Permutaciones y Combinaciones

5/25/2018 Permutaciones y Combinaciones

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Asociacin Nacional de Profesores de Matemticas Delegacin Tlaxcala Combinatoria y Permutaciones

Prof. Mauro Cote MorenoPrograma de Fortalecimiento del Pensamiento Lgico Matemtico SEP-ANPMhttp://www.septlaxcala.gob.mx www.anpmtlaxcala.com.mx [email protected] Federal Tlaxcala-Puebla km. 1.5 5, Colonia Las nimas Tlaxcala, Tlax. Telfono (246) 462 36 00 Ext. 2336

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Estimados Alumnos Olmpicos:

Esta es la Tercera Semana y ltima semana de entrenamiento, y nos tocaCombinatoria.

Para esta sesin no les envo problemas como las dos semanas anteriores, ms

bien les envo ejercicios acompaados de teora, con la intencin de queidentifiquen y clarifiquen la diferencia entre Combinatoria y Permutacin,cuando pueden utilizar una y otra.

Los ejercicios los deben de resolver y justificar en hojas blancas, explicando todo su proceso desolucin, tal y como lo hicieron en las dos sesiones anteriores, de modo tal que el sbado 1 de marzoque nos veamos en la Tcnica 1 de Tlaxcala, ustedes lleven las soluciones de sus ejercicios, para querevisemos sus procesos y analicemos otras estrategias de solucin.

En total son 44 ejercicios, TODOS SON PARA LOS CUATRO NIVELES, es decir, desde primariahasta secundaria deben resolver el mayor nmero de ejercicios que puedan.

Finalmente, les recuerdo que el sbado 8 de marzo ser el examen selectivo final. Aplquense con todas

sus ganas para ganarse un lugar para la Olimpiada Nacional.Les envi un saludo y les deseo el mejor de los xitos

Mauro Cote Moreno

Permutaciones y Combinaciones

Para entender lo que son las permutaciones es necesario definir lo que es una combinacin y lo que esuna permutacin para establecer su diferencia y de esta manera entender claramente cuando es posibleutilizar una combinacin y cuando utilizar una permutacin al momento de querer cuantificar loselementos de algn evento.

COMBINACIN:

Es todo arreglo de elementos en donde no nos interesa el lugar o posicin que ocupa cada uno de loselementos que constituyen dicho arreglo.

PERMUTACIN:

Es todo arreglo de elementos en donde nos interesa el lugar o posicin que ocupa cada uno de loselementos que constituyen dicho arreglo.

Para ver de una manera objetiva la diferencia entre una combinacin y una permutacin, plantearemoscierta situacin.

Suponga que un saln de clase est constituido por 35 alumnos. a) El maestro desea que tres de losalumnos lo ayuden en actividades tales como mantener el aula limpia o entregar material a los alumnoscuando as sea necesario.

b) El maestro desea que se nombre a los representantes del saln (Presidente, Secretario y Tesorero).

Solucin:


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a) Suponga que por unanimidad se ha elegido a Daniel, Arturo y a Rafael para limpiar el aula oentregar material, (aunque pudieron haberse seleccionado a Rafael, Daniel y a Enrique, o pudohaberse formado cualquier grupo de tres personas para realizar las actividades mencionadasanteriormente).

Es importante el orden como se selecciona a los elementos que forma el grupo de tres personas?

Reflexionando al respecto nos damos cuenta de que el orden en este caso no tiene importancia, yaque lo nico que nos interesara es el contenido de cada grupo, dicho de otra forma, quines estnen el grupo? Por tanto, este ejemplo es una combinacin, quiere decir esto que las combinacionesnos permiten formar grupos o muestras de elementos en donde lo nico que nos interesa es elcontenido de los mismos.

b) Suponga que se han nombrado como representantes del saln a Daniel como Presidente, a Arturocomo secretario y a Rafael como tesorero, pero resulta que a alguien se le ocurre hacer algunoscambios, los que se muestran a continuacin:

CAMBIOS

PRESIDENTE: Daniel Arturo Rafael DanielSECRETARIO: Arturo Daniel Daniel Rafael

TESORERO: Rafael Rafael Arturo Arturo

Ahora tenemos cuatro arreglos, se trata de la misma representacin?

Creo que la respuesta sera no, ya que el cambio de funcin que se hace a los integrantes de larepresentacin original hace que definitivamente cada una de las representaciones trabaje de maneradiferente, importa el orden de los elementos en los arreglos?. La respuesta definitivamente sera s,luego entonces las representaciones antes definidas son diferentes ya que el orden o la forma en que

se asignan las funciones s importa, por lo tanto es este caso estamos tratando con permutaciones.A continuacin obtendremos las frmulas de permutaciones y de combinaciones, pero antes hay quedefinir lo que es n! (ene factorial), ya que est involucrado en las frmulas que se obtendrn y usarnpara la resolucin de problemas.

n!= al producto desde la unidad hasta el valor que ostenta n.

n!= 1 x 2 x 3 x 4 x...........x n

Ejemplo.

10!=1 x 2 x 3 x 4 x.........x 10=3,628,800

8!= 1 x 2 x 3 x 4 x.........x 8=40,3206!=1 x 2 x 3 x 4 x..........x 6=720, etc., etc.

Obtencin de frmula de permutaciones.

Para hacer esto, partiremos de un ejemplo.


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Cuntas maneras hay de asignar los cuatro primeros lugares de un concurso de creatividad que severifica en las instalaciones de nuestro instituto, si hay 14 participantes?

Solucin:

Haciendo uso del principio multiplicativo,

14x13x12x11 = 24,024 maneras de asignar los primeros tres lugares del concursoEsta solucin se debe, a que al momento de asignar el primer lugar tenemos a 14 posiblescandidatos, una vez asignado ese lugar nos quedan 13 posibles candidatos para el segundo lugar,luego tendramos 12 candidatos posibles para el tercer lugar y por ltimo tendramos 11 candidatosposibles para el cuarto lugar.

Luego si nes el total de participantes en el concurso y r es el nmero de participantes que van a serpremiados, y partiendo de la expresin anterior, entonces.

14x13x12x11= n x (n - 1) x (n - 2) x .......... x (nr + 1)

si la expresin anterior es multiplicada por (nr)! / (nr)!, entonces

= n x (n1 ) x (n2) x ......... x (nr + 1) (nr)! / (nr)!= n!/ (nr)!

Por tanto, la frmula de permutaciones de r objetos tomados de entre n objetos es:

Esta frmula nos permitir obtener todos aquellos arreglos en donde el orden es importante y solo seusen parte (r) de los n objetos con que se cuenta, adems hay que hacer notar que no se pueden repetirobjetos dentro del arreglo, esto es, los n objetos son todos diferentes.

Entonces, qu frmula hay que usar para arreglos en donde se utilicen los n objetos con que se cuenta?Si en la frmula anterior se sustituye n en lugar de r, entonces.

nPn= n!/ (nn)! = n! / 0! = n! / 1 = n!

Como 0! = 1 de acuerdo a demostracin matemtica, entonces

nPn= n!

Ejemplos:

1) Cuantas representaciones diferentes sern posibles formar, si se desea que consten de

Presidente, Secretario, Tesorero, Primer Vocal y Segundo Vocal?, s esta representacin puedeser formada de entre 25 miembros del sindicato de una pequea empresa.

Solucin:

Por principio multiplicativo:


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25 x 24 x 23 x 22 x 21 = 6,375,600 maneras de formar una representacin de ese sindicato que conste depresidente, secretario, etc., etc.

Por Frmula:

n = 25, r = 5

25P5= 25!/ (255)! = 25! / 20! = (25 x 24 x 23 x 22 x 21 x....x 1) / (20 x 19 x 18 x ... x 1)== 6,375,600 maneras de formar la representacin

2) a. Cuntas maneras diferentes hay de asignar las posiciones de salida de 8 autos que participan enuna carrera de frmula uno? (Considere que las posiciones de salida de los autos participantes en lacarrera son dadas totalmente al azar) b. Cuntas maneras diferentes hay de asignar los primeros trespremios de esta carrera de frmula uno?

Solucin:

a. Por principio multiplicativo:

8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1= 40,320 maneras de asignar las posiciones de salida de los autos

participantes en la carreraPor Frmula:

n = 8, r = 8

8P8= 8! = 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x......x 1= 40,320 maneras de asignar las posiciones de salida ......etc., etc.

b. Por principio multiplicativo:

8 x 7 x 6 = 336 maneras de asignar los tres primeros lugares de la carrera

Por frmula:

n =8, r = 3

8P3= 8! / (83)! = 8! / 5! = (8 x 7 x 6 x 5 x ........x1)/ (5 x 4 x 3 x......x1) = 336 maneras de asignar lostres primeros lugares de la carrera

3) Cuntos puntos de tres coordenadas ( x, y, z ), ser posible generar con los dgitos 0, 1, 2, 4,6 y 9?, Si, a. No es posible repetir dgitos, b. Es posible repetir dgitos.

Solucin:

a. Por frmula

n = 6, r = 3

6P3= 6! / (63)! = 6! / 3! = 6 x 5 x 4 x 3! / 3! = 6 x 5 x 4 = 120 puntos posibles

Nota: este inciso tambin puede ser resuelto por el principio multiplicativob. Por el principio multiplicativo

6 x 6 x 6 = 216 puntos posibles

Cul es la razn por la cual no se utiliza en este caso la frmula?. No es utilizada debido a que lafrmula de permutaciones slo se usa cuando los objetos no se repiten, esto quiere decir que en el inciso


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a. Los puntos generados siempre van a tener coordenadas cuyos valores son diferentes ejem. (1, 2, 4), (2,4, 6), (0, 4, 9), etc. etc., mientras que los puntos generados en el inciso b. Las coordenadas de los puntospueden tener valores diferentes o repeticiones de algunos valores o pueden tener todas las coordenadasun mismo valor ejem. (1, 2, 4), (1, 2, 2), (1, 1, 1), etc., etc.

4) a. Cuntas maneras hay de asignar las 5 posiciones de juego de un equipo de bsquetbol, si el

equipo consta de 12 integrantes?, b. Cuntas maneras hay de asignar las posiciones de juego siuna de ellas solo puede ser ocupada por Uriel Jos Esparza?, c. Cuntas maneras hay de que seocupen las posiciones de juego si es necesario que en una de ellas este Uriel Jos Esparza y enotra Omar Luna?

Solucin:

a. Por frmula:

n = 12, r = 5

12P5= 12! / (125 )! = 12 x 11 x 10 x 9 x 8 = 95,040 maneras de asignar las cinco posicionesde juego


1 x 11 x 10 x 9 x 8 =7,920 maneras de asignar las posiciones de juego

Por frmula:

1 x 11P4= 1 x 11! / (11 4)! = 11! / 7! = 11 x 10 x 9 x 8 = 7,920 maneras de asignar lasposiciones de juego con Uriel Jos en una determinada posicin

a. Por principio multiplicativo

1 x 1 x 10 x 9 x 8 = 720 maneras de ocupar las diferentes posiciones de juego

Por frmula:

1 x 1 x 10P3= 1 x 1 x 10! / (10 3)! = 10! / 7! = 10 x 9 x 8 = 720 maneras de ocupar lasposiciones de juego con Uriel Jos y Omar Luna en posiciones previamente definidas

5) Cuntas claves de acceso a una computadora ser posible disear, si debe constar de dos letras,seguidas de cinco dgitos, las letras sern tomadas del abecedario y los nmeros de entre losdgitos del 0 al 9. a. Considere que se pueden repetir letras y nmeros, b. Considere que no sepueden repetir letras y nmeros, c. Cuntas de las claves del inciso b empiezan por la letra A yterminan por el nmero 6?, d. Cuntas de las claves del inciso b tienen la letra R seguida de la Ly terminan por un nmero impar?

Solucin:


26 x 26 x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 = 67,600,000 claves de acceso

Por frmula:

26P2x 10P5= 26 x 25 x 10 x 9 x 8 x 7 x 6=19,656,000 claves de acceso

a. Por frmula:


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1 x 25P1x 9P4x 1 = 1 x 25 x 9 x 8 x 7 x 6 x 1 = 75,600 claves de acceso que empiezan por laletra A y terminan por el nmero 6

b. Por frmula:

1 x 1 x 9P4x 5 = 1 x 1 x 9 x 8 x 7 x 6 x 5 =15,120 claves de acceso que tienen la letra R

seguida de la L y terminan por un nmero impar.

Permutaciones

UNA COMIDA GRATI S

Diez jvenes decidieron celebrar la terminacin de sus estudios en la escuela secundaria con unalmuerzo en un restaurante. Una vez reunidos, se entabl entre ellos una discusin sobre el orden en quehaban de sentarse a la mesa. Unos propusieron que la colocacin fuera por orden alfabtico; otros, conarreglo a la edad; otros, por los resultados de los exmenes; otros, por la estatura, etc. La discusin seprolongaba, la sopa se enfri y nadie se sentaba a la mesa. Los reconcili el camarero, dirigindoles las

siguientes palabras:- Jvenes amigos, dejen de discutir. Sintense a la mesa en cualquier orden y escchenme

Todos se sentaron sin seguir un orden determinado. El camarero continu:

- Que uno cualquiera anote el orden en que estn sentados ahora. Maana vienen a comer y se sientan enotro orden. Pasado maana vienen de nuevo a comer y se sientan en orden distinto, y as sucesivamentehasta que hayan probado todas las combinaciones posibles. Cuando llegue el da en que ustedes tenganque sentarse de nuevo en la misma forma que ahora, les prometo solemnemente, que en lo sucesivo lesconvidar a comer gratis diariamente, sirvindoles los platos ms exquisitos y escogidos.

La proposicin agrad a todos y fue aceptada. Acordaron reunirse cada da en aquel restaurante y probartodos los modos distintos, posibles, de colocacin alrededor de la mesa, con el objeto de disfrutar cuantoantes de las comidas gratuitas.

Sin embargo, no lograron llegar hasta ese da. Y no porque el camarero no cumpliera su palabra sinoporque el nmero total de combinaciones diferentes alrededor de la mesa es extraordinariamente grande.stas son exactamente 3628,800. Es fcil calcular, que este nmero de das son casi 10,000 aos.

Principios bsicos de conteo

A menudo nos encontramos con preguntas del tipo Qu proporcin de...? Cul es la probabilidadde...? De cuntas maneras se puede...?

Muchas veces, para responder, se necesita un pensamiento sistemtico y un poco de informacinadicional; por ejemplo, Cuntas rutas diferentes puedo usar para ir de Mrida a Mxico? o De cuntasmaneras pueden quedar los 3 primeros puestos en una carrera de 6 caballos?

Hay tcnicas y principios matemticos tiles en situaciones variadas, pero muchas preguntas se puedenresponder directamente, contando en forma sistemtica, es decir, listando todos los posibles resultadosen un orden sistemtico, para luego contar cuntos son, o desarrollando reglas de conteo. Algunas


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soluciones parecen ingeniosas cuando se ven por primera vez (y muchas veces lo son) pero, como decaJuerguee Polya, cuando podemos aplicar nuevamente estos mtodos ingeniosos en problemas similaresy en situaciones relacionadas entre s, hemos desarrollado una tcnica.

Enunciaremos algunos principios que nos ayudarn a resolver muchsimos problemas de conteo,daremos ejemplos de cmo usar estos principios y finalmente veremos algunos mtodos menos

rutinarios y ms ingeniosos.Principio de Adicin.

Ejemplo 1:Cinco empresas de transporte terrestre tienen servicio diario entre Mrida y Mxico. Tresempresas de aviacin tienen vuelo diario entre Mrida y Mxico. En consecuencia, hay 5+3 maneras deir de Mrida a Mxico en avin o en autobs.

En los problemas de conteo, la palabra "o" se traduce en suma.

El principio general es:Si dos operaciones son mutuamente excluyentes (es decir, si solo una deellas puede ocurrir) y si la primera se puede hacer de nmaneras diferentes y la segunda operacinse puede hacer de mmaneras diferentes, entonces hay n + mmaneras de realizar la primera o la

segunda operacin.Ejemplo 2: Si tengo una moneda de $50, una de $100, una de $200 y una moneda de $1000, Cul es elnmero total de precios que puedo pagar usando alguna o todas mis monedas?

Este es un buen ejemplo de una situacin en la que se necesita un listado sistemtico. Como tenemos 4monedas, debemos considerar 4 casos. stos son, los precios que podemos cubrir con 1 moneda, con 2monedas, con 3 monedas y con 4 monedas. Debemos examinar cada uno de estos casos y luego aplicarel principio de adicin.

Con 1 moneda podemos tener 4 precios: $50, $100, $200 y $1000.

Con 2 monedas, podemos listar sistemticamente las combinaciones:

Las que tienen $50 son: $50 + $100 = $150, $50+$200 = $250, $50 + $1000 = $1050Las que tienen $100 y no hemos listado an: $100 + $200 = $300, $100+$1000 = 1100

Y las que tienen $200 y tampoco hemos listado: $200 + $100 = $1200

Con 3 monedas, listamos todas las combinaciones (una para cada moneda que falta):

$50 + $100 + $200 = $350 (falta la de $1000)

$100 + $200 + $1000 = $1300 (falta la de $50)

$50 + $200 + $1000 = $1250 (falta la de $100)

$50 + $100 + $1000 = $1150 (falta la de $200)

Con las cuatro monedas

$ 50 + $100 + $200 + $1000 = $1350

Todos los precios obtenidos son diferentes, luego la respuesta es 4+6+4+1=15 precios posibles.


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EJERCICIOS

1. Cuntos grupos de 2 o ms personas se pueden formar con 4 personas?

2. Cuntos son los nmeros enteros positivos de dos o tres dgitos?

Principio de Multiplicacin.

Si una operacin se puede hacer de n maneras diferentes y si en cada caso, una segundaoperacin se puede hacer de m maneras diferentes, entonces hay mn (m por n) maneras derealizar las dos operaciones

Ejemplo 1. El men de un restaurante ofrece 3 platos calientes y 4 postres. De cuntas maneras sepuede elegir un almuerzo de 1 plato caliente y 1 postre?

Podramos hacer una lista de todas las posibilidades, pero ser mucho ms cmodo aplicar el principiode la multiplicacin:

Hay 3 maneras de elegir el plato caliente y para cada una de ellas hay 4 maneras de elegir el postre. Porlo tanto, hay 1243 comidas posibles.

Ejemplo 2. Cuntos cdigos de una letra y un nmero de un dgito se pueden formar con las 26 letrasdel alfabeto y los nmeros 0, 1, 2,...,9?

Podramos listar todas las posibilidades:

A0 A1 .... A9

B0 B1 .... B9

Z0 Z1 .... Z9

hasta obtener 26 filas de 10 cdigos en cada una: .2601026

Es ms simple utilizar el principio de multiplicacin: hay 26 maneras de elegir la letra y para cada unade ellas hay 10 maneras de elegir el nmero, de modo que son 2601026 cdigos.

Observemos que en los 2 ejemplos hay total libertad de elegir el segundo elemento, no importa cmo seeligi el primero. Es decir, el segundo elemento es independiente del primero.

Elegido el plato caliente, podemos elegir cualquiera de los 4 postres.Elegida la letra podemos agregarle cualquiera de los 10 nmeros.

Este principio es til cuando se puede descomponer el proceso de recuento en pasos independientes.


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Ejemplo 3.Del problema inicial de los 10 comensales, posiblemente a ustedes les parecer increble que10 personas puedan colocarse en un nmero tan elevado de posiciones diferentes. Comprobemos elclculo.

Ante todo, hay que aprender a determinar el nmero de combinaciones distintas, posibles. Para mayorsencillez empecemos calculando un nmero pequeo de objetos, por ejemplo, tres. Llammosles A, B y

C.Deseamos saber de cuntos modos diferentes pueden disponerse, cambiando mutuamente su posicin.Hagamos el siguiente razonamiento. Si se separa de momento el objeto C, los dos restantes, A y B,pueden colocarse solamente en dos formas.

Ahora agreguemos el objeto C a cada una de las parejas obtenidas. Podemos realizar esta operacin tresveces:

1. Colocar C detrs de la pareja,

2. Colocar C delante de la pareja,

3. Colocar C entre los dos objetos de la pareja.

Es evidente que no son posibles otras posiciones distintas para el objeto C, a excepcin de las tresmencionadas. Como tenemos dos parejas, AB y BA, el nmero total de formas posibles de colocacinde los tres objetos ser: 632

Ahora hagamos el clculo para 4 objetos, llammosles A, B, C y D, y separemos de momento uno deellos, por ejemplo, el objeto D. Efectuemos con los otros tres todos los cambios posibles de posicin. Yasabemos que para tres, el nmero de cambios posibles es 6. En cuntas formas diferentes podemosdisponer el cuarto objeto en cada una de las 6 posiciones que resultan con tres objetos? Evidentemente,sern cuatro. Podemos:

1. Colocar D detrs del tro,

2. Colocar D delante del tro,3. Colocar D entre el 1 y de 2 objetos,

4. Colocar D entre el 2 y 3.

Obtenemos en total: 2446 posiciones, pero teniendo en cuenta que 326 y que 212 ,entonces podemos calcular el nmero de cambios posibles de posicin haciendo la siguientemultiplicacin: 244321

Razonando de manera idntica, cuando haya 5 objetos, hallaremos que el nmero de formas distintas decolocacin ser igual a: 12054321

Para 6 objetos ser: 720654321 y as sucesivamente.

Volvamos de nuevo al caso antes citado de los 10 comensales. Sabremos el nmero de posiciones quepueden adoptar las 10 personas alrededor de la mesa, si nos tomamos el trabajo de calcular el productosiguiente:

10987654321


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Resultar el nmero indicado anteriormente: 3628,800.

El clculo sera ms complicado, si de los 10 comensales, 5 fueran muchachas y desearan sentarse a lamesa alternando con los muchachos. A pesar de que el nmero posible de combinaciones se reducira eneste caso considerablemente, el clculo sera ms complejo.

Supongamos que se sienta a la mesa, indiferentemente del sitio que elija, uno de los jvenes. Los otroscuatro pueden sentarse, dejando vacas para las muchachas las sillas intermedias, adoptando244321 formas diferentes. Como en total hay 10 sillas, el primer joven puede ocupar 10 sitios

distintos. Esto significa que el nmero total de combinaciones posibles para los muchachos es de2402410 .

En cuntas formas diferentes pueden sentarse en las sillas vacas, situadas entre los jvenes las 5muchachas?

Evidentemente sern: 12054321

Combinando cada una de las 240 posiciones de los muchachos, con cada una de las 120 que puedenadoptar las muchachas, obtendremos el nmero total de combinaciones posibles, o sea

800,28120240 .Este nmero, como vemos, es muchas veces inferior al que hemos citado antes y se necesitara un total de 79 aos. Los

jvenes clientes del restaurante, que vivieran hasta la edad de cien aos, podran asistir a una comida, servida gratis, sino porel propio camarero, al menos por uno de sus descendientes.

EJERCICIOS

1. De cuntas maneras se pueden formar en fila 5 estudiantes?

2. De cuntas maneras puede resultar un sorteo que consta de un primer premio y un segundo premioen una clase de 25 alumnos?

3. Cuntos enteros entre 100 y 999 tienen todos sus dgitos distintos?

4. Cuntos nmeros de 3 dgitos se pueden formar usando slo los dgitos 3, 7 y 8? (Incluir todos losnmeros con dgitos repetidos).

SELECCIONES

Con frecuencia cada uno de los pasos en que se divide un proceso de recuento puede interpretarse comouna eleccin o seleccin dekobjetos elegidos entre los elementos de un conjunto de nobjetos.

Dado un conjunto de n elementos puede ocurrir:

1. Que los elementos sean distintos; en este caso, a los grupos se les denomina agrupaciones simples.

2. Que algunos elementos sean iguales; en este caso, a los grupos se les denomina agrupaciones conrepeticin.


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Considerando la naturaleza de los elementos (que sean iguales o distintos), lasagrupaciones recibirn elnombre de permutaciones o combinaciones simples cuando no se repite ningn elemento ypermutaciones o combinaciones con repeticincuando algn elemento se repite.

Antes de continuar debemos explicar un concepto muy til al trabajar con estas agrupaciones oconjuntos: el concepto defactorial.

Definicin de factorial. Para un entero n 1, n factorial, expresado n!, se define por:

123...21! nnnn

Y cual es el factorial de cero? El factorial de cero se define as: 0! = 1

Gran parte de los problemas de combinatoria pueden plantearse como una serie de pasos cada uno de loscuales consiste en elegir unos cuantos de entre ciertos elementos dados.

Es conveniente remarcar que, al hacer dicha seleccin, hay ocasiones en las que podremos repetir dosveces el mismo objeto (por ejemplo, queremos escribir una palabra de 4 letras, entonces debemos elegircuatro de entre las 28 letras posibles, pero obviamente podemos repetir dos veces la misma letra, comoocurre con la palabra "CASA") y otras ocasiones en las que esto no ser posible (si quiero elegir tresamigos para ir a cenar, no puedo escoger tres veces al mismo). As mismo y dependiendo de lasituacin, el orden en que escojo los elementos a veces es importante y a veces no. Por ejemplo, siquiero escribir una palabra de 4 letras, el orden de las mismas influye (no es lo mismo CASA queSACA), mientras que si quiero ir a cenar con tres amigos, da igual el orden en que se los diga.

En general, siempre es ms fcil resolver problemas en los que el orden es importante.Veamos a continuacin cmo se puede calcular el nmero de elecciones en cada caso.

PERMUTACIONES

CASO 1.- NO PODEMOS REPETIR (PERMUTACIN SIMPLE U ORDINARIA)

Se llamapermutacin simple de n elementos tomados de k en k (k < n) a los distintos grupos formadospor kelementos de forma que:

Los kelementos que forman el grupo son distintos (no se repiten)

Dos grupos son distintos si se diferencian en algn elemento o en el orden en que estn colocados(influye el orden).

Aqu, no se utilizan todos los elementos.


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Si elegimos un primer elemento, lo podemos hacer de n formas. Quitamos el elemento elegido yelegimos otro de entre los n-1 que quedan. Esto podr hacerse de n-1 formas. Quitamos tambin esteelemento y nos quedamos con n-2, de entre los que elegimos el tercero. Esto lo podremos hacer de n-2formas...

Segn la regla del producto, las maneras de escoger k elementos de entre un total de n segn undeterminado orden, ser igual al producto de: 1...21 knnnn

Notacin. Pn,kdenota el nmero de permutaciones de nelementos distintos tomados de ken k.

Para llegar a una versin simplificada se opera as:

k,n

P!k-n

n!

123...1k-nk-n

123...1k-nk-n))1k(n)...(3n)(2n)(1n(n

Ejemplo 1.4,10

P son las permutaciones de 10 elementos agrupndolos en subgrupos de 4 elementos:

040,5123456

12345678910

)!410(

!104,10

P

Entonces podemos formar 5,040 subgrupos diferentes de 4 elementos a partir de los 10 elementos.

Ejemplo 2. Cuntas banderas diferentes, de tres franjas horizontales de igual ancho y de coloresdistintos, pueden confeccionarse a partir de siete colores diferentes?

Solucin:

210

!4

!73,7 P

Ejemplo 3. Cuntos nmeros de tres cifras distintas se pueden formar con las nueve cifrassignificativas del sistema decimal?

Al tratarse de nmeros el orden importa y adems nos dice "cifras distintas" luego no pueden repetirse:

5047893,9

P

Por tanto, se pueden formar 504 nmeros.

En el caso especial en que n= k, se llama permutaciones de n.

Se llamanpermutaciones de n elementos a las diferentes agrupaciones de esos n elementos de formaque:

En cada grupo intervienen los nelementos sin repetirse ninguno (intervienen todos los elementos).

Dos grupos son diferentes si el orden de colocacin de alguno de esos nelementos es distinto (influyeel orden).


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Notacin: Pndenota el nmero de permutaciones den elementos distintos.

!!0

!n

n

!nn

n!P

n

Ejemplo 4. P10son las permutaciones de 10 elementos:

800,628'312345678910!1010

P

Es decir, tendramos 3628,800 formas diferentes de agrupar 10 elementos.

Ejemplo 5. Una madre tiene 3 hijos de cuntas maneras distintas, nombrndolos uno por uno, puedellamarlos a cenar?

Solucin: P 3 = 3! = 6

Ejemplo 6. Calcular las maneras posibles de colocar las letras a, b, c.

P = 3! = 6 abc acb

bac bca

cab cba

Ejemplo 7.Con las letras de la palabra DISCO Cuntas palabras distintas se pueden formar?Evidentemente, al tratarse de palabras el orden importa. Y adems n = m, es decir tenemos que formarpalabras de cinco letras con cinco elementos D, I, S, C, O que no estn repetidos.

12012345!55

P

Por tanto, se pueden formar 120 palabras.

CASO 2.- PODEMOS REPETIR

Este caso es anlogo al Caso 1, sin ms modificacin que no quitar en cada paso los elementos yaescogidos. Razonando igual se llega a que el nmero de posibles elecciones es:k

nnnnn ...

Se llaman Permutaciones con repeticin de n elementos tomados de k en k a los distintos gruposformados por kelementos de manera que:


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Los elementos que forman los grupos pueden estar repetidos.

Dos grupos son distintos si se diferencian en algn elemento o en el orden en que stos estncolocados (influye el orden)

Notacin. PRn, k denota el nmero de permutaciones con repeticin de n elementos distintos tomados dek en k

k

kn nPR

,

Ejemplo 1. Cuntos nmeros de tres cifras pueden formarse con los dgitos 1 y 2?

Solucin: 2 3 = 8

Ejemplo 2. Cuntos nmeros de tres cifras se pueden formar con las nueve cifras significativas del

sistema decimal?

Al tratarse de nmeros el orden importa y adems no dice nada sobre "cifras distintas", luego s puedenrepetirse.

Por tanto, se pueden formar 729 nmeros: 729933,9 PR

Ejemplo 3. Cuntas palabras distintas de 10 letras (con o sin sentido) se pueden escribir utilizando slolas letras a, b?

Al tratarse de palabras el orden importa y adems como son palabras de 10 letras y slo tenemos dospara formarlas, deben repetirse.

1024210

2,10 PR

Por tanto, se pueden formar 1024 palabras.

CASO 3.- PODEMOS REPETIR Y EXISTEN ELEMENTOS REPETIDOS

Son permutaciones con repeticin de n elementos, no todos distintos. Todas las agrupaciones de nelementos, formadas por aquellos, estn dispuestos linealmente y sin que ninguno haga falta.

El nmero de permutaciones con repeticin que pueden realizarse con nelementos, donde existen 1,2, 3,... m elementos iguales entre s (de una misma clase) y el resto distintos entre s y distintostambin a los anteriores es:

!...!!!nP

m21

n

m,...,3,2,1

Ejemplo 1. Calcular las permutaciones de 10 elementos, en los que uno de ellos se repite en 2ocasiones y otro se repite en 3 ocasiones:


15/23



15

400,302!3!2

!10103,2

P

Es decir, tendramos 302,400 formas diferentes de agrupar estos 10 elementos.

Ejemplo 2.Cuntos nmeros de 6 cifras se pueden formar con los dgitos 1, 1, 1, 2, 2 y 3?

Solucin: 60!2!3

!6

Ejemplo 3. De cuntas maneras distintas pueden colocarse en lnea nueve bolas de las que 4 sonblancas, 3 amarillas y 2 azules?

El orden importa por ser de distinto color, pero hay bolas del mismo color (estn repetidas) y adems n =k, es decir colocamos 9 bolas en lnea y tenemos 9 bolas para colocar:

1260!2!3!4

!9

Por tanto, tenemos 1260 modos de colocarlas.

COMBINACIONES

CASO 1.- EL ORDEN NO IMPORTA PERO NO SE PUEDEN REPETIR ELEMENTOS.

Vamos a deducir la frmula basndonos en el Caso 1.Tomamos las 1...21 knnnn posibilidades y las partimos en clases, de forma que encada clase estn aquellas elecciones que sean la misma salvo el orden.

Como he escogido k elementos, la forma de ordenarlos ser k! y, as, en cada clase tendr exactamentek! casos.

Por tanto, el nmero de clases, es decir, el nmero de posibilidades de escoger k elementos sin importarel orden y sin repetir ser

)!(!

!)1(....)1(

knk

n

k!

knnn

Este nmero suele conocerse como el nmero de combinaciones de nelementos tomadas de ken ky sedenota por:


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16

)!kn(!k

!n

k

nC k.n

Se llamacombinaciones de n elementos tomados de k en k(k n) a todas las clases posibles que pueden

hacerse con los nelementos de forma que:

Cada agrupacin est formada por nelementos distintos entre s

Dos agrupaciones distintas se diferencian al menos en un elemento, sin tener en cuenta el orden.

Ejemplo 1. Un alumno decide rendir tres de los cinco exmenes finales De cuntas maneras distintaspuede elegir esas tres pruebas?

Solucin: 10!2!3

!53,5

C

Ejemplo 2.Cuntas combinaciones de 6 aciertos existen en la lotera primitiva?

816,983,13

!649!6

!49

6

496,49

C

Es decir, que tendramos que echar 13983,816 apuestas de 6 nmeros para tener la seguridad al 100%de que bamos a acertar.

Ejemplo 3.Cuntos grupos de 5 alumnos pueden formarse con los treinta alumnos de una clase? (Un

grupo es distinto de otro si se diferencia de otro por lo menos en un alumno)No importa el orden (son grupos de alumnos). No puede haber dos alumnos iguales en un grupoevidentemente, luego sin repeticin.

506,142!25!5

!252627282930

!530!5

!30

5

305,30

C

Por tanto, se pueden formar 142,506 grupos distintos.

En general, calcular

k

npor la frmula anterior implica calcular varios factoriales, lo que hace que no

sea muy til en la prctica. Un mtodo alternativo viene dado por las siguientes propiedades:

Proposicin.


17/23



17

1) 10

n

nn

2)

k

n

k

n

k

n 1

1

1

CASO 2.- EL ORDEN NO IMPORTA Y S SE PUEDE REPETIR (COMBINACIONES CONREPETICIN).

Una combinacin con repeticin de tamao kes una seleccin no ordenadade kobjetos elegidos entrentipos diferentes de objetos, habiendo una cantidad ilimitada de cada tipo.

Una combinacin con repeticin puede describirse diciendo que elegimos x1objetos de tipo 1, x2objetosde tipo 2,..., xnobjetos de tipo n para alguna n-pla (x1, x2,..., xn). Cada uno de los enteros x1, x2,..., xnesno negativo y kxxx

n ...

21. As pues, las combinaciones con repeticin de tamao k se

corresponden con las soluciones enteras no negativas de la ecuacin: kxxxn ...

21

El nmero de combinaciones de tamao kcon repeticin ilimitada elegidas entre n tipos diferentes deobjetos es:

k

1,

knC

R

kn

Cada combinacin con repeticin se representa por una palabra en el alfabeto {0,1} del siguiente modo:Los 0s son las marcas que separan los objetos de cada tipo y los 1s indican los objetos que hay de cadauno de los tipos entre dos marcas consecutivas. Si hay ntipos de objetos se necesitan n - 1 marcas paraseparar los tipos y, por tanto, las palabras de 0s y 1s tienen longitud n- 1 + k.As se convierte cada

combinacin con repeticin de tamao k en una combinacin de k objetos (las posiciones de los 1s)elegidos entre un conjunto de n - 1 + k elementos (las posiciones).

Se llama combinaciones con repeticin de n elementos tomados de k en k, a los distintos gruposformados por k elementos de manera que:

Los elementos que forman cada grupo pueden estar repetidos.

Dos agrupaciones distintas se diferencian al menos en un elemento, sin tener en cuenta el orden.

Ejemplo 1. RC 4,10 son las combinaciones de 10 elementos con repeticin, agrupndolos en subgrupos de

4, en los que 2, 3 o los 4 elementos podran estar repetidos:

715123456789123412345678910111213

!9!4

!134,10

R

C

Es decir, podramos formar 715 subgrupos diferentes de 4 elementos.

Ejemplo 2.Las combinaciones con repeticin de los elementos {a, b, c, d} tomados de dos en dos son:aa, ab, ac, ad, bb, bc, bd, cc, cd, dd


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18

Ejemplo 3. En una bodega hay 12 botellas de ron, 12 de ginebra y 12 de ans. Un cliente compr 8botellas en total. Cuntas posibilidades hay?

1208,3 R

C

Ejemplo 4: En una confitera hay cinco tipos diferentes de pasteles. De cuntas formas se puedenelegir cuatro pasteles?

No importa el orden (son pasteles). Puede haber dos o ms pasteles del mismo tipo en un grupo, luegocon repeticin.

70

!4!4

!45678

!15!4

!8

4

1454,5

RC

Por tanto, se pueden elegir 4 pasteles de 70 formas distintas.

SELECCIONES (de kelementos entre n)

ORDENADAS NO ORDENADAS

SIN REPETICIN 1...21 knnnn

k

n

CON REPETICINk

n

k

kn

1

ENTRADAS PARA LA RESOLUCIN DE PROBLEMAS

Si en cada agrupacin figuran todos o algunos de los elementos disponibles, importando suordende colocacin, entonces se trata de un problema de permutaciones.

Si en cada agrupacin figuran todos o algunos de los elementos disponibles, sin importar elordende colocacin de stos, entonces estamos ante un problema de combinaciones.

EJERCICIOS


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19

1. Cuntas parejas diferentes compuestas por una mujer y un hombre se podran formar a partir de 6hombres y 5 mujeres?

2. Cuntos tros diferentes compuestos por un hombre, una mujer y un nio se pueden formar a partirde 4 hombres, 5 mujeres y 3 nios?

3.

En una canasta hay 5 frutas diferentes y en otra canasta hay 3 verduras distintas. De cuntasmaneras se puede elegir una fruta y una verdura?

4. Cuntas palabras diferentes, con o sin significado, se pueden formar con las letras: A, L, E y C, sinque ninguna letra se repita ni falte?

5. Cuntas permutaciones simples (sin repeticin) pueden hacerse con las letras de la palabraLEGAR?

a. Cuntas de esas permutaciones comenzarn con una consonante?

b. Cuntas comenzarn con una vocal?

c. Cuntas comenzarn con la letra A?

6. Se tienen 10 bolitas de igual tamao, 3 son de color rojo, 2 de color azul y 5 de color verde.De cuntas maneras diferentes se pueden ordenar en fila esas 10 bolitas?

a. Cuntas de esas permutaciones comenzar con una bolita verde?

b. Cuntas terminarn con una bolita roja?

c. Cuntas comenzarn con una bolita azul y terminarn con una bolita verde?

7. Cuntos nmeros de 3 cifras diferentes pueden formarse con los dgitos: 1, 2, 3, 4 y 5?

8. Cuntas palabras de 3 letras diferentes, con o sin significado, pueden formarse con las letras de lapalabra COMA?

9.

Una empresa ferroviaria tiene 6 estaciones. Cuntos tipos diferentes de boletos, donde se indiquela estacin de salida y de llegada, deben imprimirse?

10.Cuntos nmeros de 3 cifras pueden formarse con los dgitos: 5, 6, 7, 8 y 9 (con repeticin)?

11.Cuntos nmeros de 2 cifras pueden formarse con los diez dgitos, sin repeticin?

12.De cuntas maneras diferentes se puede elegir una comisin de 5 miembros a partir de 8 depersonas?

a. Si una persona determinada debe estar siempre incluida

b. Si una persona determinada debe estar siempre excluida

c. Si una persona determinada debe estar siempre incluida y otra siempre excluida

d. Si dos personas determinadas nunca deben estar juntas en esa comisin

13.Cuntas diagonales pueden trazarse en un polgono convexo de n lados?

14.Cuntas comisiones diferentes, compuestas por 2 hombres y 3 mujeres, pueden formarse, apartir de 10 hombres y 12 mujeres?


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20

15.Cuntas palabras de 7 letras distintas ( 4 consonantes y 3 vocales ), con o sin significado,pueden formarse a partir de 6 consonantes y 5 vocales, todas diferentes?

16.Calcular la probabilidad de, en una carrera de 12 caballos, acertar los 3 que quedan primeros (sinimportar cual de ellos queda primero, cual segundo y cual tercero).

17.

Y si hubiera que acertar, no slo los 3 caballos que ganan, sino el orden de su entrada en meta.18.Se tienen 3 libros: uno de aritmtica (A), uno de biologa(B) y otro de clculo(C), y se quiere ver de

cuntas maneras se pueden ordenar en un estante.

19.Se tienen 7 libros y solo 3 espacios en una biblioteca, y se quiere calcular de cuntas maneras sepueden colocar 3 libros elegidos; entre los siete dados, suponiendo que no existan razones parapreferir alguno.

20.Cuntas permutaciones pueden formarse con las letras de la palabra BONDAD?

21.De cuntas maneras se pueden ordenar las letras de la palabra AMASAS?

22.Un hospital cuenta con 21 cirujanos con los cuales hay que formar ternas para realizar guardias.

Cuntas ternas se podrn formar?23.De cuntas maneras pueden entrar cuatro alumnos en tres aulas, si no se hace distincin de

personas?

Principio de las Casillas

El principio de conteo ms til es desde luego el ms sencillo. Aqu lo presentamos y se basa en lasiguiente idea, si hay tres canicas que se reparten entre dos nios, a un nio le tocan dos (quizs las tres,pues se admite que un nio puede quedar con cero canicas). Una primera versin de ste principio sepuede enunciar de la siguiente manera:

"Si (n + 1)objetos se deben de acomodar en ncasillas, en alguna de las casillas hay ms de un objeto".

Este resultado se conoce como el Principio de las casillas, tambin es llamado el Principio deDirichlet, o Principio de las palomas. Peter Dirichlet fue el primero en utilizarlo en teora de nmeros enel siglo XIX.

Su validez es evidente, pero si desea uno convencerse, piense qu pasara si en cada casilla hay loms un objeto, entonces tendramos que en las casillas hay acomodados a lo ms nobjetos, lo que es unacontradiccin si consideramos que se han repartido los n + 1objetos.

La mayora de las veces, este resultado ayuda a resolver problemas de existencia; de garantizar sidentro de una serie de hechos (finitos o infinitos) hay la certeza de que sucede alguna situacin especial.

As el principio es una afirmacin puramente existencial; sin embargo, no da indicaciones de cmollegar a la situacin especial que se garantiza la existencia.

Reconocer cmo y cundo deber usarse el principio requiere de cierta prctica que intentaremosdirigir en esta serie de ejercicios y problemas. Detectar quines sern los objetos y quines sern lascasillas, es la parte central para utilizar el principio. Desde luego hay situaciones claras de quines sonlos objetos y quines las casillas, veamos algunos ejemplos.


21/23



21

En un grupo de tres personas hay dos del mismo sexo.En un grupo de 13 personas hay dos que nacieron el mismo mes.En un grupo de 366personas hay dos que tienen el mismo da de cumpleaos.

En los tres casos los objetos son las personas y las casillas, evidentemente son, los dos sexos, los

doce meses del ao, y los 365 das del ao respectivamente.

Ejemplo 1. 5 palomas vuelan hacia un palomar de 4 agujeros, entonces en uno de los agujeros hay dos oms palomas. En general, si (n+1) palomas estn en n agujeros, por lo menos uno de los agujeroscontiene dos o mas palomas.

Ejemplo 2. Una lnea no puede cortar internamente a los tres lados de un tringulo.Solucin: Este ejemplo es el primero donde hay una primera dificultad: debemos decir quines son losobjetos y quines son las casillas. Las casillas son los dos semiplanos que determina la lnea, losobjetos sern los vrtices del tringulo. Observemos que si dos vrtices del tringulo se encuentran enuno de los semiplanos, el segmento (lado del tringulo) que ellos determinan no ser cortado por la

lnea.

Pidamos primero que la lnea no pase por alguno de los vrtices del tringulo. Por el Principio delas casil lashay dos puntos en alguno de los semiplanos (quizs los tres), luego alguno de los lados noser cortado por la lnea. Si la lnea pasa por alguno de los vrtices, esta podr cortar a lo ms a uno de

los lados.

Ejemplo 3. De cinco puntos dentro o sobre los lados de un triangulo equiltero de lado 2 hay dos cuyadistancia entre ellos es menor o igual a 1 .

Solucin: Aqu la situacin es un poco ms delicada. Aqu hay que crear las casillas; los objetos son loscinco puntos y buscamos dos de ellos a una distancia menor o igual que uno. Si dividimos en casillas demanera que: dos en una casilla garanticen que su distancia es menor o igual que uno, terminamos. Sesugiere entonces crear cuatro casillas, al dividir los lados del tringulo con sus puntos medios y al unirestos con segmentos de lnea se forman cuatro tringulos congruentes de lado 1.


22/23



22

Por el Principio de las casillas, de los cinco puntos dados, hay dos puntos en alguno de lostringulos pequeos, estos dos puntos son los buscados.

Ejemplo 4. De entre cinco puntos del plano con coordenadas enteras hay dos cuyo punto mediotambin tiene coordenadas enteros.

Primero observemos que el punto medio (2

ca ,

2

db ), de dos puntos de coordenadas enteras (a,b) y

(c,d), tendr tambin coordenadas enteras, si a y cson ambos pares o ambos impares, esto es si tienen lamisma paridad, tambin b y d deben tener la misma paridad. Dividamos a los puntos de coordenadasenteras de acuerdo a la paridad de sus coordenadas, esto generar cuatro clases que representaremos as:

(P, P), (P, I), (I,P), (I, I), y que son las clases de puntos de coordenadas enteras donde sus coordenadasson las dos pares, la primera par y la segunda impar, la primera impar y la segunda par, y las doscoordenadas impares, respectivamente. Estas clases sern las casillas. Desde luego todo punto decoordenadas enteras pertenece a una de las casillas. Por elPrincipio de las casillas hay dos puntos de loscinco en la misma casilla, por lo que dos de los puntos tienen la primera coordenada de la misma paridady tiene la segunda coordenada de la misma paridad, por tanto su punto medio ser de coordenadasenteras.

Hemos sealado que el usar y explotar el Principio de las casillas, requiere cierta habilidad que laprctica va dando. Los problemas que presentamos aqu buscan eso, practicar.

Ejercicios1. En un tringulo de rea 4 se colocan 9 puntos. Muestre que hay tres de ellos que forman un

tringulo de rea menor o igual que 1.

2. Demuestre que un tringulo equiltero de lado 1 no puede ser cubierto totalmente con dostringulos equilteros de lados menores que 1.

3. Con los vrtices de una cuadrcula de 6 x 9 se forman 24 tringulos. Muestre que hay dostringulos que tienen un vrtice comn.

4. En un tringulo equiltero de lado 3 se colocan 4 puntos. Muestre que hay dos de ellos a unadistancia menor o igual a 3 .

5. En un cubo de lado 10 se colocan 999 puntos. Es posible encontrar un cubo de lado 1 dentro delcubo de lado 10 que no contenga alguno de los puntos?


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23

6. Pueden las casillas de un tablero de 3 x 3 llenarse con nmeros del conjunto { -1, O, 1}, demanera que la suma de los nmeros en cada rengln, en cada columna y en cada diagonal seandiferentes?

7. Cumpleaos en el estadio. A un estadio de ftbol han asistido 3700 espectadores. Cuntos de

ellos, como mnimo, cumplen aos el mismo da?8. El once. Si del subconjunto de nmeros naturales 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 extraemos 6

nmeros, con seguridad habr dos que suman 11.

9. En un grupo de 8 personas, demostrar que hay al menos 2 cuyos cumpleaos caen el mismo dade la semana.

10.Se sortean 11 nmeros telefnicos para un premio. Mostrar que hay al menos 2 nmeros quecoinciden con el ultimo dgito.

11.Pongo ms de 100 monedas en 2 bolsas. Demostrar que al menos una de las bolsas tiene ms de

50 monedas.

12.Se seleccionan 3 nmeros enteros positivos que suman 19. Demostrar que al menos uno de elloses mayor o igual que 7.

13.En una caja hay 10 libros en francs, 20 en castellano, 8 en alemn, 15 en ruso y 25 en italiano.Cuantos debo sacar para estar seguro de que tengo 12 en un mismo idioma?

14.En un bar hay 95 mesas y un total de 465 sillas. Podemos asegurar que hay una mesa con 6sillas?

15.

Cuantas veces hay que tirar un dado para asegurarse de sacar por lo menos 2 veces el mismonmero?

Documents

Permutaciones y Combinaciones