Populationsbilanzmodellierung - Experimentelle und numerische Untersuchung an Blasensäulen

Übersichtsbeitrag

Populationsbilanzmodellierung – Experimentelleund numerische Untersuchung an BlasensäulenMark W. Hlawitschka, Dorian Seiberth, Ying Gao und Hans-Jörg Bart*

DOI: 10.1002/cite.201200249

Ein gerührter Blasenkontaktor im Gegenstrom wird mithilfe der Computational Fluid Dynamics (CFD) in Kombination

mit der Populationsbilanzmodellierung (PBM) untersucht. Zur Simulation der Hydrodynamik wird auf das Euler-Euler-

Modell zurückgegriffen, welches jedoch die Widerstandskräfte zwischen den Phasen modelliert. Die Widerstandskraft

wird daher in einem Einzelblasenprüfstand bestimmt, bei dem die Blase durch einen Gegenstrom in Schwebe gehalten

wird. Hierbei konnte der experimentell bestimmte Widerstandskoeffizient für sphärische Blasen mittels Literaturkorrela-

tionen abgebildet werden. Die Einzelblasenapparatur ermöglicht zudem weitere Untersuchungen zum Stofftransport an

ruhenden Blasen. Die durchgeführten CFD-PBM-Simulationen des gerührten Blasenkontaktors zeigen eine gute Überein-

stimmung mit der experimentell ermittelten Blasengrößenverteilung.

Schlagwörter: Blasensäule, Computational Fluid Dynamics, Populationsbilanzmodellierung, Widerstandskoeffizient

Eingegangen: 22. Dezember 2012; revidiert: 03. April 2013; akzeptiert: 08. April 2013

Population Balance Modeling – Experimental Study with Bubble Columns

A stirred bubble column contactor is investigated using of computational fluid dynamics (CFD) and population balance

equations. For the simulation, the Euler-Euler model is applied which accounts for the interactions between the phases by

experimentally derived correlations. Therefore, the resistance coefficient of singe bubbles is measured using a single bub-

ble test rig keeping the bubble in a plane using a counter-current flow. The resulting drag coefficient for spherical bubbles

could be described by literature correlations. The system allows further measurements of the mass transfer at a stagnant

bubble. Computational fluid dynamics population balance simulations of the stirred bubble column contactor show good

agreement between the simulated bubble size and experimental data.

Keywords: Bubble column, Computational fluid dynamics, Drag coefficient, Population balance modeling

1 Einleitung

Blasensäulen werden in der chemischen, petrochemischen,biochemischen und Metallindustrie [1] eingesetzt. Dort die-nen diese u. a. zur Oxidation, Chlorierung, Alkylierung, Po-lymerisation und Hydrierung, Erstellung von synthetischenKraftstoffen sowie zur Fermentation und Abwasserbehand-lung [2 – 4]. Trotz der weiten Verbreitung von Blasensäulen

stellen sich deren Dimensionierung und Maßstabsver-größerung durch die komplexen Interaktionen des Mehr-phasensystems als problematisch dar [5]. Aufgrund derrecht einfachen Bauweise existiert eine Vielzahl an unter-schiedlichen Bauformen, wobei generell zwischen der einfa-chen Blasensäule, der Blasensäulenkaskade sowie demSchlaufenreaktor unterschieden wird. Die auftretenden Bla-senregime (Abb. 1), homogener Blasenaufstieg, heteroge-ner Blasenaufstieg sowie Schwallströmung, hängen von derBlasengrößenverteilung und der relativen Aufstiegsge-schwindigkeit ab [6]. Das homogene Blasenregime ist durcheine homogene, kleine Blasengrößenverteilung gekenn-zeichnet und tritt bei niedrigen Gasgeschwindigkeiten vonweniger als 5 cm s–1 auf [4, 6, 7]. Aufgrund der relativ gleich-mäßigen Verteilung der Blasen sowie der homogenen,kleinen Blasengröße sind die Blasenkoaleszenz sowie derBlasenzerfall gering [6]. Die Blasengröße wird somit haupt-

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–Mark W. Hlawitschka, Dorian Seiberth, Ying Gao, Prof. Dr.-Ing.Hans-Jörg Bart ([email protected]), Technische Universität Kai-serslautern, Lehrstuhl für Thermische Verfahrenstechnik, Centerfor Mathematical and Computational Modelling (CM)2, Postfach3046, 67653 Kaiserslautern, Deutschland.

1060 H.-J. Bart et al.

sächlich durch die Dispergiereinrichtung, z. B. Membran-dispergierung, bestimmt [8]. Aufgrund höherer Relativge-schwindigkeiten sowie einer ungleichmäßigen Dispergie-rung kommt es zur Ausbildung eines heterogenenBlasenregimes [6]. Dies führt zu einem instationärem Re-gime, welches durch turbulente Bewegung der Gasblasenund Rückvermischung charakterisiert ist [6]. Das Auftretengroßer Gasblasen aufgrund der erhöhten Koaleszenzwahr-scheinlichkeit führt zudem zu kurzen Verweilzeiten derBlasen in der Kolonne [6, 9]. Durch die erhöhte Turbulenztritt Blasenzerfall ein, wodurch eine breite Blasengrößenver-teilung generiert wird [6, 8]. Die Schwallströmung bzw.Kolbenblasenströmung wird meist nur bei kleinen Kolon-nendurchmessern (d < 15 cm) [10, 11], einem hohen Pha-senanteil und hohen Gasgeschwindigkeiten beobachtet.Hierbei nimmt der Blasendurchmesser eine Größe entspre-chend des Kolonnendurchmessers an und wird durch dieKolonnenwand stabilisiert. Bei Kolonnendurchmessern grö-ßer 0,2 m sowie Gasgeschwindigkeiten von 2 – 7 cm s–1

[12, 13] wird eine instabile und chaotische Flussstrukturbeobachtet, die durch eine oszillierende oder Auf- und Ab-wärtsbewegung der flüssigen Phase gekennzeichnet ist,bezeichnet als der Churn-Fluss [14]. Zur Einteilung der Bla-senregime in Abhängigkeit der Randbedingungen wieGasgeschwindigkeit und Kolonnengröße [3, 4, 13] wurdenunterschiedliche Diagramme erstellt [6] und können zurgroben Auslegung verwendet werden.

Die Blasengröße unterliegt aufgrund der auftretendenKoaleszenz- und Zerfallsvorkommnisse sowie des vorherr-schenden Stoffaustauschs einer ständigen Änderung, derenMaß durch den Energieeintrag und die Bauform der Kolon-nen, z. B. Totzonen, bestimmt wird. Neben der Blasengrö-ßenverteilung spielt die Blasenform eine maßgeblicheRolle. Frei aufsteigende Blasen nehmen in flüssigenMedien unter Einfluss der Gravitation drei verschiedeneFormen an, die neben der Blasengröße an sich, die Fluid-dynamik maßgeblich beeinflussen. Sphärische Blasen, beidenen die Abweichung zwischen kürzer und längerer Achsegeringer als 10 % ist, treten auf, wenn die Grenzflächen-spannung und viskosen Kräfte wesentlich größer sind alsdie Trägheitskräfte [15]. Ellipsoide Blasen unterliegen einer

periodischen Dilatation und bewegen sich in einer Taumel-bewegung [15]. Sie treten bei Eötvös-Zahlen zwischen 0,3und 40 auf, wobei die Reynolds-Zahl über 1 liegen muss[16]. Kappenförmige (Schirm-)Blasen sind größere Blasen,die eine flache Form annehmen [15]. Grace et al. [16] be-schreiben deren Auftreten für große Reynolds-Zahlen(Re > 1) und Eötvös-Zahlen größer 40. Bei sehr großen Bla-sen, den Schirmblasen, kann es zur Ausbildung einerSchwallströmung kommen [15].

Die allgemeine Auslegung der Blasensäulen beginnt mitder Definition der Trennaufgabe und der geometrischenRandbedingungen, wie z. B. die gewünschte Produktmengeund maximale Produktionshöhe. Die Stoffdaten müssen ge-sammelt bzw. bestimmt werden, auf deren Basis die Be-triebsbedingungen (Druck, Temperatur) festgelegt werden.Aufgrund der komplexen Interaktion der Hydrodynamik,der Blasengröße und des Stoffaustauschs bzw. Reaktion ba-siert die Kolonnenauslegung im Weiteren weitestgehendauf experimentellen Untersuchungen im Labor- und Tech-nikumsmaßstab [9]. Durch Interpretation der gewonnenenMesswerte und anschließender empirischer Maßstabsver-größerung wird der Produktionsmaßstab definiert. Experi-mentelle Untersuchungen zum Einzelblasenaufstieg erfolg-ten hierbei zumeist an frei aufsteigenden Blasen in einerruhenden kontinuierlichen Phase [17] im Gleich- [18] sowieim Gegenstrom [19]. Eine Auflistung verschiedener Experi-mente kann u. a. bei Kantarci et al. [20] sowie Shaikh undM. H. Al-Dahhan [21] gefunden werden.

Neben der experimentellen Untersuchung von Blasen-säulen werden zunehmend numerische Untersuchungenauf mehreren Skalen mithilfe der CFD durchgeführt. EineÜbersicht zum Thema Blasensäulen und deren Simulationmit CFD ist bei Jakobsen et al. [22] bis zum Jahr 2005gegeben. Hier sei daher nur ein kurzer Überblick über diegängigen Modelle sowie deren Anwendung in den letztenJahren gezeigt. Auf der untersten Skala werden in denletzten Jahren verstärkt Simulationen von Einzelblasen so-wie Schwarmblasensimulationen mit niedriger Blasenan-zahl mithilfe der Volume-of-Fluid-Methode durchgeführt[23 – 25]. Die Grenzfläche der Blasen sowie die Strömung inder Blase werden aufgelöst, womit Rückschlüsse auf die In-teraktion der Blasen mit dem umgebenden Fluid möglichsind [26]. Die Euler-Lagrange-Methode ermöglicht die Simu-lation des Schwarmblasenaufstiegs in komplexeren undgrößeren Strukturen. Da die Strömung um eine Einzelblasenicht aufgelöst wird, müssen die Interaktionen durch eineVielzahl an Korrelationen zur Widerstandskraft, Auftriebs-kraft und Massenkraft berücksichtigt werden [27]. Bei höhe-rer zeitlicher und räumlicher Auflösung wird das Euler-Euler-Modell verwendet [28]. Es ermöglicht aufgrund der ge-ringsten Rechenzeit der drei Modelle die Simulation kom-plexer industrieller Apparate. Zusätzlich zum Euler-Lagran-ge-Modell geht hierbei jedoch die Information über diegenaue Partikelposition verloren. Eine Erweiterung derHydrodynamik stellen gekoppelte CFD-Populationsbilanz-simulationen dar, die eine Berücksichtigung der veränder-

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a) b) c) d)

Abbildung 1. Blasenregime in einer Blasensäule [6]. HomogenerBlasenaufstieg: a) homogene Verteilung, b) heterogene Blasen-größenverteilung. Heterogener Blasenaufstieg: c) Churn-Fluss,d) Schwall.

Populationsbilanzmodellierung 1061

lichen Blasengröße ermöglichen [22]. Bhole et al. [29] ver-wendeten hierzu ein modifiziertes Koaleszenzmodell vonPrince und Blanch [30] und das Zerfallsmodell von Luo undSvendsen [31] zur Simulation einer Blasensäule auf Basiseines in Fortran geschriebenen CFD-Codes. Durch die Ver-wendung der Populationsbilanzgleichung konnte eine guteÜbereinstimmung der simulierten Tropfengröße mit experi-mentellen Daten ermittelt werden. Ebenso konnte durchKopplung der variablen Tropfengröße mit den angreifendenKräften (Auftriebskraft) eine radiale Varianz der Tropfengrö-ße in der Kolonne bestimmt werden. Mitre et al. [32] unter-suchten fünf verschiedene Koaleszenz- und Zerfallsmodellefür die Simulation einer Blasensäule. Eine gute Übereinstim-mung mit den Messergebnissen konnte bei Verwendung desKoaleszenzmodells von Kamp et al. [33] und dem Zerfallsmo-dell von Martínez-Bazán et al. [34, 35] gefunden werden. Jound Revankar [36] verwendeten den kommerziellen CFD-Code CFX zur Simulation eines Füllkörperreaktors. Zur Be-stimmung der Blasengröße wurden neun Kombinationender Zerfallsmodelle von Konno [37], Luo und Svendsen [31]und Martínez-Bazán et al. [34, 35] sowie der Koaleszenzmo-delle von Prince und Blanch [30], Chesters [38] und Luo [39]miteinander verglichen, jedoch konnte keine Übereinstim-mung mit den Messergebnissen gefunden werden.

In dieser Arbeit wird ein gerührter Blasenkontaktor mit-hilfe der CFD und der Populationsbilanzmodellierung zurBestimmung der Blasengröße untersucht. Hierzu wird dasEuler-Euler-Modell, welches die Phaseninteraktionen überexperimentell gewonnene Korrelationen berücksichtigt, ver-wendet. Zur Validierung der Korrelationen werden Experi-mente in einer Einzelblasenapparatur durchgeführt undmit vorhandenen Korrelationen verglichen. Anschließendwird deren Implementierung in den CFD-Code erläutert.Zur Berücksichtigung der Blasengröße in der Simulationwird ein Eingruppenmodell verwendet, dass die veränderli-che Blasengröße in jeder numerischen Zelle durch einencharakteristischen volumetrischen Durchmesser wieder-gibt. Abschließend werden Simulationen bei unterschied-lichen Rührerdrehzahlen durchgeführt und mit den experi-mentellen Ergebnissen verglichen.

2 Numerischer Framework

Die durchgeführten Simulationen basieren auf der Euler-Euler-Formulierung, welche von interpenetrierenden Konti-nua der beiden Phasen ausgeht. Hierfür wird das Pro-gramm OpenFOAM® mit dem Solver twoPhaseEulerPimple-Foam verwendet, wobei die Erhaltung der Phasen in jederZelle durch

al � ad � 1 (1)

gegeben ist. Die Kontinuitätsgleichung wird für jede Phaseq gelöst und setzt sich aus einem Akkumaltionsterm undeinem Konvektionsterm zusammen:

∂�aqqq�∂t

� ∂∂xi

aqqquq�i

� �� 0 (2)

Die Impulserhaltungsgleichung berücksichtigt die Inter-aktionen der Phasen untereinander durch die auftretendenKräfte Fk�q:

∂�aqqquq�i�∂t

� ∂∂xj

aqqquq�juq�i

� �� aq

∂p∂xi

� aqqqg � ∂aqsq�ij

∂xj� Fk�q

(3)

wobei s der Stresstensor, p der Druck und g die Gravitations-konstante ist. Fk�l setzt sich aus der Widerstandskraft, dervirtuellen Massenkraft und der Liftkraft zusammen. Die Wi-derstandskraft ergibt sich aus:

FW � 3qcacadCD�S ud � uc� � ud�i � ul�i� �

4d(4)

wobei CD�S der Widerstandskoeffizient des Schwarms ist.Der auftretende Schwarmeinfluss wird durch das Modelvon Richardson und Zaki [40] berücksichtigt, welches denWiderstandskoeffizienten der Einzelblase CD beinhaltet:

CD�S � CD1

�1 � a�m (5)

Hierbei ist zu erkennen, dass der Schwarmeinfluss beigeringen Dispersphasenanteilen nur eine untergeordneteRolle spielt. Der auftretende Schwarmexponent m ergibtsich für den jeweiligen Reynoldszahlbereich zu:

m �

4,65 Re ≤ 0,2

4,35Re0�03 0,2 � Re ≤ 1

4,45Re0�1 1 � Re ≤ 500

2,39 500 � Re

��

(6)

Die virtuelle Massenkraft, die durch die unterschiedlicheBeschleunigung der Partikel entsteht, ergibt sich aus [41]:

Fvm � CvmadacDquc

dt� Dpud

dt

(7)

wobei die AbleitungDq

dtwie folgt definiert ist:

Dq

dt� ∂

∂t� ui∇ (8)

Die Liftkraft tritt hauptsächlich aufgrund der Geschwin-digkeitsgradienten in der kontinuierlichen Phase aufund ist daher hauptsächlich für größere Partikel von Bedeu-tung



Fl � �Clqqad uc � ud� � × ∇ × uc� � (9)

Die Koeffizienten CD, Cvm und CK müssen hierbei experi-mentell bzw. über bestehende Korrelationen bestimmtwerden.

3 Populationsbilanzmodellierung

Die Einbeziehung der Populationsbilanz in die modellge-stützte Auslegung ermöglicht eine Berücksichtigung derBlasengrößenverteilung in jeder numerischen Zelle, diesich durch Koaleszenz, Zerfall sowie Massentransfer verän-dert. Die Populationsbilanzgleichung ist eine Transportglei-chung der Anzahldichte bzw. Volumendichteverteilung derPartikel und setzt sich im räumlich eindimensionalen Fallaus einem Akkumulationsterm (1), einem Konvektionsterm(2), einem Dispersionsterm (3) auf der linken Seite sowieeinem Quellterm für den Einlass (4) und einem Quelltermzur Beschreibung der Koaleszenz und des Zerfalls (5) zu-sammen.

∂∂t

n�� 1

� ∂∂z

un�� 2

� ∂∂z

Daxuyn

∂z

��

3

� ninQ in

y

Acd z � zy� �

�� 4

� S�� 5

(10)

Zur vollständigen Lösung der Gleichung müssen die ex-perimentellen Korrelationen für die Blasengeschwindigkeit,des Phasenanteils, der axialen Dispersion und des Ener-gieeintrages bekannt sein. Im dreidimensionalen Fall, wieer durch die CFD beschrieben werden kann, entfallen dieexperimentellen Korrelationen zur Rückvermischung (axia-len Dispersion), zur geometrieabhängigen Aufstiegsge-schwindigkeit sowie zur Energiedissipation, da diese direktdurch die CFD aufgelöst werden. Die Populationsbilanzglei-chung reduziert sich für den multidimensionalen Fall mitden externen Koordinaten für die Position (x) und Zeit (t)und den internen Koordinaten des Volumens (V) zu [42]:

∂∂t

n�x�V � t� � ∇x ��u�x�V � t�n�x�V � t� � S�x�V � t�� 5

(11)

Der Quellterm (5) besteht zudem aus einer nichtlinearenGleichung zur Beschreibung der Entstehung und Auslö-schung von Partikeln aufgrund von Koaleszenz und Zerfall.

S x�V � t� � � BC x�V � t� � � DC x�V � t� � � BB x�V � t� �� DB x�V � t� � (12)

Zur Lösung der Gleichung gibt es unterschiedliche An-sätze. In der Klassenmethode [43] wird die Partikelgrößen-verteilung diskretisiert und die Population in jeder Klassewird durch ein repräsentatives Partikel dargestellt. Im Falleder quadrature method of moments (QMOM) [44, 45] werden

anstelle der Anzahldichteverteilung die Momente der Ver-teilung beschrieben, wobei die folgende Approximation ge-troffen wird:

mk �� ∞

0n d� x� t� �dkdL �

�N

i�1

wiLi (13)

Das Moment wird somit durch seine Gewichte wi undAbszissen Li beschrieben. Die Quellterme ergeben sich indiesem Fall zu:

BC � 12

�N

i�1

wi

�N

i�1

wj L3i � L3

j

� �k�3a Li� Lj

� �(14)

DC ��N

i�1

Lki wi

�N

j�1

wja Li� Lj

� �(15)

BB ��N

i�1

wi ∞0

Lkg Li� �b L�Li� �dL (16)

DB ��N

i�1

wiLki g Li� � (17)

wobei a Li� Lj

� �den Koaleszenzkernel und g Li� � den Zer-

fallskernel darstellt. Die Tochterpartikelverteilung wirddurch b L�Li� � beschrieben. Eine Erweiterung der Modellvor-stellung stellt die sectional quadrature method of moment(SQMOM) dar [46, 47]. Diese kombiniert die Vorteile derKlassenmethode mit den Vorteilen der Momentenmethodeund reduziert gleichzeitig deren Nachteile. Die QMOM isteffizient aus numerischer Sicht. Jedoch geht die Informa-tion über die Form der Partikelverteilung verloren. Die Klas-senmethode erhält hingegen die Tropfengrößenverteilungdurch Diskretisierung der Verteilung in einzelne Tropfen-größenanzahlen, jedoch können integrale Größen in Zu-sammenhang mit Populationsbilanzen nur in geringerGenauigkeit beschrieben werden.

Die in der Klassenmethode auftretenden Sektionen wer-den im Modell als primäre Partikel bezeichnet. Jedem pri-mären Partikel werden zudem sekundäre Partikel mit denentsprechenden Abszissen (Li� und Gewichten wi zugeord-net, die einer Anwendung der QMOM auf jede Klasse ent-sprechen. Während die primären Partikel zur Rekonstruk-tion der Verteilung dienen, werden die sekundären Partikelzur Beschreibung der Partikelinteraktion verwendet. ImGegensatz zur QMOM ist die SQMOM in der Lage, multi-variate Verteilungen und weite Partikelverteilungen zu be-schreiben. Bei eng verteilten Partikelgrößen ermöglicht eineReduktion der Partikelklassen sowie der Momente eine hin-reichend genaue Beschreibung der Verteilung bei gleichzei-tiger Reduktion der benötigten Rechenzeit. Bei Verwen-




dung von einer Klasse und einem zusätzlichen Moment zurCFD resultiert die SQMOM in einem Eingruppenmodell,der one primary one secondary particle method (OPOSPM)[48]. Hierbei bietet sich das nullte Moment (Anzahl der Par-tikel pro Volumen) sowie das in der CFD gegebene dritteMoment (Phasenanteil) an, um die wichtigsten Größen zukonservieren und als charakteristische Größe den volume-trischen Durchmesser zu bestimmen:

d30 ��m3

m0

3�

��6a

pm0

3�

(18)

Hierbei wird für kleine Partikelgrößen aufgrund dersphärischen Größe vereinfacht angenommen, dass der volu-metrische Durchmesser dem Sauter-Durchmesser ent-spricht. Im Vergleich zur QMOM vereinfacht sich derQuellterm zu:

S � ndd � 1� �m0g d30� � � 0,5m20c d30� d30� � (19)

wobei die Anzahl der Tochterblasen durch ndd beschriebenwird. Eine Partikelgrößentochterverteilung, wie sie bei wei-ten Partikelgrößenverteilungen zu verwendet ist, wird auf-grund der nur einen vorhandenen Klasse pro numerischerZelle nicht berücksichtigt.

3.1 Berücksichtigung von Koaleszenz und Zerfall

Zur Turbulenzmodellierung wurde das kEpsilon-Mixture-Modell eingesetzt, welches anstatt der Stoffgrößen der kon-tinuierlichen Phase die Mischungseigenschaften des Sys-tems in jeder Zelle verwendet:

∂∂t

k� � � ∂∂t

kui� � � ∂∂xi

g � gt

rk

∂k∂xj

� �� Gk � qme (20)

∂∂t

e� � � ∂∂t

eui� � � ∂∂xi

g � gt

re

∂e∂xj

� �� G1e

ek

Gk � G2eqme2

k

(21)

Die Generierung der turbulenten kinetischen Energieaufgrund der mittleren Geschwindigkeitsgradienten wirddurch Gk beschrieben:

Gk � �qmu′i u′k∂u∂xi

(22)

Für die Konstanten G1e und G2e wurden die Modellwertevon 1,44 und 1,92 verwendet. Die turbulenten Prandtl-Zah-len für die kinetische Energie und die Energiedissipations-

rate sind rk (= 1,0) und re (= 1,3). Das Modell von Hibikiund Ishii [49] wird zur Beschreibung der Zerfalls- und Kolli-sionsereignisse in der OPOSP-Methode angewandt. DieKollisionsrate ergibt sich aus der Multiplikation der Kollisi-onsfrequenz und der Koaleszenzeffizienz. Der Blasenkon-takt tritt aufgrund zufälliger turbulenter Kollisionen einund wird durch die Kollisionsfrequenz h d30� d30� � berück-sichtigt:

h d30� d30� � � Crca2e1�3

d302�3�amax � a�

(23)

Die Koaleszenzeffizienz k d30� d30� � gibt die Wahrschein-lichkeit an, dass nach einem Blasenkontakt eine Koaleszenzeintritt:

k d30� d30� � � exp �Ccqc

1�2e1�3d305�6

r1�2

� �(24)

Crc und Cc sind anpassbare Modellkonstanten und müs-sen durch Experimente oder vergleichbarer Untersuchun-gen an das verwendete Gas-flüssig-System angepasst wer-den. Cc beinhaltet dabei abgeleitete Vorfaktoren, jedochauch das Verhältnis der initialen Filmdicke h0 zur kritischenFilmdicke hc: ln(h0/hc).

Die kritische Filmdicke ist in der Literatur nicht eindeutigdefiniert, wodurch sich ein weiter theoretischer Spielraumbei der Findung entsprechender Parameter ergibt. Die Film-dicke einer Blase wird nach Runowski [50], Witelski und Be-rnoff [51] sowie Goodall [52] mit mehr als 100 nm angege-ben. Chesters und Hofman [53] sowie Duineveld [54] gebenhingegen eine kritische Filmdicke von 10 nm an. Die Film-dicke einer Blase liegt je nach Schmidt-Zahl im Bereich zwi-schen 0,3 und 0,006 mm [55]. Der Übergang vom disper-gierten Blasenaufstieg zur Schwallströmung wird durchamax = 0,52 angegeben. Die Koaleszenzrate unterliegt einerstarken Abhängigkeit vom Phasenanteil. Die Koaleszenzra-tenverläufe bei einem Phasenanteil von 10 %, 5 % und 1 %sind über der Energiedissipation für die Modellkonstantenvon Crc = 0,03 und Cc = 1,29 in Abb. 2 gezeigt. Die Koales-zenzrate sinkt hierbei mit abnehmenden Phasenanteil. Zu-sätzlich stellt sich für die gewählten Randbedingungen einnahezu konstanter Verlauf der Koaleszenzrate ab einerEnergiedissipation von 0,2 m2s–3 ein.

Das Zerfallsmodell von Hibiki und Ishii [49] basiert aufdem Zusammentreffen von Blasen mit turbulenten Wir-beln:

g�d30� � Crba2�1 � a�e1�3

d302�3�amax � a�

exp �Cbr

qce2�3d305�3

� �(25)

Die Modellparameter werden mit Crb = 0,0209 undCb = 1,59 basierend auf experimentellen Werten von Hibikiund Ishii [48] angegeben. Yeoh und Tu [56] geben hingegenfür Crb = 0,03 und für Cb = 1,37 auf Basis experimentellerWerte an.



4 Experimentelle Untersuchungen anEinzelblasen

Die Aufstiegsgeschwindigkeit von Einzel- sowieSchwarmblasen kann ohne großen experimentellenAufwand in zylindrischen Rohren erfolgen, wobeidie Blasen ungehindert aufsteigen. Zur Unter-suchung von Stoffaustausch, Blasenform sowie Bla-sendurchmessers ist ein Wechsel des Referenz-systems zu bevorzugen, indem die Blase bzw. derBlasenschwarm auf einer Referenzhöhe (Messhöhe)durch einen Gegenstrom gehalten wird. Dies wurdein der Vergangenheit durch eine Venturizelle(s. Abb. 3) für Flüssig-flüssig-Systeme verwirklicht[57]. Wasser wird von oben der Kolonne über eine Is-matec ISM506 Pumpe zugeführt. Ein Metallgewebemit einem Drahtabstand von einem Millimeter sorgtfür eine Homogenisierung der Strömung vor demEinlauf in die Düsenstruktur, deren engster Quer-schnitt bei 30 mm liegt. Die Blasen werden übereine Zweistoffdüse gebildet. Die Größe der generier-ten Blase kann durch den Durchfluss der Flüssigkeitim äußeren Ringspalt der Zweistoffdüse modifiziertwerden. Zum Test der Anlage für Gas-flüssig-Sys-teme wurde destilliertes Wasser verwendet. Druck-luft wurde in der Zweistoffdüse entspannt, wodurchsich am Austritt Blasen definierter Größe erzeugenließen. Die Blasengrößen wurden mittels Aufnah-men der Hochgeschwindigkeitskamera ermittelt.Der ermittelte Blasenaufstieg hängt hierbei vom Ge-



Abbildung 2. Koaleszenzrate des Modells von Hibiki und Ishii [49] unter Verwendung der Modellkonstanten Crc = 0,03 und Cc = 1,29 beieinem Phasenanteil von 10 %, 5 % und 1 % bei einer Tropfengröße von 3,5 mm.

Abbildung 3. Einzelblasenapparatur zur Bestimmung des Blasenaufstiegsund Schwarmeinflusses.


genstrom bzw. vom Geschwindigkeitsprofil der kontinuier-lichen Phase in der Düsenstruktur ab und wurde daher mit-tels der particle image velocimetry (PIV) untersucht. Hierzuwird ein PIV-System der Firma Ila GmbH mit einem Nd-YAG Laser verwendet. Die für die Messung verwendeteCCD-Kamera (PCO Sensicam) wurde im rechten Winkelzum generierten Laserlichtschnitt aufgestellt. Der Laser-lichtschnitt trifft dabei radial auf die Düsenstruktur. Als Tra-cer Partikel wurden Rhodamin 6G dotierte Partikel der Fir-ma Dantec der kontinuierlichen Phase hinzugegeben. DiePulsdistanz zwischen den Doppelbildern wurde auf 200 lsüber den Synchronizer eingestellt und die Verschiebung derPartikel anhand der Cross-Korrelation ausgewertet. Es ergibtsich ein homogenes nahezu paralleles Geschwindigkeitsfeldam oberen Ende des Bildes, dem Eintritt in die Düsenstruktur(Abb. 4). Die hier dargestellte große Schirmblase erzeugt eineKanalisierung der Strömung zur Düsenwand. Unterhalb derBlase entsteht eine Wirbelbildung, die u. a. durch einetranslative Blasenbewegung verstärkt wird.

Die Messergebnisse des Einzelblasenaufstiegs sind inAbb. 5 gezeigt. Für Blasen kleiner 1 mm sowie größer4 mm stimmen die Blasenaufstiegsgeschwindigkeiten mitden Literaturdaten [15] von reinem Wasser überein. ImZwischenbereich konnte jedoch der von Gaudin et al. [58]ermittelte Geschwindigkeitspeak nicht erfasst werden, daWerte zwischen kontaminiertem [15] und reinem Wasserermittelt wurden. Jedoch konnte eine gute Übereinstim-mung zu den Messwerden von Datta et al. [59] gefundenwerden. Eine kreisförmige Bewegung der Tropfen konntebei unseren Messungen ab einem Durchmesser von

1,4 mm festgestellt werden. Dieser Wert liegt über demvon Aybers und Tapucu [60] von 1,3 mm. Bei größerenDurchmessern geht die kreisförmige Bewegung in eineZickzack-Bewegung über, wobei hier nur die axiale Ge-schwindigkeit, bedingt durch das Messverfahren, ermitteltwird. Die beobachteten Schirmblasen verfolgen einen ge-raden Aufstieg, der jedoch durch eine Verformung derGrenzfläche beeinflusst wird.


Abbildung 4. Messergebnis des Geschwindigkeitsfeldes um eineSchirmblase.

Abbildung 5. Gemessene Blasenaufstiegsgeschwindigkeit im Vergleich zu Literaturdaten [15].


Die Endaufstiegsgeschwindigkeiten dienen zudem zurBestimmung der Widerstandskoeffizienten. Ein Vergleichgegen Literaturdaten von Gaudin [58] ist in Abb. 6 dar-gestellt. Der Widerstandskoeffizient nimmt nach Gaudinfür reines Wasser bis zu einer Blasengröße von 2 mm(Re = 410) ab. Anschließend ist ein Anstieg des Wider-standskoeffizienten auf Cd = 2,8 zu erkennen. Bei kontami-niertem Wasser werden größere Widerstandskoeffizientenin einem Bereich von Re > 40 bis Re < 8000 beschrieben.Die mit der Einzelblasenapparatur ermittelten Widerstands-koeffizienten liegen zwischen den beiden angegebenenKurven. Ein Vergleich mit den Widerstandskoeffizienten-korrelationen (Tab. 1) nach Schiller und Naumann [61] mitangegebener Korrektur für hohe Reynolds-Zahlen und Mor-si und Alexander [62] zeigt, dass die experimentell bestimm-ten Widerstandkoeffizienten mit den Modellen bis zu einemBlasendurchmesser von ca. 4 mm (Re < 1000) in guter Über-einstimmung beschrieben werden können. Das Modell vonTomiyama et al. [63] für teilweise kontaminierte Systeme be-schreibt den von Gaudin [58] angegeben Verlauf für reinesWasser in guter Übereinstimmung, weicht jedoch von denmit der Messapparatur ermittelten experimentellen Wertenab. Das Modell für reine Systeme von Tomiyama et al. [63] lie-fert für Reynolds-Zahlen kleiner 410 kleinere Widerstandsko-effizienten. Das Modell von Zhang et al. [64] zeigt für nied-rige Reynolds-Zahlen (Re < 100) einen ähnlichen Verlaufwie das Modell von Schiller und Naumann [61], zeigt jedochfür den Bereich Re > 100 bis Re < 10 000 höhere Wider-standskoeffizienten auf. Das Modell von Snyder et al. [65]ermittelt für Reynolds-Zahlen kleiner 20 niedrigereWiderstandskoeffizienten als das Modell von Schiller undNaumann, zeigt jedoch anschließend einen übereinstim-menden Verlauf.

5 Ermittlung der Blasengröße im gerührtenBlasenkontaktor

Im Gegensatz zu Einzeltropfenexperimenten zur Blasenkoa-leszenz und -zerfall betrachten Schwarmexperimente beideEffekte überlagert und geben aufgrund der Einbeziehung vonSchwarmexperimenten und der realen Geometrie einenschnellen Überblick über das Systemverhalten. Zu diesemZweck wurde das Venturirohr des Einzelblasenversuchstan-des durch eine Kühni Miniplant Geometrie (DN32, Compart-menthöhe 28 mm) bestehend aus fünf Compartments (vgl.Abb. 7) ersetzt. Diese besitzt im Wesentlichen fünf durch Sta-



Abbildung 6. Vergleich des ermittelten Widerstandskoeffizienten mit Literaturdaten.

Abbildung 7. Visualisierung der verwende-ten Kühni Geometrie auf Basis des für die Si-mulationen verwendeten Gitters.


torscheiben getrennte Compartments mit jeweils einemSechsblattrührer. Die Dispergierung erfolgt durch einen Fin-gerverteiler. Die Blasenkontur wird mithilfe eines optischenMesssystems bestehend aus einem telezentrischen Objektiv(Stemmer, Sill S5LPJ 0204), einer CCD-Kamera (Jai, CV-M10)und einer Infrarotblitzlampe (Vision & Control, TZB-60-IR/F/TTL) erfasst [66]. Hierbei können Blasen ab 1 mm Größeregistriert werden.

Die Blasenschwarmuntersuchungen wurden bei einerDrehzahl von 0, 100, 200 und 300 U min–1 durchgeführt.Der Volumenstrom wurde auf einen Dispersphasenvolu-menstrom (Luft) von 8 L h–1 und einen Volumenstrom von8 L h–1der kontinuierlichen Phase (Wasser) festgelegt. DieMessungen wurden drei Mal wiederholt. Die Mittelwerteder Messreihen sind in Abb. 8 dargestellt. Die Fehlerbal-ken geben die maximale Abweichung der einzelnen Mess-reihen zum Mittelwert an. Es zeigt sich eine geringeAbnahme der mittleren Blasengröße von 3,62 auf 3,47 mmzwischen 0 und 300 U min–1. Dies ist auf zwei Punktezurückzuführen:– Dichteunterschied: Der geringe Dichteunterschied führt

zu kurzen Verweilzeiten in der Kolonne und somit zu ge-ringen Verweilzeiten.

– Grenzflächenspannung: Das verwendete Gas-flüssig-Sys-

tem besitzt gegenüber Flüssig-flüssig-Systemen einehohe Grenzflächenspannung von ca. 72 mN.Zudem ergibt sich aufgrund der Akkumulation und des

Zerfalls an den Rührerblättern eine Breite Verteilung amAuslass, wie sie in Abb. 9 für eine Drehzahl von300 U min–1 dargestellt ist.

6 Numerische Simulation der Schwarm-apparatur

Eine Kopplung von CFD mit der Populationsbilanzmodel-lierung ermöglicht eine Erfassung lokaler hydrodynami-scher Vorkommnisse sowie eine Auflösung der lokalenBlasengröße. Diese Kombination resultiert somit einer Ver-besserung der gesamten Apparatesimulation. Um dennumerischen Aufwand gering zu halten, wurde die Kolonneauf die aktive Zone reduziert. Die Blasen treten durch denEinlass am Boden mit einem Durchmesser von 2 mm und4 mm ein, steigen aufgrund des Dichteunterschieds aufund verlassen die Kolonne am Kopf. Der Volumenstromaller Fluide (Gas, Wasser) beträgt entsprechend der vorange-gangenen Versuche 8 L h–1.


Tabelle 1. Widerstandsmodelle.

Autoren Widerstandsmodelle

Schiller und Naumann [61]CD �

24Re

1 � 0,15 Re0�687� �Re ≤ 1000

0,44 Re � 1000

��

Morsi und Alexander [62] CD � a1 �a2

Re� a3

Re2

a1� a2� a3 �

0� 24� 03,69� 22,73� 0,0903

1,222� 29,1667��3,88890,6167� 46,50��116,670,3644� 98,33��2778

0,357� 148,62��47 5000,46��490,546� 578 700

0,5191��1662,5� 5 416 700

��

0 � Re � 0,10,1 � Re � 11 � Re � 10

10 � Re � 100100 � Re � 10001000 � Re � 5000

5000 � Re � 10 000Re ≥ 10 000

Tomiyama et al. [63] CD � max minARe

1 � 0,15Re0,687� ��3ARe

�83

EoEo � 4

� �

Reines System: A � 16Teilweise kontaminiertes System: A � 24

Zhang et al. [64] CD � 0,44 � 24Re

� 6

1 � ��Re

�

Snyder et al. [65]

CD �

24Re

24Re

1 � 3,6Re0,313

Re � 119

2� �

24Re

1 � 0,15Re0,687� �

��

Re ≤ 1

1 ≤ Re ≤ 20

20 ≤ Re


Zur Simulation wurde der beschriebene Mehrphasen-solver basierend auf dem OpenFOAM® Solver two-PhaseEulerPimpleFoam verwendet. Zur Beschreibung derveränderlichen Tropfengröße wird das Eingruppenmodelleingesetzt, die OPOSPM mit dem Mehrphasensolver ver-knüpft. Die Berechnung des Widerstandskoeffizienten er-folgt auf Basis der experimentellen Ergebnisse über dasModell von Schiller und Naumann. Zusätzlich wird die vir-

tuelle Massenkraft berücksichtigt (Cvm = 0,25). Die Liftkraftwird über den konstanten Faktor 0,5 mit einbezogen.

Die Simulationen wurden für 20 s durchgeführt. ZurBerücksichtigung des Phasenanteils im Koaleszenz- undZerfallsterm wird das Modell von Hibiki und Ishii [49] ver-wendet, wobei der Koaleszenzterm auf die Form des Ein-gruppenmodells mithilfe des nullten Moments angepasstwird. Die anpassbaren Parameter wurden in Anlehnung



Abbildung 8. Gemessene Sauter-Durchmesser der Blasen (Luft/Wasser) nach dem Austritt aus dem Kolonnensegment.

Abbildung 9. Summenverteilung des Systems Luft/Wasser bei 300 U min–1.


an Yeoh und Tu [56] zu Crb = 0,03, Cb = 1,37, Crc = 0,03,Cc = 1,29 definiert.

Es zeigt sich zunächst ein leichter Abfall der Blasengrößebei 100 U min–1 auf 3,51 mm (Abb. 10). Mit steigenderDrehzahl werden die Blasen durch die radiale Strömung inRührernähe zur Kolonnenwand hin verteilt. Die Verweilzeitder Blasen im Kompartment nimmt somit zu. Ebenso steigtdie Zerfallsrate durch den erhöhten Energieeintrag an. DieBlasen akkumulieren zudem unterhalb des Statorbleches,wodurch zusätzlich größere Blasen entstehen und sich einebreitere Blasengrößenverteilung am Kopf ergibt (vgl.Abb. 8). Bei 200 U min–1 werden im Mittel Blasen miteinem Durchmesser von 3,4 mm erreicht, während die Aus-lassgröße Werte zwischen 2,7 mm und 3,7 mm annimmt.Bei 300 U min–1 Blasen beträgt die mittlere Blasengröße3,3 mm. Die minimale Blasengröße beträgt hierbei 2,0 mmund die maximale Blasengröße am Auslass 3,7 mm.

7 Zusammenfassung und Ausblick

Die Auslegung von Blasensäulen erfordert die Erstellungstandardisierter Messzellen zur Untersuchung des Einzel-blasen- sowie des Schwarmaufstieges. Zu diesem Zweckwurde eine Einzelblasenapparatur verwirklicht, die Messun-gen an in einer Ebene stehenden Blasen ermöglicht. Mit-hilfe dieser Apparatur wurden erste Messungen zur Blasen-aufstiegsgeschwindigkeit sowie zum Widerstandstermdurchgeführt. Es zeigte sich hierbei eine gute Übereinstim-mung mit Korrelationen von Schiller und Naumann [61],Morsi und Alexander [62] und Snyder et al. [65] bis zu einerBlasenreynoldszahl von 1000. Der ermittelte Anstiegdes Widerstandskoeffizienten wird durch das Modell vonTomiyama et al. [63] wiedergegeben, jedoch weicht das Mo-dell bei geringeren Reynolds-Zahlen von den Messwertenab. Weitere Untersuchungen des Schwarmverhaltens wur-den an einem gerührten Blasenkontaktor durchgeführt. Es

zeigte sich eine Verringerung der Blasendurchmessers mitsteigender Drehzahl.

Die CFD ermöglicht zudem die Bestimmung der lokalenBlasengröße im Blasenkontaktor. Hierzu wurde ein Mehr-phasensolver um ein Mixture-Turbulenz-Modell erweitertund die CFD mit einem Eingruppenmodell zur Berücksich-tigung von Koaleszenz und Zerfall gekoppelt. Durch einenerhöhten Energieeintrag zeigt sich eine bessere Verteilungder Blasen im Compartment. Zur Bestimmung der Blasen-größe wurde das Zerfalls- und Koaleszenzmodell von Hibikiund Ishii [49] verwendet, welches für das vorhandene Sys-tem eine gute Übereinstimmung mit den experimentellenDaten der Schwarmapparatur zeigt.

Eine Erweiterung der Einzelblasenappartur durch auto-matisierte Mess- und Regelungstechnik wird eine unab-hängige Ermittlung der Blasenaufstiegsgeschwindigkeitenunterschiedlicher Gase ermöglichen. Zusätzlich könnenBlaseninteraktionen durch Generierung mehrerer Einzel-blasen untersucht werden. Die Verwendung von Lasermess-techniken (PIV, LIF) erlaubt zudem eine Bestimmung desStoffaustauschs an in einer Ebene ruhenden Blasen. Weite-re Untersuchungen des Schwarmblasenaufstiegs ermög-lichen zudem eine Untersuchung der Blaseninteraktion inrelevanten Einbauten und liefern in Kombination mit derCFD eine bessere Charakterisierung der Koaleszenz-und Zerfallsparameter. Die numerische Berücksichtigungmultivariater Blasengrößenverteilungen mithilfe der CFDin Kombination z. B. mit der Klassenmethode oder derSQMOM ermöglicht zudem eine verbesserte Beschreibungdes lokalen Blasenaufstiegs sowie der Blaseninteraktionen(Tochtergrößenverteilung).

Wir danken dem Forschungszentrum Center for Mathe-matical and Computational Modelling (CM)2 des Lan-des Rheinland-Pfalz für die finanzielle Unterstützung.


Abbildung 10. Blasengrößenentwicklung im Schnitt (y = 0) unterVerwendung der Modellkombination von Hibiki und Ishii [49](volumetrischer Durchmesser in Meter).

Mark W. Hlawitschka,Jahrgang 1982, studierteMaschinenbau und Ver-fahrenstechnik an der TUKaiserslautern. Seit Januar2009 promoviert er beiProf. H.-J. Bart am Lehr-stuhl für ThermischeVerfahrenstechnik. For-schungsschwerpunkt isthierbei die Simulation vonExtraktionskolonnen mit

Computational Fluid Dynamics (CFD) mit kommer-ziellen und frei verfügbaren CFD-Codes und derenValidierung, u. a. mittels laserbasierter Messmethoden.


Abkürzungen

CFD computational fluid dynamicsPBM PopulationsbilanzmodellierungLIF laser induced fluorescenceQMOM quadrature method of momentsSQMOM sectional quadrature method of momentsOPOSPM one primary one secondary particle methodPIV particle image velocimetry

Symbole

Ac [m2] Querschnittsfäche am Eintritta [m–3s–1] KoaleszenzrateBC [m–3s–1] Entstehung neuer Partikel

aufgrund von KoaleszenzBB [m–3s–1] Entstehung neuer Partikel

aufgrund von ZerfallC, Cb, Cc [–] KonstantenCrb, Crc [–] ModellkonstantenCD [–] WiderstandskoeffzientCD�S [–] SchwarmwiderstandskoeffizientCt [–] Verhältnis zwischen der Schwan-

kungsgeschwindigkeit derdispersen Phase und der kon-tinuierlichen Phase

Cvm [–] Koeffizient der virtuellenMassenkraft

d [m] Durchmesserd30 [m] volumetrischer DurchmesserDax [m2s–1] axialer Dispersionskoeffizient

DB [m–3s–1] Auslöschung von Partikeln auf-grund von Zerfall

DC [m–3s–1] Auslöschung von Partikeln auf-grund von Koaleszenz

FW [N] WiderstandskraftFvm [N] virtuelle Massenkraftg [m s–2] Schwerebeschleunigungg(d30� [s–1] ZerfallskernelGk [–] Generierung von turbulenter

kinetischer Energie aufgrundder mittleren Geschwindigkeits-gradienten

G1e [–] Konstante, homogene Scherungim Gleichgewichtszustand

G2e [–] Konstante, Abklingverhaltenhomogener Gitterturbulenz

h [s–1] Kollisionsfrequenzh0 [m] relative Filmdickehc [m] kritische Filmdickek [m–2s–2] turbulente kinetische EnergieLi [–] Abszisse i der Verteilungm [–] Schwarmexponentmk [–,m–1,m–2,m–3] k-te Momentndd [–] Anzahl der Tochterpartikeln [–] AnzahldichteverteilungQ in

y [L h–1] EinlassvolumenstromRe [–] Reynolds-ZahlS [m–3s–1] Quelltermt [s] Zeitu [m s–1] GeschwindigkeitV [m3] Volumenwi, wj [–] Gewicht i,j der Verteilungx [m] Länge/Ortz [m] Distanz entlang der Kolonnen-

höhe

Griechische Symbole

a [–] Phasenanteilb [–] Batchelor-Konstanteb L�Li� � [–] Tochterpartikelverteilunge [m–2s–3] turbulente Energiedissipationk [–] Koaleszenzeffizienzq [kg m–3] Dichteg [kg m–1s–1] Viskositätgt [kg m–1s–1] turbulente Viskosiätr [N m–1] Grenzflächenspannungrk [–] turbulente Prandtl-Zahl der

kinetischen Energiere [–] turbulente Prandtl-Zahl der

Energiedissipationm [m2s–2] kinematische Viskosität



Hans-Jörg Bart, Jahrgang1954, studierte an der TUGraz Chemieingenieurwe-sen und habilitierte am In-stitut für Thermische Ver-fahrenstechnik undUmwelttechnik bei Prof.R. Marr. Er war Leitereines Christian-Doppler-Labors (ModellierungReaktiver Systeme in derVerfahrenstechnik), ehe er

1994 einen Ruf an die TU Kaiserslautern annahm.Seine Forschungsinteressen sind Extraktion, Chroma-tographie und Wärmeübertragung. Bei ProcessNet ister stellvertretender Vorsitzender beim FachausschussAdsorption, Vorsitzender der Fachgruppe Extraktionund leitet die Fachgemeinschaft Fluiddynamik undTrenntechnik.


Literatur

[1] S. Degaleesan, M. Dudukovic, Y. Pan, AIChE J. 2001, 47, 1913.DOI: 10.1002/aic.690470904

[2] N. Kantarcia, F. Borakb, K. O. Ulgena, Process Biochem. 2005,40, 2263. DOI: 10.1016/j.procbio.2004.10.004

[3] Y. T. Shah, B. G. Kelkar, S. P. Godbole, W. D. Deckwer, AIChEJ. 1982, 28, 353. DOI: 10.1002/aic.690280302

[4] L.-S. Fan, Gas-Liquid-Solid Fluidization Engineering, Series inChemical Engineering, Butterworths, Boston 1989.

[5] U. D. Kück, M. Schlüter, 6th International Berlin Workshop onTransport Phenomena with Moving Boundaries, Berlin, Novem-ber 2011.

[6] M. Bouaifi, G. Hebrard, D. Bastoul, M. Roustan, Chem. Eng.Process. 2001, 40, 97. DOI: 10.1016/S0255-2701(00)00129-X

[7] J. H. Hills, Trans. Ind. Chem. Eng. 1974, 52, 1.[8] B. N. Thorat, J. B. Joshi, Exp. Therm. Fluid. Sci. 2004, 28, 423.

DOI: 10.1016/j.expthermflusci.2003.06.002[9] W.-D. Deckwer, Chem. Ing. Tech. 1977, 49 (3), 213. DOI:

10.1002/cite.330490305.[10] J. H. Hills, Chem. Eng. J. 1976, 12, 89. DOI: 10.1016/

0300-9467(76)87002-5[11] D. N. Miller, Ind. Eng. Chem. Process Des. Dev. 1980, 19 (3),

371. DOI: 10.1021/i260075a007[12] D. B. Bukur, J. G. Daly, Chem. Eng. Sci. 1987, 42 (12), 2967.

DOI: 10.1016/0009-2509(87)87064-1[13] W. D. Deckwer, Y. Louisi, A. Zaidi, M. Ralek, Ind. Eng. Chem.

Process Des. Dev. 1980, 19 (4), 717. DOI: 10.1021/i260076a032[14] W. D. Deckwer, A. Schumpe, Chem. Eng. Sci. 1993, 48, 889.

DOI: 10.1016/0009-2509(93)80328-N[15] R. Clift, J. R. Grace, M. E. Weber, Bubbles, Drops and Particles,

Academic Press, New York 1978.[16] J. R. Grace, T. Wairegi, T. H. Nguyen, Trans. Inst. Chem. Eng.

1976, 54, 167.[17] P. T. Nguyen, M. A. Hampton, A. V. Nguyen, G. R. Birkett,

Chem. Eng. Res. Des. 2012, 90, 33. DOI: 10.1016/j.cherd.2011.08.015

[18] S. Hosokawa, A. Tomiyama, Chem. Eng. Sci. 2009, 64, 5308.DOI: 10.1016/j.ces.2009.09.01

[19] C. P. Riberio Jr., D. Mewes, Chem. Eng. J. 2007, 126, 23. DOI:10.1016/j.cej.2006.08.029

[20] N. Kanterci, F. Borak, K. O. Ulgen, Process Biochem. 2005, 40,2263. DOI: 10.1016/j.procbio.2004.10.004

[21] A. Shaikh, M. H. Al-Dahhan, Int. J. Chem. React. Eng. 2007,5 (1). DOI: 10.2202/1542-6580.1368

[22] H. A. Jakobsen, H. Linborg, C. A. Darao, Ind. Eng. Chem. Res.2005, 44 (14), 5107. DOI: 10.1021/ie049447x

[23] D. Bothe, M. Schmidtke, H. J. Warnecke, Chem. Eng. Technol.2006, 29, 1048. DOI: 10.1002/ceat.200600168

[24] S. S. Rabha, V. V. Buwa, Chem. Eng. Sci. 2010, 65, 527. DOI:10.1016/j.ces.2009.06.061

[25] H. Marschall, K. Hinterberger, C. Schüler, F. Habla, O. Hin-richsen, Chem. Eng. Sci. 2012, 78, 111 – 127. DOI: 10.1016/j.ces.2012.02.034

[26] N. G. Deen, E. I. V. van den Hengel, M. van Sint Annaland,J. A. M. Kuipers, 5th International Conference on MultiphaseFlow, Yokohama, May 2004.

[27] Y. M. Lau, I. Roghair, N. G. Deen, M. van Sint Annaland,J. A. M. Kuipers, Chem. Eng. Sci. 2011, 14, 3309 – 3316. DOI:10.1016/j.ces.2011.01.053

[28] H. Marschall, R. Mornhinweg, A. Kossman, S. Oberhauser,K. Langbein, O. Hinrichsen, Chem. Eng. Technol. 2011, 34 (8),1321. DOI: 10.1002/ceat.201100162

[29] M. R. Bhole, J. B. Joshi, D. Ramkrishna, Chem. Eng. Sci. 2008,63, 2267. DOI: 10.1016/j.ces.2008.01.013

[30] M. J. Prince, H. W. Blanch, AIChE J. 1990, 36 (10), 1485. DOI:10.1002/aic.690361004

[31] H. Luo, H. F. Svendsen, AIChE J. 1996, 42 (5), 1225. DOI:10.1002/aic.690420505

[32] J. F. Mitre, R. S. M. Takahashi, C. P. Ribeiro Jr., P. L. C. Lage,Chem. Eng. Sci. 2010, 65, 6089. DOI: 10.1016/j.ces.2010.08.023

[33] A. M. Kamp, A. K. Chesters, C. Colin, J. Fabre, Int. J. Multi-phase Flow 2001, 27, 1363. DOI: 10.1016/S0301-9322(01)00010-6

[34] C. Martínez-Bazán, J. L. Montañés, J. C. Lasheras, J. FluidMech. 1999, 401 (1), 157. DOI: 10.1017/S0022112099006680

[35] C. Martínez-Bazán, J. L. Montañés, J. C. Lasheras, J. FluidMech. 1999, 401 (1), 183. DOI: 10.1017/S0022112099006692

[36] D. Jo, S. T. Revankar, Int. J. Multiphase Flow 2011, 37, 995.DOI: 10.1016/j.ijmultiphaseflow.2011.06.016

[37] M. Konno, Y. Matsunaga, K. Arai, S. Saito, J. Chem. Eng. Jpn.1980, 13, 67.

[38] A. K. Chesters, Trans. Inst. Chem. Eng. 1991, 69, 259.[39] H. Luo, Dissertation, Norwegian Institute of Technology, Trond-

heim 1993.[40] J. Richardson, W. Zaki, Trans. Inst. Chem. Eng. 1954, 32, 35.[41] D. A. Drew, R. T. Lahey, in Particulate Two-Phase Flow

(Ed: M. C. Roco), Butterworth-Heinemann, Boston 1993.[42] D. Ramkrishna, Population Balances. Theory and Applications to

Particulate Systems in Engineering, Academic Press, San Diego2000.

[43] M. J. Hounslow, R. L. Ryall, V. R. Marshall, AIChE J. 1988, 34,1821. DOI: 10.1002/aic.690341108

[44] R. McGraw, Aerosol Sci. Technol. 1997, 27, 255. DOI: 10.1080/02786829708965471

[45] D. L. Marchisio, J. T. Pikturna, R. O. Fox, R. D. Vigil, A. A. Bar-resi, AIChE J. 2004, 49, 1266. DOI: 10.1002/aic.690490517

[46] C. Drumm, M. M. Attarakih, S. Tiwari, J. Kuhnert, H.-J. Bart,6th International Conference on Computational Fluid Dynamicsin the Oil & Gas, Metallurgical and Process Industries CFD 2008,Trondheim, Juni 2008.

[47] M. M. Attarakih, C. Drumm, H.-J. Bart, Chem. Eng. Sci. 2009,64 (4), 742. DOI: 10.1016/j.ces.2008.05.006

[48] C. Drumm, M. Attarakih, M. W. Hlawitschka, H.-J. Bart, Ind.Eng. Chem. Res. 2010, 49 (7), 3442. DOI: 10.1021/ie901411e

[49] T. Hibiki, M. Ishii, Int. J. Heat Mass Transfer 2002, 45, 2351.DOI: 10.1016/S0017-9310(01)00327-1

[50] T. Runowski, Dissertation, Universität Paderborn 2002.[51] T. P. Witelski, A. J. Bernoff, Physica D 2000, 147, 155.[52] D. G. Goodall, M. L. Lee, G. Stevens, J. Pera, D. Beaglehole,

Colloids Surf. 1998, 143, 41. DOI: 10.1016/S0927-7757(98)00500-7

[53] A. K. Chesters, G. Hofman, Appl. Sci. Res. 1982, 38, 353.[54] P. C. Duineveld, Appl. Sci. Res. 1998, 58, 409.[55] M. Koebe, Dissertation, Universität Paderborn 2004.[56] G. H. Yeoh, J. Tu, Computational Techniques for Multi-Phase

Flows, Butterworth-Heinemann, Burlington 2010.[57] M. Simon, Dissertation, TU Kaiserslautern 2004.[58] A. M. Gaudin, Flotation, 2nd ed., McGraw-Hill, New York

1957.



[59] R. L. Datta, D. H. Napier, D. M. Hewitt, Trans. Inst. Chem. Eng.1950, 28, 14.

[60] N. M. Aybers, A. Tapucu, Waerme-Stoffuebertrag. 1969, 2, 171.[61] L. Schiller, Z. Naumann, Z. Ver. Deutsch. Ing. 1935, 77, 318.[62] S. A. Morsi, A. J. Alexander, J. Fluid Mech. 1972, 55 (2), 193.[63] A. Tomiyama, I. Kataoka, T. Sakaguchi, Nippon Kikai Gakkai

Ronbunshu, B-hen 1995, 61 (587), 2357.

[64] Y. Zhang, J. B. McLaughlin, J. A. Finch, Chem. Eng. Sci. 2001,56 (23), 6605. DOI: 10.1016/S0009-2509(01)00304-9

[65] M. S. Snyder, O. M. Knio, J. Katz, O. P. Le Maître, Phys. Fluids2007, 19, 065108. DOI: 10.1063/1.2729733

[66] T. Steinmetz, Fortschr.-Ber. VDI, Reihe 3, Nr. 885, VDI Verlag,Düsseldorf 2007.




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Populationsbilanzmodellierung - Experimentelle und numerische Untersuchung an Blasensäulen