1 ae v.Mieee/Pollaozek-Cfei r inger, Oleiohungeaufl~eunge-Verfahren M&.und&ch, Ztsclxtan ew.

ZUSAMMENFASSENDE BERICHTE Praktische Verfahren der Gleichungsauflhmg.

Von R v. MISES und H. POLLACZEK-GEUUNGER In Berlln. [Fortsetzung und SchluE von Heft 1 (1929), 9. 77.1

5. Homogenes System hearer Glelchungen. Klefnster Iiigenwert. Das homogene Qleiohungseystem:

(ail I - 1) mi +

an1 1x1

1 =a + . . . +u1n1xn=0 . . .

UP1 1x1 +(a2al- I ) X a + +u~~Ix.=o 2 . . (1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . + u,,a 1 =a + . . . + ( u n n l - 1)%:,=0 I

besitzt, wie bekannt, nur dann eine LBsung auler der trivialen z, =a = . . . = q = 0, wenn 1 der Qleiohung den Grades gentigt, die durob Nullsetzen der Koeffizienten- Determinante entsteht. Die Determinante aus den urx setzen wir i m folgeoden von Null verschieden voraus. Wir wollen zeigen, d d man, wgnn die a,% s s m m e t r i s o h sind, (ax = ox,), duroh ein Iteratlonsverfahren zngleioh die L6sung der Cfleiohnngen und die zngehtirigen 1-Werte, die sogenannten E i g e n w e r t e von (I), flnden kanu.

Unter den angegebenen Bedingnngen existieren, wie die Alg'ebra lehrt, stet6 n reelle (nioht notwendig voneinander vereohiedene) Eigenwerte. Zu jedem von ihnen gibt 8s mindestens e in , natiirlioh nur bis auf einen Faktor bestimmtee L6eungseyetem von (1); zu einem I , das eine 7c-faohe Wurzel der Determinantenglelohung ist, gibt BE k linear unabhilngige Liisnngrsyeteme. Wir kBnsen daher die Reihe der, ihrem Betrage naoh ge- ordneten, Eigenwerte mit 'A,, k, .. .I, bezeiohnen, wenn jeder Eigenwert 60 oft an- gesohrieben wird, wie er seiner Vielfachheib entepriaht; falls zwei entgegengesetzt gleiohe Eigenwerte anftreten, werden diere nebeneinander gesetzt: I,, -Il, . . . Mit rl, Fa, . . . F,, beaefohnen wir die zugehtirigen, silmtlioh voneinander versohiedenen, linear nnabhbgigeri Lijsungen von (1). Jedee PI gehbt an einem 1, (i = 1, 2, . . . n) in der Weise, dal knrz gesohrieben

Dabei bedeutet der vor r gesetate Buchstabe a, daS der Vektor F mittels der Matrix '%, d. h. mittelr der Koefflzienten air transformiert wird, also die Komponenten von % p die Werte haben:

. . . . . . . . . k=I tU (i= 1,2, n) (2).

u l 1 ~ 1 + . . . u l n % ~ ; u t l x I + . . . + u 9 n % ; . . . . . C % l ~ l + + . . + a n n x n .

Um zunlohst den k l e i n s t e n Eigenwert 1, und eine zngeh6riga LSenng ;cl zu er- halten, bilden wir unter Weglassung des jetzt festbleibenden Index 1 eine unendliohe Folge von Nllherungen, und zwar von Vektoren @, @, ... und von positiven Zahlen @(I), p@), , . . wie folgt: 1st $'), sohon bekannt, so sollen die Komponenten ~ 1 ( ~ + 1 ) , Za('+1), . . . & + 1) von a(v +I) gegeben sein dnroh:

Z ~ ( V +I) = p(') (u, 1 z~ (v ) + + . . . + sn(v))

. . . .. Z ~ ( V . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . + 1) #- p(v) (a, I z~(v) + aa a zy(v) + + ~a ~"0)) I . . . ' (3),

#,(v + 1) = p(v) (an 1 Z~(Y) + as(') + . , . + unn z,(v)) oder kiirrer :

Der erste Vektor i(l) irt frei wilhlbar. Die Zahlen ,u(1), $a), . . , lasren wir vorllufig beliebig; fflr ihre Wahl bei der

praktisohen Durohftihrung des Verfahrens werden spilter Qeeichtspunkte angegeben. Duroh

Fagtor multipliziert. Da aber selbst nur bie anf einen Faktor bestimmt ist, haben wir lediglioh zu zeigen, dafl die a(v) b i s auf e inen F a k t o r konvergieren, d. h., daf3 a(v+l) unabhlngige Zabl.

Das hier angegebene Verfahren stimmt genau iiberein mit dem in der Teohnik zur zeiohnerisohen Bestimmung der Eigenwerte gewisser Randwertaufgaben (Kniokproblem,

J(V + 1) = /A') II p (v = 1, 2, . . .) . . . . . . . (3').

Aenderung einee p(V) werden nur die folgenden Nilherangen 3" + l), a(v +s), . . . mit einem

gegen konet. #v) geht oder jeder Quotient +l) : e(cy) ( i = 1,2, ... n) gegen eine von i

Band 9, Heft 2 April4929 v .Misea/Pol laczek-Oeir inger , Oleichungsaufl~sungs-Verfahren 158

kritische Drehgeschwindigkeit) verwendeten Verfabren von L. Vianello. Der Konvergenz- beweis gelingt analog dem Beweise, den J. J. Kochl) kiirzlioh f i i r die Anwendung dee Vian ellosohen Verfahrens anf Randwertprobleme gegeben hat. Hierzu iet ehe Reihe von Eigenechaften der 1 nnd r zu entwickeln.

Da die arr voraussetzungsgemtlfi symmetrisch sind, gilt, wie man leicht nach- reohnet, fiir zwei beliebige Vektoren plr To . . . -die Beziehung:

die besagt, daB das skalare Produkt von 71 in die Transformierte von A gleich 1st dem skalaren Produkt des Vektors T:, in die Traneformierte von ~ 1 . Daraus aber folgt sogleich die sogenannte Or t h ogon a l i tti t 8 e ig e ns c h af t fiir die zu versohiedenen Eigenwerten 1,, 1% gehorigen Vektoren rl, A. wir haben nach (2)

Mnltipliziert man die erste G-leiohung skalar rnit man durch Subtraktion :

('2( r1> F, =(a P) F1 ,

ri = 1, IL ~1 , Fa = la 'ZL Fa . : 4, die zweite mit rI : 4, so erhlllt

(d - i) ~1 PJ = ('u ri> Fa - (a T O ) ri = o , und da l l*lal 60 folgt = 0 , d. h. zwei zu verschiedenen Eigenwerten gehorige Eigenlosungen von (1) stehen auteinander orthogonal. Oehoren aber zn einem und dem- selben Eigenwert 1, zwei (oder mehr) voneinander verechiedene Eigenllieungen , 60 let anoh jede lineare Kombination dieser beiden Vektoren, also jeder Vektor der von den beiden Eigenltsungen nausgespannten. Hyperebene eine Eigenltisung. I n dieser Ebene kbnnen wir in vielfacher Art awei 60lCbe Vekboren wllhlen, die a u f e i n a n d e r senkreoht shhen; andererseits stehen eie naoh dem friiheren gewifl auf allen Vektoren senkrecht, die zu anderen Eigenwerten geb8ren. Wir ktnnen ant dlese Weise ein System von Eigen- fnnktionen rI, E, . . . ,r,, angeben, die paarweise aufeinander orthogonal etehen m d deren jede zu einem der Eigenwerts 11, 13, . . . &, gehort; in dieser Beihe ist jeder Eigenwert 80 oft angeschrieben, ale es seiner Vielfaobheit entspricht.

Denkt man sich diem T I , . . . 7, getonden, so kann man ihre n zneinander nor- malen Rtchtnngen als ein Koordinatenkrenz im n- dimensionalen Baume benutzen. Fiir den in (3) eingetiihrten Vektor a('), den ersten der Vektoren der anendliohen Folge a('), a@), . . , sohreiben wir:

R

$1) = 2 Cifl . . . . . . . . . . . (4), i s 1

wobei ci mit der Ltlnge von Man kann die a selbst im verallgemeinerten Sinne ale *Komponenten. von &I) in beaug euf das System h, R , . . . IC, bezeiahnen.

multipliaiert, die i-te Eomponente von a(1) bedeutet.

ES folgt d a m aus (3) und (2)

Die verallRemeinerten Komponenten von a@) in bezug auf das Hauptachsensystem sind also das 7, pie Komponenten von a@) er-

blllt man daher analog,. wenn man die von a(2) rnit -, -, . , . - multipliziert, aef.

p ( l ) $1) p(1) ---lache der Komponenten von $I). A1 1.3 ' ' * ' 1.

.p(% p(2) p e , 11 1s 1,

I ) J. J. Koc h , *Bestimmung hoherer kritlscher Drehzahlen aohnellanfender Wellen*. Verh. dea 2. int. Kongr. f. techn. Mech., Ztlrlch 1926, S. 213. - Der Kernpunkt des Beweises flndet aioh, ebenso wie dae Ltlsungaverfahren selbst, fur den Epezialfall der Fachwerkschwingungen schon be1 E. P o h l b auae n (dlese Zeitschr. 1921, S. 28-42). Andererselts 1st die Pohlhausensche Aufgabe ollgemeiner als dle von uns behandelte. Sle besteht in der Aufsuchnng der Elgenwerte und Elgenl6aungen einee Syateme (a) 8 r= h 8 TI daa zwei definite quadratisohe Formen % und 8 enthlllt. Die von Hm. Poh lhousen an- gegebene L6sung eriordert bei jedem einzelnen Schritt die e x p l i c i t e AuflUsung eines Systems von a Qleichungen mit der Koef5zientenmatrix 8. In seinem Spezialtall lllSt Bich diem Aurgabe verhultnis- m&Mg einiach graphinch erledigen. Jm allgemeinen wird bei Vorliegen des Problems (a) dem im Text angrgebenen L6sungsverfahren eine Behandlnng des Qlelchungssystama 8 = p mit beliebigem g nach Abschnitt 3 vorauszugehen goben. - Ueber den Zusemmenhang per in der tecbnisqhen Mechanik rut- tretenden Rsadwertprobleme rnit der allgemeinen Theorie der Integralgleichungen bzw. rnit der Theorfe der Randwertauigaben gew6hnlioher Differeutialgleichnngen vergl. E. T r e f f t z , diem Zeitschr., Bd. 3 (1933), 8. 373 ff. sowie v a n den Dungen , Comptes rendue, Paris t. 177 in mehreren Abhnndlungeu.

154

SchlieDlich wird

v. M i se 6 /Po 1 I ac E ek - G e i ri n ger , C3leichungsauflgsun,gs-Verlshren Ztsahr. Mnth. nndYech. f. anKew.

Sind nun, was wir vorltlufig voranssetzen, 1 2 , I , , . . . I, a l le dem Betrage nach g r a d e r a18 11 (d. h. 11 ein e infacher Eigenwert nnd - I l kein Eigenwert), so ver- schwinden fiir nnbegrenzt wachsendes Y alle Blfeder bis auf dss erste in der Klammer und 8 9 entsteht durch Vergleich der Formeln fiir und

. . . . Unser Verfahren ftlbrt also, geniigend weit fortgesetzt, zn zwei Zahlengruppen . . . z,,(~) nnd z1(V+l), . . . z,,(V+1), die sich nur urn einen Faktor unterscheiden. J e d e von i h n e n kann a l s Losung vop (1) bzw. (2) angesehen werden , und der zugehoriqe 1-Wert ergibt sich an#:

ZIW e. ('1 2 (4 1, = I i m p(.) - = lim p(v) ,C:'+ii = , . . = lim p ( v ) . * . (7'). y+m Sl(Y+') y+m . .,+m 5"(u+1)

Far die praktische Ansfahrung wird man die p elwa als dekadieche Einheiten wlhlen. Welche Einheit man verwendet, das ergibt sich von selbst, wenn man 5. B. verlangt, daD die ersten Komponenten ~ 1 ( ~ ) von a(v) ( Y = 1, 2, . . .) etets von gleicher Grijflenordnung bleiben.

1st 1, ein mehrfacher , z. B. ein zweifacher Eigenwert (11 =12), 40 dem also zwei verschiedene Eigenlbungen T I , rr gehoren, so llndert sich im Beweisgang znnilchst nichts weeentliches. An stelle von (6) tritt die Bleichung

und dsraus folgt auf dieselbe Weise wie oben die Beziehuug (7) zur Bestimmung von 11. Urn such die beiden zngeharigen Eigenl6 s u n g e n zu beetimmen, brancht man auder der einen Kombination CI h + ca Fa, die sich be1 der Wahl von $1) ale Ausgangsvektor der Iteration ergibt, noch eine zweite. Qeht man daher von einem al(l) aus, das kein Viel- faches von ist, so erhillt man als Ergebnie der Iteration im allgemeinen eine andere lineare Zusammenlassung c,' ,h + Q' ~3 der Eigenlbnngen TI und &. Durch die linearen Kombinationen der beiden gefundenen wird die Qesamtheit der zu ill gehorigen Eigen- losungen dargestellt.

Der Fall, dad neben 11 auoh -11 ein Eigenwert ist, l%Bt slch ant diese Weise nicht erledigen. Wir sprechen indee den folgenden Satz aus, der, von diesem Fall ab- gesehen, die Berechnnng des absolat kleinsten Eigenwertee nnd der zugehdrigen Eigen- losungen festlegt.

F u r e in homogenes l i n e a r e s Ble ichungseyr tem d e r Form (1) mit Parameter 1, das kurz geeohriehen,

lan te t , ktinnen der kle ins te Eigenwer t u n d d ie zugehor igen E i g e n l o s u n g e n gefnnden werden, indem man, a u s g e h e n d von einem wil lkf i r l ichen Vektor $I), mit gee igne ten Beiwerten p(') e ine I t e r a t i o n

ansetzt . Fllhrt man so lange for t , bis a n n l h e r n d p a r a l l e l i s t , so l iefor t d a s Verhllltnir d e r Komponenten von en d e n Komponenten von i(v+1) den Wert 1,; d i e gemeinsame Bichtung von u n d a(v+l) i s t e i n e z u - gehor ige Eigenlgsung. Besteht die Vermntnng, dafl I I ein m e h r f a c h e r ( r - faoher) Eigenwer t ist , so i s t d i e I te ra t ion (b) nochmale mit e inem a n - d e r e n Ausgangsvektor al(') und p(l)-p@)=. . . = A 1 dnrchznfuhren; diese er- g i b t als limes-Vektor e i n e etwa v o r h a n d e n e wei te re en Al g e h o r i g e Eigen- losung, nsf. Auf d i e s e w e i s e e r g e b e n s ich so v i d e e n II g e h a r i g e VerEChie- dene Eigenlasangen , als d e r Vielfachhei t r von I1 entspr icht . Doroh d iese r Vektoren wird die r - fach nnendl iche Mannigfa l t igke i t der eflmtlichen 5u gehor igen Eigenlosungen ansgespanht . Dae Verfahren konverg ier t immer, wenn n ich t der absoln t kleinete Eigenwer t 11 mit posi t ivem n n d negat ivem Vorzeichen anftritt,

Satz 11.

~ - 1 9 l r ( a L w = a x J . , , . . . . . . (a)

g ( v + l ) = p(v) 3 #v) (Y ='I, 2 . . .) . . , . . . . (b)

Band 9. Heft 2 April 1 9 6 v.Mises/Pollaczek-Geiringer, Gleichungsaufl~sunge-Verfahren 166

Als B e i s p i e l wtihlen wir die Behandlung eines R a n d w e r t p r o b l e m s einer gewthlichen D i f t e r e n t i a l g l e i c h u n g z w e i t e r O r d n u n g nach dem Ritzschen Ver- fahren : die homogene selbstadjnngierte Differentialgleichung :

fubrt nach dem Cfedankengang von R i t a , bei dem Ansatz

auf n Cfleichungen fur die Koeffizienten cX: y ( 4 = CI (z) + . . . = c,,q,,(z); pt(a) = cy,(b) = 0;

( 1 - 1, 2, . . . n)

(i = 1, 2, . . . n) n

r = 1 2' ( B I X -An,.) Cr = 0;

a U

Wir setzen vorans, da3 die q, EO gewahlt sind, da% PI = 0 fur 6 * x . Dagegen ist es nicht erforderlioh, die q+.(x) so za normieren, da% & X = 1 wird.

Sei zum Beispiel p (x) = 1, k (x) = xq, a = 0, b = 3 n und qh (x) 3: sin x 5 gewtlhlt. Da k ( x ) sein Zeichen nioht wechselt , sind bekanntlich alle Eigenwerte positiv , so da8 entgegengesetzt gleiche Eigenwerte ansgeschlossen sind.

Man findet dorch partielle Integration :

und p x = 0 ( l * x ) ; & x = %an.

Wir erlilutern hier das Verfahren der KiIrze halber an dem NBhernngsgrade n = 4 nnd erhalten, wenn x, fur die unbekannten Koeffizienten Q gesetzt wird, aie Qleichungen:

8n' 1 16

48

4 8 8n9 1

96

8 n s 1 8 2

Dividiert man die erste dieser Gleiohungen dnroh a = - - - = 35,8 1904 die zweite

dorch 4a, die dritte durch 9a, die vierte durch l 6 a , so erhlllt man das System x, = an . [1 . + 0,014524 & + 0,005508 Z4]

Za = al[0,017214 21 + 0,,953631 4 + 0,018591 Za + 0,004303 Z4]

ZJ = UA[O,OO1614 + 0,008263 XJ + 0,113024 Z.q + 0,008431 Z4]

3A = al[O,OOO344 Zi + 0,001076 + 0,004743 & + 0,045094 a].

Zl + 0,068856

Wir wllblen als Ansgangsvektor a(') den Einheitsvektor mit den Komponenbn 1,0, 0,O and setzen die Beiwerte p(*) = ~ ( 2 ) = . . . = -. Dann ergeben sich die Romponenten der Iterationsvektoren.

1

Index der 1 ~, I 1 N&herung . ea -

1. 2. 3. 4. 5 . 6 . 7. 8 .

1 1

1,002728 1,001826 1,005947 1,007575 11009107

1,001210

0 0,017214 0,021611 0,022754 0,023071 0,023180 0,028235 0,023aco

0 0,001614 0,001941

0,002087 0,002045 0,002050 Ol0OZ068

o,ooaoi7

~

Y

0 0,000344 0,000387 0,000393 0,000397

0,000399 0,000400

0,000398

Ztschr f nn w. 166 v.M i aes/Poll acze k- Ge i r i n ger, Glleiohungsaufl6~ungs -Verfahren Math. & gCh. Der Quotient der Komponenteq der siebenten und aohten Nllherong ist 0,988 nnd somit

1 11 E ~ * 0,998 = 0,0387. 26,81904 -

Fiir die zngeborige Eigenlosung erhillt man aus der aohten Nilherung: -

sin 4 x 1 0,02S249 o , o o a o ~ 3 0,008400

1,009307 1,009207 sin 2 2 + ___ sin 3 x + ____

- = Const. (sin X + 0,023037 sin 2 2 + 0,003034 sin 3 s + 0,000396 sin 4 x).

Die bisherigen Ueberlegungen reiohen fiir die Behandlung derjenigen Aufgaben aus, bei denen die a,% ah Koeffizienhn einer quadratischen Form anftreten, die nnr positiver Werte fWg, also positiv definit ist nnd daher nur positive Elgenwerte besitzt. Dss gilt, wie bekannt, far lineare Uleiohungen, die aus Minimumproblemen hervorgehen, beispieleweise fiir die Schwingungsanfgsben nnd Stabilittltsprobleme der Elastizitiltstheorie. Wenn man die Koeffizientenmatrix nur ah symmefrieoh voraussetzt, so bedarf nooh der Fall sweier en tgegengese tz t g le ioher Eigenwerte 11 und 4 = - Al einer 'ge- sonderten Untersuchung.

Hier gestaltet doh die Iteration folgendermalen: Nehmen wir den Index v als g e r a d e Zahl an, so ist, wenn aUe ,u= 1 gesetrt sind nach (6):

Wlohst Y unbegrenzt, so folgt aus der ersten nnd drilten dleser Uleiohungen

d. h. die (Y - l).te nnd (Y + 1)-te NIhernng liefern anniihernd, bie anf den Zahlenfaktor I I a , gleiche Vektoren.

lim 11" 8 ( ~ + 1 ) = s r 1 + errs

8" - 1) + 11 a(' + 1) . . . . , , . . , , (1 2),

Wir folgern an8 (ll), daB

Y - P W

Analog ergibt die vierte Uleiohung (11) Um f l ~ + l # v + 2 ) = clil --ST#

v+m

Um also die Eigenlosungen zu erhalten, kann man unter Weglassnng gleiohgtlltiger Faktoren fiir geniigend grole Y

bilden. In die Angen fallend bei der Dnrobftihrung der Iteration ist hier, daB bei

waohsendem Y allmtlhlioh die Nllhemgvektoren mit nngeradem Index Pntereinander und die mit geradem Index untereinander parallel werden.

' t: = a('+ +I) + Il $v +2) nnd r2' = 8" +I) -1, +2) . . . . (13) Zn &' geh6rt 21, zu ~ 2 ' geh6rt -11 ale Elgenwert.

Wir k6nnen somit Satz 11 duroh folgende Vorsohrift ergbeen: Satz 12. T r i t t der k le ins te E i g e n w e r t b e t r a g 1111 doppel t auf, a l s

Eigenwer t mit posit ivem n n d negat ivem Vorzeiohen, so se tz t man d i e I t e r a - t ion wie i n Satz 11 an. Es werden d a n n be i geni igend grodem (geradem) I t e r s t i o n s i n d e x v die Vektoren ifU-1) nnd #'+1) e i n a n d e r Lhnlioh u n d ebenso d ie Vektoren a()) nnd 1(~+2). Der B e t r a g des Eigenwer tes nnd d i e a n 11 bzw. -Al gehorigen Eigenl6snngen best immen sioh g e m l l l (12) bzw. (13).

6. Hahere E!&enwde und Ei&enMs-en. FiiF die Ermiitlung des zwei ten Eigenw er t e s und der zugebtirigen Eigenlosong naoh Boffindung des ersten Eigenwertes und der zu diesem gehtirigen stlmtliohen Eigenfunktionen pflegt man folgendes Verfabren mmgeben. Nehmen wir an, am die Gedsnken zu fixleren, der erst% Eigenwert 11 wllre ein ebfaoher gewesen m d Um & und f i en finden, die mgeh6rige Eigenl6sung.

Rand 9, Heft 2 Anril 1929 v.Mi se s/ P 011 ac z ek - Geir in per, Ctleichunasaufl6sungs -VerfahrPn 167

subtrahiert man von einem beliebigen Vektor a s h e Komponente in Riohtung von rl, setzt also :

(was man analog zu (8) auch ausfiihrlioher scbreiben kann). in Riohtung von fl keine Komponente, es iet der zu (4) analogen Darstellung der erste Koeffizient und es gilt der Aneatz:

Iteriert man, ausgehend von einem solchen Vektor, a(1) genaii wie friiber dnrch (3') - wobei hineiohtlich der Wahl der Beiwerte das dort Geeagte beaohtet werden kann -, so ergibt stoh fiir den iterierten Vektor gmz analog zu w d i e Beziehung:

Der Vektor g(1) hat d a m bei - fl = 0. Daher versahwiudet fiir

a(1) = aa Fa + aa Fa + ... +a,, r,, . . . . . . . . (9).

0) ~ ( V + ~ ) + P ( V ! ~ ( V ) fiir v+ oD . . . . . . . . (10).

no War etwa I., ein zweifacher Eigenwert, zu dem zwei zugehtirige, linear nnabhllngige Eigentunktionen bereits ermittelt sind, so muO man von einem willkiirlichen Vektor 3 seine Komponenten nach Ric htun g dieser beiden Eigenlasungen subtrahieren und den Differenzvektor als Ausgangsvektor der Iteration (3') wlhlen.

Ebenso ermittelt mau, falls etwa 11 und einfaohe Eigenwerte sind, den dritten Eigenwerl 1 8 und seine zugehorige Eigenlgsung fa, indem man von einem Vektor a('):

. . . (8') ausgeht, nst. Kurz, man hat immer, ob n u n e infache oder mehr iache Eigenwer te vorhanden Bind, einen solchen Ausgangsvektor zu wllhlen, der auf allen friiher er- mittelten Eigenloeungen, die zu kleineren Eigenwerten gehtiren, senkreoht steht. Dann wird man duroh die Iteration (3) stets auf einen neuen Eigenwert und eine zngehSrige Eigenltisung gefuhrt.

Denn eo ist in der Regel unmtiglich, einen Ausgangsvektor a(') so zu wzhlen, da0 seine Komponente in Riohtung der ersten Eigenlosung e x a k t versohwindet, wenn man diese Eigenl6sung nur durch ein NBherungsverfahren gefunden hat. Wenn aber diese Komponente nicht res t los getilgt ist, 80 f l l l t man in Verfolgung der Iteration immer wieder auf die erste Eigenltisung zuriick, wie das folgende einfaohe Beispiel zeigt. Die Lkmg von zl = 1 ( 2 XI + s); - 4 = Ax, kann man Bogleioh angeben: 0s ist 1, = dr- 1, 2 9 = - (Jz+ l),

Versucht man, die rwei te Eigenltisung naoh dem oben dargelegten Verfahren zu bestimmen nnd setzt fur den Ausgangsvektor der Iteration geradezu 1, -2,414, also die echon auf vier Stellen richtige zweite Eigenl6sung ein, so erhlllt man mit pb) = 1 die folgenden Zahlen fiir

Allein fiir die wirkliohe Reohnung iet diem Vorsohrift zigmlich wertlos,

r1 = 1, ( J 2 - 1); f3 = 1, - (1/2+ 1).

nnd %a(') (v I 1, 2, ... 11): 1 -0,414 0,172 -0,070 32 - 6 20 34 I 88 ' 210 498

32 1 - 6 1 20 I 34 1 88 ~ 210 -2,414; 1,0001 -0,4141 0,1+71/ -70 I Man sieht, wie diese Zahlenfolge gegen die e r s t e Eigenlosung mit dem Komponenten- Verhfltnis 1 : 0,414 konvergiert. Wie vide Stellen der erstrn Eigenlasong man auoh bei

* Wahl des Auegangsvektore beriickeiohtigen mag, stet8 wird sioh ein llhnlioher Verlauf ergeben I).

Ein brauohbares Verfahren zur Aufeuohung der zweiten Eigenlaeuog iet folgendes. 7 i, f EE wird geniigen, den Fall zu betracbten, daB die beiden absolut kleiosten Eigenwerte l1 und & einfaohe sind, und nioht auch gleichzeitig -1, oder -aA, die Rolle einee Eigen- wertee fipielt. Wie man in den komplizierten Fllllen den jetrt anzugebenden Cfedanken- gang mit den friiher ausgefiihrten Verfahren zu kombinieren hat, iet dann nicht mehr

Auf dicse bei Berechilung der h6beren Eigenwerte und Eigenlllsuiipen auftretende Schwierig- h i t wird nuch in ciiicr kUrelich erschienenen Arbeit hineewiesen: H. vaii deli Dui igen: 8Les problemes gheraux de la techiilque des vibrations*. MBmorial des sciences physiques; Fasc. lV, 1928. Dort Bnden sich Formelii flir die Berechnung der hOheren Eigeuwerte, die im wesenilichen auf M. H o r d a - mard (>>La s6rJe de Taylor et #on prolongemeut analytique.. Coll. Scientla, 2 O edition 1926, Paris) sar8ckgehen. Die H adam a r dschen Formeln hesiehen sich auf Randwertprobleme gewOhnlicher Diffe- rentialglelchungen. Sie sind fUr die wirkllche Berechnung der Eigenwerte und Eigenlcisungen weniger geeignet als die im Text gegebenen.

Ztschr. 1. anKen. 168 v.Miaea/Pollsczek-Oeiringer, Oleichungaauflasunge-Verfahren Math. undMeclr.

echwer einmsehen. Wir sohreiben unter Beibehaltung aller bieherigen Bezeichnnngen Gl. (6) jetzt in der Form

Geht man etatt von a(’) von einem anderen Vektor eienten el’, ca’, CZ’ . . . (an Stelle von c1, c ~ , CS, . . .) lauten, so fiihrt die Iteration zu

am, densen Entwicklungskoeffi-

An8 diesen beiden Oleiohungen folgt dnrch Erweiterong rnit CI’ bew. c1 und Snbtraktion C,’A(V+l) - c, &l“+l) =

Da die yten Potenren der Quotienten AS :&, &.:A, usw. rnit wachsendem Y gegen Null gehen, 60 erhEllt man rnit

~ - . c1’ 4 = n , , --. el 4 &’ cs - el c2’ p(’) . . . p w cI’ cs - c1 ca’ p(1) . . , p ( 4

fur Fa die Beziehung = lim ( u v ,(v+l) - a4 +I)) . . . . . . . (15),

3.+m

in Worten: die zweite Eigenl6sung erhlllt man bei geniigend grodem Y ale eine be- stimmte Kombination der *ten Iterierten, die aus zwei beliebigen verschiedenen Ausgangs- vektoren entstanden sind. Dabei iet nnr voranegesetzt, da0 nioht zngleioh h) = x c1 und cp’ = x Ca iet, was im allgemeinen leicht zu erreichen sein wird. Die Koeffizienten av nnd a ’ in (15) s h d anbekannt, aber daftir kennt man die Bedinguug, datl ~3 anf dem schon frilher ermittelten Die tatslchliche Bestimmnng von r2 (nnd von 1,) unterliegt noch einigen nnmerisohen Schwierigkeiten.

Zunlohst sieht es 80 am, als ob die Behauptang (15) einen Widerspraoh gegen Sat5 11 enthielte. Denn dort wurde behanptet, da3 j e d e r Ausgangsvektor nach geniigend langer Iteration auf die Riohtnng fiihrt, no da0 jede lineare Kombination von a(v+1) nnd al(v+l) sohlie5lioh anoh nur die Riohtung TI haben kgnnte. Aber diem dnssage ist auf (15) nicbt anwendbar, weil die Koeffizienten a, nnd a,’ vom Index Y abhlngen und ev. mit ihm ins Unendliche gehen. Tatslchlich mu9 man die Rechnung bfs zu einem Y ffihren, fiir dae die Vektoren a(v+l), und &(v+l) so weit parallel sind, dad ihre Richtung nach Satz 11 fur r1 genommen werden kann, man mufl aber diese Reohnnng mit einer solohen Genanigkei t dnrchft ihren, dad auch noch Untersohiede in d e n Rich- t u n g e n von &(v+l) n n d ~ 1 ( ~ + ~ ) merkl ich sind. Sohreiben wir jetzt vortibergehend 8 nnd a’ ftir a ( v + 1 ) und al(v+l) und bezeiohnen wir rnit z und a‘ die Lllngen dieser beiden Vektoren, so hsben die Vektoren

senkrecht etehen mnfl.

gleiohe Lhge und annahernd beide die Richtung von tl. Wir diirfen daher rl als parallel aum arithmetieohen Mittel von a und ’ - d annehmen, also anch parallel der Snmme

Ein Vektor, der zu diesem EenkreOht steht’nnd eine lineare Kombination von a und 8’ bildet, ist a -: 8’ . . . . . . . . . . . (16),

denn das ekalare Produkt der beiden verschwindet :

Somit ist in (16) die znm zweitkleinsten Eigenwert & gehtirige Eigenlgsung der Richtung nach gefunden. Um auoh IS Eelbet 5u bestimmen, bedenke man, da4 ftir jedee Vielhche von & die Beziehnng

% Ta = A3 U: ( X T S )

Band 9, Heft 2 April 1929 v. M i 8 e 8 I P o 11 n c ze k - G e i r i n g e r , Gleiohungsaufl6sungs -Verfahren 159

gelten mufi. %-Operation auf J ( ~ + ~ ) bzw. Iterierte a(v+2) bzw. &(v+2) ergibt, so folgt

Setzt man hier fiir x ~ a das 2’-faohe des Vektors (16) und bedenkt, dafi die ansgetibt, bie auf den Faktor l/~(~+l) die nEohste

a 1’ 64503 88100 5 0 9 1 5 41350 50945 41350 4 0 2 3 7 12989

6 0 2 9 77820 4762 2 F 2 3 2

b ~ ;lP 5069,l

1588153.108 - 6783.9 - 3S5165*108 3090,L I 0

Demnaoh kann man fiir Fa den Vektor ( 1 - n -

1 1 ( a . ~ a - z s b = 2 ’ z r d j . a - 2 . z i 9 . b . . . . . . (19)

setzen. Die Komponenten at sind nnmittelbar in der ersten Kolonne der Zahlentafel gegeben, die von b sind noch aus (18) zu bestimmen. Dabei kann man x in (18) ver- sohieden wtthlen. Das einfaohste wird 8s sein, die erste Komponente von y willktirlioh zn Null zn maoben, also

21’ 21’ = x 21 , x = - ,

ZI

Dannhatmanale weitereKomponentenvonzlb=b d i e D e t e r m i n a n t e n s w e i t e r O r d n u n g

die &us der zweiten, drilten . . . n-ten Zeile der beiden ersten Spalten der Zahlentafel mit der ersten Zeile gebildet werden. Die drei Komponenten von b =elb (mit der Reohen-

21 a’ - 21’ za , 21 ~ a ’ - zI’ 23 , . . . ~i 2,’ - 21’ Z, ,

ztachr t a n w. v.MisRs/Pol laozek-G)eiringer, ~leichuagsauflllsnnge-Veriahren yath,&&f&b.

Die Snmme der die Quadratsumme der ersten

~ - _ _ - _ _ _ 160

masohine bestimmt) s h d in der drltten Spalte der Tafel eingetragen. Produkte der ersten nnd dritten Spalte gibt 7858,7 Spalte ist 6792,5 - Daher setzt man fiir ~9 das zl-faohe von (19):

Dabei reioht die angesohriebene Stellenzahl hin, urn das Resultat mit der Cfenanigkeit anzngeben, die in der letzten Spalte der Tafel zu finden ist.

Den zweiten Eigenwer t 11 kann man, ohne die Lgngen z nnd z’ eu benutzen, jetrt - wie man leioht naohreohnet - anoh erhalten, inhem man eine beliebige Kom- Donente von b durch die entsmeohende. rnit dem nm 1 hiiheren Iterationsindex dividiert.

7858.7 * 1030 8 - 6792,5 * 1016 b .

Es gilt also analog zu (7) A b (4 p(q) - --f 1 9 A1 . . . . . . . . . . (20). b(v+l)

Hat man die Aufgabe, bei graflerem n nooh h6here Eigenwerte nnd Eigenloeungen en bestimmen, so mu6 man von drei odrr mehr Ausgengsvektoren ansgehen, die der Be- dingunp nnterworfen eind, da8 ihre Koeffidenten 9, ca, CS, . . . CI’, c ~ ’ , CI’, ... c1”, ca”, ca”, . . . nsr. linear nnsbbsngige Systeme bilden. Die dritte Eigcnlbung ist dann in’ der linearen Mannigfaltigkeit rnthalten, welohe dnroh die naoh v-maliger Iteration gefundenen Vrktoren a(v+l), al(y+l), a3(v+1) ausgespannt wird, und ist daraas und den Bediagungen des Normal- stehens auf ~1 nod Fa an reohnen. - Wir wollen, ehe wir dafiir Formeln angeben, nooh ein Verfahreu ekizzieren, dae bei Aufsuohnng sgmtlicher Eigenlosnngen’ die Beobnungen gewifl vereinfaoht and iibereiohtlioher maoht, dae aber oft auoh sohon bei Ermittlong der ersten Eigenlosung vorgezogen werden wird.

Wir wllhlen sls ersten Aus~angsvektor den Vektor al, deesen Komponenten die e r s t e Zeile (nnd Spalte) der gegebenen Matrix al l , a19, . . . al. bilden, und iterieren ihn, rnit p(’) = 1.

a(% = 9 a(’) I 9 a, zur ersten Komponente die Quadratsumme an8 den Elementen der ereten Zeile von a, ntlmlioh ul la + alga + . , . + ulna, zur zweiten Komponente die Snmme der Prodnkte aus den Elementen der ereten nnd zweiten Zeile al 1 a1 . + u1a Ua a + . . . + ul a3 .. usf. Diaser Vektor heile a1t2), seine Komponenten seien mit all@), ul@, . . . ax,@) bezeiohnet. Nimmt man nun als Ausgangsvektor den an8 den Elementen der z w ei t en Zeile von % gebildeten Vektor a9, dann den an8 tier dritten Zeile gebildeten aa u~f . , leitet jedesmal die Iterierte, mit*p(’) = 1 ab nnd stellt die n Besaltate epaltenweiee znsammen, so erhlllt man eine neue qnadratisohe Matrix

Dann hat

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . I

die oEenbar wieder symmetrisoh ist. Denn 0s ist atwa u19(2) die Pmduktsnmme aus den Elemeuten der ersten nnd zweiten Zeile nnd a91(2) die a m den Elementen der zweiten nnd ereten, Man nennt in dek Algebra die hier eingefiihrte Matrix %(2) da8 Produkt von %(I) mit sjch selbst.

Iteriert man noohmals, mit p@) A 1, so erhlllt man als zweite Iterierte von al , as,. , . a. neue n, Vektoren, deren Komponenten nebeneinander gestellt, wleder eine Matrix 8 8 geben. Es ist nun brkannt nnd aach unmittelbar leioht einzusehen, dafl der Uebergang von % zu von %(2) zu us?. eine Operation ist, die dem assoziativen Oeeetz iolgt: Statt a08 erst %@) and daraus zu reohnen, kann man direkt zu 9l(4) iibergehen, indem man %@I rnit doh selbst mnltipliziert. geht man direkt zu !!(@), von hier zu %(Is) iiber, immer duroh den gleiohen Prozefl des *Quadrierens*. Das erste Element a1 1(8) iet die Quadratsumme der Elemente der ereten Zeile von nd., allgemein ein Element von %(*) die Produktenmme:

Man sieht, daS hier vie1 Arbeit erspart wird. Denn die Spalten (oder Zeilen) von rl((lti), die beim vierten Sohritt - von 8 auegehend tiber % ( a ) , ))I(4), - erreioht werden, enthalten die fiinfzehnte Iteration der nrspriingliohen Aasgangsvektoren al, 99,. .. a,. Auoh ist das Quadrieren elner symmetrieohen Matrix eine vollig meohanieohe mit der Reohen- masohhe bequem durohzufiihrende Arbeit.

Von

uik@) = a# ak1(4) + d 4 ) aka@) + . . . + a,,(*) ak,(4) .

161

Da die Operation 3 angewendet a d den Vektor 1, 0, 0 , . . . 0 den Vektor (11 ergibt, sind die Spalten von $[(I@, die die fiinizebnten Iterierten von al , a?, . . . a, sind, auch die seohzehnte Iteration der Vektoren

Rand 9. Heft 2 Aprll 1929 v.Mises/Pol laoeek-G)eiringer, G)leichun~eaufl~eunge-Verfahren

1, 0, 0, 0 . . . 0, 1, 0, 0 . . *

0, 0, 1, 0 * . . . . . . . . . - .

Ant diem Weise erkennt man, da8 die Koeffizientensysteme

der nAu~gangsvektoren, wie oben gefordert wurde, linear n n a b h l n g i g sind. Denn 0s ist ja c, = z ~ ( ~ ) , c: = ~ 2 ( ~ ) , . . . C(c"-I) = o Ci), wenn mit z ~ ( ~ ) die x-te Komponente der &ten Eigenlosung Ti bezeiohnet wird, (wobei die Eigenlcsnngen jetet normiert voranegesetzt sind, d. h. ria= 1). Die na Ansgangskoeffisienten bilden also ein orthogonalee, daher l i n e a r u n a b h i n g i g e r System.

Hat man duroh viermaliges sukzessives Quadrieren %(I6) erreohnet, 60 eteht nooh die Wahl offen, welche Kolonnen bzw. welohe Znsammenfasenng von r Kolonnen, m4n zur Be- reohnung der r-ten Eigenloenng heranziehen will. Auoh besitzt man bei diesem VerYahren eine Kontrolle dafiir, ob die Itsration schon weit genug getrieben ist, ohne d a 8 man d i e v-te u n d ( v + l ) . te I te ra t ion n e b e n e i n a n d e r b e t r a c h t e n muate. Es miissen nElmlioh slmtliohe Spalten der Matrix, in den Qrenzen der geforderten Genauigkeit, ein- ander proportional sein. Ein gewisser Nachteil der Methode ist der, da8 sioh beim Potenzieren der Matrix etwaige Reohenfehler iortpflanzen, nioht, wie sonet bei den Ver- 11 fahrefi der Nlherungsfolgen, bloD konvergenzverztigernd wirken. *

(' 'Wer mit den Elementen der Algebra vertraut iet, kann die in S a t z 11 nnd 13 ansgesproohenen limes-Formeln fur die Eigenltisungen anoh &us der sogenannten B i l i n e a r - formel ableiten. Nach dieeer gilt, wenn arx ein beliebiges Qlied der nrsprunglichen %-Matrix, x ( ( ~ ) die i-te Komponente der x-ten Eigenlosung beeeichnet und jede der n Eigen- losungen n o r m i er t , also von der Lllnge eins, voranegesetzt wird :

c I , ca, . . . c., ci', cS', . . . c.I, ~ i ( n - 1 ) ~ c~(w-'), . . . G,(*- 1)

.

=,(I) r x ( l ) T,(% m ( 2 ) 2,(4 X X ( 4

A1 1, 1, air = ~ +- + . . .

Auflerdem lehrt die Algebra, daf3 die v-te Iterierte der urspritnglichen Matrix 8 die gleichen Eigenlasungen wie % und die v-ten Potenzen AlV, Isy, . . . der Eigenwerte von '??[ zu Eigenwerten besitzt. Demnach gilt fur ein Qlied von die Formel:

*,(I) *xu) Z'(2) Zx(2) x,(4 a ( n )

A1 hl A.Y

Hieraus folgen durch direkte Anerechnnng die Behanptungen von Satz 11 nnd 13.J Wir erllutern das Verfahren an einem Beispiel mit n = 3 , dam die Gedankenghge

der Beohnnug klar hervortreten Illfit, wenn onoh vielleicht des kleinen n wegen nooh nioht geeignet erscheint, den groden Vorteil der Methode gegeniiber der direkten Reohnung (Ansreohnung und Losung der Slknlargleiohnng) ins reohte Lioht zo setzen. Ee seien vorgelegt die Qleiohungen

atx(4 = ___ + ___ + . . . +---;---.

! o1 = A (XI 1- a),

Es i d also, wenn wir I' = 10 A eetzen: 10 10 0 200 150 20 62900 49590 6900

5900 4608 569 6 4 5 0 3 8 8 1 0 0 5 0 9 4 5 4 1 3 5 0 6 0 2 9 7 7 8 2 0

6 0 2 9 7 7 8 2 0 4 7 6 2 2 8 2 3 2 5 6 3 6 7 4 2 5 Die drei Vektoren, die duroh die drei Spalten der letzten Matrix dargeetellt werden, sind sohon annihernd parallel. (Die beiden ersten hatten wir a l s 8 and 8' in der ereten

Ztscbr. f. an eW. 162 v.Mi B e 8 lPollaoz e k- Qe i r inger , Qleiobungeaufl6sunge -Verfahren ~ a t h . and&&.

und zweiten Spalte dee S. 159 bebandelten Beispiels genommen.) H(rtten wir nur die Anfgabe, die er s t e Eigenltisung zu reohnen, so ktinnten air die Iteration an1 dieser Stub bereits beenden. - Da wir aber auoh $8 kennen wollen, s o reohnen wir aus Q(*) die Deter- minanten zweiter Ordnung unter Festhaltung des ersten Elementee al ]. Es ergeben sioh die folgenden beiden Vektoren b(8) (an6 der 1. und 2. bzw. aus der 2. und 3. Spalte von ti@) gebildet) :

0 und 0 168815201208400 - 38616546017800

- 38 516546 017 800 9516039690100. (Der erste dieser beiden Vektoren !and sioh in der dritten Spalte dee Beispiels

S. 159.) Diese beiden Vektoren sind nooh nioht mit hinreiohender Genauigkeit parallel. Dab sie als Differenzen zweier zwanzigstefliger Zahlen nnr dreizehn- bis fiinfzehnstellig sind, dab also zirka sechs Stellen bei der Differenzenbildnng iibereinstimmten, iet eine Folge davon, da6 die Spalten von %(a) sohon weitgehend der Bedingung der Proportionalittit genugen. - Die Elemente von %(16) sind rund zwanzigstellige Zahlen. Wir bereohnen sie auf seohzehn Stellen, da dies nooh rnit der Reohenmaeohine ohne weiteres geschehen

1 kann : 9

6 792 544045 869 998, 5364 789 616.313434, t((l6) = l o4 4 237 14 1111 366 098 ( 634 959 368 169 885, 501 494491 909 991, 59 355 286 696 693

Bereohnet man eodann aue die Determinanten zweiter Ordnung duroh abgekiirzte Multiplikation, so hat man die Difterenzen von 16-stelligen Zahlen zu bilden, die ungefiihr in den ersten zwUf Zietern iibereinstimmen, und man erhfllt somit als Komponenten von b(16) :

0 0 28755. lop4 und -6987 -

- 6987 - 10'' 169s. 1 0 9 4

Diem beiden Vektoren Bind bereits mit btnlflnglioher Genanigkeit parallel. Will man b(l@ nooh genaner kenneb, so mub man %(Is) genauer bereohnen. Aus den vollsttindigen Werten der ay,6' laseen sioh die Werte von b(l@ aut aoht Stellen genau mit der Reohen- masohine bestimmen :

0 0 285548139 - loao nnd -69867333 * l o a o

- 69867333 * 10'' 16976514 - 10'' Wir kannen nun die beiden Eigenltisnngen rl nnd Fa angeben. Die erste entnimmt man aus einer der drei Spalten von 8(16), also etwa aua der ersten:

Urn dte zweite Eigenltienng zu finden, brauohen wir nooh = 67925440 - 10'' : 53647895 - 10" : 6349694 * l o "= 1 : 0,7898056 : 0,09347887.

3 2 2 , d i = l o a a - ( 5 3 0 4 7 8 9 ~ . 287548439 - 6349694- 69867333) = 10'' * 149827396 1

und 2') = lo*'- (67925440' + 53647896'+ 6349894') = 75322795 * loa'. Der Vektor (19) fiir Fa, das ist (Z b) a - Z 2 b hat somit folgende Komponenten (abgesehen von der Potenz loG8):

1,0177 - 0 - - 1,0177

0,8038 - 2,1659 = -1,3631 0,0951 + 0,5263 = 0,6214.

Es ist also p, = 1 : -1,3391 : 0,61059. Das skalare Prodnkt F1 -pa gibt Nnll rnit der zu ernartenden Qenanigkeit.

Will man die Eigenwerte und I , uuabhhgig von den Eigenltisungen bestimmen, so kann dies naoh Formal (20) gesohehen, wenn man ander %('8) nooh 8(17) reohnet. Man kann aber auoh %(a) nnd %(Is) verwenden und erhfllt, wenn man ein beliebiges Element a, (8) duroh das entspreohende ax (16) dividiert nnd logarithmfsoh die aohte Wurzel zieht :

D-

Band 9. Heft 2 April 19% v. M i ees/Pollacz e k - ff e i ringe r, Qleichnngsaufltfsungs -Vedahren 16.7

Man erhtilt den gleichen Wert fur I , , gleicbgtiltig, welches der seohs versohiedenen Elemente von bzw. man heranzieht. Analog findet man:

wobei wieder zur Berechnung ein beliebiges der versohiedenen Elemente von b(*) bzw. b(16) benutzt werden kann. Durch Einsetzen erkennt man, da% 1 1 = + 0,55872, b = - 2,955. Die dritte Eigenlosung ,rs ist bei n = 3 dadurch beatimmt, dag sie auf rlund normal steht.

Um die hoheren EigenlBsungen allgemein bei n > 3 zu bestimmen, beacbtet man, dal3 zunllohst r3 sich als eine lineare Kombination &us den ersten drei Spalten - oder auch aus irgend welchen drei Spalten - der 9-fauh iterierten Matrix daretellt. Beieiohnen wir die ersten Spalten mit a(>) = 8, 8:) = a’, 8;) = a”, so gilt fur hinllnglich gro6es Y der Ansatz:

a und b s i d daraus zu bestimmen, dal r 3 auf ~1 nnd PJ, also auf der Ebene von nnd ~1 senkrecht steht. Da r1 und ,rs beide in der durch 8 nnd 8’ bestimmten Ebene liegen, 60 wird der Vektor ra anf der Ebene von rl und p~ senkrecht stehen, wenn er anf a nnd 8’ senkrecht steht. Wir erhalten somit die zwei Qleichungen

r3 = a + a8’ + b8” . . . . . . . . . . (2 1).

Fa a = 0 = 2’ + aa’.$ + b8’’*8 r 3 # = O = f i . ” + ~ a ” - i - b i ’ . ~ ” .

Recbnet man an8 dieeen Qleichnngen a und b aus und geht mit den errechneten Werten in ( 2 1 ) ein, 80 er&lt man:

3.3 8’ 8.8’ 8’ 8’ + r a , analog dazu war: I a 8.i ‘ L h ; a + r 1 . . (21’). (:’ I . 8 ” ;:*;,,I i t t . 8 1

Man verifiziert leicht noch direkt, dal3 der erste Ausdruck (21’) auf a senkrecht eteht. Man kann in vielfllltiger Weise analog den Formeln (21’) andere Formeln fur pa erhalten, wenn man, wie oben, den Ansatz macht, dafi Fa in dem durch ala’ ,a’’ bestimmten Raum liegt nnd auf der durch a und 8‘ bestimmten Ebene senkrecht steht. Das letztere kann man in verschiedener Weise erreiohen, indem man sum Ausdruck bringt, da6 rr anf irgend zwei Vektoren d i e m Ebene senkrecht eteht. Bezefchnen wir z. B. mit b wie frtiher einen Vektor, dessen erste Komponente gleich Null ist und deesen weitere (n-I) Komponenten die (n- 1) Determinanten zweiter Ordnung sind, die man be1 Festhalten der beiden ersten Zeilen aus den zwei Spalten a und a’ bilden kann; mit b’ bezeichnen wir den analog den aus a, d’, a” bei Festhalten der a w e i ersten Zeilen gebildeten, aus den Determinanten dritter Ordnung bestehenden Vektor, dessen zwei erst8 Komponenten ver- schwinden. Dann gilt analog zu (19):

18’ $‘*a i

Es ist sber wohl der Ansdruok (22) fiir die numerische Berechnung gegeniiber (21’)

kaum iiberlegen, da die KoeHizienten von a bzw. b und b’, das sind 1;:; ;,:;I usw.1 auch die Eigenschaft haben, dal sie kleine Differenzen groSer Zahlen sind.

Wir kiinnen den Ausdruck (21’) noch etwas anders eohreiben, wenn wir uns er- innern, da6 a(v) e A(v) = all(2V), &v) * alcV) = a1a(2v), nsf. D a m kommt, wenn wir nooh setzen:

a(” D1‘”) + al(’) Dl(”) . . . . , . (21”).

Wiil man die ’ bei Bereohnnng der Di(aV) auftretenden kleinen Differenzen gro%er Zahlen vermeiden, so bleibt die Wglichkeit, aus der urspriingliohen Matrix (oder auoh erst nsoh mehrmaligem Potenzieren) eine neue abzuleiten, die Zeilen (Spalten? besitzt, d er en

Ztachr.tan w. 164 Buohbeepreohungen Math. nnd

Elemente die ellmtliohen Determinanten swei ter Ordnang sind. Iteriert man diese bis sum Index 2r, so erhllt man die D&2y) simtl ich. Soloher D<@y) gibt es wegen der Symmetrie, wenn mau = m setzt, - (m + *) versohiedene ; wir branohen eber nur (8) a drei von ihnen, so d d diem Miihe im allgemeinen nioht lohnen wird.

Den Eigenwert erhllt man analog 5n (17): $4 a(v) . a(v) ~CJ) . 8,b)

. . . (23),

a,(v+1) >>

&" + 1)

wobei im ZIlhler and Nenner eine beliebige Komponente der auftretenden Vektoren ge nommen werden dart Es gilt ederdem analog zu (20):

. . (24),

wobei eine beliebige, von Null versobiedene Komponente des beterminantenvektors dritter Ordnnng b' 5n verwenden iet. Die Formeln (21) bis (24) haben eine Geetalt, in der die Uebertragnng a d htjhere Elgenl6sungen and Eigenwerte anmittelbar ersiohtlioh ist. - Wir fassen die Ergebnisse eusammen k: I

Wird eine bellebige symmetrisohe Matrix hinlItnglioh oft i ter ier t (mit sioh selbst mnltipliaiert), so erhlllt man sohlieJ3lioh eine Matrix, die in jeder ih rer Spal ten (Zeilen) den n-dimensionalen Vektor der ersten EigenlSsnng der urspriingliohen Matrix darstellt. E ine duroh d i e Orthogonalltlltsbedingnngen eindentig bestimmte l ineare Kombination an6 irgend T Spal ten dieser Matrix Ilelert die r . t e EigenlSsung der Busgangs- matr ix [(21), (22)], wlhrend die sngehtjrigen Eigenwerte, bsw. bestimmte Po- teneen von ihnen, dnroh Division entspreohender Ansdriioke fiir j e ~ w e i Iterationen gemllfl (17), (20) bsw. (as), (24) gewonnen werden.

Es sei nooh hervorgehoben, dafl die Ermittlang einer bestimmten EigenlSmng bzw. einei Eigenwertes an8 (21) bis (23) gesohehen kann, ohne defl vorher die entapreohenden GroBen von niedrigerem Index gefnnden worden wllren, nnd dafl anoh die Bereohnung der EigenlBenngen naoh anserm Verfahren von dei der Eigenwerte anabhllngig ist.

Satz 14.

007

BUCHBESPRECHUNGEN (Dle hier angezeigten BUoher sind dnroh die VDI-Bnohhandlnng, Berlin PW 7, Ingenieurbne, zn beziehen.)

Dr. KARL STUMPFF, Aeaistent der Uni- versitits-Sternwarte zu Breslau. A n a l y s e pe- r i o d i s c h e r Vorgiinge. Ein AbriD der Periodographie mit besonderer Berhcksichti- gung moderner Methoden. Samml. gmphysi- kalisclier Schriften Nr. 6. Mit 41 Figuren und 14 Tabellen im Text sowie 1 Volldrucktafel. Verlag Gebr. Borntraeger, Berlin 1927. X + 185 S. Preis 14,40 M.

Das Buch behandelt das fiir viele Anwen- dungsgebiete wichtige Problem, eine durch Be- obachtung gefundene Funktion einer Variabeln auf periodische Beslnndteile zu untersuchen. Der Ausgangspunkt und das Ziel der Darstd- lung ist dabei stet9 die praktische Rechnung; tleingegeniiber treteu prinzipielle mathematische Iletrachhingen zurhck.

In dem elnleitenden Kapitel I wird das Wesentliche W r ' empirische Funktianen und die Grundtatsachen der Fehlertheorie gesagt.

Es folgt in Kapitel I1 die eigentliche FourLr- nnalyse init den verschiedanen Methodan rech- nerischer, zeichnerischer a d instrumentell& Konstantenbestimmung. Kapitel I11 brhgt zu- nichst f i i r den Fall bekannter Perioden die Amplituden- und Phawnbestimmung, d a m das- selbe nebst der Periodenbestimmung fiir den Fall unbekannter Perioden; neben den Ergeb- nissen, die sich auch im allgemeinm Fall aus der Fourierentwicklung gewinnen lassen, wer- den hier die Methoden besprochen, die sich bei lquidistanten Drdinaten auf die Betrachtuna sukzessiver Differenzen- oder Summenrcihen (bzw. sukzessive' Differentiation oder Integra- tion) griinden. Die SchluDkapitel IN und V sind dem besonderen Interessengebiete des Ver- fassers gewidmet, der sog. Methode des Pe- riodogramms, welche von der Tatsache aus- geht, daD die fiir irgendeine Periode p formal gebildeten Fourierkoeffizienten fiir die wwklich