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Hans-Wolfgang Henn
Origamics
Gefaltete Mathematik
Braunschweig, 28.5.2013
Winter‘sche Grunderfahrungen
(GE 1) Erscheinungen der Welt um uns, die uns alle angehen oder
angehen sollten, aus Natur, Gesellschaft und Kultur, in einer
spezifischen Art wahrzunehmen und zu verstehen,
(GE 2) mathematische Gegenstände und Sachverhalte, repräsentiert in
Sprache, Symbolen, Bildern und Formeln, als geistige Schöpfungen,
als eine deduktiv geordnete Welt eigener Art kennen zu lernen und zu
begreifen,
(GE 3) in der Auseinandersetzung mit Aufgaben Problemlöse-
fähigkeiten (heuristische Fähigkeiten), die über die Mathematik hinaus
gehen, zu erwerben.
Heinrich Winter (1995):
GE 3
GE 1
Schwerpunkt in diesem Vortrag:
GE 2
Origami in der Mathematik
Konstruierbare und faltbare Zahlen
Die „klassischen“ unlösbaren Probleme
Mit Zirkel und Lineal kann man quadratische
Gleichungen lösen (Satzgruppe des Pythagoras)
Konstruierbare Zahlen
Mit Zirkel und Lineal kann man quadratische
Gleichungen lösen (Satzgruppe des Pythagoras)
Konstruierbare Zahlen
Mit einer Zahl a kann man auch ihre
Quadratwurzel konstruieren
Höhensatz
2a 1 h , also h a
Damit kann man mit Zirkel und Lineal alle
rationale Zahlen und alle irrationale Zahlen, die
durch sukzessives Quadratwurzelziehen aus
rationalen Zahlen entstehen, konstruieren.
Beispiele:
Konstruierbare Zahlen
2 2 2 3 2 3 2 3
( 3 7 13) 11 5
Dies sind alle Zahlen aus algebraischen Körpererweiterungen K von Q mit
(K:Q) = 2n und
0 1 2 n2 2 2
K K K ... K K
Konstruierbare Zahlen
Von Schritt i zu Schritt i+1 kommen die Nullstellen
einer quadratischen Gleichung mit Koeffizienten
aus Ki hinzu.
Faltbare Zahlen
Nur wenn wir mehr Zahlen falten als mit
Zirkel und Lineal konstruieren können,
haben wir etwas gewonnen!!
Wir vergleichen „Falten“ mit den
ZuL-Konstruktionen. Dabei entsprechen
Geraden den Faltlinien und Punkte den
Schnitten von Faltlinien.
Die folgende Faltoperation hat aber kein
Äquivalent bei den Konstruktionen mit Zirkel und
Lineal.
Damit können wir, wie wir sehen werden, weitere
irrationale Zahlen konstruieren und die klassischen
Probleme der alten Griechen durch Falten lösen!
Genauer kann man alle Zahlen falten, die in
einer algebraischen Körpererweiterung K von
Q liegen mit
(K: Q) = 2n3m
und der entsprechenden Zwischenkörperkette
vom Relativgrad 2 bzw. 3.
Das Deli‘sche Problem der Würfelverdoppelung
Die Dreiteilung des Winkels
Die Konstruktion der regelmäßigen n-Ecke:
Unlösbar für n = 7
Die „klassischen“ unlösbare Probleme
Das Deli‘sche Problem der Würfelverdoppelung
3 2
Das Deli‘sche Problem der Würfelverdoppelung
Ausgangswürfel: Kantenlänge 1
Gesuchter Würfel hat Volumen 2, also gilt für seine
Kantenlänge z3 = 2. Damit müssten wir eine dritte
Wurzel z = konstruieren, was unmöglich ist.
Das Delische Problem ist also mit ZuL nicht lösbar!
3 2
3 2
Berühmter Hilfssatz: Der Satz von Haga:
Dritteln einer Strecke durch Papierfalten
Berühmter Hilfssatz: Der Satz von Haga:
Dritteln einer Strecke durch Papierfalten
Und wie kann man eine
Strecke in n gleiche
Teile falten?
Lösung des Deli‘schen
Problems mit Origami
Die Winkeldrittelung
Pierre Laurent Wantzel (1814 – 1884):
Die Winkeldrittelung
Pierre Laurent Wantzel (1814 – 1884):
Die Winkeldrittelung
Die Konstruktion von regelmäßigen n-Ecken
Euklid
325 – 270 v. Chr.
Konstruktion des regelmäßigen
3-, 4-, 5-, 6-Eck und davon
„abgeleitete“ n-Ecke
gescheitert am 7-Eck
farbige
Euklid-Ausgabe
von
Oliver Byrne
London
1847
Casanova
Liebhaber der
Frauen
und
der Mathematik!
Carl Friedrich Gauß (1777 – 1855)
Disquisitiones Arithmeticae 1801
Theorie der Kreisteilungskörper
regelmäßiges n-Eck im Einheitskreis
o360
n
regelmäßiges n-Eck im Einheitskreis
o360
n
n-te Einheitswurzel n = cos() + isin()
(Q(n):Q) ?
n ist Nullstelle des Polynoms xn – 1.
Für 2 < n = p = Primzahl ist
das Minimalpolynom von p
pp 1 p 2x 1
f (x) x x ... x 1x 1
regelmäßiges n-Eck im Einheitskreis
o360
n
n-te Einheitswurzel n = cos() + isin()
(Q(n):Q) ?
n ist Nullstelle des Polynoms xn – 1.
Für 2 < n = p = Primzahl ist
das Minimalpolynom von p
pp 1 p 2x 1
f (x) x x ... x 1x 1
f hat den Grad p - 1
Aus dem Ergebnis über konstruierbare Zahlen und der Tatsache, dass der Kreisteilungskörper galois‘sch über Q ist, folgt:
p – 1 muss Zweierpotenz sein, also m2p 2 1 Fermat 'sche Pr imzahl
Aus dem Ergebnis über konstruierbare Zahlen und der Tatsache, dass der Kreisteilungskörper galois‘sch über Q ist, folgt:
p – 1 muss Zweierpotenz sein, also m2p 2 1 Fermat 'sche Pr imzahl
Fermat-Primzahlen 3, 5, 17, 257, 65.537
7-Eck ist das erste nicht mit Z&L konstruierbare n-Eck.
Aus dem Ergebnis über konstruierbare Zahlen und der Tatsache, dass der Kreisteilungskörper galois‘sch über Q ist, folgt:
p – 1 muss Zweierpotenz sein, also m2p 2 1 Fermat 'sche Pr imzahl
Fermat-Primzahlen 3, 5, 17, 257, 65.537
7-Eck ist das erste nicht mit Z&L konstruierbare n-Eck.
17-Eck: C. F. Gauß 1.6.1796
Intelligenzblatt der allgemeinen
Literaturzeitung (Leipzig)
Gauß-Denkmal in Braunschweig 30.4.1877
Aus dem Ergebnis über konstruierbare Zahlen und der Tatsache, dass der Kreisteilungskörper galois‘sch über Q ist, folgt:
p – 1 muss Zweierpotenz sein, also m2p 2 1 Fermat 'sche Pr imzahl
Fermat-Primzahlen 3, 5, 17, 257, 65.537
7-Eck ist das erste nicht mit Z&L konstruierbare n-Eck.
17-Eck: C. F. Gauß 1.6.1796
Intelligenzblatt der allgemeinen
Literaturzeitung (Leipzig)
257-Eck: F. J. Richelot 1830
65.537-Eck: J. G. Hermes 1889
Das 7-Eck war das erste nicht mit Z&L konstruierbare n-
Eck; sein Minimalpolynom hat den Grad 6.
Faltbar sind Zahlen aus Erweiterungskörpern von K mit
(K: Q) = 2n3m
Wegen 6 = 23 ist das 7-Eck faltbar!
Allerdings ist die Faltung etwas komplizierter:
Gleichseitiges Dreieck
Falten eines Quadrats
Der Fünfteck-Knoten
Der Fünfteck-Knoten
Eine exakte Faltkonstruktion des regelmäßigen Siebenecks
Es gibt noch viel zu falten ...
.... viel Spaß dabei!
Schlusswort
