1

Kinetische Theorie der Gase

2

Zusammenfassung

TNkpVnRTpV

B==

Ideales Gasgesetz

Zusammenhang zwischen Druck, Volumen und Temperatur

mol1106.02

hlAvogadroza

23⋅=A

A

N

NAnzahl Atome in 12 g 12C

KmolJ31.8

teGaskonstaneUniversell

⋅=R

R

KJ1038.1

onstanteBoltzmannk

23−⋅==A

B

B

NRk

k

i

fisotherm V

VnRTW ln

derungZstandsänIsotherme

=

0nderung ZustandsäIsochore

==constVW

VpW constp Δ==

nderung ZustandsäIsobare

Möglichkeiten, in einem System eine thermodynamische Zustandsänderung

hervorzurufen

Adiabatische Zustandsänderungkeine Änderung der inneren Energie

3

Zusammenfassung

Atome und Moleküle in einem KastenDruck wird durch Stöße de Moleküle mit den Wänden erzeugt (Impulsübertrag)

2

2,

22,

21,

2

vv

v...vvvgkeitGeschwindi Mittlere

avgrms

Nxxxavg

=

+++=

MRT

rms3v =

mittlere Geschwindigkeit von Moleküle bei einer bestimmten Temperatur

Mittlere Geschwindigkeit der Atome der Luft höher als die

Schallgeschwindigkeit

Mittlere kinetische Energie eines idealen

Gases unabhängig von Art des Gases

Durch Temperaturmessung an einem idealen Gas bestimmt man mittlere kinetische Energie des Moleküle

TkKE Bavg 23

=

mittlere freie Weglänge

Offene Frage: Wie sind die Geschwindigkeiten in einem Gas verteilt?

4

Maxwellsche Geschwindigkeitsverteilung

James Clerk Maxwell(1831-1879)

( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

RTM

RTMP

2vexpv

24v

222

3

ππ

Wahrscheinlichkeit in einem idealen Gas ein Molekül zu finden, dass genau die Geschwindigkeit v hat

M: molare Masse

Geschwindigkeit

Wa

hsc

hein

klich

keit

5

Maxwellsche Geschwindigkeitsverteilung

( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

RTM

RTMP

2vexpv

24v

222

3

ππ

Wahrscheinlichkeit in einem idealen Gas ein Molekül zu finden, dass genau die Geschwindigkeit v hat

( ) v2

vexpv2

4vv2

223

dRT

MRT

MdP ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=π

π

Wahrscheinlichkeit in einem kleinen Geschwindigkeitsintervall dv

1v2v

( )∫2

1

v

vvv dP

Vorfaktoren sind so gewählt, dass eine Integration über alle möglichen

Geschwindigkeiten die Wahrscheinlichkeit EINS liefert

( ) 1vv0

=∫∞

dP

Geschwindigkeit

Wa

hsc

hein

klich

keit

dv

M: molare Masse

Normierung

6

Maxwellsche Geschwindigkeitsverteilung

( ) v2

vexpv2

4vv2

223

dRT

MRT

MdP ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=π

π

Wahrscheinlichkeit in einem kleinen Geschwindigkeitsintervall dv

mittlere Geschwindigkeit

( )

( )MRTdP

MRTdP

avg

rms

π8vvvv

3vvvv

0

22

0

2

==

==

∫

∫∞

∞

wahrscheinlichste Geschwindigkeit

MRT

ddP

mp2v0

v2 =⇒=

mpv

mp: most probable

Geschwindigkeit

Wa

hsc

hein

klich

keit

Impulse werden stärker gewichtet

Kinetische Energien werden stärker gewichtet

7

Geschwindigkeitsverteilung

da die Verteilung der Geschwindigkeiten asymmetrisch ist, ist der Wert für die wahrscheinlichste Geschwindigkeit vrmsgeringer als die mittlere Geschwindigkeit vmpAufgrund des Quadrats in der Berechnung ist die vrms noch höher

Nv: Anzahl der Moleküle mit einem Geschwindigkeitsintervall dvum die Geschwindigkeit v

8

GeschwindigkeitsverteilungStickstoffgas aus 10000 Molekülen

Normierung diesmal die Anzahl der Moleküle im Volumen

9

Molare spezifische Wärmeideales Gas

nRTE

TkE

TkKE

Rk

B

Bavg

B

23

23nN

23

int

N

Aint

nN

A

A

=

⇓

=

⇓

=

=

mittlere kinetische Energie pro Atom

innere Energie von n Mol eines idealen Gases

Innere Energie eines idealen Gases hängt einzig und allein von der Temperatur des Gases ab!

Sie hängt von keiner anderen Zustandsvariablen ab.

Warum diese Einschränkung auf ein ideales Gas?Moleküle haben die Möglichkeit

Energie in inneren Freiheitsgradenzu speichern!

Vorläufige AnnahmeGas ist monoatomar

(z.B. He, Ar)

ideales Gas

Stimmt das in jedem Fall?

10

Molare spezifische Wärme1. Fall Volumen konstant

TncQ VΔ=Temperatur steigt anDruck steigt anVolumen konstant

VVpppTTT

=Δ+→Δ+→

notwendige Energiemenge

molare spezifische Wörmebei konstantem Volumen

1. Hauptsatz der Thermodynamik

KmolJ12.5

23

23

int

00int

int

int23

int

⋅=

=

⇓

ΔΔ

=

⇓

−Δ=Δ−=Δ

Δ=Δ

==

=

V

V

TnRE

V

WpdVV

c

Rc

TnEc

WTncEWQE

nRTEVergleich zu realen atomaren Gasen

KmolJ12,6

KmolJ12,5

⋅=

⋅=

Arv

Hev

c

c

Der theoretische Wert stimmt gut mit den tatsächlichen Werten überein

KmolJ314.8⋅

=R

11

Molare spezifische Wärme1. Fall Volumen konstant

RcV 23

=TncE

TncE

nRTE

v

v

Δ=Δ=⇓

=

int

int

Gas idealesallgemein

int 23

konstanter DruckÄnderung des Volumens

Änderung von Druck und Volumens

keine Abhängigkeit von Druck oder Dichte des Gases

Änderung der internen Energie bei konstantem Volumen wird nur durch die Temperaturänderung

bestimmt und nicht vom gewählten ProzessEinfacher Weg die Änderung der internen

Energie zu berechnen

12

Molare spezifische Wärme2. Fall Druck konstant

TncQ pΔ=notwendige Energiemenge

molare spezifische Wörmebei konstantem Druck

Vp cc > RccRcc

TnRTncTnc

WTncTnc

WTncTnc

WQE

Vp

pV

pV

nRTpV

pV

pd

pV

TncQTncE pV

+=

−=

Δ−Δ=Δ⇓

−Δ=Δ⇓

−Δ=Δ

−=Δ

=

=

Δ=Δ=Δ

Gas ideales

VWconstDruck

int

int c

molare spezifische Wärme bei konstantem Druck ist stets größer als die molare

spezifische Wärme bei konstantem Druck

Q

W

Wärmeenergie erhöht die Temperatur

Arbeit muß aufgebracht werden um den Stempel zu bewegen

Druck bleibt konstant

pdVW =

dVV +

p

V

67.1==V

p

cc

γ

13

Molare spezifische Wärmen

AUFFALLENDFür mehratomige Gase

stimmen die Werte von cV und cp nicht mehr mit den berechneten Werten

von 12.5 J/ (mol K) überein

Woran liegt das?

Berechneter Wert für das ideale Gas

( )

67.1

KmolJ814.20

KmolJ314.85.12

KmolJ5.12

==

⋅=

⋅+=+=

⋅=

V

p

p

Vp

V

cc

c

Rcc

c

γ

)( R=

14

Gleichverteilung der Energie

Im Gegensatz zu Atomen gibt es bei Molekülen zusätzliche Möglichkeiten Energie zu speichern

Freiheitsgrade

Atomen haben nur drei Freiheitsgrade der Bewegung (Translation in x, y, z Richtung)

3

Zweiatomige Moleküle haben zwei zusätzliche Freiheitsgrade der Rotation und einen Freiheitsgrad der Vibration

Mehratomige Moleküle haben zusätzlich drei Freiheitsgrade der Rotation und drei

Freiheitsgrade der Vibration

=f

6=f

9=f

andere Möglichkeiten der Energiespeicherung

15

Freiheitsgrade der Bewegung

Das THEOREM von MaxwellJedes Molekül hat eine bestimmte Anzahl f von

Freiheitsgraden. Diese können unabhängig voneinander Energie speichern. Jeder Freiheitsgrad

verfügt im Mittel über eine Energiegehalt von

Gleichverteilungssatz der Energie

Mol pro 21

Molekül pro 21

RT

Tk

AB N

Rk

B

=

⇓

James Clerk Maxwell(1831-1879)

Molekül Beispiel Freiheitsgrademono-atomares Gas He 3 = 3 x transdi-atomates Gas H2 6 = 3 x trans + 2 x rot + 1 x vibpoly-atomares Gas CH4 9 = 3 x trans + 3 x rot + 3 x vib

16

Molare Wärmekapzität

67.1=V

p

cc

29.1=V

p

cc

50.1=V

p

cc

Ideales Gas

17

Molare Wärmekapazität von H2

Nach der Quantenphysik können Rotation und Vibration in einem Molekül erst bei Erreichen einer bestimmten Temperatur angeregt werden

oder anders ausgedrückt eine bestimmte minimale Energie ist notwendig, um in einem Molekül zunächst eine Rotation und dann eine Vibration anzuregen

2H

18

Adiabatische Expansionideales Gas

Bei einer Schallwelle wird Energie übertragen. Allerdings wird in der Regel das Medium nicht erwärmt.

einen solchen Prozess nennt man adiabatisch

0=Q

sehr schnell oder innerhalb eines isolierten Behälters

W

19

Adiabatische Expansionideales Gas

Erster Hauptsatz Thermodynamik WQE −=Δ int

adiabatischer Prozess

thermisch isoliertQ=0

TncE VΔ=Δ int

pdVW

ppp fi=

≈≈

nahezu keine Druckänderung

ndTdVcp

dTncpdV

V

V

=−

=−⇓

Vp ccVdppdVndT

VdppdVnRT

pVnRT

−+

=

+=⇓

=Änderungen kleine

0=Q

Gesetz des idealen Gases

Vp ccR −=

constpV

constVp

VdV

cc

pdp

V

p

cc

V

p

=

=+⇓

=+

=

γ

γ

γc

lnln

0

nIntegratio

pdpVdVdVdV

cc

pdpVdVdV

ccc

ccVdp

pccdVdV

c

V

p

V

Vp

VpVpV

+=+−

+=−

−

−+

−=−

11

Druck-Volumen Abhängigkeit bei der adiabatischen Expansion eines idealen Gases

20

Adiabatische Expansionideales Gas

W

adiabatischer Prozess

V

p

cc

constpV

=

=

γ

γ

wobei

11

1

−−

−

=

=

=

⇓

=

⇓

=

γγ

γ

γ

γγ

ffii

nRTpV

ffii

VTVTconstTV

constVV

nRT

VpVp

0=Q

druckunabhängig umformen

n, R konstant

Temperatur-Volumen Abhängigkeit bei der

adiabatischen Expansion eines idealen Gases

21

Pneumatisches Feuerzeugadiabatische Erwärmung eines Gases

Adiabatische Komprimierung der Luft durch schnelles Einführen des StempelsKein Austausch der zugeführten Energie mit der Umgebung.

Komprimierte Luft erfährt sichtlichen Temperaturanstieg.

52

,

11

40.1

521

22

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

⇓

==

=−

−−

f

iif

ON

ffii

VVTT

VTVTγ

γ

γγGlasrohr

geschlossenes Ende

beweglicher Stempel zur

Druckerhöhung

CTf °= 350

Zündtemperaturen

CTf °= 175ZeitungspapierSchreibpapier

( ) C 480K 547cm³ 1cm³ 10K 300

52

°=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

f

f

T

T

22

Nebelkammer

Flüssigkeit und Wasserdampf im thermodynamischen Gleichgewicht

Bildung von Nebeltröpfen, wenn Kondensationskeime vorhanden

Schnelle Expansion sorgt für Abkühlung und Bildung eines

übersättigten Gasgemischs

Nachweis schneller Teilchen und kosmischer Strahlung

Charles Wilson

(1869-1959)

23

Verdampfungswärme

evakuiertes Mantelvolumen

saugfähiges Material, dass Wasser stark adsorbiert

KühlprozessÖffnen des Ventils reduziert Dampfdruck des Wassers Energie für Verdampfung muss durch Abnahme der inneren Energie des Wassers erfolgenFlüssigkeit kühlt sich ab

20% des Wassers verdampft, Restwasser friert ein Kühleffekt: Biertemperatur nach 30 m etwa 7 °C

Regenerierung durch Ausheizen bei 350 °C

24

Molare WärmekapazitätFestkörper

Stark nicht-lineares Verhalten von cv bei Abkühlung

quantenphysikalischer Effekterklärt von Peter Debye

0K 0 →⇒→ VcT

KmolJ253 RT⋅

≈→⇒→ RcT V

Regel von Dulong-Petite

gilt für alle Metalle

Pierre-Louis Dulong(1785-1838)

Alexis Petit (1791-1820)

Bei allen Metallen nähert sich bei hoher Temperaturen die molare spezifische Wärme einem konstanten Wert von 3R an

ZusammenfassungZusammenfassungMaxwellsche GeschwindigkeitsverteilungMaxwellsche GeschwindigkeitsverteilungMaxwellsche GeschwindigkeitsverteilungGeschwindigkeitsverteilungGeschwindigkeitsverteilung�Stickstoffgas aus 10000 MolekülenMolare spezifische Wärme�ideales GasMolare spezifische Wärme�1. Fall Volumen konstantMolare spezifische Wärme�1. Fall Volumen konstantMolare spezifische Wärme�2. Fall Druck konstantMolare spezifische WärmenGleichverteilung der EnergieFreiheitsgrade der BewegungMolare WärmekapzitätMolare Wärmekapazität von H2Adiabatische Expansion� ideales GasAdiabatische Expansion� ideales GasAdiabatische Expansion�ideales GasPneumatisches Feuerzeug�adiabatische Erwärmung eines GasesNebelkammerVerdampfungswärmeMolare Wärmekapazität�Festkörper