Peter Plaschko Klaus Brod

NichtIineare Dynamik, Bifurkation und Chaotische Systeme

Aus dem Programm ____________ ___ Angewandte Mathematik

F. H. Argyris, G. Faust und M. Haase Die Edorschung des Chaos Eine Einführung für Physiker, Ingenieure und Naturwissenschaftler

J.-P. Demailly Gewöhnliche Differentialgleichungen Theoretische und numerische Aspekte

A. Deutsch (Hrsg.) Muster des Lebendigen Faszination ihrer Entstehung und Simulation

W. Strampp, V. Ganzha Differentialgleichungen mit Mathematica

D. S. Alexander A History of Complex Dynamics From Schröder to Fatou and Julia

~eweg--------------------------------------

Peter Plaschko Klaus Brod

Nichtlineare Dynamik, Bifurkation und Chaotische Systeme

Prof. Dr.-Ing. Peter Plaschko Departamento de Ffsica Universidad Aut6noma Metropolitana UAM-Iztapalapa Av. Michoacan y La Purisma Mexico, D.F., c.P. 09340

Prof. Dr. rer. nat. Klaus Brod Fachbereich Mathematik, Naturwissenschaften, Datenverarbeitung Fachhochschule Wiesbaden Am Brückweg 26 65428 Rüsselsheim

Alle Rechte vorbehalten © Friedr. Vieweg & Sohn Verlagsgesellschaft mbH, BraunschweigIWiesbaden, 1995

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ISBN 978-3-528-06560-7 ISBN 978-3-322-90699-1 (eBook) DOI 10.1007/978-3-322-90699-1

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Vorwort

Ein Buch über nichtlineare Dynamik und Übergang ins Chaos zu schreiben, bedeutet, sich mit zwei Extremen auseinandersetzen zu müssen. Zum einen besteht die Gefahr, über der Schönheit der graphischen Darstellung die mathematische Beschreibung zu vergessen und damit zum Stil eines Bilderbuches abzurutschen. Eine derartige Vorgangsweise spricht zwar eine relativ großen Leserkreis an und wirkt daher auflagenfördernd, bedeutet aber nicht unbedingt die Vermittlung fundamentaler Kenntnisse. Andererseits wäre es leicht möglich, den mathematischen Abstrakti­onsgrad überzubetonen und damit ein rein mathematisches Buch zu schreiben, was wiederum der Anwendung der Theorie nicht förderlich ist. Man kann jedoch mit Recht sagen, daß die nichtlineare Dynamik von ihren Anwendungen in allen Teilgebieten der Naturwissenschaften (Physik, Chemie, Biologie, Ingenieurwissenschaften, etc.) aber auch z. 8. in der Ökonomie "lebt". Tausende Veröffentlichungen der letzten Jahrzehnte in Fach- und populärwissenschaft­lichen Zeitschriften belegen dies nachhaltig.

Ein anderer Aspekt der üblichen Darstellung nichtlinearer Dynamik besteht in dem Konzept qualitativerMathematik. Dies bedeutet, daß man gewisse Klassen von Problemen im Hinblick auf das Auftreten bestimmter Eigenschaften (z. 8. von Attraktoren, Bifurkationen, etc.) unter­sucht. Die Suche nach Kriterien für das Auftreten dieser Phänomene steht dabei im Mittelpunkt, nicht die explizite Berechnung von Lösungen wie in der traditionellen Dynamik. Wir, die Auto­ren dieses Buches, sind, wie wohl auch die überwiegende Mehrheit unserer Leser, "linear aus­gebildet" worden. Wir haben uns die Methoden der nichtlinearen Dynamik erst über die Kon­frontation mit derartigen Themen in unserer Forschungstätigkeit (Akustik, Auiddynamik, klas­sische und Quantenmechanik) erarbeiten müssen. Dieser Umstand hat sich zweifellos auf Stil und Inhalt dieses Buches ausgewirkt. Wir geben daher gewissen (in der reinen Mathematik weniger, in den Anwendungen jedoch sehr beliebten) Methoden wie z. B. dem Vielvariablen­Verfahren mehr Gewicht, als ihnen meist beigemessen wird, und wir legen auf die explizite Durchrechnung vieler Beispiele großen Wert. Entsprechend unseren Präferenzen haben wir auch weitestgehend auf die Darstellung numerischer Verfahren verzichtet.

Die Grafik in diesem Buch wurde mit Hilfe der Softwarepakete MacMath (Hubbard und West (1990», Mathematica (Wolfram (1988» und Phaser (Ko~ak (1989» erstellt. Unser Dank gilt in erster Linie Prof. Dr. Luis Mier-Teran, Chef des Departamento de Fisica, Universidad Autonoma-Iztapalapa (UAM-I) in Mexiko-Stadt, der es ermöglichte, die Infrastruk­tur des Departamento zu benutzen. Seine Geschäftsführung (jefatura) schuf eine Arbeitsatmo­sphäre, die die Ausarbeitung des Manuskripts dieses Buches sehr förderte. Einer der Autoren (K. 8.) möchte an dieser Stelle sowohl für die Förderung des Projektes durch Einladung zu zwei Kurzzeit-Gastdozenturen (September 1993 und September 1994) an der UAM-I als auch für die Unterstützung durch die Fachhochschule Wiesbaden danken. M. Delgado fertigte die Zeichnungen mit viel Enthusiasmus und Selbständigkeit an.

Das Buch entstand durch Zusammenfassung und Ausarbeitung von Skripten zu Vorlesun­gen, die wir in den Jahren 1990-94 an der Technischen Universität Berlin, der Universidad Nacional Autonoma de Mexico, Mexico, D. F., und Universidad Autonoma Metropolitana, Mexico, D. F., gehalten haben. Je nach Auswahl des Stoffes und der Beispiele läßt sich mit die­sem Buch ein ein- bis dreisemestriger Kurs mit zwei bis vier Wochenstunden aufbauen.

Rüsselsheim und Mexico, D. F., im Juli 1994 Klaus Brod, Peter Plaschko

VI Inhaltsverzeichnis

Inhaltsverzeichnis

1 Einleitung

2

2.1 2.2 2.3 2.3.1 2.3.2 2.3.3 2.4

3

3.1 3.2 3.2.1 3.2.2 3.3 3.3.1 3.3.2 3.3.3 3.3.4 3.4 3.5 3.5.1 3.6

4

4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7

Diskrete Systeme 3

Fixpunkte. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Lineare und nichtlineare Abbildungen ............................. 9 Abbildungen mit chaotischem Verhalten ........................... 11 Die Bemoulli-Abbildung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 11 Die logistische Parabel ....................................... 12 Die Henon-Abbildung ....................................... 14 Die Poincare-Abbildung ...................................... 17 Anhang A (Verallgemeinerte Ei gen vektoren und Jordan-Formen) .. . . . . . . . .. 25 Aufgaben ................................................ 28

Kontinuierliche dynamische Systeme 31

Definitionen, Existenz- und Eindeutigkeitssätze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 31 Eigenschaften der Lösungen von gewöhnlichen Differentialgleichungen ...... 33 Stabilität von Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 34 Asymptotik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 35 Fixpunkte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 37 Stabilität von Fixpunkten ..................................... 38 Struktur von Lösungen in kleinen Umgebungen von Fixpunkten ........... 40 Klassifikation von Fixpunkten .................................. 45 Pendelschwingungen ........................................ 47 Hamilton-Systeme .......................................... 50 Zentrale Mannigfaltigkeiten .................................... 52 Parameterabhängige zentrale Mannigfaltigkeiten ...................... 56 Normalformen ............................................ 58 Aufgaben ................................................ 69

Bifurkationen 71

Äquivalente und konjugierte dynamische Systeme, strukturelle Stabilität 72 Verzweigungs-Grundtypen .................................... 80 Die Sattel-Knoten-Bifurkation .................................. 81 Die transkritische Verzweigung ................................. 84 Die Pitchfork-Bifurkation ..................................... 85 Die Hopf-Bifurkation ........................................ 86 Methode der Projektionen ..................................... 89

Inhaltsverzeichnis VII

4.8 Stabilität periodischer Lösungen ................................ 96 Anhang A (Fredholm-Altemative) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 105 Anhang B (Hopf-Bifurkationen in kontinuierlichen Systemen) . . . . . . . . . . . .. 106 Aufgaben ................................................ 111

5 Asymptotische Methoden 116

5.1 Die Mittelwert-Methode 116 5.2 Beispiele. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 119 5.3 Schwach nichtlineare Oszillatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 120 5.4 Die Viel variablen-Methode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 125

Aufgaben ................................................ 131

6 Homokline Bifurkationen 133

6. I Die Standardabbildung ....................................... 133 6.2 Sattelpunkte flächenerhaltender Abbildungen ........................ 137 6.3 Elliptische Fixpunkte flächenerhaltender Abbildungen und KAM-Kurven ..... 140 6.4 Winkel- und Wirkungsvariable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 140 6.5 Schwach gestörte Hamilton-Systeme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 143 6.6 Das Melnikov-Kriterium ...................................... 147 6.6.1 Homokline Koordinaten ...................................... 148 6.6.2 Abstand zwischen stabilen und instabilen Mannigfaltigkeiten gestörter Systeme 148 6.6.3 Definition der Melnikov-Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 149 6.7 Verallgemeinerungen des Melnikov-Kriteriums ....................... 157 6.7.1 Heterokline Bifurkationen ..................................... 157 6.7.2 Melnikov-Kriterium für eine Klasse von Hamilton-Systemen

mit zwei Freiheitsgraden ...................................... 158 6.8 Das Shilnikov-Phänomen ..................................... 162

7

7.1 7.1.1 7.1.2 7.2 7.2.1 7.2.2 7.2.2.1 7.2.2.2 7.3 7.3.1 7.3.2

Aufgaben ................................................ 163

Bifurkationen mit höherer Ko-Dimension 166

Verallgemeinerung der Grundtypen von Bifurkationen eindimensionaler Systeme 166 Eindimensionale Systeme mit kubischen Nichtlinearitäten ................ 168 Eindimensionale Systeme mit quartären Nichtlinearitäten . . . . . . . . . . . . . . . .. 171 Die Ko-Dimension dynamischer Systeme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 172 Eindimensionale Systeme ..................................... 173 Ebene Systeme ............................................ 175 Zweidimensionale Potential-Systeme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 175 Allgemeine zweidimensionale Systeme ............................ 179 Dynamik von Bifurkationen mit Ko-Dimension Zwei ................... 180 Ein doppelter Eigenwert ...................................... 180 Zwei Paare rein imaginärer Eigenwerte. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 183 Anhang AVersale Entfaltung von Matrizen ......................... 185 Aufgaben ................................................ 187

VIII Inhaltsveneichnis

8 Quantitative Methoden der Beschreibung nichtlinearer und chaotischer Systeme 188

8.1 Der(Phasen-)F1ußautonomerVektorfelder .......................... 188 8.2 Nicht-autonome dynamische Systeme ............................. 190 8.3 Zur Begriffsbildung bei chaotischen Systemen ....................... 190 8.4 Der Lyapunov-Exponent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 192 8.4.1 Lyapunov-Exponenten für diskrete, eindimensionale Systeme ............. 193 8.4.2 Lyapunov-Exponenten mehrdimensionaler Systeme . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 194 8.4.3 Numerische Bestimmung der Lyapunov-Exponenten ................... 198 8.4.4 Lyapunov-Exponenten und Attraktorvo1umen ........ . . . . . . . . . . . . . . .. 199 8.5 DieAutokorrelationsfunktion .... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 201 8.5.1 Die Autokorrelationsfunktion diskreter Systeme ...................... 202 8.5.2 Die Autokorrelationsfunktion kontinuierlicher Systeme . . . . . . . . . . . . . . . . .. 202 8.6 Das Leistungsspektrum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 203 8.6.1 Das Leistungsspektrum diskreter Systeme .......................... 203 8.6.2 Das Leistungsspektrum kontinuierlicher Systeme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 204 8. 7 Fraktale Strukturen und Dimensionen ............................. 205 8.7.1 Selbstähnlichkeit und Selbstaffinität .............................. 205 8.7.2 Fraktale, Hausdorff-Dimension ................................. 207 8.7.2.1 Zufallsfraktale ..... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 210 8.7.2.2 Multi-Fraktale ............................................. 211 8.7.3 Selbstähnlichkeits-Dimension. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 213 8.7.4 Box-Dimension. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 213 8.7.5 Die Informationsdimension .................................... 214 8.7.6 Korrelationsdimension ....................................... 215 8.7.7 Lyapunov-Dimension. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 216 8.7.8 DieRenyi-Dimension ........................................ 218 8.7.9 Die Ko1mogorov-Entropie .................................... 219 8.8 Rekonstruktion eines Attraktors aus einer Zeitreihe .................... 221

Aufgaben ................................................ 222

Literatur 224

Sachwortverzeichnis 229