Frank Kameier - Strömungstechnik II Folie VL3/ Nr.1 SoSe14 Frank Kameier Strömungstechnik II 3. Vorlesung Koordinatensysteme

Frank Kameier - Strömungstechnik II http://ifs.mv.fh-duesseldorf.de Folie VL3/ Nr.1 SoSe14

Frank KameierStrömungstechnik II

3. Vorlesung

Koordinatensysteme / Kreuzprodukt Drehimpulserhaltung

Eulersche Strömungsmaschinenhauptgleichung oderEulersche Strömungsmaschinengleichung


Drehrichtung-Richtungu-Richtungazimutale RichtungUmfangsrichtung

CAD denkt in x-,y-,z-Richtungnicht inZylinderkoordinaten r-,- und z-Richtung

Drehrichtung- Koordinatensysteme -

Übung – Geschwindigkeitsdreiecke und Androsseln


c = u + w

𝑢1

¿𝑢∨¿𝑢=𝑢1=𝑢2=𝜋 ∙𝑛 ∙𝑑

𝛽1

- unendlich dünne Schaufeln- schaufelkongruente Umströmung

𝛽2

1=17°

2=24°

Hauptströmung

Drehrichtung

Übung – Geschwindigkeitsdreiecke und Androsseln


Die Umfangsgeschwindigkeit nimmt linear mit dem Radius zu:

x1meridional cc~V

rxu

c = u + w

Bild: Carolus, Ventilatoren, 2009 http://de.wikipedia.org/wiki/Kreuzproduktwww.techniklexikon.net/.../rechte-hand-regel.htm

Kreuzprodukt – rechte Hand Regel

Grundlagen Strömungsmaschinen – Eulersche Strömungsmaschinengleichung

Umfangsgeschwindigkeit aus dem Kreuzprodukt von Winkelgeschwindigkeit und Radius

Koordinatentransformation

Absolut-geschwindigkeit

Relativ-geschwindigkeit


Exkurs zum Zusammenhang von Drehimpuls, Arbeit und Leistung:

sFW

s r

W F s F r

Eine Kraft, die über einen Weg verrichtet wird, nennt man Arbeit

Der überstrichene Weg bei einer rotatorischen Bewegung ist

mit dem Betrag des Radiusvektors r und dem Winkel , so dass für die Arbeit folgt

M r xF

Der Kraft äquivalent ist das Drehmoment

.

[Nm]=[J]



W F s M

P Fs

tM

t

vs

t

n2t

für die Arbeit folgt

.Die in der Zeit t geleistete Arbeit führt zu der Leistung

Die zurückgelegte Wegstrecke pro Zeit wird Geschwindigkeit genannt

Der überstrichene Winkel pro Zeit wird Winkelgeschwindigkeit genannt

[ Nm/s ]=[ J/s ]=[ W ]



2n

P M

M m r c r cu u 2 2 1 1

P m r c r cu u 2 2 1 1

u11u22 cucumP

Auf ganze Umdrehungen 2 bezogen gilt mit der Drehzahl n

Für die Leistung an der Welle einer Strömungsmaschine folgt somit

Mit dem Betrag des Drehimpulses

… Theorie ist notwendig



d

dtr c dV r f dV r dAx

V

x x ~

Multiplikation (Kreuzprodukt) des Impulssatzes mit r

zeitliche Änderung des

Impulse

Schwerkraft(Erdbeschleunigung)

Druckkraft und

Reibung



http://de.wikipedia.org/wiki/Kreuzprodukt

Kreuzprodukt

rechte Hand Regel

ex x ey = ez ey x ex = - ez ez x ex = ey

ez x er = e er x ez = - e

kartesische Koordinaten:

Zylinder-Koordinaten:


http://de.wikipedia.org/wiki/KreuzproduktKreuzprodukt

cba ikjijk cba 12332 cbaba

23113 cbaba

31221 cbaba

)vordoppeltkommtZiffereine(nationenIndexkombianderenallefür0

132und213nenPermutatiozyklischenseineund321ijkfür1

312und231nenPermutatiozyklischenseineund123ijkfür1

ijk

Schade/Kunz: Strömungslehre


d

dtr c dV r f dV r dAx

V

x x ~

Multiplikation (Kreuzprodukt) des Impulssatzes mit r

zeitliche Änderung des

Impulse

Schwerkraft(Erdbeschleunigung)

Druckkraft und

Reibung



d

dtr c Ads

r c A

tds r c A

ds

dtr c A

ds

dtx

V

x

s

s

x x

~

1

2

2 2 2 22

1 1 1 11

M r p A e r p A eE x x 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2

mr e

tds m c r e m c r e M M M

x

s

s

x x V M E 1

2

2 2 2 2 1 1 1 1

m c r e m c r e M M Mx x V M E2 2 2 2 1 1 1 1

Für einen Stromfaden folgt nach rein mathematischer Umformung:

mit ds/dt=c der Kontinuitätsgleichung und dem Moment in den Endflächen ME

folgt

und für stationäre Strömungen folgt der Eulersche Momentensatz



wuc

Die Eulersche Strömungsmaschinengleichung

m c r e m c r e M M Mx x V M E2 2 2 2 1 1 1 1 aus

mit

Momente werden auf die Drehachse bezogen oder verschwinden aufgrund der Orientierung der Normalenvektoren der Endflächen

0 0

m r c r c Mx x M2 2 1 1

Dem Betrage nach folgt

m r c r c Mu u2 2 1 1



Y P m

Y u c u cu u 1 1 2 2

Y u c u cu u 2 2 1 1

Für Strömungsmaschinen (Turbine oder Pumpe) gilt1 = Laufradeintritt,2= Laufradaustritt.

(stets positiv!)

(Eulersche Strömungsmaschinengleichung)

- kompressible und inkompressible Strömungen- mit und ohne Reibung der Strömung im Schaufelgitter.

Die Eulersche Strömungsmaschinengleichung gilt somit für hydraulische undthermische Strömungsmaschinen.

für Turbinen

für Ventilatoren/Pumpen/Verdichter



c u w u

u c u c u w uu 2

222

222

wuc2

1uw

uuw2wc

222

2

1

222

2222

wuccu

uwuccu

u

u

Umformung für eine anschauliche Interpretation (Cosinus-Satz)

Quadrieren des Geschwindigkeitsdreiecks ergibt

eingesetzt folgt

(Skalarprodukt alles ┴ wird zu 0!)



2

ww

2

uu

2

ccY

22

21

22

21

22

21

Yc c u u w w

2

212

22

12

22

12

2 2 2

In die Eulersche Strömungsmaschinengleichung eingesetzt folgt

für Turbinen

für Ventilatoren/Pumpen/Verdichter

Änderung der spezifischen kinetischen Energie im Absolutsystem (z.B. durch Beschleunigung der Strömung bei Pumpen oder durch Verzögerung der Strömung bei Turbinen)

Differenz der spezifischen kinetischen Energie durch Änderung der Fliehkräfte am Ein- und Austritt

Änderung der spezifischen kinetischen Energie im Relativsystem (z.B. die spezifische Verzögerungsarbeit der Strömung bei einer Pumpe und die spezifische Beschleunigungsarbeit der Strömung bei einer Turbine).

… untersc

heidet

Radial- und A

xial-

maschinen!



Yc c u u w w

2

212

22

12

22

12

2 2 2

Laufradströmung(Rotor) mit Rohrströmung(1-dimensionale Stromfadentheorie)

Vppzg

cppzg

c 22

221

1

21

22

[ m2/s2 ]

Strömungsmaschine(Ventilator) Verluste (Reibung und Einbauten)

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