehler wird nach einer Anzahl von Iterationen durch den größten Eigenwert dominiert, den Spektralradius λ1:

Def. Konvergenz: Die Reduktion des Konvergenzfehlers bis unter eineSchranke δ.

è

111 )(~ Ψnn a λε

Auflösen nach der benötigten Anzahl von Iterationen:

1

1

ln

ln

λ

δ

≈a

n

Man erkennt, dass die Konvergenzrate (~ 1/n) kleiner wird (n wird größer) für λ1à 1.

δλ ≈na )( 11

V.2 Fortsetzung

Ein einfaches Beispiel für eine Gleichung zeigt:

Löst man diese Gleichung mit einem iterativen Verfahren (p=Iterationszähler):

bax =

Dann erhält man für den Konvergenzfehler ε:

Man erkennt, dass der Konvergenzfehler schneller kleiner wird je kleiner das Verhältnis n/m wird.

bnxmx pp +=+1

pp

mn

εε =+1

V.2 Fortsetzung

Die einfachste Methode für ein iteratives Verfahren: die Jacobi-Methode. - Approximation der Matrix M durch eine Diagonalmatrix mit den Diagonalelementen von A.

- Beispiel hier: die Laplace-Gleichung mit zentralen Differenzen.

P

nEE

nNN

nWW

nSSpn

P A

AAAAQ φφφφφ

−−−−=+1

Diese Methode ist sehr langsam und wird daher in dieser Form nicht verwendet. Eine Variante davon wird als SOR-Verfahren (successiveover-relaxation) bezeichnet. Diese ist viel effizienter.

Der Relaxationsfaktor ω bestimmt die Konvergenzrate. Es gibt immer ein optimales ω welches für ein gegebenes Problem die Konvergenzrate minimiert. Leider kann man es nicht a priori bestimmen.

nP

P

nEE

nNN

nWW

nSSpn

P A

AAAAQφω

φφφφωφ )1(

111 −+

−−−−=

+++

V.2.1 Unvollständige LU-Zerlegung (SIP)

Die LU-Zerlegung ist eine allgemeingültige Methode, aber sie nutzt die schwache Besetzung der Matrizen nicht aus. Wenn man aber eine gute Approximation M der Matrix A findet, dann erhält man ein gutes iteratives Verfahren:

Die Methode nach Stone, genannt Strongly Implicit Procedure (SIP) zerlegt die Matrix A in eine unvollständige L- und U-Matrix: alle Elemente von A, welche Null sind, werden auch an den entsprechenden Stellen der L- und U-Matrix Null gesetzt.

NALUM +==

Schematische Darstellung der Matrizen L und U und das Produkt M: Diagonalelemente, welche nicht in der Matrix A vorkommen, sind gepunktet dargestellt.

V.2.2 ADI (Alternating Direction Implicit)-Methode

Eine weit verbreitete Vorgehensweise zur Lösung von stationären, elliptischen oder hyperbolischen Problemen ist die Erweiterung der Gleichungen mit einem instationären Term. Bei diesem dann parabolischen Problem fällt der Zusatzterm im auskonvergierten Zustand heraus (à 0). Man erhält die Lösung des Ausgangsproblems.

Beispiel: Laplace-Gleichung:

Die Zeitableitung muss z.B. mit einer Vorwärtsdifferenz in der Zeit diskretisiertwerden. Benutzt man das Crank-Nicolson-Verfahren (=Trapezregel bei PDEs), so ergibt sich:

∂∂

+∂∂

Γ=∂∂

2

2

2

2

yxtφφφ

++

+

Γ=

∆− +++

2

12

2

12

2

2

2

21

2 yxyxt

nnnnnn

δφδ

δφδ

δφδ

δφδφφ

2,1,,1

2

2

)(

2

xxjijiji

∆

+−= −+ φφφ

δφδ

Wobei folgende Abkürzungen verwendet werden:

21,,1,

2

2

)(

2

yyjijiji

∆

+−= −+ φφφ

δφδ

V.2.2 Fortsetzung

Stellt man diese Gleichung um, so sieht man, dass folgendes Gleichungssystem gelöst werden muss:

( ) ( )

−Γ∆−

Γ∆+

Γ∆+

=

Γ∆−

Γ∆−

+

+

2

12

2

22

2

2

2

2

12

2

2

2

421

21

21

21

yxt

yt

xt

yt

xt

nnn

n

δφφδ

δδ

φδδ

δδ

φδδ

δδ

n

yt

xt

φδδ

φδδ

Γ∆+=

Γ∆− 2

2*

2

2

21

21

Da gilt , ist der letzte Term proportional ∆t3 und kann vernachlässigt werden. Der Rest kann dann in zwei einfachere Gleichungen faktorisiert werden und durch die effiziente Thomas-Methode berechnet werden.

ttnn ∂∂∆≈−+ /1 φφφ

*2

21

2

2

21

21 φ

δδ

φδδ

Γ∆+=

Γ∆− +

xt

yt n

V.2.3 Runge-Kutta-MethodeDie klassische Runge-Kutta-Methode ist eine Mehrschritt-Methode für instationäreProbleme. Jameson et al. haben sie dahingehend modifiziert, um sie auch für stationäre Probleme verwenden zu können. Dazu haben sie die Stabilität des Verfahrens auf Kosten der Genauigkeit erhöht.

Für die Laplace-Gleichung: ( )nRyxt

φφφφ

=

∂∂

+∂∂

Γ=∂∂

2

2

2

2

mji

nji

m

jimji

mji

jijiji

jijiji

njiji

Rt

Rt

Rt

,1

,

1

,

0,,

1

,2

0,

2,

0

,1

0,

1,

,0,

φφ

αφφ

αφφ

αφφ

φφ

=

Ω∆

−=

Ω∆

−=

Ω∆

−=

=

+

−

M

è

)(

1

:

1

1

1

kk

m

kk

m

k

kk

nn

RR

wobei

Konsistenz

Rt

φ

β

βφφ

=

=

∆+=

∑

∑

=

=

+

V.2.3 Fortsetzung

Durch Einsetzen eines Komplexen Ansatzes in die Lösungsvariable und Fourier-Analyse kann man die Stabilität des Verfahrens untersuchen:

Die Stabilität hängt von den Koeffizienten αi und der Anzahl der Iterationsschritte m ab. Die Stabilität ist um so größer, je größer der Imaginärteil sich bei Re = 0 erstreckt.

Stabilitätsbereich in der komplexen Zahlenebene für die klassische, explizite RK-Methode.

tiZe ∆⋅= ωφ

ωi=Ω

Ordnungp =

V.2.4 Mehrgitter-Methode

- Verwendung unterschiedlich stark verfeinerter Gitter zur Konvergenzbeschleunigung

-- Konvergenzbeschleunigung = beschleunigte Abnahme des Konvergenzfehlers/Residuums

nn

nn

mitA

φφε

ρε

−=

= Voraussetzung:

- Konvergenzfehler ist stetige Funktion der Netzweite; z.B. SIP-Verfahren

V.2.4 Fortsetzung

- Das „Update“ dn (Korrektur/Approximation des Konvergenzfehlers) wird auf gröberen Netzen berechnet

-- M ist die Näherungsmatrix des Ausgangsgleichungssystems:

-M = LU = A + N (SIP-Verfahren)

nnn

nn

mitM

φφδ

ρδ

−=

=

+1

? X

? xfein

grob

Notwendig: Beziehung zwischen den Residuen/Fehlern des groben und des feinen Netzes

Begriffe: Restriktion und Prolongation

I

i

V.2.4 Fortsetzung

nI

nI

nI

nI

ni

ni

ni

ni

nii

ni

ni

ni

X

x

fx

xfdxd

ρεεε

ρεεε

ρφφφ

φ

=+−∆

=+−∆

−=+−∆

=

+−

+−

+−

)2()(

1

)2()(

1

)2()(

1

)(

112

112

112

2

2Ausgangs-DGL:

Lösung der n-tenIteration

Fehlergleichung fein:

Fehlergleichung grob:

V.2.4 Fortsetzung

nI

nI

nI

nI

ni

ni

ni

ni

ni

ni

X

x

ρεεε

ρρρεεε

=+−∆

++=+−∆

+−

+−+−

)2()(

1

)2(41

)2()(4

1

112

11222Restriktion fein:

Ergibt Lösung grob:

- Von grober Lösung Prolongation auf feine Lösung

-- Einfachste Prolongation: lineare Interpolation

- Verwendung von Lösungsapproximationen anstelle von Fehler/Residuen èFull-Approximation-Schema (FAS)

V.2.4 Fortsetzung

Vorteil der Mehrgittermethode?

è weniger Rechenoperationen im groben Netz

- Herausnahme jeder 2. Linie

- 2D: 1/4 Rechenoperationen

- 3D: 1/8 Rechenoperationen

fein

grob

feinMultigrid

Full MultigridFMG-Methode

V.3 Gekoppelte Gleichungssysteme

§ Mehrere dominante Variablen sind gekoppelt

§ Je eine Gleichung pro dominanter Variable

§ Dominante Variable erscheint auch in Gleichungen anderer dominanter Variablen

j

ij

ij

jii

x

T

xp

x

uu

tu

∂∂

+∂∂

−=∂

∂+

∂∂ )()( ρρ

j

iji

i

ii

i

i

x

Tu

xpuq

xEu

tE

∂

∂+

∂−∂

=∂

∂+

∂∂ )()()()( ρρ

0)(

=∂

∂+

∂∂

i

i

xu

tρρ

?:

?ui:

?E:

V.3 Fortsetzung

Lösungsverfahren:

§ simultane Lösung aller Variablen

§ sequentiell: jede Gleichung wird nach der dominanten Variable gelöst, alle anderen sind temporär „bekannt“; danach Iteration durch die Gleichungen

1. Simultan

§ Alle Gleichungen in ein LGS pressen

§ Problem der Fluiddynamik: blockgebundene Matrizenstruktur

§ Sehr teuer in 3D und bei nicht-linearen Anteilen

V.3 Fortsetzung

2. Sequentiell

§ bei nicht-linearen Anteilen besonders geeignet

§ Lösung der einzelnen Gleichungen nach einer Variablen

§- ultimative Genauigkeit nicht angestrebt da ineffektiv

§- „innere Iterationen“

§ Lösung angestrebt, die alle Gleichungen hinreichend erfüllt

§- update der Koeffizientenmatrizen und der Quellvektoren nach jedem Zyklus

§- ein Zyklus geht einmal über alle Gleichungen

§- ein Zyklus: „äußere Iteration“

§- Multigrid-Methode für innere und äußere Iterationen anwendbar

V.3 Fortsetzung

2. Sequentiell - Fortsetzung

§ Problem: Lösungen konvergieren nicht, sondern schaukeln sich auf, die Berechnung wird instabil

§ Ansatz: Jede Variable darf sich pro äußerer Iteration nur um einen bestimmten Faktor ändern

§è Under-Relaxation Methoden:

)( 11 −− −+=

=+ ∑

nnewnn

lp

nll

nPp

wobei

QAA

φφαφφ

φφ

φ

10:<< φα

Faktor

V.4 Nichtlineare Gleichungen

§ Nichtlineare Gleichungen enthalten nichtlineare Terme: z.B. ?uiuj

§ Typische Methode: Newton-Iteration èanalog zur Nullstellensuche einer nicht-linearen Funktion einer Variable wird bei mehrere Variablen vorgegangen

§ Taylor-Reihe mehrerer Variablen:

j

kn

kki

n

j

kj

kj

kn

kki

ni

xxxxf

xxxxxf

xxxf

∂∂

−+=

=

∑=

+ ),...,,()(),...,,(

0),...,,(

21

1

121

21

V.4 Nichtlineare Gleichungen

-Komplizierte Berechnung, wenn

-- große Systeme wie bei Strömungsproblemen

-- implizite Berechnungsmethoden verwendet werden

Jacobi-Matrix des Systems:

j

kn

kki

ij xxxxf

a∂

∂=

),...,,( 21

Evaluation von n2 Elementen, Differentiation schwierig

V.4 Nichtlineare Gleichungen

-Beispiel konvektive Terme der Navier-Stokes-Gleichungen: Massenfluss aus äußerer Iteration bekannt

Andere Methoden: Picard Iteration

jiji uuuu 0)(ρρ ≈

-- Buchtip --

Buch:

Press, Vetterling, Teukolsky, Flannery:

Numerical Recipes [in Fortran 77/90, Pascal, C etc…]

„The Art of Scientific Computation“

Cambridge University Press